1/17
GONIOMETRIE Základní pojmy: • Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku • Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu • Grafy a základní hodnoty gon. fcí • Goniometrické vzorce • Úpravy goniometrických výrazů • Goniometrické rovnice 1. Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku - opakování sin α =
cos α =
tg α =
cotg α =
2. Jednotková kružnice
sin 0° =
sin 90° =
sin 180° =
sin 270° =
sin 360° = sin 0° =
cos 0° =
cos 90° =
cos 180° =
cos 270° =
cos 360° = cos 0° =
tg 0° =
tg 90° =
tg 180° =
tg 270° =
tg 360° = tg 0° =
cotg 0° =
cotg 90° =
cotg 180° =
cotg 270° =
cotg 360° = cotg 0° =
3. Stupňová a oblouková míra Dva způsoby vyjádření úhlu:
stupňová míra ......... úhel otočení oblouková míra ....... délka oblouku
jednotka stupeň [ °] jednotka radián [rad]
360°......................... o = 2.π.r = 2.π →
360° = 2.π 180° = π
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
2/17
Vyjádřete v radiánech: 30° =
45° =
60° =
90° =
120° =
135° =
150° =
210° =
240° =
4π = 3
4π = 5
14π = 9
π
4π = 6
4π = 18
330° = Vyjádřete ve stupních:
15
=
4. Základní velikost orientovaného úhlu α = 135°
otáčení ramenem proti směru hodinových ručiček
α = -220° = 140°
otáčení ramene po směru hodinových ručiček
Pro základní velikost x 0 orientovaného úhlu platí 0° ≤ x 0 < 360° resp. 0 ≤ x 0 < 2π. Velikost orientovaného úhlu: x = x 0 + k.360° x = x 0 + k.2π , kde k ∈ Z Urči základní velikost orientovaného úhlu: x = 745°
x = 935°
x = −120°
x = −333°
x = −571°
x = 1425°
d = 15π
d =−
13 π 4 18 d= π 5
d=
d =−
47 π 6
22 π 3
d = −13π
Příklady: 1. Vyjádří v obloukové míře: 180°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
2. Převeď na stupňovou míru:
π
π
π
8
4
7
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
3/17
2π 5
7π 9
4π 3
3. Na jednotkové kružnici najdi bod, jehož poloha je určena:
π 3
11π 2
11π
7π 6
3π 2
30°
135°
−45°
790°
−225°
4. Přiřaď jednotkové kružnici hodnoty úhlů: 5 3 π π π 4 2 4 5 π π π 3 6 2 π 5π π 3, 3 4 135° 180° 220° 760° −450° −45°
PRACOVNÍ LISTY
3 π 4 11π 6
−
7 π 4 7 π 6
14π 3
π 6 2π 3
2π −120°
2. ROČNÍK
Goniometrie
4/17
Funkce sinus y = sin x
Vlastnosti
y = sin x
Definiční obor fce D f Obor funkčních hodnot H f Sudost, lichost fce Periodičnost fce Monotónnost
- posunutý o π/2 vlevo
5. Funkce kosinus y = cos x
Vlastnosti
y = cos x
Definiční obor fce D f Obor funkčních hodnot H f Sudost, lichost fce Periodičnost fce Monotónnost
6. Funkce tangens y = tg x Vlastnosti
y = tg x
Definiční obor fce D f Obor funkčních hodnot H f Sudost, lichost fce Periodičnost fce Monotónnost
tgx =
sin x , cos x ≠ 0 cos x
7. Funkce cotangens y = cotg x Vlastnosti
y =cotg x
Definiční obor fce D f Obor funkčních hodnot H f Sudost, lichost fce Periodičnost fce Monotónnost
cot gx = PRACOVNÍ LISTY
1 cos x ⇒ cot gx = , sin x ≠ 0 tgx sin x 2. ROČNÍK
Goniometrie
5/17
8. Grafy složených goniometrických funkcí Sestrojování grafu funkce f: y = a . sin(bx + c) + d: c Výraz v závorce upravíme a pak vyšetřujeme funkci y=a . sin b x + + d b Dané číslo ovlivňuje: a ........... obor hodnot
b ......... periodu
př.:y = 2.sinx
H f = 〈-2;2〉
c ......... posunutí po ose x b
př.:y =sin(x+π)
posunutí o π vlevo
př.:y = sin2.x
perioda ...2π/2
d ......... posunutí po ose y př.:y =sin x+2
posunutí o 2 nahoru
Procvičení:
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
6/17
9. Hodnoty goniometrických funkcí kosinus
sinus
kotangens
tangens
2. kvadrant: α α
3. kvadrant:
α α
4. kvadrant:
Příklady: 1. Vypočti
π
− 3tg
b)
3 cos
c)
cot g 30° − tg 60° =
d)
sin 45°. cos 45° =
e)
tg
f)
sin 60° + 2 cos 60° − cos 30° =
g)
sin 45°. cos 45° − tg 45°. cot g 45° =
π 4
6
π 4
+ 2tg
π
a)
− 3 sin
+ cot g
PRACOVNÍ LISTY
π 4
3
=
π 4
+ 2(cos
π 3
− sin
π 6
)=
=
2. ROČNÍK
Goniometrie
7/17
2. Která z čísel lze považovat za hodnotu fce sinus nebo kosinus? 0; 2; -3; 0,8; -1; 4/5; 11/10; -0,25; -8/9 Která z čísel lze považovat za hodnotu fce tangens nebo kotangens? 0; 2; -3; 0,8; -1; 4/5; 11/10; -0,25; -8/9 3. Vypočti bez kalkulačky 25 sin π 6 cos(−1170°) 11 sin π 2 9 cos(− π ) 3 25 cos π 6 79 sin( − π ) 4
sin 0,2π
6π 5π ≥ sin 9 9
PRACOVNÍ LISTY
cos 480°
7 sin π 2
7 sin(− π ) 2
cos(−5π ) sin 330°
5 sin π 2
sin 120°
cos(−450°)
cos 354°
5. Rozhodni, zda dané výroky jsou pravdivé: π π 9π 10π cos > cos sin ≥ sin 5 6 7 7
sin
sin(−300°)
sin(−210°)
4. Urči, která z čísel jsou kladná, záporná nebo rovna 0: 12 9 25 sin π cos π cos π 17 4 3
sin 2350°
cos 315°
cos 450°
cos
10π 11π < cos 6 6
sin 183°
cos 175°
sin 354°
cos 5,27
sin 75 ≥ sin °60°
cos190° > cos 200°
2. ROČNÍK
Goniometrie
8/17
6. Urči všechna u ∈ − 3π ,2π pro něž platí: sin u = 1 sin u = −1 cos u = 0 sin u = 0
7. Urči, do kterého kvadrantu patří y, pro které platí: sin y > 0, cos y > 0 sin y < 0, cos y < 0
sin y < 0, cos y > 0
8. Sestroj grafy funkcí: y = 2 sin x
sin y > 0, cos y < 0
y = − sin x
y = sin 2 x
y = 1 + sin x
y = −2 + sin x
y = 2 − sin x
y = sin x
1 y = sin x 2
y = sin
π
y = sin( x − ) 2
PRACOVNÍ LISTY
1 x 2
y = sin( x +
π 3
)
2. ROČNÍK
Goniometrie
9/17
10. Goniometrické vzorce
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
sin 2 x = 2 sin x cos x
sin( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
sin x tgx = cos x
tgx =
cos x cot gx = sin x
1 cot gx
sin(− x) = − sin x cos(− x) = cos x
cos( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y x+ y x− y ⋅ cos 2 2 x+ y x− y ⋅ sin sin x − sin y = 2 cos 2 2 x+ y x− y ⋅ cos cos x + cos y = 2 cos 2 2 x+ y x− y ⋅ sin cos x − cos y = −2 sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
Příklady: 1. Zjednoduš výrazy, uveď definiční obor výrazů: a ) cos( −u ). cos u − sin u. sin( −u ) =
b)
sin 2 x = 1 + cos x
c ) sin 2 y + cos 2 y + tg 2 y =
d)
1 1 + = 2 1 + tg x 1 + cot g 2 x
e) sin 2 y. cot g 2 y − sin 2 y + 1 =
tgy. cos 2 y f) = 1 − cos 2 y
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
10/17
g ) cos 2 v. sin 2 ( −v ) − 2 sin( −v ). cos( −v ) + 1 =
h )(1 + tg 2 x ). cos 2 x =
i )1 − sin 2 t + cot g 2 t. sin 2 t =
j)
cos 2 y = 1 − sin y
k)
tgy = tg y + 1
l)
cos 3 x − cos x = sin 3 x − sin x
2
Urči hodnoty ostatních goniometrických funkcí, je-li dáno: π 3 a) sin x = 0,6; x ∈ , π b) cos x = −0,6; x ∈ π , π 2 2 2.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
11/17
1 3 c) cot gx = − ; x ∈ π ,2π 3 2
3.
Zjednoduš:
a) cos(
π
b) cos(
c) sin(
3
π 2
π 4
+ x ) − cos(
− x ) − cos(
+ x ) − sin(
π 3
π 2
π 4
2 1 d) tgx = − ; x ∈ π , π 3 2
− x) =
+ x) =
− x) =
d) sin y. cos( x + y ) − cos y. sin( x + y ) =
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
12/17
4. Dokaž, že platí: a ) sin( x + y ). sin( x − y ) = sin 2 x − sin 2 y
3 b) 2 cos(u − π ) = sin u − cos u 4
c ) sin(u + v ) + cos(u − v ) = (sin u + cos u )(sin v + cos v )
5.
Vypočti hodnoty všech goniometrických funkcí pro x = 75° bez kalkulačky.
6. Urči bez kalkulačky: a) sin 75° + sin 15° =
b) cos105° − cos 315° =
7.
Je dáno:
π a) sin x = 0,6, x ∈ , π . Zjisti sin 2 x, cos 2 x. 2
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
13/17
π . Zjisti sin 2 x, cos 2 x, tg 2 x, cot g 2 x. 2
b) cos x = 0,4, x ∈ 0,
8.
Je-li cos x = a) −
9.
3 5
Je-li cos x = a) −
3 5
4 , pak výraz cos 2 x je roven číslu: 5 2 2 3 b) c) − d) e) žádná z předchozích odpovědí není správná 5 5 5
1 , pak výraz 1 + cos 2 x je roven číslu: 5 2 2 3 b) c) − d) e) žádná z předchozích odpovědí není správná 5 5 5
10. Goniometrické rovnice Základní goniometrická rovnice je každá rovnice daná ve tvaru g(x) = a, kde g je jedna z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg, a∈ R a) Vyčtení hodnot z jednotkové kružnice: sin x = - 0,5 x1 = 210° + k .360° x2 = 330° + k .360°
2 2 substituce
b) Substituce: cos (30° + 2x) =
cos y =
PRACOVNÍ LISTY
30° + 2x = y
2 2
2. ROČNÍK
Goniometrie
14/17
y 1 = 45° + k .360° ⇒ 45° + k .360° = 30° + 2x 1
x1 = 7,5° + k.180°
y 2 = 315° + k .360° ⇒ 315° + k .360° = 30° + 2x 1
x 2 = 142,5° + k.180°
c) Substituce a řešení kvadratické rovnice: 3sin 2 x + 3sinx = 0
substituce
sinx = y
3y + 3 y = 0 2
y1 = 0 ⇒ sin x1 = 0
x1 = 0 + kπ y 2 = −1 ⇒ sin x 2 = −1 x2 =
3π + 2 kπ 2
d) Použití goniometrických vzorců: sin2x = (sin x − cos x) 2 sin 2 x = sin 2 x − 2. sin x. cos x + cos 2 x sin 2 x = − sin 2 x + 1 2. sin 2 x = 1 1 sin 2 x = ⇒ substituce.....2 x = y 2 1 sin y = 2 y1 =
π
6
+ 2kπ ⇒ 2 x1 =
π
6
y2
y1
+ 2kπ
π + kπ 12 5π 5π + 2kπ ⇒ 2 x1 = + 2kπ y2 = 6 6 5π x2 = + 2kπ 12 x1 =
Příklady: 1. Řeš goniometrické rovnice: a ) sin x = 0,5
PRACOVNÍ LISTY
b) sin x = −0,5
2. ROČNÍK
Goniometrie c) 2. cos x =
1 3
15/17
d ) cot gx = −1
e) tg 2 x = − 3
f ) cos(30° + x) = −0,86
π g ) sin 2 x − = 1 3
π 3 h) sin x + = 6 2
π i ) 2 sin 3 x + = 1 3
j ) cos(2 x + 45°) = 0,5
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
16/17
k ) 3 cot g 2 x + 3 cot gx = 0
l ) 2 cos 2 x + 5 cos x − 3 = 0
m) 3tg 2 x − 3tgx = 0
n) cos 2 x − cos x = 0
o) 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0
p ) sin 3 x + sin x = 0
2. Uprav podle vzorců a vyřeš rovnice: a ) 2 sin 2 x = cos 2 x − 1
b) cos 2 x − 2 sin x + 2 = 0
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Goniometrie
17/17
c) sin 2 x − 1 = 2 cos 2 x
d ) 6 cos 2 x = 7 − 5 sin x
e) sin 2 x − cos2 x + 1 = 0
f ) tgx + cot gx = 4 sin 2 x
3. Počet všech kořenů rovnice sin 2 x = 0 v intervalu (0, π ) je roven číslu: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
4. Počet všech reálných řešení rovnice cos 2 x = a) 2
b) 4
c) 3
d) 0
e) jiná odpověď
3 je na intervalu 0,2π roven číslu: 2
e) jiná odpověď
5. Počet všech reálných řešení rovnice tg 2 x = 3 je na intervalu 0, π roven číslu: a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) jiná odpověď
6. Počet všech reálných řešení rovnice 2 cos 2 x = 3 je na intervalu 0, π roven číslu. a) 3
PRACOVNÍ LISTY
b) 4
c) 1
d) 0
e) jiná odpověď
2. ROČNÍK
