Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean. Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs

Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Ungkapan Boolean 

Ungkapan Boolean terdiri dari  



Literal – variabel dan komplemennya Operasi Logika

Contoh 

F = A.B'.C + A'.B.C' + A.B.C + A'.B'.C' literals

 

logic operations

F = (A+B+C').(A'+B'+C).(A+B+C) F = A.B'.C' + A.(B.C' + B'.C)

Ungkapan Boolean 

Ungkapan Boolean dinyatakan menggunakan jaringan (atau kombinasi) dari gerbang logik.  

Setiap gerbang logik mengimplementasikan satu operasi logik dalam ungkapan Boolean. Setiap masukan ke gerbang logik mewakili satu literal dalam ungkapan Boolean x1 x2

literal

Operasi logik f

Ungkapan Boolean 

Ungkapan Boolean ditentukan melalui  





Mensubstitusi 0 atau 1 untuk setiap literal Menghitung nilai logika dari ungkapan

Tabel kebenaran menentukan nilai ungkapan Boolean untuk setiap kombinasi variabel ungkapan Boolean. Untuk setiap n-variabel ungkapan Boolean, tabel kebenaran mempunyai 2n baris (satu untuk setiap kombinasi).

Ungkapan Boolean Contoh:

Tentukan ungkapan Boolean untuk setiap kombinasi masukan

menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) = A'.B'.C + A.B'.C'

Ungkapan Boolean 

Dua ungkapan Boolean sama jika mempunyai nilai yang sama untuk setiap kombinasi variabel dalam ungkapan Boolean.  



F1 = (A + B)' F2 = A'.B'

Bagaimana membuktikan bahwa dua ungkapan Boolean itu sama? 



Tabel kebenaran Aljabar Boolean

Ungkapan Boolean Contoh: Menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa dua ungkapan

Boolean itu sama. F1 = (A + B)' F2 = A'.B'

Aljabar Boolean 

George Boole mengembangkan deskripsi aljabar untuk proses yang melibatkan logika dan penalaran. 



Claude Shannon kemudian mendemonstrasikan bahwa Aljabar Boolean dapat digunakan untuk mendeskripsikan rangkaian pensaklaran. 





Kemudian dikenal sebagai Aljabar Boolean

Rangkaian pensaklaran dibuat dari piranti yang mensaklar antara dua keadaan (0 dan 1). Aljabar pensaklaran merupakan kasus khusus Aljabar Boolean yang semuanya mempunyai variabel yang hanya mempunyai dua nilai yang berbeda.

Aljabar Boolean merupakan tool yang efektif untuk menganalisa dan merancang rangkaian logik.

Teorema dan hukum dasar Commutative Law Associative Law Distributive Law Null Elements Identity Idempotence Complement Involution Absorption (Covering) Simplification DeMorgan's Rule Logic Adjacency (Combining) Consensus

A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C A.(B + C) = AB + AC A+1=1 A+0=A A+A=A A + A' = 1 A'' = A A + AB = A A + A'B = A + B (A + B)' = A'.B' AB + AB' = A AB + BC + A'C = AB + A'C

A.B = B.A A . (B . C) = (A . B) . C A + (B . C) = (A + B) . (A + C) A.0=0 A.1=A A.A=A A . A' = 0 A . (A + B) = A A . (A' + B) = A . B (A . B)' = A' + B' (A + B) . (A + B') = A (A + B) . (B + C) . (A' + C) = (A + B) . (A' + C)

Hukum Distributif  A.(B + C) = AB + AC

 A + (B.C) = (A + B).(A + C)



 F = WX.(Y + Z)

 F = WX + (Y.Z)

 F = WXY + WXZ

 F = (WX + Y).(WX + Z)

 G = B'.(AC + AD)

 G = B' + (A.C.D)

 G = AB'C + AB'D

 H = A.(W'X + WX' + YZ)  H = AW'X + AWX' + AYZ

 G = (B' + A).(B' + C).(B' + D)  H = A + ( (W'X).(WX') )

 H = (A + W'X).(A + WX')

Absorpsi (Covering)  A + AB = A

 A.(A + B) = A

 F = A'BC + A'

 F = A'.(A' + BC)

 F = A'

 F = A'

 G = XYZ + XY'Z + X'Y'Z' + XZ

 G = XZ.(XZ + Y + Y')

 G = XYZ + XZ + X'Y'Z'

 G = XZ + X'Y'Z'  H = D + DE + DEF  H=D

 G = XZ.(XZ + Y)

 G = XZ  H = D.(D + E + EF)  H=D

Penyederhanaan  A + A'B = A + B  F = (AB + C).(B'D + C'E') + (AB + C)'  F = B'D + C'E' + (AB + C)'

 A.(A' + B) = A . B  G = (X + Y).( (X + Y)' + (WZ) )  G = (X + Y) + WZ

Komplemen  A + A' = 1  F = ABC'D + ABCD  F = ABD.(C' + C)  F = ABD  A . A' = 0  G = (A + B + C + D).(A + B' + C + D)

 G = (A + C + D) + (B . B')  G =A + C + D

Aljabar Boolean Contoh: Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut. F(A,B,C) = A'.B.C + A.B'.C + A.B.C

Boolean Algebra

Contoh:

Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut. F(A,B,C) = (A'+B'+C').(A'+B+C').(A+B'+C')

Hukum DeMorgan 

Dapat dinyatakan sebagai berikut: 

Komplemen produk (AND) adalah penjumlahan (OR) dari komplemen. 



Komplemen penjumlahan (OR) merupakan produk (AND) dari komplemen. 

 

(X.Y)' = X' + Y'

(X + Y)' = X' .Y'

Mudah diturunkan sampai n variabel. Dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran.

Bukti hukum DeMorgan (X .Y)' = X' + Y'

Teorema DeMorgan x1 x2

x1

x1 x2

x2

(a)

x1 x2

x1 x2 = x1 + x2

x1

x1 x2

x2

(b)

x1 + x2 = x1x2

Urgensi Aljabar Boolean 

Aljabar Boolean digunakan untuk menyederhanakan ungkapan Boolean. –





Melalui aplikasi hukum dan teorema yang telah dijelaskan

Ungkapan penyederhanaan mengarahkan pada realisasi rangkaian sederhana, yang biasanya menurunkan biaya, area yang diperlukan dan daya yang dikonsumsi. Tujuan perancang rangkaian digital adalah untuk mendesain dan merealisasikan rangkaian digital yang optimal.

Penyederhanaan Aljabar 

Alasan penyederhanaan ungkapan Boolean: – – –



Menurunkan biaya terkait dengan realisasi ungkapan Boolean menggunakan gerbang logik. Menurunkan area (misal silikon) yang diperlukan untuk pembuatan fungsi pensaklaran. Menurunkan konsumsi daya rangkaian.

Biasanya, tidak ada cara yang mudah untuk menentukan ungkapan Boolean yang telah disederhanakan menjadi jumlah minimum literal atau term. –

Tidak ada solusi unik

Penyederhanaan Aljabar 

Ungkapan Boolean (atau pensaklaran) dapat disederhanakan menggunakan metode berikut: 1.

2. 3.

4. 5. 6.

Perkalian Pemfaktoran Menkombinasi term Menghilangkan term Menghilangkan literal Menambah term redundan

Tidak ada tool lain yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ungkapan Boolean, dan dinamakan peta Karnaugh.

Sekian untuk hari ini