01
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M AD ATER VA I DA NC N E A LA ND TIH TO AN P L SO EV AL EL SB M
PT
N
SET 1 PERSAMAAN KUADRAT A.
BENTUK UMUM ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
B.
MENCARI AKAR/SOLUSI a. Faktorisasi b. Rumus ABC
C.
OPERASI DASAR AKAR b a. x1 + x 2 = a c b. x1 × x 2 = a D c. x1 − x 2 = – a
D.
SIFAT-SIFAT AKAR a. Akar real D ≥ 0 1. akar berlainan D > 0 2. akar kembar D = 0 3. akar rasional D = k2, k = 1, 2, 3, … 4. akar irasional D ≠ k2, k = 1, 2, 3, …
1
WWW.E-SBMPTN.COM b. c.
E.
Akar tidak real D < 0 Sifat akar lain, analisis sifat x1 + x2 dan x1 . x2
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalah x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
Contoh Soal TIPE SOAL: OPERASI AKAR 1. Misalkan x1 dan x2 merupakan akar-akar positif dari persamaan x2 – mx + n = 0. Jika x12 – x22 = -3 dan x1 : x2 = 1 : 2, maka m : n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2 E. 2,5 Pembahasan: • x1 > 0, x2 > 0 x1 + x2 > 0 m>0 • •
• •
x1x2 > 0 n>0
x1 1 = → x 2 = 2 x1 x2 2 x12 – x22 = -3 x12 – (2x1)2 = -3 -3x12 = -3 x1 = 1 x2 = 2 x 1 + x2 = m → m = 3 m 3 = = 1,5 n 2 Jawaban: C
2
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal 1.
Akar-akar positif dari persamaan x2 + mx + n = 0 adalah α dan β. Jika 2β – α = 12 dan α2 = 4β, maka m + n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39
2.
Jika akar-akar persamaan x2 – ax + b = 0 memenuhi persamaan 2x2 – (a + 3)x + (3b – 2) = 0, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) (1) a = 3 (2) b = 2 (3) 2a – 2ab + 3b = 0 (4) ab = 5 Jawaban: (1), (2), dan (3) benar
3.
Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 – 2x + p = 0 adalah 98, maka nilai p adalah .... A. -20 B. -15 C. -1 D. 15 E. 20 Jawaban: B
4.
5.
x − a x2 − a + adalah Persamaan kuadrat x2 – ax = 5a2 memiliki akar-akar x1 dan x2. Nilai 1 x1 + a x 2 + a .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawaban: B Akar dari persamaan (x – 2014)2 + (x – 4029)2 – (x + 1)2 = 0 adalah .... A. (2014, 10074) B. (2013, 10073) C. (-2014, 10074) D. (-2014, 2014) E. (-2014, -10004) Jawaban: A
3
WWW.E-SBMPTN.COM TIPE SOAL: SIFAT AKAR 1 1 dan 6. Misalkan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan x2 – bx + 6 = 0. Jika β α adalah akar-akar dari persamaan x2 – 4x + c = 0, maka akar-akar dari persamaan x2 – (bc)x + bc = 0 merupakan .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. akar kembar dan positif B. akar kembar dan negatif C. dua akar berbeda dan berlainan tanda D. dua akar berbeda dan positif E. dua akar berbeda dan negatif Jawaban: A 7.
4
Himpunan bilangan k sehingga x2 + 2(k – 1)x + k + 5 = 0 memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. {k R | k ≤ -1} B. {k R | -∞ < k < ∞} C. {k R | 0 < k ≤ 1} D. {k R | -1 < k < ∞} E. {k R | k > 0} Jawaban: A
8.
Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 2x2 + (m + 1)x – 2m = 0 dan persamaan x2 – (2m2 – m + 1)x – 3m – 66 = 0 mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka hasil kali semua m yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. -1 B. 0 C. 14364 D. 143640 E. tak hingga Jawaban: E
9.
Misalkan α dan β adalah akar-akar dari persamaan x2 + 2(k – 3)x + 9 = 0 dengan α ≠ β, maka himpunan semua bilangan k sehingga -6 < α < 1 dan -6 < β < 1 adalah .... (Soal SIMAK Tahun 2011) A. {k ∈ R | 6 < k < 6,75} B. {k ∈ R | 1 < k < 6,75} C. {k ∈ R | 1 < k < 9} D. {k ∈ R| 6,75 < k < 9} E. {k ∈ R | 6 < k < ∞}
WWW.E-SBMPTN.COM 1 10. Akar-akar persamaan x2 + (m – 2)x + m = 0 adalah x1 dan x2. Batas-batas nilai m agar 1 < 4 x1 < 2 dan 2 < x2 < 3 adalah ....
A.
B.
C.
4 <m<0 5 1 4 <m< 5 5 4 0<m< 5 -
D. 1 < m < 4 E. -1 < m < 6 Jawaban: C TIPE SOAL: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT 11. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 4x – 2 = 0, persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x13 + x23 dan x15 + x25 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. x2 + 96x – 1.148 = 0 B. x2 – 96x – 1.148 = 0 C. x2 – 82x + 840 = 0 D. x2 + 82x + 840 = 0 E. x2 + 96x + 1.148 = 0 Jawaban: E 12. Suku banyak yang akarnya A. x4 + 14x2 + 9 = 0 B. x4 – 14x2 + 9 = 0 C. x4 – 14x2 – 9 = 0 D. x4 + 14x2 + 89 = 0 E. x4 – 14x2 + 89 = 0
2 − 5 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)
Jawaban: B
1 1 7 adalah .... (Soal 13. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga + = a b 10 SNMPTN Tahun 2010) A. x2 + 7x – 10 = 0 B. x2 + 7x + 10 = 0 C. x2 – 10x + 7 = 0 D. x2 – 7x – 10 = 0 E. x2 – 7x + 10 = 0 Jawaban: E
5
WWW.E-SBMPTN.COM 14. Jika f(x) = 3x2 – 6x + 1, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya pangkat 3 dari akarakar f(x) = 0 tersebut adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010) A. 27x2 + 6x + 1 = 0 1 B. x2 + 24x – = 0 4 1 C. x2 – 6x + =0 27 2 D. 2x2 + 12x + =0 27 1 E. x2 – 24x + =0 27 Jawaban: C
TIPE SOAL: ANTARRUANG LINGKUP 15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 (Persamaan kuadrat, Peluang, Integral)) A. 1 3 B. 4 2 C. 4 D. 1 4 E. 0 Jawaban: B
6
02
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M AD ATER VA I DA NC N E A LA ND TIH TO AN P L SO EV AL EL SB M
PT
N
Set 2 MATRIKS A.
ORDO MATRIKS Am × n, m baris, n kolom
B.
TRANSPOSE MATRIKS Baris ke i ↔ kolom ke i Notasi: At
C.
PENJUMLAHAN/PENGURANGAN MATRIKS syarat : ordo sama cara : jumlah/kurang unsur seletak
D.
PERKALIAN ANGKA DENGAN MATRIKS cara : kalikan angka dengan semua unsur matriks
E.
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS syarat : Am × n × Bn × p × Cm × p kolom = baris cara
: baris ke i × kolom ke j dengan pola kali tambah
9
WWW.E-SBMPTN.COM F.
IDENTITAS/MATRIKS SATUAN 1 0 0 1 0 I2 × 2 = , I = 3× 3 0 1 0 0 1 0 0 1 sifat
G.
: A.I = I.A = A
INVERS MATRIKS Notasi: A-1 Sifat-sifat : 1. A.A-1 = A-1.A = I 2. (AB)-1 = B-1A-1 3. (A-1)-1 = A cara
-1 : A =
1 × adj [ A] A
|A| determinan A dimana |A2 × 2| = ad – bc |A3 × 3| gunakan skema Sarrus Bila |A| = 0, matriks A tidak punya invers/singular
Contoh Soal dan Latihan 1.
1 0 1 1 a b 2012 2012 Jika A = = , B = , dan A + B , maka a + b + c + d = .... (Soal 1 1 0 1 c d SIMAK UI Tahun 2012) A. 2012 B. 2014 C. 4024 D. 4028 E. 6039 Pembahasan: 1 0 A= perhatikan pola 1 1 1 0 1 0 1 A2 = = 1 1 1 1 2 1 0 1 A3 = A2 × A = 2 1 1
10
0 1
0 1 0 = 1 3 1 0 1 0 1 2012 dst An = = maka A n 1 2012 1
1 0 1 0 1 A2 = = 1 1 1 1 2 1 0 1 A3 = A2 × A = 2 1 1
WWW.E-SBMPTN.COM
0 1
0 1 0 = 1 3 1 1 0 1 2012 dst An = = maka A n 1 2012
0 1
1 2012 dengan cara yang sama B 2012 = , maka 1 0 2012 a b , sehingga 2 A2012 + B 2012 = = 2 c d 2012 a + b + c + d = 4028 Jawaban: D 2.
-2 4 -1 -2 0 -1 x y 2 Jika A = , B = , C = , dan AB = C , maka (x – 2y – 3z + 3w) 1 -1 -1 1 -1 2 z w adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010) A. B. C. D. E.
0 36 63 144 semua salah Jawaban: A
3.
-1 5 x -13 a Jika x dan y memenuhi persamaan = dan x = -1 5 , maka nilai a 4 -6 y 24 4 -6 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. 42 B. 3 C. -3 D. -14 E. -42 Pembahasan: Cara 1 -1 5 x -13 = 4 -6 y 24 -1
x -1 5 -13 = y 4 -6 24 x 1 -6 -5 -13 = y -14 -4 -1 24 x 1 -42 =- y 14 28 x 3 = y -2
11
-1 5 x -13 = 4 -6 y 24 -1
x -1 5 -13 = y 4 -6 24 x 1 -6 -5 -13 = y -14 -4 -1 24
WWW.E-SBMPTN.COM
x 1 -42 =- y 14 28 x 3 = y -2 a= x
-1 5 = 3 ( 6 - 20 ) = -42 4 -6
Cara 2 Aturan Cramer p q a b x p = → x = a c d y q b a c y= a c
b d , c d p q b d
dari soal tampak jelas
a=
-13 5 24 -6
a = 78 - 120 = -42 Jawaban: E
4.
Diketahui persamaan matriks 3 2 3 x 13 1 4 2 y = 4 3 -1 2 z 13 a b ,z= , bila x = 3 2 3 3 2 3 1 4 2 1 4 2 3 -1 2 3 -1 2 maka nilai a + b adalah .... Jawaban: A
12
WWW.E-SBMPTN.COM
5.
Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)
x 2 + 3 x 2 x +1 = 3 adalah x +5 4
1 - 2 1 B. - 2
A.
D.
C. 1 3 2
E. 4 Jawaban: A 6.
1 -2 2 4 Hubungan yang benar antara matriks A = dengan matriks B = adalah .... 2 1 -4 2 (Soal SIMAK UI Tahun 2009) (1) B = 2A (2) A = B-1 (3) A = Bt (4) B = 10A-1 Jawaban: 4 saja yang benar 3 1 2 5 2 1 Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan = B , maka determi 3 2 1 3 4 5 nan dari B-1 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. 2
1 B. - 2 C. 0 1 D. 2 E. -2
7.
Jawaban: B
13
WWW.E-SBMPTN.COM
8.
9.
tanx Jika 1
1 cos2 x a 1 = , dimana b = 2a, maka 0 ≤ x ≤ π yang memenuhi tanx sinxcosx b 2
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Trigonometri)) π (1) 6 π (2) 12 5π (3) 6 5π (4) 12
1 y x Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan 1 2 1 = 0 memenuhi sifat-sifat .... 1 3 2 (Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Persamaan Garis)) (1) memotong sumbu x di titik (-1, 0) (2) memiliki gradien 1 (3) melalui (1, 2) (4) tegak lurus garis x + y + 1 = 0 Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) benar
Jawaban: (2) dan (4)
1 f ( 4 ) 4 f’ 1 1 2 adalah .... (Soal UM UGM 10. Jika f ( x ) = 3 2 x +1 , maka invers dari 6 1 f’ ( 4 ) -f’ 1 6 2 Tahun 2008 (matriks/turunan)) -0, 9 -0,1 A. 0, 6 -0, 6 0, 9 -0, 6 0,1 0, 6 0, 6 0, 6 C. -0,1 0, 9 B.
0, 6 -0, 6 D. 0,1 0, 9 E.
-0, 6 0, 6 -0,1 -0, 9 Jawaban: C
14
03
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M AD ATER VA I DA NC N E A LA ND TIH TO AN P L SO EV AL EL SB M
PT
N
Set 3 PERTIDAKSAMAAN A.
PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL a. Bentuk 1 f (x) ≤ g(x) syarat: f(x), g(x) ≥ 0 cara: 2
f (x) ≤
g(x)
2
→ f ( x)≤ g( x) b.
Bentuk 2 f (x) ≤ g(x) syarat: g(x) ≥ 0 cara: permisalan
B.
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK a. Bentuk 1 |f(x)| < |g(x)|
17
WWW.E-SBMPTN.COM
cara: |f(x)|2 < |g(x)|2 → f(x)2 < g(x)2
b.
Bentuk 2 f (x)
g(x)
c.
syarat: g(x) ≠ 0 cara: |f(x)| < a |g(x)| → f(x)2 < g(x)2 Bentuk 3 |f(x)| + |g(x)| < h(x) cara: kembalikan pada definisi nilai mutlak f (x)
f (x),
f ( x ) ‡0
-f ( x ) ,
f (x) < 0
Contoh Soal 1.
Himpunan penyelesaian dari -1 − x ≥ x + 3 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. {x|x ≤ 1} B. {x| -5 ≤ x ≤ 2} C. {x|x ≤ i} D. {x|x ≤ -2} E. {x| -3 ≤ x ≤ -2} Pembahasan: • -1 − x ≥ x + 3 syarat - 1 – x ≥ 0 x ≤ -1 ….. Hp1 • Penyelesaian -1 − x ≥ − (-1 − x ) + 2 ⇒ p ≥ - p2 + 2
misal : -1 − x = p
⇒ p2 + p − 2 ≥ 0
18
⇒ ( p + 2)( p − 1) ≥ 0 ⇒ p ≤ −2
atau p ≥ 1
⇒ -1- x ≤ −2 atau
-1 − x ≥ 1
WWW.E-SBMPTN.COM -1 − x ≥ − (-1 − x ) + 2 ⇒ p ≥ - p2 + 2
misal : -1 − x = p
2
⇒ p +p−2≥0 ⇒ ( p + 2)( p − 1) ≥ 0 ⇒ p ≤ −2
atau p ≥ 1
⇒ -1- x ≤ −2 atau ⇒ ( tidak mungkin)
-1 − x ≥ 1
(
-1 − x
2
)
2
≥ (1)
- 1− x ≥1 x ≤ −2 ......... Hp2 Hp total = Hp1 ∩ Hp2 = { x x ≤ −2, x ∈ R} Jawaban: D 2.
Himpunan penyelesaian dari 3 3 − x > 5 − x adalah .... Jawaban: -1 < x < 2
3.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan UI Tahun 2009) 1 A. x x ≤ -1atau x ≥ 2 B. C. D.
{x|x ≥ 1 atau x ≤ -1} {x|x ≤ -1} {x|-1 ≤ x ≤ 1}
E.
1 x ≤ x ≤ 1 2
x 2 − 1 ≤ 3 x 2 + x − 2 adalah .... (Soal SIMAK
Jawaban: B 4.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 − 5 x + 6 < 2 x − 4 < 3 x + 4 adalah .... Jawaban: 2 < x < 4
5.
Himpunan penyelesaian A. x > 5 B. x > 4 C. 4 < x < 5 D. 0 < x < 4 E. 0 < x < 4 atau x > 5
x x − 4 < x x − 4 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)
Jawaban: x > 5
19
WWW.E-SBMPTN.COM SOAL NILAI MUTLAK 6. Nilai-nilai x yang memenuhi x – 2 ≤ |1 – 2x| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. semua bilangan riieal B. x ≥ -1 atau x ≤ C. -1 ≤ x ≤ 1 D. x ≤ -1 atau x ≥ 1 E. x ≤ atau x ≥ 1 Pembahasan: 1 1 − 2 x , x ≤ 2 Definisi 1 − 2 x 2 x − 1, x > 1 2 maka penyelesaian untuk soal di atas dibagi ke dalam dua domain 1 untuk x ≤ maka 2 x – 2 ≤ |1 – 2x| ⇒ x – 2 ≤ 1 – 2x ⇒ 3x ≤ 2 ⇒ x ≤ 1 1 1 ∩ x ≤ 1 → Hp1 x ≤ 2 2 1 untuk x > maka 2
x≤
x – 2 ≤ |1 – 2x| ⇒ x – 2 ≤ 2x – 1 ⇒ -x ≤ 1 1 ⇒ x ≥ -1 ∩ x > → Hp2 x ≥ 1 2 Hp gab = Hp1 ∩ Hp2
7.
8.
20
Jawaban: E
Himpunan penyelesaian dari x + 2 <
Himpunan penyelesaian dari
x x +2
15 adalah .... x
Jawaban: 0 < x < 3
≤ 1 adalah .... Jawaban: -1 ≤ x ≤ 2
WWW.E-SBMPTN.COM
9.
Himpunan penyelesaian dari
2x2 − x − 3 x −3
≥ 0 adalah .... Jawaban: x < -3 atau atau x > 3
10. Nilai x yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010) A. 0 ≤ x ≤ 4 B. x ≤ -2 atau x ≥ 4 C. x ≤ 0 atau x ≥ 4 D. x ≤ 1 atau x > 3 E. x < 1 atau x ≥ 4 Jawaban: C. x ≤ 0 atau x ≥ 4
21
04
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
MATEMATIKA
UJI
AN
NA
SIO
NA
Set 4 SISTEM PERSAMAAN A.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang terdiri dari 2 atau lebih peubah yang memiliki derajat tertinggi satu. Bentuk umum sistem persamaan linear 2 peubah ax + by = c px + qy = r Bentuk umum sistem persamaan linear 3 peubah ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r Solusi sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan proses eliminasi atau substitusi atau eliminasi-substitusi.
B.
SISTEM PERSAMAAN GABUNGAN Sistem persamaan jenis ini memiliki bentuk bermacam-macam, ada bentuk persamaan linear 2 variabel dengan fungsi kuadrat, contoh: 2x – y = 7 y + 2x2 + x = 1 atau bentuk persamaan linear multivariat, contoh: 4xy + y = 1 2x + 3xy = 2 dan lain-lain.
23
L(
UN
)
WWW.E-SBMPTN.COM Sistem persamaan n variabel, umumnya membutuhkan n persamaan agar variabelnya bisa ditemukan. Metode memecahkan sistem persamaan gabungan umumnya dengan cara substitusi.
Contoh Soal 1.
Diketahui dua sistem persamaan linear berikut mempunyai solusi yang sama: ax + 2 y = b +1 2 x + y = a2 + 2 dan x + y = 3 x + 3y = 3 maka nilai a – b adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. -9 B. -5 C. 0 D. 5 E. 9 Pembahasan: Karena solusinya sama, maka, kita eliminasi x + 3y = 3 x+y =3– 2y = 0 y = 0, x = 3 kita substitusikan (3, 0) ke ax + 2y = b + 1 → 3a – b = 1 ….. (1) 2 → a2 = 4 2x + y = a + 2 a = ±2 a = 2, substitusi ke persamaan (1), b = 5 sehingga a – b = -3 a = -2, substitusi ke persamaan (1), b = -7 sehingga a – b = 5 Jawaban: D 3 x + 5 y = b log4 dan 3log a = x + y, maka a = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) Jika 3 x − 3 y = 216 b
2.
A. 2 B. 7 C. 9
24
WWW.E-SBMPTN.COM D. 12 E. 16 Jawaban: C 3.
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: x – y = 7 y = x2 + 3x – 10 adalah {(x1, y1), (x2, y2)}. Nilai y1 + y2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. -16 B. -2 C. 8 D. 12 E. 20 Pembahasan: x–y=7 y = x – 7 …. (1) Persamaan (1) substitusi ke y = x2 + 3x – 10, menjadi x2 + 3x – 10 = x – 7 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ (x +3)(x –1) = 0 ⇒ x1 = -3 atau x2 = 1 dari persamaan (1) y1 = -10 atau y2 = -6 maka y1 + y2 = -16
4.
5.
Dari sistem persamaan 123x + 321y = 345 321x + 123y = 543 nilai x2 + y2 adalah ....
Jawaban: A
Jawaban:
5 2
Diberikan sistem persamaan berikut. x + ky = 3 kx + 4 y = 6 Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi x > 1 dan y > 0 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. 0 B. 1 C. 3
25
D. 5 E. tak hingga Pembahasan: Lakukan eliminasi x + ky = 3 × k kx + 4y = 6 × 1
x + ky = 3 × 4 kx + 4y = 6 × k
WWW.E-SBMPTN.COM
kx + k 2 y = 3k
4 x + 4 ky = 12
kx + 4 y = 6 −
k 2 x + 4 ky = 6k −
(k
(4 − k ) x = 12 − 6k
2
)
- 4 y = 3k − 6
2
3k − 6 k2 − 4 y>0 di mana 3k − 6 >0 k2 − 4 3 ( k − 2) >0 (k + 2)(k − 2) y=
x= di mana
1 >0 k +2 k > -2 .... Hp1
x=
6 (2 − k ) (2 − k )(2 + k ) 6 k +2 x >1
6 >1 k +2 6 k +2 >0 − k +2 k +2 -k + 4 >0 k +2 -2 < k < 4 .... Hp2
k bilangan bulat yang memenuhi hanya k = 35(1 buah bilangan) Jawaban: D Jika diketahui sistem persamaan y = ax + 3 2 2 x + y = 1
mempunyai dua pasang penyelesaian (x, y), syarat untuk nilai a adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. -2 2 < a < 3 2 B. a < -2 2 atau a > 2 2 C. a > 0 D. a > 2 2 E. semua bilangan riil Jawaban: B
6.
26
WWW.E-SBMPTN.COM 7.
8.
Diketahui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy + x + y = -33 dan x2y + xy2 = 162. Nilai |x – y| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12 Pembahasan: xy + x + y = -33 x2y + xy2 = 162 – xy(x + y) = 162 Dua persamaan di atas bisa dipenuhi oleh xy = -27 dan x + y = -6 nilai x dan y yang memenuhi dua persamaan baru di atas adalah x = -9 dan y = 3 maka |x – y| = 12 Jawaban: E Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut: x 2 − xy + 3 y 2 + 2 x − 5 y − 4 = 0 x + 2y = 4
maka x2 – y2 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. -6 B. -3 C. 0 D. 3 E. 6 Jawaban: D
9.
Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut. (x – 2)(y – 1) = 3 (x + 2)(2y – 5) = 15 A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 5 Pembahasan:
( x − 2 )( y − 1) = 3 3 x −2 x +1 y= x −2
y − 1=
.... (1)
27
WWW.E-SBMPTN.COM (1) disubstitusi ke (x + 2)(2y – 5) = 15, menjadi 2x + 2 − 5 = 15 x −2
( x + 2 ) ⇒
( x + 2 )( -3 x +12 ) = 15 ( x − 2 )
⇒
- 3 x 2 + 6 x + 24 = 15 x − 30
⇒
- 3 x 2 − 9 x + 54 = 0 b x1 + x 2 = - = -3 a Jawaban: B
10. Diketahui sistem persamaan (x – 1)(y – 2) = 12 (y – 2)(z – 3) = 20 (z – 3)(x – 1) = 15 x, y, z > 0 Nilai 3x + 2y + 3z adalah .... A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 E. 6 Jawaban: A
28
05
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MATEMATIKA
MP
TN
Set 5 FUNGSI Soal-soal matematika IPA yang terkait dengan fungsi, umumnya terkategori ke dalam tipe soal berikut 1. Fungsi komposisi dan invers 2. Menentukan daerah asal dan hasil suatu fungsi 3. Fungsi kuadrat yang lebih kompleks 4. Menentukan rumus fungsi Definisi, sifat, dan rumus yang terkait adalah 1. (fog)(x) = f [g(x)] 2. Domain (fog)(x) adalah irisan dari domain g(x) dan fungsi akhir dari (fog)(x) 3. Domain fungsi secara umum adalah x ∈ R kecuali
4.
a.
y=
b.
y=
g ( x ) di mana g(x) ≥ 0 h( x )
g(x)
di mana g(x) ≠ 0
c. y = log g(x) di mana g(x) > 0 Range fungsi secara umum adalah y ∈ R kecuali a.
y=
b.
y=
g ( x ) di mana y ≥ 0 c g(x)
di mana y ≠ 0
1
WWW.E-SBMPTN.COM 5. 6. 7.
y = f(x) ⇔ x = f-1(y) (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) Menentukan fungsi dari soal cerita, bisa melalui langkah-langkah berikut a. Baca soal dengan teliti. b. Tuliskan semua peubah yang disebutkan dalam soal. c. Tuliskan apa yang diketahui. d. Perlu dianalisa apa jenis fungsinya apakah fungsi linear, kuadrat, rasional, dan lainlain.
Contoh Soal
TIPE SOAL: FUNGSI, KOMPOSISI, DAN INVERS 1.
Soal SIMAK UI Tahun 2012 Diberikan fungsi f : R → R dengan f(2log 4x) = 2x + 1. Jika f-1 adalah invers dari fungsi f, maka nilai f-1(3) = . . . . A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 E. -1 Pembahasan: f(2log 4x) = 2x + 1 maka f-1(2x + 1) = 2log 4x set 2x + 1 = 3 2x = 2 x = 1 substitusi x = 1 ke f-1(2x + 1) = 2log 4x f-1(3) = 2log 4 = 2 Jawaban: C
2.
Soal SIMAK UI Tahun 2011 Jika diberikan g(x) = x +1 , maka untuk sembarang t selalu berlaku . . . . 1) g(t2 – 1) = |1| 2) g(t2 – 2) =
2
t2 − 1
WWW.E-SBMPTN.COM 3) g(t2 – 3) mungkin tak terdefinisi 4) g(2t) = 2t +1 Pembahasan: 1) g(x) = x +1 g(t2 – 1) =
t 2 − 1 + 1 = t 2 = |t|
benar
2) g(t2 – 2) =
t2 − 2 + 1 = t2 − 1
benar
3) g(t2 – 3) =
t2 − 3 + 1 = t2 − 2
benar
mungkin tak terdefinisi bila
- 2
2t + 1
benar Jawaban: 1), 2), 3), dan 4) benar
C.
f-1(x) dan g-1(x) menyatakan invers fungsi f(x) dan g(x). Jika h(x) = 2x + 1 dan (fogoh)(x2) = 8x2 + 2, maka nilai (g-1of-1)(2) = . . . . A. 2 B. 1
D. E.
3.
1 2 1 4 1 8
Pembahasan: (fogoh)(x2) = 8x2 + 2 ⇒ ( fogoh )( x ) = 8 x + 2 ⇒ ( fog )( 2 x +1) = 8 x + 2 x − 1 ⇒ ( fog )( x ) = 8 +2 2 ⇒ ( fog )( x ) = 4 x − 2 x +2 4 x +2 ⇒ ( g -1of -1 ) ( x ) = 4 -1 -1 ⇒ ( g of ) ( 2 ) = 1 ⇒ ( fog )
-1
(x) =
Jawaban: B
3
WWW.E-SBMPTN.COM 1
4.
ax 3 − 5 8 x 3 + 60 x 2 +150 x +125 -1 Invers dari fungsi f(x) = adalah f (x) = , maka nilai a + b 1 x 3 − 6 x 2 +12 x − 8 x 3 +b adalah . . . . A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 Pembahasan: 8 x 3 + 60 x 2 +150 x +125 =y x 3 − 6 x 2 +12 x − 8
(2 x − 5) 3 ( x − 2)
3
=y
1 2x − 5 =y 3 x −2 1 3
2x − 5 = y
( x − 2)
1
2x − y 3 x = 5 − 2y
(
x 2− y x= x=
) = 5 − 2y
1 3
5 − 2y 2− y 2y y
1 3
1 3
maka f
-1
1 3 1 3
1 3
1 3
−5 −2
(x) =
2x x
1 3
1 3
−5 −2
a=2 b = -2 maka a+b=0 Jawaban: C 5.
4
Soal SNMPTN Tahun 2009 Jika fungsi f memenuhi persamaan 2f(x) + f(9 – x) = 3x untuk setiap x bilangan real, maka nilai f(2) adalah . . . .
WWW.E-SBMPTN.COM A. 11 B. 7 C. -3 D. -5 E. -11 Pembahasan: 2f(x) + f(9 – x) = 3x substitusi x = 2 2f(2) + f(7) = 6 . . . (1) substitusi x = 7 2f(7) + f(2) = 21 . . . (2) (1) × 2 4f(2) + 2f(7) = 12 (2) × 1 2f(7) + f(2) = 21 – 3f(2) = -9 f(2) = -3 Jawaban; C 1 Diketahui f(x) = 1 − , bila f2(x) = f(f(x)), f3(x) = f(f(f(x))) dan seterusnya, maka nilai f34(5) x adalah . . . .
A.
C.
B.
D.
6.
4 5 3 5 2 5 1 5
E. 0 Pembahasan: 1 x -1 x −1 f (x) = ↔ f -1 ( x ) = x x −1 x −1 −1 x − 1 2 x = f (x) = f x −1 x x x − 1− x -1 = = x −1 x −1 1 2 -1 f (x) = f (x) = x −1 f ( x ) = 1−
( ( x ) = f (f
)
f 3 ( x ) = f f ( f ( x ) ) = f ( f -1 ( x ) ) = x
f 34
33
... ( x ) )
5
-1 x −1 ↔ f -1 ( x ) = x x −1 x −1 −1 x − 1 2 x = f (x) = f x −1 x x x − 1− x -1 = = x −1 x −1 1 f 2 ( x ) = f -1 ( x ) = x −1 f (x) =
( ( x ) = f (f
WWW.E-SBMPTN.COM
)
f 3 ( x ) = f f ( f ( x ) ) = f ( f -1 ( x ) ) = x
f 34
33
... ( x ) )
x −1 x 5 −1 4 = f 34 ( 5 ) = f ( 5 ) = 5 5 = f (x) =
Jawaban: A Soal Fungsi Kuadrat 39 2 a , maka jarak antarJika titik puncak fungsi kuadrat y = (a – 1)x2 + acx + 4 adalah 1, 4 titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu x adalah . . . . A.
7.
2 1101 19 21 2 2 2 21 3
B.
D.
C.
2 13
E.
2 21 3
-
b =1 2a
-
ac =1 2 ( a − 1)
-ac = 2a − 2 2a − 2 c= -a
39 2 → yp = a 4
b2 − 4 ac 39 2 = a -4 a 4 a2 c 2 − 4 × ( a − 1) × 4 -4 ( a − 1)
xp = 1 →
Pembahasan:
=
39 2 a 4
a c − 16a +16 = -39a2 ( a − 1) 2 2
6
( 2 a − 2 )2 − 16a +16 = -39a2 ( a − 1) a2 2 a 2
2
b2 − 4 ac 39 2 = a -4 a 4 a2 c 2 − 4 × ( a − 1) × 4
-4 ( a − 1)
WWW.E-SBMPTN.COM
39 2 a = 4
a c − 16a +16 = -39a2 ( a − 1) 2 2
( 2 a − 2 )2 − 16a +16 = -39a2 ( a − 1) a2 2 a 4 ( a − 1) − 16 ( a − 1) = -39a2 ( a − 1) 2
4 ( a − 1) − 16 = -39a2 39a2 + 4 a − 20 = 0
(13a +10 )( 3a − 2 ) = 0 a=
10 13
atau a =
2 3
Jawaban: E
TIPE SOAL: DOMAIN DAN RANGE 8.
Soal SIMAK UI Tahun 2010
Jika f(x) = 1) 2) 3) 4)
1 dan g(x) = x , maka daerah asal dan daerah hasil dari (gof)(x) adalah . . . . x −1 daerah asal {x | -∞ < x 1, 1 < x < ∞} daerah asal {x | 1 < x < ∞} daerah hasil {x | -∞ < y 1, 1 < y < ∞} daerah hasil {x | 0 < y < ∞}
Pembahasan: g[f(x)] • cari domain input yaitu f(x) 1 f(x) = x −1
memiliki domain x ∈ R, x ≠ 1 . . . Hp1
•
cari domain g[f(x)] 1 x −1
1 g = x − 1
1 ≥0 x −1 x > 1 atau bisa ditulis syarat
1 < x < ∞ . . . Hp2
7
WWW.E-SBMPTN.COM • Domain komposisi = Hpgabung = Hp1 ∩ Hp2 = {x | 1< x < ∞} • Untuk daerah hasil Rf = {y ∈ R, y ≠ 0} maka Rgof = {y ∈ R, y > 0} 9.
Misalkan diketahui g(x) = log x, h(x) = A. -2 ≤ x ≤ 2 B. -2 < x < 2 C. -∞ < x < -2 D. 2 < x < ∞ E. x ∈ R
4 − x 2 , daerah asal (goh)(x) adalah . . . .
Pembahasan: (goh)(x) = g[h(x)] 1) cari domain h(x)
h(x) =
h(x) terdefinisi bila 4 – x2 ≥ 0 x2 – 4 ≤ 0 (x + 2)(x – 2) ≤ 0 -2 ≤ x ≤ 2 . . . Hp1
4 − x2
2) cari domain g[h(x)]
g[h(x)] = log 4 − x 2
g[h(x)] terdefinisi bila 4 – x2 > 0 x2 – 4 < 0 (x + 2)(x – 2) < 0 -2 < x < 2 . . . Hp2 Sehingga domain {x | x ∈ R, -2 < x < 2} Jawaban: B
8
WWW.E-SBMPTN.COM TIPE SOAL: MENENTUKAN FUNGSI 10. Soal UMB Tahun 2013 POPULASI SATWA LANGKA Seorang peneliti mengamati populasi satwa langka di suatu hutan tertutup. Populasinya pada tahun ke-t diperkirakan sekitar P(t) satwa, dan pada saat diamati (t = 0) adalah sekitar 850 satwa. Berdasarkan data dan prediksi pengamat diperoleh suatu rumus hampiran untuk P(t) yang berlaku untuk setiap saat t. Suatu rumus hampiran untuk besarnya laju perubahan dari P terhadap t adalah P’ ( t ) =
(t
2
+16 )
2
, 0 ≤ t ≤ 12
dengan P(0) adalah populasi satwa pada saat diamati. Rumus hampiran untuk banyaknya satwa di hutan tertutup pada tahun ke-t, 1 ≤ t ≤ 12 adalah P(t) = . . . .
A.
C.
B.
D.
E.
4.800 t 2 +16 4.800 1.150 − 2 t +16 2.400 1.000 − 2 t +16 1.000 −
2.400 t 2 +16 2.400 800 − 2 t +16
850 −
Pembahasan: P(t) = ∫ P’ ( t ) dt =∫
4.800t
(t
2
+16 )
2
dt
= ∫ 4.800t ( t 2 +16 ) dt
-2
= 4.800 ∫ ( t +16 ) 2
= 2.400
4.800t
(t
2
+16 ) -1
-2
d ( t 2 +16 ) 2
-1
+C
9
WWW.E-SBMPTN.COM
P (t ) = -
2.400 +C t 2 +16
Karena P(0) = 850, maka 2.400 + C = 850 16 = -150 + C = 850 C = 1.000 P(0) = -
P(t) = 1.000 −
2.400 t 2 +16 Jawaban: C
Latihan Soal 1.
10
Soal SNMPTN Tahun 2009 8 Jika f = x , dengan x ≥ 0, maka f(4) = . . . . 1+ x A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 E. 1
2.
Soal SNMPTN Tahun 2009 (Fungsi Simetris) DIberikan fungsi f memenuhi persamaan 3f(-x) + f(x – 3) = x + 3 untuk setiap bilangan real x. Nilai 8f(-3) adalah . . . . A. 24 B. 21 C. 20 D. 16 E. 15
3.
Diketahui f(x) = ax7 + bx3 + cx – 5. Jika f(-7) = 7, maka f(7) adalah . . . . A. -17 B. -7 C. 14 D. 17 E. 21
WWW.E-SBMPTN.COM 4.
2x − 4 Daerah hasil dari f(x) = 2 adalah . . . . x −4 A. (-∞, ∞) B. (-∞, -2) ∪ (-2, ∞) C. (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞) 1 1 D. -∞ , ∪ , ∞ 2 2
Soal UMB Tahun 2013
5.
( -∞, 0 ) ∪ 0,
E.
1 1 ∪ , ∞ 2 2
UMB 2009 denah kebun bunga
persegi panjang
setengah lingkaran
taman bermain
Pada gambar diperlihatkan taman bermain yang berbentuk persegi panjang. Bagian tengah taman adalah sebuah kebun bunga yang berbentuk gabungan persegi panjang dengan cakram setengah lingkaran. Keliling kebun bunga ini adalah 60 meter dan diameter setengah lingkarannya adalah x meter.
Luas kebun bunga sebagai fungsi kuadrat dari x adalah L(x) = . . . . 1 30 x − π +1 x 2 4
B.
1 1 30 x − π + x 2 2 4
C.
1 1 30 x − π + x 2 2 8
D.
1 1 60 + 30 x − π + x 2 8 2
E.
1 1 60 − 30 x − π + x 2 8 2
A.
11
06
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 6 BARISAN ARITMETIKA a. Ringkasan Formula a. Suku ke-n = Un = a + (n – 1)b a = U1 = suku pertama b = beda b. b = U2 – U1 = U3 – U2 = . . . = Un – Un – 1 c. p, q, r barisan aritmetika maka 1. 2q = p + r 2. p + q + r = 3q d. Suku tengah (Ut)
a + Un 2
Ut =
e.
Un = suku terakhir n = banyak bilangan Bila U1, U2, U3, . . ., Un barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara 2 bilangan berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka 1. U1 tidak berubah b 2. beda berubah menjadi b’, di mana b’ = k +1
1
WWW.E-SBMPTN.COM f.
Jumlah n suku pertama (Sn), di mana
1.
Sn =
n ( a + Un ) 2
Untuk suku awal dan akhir diketahui n Sn = ( 2a + ( n − 1) b ) 2
3.
Untuk beda diketahui Un = Sn – Sn – 1
2.
Contoh Soal Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah Un = log cn (c konstanta positif ), maka U1 + U2 + . . . + Un + . . . + U2n = . . . . (Soal UMB Tahun 2013) A.
1.
1 n ( n +1) logc 2
B. n(n + 1) log c C. n(2n – 1) log c D. n(2n + 1) log c E. 2n(n + 1) log c Pembahasan: Un = log cn • U1 = a = log c • U2 = log c2 = 2 log c • beda = b = 2 log c – log c = log c 2n ( 2a + ( 2n − 1) b ) 2 = n ( 2logc + ( 2n − 1) logc )
S2n = •
S2n
S2n = n log c ( 2 + 2n − 1) S2n = n ( 2n − 1) logc
Jawaban: C 2.
2
Diketahui a2 – b2 + c2 – d2 = 2010 dan a + b + c + d = 2.010. Jika a, b, c, d adalah empat suku pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013)
WWW.E-SBMPTN.COM
A. 1.008 B. 898 C. 788 D. 604 E. 504 Pembahasan: Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a2 – b2 + c2 – d2 = 2.010 (a + b)(a – b) + (c + d)(c – d) = 2.010 (a + b)(-p) + (c + d)(-p) = 2.010 -p (a + b + c + d) = 2.010 -p (2010) = 2.010 p = -1 sehingga a + b + c + d = 2.010 a + (a – 1) + (a – 2) + (a – 3) = 2.010 4a – 6 = 2.010 4a = 2.016 a = 504 Jawaban: E
3.
Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akarakarnya adalah 12. Maka akar-akar dari f(x + 1) adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011) 1) 1 dan 3 2) 1 dan 5 3) 3 dan 5 4) 2 dan 4 Pembahasan: misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah x1, x2, x3 dimana x3 = 3x1 . . . (1) x1, x2, x3 barisan aritmetika, maka 2x2 = x1 + x3 2x2 = x1 + 3x1 {substitusi (1)} 2x2 = 4x1 x2 = 2x1 . . . (2) jumlah akar-akarnya 12, maka x1 + x2 + x3 = 12 x1 + 2x1 + 3x1 = 12 {substitusi (1) dan (2)} 6x1 = 12 x1 = 2
3
WWW.E-SBMPTN.COM
4.
maka x2 = 4, x3 = 6 akar-akar f(x + 1) adalah x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1 yaitu 1, 3, 5
Jawaban: A
Diberikan dua buah barisan aritmetika (An) dan (Bn). Diketahui jumlah 100 suku pertama dari barisan (An) dengan beda bernilai satu adalah 5.850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan (Bn) sama dengan suku kedua terakhir barisan (An). Jika beda barisan (Bn) adalah 2, maka jumlah barisan (Bn) adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. 2.385 B. 2.470 C. 2.725 D. 2.900 E. 2.925 Pembahasan: misal An: U1, U2, U3, . . . , Un , Bn = U1’, U2’, . . . , Um’ S100 = 5.850 b’ = 2 b = 1 S100 =
100 ( 2a + 99b ) = 5.850 2 50 ( 2a + 99 (1) ) = 5.850 2a + 99 = 117 2a = 18 a = U1 = 9 = U1’
misal banyak suku barisan An ada 100 maka untuk barisan Bn Um’ = U99 U1’ + (m – 1)b’ = U1 + 98b (m – 1) 2 = 98 . 1 m – 1 = 49 m = 50 maka 50 ( 2U1’ + 49b’) 2 = 25 (18 + 98 ) = 2.900
S50 =
Jawaban: D
4
WWW.E-SBMPTN.COM Soal SIMAK UI Tahun 2010 Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah p. Maka jumlah (p + q) suku pertama barisan tersebut adalah . . . . A. (p + q) B.
5.
(p + q)
2 C. p + q + 1 D. -(p + q) E. -(p + q + 1) Pembahasan: p Sp = q → ( 2a + ( p − 1) b ) = q 2 p2 b pb ap + − = q ...(1) 2 2 q Sp = p → ( 2a + ( q − 1) b ) = p 2 q2 b qb aq + − = p ...(2) 2 2 (1) dan (2) eliminasi (1) × q (2) × p
p2 qb pqb − = q2 2 2 p2 qb pqb apq + − = p2 2 2 apq +
( p q − pq ) b = q 2
2
2
( p − q)b = pq 2
b=-
2
− p2
( q − p )( q + p ) 2( p + q) pq
...(3)
5
WWW.E-SBMPTN.COM
(
)
p+ q 2a + ( p + q ) − 1 b 2 p q = 2a + ( p − 1) b + qb + 2a + (q − 1) b + pb 2 2 p pqb q pqb = 2a + ( p − 1) b + + 2a + (q − 1) b + 2 2 2 2 = q + p + pqb
Sp+q =
(
)
(
)
(
)
(
)
substitusi (3) -2 ( p + q ) = p + q + pq pq = - ( p + q) Jawaban: D 6.
Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6.655 + . . . adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2010) A. log (551150) B. log (525 111225) C. log (2525 111225) D. log (2751150) E. 1.150 log (5) Pembahasan: log 5 + log 55 + log 605 + . . . barisan aritmetika karena log 55 – log 5 = log 605 – log 55 log 11 = log 11 = b diketahui: a = log 5 b = log 11 50 (2a + 49b) 2 = 25 (2log5 + 49log11 )
S50 =
= 50log5 +1225log11
( = log (25
= log 550 × 111225 25
)
× 111225
) Jawaban: C
7.
6
Diketahui barisan dengan suku pertama U1 = 15 dan memenuhi Un – Un – 1 = 2n + 3, n ≥ 2. Nilai U50 + U2 adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2010)
WWW.E-SBMPTN.COM A. 2.688 B. 2.710 C. 2.732 D. 2.755 E. 2.762 Pembahasan: Un – Un – 1 = 2n + 3 Un = Un – 1 + 2n + 3 n = 2 U2 = U1 + 7 = 22 n = 3 U3 = U2 + 9 = U1 + 7 + 9 n = 4 U4 = U3 + 11 = U1 + 7 + 9 + 11 maka U50 = U1 + S49 di mana S49 jumlah 49 suku pertama dari deret 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + U49 49 S49 = ( 2a + 48b ) 2 49 = ( 2 × 7 + 48 × 2 ) 2 = 2.695 maka U50 = U1 + 2.695 = 2.710 maka U50 + U2 = 2.732
8.
Jawaban: C
Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi 1 1 1 p + q + r = s. Nilai p + q adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2010) 2 3 4 A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 E. 56 Pembahasan: p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = 1 maka q = p + 1 r = p + 2 s = p + 3
7
WWW.E-SBMPTN.COM 1 1 1 p+ q+ r = s 2 3 4 1 1 1 p + ( p +1) + ( p + 2 ) = p + 3 × 12 2 3 4 6P + 4P + 4 + 3P + 6 = 12P + 36 13P + 10P = 12P + 36 P = 26 maka q = 27 p + q = 53 Jawaban: C Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 42, maka kelilingnya adalah . . . . (Soal UMB Tahun 2009) A. 6 B. 12 C. 13 D. 12 7 E. 15 Pembahasan: misal segitiga siku-siku itu a – b, a, a + b dengan [a + b]2 = [a – b]2 + a2 a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + a2 4ab = a2
9.
Luas = 42, maka 1 ( a − b ) × a = 42 2 1 1 a − a × a = 42 2 4 3 2 a = 42 8 a2 = 112 a=4 7 →b= 7 Keliling = K = 3a = 12 7
8
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM 10. Jika akar-akar persamaan suku banyak x4 – 8x3 + 2ax2 + (5b + 3)x + 4c – 3 = 0 diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Nilai a + b + c = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. -3 B. 1 C. 3 D. 5 E. 6 Pembahasan: misal akar x1, x2, x3, x4 di mana x1 < x2 < x3 < x4 atau x1 < x1 + 2 < x 1 + 4 < x1 + 6 b x1 + x2 + x3 + x4 = a x1 + x1 + 2 + x1 + 4 + x1 + 6 = 8 4x1 + 12 = 8 x1 = -1 maka x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5 maka polinomnya (x1 + 1)(x2 – 1)(x3 – 3)(x4 – 5) = 0 (x2 – 1)(x2 – 8x + 15) = 0 x4 – 8x3 + 14x2 + 18x – 5 = 0 dapat disimpulkan 2a = 14; 5b + 3 = 8; a = 7 b = 1 maka a + b + c = 5
4c – 3 = -15 c = -3 Jawaban: D
11. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara 2 suku disisipkan 4 buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S’. Perbandingan S dan S’ adalah . . . . A. n : 2n + 1 B. n : 3n + 1 C. n : 5n – 4 D. n : 5n + 4 E. n : 5n – 3 Pembahasan: Barisan pertama n Sn = ( 2a + ( n − 1) b ) 2
9
WWW.E-SBMPTN.COM
Barisan kedua menjadi m suku b b b’ = = 4 +1 5 berlaku Um = Un a + (m – 1)b’ = a + (n – 1)b (m – 1) = (n – 1)b – m = 5n – 4 maka n ( a + Un ) Sn = 2 Sm m a + U ( m) 2 n n = = m 5n − 4
Jawaban: C
Latihan Soal
10
1.
Diketahui 3 buah bilangan memiliki perbandingan 2 : 3 : 5. Jika bilangan kedua ditambah 2, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah . . . . A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100
2.
Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akarakarnya sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian f(x + 6) oleh x2 + 1 adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011)
3.
Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b – a = p + 5, d – c = 2p + 3, dan d = 6, maka nilai a adalah . . . . A. -5 B. -10 C. -15 D. -20 E. -25
WWW.E-SBMPTN.COM Jika Up = q dan Uq = p, maka Sp + q = . . . . 1 ( p + q) 2
B.
1 ( p + q )2 2
C.
1 ( p + q )( p + q +1) 2
A.
E.
1 ( p − q) 2
1 ( p + q )( p + q − 1) 2
D.
4.
11
07
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 7 BARISAN GEOMETRI a. Rumus Suku ke-n (Un) a. Un = arn – 1 b. Un = Up.rq, n = p + q Rasio (r) Un +1 U2 U3 = = ... = U1 U2 Un
a.
r=
b.
rn =
B.
Up Uq
,n= p−q
C. Suku Tengah (Ut), pada n ganjil Ut = a × Un
b.
t=
a.
1+ n 2
D. Jumlah n suku Pertama Sn =
(
) = a (1− r )
a rn − 1 r −1
n
1− r
1
WWW.E-SBMPTN.COM E. Deret Geometri Tak Hingga (S∞) a 1− r b. -1 < r < 1 syarat barisan konvergen a.
S∞ =
F. U1 U2 . . . Ut . . . Un = Utn n bilangan ganjil
Contoh Soal Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1, k, x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . . -
1 1 ( -1)n + 2 2
B.
-
1 1 ( -1)n − 2 2
C.
1 1 ( -1)n + 2 2
D.
n - ( -1)
E.
1 1 ( -1)n − 2 2
A.
1.
Pembahasan: • x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 a = 1 b = -(2k2 – k – 1) • x1, k, x2 barisan geometri k2 = x1x2 k2 = 3k + 4 k2 – 3k – 4 = 0 (k – 4)(k + 1) = 0 k = 4 atau k = -1 • kembali ke persamaan kuadrat untuk k = 4
2
c = 3k + 4
WWW.E-SBMPTN.COM P.K. x2 – 27x + 16 = 0 akar-akarnya bukan bilangan bulat (k ≠ 4) untuk k = -1 P.K. x2 – 2x + 1 = 0 akar-akarnya bulat yaitu x1 = 1, x2 = 1 • Barisan geometrinya menjadi 1, -1, 1 dengan r = -1 maka Un = arn – 1 n −1 = 1× ( -1)
=
( -1)n = - -1 n ( ) ( -1)1 Jawaban: D
2.
Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. 14 B. 24 C. 28 D. 32 E. 42 Pembahasan: • Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama
(
2S4 = 3 ( U2 + U4 )
) = 3 ar ( r
a r4 −1 2 r −1
4
)
−1
2
r −1
3r r +1 2r + 2 = 3r → r = 2 2=
• Misal barisan geometrinya a, 2a, 4a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r =2 a, 2a, 2a + 2, 4a, 4a + 2, 4a + 4, 4a + 6, 8a ekuivalen dengan
3
WWW.E-SBMPTN.COM a, 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6, 2a + 8, 2a + 10, 2a + 12 4a = 2a + 4 2a = 4 a=2 • Maka barisannya menjadi 2,
4,
6,
8,
10,
12,
14,
16
disisipkan • maka jumlah bilangan yang disisipkan 6 + 10 + 12 + 14 = 42 Jawaban: E Bentuk deret geometri bilangan 8,88888… adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2010) A.
3.
∞
n +1
∞
n +1
∞
n −1
1 8 10 n =1
∑
1 10 n =0
∑
8
C.
8
D.
0, 8
B.
1 10 n =0
∑
8
n
∞
1 10 n =1
∑
∞
E.
1 10 n =1
∑
n −1
Pembahasan: • 8,8888… = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + … = 8 (1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …) • Mencari rumus Un barisan geometri dengan a = 1, r = 0,1 Un = ar n −1 n −1
1 = 10
• Menyusun notasi sigma ∞
8,8888… = 8
∑U
n
n =1
4
WWW.E-SBMPTN.COM
∞
=8
1 10 n =1
∑
n +1
Jawaban: A
4.
Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga dikurangi 21, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga suku barisan aritmetika sama dengan . . . . (Soal UMB Tahun 2009) A. 8 B. 9 C. 15 D. 21 E. 28 Pembahasan: • Misal barisan aritmetikanya a – b, a, a + b • Barisan geometrinya a – b, a + 3, a + b – 21 maka (a + 3)2 = (a – b)(a + b – 21) . . . (1) • Sifat lainnya a + b + 9 = 3(a + 3) a + b + 9 = 3a + 9 b = 2 . . . (2) • pers (1) substitusi ke pers (2) (a + 3)2 = (a – 2a)(a + 2a – 21) a2 + 6a + 9 = -a(3a – 21) a2 + 6a + 9 = -3a2 + 21a 4a2 – 15a + 9 = 0 (4a – 3)(a – 3) = 0 3 maka a = atau a = 3 4 kita ambil a = 3 maka jumlah 3 bilangan semula a – b + a + a + b = 3a = 9 Jawaban: B
5.
Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U6 = 64 dan log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2, maka nilai U3 adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2009) A. 8 B. 6
5
WWW.E-SBMPTN.COM
C. 4 D. 2 E. 1 Pembahasan: • log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2 log (U2.U3.U4) = log 29 U2.U3.U4 = 29 U3 . U .U .r = 29 3 3 r U33 = 29 U3 = 23 = 8
6.
1 Barisan geometri diketahui Sn = 150 , Sn + 1 = 155, dan Sn + 2 = 157 . Maka suku pertamanya 2 adalah . . . . A. 72,5 B. 75 C. 80 D. 85,5 E. 90 Pembahasan: • Un + 1 = Sn + 1 – Sn arn = 155 – 150 arn = 5 . . . (1) • Un + 2 = Sn + 2 – Sn + 1 arn + 1 = 157,5 – 155 arn.r = 2,5 {substitusi (1)} 5r = 2,5 1 r157 = 2
•
Sn =
(
a 1− r n 1− r
) = 150
n 1 a 1 − 2 = 150 1 2 1 n a 1 − = 75 2 n
6
Jawaban: A
75 1 1− = 2 a n
a − 75 1 2 = a ... ( 2 )
= 150
1 2
WWW.E-SBMPTN.COM
1 n a 1 − = 75 2 n
75 1 1− = a 2 n
a − 75 1 2 = a ... ( 2 ) 1 n +1 a 1− 2 = 155 Sn +1 = 1 1− 2 1 n 1 a 1 − × = 75,25 2 2 a − 75 1 a 1− × = 75,25 a 2
{substitusi ( 2 )}
2a − a + 75 a = 75,25 2a a + 75 = 75,25 2 a + 75 = 155 a = 80
25 dan jumlah logaritma 3 semua suku-sukunya adalah 45log 5 – 35log 3. Suku ke-2 barisan itu adalah . . . . A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 Pembahasan: • log U1 + log U2 + log U3 + . . . + log U10 = 45log 5 – 35log 3 Deret geometri dengan 10 suku. Diketahui suku ketiga adalah
45 log U1U2U3 . . . U10 = log 5 335 45 5 U1U2U3U4U5U6U7U8U9U10 = 35 3
U3 r2
×
U3 545 U3U3 rU3 r 2U3 r 3U3 r 4 U3 r 5U3 r 6U3 r 7 = 35 r 3
7.
Jawaban: C
7
WWW.E-SBMPTN.COM
U310 r 25 =
545 335
10
45 25 25 5 r = 3 335
r 25 =
r
•
8.
U2 =
25 U3 = 3 =5 5 r 3
25
545 310 × 335 520
5 = 3
25
→r=
5 3
Jawaban: D
Diketahui U1, U3, U13, dan Un dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah . . . . A. 60 B. 63 C. 65 D. 68 E. 72 Pembahasan: • U1, U3, U13 barisan geometri U32 = U1U13 [a + 2b]2 = a[a + 12b] a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 12ab 4b2 = 8ab b = 2a • Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + 2b, a + 12b, Un a, a + 2(2a), a + 12(2a), Un
a,
5a,
25a,
Un = 125a
×5 ×5 ×5 • maka Un = 125a a + (n – 1)b = 125a a + (n – 1)(2a) = 125a (n – 1)(2a) = 124a n – 1 = 62 n = 63 Jawaban: B
8
WWW.E-SBMPTN.COM
1 1 1 Misal 3x, 4y, 5z membentuk barisan geometri, sementara , , membentuk barisan x y z x z aritmetika. Nilai dari + adalah . . . . z x 30 A. 16 B. 34 15 35 C. 17
E.
D.
39 19 41 21
Pembahasan: • 3x, 4y, 5z barisan geometri 16y2 = 15xz → xz =
•
16 y 2 15
1 1 1 , , barisan aritmetika x y z 2 1 1 = + y x z 2 x+z = y xz 2 15 ( x + z ) × = y 16 y2 15 32 (x + z) → x + z = y 32 15 2 2 x z x +z Nilai + = z x xz y=
9.
•
=
( x + z )2 − 2 xz xz
2 x + z) ( =
xz
−2
2
32 15 y − 2 = 34 = 2 15 16 y 15 Jawaban: B
9
WWW.E-SBMPTN.COM
10. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali suku pertama dan terakhirnya 2.500. Jumlah logaritma semua suku-sukunya sama dengan lima kali logaritma 2 suku tengahnya dan kuadrat dari suku kedua sama dengan kali suku keempat. Suku 5 kedua barisan itu adalah . . . . A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 E. 25 Pembahasan: • U1Un = 2.500 U1Un = 50
Ut = 50 • log U1 + log U2 + . . . + log Un = 5log Ut log U1U2 … Ut … Un = log Ut5 Utn = Ut5 n = 5 n +1 maka t = = 3 sehingga 2 U3 = 50 •
2 U22 = U4 5 2
2 U3 r = 5 U3 × r
•
10
502 2 = × 50 × r 5 r2 125 = r 3 maka r = 5 maka nilai U2 =
U3 50 = = 10 r 5
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal
1.
Hasil penjumlahan
A.
C.
B.
9 3 7 10 3 7 11 3 7 12 3 7
E.
13 3 7
D.
3 3 3 adalah . . . . 3 +3 +6 +12 9 81 729
2.
Diketahui barisan bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut (1), (2, 4, 8), (16, 32, 64, 128, 256), …. Suku ke-5 dari kelompok ke-10 adalah . . . . A. 285 B. 286 C. 287 D. 288 E. 289
3.
Misal sin θ, cos θ, tan θ, … adalah barisan geometri untuk beberapa θ ∈ R. Pada urutan ke berapa sukunya menjadi cosec θ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
11
WWW.E-SBMPTN.COM
12
08
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
UJI
AN
NA
Set 8 LOGARITMA A. Review Singkat Materi a. alog b = c – ac = b syarat numerous a, b > 0, a ≠ 1 b. Sifat-sifat 1. alog xy = alog x + alog y
x a = log x – alog y y 3. alog xm = m alog x 2.
a
log
logb p logb 1 = p = b loga loga loga 5. an logb m = m a logb n 6. alog b . blog c = alog c 7. alog 1 = 0 8. a alog b = b c. Persamaan alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x), f(x), g(x) > 0 4. alog b =
1
SIO
NA
L(
UN
)
WWW.E-SBMPTN.COM
d.
Pertidaksamaan a log f(x) < alog g(x), f(x), g(x) > 0 1. f(x)< g(x) bila a > 1 2. f(x) > g(x) bila 0 < a < 1
Contoh Soal 1.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013) A. {x ∈ R | x < 0 atau x > 2} B. {x ∈ R | 0 < x < 2} C. {x ∈ R | x ≤ 0 atau x > 2} D. {x ∈R | 0 ≤ x < 2} E. {x ∈ R | x > 2} Pembahasan: log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 log (52x + 25) > x – xlog 2 + log 26 log (52x + 25) > log 10x – log 2x + log 26 log (52x + 25) > log 5x . 26 maka 52x + 25 > 5x . 26 [5x]2 – 26 . 5x + 25 > 0 (5x – 25)(5x – 1) > 0 pembuat nol x = 2, x = 0 garis bilangan _
+ 0
+
x
2
Hp = {x | x < 0 atau x > 2, x ∈ R} Jawaban: A 2.
Nilai x dengan x > 4 yang memenuhi ( x − 4 ) x UI Tahun 2012) A. -1 < x < B. x > 4
2
3 2
2
−4
>
( x − 4 ) x −5
adalah . . . . (Soal SIMAK
WWW.E-SBMPTN.COM C. x > 5 3 atau x < 1 2 3 E. x > atau x < -1 4 D. x >
Pembahasan: Karena x > 4 maka x – 4 > 0 sehingga
( x − 4 )x ⇒ ( x − 4)
2
−4
x2 − 4
>
( x − 4 ) x −5
> ( x − 4)
x −5 2
x −5 2 2 ⇒ 2x − 8 > x − 5 ⇒ x2 − 4 >
⇒ 2x2 − x − 3 > 0 ⇒ ( 2 x − 3 )( x +1) > 0
3 atau x = -1 2 garis bilangan _ + akar x =
-1 3 Hp = x | x < -1atau x > 2
+
x
3 2
Jawaban: D Batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2logx < SIMAK UI Tahun 2010)
log 10
adalah . . . . (Soal
3 17 17 3 − <x< + 4 4 4 4
C.
3 17 3 ≤x< + 2 4 4
B.
x>
1 ( 2 x -3)-1
3 17 − 4 4
A.
3.
3
WWW.E-SBMPTN.COM 3 17 3 <x< + 2 4 4
D.
3 17 3 ≤x< + 2 4 4
E.
Pembahasan: 2logx <
1 ( 2 x −3)-1
log 10
syarat: 1) x > 0 . . . Hp1 2) (2x – 3)-1 > 0
1 >0 2x − 3 3 akar x = 2 garis bilangan
_
+
3 2 3 Hp2 = x | x > 2
3) (2x – 3)-1 ≠ 1 1 ≠1 2x − 3 2x – 3 ≠ 1 x ≠ 2 . . . Hp3
Penyelesaian pertidaksamaan 2logx < 2
logx <
1 ( 2 x −3)-1 10
log 10
log ( 2 x − 3 )
2logx < -2log ( 2 x − 3 ) logx < -log ( 2 x − 3 )
4
-1
x
WWW.E-SBMPTN.COM logx < log (2 x − 3)
-1
1 2x − 3 1 x− <0 2x − 3 2x2 − 3x − 1 <0 2x − 3 x<
3– 9+8 4 3 – 17 = 4
x1,2 =
akar pembilang (Rumus ABC) x1 =
3 − 17 , 4
x2 =
akar penyebut x =
3 2
3 + 17 4
garis bilangan –
+ 3 − 17 4
Hp3 = x <
– 3 2
+
x
3+ 17 4
3 − 17 3 3 + 17 ∪ <x< 4 2 4
maka Hptotal Hptotal = Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3
3 17 − 4 4
0
3 17 3 + Hptotal = x | < x < 4 4 2 4.
3 2
3 17 + 4 4
2
Jawaban: D
Jika p dan memenuhi persamaan 3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6), maka nilai p + q = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. -6 B. -3 C. 3
5
WWW.E-SBMPTN.COM
D. 6 E. 12 Pembahasan: 3 log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6)
(( (( )) ))
(( ))
1 ⇒ 33 log 4 3 xx − 7 = 33 log 1 + 33 log 3 xx ⇒ log 4 3 − 7 = log 3 + log 3 3 2 x 2 3 + 6 x +6 ⇒ 33 log 4 3 xx − 7 = 33 log 3 ⇒ log 4 3 − 7 = log 3 3 2 x 2 3x + 6 +6 ⇒ 4 3 xx − 7 = 3 ⇒ 4 3 −7= 3 3 2 ⇒ 3 xx 2 − 12 3 xx + 27 = 0 ⇒ 3 − 12 3 + 27 = 0
(( (( )) ))
(( ))
2 2
+ 6 + 6
( ) (( )) ( ) (( )) (( )) ⇒ ( 3 − 9 )( 3 − 3 ) = 0 ⇒ ( 3 − 9 )( 3 − 3 ) = 0 x x
x x
⇒ 3 xx = 9 atau 3 xx = 3 ⇒ 3 = 9 atau 3 = 3 ⇒ x1 = 2 atau x2 = 1 ⇒ x1 = 2 atau x2 = 1 ⇒ p = 2 atau q = 1 ⇒ p = 2 atau q = 1 maka p + q = 3 maka p + q = 3 Jawaban: C Himpunan penyelesaian |log(x – 1)| < 1 adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. {x | 11 < x < 110} B. {x | -11 < x < 110} C. {x | -9 < x < 110} 11 D. x | - < x < 11 10 11 E. x | < x < 11 10
5.
Pembahasan: |log(x – 1)| < 1 • syarat x–1>0 x > 1 . . . Hp1 • |log(x – 1)| < 1 -1 < log(x – 1) < 1
6
WWW.E-SBMPTN.COM
log
1 < log ( x − 1) < log10 10
1 < x − 1< 10 10 11 < x < 11 ... Hp2 10 Hptotal = Hp1 ∩ Hp2
•
x 1
11
11 10
11 Hptotal = x | < x < 11, x ∈ R 10 6.
Nilai x yang memenuhi 9 A. -5 dan 3 B. 2 dan 3 C. 3 dan 5 D. 3 E. 5 Pembahasan: 32 3
3
3
log( 2 x +1)
log( 2x+1)
2
+ 22 +2
2
2
log( x +3 )
log( x +3 )
2
3
Jawaban: E
log( 2 x +1)
+4
2
log( x +3 )
= 85 adalah . . . .
= 85 = 85
( 2 x +1)2 + ( x + 3)2 = 85 4 x 2 + 4 x +1+ x 2 + 6 x + 9 = 85 5 x 2 +10 x − 75 = 0 x 2 + 2 x − 15 = 0
( x + 5)( x − 3) = 0 x1 = -5 atau x2 = 3 test
2x + 1
x+3
x1 = -5
-9 x
-2 x
bukan solusi
x2 = 3
7
6
solusi
solusinya x = 3 Jawaban: D
7
WWW.E-SBMPTN.COM log xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0 x > y > 0, x, y ≠ 1, nilai x + y adalah . . . .
x
A.
7.
B.
D.
C.
E.
3+ 2 7 5 2+ 3 1+ 5
Pembahasan: log xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0
x
logxy logxy log ( x − y ) log ( x − y ) + =0 × × logx logy logx logy
[logxy ]2 + log ( x − y )
2
=0
log xy = 0 dan log (x – y) = 0 xy = 1 x – y = 1 . . . (2) 1 y = & (1) x (1) substitusi ke (2) 1 =1 x ⇒ x 2 + x − 1= 0 a = 1, b = 1, c = -1 x−
⇒ x1,2 =
-b – b2 − 4 ac 2a
-1– 5 2 -1+ 5 ⇒x= 2 =
8
{ x > 0}
WWW.E-SBMPTN.COM
y=
1 x 1
⇒y=
-1+ 5 2 2 5 +1 ⇒y= × 5 −1 5 +1 5 +1 2
=
5 −1 5 +1 + 2 2 x+y= 5
maka x + y =
Jawaban: C
log45 + log15 − log25 n −1 + + 5 log125 1+ log5 + log2 5
8. Un menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika logUn = 5 + log15 − log25 n −1 + + log5n−1 , maka rumus Un adalah . . . . 5 2 log125 1+ log5 + log 5 A. 0,3 × 10n B. 27 × 10n C. 10 × 3n 270 10n E. 9 × 10n Pembahasan:
D.
logUn = =
log45 + log15 − log25 n −1 + + log5n-1 5 log125 1+ log5 + log2 5 log27 + 3
log10n-1 + log5n-1 log10 log10 − log5
1 = log27 + ( n − 1) log2 + ( n − 1) log5 3 = log3 + ( n − 1) log10 = log3 × 10n-1 → Un = 3 × 10n-1 = 0,3 × 10n Jawaban: A
9
WWW.E-SBMPTN.COM x x Harga x yang memenuhi persamaan 3 + 2 2 − 3 − 2 2 = 3 adalah . . . . 2 A. 3-2 2 log2
9.
3-2 2
C.
1+ 2
D. E.
2
log 1+ 2
3
log2
B.
log3
log2
(
)
Pembahasan: x x 3 3 + 2 2 x − 3 − 2 2 x = 3 3+2 2 − 3−2 2 = 2 2 x x 3 2 +1 x − 2 − 1 x = 3 2 +1 − 2 − 1 = 2 23 x 1 = 2 +1 x − 1 x 3 2 +1 − 2 + 1 x = 2 2 + 1 2 x misal 2 +1 x = y misal 2 +1 = y 1 3 y− 1=3 y− y =2 y 2 2y2 − 2 = 3y 2y2 − 2 = 3y 2y2 − 3y − 2 = 0 2y2 − 3y − 2 = 0 ( 2 y +1) ( y − 2 ) = 0 ( 2 y +1 ) ( y − 2) = 0 1 atau y = 2 y=-1 y =-2 atau y = 2 2 x x 1 2 +1 x = - 1 2 +1 x = 2 2 +1 = - 2 2 +1 = 2 2
pilihan pertama tidak mungkin x
karena 2 +1 > 0 maka x
2 +1 = 2 x
log 2 +1 =
2 +1
x=
2 +1
log2
2 +1
log2 Jawaban: C
10
WWW.E-SBMPTN.COM
10. Bila log 2 = a, log 3 = b, dan 2x+1 = 32-3x, maka nilai x + 1 adalah . . . . 5a A. 3a + b 5a 3a − b
C.
5b a + 3b
B.
5b a − 3b
E.
3a + b 5a
D.
Pembahasan: 2x+1 = 32-3x 2-3 x ⇒ log2 xx +1 +1 = log32-3 x ⇒ log2 = log3 ⇒ ( x +1) log2 = ( 2 − 3 x ) log3 ⇒ ( x +1) log2 = ( 2 − 3 x ) log3 ⇒ ( x +1) a = ( 2 − 3 x ) b ⇒ ( x +1) a = ( 2 − 3 x ) b ⇒ ax + 3bx = 2b − a ⇒ ax + 3bx = 2b − a ⇒ x ( a + 3b ) = 2b − a ⇒ x ( a + 3b ) = 2b − a 2b − a ⇒ x = 2b − a ⇒ x = a + 3b a + 3b 2b − a a + 3b ⇒ x +1= 2b − a + a + 3b ⇒ x +1= a + 3b + a + 3b a + 3b a + 3b 5b ⇒ x +1 = 5b ⇒ x +1 = a + 3b a + 3b Jawaban: C
Soal Latihan 1.
Diketahui 2log 2log 3log x = 2log 3log 2log y = 0, maka x + y adalah . . . . A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 E. 18
11
WWW.E-SBMPTN.COM Bila x, log3, dan log4 adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai x yang mungkin adalah . . . . A.
2.
log4 dan
log12 log12
log
4 dan 3
C.
log
4 saja 3
D.
log12 saja
B.
E. tidak ada yang memenuhi Apabila x memenuhi A.
3.
B. C. D. E.
1 2 1 2 4 8
2
2
logx = 3 , maka nilai dari 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... adalah . . . . log2 x − 8 log2
Perhatikan xy = 10a, yz = 10b, xz = 10c. Nilai dari log x + log y + log z adalah . . . . A. abc abc B. 2 C. a + b + c D. 2a + 2b + 2c a+b+c E. 2
5.
Diketahui persamaan 2x – 3log y = 7 2y + 3log x = 9 maka nilai x + y adalah . . . . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8
4.
12
09
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 9 PELUANG
A. Ringkasan Materi a. Aturan Perkalian m cara n cara dan = m × n cara kejadian 1 kejadian 2
b. Aturan Tambah
c. d.
m cara n cara atau =m+n kejadian 1 kejadian 2 Faktorial n (n!) n! = n(n – 1)(n – 2) ... 1 Permutasi (Kejadian Menyusun Objek) 1. permutasi n unsur = n! 2. permutasi k unsur dari n unsur
n nPk = Pk =
3. Permutasi unsur berulang P
n k1 , k2
n! (n − k ) !
=
n! k1 !k2 !
4. Permutasi siklis n unsur = n!
1
WWW.E-SBMPTN.COM e. Kombinasi (Kejadian Memilih)
C kn =
n! k !(n − k ) !
f. Peluang Suatu Kejadian A
P ( A) =
n ( A) n(S)
A = kejadian yang diharapkan S = kejadian yang mungkin
Contoh Soal 1.
Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah . . . . (UM UGM 2013) A. 13 B. 11 C. 9 D. 5 E. 3 Pembahasan: misal banyak anak laki-laki = x banyak anak perempuan = 15 – x banyak kemungkinan terambil 1 laki-laki dan 1 perempuan C1x C115- x = 26
(15 − x ) ! x! × = 26 ( x − 1) ! (14 − x ) ! x × (15 − x ) = 26
x yang memenuhi x = 13 maka banyak perempuan 2 orang sehingga selisihnya 11 orang Jawaban: B 2.
2
Jika L(a) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola y = ax + x2, 0 < a < 1 1, maka peluang nilai a sehingga L(a) ≥ adalah . . . . (SBMPTN 2013) 48
WWW.E-SBMPTN.COM
A.
C.
B.
E.
D.
11 12 7 8 5 6 3 4 1 2
Pembahasan: 1 • misal A = kejadian L(a) ≥ 48 • Daerah yang dibatasi oleh y = ax + x2 dan sumbu X Luasnya bisa menggunakan D D 6 a2
L=
•
D = b2 – 4ac → D = a2 2 2 3 maka L = a a = a 2 6 ×1 6 1 L(a) ≥ 48 ⇒
1 1 a3 ≥ ⇒ a3 ≥ 6 48 8 1 a≥ 2
1 1 , maka a ≥ 48 2 sedangkan 0 < a < 1 kalau kita gambar pada garis bilangan maka agar L(a) ≥
a 0
1 2
1
n(A) =
1 2
n(S) = 1
3
WWW.E-SBMPTN.COM
maka peluangnya P ( A ) =
3.
n ( A) n(S)
=
1 2
Jawaban: E
Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan angka kedua mempunyai selisih 2 adalah . . . . (SBMPTN 2013) A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 E. 160 Pembahasan: Bilangan ratusan terdiri dari 3 angka ratusan puluhan satuan Angka ratusan dan puluhan selisih 2 adalah
(1, 3)( 3, 1) (2, 4 )( 4, 2 ) (3, 5 )( 5, 3) (4, 6 )( 6, 4 ) 15 kemungkinan (5, 7 )(7, 5) (6, 8 )(( 8, 6 ) (7, 9 )( 9, 7 ) ( 2, 0 ) maka 15
10
ratusan puluhan satuan banyak angkanya adalah 15 × 10 = 150 Jawaban: D Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah . . . . (SBMPTN 2013) 1 A. 60
B.
4
1 30
4.
C.
WWW.E-SBMPTN.COM
D. E.
1 15 1 10 1 5
Pembahasan: Ada 6 orang duduk berjajar n(S) = 6! L1L2 P1P2P3 L3 Kelompok perempuan dianggap 1 bagian dari 4 bagian, maka cara menyusun 3 laki-laki dan 1 kelompok wanita adalah 4!. Karena kelompok perempuan terdiri dari 3 orang, maka cara menyusun 3 wanita pada kelompok wanita adalah 3! maka n(A) = 4! × 3! Peluangnya P ( A) =
n ( A) n(S)
=
4! × 3! 6 1 = = 6! 30 5 Jawaban: E
5.
Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. Andi mengambil 1 bola secara acak lalu mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melakukan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapatkan jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 adalah . . . . (SBMPTN 2013) A. 6 B. 12 C. 15 D. 16 E. 18 Pembahasan: 3 angka berjumlah 10 2, 3, 5 banyak susunan 3! = 6 1, 4, 5 banyak susunan 3! = 6 total kejadian 6 + 6 = 12 kejadian Jawaban: B
5
WWW.E-SBMPTN.COM Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 4], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah . . . . (SBMPTN 2013) A. 0 1 B. 3 2 C. 3 5 D. 6
6.
E. 1
Pembahasan: Suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1 tidak memiliki akar (pembuat nol) bila D>0 2 b – 4ac > 0 1 a > b2 ... (1) 4 sedangkan a, b dipilih dari selang [0, 4] atau 0 ≤ a ≤ 4 dan 0 ≤ b ≤ 4 karena a, b ∈ R, perlu kita gambar grafiknya a a= 1 1 4
1 2 b 4
n(S) = 1 × 1 = 1 n(A)
b n(A) adalah sekumpulan (b, a) sehingga 1 a > b2 ... (1) 4 1 1 3 n ( A ) = (1) + (1) 3 4 4 1 3 10 5 n ( A) = + = = 12 4 12 6 n ( A) 5 makaa P ( A ) = = n(S) 6 Jawaban: D
6
WWW.E-SBMPTN.COM 7.
Di dalam kotak terdapat 2 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . . (SBMPTN 2012)
A.
C.
B.
E.
D.
7 8 6 8 5 8 2 8 1 8
Pembahasan: Kondisi banyak bola merah 2 kali lebih banyak bola putih adalah A = (2P, 4M, 1B) → n(A) = 1 8 sedangkan n(S) = C7 =
P ( A) =
n ( A) n(S)
=
8! =8 1!7!
1 8 Jawaban: E
8.
Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masingmasing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah . . . . (SBMPTN 2012) A. 10 B. 20 C. 25 D. 28 E. 58 Pembahasan: A
B
mobil A
mobil B
7
WWW.E-SBMPTN.COM Pilihan 1: 3 orang di mobil A dan 2 orang di mobil B Pilihan 2: 2 orang di mobil A dan 3 orang di mobil B Banyak kemungkinan menyusun/menempatkan penumpang adalah 5! 5! C35C22 + C25C33 = + = 20 cara 3! 2! 2! 3! Jawaban: B 9.
Sepuluh titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah . . . . (SNMPTN 2011) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 E. 300 Pembahasan: C310 =
10! 10 × 9 × 8 × 7! = = 120 segitiga 3!7! 3 × 2 × 7! Jawaban: C
10. Banyak siswa laki-laki 10 orang dan siswa perempuan 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 10 orang dan terdiri atas paling sedikit 2 orang perempuan dan paling banyak 4 orang perempuan adalah . . . . (SNMPTN 2011) A. 4.800 B. 3.150 C. 2.700 D. 2.300 E. 2.250 Pembahasan: Siswa terdiri dari 10 laki-laki dan 5 perempuan 2 perempuan 10 orang C 810 C25 8 laki-laki 3 perempuan 10 orang C710 C35 7 laki-laki 4 perempuan 10 orang C 610 C 45 6 laki-laki
8
WWW.E-SBMPTN.COM maka banyak kemungkinan formasi panitia adalah 5! 10! 5! 10! 5! 10! × × + × + 8!2! 2!3! 7!3! 3!2! 6! 4! 4!1! = 45 × 10 +120 × 10 + 210 × 5 = 2.700
C 810 C25 + C710 C35 + C 610 C 45 =
Jawaban: C
Latihan Soal
1.
Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 buah bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . .
A.
C.
B.
E.
4 33 16 55 1 12
Diketahui segilima ABCDE, dengan A(0, 2), B(4, 0), C(2π + 1, 0), D(2π + 1, 4), dan E(0, 4). Titik P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul adalah . . . . (SNMPTN 2011)
A.
C.
B.
D. E.
2.
D.
1 330 2 33
3 8 1 4 1 2 5 16 5 8
9
WWW.E-SBMPTN.COM Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah . . . . (SNMPTN 2011) A. 600 B. 605 C. 610 D. 620 E. 625
4.
Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah . . . . (SNMPTN 2011) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 E. 48
5.
Ada 5 orang, 2 di antaranya adik kakak, duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah . . . . (SNMPTN 2011)
B.
E.
10
C. D.
1 120 1 60 1 24 1 5 2 5
A.
3.
10
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MATEMATIKA
MP
TN
Set 10 TEOREMA SISA A. Ringkasan Materi a. Suatu polinom p(x) bila dibagi (x – a) maka sisanya (S) S = p(a) b. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b) maka sisanya (S(x))
( x − a) b−a
p (b ) +
( x − b) a−b
p (a)
S(x) =
c. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) maka sisanya (S(x))
( x − a )( x − b ) ( x − b )( x − c ) ( x − a )( x − c ) p (c ) p (a) + p (b ) + ( c − a )( c − b ) ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c )
S(x) =
Bila p(x) habis dibagi (x – a) p(a) = 0 Bila (x – a) faktor dari p(x) maka p(a) = 0 Untuk polinom derajat 3, p(x) = 0 ax3 + bx2 + cx + d = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku
1.
2.
d. e. f.
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 =
c a
1
WWW.E-SBMPTN.COM 3.
x1 × x 2 × x 3 =
d a
g. Untuk p(x) polinom derajat 4 dan p(x) = 0 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku b a
1.
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -
h.
2.
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =
3.
x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -
4.
x1 × x 2 × x 3 × x 4 =
c a
d a
e a
Mencari akar polinom derajat tiga atau lebih bisa menggunakan skema Horner
Contoh Soal 1.
2
Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2 Pembahasan: f(x) habis dibagi (x – 1) f(1) = 0 x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) ... (1) substitusi x = 1 1 + a + b – 10 + 15 – 6 = 0 a + b = 0 ... (2) turunkan pers (1) 4x3 + 3ax2 + 2(b – 10)x + 15 = f’(x)(x – 1) + f(x) . 1 masukkan x = 1 4 + 3a + 2b – 20 + 15 = 0 3a + 2b = 1 . . . (3) eliminasi (2) dan (3) akan didapat b = -1 Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM 2.
Diketahui g(x) = ax2 – bx + a – b habis dibagi x – 1. Jika f(x) adalah suku banyak yang bersisa a ketika dibagi x – 1 dan bersisa 3ax + b2 + 1 ketika dibagi g(x), maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 253) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3 Pembahasan: • g(1) = 0 → a–b+a–b=0 f(1) = a 2a – 2b = 0 a = b . . . (1) 2 • f(x) : g(x) → S(x) = 3ax + b + 1 f(x) = g(x) . h(x) + 3ax + b2 + 1 substitusi x = 1 f(1) = g(1) . h(1) + 3a + b2 + 1 a = 0 . h(1) + 3a + b2 + 1 2a + b2 + 1 = 0 substitusi (1) 2a + a2 + 1 = 0 (a + 1)2 = 0 a = -1 Jawaban: A
3.
Diketahui f(x) = x3 – (a – b)x2 – x + b + 1 habis dibagi oleh (x – 1). Jika kurva y = f(x) bersinggungan dengan garis x + y = -1 di titik (2, -3), maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 559) A. -4 B. -2 C. 1 D. 3 E. 5 Pembahasan: • f(1) = 0 1 – (a – b) – 1 + b + 1 = 0 -a + 2b = -1 . . . (1) • f(x) bersinggungan dengan x + y = -1 f’(x) = mgs = -1 3x2 – 2(a – b)x – 1 = mgs
3
WWW.E-SBMPTN.COM
substitusi x = 2 3(2)2 – 2(a – b)2 – 1 = -1 12 – 4a + 4b – 1 = -1 -4a + 4b = -12 a – b = 3 . . . (2) (1) dan (2) dieliminasi maka a = 5 Jawaban: E
4.
Diketahui sisa pembagian f(x) = x4 – a2x3 + a2x2 – 2a – 3 oleh x + 1 adalah a dan a > 0. Titik minimum grafik f adalah . . . . (SNMPTN 2011 Kode 559) A. (1, -6) B. (0, -7) C. (2, -7) D. (-6, 1) E. (1, -7) Pembahasan: • f(-1) = a 2 2 1 + a + a + – 2a – 3 = a 2a2 – 3a – 2 = 0 (2a + 1)(a – 3) = 0 • •
a=-
1 atau a = 2 2
ambil a = 2 (a > 0) f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 – 7 f ’(x) = 4x3 – 12x2 + 8x f “(x) = 12x2 – 24x + 8 syarat maksimum, minimum f ‘(x) = 0 4x3 – 12x2 + 8x = 0 4x(x2 – 3x + 2) = 0 4x(x – 2)(x – 1) = 0 f ‘(0) = -7 f “(0) = 8 > 0 (minimum) f ‘(2) = -7 f “(2) = 8 > 0 (minimum) f ‘(1) = 0 f “(1) = -4 < 0 (maksimum) Jawaban: B dan C
5.
4
Jika suku banyak p(x) dibagi dengan (x + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi (x – 1) memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p(x) dengan pangkat x genap adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013 Kode 131)
WWW.E-SBMPTN.COM A. 0 B. 3 C. 6 D. 10 E. 20 Pembahasan: p(-1) = 13 p(1) = 7 bila p(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . . + a0 bila n ganjil maka p(-1) = -an + an-1 – an-2 + . . . + a0 p(1) = an + an-1 + an-2 + . . . + a0 + 13 + 7 = 2[an-1 + an-3 + . . . + a0] 10 = an-1 + an-3 + . . . + a0 6.
Jawaban: D
Diketahui suku banyak f(x) bersisa -2 bila dibagi x + 1, bersisa 3 bila dibagi x – 2. Suku banyak g(x) bersisa 3 bila dibagi x + 1 dan sisa 2 bila dibagi x – 2. Jika h(x) = f(x) . g(x), maka sisa h(x) dibagi x2 – x – 2 adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659/578/559) A. 3x – 2 B. 4x – 2 C. 3x + 2 D. 4x + 2 E. 5x – 2 Pembahasan: • f(-1) = -2 f(2) = 3 • g(-1) = 3 g(2) = 2 h(x) dibagi x2 – x – 2 memiliki sisa S(x) = ax + b, maka h(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b f(x) . g(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b x = -1 → f(-1) . g(-1) = -a + b = -6 x = 2 → f(2) . g(2) = 2a + b = 6 – -3a = -12 a = 4 → b = -2 sehingga S(x) = 4x – 2 Jawaban: B
5
WWW.E-SBMPTN.COM Diketahui f(x) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x3 sama dengan 1, yang habis dibagi (x – 3)(x + 1). Jika f(4) = 30, maka f(2) = . . . . (Soal UM UGM Tahun 2006 Kode 372) A. -8 B. -7 C. -12 D. 0 E. 7 Pembahasan: misal • f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + p) x=4 f(4) = 5(4 + p) = 30 p=2 • f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 2) f(2) = (-1)(3)(4) f(2) = -12 Jawaban: C
8.
Diketahui p(x) = ax5 + bx – 1, dengan a dan b konstan. Jika p(x) dibagi dengan (x – 2.006) bersisa 3, maka bila p(x) dibagi dengan (x + 2.006) akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 420) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 E. -5 Pembahasan: • p(2.006) = 3 a(2.006)5 + b(2.006) – 1 = 3 a(2.006)5 + b(2.006) = 4 • p(-2.006) = a(-2.006)5 + b(-2.006) – 1 = -a(2006)5 – 2.006b – 1 = -(a(2006)5 + b(2.006)) – 1 = -4 – 1 = -5 Jawaban: E
7.
6
WWW.E-SBMPTN.COM 9.
Diketahui h(x) = x2 + 3x – 4 merupakan salah satu faktor dari g(x) = x4 + 2x3 – ax2 – 14x + b. Jika g(x) dibagi dengan x + 1 akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 121) A. 0 B. 3 C. 9 D. 12 E. 24 Pembahasan: g(x) : x2 + 3x – 4 g(x) : (x + 4)(x – 1) g(1) = 0 g(-1) = y 1 + 2 – a – 14 + b = 0 1 – 2 – a + 14 + b = y – 4 – 28 = -y maka y = 24 Jawaban: E
E
10. Diketahui p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b dengan q(x) suatu suku banyak. Jika p(x) dibagi dengan (x + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan (x – 1) bersisa 20, maka jika p(x) dibagi dengan (x – 2) bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 320) A. -10 B. 0 C. 5 D. 15 E. 25 Pembahasan: p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b • -(-1) = 10 -a + b = 10 . . . (1) • p(1) = 20 a + b = 20 . . . (2) eliminasi (1) dan (2) didapat a = 5 b = 15 maka p(x)) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) + 5x + 15 sisa pembagian p(x) oleh x – 2 adalah p(2) = 5(2) + 15 p(2) = 25 Jawaban:
7
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal
8
1.
Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2
2.
Salah satu akar persamaan x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain persamaan tersebut adalah . . . . (Soal SPMB Tahun 2005 Kode 480) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2
3.
Diketahui f(x) = x3 – 5 x + 20, g(x) = 2x3 + 5x2 + 11, dan h(x) = x + 3. Jika a dan b merupakan masing-masing sisa hasil pembagian f(x) dan g(x) oleh h(x), maka a + b = . . . . (Soal SPMB Tahun 2005 Kode 280) A. -20 B. 10 C. 34 D. 118 E. 142
4.
Jika salah satu akar suku banyak f(x) = 0 adalah a, maka salah satu akar (x2 + 3x + 6) f(x + 2) = 0 adalah . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 521) A. a + 2 B. a + 3 C. a – 3 D. 2a E. a – 2
WWW.E-SBMPTN.COM Diketahui suku banyak g(x) = ax2 – bx – (a + b) habis dibagi x – 4 dan salah satu akar persamaan suku banyak f(x) = 0 adalah 4. Jika f(x) dibagi g(x) sisanya ax + b – 2, maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011)
A.
C.
B.
D. E.
5.
6 7 5 7 4 7 2 7 1 7
9
11
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 11 TRIGONOMETRI SEGITIGA A.
RINGKASAN MATERI a. Untuk segitiga siku-siku ABC A b
c
b.
c b ↔ cos ec C = b c a b cos C = ↔ sec C = b a c a tan C = ↔ cot an C = a c sin C =
B
a
tan x =
sin x cos x
C
c. sin2 x + cos2 x = 1 tan2 x + 1 = sec2 x cotan2 x + 1 = cosec2 x d. sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y
1
WWW.E-SBMPTN.COM e.
C b
a
Aturan Sinus a b c = = sin A sin B sin C
Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 – bc cos A b2 = a2 + c2 – ac cos B A c B c2 = a2 + b2 – ab cos C f. Sifat sudut pada kuadran Kuadran I sin α = cos (90 – α) cos α = sin (90 – α) tan α = cot an (90 – α) Kuadran II sin (180 – α) = -sin α sin (90 + α) = cos α cos (180 – α) = -cos α cos (90 + α) = -sin α tan (180 – α) = -tan α tan (90 + α) = -cot tanα Kuadran III sin (180 + α) = -sin α sin (270 – α) = -cos α cos (180 + α) = -cos α cos (270 – α) = -sin α tan (180 + α) = tan α tan (270 – α) = cot tanα Kuadran IV sin (360 – α) = -sin α sin (270 + α) = -cos α cos (360 – α) = cos α cos (270 + α) = sin α tan (360 – α) = -tan α tan (270 + α) = -cot tanα g. Jumlah sin dan cos A +B A −B cos 2 2 A +B A −B sin A - sinB = 2 cos sin 2 2 A +B A −B cos A + cosB = 2 cos cos 2 2 A +B A −B cos A − cosB = -2 sin sin 2 2 sin A + sinB = 2 sin
h. Sudut ganda 1. sin 2x = 2 sin x cos x 2. cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x 2 tan x 3. tan2x = 1− tan2 x
2
WWW.E-SBMPTN.COM
Contoh Soal 1.
Jika dalam segitiga ABC diketahui 5 sin A + 12 cos B = 13 dan 5 cos A + 12 sin B = 6 2 , maka sin C = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013) 1 A. 2 1 B. 2 2 1 C. 3 2 D. E.
3 3 5
Pembahasan: 5 sin A + 12 cos B = 13 5 cos A + 12 sin B = 6 2 masing-masing persamaan dipangkat-duakan
C
A
B
25 sin2 A + 144 cos2 B + 120 sin A cos B = 169 25 cos2 A + 144 sin2 B + 120 cos A sin B = 72 + 25 + 144 + 120 (sin A cos B + cos A sin B) = 241 169 + 120 sin (A + B) = 241 120 sin (A + B) = 72 72 120 3 sin (A + B) = 5
sin (A + B) =
Karena sifat sudut segitiga A + B + C = 180 → C = 180 – (A + B) → sin C = sin 180 – (A + B) → sin C = sin (A + B) → sin C =
Jawaban: E
3
WWW.E-SBMPTN.COM
2.
(
)
Diberikan koordinat titik O(0, 0), B -3, 7 , dan A(a, 0), dengan a > 0. Jika pada segitiga AOB, ∠OAB = α dan ∠OBA = β, maka cos
Kode 261) 1 A. 4 1 B. 2 4 1 C. 6 4
1 ( α + β ) = .... (Soal UM UGM Tahun 2013 2
7
D.
1 4
E.
14
Pembahasan: Ilustrasi
y o OB =
⇒ OB = 4
7
B
32 + 7
2
β P -3
θ O
a
misal ∠AOB = θ, berlaku θ + α + β = 180o α + β = 180o − θ α +β θ = 90o − 2 2 1 θ cos ( α + β ) = sin 2 2
Perhatikan ∆POB!
4
∠POB = 180o − θ cos ∠POB = -cos θ 3 cos θ = 4 1 3 ⇒ 1− 2 sin2 θ = 2 4 1 7 ⇒ sin2 θ = 2 8 1 7
A
α
1
x
∠POB = 180o − θ cos ∠POB = -cos θ 3 cos θ = 4 1 3 ⇒ 1− 2 sin2 θ = 2 4 1 7 ⇒ sin2 θ = 2 8 1 7 1 ⇒ sin θ = = 14 12 78 14 ⇒ sin θ = = 14 2 8 4
40o
Jawaban: E
D
3.
WWW.E-SBMPTN.COM
A
B
20o 50
C
Pada gambar, jika ∠CAD = 40o, ∠ACD = 20o, dan BC = 50, maka panjang ruas garis AD adalah .... (Soal UMB Tahun 2013 Kode 183) A. 25(sin 20°)2 B. 25(cos 20°)2 C. 25(tan 20°)2 D. 25(cot 20°)2 E. 25(sec 20°)2 Pembahasan: D Perhatikan BD BC ⇒ BD = 50 tan20o tan20o =
40o A
B
20o 50
C
Perhatikan BD sin 40o = AD BD ⇒ AD = sin 40o AD =
50 tan20o sin 40o
AD =
50 sin20o cos 20o ( 2 sin20o cos 20o )
AD = 25 sec2 20o Jawaban: E
5
WWW.E-SBMPTN.COM π Jika sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x, dengan < t ≤ π , maka nilai dari cos t 2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521) A.
2 1− ( x − 1)
B.
2 - 1− ( x − 1)
C.
2 - 1+ ( x − 1)
D.
-
4.
E.
1 1− ( x − 1)
2
1 1+ ( x − 1)
2
Pembahasan: sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x 1 1 ⇒ sin2 t 2 − 1 sin t 1− sin t
1− sin2 t =x 1− sin t maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1 Karena t kuadran II maka sin t = x – 1 > 0 sin t =
x −1 1
I x–1
maka cos t = - 1− ( x − 1) 2
dengan cos t < 0
t 1− ( x − 1) 5.
6
2
Jawaban: B
Diketahui segitiga dengan titik sudut (-3, 0), (3, 0), dan (3 cos θ, 3 sin θ) untuk 0 ≤ θ ≤ 2π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 8 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 Kode 334) A. 4 B. 3 C. 2
WWW.E-SBMPTN.COM D. 1 E. 0 Pembahasan: 1 ( alas )( tinggi) 2 C 1 Luas ∆ = × 6 × 3 sinθ = 8 2 3 t 8 B A sin θ = θ x 9 -3 3 8 8 sin θ = atau sin θ = 9 9 Luas ∆ =
maka θ yang memenuhi ada 4, karena θ mencakup semua kuadran Jawaban: A
Dalam segitiga ABC, jika sudut α berhadapan dengan sisi a dan sudut β berhadapan 1 tan ( α + β ) 2 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) dengan sisi b, maka 1 tan ( α − β ) 2 a−b A. a+b
B.
C.
D. E.
6.
a+b a−b a − 2b a+b a + 2b a+b a + 2b a−b
Pembahasan: C b
a A
a
misal ∠C = θ a + b + θ = 180o
b B
a b = sin α sinβ b a sinβ = b sin α → sinβ = sin α a
7
WWW.E-SBMPTN.COM 1 1 1 ( α + β ) sin ( α + β ) cos ( α − β ) 2 2 2 = 1 1 1 tan ( α − β ) sin ( α − β ) cos ( α + β ) 2 2 2 1 [sinα + sinβ] =2 1 [sinα − sinβ] 2 b sin α + sin α a+b a = = b sin α - sin α a − b a
tan
Jawaban: B 7.
8
Pada segitiga ABC diketahui sudut α, β, dan γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika a2(a + cos α) = 2 bc sin2 α, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. α = β B. α = γ C. β = γ D. α = β = γ E. salah satu sudut adalah siku-siku Pembahasan: a2(a + cos α) = 2 bc sin2 α a2(a + cos α) = 2 bc (1 – cos2 α) a2(a + cos α) = 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α) a2(a + cos α) – 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α) = 0 (1 + cos α) (a2 – 2 bc (1 – cos α)) = 0 (1 + cos α) (a2 – 2 bc + 2 bc cos α) = 0 • 1 + cos α = 0 cos α = -1 α = 180° (tidak mungkin) • a2 – 2 bc + 2 bc cos α = 0 a2 = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc cos α = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc = 0 (b – c)2 = 0 b = c β = γ Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM 8.
Diketahui bahwa a dan b adalah besar dua suku pada sebuah segitiga. Jika sin a + sin b = dan cos a + cos b = A. -1 B. -
1 6, maka cos (a – b) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010) 2
1 2 2
1 2
C. 0
D.
1 2
E. 1 Pembahasan: 1 sin a + sin b = 2 2 1 cos a + cos b = 6 2 pangkat dua sin2 a + sin2 b + 2 sin a sinb = cos2 a + cos2 b + 2 cos a cos b =
1 2
3 2
1 + 1 + 2 cos (a – b) = 2 cos (a – b) = 0 Jawaban: C Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 1 cm, BC = 2 cm, dan AC = k cm. Jika α adalah sudut
ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cosα < 7 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2008) 8 3 A.
9.
9
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: C
cosα =
α b = k cm
4 + k2 − 1 7 − <0 2×2×k 8 k2 + 3 7 = − <0 4k 8 2 2k + 6 − 7k <0 8k 2k 2 − 7k + 6 <0 8k ( 2k − 3) (k − 2 ) <0 8k =
a = 2 cm
A
B
c = 1 cm
a2 + b2 − c2 7 < 2ab 8
3 k = , k = 2, k ≠ 0 2 garis bilangan –
+
–
0 3 k < 0 atau < k < 2 2
+
k
2
3 k < 0 atau < k < 2 2 Jawaban: B
A.
119 10. Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui tan a = -4 dan cos 2 b = , dimana 45o < b < 90o, 169 maka nilai dari tan γ adalah ....
10
B. C. D. E.
5 53 6 53 7 53 8 53 9 53
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: 119 • cos 2 b = 169 ⇒ 2 cos2 β − 1 =
119 169
50 169 25 2 ⇒ cos β = 169 5 ⇒ cos β = 13 ⇒ 2 cos2 β =
B
12
12 ⇒ tan β = 5
b 5 • a + b + γ = 180o γ = 180o − ( α + β ) tan γ = - tan( α + β )
tan α + tanβ = - 1- tan α tanβ 12 -4 + 5 = - 12 1 − -4 5 8 8 = - - = 53 53 Jawaban: D
11
WWW.E-SBMPTN.COM
Soal Latihan 1.
Misalkan sudut pada segitiga ABC adalah A, B, C. Jika sin B + sin C = 2 sin A, maka nilai dari B C tan tan adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 504) 2 2 1 A. 3 B. C. D. E.
6
1 3 6 21 22
2.
Diketahui segitiga ABC dengan AC = 2, AB = 3, dan BC = 7 . Jika α menyatakan sudut BAC, β menyatakan sudut ABC, p = cos 2α dan q = cos 2β, maka 8p2 + 7q sama dengan .... (Soal UMB Tahun 2008 Kode 380) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
3.
Dalam segitiga ABC, diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c, maka b−c = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) b+c A.
B.
C.
12
4 3 1 2
1 (β − γ ) 2 1 cos ( α ) 2
sin
1 (β − γ ) 2 1 sin ( α ) 2 1 tan (β − γ ) 2 1 sin ( α ) 2
cos
WWW.E-SBMPTN.COM
D.
4.
1 (β − γ ) 2 1 cot ( α ) 2
tan
E.
Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui sudutb α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c, 1 maka a cos (β − γ ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) 2
A.
B.
C.
E.
D.
5.
1 (β − γ ) 2 1 tan ( α ) 2
tan
1 α 2 1 (b + c ) cos α 2 1 (b + c ) tan α 2
(b + c ) sin
1 α 2 1 (b + c ) csc α 2
(b + c ) cot
Perhatikan gambar berikut. γ b
a a
b
1 1 1 1 2 , maka .... Bila tan α × tan β + tan β × tan γ = 2 2 2 2 3 A. B. C. D. E.
a+c=b a + c = 2b a–c=b a – c = 2b a + b = 2c
13
12
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 12 TRIGONOMETRI 2 A.
RINGKASAN MATERI a. sin x = sin α k = 0, 1, 2, ... ⇒ x = α + k . 30o o o ⇒ x = 180 – α + k . 360 , k = 0, 1, 2, ... b. cos x = cos α k = 0, 1, 2, ... ⇒ x = + α + k . 360o, c. tan x = tan α k = 0, 1, 2, ... ⇒ x = α + k . 180o, d. A cos x + B sin x = k cos(x – α) dengan k = A 2 + B2 tanα =
B A
Penentuan kuadran α A > 0, B > 0 α kuadran I A < 0, B > 0 α kuadran II A < 0, B < 0 α kuadran III A > 0, B < 0 α kuadran IV
1
WWW.E-SBMPTN.COM e. Jumlah sin dan cos A +B A −B sin A + sinB = 2 sin cos 2 2 A +B A −B sin A − sinB = 2 cos sin 2 2 A +B A −B cos cos A + cosB = 2 cos 2 2 cos A − cosB = -2 sin f.
A +B A −B sin 2 2
1 sin A cosB = sin( A + B ) + sin( A − B ) 2 1 cos A sinB = sin( A + B ) − sin( A − B ) 2 1 cos A sinB = cos ( A + B ) + cos ( A − B ) 2 1 sin A sinB = - cos ( A + B ) − cos ( A − B ) 2
g.
sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y cos ( x ± y ) = cos x cos y ± sin x sin y tan( x ± y ) =
tan x ± tan y 1m tan x tan y
Contoh Soal 1.
Banyaknya solusi dari persamaan sin x + 4 2 cos x = 0 untuk -2π < x < 2π adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 Kode 236) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 Pembahasan: sin x + 4 2 cos x = 0 dipenuhi bila
2
sin x = 0 dan 4 2 cos x = 0
WWW.E-SBMPTN.COM •
sinx = 0 sin x = 0 sin x = sin 0o x = 0o + k × 360 o x = 180o + k × 360 o k = 0 x1 = 360o
x 2 = 180 o
k = -1 x 3 = -360o x 4 = -180o → {-180o , 180o } •
4
2 cosx = 0
2 cos x = 0 cos x = 0 cos x = cos 90o x = ± 90o + k × 360o k = 0 x1 = 90o x 2 = -90o
k = 1 x 3 = 450o x 4 = 270o → {-90o , 90o , 270o } Karena tidak ada irisan maka solsinya tidak ada Jawaban: A 2.
π Jika sin2 t(csc2 t – )(1 – sin t – sin2 t – sin3 t + ...) = x , dengan < t ≤ π , maka nilai dari cos t 2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521) A.
1− ( x − 1)
B.
- 1− ( x − 1)
C.
- 1+ ( x − 1)
D.
-
E.
2
2
2
1 1− ( x − 1)
2
1 1+ ( x − 1)
2
Pembahasan: sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x 1 1 ⇒ sin2 t 2 − 1 sin t 1− sin t 1− sin2 t =x 1− sin t
3
WWW.E-SBMPTN.COM maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1 Karena t kuadran II maka sin t = x – 1 > 0 sin t =
x −1 1 maka cos t = - 1− ( x − 1) 2
I x–1
dengan cos t < 0
t 1− ( x − 1)
2
Jawaban: B 3.
3π < x < 2π , 2
Untuk
-
banyaknya
nilai
( sin2x +
2 π 3 cos 2x − 5 = cos − 2x adalah .... 6
x
yang
memenuhi
)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 Pembahasan: 3 cos 2x + sin2x = A cos ( 2x − θ )
•
A=
( 3)
A=2
•
tanθ =
Bentuk
π θ= 6
2
1 3
+ 12
=
1 3 3
2 π Bentuk sin2x + 3 cos 2x − 5 = cos − 2x 6 π π Persamaan pada soal bisa dinyatakan 2 cos 2x − − 5 = cos − 2x 6 6 π cos 2x − = 5 6
(
4
)
persamaan
WWW.E-SBMPTN.COM π π Nilai -1 ≤ cos 2x − ≤ 1 maka untuk cos 2x − = 5 tidak ada nilai x memenuhi 6 6 Jawaban: E cot 105o . tan 15o .... (Soal SBMPTN Tahun 2013) A. -7 + 4 3
4.
7+4 3
C.
7−4 3
D.
-7 − 4 3
E.
-7 + 2 3
B.
Pembahasan: cot 105o . tan 15o = -tan2 15o
(
= - tan( 45o − 30o )
)
2
tan 45o − tan30o = - o o 1+ tan 45 × tan30 1 1- 3 3 = - 1+ 1 3 3
2
3 − 3 3 − 3 = - × 3 + 3 3 − 3 12 − 6 3 = - 6
= - 2 − 3 = -7 + 4 3
2
2
2
2
Jawaban: A
5.
sec 5o cos 40o o o − Nilai dari -2 2 sin10 2 sin35 − adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2 sin5o 2013) A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
5
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: 2 2 ( -2 sin35o sin10o ) + 2 2 cos 45o − cos 25o +
2 sin10o 2 2 sin10o cos 40o + = cos 5o sin5o 2 2 sin5o cos 5o cos 5o
+
2 2 sin5o cos 5o cos 40o = sin5o
1 2 - 2 2 cos 25o + 2 2 sin5o + 2 2 cos 45o + cos 35o = 2 2 + 2 + 2 2 cos 35o - cos 25o + 2 2 sin5o = 4 + 2 2 -2 sin30o sin5o + 2 2 sin5o = 2 2×
4 − 2 2 sin5o + 2 2 sin5o = 4 Jawaban: E 6.
Nilai sec 40° + sec 80° + sec 160° = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Pembahasan: 1 1 1 + + = o o cos 40 cos 80 cos160o cos160o cos 80o + cos160o cos 40o + cos 80o cos 40o = cos 40o cos 80o cos160o
sin 40o ( 2 cos160o cos 80o + 2 cos160o cos 40 o + 2 cos 80 o cos 40 o ) 2 sin 40 o cos 40 o cos 80 o cos 160o
=
o o o o o o 1 o cos 240 + cos 80 + cos 200 + cos 120 + cos 120 + cos 40 sin 40 1 2 sin 320o 8
=
1 1 1 -4 - + cos 80o − cos 20o − − + cos 40o = 2 2 2 3 -4 - + cos 80o + cos 40o − cos 20o = 2 3 3 -4 - + 2 cos 60o cos 20o − cos 20o = - 4 - + cos 20o − cos 20o = 6 2 2
6
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
7.
Jika sin x + cos x = 2011 Kode 591) -
24 25
B. C.
-
7 25
A.
D.
7 25 8 25 24 25
E.
1 dan 3π ≤ x < π, maka nilai sin 2x adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 5 4
Pembahasan: sin x + cos x = -
1 5
( sin x + cos x )
=
2
1 25
1 25 24 sin2x = 25
1+ sin2x =
Jawaban: A Jika sudut lancip ϕ dan θ memenuhi persamaan (cos ϕ + cos θ)2 + (sin ϕ – sin θ)2 = 1 , maka tan (ϕ + θ) = .... (Soal UMB Tahun 2011) A. - 3 B. -
1 3
3
D.
C. -1 1 3
3
E. 3 Pembahasan:
8.
( cos ϕ + cos θ ) + ( sin ϕ − sin θ ) 2
2
=1
cos ϕ + cos θ + sin ϕ + sin θ + 2 cos ϕ cos θ − 2 sin ϕ sin θ = 1 2
2
2
2
1+ 1+ 2 cos ( ϕ + θ ) = 1 cos ( ϕ + θ ) = ϕ + θ = 120o
1 2
7
( cos ϕ + cos θ ) + ( sin ϕ − sin θ ) 2
2
=1
2
WWW.E-SBMPTN.COM
maka tan (ϕ + θ) = tan 120o = -tan 60o =- 3
Jawaban: A
cos ϕ + cos θ + sin ϕ + sin θ + 2 cos ϕ cos θ − 2 sin ϕ sin θ = 1 2
2
2
1+ 1+ 2 cos ( ϕ + θ ) = 1 cos ( ϕ + θ ) = -
1 2
ϕ + θ = 120o
Jumlah dari semua nilai sin x dimana 0° < x < 180° yang memenuhi cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A.
2
9.
B.
D.
E.
C.
10
1 2 + 2 10 3 2 1 1− 10 1 1+ 10
Pembahasan: cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2 cos2 x + sin2 x – 3 sin x cos x + sin2 x = 2 1 – 3 sin x cos x + 1 – cos 2x = 2 -3 sin x cos x – cos2 x = 0 -cos x (3 sin x + cos x) = 0 maka cos x = 0 atau 3 sin x + cos x = 0 π 3tan x + 1 = 0 x= 2 1 sin x = 1 tan x = 3 1 sinx = 10 10 -1 3 Jawaban: E
8
WWW.E-SBMPTN.COM 10. Selesaikan persamaan tan 2x + 2sin x = 0, untuk 0 < x ≤ π adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659) A. 2π
B.
E.
D.
C.
5π 3 3π 2 4π 3 3π 4
Pembahasan: tan 2x + 2sin x = 0,
0<x≤π
sin 2x + 2 sin x = 0 cos 2x 2 sin x cos x + 2 sin x = 0 cos 2x cos x + cos 2x 2 sin x =0 cos 2x 2 sin x ( 2 cos2 x + cos x − 1)
=0 cos 2x 2 sin x ( 2 cos x − 1) ( cos x + 1) =0 cos 2x sin x = 0 x = 0o (salah) x = 180o (benar) cos x =
cos x = -1 x = 180o
1 2
x = 60o (benar) nilai x1, x2 yang memenuhi x1 = 60° dan x2 = 180° maka x1 = x2 = 240o =
4 π 3
Jawaban: D
9
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal 1.
Diketahui sin A + sin B = 1 dan cos a + cos B = Tahun 2013)
5 . Nilai cos (A– B) = .... (Soal SBMPTN 3
A. 1 B. C. D. E. 2.
3 2
Nilai dari cos a . cos 2a . cos 3a ... cos 2015a dimana a = A. B. C. D. E.
10
1 2 1 2 1 2 1 3
1 2
2π adalah .... 2015
1 2015 1 20152 1 2015 2 1 20152015
3.
Diberikan persamaan (1 + tan 1o)(1 + tan 2o) ... (1 tan 45o) = 2n maka nilai n adalah .... A. 20 B. 22 C. 23 D. 45 E. 90
4.
Nilai dari (1 – cot 22°)(1 – cot 23°) adalah .... A. 1 B. 2 C. 3
WWW.E-SBMPTN.COM D. 4 E. 5 Nilai dari sin10o . sin 50o . sin 70o adalah ....
D. E.
B. C.
1 2 1 4 1 8 1 6 1 32
A.
5.
11
13
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MATEMATIKA
MP
TN
Set 13 PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI A.
RINGKASAN MATERI Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan: 1.
Buat pertidaksamaan dalam bentuk tunggal • sin f(x) < c • cos f(x) < c • tan f(x) < c cari nilai x yang memenuhi persamaannya lalu dibuatkan diagram tanda, dengan memperhatikan domain.
2.
Buat pertidaksamaan dalam bentuk faktor, dengan ruas kanan nol, [sin f(x)] [cos g(x)] < 0 cari nilai x yang memenuhi sin f(x) = 0 dan cos g(x) = 0 khusus untuk tan f(x), maka f(x) ≠ 180n – 90, dengan nilai n bilangan bulat, nilai x dimasukkan ke dalam diagram tanda, dengan tetap memperhatikan domain.
3.
Buat pertidaksamaan dalam bentuk pecahan tunggal dengan ruas kanan nol misal
sin f ( x )
cos g( x )
<0
dengan syarat cos g(x) ≠ 0
1
WWW.E-SBMPTN.COM
cari pembuat nol dari sin f(x) dan cos g(x) kemudian ditempatkan pada diagram tanda.
Contoh Soal 1.
Nilai A. B. C. D. E.
3 sin x – cos x < 0, jika .... (Soal SNMPTN Tahun 2012) 7π 11π <x< 6 7 5π 7π <x< 6 6 5π 10 π <x< 7 7 π 9π <x< 6 6 π 5π <x< 12 4
Pembahasan: • 3 sin x – cos x < 0 2 cos (x – 120o) < 0 cos (x – 120o) < 0 •
cari pembuat nol cos (x – 120o) = 0 cos (x – 120o) = cos 90o x – 120o = + 90o + k . 260o untuk k = 0 x1 = 210° x2 = 30° k = 1 x3 = 570° x4 = 390°
•
membuat diagram tanda –
+ 30o
– 210o
+ 390o
– 570o
diantara pilihan yang memenuhi hanya 5π < x < 7π 6 6
2
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM 2.
Semua nilai x ∈ [0, 2π] yang memenuhi pertidaksamaan sin x + tan 2x < 0 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 523) π 3π A. <x< 2 2 π 3π B. < x < π atau < x < 2π 2 2 C. 0 < x < π D. E.
π π 3π < x < atau < x < 2π 3 2 2 π 3π <x< 3 2
Pembahasan: sin x + 2 tan x < 0 sin x sin x + 2 <0 cos x cos x sin x + 2 sin x <0 cos x sin x ( cos x + 2 ) <0 cosx mencari pembuat nol: i. sin x = 0 x = 0° + k . 360° x = 180° + k . 360° x2 = 180° untuk k = 0 x1 = 0° k = 1 x3 = 360° ii. cos x = 0 cos x = cos 90° x = ± 90° + k . 360° untuk k = 0 x3 = 90° k = 1 x4 = 270° membuat diagram tanda pada garis bilangan 0
90o
180o
270o
x 360o
uji dengan x = 60o
maka diagram tanda menjadi
3
WWW.E-SBMPTN.COM +
0
–
180o
270o
A.
π π π 5π x < x < ∪ x < x < 4 2 6 6
B.
π 5π x < x < 6 6
C.
π π x < x < 2 4
D.
π π x < x < 2 6
E.
π 5π x < x < 6 4
Pembahasan: Pertidaksamaan 1 sin x > 0,5 • cari solusi sin x = 0,5 sin x = sin 30° x = 30° + k . 360° x = 150° + k . 360° untuk k = 0 x1 = 30° x2 = 150° k = 1 tidak ada yang memenuhi • diagram tanda 0
4
π 6
5π 6
x 360o
Jawaban: B
Solusi dari pertidaksamaan berikut. sin x > 0,5 tan x > 1, 0 ≤ x ≤ 2π adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 508)
3.
90o
+
maka himpunan penyelesaiannya π 3π < x < π atau < x < 2π 2 2
–
2π
uji dengan x = 90o
WWW.E-SBMPTN.COM
didapat sin 90° = 1 > 0,5, maka diagram tandanya menjadi –
–
π 6
0
+
2π
5π 6
π 5π Hp1 = x < x < 6 6
Pertidaksamaan 2 tan x > 1 mencari solusi tan x = 1, x ≠ tan x = tan 45° x = 45° + k . 180° untuk k = 0 x3 = 45° = k = 1 x4 = 225° = membuat diagram tanda 0
π 4
π 2
5π 4
3π 4
2π
3π 4
2π
uji x = 60o tan 60o = 3 > 1 diagram tanda menjadi – + 0
π 6
– π 2
+ 5π 4
π 5π 3π π <x< Hp2 = < x < atau 2 4 2 4 Solusi sistemnya
0
π 6
π π Hp = x < x < 4 2
π 4
π 2
5π 6
5π 4
3π 3
5π
Jawaban: C
5
WWW.E-SBMPTN.COM π 5π Himpunan penyelesaian dari sin x − − sin x + + 2 ≥ 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah .... 6 6 (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 605) A.
4.
π x 0 ≤ x ≤ 3
B.
E.
C.
D.
5π ≤ x ≤ 2π x 3
2π x 0 ≤ x ≤ 3 5π x 0 ≤ x ≤ 3 -π 5π x ≤ x ≤ 3 3
Pembahasan: 5π π sin x − − sin x + + 2 ≥ 0 6 6 5π x − π − x + 5π π x− 6 +x+ 6 6 6 2 cos +2≥0 sin 2 2 1 π 2 cos x + π sin - + 2 ≥ 0 3 2 1 -2 cos x + π + 2 ≥ 0 3
1 x+ π≤0 3 1 x≤− π 3 Tidak memenuhi
1 cos x + π ≤ cos(0 ) 3
1 cos x + π ≤ 1 3 1 cos x + π ≤ cos (2π ) 3 1 x + π ≤ 2π 3 5 x≤ π 3 5π Jadi, x | 0 ≤ x ≤ 3 Jawaban: D
6
WWW.E-SBMPTN.COM
5.
Untuk 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian dari tan x sin x
1 adalah .... (Soal 2cosx
SIMAK UI Tahun 2009 Kode 965) π π π x ≤ x ≤ ∪ x ≤ x ≤ π 3 2 4
B.
π π 3π < x ≤ π x < x < ∪ x 2 4 4
C.
π π 3π ≤ x < π x < x ≤ ∪ x 4 2 4
A.
E.
D.
π π π x ≤ x < ∪ x < x < π 3 2 4 π π π x ≤ x < ∪ x < x < π 4 2 2
Pembahasan: tan x sin x >
1 2 cos x
sin2 x 1 − >0 cos x 2 cos x
2 sin2 x − 1 >0 2 cos x -cos 2x >0 cos x cos 2x <0 cos x cari pembuat nol pembilang dan penyebut: 1) cos 2x = 0 π cos x = cos 2 π 2x = ± + k × 2π 2 π 2x = ± π + k × 2π x = ± +k×π 2 4 π xx=1 = ± +k×π untuk k = 0 4 k = 1
x2 =
3π 4
7
WWW.E-SBMPTN.COM 2)
cos x = 0 cos x = cos
π 2
π x = ± +k×π 4
untuk k = 0
x3 =
π 2
membuat garis bilangan 0
π 4
π 2
uji x = 60o cos 120o < 0 (negatif ) cos 60o
maka diagram tandanya + – 0
6.
π 4
+ π 2
solusi:
π π 3π ≤ x < π Hp = x < x ≤ ∪ x 2 4 4
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
A.
(Soal SNMPTN Tahun 2010 Kode 528)
E.
C.
D.
0<θ≤
π 6
π 6 π 0<θ< 3 π π <θ≤ 6 3 0≤θ≤
B.
8
π
3π 4
π π < θ ≤ 6 3
– 3π 4
π
Jawaban: C 2 − sin θ cos θ ≤ cos θ sin θ
untuk 0 < θ ≤
π adalah .... 2
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: 2 − sin θ cos θ ≤ cos θ sin θ 2sin θ − sin2 θ ≤ cos2 θ
{sin θ, cos θ > 0}
2sin θ − sin2 θ − cos2 θ ≤ 0 2sin θ − 1 ≤ 0 1 sin θ ≤ 2 dipenuhi π 0≤θ≤ 6
Nilai-nilai x, untuk 0 < x < π yang memenuhi cos 3x > sin x adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A.
D. E.
π 5π 3π 0<x< , <x< 8 8 4 π π 3π 0<x< , <x< 4 2 4 3π 4 π 8
C.
B.
π π 3π 0<x< , <x< 8 2 4
7.
Jawaban: B
Pembahasan: cos 3x > sin x cos 3x > cos (90° – x) 3x = ±(90° – x) + k . 360° (i) 3x = (90° – x) + k . 360° 4x = 90° + k . 360° x = 22,5° + k . 120° (ii) 3x = -90° + x + k . 360° 2x = -90° + k . 360° x = -45° + k . 180° π untuk k = 0 x1 = 22,5° = 8
x2 = 142,5° =
π 8
x3 =
3π 4
9
WWW.E-SBMPTN.COM
maka bila kita cari diagram tandanya + – +
0
π 5π 8 8 π 5π 3π 0<x< , <x< 8 8 4
3π 4
– π
Jawaban: B 8.
Nilai-nilai x, untuk 0° ≤ x ≤ 360° yang memenuhi sin x + sin 2x > sin 3x adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. 0° < x < 120°, 180° < x < 240° B. 0° < x < 150°, 180° < x < 270° C. 120° < x < 180°, 240° < x < 360° D. 150° < x < 180°, 270° < x < 360° E. 0° < x < 135°, 180° < x < 270° Pembahasan: sin x + sin 2x > sin 3x sin 3x – sin x – sin 2x < 0 2cos 2x sin x – 2cos x sin x < 0 2sin x (cos 2x – cos x) < 0 2sin x (2cos2 x – cos x – 1) < 0 2sin x (2cos x + 1)(cos x – 1) < 0 1 sin x = 0 atau cos x = atau cos x = 1 2 dengan menyelesaikan 3 persamaan di atas didapat x = 0°, x = 120°, x = 180°, x = 240°, x = 360° membuat diagram tanda + 0
+ 120o
+ 180o
+ 240o
360o
Himpunan penyelesaian {x | 0° < x < 120°, 180° < x < 240°} Jawaban: A 9.
10
Solusi dari pertidaksamaan 5 + 2 cos x ≤ 3 |2 sin x – 1| untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah .... A. 90° ≤ x ≤ 270° B. 90° ≤ x ≤ 210° atau 330° ≤ x ≤ 360° C. x = 90° atau 210° ≤ x ≤ 330°
WWW.E-SBMPTN.COM D. x < 90° atau 210° ≤ x ≤ 270° E. 210° ≤ x ≤ 330° Pembahasan: 5 + 2 cos x ≤ 3 |2 sin x – 1| 5 + 2 (1 – 2 sin2 x) ≤ 3 |2 sin x – 1| 7 – 4 sin2 x ≤ 3 |2 sin x – 1| misal y = sin x 7 – 4y2 ≤ 3 |2y – 1| 1 2
•
bila y ≥
7 – 4y2 ≤ 3(2y – 1) 4y2 + 6y – 10 ≥ 0 2y2 + 3y – 5 ≥ 0 5 y ≥ 1 atau y ≤ 2
1 solusi di atas diiriskan dengan y ≥ didapat y ≥ 1 2 1 bila y < 2 7 – 4y2 ≤ -3(2y – 1) 4y2 – 6y – 4 ≥ 0 2y2 – 3y – 2 ≥ 0
y≤-
•
1 atau y ≥ 2 2 1 1 diiriskan dengan y < didapatkan y ≤ 2 2
Jadi yang memenuhi pertidaksamaan 1 sin x ≥ 1 dan sin x ≤ 2 untuk sin x ≥ 1 yang bisa dipenuhi adalah sin x = 1 sehingga sin x = 1 sin x = sin 90° x = 90° + k . 360° k = 0 x = 90° k = 1 dst tidak memenuhi untuk sin x ≤ -
1 2
sin x = sin -30° x = -30° + k . 360° x = 210° + k . 360°
11
WWW.E-SBMPTN.COM untuk k = 0 x = 210° k = 1 x = 330° pada garis bilangan berlaku +
–
+
210o
330o
210° ≤ x ≤ 330° solusinya x = 90° atau 210° ≤ x ≤ 330° Jawaban: C π π 13 dengan - ≤ x ≤ adalah .... 2 2 16 {x|-90o ≤ x ≤ -75o ∪ -15o ≤ x ≤ 15o ∪ 75o ≤ x ≤ 90o} {x|-90o < x ≤ -75o ∪ -15o ≤ x ≤ 15o ∪ 75o ≤ x < 90o} {x|x ≤ -75o ∪ -15o ≤ x ≤ 15o ∪ x ≥ 75o} {x|-15o ≤ x ≤ -15o} o o {x|15 ≤ x ≤ 75 }
10. Solusi dari pertidaksamaan sin6 x + cos6 x > A. B. C. D. E.
Pembahasan: sin6 x + cos6 x >
( sin
2
13 16
x + cos2 x ) ( sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x ) >
(
)
1 ( sin2 x + cos2 x ) − 3 sin2 x cos2 x > 2
2
1 13 1− 3 sin2x > 2 16 3 3 2 sin 2x < 4 16 1 sin2 2x < 4 1 1 1 − cos 4 x < 2 2 4 1 1 - cos 4 x < − 2 4 1 cos 4 x > 2
12
13 16
13 16
WWW.E-SBMPTN.COM 1 2 cos 4 x = cos 60 o cos 4 x =
4 x = ±60 o + k × 360 o x = ±15o + k × 90 o untuk k = -1 x = -75° k = 0 x1 = 15° x2 = -15° k = 1 x3 = 75° berlaku pada garis bilangan + -90o
– -75o
+ -15o
– 15o
+ 75o
90o
{x|-90o ≤ x ≤ -75o ∪ -15o ≤ x ≤ 15o ∪ 75o ≤ x ≤ 90o} solusi Jawaban: A
Latihan Soal 1.
Himpunan penyelesaian sin 2x + tan x ≥ 2, 0 ≤ x ≤ A. B. C. D. E.
2.
π 8 π 0<x≤ 4 π 0≤x≤ 4 π π ≤x< 4 4 π π ≤x≤ 4 2
π adalah .... 2
0<x≤
Himpunan penyelesaian dari A.
π π 5π 7π <x< ∪ <x< 6 2 6 6
B.
π 7π 11π <x< ∪ < x < 2π 6 2 6
5 2 1 sin x + sin2 2x > cos 2x dengan 0 ≤ x ≤ 2π adalah .... 4 4
13
WWW.E-SBMPTN.COM
D.
C.
E.
π 5π 7 π 11π <x< ∪ <x< 6 2 6 6 π 5π 11π 0≤x< ∪ <x< 6 6 6 π 11π <x< 6 6
Himpunan penyelesaian |tan x| > 3 , 0° ≤ x ≤ 180° adalah .... A. 60o < x < 90o B. 60o < x < 90o ∪ 120o < x< 180o C. 60o < x < 90o ∪ 90o < x< 120o D. 60o < x < 120o ∪ 150o < x< 180o E. 120o < x< 180o
4.
Himpunan penyelesaian |sin x| + |cos x| > 1, 0 ≤ x ≤ π adalah .... A. 0 < x < π B. 0 ≤ x < π π C. 0 ≤ x ≤ 2
3.
D. 0 < x <
E. 5.
π π <x< 2 3
Himpunan penyelesaian dari A. B. C. D. E.
14
π 2
sinx + cosx > 3 , 0 ≤ x ≤ 2π adalah .... sinx − cosx
45o < x < 75o ∪ 225o < x < 235o 45o < x < 75o ∪ 255o < x < 255o 45o < x < 90o ∪ 255o < x < 255o 45o < x < 135o ∪ 255o < x < 315o 45o < x < 135o
14
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 14 LIMIT A.
RINGKASAN MATERI 0 a. Limit aljabar bentuk , diselesaikan dengan 0 1. Faktorisasi 2. Dalil L’Hospital Lim x →a
f (x)
g( x )
= Lim x →a
f ’( x )
g’ ( x )
=
f ’( a)
g’ ( a )
∞ , gunakan pembagian pangkat tertinggi ∞
b.
Limit aljabar betuk
c.
Lim
d.
Rumus bantu bentuk limit trigonometri
x →0
sin x tan x = Lim =1 x →0 x x
A x 2 cos 2x = cos2 x − sin2 x cos Ax = 1− 2 sin2
1− cos2 x = sin2 x π cos x = sin − x 2 tan x + tan y tan( x + y ) = 1− tan x tan y
1
WWW.E-SBMPTN.COM
Contoh Soal 1.
Lim x→ 0
1− cos3 x x tan x
.... (Soal UM UGM Tahun 2013)
A. 0 1 2 3 4 3 2
B. C. D.
E. 3 Pembahasan: Lim x→ 0
1− cos3 x x tan x
= Lim
(1− cos x ) (1+ cos x + cos2 x )
x tan x 1 2 2 (1) × x (1+ 1+ 1) 3 =2 = x2 2 x →0
Jawaban: D 2.
Diketahui bahwa Lim x→5
f ( x ) × g( x ) − 3g( x ) + f ( x ) − 3 f ( x ) − 3 ( x − 5 )
terdefinisi. Nilai dari g(5) = .... (Soal
SIMAK UI Tahun 2013) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. -1 Pembahasan: g( x ) f ( x ) − 3 + f ( x ) − 3 f ( x ) × g( x ) − 3g( x ) + f ( x ) − 3 Lim = Lim x →5 x →5 f ( x ) − 3 ( x − 5 ) f ( x ) − 3 ( x − 5 ) f ( x ) − 3 × g( x ) + 1 = Lim x →5 f ( x ) − 3 ( x − 5 ) maka g(5) + 1 = 0 → g(5) = -1 Jawaban: E
2
WWW.E-SBMPTN.COM
3.
3 tan x sin x = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013) 1− cos x
Lim x→ 0
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 E. 6 Pembahasan: Lim x→ 0
a tan bx sin cx a × b × c = n2 1− cos nx 2
Lim x →0
3 tan x sin x 3 tan x sin x 3 × 1× 1 = Lim = = 6 x → 0 1 1− cos x 1− cos x 2 Jawaban: D
4.
sin2 x − cos x + 1 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) x→ 0 x tan x 3 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 Lim
D. -1 E. -2 Pembahasan: sin2 x − cos x + 1 Lim x→ 0 x tan x 1 1 1 sin2 x + 2 sin2 x 2 sin x sin x × x x sin sin 2 = Lim 2 × 2 + Lim x →0 x →0 x tan x x tan x x × tan x 1 3 = 1+ = 2 2
5.
1
Lim ( 5X + 53X ) X x →∞
Jawaban: A
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. 0 B. 1
3
WWW.E-SBMPTN.COM C. 10 D. 25 E. 125 Pembahasan: 1
1
Lim ( 5X + 53X ) X = Lim 5X (1+ 52 X ) X x →∞
x →∞
1 2X X
= Lim 5 × (1+ 5 x →∞
)
1
1 x = Lim 5 × 5 2 x + 1 x →∞ 5 2
= 5 × 52 = 125 Jawaban: E
6.
Lim x→∞
x +7 4 x 2 + 3x
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. -∞ 1 B. - 2 C. 0 1 D. 2 E. ∞ Pembahasan: Lim x→∞
x +7 4 x 2 + 3x
misal: p =
Lim
x → -∞ p→∞
-p + 7
p →∞
4p2 − 3p
Lim
-p + 7 1 =2p 2
p →∞
Jawaban: B
4
7.
1− cos 2 x X→ 0 π = .... (Soal SNMPTN Tahun 2012) x 2 cot x + 4 A. -1 B. 0 C. 1 Lim
WWW.E-SBMPTN.COM 2 2 3
E.
D.
Pembahasan: Lim X→ 0
1− cos 2 x π π = tan = 1 2 x cot x + 4 4 Jawaban: C
tan a − tan b = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) a →b a a 1+ 1− tan a tan b − b b 1 A. b Lim
8.
B. b C. -b 1 b E. 1 Pembahasan: D. -
Lim a →b
Lim a →b
tan a - tan b tan a − tan b = Lim a → b a a a (1+ tan a tan b ) - (1+ tan a tan b ) 1+ 1− tan a tan b − b b b -b tan( a − b ) tan( a − b ) tan a − tan b = Lim = Lim = -b a → b a → b b a − a a − b) ( ) ( 1− [1+ tan a tan b ] b b Jawaban: C
9.
Jika Lim x→ 0
A. B. C. D. E.
g( x ) x
= 2 , maka Lim x→ 0
g( x ) 1− x − 1
= .... (Soal SNMPTN Tahun 2011)
-4 -2 1 2 4
5
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: g( x )
Lim
= Lim
g( x ) x
1− x − 1 g( x ) x Lim × Lim x →0 x →0 x 1− x − 1 1 = 2× = -4 -1 2 1 x →0
x →0
×
x 1− x − 1
Jawaban: A 10.
Jika diketahui Lim x→ 0
ax sin x + b = 1 , maka nilai a dan b yang memenuhi adalah .... (Soal cos x − 1
SIMAK UI Tahun 2010) 1 ,b=0 2 B. a = 1, b = 1 1 C. a = , b = 0 2 D. a = 1, b = -1 E. a = 1, b = 0 Pembahasan: A. a =
Lim x →0
ax sin x + b =1 cos x − 1 x →0
ax sin x + b ≅ − (1− cos x ) x →0
ax 2 + b ≅ −
x2 1 + 0 ⇒∴a = - , b = 0 2 2 Jawaban: A
Latihan Soal
1.
Lim x→ 0
3sin2 x − x 2 cos2 x = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013) x tan x
A. 2
6
B.
1 2
C.
-1
WWW.E-SBMPTN.COM 1 2 E. -2
D. -
Lim
2.
x→ 0
x 2 + sin2 3x = .... (Soal UMB Tahun 2013) 2 tan( 2x 2 )
A. 0
C.
B.
E. 3.
D.
1 3 3 4 3 2 5 2
1 1 Untuk t > 0 maka Lim + t→ 0 t t A. -∞ B. -
(
)
t +1−1
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)
1 2
C. 0 1 2 E. ∞
D.
x→ 0
A.
B.
D. E.
C.
4.
Lim
1− cos x × sin2 x − cos2 x = .... x4 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32
7
WWW.E-SBMPTN.COM
5.
8
Lim
x3 = .... tan x − sin x
A. B. C. D.
1 2 3 4
x→ 0
15
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
TN
Set 15 TURUNAN 1 A.
RINGKASAN MATERI a. b.
y = f(x) → y ’ = f ’ ( x ) =
=
f ( x + h) − f ( x ) dy = Lim dx h→0 h
dx Turunan Aljabar 1. y = k → y' = 0 2. y = kxn → y' = nkxn – 1 3. y = k[f(x)n] → y' = nk[f(x)]n – 1 f'(x) 4. y = f(x) + g(x) → y' = f'(x) + g'(x) 5. y = f(x) . g(x) → y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) 6.
c.
df ( x )
y=
f (x)
g( x )
→ y’ =
f ’ ( x ) × g ( x ) − f ( x ) × g’ ( x ) g( x )
2
Turunan Fungsi Trigonometri 1. y = sin x → y' = cos x 2. y = cos x → y' = sin x 3. y = tan x → y' = sec2 x 4. y = sin f(x) → y' = f'(x) cos f(x) 5. y = cos f(x) → y' = f'(x) sin f(x) 6. y = tan f(x) → y' = f'(x) sec2 f(x) 7. y = cot f(x) → y' = f'(x) csc2 x
1
WWW.E-SBMPTN.COM
Contoh Soal 1.
Jika f(x) = x2 + 5x + 1 dan g( x ) = Lim h→0
f ( x ) − f ( x − h) h
, maka grafik fungsi y = (f – g)(x)
bersifat .... (Soal UMB Tahun 2013) A. tidak memotong sumbu Y B. ada di atas sumbu X C. menyinggung sumbu X D. memotong sumbu X di dua titik E. ada di bawah sumbu X Pembahasan: g( x ) = Lim h→0
f ( x ) − f ( x − h) h
= f’(x) = 2x + 5
maka y = (f – g)(x) = (x2 + 5x + 1) – (2x + 5) y = x2 + 3x – 4 → memotong sumbu X di dua titik karena D > 0 Jawaban: D 2.
π π 5π 7π < x < persamaan 2f(x) – f’(x) = 1 , maka sin 4x = .... (Soal Jika f(x) = cos2 x, 0 <<xx<< ,∪memenuhi 6 2 6 6 UMB Tahun 2012) A. -1 B.
-
C.
0
1 2
1 2 E. 1 Pembahasan: f(x) = cos2 x 2f(x) – f'(x) = 1 2cos2 x – 2cos x (-sin x) = 1 (2cos2 x – 1) + 2sin x cos x = 0 (kuadratkan!) cos 2x + sin2 2x = 0 2 cos 2x + 2cos 2x sin 2x + sin2 2x + 0 1 + sin 4x + 0 → sin 4x = -1 D.
Jawaban: A
2
WWW.E-SBMPTN.COM 3.
Diberikan f(x) = sin2 x. Jika f’(x) menyatakan turunan pertama dari f(x), maka 1 Lim f ’ x + − f ’ ( x ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) X→∞ h A. sin 2x B. -cos 2x C. 2cos 2x D. 2sin x E. -2cos x Pembahasan: 1 Lim f ’ x + − f ’ ( x ) = f''(x) X→∞ h sehingga f(x) = sin2 x f’(x) = 2 sin x cos x = sin 2x f’(x) = 2 cos 2x Jawaban: C
4.
Diketahui fungsi f dan g dengan g(x) = f(x2 + 2). Jika diketahui bahwa g’(1) = 2, maka f’(3) nilainya adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6 Pembahasan: g(x) = f(x2 + 2) substitusi x = 1 g’(x) = 2x . f’(x2 + 2), f g’(1) = 2 . ’(3) 2 = 2 . f ’(3) f’(3) = 1 Jawaban: B
5.
Diketahui fungsi y = ax cos x + bx sin x dan y” adalah turunan kedua dari y. Jika y” + y = sin x – 3 cos x, maka nilai a + b = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. 2 3 B. 2 1 C. 2
3
WWW.E-SBMPTN.COM 3 2 E. -2 D. -
Pembahasan: y = ax cos x + bx sin x y‘ = a cos x + ax (-sin x) + b sin x + bx cos x y‘ = (bx + a) cos x – (ax – b) sin x maka y” = b cos x – (bx + a) sin x – [a sin x + (ax – b) cos x] y“ = -(bx + 2a) sin x – (ax – 2b) cos x maka y“ + y = -2a sin x + 2b cos x = sin x – 3 cos x kesimpulannya -2a = 1 dan 1 2 maka a + b = -2 a=-
2b = 3 b=-
3 2 Jawaban: E
6.
Jika f ( 3x + 2 ) = x x + 1 dan f’ adalah turunan pertama fungsi f, maka 12f’(11) = .... (Soal SNMPTN Tahun 2009) A. 9 B. 11 C. 12 D. 14 E. 15 Pembahasan: f ( 3x + 2 ) = x x + 1
df ( 3x + 2 ) x = x +1+ dx 2 x +1 x 3f ’ ( 3x + 2 ) = x + 1 + , 2 x +1 3 3f ’ (11) = 4 + 2 4 3 3f (11) = ⇒ 12f ’ (11) = 11 4
4
substitusi x = 3
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM 7.
Diketahui fungsi f dan g dengan nilai f(2) = f(4) = g’(2) = g’(4) = 2 dan g(2) = g(4) = f’(2) = f’(4) dengan f’ dan g’ berturut-turut menyatakan turunan pertama fungsi f dan g. Jika h(x) = f(g(x)), maka nilai h’(2) adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2009) A. 40 B. 32 C. 24 D. 16 E. 8 Pembahasan: h(x) = f(g(x)) h’(x) = f’[g(x)] . g’(x) suubstitusi x = 2 h’(2) = f’[g(2)] . g’(2) h’(2) = f’(4) . 2 =4.2 =8 Jawaban: E
8.
Diketahui f ( x ) =
sin 3x − sin 2x + sin x π maka nilai dari f ’ adalah .... cos 3x − cos 2x + cos x 6
A. 1
B.
3 2
C. 2 D. 3 E. 4 Pembahasan:
f (x) =
= =
( sin3x + sin x ) − sin2x ( cos 3x + cos x ) − cos 2x 2 sin2x cos x − sin2x 2 cos 2x cos x − cos 2x sin2x ( 2 cos x − 1)
cos 2x ( 2 cos x − 1)
= tan2x f ’ ( x ) = sec2 2x =
1 cos2 2x
1 π =4 f ’ = 2 6 cos 120o Jawaban: E
5
WWW.E-SBMPTN.COM 9.
Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx + c, jika f(1) = 3, f’(2) = 2, f’(-1) = 5, maka nilai 2a + b – c adalah .... A. 0 B. 4 C. 12 D. -4 E. -12 Pembahasan: f(1) = (1)3 + a(1)2 + b(1) + c = 3 a + b + c = 2 . . . (1) 2 f’(x) = 3x + 2ax + b maka f’(2) = 3(2)2 + 2a(2) + b = 2 4a + b = -10 . . . (2) f’(-1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 5 -2a + b = 2 . . . (3) (2) dan (3) dieliminasi, didapat a = -2, b = -2 nilai a, b disubstitusi ke (1) didapat 2a + b – c = 12 Jawaban: C
10. Turunan dari y =
1− cos x adalah .... 1+ cos x
A. cosec x B. cosec x cotan x C. cosec x(cosec x – cotan x) D. cosec2 x – 1 E. 1 – cotan2 x Pembahasan: Sederhanakan
1− cos x 1− cos x 1− cos x = × 1+ cos x 1+ cos x 1− cos x =
6
(1− cos x )
2
1− cos2 x 1− cos x = sin x = csc x − cot x
WWW.E-SBMPTN.COM maka y' = -csc x . cot x + csc2 x y' = csc x(csc x – cot x) Jawaban: C
Latihan Soal 1.
Suatu fungsi f(x) = h(x2 + 1), bila f’(3) = 12, maka nilai dari h’(10) adalah .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
2.
Diketahui f ( x ) = A.
B.
C.
D.
E.
3.
(x
2
− x + 1)
2
1− x 2 2
(x
2
(x
3
1+ x 2
(x
(x
2
x x x + 2 + 2 + L maka f’(x) adalah .... 2 x + 1 x + 1 x + 1
− x + 1)
2
1
− x + 1)
2
x2
2
− x + 1)
2
-x 2
2
− x + 1)
2
Diketahui fungs y = (x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)(x16 + 1). Nilai dari f’(0) adalah .... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
7
WWW.E-SBMPTN.COM
8
f ( x − 2a ) − f ( x )
4.
Bila f(x) = tan 2x, maka nilai Lim a→ 0 A. sec2 2x B. -sec2 2x C. 2sec2 2x D. -2sec2 2x E. -4sec2 2x
5.
Diketahui fungsi f(x) = sin x + sin3 x + sin5 x + … maka A. sec x(2tan2 x – 1) B. sec x(2tan2 x + 1) C. tan x(2sec2 x + 1) D. tan x(2sec2 x – 1) E. tan x(1 – 2sec2 x)
a
adalah ....
df ( x ) dx
adalah ....
16
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
SB
MP
TN
SET 16 TURUNAN 2 RINGKASAN MATERI 1.
Gradien garis singgung di titik (x1, y1) pada kurva y = f(x) mgs = f'(x1)
2.
Fungsi Naik/Turun f(x) naik bila f'(x) > 0 f(x) turun bila f'(x) < 0 f(x) tidak naik bila f'(x) ≤ 0 f(x) tidak turun bila f'(x) ≥ 0
3.
Maksimum/minimum fungsi • f(x) maksimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) < 0 • f(x) minimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) > 0
4.
Titik belok fungsi (x1, y1) titik belok bila f''(x1) = 0
1
WWW.E-SBMPTN.COM
CONTOH SOAL 1.
Garis g menyinggung kurva y = x x − 1 di titik (2, 2). Jika garis g memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B, maka AB = … (UMB 2013) A.
2
D.
2 5
B.
2 2
E.
5
C.
1 2
5
Pembahasan: • Persamaan garis g : y = mx + c di titik (2, 2) 1 1 x ( x − 1) 2 2 1 1 = 1 2 − 1 + 2 ( 2 − 1) 2 2 =2
m = f’(2) = 1 x − 1 +
•
y = 2x+ c melalui (2, 2) 2 = 2 (2) + c ⇒ c = -2 y = 2x – 2 0
1 A
-2
B
AB = OA 2 + OB2 AB = 12 +(-2)2 = 5 Jawaban: E 2.
Jika kurva f(x) = ax2 – bx2 + 1 mempunyai titik ekstrem (1, -5) maka kurva tersebut naik pada … (UM UGM 2013) A. {x|x ≤ 0 atau x ≥ 2} B. C.
2
{x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} {x|x ≤ -2 atau x ≥ 0}
D. E.
1 atau x ≥ 0} 2 {x|x ≤ -2 atau x ≥ 1}
{x|x ≤ -
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: • f(x) = ax2 – bx2 + 1 f(1) = a – b + 1 = 5 a – b = -6 a+b=6 •
----- (1)
Titik ekstrem → f'(x) = 0 f'(x) = 3ax2 – 2bx = 0 = 3a(1) – 2b(1) = 0 → 3a = 2b ----- (2) Dari persamaan 1 dan 2, didapat: A = 12, dan b = 18
•
Kurva naik f'(x) ≥ 0 3 . 12x2 – 2 . 18x ≥ 0 ≥ 36x2 – 36x ≥ 0 – 36x (x – 1) ≥ 0 +
– 0
+ 1
HP = {x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} Jawaban: B 3.
Diketahui f(x) =
1 3 x + x2 – 3x + 13. Jika g(x) = f(1 – x), maka kurva g naik pada selang … 3
(SBMPTN 2013) A. -3 ≤ x ≤ 1 B. -1 ≤ x ≤ 2 C. 0 ≤ x ≤ 4 Pembahasan:
D. E.
-4 ≤ x ≤ 0 -3 ≤ x ≤ 3
1 3 2 x + x – 3x + 13 3 g(x) = f(1 – x) f(x) =
g(x) =
1 + (1 – x)3 + (1 – x)2 – 3(1 – x) + 13 3
g naik, jika g(x) ≥ 0 -1(1 – x)2 – 2(1 – x) + 3 ≥ 0
× (-1)
(1 – x)2 + 2(1 – x) – 3 ≤ 0 (1 – x + 3)(1 – x – 1) ≤ 0 (-x + 4)(-x) ≤ 0
3
WWW.E-SBMPTN.COM Diagram tanda 0≤x≤4 Jawaban: C 4.
5.
Grafik fungsi f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12 naik jika … (SNMPTN 2012) D. b2 – 3ac < 0 dan a < 0 A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a > 0 B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 C. b2 – 3ac > 0 dan a > 0 Pembahasan: f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12 f'(x) = 3ax3 + 2bx2 – c > 0 (naik), f(x) naik ⇒ f'(x) > 0 (definit positif ) ⇒ 3ax3 + 2bx2 – c > 0 ⇒ D < 0 ∩ 3a > 0 2 ∩a>0 ⇒ (2b) – 4(3a)(c) > 0 2 ⇒ 4b – 12ac > 0 ⇒ b2 – ac > 0 Jawaban: C Dari semua garis singgung pada kurva y =
5 , maka persamaan garis singgung x +6 2
dengan kemiringan terkecil adalah … (SIMAK UI 2011) D. 12 y − 4 3 x = 21 A. 32 y − 5 2 x = 30
C.
32 y + 5 2 x = 30
E.
8 y − 2 x = 24
B.
12 y − 4 3 x = 7
Pembahasan: Maka, y' =
=
-5 × 2 x
(x
2
(x
2
+6
-10 x +6
)
-2
)
-2
Garis singgung minimum: y'' = 0
(
)
(
)
(
) (
)
2
(
)
-10 x 2 + 6 − ( -10 x )( 2 ) x 2 + 6 ( 2 x ) ⇒ =0 x 2 + 6 2 2
⇒ -10 x 2 + 6 x 2 + 6 − 4 x 2 = 0
4
WWW.E-SBMPTN.COM ⇒ 3x2 + 6 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒ x= + 2
Buat diagram tanda +
–
+
- 2
Minimal di x =
Maka mmin =
y=
y−
2
(
-10 2 2
2 +6 5 2
2 +6
)
2
=
=
-5 2 , dan 32
5 8
(
5 5 =2 x− 2 8 32
(
)
32 y − 20 = -5 2 x − 2
)
32 y − 20 = -5 2 +10 ⇒ 32 y + 5 2 x = 30
6.
2
Jawaban: C
Diketahui f ( x ) = x 3 sin x . Persamaan garis singgung di f yang melalui titik asal adalah … 1
(SNMPTN 2011) A. x = 0 B. y = 0 C. y = x Pembahasan:
D. y = -x E. Tidak ada
f ( x ) = x 3 sin x di titik (0, 0) 1
m = f’ ( x ) = x - 3 sin x + x 3 cos x 2
m=
1
sin 0 + 0 × 1= ∞ 0
5
WWW.E-SBMPTN.COM ∴ Tidak ada garis singgung Jawaban: E 7.
Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum, maka x = … satuan panjang (SNMPTN 2011)
y x/2
x y
B.
D.
a 4 + 2π
E.
2a 4+π
2a π a π a 4+π
A.
C. Pembahasan: 1 Keliling = k = x + 2 y + πx = a 2 1 ⇒ π +1 x + 2 y = a 2
1 ⇒2 y = a − π +1 x 2
a 1 1 ⇒ y = − π+ x 2 4 2 2
----- (1)
1 1 Luas = L = xy + π x = a 2 2 1 2 = xy + πx 8 ----- (2) Substitusi (1) pada (2) a 1 1 1 L = x − π + x + πx 2 a 2 14 12 18 L = x − π + x 2 + πx 2 2 2 8 4 L = a x − 1 π + 1 x 2 2 2 8 Syarat L' = 0
6
WWW.E-SBMPTN.COM a 1 1 − 2 π + x = 0 2 2 8 1 π +1 x = a 2 4 (π + 4)x = 2a x
=
2a (π + 4) Jawaban: E
8.
Grafik y = f'(x) ditunjukkan pada gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah … (SNMPTN 2011) A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0, -1) B. Fungsi f naik pada interval (0, ∞) C. Titik minimum lokal f terjadi di x = -2 D. Fungsi f bernilai positif pada selang (-∞ , -2) E. Titik minimum lokal f terjadi di x = 2 Pembahasan:
–
+
+
-2
2
Fungsi naik pada x < -2 atau x > 2 Fungsi turun pada -2 < x < 2 Minimum di x = 2 Maksimum di x = -2 Jawaban: E
Dalam sebuah bola padat yang berjari-jari 3 cm dibuat kerucut tegak. Volume maksimum kerucut itu adalah … D. 128 3 A. 16 3
C.
32 3
256
E.
B.
9.
3
64 3
Pembahasan:
7
WWW.E-SBMPTN.COM Perhatikan irisan penampang bola
C
3 3
h
3 O
A
x
Misal: Jari-jari kerucut adalah x Tinggi kerucut adalah h
B
D
Maka volume kerucut V=
1 2 x h 3
Dari gambar di atas, diperoleh: OD = 9 − x 2 h = 3 + OD h= 3+ OD = 9 − x2 Maka: 1 V = x2 3 + 9 − x2 3
(
)
Syarat Vmax : V' = 0 2 2 1 -2 x x 3 + 9 − x2 + x2 3 3 2 9 − x 2
)
(
(
)
2 x3 x 3 + 9 − x2 = 3 3 9 − x2
(
2 3 + 9 − x2
)=
x2 9 − x2
6 9 − x2
= 3x2 – 18
26 9 − x 2 4(9 – x2) 4x – 8 x2 x2(x2 – 8)
= x2 – 6 = x4 – 12x2 + 36 =0 =0 → x=2 2
Maka h = 3 + 9 − x 2 = 4
8
=0
WWW.E-SBMPTN.COM V=
1 2 x h 3
(
)
2 1 V = 2 3 2 2 ×4 3 ∆ RCS : ∠ RCS = 30o
3 x = → CS = x 3 3 CS 1 QR = ( PQ )( QR ) sin60o 2 2 1 V = 2 2 ×4 3 32 V= 3
(
)
Jawaban: B 10. Sebuah karton berbentuk segitiga samasisi yang panjangnya 6 cm akan dibuat prisma segitiga beraturan tanpa tutup dengan memotong pojok-pojok nya. Agar memperoleh prisma yang mempunyai volume terbesar, maka ukuran tinggi prsma tersebut adalah …
1 3 1 3 3
D.
3
A. B.
E. 2 3
C. 1 Pembahasan: Misal : SR = x ∆RCS ⇒ ∠RCS = 30o SR tan 30o = CS
C
R
S
3 x = → CS = x 3 3 CS BT = CS = x 3 T
Maka sisi alas prisma QR = 6 – 2x 3 1 (PQ)(QR) sin 60o 2 1 1 = (6 – 2x 3 )(6 – 2x 3 ) . 2 2
P A
Luas alas =
Q B
3
9
WWW.E-SBMPTN.COM
=
1 4
3 (6 – 2x 3 )
2
Volume Prisma = Luas Alas × Tinggi
(
)
2 1 3 6 − 2x 3 × x 4 a y= 2 + bx 3 5 1 = 3 x 36 − 24 x 3 +12 x 2 4 Volume Prisma = 9 3 x − 18 x 2 + 3 3 x 3 Syarat Vmax → V’ = 0
=
(
)
9 3 x − 18 x 2 + 3 3 x 3 = 0 3x2 − 4 x + 3 = 0
(
)(
)
3x − 1 x − 3 = 0 1
x= x=
x=
3 1 3
3 (Tidak memenuhi)
3 Jawaban: B
10
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal 1.
Diketahui f ( x ) = 2 x 3 − 1 x 2 − 3 x + 1 . Jika g(x ) = f(2 – 1x), maka kurva g naik pada selang 3 2 6 … (SBMPTN 2013) D.
B.
E.
C. 2.
3.
1 ≤ x ≤ 1 4 1 -1 ≤ x ≤ 4 5 - ≤ x ≤ 1 4
A. -
3 ≤ x ≤ 1 4 3 - ≤ x ≤ 1 4 -
Grafik fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 25 turun jika … (SNMPTN 2011) D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0 A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0 B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0 1 2 x2 + 2, titik R dan S terletak pada garis y = 26. Luas maksimum persegi panjang PQRS yang dapat dibentuk adalah … satuan luas 1 y = x2 + 2 Y A. 72 2 S R B. 128 y = 26 C. 144 D. 169 E. 216 P Q Pesegi panjang PQRS dibuat dengan ketentuan titik P dan Q terletak pada parabola y =
X
4.
Pada setengah lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = a2 digambar sebuah persegi panjang (lihat gambar). Luas maksimum persegi panjang itu adalah … A.
a2
B.
a2
C.
a2
4 2
D.
2a2
E.
4a2
11
WWW.E-SBMPTN.COM Kurva y =
1 8
D. 1
B.
1 4
E. 2
C.
1 2
A.
12
a melalui titik (1, 1) dan gradien garis singgung di titik tersebut 2 + bx
3 , maka nilai a + b adalah … 5
5.
17
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
SB
MP
TN
SET 17 INTEGRAL 1 RINGKASAN MATERI 1.
∫ F'(x) dx = F(x) + c
2.
Rumus Dasar Integral Aljabar a. ∫ a dx = ax + c a n+1 x + c, n ≠ 1 b. ∫ axn dx = n +1 c.
3.
∫ ax -1 dx = a in |x| + c
Rumus Dasar Integral Trigonometri a. ∫ sin x dx = -cos x + c b. ∫ cos x dx = sin x + c c. ∫ sec2 x dx = tan x + c d. ∫ cosec2 x dx = -cotan x + c e. ∫ sec x. tan x dx = sec x + c f. ∫ cosec x . cotan x dx = -cosec x + c
1
WWW.E-SBMPTN.COM 4.
Sifat Integral a. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) g(x) b. ∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx c. ∫ f(x) . g(x) dx = ∫ f(x) dx . ∫ g(x) dx
5.
Integral Substitusi ∫ [f(x)]n f'(x) dx = ∫ un du di mana: u = f(x) dan du = f'(x) dx
6.
Rumus Bantu Trigonometri a. b. c. d. e. f.
7.
1 2 1 cos A . sin B = 2 1 cos A . cos B = 2 1 sin A . sin B = 2 sin A . cos B =
1 sin (A – B) 2 1 sin (A + B) – sin (A – B) 2 1 cos (A + B) + cos (A – B) 2 1 cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin (A + B) +
1 1 – cos 2A 2 2 1 1 + cos 2A cos2 A = 2 2
sin2 A =
Integral Tentu x=b
b
x=a
a
∫ f’ ( x ) dx = ∫ f’ ( x ) dx = f ( x )
8.
x=a
= f (b ) − f ( a)
Sifat Integral Tentu b
a.
∫
a
f ( x ) dx = - f ( x ) dx
∫
a
b
b.
∫ a
c.
2
x=b
b
c
b
f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx , a 〈 c 〈 b
∫ a
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f (u ) du
∫ c
WWW.E-SBMPTN.COM
CONTOH SOAL
2
1.
∫
x2 + 3x dx = ... x +2
A.
4 7− 2 15
B.
4 7 2 −1 15
C.
4 7 2 +1 15
0
(
)
D.
8 7 2 −1 15
(
)
E.
8 7 2 +1 15
(
)
(
)
(
)
Pembahasan: 2
∫ 0
x2 + 3x dx = ... x +2 2
⇒
∫ 0
( x + 2 )2 − ( x + 2 ) − 2 dx = x +2
2
1 1 2 - ( x + 2 ) − ( x + 2 ) 2 − 2 ( x + 2 ) 2 dx = 0
∫
5 3 1 2 2 ( x + 2)2 − ( x + 2)2 − 4 ( x + 2)2 5 3
]20 =
2 2 2 2 5 × 32 − 3 × 8 − 4 × 2 − 5 × 4 2 − 3 × 2 2 − 4 2 = 192 − 80 − 120 24 2 − 20 2 − 60 2 = − 15 15 -
2.
(
)
8 8 56 2 7 2 −1 + = 15 15 15
∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx = .... SBMPTN 2013 A. sin (x – 1) + sin (3x – 1) + C B. sin (x – 1) – sin (3x – 1) + C
3
WWW.E-SBMPTN.COM 1 sin (3x – 1) + C 3 1 D. -sin (x – 1) – sin (3x – 1) + C 3 1 E. sin (x – 1) + sin (3x – 1) + C 3
C. -sin (x – 1) +
3.
Pembahasan: ∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx = ∫ (cos [x + (1 – 2x)] + cos [x – (1 – 2x)]) dx = ∫ (cos [1 – x] + cos [3x – 1]) dx = 1 sin(1 – x) – sin (3x – 1) = 3 1 +C -sin (x – 1) – sin (3x – 1) 3 Diketahui
1
∫ f ( x ) dx = 4 ax
2
+ bx + c dan a ≠ 0. Jika f(a) =
f(x) = .... (SNMPTN 2011)
A.
1 x+4 2
D. x + 4
B. 2x + 4 C. -
E. -
1 x–4 2
Pembahasan: 1
∫ f ( x ) dx = 4 ax f (x) =
1 ax + b 2
2
+ bx + c
a + 2b Diketahui: f(a) = 2 a + 2b 1 ⇒ a2 + b = 2 2 ⇒ a2 + b = a + 2b ⇒ a2 – a = 0 ⇒ a (a – 1) = 0 a = 0 atau a = 1 1 Sehingga f(x) = ax + b 2
4
1 x+4 2
a + 2b dan f(b) = 6, maka fungsi 2
WWW.E-SBMPTN.COM Diketahui:
f(b) = 6
⇒
1 b + b =6 2 ⇒ b = 4
Sehingga
f(x) =
1 3
3
∫x
4.
1 8
2
1+
1 x + 4 2
1 dx = ... (UMB 2011) x
A. 33 B. 36 C. 38 Pembahasan: 1 3
D. 40 E. 45
1
3 x -2 1+ x -1 2 dx
∫
(
=
1 2 3u
=
)
Misal: • u = 1 + x-1 • du = -x-2dx
1 8
∫ ∫
1 -3 u 2
( -du )
x2dx = -du
du
= -2u u
(
= -2 1+ γ -1
1+ x -1
]
1 3 1 8
= -2[4 . 2 – 9 . 3] = 38 4
Jika
∫
f ( x ) dx = 6 , maka
1
4
∫ f (5 − x ) dx = ...
A. 6 B. 3 C. 0 Pembahasan: 4
∫ 1
(SIMAK 2010)
1
D. -1 E. -6
4
f ( x ) dx ≡ f ( u ) du
∫ 1
Ditanyakan :
4
∫ f (5 − x ) dx
≡ Equivalen
5.
)
1
5
WWW.E-SBMPTN.COM x=4
∫ f (5 − x ) dx
=
Misal: • u = 5 – dx • du = -dx dx = -du • x=1→u=4 x=4→u=1
x=1 u=1
∫ f (u ) ( -du )
=
u=4 1
= - f ( u ) du
∫
4
4
= f ( u ) du
∫
b
a
a
b
∫ f ( x ) dx = -∫ f ( x ) dx
1
=6 1
6.
Diketahui f(x) = |x – 1|. Nilai
∫ f ( x ) dx = ...
(SNMPTN 2010)
0
A. 0
B.
D. 2
1 2
E. 4
C. 1 Pembahasan: x – 1, untuk x ≥ 1 f(x) = |x – 1| x – 1, untuk x < 1 1
Ditanyakan:
∫ f ( x ) dx = 0
x=1
∫
x − 1 dx =
x=0 x=1
∫ − ( x − 1) dx =
x=0
x=1
∫ (1− x ) dx =
x=0
x−
6
1 2 x 2
]0 = 1
1 2
WWW.E-SBMPTN.COM 1
7.
x Jika dx = a , maka 1+ x 0
∫
1
1
∫ 1+ x dx = ...
(SNMPTN 2010)
0
1 2 B. 1 – a E. a2 C. 2a A. a
D. a –
Pembahasan: 1
1
1
x 1 dx + dx = dx 1+ x 1+ x 0 0 0
∫
∫
a
+
∫
y
=
y
∫
8.
]10
x
= 1–a
x2 + 4 x − 1 dx = ... x2 − 1
(SIMAK UI 2009) D. x + 2 in |x2 – 1| + C E. x + in |x2 – 1| + C
Pembahasan:
∫
x2 + 4 x − 1 dx = x2 − 1
2
)
−1 + 4x 2
x −1
dx
4x x2 − 1 + dx x2 − 1 x2 − 1 4x = 1+ 2 dx x −1 4x =x+ 2 dx x −1 2 =x+ du u =
∫
(x
A. 4x + 2 in |3x – 2| + C B. 4x + 4 in |3x – 2| + C C. 2x + 2 in |3x – 2| + C
∫
Misal: • u = x2 – 1 • du = 2x dx 2du = 4x dx
∫
∫
= x + 2in |u| + C = x + 2in |x2 – 1| + C ∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx adalah … (SIMAK 2009) A. ∞ D. sec x + sin x + C B. ctg x + C E. cosec x + C C. sec x + C
∫
9.
7
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: Bentuk deret: sin x + sin3 x + sin5 x + ... Adalah deret geometri tak hingga dengan rasio sin2 x, maka
a sin x + sin3 x + sin5 x + ... = 1− r sinx = 1 − sin2 x sinx = cos2 x = sec x tan x Maka: ∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx = ∫ sec x tan x dx = sec x + C
1
10. Hasil substitusi u = x + 1 pada
2
x +1 dx
0
1
A.
∫x
∫ (u − 1)
2
u du
1
D.
0
2
x 2 u du
E.
∫ 0
∫ (u − 1)
u du
1
Pembahasan: • u = x + 1 • du = dx • Bila x = 0 → u = 1 x=1→u=2 1
∫x
2
x +1 dx
0
x=1
=
∫
x 2 x +1 dx
x=0 u =2
=
∫ (u − 1)
u =1 2
=
8
2
∫ (u − 1) 1
2
∫ (u − 1) 1
2
C.
∫ (u − 1)
u du
0
1
B.
adalah … (SNMPTN 2009)
2
u du u du
x=u–1
2
u du
WWW.E-SBMPTN.COM
Latihan Soal 1.
1
∫ ( x x +1) dx = ...
-2
2.
3.
A.
1 3
D.
4 3
B.
2 3
E.
5 3
C.
1
∫ A.
x2 − 1 1 2 x - ln +C x 2
D.
x2 − 1 1 x − ln +C x 2
B.
x2 − 1 1 2 x + ln +C x 2
E.
x 2 +1 1 x − ln +C 2 x
C.
x2 − 1 1 x + ln +C x 2
∫ sin A. B. C.
4.
x 4 +1 dx = ... x3 − x
∫
dx 3
2
5
x cos 2 x
= ...
3 1 2 ( tanx ) 2 + 2cotan 2 x + C 3 3 1 2 ( tan x ) 2 − 2cotan 2 x + C 3 3 1 2 ( tan x ) 2 + 4 cotan 2 x + C 3
D. E.
3 2 ( tan x ) 2 + 4 cotan x + C 3 3 1 1 ( tan x ) 2 + 4 cotan 2 x + C 3
cos2 x + cos x dx = ... 1+ cos x
A. 2 sin x + x + C B. 2 sin x – x + C C. -2 sin x + x + C
D. E.
-2 sin x – x + C 2 sin x + x + C
9
WWW.E-SBMPTN.COM
5.
π
∫ x sin x dx = ... 3
A.
0
B.
C.
10
6π + 3 12 6 π +13 12 6 π − 13 12
D. 6π + 13 E. 6π – 13
18
MATEMATIKA
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
SB
MP
TN
SET 18 INTEGRAL 2 RINGKASAN MATERI y
1.
y=
) f( x
Luas daerah b
L=
∫ ( f ( x ) − g ( x )) dx a
x a
b y = g(x)
y
2.
x = g(g)
Luas daerah
x = f(g)
b
L=
b
∫ ( f ( y ) − g ( y )) dy a
x a
1
WWW.E-SBMPTN.COM 3. y=
y
Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu x
) f (x
b
2
2
V = π f ( x ) − g ( x ) dx
∫ a
a
y=
4.
x
b g(x
)
Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu y
y x = g(y)
x = f(y)
b
2
2
V = π f ( y ) − g ( y ) dy
∫
b
a
x a
Contoh Soal 1.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x2 dan y = 2|x| adalah… 1
A.
∫(
1
)
D.
)
E.
- x 2 − 2 x + 3 dx
0
2
∫ (- x
2
− 2 x + 3 dx
-1
1
C.
∫ (- x -1
2
2
)
+ 2 x + 3 dx
2
)
− 2 x + 3 dx
-1
0
B.
∫ (- x 0
2
∫ (- x -1
2
)
+ 2 x + 3 dx
WWW.E-SBMPTN.COM Pembahasan: Diketahui fungsi y = 2|x|, dimana: 2x, x ≥ 0 y = 2|x| -2x, x < 0
y sketsa
6 4
y = 2|x| 2
x
-3 -2 -1 1 2 3
y Sketsa daerah
Karena daerah simetris terhadap sumbu y, maka 1
∫
L = 2 3 − x 2 − 2 x dx 0
-1
0
x
1
∫
L = 2 3 − x 2 + 2 x dx -1
2.
Diketahui lingkaran dengan jari-jari 2, sebagai mana diberikan dalam gambar di samping. Jika tali busur pada gambar berjarak 1 dari garis tengah , maka luas daerah di bawah tali busur adalah …
)
∫( 1
2π − 2
A.
4 − x 2 − 1 dx
0
∫(
)
3
B.
2π − 2
2
4 − x − 1 dx
0
∫(
4π − 2
4 − x 2 − 1 dx
∫(
4 − x 2 dx
0
E.
3
4π − 2
0
)
)
1
4π −
C.
)
∫( 3
D.
4 − x 2 − 1 dx
0
Pembahasan: Ilustrasi grafik
A
2 l 1
B
y=1
a 2
-2
Persamaan lingkaran x2 + y2 = 4 y2 = 4 – x2 Larsiran = Llingkaran – L1 4 − x 2 − 1 dx
∫(
4 − x 2 − 1 dx
Larsiran = πr − 2
0
a
-2
= 4π − 2
)
∫( a
2
0
3
= 4π − 2 ∫ 0
(
)
)
4 − x 2 − 1 dx
3
WWW.E-SBMPTN.COM Mencari absis B 4 − x2 = 1 4 – 2x = 1 x= 3
Jika diketahui garis singgung parabola y = ax2 + 12x – 14 pada titik x = 3 membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar π – arctan (6), maka luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x – 32 dan parabola tersebut adalah … (Simak 2012)
B.
C.
Pembahasan: • y' = mgs = tan a ⇒ 2ax + 12 = tan a ⇒ 2ax . 3 + 12 = tan ( π – arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -tan (arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -6 ⇒ a = -3 •
D.
115 2
E.
125 2
85 2 95 2 105 2
A.
3.
Jawaban: D
Substitusi x = 3 m = π – arctan (6)
Batas daerah menjadi (1) y1 = -3x2 + 12x – 14 (2) y2 = 9x – 32
• ygab = y1 – y2 = (-3x2 + 12x – 14) – (9x – 32) = -3x2 + 3x + 18 a = -3, b = 3, c = 18 = 32 – 4(-3)(18) D = b2 – 4ac = 9 + 216 = 225
4
L=
•
D D 225 225 125 = = 2 2 6 a2 6 ( -3 )
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM 1 4 , x = 1, dan y = c, c > 0 adalah 2 satuan 2 4 x luas, maka jumlah semua bilangan c yang mungkin adalah … (SIMAK 2011) 25 A. 25 D. 2 25 B. E. 50 3 Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =
4.
25 C. 4 Pembahasan: Sketsa kemungkinan
c1
2 1 2 dy = Luas L1 = 1 − 4 y 4
∫
c1
y = c1
L
1
4 c2
y = c2
(
)
1
1 9 c ⇒ y − 4 y 2 ]41 = 4 1 9 ⇒ c1 − 4 c1 2 − ( 4 − 8 ) − = 0 4 1 7 ⇒ c1 − 4 c1 2 + = 0 4 1
⇒ 4 c1 − 16 c1 2 + 7 = 0
(
)(
1
)
1
⇒ 2c1 2 − 1 2c1 2 − 7 = 0 1 2 1 = 4
7 2 49 = 4
c1
c1
c1 + c1 =
1
c1 2 =
1
c1 2 =
50 25 = 4 2 Jawaban: D
5.
Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y = m2 dan garis y = a2 dimana h ≠ n diputar mengelilingi sumbu x volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu y. Nilai a yang memenuhi adalah … (SIMAK 2011)
5
B.
C.
D. E.
5 8 3 8 2 5
A.
WWW.E-SBMPTN.COM 8 5 5 2
Pembahasan: y = x2
y = a2
a Volume diputar sumbu x = Volume diputar sumbu y a
∫ (a
4
−x
0
a2
) dx = ∫ y dy 0
1 a x − x5 5 4
4
]0 π = a
1 2 y 2
]0a
2
π
1 1 4 a5 − a5 = a 5 2
a = 5 8
6.
Luas daerah di bawah y = -x2 + 8x, di atas y = 6x – 24, dan terletak dikuadran I adalah … (SNMPTN 2011) 4
A.
∫ (- x
2
)
+ 8 x dx +
0
∫(
)
0
0
∫(x
2
)
− 2 x − 24 dx
6
∫ (- x
)
2
+ 2 x + 24 dx
2
+ 2 x + 24 dx
4
6 C. - x 2 + 8 x dx +
∫(
6
4
4 B. - x 2 + 8 x dx +
6
Jawaban: A
)
8
∫ (- x 6
)
WWW.E-SBMPTN.COM
D.
E.
6
8
4
6
4
6
0
4
2 ∫ ( 6 x − 24 x ) dx + ∫ ( - x + 8 x ) dx
2 ∫ ( 6 x − 24 x ) dx + ∫ ( - x + 8 x ) dx
Pembahasan: y
y = -x2 + 8x
Luas yang diarsir 4
y = 6x – 24
=
∫ (- x 4
7.
)
+ 8 x dx +
0
= x 4 68
2
∫( 0
6
∫ (- x
2
)
+ 8 x − ( 6 x − 24 ) dx
4
)
-x 2 + 8x dx +
6
∫ ( -x
2
)
+ 2x + 24 dx
4
Jawaban: B
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, dan garis y = x – 2 adalah … (UMB 2011) A. 3 D. 4 1 1 E. 4 B. 3 3 3
2 3 Pembahasan: Rumus Cepat: C. 3
y 2 L = at – 2 y = -x 3 2 y= x t 2
4 Maka Luas Daerah Arsiran 2 1 L = × 4 × 2 − × 2 × 2 3 2 16 10 1 L= −2= =3 3 3 3
-2
Jawaban: B
7
WWW.E-SBMPTN.COM Suatu daerah dibatasi oleh y = sin x dan sumbu x untuk 0 ≤ x ≤ π diputar mengelilingi sumbu x, maka volume yang terjadi adalah … 1 2 π 4 1 2 π 2
B.
D.
3 2 π 2
A.
8.
E. 2π2
C. π2 Pembahasan:
π
V =π
∫ ( sin x ) dx 2
0
π
1 1 V = π + cos2 x dx 2 2 0
∫
π
V=
1 1 x + sin2 x 2 4
V=
1 2 π 2
]0π π
o
Jawaban: B 9.
Besar volume yang terjadi jika elips diputar mengelilingi sumbu x adalah … A. 10π D. 36π B. 14π E. 48π C. 16π Pembahasan: 3
4 y V = π 4 − x 2 dx x2 y2 9 + =1 -3 2 9 4
∫
3
x -3 3
4 = 2π 4 − x 2 dx 9 0
∫
4 3 = 2π 4 x − x 27
]0 3
= 2π(12 – 4) = 16π Jawaban: C
8
WWW.E-SBMPTN.COM 10.
Volume daerah yang dibatasi oleh y = in x, x = 0, y = 0, y = 1 bila diputar terhadap sumbu y adalah … 1 π(e2 + 1) 2
A.
1 π(e2 – 1) 2 1 2 πe 2
B. C.
D.
1 πe 2
E.
1 π 2
Pembahasan: y
y = in x → x = ey y = in x
1
V =π
1
∫ (e ) y
2
dy
0
1
∫
= π e 2 y dy 0
Catatan: • • •
∫e
x
dx = e x + C
in ex = x ein x = x
1 1 = e 2 y ]0 π 2 1 1 = πe 2 − π 2 2 1 = π e2 − 1 2
(
)
Latihan Soal 1.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 1 − x 2 dan sumbu x adalah … A. B. C.
2.
1 π 2 π
D.
2π
E.
3π
3 π 2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis singgung kurva di (-1, 1) dan garis singgung di (3, 9) adalah …
9
WWW.E-SBMPTN.COM
B.
C.
D.
34 3
E.
35 3
28 3 30 3 33 3
A.
2
2 x Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = , y = 5 , sumbu x positif, dan garis x = 5 x 10 adalah … (SPMB 2005)
A. 3
5 6
y
3.
B. 4 1 C. 4 6 5 D. 4 6 1 E. 5 6
B.
C.
5 y= x x
2
D.
92 π 3
E.
95 π 3
64 π 3 72 π 3 81 π 3
C.
4 π 6 5 π 6
D. E.
B.
1 π 6
2 Volume benda putar dari daerah yang dibatasi y = , garis y = 2x, x = 0, x = 4 dan diputar x terhadap sumbu y adalah … A.
10
x = 10
A.
5.
0
2
Volume benda berputar dari daerah yang dibatasi oleh x – 2y = 0 dan parabola y2 – 2x = 0 mengelilingi sumbu x adalah …
4.
x y= 5
7 π 6 8 π 6
WWW.E-SBMPTN.COM
3 3 0 -3 4 0 = 18
Dinyatakan:
ACAB =
AB 9 3 2
=
3 2 2
ACAB =
AC
(
)
(
)
)
C
(
)
(
)
PEMBAHASAN: AG
=
(
Jawaban: E 3. Soal SIMAK UI Tahun 2012 Dalam segitiga ABC, AB = a , AC = b . Jika titik G adalah berat segitiga ABC maka = .... 2 1 A. D. a+b a + b 3 6 1 3 B. E. a + b a+b 4 4 1 C. a+b 3
2 AP 3 =
2 AB + BP 3
A Q B
=
2 1 AB + BC 3 2
=
2 1 AB + BA + AC 3 2
=
2 1 1 AB + AC 3 2 2
=
1 a+b 3
b P G
(
)
(
(
)
) Jawaban: C
4.
Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada sama dengan tiga kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah ....
5
WWW.E-SBMPTN.COM
Diketahui:
uv
=
u× v
v
3v =
3v
=
=
u v cos θ v
cos θ : 3 1 : cos θ
PEMBAHASAN:
D. E.
A. 1 : 3 cos θ B. 3 : cos θ C. 3 cos θ : 1
v
u
3v
3 cos θ Jawaban: B
Soal SNMPTN Tahun 2012 Jika u dan v adalah dua vektor satuan membentuk sudut 30O, maka ( u + v ). v = .... 3 2 A. D. +1 2 2
5.
3 +1 2
C.
3 -1 2
E.
B.
1 3
+1
PEMBAHASAN: ( u + v ). v = u . v + v .u u v cos θ + v
2
=
= 1.1.cos 30o + 12
=
1 3 +1 2 Jawaban: B
6
WWW.E-SBMPTN.COM Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui vektor u = (a, –2, –1) dan v = (a, a, –1). Jika vektor u tegak lurus pada v , maka nilai a adalah .... A. -1 D. 2 B. 0 E. 3 C. 1
PEMBAHASAN: u.v =0 ↔ u ⊥ v
6.
a a -2 × a = 0 -1 -1
a2 – 2a + 1 = 0 (a – 1)2 =0 a =1 Jawaban: C Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui vektor u = (1, – 3a + 1,2) dan v = (a3 – 3a2, 3, 0) dengan –2 < a < 4. Nilai maksimum u . v adalah .... A. 27 D. 1 B. 8 E. -24 C. 3
PEMBAHASAN:
7.
3 2 1 a - 3a u × v -3a + 1 3 2 0
u . v = f(a)
a3 – 3a2 – 9a + 3 = a3 – 3a2 – 9a + 3
fungsi maksimum: f'(a) = 0 3a3– 6a – 9 = 0 a2 – 2a - 3 = 0 (a – a)(a + 1) = 0 a = 3 atau a = –1
7
WWW.E-SBMPTN.COM
+
– –1
+ 3
Maksimum di a = –1 maka, f(-1) = 8 Jawaban: B
8.
Soal SNMPTN Tahun 2011 Vektor u = 4i + bj + ck tegak lurus vektor w = 2i - 2 j + 3k dan u = 2 w , maka nilai b memenuhi .... A. 13b2 – 32b + 404 = 0 D. 13b2 + 32b + 404 = 0 2 B. 13b + 3b – 404 = 0 E. 3b2 – 10b – 402 = 0 C. 13b2 – 32b – 404 = 0
PEMBAHASAN: Diketahui :
4 2 , u = b w = −2 , c 3 apabila u ⊥ w maka: u⋅ w = 0 4 2 b ⋅ −2 = 0 c 3 8 – 2b + 3c = 0 2b − 8 3c = 2b-8 → 3 Diketahui:
16 + b2 + c2
8
=
4 2 + b2 + c 2 =
u =2 w 2 22 + ( −2)2 + 32 2 17
16 + b2 + c2 b2
= 68 = 52 – c2
b2
2b - 8 = 52 – 3
b2
4b2 − 32b + 64 = 52 – 9
2
WWW.E-SBMPTN.COM 9b2 = 468 – 4b2 + 32b – 64 13b2 – 32b – 404 = 0 Jawaban: C 9.
Soal SIMAK Tahun 2010 Diketahui vektor-vektor a = (2, 2, z), b = (–8, y, –5), c = (x, 4y, 4), dan d = (2x, 22 – z, 8). Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b , dan vektor c sejajar dengan d , maka (y + z) = .... A. –5 D. 2 B. –1 E. 5 C. 1
PEMBAHASAN:
⇒ a×b = 0 2 -8 ⇒ 2× y = 0 z -5
a⊥b
....(1)
⇒ 16 – 2y – 5z = 0 ⇒ 2y – 5z = 16 ⇒ c = kd c // d 4 ⇒ −12 −6 1 k = , maka: 2 1 ⇒ 4y = (22 – z) 2 ⇒ 8y + z = 22
Mencari y dan z dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) (1) x 4 8y – 20z = 64 (2) x 1 8y + z = 22
....(2)
–21z = 42 z = –2
Substitusi balik, didapatkan y = 3 Maka nilai y + z = 1 Jawaban: C
9
WWW.E-SBMPTN.COM 4 4 10. Diketahui a = −12 dan b = 2 , dan vektor c merupakan proyeksi orthogonal −6 −4 2 vektor a terhadap b . Jika vektor d = 1 memiliki panjang yang sama dengan vektor c x , maka nilai dari x adalah ... 13 A. 3 17 B. 3 19 C. 3
d=c ⇒
PEMBAHASAN:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
E.
23 3 29 3
D.
d = ab
22 + 12 + x 2 =
4 4 −12 2 −6 −4 4 2 + 22 + ( −4 )
2
16 8 = 6 3 64 x2 + 5 = 9 19 x2 = 9 x2 + 5 =
x = ±
19 19 = ± 9 3
Jawaban: C
LATIHAN SOAL 1.
10
Soal SBMPTN Tahun 2013 Diketahui A (3, 0, 0), B (0, -3, 0), dan C ( 0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi AC ke vektor AB adalah ...
5 2 2
D.
B.
2 2
E.
C.
3 2 2
A.
WWW.E-SBMPTN.COM 2 3 2
2.
Soal SNMPTN Tahun 2012 Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan dua kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah .... A. 1 : 2 cos θ D. 1 : cos θ B. 2 : cos θ E. cos θ : 2 C. 2 cos θ : 1
3.
Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui vektor u = (a3, 3, 4a) dan v = (2, –7a2, 9) dengan 0 < a < 8. Nilai maksimum u . v adalah ... A. 108 D. 6 B. 17 E. 1 C. 15
4.
Soal SNMPTN Tahun 2010
Diketahui a , b , dan c vektor dalam dimensi –3. Jika a ⊥ b , dan a ⊥ ( a + 2 c ), maka a .( b – c ) = .... A. 4 B. 2 C. 1
5.
D. E.
0 –1
Soal UMB Tahun 2009 Jika vektor a dan b memenuhi ( a + b ) . b = 12, a = 2, dan b = 3, maka sudut antara a dan b adalah .... A. 60o D. –45o o B. 30 E. –60o C. –30o
11
WWW.E-SBMPTN.COM
12
20
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SO AL
MATEMATIKA
SB
MP
TN
Set 20 Dimensi 3: Jarak dan Sudut
A. ringkasan materi a. Jarak titik ke titik adalah ruas garis yang menghubungkan titik A dan B. b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang memotong garis tersebut (garis tinggi). A jarak AA1
garis
A1
c.
Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang memotong bidang secara tegak lurus. A jarak bidang
1
WWW.E-SBMPTN.COM Sudut antara garis dengan garis adalah sudut terkecil pada perpotongan 2 garis tersebut. g
d.
α h
e.
Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang. p
αo p1 ν proyeksi op pada bidang ν Sudut antara bidang dengan bidang adalah sudut pada garis/titik pertemuan dua bidang tersebut yang terbentuk oleh bidang ketiga yang tegak lurus pada dua bidang tersebut.
f.
bidang 3
bidang 2 α
garis pertemuan bidang 1
2
WWW.E-SBMPTN.COM Rumus Bantu Segitiga 1. Segitiga siku-siku C
g.
AB . BC = AC . BD
D
B
2.
Segitiga Sama Kaki
A
A
• • •
Garis tinggi AA’ = garis benar (AB = AC) Garis tinggi BB’ garis benar ( BA ≠ BC) Berlaku BC x AA’ = AC x BB’
B1
B
3.
C
A1
Segitiga Sama Sisi
t
= S sin 60o
t
L
=
S
S2 3 4
S
4.
Segitiga Sembarang C
b
a C1
A
C
B
Gunakan segitiga cosinus untuk mencari CC’
3
WWW.E-SBMPTN.COM
a2 + c2 − b2 2ac Cari sin B → CC’ = a sin B
Cos A =
•
Cos B =
b2 + c2 − a2 2bc Cari sin A → CC’ = b sin A
•
CONTOH SOAL 1. Soal SBMPTN Tahun 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai sisi 4 cm. Titik P adalah titik tengah CD, titik Q adalah titik tengah EH, dan titik R adalah titik tengah BF. Jarak P ke QR adalah .... 15
B.
3 2
C.
E. 2 2
PEMBAHASAN: z+ Q
H
Mencari panjang QR: • QR2 = QE2 + EF2 + FR2 QR2 = 22 + 42 + 22
G F
E P1
R P D yr
4
5
6
D.
A.
A
C 4
B
x+
QR =
•
PQ2 =
PQ =
•
PR2 =
PR =
24 = 2 6 QH2 + HD2 + DP2 22 + 4 2 + 22 = 2 6 RB2 + BC2 + CP2 22 + 6 2 + 22 = 2 6
WWW.E-SBMPTN.COM QPR segitiga sama sisi P
Jarak P ke QR = PP’ PP’ = PQ sin 60o 1 = 2 6× 3 = 18 = 3 2 2 60O
a
R
P1
Jawaban: B 2. Soal SNMPTN Tahun 2012 Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 6 dan TA = TB = TC = 5. Jarak titik T ke bidang ABC adalah .... 18
B. C.
13
4
5 3 2 E. 2 3 D.
PEMBAHASAN: T
S
t C
62 - 32 = 3 3
AP =
1 AP 3 2 3 t2 = AT2 – AO2
AO =
= P o A B 2 6 TO = t
(
S2 - 2 3
=
)
2
=
Jarak T ke bidang ABC (t) AP2 = AB2 – BP2
A.
13 Jawaban: B
3. Soal SIMAK UI Tahun 2010 Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan pusat bidang EFGH dan ABCD. Jarak antar garis QF dengan DP adalah .... 3 A. D. 3 2 2 B. 2 3 E. 2
C. 3 3
5
WWW.E-SBMPTN.COM
G
Perhatikan bidang diagonal BDHF! P
H
PEMBAHASAN: H P F E
D
D
A
Q
Q
B
Jarak DF dan QF adalah: 1 1 BF = 6 3 = 2 3 3 3
6
B
C
F
Jawaban: B 4. Soal SNMPTN Tahun 2011 Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah ....
B. C.
t 2 − s2 1 t 2 + s2 4
E.
t 2 + s2
PEMBAHASAN: F
G
DG = S sin 60o 1 3S 2 AG2 = AD2 + DG2
DG = t
E
A
C
60o
S
B
D
D.
3 t 2 − s2 4 3 t 2 + s2 4
A.
1 AG2 = t2 + 3 S 2 3 AG2 = t2 + S 4 3 AG2 = t 2 + S2 4
2
Jawaban: B
6
WWW.E-SBMPTN.COM
5. Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG = GP, maka jarak titik G ke garis AP adalah .... 2a a A. D. 3 6 3 6 2a a 6 B. 3 E. 3 3 a C. 6 3 PEMBAHASAN: P
G
F
E
G'
H
Jarak G ke AP (GG’) GP = 2a AP2 = AH2 + HP2
AP =
D
A
2a
L ∆ AGP
=
2a 2 . 2a
C
( 2a 2 )
2
+ ( 4a)
2
AP = 2a 6
B
1 1 . AH . GP = . AP . GG' 2 2 = 2a 6 GG'
GG' = 2a 2 6 1 = a 3 3
Jawaban: D 6. Soal SIMAK Tahun 2012 Diberikan bidang empat ABCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika BD = BD = 2 cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan ....
B.
C.
D.
π 6 π 4 π 3
E.
A.
3π 4 π 2
7
WWW.E-SBMPTN.COM PEMBAHASAN:
A
∠ ACD, BCD = ∠ AP, PB = ∠ α ∠ BCD = 45O
BP = BC Sin 45O
1 a BP = a 2 . 2 D 2 a 2 BP = a α a P B tan α = =1 a a 2 π C α = 4 Jawaban: B
7. Soal SIMAK UI Tahun 2011 Diberikan prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan BE = 2AC. Titik P dan Q adalah titik pusat sisi ADEB dan CFEB. Tititk R adalah titik pusat sisi ABC dan titik S adalah titik tengah rusuk CF. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara garis PQ dan garis RS, maka nilai cos α adalah ....
B. C.
D.
1 4
E.
1
D
F
PEMBAHASAN:
S E
Q 2a a A C R M
P
B
8
3
1 3
1 2 1 3 2
A.
∠ PO, SR = ∠ ST, SR
CM2 = CB2 – BM2 1 CM2 = a2 – a 2 1 2 2 2 CM = 3 − a 4 2 3 2 CM = a 4 1 CM = a 3 2
2
WWW.E-SBMPTN.COM
SR2 = SC2 + CR2 2
2 SR = SC + CM 3 2 1 SR2 = a2 + a 3 3 1 SR = a 3 3
2
cosα =
2
1 a 2
2 a 3 3 1 = 3 4 Jawaban: D
8. Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui limas TABC dengan TA tegak lurus bidang ABC, panjang rusuk AB, AC, BC dan TA 9 cm. Jika ϕ merupakan sudut antara bidang 5 BCT dengan bidang ABC, maka nilai cos ϕ adalah .... berturut-turut adalah 3 cm, 4 cm, 5 cm, dan
B. C.
3 5 4 5 6 25
D. E.
A.
9 25 12 25
PEMBAHASAN: T
5 9
C
A
P B
9
WWW.E-SBMPTN.COM Perhatikan TAP!
4
A
5
Berlaku BC x AP = AB x AC 5 x AP = 3 x 4
AP =
C
12 5
B
3
15 = 3 (Triple Pythagoras) 5 AT 9 Maka sin ϕ = TP 5 9 ν = 5 =3 P A 3 5 15 T
TP =
5 Jawaban: A
D.
B.
2 3 3
E.
C.
2 2 3
2 3
1 3
TM = MC
102 − 52
=
=
5 3
10 t
=
5 1 MC = 3 3 3
TO
=
TM2 − MO2
S B B 10
=
M
α
B
MO
10
1 3
PEMBAHASAN:
A.
9. Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang rusuk 10 cm. Jika sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah α , maka nilai sin α adalah ....
75 −
10 25 = 3 3
6
sin α
=
WWW.E-SBMPTN.COM 10 6 TO 3 2 = = 2 TM 5 3 3 Jawaban: C 10. Soal SIMAK UI Tahun 2010 Pada kubus ABCD.EFGH, titik K terletak pada rusuk GH, sehingga HK : GH = 1 : 2. Titik M terletak pada rusuk EF sehingga EM : MF = 1 : 2. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara irisan bidang yang melalui titik A, C, K, dan irisan bidang yang melalui A, C, M, maka nilai dari cos α adalah .... 7 19 11 11 19 7 11 19 57
B. C.
E.
57 19 11 2 19 11
PEMBAHASAN: N
G
D.
A.
k
F
Q
P
M
H
E
C
B D
D
A
Perhatikan persegi EFGH, misal EH = 12 G
N
F
FQ =
Q
K
P
M
HP =
H E L 12
=
=
FM sin 45 1 8. 2 =4 2 2 HL sin 45 1 6. 2 =3 2 2
11
WWW.E-SBMPTN.COM
PQ =
12 2 – (3 2 + 4 2 ) = 5 2
Perhatikan Bidang BDHF!
=
HF – (HP + FQ)
H
3 2P
Q 4 2 F
5 2
12 12 α D
γ
θ T
3 2
α + θ + γ = α = tan α =
R
2 2 3 2
180o 180o – ( θ + γ ) –tan ( θ + γ ) –
tan α + tan γ 1 − tan θ tan γ
=
–
2 2 +3 2 1− 12
tan α
=
5 2 ( de ) 11 ( sa )
=
3 19
α 11
Maka: cos α =
11 3 19
=
11 19 57
5 2
= =
B
S 2 2
tan θ tan γ
Jawaban: C
LATIHAN SOAL 1. Soal SNMPTN Tahun 2011 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik M berada di tengah ruas garis EH. Titik N berada di tengah ruas garis EF. Jarak titik E ke bidang MNA adalah ....
12
WWW.E-SBMPTN.COM
B.
1 3
C.
1 2
D. E.
A. 1
3 4 1 4
2. Soal SIMAK UI Tahun 2010 Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas ABC siku-siku di B. Panjang rusuk tegak prisma 2 2 satuan, panjang AB = panjang BC = 4 satuan. Maka jarak A ke EF adalah ... satuan A. 4 D. 2 6 B. 4 2 E. 4 6 C. 4 3 3. Soal SNMPTN Tahun 2009 Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik tengah sisi AB, BF, dan FG diberi simbol X, Y, dan Z. Besar ∠ YXZ adalah .... A. 15o D. 60o B. 30o E. 90o o C. 45 4. Pada suatu kubus PQRS.TUVW sudut antara garis PW dan bidang diagonal QUWS sama degan .... A. 75o D. 30o B. 60o E. 15o C. 45o
5. Besarnya cotangent sudut BEG dan ABGH pada kubus ABCD.EFGH adalah .... A. D. 2 6 B. E. 2 2 3 C. 5
13
WWW.E-SBMPTN.COM
14
21
WWW.E-SBMPTN.COM
M TO ATER P L ID EV AN EL LAT - X IH II S AN MA SB
MP
MATEMATIKA
TN
Set 21 Dimensi 3 : Luas dan Volume Ringkasan Materi a.
Bidang iris adalah bidang datar yang membagi bangun ruang menjadi 2 bagian.
A.
bagian 1
bidang iris
bagian 2
b. c.
Untuk membentuk bidang iris minimal dibutuhkan 3 titik. Langkah membentuk bidang iris: 1. Hubungkan semua titik yang terletak pada bidang yang sama. H
G F
E Q
P
D
A
C
B
1
WWW.E-SBMPTN.COM 2.
Hubungkan garis yang didapat pada no.1 dengan perpanjangan rusuk yang sebidang dengan garis. H
G
F
E Q
P
D A
C
B
3.
Bila terdapat dua titik pada alas atau atap, hubungkan untuk membentuk sumbu afinitas. H
G F
E Q
P
D
4.
A
as finit
bu a
sum
C
B
Hubungkan sumbu afinitas dengan perpanjangan rusuk alas. H
G F
E Q
P
D A
5.
C
B
Kembali hubungkan dua titik sebidang, sehingga terbentuk bidang iris. H
G F
E Q
P
D A
2
B
C
WWW.E-SBMPTN.COM d. Luas dan Volume 1.
C
1 ( AB )( t ) 2 1 L = ( AB )( AC ) sinα 2
L=
t
α A
B
2.
Perbandingan Luas dan Volume P
LPQR a2 = LPST b2
a
L QRST =
b
R Q S
b2 − a2 LPST b2
T
T
C
b
A
VPQRABC =
B
b3 − a3 VTPQR b3
P
R
Q
3.
VTABC a3 = VTPQR b3
a
VSilinder = Lalas × T VKerucut =
1 L ×T 3 alas
3
WWW.E-SBMPTN.COM
CONTOH SOAL 1.
Soal Simak UI 2013 Pada kubus ABCD.EFGH titik P terletak pada segmen BG sehingga 2 × PG = BP. Titik Q adalah titik potong garis HP dan bidan Gabcd. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah … cm2. A. 3 2 D. 27 2 B. 9 2 E. 36 2 C. 18 2 PEMBAHASAN: H
G F
E 6
2
P
C
D
A
•
Q
B
6
2 BG 3 2 = ×6 2 = 4 2 3
BP =
• Perhatikan ∆HAQ! H P 9
2
2
6
A
•
4
B
Berlaku: BQ 4 2 = BQ + 6 6 2 3BQ = 2BQ + 12 BQ = 12
Q
WWW.E-SBMPTN.COM •
Maka luas APQ
LAPQ =
1 AQ × BP 2 1 = 18 × 4 2 2 = 36 2
2 6
C.
3 3
B.
PEMBAHASAN:
E.
Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG = FP. Jika α adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka luas bidang α adalah … cm2. 3 5 A. D. 6 2 2 9 2
1 CR = AC = 2 2 1 1 FG = EG = 2 4 2
H Q Perhatikan ∆SCR! G F E P S
X F D 2
B
A
R
C
G
1 2 2
R 1 2 2
2 C
x = 2 Panjang RS:
Berlaku: 1 2 x = 2 x+2 2 x 1 = x+2 2 2x = x + 2
RS = CR2 + CS2 RS =
( 2)
2
+ 42 = 3 2
2.
Jawaban: E
5
WWW.E-SBMPTN.COM
Luas BDS: 1 LBDS = BD × RS 2 2 1 1 ( α ) = 2 2 2 × 3 2 = 6 cm2 2 1 Luas BDQP (a), rasio 2
2
3 9 LBDQP = × 6 = cm2 4 2 Jawaban: E Soal Simak UI 2010 Pada kubus ABCD.EFGH, titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga HK : KG = 1 : 2. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C, dan K adalah …
B.
C.
PEMBAHASAN: P
L E
H
K
M
G F
C
D A
•
•
6
a
1 HK = HG 3 1 HK = a 3
B
D.
4 a2 22 3
E.
a2 22 3
a2 22 9 4 a2 22 9 2a2 22 9
A.
3.
WWW.E-SBMPTN.COM Perhatikan persegi EFGH!
K
N
G
•
HM = HL sin 45o a 1 2 3 2 a 2 HM = 6
M
L
HM =
E
F
Perhatikan ∆PDL! P
x 1 = x+a 3
D
3x = x + a a 2x = a → x = 2
H M 1 a 2 a 6
X
1 a 2 2
Maka PD =
Panjang
3 a 2 LP = PD2 + DL 2
3 1 LP = a + a 2 2 2
2
LP =
9 2 2 2 a + a 4 4
1 LP = a 11 2
1 Luas ∆ACP: L ACP = 2 × AC × LP 1 1 L ACP = × a 2 × a 11 2 2 1 2 L ACP = a 22 4
1 Luas ACKL, Rasio 3
2
8 L ACKL = L ACP 9
7
WWW.E-SBMPTN.COM 8 1 L ACKL = × a2 22 9 4 2 L ACKL = a2 22 9 Jawaban: C 4.
Soal UMB 2012 Sebuah silinder terletak di dalam kerucut sehingga bidang alasnya berimpit dengan bidang alas kerucut dan lingkaran atasnya terletak pada selimut kerucut. Jika tinggi silinder adalah sepertiga tinggi kerucut, maka perbandingan volume silinder terhadap volume kerucut adalah …. A. 1 : 3 D. 5:9 B. 4 : 9 E. 5:8 C. 1 : 2 PEMBAHASAN:
t 1 1 t 2 = t1 → 2 = t1 3 3
P
r2
T
1 QR = PR 3
t1
Q
R
r1
S
2 Maka, PQ = PR 3 2 Dengan prinsip kesebangunan QT = RS 3 r 2 2 r2 = r1 → 2 = r1 3 3
πr22 t 2 VSilinder Maka, = 1 2 VKerucut πr1 t1 3
5.
8
=
3 r2 r2 t 2 r1 r1 t1
=
3 . 2 . 2 .1 4 = 3. 3.3 9
Jawaban: B
Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG = 2FP. Jika α adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka bidang tersebut membagi volume kubus dalam perbandingan ....
WWW.E-SBMPTN.COM A. 18 : 36 B. 19 : 35 C. 19 : 38
D. E.
20 : 36 20 : 45
PEMBAHASAN: • (2)
• H
Q
G
• P E (1)
• (3) C
D
A
Misal Panjang AB = 6 cm 2 FG = 4 cm 3 4 2 Rasio = r = = 6 3 GP =
CR = 3 × CG = 3 × 6 = 18
B
Volume CBDGPQ (V1)
•
8 V1 = 1− VRCBD 27 19 1 1 = . . 6 . 6 . 18 27 3 2 V1 = 76
•
V total Kubus = V = 216 Maka, Volume Bagian Kedua adalah: V2 = 216 – 76 = 140 Maka,
V1 19 = V2 35 Jawaban: B
Soal SNMPTN 2010 Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P dan BC dengan |PC| = t dm. Titik Q adalah proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Luas segitiga AQR adalah … dm3.
C.
2 t +1 1 2
B.
1
t +1 2
D.
E.
A.
6.
t2 − 1 2 1 + t2
2 t2 + 1
9
WWW.E-SBMPTN.COM PEMBAHASAN: H
R
G D F
E
S
C
Q
t
S D
P
Q C P t dm
B
A
B
A
•
PD = 1+ t 2
•
Perhatikan ∆ APD S × S = PD × AQ 1 1+ t 2
AQ = •
Luas AQR =
=
=
1 AQ QR 2 1 1 .1 2 1+ t 2 1 2 1+ t 2 Jawaban: A
7.
Soal SNMPTN 2010 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan, kemudian P, Q, dan R berturut-turut adalah titik tengah AB, BF, dan FG. Luas perpotongan bidang PQR dengan kubus tersebut adalah … satuan A. 3
D.
6 3
B. 3 2
E.
8 3
C. 3 3
10
WWW.E-SBMPTN.COM PEMBAHASAN: H
Bangun yang terbentuk adalah segi enam beraturan dengan panjang sisi 2 . Maka luas segi enam tersebut adalah:
G R F
E
Q
D
C
A
52 3 cm2 4
L=6.
B
3 = . 2 3 cm2 2 = 3 3 cm2 Jawaban: C
Soal UMB 2009 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P di tengah-tengah AE, titik Q di tengah-tengah BF, titik R pada FG dan titik S pada EH sedemikian sehingga bidang PQRS membentuk sudut 30o dengan bidang ABCD. Bidang PQRS mengiris kubus menjadi 2 bagian. Perbandingan volume bagian yang kecil dan yang besar adalah …. 3+8 3 61 -3 + 8 3 61 3+8 3 67
C.
B.
D. E.
A.
-3 + 8 3 67 3+8 3 63
PEMBAHASAN: H
G
S
R
F
E
F
1
R
G
60o 30o
Q
A
2
B
C
8.
Volume Prisma FQR.EPS V1
= Luas FQR × Tinggi 1 = (1) 3 × 2 = 3 2
C
B
Panjang FR = FQ tan 60o PR =
3
( )
11
WWW.E-SBMPTN.COM Maka Volume Bagian 2 (V2 ) V2 = V kubus – V1 = 8– 3 Maka,
V1 3 8+ 3 = × V2 8 − 3 8 + 3 =
3+8 3 63
9.
Jawaban: E Soal UMB 2008 Tinggi sebuah limas tegak adalah 5 cm dan alasnya suatu segi empat ABCD dengan semua titik sudutnya terletak pada busur lingkaran, titik B dan D masing-masing berjarak 10 cm dan 6 cm dari A dan keduanya tidak terletak pada busur yang sama, maka volume limas sama dengan … A. 39 cm3 D. 65 cm3 B. 50 cm3 E. 75 cm3 C. 60 cm3 PEMBAHASAN: D
C 6
A
10
10
B
CD = 8 cm (Pythagoras) 1 LACD = . 6 . 8 2 = 24 BC = 3 10 (Pythagoras) 1 . 10 . 3 10 = 15 2 LABCD = LADC + LABC = 39 1 VLimas = LABCD × TLimas 3 1 = . 39 × 5 = 65 cm3 3 LACD =
12
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM 10. Soal SNMPTN 2008 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang tiap rusuk 2 3 . Jika titik P terletak pada EF dan titik Q terletak pada GH sehingga bidang APQD membentuk sudut 60o dengan bidang ABCD, maka bidang APQD mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih kecil adalah …. A. 8 cm3 D. 11 cm3 B. 9 cm3 E. 12 cm3 C. 10 cm3 PEMBAHASAN: Q
H
G
F
E
P
D
C 60o B
2
A
3
Perhatikan AEP P
E
PE EA PE = tan 300 EA 1 2 3 =2 3⋅ 3 =2 3
60o
tan 300 =
30o
A
Volume bagian kecil adalah volume prisma dengan alas AEP dan tinggi EH V = (LAEP) × (EH) =(
1 . 2 . 2 3 ) × (2 3 ) = 12 cm3 2
Jawaban: E
13
WWW.E-SBMPTN.COM
LATIHAN SOAL 1.
Soal SINPENMARU Tahun 1988 Q H
G F
E
D A
C B
P
14
ABCD.EFGH adalah sebuah kubus dengan panjang rusuk a cm. Jika P dan Q masingmasing adalah titik pada perpanjangan FB dan FG, perbandingan isi bidang empat P.EFQ dan isi kubus ABCD.EFGH adalah .... A. 1 : 1 D. 2:3 B. 1 : 2 E. 3:4 C. 1 : 3
2.
Soal UMPTN Tahun 2000 Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD. EFGH adalah …. A. 1 : 4 D. 1 : 12 B. 1 : 6 E. 1 : 24 C. 1 : 8
WWW.E-SBMPTN.COM
3.
Soal UMPTN Tahun 2000 D
F E
C
A B
4.
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dan CG, dibuatlah bidang datar. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan .... 3 2 A. a D. 2a2 2
C.
a2 6
E.
1 2 a 6 2
1 2 a 6 3
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang masing-masing rusuk 4. Jika I di tengahtengah AB dan J di tengah-tengah FG, luas segitiga ICJ sama dengan .... A. 5 21 B. 4 21
D.
2 21
E.
21
5.
B.
Perhatikan gambar prisma tegak di ABC DEF di atas. Jika volume limas F ABC sama dengan 12 cm3 dan tinggi prisma 4 cm, luas alas prisma tersebut adalah …. A. 3 cm3 D. 1 : 12 3 B. 4 cm E. 1 : 24 3 C. 6 cm
C. 3 21
15
WWW.E-SBMPTN.COM
16
