Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
SISTEM BILANGAN BULAT
A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02. Notasi Himpunan : B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Dalam bentuk garis bilangan
B. Operasi Bilangan Bulat Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan. Definisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari (-n) adalah – (-n) sehingga (-n) + (-(-n)) + (-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n) adalah n. Operasi Penjumlahan a. Tertutup
a + b bilangan bulat
b. Komutatif a + b = b + a c. Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
d. Identitas
a+0=a
e. Invers
a + (-a) = 0
1
Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
Operasi Pengurangan Lawan (invers) a – b = a + (-b) Catatan : Penjumlahan 2 bilangan bulat 1. (-a) + (-b) = - (a + b)
penjumlahan 2 bilangan negatif
2. (-a) + b = b – a
jika a < b
3. a + (-b) = a – b
jika b < a
Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b) Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b). c + b = ((-a) + (-b)) + b
sifat kesamaan
c + b = (-a) + ((-b) + b)
sifat asosiatif penjumlahan
c + b = (-a) + 0
invers penjumlahan
(c + b) + a = (-a) + a
sifat kesamaan
(c + b) + a = 0
invers penjumlahan
c + (b + a) = 0
sifat asosiatif penjumlahan
c + (a + b) = 0
sifat komutatif penjumlahan
(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b)
sifat kesamaan
c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b)
sifat asosiatif
c + 0 = – (a + b)
invers penjumlahan
Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b).
2
Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
Bukti bahwa (-a) + b = b – a . Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita jelaskan sebagai berikut : Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c (-a) + b = (-a) + (a + c) = ((-a) + a) + c
asosiatif penjumlahan
=0+c
invers penjumlahan
=c =b-a Jadi terbukti bahwa (-a) + b = b – a. Contoh operasi penjumlahan dan pengurangan: Buktikan jika r + t = s + t dengan r, s, t adalah bilangan bulat, maka r = s. Jawab : r+t=s+t
pernyataan
r + t + (-t) = s + t + (-t) r + (t + (-t)) = s + (t + (-t)) r+
0
=s+ r=s
0
sifat penjumlahan pada kesamaan ( di tambah –t) sifat asosiatif penjumlahan invers penjumlahan kesimpulan
Latihan Soal 1. Buktikan bahwa – (x + y + z) = - x – (y + z) dengan x, y, z merupakan bilangan bulat positif. 2. Buktikan bahwa (a + h) – (h + b) = a – b dengan a, b, dan h adalah bilangan bulat positif dan b < a.
3
Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
Operasi Perkalian a. Tertutup
a x b bilangan bulat
b. Komutatif a x b = b x a c. Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
d. Identitas a x 1 = a e. Distributif a (b + c) = ab + ac a (b - c) = ab – ac f. Invers
ax0=0
Catatan :perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab (-a) x (-b) = ab Operasi Pembagian Kebalikan (invers) dari perkalian a : b = a x 1/b Perkalian bilangan bulat Kita telah mempelajari perkalian bilangan cacah, selanjutnya pengetahuan itu dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat, kita dapat melakukan perkalian bilangan bulat yang salah satu atau kedua-duanya bilangan bulat negatif. Tetapi sebelum kita membicarakan hal itu terlebih dahulu kita buktikan suatu sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan yaitu: Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b. Bukti :
4
Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
a+c=b+c (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)
(sifat kesamaan)
a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)
(assosiatif penjumlahan)
a+0=b+0
(invers penjumlahan)
a=b Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b). bukti : a x (b + (-b)) = a x 0 (a x b) + (a x (-b)) = 0 (a x (-b)) + (a x b) = 0 ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b)) (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b) a x (-b) + 0 = -(a x b) a x (-b) = -(a x b) Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka : (-a) x b = b x (-a) = – (b x a) = -(a x b)
5
Materi Kuliah Teori Bilangan Universitas Suryakancana Cianjur 2011
septianari.blogdetik.com (11/10/11)
Pembagian bilangan bulat Seperti halnya pembagian bilangan cacah, pembagian bilangan bulat juga didefinisikan dengan perkalian. Telah dibuktikan bahwa (-a) x b = a x (-b) = -(a x b) dan seterusnya kita tulis dengan –(ab), maka : 1) –(ab) : a = (-b)
3) -(ab) : (-a) = b
2) –(ab) : b = (-a)
4) -(ab) : (-b) = a
Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka: 5) ab : (-a) = (-b) 6) ab : (-b) = (-a) Contoh operasi perkalian dan pembagian : Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab. Jawab : (-a)(b + (-c)) = (-a)(b) + (-a)(-c)
sifat distributif perkalian penjumlahan
= (-(ab)) + ac
perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac
= ac + (-(ab))
sifat komutatif perkalian
=ac – ab
penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)
Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.
6
