Trayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks (On the othogonal trajectories and conformal mapping of complex variable functions) Kus Prihantoso Krisnawan dan Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta (UNY), Kampus Karangmalang, Sleman, DI Yogyakarta, 55281 tel. 08122753549, faks. (0274) 548203 dan e-mail:
[email protected],
[email protected].
diterima 25 Juli 2014, disetujui 30 September 2014
Abstrak Penelitian ini dimaksudkan untuk menyelidiki kaitan trayektori orthogonal, fungsi analitik, dan pemetaan konformal dari suatu fungsi kompleks. Trayektori ortogonal adalah perpotongan dua keluarga kurva yang saling tegak lurus. Melalui syarat Cauchy-Riemann, suatu fungsi kompleks f(z) = u + iv dilihat keanalitikannya, dan diinterprestaikan bentuk geometri dari u dan v. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dua fungsi yang saling konjugat harmonik saling bertrayektori ortogonal. Jika dua keluarga kurva yang saling bertrayektori orthogonal dipetakan menggunakan pemetaan konformal maka menghasilkan fungsi yang saling bertrayektori ortogonal. Kata kunci: trayektori ortogonal, fungsi analitik, pemetaan konformal
Abstract This research goal is to investigate the connection of orthogonal trajectories, analitic functions, and conformal mapping. Orthogonal trajectories are the intersection of two families of mutually perpendicular curves. The analytical property of a complex function f(z) = u + iv is investigated using Cauchy-Riemann conditions and then the geometric shapes of u and v are interpreted. The results showed that if two functions are mutually harmonic conjugate, then they are mutually orthogonal trajectories. If two families of curves of mutually orthogonal trajectories are mapped by conformal mapping then the result functions are also mutually orthogonal trajectories. Key words: orthogonal trajectories, analytic functions, conformal mapping
Pendahuluan Trayektori ortogonal diartikan sebagai perpotongan dua keluarga (rumpun) kurva yang saling tegak lurus. Hal ini berarti, setiap kurva pada salah satu keluarga berpotongan tegak lurus dengan semua kurva pada keluarga kurva yang lain. 1
Sedangkan, dua buah kurva dikatakan berpotongan tegak lurus (ortogonal) jika pada titik perpotongannya, kedua kurva mempunyai garis singgung yang saling tegak lurus (lihat [1]). Sebagai contoh dari trayektori ortogonal yaitu keluarga kurva keluarga kurva titik
dengan
. Keluarga pertama merupakan keluarga garis yang melalui
sedangkan keluarga kedua merupakan keluarga lingkaran yang berpusat di . Garis-garis y = mx, untuk setiap m, berpotongan tegak lurus dengan lingkaran-
lingkaran , untuk setiap c. Trayektori ortogonal merupakan masalah klasik dalam matematika. Namun kenyataanya, sampai sekarang masalah ini banyak digunakan dalam bidang teknik maupun fisika. Misalnya pada medan elektrostatis, garis-garis gaya (force) saling tegak lurus dengan garis-garis potensial konstan. Pada tahun 1972, C.R. Chester (lihat [2]), mengembangkan metoda untuk menyelesaikan persamaan Van der Pol menggunakan representasi trayektori ortogonal. Selain itu, Collard dan Hall, pada [3] menyatakan dalam makalahnya bahwa fungsi dengan beberapa variabel, seperti kepadatan elektron dan energi potensial nuklir Born–Oppenheimer, dapat dianalisis dengan lebih efektif menggunakan trayektori orthogonal. Secara khusus, persekitaran titik kritis dari fungsi dengan beberapa variabel dapat dianalisa dengan lebih detail menggunakan trayektori orthogonal. Stewart dalam [1] menyatakan bahwa di dalam bidang termodinamika, isoterm (kurva-kurva untuk temperatur yang sama) saling tegak lurus dengan flowline dari panas. Stewart juga mengatakan bahwa pada bidang aerodinamik, streamlines (kurvakurva arah airflow) bertrayektori ortogonal dengan kurva kecepatan ekuipotensial. Selanjutnya Lui, pada [4], menyelidiki tentang pemetaan konformal pada Human Brain Mapping. Beliau mengatakan bahwa trayektori orthogonal diperlukan pada beberapa kasus untuk memastikan bahwa derivatif covarian yang diaproksimasi merupakan garis singgung permukaan Human Brain Mapping. Pada makalah ini dibahas mengenai penggunaan trayektori orthogonal pada fungsi variabel kompleks. Dipilihnya fungsi variabel kompleks karena penggambaran grafik pada fungsi kompleks merupakan masalah yang rumit. Hal ini dikarenakan, setiap bilangan z dan w terletak di bidang bukan di garis, maka tidak ada representasi grafik yang cocok untuk fungsi w = f(z) sedemikian sehingga setiap w = f(z) dapat digambarkan pada satu bidang. Namun, dengan mengindikasikan pasangan yang sesuai antara nilai z = (x, y) dengan w = (u, v), fungsi f(z) dapat digambarkan pada bidang yang terpisah. Tetapi hal ini tetap saja tidak bisa dilakukan untuk sebarang fungsi kompleks. Dilain pihak, keanalitikan suatu fungsi kompleks dapat dilihat melalui trayektori ortogonal. Oleh karena itu secara spesifik, makalah ini mengungkap kaitan trayektori ortogonal, keanalitikan fungsi, dan pemetaan konformal dari suatu fungsi kompleks. Dasar Teori Sebelum masuk pada pembahasan, berikut ini diberikan dua buah teorema yang dapat membantu untuk menentukan keterdiferensialan suatu fungsi kompleks sehingga dapat membantu dalam menentukan keanalitikan fungsi kompleks. Teorema 1. (lihat [1]). Misalkan
2
didefinisikan pada suatu himpunan buka S yang memuat titik z0 = x0 + iy0. Jika turunan parsial pertama dari u dan v di dalam S ada dan kontinu di z0 serta memenuhi persamaan Cauchy-Riemann (ux = vy dan uy = −vx) di titik z0 maka f terdiferensial di z0. Lebih lanjut,
Bukti lengkap teorema ini ada pada Brown dan Churchill [5]. Konsekuensi dari Teorema 1. adalah jika turunan parsial pertama dari u dan v kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada semua titik di dalam S maka f analitik di S. Di lain pihak, fungsi harmonik dapat menghubungkan antara fungsi bernilai real dengan fungsi kompleks (untuk definisi fungsi harmonik secara lengkap dapat dilihat di [6]). Keharmonikan dua buah fungsi tertentu (misal u dan v) terkait erat dengan keanalitikan suatu fungsi kompleks f = u + iv. Sebuah fungsi f(z) dikatakan analitik jika f terdiferensial di setiap titik z dalam domainnya. Teorema berikut memberikan hubungan di antara keduanya. Teorema 2. (lihat [5]). Jika suatu fungsi
adalah sebuah fungsi yang analitik dalam domainnya maka u dan v memenuhi persamaan Laplace, yaitu
Bukti. Jika diberikan sebuah fungsi analitik
maka u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann yaitu
Turunkan keduanya terhadap x maka didapatkan
Turunkan keduanya terhadap y maka didapatkan
Turunan parsial dari u dan v kontinu maka
dan
dan ♦
Jadi, u dan v harmonik dalam domainnya. 3
, dengan demikian
Pasangan dari fungsi u yang juga harmonik disebut sebagai fungsi konjugat harmonik dari u. Hasil dan Diskusi Pada bagian ini akan berikan beberapa fakta dan buktinya mengenai hubungan keharmonikan suatu fungsi dan pemetaan konformal dengan trayektori orthogonal. Hubungan fungsi harmonik dengan trayektori orthogonal Sebuah fungsi harmonik u pasti mempunyai pasangan, yaitu fungsi lain yang merupakan konjugat harmonik dari u. Jaminan akan adanya pasangan dari fugsi u disajikan berikut ini. Fakta 1. Jika u adalah sebuah fungsi yang harmonik dalam domain D, maka terdapat fungsi v yang harmonik dalam domain D dan merupakan konjugat harmonik dari u. Bukti. Misalkan fungsi P(x,y) dan Q(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain D dan misalkan (x0, y0) dan (x, y) adalah sebarang dua titik dalam D. Jika Py = Qx di manapun di dalam D maka integral garis
dari (x0, y0) ke (x, y) tidak dipengaruhi oleh bentuk kurva C, asalkan kurva C terletak seluruhnya di dalam D. Sehingga
dengan (1) Di lain pihak, karena u memenuhi persamaan laplace, maka dalam domain D, dan diketahui bahwa turunan parsial kedua dari u kontinu maka turunan parsial pertamanya (
dan
) juga kontinu sehingga
Terdefinisi dengan baik untuk setiap (x, y) dalam D, dan berdasarkan persamaan (1) maka didapatkan yang merupakan persamaan Cauchy-Riemann. Turunan parsial pertama dari u adalah fungsi kontinu karena u memenuhi 4
persamaan Laplace. Selanjutnya, karena u dan v memenuhi persamaan CauchyRiemann dan turunan parsial pertama dari u merupakan fungsi kontinu maka turunan parsial pertama dari v juga kontinu. Sehingga berdasarkan Teorema 1. maka adalah sebuah fungsi yang analitik dalam domain D sehingga berdasarkan Teorema 1., didapatkan bahwa v adalah fungsi konjugat harmonik dari u. ♦ Fakta 2. Misalkan fungsi
adalah fungsi yang analitik dalam
domain D. Didefinisikan kurva
dan
sebarang konstanta real dan kurva. Jika
, dengan
dan
adalah
merupakan titik perpotongan kedua
maka kurva
dan
saling tegak lurus di
. Bukti. Perhatikan bahwa
(2) Diketahui bahwa
maka
, jika
maka berdasarkan persamaan (2)
, padahal berdasarkan Teorema 1. didapatkan
kontradiksi
dengan . Berdasarkan persamaan (2) maka didapatkan
Sehingga gradien kurva
di titik
adalah
Di lain pihak
(3) Diketahui bahwa
maka
, jika
maka berdasarkan persamaan (3)
, padahal berdasarkan Teorema 1. didapatkan dengan . Berdasarkan persamaan (3) maka didapatkan
Sehingga gradien kurva
di titik
adalah 5
kontradiksi
Karena fungsi analitik dalam domain D maka memenuhi persamaan Cauchy-Riemann sehingga
Jadi, kurva ♦
dan
Fakta 3. Jika
dan
saling tegak lurus di
dan
.
adalah pasangan fungsi harmonik konjugat dalam
domain D maka rumpun kurva bertrayektori orthogonal.
dan rumpun kurva
saling
Bukti. Berdasarkan Teorema 2. maka didapatkan fungsi Selanjutnya berdasarkan Fakta 2. maka pada titik perpotongannya. ♦
yang analitik. dan
Contoh. Fungsi
saling tegak lurus
merupakan fungsi yang analitik, sehingga
dengan saling bertrayektori orthogonal. Gambar dari trayektori tersebut dapat dilihat pada Gambar 1. Y X
Gambar 1. Trayektori orthogonal dari fungsi dan Fakta 4. Jika terdapat rumpun kurva
.
adalah sebuah fungsi yang harmonik dalam domain D, maka yang bertrayektori ortogonal dengan rumpun kurva
. 6
Bukti. Diberikan fungsi
yang harmonik dalam domain D maka berdasarkan
Fakta 1. maka terdapat fungsi
yang merupakan harmonik konjugat dari
Selanjutnya berdasarkan Fakta 3, maka rumpun kurva
dan rumpun kurva ♦
saling bertrayektori ortogonal. Contoh. Fungsi
.
merupakan fungsi harmonik maka terdapat fungsi yang merupakan fungsi harmonik konjugat dari u(x, y).
harmonik
Rumpun kurva bertrayektori orthogonal dengan rumpun kurva Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.
.
X
Gambar 2. Trayektori Orthogonal dari fungsi dan
.
Hubungan pemetaan konformal dengan trayektori orthogonal Berdasarkan definisi dari pemetaan konformal maka jika kurva γ1 dan γ2 saling tegak lurus pada titik dari kurva γ1 dan γ2 pada
di dalam D berakibat kurva γ'1 dan γ'2 yang merupakan image juga saling tegak lurus.
Fakta 5. Misalkan adalah pemetaan konformal di dalam domain D. Jika rumpun kurva γ1 = c1 dan γ2 = c2 merupakan rumpun kurva mulus dan saling bertrayektori ortogonal di dalam D maka rumpun kurva γ'1 = c'1 dan γ'2 = c'2 yang merupakan image dari rumpun kurva γ1 = c1 dan γ2 = c2 pada fungsi orthogonal.
juga saling bertrayektori
Bukti. Berdasarkan definisi dari pemetaan konformal yang mempertahankan sudut maka 7
masing-masing kurva γ1 = c1 dan γ2 = c2 yang tegak lurus juga akan berakibat masingmasing bayangannya juga saling tegak lurus.
Kesimpulan Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Terdapat hubungan antara fungsi harmonik dengan trayektori ortogonal. Jika ada sebuah fungsi yang harmonik maka terdapat fungsi harmonik lain yang merupakan konjugat harmonik dari fungsi yang pertama. Kedua fungsi yang saling konjugat harmonik ini juga saling bertrayektori. 2. Jika dua keluarga kurva yang saling bertrayektori orthogonal dipetakan melalui suatu pemetaan konformal maka akan menghasilkan rumpun kurva yang juga saling bertrayektori ortogonal.
Ucapan Terima Kasih Dana penelitian ini diperoleh dari dana DIPA FMIPA UNY dengan nomor kontrak 2131/UN34.13/PL/2012.
Pustaka [1].
J. Stewart, Calculus: Concepts and Contexts, Brooks and Cole Publishing Company, California, 1998.
[2]. C. R. Chester, Applied Scientific Research, Volume 26, Number 1 (1972) pp. 2326.
[3]. K. Collard dan G. G. Hall, International Journal of Quantum Chemistry, Volume 12, Issue 4 (1977) pp. 623–637. [4].
L. M. Lui, Computational Conformal Geometry and its Applications to Human Brain Mapping, Disertasi Doktor University of California Los Angeles, 2008. [5]. J. W. Brown dan R. V. Churchill, Complex Variable and Applications, Edisi Internasional, McGraw-Hill: Singapura, 1996. [6]. J. Lang, Complex Analysis, Third edition, Springer-Verlag New York Inc., 1993.
[1.]
8
