Sudaryatno Sudirham
Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh:
baris
2 0 3 1 2 4 3 2 1
Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
kolom
Notasi: Nama matriks: huruf besar cetak tebal, Contoh:
2 0 3 A = 1 2 4 3 2 1
2 4 1 B= 3 0 2
Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh:
2 4 1 B= 3 0 2
2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k Contoh:
2 4 1 B= 3 0 2
adalah matriks berukuran 2×3
Nama Khusus Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal Contoh:
2 0 3 b = k = 3 A = 1 2 4 matriks bujur 3 2 1 sangkar 3×3
2 p= 4
k=1 vektor kolom
2 4 1 B= 3 0 2
q = [3 2 4]
b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3
b=1 vektor baris
Diagonal Utama Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
a11 a12 a 21 a22 A= L L am1 am 2
a1n L a2n = [abk ] L L L amn L
elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama
Matriks Segitiga Ada dua macam matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: Matriks segitiga bawah :
2 0 0 T1 = − 1 1 0 3 4 3
Matriks segitiga atas :
2 − 2 1 T2 = 0 1 3 0 0 3
Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:
2 0 0 D = 0 1 0 0 0 0
Matriks Satuan Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh:
1 0 0 A = 0 1 0 = I 0 0 1
Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
Anak matriks atau sub-matriks Contoh:
2 4 1 B= 3 0 2
Matriks B memiliki:
0 2]
[2
- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:
2 3
- Enam anak matriks 1× 1 yaitu:
[2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
- Enam anak matriks 1× 2 yaitu:
- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:
4 1]
[3
- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:
4 0
1 2
[2 4] [2 1] [4 1] [3 0] [3 2] [0 2] 2 4 2 1 4 1 3 0 3 2 0 2
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor Contoh:
2 0 3 a1 A = 1 2 4 dapat kita pandang sebagai matriks A = a 2 3 2 1 a3 dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
a1 = [2 0 3]
a 2 = [1 2 4]
a3 = [3 2 1]
Contoh yang lain:
2 0 3 A = 1 2 4 dapat kita pandang sebagai matriks A = [a1 a 2 a3 ] 3 2 1 dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom 0 2 3 a1 = 1 a 2 = 2 a3 = 4 3 2 1
Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Contoh:
A=B
2 4 Jika A = 3 0 2 4 3 0
maka haruslah B =
.
Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). . Contoh:
2 4 A= 3 0
− 2 − 4 −A = − 3 0
Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemenelemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Contoh: Jika
2 4 A= 3 0 1 3 B= 2 2
3 7 maka A + B = 5 2
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
A+B = B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif
Contoh:
2 4 A= 3 0
1 3 B= 2 2
2 4 −1 − 3 1 1 A−B = + = 3 0 − 2 − 2 1 − 2
A − A = A + (− A) = 0 A+0 = A
Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif.
AB ≠ BA Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q a11 a12 a11 a A = 21 a L 21 a 22 am1 B= L L a p1 am 2
a12 La a1n L 1q a22 L a2 n L La L L 2 q am 2 L amn L L L a pq
maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali.
aA = Aa Contoh:
2 2 1 2 2 1 4 4 2 2 × 1 3 2 = 1 3 2 × 2 = 2 6 4 3 2 3 3 2 3 6 4 6 Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut a (A + B ) = aA + aB
(a + b )A = aA + bA a[bA ] = (ab )A
Perkalian Internal Vektor (dot product) Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Contoh:
vektor baris: a = [2
3]
2. kolom
4 vektor kolom: b = 3
2 baris
perkalian internal dapat dilakukan
4 c = a • b = [2 3] = [2 × 4 + 3 × 3] = [17] 3 Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda
4 4 × 2 4 × 3 8 12 d = b • a = [2 3] = = 3 3 × 2 3 × 3 6 9 Perkalian matriks tidak komutatif.
Perkalian Matriks Dengan Vektor Contoh:
2 1 3 4
Misalkan A =
dan
2 kolom
2 b= 3
2 baris
dapat dikalikan
a1 a1 • b 2 × 2 + 1 × 3 7 C = Ab = b = = = a 2 a 2 • b 3 × 2 + 4 × 3 18 Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Contoh:
2 1 A= 3 4
dan
4 2 B= 5 3
kolom = 2
a1 Matriks A kita pandang sebagai A = a 2 Matriks B kita pandang sebagai B = [b1
dapat dikalikan
b2 ]
a1 • b1 a1 • b 2 a • b a • b 2 1 2 2 2 × 4 + 1 × 5 2 × 2 + 1 × 3 13 7 = = 3 × 4 + 4 × 5 3 × 2 + 4 × 3 32 18
a1 C = AB = [b1 b 2 ] = a 2
baris = 2
Perkalian dua matriks persegi panjang Contoh:
2 4 3 A= 1 3 2
dan
kolom = 3
1 2 B = 4 3 2 3
baris = 3
dapat dikalikan
1 2 2 4 3 C = AB = 4 3 1 3 2 2 3 2 × 1 + 4 × 4 + 3 × 2 2 × 2 + 4 × 3 + 3 × 3 = 1 1 3 4 2 2 1 2 3 3 2 3 × + × + × × + × + × 25 25 = 17 17
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
a A = 1 a 2 a sehingga C = AB = 1 [b1 a 2
B = [b1 b 2 ] a1 • b1 a1 • b 2 b2 ] = a • b a • b 2 1 2 2 ,
Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa . vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
Sifat-sifat perkalian matriks a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
(aA )B = a(AB ) = A(aB ) A(BC ) = (AB )C (A + B )C = AC + BC C(A + B ) = CA + CB b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
Putaran Matriks (Transposisi) Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolomkolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT
a11 a12 a 21 a22 Jika A = L L am1 am 2 a11 a21 a 12 a22 T maka A = L L a1n a2n
a1n L a2n = [abk ] L L L amn L
L am1 L am 2 = a pq L L L amn
[ ]
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh:
2 a = [2 4 3] ⇒ aT = 4 3 5 b = 4 ⇒ bT = [5 4 3] 3
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Contoh: Jika
a = [2 4 3]
maka
a + b = [3 7 5]
dan
b = [1 3 2]
3 2 1 (a + b )T = 7 = 4 + 3 = aT + bT 5 3 2 Secara umum :
(a + b )T = aT + bT
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Contoh:
1 Jika a = [2 4 3] dan b = 3 2 maka ab = [2 × 1 + 4 × 3 + 3 × 2] 2 abT = [2 × 1 + 4 × 3 + 3 × 2] = [1 3 2] 4 = b TaT 3
Contoh:
2 a = 4 3
Jika
dan
b = [1 3 2]
2 × 1 2 × 3 2 × 2 maka ab = 4 × 1 4 × 3 4 × 2 3 × 1 3 × 3 3 × 2
(ab )T
Secara umum :
2 × 1 4 × 1 3 × 1 1 = 2 × 3 4 × 3 3 × 3 = 3 [2 4 3] = b TaT 2 × 2 4 × 2 3 × 2 2
(ab )T = bTaT
Putaran Matriks Persegi Panjang Contoh: Jika
2 4 3 A= 1 3 2
maka
a1 Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari A = L vektor baris
2 1 A T = 4 3 3 2
maka
am
Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom
A = [a1 a 2 L a m ]
[
A T = a1T L a Tm
a1 maka A T = L a m
]
Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masingmasing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
Jika A = [a1 L maka
(A + B )T = AT + BT am ] B = [b1 L dan
bm ]
A + B = [a1 + b1 L a m + b m ]
Dengan demikian
(A + B )T
(a + b )T aT + b T aT b T 1 1 1 1 1 1 T T = L = L = L + L = A + B (a + b )T aT + b T aT b T m m m m m m
Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
(AB )T = BT A T a1 Jika A = L am maka
dan
B = [b1 L b n ]
a1 • b1 L a1 • b n AB = L L L a m • b n L a m • b n
Dengan demikian maka
a1 • b1 L a1 • b n b1 ABT = L L L = L [a1 L a m ] = B T A T a m • b n L a m • b n b n
Matriks Simetris Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
AT = A
Jika BT = −B dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum:
a11x1 + L + a1n xn = b1 a21x1 + L + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . am1x1 + L + amn xn = bm
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Operasi Baris
a11x1 + L + a1n xn = b1 a21x1 + L + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . am1x1 + L + amn xn = bm
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
Penulisan Dalam Bentuk Matriks
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
a11 a12 a 21 a22 L L am1 am 2 atau secara singkat dengan
a11 a12 a a22 A = 21 L L am1 am 2
a1n x1 b1 L a2n x2 b2 = L L L L L amn xn bm L
Ax = b a1n x1 b1 x b L a2n ; x = 2 ; b = 2 L L L L L amn xn bm L
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
a11 a12 ~ a21 a22 A= L L am1 am 2
b1 L a2n | b2 L L | L L amn | bm L
a1n
|
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Contoh: Suatu sistem persamaan linier:
x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0 x A − 3 xB + 5 xC − 2 xD = 8 − x A + 4 xB − 3xC + 2 xD = 0
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
0 x A 8 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 x 0 B = 1 − 3 5 − 2 xC 8 − 1 4 − 3 2 x D 0
Matriks gandengnya adalah:
0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 3 2
| 8 | 0 | 8 | 0
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol. Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 − 2 5 − 2 0 3 − 3 2
| 8 | 8 | 0 | 8
pivot ( + baris1) (− baris 1) ( + baris 1)
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 − 2 5 − 2 0 3 − 3 2
| 8 | 8 | 0 | 8
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
0 0 1 − 1 0 3 −2 0 0 0 5 − 4 / 3 − 2 −1 2 0 0
8 8 | 16 / 3 | 0
| |
(pivot) ( +2/3 baris 2) (-baris 2)
0 0 1 − 1 0 3 0 −2 0 0 5 − 4 / 3 − 2 2 −1 0 0
8 | 8 | 16 / 3 | 0 |
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 − 1 2
8 | 8 | 16 | 0 |
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 − 1 2
| 8 | 8 | 16 | 0
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
8 | 8 | 16 pivot | 16 × 11 + baris 3 |
Hasil terakhir langkah ketiga adalah:
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
8 | 8 | 16 | 16 |
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
0 xA 8 1 − 1 0 0 3 − 2 0 x 8 B = 0 0 11 − 6 xC 16 0 0 0 16 x D 16 Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
x A − xB = 8 3xB − 2 xC = 8 11xC − 6 xD = 16 16 xD = 16
yang dengan substitusi mundur akan memberikan:
xD = 1 ; xC = 2 ; xB = 4 ; x A = 12
Sistem Tertentu dan Tidak Tertentu
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi Contoh:
x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0 − 3xB + 2 xC = −8
Matriks gandeng:
1 −1 0 | 8 − 1 4 − 2 | 0 0 − 3 2 | − 8 Eliminasi Gauss:
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 − 3 2 | − 8
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | 0
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
x A − xB = 8 3 xB − 2 xC = 8 0=0 Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan x B = (8 + 2 xC ) / 3 yang kemudian memberikan x A = 8 + (8 + 2 xC ) / 3 Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi Contoh:
x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0 − 3xB + 2 xC = −10
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
1 −1 0 | 8 − 1 4 − 2 | 0 0 − 3 2 | − 10
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 − 3 2 | − 10
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | − 2
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
x A − xB = 8 3 xB − 2 xC = 8 0 = −2 Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon. Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
dan
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | − 2
a11 a12 L L L a1n 0 c 22 L L L c2 n M krr L krn 0 M 0
| | | | | | |
b1 b2′ br′ br′ +1 bm
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
a11x1 + a12 x2 + LLLL + a1n xn = b1 c22 x2 + LLLL + a2n xn = b2′ M krr xr + L + krn xn = br′ 0 = br′ +1 M ′ 0 = bm
dengan a11 ≠ 0, a22 ≠ 0 , krr ≠ 0 , dan r ≤ n Perhatikan bentuk ini:
′ sama dengan nol atau tidak ada, maka a). Jika r = ndan br′ +1 , K , bm sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi. ′ sama dengan nol atau tidak ada, maka br′ +1,K, bm b). Jika r < ndan sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi. ′tidak sama dengan nol c). Jika r = nataupun r < ndan br′ +1,K, bm atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
′ Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika br′ +1,Ksama , bm dengan nol atau tidak ada. Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n . Jika r < n persamaan akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-Vektor
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor Misalkan a1 , a 2 , L a m adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor
c1a1 + c2a 2 + L + cma m = 0 Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 … cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi. Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain. Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
a1 = −
c2 c a2 − L − m am = 0 c1 c1
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Contoh:
Dua vektor baris
a1 = [2 3 1 2]
dan a 2 = [4 2 6 2]
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
c1a1 + c2a 2 = c1[2 3 1 2] + c2 [4 2 6 2] = 0 hanya akan terjadi jika
c1 = c2 = 0
Ambil vektor ketiga a3 = [4 6 2 4] Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai a3 = 2a1 = 2[2 3 1 2] = [4 6 2 4] Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
a3 = 2a1 + 0a 2 = 2 [2 3 1 2] + 0 [4 2 6 2] = [4 6 2 4]
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Rank Matriks
Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks? Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Contoh: Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 0 16
dan
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
8 | 8 | 16 | 16
|
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh: Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0
dan
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | 0
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
Contoh: Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0
dan
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | − 2
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya; b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui; c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
Sudaryatno Sudirham
Sistem Persamaan Homogen
Sistem Persamaan Homogen Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk a11x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0 . . . . . . . . . . . am1x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
a11 a12 ~ a21 a22 A= L L am1 am 2
0 L a2n | 0 L L | L L amn | 0 L
a1n
|
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
′ a12 ′ L a1′n a11 ′ L a2′ n ~ 0 a22 ′ A = L L L L ′ 0 0 amn 0
0 0 | L | 0 | |
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk ′ x1 + a12 ′ x2 + L + a1′n xn = 0 a11 ′ x2 + L + a2′ n xn = 0 a22 M ′ xn = 0 amn
Dari sini terlihat bahwaxn = 0 dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jikar < n .
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial x A − xB = 0
Contoh:
− x A + 4 xB − 2 xC = 0 x A − 3xB + 5 xC − 2 xD = 0 − x A + 4 xB − 3 xC + 2 xD = 0
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah 0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 3 2
| 0 | 0 | 0 | 0
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
| 0 | 0 | 0 | 0
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi x A − xB = 0 3xB − 2 xC = 0 11xC − 6 xD = 0 16 xD = 0
yang akhirnya memberikan xD = xC = xB = x A = 0 Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadir keadaan =n
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial Contoh:
x A − xB = 0 − x A + 4 x B − 2 xC = 0 x A − 3 x B + 5 xC − 2 x D = 0 − x A + 4 x B − 13 xC + 6 x D = 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah 0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 13 6
| 0 | 0 eliminasi Gauss: | 0 | 0
Sistem persamaan menjadi
x A − xB = 0 3xB − 2 xC = 0 11xC − 6 xD = 0 0=0
0 1 −1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 0 0
| 0 | 0 | 0 | 0
Jika kita mengambil nilai x D = 1 xC =
maka akan diperoleh
6 12 12 ; xB = ; xA = 11 33 33
Solusi ini membentuk vektor solusi 12 / 33 12 / 33 x1 = 6 / 11 1 .
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0
0 12/33 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 12/33 0 = Ax1 = 0 0 11 − 6 6/11 0 0 0 0 0 1 0
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya xD = 33 akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu 12 12 x 2 = = 33x1 18 33
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
xc = cx1 dengan c adalah skalar sembarang
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2. 12 / 33 12 12 / 33 12 + = x + 33x = 34x x 3 = x1 + x 2 = 1 1 1 6 / 11 18 1 33
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
x j = ∑ xc
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor. Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 . Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.
Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2 Contoh:
x A − xB = 0 − x A + 4 xB − 5 xC + 2 xD = 0 x A − 4 xB + 5 xC − 2 xD = 0 − x A + 7 xB − 10 xC + 4 xD = 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah 0 0 1 −1 − 1 4 −5 2 1 −4 5 −2 − 1 7 − 10 4
| 0 | 0 | 0 | 0
1 − 1 0 0 3 − 5 0 0 0 0 0 0
0 | 0 2 | 0 0 | 0 0 | 0
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi x A − xB = 0
3xB − 5 xC + 2 xD = 0 0=0 0=0
Jika kita memberi nilai xC = 1 dan xD = 0 kita akan mendapatkan xB = 5 / 3 ; x A = 5/3 5 / 3 5/ 3 x1 = 1 0
adalah salah satu vektor solusi Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor b = 0 1. − 1 0 0 3 − 5 Ax1 = 0 0 0 0 0 0
0 5 / 3 5 / 3 − 5 / 3 0 2 5 / 3 0 + 5 − 5 + 0 0 = = 0 0 0 1 0 0 0 0
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan Ak1x1 = 0 dan
Ak2 x1 = 0
Ak1x1 + Ak2 x1 = A(k1 + k2 )x1 = Ac1x1 = 0
Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka ,
k1x1 , k2 x1 , (k1x1 + k 2 x1 ) adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektorvektor ini kita peroleh dengan memberi nilaixC = 1 dan xD = 0 .
Jika xC = 0 dan xD = 1 akan kita peroleh xB = −2 / 3 dan x A = −2 / 3 yang membentuk vektor solusi − 2 / 3 − 2 / 3 x2 = 0 1
Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti
l1x 2 , l2 x 2 , (l1x 2 + l2 x 2 ) Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
x = kx1 + lx 2 Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n. Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1 sehingga definisi ini memberikan relasi
A −1A = I = AA −1 Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya.
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q. P = IP = ( AQ)P = QAP = Q( AP) = QI = Q
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu Ax = b
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh
A −1 Ax = A −1 b
→
Ix = x = A −1 b
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A = n dan akan singular jika rank A < n. Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b. Jika X adalah kebalikan matriks A maka AX = I
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan ~ A = [A I ]
~
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada A matriks gandengan ini berubah menjadi
[U
H]
dengan U berbentuk matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
[U
H]
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan
[I
X]
Contoh:
Kita akan mencari kebalikan dari matriks
2 2 1 A = 3 − 2 2 − 2 4 1 Kita bentuk matriks gandengan [A I ]
2 2 | 1 0 0 1 [A I] = 3 − 2 2 | 0 1 0 − 2 4 1 | 0 0 1 Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
2 | 1 0 0 pivot 1 2 0 − 8 − 4 | − 3 1 0 − 3 × baris 1 0 8 5 | 2 0 1 + 2 × baris 1
2 | 1 0 0 1 2 0 − 8 − 4 | − 3 1 0 pivot 0 0 1 | − 1 1 1 + baris 2 Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
0 0 1 2 2 | 1 0 1 1 / 2 | 3 / 8 − 1 / 8 0 × (−1 / 8) 0 0 1 | − 1 1 1 −2 − 2 − 2 × baris 3 1 2 0 | 3 0 1 0 | 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 − 0.5 × baris3 0 0 1 | − 1 1 1 1 0 0 | 10 / 8 − 6 / 8 − 1 − 2 × baris 2 0 1 0 | 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 0 0 1 | − 1 1 1
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
A −1
10 / 8 − 6 / 8 − 1 = 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 − 1 1 1
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
2 2 x1 8 1 3 − 2 2 x = 0 2 − 2 4 1 x3 0 vektor solusinya adalah 2 2 x1 1 x = 3 − 2 2 2 x3 − 2 4 1
−1
8 10 / 8 − 6 / 8 − 1 8 10 0 = 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 0 = 7 0 − 1 1 1 0 − 8
Kebalikan Matriks Diagonal Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
0 a11 0 0 L 0 0 0 ann
−1
0 1 / a11 0 0 = 0 L 0 0 1 / ann
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
(A )
−1 −1
=A
Kebalikan Dari Perkalian Matriks Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
(AB )−1 = B −1A −1 Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut I = (AB )(AB )−1
(
)
A −1I = A −1 (AB )(AB )−1 = A −1A B(AB )−1 = IB(AB )−1 A −1 = B(AB )−1
B −1A −1 = B −1B(AB )−1 = I(AB )−1 = (AB )−1
Bahan Ajar
Matriks dan Sistem Persamaan Linier Sudaryatno Sudirham
