Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Valsznsgszmts Ketskemty Lszl Budapest, 1998. szeptember 18.

2

Tartalomjegyzk ELSZ I. A Kolmogorov-fle valsz n sgi mez I.1. I.2. I.3. I.4. I.5.

A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere Pldk valsznsgi mez kre . . . . . . . . . . . . . . . Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga . . . . A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge . Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . . .

II. A valsz n sgi v ltoz II.1. II.2. II.3. II.4. II.5. II.6. II.7. II.8.

A valsznsgi vltoz fogalma . . . . Az eloszlsfggvny fogalma . . . . . . Diszkrt valsznsgi vltozk . . . . . Folytonos valsznsgi vltozk . . . . Valsznsgi vltozk transzformcii A vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . Magasabb momentumok, szrsngyzet Kidolgozott feladatok s gyakorlatok .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

7 17 18 19 24

51

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

III.1.Valsznsgi vektorvltozk, egyttes eloszlsfggvny III.2.Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa . . . III.3.Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa . . . III.4.Valsznsgi vektorvltozk transzformcii . . . . . . III.5.A kovariancia s a korrelcis egytthat . . . . . . . . III.6.A feltteles vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 93 . 96 . 98 . 101 . 106 . 111 . 115

3

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

III.Valsz n sgi vektorv ltozk

. . . . . . . .

. . . . .

5 7

51 53 57 62 69 72 76 80

93

TARTALOMJEGYZK

4

IV.Valsz n sgi trvnyek

IV.1.Nevezetes egyenl tlensgek . . . . . . . . . . . . . IV.2.Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii IV.3.A nagy szmok trvnyei . . . . . . . . . . . . . . IV.4.A karakterisztikus fggvny . . . . . . . . . . . . IV.5.Centrlis hatreloszls ttelek . . . . . . . . . . . IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . .

Jellsek Aj nlott irodalom FGGELK

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

137

. 137 . 138 . 140 . 142 . 145 . 147

159 163 165

ELSZ A jegyzet a BME Villamosmrnki s Informatikai Kar Informatikus szaknak Valsznsgszmts c. tantrgyhoz kszlt segdanyag. A jegyzet az elmlet szoksos felptst kvetve ngy fejezetre tagoldik, a fejezetek szakaszokbl llnak. Az els fejezet tartalmazza a valsznsgszmts aximarendszert, a valsznsgi mrtk legfontosabb tulajdonsgait s kiszmtsnak klasszikus mdszereit. A msodik fejezet a valsznsgi vltozkkal, a harmadik fejezet a valsznsgi vektorvltozkkal foglakozik. A negyedik fejezetben kapnak helyet a nagy szmok trvnyei s a centrlis hatreloszls ttelek. A fejezetek vgn nagy szm kidolgozott feladat s nllan megoldand gyakorlat tallhat. A jegyzet vgn a felhasznlt jellsek, szimblumok sszefoglalsa, trgymutat, ajnlott irodalmak jegyzke s fggelkben a normlis eloszls tblzata olvashat mg. A Valsznsgszmts c. tantrgy el kszti a Tmegkiszolgls informatikai rendszerekben s az Informcielmlet c. tantrgyakat, de olyan ms trgyak is ptenek r, mint pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus folyamatok, Vletlen szmok generlsa s szimulcik, Megbzhatsgelmlet, Opercikutats, stb. A valsznsgszmtst axiomatikus felptsben trgyaljuk, eleve elfogadott alapfogalmakbl s alapttelekb l kiindulva jutunk el az egyszerbb tteleken s dencikon keresztl az sszetettebb lltsokhoz s fogalmakhoz. A ttelek nagy rsze bizonytsokkal egytt szerepel, ami az elmleti httr jobb megrtst szolglja. Ugyanezt segtik a bemutatott pldk s kidolgozott feladatok, valamint a mellkelt brk is. Az sszetett, bonyolult bizonytsokat els olvasskor mell zni lehet, a f bb sszefggsek anlkl is megrthet k. Ezton mondok ksznetet Dr. Gyr Lszl akadmikusnak a kzirat gondos tnezsrt, a jegyzet szerkezeti felptsvel kapcsolatos tancsairt s rtkes szakmai megjegyzseirt, kiegsztseirt. Ksznm Pintr Mrta 5

6

TARTALOMJEGYZK

doktorandusznak is, hogy krltekint en elolvasta a kziratot, s segtett a hibk, pontatlansgok kikszblsben. Ksznettel tartozom Gy ri Sndor msodves informatikus hallgatnak is, aki sokat dolgozott a szveg internet hlzatra ttelvel. Vgezetl ksznm Salfer Gbor tanrsegdnek a LATEXszvegszerkeszt vel kapcsolatos tancsait, segtsgt. Budapest, 1998. szeptember 15. Ketskemty Lszl

I. fejezet A Kolmogorov-fle valszn sgi mez

I.1. A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere Az alapfogalmak szemlletb l ered , magtl rtet d fogalmakat jelentenek, amelyeket egyszerbb fogalmak segtsgvel nem lehet denilni, hanem csupn krlrni lehet ket, illet leg pldkat lehet mutatni rjuk. Hasonlan, az aximk bizonyts nlkl elfogadott lltsok, amelyek annyira nyilvnvalak, hogy csupn a szemlletb l vezetjk le ket.

I.1.1. Alapfogalom: Vletlen ksrlet en (K) olyan folyamatot, jelens-

get rtnk, amelynek kimenetele el re bizonyosan meg nem mondhat, csupn az, hogy elvileg milyen ksrletkimenetelek lehetnek. A vletlen ksrletet akrhnyszor meg lehet gyelni, vagy vgre lehet hajtani azonos felttelek mellett.

I.1.1. Plda: a.) Egy szablyos jtkkockval dobunk. Nem tudjuk el re megmondani az eredmnyt, de azt llthatjuk, hogy az 1,2,3,4,5,6 rtk kzl valamelyiket kapjuk. b.) Egy teljes, jl megkevert csomag magyarkrtybl vletlenszeren kihzunk 10 lapot. A vletlent l fgg, hogy melyik lesz az a 10 lap, de azt 7

8

I. FEJEZET A Kolmogorov-fle valsznsgi mez

tudjuk, hogy a 32 lap sszes ismtls nlkli kombincija kzl lehet csak valamelyik. c.) Egy telefonkszlket gyelve mrjk a kt hvs kztt eltelt id t. A lehetsges kimenetelek a 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Alapfogalom: A K vletlen ksrlet lehetsges kimeneteleitelemi

esemny nek nevezzk. A vletlen ksrlet vgrehajtsa sorn az elemi esemnyek halmazbl mindig csak egy fog realizldni. Az elemi esemnyek jellsre az !, esetleg !i szimblumokat fogjuk hasznlni.

I.1.1. Den ci: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemny halmazt esemnytr nek nevezzk s -val jelljk. I.1.2. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos elemi esemnyek az 1 2 3 4 5 6 rtkek, = f1 2 3 4 5 6g. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz elemi esemnyek a 32-es csomag sszes 10 lapos rszhalmazai, a lapok sorrendjt nem gyelembevve, = f! : ! a 32 krtyacsomag egy 10 elemszm kombincijag. c.) A telefonhvsok kztti id tartamra vonatkoz ksrlethez tartoz elemi esemnyek az = 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Den ci: Az elemi esemnyek halmazait, az esemnytr rsz-

halmazait esemny eknek nevezzk, s a latin abc betivel jelljk: A B C : : :. Megjegyzs: a.) Az esemnyek denilst gyakran logikai lltsok megfogalmazsval tesszk. Ilyenkor az esemnynek megfelel halmaz azokbl az elemi esemnyekb l ll, amelyek realizldsa esetn a logikai llts rtke igaz. b.) Az egyetlen elemi esemnyb l ll esemnyeket az egyszersg kedvrt a tovbbiakban szintn elemi esemnyeknek fogjuk nevezni, holott matematikailag az elem s az elemb l ll egyelem halmaz fogalma nem ugyanaz! A legalbb ktelem esemnyeket sszetett esemny nek is nevezzk.

I.1

A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere

9

I.1.3. Den ci: Az A esemny bekvetkezik, ha a ksrlet vgrehajtsa

utn olyan elemi esemny realizldott, ami az A eleme.

I.1.3. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos esemny a f2 4 6g

elemi esemny-halmaz, melyet a prosat dobunk logikai lltssal is denilhatunk. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz esemny pl. a. van sz a kihzott lapok kztt; lltshoz tartoz krtya-kombincik ; ; halmaza, amelyhez az -t alkot 328 db. elemi esemnyb l 328 ; 288 tartozik. c.) A telefonhvsok kztti id tartamra vonatkoz ksrlethez tartoz esemny pl. az t percen bell fog csngeni, ami ppen a 0 5) intervallum pontjait denilja.

I.1.4. Den ci: Az A esemny maga utn vonja a B esemnyt, ha az

A esemny rszhalmaza a B esemnynek. Jells: A B .

Megjegyzs: A K vletlen ksrlet ! elemi esemnyeit jellemzi az, hogy nincs olyan B 6= esemny, amely !-t maga utn vonn.

I.1.4. Plda: a.) Kockadobsnl a hatost dobunk esemny maga utn vonja a prosat dobunk esemnyt. b.) Krtyahzsnl a mind a ngy szt kihztuk esemny maga utn vonja a van piros szn lap a kihzottak kztt esemnyt. c.) Telefonhvsnl az t percen bell csrgni fog maga utn vonja a tz percen bell csrgni fog esemnyt, hiszen 0 5) 0 10).

I.1.5. Den ci: Az A s B esemnyek ekvivalensek, ha A B s B A

teljesl egyszerre. Ekvivalens esemnyek kztt nem tesznk klnbsget. Jells: A = B .

I.1.6. Den ci: Lehetetlen esemny nek nevezzk azt a -vel jellt ese-

mnyt, amely a K brmely vgrehajtsa sorn soha nem fog bekvetkezni, azaz az res halmaz. megfelel a konstans hamis lltsnak, olyan esemny, ami elvileg soha nem kvetkezhet be.

I.1.7. Den ci: Biztos esemny nek nevezzk azt az esemnyt, amelyik

a K brmely vgrehajtsa sorn mindig bekvetkezik. Ez az esemny nem ms, mint az esemnytr. megfelel a kontans igaz lltsnak.

10


I.1.5. Plda: a.) A kockadobsnl a 10-nl kisebb rtket dobunk esemny az -val, a negatv rtket dobunk esemny pedig -vel ekvivalens. b.) Krtyahzsnl van a lapok kztt hetest l klnbz -val, mg a minden lap rtke legalbb tz -vel ekvivalens. c.) Telefonhvsnl valamikor csrgni fog -val, soha nem fog csrgni pedig -vel ekvivalens. I.1.8. Den ci: Egy A esemny ellentett esemny e az az A -val jellt esemny, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A nem kvetkezik be. A az A-nak az -ra vonatkoztatott komplementer halmaza, azaz A = n A.

I.1.9. Den ci: Az A s B esemnyek sszeg n azt az A + B -vel jellt

esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha A s B kzl legalbb az egyik bekvetkezik. (A + B az A s B esemnyek unija).

I.1.10. Den ci: Az A s B esemnyek szorzat n azt az AB vagy A B -

vel jellt esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, amikor A is s B is egyidejleg bekvetkezik. (AB az A s B esemnyek metszete).

I.1.11. Den ci: Az A s B esemnyek klnbsg n azt az A n B vel jellt esemnyt rtjk, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A bekvetkezik, de B nem. ( A n B = A B ). I.1.1. Ttel: Tetsz leges A B s C esemnyekre igazak az albbiak:

a.) A + B = B + A b.) (A + B ) + C = A + (B + C ) c.) A + A = A d.) AB = BA e.) (AB )C = A(BC ) f.) AA = A g.) A(B + C ) = (AB ) + (AC ) h.) A + (BC ) = (A + B )(A + C ) i.) A = A j.) A + B = A B k.) A B = A + B

I.1


11

l.) A A = m.) A + A = n.) A = A o.) A + = p.) A = r.) A + = A: Bizonyts : Mivel az esemnyek kztti mveletek a halmazok kztti uni s metszet illetve a komplementer segtsgvel voltak rtelmezve, s ott igazak a Boole algebra sszefggsei, itt is rvnyesek lesznek.

I.1.12. Den ci: Az A s B esemnyek egymst kizrak, ha AB = , azaz szorzatuk a lehetetlen esemny. Egymst kizr esemnyek egyidejleg nem kvetkezhetnek be. I.1.13. Den ci: Az A1 A2 : : : An : : : esemnyek (nem felttlenl v-

ges elemszm) rendszereteljes esemnyrendszer t alkot, ha i j -re Ai Aj = P (pronknt egymst kizrjk) s Ai = teljesl. 8i Megjegyzs: a.) A K vletlen ksrlet egy vgrehajtsa sorn a teljes esemnyrendszer esemnyei kzl csak egyikk fog biztosan bekvetkezni. b.) Az A s A ktelem teljes esemnyrendszer.

I.1.6. Plda: A francia krtybl val hzsnl az A1 =k rt hzok, A2

=krt hzok, A3 =pikket hzok s A4 =treet hzok esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak.

I.1.1. Axim k: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes esemnyek

= rendszere (az .n. esemnyalgebra ) -algebra, azaz kielgti az albbi tulajdonsgokat: 1o 2 = 2o Ha A 2 = ) A 2 = is. P 3o Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is. 8i Megjegyzs :

12


a.)

= nem felttlenl esik egybe sszes rszhalmazainak 2 halmazrendszervel. =-ben csak a ksrlettel kapcsolatba hozhat .n. meggyelhet

esemnyek vannak. Nem zrjuk ki, hogy lehetnek -nak olyan A rszhalmazai, amelyeket nem tudunk meggyelni, azaz lehet olyan kimenetel, ami vgn nem tudjuk megmondani, hogy A bekvetkezett-e vagy sem. Az aximkkal ppen az ilyen A esemnyeket akarjuk kizrni a tovbbi vizsglatainkbl. b.) Az aximk nyilvnval tulajdonsgokat fogalmaznak meg. Az 1o pontban azt kveteljk meg, hogy a biztos esemny meggyelhet legyen. A 2o-ben azt lltjuk, hogy ha az A esemnyt meg tudjuk gyelni, akkor az ellentettjt is meg tudjuk. A 3o-ban pedig az az llts, hogy ha esemnyeknek egy rendszert egyenknt meg tudjuk gyelni, akkor azt az esemnyt is meg fogjuk tudni gyelni, amely akkor kvetkezik be, ha a felsorolt esemnyek kzl legalbb egy bekvetkezik. is:

I.1.2. Ttel: Az aximkbl levezethet k =-nek tovbbi tulajdonsgai

2 =, azaz a lehetetlen esemny is meggyelhet . b.) Ha A B 2 = ) A + B 2 = is, azaz a 3o axima vges sok esetre is igaz. c.) Ha A B 2 = ) AB 2 = is, azaz meggyelhet esemnyek szorzata is a.)

meggyelhet .

Y

d.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is igaz, azaz meggyelhet

8i esemnyek egyttbekvetkezse is meggyelhet .

e.) Ha A B 2 = ) A n B 2 = s B n A 2 =, azaz meggyelhet esemnyek klnbsgei is meggyelhet ek. Bizonyts :

a.) Az 1o s 2o aximkbl trivilisan kvetkezik. b.) Az A1 = A A2 = B A3 = A4 = kvetkezik.

= vlasztssal, a 3o aximbl

I.1


13

c.) Ha A B 2 =, akkor 2o miatt A B 2 = is igaz, de akkor b.) miatt A + B 2 = is fennll, de jra a 2o aximra hivatkozva ekkor A + B = A B 2 = is fennll. Az utols lpsben a I.1.1 ttel j.) s i.) lltsait hasznltuk fel. d.) Az el z hz hasonlan, a 2o s 3o aximkbl valamint a De Morgan azonossgokbl kvetkezik. e.) 2o miatt A B 2 = is igaz, gy c.) miatt (A n B =)A B 2 = s (B n A =)B A 2 = is igaz.

I.1.2. Axim k: Adott egy P : = ! 0 1] halmazfggvny, melyet valszn sg nek neveznk. A P fggvny kielgti az albbi tulajdonsgokat: 1o P() = 1 2o Ha A1 A2 : : : A = pronknt egymst kizrjk, azaz 8i 6= j-re Pn : : : 2 P Ai Aj = , akkor P( Ai) = P(Ai): 8i

8i

Megjegyzs :

a.) A 2o aximban megfogalmazott tulajdonsgot a valsznsg -additivitsi tulajdonsgnak nevezzk. b.) A meggyelhet esemnyek valsznsgeit kiszmthatnak ttelezzk fel. A P(A) rtk az A esemny bekvetkezsnek mrtke, eslye. A P halmazfggvny rendelkezik azokkal a tulajdonsgokkal, amikkel minden ms mrtk is rendelkezik (pl. hossz,terlet, trfogat,tmeg stb.) A 2o axima azt lltja, hogy egymst kizr esemnyek sszegnek valsznsge az esemnyek valsznsgeinek sszege, mint ahogy pl. egymst t nem fed rszekb l ll skidom terlete egyenl a rszek terleteinek sszegvel. Az 1o axima azt posztullja, hogy legyen a biztos esemny valsznsge 1, s ehhez kpest jellemezzk a tbbi esemny bekvetkezsnek eslyt. A zikai mennyisgekhez mr mszerek szerkeszthet k, hogy az adott test egy zikai jellemz jnek elmleti rtkt nagy pontossggal megbecslhessk. Ilyen mszer a hosszmrsre a mterrd, tmegre a karosmrleg. Ugyangy, mint ms mrtknl, a valsznsg esetn is szerkeszthet mr mszer, amivel az elmleti valsznsg szmrtke jl becslhet lesz. Ez a mr mszer a ks bb rtelmezend

relatv gyakorisg lesz. (Lsd az I.3. szakaszt !)

14


I.1.14. Den ci: Az ( = P) hrmast a K vletlen ksrlethez tartoz

Kolmogorov-fle valszn sgi mez nek nevezzk.

I.1.3. Ttel: A valsznsg aximarendszerb l levezethet ek a val-

sznsg albbi tulajdonsgai: a.) P(A ) = 1 ; P(A)

b.) P() = 1 ; P() = 0

c.) Ha A1PA2 : : : An : : : 2 = esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, akkor P(Ai) = 1, 8i

d.) Ha A B akkor P(A) P(B ) e.) P(AnB ) = P(B ) ; P(AB ): Bizonyts :

a.) AA = A+A = s 1o , 2o miatt 1 = P() = P(A+A ) = P(A)+P(A ). b.) = miatt az el z lltsbl trivilis.

P

c.) Mivel Ai = s az A1 A2 : : : An : : : esemnyek egymst pronknt 8i kizrjk, az aximkbl mr kvetkezik az llts. d.) B = A + A B s A (A B ) = gy P(B ) = P(A) + P(A B ). Mivel P(A B ) 0, mr kvetkezik az llts. e.) B = A B + A B s (A B ) (A B ) = miatt P(B ) = P(A B )+ P(A B ): Mivel B n A= B A gy az llts mr kvetkezik.

I.1.4. Ttel: (Poincare-ttel)

Pn

Pn

Ha A1 A2 : : : An 2 = tetsz legesek, akkor P( Ai) = (;1)n+1Sin ahol i=1 P P(A A A ): i=1 Sin = j1 j2 ji 1j1 <j2 <<ji n

I.1


15

Bizonyts : n-re vonatkoz teljes indukcival: n = 2 esetben: A1 + A2 = A1 + (A2 A 1) s A1 (A2 A 1) = miatt I.1.3 ttel e.) lltst felhasznlva: P(A1 + A2) = P(A1)+ P(A2 A 1) = P(A1)+ P(A2 ) ; P(A1 A2): Tegyk fel, hogy az llts igaz n 2 esetben. n + 1-re az llts bizonytsa: nP +1 Pn Ai = Ai + An+1 gy i=1 n+1

i=1

n n P( P Ai) = P(P Ai) + P(An+1 ) ; P(An+1 P Ai) = i=1 i=1 i=1 n n P P = P( A ) + P(A ) ; P( A A ):

i n+1 i n+1 i=1 i=1 Aznindukcis feltevs felhasznlsval: +1 n P( Ai) = P(Ai) P(AiAj ) + P(AiAj Ak ) + + i=1 i=1 i<j i<j
P

P

; ;

;P

P ;P

;

P

ahonnan a tagok felcserlsvel az lltst kapjuk.

I.1.5. Ttel: (Boole-egyenltlensg) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez . Akkor minden A1 A2 : : : An 2 = esetn

Pn Pn a.) P Ai P (Ai) i=1 i=1 Qn Pn ; b.) P Ai 1 ; P A i : i=1 i=1 Bizonyts :

a.)

Pn A = A + (A n A ) + (A n (A + A )) + + (A n nP;1 A ): i 1 2 1 3 1 2 n i i=1 i=1 Ez egy diszjunkt felbonts, s A2 n A1 A2 ) P (A2 n A1) P (A2) A3 n (A1 + A2) A3 ) P (A3 n (A1 + A2)) P (A3) ...

;+

16


nP;1 P An n Ai An ) P An n Ai P (An) : i=1 i=1 A valsznsg ; additivitsa miatt: Pn P Ai = P (A1) + P (A2 n A1) + P (A3 n (A1 + A2)) + i=1 nP;1 Pn n;1

+ + P An n

i=1

Ai

i=1 P (Ai) :

b.) A De Morgan azonossgbl: Pn A = Qn Ai = Qn Ai: i i=1 i=1 i=1 gyaz a.)lltseredmnyt is felhasznlva: Pn n n n ; Q P P Ai = P A i = 1 ; P A i 1 ; P P A i : i=1

i=1

i=1

i=1

I.1.6. Ttel: (A valszn sg folytonossgi tulajdonsga) a.) Ha A1 A2 : : : An,. . . . olyan esemnyek, hogy 1 P A1 A2 An Ai $ nlim An !1 i=1 1 P akkor P( A ) = lim P(A ): i=1

i

n!1

n

b.) Ha A1 A2 : : : An : : :. olyan esemnyek, hogy 1 Y A1 A2 An Ai $ nlim An !1 1 Y

akkor P(

i=1

i=1

Ai) = nlim P(An ): !1

Megjegyzs : A ttel elnevezse azrt jogos, mert folytonos fggvnyeknl fennll a f (nlim xn) = nlim f (xn ) tulajdonsg. !1 !1 Bizonyts : a.) Legyen A0 = s Ci = Ai n Ai;1 (i = 1 2 : : :): Ekkor Ci Cj = ha i 6= j mert (Ai n Ai;1) (Aj n Aj;1) = Ai(Aj A i;1)A j;1 = ha i 6= j . 1 1 P P Tovbb Ai = Ci: i=1

i=1

I.2

17

Pldk valsznsgi mezkre

P 1

P P 1 1 Pn P (C ) = gy P Ai = P Ci = P (Ci) = nlim i !1 i=1 i=1 i=1 i=1 Pn = lim (P (Ai) ; P (Ai;1)) = lim (P (An) ; P (A0)) = lim P (An) : n!1 i=1

n!1

n!1

1 P b.) Legyen Bi = A i, akkor B1 B2 Bn Bi:

Y

i=1

1 1 P B = A , teht alkalmazva az a.) P P Mivel Bi = A i, ezrt i i i=1 i=1 i=1 i=1 eredmnyt 1 P(P Bi ) = nlim P(Bn ) = nlim (1 ; P(An)) = 1 ; nlim P(An ) !1 !1 !1 1

i=1

1 Y

P1

i=1

i=1

1

P( Ai) = 1 ; P( Bi) = nlim P(An ): !1

I.2. Pldk valsznsgi mezkre I.2.1. Plda: A klasszikus valszn sgi mez, a diszkrt egyenletes elos-

zls Ekkor az esemnytr vges elemszm elemi esemny halmaza: = f!1 !2 : : : !n g, az = esemnyalgebra sszes rszhalmazainak rendszere, s mindegyik elemi esemny bekvetkezsnek egyforma a valsznsge: P(f!1g) = P(f!2g) = = P(f!n g). Mivel az sszes elemi esemnyek Pn rendszere teljes esemnyrendszert alkot, ezrt 1 = P() = P( f!i g) = i=1 n P(f!1g) ) pi = P(f!ig) = n1 8 i -re. P P gy, ha A tetsz leges esemny, akkor P(A) = P(f!g) = n1 1 = !2A ! 2A kA ahol k az A esemny szmossga. Vagyis az esemnyek valsznsge A n ilyenkor gy szmthat, hogy az esemny bekvetkezse szempontjbl kedvez elemi esemnyek szmt osztjuk a ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemnyek szmval. Klasszikus valsznsgi mez vel modellezhet a kockadobs, a pnzfeldobs, a rulettezs, a krtyahzs, a lotthzs, a tottippels stb.

I.2.2. Plda: Geometriai valszn sgi mez

Alkosson a K vletlen ksrlet elemi esemnyeinek halmaza egy vges mrtk

18


geometriai alakzatot. Ilyenkor az esemnyrendszer a geometriai alakzat mrA) het rszhalmazait jelenti, s az A esemny valsznsgt a P(A) = (() mdon szmtjuk, ahol a geometriai tr mrtkt jelli. Ha pl. intervallum, akkor hosszmrtk, ha skidom, akkor terletmrtk, ha test, akkor trfogatmrtk stb. Pldul, ha x s y kt vletlenl vlasztott 0 s 1 kz es szm, akkor mennyi annak a valsznsge, hogy x + y < 1 s xy < 0 16 lesz? most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az albbi brn besatrozott terletnek felel meg:

A besatrozott terlet nagysga:

R

08 02

016 dx + 0 2 = 0 42: x

I.3. Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga I.3.1. Den ci: Tekintsnk egy K vletlen ksrletet, s jellje Kn azt

a ksrletet, amely a K n-szeres azonos krlmnyek kztti ismtelt vgrehajtsbl ll. Kn -t egy n-szereskisrletsorozat nak nevezzk. I.3.1. Plda: Amikor tzszer dobunk egy szablyos jtkkockval, a kockadobshoz tartoz tzszeres kisrletsorozatrl van sz. A lotthzsok sorozata tbb mint harminc ven t tart kisrletsorozatknt is felfoghat, gy az n ksrletszmra igaz az n > 1500: Ultizsnl minden jtk el tt az osztsnl vgrehajtjuk az I.1.1/b.) pldban emltett K ksrletet, azaz itt is kisrletsorozatrl van sz. I.3.2. Den ci: Ha egy n-szeres ksrletsorozatban az A esemny kA -szor kvetkezett be, akkor kA az A esemny gyakorisga, rn (A) = knA pedig a relatv gyakorisga.

I.4

19

A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge

Megjegyzs : Nyilvnval, hogy mind a gyakorisg, mind a relatv gyakorisg konkrt rtke fgg a vletlent l. A relatv gyakorisg rendelkezik az albbi tulajdonsgokkal: I.3.1. Ttel: Egy adott n-szeres ksrletsorozatnl a.) rn : = ! 0 1] b.) rn() = 1 1 P

c.) Ha A1 A2 : : : An : : : egymst kizr esemnyek, akkor rn ( Ai) = i=1

1 P r (A ):

i=1

n

Megjegyzs : Az el z ttel azt lltja, hogy a relatv gyakorisg rendelkezik a valsznsg tulajdonsgaival. Ks bb ltni fogjuk azt is, hogy n nvekedtvel rn(A) ! P(A) is fennll. (Nagy szmok Bernoulli-fle trvnye). Ezt a trvnyszersget el szr tapasztalati ton fedeztk fel a XVII. szzadban, mikor meggyeltk, hogy a relatv gyakorisg egyre kisebb mrtkben ingadozik egy 0 s 1 kz es szm krl. A klasszikus matematikusok ppen ez alapjn deniltk az esemnyek elmleti valsznsgt: az az rtk, amely krl a relatv gyakorisg ingadozik. A relatv gyakorisg teht alkalmas a valsznsg # mint zikai mennyisg # mrsre. Kolmogorov az aximiban a relatv gyakorisg a.)-c.) tulajdonsgait rktette t a valsznsgre, minthogy a hatrtmenet ezeket a tulajdonsgokat megtartja.

I.4. A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge

A K vletlen ksrlet elemi esemnyei szmunkra vletlenszeren kvetkeznek be, mgpedig azrt, mert a vgeredmnyt befolysol krlmnyek bonyolult komplexumt nem ismerjk pontosan. Viszont ismerjk az egyes esemnyek, elemi esemnyek bekvetkezsi eslyeit # a valsznsget #, vagy legalbbis tetsz leges pontossggal mrhetjk ket. Ha viszont az A esemny bekvetkezsi krlmnyeir l tovbbi informcikat szerznk be, vagy bizonyos pontost felttelezssel lnk, megvltozhat az A bekvetkezsi eslye, n het is, de cskkenhet is. Pl. a kockadobs ksrletnl, a 6-os dobs esemny valsznsge 0, ha tudjuk, hogy a dobott rtk pratlan szm, s 13 , ha tudjuk, hogy a dobott rtk pros volt.

i

20


Hogyan vltozik (vltozna) az A esemny valsznsge, ha az A-val egyidejleg meggyelhet B esemny bekvetkezst ismerjk (ismernnk)? Tegyk fel, hogy a K ksrlettel vgrehajtottunk egy n hosszsg kisrletsorozatot. Az A esemnyt kA -szor, a B esemnyt kB -szer, az AB esemnyt pedig kAB -szer gyeltk meg. Ekkor a B esemny bekvetkezshez kpest az A esemny bekvetkezsnek relatv gyakorisga nyilvn rn(A jB ) = kkABB melyet az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott relatv gyakorisgnak neveznk. Ez az arny az A bekvetkezsi eslyeit pontosabban tkrzi, ha a B bekvetkezsr l biztos tudomsunk van, mint az rn (A) = knA : A feltteles relatv gyakorisg tulajdonsgai nyilvn: a.) 0 rn (A jB ) 1 b.) rn(B jB ) = 1 c.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = egymst kizr esemnyek, akkor 1 P1 P rn( Ai jB ) = rn(Ai jB ) : i=1

i=1

Az rn(A jB ) = kkABB = ) rn (A jB ) ! PP(AB (B ) :

kAB n kB n

) = rrnn((AB B ) trs utn, ha n ! 1 kapjuk, hogy

I.4.1. Den ci: Legyenek A B 2 = olyan esemnyek, hogy A tetsz -

leges s P(B ) > 0: Akkor az A esemnynek a B -re vonatkoztatott feltteles ) valszn sg n a P(A jB ) = PP((AB B ) szmot rtjk.

I.4.1. Ttel: Tekintsk az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez t. B 2 = P(B ) > 0 rgztett. Ekkor a PB (A) $ P(A jB ) feltteles valsznsgre teljeslnek az albbi

tulajdonsgok: a.) 0 PB (A) 1 (8 A 2 =) b.) PB (B ) = 1 PB () = 0 c.) 8 A1 A2 : : : An : : : 2 = : Ai Aj = (i 6= j ) 1 1 P P PB ( Ai) = PB (Ai): i=1

Bizonyts :

i=1

)

I.4


21

a.) Mivel AB B , ezrt P(AB ) P(B ), teht kvetkezik az llts.

b.) B B = B miatt PB (B ) = PP((BB)) = 1 s B = , teht PB () = PP((B)) = 0: c.) Mivel az A1 A2 : : : An : : : esemnyrendszer egymst kizr esemnyekb l ll, ezrt A1 B A2 B : : : An B : : : is egymst kizr esemnyekb l 1 P ll rendszer, gy a valsznsg -additivitsi tulajdonsgbl: P( (AiB )) = i=1 1 P P(A B ). Mindkt oldalt osztva P(B )-vel mr addik az llts.

i=1

i

Megjegyzs :

a.) Az el z ttel azt lltja, hogy ha B -t rgztjk, s =B $ fC C = A B A 2 =g, akkor a (B =B PB ) kielgti a Kolmogorov valsznsgi mez aximit. b.) Vannak A B esemnyek, amelyekre P(A jB ) = P(A) teljesl, azaz A valsznsge nem vltozik meg, ha a B esemny bekvetkezst ismerjk$ az A valszn%sge fggetlen a B bekvetkezst l.

I.4.2. Den ci: Legyenek A B 2 = tesz leges esemnyek. Az A s B

esemnyek fggetlenek, ha P(AB ) = P(A)P(B ) fennll. Megjegyzs :

a.) Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek s P(A)P(B ) > 0, akkor P(A jB ) = P(A) s P(B jA) = P(B ) is fennll, vagyis az egyik esemny bekvetkezsnek ismerete, nem befolysolja a msik esemny valsznsgt. b.) Nem szabad sszekeverni az egymst kizr esemnyek s a fggetlen esemnyek fogalmait! Ha kt esemny egymst kizrja, azaz AB = , akkor az egyik bekvetkezse igencsak meghatrozza a msik bekvetkezst: ha pl. A bekvetkezik, akkor B biztosan nem kvetkezik be. Fggetlen esemnyek esetn, ha az egyik esemny bekvetkezst ismerjk, nem vltozik meg a msik bekvetkezsi valsznsge. c.) Az esemnyek fggetlensgnek a fogalma klnbzik a zikai rtelemben vett fggetlensg fogalmtl is. A zikai fggetlensg azt jelenti, hogy az okozat nem kvetkezmnye az oknak, teht itt a fggetlensg nem szimmetrikus.

22


I.4.2. Ttel: Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek, akkor

a.) A s B b.) A s B c.) A s B

is fggetlenek. Bizonyts : a.) P(AB ) + P(AB ) = P(A) ) P(AB ) = P(A) ; P(AB ) = P(A) ; P(A)P(B ) = P(A)(1 ; P(B )) = P(A)P(B ) ) A B fggetlenek.

) + P(AB ) = P(B ) ) P(AB

) = P(B ) ; P(AB ) = b.) P(AB P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A ) ) B A fggetlenek. c.) P(A B ) + P(AB ) = P(B ) ) P(A B ) = P(B ) ; P(AB ) = P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A ) ) B A fggetlenek.

I.4.3. Ttel: Az s esemnyek minden A 2 = esemnyt l fggetle-

nek.

Bizonyts : P(A) = P() = 0 = 0P(A) = P()P(A) ) s A fggetlenek. P(A) = P(A) = 1 P(A) = P()P(A) ) s A fggetlenek.

I.4.3. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek pronknt fggetlenek, ha P(Ai Aj ) = P(Ai) P(Aj ) (8 i 6= j ):

I.4.4. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, ha 8 k 2 f2 3 : : : ng s 8 1 i1 < i2 < < ik n indexkombincira P(Ai1 Ai2 Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ). I.4.4. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek,

akkor pronknt is fggetlenek. Fordtva ltalban nem igaz.

I.4


23

Bizonyts : Az I.4.4 denciban, amikor k = 2, ppen az I.4.3 dencit kapjuk. A megfordtsra ellenplda: K : Dobjunk egy szablyos kockval egyms utn ktszer. A: els re pratlant dobunk$ B : msodikra pratlant dobunk$ C : a kt dobott szm sszege pratlan. P(A) = P(B ) = P(C ) = 12 , P(AB ) = P(AC ) = P(BC ) = 14 ) A B C pronknt fggetlenek. De! P(ABC ) = 0 6= P(A)P(B )P(C ) = 18 azaz teljesen nem fggetlenek A B s C . I.4.5. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, akkor kzlk brmelyiket az ellentett esemnyre felcserlve, jra teljesen fggetlen rendszert kapunk. Bizonyts : Cserljk fel pl. A1-et A 1-gyel. Ekkor a teljesen fggetlensg felttelrendszerben csak azokat az sszefggseket kell ellen rizni, amelyekben A1 szerepelt. Legyen egy ilyen pl. P(A 1 Ai2 Aik ) ahol 1 < i2 < < ik n: Kihasznlva, hogy az eredeti rendszer teljesen fggetlen volt: P(A1 Ai2 Aik ) = P(A1 )P(Ai2 ) P(Aik ) = P(A1) P(Ai2 Ai3 Aik ) azaz A1 fggetlen a Ai2 Ai3 Aik szorzatesemnyt l, gy a I.4.2 ttel miatt A 1 is az. De ekkor P(A 1 Ai2 Aik ) = P(A 1) P(Ai2 Ai3 Aik ) = P(A 1 )P(Ai2 ) P(Aik ) azaz teljesl A 1 -re is a teljesen fggetlensghez szksges felbomls. I.4.6. Ttel: (Szorzsi szably) Legyenek az A1 A2 : : : An 2 = tetsz leges esemnyek gy, hogy Yn P( Ai) > 0: Ekkor

nY ! nY ! ;1 ;2 P Ai = P An Ai P An;1 Ai P (A2 jA1 ) P (A1) : i=1 i=1 i=1 Bizonyts : nY ! ;1 0Y 1 n nY ! P Ai ! P@ Ai A nY ;2 ;1 i ! ::: P An Ai = 0Y Ai = ni=1 n; 1 P An;1 ;2 Y B C i =1 i=1 P@ Ai A i=1Yn !

=1 1

i=1

P

i=1

Ai

24


P (A2 jA1 ) = PP(A(A1A)2) : 1

Lthat, hogy sszeszorzs s egyszersts utn az lltst kapjuk.

I.4.7. Ttel: (A teljes valszn sg ttele)

Alkosson A1 A2 : : : An : : 1: 2 = teljes esemnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = . Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1

minden i-re. Ekkor tetsz leges B 2 = esemnyre P(B ) =

1 P P(B jA )P(A ) :

i=1

i

i

Bizonyts : 1 1 1 P P P Mivel Ai = s B = B = B Ai = (AiB ) i=1 i=1 i=1 valamint (AiB ) (Aj B ) = a valsznsg -additivitsi tulajdonsgbl 1 1 1 P P P kvetkezik, hogy P(B ) = P( AiB ) = P(AiB ) = P(B jAi)P(Ai) : i=1

i=1

i=1

I.4.8. Ttel: (Bayes ttele)

Alkosson A1 A2 : : : An : : :12 = teljes esmnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = : Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1 minden i-re. Ekkor tetsz leges B 2 = esemnyre, ahol P(B ) > 0 P(Ai jB ) = P1P(BjAi)P(Ai) : j=1

P(B jAj )P(Aj )

Bizonyts : A feltteles valsznsg dencijbl: P(Ai jB ) = PP(A(BiB) ) : A szmll helybe P(B jAi) P(Ai) -t rva, a nevez helybe pedig a teljes valsznsg ttelb l kapott formult helyettestve azonnal addik az llts.

I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

I.5.1. Feladat: A prbagyrts sorn kt szempontbl vizsgljk a ksztermkeket. Az A esemny azt jelenti, hogy egy vletlenszeren kivlasztott mintadarab anyaghibs, a B pedig az az esemny, hogy a kivlasztott gyrtmny mrethibs. Tudjuk, hogy P(A) = 0 15 P(B ) = 0 3 s P(AB ) = 0 08. Mennyi annak a valsznsge, hogy valamelyik termk hibtlan?

I.5

Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

25

; Megolds: P A B = 1 ; P (A + B ) = 1 ; P (A) ; P (B )+ P (AB ) = 0 63 ;

I.5.2. Feladat: Mennyi P A j B ha P(A) = 0 6 P(B ) = 0 5 s P(A +

B ) = 0 8?

;

P(A+B );P(B ) = 0 6: ) Megolds: P A j B = PP((AB B)) = P(A1;);PP(B(AB ) = 1;P(B ) I.5.3. Feladat: Egy fekete s fehr golykat tartalmaz urnbl kih-

zunk n db golyt. Aijelentse azt az esemnyt, hogy az i-ediknek kihzott goly fehr. (1 i n ). Fejezzk ki az Ai esemnyek segtsgvel az albbi esemnyeket: A : Mindegyik goly fehr, B : Legalbb egy goly fehr, C : Pontosan egy goly fehr, D : Mindegyik goly ugyanolyan szn. Megolds:

A = A1A2 An B = An1 + A2 + + An P Q C = Ai Aj i=1 n

i6=j

Q Qn D = Ai + A i. i=1

i=1

I.5.4.2Feladat: tetsz leges ; ; Bizonytsa 2 ; ; be, hogy 2 A B esemnyekre 2 ; ;

+ P AB + P A B 0 25! ;AB + P ;AB + P ;A B = 1: Legyen P (AB ) =

Megolds: P ( AB )+ P ; ; = z + 0 25 P ;A B = v + 0 25: Mivel x + 0 25 P AB = y + 0 25 P AB x + y + z + v = 0 ) (x + 0 25)2 + (y + 0 25)2 + (z + 0 25)2 + (v + 0 25)2 = x2 + y2 + z2 + v2 + x+y+2 z+v + 0 25 0 25: (P (AB )) + P AB

I.5.5. Feladat: Ketten sakkoznak. Az A esemny akkor kvetkezik be,

ha a vilgossal jtsz nyer, a B esemny akkor, ha a stttel jtsz msik, reminl pedig a C esemny kvetkezik be. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: a. AB + A B

26


b. A B c. A + C ? Megolds: a. s b. a C esemnyt jelenti, c. B azaz nem a stttel jtsz jtkos nyer.

I.5.6. Feladat: Egy cltbla tz koncentrikus krb l ll, s a sugarakra fennll az R1 < R2 < < R10 relci. Ak azt az esemnyt jelenti, hogy egy lvs az Rk sugar krbe esik. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: B = A1 + A3 + A6 C = A2A4A6A8 D = (A1 + A3) A6! Megolds: B = A6 C = A2 D = A3:

I.5.7. Feladat: Tegyk fel, hogy;A B12 valsznsg esemnyek. Mu-

tassuk meg, hogy ekkor P (AB ) = P AB !

Megolds:

A B = A + B ) P;(A + B) = P (A);+ P(B ) ; P (AB ) = 1 ; P (AB ) P (A + B ) = 1 ; P A + B = 1 ; P A B ) llts. ; + AB = P (A) + P (B ) ; I.5.8. Feladat: Bizonytsa be, hogy P AB 2P (AB )! ; + AB = P ;AB

+ P ;AB = P (A) ; P (AB ) + Megolds: P AB P (B ) ; P (AB ).

I.5.9. Feladat: Ha az A s B esemnyek kzl az egyik felttlenl bekvetkezik, P (A j B ) = 23 P (B j A) = 13 , mennyi a P(A) s P(B ) valsznsg? Megolds: P(A + B ) = 1 P(AB ) = 32 P(B ) = 13 P(A), gy 1 = P(A+B ) = P(A)+P(B );P(AB ) = P(A)+0 5P(A); 31 P(A) = 76 P(A), azaz P(A) = 67 s P(B ) = 37 : I.5.10. Feladat: Legyen P(A) = 23 P (A j B ) = 32 P (B j A) = 31 : Hatrozza meg a P(A + B ) s P(A j B ) valsznsgeket! Megolds: P(AB ) = P(A)P(B jA) = 2=9 P(B ) = P(AB )=P(AjB ) = 1=3, gy P(A + B ) = 2=3 + 1=3 ; 2=9 = 7=9. P(A j B ) = P(A B )=P(B ) = (1 ; P(A + B )) = (1 ; P(B )) = 31 :

I.5


27

I.5.11. Feladat: (De Mr lovag feladvnya)

Melyik esemnynek nagyobb a valsznsge: hogy egy kockval ngyszer dobva legalbb egyszer hatost dobunk (A), vagy annak, hogy kt kockval huszonngyszer dobva legalbb egyszer kt hatosunk lesz (B )? Megolds: Kt klnbz valsznsgi mez r l van sz. Az els ben egy szablyos kockval ngyszer dobunk. Az sszes elemi esemnyek szma n =64: A vizsglt A esemny ellentettje az az esemny, hogy egyszer sem dobunk hatost. ;Ilyen eset sszesen 54 lehet, vagyis az ellentett esemny valszn ; ; 4 5 5 4 sge: P A = 6 : gy az A esemny valsznsge: 1 ; 6 0 5177472: A msodik vizsglt esemny egy egszen ms ksrlethez s esemnytrhez tartozik. Most a vletlen ksrlet az, hogy kt szablyos kockval dobunk 24szer. Az sszes elemi esemny most sokkal tbb: 3624. A msodik esemny ellentettje most az, hogy a dobssorozatban egyszer sem dobunk dupln ; 24 35 hatost. Ennek a valsznsge 36 . A msodik esemny valsznsge gy ; 35 P(B ) = 1 ; 36 24 0 4914049: : : Lthat, hogy az A esemny valsznsge a nagyobb. Megjegyzs : A feladatot De Mr lovag adta fel Blaise Pascal francia matematikusnak, aki ezen feladat kapcsn elkezdett vizsgldsai nyomn jutott el a valsznsgszmts els komoly eredmnyeihez. A feladatban egybknt els pillantsra az tnik fel, hogy mindkt esemny esetben a dobsok szmnak s a lehetsges kimenetelek szmnak arnya azonos: Anl 4 : 6, a B -nl 24 : 36.

I.5.12. Feladat: Egy urnbl, ahol fehr s fekete golyk vannak, vlet-

lenszeren kivesznk visszatevssel kt golyt. Bizonytsuk be, hogy annak a valsznsge, hogy a golyk ugyanolyan sznek, nem lehet kisebb mint 0 5.

Megolds: Legyen a fehr golyk szma n, a feketk m (n m 1). Ekkor a vletlen ksrlet elemi esemnyeinek szma 2(n +2 m)2 a kedvez esetek pedig n2 + m2: A keresett valsznsg: p = (nn++mm)2 . Mivel (n ; m)2 0 ) 2n2 + 2m2 n2 + 2nm + m2 ) p 0 5.

I.5.13. Feladat: (Plya-fle urnamodell)

Egy urna r darab fekete s s darab fehr golyt tartalmaz. Vletlenszeren kihzunk egy golyt. A kihzott golyt s mg plusz c darab ugyanolyan szn golyt visszatesznk az urnba. Mennyi a valsznsge annak, hogy

28


az n-edik hzs utn a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a fehr golyt? (a + b = n). Megolds: Pl. annak az esemnynek a valsznsge, hogy az els a hzskor mindig fekete s az utols b hzskor pedig csupa fehr golyt foc)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . gunk hzni: r(r+c()(r+r+2 s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c) De minden ms olyan hzssorozatnak, ahol a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a;fehr golyt is ugyanekkora a valsznsge. A klnbz kimenetelek n szma a keresett valsznsg: ;n r(r+c)(ar+2gy c)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . (r+s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c) a

I.5.14. Feladat: Ha egy szablyos pnzrmt n-szer feldobunk, mennyi

a valsznsge, hogy k-val tbbszr fogunk fejet kapni, mint rst? (0 k n).

Megolds: Ha a fejdobsok szmt f , az rsokt i jelli, fenn kell llnia, hogy f + i = n s f ; i = k. Innen kvetkezik, hogy 2f = n + k s 2i = n ; k, vagyis n s k paritsnak meg kell egyeznie. Annak valsznsge, hogy egy ; ; n ; n ; 1 n n 1 n hosszsg dobssorozatban ppen f fejet dobunk f 2 = n+2 k 2 : ; Ugyanis,; minden n hosszsg sorozat egyformn 12 n valsznsg, s ezek kztt nf olyan klnbz dobssorozat lehet, ahol a fejek szma ppen f (kedvez esetek).

I.5.15. Feladat: Egy minden oldaln befestett fakockt a lapokkal prhuzamos skokban 1000 azonos mret kis kockra frszelnek szt. A kapott kis kockkbl vletlenszeren kivlasztunk egyet. Mennyi a valsznsge, hogy a kocknak ppen k oldala festett? (0 k 3).

Megolds: &sszes eset n = 1000. Kedvez esetek k = 0-nl 83 ( a bels 8 8 8 kisngyzetben lv mindegyik rszkocka j), k = 1-nl 6 64 (mindegyik lapon a bels 8 8-as ngyzethez tartozan), k = 2-nl 12 8 (minden len van 8 ilyen kocka) s vgl k = 3-nl 8 (a cscsok nl lehet ilyen eset).

I.5.16. Feladat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Visszat-

evssel 11-szer hzva, a kihzott betket sorban egy paprra felrva, mennyi a valsznsge, hogy a kapott szbl legfeljebb kt bett felcserlve ppen a STATISZTIKA sz jn ki?

I.5

29


Az sszes eset n = 2611 kedvez esetek szma k = 1 + ;3 Megolds: ; 2 2 ; 3 2 = 50 (az azonos betk egyms kzti cserit le kell vonni).

;11 ; 2

I.5.17. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a valsz-

nsge, hogy a fejdobsok szma pratlan lesz?

Megolds: A valsznsg ppen 0 5. Ugyanis, ha tekintnk egy olyan sorozatot, amelyben a fejek szma pratlan, akkor ha az els dobst kicserlnnk az ellenkez jre, olyan sorozatot kapunk, melyben a fejek szma mr pros lesz. Azaz a pros s a pratlan fejdobsos sorozatok kztt klcsnsen egy-egyrtelm lekpezs hozhat ltre, vagyis mindegyikk ugyanolyan valszn.

I.5.18. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a valsz-

nsge, hogy a. el szr az n-edikre jn fej? b. ugyanannyi fejet dobunk, mint rst? c. pontosan kt fejet dobunk? d. legalbb kt fejet dobunk?

;

Megolds: a: 12 n, b: 0, ha n pratlan s ;n; 1 n , d: 1 ; ; 1 n ; n ; 1 n . 2 2 2 2

; nn ; 1 n , ha n pros, 2

2

c:

I.5.19. Feladat: Egy kalapban hrom cdula van, amelyekre az 1 2 3 szmjegyek vannak felrva. Vletlenszeren egyesvel kihzzuk a cdulkat. Mennyi a valsznsge annak, hogy a hzskor lesz olyan cdula, amelyikre ppen az a szm van felrva, ahnyadikknt kihztuk azt? Megolds: Az sszes eset n = 3! = 6. Ezek kztt a nem kedvez eset csak kett van: 2 3 1 s 3 1 2. A keresett valsznsg: 2=3.

I.5.20. Feladat: Feldobunk hrom szablyos pnzrmt. Mennyi a va-

lsznsge az A B C esemnyeknek, ahol A: legalbb kt rmvel fejet dobunk, B : pontosan kt rmvel fejet dobunk, C : legfeljebb kt rmvel fejet dobunk?

30


Megolds: ;;3 + ;3; 1 3 = 0 5 P(A) = P; (vagy kett , vagy hrom fejet dobunk) = 2 2 3 ; 3 3 3 1 P(B ) = 2 2 = 8 P(C ) = P(nem hrom fejet dobunk) = ; 3 7 1 1 ; P(hrom fejet dobunk) = 1 ; 2 = 8 :

I.5.21. Feladat: A 90=5 lotthzs el tt mennyi a valsznsge, hogy

k = 1 2 3 4 5 tallatunk lesz? ; Megolds: Az sszes lehetsge lotthzsok szma n = 905 = 43949268, a kedvez esetek szma ;5;85, k = 1 tallatnl: ; ; 1 4 k = 2-nl ;52;853, k = 3-nl ; 53;852, k = 4-nl 54 851 , ; ; s vgl k = 5-nl 55 850 = 1: I.5.22. Feladat: Egy urnban fehr s fekete golyk vannak, melyeket egyms utn visszatevs nlkl kihzunk. Az A vagy a B esemnynek nagyobb-e a valsznsge, ahol A: az els goly fehr, s B : az utols goly fehr? Megolds: Ha N a golyk szma, ebb l K a fehrek, akkor P (A) = K(N ;1)(NN! ;2)1 = KN s P (B ) = (N ;1)(NN;! 2)1K = NK , azaz a kt esemny ugyanolyan valsznsg. I.5.23. Feladat: Ha n egyforma ldba elhelyeznk n egyforma golyt gy, hogy brmely ldba ugyanolyan valsznsggel tesszk brmelyik golyt, mennyi a valsznsge annak, hogy mindegyik ldban lesz goly? Megolds: &sszes eset nn , a kedvez esetek szma pedig: n!. I.5.24. Feladat: Egy csomag 52 lapos francia krtybl 13 lapot tallomra visszatevs nlkl kihzunk. Mennyi a valsznsge annak, hogy a. a tre kirly a kihzott lapok kztt lesz? b. pontosan kt tre lesz a leosztott lapok kzt? c. a tre kirly s a tre sz a kihzott lapok kzt van? d. van tre a leosztott lapok kztt?

I.5


31

51 13 39 (5011) d: 1 ; (3913) : 11) Megolds: a: ((1252)) b: ( 2()( c: 52 (5213) (5213) 13 13)

I.5.25. Feladat: Legalbb hny szablyos pnzdarabot kell feldobni ah-

hoz, hogy 90%-nl nagyobb legyen a valsznsge annak, hogy van kzttk fej? Megolds: P (nem dobunk fejet) = 1 ; 21n

0 9 ) n 4:

I.5.26. Feladat: Egy szrakozott polgr elfelejtette bankkrtyjnak sze-

mlyi azonost (PIN) kdjt, csak abban biztos, hogy a ngy szmjegy kztt volt pontosan kt hrmas, s az els jegy biztosan nem a nulla volt. Ha tz msodpercenknt bet egy lehetsges varicit, akkor mennyi az eslye annak, hogy egy rn bell eltallja a helyes azonost szmot? Megolds: Az sszes lehetsges varicik szma: 389+392 = 459: Ennek betshez szksges id : 4590 msodperc. Egy rban 3600 msodperc van, gy a valsznsg: p = 360 459 0 71:

I.5.27. Feladat: Egy rmt n-szer feldobunk, a fej valsznsge p.

Jelljk pn -nel annak valsznsgt, hogy az n dobs sorn pros szm fejet dobtunk. Mennyi pn ? Megolds: pn = (1 ; p) pn;1 + p (1 ; pn;1 ) p0 = 1: pn = pn;1 (1 ; 2p) + p = pn;2 (1 ; 2p)2 + p (1 ; 2p) + p = nP ;1 = = p0 (1 ; 2p)n + p (1 ; 2p)i = 12 (1 + (1 ; 2p)n) : i=0 Ha az rme szablyos, pn = 0 5:

I.5.28. Feladat: Ha az egysgngyzetben vletlenszeren kivlasztunk egy P (x y) pontot, akkor mennyi a valsznsge, hogy az a tglalap, melynek az orig s P az ellenttes cscsai olyan lesz, hogy a kerlete kisebb 2-nl, a terlete pedig ugyanakkor kisebb lesz 0 16-nl? Megolds: most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az brn besatrozott terletnek felel meg:

32


A besatrozott terlet nagysga:

R

08 02

016 dx + 0 2 = 0 42: x

I.5.29. Feladat: (A Buon-t problma, 1777.)

Egy szobban egymstl d tvolsgban prhuzamosan padlrsek futnak. Leejtve egy s < d hosszsg tt, mekkora a valsznsge, hogy a t ppen egy padlrst fog metszeni? Megolds: A t helyzett egyrtelmen a felez pontjnak a fels padlrst l vett y tvolsgval s a padlrsek irnyval bezrt szgvel jellemezzk. Azokkal a krlmnyekkel, hogy melyik kt rs ltal meghatrozott svba esik a kzppont, s hogy a prhuzamosokra mer leges faltl milyen messze van a kzppont nem foglalkozunk, mert a t metszi a padlrst esemny bekvetkezsre ezek nincsenek hatssal.

Nyilvn 0 y d s 0 . A t leejtse utn y s egyrtelmen meghatrozhat, vagyis a vletlen ksrlet elemi esemnyei azon (y ) pontprok, melyek elemei a 0 d] s 0 ] intervallumok ltal meghatrozott tglalapnak. (Ez a tglalap az esemnytr). Metszs egyszerre csak egy padlrsnl kvetkezhet be, mert s < d. A metszs csak akkor kvetkezhet

I.5


33

be, ha 0 y 2s sin , vagy ha (d ; y) s2 sin teljesl. A feltteleknek megfelel (y ) pontprok tartomnyt az albbi brn besatroztuk:

R

A stttett terlet nagysga T = 2 2s sin d = s ; cos ]0 = 2s a 0 tglalap terlete pedig d . 2s . gy a keresett valsznsg: P (a t metszi a padlrst) = d Megjegyzs : Mivel a valsznsg kapcsolatos -vel, lehet sg van statisztikus eszkzkkel a becslsre. Ha nagyon sokszor vgrehajtjuk a vletlen ksrletet, s szmoljuk a metszsek bekvetkezst, azaz a vizsglt esemny gyakorisgt, akkor ezt a ksrletek szmval elosztva (relatv gyakorisg) a fenti valsznsget jl lehet kzelteni. Ebb l -t kifejezve kapjuk a kzeltst. 1885-ben Stephan Smith angol matematikus 3200-szer vgrehajtva a ksrletet, -re 3 1553 -t kapott.

I.5.30. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgn-

gyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Tekintve a p(x) = ax2 ; 2bx +1 polinomot, mekkora a valsznsge annak, hogy a p(x) = 0 egyenletnek van vals gyke? Megolds: Egy polinomnak akkor van vals gyke, ha a diszkriminnsa pozitv, azaz D = 4b2 ; 4a 0: Innen kvetkezik, hogy a vletlenszeren kivlasztott pont koordinti kztt fenn kell llnia a b2 a relcinak. Ennek megfelel tartomnyt az egysgngyzetben bestttettk:

34


A bestttett tartomny terlete megegyezik a keresett valsznsggel, mivel az egysgngyzet terlete 1. R1 gy P (van vals gyk) = x2 dx = 31 : 0

I.5.31. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgn-

gyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Mekkora a valsznsge annak, hogy a pont kzelebb van a ngyzet egy oldalhoz, mint egy tljhoz? Megolds: Egymst metsz egyenesekt l egyenl tvolsgra fekv pontok mrtani helye az egyenesek szgnek felez egyenese. Az oldalegyenesek s az tl egyeneseinek szgfelez i az oldalegyenesekkel 22 5 -os szget zrnak be. A vizsglt esemny pontjai ezrt az oldalak s a szgfelez k ltal hatrolt tartomnyba esnek:

Az brn jellt magassgvonal m = 21 tg 22 5 : A bestttett terlet most is a keresett valsznsggel egyezik meg: p P (a pont kzelebb van az oldalhoz) = T = 4 m21 = tg 22 5 = 2 ; 1:

I.5.32. Feladat: Az egysgintervallumban vletlenszeren kijellve kt pontot, mekkora a valsznsge, hogy a keletkez hrom szakaszbl hromszg szerkeszthet ?

I.5


35

Megolds: Jelljk a kt pontnak a 0-tl vett tvolsgait rendre x-el s y-nal. Az (x y) pr ilyenkor egy pontot hatroz meg az egysgngyzetben, ami teht most is a vletlen ksrlethez tartoz esemnytr. A hromszg szerkesztshez a keletkez hrom szakasz a b c hosszainak ki kell elgtenie egyidejleg az a + b c, a + c b s b + c a egyenl tlensgeket. Az x < y esetben a hrom szakasz az a = x b = y ; x s c = 1 ; y. gy a hromszg szerkeszthet sge az albbi egyenl tlensgek egyidej fennllst kveteli meg x y-tl:

x + (y ; x) 1 ; y () y 0 5 x + (1 ; y) y ; x () y x + 0 5 (y ; x) + (1 ; y) x () x 0 5: Az y x esetben a fenti egyenl tlensgeknek a x 0 5 x;0 5 y s y 0:5 rendszer fog megfelelni. A kt kritriumrendszerhez tartoz tartomnyt bestttettk az egysgngyzetben:

gy a keresett valsznsg 0 25 lesz.

I.5.33. Feladat: Egy szobban egymstl d tvolsgban prhuzamosan

padlrsek futnak. Leejtve egy s < d tmr j pnzdarabot, mennyi a valsznsge, hogy a pnz ppen egy padldeszka belsejbe esik, azaz nem metszi a padlrst?

36


Megolds: A pnz kzppontjnak s=2-nl nagyobb tvolsgra kell lennie mindkt padlrst l, gy a valsznsg p = 1 ; s=d.

I.5.34. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padlzatra leejtnk egy s = 3 cm tmr j pnzdarabot. a. Mennyi a valsznsge, hogy a pnz teljes terjedelmvelegy ngyzet belsejbe fog esni? b. Mennyi a valsznsge, hogy hsszor vgrehajtva a ksrletet, az esemny ppen tszr kvetkezik be? Megolds: a. Ahhoz, hogy a pnzdarab benne legyen a ngyzetben, a pnz kzppontjnak a bels 7 cm oldalhosszsg ngyzetbe ; kell esnie, gy a valsznsg p = 0 49. b. Az el z p valsznsggel: 205 p5 (1 ; p)15 kplettel szmolhatjuk ki.

I.5.35. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padlzatra leejtnk egy s = 3 cm hossz tt. Mennyi a valsznsge, hogy a t teljes egszben egy ngyzet belsejbe kerl? Megolds: A keresett valsznsg p = 1 ; 4sdd2;s2 : Ha A azt az esemnyt jelenti, hogy a t a vzszintes oldalt metszi, B pedig azt, hogy a t fgg leges oldalt keresztez, akkor meghatrozand a P(A + B ) valsznsg. Poincare ttelb l: P(A + B ) = P(A) + P(B ) ; P(AB ). A Buon-t problmnl 2s Az AB szorzatesemny valsznsge lttuk, hogy P (A) = P (B ) = d

P (AB ) =

4 d2

R s Rsin s jcos R j dxdyd = s : A kpletben x s y a t kzpd 2

0

2

0

0

2 2

pontjnak koordinti, pedig a t egyenesnek a vzszintessel bezrt szge. A P(AB ) valsznsg a kt oldalt egyszerre metsz telhelyezkedsekhez tartoz (x y ) pontok alkotta trrsz trfogatnak s a d d hasb trfogatnak arnya.

I.5


37

I.5.36. Feladat: Egy a = 1 b = 2 oldalhosszsg tglalapon kivlasz-

tunk egy pontot. Mennyi a valsznsge, hogy a pont kzelebb van egy cscshoz, mint a kzpponthoz? Megolds: Kt pont kztt egyenl tvolsgra lv pontok mrtani helye a pontokat sszekt szakasz felez mer legese. gy a keresett esemnynek megfelel tartomnyt az albbi brn bestttssel szemlltethetjk:

A kzps (fehr) alakzat kt szimmetrikus trapzbl ll. Mivel a trapzok kzpvonalai az tlk meghatrozta hromszg kzpvonalval egyeznek meg, a hosszuk 1. A trapz magassg 0 5. gy a fehr alakzat terlete ppen 1 lesz. Ezrt a bestttett alakzat terlete is 1, gy a keresett valsznsg 0 5.

I.5.37. Feladat: Ketten megbeszlik, hogy 10 s 11 ra kztt egy meg-

hatrozott helyen tallkoznak. Megllapods szerint, aki korbban rkezik 20 percet vr a msikra, s csak azutn tvozik. Mennyi a tallkozs valsznsge, ha mindketten vletlenszeren rkeznek? Megolds: Jellje x az egyik, y a msik ember vletlen megrkezsnek idejt. Az (x y) pr egy vletlen pontot hatroz meg az egysgngyzetben. A tallkozshoz fenn kell llnia a jx ; yj < 31 relcinak, melyet kielgt

pontok bestttve lthatk az albbi brn:

Az brrl kzvetlenl leolvashat, hogy a keresett valsznsg: 1 ; 94 = 59 :

38


I.5.38. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszon tallomra vlasz-

tunk kt pontot. Mennyi a valsznsge annak, hogy ezek kzelebb vannak egymshoz, mint brmelyik vgponthoz? Megolds: A vizsglt esemnyhez tartoz pontok (x y) koordintira fennll x < y esetben, hogy y ; x < 1 ; y s y ; x < x. (Az y < x esetben ezek a kritriumok x ; y < 1 ; x s x ; y < y lennnek.) Az egysgngyzeten bejellve a relciknak eleget tev pontok alkotta tartomnyt:

Ezek alapjn a keresett valsznsg: 13 :

I.5.39. Feladat: Egy temeletes hzban az emeletek kztt 6 m tvol-

sg van, a fldszint s az els emelet kztt 8 m. Ha a liftajt 2 m, mennyi a valsznsge annak, hogy a lift megakadsakor az ajtt teljes egszben fal takarja? Megolds: A lift teljesen a fal mgtti takarsban van a fldszinten 4 m-en keresztl, az 1: 2: 3. s 4. emeleten 2-2 m-en t. A lift ssztja 12 : 8 + 4 6 + 2 = 34 m. gy a keresett valsznsg: p = 34

I.5.40. Feladat: Az ABCD egysgngyzeten vletlenszeren kivlasztva

egy pontot, mennyi a valsznsge, hogy a pont kzelebb lesz a ngyzet kzppontjhoz, mint az AB oldalhoz? Megolds: Egy ponttl s egy egyenest l azonos tvolsgban fekv pontok mrtani helye a skban a parabola. gy a ngyzet pontjai kzl azok lesznek a kzpponthoz kzelebb, mint az alapon fekv AB oldalhoz, amelyek felette vannak azon parabola vonalnak, melynek a kzppont a fkusza, s az AB vonala a direktrisze. Ha AB az x tengelyre esik, s az A pont ppen az

I.5


39

orig, akkor a parabola egyenlete: y = (x ; 0 5)2 + 0 25: A keresett terlet: R1 ; 1 ; (x ; 0 5)2 + 0 25 dx = 32 : 0

I.5.41. Feladat: Egy egysgnyi hossz szakaszt eltrnk, majd a hossz-

abbik rszt jbl eltrjk. Mennyi a valsznsge, hogy a keletkez hrom szakaszbl lehet hromszget szerkeszteni? Megolds: Jellje az els trs utn keletkezett hosszabbik szakasz hosszt x (0 5 x 1) : A msodik trsnl ezt az x hosszsg szakaszt trjk kett: xy s (1 ; y) x hossz szakaszok keletkeznek, ahol 0 y 1: A hrom szakaszhossz most a = xy b = (1 ; y) x s 1 ; x: Hromszg akkor szerkeszthet , ha xy + (1 ; y) x 1 ; x () x 0 5 xy +1 ; x (1 ; y) x () 1 ; 1 1 els felttel trivilisan 2x y (1 ; y ) x +1 ; x xy () 2x y:1 Miutn az ; 1 1 teljesl, a szerkeszthet sg felttele: 1 ; 2x y 2x x 2 2 1 y 2 (0 1) : A feltteleknek megfelel tartomny stttett az albbi brn:

40


R1 ;

;

R1 ;

A besatrozott terlet nagysga: T = 21x ; 1 ; 21x dx = x1 ; 1 dx = 05 05 ln 2 ; 12 a biztos esemnynek megfelel tglalap terlete: 0 5 gy a keresett valsznsg: p = 2 (ln 2 ; 0 5) = ln 4e :

I.5.42. Feladat: Szmoljuk ki annak feltteles valsznsgt, hogy kt

kockval dobva mindkt rtk pros feltve, hogy sszegk legalbb tz!

Megolds: Legyen A: Kt szablyos kockval dobva mindkt rtk pros lesz s B : A dobott rtkek sszege nem kisebb mint 10. P(B ) = P(Az sszeg 10 vagy 11 vagy 12)= P(A dobsok eredmnye (6 4),(4 6),(5 5) vagy (5 6) (6 5) vagy (6 6))= 16 . P(A) = 3363 = 41 : P(AB ) = P(A dobsok eredmnye (6 4) (4 6) vagy (6 6))= 363 = 121 . A dencit hasznlva P(A j ) 1 B ) = PP(AB (B ) = 2 . Lthatjuk, hogy a feltteles valsznsg most nagyobb, mint a felttel nlkli.

I.5.43. Feladat: A 32 lapos magyar krtybl hrom lapot hzunk egyms utn visszatevs nlkl. Mennyi a valsznsge annak, hogy az els

kihzott lap hetes, a msodik kilences, a harmadik ismt hetes? (2) Megolds: Legyenek A(1) 7 : Az els nek hzott lap hetes, A9 : A msodiknak kihzott lap 9-es, A(3) 7 : A harmadiknak hzott lap hetes. A kere(2) (3) sett valsznsget a a szorzsi szablybl szmolhatjuk: P(A(1) 7 A9 A7 ) = (2) (1) (3) (1) (2) P(A(1) 7 ) P(A9 jA7 ) P(A7 jA7 A9 ). Az egyes tnyez ket egyszeren (2) (1) 4 1 4 meghatrozhatjuk: P(A(1) 7 ) = 32 = 8 P(A9 jA7 ) = 31 (1) (2) 3 1 1 4 1 1 P(A(3) 7 jA7 A9 ) = 30 = 10 . gy a keresett valsznsg 8 31 10 = 610 .

I.5.44. Feladat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Az els jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) A msodik jtkhoz ismt tallomra vesznk ki hrom labdt. Mennyi a valsznsge annak, hogy az utbb kivett labdk mind mg hasznlatlanok lesznek? Megolds: Vezessk be az albbi esemnyeket: Ai : Az els jtkhoz ppen i db hasznlatlan labdt vettnk ki, i = 0 1 2 3. B : A msodik jtszmhoz hrom hasznlatlant vettnk ki.

I.5


41

Lthat, hogy az Ai esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak. A B esemnynek az Ai esemnyekre vonatkoz feltteles valsznsgei: 9;i ( ) P(B j Ai) = (1533 ) (i = 0 1 2 3): mg az Ai 9esemnyek valsznsgei: 6 P(Ai) = (i)((153);i) (i = 0 1 2 3): 3 A teljes valsznsg ttelt alkalmazva: P3 P (B ) = P (B j Ai) P (Ai) 0 045: i=0

I.5.45. Feladat: Hat doboz mindegyikben hat-hat darab goly van, melyek kztt rendre 1 2 3 4 5 6 darab fehr szn tallhat (a tbbi fekete). Egy dobozt vletlenszeren kivlasztunk, majd abbl visszatevssel hrom golyt kihzunk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mindhrom goly fehr szn, mennyi annak a valsznsge, hogy a csupa fehr golyt tartalmaz dobozt vlasztottuk ki? Megolds: Legyenek Ai -k a kvetkez esemnyek: Azt a dobozt vlasztottuk, amelyikben i db fehr goly van, i = 1 2 3 4 5 6. Nyilvnval, hogy ezek az esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, s mindegyikk bekvetkezse egyformn 16 valsznsg. Legyen tovbb B az az esemny, ; hogy Visszatevssel hzva mindegyik goly szne fehr. P(B jAi) = 6i 3 i = 1 2 3 4 5 6. A Bayes-ttelt alkalmazva: P(A6 j B ) = P6P(BjA6)P(A6 ) = 216 441 0 49: i=1

P(B jAi)P(Ai )

I.5.46. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha P(A) 0 8 P(b) 0 8, akkor

P(AB ) 0 6!

Megolds: 0 8+0 8 ; P(AB ) P(A + B ) = P(A)+ P(B ) ; P(AB ) 1 ). P(AB ) 0 6 I.5.47. Feladat: Dobjunk kt kockval! Mondjunk olyan esemnyeket ezzel a ksrlettel kapcsolatban, amelyek fggetlenek, s olyanokat, amelyek nem fggetlenek egymstl! Megolds: Pl. A: Az egyik kockn kettest dobunk, B : A msik kockn hrmast dobunk, C : Van hatos a kt dobott rtk kztt, D: A dobott rtkek nem egyenl ek. Az A s B fggetlenek, C s D nem, hiszen 55 . P(CD) = 1036 6= P(C )P(D) = 216

42


I.5.48. Feladat: Ha P(AjB ) = 0 7, P(B jA) = 0 6 P(A j B ) = 0 3,

akkor mennyi P(A)?

Megolds: P(AB ) = 0 7P(B ) = 0 6P(A) ) P(B ) = 6=7P(A): Msrszt P(A) = P(AB )+ P(AB ) = 0 6P(A)+0 3P(B ) = 0 6P(A)+0 3 ; 0 3P(B ) = 24=70P(A) + 0 3, ahonnan P(A) = 21=46:

I.5.49. Feladat: Hrom szablyos kockval dobunk. Mennyi a valsz-

nsge annak, hogy van hatos rtknk, ha tudjuk, hogy mindegyik dobs pros lett?

Megolds: Ha B : Mindegyik dobs pros, A: Van hatos dobs. 3 3 3 1 1 2 19 : gy P (A j B ) =

P(B ) = 63 = 8 , P(AB ) = P(B ) ; P(AB ) = 8 ; 63 = 216 P(AB ) = 19 : P(B ) 27

I.5.50. Feladat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly van. vletlenszeren kihznak egy golyt. A kihzott golyt s mg ugyanolyan sznb l c darabot visszatesznek az urnba. A ksrlet eredmnyt nem ismerve, msodszorra mi hzunk az urnbl. Feltve, hogy a msodik hzskor fekete golyt hzunk, mennyi a valsznsge annak, hogy az els hzskor is fekete volt az eredmny? Megolds: A : Az els hzs fekete volt, B : A msodik goly fekete. A)P(A) A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+ P(B jA )P(A ) , ahol P(B jA) = b+c , P( B jA ) = b , P(A) = b s P(A ) = r . gy P(AjB ) = b+c . b+r+c b+r+c b+r b+r b+r+c

I.5.51. Feladat: Hrom szablyos kockval dobunk. Mennyi a valsz-

nsge annak, hogy a dobsok kztt van hatos, ha mindegyik kockn klnbz rtk van? Megolds: Ha B : Mindhrom kockn ms-ms eredmny van, A: Az 654 20 egyik kockn hatos van, akkor P(AB ) = 36534 = 10 36 , P(B ) = 63 = 36 , gy P(AjB ) = 0 5.

I.5.52. Feladat: Egy ldban 100 darab dobkocka van, melyek kzl 99 teljesen szablyos, egy pedig hamis olyan rtelemben, hogy vele mindig hatos dobhat csak. Ha vletlenszeren kivesznk egy kockt a ldbl s azzal tzszer dobva mindig hatost kapunk, mennyi a valsznsge, hogy ppen a hamis kockt vettk ki el z leg?

I.5


43

Megolds: Legyen A: A hamis kockt vlasztottuk ki, B : Tzszer dobva mindig hatost kapunk. A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+A)PP((BAj)A )P(A ) , ahol P(A) = 0 01, P(A ) = 0 99 P(B jA) = 1 P(B jA ) = 6110 : Behelyettestve: P(AjB ) 0 99999983:

I.5.53. Feladat: Kt bnz , x s y egymstl fggetlenl hazudnak, illetve mondanak igazat 2=3 illetve 1=3 valsznsggel. Feltve, hogy x azt lltja, hogy y hazudik, mennyi a valsznsge, hogy y igazat mond? Megolds: A: x azt lltja, hogy y hazudik, B : y igazat mond. P(AjB ) = P(;x hazudik) = 2=3 P(B ) = 1=3 P(AjB ) = P( x igazat mond)= 13 P B = 32 : A Bayes-ttelt alkalmazva: B )P(B ) 1 P(B jA) = P(AjB)PP((ABj)+ P(AjB )P(B ) = 2 :

I.5.54. Feladat: Kt urna kzl az egyikben n fekete s m fehr, a

msikban N fekete s M fehr goly van. Az els b l tallomra trakunk egyet a msodikba, majd onnan tallomra visszavesznk egyet. Megint az els b l hzva, mennyi a valsznsge a fehrnek? Megolds:

A1 : Az els urnbl fehret rakunk a msodikba, a msodikbl fehret rakunk vissza, A2 : Az els urnbl fehret rakunk a msodikba, a msodikbl fekett rakunk vissza, A3 : Az els urnbl fekett rakunk a msodikba, a msodikbl fehret rakunk vissza, A4 : Az els urnbl fekett rakunk a msodikba, a msodikbl fekett rakunk vissza, B : Harmadszorra az els rnbl fehret hzunk. A1 A2 A3 A4 teljes esemnyrendszer. A teljes valsznsg ttelb l: 4 P(B ) = P P(B jAi)P(Ai) = : : :. i=1

I.5.55. Feladat: Kt jtkos felvltva hz egy-egy golyt visszatevs

nlkl egy urnbl, amiben egy fehr s hrom fekete goly van. Az a jtkos nyer, amelyik el szr hz fehret. Mennyi a valsznsge, hogy az els nek hz jtkos fog nyerni?

44


Megolds: A: Az els hzs utn nyer a kezd jtkos, B : A harmadik hzs utn nyer a kezd jtkos, C : Nyer a kezd jtkos. Nyilvn: P(C ) = P(A) + P(B ) = 41 + 34 23 12 = 12 :

I.5.56. Feladat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X = 0) valsznsgeket! (i = 0 1 : : : 18). 19 , P(Y = ijX = 0) = 0, hai > 9. Megolds : P(X = 0) = 100 + i-t s 0-t hztunk) = 2 , ha i = 1 2 : : : 9. P(Y = ijX = 0) = P( 0-t s i-t hztunk P(X =0) 19 I.5.57. Feladat: Egy perzsa sah egyszer egy eltltnek azt mondta, hogy

tetszs szerint elhelyezhet 50 fehr s 50 fekete golyt kt egyforma vzba. Az egyikb l majd a sah kihz egy golyt, s ha az fehr, megkegyelmez. Ha viszont a kihzott goly fekete, vagy kiderl, hogy nem mindegyik goly volt a vzkba berakva, esetleg a kivlasztott vzban nem volt semmilyen goly, az tlet hall. Hogyan kell sztosztania az eltltnek a golykat, hogy a megkegyelmezs valsznsge maximlis legyen? Megolds: Az optimlis stratgia az, ha az egyik vzba egy fehr golyt tesznk, a msikba az sszes tbbit. Ekkor ttelt al; a teljes 0valsznsg 747 : Minden ms szkalmazva: P(A sah fehret hz) = 12 1 + 49 99 tosztsnl cskken ez a valsznsg. I.5.58. Feladat: A binris szimmetrikus csatorna egy olyan binris bemenet s binris kimenet csatorna, melynek minden bemenete p = 0 01 valsznsggel az ellenkez jre vlt a kimenetkor (q = 1 ; p). A 0 forrsbitet 000-val, az 1 forrsbitet 111-gyel kldjk t. A dekdol tbbsgi dntst hoz. Ha a 0 s 1 forrsbitek el fordulsnak egyarnt 0 5 a valsznsge, akkor adja meg a dekdols hibavalsznsgt! Megolds: P (1-est vesznk j 0-st adnak) = 3p2 q + p3 P (0-st vesznk j 1-est adnak) = 3p2q + p3. P (Hibzunk) = 21 (3p2q + p3 + 3p2q + p3) = 2 98 10;4 : I.5.1. Gyakorlat: Legyen A B 2 =. Adja meg az sszes olyan X 2 = esemnyt, melyre A X A B teljesl!

I.5

45


I.5.2. Gyakorlat: Legyen A B

legszkebb ;algebrt!

2 =.

Adja meg az A B -t tartalmaz

I.5.3. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 =. Bizonytsa be, hogy P (A1 A2 An) P (A1) + P (A2) + + P (An) ; (n ; 1). I.5.4. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn jP (AB ) ; P (AC )j P (B M C ) B M C $ B C + C B ! I.5.5. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn 1 ; 4 P (AB) ; P (A) P (B) 14 ! I.5.6. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn ; 1

P (AB ) P AB 4 ! I.5.7. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn P (A M B ) = P (A) + P (B ) ; 2P (AB )! I.5.8. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (AB ) + P (AC ) ; P (BC ) P (A)! I.5.9. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A + B + C ) ; P (ABC ) P (B M C )! I.5.10. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A M B ) P (A M C ) + P (B M C )! I.5.11. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogyha P (A) = 0 9 s P (B ) = 0 8, akkor P (AB ) 0 7!

I.5.12. Gyakorlat: A K ksrlet abban ll, hogy vletlenszeren kiv-

lasztunk egy n elem permutcit. Jelentse Aij azt az esemnyt, amikor a kivlasztott permutciban az i-edik elem a j -edik helyen ll. Fejezze ki Aij k segtsgvel az albbi esemnyeket: A: az els elem a msodiktl balra ll, B : az els elem sorszma legfeljebb j .

I.5.13. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 = s A = P Ai. (lltsuk n

el A-t egymst kizr esemnyek sszegeknt!

i=1

46


I.5.14. Gyakorlat: Egy egyetemi vfolyamon a lnyok kzl 60-nak a

haja barna, 40-nek a haja s a szeme is barna, 110 lnynak a haja s a szeme kzl legalbb az egyik barna. Hny barnaszem lny van az vfolyamon?

I.5.15. Gyakorlat: Egy kvautomata 20 Ft-os rmkkel mkdik. Egy

tetsz leges 20 Ft-os rmt 0.98 valsznsggel fogad el. Az automata kijelz je mutatja, hogy mg 4 adag kv van benne. Ngyen llnak az automata el tt 1-1 20 Ft-os rmvel a kezkben, amikor odarkezem. Mekkora a valsznsge, hogy jut nekem a kvbl? Mekkora annak a valsznsge, hogy n iszom a 4 adag kzl az els t?

I.5.16. Gyakorlat: Melyik lottszm lesz a legnagyobb valsznsggel

a msodik legnagyobb kihzott szm?

I.5.17. Gyakorlat: Mennyi a valsznsge annak, hogy a kvetkez

heti lottszmok legnagyobbika kisebb lesz, mint a rkvetkez ht kihzott szmainak legkisebbike?

I.5.18. Gyakorlat: Mennyi a valsznsge annak, hogy a lottn a ki-

hzott t szm kzl nagysg szerint a kzps 50-nl kisebb?

I.5.19. Gyakorlat: Egy sakktbln tallomra elhelyeznk 8 bstyt. Meny-

nyi a valsznsge annak, hogy a bstyk nem tik egymst?

I.5.20. Gyakorlat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Vissza-

tevssel 8-szor kihzunk egy bett s lerjuk azt. Mennyi a valsznsge annak, hogy legfeljebb kt betcsere utn a lert szbl megkapjuk a DEBRECEN szt?

I.5.21. Gyakorlat: Egyszerre n szablyos dobkockval dobunk. Meny-

nyi a valsznsge annak, hogy a. az sszes kockval ugyanazt az rtket kapjuk? b. legalbb egy hatost dobunk? c. pontosan egy hatost dobunk?

I.5.22. Gyakorlat: Egy urnban a darab fehr s b darab fekete goly van. (a b 2). Visszatevs nlkl kivesznk kt golyt az urnbl. Mennyi a valsznsge annak, hogy

I.5


47

a. a kt goly azonos szn? b. a kt goly klnbz szn? I.5.23. Gyakorlat: Harminc szmozott golyt rakunk szt nyolc klnbz ldba. Az elhelyezskor brmelyik golyt ugyanakkora valsznsggel tehetnk brmelyik ldba. Keressk meg annak az elhelyezsnek a valsznsgt, amelynl hrom lda res, kett ben hrom goly van, kett ben hat s egyben 12 db goly kerl! I.5.24. Gyakorlat: Tekintsk az sszes olyan n hosszsg sorozatot, amelyek a 0 1 2 szmokbl llnak. Hatrozzuk meg annak a valsznsgt, hogy egy vletlenl vlasztott ilyen sorozat: a. 0-val kezd dik$ b. pontosan m + 2 db 0-t tartalmaz, melyek kzl kett a sorozat vgn van$ c. pontosan m db 1-est tartalmaz$ d. pontosan m0 db 0-t, m1 db 1-est s m2 db 2-est tartalmaz. I.5.25. Gyakorlat: Ketten pnzfeldobssal jtszanak. Andrs nyer, ha egy szablyos rme dobsi sorozatban hrom fej hamarabb kvetkezik, mint a fej-rs-fej sorozat. Viszont Bla a nyer , ha mindez fordtva trtnik, azaz a fej-rs-fej sorozat el bb jn, mint a fej-fej-fej. Egyenl ek a jtk nyersi eslyei? Milyen legyen a fej dobsnak p valsznsge, hogy a jtk fair legyen? I.5.26. Gyakorlat: Legyen A az az esemny, hogy lotthzsnl egyik kihzott szm sem nagyobb mint 50, s B pedig az az esemny, hogy mindegyik kihzott szm pros. Szmoljuk ki a P(A) P(B ) P(AB ) P(A + B ) valsznsgeket! I.5.27. Gyakorlat: Mennyi a valsznsge annak, hogy a lotthzsnl kihzott legnagyobb s legkisebb szm klnbsge ppen k? (4 k 89): I.5.28. Gyakorlat: Egy res tglalap alak szobban, melynek falai 10 s 5 mter hosszak, leejtnk egy golyt. Mennyi a valsznsge, hogy a goly egy olyan pontban fog megllni, amely kzelebb van a szoba egy sarkhoz, mint a szoba kzppontjhoz?

48


I.5.29. Gyakorlat: Egy 10cm oldalhosszsg ngyzetrcsos hlzatra

leejtnk egy 3cm tmr j kralak pnzdarabot. Mennyi a valsznsge, hogy a pnzdarab lefedi egy ngyzet cscst?

I.5.30. Gyakorlat: Egy 20 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padlza-

tra ledobunk egy 2 cm lhosszsg jtkkockt. Mennyi a valsznsge, hogy a kocka teljes terjedelmvel a padlzat egy ngyzetben lesz?

I.5.31. Gyakorlat: Mennyi a valsznsge, hogy egy egysgnyi szakaszt vletlenszeren hrom rszre trnk, a keletkez szakaszokbl hegyesszg hromszg szerkeszthet ? I.5.32. Gyakorlat: Az ABCD ngyzetben tallomra vlasztunk egy P

pontot. Mennyi a valsznsge, hogy P kzelebb lesz az AB oldalhoz, mint a ngyzet kzppontjhoz?

I.5.33. Gyakorlat: Egy d szlessg lcekb l ll padlzatra ledobunk

egy s = 2d hosszsg tt. Mennyi a valsznsge, hogy a t kt padlrst fog egyszerre metszeni?

I.5.34. Gyakorlat: Az egysgkr kerletn vletlenszeren kivlasztunk hrom pontot: A B s C -t. Mennyi a valsznsge, hogy a BAC szg nagyobb lesz 60 -nl? I.5.35. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl

kivlasztott pontja s p(x) = 13 x3 ; a2x + b egy harmadfok polinom. Mennyi a valsznsge, hogy p(x)-nek pontosan egy, illetve pontosan hrom vals gyke van?

I.5.36. Gyakorlat: Tallomra kivlasztunk egy P pontot az egysgkr kerletn, majd egy Q pontot a krlapon. Mennyi a valsznsge, hogy a QP szakasz hossza nagyobb mint 1? I.5.37. Gyakorlat: A (0 2) s (0 3) szakaszokon vlasztunk tallomra

egy-egy pontot, legyenek ezek x s y. Mennyi a valsznsge, hogy az x y s 1 hosszsg szakaszokbl szerkeszthet hromszg?

I.5.38. Gyakorlat: A 0 1] intervallumon tallomra kivlasztunk kt szmot. Mennyi a valsznsge, hogy az egyik szm tbb, mint ktszerese lesz a msiknak?

I.5


49

I.5.39. Gyakorlat: Vlasszunk ki egy X s Y pontot az egysginterval-

lumban! Tekintsk azt a tglalapot, melynek oldalhosszai X s Y . Mennyi a valsznsge, hogy a keletkez tglalap kerlete nagyobb, mint 2s terlete kisebb, mint 0 25?

I.5.40. Gyakorlat: Vegynk egy vletlen P = (a b) pontot az egysgn-

gyzetb l. Mennyi annak a valsznsge, hogy a p(x) = ax2 ; 2bx + 1 polinomnak nincs vals gyke?

I.5.41. Gyakorlat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly

van. vletlenszeren kihznak egy golyt. A kihzott golyt s mg ugyanolyan sznb l c darabot visszatesznek az urnba. Ezt megteszik egyms utn n-szer. Igazolja, hogy ezek utn, a fekete goly kihzsnak valsznsge b b+r !

I.5.42. Gyakorlat: Magyar krtyval huszonegyeznk. A krtya rtkei:

als=2, fels =3, kirly=4, hetes=7, nyolcas=8, kilences=9, tizes=10, sz=11. Mennyi a valsznsge, hogy 21-et hzunk, ha a 19-et elrtk az tdik hzs utn?

I.5.43. Gyakorlat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X > 0) valsznsgeket! (i = 0 1 : : : 18). I.5.44. Gyakorlat: El szr feldobunk egy szablyos rmt. Ha fej, egyszer, ha rs ktszer dobunk egy szablyos dobkockval. Mennyi a valsznsge, hogy lesz hatos? I.5.45. Gyakorlat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Hrom jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) Mennyi a valsznsge annak, hogy mindhrom kivtelhez 1 j s 2 hasznlt labda kerl a keznkbe? I.5.46. Gyakorlat: Egy szvegszerkeszt a karaktereket 7 bitbe kdolja,

s ezt egy paritsbittel egszti ki gy, hogy az 1-esek szma pros legyen.

50


Teszi ezt azrt, hogy pratlan paritssal szlelni tudja a hibzst. Tegyk fel, hogy nyolc bitet egy olyan csatornn kldi t, amely egy bitet 0 1 valsznsggel ront el. Milyen valsznsggel kapunk a kimeneten gy nyolc bitet, hogy az hibs, de mgsem tudjuk azt szlelni?

I.5.47. Gyakorlat: A vizsgzk 75%-a A szakos, 15%-a B szakos s

10%-a C szakos. Annak az esemnynek a valsznsge, hogy egy hallgat tst kap, az A szakosok esetben 0 4, a B szakosoknl 0 7 s a C szakosoknl 0 6. Ha egy szemlyr l tudjuk, hogy tsre vizsgzott, akkor milyen valsznsggel lehet A B illetve C szakos?

I.5.48. Gyakorlat: Hrom egyforma doboz kzl kett ben 2 piros, egy-

ben 1 piros s 1 fehr goly van. Vletlenszeren kivlasztunk egy dobozt, s abbl egy golyt. Ha ez piros, mennyi a valsznsge, hogy a dobozban marad goly szne fehr?

I.5.49. Gyakorlat: Egy szablyos kockval addig dobunk jra s jra,

amg el szr hatost nem kapunk. Mennyi a valsznsge, hogy ekzben pontosan 1 egyest dobunk?

I.5.50. Gyakorlat: Egyetlen szelvnnyel lottzok. Szmaim kztt a

40-es a kzps . Az albbi hrom esemny esetleges bekvetkezse kzl melyik nveli jobban az ts tallatom feltteles valsznsgt? A : az els

kihzott szm a 40-es, B : kihztk a 40-es szmot, C : a 40-es szm a kihzott szmok kztt a harmadik.

I.5.51. Gyakorlat: Egy szablyos dobkockval addig dobunk, amg tst

nem kapunk. Mennyi a valsznsge, hogy ezalatt nem dobunk hatost?

I.5.52. Gyakorlat: Hrom szablyos dobkockval dobunk! A: az sz-

szeg 7, B : mindegyik pros, C : van kzttk hrmas. Szmolja ki a P(A (B + C ))s a P((A + C )B ) valsznsgeket!

I.5.53. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy a Boole egyenl tlensg vgtelen

sok esemny esetn is fennll.(A folytonossgi ttelt hasznlja!)

II. fejezet A valszn sgi vltoz II.1. A valsznsgi vltoz fogalma A vals szmok rszhalmazai kzl, csak azokkal fogunk a tovbbiakban foglalkozni, amelyek intervallumok rendszerb l egyestssel, metszssel s komplemens-kpzssel el llthatk. Ezek az .n. Borel -mrhet halmazok, melynek fogalmt a II.1.2 denciban adjuk meg. A gyakorlatban minden pesz halmaz, gy a nylt, zrt, flig nylt, flig zrt intervallumok, az egyelem halmazok, a flegyenesek s a nylt s zrt vals rszhalmazok, valamint az egsz szmegyenes maga is Borel-mrhet ek. A kvetkez ttelben felhasznljuk a -algebra fogalmt, ami az = esemnyalgebra aximinl mr szerepelt.

II.1.1. \ Ttel: Ha <1 <2

akkor

8i

<3 : : : a V halmaz rszhalmazainak -algebri,

Bizonyts :

a.) Azrt igaz, mert V mindegyik tnyez -algebrban benne van, akkor a kzs rszben is benne kell, hogy legyen. b.) Ha egy A V rszhalmaz benne van a metszetben, az csak gy lehet, ha mindegyik komponens -algebrban is benne van. De mivel a komponensek -algebrk, bennk a komplemens halmaz is benne van, de akkor a metszetkben is benne van a V nA. 51

52

II. FEJEZET A valsznsgi vltoz

c.) Ha rszhalmazok egy rendszere benne van a metszetben, akkor minden komponensben benne van, de akkor az egyestsk is benne van minden komponensben, gy a metszetkben is. II.1.1. Den ci: Az A B C : : : V halmazrendszert tartalmaz szszes -algebra metszett # ami az el z ttel szerint maga is -algebra # a halmazrendszer ltal generlt -algebrnak nevezzk, s (A B C : : :)-val jelljk. II.1.2. Den ci: A balrl zrt, jobbrl nylt vals intervallumok ltal generlt -algebrt, Borel-fle -algebrnak nevezzk, s B-vel jelljk: B = (fa b) a b 2 Rg) : II.1.3. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez . Az X : ! R fggvnyt valszn sgi vltoz nak nevezzk, ha minden B 2 B esetn A = f! X (!) 2 B g 2 =, azaz a Borel-halmazok kpe az X lekpezsnl meggyelhet esemny lesz. Megjegyzs : Mrtkelmleti terminolgival, X mrhet fggvny. Lthat, hogy az X valsznsgi vltoz minden ! elemi esemnyhez egy vals szmot rendel. II.1.2. Ttel: Az fA A = f! X (!) 2 B g B 2 Bg esemnyrendszer -algebra, melyet az X ltal generlt -algebrnak neveznk, s (X )-el jellnk. Bizonyts : o 1 f! X (!) 2 Rg = , mert R 2B. 2o Ha A = f! X (!) 2 B g 2 (X ), akkor A = f! X (!) 2 R n B g is, hiszen RnB 2 B. ( ) 1 1 1 3o f! X (!) 2 Big = ! X (!) 2 Bi 2 (X ), hiszen Bi 2 B. i=1

II.1.1. Plda:

i=1

a.) Ha X az A 2 = esemny indiktor fggvnye, azaz ! 2 A , akkor (X ) = A A . X (!) = 10 ha ha ! 2= A

i=1

b.) Ha X (!) c, azaz a valsznsgi vltoz konstansfggvny, akkor (X ) = f g.

II.2

53

Az eloszlsfggvny fogalma

II.2. Az eloszlsfggvny fogalma

II.2.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez ,

X valsznsgi vltoz. Ekkor a QX : B ! 0 1 ] halmazfggvny, melynek dencija QX (B ) $ P(f! X (!) 2 B g) jel = P (X 2 B ) (B 2 B) az X valsznsgi vltoz eloszlsa.

II.2.1. Ttel: A QX halmazfggvny tulajdonsgai: a.) QX (R) = 1:

1

b.) Ha B1 B2 : : : Bn : : : diszjunkt Borel-halmazok, akkor QX ( Bi) = i=1

1 P QX (Bi). i=1

Megjegyzs : A QX kielgti a P valsznsg aximit. Bizonyts :

a.) QX (R) = P(f! X (!) 2 Rg) = P() = 1:

P1 1 S b.) QX Bi = P ! X (!) 2 Bi = P f! X (!) 2 Big = i=1 i=1 i=1 1 1 P P = P (f! X (!) 2 B g) = Q (B ) : S1

i=1

i

i=1

X

i

Megjegyzs : Amikor egy K vletlen ksrlethez hozzrendelnk egy X valsznsgi vltozt, akkor egyttal egy lekpezst hajtunk vgre az absztrakt ( = P) s az (R B QX) Kolmogorov-fle valsznsgi mez k kztt. A matematikailag nehezen kezelhet ( = P) struktra helyett egy jobban kidolgozott s kiismert (R B QX) struktrra trnk t, ahol az esemnyeket a Borel-halmazok segtsgvel fogjuk megfogalmazni, az esemnyek valsznsgeit pedig az eloszlssal kalkulljuk a tovbbiakban. A valsznsgi vltoz teht a vletlen ksrlet egy matematikai modellje. A valsznsgi vltozk denilsa az esetek tbbsgben termszetes mdon addik. Gondoljunk csak pldul a kockadobs ksrletre, a ruletttrcsa megforgatsra, a Duna pillanatnyi vzmagassgra, vagy a legkzelebb szletend csecsem testslyra stb. Sokszor, br az elemi esemnyek nem szmok, de valsznsgi vltozval egy-egy rtelm megfeleltets ltesthet kztk s a vals szmok egy rszhalmaza kztt, s gy a valsznsgi

54


vltoz segtsgvel ugyangy trgyalhat a jelensg. Pl. a krtyahzsnl a krtykat sorszmozzuk, minden addigi esemny ekvivalens mdon tfogalmazhat. Felhasznlhatk a valsznsgi vltozk az eredeti ksrlet egyszerstsre is. Pl. ks bb ltni fogjuk, hogy egy n-szeres hosszsg ksrletsorozat helyett egyetlen valsznsgi vltoz meggyelse is lehetsges.

II.2.2. Den ci: Az FX (x) = QX ( (;1 x) ) x 2 R fggvnyt az X

valsznsgi vltoz eloszlsfggvny nek nevezzk.

Megjegyzs : FX (x) = QX ( ( ;1 x ) ) = P(f! X (! ) < xg) $ ! 0 1 ] vals fggvny.

$ P(X < x) x 2 R vagyis FX : R

II.2.2. Ttel: A valsznsgi vltoz eloszlsa s eloszlsfggvnye kl-

csnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst.

Megjegyzs : A II.2.2 ttelt nem bizonytjuk, csak annyit jegyznk meg, hogy a bizonyts azon mlik, hogy a flegyenesek ltal generlt -algebra maga a Borel-fle -algebra. A ttelnek az a fontos zenete van a szmunkra, hogy az eloszlsfggvny segtsgvel is kiszmthatk az esemnyek valsznsgei.

II.2.3. Ttel: (Az FX eloszlsfggvny tulajdonsgai)

a.) FX monoton nemcskken , azaz FX (x) FX (y), ha x < y.

b.) FX balrl folytonos, azaz xlim FX (x) = FX (y) minden y 2 R-re. !y; c.) x!lim F (x) = 1 s x!;1 lim FX (x) = 0. +1 X Bizonyts :

a.) Legyen x < y , akkor Ax = f! X (!) < xg Ay = f! X (!) < yg, s gy az I.1.3. ttel d.) pontja szerint FX (x) = P(Ax) P(Ay ) = FX (y), ami az llts volt.

II.2

55

Az eloszlsfggvny fogalma

b.) Legyen hn tetsz leges monoton fogy nullsorozat. (pl. hn = n1 ilyen.) Legyen y 2 R tetsz leges rgztett vals szm. Bn $ Ay;hn = f! X (!) < y ; hn g : Ekkor nyilvn 1 1 P P B1 B2 Bn Bi. Msrszt Bi = f! X (!) < yg is i=1 i=1 1 P fennll, ugyanis, ha ! 2 Bi ) 9 n : X (!) < y ; hn ) X (!) < y i=1 is. 1 P Fordtva: ha X (!) < y ) 9 n : X (!) < y ; hn ) ! 2 Bi . i=1

A valsznsg folytonossgi tulajdonsgbl (I.1.6. ttel): P1 FX (y) = P(X < y) = P( Bi) = nlim P(Bn ) = nlim P(X < y ; hn ) = !1 !1 i=1 lim F (x). x!y; X

c.) A x!lim F (x) = 1 bizonytsa: +1 X Legyen xn ! 1 szigoran nveked tetsz leges szmsorozat (pl. xn = n ilyen): Bn $ Axn ekkor 1 P B1 B2 Bn Bi = .

i=1 1 P A Bi tartalmazs trivilisan igaz, a msik irny tartalmazs i=1

igazolsa: Legyen ! 2 tetsz leges, ekkor X (!) 2 R ) 9 K 2 R : X (!) < K ) 9 n : X (!) < K < xn ) ) ! 2 Bn ) ! 2 iP1=1 Bi: gy a folytonossgi ttelb l: 1 P P(Bn) = nlim FX (xn ) = xlim FX (x). 1 = P() = P( Bi) = nlim !1 !1 !1 i=1 A x!;1 lim FX (x) = 0 bizonytsa: FX (x) = P(X < x) = P(;X > ;x) = 1 ; P(;X ;x) = 1 ; P(Y ;x), ahol Y = ;X . F (y) = 1, P(Y < ;x) P(Y ;x) 1 s ;xlim P(Y < ;x) = y!lim +1 Y !+1 mint ahogy az el bb lttuk. gy x!;1 lim FX (x) = 1 ; y!lim P(Y y) = 1 ; 1 = 0. +1

56


II.2.4. Ttel: Tetsz leges x < y esetn

a.) P(x X < y) = FX (y) ; FX (x)

b.) P(x < X < y) = FX (y) ; FX (x + 0)

c.) P(x X y) = FX (y + 0) ; FX (x)

d.) P(x < X y) = FX (y + 0) ; FX (x + 0) e.) P(X = x) = FX (x + 0) ; FX (x):

Bizonyts : Mindegyik llts bizonytsa hasonl mdon trtnik, ezrt csak a c.) llts igazolst rszletezzk. f! x X (!) yg = f! x X (!)g \ f! X (!) yg Mivel x < y f! y < X (!)g f! x X (!)g s = f! x X (!)g f! X (!) yg : A Poincare-ttelb l: 1 = P() = P(f! x X (!)g + f! X (!) yg) = = P(X y) + P(x X ) ; P(x X y) = = P(X y) + 1 ; P(X < x) ; P(x X y): Innen: (*) P(x X y) = P(X y) ; P(X < x). Ha most 0 hn szigoran cskken nullsorozat, akkor megmutathat, hogy 1 Y f! X (!) yg = f! X (!) < y + hng : n=1 Ugyanis, ha ! 2 f! X (!) yg, akkor ! 2 f! X (!) < y + hng minden n indexre, teht 1 Y ! 2 f! X (!) < y + hng is. n=1

1 Y

Msrszt, ha ! 2 f! X (!) < y + hn g akkor minden n-re n=1 ! 2 f! X (!) < y + hng teht ! 2 f! X (!) yg is. A folytonossgi trvnyb l: 1 Y P(X y) = P( f! X (!) < y + hn g) = nlim P(X < y + hn) = FX (y +0): !1 n=1 Ez utbbit (*)-ba behelyettestve kapjuk az lltst.

II.3

Diszkrt valsznsgi vltozk

57

Kvetkezmny : Ha FX folytonos az x helyen, akkor P(X = x) = 0: Bizonyts : Ha FX folytonos az x helyen, akkor FX (x) = FX (x + 0) s az e.) llts igazolja a kvetkezmnyt. Megjegyzs: Eloszlsfggvnyekre pldkat a kvetkez szakaszokban b sgesen adunk majd.

II.3. Diszkrt valsznsgi vltozk

II.3.1. Den ci: Az X valsznsgi vltozt diszkrt nek nevezzk, ha rtkkszlete megszmllhat (sorozatba rendezhet ), vagyis 8 ! 2 -ra X (!) 2 E = fx1 x2 : : : xn : : :g : II.3.2. Den ci: A pi = P(f! X (!) = xig) $ P(X = xi) (i = 1 2 : : :) valsznsgek sszessgt az X diszkrt valsznsgi vltoz eloszlsnak nevezzk. II.3.1. Ttel: Az X diszkrt valsznsgi vltoz p1 p2 : : : pn : : : eloszlsra teljesl, hogy a.) 0 pi 1 b.)

1 P pi = 1:

i=1

Bizonyts :

a.) Trivilis, mivel az Ai = f! X (!) = xig esemny valsznsgr l van sz. b.) Mivel az Ai = f! X (!) = xig (i = 1 2 : : :) esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, gy az I.1.3 ttel c.) rsze miatt igaz az llts. II.3.2.PTtel: Az X diszkrt valsznsgi vltoz FX eloszlsfggvnyre: FX (x) = pi , msrszt: pi = FX (xi + 0) ; F (xi) : xi <x Azaz a diszkrt valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye olyan lpcs s fggvny, melynek az ugrhelyei az x1 x2 : : : xn : : : helyeken vannak, s az ugrs nagysga rendre p1 p2 : : : pn : : :.

58


P

P

Bizonyts : Mivel Ax = f! X (!) < xg = Ai = f! X (!) = xig xi <x xi <x s az Ai esemnyek egymst pronknt kizrjk, kvetkezik az llts els

rsze. Msrszt pi = P(X = xi) = P(xi X xi) = FX (xi + 0) ; FX (xi):

II.3.1. Plda: Indiktor valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A 2 = egy pozitv valsznsg esemny: p = P(A) > 0. Az X : ! R fggvny dencija a kvetkez : X (!) = 10 !! 22= A A . Ekkor X diszkrt valsznsgi vltoz, melyet indiktor valsznsgi vltoznak neveznk. Jells : X 2 I (A). Az X eloszlsa : p0 = P(X = 0) = p p1 = P(X = 1) = 1 ; p:

II.3.2. Plda: Binomilis eloszls valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A 2 = egy pozitv valsznsg esemny: p = P(A) > 0. Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrletsorozatot. Vegye fel X azt az rtket, ahnyszor A bekvetkezett a ksrletsorozatban. X lehetsges rtkei teht 0 1 2 : : : n: Az egyes rtkek felvtelnek valsznsgei, ; azaz X eloszlsa: ; pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1 2 : : : n: Ugyanis

A f! X (!) = kg =AA | {z A} AA | A {z A } + | {z A} A| A {z A } + AA k-szor

+ A| A {z A } AA | {z A} : (n;k);szor

k;szor

(n;k)-szor

(k;1)-szer

(n;k;1)-szer

A jobb oldalon ll esemnyek egymst kizrjk, s mindegyikk; valsznsge a fggetlensg miatt pk qn;k . A tagok szma k!(nn;! k)! = nk mert n elem olyan ismtlses permutciirl van sz, ahol k illetve n ; k elem megegyezik. An pk valsznsgek alkotnak, hiszen a binominlis ttel szerint: P pk = Pn ;n pk eloszlst n ; k q = (p + q)n = 1n = 1. k k=0 k=0 X -et n s p paramter binomilis eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. Jells : X 2 B (n p). Nyilvn B (1 p) = I (A) teht a binomilis eloszls az indiktor eloszls kiterjesztse.

II.3


59

II.3.1. bra A binomilis eloszls n = 20 p = 0:5 paramterekkel II.3.3. Ttel: A binomilis eloszls pk elemeire teljesl, hogy

a.) pk = n;kk+1 pq pk;1

(k = 1 2 3 : : : n) p0 = qn:

b.) Ha = (n + 1) p], ahol x] az egszrszt jelli, akkor p pk (k = 0 1 : : : n). Bizonyts :

a.)

pk

pk;1

n k n;k = ( n()kp)kp;q1qn;k+1 = n;kk+1 pq . k;1

b.) A fenti azonossgbl addik, hogy pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k illetve pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k. Innen mr lthat, hogy ha az indexre = (n + 1)p], akkor a hozztartoz eloszlsrtk nagyobb a tbbinl. Az is megmutathat, hogy ha (n+1)p maga is egsz szm, akkor az = (n+1)p ;1 indexekhez tartoz valsznsgek egyenl ek, s a tbbinl nagyobbak lesznek.

II.3.3. Plda: Poisson-eloszls valszn sgi vltoz Ha egy X valsznsgi vltoz rtkkszlete a termszetes szmokk halmaza: E = N = f0 1 2 : : : n : : :g eloszlsa pedig pk = P(X = k) = k! e; k = 0 1 2 : : : ahol > 0 akkor X -et paramter Poisson-eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. Jells : X 2 Po():

60


II.3.2. bra A Poisson-eloszls = 1 paramterrel paramterekkel A fenti1 valsznsgek1valban eloszlst alkotnak, mert 1 P P P p = k e; = e; k = e; e = 1:

k=0

k

k=0

k!

k=0

k!

;npk qn;k = k e; azaz a Poisson-eloszls a binomiII.3.4. Ttel: nlim k! !1 k p!0 np=

lis eloszls hatresete, amikor a ksrletek szma (n) minden hatron tl n , az A esemny p valsznsge pedig 0-hoz tart, mikzben az np szorzat lland.

;

Bizonyts : Jellje most b(k n p) = nk pk q n;k . A II.3.3 ttelben lttuk, ) np+(1;k)p n;k+1 p hogy b(bk(;knp 1np) = k q = k(1;p) ! k , hiszen np = (1 ; k )p ! 0 k(1 ; p) ! k a felttelek miatt. Msrszt b(0 n p) = (1 ; p)n = ) ; (1 ; n )n ! e; is. gy bb(1(0np np) ! miatt b(1 n p) ! e : Hasonlan : b(2np) ! miatt b(2 n p) ! 2 e; : Folytatva az eljrst, a ttel lltst b(1np) 2 2 kapjuk. Megjegyzs : A Poisson-eloszls jl alkalmazhat olyan n-szeres ksrletsorozat modellezshez, ahol a ksrletek szma nagyon nagy, viszont a meggyelt esemny valsznsge 0-hoz kzeli. Pldul: egy adott trfogatban id egysg alatt elboml atomi rszecskk szma$ a mikroszkp ltterbe bekerlt egysejtek szma$

II.3


61

id egysg alatt a telefonkzpontba berkez hvsok szma$ id egysg alatt bekvetkez rdiaktv bomlsok szma$ egy stemnyszeletben tallhat mazsolk szma$ egy knyvoldalon tallhat sajthibk szma$ stb.

Az emltett esetekben binomilis eloszls alkalmazsa krlmnyes lenne, mert a binomilis egytthatk szmolsa a nagy n miatt tlcsordulshoz, illetve szmolsi pontatlansgokhoz vezethet. II.3.4. Plda: Geometriai eloszls valszn sgi vltoz Legyen K egy vletlen ksrlet, s ( = P) a hozztartoz Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A 2 = egy pozitv valsznsg esemny: p = P(A) > 0. A K ksrlethez tartoz ksrletsorozatot addig hajtsuk vgre, amg az A esemny be nem kvetkezik. Az X valsznsgi vltozt rtelmezzk gy, mint az A esemny bekvetkezshez szksges ismtlsek szmt. X -et p paramter geometriai eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. Jells : X 2 G(p):

II.3.3. bra A geometriai eloszls p = 61 paramterrel

X lehetsges rtkei : 1 2 3:4 : : : azaz a pozitv egsz szmok. X eloszlsa: pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1p = qk;1p, hiszen f! X (!) = kg = =A | A {z A } A, s a fggetlen vgrehajts miatt az esemny valsz(k;1)-szer

nsge: q q q p = qk;1p: A geometriai sor sszegz kplett felhasznlva lthatjuk be, hogy1 ezek a valsznsgek valban eloszlst alkot1 1 P P P nak: pk = qk;1p = p qk = p 1;1 q = p 1p = 1: k=1

k=1

k=0

62


Megjegyzs : A geometriai eloszls rkifj tulajdonsgt a kvetkez kpp lehet interpretlni: attl, hogy egy esemny az ismtelt vgrehajts sorn rgen fordult el , mg nem fog a bekvetkezsi valsznsg megn ni!

II.3.5. Ttel: (A geometriai eloszls rkifj tulajdonsga)

P(X = m + k jX > m) = P(X = k) 8m k -ra, azaz annak feltteles valsznsge, hogy a kvetkez k vgrehajts vgn bekvetkezik az A esemny, amennyiben az el z m meggyels alatt nem kvetkezett be ugyanannyi, mint annak valsznsge, hogy ppen a k-adik vgrehajts utn kvetkezik be az A esemny. Bizonyts : +kX>m) = P(X =m+k) = qm+k;1 p = P (X = m + k j X > m) = P(X =Pm(X>m 1 ;1 P ) P(X>m) q p

=

qm+k;1 p 1 qm p P q =0

=

qm+k;1 p qm

= qk;1p = P (X

= k) :

=m+1

II.4. Folytonos valsznsgi vltozk

II.4.1. Den ci: Legyen X az ( = P)-n rtelmezett valsznsgi vl-

toz, melynek rtkkszlete kontimuum szmossg. Jellje FX az eloszlsfggvnyt. X -et folytonos valsznsgi vltoznak nevezzk, ha FX abszolt folytonos, azaz ltezik olyan Riemann integrlhat fX : R ! R x R fggvny, melyre fennll az FX (x) = fX (t) dt (x 2 R) sszefggs. ;1 Az fX fggvnyt az X valsznsgi vltoz (vagy az FX eloszlsfggvny) s r sgfggvnynek nevezzk. Ha FX abszolt folytonos, akkor folytonos is s majdnem mindentt dierencilhat, azaz pl. vges sok helyen lehet csak trspontja. dFdXx(x) = fX (x) ha x folytonossgi pontja fX -nek. Megjegyzs : a.) A diszkrt valsznsgi vltozk nem folytonosak, mr csak azrt sem, mert eloszlsfggvnyk nem folytonos. b.) Lteznek olyan valsznsgi vltozk, melyek se nem diszkrtek, se nem folytonosak. Ezek az ltalnos valsznsgi vltozk, melyekkel a tovbbiakban mi nem foglalkozunk$ a gyakorlatban ritkn fordulnak el . Pl.

II.4

63

Folytonos valsznsgi vltozk

az az X ltalnos vltoz, melynek eloszlsfggvnye: 8 1 valsznsgi < 2 Rx 2 ha x = 0 FX (x) = : p1 e ;2t dt ha x > 0 2 ;1

II.4.1. Ttel: (A s r sgfggvny tulajdonsgai) Legyen X az ( = P)-n rtelmezett folytonos valsznsgi vltoz. Akkor az fX : R ! R srsgfggvnyre teljesl, hogy a.) fX (x) 0 b.)

R f (t) dt = 1: X

+1

;1

Bizonyts : a.) Mivel FX monoton nem cskken , s pontja fX -nek, kvetkezik az llts.

b.) 1 = x!lim F (x) = x!lim +1 X +1

dFX (x) dx

= fX (x) ha x folytonossgi

Rx f (t) dt = +R1 f (t) dt: X X

;1

;1

Megjegyzs : a.) A srsgfggvny a folytonos valsznsgi vltozknl ugyanazt a szerepet tlti be, mint diszkrt valsznsgi vltozknl az eloszls. Ugyanis tetsz leges a 2 R s x > 0 -ra P(a X < a + x) = a+ R x f (t) dt = f (a) x ahol a a < a + x. FX (a + x) ; FX (a) = X X a Ha x kicsi, akkor fX (a) fX (a) gy P(a X < a+ x) fX (a) x: Teht az X valsznsgi vltoz az a krnyezetben az fX (a) rtkkel arnyos valsznsggel tartzkodik. (Az fX (a) rtk lehet 1-nl nagyobb is!) b.) fX (x) $ 0 ha 6 9 dFdXx(x) : II.4.1. Plda: (Az egyenletes eloszls valszn sgi vltoz) Az X az 8 a b] intervallumon egyenletes eloszls, ha eloszlsfggvnye: < x;0a x a FX (x) = : b;a a < x b: 1 x>b 1 x 2 (a b) Jells : X 2 U (a b]): Ekkor a srsgfggvny: fX (x) = b;0a x 2= (a b) :

64


II.4.1. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls eloszlsfggvnye

II.4.2. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls srsgfggvnye

Megjegyzs: Az X 2 U (a b]) valsznsgi vltozra jellemz , hogy brmely hosszsg szakaszon azonos valsznsggel veszi fel rtkeit. Teht, ha c c + 2 a b], akkor c;a ;a P (c X < c + ) = FX (c + ) ; FX (c) = c+ b;a ; b = b;a . A valsznsg egyrszt nem fgg a rszintervallum c kezd pontjtl, msrszt ppen a rszintervallum s a teljes intervallum hosszainak arnyval egyenl .

II.4.2. Plda: (Az exponencilis eloszls valszn sgi vltoz)

Az X valsznsgi vltoz > 0 paramter exponencilis eloszls, ha eloszlsfggvnye 1 ; e; x x > 0 FX (x) = 0 x 0 :

II.4


65

Jells : X 2 E (): e; x x > 0 0 A srsgfggvny FX (x) = fX (x) = 0 egybknt : Megjegyzs: Exponencilis eloszlssal a gyakorlatban berendezsek lettartamt szoks modellezni. De exponencilis eloszlsnak tekinthet tmegkiszolglsi modellekben a kiszolglsi id s az j ignyek rendszerbe val berkezsi ideje is, vagy a rdioaktv atomok elbomlsi ideje is.

II.4.3. bra A = 1 2 0 5 paramter exponencilis eloszlsok eloszlsfggvnyei

II.4.4. bra A = 1 2 0 5 paramter exponencilis eloszlsok srsgfggvnyei

66


II.4.2. Ttel: (Az exponencilis eloszls rkifj tulajdonsga)

Legyen X folytonos eloszls valsznsgi vltoz P (X < x) = F (x) eloszlsfggvnnyel. Akkor P(X < x + t jX x) = P(X < t) 8 0 < x t-re () 9 > 0 : F (x) = 1 ; e; x x > 0 vagyis X 2 E () : Megjegyzs : X azrt rkifj, mert annak feltteles valsznsge, hogy X legfeljebb x + t-ig l, ha mr x-et meglt egyenl annak valsznsgvel, hogy X legfeljebb t ideig l, azaz a tllsi kondcik az id mlsval nem cskkennek, hiszen 0 s t kztt ugyanaz a tllsi esly mint x s x + t kztt. A ttel azt lltja, hogy az exponencilis eloszls az egyetlen rkifj a folytonos eloszlsok kztt. Bizonyts : ( Legyenek 0 < x t tetsz legesek, ekkor +t) FX (x+t);FX (x) = 1;e;(x+t) ;1+e;x = P(X < x + t jX x ) = P(xP(XX<x

x) = 1;FX (x) 1;1+e;x = 1 ; e; t = P(X < t):

)

Legyen G(x) = 1 ; F (x) = P (X x) : Ekkor 8 0 < x t-ra P(X < x + t jX x ) = P(X < t) = G(x)G;(Gx()x+t) = 1 ; G(t) azaz G(x + t) = G(x)G(t): Teht G(2t) = (G(t))2 G(3t) =;G(2t)G(t) = (G(t))3 G(nt1 ) = (G(t))n : Msrszt nt ;= s;-re:G(s) = G( nsm) n azaz G( ns ) = (G(s)) n : ; m gy G m ns = G ns m = (G (s)) n azaz s = 1-gyel G( mn ) = (G(1)) n : Teht tetsz leges 0 < r 2 Q racionlis szmra fennll G(r) = (G(1))r : Mivel G is s az exponencilis fggvnyek folytonosak, gy 8x > 0 vals szmra is fenn kell llnia G(x) = (G(1))x-nek. De G(1) = 1 ; F (1) < 1 miatt 9 > 0 hogy G(1) = e; legyen. Behelyettests utn G(x) = e; x 8x > 0 azaz F (x) = 1 ; e; x X 2 E () : II.4.3. Plda: (A normlis eloszls valszn sgi vltoz) Az X valsznsgi vltoz 2 R s > 0 paramter normlis eloszls, x R (t;)2 ; 1 ha eloszlsfggvnye FX (x) = (x) = p2 e 22 dt x 2 R: ;1 Jells : X 2 N ( ): (x;)2 Az X srsgfggvnye: fX (x) = ' (x) = p21 e; 22 x 2 R. Ha X 2 N (0 1), akkor standard normlis eloszlsrl beszlnk. Ilyenkor x 2 2 R x t '01(x) = '(x) = p12 e; 2 s 01(x) = (x) = p12 e; 2 dt: ;1

II.4


II.4.5. bra Az N (;1 0 5) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok eloszlsfggvnyei

II.4.6. bra Az N (;1 0 5) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok srsgfggvnyei

II.4.3. Ttel: (A ' Gauss-fggvny tulajdonsgai) a.) '(;x) = '(x), vagyis ' pros fggvny. b.) x!lim '(x) = x!;1 lim '(x) = 0: +1

8x 2 R: d.) ' in*exis helyei a +1 s ;1, azaz '00(;1) = '00(+1) = 0: c.)

p1

2

= '(0) '(x) > 0

67

68 e.)


R '(x) dx = 1.

+1 ;1

Bizonyts : Az a.) s 2b.) lltsok nyilvnvalak. c.) s d.) '0(x) = p;2x e; x2 = ;x'(x) = 0 , x = 0 '00(x) = ;'(x) ; x'0(x) = '(x)(x2 ; 1) = 0 , x = 1 )00 +1 ;1 in*exis pontok. ' (0) = ;'(0) < 0 ) a 0 helyen maximum van. 2 +R1 t2 +R1 2 +R1 +R1 +R1 (t2 +u2 ) 2 e.) e; 2 dt = e; t2 dt e; u2 du = e; 2 dtdu ttrve ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 a t = r cos u = r sin polrkoordintkra: ;r sin = r t2 + u2 = r2 J (r ) = det cos sin r cos

R R

+1 +1

R1 R2

h

e; (t +2u ) dtdu = r e; r2 d dr = 2 ;e; r2 ;1 ;1 0 0 kvetkezik az llts. 2

2

2

2

i1 0

= 2 , ahonnan mr

II.4.4. Ttel: (A eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) (x) = 1 ; (;x) 8x > 0, azaz grakonja szimmetrikus a (0 21 )-ra, b.) szigoran monoton nveked , c.) (x) = 21 + p12 (x ; 1!2x33 + + (k;!21)k(2xk+1) + ) 8x > 0 k 2k+1

d.) xlim (x) = 1 x!;1 lim (x) = 0: !1 Bizonyts :

R

R1

;x

Rx

Rx

a.) (;x) = '(t) dt = 1 ; '(t) dt = 1 ; '(;t) dt = 1 ; '(t) dt = ;1 ;x ;1 ;1 1 ; (x): b.) Igaz, mert 0(x) = '(x) > 0 (II.4.3 ttel c.) rsze). c.) '(x) = p12 e; x2 = p12 2

1 P (;1)k x k s ahonnan mr kvetkezik az llts. 2

k=0

2k k!

d.) Nyilvnval kvetkezmnye a II.4.3 ttel e.) rsznek.

II.5

69

Valsznsgi vltozk transzformcii

II.5. Valsznsgi vltozk transzformcii II.5.1. Ttel: Legyen X diszkrt valsznsgi vltoz

A = fxk k = 0 1 2 : : :g rtkkszlettel s pk = P (X = xk ) eloszlssal. Legyen t : A ! B tetsz leges fggvny, B = fyj j = 0 1 2 : : :g: Akkor az Y = t(XP) diszkrt valsznsgi vltoz rtkkszlete B , eloszlsa pk lesz. P (Y = yj ) = 8xk :t(xk )=yj

Bizonyts: Mivel az f! X (! ) = xk g nvesemnyek k indexek P klnbz

esetn egymst kizrjk, s f! Y (!) = yj g = f ! X (!) = xk g, a 8xk:t(xk )=yj valsznsg -additivitsbl mr kvetkezik az llts.

II.5.1. Plda: Ha X 2 B (n p) s t(x) = n ; x, akkor Y; =t(X ) 2 B (n 1 ; p), hiszen P (Y = k) = P (X = n ; k) = n pn;k (1 ; p)n;(n;k) = ;n (1 ; p)k pn;k : n;k k

x ha x 10 II.5.2. Plda: Ha X 2 Po() s t(x) = 11 ha x > 10 Y = t(X ) rtkkszlete Bk = f0 1 : : : 11g s eloszlsa 8 < 10 k! e; ha k 10 P (Y = k) = : 1 ; P i e; ha k = 11 :

, akkor az

i=0 i!

II.5.2. Ttel: Ha X olyan folytonos valsznsgi vltoz, hogy

P (X 2 A) = 1 valamely A R halmazra, s t : A ! B szigoran monoton fggvny, akkor az Y = t(X ) is folytonos valsznsgi vltoz lesz, s ;1 ha t sz.m. " illetve FY (y) = 1 ; FFX ((tt;1((yy)) )) ha t sz.m. # X ; 1 fY (y) = fX (t;1(y)) dt dy(y) : Bizonyts: Mivel t szigoran monoton, ezrt invertlhat is. Ha t nveked (cskken ), akkor az inverze is nveked (cskken ). Ha t szigoran monoton nveked , az f! t(X (!)) < yg s az f! X (!) < t;1(y)g nvesemnyek ekvivalensek, a t lekpezs invertlhatsga miatt. gy FY (y) = P (Y < y) = P (t(X ) < y) = P (X < t;1(y)) = FX (t;1(y)): Ha t szigoran monoton cskken , akkor az f! t(X (!)) < yg s az f! X (!) > t;1(y)g nvesemnyek ekvivalensek, s FY (y) = P (Y < y) =

70


P (t(X ) < y) = P (X > t;1(y)) = 1 ; FX (t;1(y)): Derivls utn addik a srsgfggvnyekre a kplet.

II.5.3. Plda: Ha az X standard normlis eloszls valsznsgi vl-

toz, mi a srsgfggvnye az Y = X 2 valsznsgi p vltoznak? Ha p x > 0: P(Y p< x) = Pp(X 2 < x) =pP(jX j < px) = = P(; x < X < x) = ( x) ; (; px) = 2( x) ; 1 x) derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = 2'( x) 2p1 x = p21x e; 2 ha x > 0:

II.5.4. Plda: Ha az X paramter normlis eloszls valsznsgi

vltoz, mi a srsgfggvnye az Y = eX valsznsgi vltoznak? (Y az .n. lognormlis eloszls vltoz). ; valsznsgi ; P(Y < x) = P eX2 < x = P (X < ln x) = FX (ln x) = ln x; , gy (ln x;) fY (x) = p21x e; 22 : A II.5.2 ttel specilis esete az albbi, mely vletlenszm generlsoknl hasznos.

II.5.3. Ttel: Ha U a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls s F (y)

egy szigoran monoton nvekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1, akkor az Y = F ;1(U ) valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye ppen F (y) lesz. Bizonyts : El szr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. P(Y < y) = P(F ;1(U ) < y) = P(F (F ;1(U )) < F (y)) = P(U < F (y)) = F (y) mert F (y) 2 0 1] : Megjegyzs : A II.5.3 ttel lehet sget ad arra, hogy a szmtgpek egyenletes eloszls vletlen szmokat generl rutinja segtsgvel tetsz leges invertlhat F (y) eloszlsfggvnyhez tartoz vletlen szmokat el lltsunk s azokat szimulcis programokhoz felhasznljuk.

A kvetkez ttel az el z megfordtsa:

II.5.4. Ttel: Ha X eloszlsfggvnye F (y) egy szigoran monoton nvekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1 , akkor az U = F (X ) valsznsgi vltoz egyenletes eloszls lesz 0 1]-en.

II.5

71

Valsznsgi vltozk transzformcii

Bizonyts : El szr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. Legyen y 2 0 1] tetsz leges! P(U < y) = P(F (X ) < y) = P(F ;1(F (X )) < F ;1(y)) = = P(X < F ;1(y)) = F (F ;1(y)) = y, ezrt U 2 U (0 1]) :

II.5.5. Ttel: (Lineris transzformci)

Ha X folytonos valsznsgi vltoz, s t(x) = ax + b a 6= 0 akkor az Y = t(X ) = aX + b lineris valsznsgi vltoz eloszlsfgg; y;transzformlt b ha a > 0 F vnye FY (y) = 1 ; FX ; y;a b ha a < 0 , srsgfggvnye pedig X a ; y ; b 1 fY (y) = jaj fX a : Bizonyts : A II.5.2 ttel egyszer kvetkezmnye.

A kvetkez ttel azt mondja ki, hogy a normlis eloszlscsald a lineris transzformcira nzve zrt:

II.5.6. Ttel: (A normlis eloszls transzformcis tulajdonsgai) a.) (x) = ( x; ), b.) ' (x) = 1 '( x; ) vagyis a standard normlis eloszls srsgfggvnyvel s eloszlsfggvnyvel tesz leges 2 R s > 0 paramter normlis eloszls srsgfggvny s eloszlsfggvny el llthat. Bizonyts :

a.)

R

R

x; x 2 (u;)2 x ; 1 ( ) = p2 e; t2 dt = p12 e; 22 1 du = (x) ;1 ;1 t = u; t + = u ddut = 1

b.) az a.) mindkt oldalt derivljuk.

II.5.7. Ttel: (Folytonos valszn sgi vltoz diszkretizlsa) 1

Legyen X folytonos valsznsgi vltoz, s t(x) =

P y I (x 2 r r )), k k ;1 k k=;1

72


ahol 0 rk 1 szigoran sorozat, 0 hanveked

I (x 2 rk;1 rk )) = 1 ha xx 622rrk;1 rrk)) : k;1 k Ekkor Y = t(X ) diszkrt valsznsgi vltoz lesz f: : : y;1 y0 y1 y2 : : :g Rrk rtkkszlettel s P (Y = yk ) = fX (u) du eloszlssal. rk;1

Bizonyts : P (Y = yk ) = P (rk;1 X < rk ) =

Rrk f (u) du: X

rk;1

II.5.5. Plda: Legyen X 2 E () t(x) = x] + 1: Ekkor

; Rk e; x dx = 1 ; e; xk = k ;1 k ;1 ;1 ; ;1 ; e; k;1 ;1 ; e; : Ha feladatunk valamely f: : : y y y y : : :g Y = t(X ) 2 G 1 ; e; : Hiszen P (Y = k) =

;1

0 1 2

rtkkszlet, pk = P (Y = yk ) k = 0 1 2 : : : eloszls diszkrt valsznsgi vltoz szmtgpes szimullsa, akkor a II.5.7 ttel azon specilis Pk pj : esett kell alkalmazni, amikor X 2 U (0 1) s rk = j =;1

II.5.6. Plda: (Binomilis eloszls vletlen szmok generlsa szmtgppel)

Legyen X 2 U (0 1) vletlen szm. Legyen Y = k, ha kP ;1 ; k ;n n;j k = 0 : : : n: Lthat, hogy n pj (1 ; p)n;j X < P j j j p (1 ; p) j =0 j =0 Y 2 B (n p) vletlen szm lesz.

II.6. A vrhat rtk II.6.1. Den ci: a.) Az X diszkrt valsznsgi vltoznak akkor ltezzk vrhat rtke, ha 1 P a jxij P(X = xi) sor konvergens. Ekkor az X vrhat rtkn az i=1

EX = P xiP(X = xi) sorsszeget rtjk. 1

i=1

II.6

73

A vrhat rtk

b.) Az X folytonos valsznsgi vltoznak akkor ltezzk vrhat rtke, ha +R1 az jxj fX (x) dx improprius integrl konvergens. Ekkor az X vrhat ;1

rtkn az EX =

R x f (x) dx X

+1 ;1

szmot rtjk.

Megjegyzs :

a.) Egy valsznsgi vltoznak nem felttlenl ltezik a vrhat rtke. Ks bb ltni fogunk ellenpldkat. b.) Az .n. Stieltjes -integrl segtsgvel a vrhat rtk mind a diszkrt, mind a folytonos esetben azonos mdon denilhat. Legyen F (x) egy eloszlsfggvny, s legyen g(x) folytonos s korltos R-en. Legyen tolim xk = ;1 klim xk = 1g vbb = fxk xk+1) k = 0 1 2 : : : k!;1 !1 a szmegyenes egy vgtelen felosztsa, melynek a nomsgt ( ) = 1 P sup (xk+1 ; xk ) jelli. Kpezzk a g (xk ) (F (xk+1) ; F (xk )) ;1
R1 sszegek konverglnak egy hatrrtkhez, amelyet g(x)dF (x)-szel je;1 llnk, s a g(x) fggvnynek az F (x) slyfggvnyre vonatkoz Stieltjesintegrljnak nevezzk. A Stieltjes-integrl dencijbl kvetkezik, hogy ha F (x) egy diszkrt valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye, vagyis F (x) lpcs s fggvny, mgpedig F (x) ugrshelyei x1 x2 : : : xn : : : s az R1 xn helyen F (x) ugrsa pn = F (xn + 0) ; F (xn), akkor g(x)dF (x) = ;1 1 P g(xn)pn : Knnyen belthat tovbb, hogy ha F (x) szakaszonknt n=1 R1 sima eloszlsfggvny, s F 0 (x) = f (x) akkor g(x)dF (x) = ;1 R1 g(x)f (x) dx: Ugyanis, ha F (x) az (a b) intervallumban mindentt dif-

;1

ferencilhat, akkor a Lagrange-kzprtkttel szerint F (xk+1 ) ; F (xk ) = f (x0k ) (xk+1 ; xk ), ahol xk < x0k < xk+1, s gy ha

74


xk = x0k , akkor a

1 1 P P g (xk ) (F (xk+1) ; F (xk )) = g (x0k ) f (x0k ) (xk+1 ; xk ) k=;1 k=;1

R1

sszeg ppen a g(x)f (x) dx Riemann-integrl integrl kzelt sszege! ;1 Teht, ha most g(x) = x, mind a diszkrt, mind a folytonos esetben a +R1 vrhat rtk Stieltjes-integrllal rhat fel: EX = x dFX (x):

II.6.1. Ttel: Legyen g :

;1

R

! R tetsz leges vals fggvny. Ekkor, ha

az Y = g(X ) valsznsgi vltoz, s ltezik a vrhat rtke, akkor a.) ha X diszkrt : EY = b.) ha X folytonos: EY =

1 P g(x ) P(X = x )

i=1 +1

i

i

R g(x) f (x) dx: X

;1

Bizonyts : Diszkrt eset: Legyen az X diszkrt valsznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmlhat szmhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt valsznsgi vltoz pedig W = fyP y = g (x) x 2 V P g : EkkorXdenci szerint: EY = yP (Y = y) = y P (X = x) = y2W y2W x2V :g(x)=y X X P = g (x) P (X = x) = g (x) P (X = x) : y2W x2V :g(x)=y

x2V

Folytonos eset: a II.5.1. ttelt alkalmazva: Tegyk 1fel, hogy g dierencilhat. Ekkor 1 R R EY = yfY (y) dy = yfX (g;1 (y)) g0(g;11(y)) dy = ;1 ;1 vgrehajtva az y = g(x) vltozcsert: R1 = g(x)fX (x) dx: ;1

II.6.2. Ttel: Legyen az X valsznsgi vltoznak vrhat rtke EX:

Ekkor az Y = a X + b valsznsgi vltoznak is ltezik vrhat rtke, s EY = aEX + b: Bizonyts : Alkalmazzuk a II.6.1. ttelt a g(x) = ax + b lineris fggvnyre!

II.6

75

A vrhat rtk

a.) diszkrt eset: 1 1 1 EX = P(a xi + b)pi = a P xi pi + b P pi = a EX + b 1: i=1

i=1

i=1

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 EX = (ax + b)fX (x) dx = a xfX (x) dx + b fX (x) dx = ;1 ;1 ;1 a EX + b 1: Kvetkezmny : A konstans valsznsgi vltoz vrhat rtke nmaga.

II.6.1. Plda: (Az indiktor eloszls vrhat rtke)

Az eloszls : P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 ; p = q: EX = 1 p + 0 q = p:

II.6.2. Plda: (A binomilis; eloszls vrhat rtke) ; Az eloszls : pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1 n2 : : : n: n ; EX = P k pk = P k nk pk qn;k =

k=0 k=0 n ; P Pn n k n ; k = k k p q = (k;1)!(n!n;k)! pk qn;k = k=1 k=1 n nP ;1 P ( n ;1)! = np (k;1)!(n;1;(k;1))! pk;1 qn;1;(k;1) = np !((nn;;11)!;)! pk;1 qn;1; = =0 k=1 nP ;1 ; n;1 pk;1 q n;1; = np (p + q )n;1 = np azaz EX = np: = np =0

II.6.3. Plda: (A Poisson-eloszls vrhat rtke) k

Az eloszls : pk = P(X = k) = k! e; k = 0 1 2 : : : : 1 1 1 1 P P P P EX = k pk = k kk! e; = (k ;k1)! e; = e; ( kk;;1)!1 = k=1 k=1 k=0 k=1 = e; e = :

II.6.4. Plda: (A geometriai eloszls vrhat rtke)

Az eloszls : pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1 p = qk;1p, k = 1 2 3 : : : 1 1 1 1 P P P P EX = k pk = k qk;1 p = (k ; 1) qk;1p + qk;1p = q EX + 1, k=1 k=1 k=2 k=1 ahonnan EX -et kifejezve EX = 1;1 q = p1 addik.

76


II.6.5. Plda: (Az egyenletes eloszls vrhat h i rtke)

EX =

R x f (x) dx = Rb x 1 dx = 1 X b;a b;a

+1

a

;1

x2 b 2 a

= b;1a b2;2a2 = a+2 b :

II.6.6. Plda: (Az exponencilis eloszls vrhat rtke)

R x f (x) dx = R1 x e; x dx = ;xe; x1 + R1 e; x dx = X 0 ;1 0 0 1 = 0 + ; 1 e; x = 1 :

EX =

+1

0

II.6.7. Plda: (A normlis eloszls vrhat rtke) a.) Standard normlis eloszls h +R1 2 2 i+1 R1 EX = x fX (x) dx = x p12 e; x2 dx = ; p12 e; x2 ;1 = 0: ;1

;1

b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX = x fX (x) dx = x ' (x) dx =

R1

;1

;1

R1 x 1 '( x; ) dx =

;1 +1

R

+1

R

= (y + ) '(y) dy = y'(y) dy + '(y) dy = 0+ 1 = : ;1 ;1 ;1 Teht a normlis eloszls paramtere a vrhat rtket jelenti.

II.7. Magasabb momentumok, szrsngyzet Xn

II.7.1. Den ci: Az X valsznsgi vltoz n-edik momentum n az

valsznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk, ha az ltezik. Jells : n =

EX n .

Megjegyzs :

a.) diszkrt esetben: n =

1 P xnP(X = x ):

i

i=1

b.) folytonos esetben : n =

i

R xn f (x) dx: X

+1 ;1

II.7

Magasabb momentumok, szrsngyzet

77

II.7.2. Den ci: Az X valsznsgi vltoz szrsngyzet n vagy vari-

ancijn az Y = (X ; EX )2 valsznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk (amennyiben az ltezik). Jells : 2X = E(X ; EX )2: Az Xpvalsznsgi vltoz szrsa a szrsngyzet pozitv ngyzetgyke: X = + E(X ; EX )2: Megjegyzs :

a.) diszkrt esetben: 2X =

1 P (xi ; EX )2 P(X = xi):

i=1 +1

b.) folytonos esetben :2X =

R (x; EX )2 f (x) dx: X

;1

II.7.1. Ttel: Legyen X olyan valsznsgi vltoz, melynek ltezik szrsngyzete. Ekkor minden vals x esetn: 2X = E(X ; EX )2 E(X ; x)2: Bizonyts : A bizonytsban felhasznljuk a vrhat rtk additv tulajdonsgt, melyet majd a III.4.6. ttelben bizonytunk. Legyen g(x) = E(X ; x)2 = E(X 2 ; 2X x + x2) = EX 2 ; 2x EX + x2: Mivel g0(x) = 2x ; 2 EX = 0, akkor ha x = EX s g00(x) = 2 > 0, ezrt az x = EX hely minimumhely, ami mr igazolja az lltst. Megjegyzs : Az X valsznsgi vltoz rtkei a vrhat rtk krl ingadoznak a legkisebb mrtkben az sszes vals szm kzl, s ezt a minimlis ingadozst, bizonytalansgot jellemzi a szrsngyzet. Ha teht egy valsznsgi vltoznak nagy a szrsa, rtkeit bizonytalanul tudjuk csak megbecslni. Ha a szrsngyzet kicsi, a bizonytalansgunk a vltoz rtkeit illet en cskken. Ad abszurdum, a konstans szrsngyzete 0. II.7.2. Ttel: 2X = 0 () P(X = EX ) = 1: Bizonyts : Ha X diszkrt, akkor P(x0i=; E2XX)2= P(X = xi) = P (xi; EX )2 P(X = xi) () 8i 8i:xi6=EX () 8i P: xi 6= EX ) P(X = xi) = 0 () () 8i:xi6=EX P(X = xi) = P(X 6= EX ) = 0 () () P(X = EX ) = 1:

78


II.7.3. Ttel: (Steiner formula)

2X 2X

= E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 minden a 2 R-re. Specilisan a = 0-ra = EX 2 ; EX ]2:

Bizonyts : Legyen a 2 R tetsz leges ! E(X ; a)2 = E(X 2 ; 2aX + a2) = EX 2 ; 2a EX + a2 E(X ; a)]2 = EX ; a]2 = EX ]2 ; 2a EX + a2: gy E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 = EX 2 ; EX ]2: Viszont 2X = E(X ; EX )2 = E(X 2 ; 2X EX + EX ]2) = = EX 2 ; 2EX EX + EX ]2 = EX 2 ; EX ]2 amib l mr kvetkezik az llts.

II.7.1. Kvetkezmny: Mivel 2X = E(X ; EX )2 0 2

)

EX ] , teht, ha X msodik momentuma (gy a szrsngyzete is) ltezik, akkor a vrhat rtknek is lteznie kell! EX 2

II.7.4. Ttel: 2(aX + b) = a2 2X , minden a b 2 R-re. Azaz a szrs-

ngyzet eltols invarins.

Bizonyts : 2(aX + b) = E(aX + b)2 ; E(aX + b)]2 = = a2 EX 2 + 2ab EX + b2 ; a2 EX ]2 ; 2ab EX ; b2 = = a2 (EX 2 ; EX ]2) = a2 2X: II.7.3. Den ci: Egy X valsznsgi vltoz standardizltjn az X ; E X ~ X = X lineris transzformlt valsznsgi vltozt rtjk. Megjegyzs : EX~ = 0 2X~ = 1:

II.7.1. Plda: (Az indiktor eloszls szrsngyzete)

2X = (1 ; p)2 p + (0 ; p)2 q = q2 p + p2 q = p q(q + p) = pq = p(1 ; p):

II.7.2. Plda: (A binomilis eloszls szrsngyzete)

2X = EX 2 ; EX ]2 n n n ; ; EX 2 = P k2 pk = P k2 nk pk qn;k = P k2 nk pk qn;k = k=0 k=0 k=1 n n ; ; P P n n k n ; k = k (k ; 1) k p q + k k pk qn;k = k=1 k=1 n P n ! = pk qn;k + EX = k=2

(k;2)!(n;k)!

79

Magasabb momentumok, szrsngyzet

II.7

Pn (n;2)! k;2 q n;2;(k;2) + np = (k;2)!(n;2;(k;2))! p k=2 nP ;2 ; n;2 p q n;2; + np = = n (n ; 1)p2

= n (n ; 1) p2

=0 1) p2 (p + q)n;2 + np = n2p2 np2 + np: = n2p2 np2 + np (np)2 = np(1 p) = npq:

= n (n ; gy 2X

;

;

;

;

II.7.3.1 Plda: (A1Poisson-eloszls szrsngyzete) 1 1

EX 2 = P k2 pk = P k (k ; 1) pk + P k pk = P (k ;k2)! e; + = = 2

e

k=0

k=1 k=0 k=1 k;2 + = 2 e; e + = 2 + : (k;2)! k=2 = EX 2 EX ]2 = 2 + 2 = :

;

1 P

;

gy 2X

;

II.7.4.1 Plda: (A geometriai eloszls szrsngyzete) 1

;

EX 2 = P k2 qk;1p = P (k ; 1)2 + 2k ; 1 qk;1p = q EX 2 +2EX ; 1 = k=1 k=1 = q EX 2 + 2 1p ; 1: Innen EX 2-et kifejezve: EX 2 = 2p;2p : gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2p;2p ; p12 = pq2 = 1p;2p :

II.7.5. Plda: (Az egyenletes eloszls szrsngyzete) h i

R

Rb

+1

EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 b;1 a dx = b;1a x33 a = b;1 a b3;3a3 = a2+a3b+b2 ;1 a 2X = EX 2 ; EX ]2 = a2+a3b+b2 ; (a+4b)2 = a2;212ab+b2 = (b;12a)2 : b

II.7.6. Plda: (Az exponencilis eloszls szrsngyzete)

R x2 f (x) dx = R1 x2 e; x dx = ;x2e; x1 + R1 2xe; x dx = X 0 ;1 0 0 1 R ; = 0+ 2 xe; x dx = 2 1 = 2 , gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 ; 1 2 = 1 : EX 2 =

+1

0

2

II.7.7. Plda: (A normlis eloszls szrsngyzete)

2

2

80


a.) Standard normlis eloszls +R1 2 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 p12 e; x2 dx =

h

;1

= x (; gy 2X

i

R;1

R1 x x p1

; x2 dx = 2 e

;1

1 x2 +1 x2 p1 e; 2 ) p1 e; 2 dx = 0 + 1 = 1: + 2 ;1 ;1 2 2 = EX EX ]2 = 1 0 = 1:

;

2

;

b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 ' (x) dx =

;1 ;1 1 1 R R x ; 1 2 = x '( ) dx = (y + )2 '(y) dy = ;1 ;1 +R1 +R1 +R1 = 2 y2'(y) dy + 2 y'(y) dy + 2 '(y) dy =

= 2 1 + 2 0 + 2 1 = 2 + 2: Innen 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 + 2 ; 2 = 2: Teht a normlis eloszls paramtere a szrst jelenti. ;1

;1

;1

II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok II.8.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy az F (X ) =

fggvny nem lehet eloszlsfggvny!

0 ha x 1 ha x > 1

1+2x x;08

Megolds : Mivel xlim F (x) = 2, ezrt a c.) tulajdonsg srl. !1

II.8.2. Feladat: Egy csomag magyar krtybl tallomra kihzunk egy lapot. Vegye fel X a krtya pontrtkt! (als:2, fels :3, kirly:4, sz:11, hetes:7, nyolcas:8, kilences:9, tizes:10). Adjuk meg s brzoljuk a eloszlsfggvnyt! Megolds : X rtkkszlete a f2 3 4 7 8 9 10 11g szmhalmaz. Mindegyik i rtket P(X = i) = 1=8 valsznsggel veheti fel. gy az eloszlsfggvny:

II.8


8 0 > > 1=8 > > 2=8 > > < 3=8 FX (x) = > 4=8 5=8 > > 6=8 > > > : 7=8

ha ha ha ha ha ha ha ha 1 ha

81

x 2 2<x 3 3<x 4 4<x 7 7<x 8 8<x 9 9 < x 10 10 < x 11 11 < x

II.8.3. Feladat: A vletlen ksrlet az, hogy n darab dobozba vlet-

lenszeren golykat helyeznk el gy, hogy minden elhelyezsnl brmelyik doboz kivlasztsa egyformn valszn. Akkor llunk meg, ha szrevesszk, hogy az egyes szm dobozba bekerlt az els goly. Jellje X a ksrlet befejez dsekor az elhelyezett golyk szmt. Adjuk meg az X eloszlst! Megolds : Annak a valsznsge, hogy az egyes szm dobozba ejtnk egy golyt p = n1 , annak, hogy nem ebbe kerl a goly q = n;n 1 . Ha Aval jelljk azt az esemnyt, hogy az egyes dobozba kerl a goly, akkor a golyk elhelyezst addig kell folytatnunk, amg A el szr be nem kvetkezik, teht eloszls lesz. Az eloszlsa: P (X = k) = qk;1p = ; n;1 kX;1 1geometriai n n k = 0 1 2 ::: :

II.8.4. Feladat: Mennyi a valsznsge, hogy a hagyomnyos 90/5 lot-

thzs sorn valamennyi kihzott szm pros lesz?

82


45 45 Megolds : Az X eloszlsa, P (X = k ) = ( k ()(905);k) k = 0 1 2 3 4 5. A k krds arra vonatkozik, amikor k = 5, azaz a keresett valsznsg: 45 45 ( )( ) P (X = 5) = 5(90)0 0 0278. 5

II.8.5. Feladat: Az egysgngyzeten kivlasztunk vletlenszeren egy

pontot. Jellje X a pontnak a legkzelebbi oldaltl vett tvolsgt. Adjuk meg az X valsznsgi vltoz srsgfggvnyt!

Megolds : Geometriai mdszerrel lehet meghatrozni az eloszlsfggvnyt. Az albbi brn stttve mutatjuk az X < x esemnynek megfelel

tartomnyt:

8 0 < 2 2 A terlet nagysga 1;(1 ; 2x) , gy FX (x) = : 1 ; (1 ; 2x) 4 ; 8x1 Derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fX (x) =

0

ha x 0 ha 0 < x 0 5 . ha x > 0 5 ha 0 < x 0 5 egybknt.

II.8.6. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszt tallomra vlasztott

pontjval kt rszre osztunk. Mi a keletkezett szakaszok kzl a kisebbik hossznak srsgfggvnye? Megolds : Jelljk Y -nal a kivlasztott pont origtl tvolsgt! 8 0vett < ha x 0 Ekkor nyilvn Y 2 U 0 1], s eloszlsfggvnye FY (x) = : x ha 0 < x < 1 . 1 ha x 1 A keletkez szakaszok kzl a rvidebb hosszt X -el! A kt vltoz Y jelljk ha Y

kztt az albbi kapcsolat ll fenn: X = 1 ; Y ha Y0 >5 0 5 : gy X eloszlsfggvnye kifejezhet Y eloszlsfggvnyvel:

II.8


83

FX (x) = P(X < x) = P(X < x Y 0 5) + P(X < x Y > 0 5) = = P(Y < x Y 0 5) + P(1 ; Y8< x Y > 0 5) = 0 ha x 0 < = P (Y < x)+P (1 ; x < Y ) = : x + (1 ; (1 ; x)) = 2x ha x 2 (0 0 5) , 1 ha x 0 5 azaz X 2 U 0 0 5] : II.8.7. Feladat: Egy szobban t telefon mkdik, melyek kzl brmelyik megszlalhat a tbbiekt l teljesen fggetlenl X id n bell, ahol X = 1 paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltoz. Mennyi az eslye annak, hogy egysgnyi id n bell pontosan kt telefonkszlk fog csrgni? Megolds : Az A: egy telefon megcsrren egysgnyi id n bell esemny valsznsge: p = P (X < 1) = FX (1) = 1 ; e;1: Mivel t fggetlenl zemel kszlknk van, a feladat tfogalmazhat gy, mintha az A esemnyre vonatkoz tszrs ksrletsorozatrl volna sz. gy a binomilis eloszlst gyelembevve, ; annak valsznsge, hogy az A esemny pontosan ktszer kvetkezik be: 52 p2 (1 ; p)3 = 10 (1 ; 1=e)2 (1=e)3 0 1989: II.8.8. Feladat: Egy automata zacskkba cukorkt adagol. A zacskk X slyt = 100 (gramm), = 2 (gramm) paramter normlis eloszlsnak tekinthetjk. Mennyi a valsznsge annak, hogy hrom vletlenszeren kivlasztott zacsk kztt legalbb egy olyan van, amelynek a slya 99 s 101 gramm kz esik? Megolds : Legyen A : a zacsk slya 99 s 101 gramm kz esik esemny. Az A bekvetkezsnek valsznsgt az eloszlsfggvnye segtsgvel hatrozhatjuk meg:; P(A) = P(99

;100X< 101) = ; 99 101 ; 100 = FX (101) ; FX (99) = 2 ; 2 = (0 5) ; (;0 5) = = 2(0 5) ; 1 0 383: A hrom zacsk kivlasztsa n = 3 s P(A) paramter;binomilis eloszlssal modellezhet , ami alapjn a keresett valsznsg: 0 3 1 ; 0 (P(A)) (1 ; P(A))3 0 765114887: II.8.9. Feladat: Legyen az X valsznsgi vltoz folytonos eloszlsfggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = 3F (X )+4 valsznsgi vltoz egyenletes eloszls a 4 7] intervallumon! Megolds : P(Y < x) = P(3F (X ) + 4 < x) = P(X < F ;1( x;3 4 )) = F (F ;1( x;3 4 )) = x;3 4 .

84


II.8.10. Feladat: Legyen az X valsznsgi vltoz folytonos eloszls-

fggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked

is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = ln F (1X ) eloszlsa = 1 paramter exponencilis! Megolds : P(Y < x) = P(ln F (1X ) < x) = P(F (X ) > e;x ) = = 1 ; P(F (X ) e;x) = 1 ; P(X < F ;1(e;x)) = = 1 ; e;x ) Y 2 E (1):

II.8.11. Feladat: Ha az X valsznsgi vltoz srsgfggvnye f (x),

akkor mi a srsgfggvnye az Y = jX j valsznsgi vltoznak?

Megolds : P(Y < x) = P(jX j < x) = P(;x < X < x) = F (x) ; F (;x), derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = f (x) + f (;x), x > 0.

II.8.12. Feladat: Ha X -paramter Poisson-eloszls valsznsgi

vltoz, akkor mi az eloszlsa az Y = 2X + 1 valsznsgi vltoznak? Megolds : Mivel X 2 f0 1 2 : : :g ) Y P (X = k) = P (Y = 2k + 1) = kk! e; .

2 f1 3 5 : : :

2n + 1 : : :g s

II.8.13. Feladat: Ha az X a 0 1] intervallumon1 egyenletes eloszls X

valsznsgi vltoz, mi a srsgfggvnye az Y = sznsgi vltozknak?

X

s a Z = 1+X val-

Megolds : Ha x 0, akkor P(Y < x) = P( X1 < x) = ;0, mert ez lehetetlen. Ha x > 0, akkor P(Y < x) = P( X1 < x) = P X > x1 = ; ; 1 1 1 ; P X x = 1 ; FX x 1 ; x1 , ha mg az is fennll, hogy x1 1, azaz ha x 1 : A srsgfggvnyt derivlssal x 1. gy FY (x) = 1 ; 01 ha x>1 x ; 2 hatrozhatjuk meg: fY (x) = x ha x > 1 (klnben x ha= x0). 0Msrszt ; ; P(Z < x) = P 1+XX < x = P X < 1;xx = 1;x1 ha x > 0 55 : (Az x ;2 1;x 0 sohasem teljesl.) Derivls utn: fZ (x) = (1 ; x) , ha x < 0 5 (klnben = 0).

II.8.14. Feladat: Ha X a +0,2] intervallumon egyenletes eloszls, akkor

mi a srsgfggvnye az Y = jX ; 1j valsznsgi vltoznak?

II.8

85


Megolds : P(Y < x) = P (jX ; 1j < x) = P(1 ; x < X < 1 + x) = 1+x 1;x x 2 0 1] , = FX (1 + x) ; FX (1 ; x) = 2 ; 2 = x1 ha ha x > 1: vagyis Y 2 U 0 1].

II.8.15. Feladat: Ha X -paramter exponencilis eloszls valsz-

nsgi vltoz, akkor mi a srsgfggvnye az Y = 3X + 3 valsznsgi vltoznak? Megolds : P(Y < x) = P(X < x;3 3 ) = 1 ; e; x;3 3 , ha x 3. fY (x) = 3 e; x;3 3 , x > 3.

II.8.16. Feladat: Ha X-paramter exponencilis p eloszls valszn-

sgi vltoz, akkor mi a srsgfggvnye az Y = X valsznsgi vltoznak?

Megolds : P(Y < x) = P (X < x2) = 1 ; e; x2 x > 0. fY (x) = 2 2xe; x x > 0.

II.8.17. Feladat: Ha X-paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltoz, akkor mi a srsgfggvnye az Y = X12 valsznsgi vltoznak?

;

Megolds : P(Y < x) = P(0 < X12 < x) = P X 2 > x1 = P X > p1x = 1 1 ; P X px = 1 ; FX ( p1x ). Derivls utn fY (x) = 2p x3 e; px , x > 0.

II.8.18. Feladat: Egy szablyos pnzdarabbal vgznk dobsokat. A

pnzfeldobst addig folytatjuk, amg a dobsok sorozatban mind a fej, mind az rsok szma elri a k szmot. Jellje X az ehhez szksges dobsok szmt. Adja meg az X eloszlst! Megolds : Jellje Y a fejek szmt, Z az rsok szmt az n dobs ;n;kztt. 1 1 + gy P ( X = n ) = P ( Y = k Z = n ; k ) + P ( Y = n ; k Z = k ) = k ; 1 2n ;n;1 1 = ;n;1 1 . k;1 2n k;1 2n;1

II.8.19. Feladat: A 0 1] szakaszon vletlenszeren kivlasztunk kt pon-

tot. Legyen a kt pont tvolsga X . Adja meg X srsgfggvnyt!

86


Megolds : Jellje Y illetve Z a kt pont origtl vett tvolsgt! Ekkor X = jY ; Z j, P (X < x) = P (Y ; x < Z < Y + x) : Geometriai valsznsgszmtsi mdszerrel: (Y Z ) egy vletlen pont az egysgngyzetben, gy az (Y ; x) < Z < (Y + x) felttelnek megfelel tartomny:

8 0 < 2 A keresett eloszlsfggvny: FX (x) = : 1 ; (1 ; x) 1

ha x 0 ha x 2 (0 1) : ha x 1

II.8.20. Feladat: Az A paramter milyen rtknl lesz az f (x) = Ae;x

2

x 2 R fggvny srsgfggvny? Mennyi ekkor a vrhat rtk s a szrsngyzet? Megolds : A =

p1

) f (x) =

x2

; 1 p 1 1 e 22 2 p2

N

0

p1

2

:

II.8.21. Feladat: Az egysgnyi oldal ngyzet kt tellenes oldaln ta-

llomra vlasztunk egy-egy pontot. Jelljk X -el a kt pont tvolsgt! Adja : meg az FX (x) = P (X < x) eloszlsfggvnyt!

q

; p

Megolds : X = (x ; y )2 + 1 t 2 1 2 -re ; 2 FX (t;) = Pp(X < t) = P (x ;py) + 1 < t2 = = P x; p t2 ; 1 < y < xp+ t2 ; 1 = ; = 1 ; 1 ; t2 ; 1 2 = 2 t2 ; 1 ; (t2 ; 1) :

II.8.22. Feladat: Az egyetemen nagyon sok telefonkszlk van, ame-

lyek egymstl fggetlenl romlanak el azonos valsznsggel. Az v 360 napjbl tlagosan 12 olyan nap van, hogy egyetlen kszlk sem romlik el. Vrhatan, hny olyan nap lesz, amikor 2 vagy 2-nl tbb telefon romlik el?

II.8


87

Megolds : Jellje X az egy nap alatt meghibsodott telefonkszlkek 12 = 1 ) szmt! X nyilvn Poisson-eloszls. Mivel P (X = 0) = e; 360 30 1 ln 30: Ezrt P (X 2) = 1 ; P (X ;= 1) ; P (X = 0) = 1 ; 30 (1 + ln 30) : Az X 2 napok vrhat szma: 360 1 ; 301 (1 + ln 30) 307:

II.8.23. Feladat: Az X 2 U (0 1) valsznsgi vltoz segtsgvel gen-

erljunk Y

2 G (0 25) eloszls valsznsgi vltozt!

Megolds : Legyen qi = qi+1 i = 0 1 2 : : :.

Pi 3j; q j 0 j =0 4 1

= 1: Ekkor Y = i ha qi < X

II.8.24. Feladat: Egy kpzeletbeli diktatrban a Nagy Testvr az albbi rendeleteket hozta: 1- A hadsereg utnptlsnak biztostsa vgett minden csald kteles gyermeket szlni. 2- A demograi robbans elkerlse vgett minden csaldban, ha mr szletett , tbb gyermek nem szlethet. Hogyan vltoztatja meg a Nagy Testvr ezen kt rendelete a -lny arnyt? Megolds : A Nagy Testvr vgtelen blcsessge kvetkeztben, nem vltozik meg a lny arny! Hiszen, ha N csald van az orszgban, a k szma nyilvn N lesz. A lnyok pedig: N4 + N8 2 + 16N 3 + + 2kN+1 k + = 1 N P k 1 = N: 4 2k;1 k=1

II.8.25. Feladat: Legyen X Poisson-eloszls > 0 paramterrel,

Y = 2X + 1. Adjuk meg Y vrhat rtkt s szrsngyzett! Megolds: EY = 2EX + 1 = 2 + 1 2 Y = 4 2X = 4:

II.8.26. Feladat: Legyen X n s p paramter binomilis eloszls valsznsgi vltoz, Y = 1+1X . Adjuk meg Y vrhat rtkt s szrst! Megolds: EY =

Pn

;

1 n k 1+k k p (1

; p)n;k = : : :

k=0 n ; 2 ;n P 1 2Y = pk (1 ; p)n;k ; (EY )2 = : : : stb. k=0

1+k

k

88


II.8.27. Feladat: Ha az X srsgfggvnye fX (x) = (1+1 x ) (x 2 R), 2

akkor ltezik-e vrhat rtke? diverR1 Megolds: Nem ltezik, mert x (1+1 x2) dx = 21 ln (1 + x2) 1 ;1 ;1 gens. II.8.28. Feladat: Legyen X 2 N ( ), azaz , paramter normlis eloszls valsznsgi vltoz! Adjunk kpletet EX n -re! Megolds: Ha X~ = X; jelli a standardizltat, akkor X~ 2 N (0 1). R1 R1 EX~ n = xn ' (x) dx = (n ; 1) xn;2' (x) dx = (n ; 1) EX~ n;2 . Mivel ;1 ;1 EX~ = 0, gy a standardizlt minden pratlan hatvnynak vrhat rtke 0. EnX~ 2n = (n ; 1)(n ; 3) 1 = (n ; 1)!, mivel EX~ 2 = 1. Msrszt EX n = P ;nk n;k EX~ k is fennll. Behelyettestve kaphatjuk a vgeredmnyt. k

k=0

II.8.29. Feladat: Egy jtkos 1023 zseton indul t kvel rulettezik. Az a stratgija, hogy addig folytatja a jtkot, amg vagy nyer, vagy pedig elfogy az sszes zsetonja. Minden forgats el tt a piros mez re rak megduplzva az el z ttet. Mennyi a nyeremnynek a vrhat rtke? (Az egyszersg kedvrt tekintsk a piros s fekete forgatsok valsznsgeit 21 -nek!) ; Megolds: X a piros forgatshoz szksges ksrletszm: X 2 G 12 : Y a jtkos nyeresge. A nyeresg, ha nyer a jtkos mindig 1 zseton. A jtkos a 10-dik jtk utn mindegyik zsetonjt elveszti: 1+2+4+ +210 = 1 ; k P 1 = 1 ) P (X 10) = 1 ; 1 : 1023: P (X > 10) = 2 210 210 k=11 ; EY = 1 1 ; 2110 ; (210 ; 1) 2110 = 0: A vrhat nyeresg teht 0 zseton! II.8.30. Feladat: Egy rten hrom szarvas legelszik gyantlanul. Egymsrl nem tudva hrom vadsz lopakodik a tisztshoz, s egyszerre tzelnek a vadakra. Mindegyik lvs tall, s hallos. Mennyi a lvsek utn a rtr l elszalad szarvasok szmnak vrhat rtke s szrsa? (Elvileg tbb vadsz is l het ugyanarra a szarvasra. . . ) Megolds: X az elfut szarvasok szma: X 2 f0 1 2g : P (X = 2) = P (Mindegyik vadsz ugyanazt a szarvast lvi le) = 273 P (X = 0) = P (Mindegyik vadsz ms-ms a szarvasra l ) = 276 P (X = 1) = 1 ; P (X = 0) ; (X = 2) = 2718 EX = 89 EX 2 = 109 2X = 2681 :

II.8


89

II.8.1. Gyakorlat: Az egysgnnyzeten tallomra kivlasztunk egy P

pontot. Jellje X a P s a hozz legkzelebb ll cscs tvolsgt. Adja meg X eloszls- s srsgfggvnyt! II.8.2. Gyakorlat: Legyen X 2 E () s Y = X 2 : Adja meg Y srsgfggvnyt!

II.8.3. Gyakorlat: Legyen az X valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

F (x) : Legyen Y = maxf0 X g Z = minf0 ;X g V = jX j s W = ;X: Fejezze ki Y Z V s W eloszlsfggvnyt F (x)-szel! II.8.4. Gyakorlat: A (0 1) intervallumban kijellnk hrom pontot vletlenszeren. Hatrozzuk meg a kzps pont 0;tl val tvolsgnak eloszlsfggvnyt! II.8.5. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtybl kihzunk egy lapot. Legyen X a kihzott lap rtke. Adja meg s brzolja X eloszlsfggvnyt! Szmolja ki a 7 5 < X < 10 2 esemny valsznsgt! p II.8.6. Gyakorlat: Legyen X 2 U (0 1) s Y = 2X: Adja meg Y srsgfggvnyt! II.8.7. Gyakorlat: Egy hztartsi gp gyri nkltsge 10 000 Ft. A termkre a gyr 1 v garancit ad, ami szerint a hibs gpet ingyen kicserli, amennyiben az 1 ven bell meghibsodik. A gyr szakemberei szerint a gp lettartama 30 v vrhat rtk exponencilis eloszls. A termel i r a gp nkltsge plussz a garancilis cserk nkltsgnek vrhat rtke. Mekkora legyen a termel i r? ; II.8.8. Gyakorlat: X 2 E (2) segtsgvel generljon egy Y 2 G 13 valsznsgi vltozt! II.8.9. Gyakorlat: Egy gyrtmnynak az egy szzalka selejtes. A darabokat ezresvel dobozokba csomagoljk. Mennyi a valsznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott dobozban nincs hromnl tbb hibs? II.8.10. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobunk fel jra s jra, mg meg nem kapjuk a msodik fej et is. Mennyi annak a valsznsge, hogy az els fej utn a msodik fej ig ugyanannyi dobsra van szksg, mint ahny dobs kellett az els fej ig?

90


x 2 1 2] srsgfggvnyt! Az X 2 U (0 1) segtsgvel lltsunk el olyan Y valsznsgi vltozt, amelynek srsgfggvnye ppen f (x)!

II.8.11. Gyakorlat: Tekintsk az f (x) =

3x2 7

II.8.12. Gyakorlat: Milyen b rtknl lesz az f (x) = bpx ; 2 x 2 (2 3)

fggvny srsgfggvny?

II.8.13. Gyakorlat: Egy normlis eloszls valsznsgi vltoz 0 1 valsznsggel vesz fel 10 2-nl kisebb rtket, s 0 25 valsznsggel 13 6nl nagyobb rtket. Mennyi a vrhat rtke s szrsa? II.8.14. Gyakorlat: Egy szmtgpes szervzben egy hnap hsz munkanapjbl tlagosan kett n nincsen reklamci. Poisson-eloszlst felttelezve, mennyi annak a valsznsge, hogy egy adott napon hrom, vagy hromnl tbb reklamci rkezik? II.8.15. Gyakorlat: Legyen X 2 U (a b) s Y = X n: Adja meg Y el-

oszlsfggvnyt!

II.8.16. Gyakorlat: Egy teg addig tzel egy clpontra, amg el nem

tallja. A tallat valsznsge minden lvsnl p. Mennyi az egy tallathoz szksges tlagos l szerkszlet, a munci ?

II.8.17. Gyakorlat: Az A knyvben az egy oldalon tallhat sajthibk

szma X 2 Po (1) mg a B knyvben ugyanez Y 2 Po (2) : Igaz-e a kvetkez kt llts egyszerre: (i) Az A knyvben hromszor annyi sajthiba van mint a B knyvben. (ii) A B knyvben tszr akkora egy hibamentes oldalnak a valsznsge, mint az A knyvben?

II.8.18. Gyakorlat: A boltban rult izzk 1%-a hibs. Ha vesznk 100

darabot, akkor hny darab lesz benne rossz a legnagyobb valsznsggel, s mekkora ez a valsznsg?

II.8.19. Gyakorlat: Egy 1 MFt nkltsg szmtgp termel i rt

kell meghatrozni. A szmtgp lettartama exponencilis eloszls 10 v vrhat rtkkel. Garancit vllalunk gy, hogy ha az els vben a gp elromlik, akkor kicserljk, ha a msodik is elromlik egy ven bell, akkor visszaadjuk a gp rt. A termel i r legyen az az rtk, mely mellett a kiads s a bevtel vrhat rtke megegyezik. (A visszavett gpek rtktelenek.)

II.8


91

II.8.20. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez kt lehet sgnk van. Vagy

egy drga kszlkkel mrnk egyet, ahol a mrs hibja N (0 1) eloszls, vagy egy olcs kszlkkel mrnk hromszor, s a mrseredmnyeket tlagoljuk, ahol viszont a mrs hibja mr N (0 1 6) eloszls. Melyik mrsi technika adja a pontosabb mrst?

II.8.21. Gyakorlat: Egy dobozban a szivrvny ht sznvel egyez sz-

n golyk vannak. Addig hzzuk ki a golykat visszatevssel a dobozbl, amg valamennyi szn golyt ki nem hztunk egyszer. Mi az ehhez szksges X hzsszm eloszlsa?

II.8.22. Gyakorlat: Legyen az X valsznsgi vltoz eloszlsfggv-

nye F (x) srsgfggvnye pedig f (x): Bizonytsa be, hogy EF (X ) = 21 :

II.8.23. Gyakorlat: Legyen X logisztikus eloszls, azaz srsgfggvnye: fX (x) = (1+eexx )2 x 2 R: Szmolja ki az X medinjt, vagyis azt az MX szmot, amelyre P (X < MX ) = P (X MX ) = 21 teljesl.

2 f0 1 2 : : :g olyan valsznsgi vl1 P toz, melynek ltezik a vrhat rtke. Bizonytsa be, hogy EX = P (X i) : i=1 II.8.24. Gyakorlat: Legyen X

II.8.25. Gyakorlat: Legyen az X valsznsgi vltoz olyan, hogy P (0 < X < 1) = 1: Bizonytsa be, hogy 2X < EX ! II.8.26. Gyakorlat: Egy baromudvarban a gondoz gyrjr l lees

rtkes kvet az egyik liba lenyelte. A gondoz knytelen a libk levgsval megprblni visszaszerezni a kvet. Addig vgja le a vletlenszeren elkapott libkat, amg valamelyik begyben meg nem tallja a kvt. Ha sszesen 50 liba van a farmon, mennyi a knyszersgb l levgott libk szmnak vrhat rtke?

II.8.27. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl kivlasztott pontja. Jellje X a P pont origtl vett euklideszi tvolsgt. Mennyi X vrhat rtke? II.8.28. Gyakorlat: Legyen X 2 B ;3 14 s Y = X 3: Mi Y eloszlsa,

s mennyi a vrhat rtke?

92


II.8.29. Gyakorlat: Az origbl kiindulva egy bolha ugrl a szmegye-

nesen. Minden ugrsa egysgnyi hossz s a tbbit l fggetlenl p valsznsggel jobbra, 1 ; p valsznsggel balra trtnik. Az tdik ugrs utn meggyeljk a bolha helyt. Adja meg ennek az eloszlst!

II.8.30. Gyakorlat: Az X normlis eloszls valsznsgi vltoz vr-

hat rtke ;5 s tudjuk, hogy P (;5 X < 0) = 0 3: Mennyi P (;5 < X < 4)?

II.8.31. Gyakorlat: Ltezik-e az F (x) = x ln x ; x + 1 x 2 1 e] eloszlsfggvny valsznsgi vltoznak msodik momentuma? II.8.32. Az X valsznsgi vltoz srsgfggvnye 8 Gyakorlat: ;2x

< 2e 2x fX (x) = : 3e 0 2

ha 0 x 1 ha 1 < x 2 : Mennyi EX ? egybknt

II.8.33. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobok fel ismtel-

ten, amg kt fejet, vagy kt rst nem kapok. Mennyi a dobsok szmnak vrhat rtke s szrsa?

II.8.34. Gyakorlat: Legyen X 2 E (), ahol = 0 1s Y = X ] azaz

X egszrsze. Mennyi az Y diszkrt valsznsgi vltoz vrhat rtke?

II.8.35. Gyakorlat: Egy jtkos rulettezik. Hrom ttet tesz meg: egyegy 100 Ft-os zsetont tesz a fekete 13 szmra, a fekete mez re s a pratlan mez re. &tszr megismtelve ezt a stratgit, mennyi a jtkos nyeresgnek (vesztesgnek) vrhat rtke? (A rulettrcsn 0-tl 36-ig llnak a szmok, 18 fekete, 18 piros, a 0-s zld szn.A fekete szmok kztt 9 db pros s 9 db pratlan van. Ha valaki szmra tesz, a ttet s mg annak 36-szorost sepri be. A fekete vagy pratlan mez kn a nyeresg ktszeres. A 0-ra nem lehet fogadni. Ha 0-s prg ki, minden megrakott ttet a bank viszi el.)

III. fejezet Valszn sgi vektorvltozk III.1. Valsznsgi vektorvltozk, valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa Nagyon gyakran nem lehet a vletlen jelensget egyetlen szmadattal jellemezni. Pl. amikor az id jrsi helyzetet prbljk el rejelezni, megadjk a vrhat h mrsklet, csapadkmennyisg, lgnyoms, szler ssg stb. adatokat, azaz a prognosztizlt helyzetet egy vektorral jellemzik. A vektor komponensei valsznsgi vltozk, rtkeik a vletlent l fggnek. Felmerlhet az egyes komponensek kztt fennll kapcsolatok krdse is.

III.1.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi me-

z . Tekintsk az X : ! Rp fggvnyt! Az X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvltoz, ha minden B 2 Bp p-dimenzis Borel-halmazra f! X (!) 2 Bg 2 = teljesl. Megjegyzs : Bp a B1 B2 Bp alak halmazok ltal generlt algebra, ahol Bi 2 B tetsz leges egydimenzis Borel-halmaz.

III.1.2. Den ci: A QX (B ) = P(f! X (!) 2 B g), B 2 Bp az X va-

lsznsgi vektorvltoz eloszls a.

III.1.3. Den ci: Legyen (x1 x2 : : : xp)T = x 2 Rp, s a hozztartoz

p-dimenzis Borel-halmaz Bx = ( ;1 x1 ) ( ;1 x2 ) ( ;1 xp ): Ekkor az FX (x) = FX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) = QX (Bx) = 93

94

III. FEJEZET Valsznsgi vektorvltozk

= P(X1 < x1 X2 < x2 : : : Xp < xp) fggvnyt az X valsznsgi vektorvltoz eloszlsfggvny nek, illetve az X1 X2 : : : Xp komponens valsznsgi vltozk egyttes eloszlsfggvny nek nevezzk.

III.1.1. Ttel: Az X valsznsgi vektorvltoz eloszlsa s eloszls-

fggvnye klcsnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst. Megjegyzs : A ttelt nem bizonytjuk.

III.1.2. Ttel: (Az egyttes eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) FX minden vltozjban monoton nem cskken fggvny, azaz 8 i -re, ha xi < x i akkor FX (x1 : : : xi : : : xp ) FX (x1 : : : xi : : : xp ): b.) FX minden vltozjban balrl folytonos fggvny, azaz lim0 FX (x1 : : : y : : : xp) = FX (x1 : : : x0i : : : xp): y!xi ;0

c.) 8xlim FX (x1 : : : xi : : : xp) = 1 s 9xlim FX (x1 : : : xi : : : xp) = 0: !+1 !;1 i

i

d.) Az egyszersg kedvrt csak p=2 esetben modjuk ki ezt a tulajdonsgot. (Az ltalnos eset trgyalst lsd a III.7.1. feladatban.) Legyen T = a b) c d) tetsz leges p = 2 dimenzis tgla. Ekkor FX (a c) + FX (b d) ; FX (a d) ; FX (b c) 0: Bizonyts : Az a.), b.) s c.) lltsok az egydimenzis esethez, hasonlan bizonythatak rszletezskt l itt eltekintnk. A d.) llts nem szerepelt az egydimenzis esetben, ott a neki megfelel alak a tetsz leges a b) intervallum esetn FX (b) ; FX (a) 0, ami a monotonitsi tulajdonsggal esik egybe. Tbbdimenzis esetben szksg van d.)-re, mert pl p = 2 esetben az x1 + x2 0 F (x1 x2) = 01 ha ha x1 + x2 > 0 fggvny kielgti a.), b.) s c.)-t, de d.) nem teljesl r. A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy d.) baloldaln a P(X 2 T ) valsznsg ll, ami nyilvnvalan nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: A = f! X1 (!) < ag B = f! X1 (!) < bg C = f! X2 (!) < cg

III.1

Valsznsgi vektorvltozk, egyttes eloszlsfggvny

95

D = f! X2(!) < dg : Ekkor 0 P; (X 2 T) = P(a X1 < b c X2 < d) =

CD

= P BD(A + C ) = P (BD) ; P (BD (A + C )) = = P AB = P (BD);P (ABD + BCD) = P (BD);P (ABD);P (BCD)+P (ABCD) = Mivel A B s C D, gy az elnyel ds miatt: = P (BD) ; P (AD) ; P (BC ) + P (AB ), ami ppen az llts. III.1.4. Den ci: Ha X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye FX s 1 j1 < j2 < < jk p egy tetsz leges k elem indexkombinci, akkor az indexekhez tartoz Xj1 Xj2 : : : Xjk komponens valsznsgi vltozk egyttes eloszlsfggvnye az FX egy k-dimenzis perem - vagy vetleti eloszlsfggvny e. III.1.3. Ttel: Ha a X1 X2 : : : Xp valsznsgi vltozk egyttes eloszlsfggvnye FX ismert, akkor brmely vetleti eloszlsfggvnye meghatrozhat. Fordtva ltalban nem igaz: ha ismerjk az sszes alacsonyabb dimenzis vetleti eloszlsfggvnyt, az egyttes eloszlsfggvny nem llthat el . Bizonyts : A rszletes bizonytst a valsznsg folytonossgi tulajdonsgval lehetne elvgezni. Ekkor az lthat be, hogy FXi1 Xi2 :::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = 8xlim FX1X2:::Xn (x1 x2 : : : xn). !1 j

j 2= fi1 i2 :::ik g

Arra, hogy a fordtott llts nem igaz, p = 2 esetben adunk ellenpldt: Legyenek X1 s X2 olyan valsznsgi vltozk, melyek csak a ;1 0 s +1 rtkeket vehetik fel az albbi eloszlstblzat szerint X1 n X2 ;1 0 +1 X1 perem ;1 0 125 + " 0 0 125 ; " 0 25 0 0 05 0 05 +1 0 125 ; " 0 0 125 + " 0 25 X2 perem 0 25 05 0 25 1 ahol 0 < " < 0 125 8 tetsz leges. x ;1 > < 0 250 ha ha ; 1 < 0 Ekkor FXi (x) = > 0 75 ha 0 < xx : 1 ha 1 < x 1

96


a kt vetleti eloszlsfggvny, ami nyilvn nem hatrozza meg az egyttes eloszlsfggvnyt, mely az " paramtert is tartalmazza.

III.1.5. Den ci: Legyenek X1 X2 : : : Xp valsznsgi vltozk az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. a.) X1 X2 : : : Xp pronknt fggetlenek, ha 8 1 i < j n -re FXiXj (x y) = FXi (x) FXj (y) teljesl 8 x y 2 R-re. b.) X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, ha 8 2 k p s 81 i1 < i2 < < ik p indexkombincira Yk FXi1Xi2 ::: Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = FXij (xij ) 8xi1 xi2 : : : xik 2 R -re. j =1

III.1.4. Ttel: Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor pronknt

is fggetlenek. A megfordts ltalban nem igaz.

Bizonyts : A ttel els fele nyilvnval, hiszen a teljes fggetlensg felttelrendszere a pronknti fggetlensg felttelrendszert is tartalmazza. Az ellenplda ugyanazon a pldn alapulhat, mint amikor megmutattuk, hogy a pronknt fggetlen esemnyek rendszere nem felttlenl alkot teljesen fggetlen esemnyrendszert. (lsd I.4.4 ttelt).

III.2. Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa III.2.1. Den ci:

a.) Ha X s Y diszkrt valsznsgi vltozk E = fx1 x2 : : : xn : : :g illetve D = fy1 y2 : : : yn : : :g rtkkszletekkel, akkor az rij = P(f! X (!) = xig \ f! Y (!) = yj g) $ P(X = xi Y = yj ) (i j = 1 2 : : :) valsznsgek sszessgt a kt diszkrt valsznsgi vltoz egyttes eloszls nak nevezzk. b.) Az X1 X2 : :n: Xp diszkrt valsznsgi vltozk rtkkszleteit jellje o ( i ) ( i ) ( i ) rendre e(i) = x1 x2 : : : xn : : : (i = 1 2 : : : p).

III.2

Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa

97

(2) (p) Ekkor az ri1 i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip ) valsznsgek sszessge az X1 X2 : : : Xp diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa.

III.2.2. vlo n Den ci: Ha adott az X1 X2 : : : Xp diszkrt valsznsgi

(p) (2) tozk ri1i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip ) 8ik egyttes eloszlsa, s 1 j1 < j2 < < jk p, akkor az Xj1 Xj2 : : : Xjk diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlst k-dimenzis vetleti- vagy peremeloszls nak nevezzk.

III.2.1. Ttel: A diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa kie-

lgti az albbi tulajdonsgokat: a.) 0 ri1i2:::ip 1 P ri i :::i = 1 b.) p 1 2 8i1i2 :::ip

c.) P (Xj1 = xj1 Xj2 = xj2 : : : Xjk = xjk ) = Bizonyts :

n

P 8il2 = fj1 j2 :::jk g

ri1i2:::ip :

on

(2) a.) Nyilvnval, hiszen az Ai1i2:::ip = ! X1(!) = x(1) i1 ! X2 (! ) = xi2 n o ! Xp(!) = x(ipp) esemny valsznsgr l van sz.

o

b.) Mivel az Ai1i2:::ip esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, igaz az llts. c.) A folytonossgi ttel kvetkezmnye ez a tulajdonsg, melynek rszletezst l eltekintnk. Specilisan, az llts p = 2 esetben: 1 P P(X = xi) = P(X = xi Y = yj ) s P(Y = yj ) = j =1

1 P = P(X = xi Y = yj ): i=1

III.2.2. Ttel:

a.) Az X s Y diszkrt valsznsgi vltozk fggetlenek, ha 8 i j -re P(X = xi Y = yj ) = P(X = xi) P(Y = yj ):

98


b.) Az X1 X2 : : : Xp diszkrt valsznsgi vltozk teljesen fggetlenek, ha 8 2 k p-re s 8 1 j1 < j2 < < jk k p esetn Q P (Xj1 = xj1 Xj2 = xj2 : : : Xjk = xjk ) = P (Xj = xj ) : =1

Bizonyts : A bizonytst nem rszletezzk, csak annyit jegyznk meg, hogy az Xi valsznsgi vltozk teljes fggetlensge ekvivalens a kapcsolatos Ai = f! Xi (!) = xig nvesemnyek teljes fggetlensgvel.

III.2.1. Plda: (Polinomilis eloszls) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A1 A2 : : : Ar 2 = egy Pr r esemnyb l ll teljes esemnyrendszer, azaz Ai Aj = Ai = : Ekkor,

i=1 r P ha 0 < P(Ai) = pi , akkor pi = 1: Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrleti=1

sorozatot. Vegye fel Xi azt az rtket, ahnyszor Ai bekvetkezett a ksrletsorozatban. Az X1 X2 : : : Xr valsznsgi vltozk egyttes eloszlst n p1 p2 : : : pr paramter polinomilis eloszlsnak nevezzk. Az Xi valsznsgi vltozk rtkei a 0 1 2 : : : n szmok kz esnek. Az Xr 1 X2 : : : Xr P valsznsgi vltozk rtkei kztt szoros sszefggs van: Xi = n. Az i=1 X1 X2 : : : Xr valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa: P(X1 = k1 X2 = k2 : : : Xr = kr ) = k1!k2n!!kr ! pk11 pk22 pkrr . A fenti valsznsgek alkotnak, hiszen: Pn valban neloszlst ! pk1 pk2 pkr = (p + p + + p )n = 1: 1 2 r r k1 !k2 !kr ! 1 2 8ki=0 k1 +k2 ++kr =n

Megjegyzs : A binomilis eloszls specilis polinomilis eloszls, amikor r = 2. A teljes esemnyrendszer ilyenkor A s az ellentettje. Teht a polinomilis eloszls a binomilis eloszls tbbdimenzis kiterjesztse. A polinomilis eloszls Xi komponensei egyenknt B (n pi) eloszlsak, azaz a polinomilis eloszls egydimenzis peremeloszlsai binomilisak.

III.3. Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa III.3.1. Den ci: Az X1 X2 : : : Xp folytonos valsznsgi vltozk

egyttes s r sgfggvny n azt az fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp ) Riemann-integ-

III.3

99

Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa

rlhat fggvnyt rtjk, melyre: Rx1 Rx2 FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = ;1 ;1

p

Rxp f

;1

X1 X2 :::Xp (t1 t2

: : : tp)dtpdtp;1 dt1,

p (x1 x2 :::xp ) = f T azaz @ FX1 X@x2:::X X1 X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp), ha x = (x1 x2 : : : xp ) 1 @x2 @xp folytonossgi pontja fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp)-nek.

III.3.2. Den ci: Az fX X :::Xp (x1 x2 : : : xp) egyttes srsgfgg-

vny egy k-dimenzis vetleti s r sgfggvny n (2 k p;1) valamely 1 i1 < i2 < < ik p indexkombincira az Xi1 Xi2 : : : Xik valsznsgi vltozk egyttes srsgfggvnyt rtjk. 1

2

III.3.1. Ttel: fXi Xi :::Xik (xi xi : : : xik ) =

R R R1 f X X :::Xp (t1 t2 : : : tp )dtj dtj dtjp;k 1

1 1

1

2

2

= azaz az egyttes s1 2 1 2 ;1 ;1 ;1 rsgfggvnyt az sszes tbbi # a kivlasztott index kombinciban nem szerepl # indexhez tartoz vltozra kell kiintegrlni a teljes szmegyenesen, hogy el lltsuk a k-dimenzis vetleti srsgfggvnyt fj1 j2 : : : jp;k 2= fi1 i2 : : : ik g : Bizonyts : A III.1.3 ttel egyszer kvetkezmnye.

III.3.1. Plda: (A ktdimenzis normlis eloszls)

Ha X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i 2 fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, akkor a kt valsznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzis normlis, ahol a peremeloszlsokra X 2 N (1 1) Y 2 N (2 2) teljesl. Ugyanis megmutathat, hogy h i2 (y ;2 )2 ; 22 11;%2 x; 1 + 12 %(y;2 ) ; 2 2 1 1 ( ) : fXY (x y) = p22 e 2 p21 p1;%2 e 1

R1 f

gy pl. fY (y) = =

; p 1 e 22

(y

;1

;2 )2 222

; (y;222 ) p 1 2 22

2

XY

R1 p

(x y) dx =

;1

p e

1

21 1;%2

h

; 22 (11;%2 ) x; 1

1 + 12 %(y;2 )

i2

dx =

= e : 1 p 2 Az integrl mgtt az N 1 + 2 %(y ; 2) 1 1 ; % eloszls srsgfggvnye ll, gy az integrl rtke 1.

100


III.3.1 bra A ktdimenzis normlis eloszls srsgfggvnye. A szimmetria tengelyt tartalmaz skmetszetei haranggrbk, a szimmetriatengelyre mer leges skmetszetek pedig ellipszisek.

III.3.2. Ttel: Legyenek X1 X2 : : : Xp folytonos valsznsgi vltozk

az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. a.) X1 X2 : : : Xp pronknt fggetlenek () 8 1 i < j n -re fXiXj (x y) = fXi (x) fXj (y) teljesl 8 x y 2 R -re. b.) X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek () 8 2 k p s 8 1 i1 < i2 < < ik p indexkombincira Yk fXi1 Xi2:::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = fXij (xij ), 8xi1 xi2 : : : xik 2 R. j =1

Bizonyts : Az III.1.5 dencibl egyszeren derivlssal kvetkezik az llts. Megjegyzs : p = 2 esetben az el z ttelek specilis alakjai: @ FXY (xy) = f (x y ), f (x) = +R1 f (x y ) dy , f (y ) = +R1 f (x y ) dx XY X XY Y XY @x@y ;1 ;1 ha X s Y fggetlenek fXY (x y) = fX (x)fY (y) (8 x y 2 R): 2

III.3.3. Ttel: (Az egyttes s r sgfggvny tulajdonsgai) a.) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) 0

III.4

b.)

Valsznsgi vektorvltozk transzformcii

101

R R +R1 f X X :::Xp (t1 t2 : : : tp) dtp : : : dt2 dt1 = 1:

+1 +1 ;1 ;1

1

;1

2

Bizonyts : A III.1.2 ttel a.) s c.) pontjbl, valamint az egyttes srsgfggvny III.3.1 dencijbl kzvetlenl kvetkezik.

III.4. Valsznsgi vektorvltozk transzformcii A II.5.2 transzformcis ttel tbbdimenzis ltalnostsa az albbi:

III.4.1. Ttel: Jellje az X = (X1 X2 : : : Xp )T valsznsgi vektorvl-

toz srsgfggvnyt fX (x), amely eltnik a D Rp tartomnyon kvl. Legyen u : D ! H ( Rp) bijektv (klcsnsen egy-egyrtelm) transzformci. Ekkor az Y = u(X ) valsznsgi vektorvltoz srsgfggvnyt az albbi mdon szmthatjuk: y2H ;1 (y)) det(J (y )) f ( u X fY (y) = 0 y 2= H ,

0 @u; (y) @y B @u; (y ) B @y ahol J (y) = B B . B @ @u;p.. (y) 1

2

1

1 1 1

1

@y1

@u;1 1 (y ) @y2 @u;2 1 (y ) @y2

@up (y ) @y2

... ;1

...

1 C C C a lekpezs Jacobi-mtrixa. ... C C A ; @up (y) @u;1 1 (y) @yp @u;2 1 (y) @yp 1

@yp

Bizonyts : Legyen D egy tetsz leges p-dimenzis Borel-halmaz, u;1(D) = B pedig az skpe, vagyis az a p-dimenzis Borel-halmaz, melyet u D-re kpez. Ekkor nyilvn P(Y 2 D) = P(X R2 u;1(D)) = P(X 2 B ). A srsgfggvnyek segtsgvel: P(Y 2 D) = fY (y) dy, msrszt R f (x) dx = R f (u;1(yD)) det(J (y) dy. P(X 2 u;1(D)) = X X D u;1 (D) A kt integrl sszehasonltsbl mr kvetkezik az llts.

III.4.2. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz sszegnek eloszlsa)

Legyen X s Y valsznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a

102


Z = X + Y valsznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x ; t) dt = fXY (x ; t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t) dt = fX (x ; t) fY (t)dt: ;1 ;1 Ez utbbi esetben fZ az fX s fY srsgfggvnyek konvolcija. Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.1 ttelt az y1 = u1(x1 x2) = x1 + x2 ) y1 ; y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2= u;2 1(y1y2) = x2 szereposztssal. Ilyenkor J (y1 y2) = 10 ;11 gy det(J (y1 y2)) = 1: A Z = X + Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 ; y2 y2) 1: Innen Z srsgfggvnyt a III.3.1 ttelt felhasznlva szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 ; y2 y2) dy2: ;1 ;1 Az utbbi integrlban az y1 ; y2 = t vltoztranszformcival kapjuk az +R1 fZ (y1) = fXY (t y1 ; t) dt kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor a ;1 III.3.2 ttelb l kapjuk, hogy fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t)dt = fX (x ; t) fY (t)dt. ;1

;1

Megjegyzs: a.) Az el z ttel egy msik bizonytsa az albbi: R1 zR;x f (x y) dydx: Mindkt FZ (z) = P (Z < z) = P (X + Y < z) = XY ;1 ;1 oldalt z szerint kapjuk meg a srsgfggvnyt: R1derivlva zR;x 1 zR;x R d d fZ (z) = dz fXY (x y) dydx = fXY (x y) dy dx = dz

R1 f

;1

;1 ;1

XY

(x z ; x) dx:

;1

;1

b.) Mivel fggetlen esetben az sszeg srsgfggvnyre a kt komponens srsgfggvnyeinek konvolcijt kaptuk, fggetlen valsznsgi vltozk esetn az sszeg valsznsgi vltozt a komponens vltozk konvolcijnak is nevezzk.

III.4


103

III.4.1. Plda: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = X + Y ! Sz-

moljuk ki Z srsgfggvnyt! Z 2 (0 2) lehet csak. Legyen z 2 (0 2) tetsz leges. A konvolcis kpletb l: 8 Rz > > < 10 1 dx = z ha z 2 (0 1) min f 1 z g 1 R R fZ (z) = fX (z;x)fY (x) dx = 11 dx = R 1 dx = z ha z 2 (1 2) : ;1 > maxf0z;1g > : z;1 0 ha z 2= (0 2)

III.4.3. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz klnbsgnek eloszlsa)

Legyen X s Y valsznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a Z = X ; Y valsznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x + t) dt = fXY (x + t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x + t) dt = fX (x + t) fY (t)dt: ;1

;1

Bizonyts : A III.4.2 ttelhez hasonlan, az y1 = u1 (x1 x2) = x1 ; x2 mdostssal.

III.4.4. Ttel: (Diszkrt valszn sgi vltozk sszegnek eloszlsa)

Ha X s Y diszkrt nemnegatv egszrtk valsznsgi vltozk, akkor Z = X + Y szintn diszkrt nemnegatv egszrtk valsznsgi vltoz, Pk melynek eloszlsa: P(Z = k) = P(X = Y = k ; ) = =0

Pk = P(X = k ; Y = ) k = 0 1 2 : : :. =0

Ha mg az is igaz, hogy X s Y fggetlenek, akkor Pk Pk P(Z = k) = P(X = )P(Y = k ; ) = P(X = k ; )P(Y = ) =0 =0 k = 0 1 2 ::::

Pk

Bizonyts : f! Z (!) = k g = f! X (!) = Y (!) = k ; g, s a =0 komponensesemnyek egymst pronknt kizrjk. gy a valsznsg -

104


additv tulajdonsgbl (ld. I.1.2 aximk, 2o tulajdonsg) mr kvetkezik az llts.

III.4.2. Plda: Legyenek X 2 Po() Y 2 Po() fggetlenek (ld. II.3.3.

pldt!). Akkor P(X + Y = k) =

Pk P(X = )P(Y = k ; ) = Pk e; k; e; = (k;)! =0 =0 ! k ; Pk = = ( +k!)k e;( +) !(kk;! )! + + =0 ( +)k ;( +) k

+ + + = = k! e k ;( +) ( + ) = k! e 1 k = 0 1 2 : : : azaz X + Y III.4.5. Ttel:

2 Po( + ):

a.) Az X1 X2 : : : nXp diszkrt valsznsgi vltozk rtkkszleteit jellje o ( i ) ( i ) ( i ) rendre R(i) = x1 x2 : : : xn : : : (i = 1 2 : : : p) egyttes eloszl(2) (p) sukat pedig fri1i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip )g: Legyen g : Rp ! R tetsz leges p-vltozs vals fggvny. Ekkor az Y = g(X1 XP2 : : : X; p) valsznsgi vltoz, s ltezik a vrhat rtke: (2) EY = g xi1 xi2 : : : xip P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp =

x(ipp)):

8(i1 i2 :::ip )

b.) Az X1 X2 : : : Xp folytonos valsznsgi vltozk egyttes srsgfggvnyt jellje fX1 X2:::Xp (x1 x2 : : : xp): Legyen g : Rp ! R tetsz leges p-vltozs vals fggvny. Ekkor az Y = g(X1 X2 : : : Xp) valsznsgi vltoz, s ltezik a vrhat rtke: +R1 +R1 +R1 EY = g(x1 x2 : : : xp)fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx2dx1: ;1 ;1

;1

Bizonyts : Diszkrt eset: Legyen a diszkrt X = (X1 X2 : : : Xp)T vektorrtk valsznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmllhat vektorhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt valsznsgi vltoz pedig W = fy y = g (x) x 2 V g : Ekkor denci szerint:

III.4

105


P yP (Y = y) = P y X P (X = x) = y 2W y2W x2V :g(x)=y X P X

EY = =

y2W x2V :g(x)=y

g (x) P (X = x) =

x2V

g (x) P (X = x) :

Folytonos eset: A III.4.1. ttelt alkalmazzuk, arra az u : Rp ;! Rp transzformcira, ahol Y = u1 (X1 X2 : : : Xp) = g (X1 X2 : : : Xp) X2 = u2 (X1 X2 : : : Xp) = X2 : ... ... ... Xp = up (X1 X2 : : : Xp ) = Xp Jacobi determinnsnak abszoltrtke most Az 1 (yx :::xp ) @g;inverztranszformci 2 lesz, gy f YX2 :::Xp (y x2 : : : xp) = @g;1(yx2 :::xp) ( @y ; 1 ha y = g (x1 x2 : : : xp) @y = fX1 X2:::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) 0 egybknt amib l a III.3.1. ttelt felhasznlva integrlssal kapjuk: 1 1 R R ;1 (yx2 :::xp) @g ; 1 fY (y) = fX1X2:::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) dxp dx2: @y ;1 ;1 gy 1 R EY = yfY (y) dy =

R1 R1 R1 y;1 f

@g; (yx :::xp) = dxp dx2 dy = X X :::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) @y ;1 ;1 ;1 @g; (yx :::xp) 1 1 R R ; 1 = yfX X :::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) dxp dx2dy = @y 1

2

;1

1

1

;1

;1

1

2

2

2

vgrehajtva az y = g (x1 x2 : : : xp) vltoztranszformcit az integrlban, mris igazoltuk az lltst: R1 R1 y = g (x1 x2 : : : xp) = g (x1 x2 : : : xp) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx1: ;1

;1

III.4.6. Ttel: Az Y = X1 + X2 + + Xp valsznsgi vltoz vrhat rtke ltezik, amennyiben a Xi tagok vrhat rtke ltezik, s EY = EX1 + EX2 + + EXp: Bizonyts : Az el z ttel kvetkezmnye, amikor g (x1 x2 : : : xp ) = x1 + x2 + + xp:

III.4.7. Ttel: Legyenek az X s Y valsznsgi vltozk fggetlenek,

106


s ltezzk a vrhat rtkk. Ekkor a Z = XY valsznsgi vltoznak is ltezik a vrhat rtke, s EZ = EX EY . Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.5 ttelt g (x y) = x y -ra! a.) diszkrtPeset: EZ = P xiyj P(X = xi Y = yj ) = P P xiyj P(X = xi)P(Y = yj ) = =

8xi! 8yj P x P(X = xi) yj P(Y = yj ) = EX EY:

P 8i 8j 8xi

i

8yj

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 +R1 EZ = xyfXY (x y) dydx = xyfX (x)fY (y) dydx = =

+R1;1 ;1 ;1

;1;1 +R1 xfX (x) dx yfY (y) dy = EX EY: ;1

III.4.8. Ttel: Legyenek az X s Y valsznsgi vltozk fggetlenek,

s ltezzk a szrsngyzetk. Ekkor 2(X Y ) = 2X + 2Y: Bizonyts : 2(X Y ) = E(X Y )2 ; E(X Y )]2 = = E X 2 2X Y + Y 2] ; (EX )2 2EX EY + (EY )2] = = EX 2 2E(X Y ) + EY 2 ; (EX )2 2EX EY ; (EY )2 = = EX 2 ; (EX )2 + EY 2 ; (EY )2 = 2X + 2Y: Felhasznltuk a III.4.7 ttel lltst, miszerint fggetlensg esetn E(X Y ) = (EX ) (EY ).

III.5. A kovariancia s a korrelcis egytthat III.5.1. Den ci: Legyenek X s Y valsznsgi vltozk az ( = P)

Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Tegyk fel, hogy ltezik a szrsngyzetk. Ekkor az X s Y kovariancijn a Z = (X ; EX ) (Y ; EY ) valsznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk. Jells : cov(X Y ) = E (X ; EX ) (Y ; EY )]. Megjegyzs : cov(X X ) = 2X: III.5.2. Den ci: Az X s Y valsznsgi vltozk korrelcis egytthat jn standardizltjaik kovariancijt rtjk. (XY ) Jells : R(X Y ) = cov(X~ Y~ ) = cov X Y .

III.5

A kovariancia s a korrelcis egytthat

107

III.5.1. Ttel: cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ):

Bizonyts : cov(X Y ) = E((X ; EX ) (Y ; EY )) = = E(X Y ; X EY ; Y EX + (EX ) (EY )) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) ; (EY ) (EX ) + (EX ) (EY ) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ):

III.5.2. Ttel: Ha X s Y fggetlenek, akkor cov(X Y ) = 0 s

R(X Y ) = 0: A ttel megfordtsa ltalban nem igaz.

Bizonyts : A ttel a III.4.7 s a III.5.1 ttelek egyszer kvetkezmnye. A megfordtsra kt ellenplda: Legyen X s Y diszkrt valsznsgi vltoz, ;1 0 1 rtkkszletekkel. Egyttes eloszlsukat az albbi tblzatban lthatjuk: Y n X ;1 0 +1 Y perem ;1 0 0 25 0 0 25 0 0 25 0 0 25 05 +1 0 0 25 0 0 25 X perem 0 25 0 5 0 25 1

EX = EY = 14 (;1) + 21 0 + 14 1 = 0 E(X Y ) = (;1) (;1) 0 + 1 1 0 = 0 cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0: X s Y nem fggetlenek, mert pl. P(X = 0 Y = 1) = 41 6= P(X = 0) P(Y = 1) = 12 41 :

Folytonos esetre ellenplda: X 2 U (0 2 ), azaz a (0 2 ) intervallumon egyenletes eloszls valsznsgi vltoz. Y = sin X s Z = cos X . Hatrozzuk meg cov(Y Z )-t! 2 R2 2 = 0 EZ = 1 R cos x dx = sin2 = 0 EY = 21 sin x dx = 1;cos 2 2 2 0

0

R2

= 0: E(Y Z ) = E (sin X cos X ) = 0 5E(sin 2X ) = 41 sin 2x dx = 1;cos4 8 0 gy cov(Y Z ) = 0 de nem fggetlenek, hiszen P(Y 2 + Z 2 = 1) = 1: Ha Y s Z fggetlenek lennnek, ;akkor az Y 2 + Z; 2 p valsznsgi vltoz srsgfgg ; p 1 vnyt az fY 2 (y) = 2py fY y + fY ; y y 2 (0 1) srsgfggvny nmagval val konvolvlsval lehetne kiszmtani, ahol fY (y) = fZ (y) = p11;y2 y 2 (;1 1) a kt komponens azonos srsgfggvnye. Ekkor viszont P(Y 2 + Z 2 = 1) = 0-nak kellene fennllnia! (Ld. a II.2.1 kvetkezmnyt!)

108


III.5.3. Den ci: Az X s Y valsznsgi vltozk korrellatlanok, ha

R(X Y ) = cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0:

Megjegyzs : a.) A korrellatlansg a fggetlensg szksges, de nem felttlenl elgsges felttele. b.) Diszkrt esetben a kovariancia szmtsa: P P cov(X Y ) = xiyj P(X = xi Y = yj ); 8i 8 j P ;( 8i xiP(X = xi)) (P8j yj P(Y = yj )): Folytonos esetben a kovariancia szmtsa: +R1 +R1 +R1 +R1 cov(X Y ) = xyfXY (x y) dxdy; x fX (x) dx y fY (y) dy : ;1 ;1

;1

;1

III.5.3. Ttel: Ha az X s Y valsznsgi vltozk szrsngyzetei l-

teznek, gy 2(X Y ) = 2X + 2Y 2cov(X Y ): Bizonyts : 2(X Y ) = E (X Y )2] ; E(X Y )]2 = = E X 2 2XY + Y 2] ; (EX )2 2(EX )(EY ) + (EY )2] = = EX 2 2EXY + EY 2 ; (EX )2 2(EX )(EY ) ; (EY )2 = = 2X + 2Y 2cov(X Y ).

III.5.4. Ttel: 2(P Xi) = P 2Xi + 2 P cov(Xi Xj ): p

p

i=1

i=1

i<j

Bizonyts : p = 2-re ppen a III.5.3 ttelt kapjuk. Tegyk fel, hogy az llts igaz valamely p 2 -re! Ekkor pP +1 Pp Pp 2( Xi) = 2( Xi ) + 2Xp+1 + 2cov( Xi Xp+1) = i=1 p+1

P = 2X + 2 i=1

i

i=1

P

i<j %ij =12:::p

i=1

cov(Xi Xj ) + 2 P cov(Xi Xp+1) ) llts. p

i=1

III.5.5. Ttel: Tetsz leges a b 2 R esetn cov(aX + bY Z ) =

acov (X Z ) + bcov (Y Z ) : Bizonyts : E ((aX + bY )Z ) = aE(XZ ) + bE(Y Z ) s E (aX + bY ) EZ = aEX EZ + bEY EZ miatt, a III.5.1. ttelre hivatkozva bizonythatjuk az lltst.

III.5

A kovariancia s a korrelcis egytthat

109

III.5.6. Ttel: Ha az X s Y valsznsgi vltozk szrsngyzetei l-

teznek, akkor ;1 R(X Y ) 1. Bizonyts : Legyen X~ = X ;X;EX s Y~ = Y ;YEY a kt standardizlt valsz(XY ) nsgi vltoz. cov(X~ Y~ ) = E X ;XEX Y ;YEY = cov X Y = R(X Y ). A III.5.3 ttelt felhasznlva: 0 2(X~ Y~ ) = 2X~ + 2Y~ 2cov(X~ Y~ ) = 1 + 1 2R(X Y ) () ;1 R(X Y ) 1:

Kvetkezmny: jcov(X Y )j X Y . III.5.7. Ttel: Ha az X s Y valsznsgi vltozk szrsngyzetei l-

teznek, gy R(X Y ) = 1

() 9 a b 2 R : P(X = a Y + b) = 1:

Bizonyts : Legyen X~ = X ;XEX s Y~ = Y ;YEY a standardizlt valsznsgi vltoz. 9 a b 22 ~R : P~ (X = a Y + b) = 1 , P(X~ = Y~ ) = 1 , 0 = (X Y ) = 2(1 R(X Y )) , R(X Y ) = 1 radsul R(X Y ) = sgn(a): A levezetsben felhasznltuk a II.7.2 s III.5.6 ttel eredmnyeit.

III.5.4. Den ci: Az X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvl-

toz vrhat rtk vektor n a komponens valsznsgi vltozk vrhat rtkeib l ll vektort rtjk: EX = (EX1 EX2 : : : EXp)T :

III.5.5. Den ci: Az X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvl-

toz kovarianciamtrix n a = (cov(Xi Xj ))i=12:::p pp-s mtrixot rtjk. j =12:::p

III.5.8. Ttel: szimmetrikus s pozitv szemidenit, azaz = T s

8 a 2 Rp-re aT a 0.

Bizonyts : Legyen a 2 Rp tetsz leges! a = E(aT (X ;pEX ) (X ; EX )T a) = EY 2 0, ahol P Y = aT (X ; EX ) = ai(Xi; EXi ).

aT

i=1

III.5.1. Plda: (A polinomilis eloszls vrhatrtk-vektora s kovarianciamtrixa.)

110


A polinomilis eloszlst a III.2.1 pldban adtuk meg. Az X1 X2 : : : Xr valsznsgi vltozk mindegyikre igaz, hogy Xi 2 B (n pi) azaz binomilis eloszlsak. Ezrt EX = (np1 np2 : : : npr )T = n (p1 p2 : : : pr )T = n p. A kovarianciamtrixhoz ki kell szmolnunk a cov(Xi Xj ) kovariancikat. E(Xi XPj ) = = ki kj P(X1 = k1 : : : Xi = ki : : : Xj = kj : : : Xr = kr ) = 8k k1 +k2 ++kr =n = n (n 1) pi pj

; P8k k !(ki;1)!(n;2)!(kj;1)!kr ! pk1 pki ;1 pkj j ;1 pkrr = k ++kr =n = n (n ; 1) pi pj , mert a szumma mgtt az n ; 2 p1 p2 : : : pr paramter polinomilis eloszls valsznsgei llnak, melyek sszege 1. gy cov(Xi Xj ) = E(Xi Xj ) ; (EXi)(EXj ) = n (n ; 1) pi pj ; n pi n pj = = ;n pi pj , ha i = 6 j. A kovarianciamtrix diagonlisban a biomilis 2 komponensek szrsngyzetei, teht cov(Xi Xi ) = Xi = n pi (1 ; pi ) = n pi0 qi llnak. Teht: 1 np1 q1 ;np1p2 ;np1p2r B ;np1p2 np2q2 ;np2pr C =B B C ... ... C ... @ ... A: ;np1pr ;np2pr npr qr 1

1

1

1

III.5.2. Plda: (A komponensek korrelcija ktdimenzis normlis esetben.) Ha X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i 2 fXY (x y) = 2121p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 )

x y 2 R, akkor E (XY ) = =

R1 y p 1

;1 1

R

22 e

; (y;222 )

2

2

R1 R1 xy f (x y) dxdy = XY

1;1 ;1 ! R x p 1p e; ( ;% ) hx; + %(y; )i dx dy = 2 1;% ;1 1

; (y;2 )

2

1 2 12 1

2

1

1 2

2

2

= y p212 e 222 1 + 21 %(y ; 2 ) dy = ;1 = 12 + 12 % (22 + 22) ; 21 %22 = 1 2 +22%: Teht cov (X Y ) = 22% 2 R (X Y ) = : A srsgfggvny a = 112% 122% kovarianciamt2 rix s a = (1 2)T vrhatrtk-vektor segtsgvel mtrixos felrsban is 2

III.6

A feltteles vrhat rtk

111

megadhat: f(x) = 2p1det e; 12 (x;)T ;1(x;) x 2 R2:

III.5.9. Ttel: Ha X s Y egyttes eloszlsa normlis, akkor X s Y

akkor s csak akkor fggetlenek, ha korrellatlanok. Bizonyts: A fggetlensgb l mindig kvetkezik a korrellatlansg. Ha R (X Y ) = = 0 akkor srsgfggvnyre: 1azh (xegyttes i ;1 )2 ( y ;2 )2 1 fXY (x y) = 21 2 exp ; 2 12 + 22 = fX (x) fY (y) teljesl, ami mr igazolja a fggetlensget.

III.6. A feltteles vrhat rtk Diszkrt eset:

III.6.1. Den ci:

a.) Legyen A 2 = P (A) > 0 tetsz leges esemny, X 2 fx1 x2 : : :g pedig egy tetsz leges diszkrt valsznsgi vltoz. Ekkor P (X = xi j A) = P(X =xi A) i = 1 2 : : : az X feltteles eloszlsa A-ra nzve. P(A) b.) Legyen A1 A2 : : : 2 = teljes esemnyrendszer, X 2 fx1 x2 : : :g pedig egy tetsz leges diszkrt valsznsgi vltoz. Ekkor a ffP (X = xi j Aj) i = 1 2 : : :g j = 1 2 : : :g eloszlsokat az X -nek az fAj j = 1 2 : : :g rendszerre vonatkoz feltteles eloszlsnak nevezzk. c.) Legyen X 2 fx1 x2 : : :g s Y 2 fy1 y2 : : :g diszkrt valsznsgi vltoz ( = P)-n. Ekkor a ffP (X = xi j Y = yj ) i = 1 2 : : :g j = 1 2 : : :g eloszlsokat az X -nek az Y -ra vonatkoz feltteles eloszlsnak nevezzk.

III.6.2. Den ci:

P

a.) E (X j Y = yj ) $ xi P (X = xi j Y = yj ) $ r (yj ) az X feltteles 8xi vrhat rtke az Y = yj felttel mellett. b.) Az X -nek az Y -ra vonatkoz regresszijn, vagy feltteles vrhat rtkn azt az E (X j Y )-vel jellt diszkrt valsznsgi vltozt rtjk, melynek rtkkszlete K = fr (yj ) $ E (X j Y = yj ) j = 1 2 : : :g eloszlsa pedig P (E (X j Y ) = r (yj )) = P (Y = yj ) j = 1 2 : : : :

112


Folytonos eset: Legyen X s Y folytonos valsznsgi vltoz ( = P)-n FXY (x y) s fXY (x y)egyttes eloszls-, illetve egyttes srsgfggvnnyel. Tekintsk az albbi fggvnyt: FXY (xy+y);FXY (xy) Y
=

FXY (xy+ y);FXY (xy)

y FY (y+ y);FY (y)

y

!

@FXY (xy) @y fY (y)

(y ! 0):

III.6.3. Den ci: Az FX jY (x jy) $

@FXY (xy) @y fY (y)

ktvltozs fggvnyt az X -nek az Y -ra vonatkoz feltteles eloszlsfggvnynek nevezzk.

III.6.4. Den ci: A feltteles eloszlsfggvny x-szerinti parcilis de-

rivlt-fggvnyt az X -nek2 az Y -ra vonatkoz feltteles s r sgfggvnynek @ FXY (xy) (xy) nevezzk: fX jY (x jy) $ f@y@x = fXY fY (y) . Y (y)

III.6.1. Ttel: (Bayes-formula)

fX jY (x jy) = +R1fY jX (yjx) fX (x) . fY jX (yju) fX (u) du ;1

Bizonyts : +R1 fXY (x y) = fY jX (y jx) fX (x), fY (y) = fXY (x y) dx =

R f (y jx) f (x) dx ) llts. Y jX X

+1

;1

;1

III.6.5. Den ci: Az X -nek Y -ra vonatkoz feltteles vrhat rtkn

vagy regresszijn az E(X jY ) = r(Y ) valsznsgi vltozt rtjk, ahol

r(y) =

R x f (x jy) dx = ;1R xfXY (xy) dx a regresszis grbe. X jY fY (y)

+1

1

+

;1

III.6.2. Ttel: (A regresszi tulajdonsgai) a.) E (E(X jY )) = EX . b.) E (h(Y ) X jY ) = h(Y ) E (X jY ).

III.6

A feltteles vrhat rtk

113

c.) Ha X s Y fggetlenek, akkor E(X jY ) = EX . Bizonyts : a.) Diszkrt eset: P E (E (X j Y )) = E (X j Y = yj ) P (Y = yj ) = P P x P (X =8yxj j Y = y ) P (Y = y ) = = i i j j 8P yj 8P xi P = xiP (X = xi Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX: 8yj 8xi

Folytonos eset: E (E(X jY )) = E (r (Y )) =

=

8xi

R1 r (y)f (y) dy = R1 R1 x fXY (xy) f (y) dxdy = Y fY (y) Y ;1 ;1 ;1 R1 x R1 f (x y) dydx = R1 x f (x) dx = EX: XY X

;1

;1

;1

b.) Diszkrt eset: P E (h(Y ) X j Y = yj ) = xih(yj )P (X = xi j Y = yj ) = h(yj )E (X j Y = yj ) : 8xi

Folytonos eset: Legyen y 2 R tetsz leges.1Ekkor R E (h (Y ) X j Y = y) = h (y) x fX jY (x jy) dx =

R1 = h (y) x f ;1

X jY (x

;1

jy) dx = h (y) E(X jY = y ):

c.) Diszkrt eset: P (P X = xi j Y = yj ) = P (X =Pxi) ) E (X j Y = yj ) = = xiP (X = xi j Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX ) 8xi 8xi E (X j Y ) = E(X ): Folytonos eset: fXY (x y) = fX (x) fY (y) ) fX jY (x jy ) = fX (x) +R1 +R1 r(y) = x fX jY (x jy ) dx = x fX (x) dx = EX ) ;1 ;1 E (X jY ) = EX: III.6.3. Ttel: Legyen d : R ! R tetsz leges fggvny. Ekkor E (X ; r(Y ))2 E (X ; d(Y ))2, ahol r(Y ) = E(X jY ). Specilisan, ha 2 d(y) EX , akkor E (X ; E (X jY )) E (X ; EX )2 = 2X .

114


Bizonyts : E (X ; d(Y ))2 =2 E (X ; r(Y ) + r(Y2 ) ; d(Y ))2 = = E (X ; r(Y )) + E (r(Y ) ; d(Y )) + 2 E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) : Mivel E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) = E E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) jY ] = = E (r(Y ) ; d(Y )) E ((X ; r(Y )) jY )] = = E (r(Y ) ; d(Y )) (E (X jY ) ; r(Y ))] = = E (r(Y ) ; d(Y )) 0] = 0 gy E (X ; d(Y ))2 = E (X ; r(Y ))2 + E (r(Y ) ; d(Y ))2 E (X ; r(Y ))2 ) llts.

III.6.1. Plda: (Regresszi normlis eloszls esetn)

Legyen X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, azaz a kt valsznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzis normlis. Megmutatjuk, hogy E(X jY ) = a Y + b, ahol a = 12 % s b = 1 ; a 2: (xy) Az fX jY (x jy ) = fXY fY (y) dencibl, a formulk behelyettestse utn kapjuk, hogy: fX jY (x jy ) = p21 p1;%2 e

R

+1

1

h

; 22 11;%2 x; ) 2(

1 + 12 %(y;2 )

i2

:

gy E(X jY = y) = x fX jY (x jy ) dx = 1 + 12 % (y ; 2), hiszen # ;1 amint lthat # a feltteles srsgfggvny rgztett y mellett a 1 + 1 %(y ; ) vrhat rtk s p1 ; %2 szrsngyzet normlis eloszls 2 1 2 srsgfggvnye.

III.6.6. Den ci: Legyen X s Y kt adott valsznsgi vltoz. Az

a X +b valsznsgi vltoz az Y -nak a X -re vonatkoz lineris regresszi ja, ha E(Y ; aX ; b)2 = 8min E(Y ; aX ; b))2: ab2R

Y b = EY ; R(X Y ) Y EX: III.6.4. Ttel: a = R(X Y ) X X Bizonyts : Legyen h(a b) $ E(Y ;aX ;b))2 : A lineris regresszi megha-

trozshoz ezt a ktvltozs fggvnyt kell minimalizlni. A minimumhely ltezsnek szksges felttele, hogy: @h = ;2E (Y ; aX ; b)X ] = 0 @h = ;2E Y ; aX ; b] = 0: Innen: @a @b aEX 2 + bEX = E(XY ) aEX + b = EY ) b = EY ; aEX ) ) aEX 2 + (EY ; aEX )EX = E(XY ) )

III.7

115


b = EY ; R(X a = R(X s ez volt az llts. Y Y ) X

Y EX Y ) X

EX 2 EX pozitv denit, EX

1

Megjegyzs : Normlis esetben # mint ahogy az a III.6.1 pldnl lthat volt # a lineris regresszis s a regresszis sszefggsek egybeesnek.

III.7. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

III.7.1. Feladat: Legyen T = a1 b1) a2 b2) ap bp) tetsz leges

p-dimenzis tgla, s "1 "2 : : : "p 2 f0 1g tetsz legesek (0 vagy 1 . diadikus szmok). be, hogy ekkor P (Bizonytsuk ;1)j FX ("1a1 +(1;"1)b1 "2a2 +(1;"2)b2 : : : "pap +(1;"p)bp) 0 8("1"2 :::"p )

ahol j =

Pp "i:

i=1

Megolds : A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy az egyenl tlensg bal oldaln a P(X 2 T ) valsznsg ll, ami nyilvnvalan nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: Ai = f! Xi(!) < aig Bi = f! Xi (!) < big : Ekkor P(X 2 T ) = P(a1 X1 < b1 a2 X2 < b2 : : : ap Xp < bp) =

P(A1A 2 A p B1B2 Bp) = p Yp P

= P(A B ) = P(B ) ; P(A B ), ahol A = Ai ) A = Ai s

B=

Yp i=1

i=1

i=1

Bi: Teht a Poincare-ttelt alkalmazva kapjuk, hogy

Pp Pi=1

0 P(X 2 T ) = P(B ) ; P( (Ai B )) =

Pp

= P(B ) ; (;1)i;1 P(Aj1 Aj2 Aji B ). i=1 1j1 <j2 <<ji p Mivel Ajk Bjk ) Ajk Bjk = Ajk : gy P(Aj1 Aj2 Aji B ) = FX ("1 a1 + (1 ; "1) b1 : : : "p ap + (1 ; "p) bp), ahol "j1 = "j2 = = "ji = 1 a tbbi "j = 0: Msrszt P(B ) = FX (b1 b2 : : : bp), teht az az eset, amikor mindegyik "j = 0. Visszahelyettestve ppen az lltst kapjuk.

116


III.7.2. Feladat: Legyen X s Y kt azonos eloszls valsznsgi vl-

toz. Igaz-e, hogy E XX+Y = E Y +Y X ?

Megolds: (ltalban nem. Egy ellenplda: alkosson A B8 C olyan teljes < 0 ha ! 2 A 1 esemnyrendszert, ahol P (A) = P (B ) = P (C ) = 3 : X = : 1 ha ! 2 B 2 ha ! 2 C 8 0 ha ! 2 A < s Y = : 1 ha ! 2 C : Ekkor P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = 31 2 ha ! 2 B s P (Y = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 2) = 13 azaz X s Y azonos eloszlsak. 8 ;1 ha ! 2 A < ; Viszont Z = XX +;YY = : ; 13 ha ! 2 B s EZ = 1 31 + ; 13 31 + 1 ha ! 2 C 1 1 X (;1) 3 = ; 9 6= 0, vagyis E X +Y ; E Y +Y X = ; 19 :

III.7.3. Feladat: Egy szablyos kockval dobunk ismtelten. X az els

dobs, Y a msodik dobs eredmnye. Szmoljuk ki R(X X + Y )-t! Megolds: Egyrszt, a fggetlensg miatt cov(X X + Y ) = cov(X X ) + cov(X Y ) = 2X msrszt 2(X + Y ) = 2X + 2Y = 22X: gy R(X X + 2 (XX +Y ) X 1 Y ) = cov X(X +Y ) = p2XX = p2 :

III.7.4. Feladat: Legyen X s Y kt p = 0 5 paramter fggetlen in-

diktor valsznsg vltoz. Mutassuk meg, hogy X + Y s jX ; Y j br korrellatlanok, de nem fggetlenek! Megolds: P (X = 1) = P (X = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 0) = 0 5 P(X + Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 0 25, P(X + Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 0 5, P(X + Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0 25. P(jX ; Y j = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 1) = 0 5, P(jX ; Y j = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 0 5. E(X + Y ) = EX + EY = 1, E (jX ; Y j) = 0 5, E ((X + Y )jX ; Y j) = E (jX 2 ; Y 2j) = 0 5. gy cov(X + Y jX ; Y j) = 0 5 ; 1 0 5 = 0. X + Y s jX ; Y j nem lehetnek fggetlenek, mert pl. P(X + Y = 0 jX ; Y j = 1) = 0 de P (X + Y = 0) P (jX ; Y j = 1) =

0 25 0 5 6= 0.

III.7


117

III.7.5. Feladat: Kt azonos kpessg atlta versenyt fut. Mindket-

tejk eredmnyt m = 10 1 s = 0 1 paramter normlis eloszlssal jellemezhetjk msodpercekben. Mennyi a valsznsge, hogy az egyik versenyz legalbb 0 2 msodperccel legy zi a msikat? ; p Megolds : X Y 2 N (10 1 0 1) ) X ; Y 2 N 0 0 02 P (jX ;Y j 0 2) =1 ; P (jX ; Y j < 0 2) = 1 ; P (;0 2 < X ; Y < 0 2) = 0 1 0 3 1 ; p002 + p002 :

III.7.6. Feladat: Ha X s Y fggetlen valsznsgi vltozk, hatrozzuk meg V = minfX Y g s W = maxfX Y g eloszlsfggvnyt! Megolds : P (V < x) = 1 ; P (V x) = 1 ; P (X x Y x) = 1 ; P (X x) P (Y x) = 1 ; (1 ; FX (x)) (1 ; FY (x)) : P (W < x) = P (X < x Y < x) = P (X < x) P (Y < x) = FX (x) FY (x): III.7.7. Feladat: Kt szablyos kockval dobunk. Jelentse X a hatos dobsok szmt, Y pedig a dobott szmok sszegt. Adjuk meg X s Y egyttes eloszlst! Megolds : Az albbi tblzatban az oszlopok tetejn szerepelnek az X lehetsges rtkei, a sorok elejn pedig az Y rtkkszletnek megfelel szmok llnak. Az (i j ) koordintknak megfelel cellban a P(X = i Y = j ) valsznsgek tallhatk. X

0 2 1=36 3 2=36 4 3=36 5 4=36 6 5=36 7 4=36 8 3=36 9 2=36 10 1=36 11 0 12 0 X peremeloszlsa 25=36

Y

1 2 Y peremeloszlsa 0 0 1=36 0 0 2=36 0 0 3=36 0 0 4=36 0 0 5=36 2=36 0 6=36 2=36 0 5=36 2=36 0 4=36 2=36 0 3=36 2=36 0 2=36 0 1=36 1=36 10=36 1=36 1

118


Pldul a tblzat nyolcadik sornak s msodik oszlopnak keresztez dsben azrt ll 362 , mert a 36 dobsi lehet sgb l csak kett felel meg az X = 1 Y = 8 feltteleknek: a (6 2) s a (2 6). Az Y eloszlst a sorokban ll valsznsgek sszeadsval, az X eloszlst pedig az oszlopokban ll valsznsgek sszeadsval kapjuk meg. Lthat az is, hogy X nem fggetlen Y -tl, hiszen pl. P (X = 2 Y = 2) = 0 6= P (X = 2) P (Y = 2) = 3612 :

III.7.8. Feladat: Az X s Y valsznsgi vltozk egyttes eloszlst

tartalmazza az albbi tblzat: X Y ;1 1

;1

0 1 p 3p 6p 5p 15p 30p

Mekkora a p paramter rtke? Fggetlen-e X s Y ? Megolds : Mivel az egyttes eloszls elemeinek sszege 1, gy 60p = 1, azaz p= 601 : X s Y fggetlenek, mert minden lehetsges rtkprnl teljesl a fggetlensg felttele, pl. P (X = ;1) = 16 P (Y = ;1) = 101 s P (X = ;1 Y = ;1) 601 stb.

III.7.9. Feladat: El szr egy szablyos kockval dobunk, majd a dobott rtknek megfelel en kihzunk lapokat egy 32 lapos krtyacsomagbl. Jellje X a kihzott lapok kztt tallhat gurs lapok szmt, Y pedig legyen a kihzott kirlyok szma. Adja meg a P(X = 4 Y = 2) valsznsget! Megolds : Ha a kockval 1 2 3-t dobunk, P(X = 4 Y = 2) = 0 nyilvn, mert ngynl kevesebb lapbl nem lehet ngy gurst kihzni. Ha a kockval 4-et dobunk akkor a keresett esemny : 2 kirly s 2 gurs nem kirly. 4 8 ( 2 )(2) p1 = P (X = 4 Y = 2 j 4-et dobunk a kockval) = (32) . Ha a kockn 4 tst kapunk, az esemny: 2 kirly s 2 gurs nem kirly s 1 egyb. 4 8 20 ( )( )( p2 = P (X = 4 Y = 2 j tt dobtunk a kockval) = 2 (232) 1 ) : Vgl, ha a 5 dobs hatos volt, a keresett esemny: 2 kirly, 2 gurs nem kirly s 2 egyb. 4 8 20 p3 = P (X = 4 Y = 2 j hatot dobtunk a kockval) = (2)((232)() 2 ) : A teljes va6 lsznsg ttelb l: P (X = 4 Y = 2) = 16 (p1 + p2 + p3) :

III.7

119


III.7.10. Feladat: Legyen az X s Y egyttes srsgfggvnye

f (x y) = 2e;2x;y 0 < x y < 1 (egybknt f (x y) = 0). Hatrozza meg a peremsrsgfggvnyeket! Fggetlen-e X s Y ?

R1

R1

Megolds : fX (x) = 2e;2x;y dy = 2e;2x e;y dy = 2e;2x x > 0: fY (y ) =

R1 2e;2x;y dx = 2e;y R1 e0;2x dx = e;y y > 0:0 Mivel f (x y) = f (x) f (y) X Y 0

0

gy X s Y fggetlenek!

III.7.11. 4Feladat: Legyen az X s Y egyttes srsgfggvnye

0 < x < 1 s 0 < y < 1 : f (x y) = 5 (x + y + xy)0 ha egybknt Hatrozza meg a peremsrsgfggvnyeket! Fggetlen-e X s Y ?

h

R1

i1

Megolds : fX (x) = 0 8(x + xy + y ) dy = 0 8 xy + x y22 + y22 = 1 2x + 0 0 0 4 fY (y) = 1 2y + 0 4 teljesen hasonlan. Lthat, hogy nem fggetlenek, mert fXY (x y) 6= fX (x)fY (y):

III.7.12. Feladat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtybl kett t talon-

ba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Adja meg X s Y egyttes eloszlst! Fggetlen-e X s Y ? Megolds : 3 21 21 P (X = 0 Y = 0) = ((3222 )) = 1621031 P (X = 0 Y = 1) = (1()(322)1 ) = 166331 3 7 21 P (X = 0 Y = 2) = ((3222)) = 16331 P (X = 1 Y = 0) = (1()(322)1 ) = 1614731 21 3 7 3 P (X = 1 Y = 1) = ( 1 )(+322(1))(1) = 164231 P (X = 1 Y = 2) = ((3212)) = 16331 7 7 P (X = 2 Y = 0) = ((3222)) = 162131 P (X = 2 Y = 1) = ((3212)) = 16731 P (X = 2 Y = 2) = 0: (E(XY ) = 1 164231 + 2 16331 + 2 16731 = 18 EX = 1 1619231 + 2 162831 = 12 EY = 1 1611231 + 2 16631 = 14 ) cov (X Y ) = 0, de nem fggetlenek! )

III.7.13. Feladat: Legyen( a (X Y )T valsznsgi vltozpr egyttes

srsgfggvnye: f (x y) =

1 e; x2 +2 y2 + xy 2 2e 1 e; x2 +2 y2 2

x y 2 ;1 1] : egybknt

120


a.) Adja meg a peremsrsgfggvnyeket! b.) Ktdimenzis normlis eloszls-e (X Y )T ? Megolds :

R1

R1

a.) fX (x) = '(x)'(y) dy + 2xye dy = '(x) hasonlan: fY (y) = '(y) ) ;1 ;1 X Y 2 N (0 1) : b.) Nem ktdimenzis normlis eloszls, mert ms a srsgfggvnye. '(x)'(y) kellene.

III.7.14. Feladat: Legyen az X 2 U (0 1) valsznsgi vltoz kettes szmrendszerben felrva: X = 0 X1X2 : : :: Fggetlenek-e az X1 s X2 digitek? 1 ha X 1 Megolds : X1 = 0 ha 0 X2 < 1 1 ha X 3 vagy 1 X < 12 4 2 X2 = 0 ha 1 X4 < 3 vagy X < 14 : Egyttes eloszlsukat az albbi 2 4 tblzat tartalmazza: X1 1 0 X perem 1 X2 1 1 1 1 , 41 41 21 0 4 4 2 X1 perem 12 12 1

ahonnan mr leolvashat, a fggetlensg tnye.

III.7.15. Feladat: Legyen X a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls valsznsgi vltoz, Y =: sin (2 X ) s Z =: cos (2 X ) : Szmolja ki a (Y Z )T pr kovarianciamtrixt!

R2

R2

0

0

Megolds: EY = 21 sin x dx = 0 EZ = 21 cos x dx = 0

2Y = EY 2 = 21

R2 sin2 x dx = 0 5 0

III.7

121


R2

R2

2Z = EZ 2 = 21 cos2 x dx = 0 5 E(Y Z ) = 21 0 5 sin 2x dx = 0 ) 0 0 5 00 P ) = 0 05 :

III.7.16. Feladat: Egy szablyos pnzrmt addig doblok, amg m-

sodszorra nem kapok fejet. Jellje X a szksges dobsok szmt. Adja meg X vrhat rtkt s szrst!

Megolds: X = Y1 +Y2 Y1 Y2 2 G (0 5) fggetlenek ) EX = EY1 +EY2 = kP ;1 2 + 2 = 4: P (X = k) = P (Y1 + Y2 = k) = P (Y1 = l) P (Y2 = k ; l) = l=1

P 0 5k 1 = (k ; 1)0 5k : k;1 l=1

III.7.17. Feladat: Legyenek X s Y fggetlen, azonos f (x) srsgfgg-

vny valsznsgi vltozk. Szmoljuk ki a P (X < Y ) valsznsget!

Megolds: P (X < Y ) = P (X ; Y < 0) = FX ;Y (0) : Mivel f;Y (x) = R1 f (;x) gy a konvolcis kpletb l fX ;Y (x) = f (t) f (x + t) dt addik. ;1

R0 f

R0 R1 f (t) f (x + t) dtdx = gy FX ;Y (0) = X ;Y (x) dx = R0 ;1 ;1R1 ;1 Rz 1 R = f (z) f (z + x) dx dz = f (z) f (y) dy dz = ;1 ;1 ;1 h F (z) i1 ;1 R1 1 = f (z) F (z) dz = ;1 Teht P (X < Y ) = 21 :

2

2

;1

= 2:

III.7.18. Feladat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek. Mennyi a ; 1 1 P X ; < Y ; valsznsg? X

Y

Megolds: Mivel X ; X1 s Y ; Y1 szintn azonos eloszlsak s fggetlenek, az el z feladat eredmnyt felhasznlva, a keresett valsznsg 12 :

III.7.19. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls, folytonos valsznsg vltozk. Mennyi a P (max fX2 : : : Xn g < X1) valsznsg?

122


Megolds: Jellje f (x) F (x) a kzs srsgfggvnyt, illetve eloszlsfggvnyt, s legyen Y = max fX2 : : : Xn g! Ekkor fY (x) = (n ; 1) (F (x))n;2 f (x): (a III.7.6. feladat megoldst n-re ltalnostva s derivlva) R0 P (Y < X1) = P (Y ; X1 < 0) = FY ;X1 (0) = fY ;X1 (t)dt ahol ;1 fY ;X1 (t) a konvolcis kpletb l szmolhat: R1 R1 fY ;X1 (t) = fY (t + z)f (z)dz = (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dz: ;1

;1

R0 R1 (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dzdt = gy FY ;X (0) = ;1 ;1 1 0 R R R1 = f (z) (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)dtdz = f (z) (F (z))n;1 dz ;1 h (F;1 i ;1 1 (z))n 1 1

n

;1

=

= n:

III.7.20. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz szorzatnak eloszlsa) Legyen X s Y valsznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = X Y valsznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t xt ) 1t dt = fXY ( xt t) 1t dt: ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) 1t dt = fX ( xt ) fY (t) 1t dt: ;1

;1

Megolds : Legyen most y1 = u1(x1 x2) = x1 x2 ) yy12 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 D = R2 H = f1(y1 ;y2y)12 jy2 6= 0g 1 y y 2 2 ) det(J (y1 y2)) = y2 . J (y1 y2) = 0 1 Alkalmazva a transzformcis ttelt, a Z = X Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY ( yy12 y2) y12 : Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY ( yy21 y2) y12 dy2. ;1

;1

III.7


123

Az utbbi integrlban az yy12 = t ddyt2 = ; yt21 vltoz transzformcival kapjuk 1 +R1 y 1 az fZ (y1) = fXY (y2 y2 ) y2 dy2 kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor ;1 fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) 1t dt = fX ( xt ) fY (t) 1t dt: ;1

;1

III.7.21. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz hnyadosnak eloszlsa)

Legyen X s Y valsznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = XY valsznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (x t t) jtj dt = fXY (t xt ) xjt2j dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xjt2j dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1

Megolds : Legyen most y1 = u1(x1 x2) = xx12 ) y1 y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 y2 = u2(x1 x2) = x2 D = f(x1 x2) j x2 6= 0g H = R2 J (y1 y2) = y01 y12 ) det(J (y1 y2)) = jy1j : A transzformcis ttelt alkalmazva, a Z = XY s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 y2 y2) jy2j : Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 y2 y2) jy2j dy2. ;1 ;1 Az utbbi integrlban az y1 y2 = t ddyt2 = y11 vltoz transzformcival +R1 kapjuk az fZ (y1) = fXY (y2 yy12 ) jyy122j dy2 kpletet. Ha X s Y fggetle;1 nek, akkor fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xt2 dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1

III.7.22. Feladat: Legyenek X Y

meg a Z =

X Y

srsgfggvnyt!

2 N (0 1) fggetlenek.

Hatrozzuk

124


R1 jyj ' (xy) ' (y) dy = R1 jyj exp ; y (x +1) dy:

Megolds: fZ (x) =

p ;1 Vgrehajtva az y x2 + 1 = z vltozcsert: fZ (x) =

R1 pjzj e; z ;1 h 2 ;xz +1i1

= 2(x12+1)

2 2

2

;e

2 2

0

x +1 dz =

p 12

= (x21+1) :

R1

0

2

;1

; z2 x +1 e

p z2

2

2

x +1 dz

p 12

2

2

=

Megjegyzs: Z eloszlst Cauchy- vagy t1 (1 szabadsgfok Student) eloszlsnak nevezzk. III.7.23. Feladat: Tekintsk a T = ;2 2] ;1 1] tglalapon vletlenszeren kivlasztott P pontot! Igaz-e, hogy P polrkoordinti fggetlenek lesznek? Megolds: Jellje R s a polr, X Y pedig a descartes-i koordintkat. Ekkor R2 = X 2 + Y 2 s = arctg XY : R s egyttes eloszlsfggvnye: P (R2 < t2 < u) = P (X 2 + Y 2 < t2 Y < X tg u) : Az orign tmen tg u meredeksg egyenes mindig felezi az orig kzppont, t sugar kr terlett, gy P (R2 < t2 < u) = 12 P (R2 < t2) = P ( < u) P (R2 < t2) ) fggetlenek.

III.7.24. Feladat: A frak testmagassgt X 2 N (175 10) a n kt

Y 2 N (165 8) valsznsgi vltozkkal modellezve, mekkora annak a valsznsge, hogy egy tetsz legesen kivlasztott fr 10 (cm)-rel alacsonyabb, mint egy tetsz legesen kivlasztott n ? III.7.25. Feladat: Egy aut X (km)-t tud defekt nlkl megtenni, ahol X 2 E (), azaz P (X < x) = 1 ; e; x x > 0: Egy 12000 (km) hosszsg ton mennyi annak a valsznsge, hogy az aut legfeljebb egy defektet kap? ( = 10;4 ).

III.7


125

Megolds : X1 X2 az els illetve msodik defektig megtett t, Y a defektek szma. P (Y = 0) = P (X1 12000) = e;12 P (Y = 1) = P (X1 < 12000 X1 + X2 12000) = = P (X1 < 12000) ; P (X1 + X2 < 12000) = 1 2e;12 mert a X1 + X2 konRx volci srsgfggvnye: e; te; (x;t)dt = 2xe; x )

0 x R P (X1 + X2 < x) = 2te; tdt = 1 ; e; x 1 + x] : A keresett valsznsg: 0

P (Y = 0) + P (Y = 1) = 2 2e;12:

III.7.26. Feladat: Az (X Y )T valsznsgi vltoz pr egyttes sr-

sgfggvnye f (x y) = 12 e;4y ha 1 < x < 9 s y > 0 (egybknt f (x y) = 0). a.) Fggetlen-e X s Y ? b.) E (X + Y ) = ? 2 (X + Y ) = ? c.) P (0 X < 7 Y 1) = ? Megolds : fX (x) = 18 x 2 1 9] fY (y ) = 4e;4y y > 0:

a.) Fggetlenek! 1 b.) EX + EY = 5 + 14 2X + 2Y = 64 12 + 4 c.) P (0 X < 7 Y

1) = R17 R11 12 e;4y dydx = e56; : 4

III.7.27. Feladat: Kt biatlon versenyz X , illetve Y ra alatt futja a 10 km-es tvot, ahol X s Y fggetlen exponencilis eloszls valsznsgi vltozk = 2, illetve = 2 1 paramterekkel. Ha a kt versenyz b l csapatot szerveznk akik 5 km-nl vltjk egymst, mennyi a valsznsge, hogy 20 perc alatt teljestik a 10 km-es tvot? Megolds : A 10 km-t X +2 Y id alatt teljestik. A konvolcis srsgfggRx vny: fX +Y (x) = e; te;(x;t)dt = 4 2 (e;2x ; e;21x) )

h1 i 0R4 ; X + Y 1 1 ; 0 8 ; 0 84 P 2 < 5 = fX +Y (t) dt = 4 2 2 (1 ; e ) + 21 (e ; 1) : 0

0

126


2 G (p) fggetlenek. Bizonytsa be, hogy P (X = k j X + Y = n) = n;1 (k = 1 2 : : : n ; 1) : +Y =n) P(X =k)P(Y =n;k) = Megolds: P (X = k j X + Y = n) = P(XP(=XkX +Y =n) = P(X +Y =n) n; k; n;k; III.7.28. Feladat: Legyenek X Y 1

= nP;q1 i=1

1p pq qi;1 pqn;i;1 p 1

=

q

p

2 2

qn;2 p2

nP ;1 1 i=1

= n;1 1 :

III.7.29. Feladat: Legyenek X

2 Po () s Y 2 Po () fggetlenek.

Mutassuk meg, hogy X -nek az X + Y = n felttelre vonatkoz feltteles eloszlsa binomilis! Megolds: P (X + Y = l) =

=

P l e; l;j e; = l

j =0 l!

(l;j )!

Azaz X + Y

Pl P (X = j ) P (Y = l ; j ) =

j =0 l 1 e;( +) l! j l;j l! j =0 j !(l;j )!

P

l

= ( +l!) e;( +):

2 Po ( + ) : P (X = k j X + Y = n) = k ; n;k ;

k

n;k

P(X =kX +Y =n;k) P(X +Y =n)

=

= k(!e+)n(ne;;k()!+e) = k!(nn;! k)! + + n! ez pedig a B n + eloszls! III.7.30. Feladat: Egy tyk X 2 Po () tojst tojik. Minden tojsbl egymstl fggetlenl p valsznsggel kel ki kiscsirke. Mennyi a kiscsirkk szmnak vrhat rtke? Megolds: Jellje Y; a kikelt kiscsirkk szmt! P (Y = k j X = n) = nk pk (1 ; p)n;k ) E (Y j X = n) = 1 P = np () E (Y j X ) = Xp) : gy EY = (np) nn! e; = p EX = p : P(X =kY =n;k) P(X +Y =n)

n=0

III.7.31. Feladat: Az el z feladat jellseivel adjuk meg E (X j Y = k) regresszis sorozatot, illetve az E (X j Y ) regresszit! Megolds: Legyen n k . n)pk (1;p)n;k n e; ( P ( Y = k jX =n)P(X =n) P (X = n j Y = k ) = = P1 k m k m;nk! m ; = P(Y =k) ( )p (1;p) m! e m=k k n ; k P = ((1;(np;) k))! e;(1;p) : gy E (X j Y = k) = nP (X = n j Y = k) = n k n;k P P ((1 ;p) )n;k ;(1;p) = n e = (1 ; p) + k ((1;p) ) e;(1;p) = n k

(n;k)!

n k

(n;k)!

= (1 ; p) + k: Ebb l mr lthat, hogy E (X j Y ) = Y + (1 ; p) :

III.7

127


III.7.32. Feladat: Dobjunk n-szer egy szablyos dobkockval. Jellje

X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmoljuk ki az E (X j Y ) regresszit! =l) Megolds: Ha k l akkor P (X = k j Y = l) = P(XP(=YkY =l) = n! 1 k 1 l;k 1 n;l ( 2 ) = ; l ; 1 k ; 2 l;k : k !(l;k )!(n;l)! ( 6 ) ( 3 ) = n 1 n 3 k 3 ( )( ) l

Pl k; l ; 1 k ; 2 l;k = l azaz E (X j Y ) = Y : k 3 3 3 3 k=0 III.7.33. Feladat: Legyen ;X 2 N ;;0 ;1 r : Hatrozzuk meg a 2

gy E (X j Y = l) =

P (X 0 Y

2

0) valsznsget!Y

r 1

0

Megolds: fXY (x y) = 2p11;r2 exp ; 2(1;1 r2) (x2 ; 2rxy + y2) =

=

p1 2 1;r2

exp

y 2

2

exp

2 1 x;ry

;2

p

1;r2

az egyttes srsgfggvny.

0) = R01 R01 fXY (x y) dxdy = y 1 x;ry 2 1 R1 R 1 = 2p1;r exp 2 exp ; 2 p1;r dxdy = 0 0 p1 ; r2 x ; ry vgrehajtva az p1;r = u y = v ) J (u v) = 0 R1 R1 exp ; u +v dudv = vltozcsert: = 21 2 0 P (X 0 Y

2

2

2

2

2

r = p1 ; r2 1

2

p;rv 2

;r

1

polrkoordintkra ttrve: cos ;R sin u = R cos v = R sin J (R ) = sin R cos = R kapjuk, hogy

=

1 2

R1 =R 2 R exp ; R d dR = 1 + 1 arcsin r: 2 4 2 2

0 ; arcsin r

III.7.34. p Feladat: Legyenek VpW 2 U (0 1) fggetlenek. Ha

X = ;2 ln V cos 2 W s Y = ;2 ln V sin 2 W akkor bizonytsuk be, hogy X Y 2 N (0 1) fggetlenek! (Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapszik a standard normlis eloszls vletlen szmok generlsnak Box-Mller mdszere.)

128


;

Megolds: El szr felhasznljuk, hogy U = ;2 ln V 2 E; 12 s Z = 2 W 2 U (0 2 ) fggetlenek: Ezrt fUZ (u z) = 12 exp ; u2 21 p u > 0 z 2 (0 2 ) : Vgrehajtvaa T = U Z = Z transzformcit: fTZ (t z) = fUZ (t2 z) = t exp ; t22 21 : Most az X = T cos Z Y = T sin Z ) T = pX 2 + Y 2 Z = arctg XY J (X Y ) = pX 21+Y 2 transzformcit vgre 2 +y 2 p x ( ) y 1 1 hajtva f (x y) = f ( x2 + y2 arctg ) p = exp ; XY

TZ

x

ami mr igazolja az lltst.

x2 +y2

2

2

III.7.35. Mutassuk meg, hogy ha X Y2N (0 1) fggetlenek, Feladat: m +d X m d2 %d d

akkor

1 p m2 + %d2X + 1 ; %2d2Y 2 N2 1

1 m2

1 %d1d2

1 2 d22

!

(Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapulva lehet el rt vrhatrtk-vektor, s kovarianciamtrix skbeli normlis vletlen vektorokat generlni.)

p

Megolds: Legyenek V = m1 + d1X ,W = m2 + %d 2 X + 1 ; %2 d2 Y m = V = m+A X : A m1 A = d1 p 0 : Ekkor 2 W m Y 1;% d %d 2

2

2

normlis eloszls transzformcis trvnyb l: ami mr igazolja az eljrst.

X

III.7.36. Feladat: Ha X = X12 ; ;

V ;m A AT , 2 N 2 W

2 N2 ;

akkor szmoljuk ki a

P X ; T ;1 X ; < " valsznsget, ahol " > 0 tetsz leges!

(Megjegyzs : A keresett mennyisg azt adja meg, hogy mekkora a valsznsge hogy az X ktdimenzis normlis vektor rtkei az ;x ; T annak, ;1 ; x ; = " egyenlet ellipszis belsejbe essenek. Az .n. szrsellipszis centrumpontja a vrhatrtk-vektor, tengelyei pedig a kovarianciamtrix sajtvektorainak irnyba mutatnak. A szimmetriatengelyek hosszainak arnya a sajtrtkeinek arnyt adja, mg a tengelyek hosszai fggnek "-tl.) Legyen " > 0 tetsz leges! Ekkor ;X Megolds: T ;1 ; ; X ; < " () Y T Y < " ahol

III.7


;

;

;

129

Y = ; 12 X ; 2 N2 0 E :Mivel Y T Y 2 E 21 ezrt ; ; ; ; P X ; T ;1 X ; < " = P E 12 < " = 1 ; e; 12 " :

III.7.1. Gyakorlat: Legyenek X Y

P (X = Y ) valsznsget!

2 G (p) fggetlenek.

Adja meg a

III.7.2. Gyakorlat: Egy autszerel mhelybe rkezve kt aut van el ttnk, az egyiket ppen szerelik. Felttelezve, hogy a szerelsi id k egymstl fggetlen E (2) eloszls valsznsgi vltozk, mennyi a valsznsge, hogy autnkat 1 (rn) bell megjavtjk? III.7.3. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E (1) fggetlenek. Bizonytsa be,

hogy minfX Y g 2 E (2) s, hogy maxfX Y g eloszlsa megegyezik X + 12 Y eloszlsval!

III.7.4. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izzk lettartamai egymstl fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls valsznsgi vltozk, melyek vrhat rtke 30 ra. Amikor elalszik a fny, azonnal kicserlem a kigett izzt. Adja meg az izzcserk kztti id tartam eloszlst! III.7.5. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izzk lettartamai egymstl fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls valsznsgi vltozk. Milyen kellene, hogy legyen az izzk lettartamnak vrhat rtke ahhoz, hogy 100 rs zemels alatt 95%-os valsznsggel ne kelljen izzt cserlnem? III.7.6. Gyakorlat: Kt kivl Forma 1-es krideje az id m versenyz

0 0

r edzsen egyarnt egyenletes eloszls az 1:21 1:22 id intervallumban. (Az ra ezredmsodperc pontossggal tud mrni.) Mennyi a valsznsge, hogy azonos id t fognak menni egy adott krben? Kisebb vagy nagyobb annak a valsznsge, hogy ha mindegyikknek kt ksrlete van, akkor a kt-kt eredmny minimuma azonos?

III.7.7. Gyakorlat: Tegyk fel, hogy minden hten tzmilli szelvnnyel fogadnak. Mennyi annak a valsznsge, hogy tz hten keresztl nem lesz ts tallat?

130


III.7.8. Gyakorlat: Pincnkben 2 db prhuzamosan kapcsolt izz vil-

gt. Az izzk lettartamai egymstl fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls valsznsgi vltozk, melyek vrhat rtke 6 hnap. Csak akkor szoktam izzt cserlni, ha mr mindkett kigett. Vezesse le az izzcserk kzti id tartam eloszlsfggvnyt!

III.7.9. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek, s

Z = jX + Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt!

III.7.10. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = jX ; Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt!

III.7.11. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = X + 12 Y: Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! Mennyi a Z vrhat rtke s szrsa? III.7.12. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtybl kihzunk

visszatevs nlkl 10 lapot. Legyen Xp Xz Xt Xm rendre a kihzott piros, zld, tk s makk szn lapok szma! Adja meg (Xp Xz Xt Xm )T eloszlst! Mennyi a P (Xp < Xz ) valsznsg?

III.7.13. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 E () teljesen fgget-

lenek. Hatrozza meg a pk = P (X1 + X2 + : : : + Xk 1 < X1 + X2 + : : : + Xk + Xk+1 ) valsznsget! (1 k n ; 1) :

III.7.14. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye 2 2

0<x y<1 : fXY (x y) = a (x + xy + y )0 ha egybknt Mennyi az a rtke? Fggetlen-e X s Y ?

III.7.15. Gyakorlat: Hromszor dobunk egy szablyos dobkockval. X a kapott hatosok szma, Y a kapott pros rtkek szma. Adja meg X s Y egyttes eloszlst, kovariancia mtrixukat. Fggetlen-e X s Y ? III.7.16. Gyakorlat: rja fel kt fggetlen valsznsgi vltoz egyt-

tes srsgfggvnyt, ha az els standard normlis, a msodik pedig 0 2 paramter exponencilis eloszls!

III.7


131

III.7.17. Gyakorlat: Az ;1 1] ;1 1] ngyzeten egyms utn sorso-

lunk ki vletlen pontokat. Akkor llunk meg, amikor a kisorsolt pont el szr esik bele az orig kzppont egysgkrbe. Mi a pontok szmnak eloszlsa?

III.7.18. Gyakorlat: Ha a v = (X Y )T vektor egyenletes eloszls az

orig kzppont, egysgnyi sugar krlemezen, mi a srsgfggvnye a p 2 vektor hossznak, kvk = X + Y 2;nek?

III.7.19. Gyakorlat: Ha X Y 2 U (0 1), akkor mi az (X + Y X ; Y )T

ktdimenzis valsznsgi vltoz vrhatrtk-vektora s kovarianciamtrixa?

III.7.20. Gyakorlat: Legyen az X s Y egyttes eloszlsfggvnye:

FXY (x y) = x3y 0 x 1 0 y 1: Mennyi a P (0 25 X 0 75 0 25 Y 0 5) valsznsg?

III.7.21. Gyakorlat: Hatrozza meg az orig kzppont 1 sugar kr-

lapon vett egyenletes eloszls kovarianciamtrixt!

III.7.22. Gyakorlat: Legyen az (X Y )T valsznsgi vektorvltoz s-

rsgfggvnye f (x y) = 71 6x2y ; 12xy + 6y + 18x2 ; 36x + 18] x 2 0 1] y 2 0 1] : Fggetlenek a komponensek?

III.7.23. Gyakorlat: Kt ember mindegyike addig dob fel egy-egy szablyos pnzrmt, amg az els fej ki nem jn. Mennyi a valsznsge, hogy ehhez mindkett nek ugyanannyi dobsra van szksge? III.7.24. Gyakorlat: Egy jl megkevert csomag 32 lapos magyar kr-

tybl leosztunk 8-at. Legyen X = 1, ha a leosztott lapok kztt van piros, s X = 0, ha nincs. Legyen tovbb Y = 1, ha van a nyolc lap kztt sz, s Y = 0 klnben. Adja meg X s Y egyttes eloszlst!

III.7.25. Gyakorlat: Kt busz egymstl fggetlenl X , illetve Y id

alatt ri el a megllt, ahol n vrakozom. Brmelyik busszal tudom az utamat folytatni. Mennyi a valsznsge, hogy x > 0 id n bell befut valamelyik, ha X Y 2 E () fggetlenek?

III.7.26. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = XX+Y .

Szmolja ki Z srsgfggvnyt!

132


III.7.27. Gyakorlat: Legyen X

2 U (0 1) : X segtsgvel generljon

az orig kzppont egysgkr kerletn egyenletes eloszls ktdimenzis vletlen pontot! (Segtsg: Z = cos 2 X Y = sin 2 X ).

III.7.28. Gyakorlat: Egy mszerben egy bizonyos f egysg tlagos let-

tartama 2 v, a beptett ellen rz rendszer pedig 3 v. A hasznlat sorn egyik sem regszik s egyikk tnkremenetele sem fgg a msiktl. Mennyi a valsznsge, hogy az ellen rz rendszer el bb romlik el, mint a f egysg? ; ; 1 1 (Segtsg: X 2 E 2 a f egysg, Y 2 E 3 az ellen rz egysg lettartama, fggetlenek. Mennyi P (Y < X )?)

III.7.29. Gyakorlat: Legyenek X 2 Po (0 5) s Y 2 Po (0 1) fggetle-

nek! Mennyi P (X + Y = 2)?

III.7.30. Gyakorlat: Legyenek X

2 G (0 5) s Y 2 G (1 5) fggetle-

nek! Mennyi P (X + Y = k) (k = 2 3 4 : : :)? 2y 5

III.7.31. Gyakorlat: Szmolja ki az fX (x) = 1 x 2 0 1] s az fY (y) =

y 2 2 3] srsgfggvnyek konvolcis srsgfggvnyt, fX +Y (t)-t!

III.7.32. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = 2X ; Y . Szmolja ki Z srsgfggvnyt! III.7.33. Gyakorlat: Legyenek X Y Szmolja ki Z eloszlsfggvnyt!

2 U (0 1) fggetlenek, Z = X ;Y .

III.7.34. Gyakorlat: Binris, 1 rtk egyformn valszn szimblu-

mot kldnk t zajos csatornn, ahol a szimblumhoz t le fggetlen f (x) = 0 5 (1 ; 0 5 jxj) x 2 (;2 2) srsgfggvny zaj addik. Ha a csatorna kimenete pozitv, akkor 1 mellett, egybknt -1 mellett dntnk. Mennyi a hibs dnts valsznsge?

III.7.35. Gyakorlat: Egy fogorvosi rendel be rkezve, ketten vannak

el ttnk, az egyiknek ppen most kezdtk el a kezelst. A fogorvos egy pcienssel 0,5 paramter exponencilis id alatt vgez. Mennyi annak a valsznsge, hogy egysgnyi id n bell sorra kerlnk? Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha prhuzamosan kt orvos fogad egyszerre!

III.7

133


III.7.36. Gyakorlat: Egy berendezs X ideig mkdik hibamentesen,

s Y id kell a javtshoz, ahol X 2 E () s Y 2 E () egymstl fggetlenek. Mennyi annak a valsznsge, hogy a gpet a T > 0 id tartam alatt legalbb ktszer kellett javtani?

III.7.37. Gyakorlat: Legyenek X 2 N (5 2) s Y

nek. Adja meg a P (X < Y ) valsznsget!

2 N (4 3) fggetle-

III.7.38. Gyakorlat: Az emberek testslyt N (75 12) eloszlssal mo-

dellezzk. Ha egy ngyszemlyes lift 320 (kg)-os sszteherbrs, akkor menynyi a valsznsge, hogy egy ngy f s csoport tlslyos lesz?

III.7.39. Gyakorlat: Egy zemben kt gp zemel egymstl fggetlen

X1 s X2 ideig, ahol X1, X2 2 E (0 2) : A folyamatos gyrtshoz az egyik gp zemeltetse is elegend , a msik gp tartalk. Ha az ppen mszakban ll gp meghibsodik, azonnal a tartalkot lltjk zembe. Melegtartalk esetn a tartalk gp is llandan be van kapcsolva, azaz ilyenkor a folyamatos mkdsi id maxfX1 X2g: A hidegtartalkols esetn a tartalk gpet csak az zembellts pillanatban kapcsoljk be. Teht ilyenkor a folyamatos zemeltetsi id X1 + X2 lesz. Hatrozza meg a folyamatos zemeltets idejnek vrhat rtkt meleg-s hidegtartalkols esetn!

III.7.40. Gyakorlat: Legyen X 2 E (2). Hatrozza meg a cov (X X 2 )

szmot!

III.7.41. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos elosz-

ls valsznsgi X1 +X2++vltozk. k Tegyk fel, hogy P (Xi > 0) = 1: Bizonytsa be, X k hogy E X1 +X2++Xn = n !

III.7.42. Gyakorlat: Legyen az X valsznsgi vltoz olyan, hogy

P (X > 0) = P (X < 0) = EX = a E jX j = b: Szmolja ki a cov X jXX j -t!

III.7.43. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls valsznsgi vltozk. P (Xi = 1) = P (Xi = ;1) = 14 P (Xi = 0) = 12 (i = 1 2 : : : n) : Szmtsa ki Pn az Y = Xi valsznsgi vltoz vrhat rtkt s szrst! i=1

134


III.7.44. Gyakorlat: Legyenek X s Y fggetlen valsznsgi vltozk. 2 2

Bizonytsa be, hogy 2 (XY ) = 2X2Y + (EX ) 2Y + (EY ) 2X: III.7.45. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlenek. Ezek kijellnek n + 1 db rszintervallumot (0 1) ;en. Jellje Yk a k-adik rszintervallum hosszt (k = 1 2 : : : n + 1) : Mutassa meg, hogy 1 ! EYk = n+1 III.7.46. Gyakorlat: Fodrsznl sorunkra vrunk. Mekkora a valsznsge, hogy az tlagosnl tovbb vrakozunk, ha a vrakozsi id E (2)? III.7.47. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls valsznsgi vltozk, melyeknek ltezik a vrhat rtkk Pn s szrsuk: 2 2 2 EXi = Xi = d : Fejezze ki s d fggvnyben a i Xi s

Pn

n P cov i Xi Xi mennyisgeket! i=1 i=1

i=1

III.7.48. Gyakorlat: Hrom szablyos kockval dobunk. Jellje Y a

dobott rtkek sszegt. Adja meg EY -t s 2Y -t! III.7.49. Gyakorlat: Legyen X 2 N (0 1). Szmolja ki R (X X 3 )-t! III.7.50. Gyakorlat: Egy kalapban egy-egy cdulra fel vannak rva az 1 2 3 szmjegyek. Egyms utn, visszatevs nlkl kivesznk kt cdult. X az els , Y a msodik hzs eredmnye. Adja meg R (X Y )-t! Fggetlen-e X s Y ? III.7.51. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha X s Y azonos szrs valsznsgi vltozk, akkor X + Y s X ; Y korrellatlanok! III.7.52. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek! V = X +Y s W = X ; Y + 1. Adja meg a (V W )T vektor kovarianciamtrixt! III.7.53. Gyakorlat: Legyenek X Y fggetlen valsznsgi vltozk, ahol EX = 4 EY = 0 2X = 1 2Y = 2: Hatrozza meg az albbi mennyisgeket: E (5X ; 6Y ) EXY 2 (5X ; 6Y + 8) cov (5X 6Y )! III.7.54. Gyakorlat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtybl kett t talonba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Szmolja ki X s Y kovariancijt!

III.7


135

III.7.55. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha EX = EX 3 = 0, akkor X

s Y korrellatlanok!

III.7.56. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye: fXY (x y) = 10x2y 0 y x 1: Hatrozza meg adott X = x felttel esetn az Y feltteles srsgfggvnyt! III.7.57. Gyakorlat: Legyen az X s Y valsznsgi vltozk egyttes srsgfggvnye fXY (x y) = 125 (x2 ; xy + y2) ha 0 x 1 0 y 1 egybknt fXY (x y) = 0: Szmolja ki az fX jY (x j y) feltteles srsgfggvnyt! Szmolja ki a kovarianciamtrixot! Szmolja ki az E (X j Y = y) regresszis fggvnyt! III.7.58. Gyakorlat: Egy ktdimenzis valsznsgi vltoz els koordintjnak srsgfggvnye fX (x) = 2x (0 < x < 1) : Ha az els koordinta x, akkor ilyen felttel mellett a msodik koordinta (Y ) 1 + x paramter exponencilis eloszlst kvet. Hatrozza meg annak a valsznsgt, hogy a kt koordinta sszege kisebb mint 1! III.7.59. Gyakorlat: Dobjunk n-szer egy szablyos dobkockval. Jellje X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmolja ki az E (Y j X ) regresszit! III.7.60. Gyakorlat: x2+Legyen az X Y egyttes srsgfggvnye 2 y 1 fXY (x y) = 2d2 exp ; sd2 x y 2 R: Hatrozza meg Z = max fjX j jY jg srsgfggvnyt! III.7.61. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlen valsznsgi vltozk egy skbeli vektor komponensei: V = (X Y )T : Adja meg a vektor hossznak az eloszlsfggvnyt! 0 1 0 5 T III.7.62. Gyakorlat: Legyen (X Y ) 2 N2 0 : 05 1 Adja meg azt a lineris transzformcit, melynek eredmnyekpp a komponensek fggetlen standard normlis eloszlsak lesznek! III.7.63. Gyakorlat: X s Y egyttes eloszlsa normlis, ktdimenzis = (1 2)T vrhatrtk-vektorral s = 11 12 kovarianciamt21 22 rixszal. Fejezze ki az E (Y j X ) regresszit komponensei s X segtsgvel!

136


IV. fejezet Valszn sgi t rvnyek IV.1. Nevezetes egyenltlensgek IV.1.1. Ttel: (A Markov-egyenltlensg) Legyen Y 0 olyan valsznsgi vltoz, melynek ltezik a vrhat rtke: EY 0. Ekkor 8 > 0 esetn P(Y > ) EY : Bizonyts : Diszkrt valsznsgiP vltoz esetben: P P EY = yiP(Y = yi) yiP(Y = yi) P(Y = yi) = 8i yi > yi > = P(Y > ) ) llts. Folytonos valsznsgi vltoz esetben:1 1 1 R R R EY = x fY (x) dx x fY (x) dx fY (x) dx = (1 ; FY ( )) = 0 = P(Y > ) ) llts. Megjegyzs :

a.) Az egyenl tlensgben most akkor kapunk nem semmitmond lltst, ha

EY . Klnben a Markov-egyenl tlensg csak annyit jelentene, hogy egy valsznsg nem nagyobb, mint egy 1-nl nagyobb szm. . . Teht most > 0 nem azt sugallja # mint ltalban a matematikai ttelekben #, hogy tetsz legesen kicsi pozitv szm, hanem ppen ellenkez leg, most nagy. 137

138

IV. FEJEZET Valsznsgi t rvnyek

b.) A Markov-egyenl tlensget a kvetkez mdon fogalmazhatjuk t, ha vgrehajtjuk a = EX helyettestst: 8 > 0 esetn P(Y > EY ) 1 : Innen viszont az olvashat le, hogy Y kicsi valsznsggel vehet csak fel a sajt vrhat rtknl sokkal nagyobb rtkeket, vagyis Y hajlamos a vrhat rtke kzelben felvenni rtkt. Pl. annak valsznsge, hogy egy nemnegatv valsznsgi vltoz a vrhat rtknek tszrsnl nagyobb rtket felvegyen, 0,2-nl kisebb. IV.1.2. Ttel: (A Csebisev-egyenltlensg) Legyen X olyan valsznsgi vltoz, amelynek vges a szrsngyzete: 2X < 1. Ekkor minden " > 0 esetn P(jX ; EX j ") "22X . Bizonyts : Alkalmazzuk a Markov-egyenl tlensget Y = (X ; EX )2

= "2 helyettestssel: P(jX ; EX j ") = P((X ; EX )2 "2) E(X ;"2EX )2 = "22X : Megjegyzs :

a.) "-rl ugyanaz elmondhat, mint a Markov-egyenl tlensg esetn -rl: " X esetben lesz csak nem-trivilis az egyenl tlensg. b.) A Csebisev-egyenl tlensg is tfogalmazhat, ha " = X : Minden > 0 esetn P(jX ; EX j X ) 12 . Vagyis a valsznsgi vltoz a vrhat rtke krl ingadozik, s annl kisebb mrtkben, minl kisebb a szrsa. Pl. egy valsznsgi vltoz nem trhet el jobban a vrhat rtkt l, mint a szrsa hromszorosa, csak legfeljebb 19 0 11 valsznsggel.

IV.2. Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii IV.2.1. Den ci: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : s X valsznsgi vl-

tozk az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Azt mondjuk, hogy a.) Az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgi vltoz-sorozatoegy valszn sggel n konvergl X -hez, ha az A = ! nlim Xn (!) = X (!) esemny egy val!1 sznsg: P(A) = 1. 1v Jells : Xn ! X:

IV.2

Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii

139

b.) Az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgivltoz-sorozat Lr -ben (vagy r-edik momentumban) tart X -hez, ha E (jXn ; X jr ) ! 0 (n ! 1): Lr Jells : Xn ! X: c.) Az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgivltoz-sorozat sztochasztikusan konvergl X -hez, ha 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): st Jells : Xn ! X: d.) Az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgivltoz-sorozat eloszlsban konvergl X -hez, ha nlim FXn (x) = FX (x) minden olyan x 2 R -ben, ahol FX (x) !1 folytonos. e Jells : Xn ! X:

IV.2.1. Ttel: Az eloszlsban val konvergencibl nem kvetkezik sem az egy valsznsggel val, sem az Lr -ben val, sem a sztochasztikus konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.5. feladatot!

IV.2.2. Ttel: Ha Xn !st X akkor Xn !e X is, azaz a sztochasztikus

konvergencibl kvetkezik az eloszlsban val konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.6. feladatot!

L st IV.2.3. Ttel: Ha Xn ! X akkor Xn ! X is, azaz az L1-beli konver1

gencibl kvetkezik a sztochasztikus konvergencia, gy az eloszlsban val konvergencia is. Az llts megfordtsa ltalban nem igaz ! Bizonyts : Lsd a IV.6.7. feladatot!

IV.2.4. Ttel: Ha Xn

talban nem igaz.

!1v X , akkor Xn !st X is, de a megfordts l-

Bizonyts : Lsd Rnyi +1] 327. oldal!

140


IV.2.1. Plda: (Gyengn igen, ersen nem konvergens valszn sgivltoz-sorozat)

0

x 2= k;n 1 nk ahol n 2 N tetLegyen U 2 U (0 1) s fnk (x) = 1 ha ha x 2 k;n 1 nk sz leges, k = 1 2 : : : n: A valsznsgivltoz-sorozat dencija: Xm = st X , ahol X 0, hiszen tetsz leges fnk (U ) ahol m = n + k: Ekkor Xm ! ; 1 " 2 (0 1) esetn P (jXm ; X j > ") = P U < n = n1 : Az egy valsznsggel val konvergencia viszont nem teljesl, mert az Xm ! 0 egyetlen U 2 (0 1) realizcira sem igaz! Ugyanis tetsz leges x 2 (0 1) esetn s minden n 2 Nre ltezik k, hogy fnk (x) = 1 legyen.) IV.2.5. Ttel: Az egy valsznsggel val konvergencia s az Lr -beli konvergencia kzl egyik sem kvetkezik a msikbl ltalnos esetben. Bizonyts : Lsd a IV.6.8. feladatot!

Megjegyzs : sszegezve a fejezetben kimondott tteleket, a konvergencik kztti er sorrend: 3 1v

Xn ! X Lr Xn ! X

75 ) Xn !st X ) Xn !e X:

IV.3. A nagy szmok trvnyei A nagy szmok trvnyei azt a meggyelst tmasztjk al elmletileg is, hogy egy valsznsgi vltozt sokszor meggyelve, az tlagrtk mindig kzel van az elmleti vrhat rtkhez. Az is igaz, hogy a meggyelsek nvekedtvel az eltrs cskken, azaz az tlagrtkek konverglnak is a vrhat rtkhez. A klnbz nagy szmok ttelei a meggyels-sorozat krlmnyeiben s a konvergencia tipusban trnek el egymstl. Ha a konvergencia sztochasztikus, gyenge trvnyr l, ha egy valsznsg, akkor er s alakrl beszlnk. IV.3.1. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Csebisev-fle gyenge alakja) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgi vltozk pronknt fggetlenek s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkez k) az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs d2 = 2Xi szrsngyzetk.

IV.3

141

A nagy szmok t rvnyei

st , vagyis Ekkor a Zn = X1+X2n++Xn valsznsgivltoz-sorozatra Zn ! 8" > 0 esetn P(jZn ; j ") ! 0 (n ! 1):

Bizonyts : ; n EZn = E X1+X2n++Xn = n1 P EXi = n1 n = . i=1 A pronknti fggetlensg miatt: Pn Pn 2 2 Zn = n1 Xi = n12 2Xi = n12 n d2 = dn2 : i=1 i=1 Lthat teht, hogy Zn minden indexre teljesti a Csebisev-egyenl tlensg felttelt, gy: P(jZn ; EZn j ") = P(jZn ; j ") 2"Z2 n = = nd"22 ! 0 (n ! 1), ami mr igazolja az lltst.

IV.3.2. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Bernoulli-fle gyenge alakja)

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A 2 = egy pozitv valsznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : : -edik vgrehajtskor! Legyen Xi 2 I (A) vagyis az i-edik vgrehajtskor a meggyelt A esemny indiktor valsznsgi vltozja. Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A ) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: Legyen Zn = X1 +X2n++Xn = rn(A) a st relatv gyakorisg. Ekkor rn(A) ! p azaz 8" > 0 esetn P(jrn(A) ; pj ") ! 0 (n ! 1): Bizonyts : A ttel specilis esete a IV.3.1 ttelnek. Ekkor a Csebisev-egyenl tlensgnek a P(jZn ; EZn j ") = P(jrn(A) ; pj ") 2"Z2 n = npq"2

4n1"2 ! 0 (n ! 1) felel meg, mert p q 41 mindig teljesl. Megjegyzs : A ttel azt mondja ki, hogy a relatv gyakorisg jl kzelti az esemny elmleti valsznsgt, ahogyan azt mr a I.1.2 aximk utn tett megjegyzsnkben el re jeleztk.

IV.3.3. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Kolmogorov-fle ers alakja)

Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgi vltozk teljesen fggetlenek az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Ltezzk a kzs = EXi 1 P vrhat rtkk s a szrsngyzetkre teljesljk a 2Xi i12 < 1 felttel. i=1

142


Ekkor a Zn = X1 +X2n++Xn valsznsgivltoz-sorozatra Zn P(nlim Zn = ) = 1: !1

!1v

vagyis

Megjegyzs : A felttelrendszerben er sebb fggetlensget tteleztnk fel, de az azonos eloszlst nem tettk fel, csupn annak egy szksges felttelt, 1 2 1 P P hiszen 2Xi i12 = di2 < 1: Az llts viszont a IV.2.4 ttel szerint i=1 i=1 er sebb, mint a IV.3.1 ttel volt. Bizonyts: Lsd Rnyi +1] 328.333. oldal.

IV.4. A karakterisztikus fggvny

IV.4.1. Den ci: A Z = X + i Y komplex rtk valsznsgi vltoz vrhat rtkn az EZ = EX + i EY komplex szmot rtjk. IV.4.2. Den ci: Az X valsznsgi vltoz karakterisztikus fggvny n a 'X (t) = EeiXt (t 2 R) fggvnyt rtjk.

Megjegyzs : Mivel eiXt = cos(Xt) + i sin(Xt) ) 'X (t) = E cos(Xt) + i E sin( Xt): P P Diszkrt esetben: 'X (t) = cos(xj t) P(X = xj )+ i sin(xj t) P(X = xj ) 8j

8j

R

R

+1

+1

folytonos esetben: 'X (t) = cos(xt) fX (x) dx + i sin(xt) fX (x) dx. ;1 ;1 Lthat, hogy a karakterisztikus fggvny a srsgfggvny Fourier -transzformltja.

IV.4.1. Ttel: (A karakterisztikus fggvny tulajdonsgai) a.) j'X (t)j 1 s 'X (0) = 1: b.) 'X egyenletesen folytonos R-en. c.) 'X pozitv szemidenit fggvny, azaz 8n 8t1 t2 : : : tn 2 R s 8z1 z2 : : : zn komplex szmokra Pn Pn 'X (tk ; tl) zk z l 0 : d.) 'X (;t) = 'X (t):

k=1 l=1

IV.4

143

A karakterisztikus fggvny

e.) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor 'X1+X2 ++Xp (t) =

Yp j =1

'Xj (t) :

f.) Ha X els n momentuma ltezik, akkor 'X n-szer dierencilhat s (k ) Pn 'X (t) = k k(i!t)k + o(tn ) valamint k = EX k = 'Xik(0) : k=0

g.) Minden eloszlst egyrtelmen meghatroz a karakterisztikus fggvnye. +R1 Ha X folytonos, akkor fX (x) = 21 'X (t) e;itx dx (x 2 R): (In;1 verzis formula). Bizonyts :

a.) j'X (t)j E(eiXt) = E(1) = 1 'X (0) = E(e0) =E (1) = 1:

R

+1

b.) Legyen " > 0 tetsz leges. Mivel fX (x) dx = 1 ;1 R f (x) dx < " : Fel fogjuk hasznlni, hogy X 4 jxj>A" ixt1

) 9A" :

je ; eixt j < jx t1+;1x t2j s jeixt ; eixt j <2: j'X (t1) ; 'X (t2)j = ;1R (eixt ; eixt ) fX (x) dx +A +R1

;1 jeixt ; eixt j fX (x) dx = ;RA"" jeixt ; eixt j fX (x) dx+ R jeixt ; eixt j f (x) dx X jxj>A"

;+RAA"" jeixt ; eixt j fX (x) dx +2 jxj>AR fX (x) dx A" jt1 ; t2j +2 4" < ", " ha jt1 ; t2j < 2A" " : 2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

n 2! n P n P P c.) 'X (tk ; tl)zk z l = E eitk X zk 0: k=1 l=1 k=1 ; d.) ' (;t) = E eiX (;t) = E (cos(;Xt)) + i E (sin(;Xt)) = X

= E (cos(Xt)) ; i E (sin(Xt)) = 'X (t).

144


e.) Felhasznljuk, ! hogy ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor

E

Yp i=1

Xi =

'X1+X2 ++Xp

Yp

EXi.

Yp ! ; (t) = E ei(X +X ++Xp )t = E eiXk t = i=1

1

2

k=1

Yp ; iXkt Yp = E e = 'Xj (t): k=1

f.) 'X (t) =

R

+1

j =1

eixt fX (x) dx '0X (t) =

;1 +1

R ixeixt f (x) dx : : : X

+1 ;1

R '(Xk) (t) = (ix)k eixt fX (x) dx. ;1 +R1 gy '(k)(0) = ik xk f (x) dx = ik : X

;1

X

k

A Taylor-formulbl a t0 = 0 helyen: 'X (t) =

Pn k = k (it) + o(tn ). k=0

Pn 'Xk (0) tk +o (tn) = ( )

k=0

k!

k!

g.) Az lltst nem bizonytjuk. IV.4.1. Plda: (A standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye)

Ha X 2 N (0 1), akkor fX (x) = '(x) = p12 e; x2 , s gy a Fourier-transzformltra: +R1 +R1 +R1 'X (t) = cos(xt) '(x) dx + i sin(xt) '(x) dx = cos(xt) '(x) dx: 2

;1

;1

;1

A msodik integrl azrt 0, mert az integrandus pratlan fggvny. tszerint derivlva midkt oldalt: +1 +R1 2 R '0X (t) = ;x sin(xt) '(x) dx = sin(xt) (;x) p12 e; x2 dx =

h

;1

i

;t R

+1

;1

= sin(xt) p12 e 2 cos(xt) p12 e; x2 dx = 0 ; t 'X (t) mivel a ;1 ;1 IV.1.1 ttel a.) pontja szerint 'X (0) = 1, a karakterisztikusfggvny kielgti az y0 = ;t y y(0) = 1 kezdetirtk-feladatot! A dierencilegyenlet megoldsbl a standard normlis eloszls karakt2 ; terisztikus fggvnyre: 'X (t) = e 2 (t 2 R) : 2 +1 ;x

2

IV.5

145

Centrlis hatreloszls ttelek

IV.4.2. Plda: (A karakterisztikus fggvny ltalnos normlis esetben)

Legyen most X 2 N ( ). Ekkor a standardizltra X~ = X; 2 N (0 1) igaz, hiszen P (X~ < x) = P (X; < x + ) = ( x + ) =(x) (ld. a i Xt i ( X + ) t i t i X ( t ) II.5.6 ttelt.) gy 'X (t) = E e =E e =e E e = 2 t2 = e it; 2 , felhasznlva a IV.4.1 plda eredmnyt. IV.4.3. Plda: (A konvolci szmtsa normlis esetben) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlen, normlis eloszls valsznsgi vltozk, Xi 2 N (i i), akkor a IV.4.1 ttel e.) pontja szerint: ! p p Yp Yp P P j2 t2 2 'X1+X2 ++Xp (t) = 'Xj (t) = exp ij t ; 2 = exp it j ; t2 j2 : j =1

j =1

j =1

Azaz teljesen fggetlen s p normlis eloszlsok konvolcija is normlis: p p P X 2 N ( P P 2). j j j j =1

j =1

j =1

j =1

IV.4.4. Plda: (Az exponencilis eloszls karakterisztikus fggvnye)

Legyen most X 2 E (). R1 R1 'X (t) = eitx e; x dx = e(it; )x dx = it ; e(it; )x 10 = it ; : 0

0

IV.4.5. Plda: (Az egyenletes eloszls karakterisztikus fggvnye)

Rb

Ha X 2 U (a b]), akkor 'X (t) = eitx b;1a dx = b;1a eitx]ba = e(ibtb;;a)eiitat : a Ha specilisan a = ;b 'X (t) = eitb2;bei;titb = sin(bbt) : IV.4.2. Ttel: (Helly-ttel) Legyen X s X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorovfle valsznsgi mez n. Ekkor Xn !e X () 'Xn (t) ! 'X (t) egyenletesen. Bizonyts : A ttel bizonytsa megtallhat Rnyi +1] 272. oldaln.

IV.5. Centrlis hatreloszls ttelek IV.5.1. Ttel: (A centrlis hatreloszls ttel)

Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgi vltozk pronknt fggetlenek

146


s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkez k) az ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez n. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs 2 = 2Xi szrsngyzetk. Ekkor a Zn = X1 +X2+pn+Xn ;n valsznsgivltoz-sorozathoz ltezik olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z vagyis FZn (x) = P(Zn < x) = = P( X1 +X2+pn+Xn ;n < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A Helly-ttel alapjn (ld. IV.4.2 ttelt) azt fogjuk bizonytani, hogy Zn 'Zn2 karakterisztikus fggvnyeinek sorozata egyenletesen konvergl (t) = e; t2 -hz, a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnyhez. Mivel Xi-k azonos eloszlsak, gy kzs karakterisztikus fggvnyk van, melyet jelljnk 'Xi (t) = g(t) -vel. Ekkor az Xi ; valsznsgi vltozk kzs karakterisztikus fggvnye: (t) $ 'Xj ; (t) = e;it 'Xj (t) = e;it g(t): A fggetlensg miatt: 'Xi+X2 ++Xnh;n(t) =in(t)]n : gy 'Zn (t) = ' X1+X2+pn+Xn ;n (t) = pnt : Mivel E(Xi ; ) = 0 s E (Xi ; )2 = 2Xi = 2 a (t) els kt derivltja ltezik, s a IV.4.1 ttel miatt msodik tagig 0 krl Taylor-sorba fejthet : 2 E(X ;)2 2 t2 i E(Xi ;) ( i ) i 2 2 2 (t) = 1 + 1! t + 2! t + o(t )=n 1 ; 2 + o(t ): h t in t2 gy 'Zn (t) = pn = 1 ; n2 + o nt22 : utn: At2 tvltoz; 1 rgztse 1 o n2 = o n = n o(1) vagyis h in 2 'Zn (t) = 1 ; n1 ( t22 + o(1)) ! e; t2 (n ! 1): t2 + o(1) ! t2 (n ! 1) s, hogy Felhasznltuk, hogy y = n 1 ; yn n ! ey , ha y ! y (n 2! 1). 2 n n 2 t Vagyis 'Zn (t) ! e; 2 egyenletesen, azaz FZn (x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Megjegyzs : Az el z ttel rmutat a normlis eloszlsnak az elmletben jtszott fontos szerepnek okra: tetsz leges eloszls valsznsgi vltozk tlaga normlis eloszlst kvet. Teht, ha egy vletlen jelensget sok egyenknt nem jelent s, fggetlen hats sszegeknt kapunk, akkor az jl kzelthet a normlis eloszlssal. Tipikusan ilyenek a mrsekb l szrmaz adatok: a Duna kzepes vzllsa, a napi kzph mrsklet stb. Az elekt-

IV.6

147


romos eloszt kzpontban is normlis eloszlsnak tekinthet a lakossgi fogyaszts, hiszen nagyon sok kisfogyaszt ered jeknt ll el . Lehet, hogy az egyes fogyasztk kln-kln nem a normlis eloszls szerint fogyasztanak, de az tlagos fogyasztst a nagy szmok trvnye rtelmben biztosan tekinthetjk normlisnak modelljeinkben.

IV.5.2. Ttel: (A MoivreLaplace-ttel, 1733.)

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle valsznsgi mez , A 2 = egy pozitv valsznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : :-edik ksrletnl! Legyen Xi = 10 !! 22= A A vagyis az i-edik vgrehajtskor az esemny indiktor valsznsgi vltozja. Az Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A ) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: X2 ++Xn ;np valsznsgivltoz-sorozathoz ltezik Ekkor a Zn = X1+p np(1;p) olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z , vagyis FZn (x) = P(Zn < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A IV.5.1 ttel specilis esete, amikor az Xi 2 I (A) azaz indiktor eloszlsak. Radsul p FZn (x) = P(Zn < x) = P(n Sn < n p q x + n p) mivel rn(A) = Sn = X1;+X2n++Xn a relatv gyakorisg s n Sn 2 B (n p), gy P(n Sn = kp) = nk pk qn;k , amib l P az ;eloszlsfggvnyre: npk q n;k = P ;npk q n;k : P(n Sn < npqx + np) = p k k np <x pk;npq

k< npqx+np

Teht a ttel azt lltja, hogy P ;npk qn;k = (x) = p1 lim k 2 n!1 k;np <x p npq

Rx e; t dt (8x 2 R):

;1

2 2

IV.6. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok IV.6.1. Feladat: Egy clpontra 200 lvst adnak le. A tallat valsznsge minden lvsnl 0 4. Milyen hatrok kz fog esni 90%-os valsznsggel a tallatok szma?

148


Megolds: Jelljk X -szel a tallatok szmt! A lvssorozat felfoghat egy n = 200 hosszsg ksrletsorozatnak, ahol a meggyelt esemny a clpont eltallsa. Ezrt binomilis eloszls n = 200 s p = 0 4 paramterekkel. gy EX = np = 200 0 4 = 80 2X = npq = 200p 0 4 0 6 = 48: A Csebisevegyenl tlensget palkalmazzuk ; erre ; az esetrep" = 10X vlasztssal: P ;jX ; EX j >p 10X =; P jXp; 80j > 480 p0 1, ahonnan P jX ; 80j 480 = P 80 ; 480 X 80 + 480 = = P (58 X 102) 0 9 addik, azaz a lvsek 58 s 101 kz fognak esni legalbb 90%-os valsznsggel.

IV.6.2. Feladat: Egy automata min sgvizsgl n = 100000 elem mintt ellen riz le egy gyrtsoron el lltott szmtgpes alkatrsztmegb l. A vizsglat utn milyen valsznsggel llthatjuk, hogy a mintbl meghatrozott selejtarny a kszlet elmleti p selejtvalsznsgt l legfeljebb 0 01-dal tr el? Megolds: X most a selejtes termkek szmt jellje a mintban! Ekkor a selejtarny a mintban 10X5 lesz. Nyilvn X 2 B (100000 p), ahol a p ismeretlen. EX = np = 105p 2X = npq = 105 pq. A Csebisev-egyenl sget most;" = 1000-rel alkalmazzuk: P (jX ; 105 pj 1000) = 5 pq 10 X = P 105 ; p 0 01 1 ; 106 39 40 0 975. A levezetsben felhasznltuk, hogy pq = p ; p2 0 25.

IV.6.3. Feladat: Egy zemben csavarokat csomagolnak. Egy-egy do-

bozba tlagosan 5000 csavar kerl. A csavarok szmnak szrsa a tapasztalat szerint 20 darab. Mit mondhatunk annak valsznsgr l, hogy egy dobozban a csavarok szma 4900 s 5100 kz esik, ha az eloszlst nem ismerjk? Megolds: Jellje X a csavarok szmt! Ekkor a Csebisev-egyenl tlen400 0 96: sgb l: P (4900 X 5100) = P (jX ; 5000j 100) 1 ; 10000

IV.6.4. Feladat: Legyen X standard normlis eloszls valsznsgi vltoz! A standard normlis eloszls tblzatnak hasznlata nlkl bizonytsa be, hogy ekkor fennll a P(;3 < X < 3) 1 ; p182 egyenl tlensg! Megolds: A Markov-egyenl tlensgb l: P (jX j > 3) amib l mr kvetkezik P (;3 < X < 3) 1 ; 23 p12 .

EjX j 3

=

2 p1 , 3 2

IV.6


149

IV.6.5. Feladat: Bizonytsuk be a IV.2.1. ttelt! Megolds: Egy ellenpldt fogunk adni, amely eloszlsban konvergl valsznsgivltoz-sorozat lesz, de a msik hrom rtelemben nem konvergl. Legyen A 2 = tetsz leges P(A) = 21 esemny, legyen X 2 I (A) s Y 2 I (A ) indiktor valsznsgi vltoz. Az X Y azonos eloszls, hiszen p0 = P(X = 0) = P(A ) = 21 q0 = P(Y = 0) = P(A) = 21 p1 = P(X = 1) = P(A) = 12 q1 = P(Y = 1) = P(A ) = 21 : Deniljuk a sorozatot gy, Xn X 8n-re. Ekkor nyilvn: 8 1hogy < 1 x>1 FXn (x) = FX (x) = FY (x) = : 2 0 < x 1 : 0 x 0 Mivel FXn (x) FY (x) ezrt Xn !e Y , de jXn ; Y j 1 miatt a msik hrom rtelemben nem konverglhat Xn az Y -hoz.

IV.6.6. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.2. ttelt! Megolds: Konvergljon az X1 X2 : : : Xn : : : valsznsgivltoz-sorozat sztochasztikusan X -hez, azaz 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): Legyen " > 0 tetsz leges! FXn (x) = P(Xn < x) = P(Xn < x X < x + ") + P(Xn < x X x + ")

P(X < x + ") + P(X > Xn + ") P(X < x + ") + P(jXn ; X j > ") = FX (x + ") + P(jXn ; X j > "): Msrszt: FX (x;") = P(X < x;") = P(Xn < x X < x;")+P(Xn x X < x;")

P(Xn < x) + P(X < Xn ; ") FXn (x) + P(jXn ; X j > "). A kt egyenl tlensgb l: FX (x ; ") ; P(jXn ; X j > ") FXn (x) FX (x + ") + P(jXn ; X j > "). A fenti egyenl tlensgben n ! 1 hatrtmenetet kpezve: FX (x ; ") lim inf FXn (x) lim sup FXn (x) FX (x + "): Ha x folytonossgi ponja FX (x) -nek, akkor "lim FX (x ; ") = "lim FX (x + ") = !0 !0 FX (x). gy 9 nlim FXn (x) s = FX (x): !1

IV.6.7. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.3. ttelt! Megolds : Ehhez az lltshoz a Markov -egyenl tlensget fogjuk felhasznlni. Legyen X 0 olyan valsznsgi vltoz, melynek ltezik a vrhat

150


rtke: EX 0. Ekkor 8" > 0 esetn P(X > ") E"X : Legyen " > 0 tetsz leges, ekkor P(jXn ; X j > ") EjXn";X j ! 0 (n ! 1): Ellenplda arra, hogy a ttel nem megfordthat: Legyenek An 2 = olyan esemnyek, melyek valsznsgei P(An ) = n12 : A 3 n sorozat elemeinek dencija: Xn (!) = n0 !! 22= A An : Megmutatjuk, hogy a sorozat br sztochasztikusan konvergl az X 0-hoz, de mr els

momentumban nem. Lthat, hogy P(jXn ; X j > ") = P(Xn > ") = n12 , ha n > p31" , azaz st Xn ! X: De E (jXn ; X j) = EXn = n3 n12 = n ! 1 a momentumban val konvergencia nem igaz.

IV.6.8. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.5. ttelt! L1 Megolds : Ellenplda arra, hogy Xn ! X de Xn 6 ! X: A IV.2.1 plda itt is j, mert ha m = n + k: 1v L1 E (jXm ; X j) = EXm = n1 ! 0 ) Xn ! X de amint lttuk, Xn 6 ! X: L1 1v Ellenplda arra, hogy Xn ! X , de Xn 6 ! X . Legyenek An-ek olyan teljesen fggetlen esemnyek, P(An) = n12 : Legyen a sorozat elemeinek n3 ahol n dencija: Xn (!) = 0 !! 22= A A a hatr valsznsgi vltoz pedig 1v

n

X 0: Mivel E (jXn ; X j) = EXn = n 1v megmutathat, hogy Xn ! X:

! 1 ) Xn 6 L! X: 1

Viszont

st st IV.6.9. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn ! X s Yn ! Y , akkor Xn + st

Yn ! X + Y !

Megolds: P (jXn + Yn ; (Y + X )j ") P (jXn ; X j " + jYn ; Y j ") P (jXn ; X j ") + P (jYn ; Y j ") ! 0: st st IV.6.10. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn ! X s Yn ! Y , akkor st

Xn Yn ! X Y !

Megolds: jXn Yn ; XY j = jXn Yn ; Xn Y + Xn Y ; XY j jXn ; X + X jjYn ; Y j + jY jjXn ; X j jXn ; X jjYn ; Y j + jX jjYn ; Y j +

IV.6

151


jY ;jjXn ; X j : Legyen " >" 0 tetsz leges! P (jXn Yn; XY;j > ") ; P jXn ; X jj; Yn ; Y j > 3 + P jX jj Yn ;;Y j > "3 + P pjY jjXn ; X j > 3" : Tovbb: P jXpn ; X jjYn ; Y j > "3 P jXn ; X j > 3" + ; P jYn ; Y j > 3" ! 0: Msrszt, ha y > 0 tetsz leges, ; " P jX jjYn ; Y j > 3 P jYn ; Y j > 3"y + P (jX j > y) ! 0 ha n y ! 0: Ebb l mr kvetkezik, hogy P (jXn Yn ; XY j > ") ! 0: st IV.6.11. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn ! a valamely a > 0 szmra, st 1 1 akkor Xn ! a is! ; ; Megolds: P ;jXn ; aj a2 > 1 ;;P a2 < Xn : 8 > 0-hoz 9n0 : n > n0 esetnQ1 ; < P jXn ; aj < a2 < P a2 < Xn : A$ ! j Xn (!) > a2 s legyen " > 0 tetsz leges! n>n n 1 1 o P A Xn ; a > " = P (A fjXn ; aj > jXn aj "g) P jXn ; aj > a2 " ! 0 (n ! 1): Mivel P X1n ; a1 > " = 1 1 1 1 ; a

P Xn ; a > " A +P Xn ; a > " A P jXn ; aj > 2 " +P A = P jXn ; aj > a2 " + : gy lim sup P X1n ; a1 > " , s mivel tet0

2

2

2

sz leges volt, mr kvetkezik az llts.

IV.6.12. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls Pn Xi

st m valsznsg vltozk, EXi = m 2Xi = d2: Igazolja, hogy iP=1 n 2 ! m2 +d2 ! X i=1 i

Megolds: A nagy szmok ttelb l kvetkezik, hogy

1 n

P

n st 1 n i=1 Xi

! m s

Pn X 2 !st m2 + d2: Felhasznlva az el z kt feladat eredmnyt, mr i i=1

kvetkezik az llts.

IV.6.13. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen,pazonos eloszls valsznsg vltozk, EXi = m > 0: Tekintsk a Zn = n Y1Y2 : : : Yn valPk 1v sznsgi vltozt, ahol Yk = k1 Xi: Igazoljuk, hogy Zn ! m! i=1

152


1v m: Megolds: A nagy szmok er s ttelb l kvetkezik, hogy Yn ! p Msrszt minfs1 s2 sng pn s1s2 sn p maxfs1 s2 : : : sng gy ha sn ! ap, akkor a lim inf sn n s1s2 sn n s1s2 sn lim sup sn a azaz n s1s2 sn ! a: Ebb l mr kvetkezik az llts.

IV.6.14. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos U (a b)

eloszls valsznsg vltozk. Legyen Yne = minfX1e X2 : : : Xn g s Zn = maxfX1 X2 : : : Xn g: Igazoljuk, hogy Yn ! a s Zn ! b!

8 0 ha x a < Megolds: Az U (a b) eloszlsfggvnye: F (x) = : xb;;aa ha x 2 (a b) : 1 ha x a 8 0 ha x < b < ; x;a n0 ha x a n ha x 2 (a b) ! 1 ha x b FZn (x) = P (Zn < x) = (F (x)) = : b;a 1 ha x b

) Zn !e b:

FYn8(x) = P (Yn < x) = 1 ; (1 ; F (x))n = 0 ha x < a < ; b;x n0 ha x a ha x 2 (a b) ! 1 ha x a = : 1 ; b;a 1 ha x b

) Yn !e a:

IV.6.15. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn !e c, akkor Xn !st c is! Megolds: A c konstans, valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye: 0 hamint x < F (x) = P (c < x) = 1 ha x cc : Legyen " > 0 tetsz leges. nlim P (jXn ; cj ") = !1 = 1 ; nlim P (c ; " Xn c + ") = 1 ; nlim (FXn (c + ") ; FXn (c ; ")) = !1 !1 st = 1 ; F (c + ") + F (c ; ") = 0 ) Xn ! c:

IV.6.16. Feladat: Mutassunke pldt olyan Xn Yn sorozatokra, hogy

Xn !e X s Yn !e Y , de Xn + Yn 6 ! X + Y !

Megolds: Legyen A 2 = olyan esemny, hogy P (A) = 12 : Legyen Xn = Yn = I (A) vagyis az A esemny indiktor vltozi. Kzs eloszlsfggvnyk:

IV.6

153


80 <1 F (x) = P (Xn < x) = P (Yn < x) = : 2 1

ha x 0 ha 0 < x 1 : ha x > 1 _ Legyen tovbb X = I (A) s Y = I (A): Ekkor X + Y 1 azaz eloszlsfggvnye 1 ha x > 1 G(x) = P (X + Y < x) = 0 ha x 1 s Xn + Yn = 2I (A) aminek eloszlsfggvnye: 8 1 ha x > 2 < Fn(x) = P (Xn + Yn < x) = : 12 ha 0 < x 2 : 0 ha x 0 e Lthat, hogy nlim F ( x ) = F ( x ) 6 = G ( x ), azaz X + Y 6 ! X + Y: n n n !1

IV.6.17. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn !st X s P (jXn j < K ) =

Lr 1 minden n-re, akkor Xn ! X is fennll!

Megolds: E jXn ; X jr 2K r P (jXn ; X j > ") + " tetsz leges " > 0 esetn, amib l mr kvetkezik az llts.

IV.6.18. Feladat: Legyen pn 2 (0 1) tetsz leges nullsorozat, s Xn 2 G (pn ) : Mutassuk meg, hogy Yn = EXXnn !e Y , ahol Y 2 E (1)! Megolds: P (Yn < x) = P (pn Xn < x) =

! 1 ; e;x: = 1 ; (1 ; pn ) pn ] n!1 x

P

k pxn ]

(1 ; pn )k;1 pn =

260 ; IV.6.19. Feladat: Kzelt leg hatrozzuk meg az A = P 500k sszeget!

k=220

Megolds: Legyen X 2 B (500 0 5)! Ekkor a kiszmtand A sszeget 260 P P(X = k) alakban. A Moivre.Laplace-ttel szefelrhatjuk: A = 2500 P P(X k==200k) (x) ; (y). Most gy kell x-et s y-t megrint: 250 <x y kp;125

p

p

vlasztani, hogy 220 = 250 + 125y s 261 = 250 + 125x legyen. Teht y = ;2 683281573 s x = 0 9838699100999, amivel 2;500A = 0 8328, azaz A 2 726079698256e +150. A fggvny rtkeit a standard normlis eloszls

154


tblzatbl olvastuk ki.(Ld. A fggelkben!) Megjegyzs : Az el bbi sszeg kiszmtsa mg szmtgpre rt program segtsgvel sem trivilis a binomilis egytthatkban szerepl nagy faktorilisok miatt.

IV.6.20. Feladat: Egy szv gp 500 szllal dolgozik. Annak a valsz-

nsge, hogy egy szl id egysg alatt elszakad 0 008 minden szlra. Hatrozzuk meg, hogy 0 95 valsznsggel milyen hatrok kztt vrhat a szlszakadsok szma egy id egysg alatt? Megolds: Jellje szmt! Ekkor a Moivre.Laplace X ;500X0a008szlszakadsok trvnyb l: P p50000080992 < x = P (X < 1 99 x + 4) (x). Msrszt (1 65) = 0 95, azaz x = 1 65-nl: P (X < 1 99 1 65 + 4) = P (X < 7 28), vagyis a szlszakadsok szma 8-nl kisebb lesz legalbb 95%-os valsznsggel.

IV.6.21. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : fggetlen azonos elosz-

ls valsznsgi vltozk vges szrssal. Bizonytsuk be, hogy tetsz leges x vals szm esetn nlim P (X1 + X2 + + Xn < x) 2 f0 1 1=2g, vagyis a !1 hatrrtk csak 0 vagy 0 5 vagy 1 lehet! Megolds: A centrlis hatreloszls ttelt Xhasznlva: +Xn ;nm < x = 1 +X2 + p lim P ( X + X + + X < x ) = lim P 1 2 n n n!1 n!1 nm : = nlim x , ahol m = EXi = 2Xi x = xp;n !1 8 ;1 ha m > 0 < xp;nm = De nlim m = 0 amib l mr kvetkezik az llts. !1 n : 10 ha ha m < 0

IV.6.22. Feladat: Ha egy gyr egyforma energiaigny gpei kzl t-

lagosan 70% mkdik s 30% vr javtsra, vagy ppen javtjk, akkor tlagosan 210 gp energiaignyt kell kielgteni. Mennyi energit kell biztostani akkor, ha 99 9%-os biztonsggal szeretnnk elrni azt, hogy minden mkd kpes gp valban mkdni tudjon? (Feltesszk, hogy a gpek meghibsodsa egymstl fggetlen.)

IV.6

155


Megolds: Jellje X a mkd

gpek szmt! Nyilvn X 2 B (300 0 7). A ; p Moivre.Laplace-ttelb l P X < np + x npq = P (X < 210 + 7 93 x) (x). Mivel (3) 0 999, gy P (X < 234) 0 999, vagyis az zemel

gpek szma kevesebb, mint 23499 9%-kal.

IV.6.23. Feladat: Egy tanfolyamra 100 hallgat iratkozik be. Ms el-

foglaltsga miatt minden hallgat 0 6 valsznsggel megy el az egyes rkra. Felttelezzk, hogy egymstl fggetlenl ltogatjk az rkat. Hny f s terem kell ahhoz, hogy az rra rkez hallgatk 90%-os biztonsggal elfrjenek a teremben?

;

p

Megolds: Hallgatk szma, X p2 B (100 0 6) P X < 60 + 10 0 24x (x) = 0 9 ) x = 1 29 ) 60 + 10 0 24 1 29 a keresett teremkapacits.

IV.6.24. Feladat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fgget-

len vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk normlis eloszls vletlen szmot!

P

100

Megolds: Y = Xi EY = 50 2Y = 100 12 : A centrlis hatreloszls i=1 ttelb l kvetkezik, hogy Y standardizltja kzel standard normlis. Teht Y ;50 p12 N (0 1) : 10

IV.6.25. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha X s Y fggetlen, azonos

eloszls s vges szrs valsznsg vltozk, akkor X + Y s X ; Y akkor s csak akkor lesznek fggetlenek, ha X s Y normlis eloszlsak.

Megolds: ( Ha X s Y normlis eloszlsak, akkor cov (X + Y X ; Y ) = E (X 2 ; Y 2) ; E (X + X ) E (X ; Y ) = 0 miatt X s Y fggetlenek is, hiszen

normlis eloszlsnl a korrellatlansg ekvivalens a fggetlensggel. ) Tegyk fel, hogy EX = EY = 0 s 2X = 2Y = 1 klnben a standardizltjaikkal szmolnnk tovbb. Jellje f (t) a kzs karakterisztikus fggvnyket. Ekkor 'X +Y (t) = f 2 (t) s 'X ;Y (t) = f (t) f (;t) s 2X = (X + Y ) + (X ; Y ) miatt '2X (t) = 'X +Y (t) 'X ;Y (t) = f 3 (t) f (;t) is. Legyen (t) = ln f (t) : Ekkor (2t) = 3 (t) + (;t) : Bevezetve a (t) = (t) ; (;t) jellst, (2t) = (2t) ; (;2t) = 3 ;(t)+ (;t;) ;3 (;t)+ (t) = 2 (t) ; 2 (;t) = 2 (t) : Teht (u) = 2 u2 = 22 2u2 = = u ; (t);(0) = 2n 2un = . Ebb l mr kvetkezik, hogy (uu) = (22unn ) = lim t t !0

156


(0) = 0, hiszen EX = 0: Vagyis (u) 0! Ebb l

0 (0) = 20 (0) = 2 ff0(0) kvetkezik, hogy (t) = (;t), azaz (2t) = 4 (t) : Teht (u) = = u ; 22n 2un : u(2u) = ((u2n)2) !n!1 ; 21 hiszen (u) = (0)+u0 (0)+ u22 00 (0)+ 2n 00 u2 kvetkezik, o (u2) s (0) = 0 (0) = 0 (0) = ; 1 : Innen ( u ) = ; 2 2 u azaz f (u) = exp ; 2 ami a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye. Ha X Y standardizltjainak karakterisztikus fggvnye standard normlis, akkor X Y is normlis!

IV.6.26. nFeladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn

P nek, s Y = Xi : Adjuk meg Y i=1

2 E () teljesen fggetle-

srsgfggvnyt!

Megolds: Xk -k kzs karakterisztikus fggvnye: 'Xk (t) = ; +it gy ; R1 R1 'Y (t) = ('Xk (t))n = ; +it n : Mivel (n ;n1)! zn;1e; z eiztdz = (n ;n1)! zn;1ez(it; )dz =

h

i

0 0 2 n +1 ( n ;1)! z(it; ) 1 1 z n;1 ez(it; ) n;1 z n;1 ez(it; ) + n + ( 1) (it; )n e (n;1)! it; (it; )2 0 n n n s keresett srsgfggvny: f (z ) = z n;1 e; z z > 0: Y (it; ) (n;1)!

(Megjegyzs : Y

;

; ;

2 ; (n ), azaz n paramter gamma eloszls.)

IV.6.27. Feladat: Jellje az X valsznsgi vltoz karakterisztikus

fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = aX + b valsznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! Megolds: 'Y (t) = Eei(aX +b)t = eibtEeiX (at) = eibt f (at) :

IV.6.1. Gyakorlat: Egy prtra a szavazk p valsznsggel szavaznak,

ami ltalban ismeretlen. A kzvlemnykutatk a prtot vlasztk pozitv vlasznak s a megkrdezettek szmnak arnyval becslik meg p-t. Mekkora legyen a megkrdezettek n szm mintja, ha azt akarjk elrni, hogy a kapott relatv gyakorisg p-t l legfeljebb 0 001-del trjen el 99 9%-os valsznsggel?

IV.6.2. Gyakorlat: Legalbb hny meggyels szksges ahhoz, hogy

egy 5-nl nem nagyobb szrs valsznsgi vltoz rtkeinek tlaga 95%os valsznsggel a vrhat rtk 0 01 sugar krnyezetbe essen?

=

IV.6


157

IV.6.3. Gyakorlat: Egy szerencsejtkos meggyeli, hogy tlagosan 63

ksrlet utn nyer. Hnyszor kell ksrleteznie, hogy 0 99 valsznsggel nyerjen legalbb egyszer?

IV.6.4. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez egy pontatlan eszkznk van, ahol a mrs hibja standard normlis eloszls. A mrst n-szer vgezzk el, majd tlagolunk. Mekkora legyen az n, hogy legfeljebb 10;4 valsznsggel trjen el az tlag a mrend rtkt l 0 1-del? IV.6.5. Gyakorlat: 99%-os valsznsggel szeretnnk garantlni, hogy

1000 pnzfeldobsbl legalbb n-szer fejet kapjunk. Hogyan vlasszuk meg n-et, ha a fejdobs valsznsge p?

IV.6.6. Gyakorlat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fg-

getlen vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk N (5 2) normlis eloszls vletlen szmot!

IV.6.7. Gyakorlat: Jellje az X valsznsgi vltoz karakterisztikus

fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = ;X valsznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel!

IV.6.8. Gyakorlat: Jellje az X s Y fggetlen, azonos eloszls va-

lsznsgi vltozk kzs karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az X ; Y s X +2 Y valsznsgi vltozk karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel!

IV.6.9. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 N (0 1) teljesen fggetn

lenek, s Y =

P X 2 : Adjuk meg Y

i=1

i

karakterisztikus fggvnyt!

IV.6.10. Gyakorlat: Adja meg a Po() diszkrt eloszls karakteriszti-

kus fggvnyt! Ezt felhasznlva szmolja ki a negyedik momentumot!

158


Jel lsek 9 a ltezik kvantor 8 a minden egyes kvantor ) akkor, illetve kvetkezik , akkor s csak akkor, illetve az ekvivalencia relci 6 ) nem kvetkezik $ denci szerint azonosan egyenl

6 nem egyenl

= f : A ! B az A halmazt a B -be lekpez fggvny fx y z : : :g az x y z : : : elemekb l ll halmaz lim f (x) = f (a + 0) az f fggvny jobboldali hatrrtke az a pontban x!a+ lim f (x) = f (a ; 0) az f fggvny baloldali hatrrtke az a pontban x!a;

exp(x) $ ex az exponencilis fggvny ln x a termszetes alap logaritmus fggvny 1 R ;(x) $ e;ttx;1dt a gammafggvny 0 o(f (t)) = 0: o(f (t)) kis ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) O(f (t)) < 1: O(f (t)) nagy ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) f (x) ! min az f (x) fggvny minimalizlsa 8x fi(x) ! min adott x-nl az i indexben minimalizls 8i fi(x) = min fj (x) az fi(x) ! min problma az i indexnl veszi fel a mini8j 8i mumt @f (x) = grad(f (x)) az f gradiens vektora @x @ 2f (x) a Hesse mtrix @x@xT 159

160


Pn xi $ x1 + x2 + + xn n-tag sszeg iP =1 x azon x vektorok sszege, amelyek a C halmazhoz tartoznak x2C Yn xi $ x1 x2 xn n tnyez s szorzat ;i=1n $ n! n alatt a k binomilis egytthat ;xk $ kx!((nx;;k1))!(x;2)(x;k+1) x 2 R k 2 N az ltalnostott binomilis egyttk

k!

hat R a vals szmok teste Rp a vals szm p-esek vektortere Rnm a vals komponens n m-es mtrixok halmaza C a komplex szmok teste i 2 C az imaginrius egysg x 2 Rp p-dimenzis oszlopvektor A 2 Rnm n m-es mtrix xT = (x1 x2 : : : xp) p-dimenzis sorvektor, T a transzponls jele AT az A mtrix transzponltja A;1 az A 2 Rnn mtrix inverze det A az A 2 Rnn mtrix determinnsa ; adjA az A 2 Rnn mtrix adjunglt mtrixa, det1 A adj A T = A;1 diag A $ (a11 a22 : : : ann)T az A mtrix diagonlisban lv elemekb l ll oszlopvektor diag(a1 a2 : : : an) egy olyan nn-es diagonlis mtrix, melynek diagonlisban a1 a2 : : : ann ll P trace A $ aii az A 2 Rnn mtrix nyoma i=1 E n E az n n-es egysgmtrix K vletlen ksrlet a K-val kapcsolatos elemi esemnyek halmaza, a biztos esemny, illetve esemnytr lehetetlen esemny ! !i 2 elemi esemny A B : : : Ai Bi : : : esemnyek A az A esemny ellentett esemnye = K-val kapcsolatos esemnyek halmaza, az esemnyalgebra P : = ! 0 1] valsznsg,

IV.6


161

P(A) az A esemny valsznsge P(A jB ) az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott feltteles valsz-

nsge X Y Z : : : Xi Yi Zi : : : : ! R valsznsgi vltozk FX (x) a X valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye, FX (x) $ P(X < x) pi $ P(X = xi) az X diszkrt valsznsgi vltoz eloszlsa fX (x) az X folytonos valsznsgi vltoz srsgfggvnye fX jY (x jy ) az X valsznsgi vltoznak az Y -ra vonatkoztatott feltteles srsgfggvnye 'X (t) $ EeitX az X valsznsgi vltoz karakterisztikus fggvnye EX az X valsznsgi vltoz vrhat rtke 2X = VpX a X valsznsgi vltoz szrsngyzete vagy variancija X $ + 2X az X valsznsgi vltoz szrsa R(X Y ) az X s Y valsznsgi vltozk korrelcis egytthatja cov(X Y ) az X s Y valsznsgi vltozk kovariancia FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = FX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye, illetve a komponensek egyttes eloszlsfggvnye fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = fX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T valsznsgi vektorvltoz srsgfggvnye, illetve a komponensek egyttes srsgfggvnye EX $ (EX1 EX2 : : : EXp)T az X valsznsgi vektorvltoz vrhatrtkvektora X = (cov(Xi Xj )) i = 1 2 : : : p az X valsznsgi vektorvltoz koj = 1 2 ::: p varianciamtrixa X 2 I (A) vagy X 2 I (p) az X valsznsgi vltoz az A esemny indiktora, p = P(A) X 2 B (n p) az X valsznsgi vltoz n p paramter binomilis eloszls X 2 Po() az X valsznsgi vltoz paramter Poisson-eloszls X 2 G(p) a X valsznsgi vltoz p paramter geometriai eloszls X 2 Pol(n p1 p2 : : : pr ) az X valsznsgi vektorvltoz egyttes eloszlsa polinomilis X 2 U (a b) az X valsznsgi vltoz egyenletes eloszls az (a b) intervallumon X 2 E () az X valsznsgi vltoz paramter exponencilis eloszls X 2 N ( ) az X valsznsgi vltoz paramter normlis eloszls

162


X 2 N (0 1) az X valsznsgi vltoz standard normlis eloszls X 2 ;(n ) az X valsznsgi vltoz n, paramter gamma-eloszls X 2 Np( ) az X valsznsgi vektorvltoz p-dimenzis normlis vektor, vrhatrtk-vektorral s kovarianciamtrixszal (x) az paramter normlis eloszls eloszlsfggvnye ' (x) az paramter normlis eloszls srsgfggvnye (x) a standard normlis eloszls eloszlsfggvnye '(x) standard normlis eloszls srsgfggvnye 1v Xn ! X az Xn valsznsgi vltoz sorozat 1 valsznsggel konvergl X hez L Xn !r X az Xn valsznsgivltoz-sorozat r-edik momentumban konvergl X -hez st Xn ! X az Xn valsznsgivltoz-sorozat sztochasztikusan konvergl X hez e Xn ! X az Xn valsznsgivltoz-sorozat eloszlsban konvergl X -hez

Ajnlott irodalom +1] Rnyi Alfrd: Valsznsgszmts Tanknyvkiad, Budapest, 1973 +2] Prkopa Andrs: Valsznsgelmlet Mszaki Knyvkiad, Budapest, 1972 +3] Vetier Andrs: Szemlletes mrtk- s valsznsgelmlet Tanknyvkiad, Budapest, 1991 +4] W.Feller: Bevezets a valsznsgszmtsba s alkalmazsaiba Mszaki Knyvkiad, Budapest, 1978 +5] A.N. Kolmogorov: A valsznsgszmts alapfogalmai Gondolat, Budapest, 1982 +6] Paul R. Halmos: Mrtkelmlet Gondolat, Budapest, 1984 +7] Bognrn.Mogyordi.Prkopa.Rnyi.Szsz: Valsznsgszmts feladatgyjtemny Tanknyvkiad, Budapest, 1982 +8] Solt Gyrgy: Valsznsgszmts (pldatr) Mszaki Knyvkiad, Budapest, 1973 +9] Denkinger Gza: Valsznsgszmtsi gyakorlatok Tanknyvkiad, Budapest, 1977 +10] B.A Szevasztyanov.V.P. Csisztyakov.A.M. Zubkov: Valsznsgszmtsi feladatok Tanknyvkiad, Budapest, 1987

163

164


F GGELK A standard normlis eloszls eloszlsfggvnynek tblzata

(x) =

p1 2

Rx ;1

exp ; 2

t2

;

dt

1. Ha X 2 N (m d) akkor P (X < x) = x;dm (Ezen tulajdonsg miatt elg csak a standard normlis eloszls tblzatt megadni.) 2. Ha x > 0, akkor (;x) = 1 ; (x). (Ezen tulajdonsg miatt van a tblzatban csak nemnegatv x argumentum)

;

3. Ha " 2 (0 ;1), akkor P ; u"< X ;d m < u" = 2 (u") ; 1 = 1 ; ", azaz ; (u") = 1 ; 2" . u" = ;1 1 ; 2"

165

166


x ,00 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95

(x) ,50000000 ,53982784 ,57925971 ,61791142 ,65542174 ,69146246 ,72574688 ,75803635 ,78814460 ,81593987 ,84134475 ,86433394 ,88493033 ,90319952 ,91924334 ,93319280 ,94520071 ,95543454 ,96406968 ,97128344 ,97724987 ,97981778 ,98213558 ,98422239 ,98609655 ,98777553 ,98927589 ,99061329 ,99180246 ,99285719 ,99379033 ,99461385 ,99533881 ,99597541 ,99653303 ,99702024 ,99744487 ,99781404 ,99813419 ,99841113

x 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59

(x) ,99865010 ,99885579 ,99903240 ,99918365 ,99931286 ,99942297 ,99944294 ,99946226 ,99948096 ,99949906 ,99951658 ,99953352 ,99954991 ,99956577 ,99958111 ,99959594 ,99961029 ,99962416 ,99963757 ,99965054 ,99966307 ,99967519 ,99968689 ,99969821 ,99970914 ,99971971 ,99972991 ,99973977 ,99974929 ,99975849 ,99976737 ,99977595 ,99978423 ,99979222 ,99979994 ,99980738 ,99981457 ,99982151 ,99982820 ,99983466

x 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99

(x) ,99984089 ,99984690 ,99985270 ,99985829 ,99986368 ,99986888 ,99987389 ,99987872 ,99988338 ,99988787 ,99989220 ,99989637 ,99990039 ,99990426 ,99990799 ,99991158 ,99991504 ,99991838 ,99992159 ,99992468 ,99992765 ,99993052 ,99993327 ,99993593 ,99993848 ,99994094 ,99994331 ,99994558 ,99994777 ,99994988 ,99995190 ,99995385 ,99995573 ,99995753 ,99995926 ,99996092 ,99996253 ,99996406 ,99996554 ,99996696

Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Recommend Documents