PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL BO02-M05

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

PROF. ING. JIND ICH MELCHER,DR.SC. ING. MARCELA KARMAZÍNOVÁ, CSC. ING. MIROSLAV BAJER,CSC. ING. KAREL SÝKORA

PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL BO02-M05

PRUTY NAMÁHANÉ KROUCENÍM

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Jazyková korektura nebyla provedena, za jazykovou stránku odpovídá autor. © Prof. Ing. Jind ich Melcher, DrSc., Ing. Karel Sýkora

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................4 1.1 Cíle ........................................................................................................4 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Geometrické a statické pr ezové charakteristiky ...................................6 2.1 Úvod......................................................................................................6 2.2 Sou adnice bod st ednice ....................................................................6 2.3 Hlavní body pr ezu..............................................................................7 2.4 Pr ezové veli iny.................................................................................8 3 Prosté kroucení .............................................................................................9 3.1 P edpoklady vzniku prostého kroucení.................................................9 3.2 Pruty otev eného pr ezu ....................................................................10 3.3 Pruty uzav eného pr ezu ...................................................................11 4 Vázané a složené kroucení .......................................................................12 4.1 Vlasovovo ešení.................................................................................12 4.2 Analogie problému kroucení s ohybem a p ibližné ešení..................18 5 P íklad .........................................................................................................22 6 Kontrolní otázky .........................................................................................31 7 Literatura ....................................................................................................32

Prvky kovových konstrukcí

1

Úvod

Kroucení má nep íznivý vliv z hlediska nap tí a p etvo ení p edevším u p í n zatížených prut s tenkost nnými otev enými pr ezy. Vliv kroucení je možné omezovat vhodnou konstruk ní úpravou a ešením a skladbou nosného systému, které mohou kroucení jednotlivých prvk eliminovat. Když není možné ú inek kroucení vylou it je t eba p i p sobení konstrukce vycházet z teorie kroucení tenkost nných prut , jejíž základy byly zpracované v [5]. Tenkost nným prutem se v teorii konstrukcí rozumí útvar prizmatického, nebo válcového tvaru, jehož charakteristické rozm ry p í ného ezu ( tlouš ka st ny t , výška, resp. ší ka pr ezu h ) a délka prutu L tvo í posloupnost veli in ádov odlišné velikosti. Nosný systém pokládáme za tenkost nný prut, pokud je spln ný vztah t : h : L ≤ 1:10 :100 . Uspo ádání p í ného ezu tenkost nného prutu je charakterizované st ednicí pr ezu ( spojnice bod d lících tlouš ku st n ). Podle tvaru st ednice se rozlišují tenkost nné pruty otev eného pr ezu a uzav eného pr ezu. Zvláštní kategorií prut otev eného pr ezu jsou svazkové pr ezy se st ednicí tvo ící svazek úse ek protínající se v jednom bod ( úhelník, T profil apod. ). Uzav ené profily se d lí podle po tu bun k uzav ených st nami pr ezu na jednosvazkové a vícesvazkové. Tenkost nným prutem m že být díl í prvek konstrukce i nosný systém jako celek ( trámový most, duté klapky vodních staveb atd.)

1.1

Cíle

Cílem tohoto modulu je :

• definovat hlavní body pr ezu, výse ové sou adnice a výse ové statické veli iny • objasnit, za jakých podmínek vzniká kroucení • definovat „prosté kroucení“ a „složené (vázané) kroucení“ • nazna it chování prutu p i prostém a složeném (vázaném) kroucení • ur it velikost a pr b h nap tí v pr ezu krouceného prutu • vysv tlit výhodu analogie ohybu s kroucením

Úvod

1.2

Požadované znalosti

Ke zvládnutí a pochopení následujícího u iva jsou t eba znalosti stavební mechaniky a pružnosti a pevnosti, mechanických vlastností materiál , používaných na stavební konstrukce. P edpokládá se prostorová p edstavivost.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Celková optimální doba pro studium je velmi individuální a závisí zejména na intenzívnosti studia a soust ed nosti tená e na obsah textu. . Celková doba pro prostudování modulu tedy iní cca 6 až 9 hodin, pokud budete procházet i p íklad, pak se doba prodlouží o jednu až dv hodiny.

1.4

Klí ová slova

Tenkost nný prut otev eného a uzav eného pr ezu, hlavní body pr ezu, t žišt , st ed ohybu, hlavní nulový výse ový bod, hlavní výse ová sou adnice, výse ový statický moment, lineární výse ový statický moment, výse ový moment setrva nosti, bimoment, moment prostého kroucení, moment vázaného kroucení, prosté (volné) kroucení, složené (vázané) kroucení, normálové nap tí od kroucení, smykové nap tí od kroucení, nato ení prutu, deplanace pr ezu, sou initel vlivu tuhosti prutu v kroucení, sou initele podmínek uložení a zatížení.


2

Geometrické a statické pr ezové charakteristiky

2.1

Úvod

P i výpo tu napjatosti a p etvo ení tenkost nných prut se popisuje uspo ádání p í ného ezu a jeho mechanické veli iny geometrickými a statickými veli inami. Zam íme se p edevším na ty , které krom základních charakteristik klasické teorie pružnosti a plasticity vyžaduje ešení problému kroucení.

2.2

Sou adnice bod st ednice

Každému bodu st ednice tenkost nného pr ezu se p i azují t i sou adnice: lineární sou adnice Z ( mm ), z ( mm ) jako orientované vzdálenosti od centrálních os Y , Z a výse ová sou adnice ω ( mm2 ), která pro zvolený bod P v rovin pr ezu ( ozna ovaný jako pól ) a pro zvolený bod M 0 na st ednici pr ezu ( ozna ovaný jako za átek ode ítání výse ové sou adnice) je definován obecným výrazem dω = rd s , tj.

ω( s ) =

s 0

rd s

kde r je rameno te ny st ednice pr ezu vztáhnuté k pólu P v integrovaném úseku, s

délka st ednice m ená od po áte ního bodu M 0

Výse ová sou adnice obecného bodu M na st ednici pr ezu ve vztahu ke zvolenému po átku M 0 se rovná dvojnásobné ploše omezené po áte ním pr vodi em ( P M 0 ), koncovým pr vodi em ( P M ) a st ednicí pr ezu. Pro pr ezy s p ímkovými úseky je

ω ( s) =

ri si i

kde

ri

je rameno st ednice p íslušného úseku i k pólu P ,

si

délka p íslušného úseku ( v úseku i zahrnujícím bod M , jehož sou adnice hledáme, je si délka úseku po tento bod).

Pr b h výse ové sou adnice se vynáší na st ednici pr ezu v závislosti na znaménko, které se odvozuje od zvolené konvence otá ení po áte ního pr vodi e do koncového pr vodi e.

Geometrické a statické pr ezové charakteristiky

2.3

Hlavní body pr ezu

Každý pr ez tenkost nného prutu má jednozna n pr ezu: t žišt

definované hlavní body

Cg , st ed ohybu Cs a hlavní nulový výse ový bod M 0 .

St ed ohybu (st ed kroucení) je bodem v rovin p í ného ezu, kolem kterého se p i kroucení pr ez pootá í jako celek. St edem ohybu musí procházet výslednice p í ného zatížení, aby prut byl namáhaný jen ohybem ( bez kroucení). Excentricita p í ného zatížení z hlediska kroucení se tedy vztahuje ke st edu ohybu. Poloha st edu ohybu pr ezu tenkost nného prutu Cs s libovolnými centrálními osami X , Y ve vztahu k libovoln zvolenému pólu P( x p , y p ) se ur í podle vztah :

yCs = yP + ξCs zCs = z P + ηCs kde ξCs , ηCs jsou orientované vzdálenosti st edu ohybu od zvoleného pólu P definované vztahy:

ξC = s

1 ( I z Sω y − I yz Sω z ) I y I z − I yz2

ηC = − s

kde

1 ( I y Sω z − I yz Sω y ) I y I z − I yz2

Iy , Iz

jsou momenty setrva nosti pr ezu,

I yz

devia ní moment pr ezu,

Sω y , Sω z

lineární výse ové statické momenty stanovené pro libovoln

ode ítání výse ové sou adnice

zvolený po átek M0 .

Pro hlavní centrální osy setrva nosti I yz = 0 se výrazy pro ξCs a ηCs zjednoduší. U symetrických pr ez leží st ed ohybu vždy na ose symetrie ( u dvouose symetrických pr ez je tedy Cg ≡ Cs ). Hlavní nulový výse ový bod leží na st ednici pru ezu v bod , kterému v soustav pomocných výse ových sou adnic

ωM− = 0

kde Sω je výse ový statický moment,

Sω A


A

plocha pr ezu.

U symetrických pr ez leží hlavní nulový výse ový bod M 0 v pr se íku osy symetrie se st ednicí pr ezu.

2.4

Pr ezové veli iny

Výse ové statické veli iny otev ených pr ez jsou dán obecnými vztahy: -

výse ový statický moment ( mm 2 ) Sω =

A

ω dA

Tato veli ina se používá ve form Sω ( s ) po st ednici pr ezu ( p i výpo tu druhotného smykového nap tí p i složeném kroucení), nebo jako výsledná hodnota pro celý pr ez p i hledání bodu M 0 podle vztahu: -

-

lineární výse ový statický moment ( mm 2 )

výse ový moment setrva nosti ( mm 2 )

kde

d A je diferenciál plochy pr ezu,

ω

hlavní výse ová sou adnice.

ω zdA

Sω y =

A

Sω z =

A

Iω =

A

ω ydA

ω 2 dA

Prosté kroucení

3

Prosté kroucení

Prosté kroucení ( nazývané také volné, isté nebo Saint-Venantovo kroucení) je stavem napjatosti tenkost nného prutu, p i kterém vznikají v jeho pr ezech vlivem vn jších kroutících ú ink jen smyková nap tí τ , ozna ovaná jako primární ( SAINT-VENANTOVA) kroutící nap tí nebo nap tí od prostého kroucení.

3.1

P edpoklady vzniku prostého kroucení

Prosté kroucení vzniká za t chto p edpoklad : a) u prut , jejichž pr ez p i kroucení deplanuje ( tj. nastává porušení p vodní rovinnosti p í ných ez nerovnom rným posuvem bod pr ezu ve sm ru podélné osy prutu), vznikne prosté kroucení jen p i zatížení dv ma stejn velkými kroutícími momenty Tt , Sd opa ného sm ru p sobících na konci prutu v rovinách kolmých na jeho podélnou osu, p itom se nesmí v žádném míst bránit deplanaci pr ezu ( na obr….. je schematický p íklad p etvo ení prutu otev eného pr ezu p i prostém kroucení). Tento zp sob namáhání se ozna uje jako prosté kroucení s deplanací. b) u prut , jejichž pr ez p i kroucení nedeplanuje, vzniká vždy jen prosté kroucení, p i emž nezáleží na uložení prutu ani na p sobišti kroutícího zatížení. V tomto p ípad jde o prosté kroucení bez deplanace. Z otev ených tenkost nných pr ez pat í do skupiny nedeplanujících všechny svazkové pr ezy, u kterých se st ednice všech ástí pr ezu protínají v jednom bod – centru svazku ( kde P ≡ M 0 ) a proto výse ový moment setrva nosti Iω = 0 (pr ezy L,T, atd.).

Obr.3.1: Nap tí od prostého kroucení, které se ur uje z vn jšího kroutícího momentu Tt,Sd p sobícího v p íslušném ezu.


Shrnutí: Prosté kroucení vzniká u prut , jejichž pr ez nedeplanuje( svazkové pr ezy ) pop ípad i u jiných prut s deplanujícími pr ezy, zatížených na obou koncích stejn velkými kroutícími momenty opa ného smyslu, p i emž deplanaci nesmí být po celé délce prutu brán no. P i prostém kroucení vzniká pouze tzv. smykové nap tí

Pruty otev eného pr ezu

Rozd lení smykového nap tí τ t po tlouš ce pr ezu je pro úzký obdelník i pro tenkost nné pr ezy složené z více obdélníkových ástí ( t h ) patrno na obr. 3.2. Na okraji pr ezu dosahuje nap tí hodnotu

τ t ,max =

Tt , Sd It

t

τ

τ

3.2

Obr.3.2: Smykové nap tí

, kde

u otev eného pr ezu

t

tlouš ka pr ezu v posuzovaném míst

It

moment tuhosti pr ezu v prostém kroucení

Tt,Sd

vn jší kroutící moment p sobící ve vyšet ovaném pr ezu

1 I t = α bi ti , kde opravný sou i3 nitel α zahrnuje vliv spojitosti a tvaru pr ezu složeného z díl ích ástí obdélníkového pr ezu a nabývá hodnoty: Moment tuhosti se vypo ítá podle vztahu:

α = 1,3 pro válcované a p í n vyztužené sva ované pr ezy tvaru I, α = 1, 2 pro válcované pr ezy U, pro úhelníky α = 1, 0 pro obdelníkové p

ezy a pr ezy z plechu tvarované za studena.

Prosté kroucení

3.3

Pruty uzav eného pr ezu

τ

τt = t Ω

Tt , Sd Ω.t tlouš ka pr ezu v posuzovaném míst … dvojnásobná plocha omezená st ednicí pr ezu

Tt,Sd … vn jší kroutící moment p sobící ve vyšet ovaném pr ezu

τ

Obr.3.3: Smykové nap tí u uzav eného pr ezu

P etvo ení p i prostém kroucení má dv složky: - úhel pooto ení pr ezu ϕ - deplanaci pr ezu, tj. nerovnom rný posun st ednice ve sm ru podélné osy prutu. Pom rný úhel pooto ení pr ezu ϑ je dán vztahem

ϑ=

w( s ) bod

dϕ ( x) Tt , Sd = dx GI t

a celkový úhel pooto ení pr ezu prutu v úseku 0....x ≤ L bude

ϕ ( L) =

L

Tt , Sd

0

GI t

dx =

Tt , Sd L GI t

Relativní deplanace bod st ednice vzhledem k bodu, který volíme jako po áte ní ( s = 0 ) je

w( s ) = −ϑω ( s ) kde ω ( s ) je výse ová sou adnice bodu pr ezu stanovena pro pól ve st edu ohybu pr ezu a za átek ode ítání v bod , kde s =0.


4

Vázané a složené kroucení

Vázané kroucení je stavem napjatosti tenkost nného prutu, p i kterém vznikají vlivem nerovnom rné deplanace jednotlivých pr ez po délce krouceného prutu normálová výse ová nap tí σ ω a z nich vyplývající druhotná výse ová smyková nap tí τ ω . V obecném p ípad vznikají p i kroucení tenkost nného prutu sou asn oba druhy kroucení, prosté i vázané. Tento zp sob kroucení se ozna uje jako složené kroucení.

Teorie výpo tu složeného kroucení tenkost nných prut je rozpracovaná na základ dvou p edpoklad : - pr m t obrysu p í ného ezu do roviny kolmé na osu prutu je p i kroucení nem nný ( pr ez se nedeformuje ve svoji rovin ); když tento p edpoklad není zajišt n ( nap . vlastní ohybovou tuhostí st n, jako je to u válcovaných profil nebo p í ným vyztužením nap . u sva ovaných profil ), je t eba ešit problém kroucení se zohledn ním vlivu zm ny tvaru pr ezu; - smykové deformace ve st ednicové ploše prutu jsou zanedbatelné (p edpokládají se nulové).

4.1

Vlasovovo ešení

Velikost výse ového normálového nap tí p i složeném kroucení (podobn jako p i ešení problému ohybu) vychází z rozboru protáhnutí vláken prutu ve sm ru jeho podélné osy. Na základ již uvedených p edpoklad odvodil VLASOV [5] pro pom rné prodloužení vztah ε x = −ϕ ′′( x)ω P íslušné výse ové normálové nap tí je σ ω = − Eϕ ′′( x)ω Na základ t chto vztah je možno formulovat zákon výse ových ploch, který zní: P i složeném kroucení je pr b h pom rného protažení a tedy i výse ového normálového nap tí σ ω p ímo úm rný hlavní výse ové ploše ω . P sobení normálových nap tí σ x v pr ezu prutu nahrazujeme p i ohybu výslednými vnit ními silami ( ohybovými momenty ) podle vztah My =

A

Mz =

A

σ x zdA

σ x ydA


M y = M z = 0 a tedy σ x = σ ω , musí výse ové nap tí tvo it v pr ezu rovnovážnou soustavu ( ve sm ru podélné osy X nep sobí žádné další nap tí ). Na vyjád ení intenzity celkového ú inku nap tí v pr ezu je zavedena statická veli ina bimoment podle vztahu P i složeném kroucení, když

B =

A

σ ωω dA

který má formáln podobný tvar jako vztahy pro ohyb. Dosazením za σ ω dostaneme B = − EIωϕ ′′

a po úprav

σω =

Bω Iω

Smykové nap tí v pr ezu musí být v rovnováze s vn jším kroutícím momentem ezu T . Základní smykové nap tí τ t p i složeném kroucení má podobný charakter jako smykové nap tí p i prostém kroucení. Jeho výslednicí je moment prostého kroucení Tt , který je možné vyjád it jako funkci úhlu pooto ení Tt = GI tϕ ′

P íslušné smykové nap tí je potom

τt =

Tt t It

Na rozdíl od prostého kroucení smykové nap tí τ t není jedinou složkou podílející se na p enosu vn jšího kroutícího momentu TVK v pr ezu. Z prom nného pr b hu funkce úhlu pooto ení a tedy i výse ového normálového nap tí σ ω po délce nosníku a z podmínky nutné rovnováhy vnit ních sil p sobících na prvek nosníku rovnob žn s jeho podélnou osou, vyplývá existence druhotných smykových nap tí τ ω . Výslednice smykových nap tí τ ω vyjad uje ke st edu ohybu pr ezu moment vázaného kroucení Tω , který podle VLASOVA závisí na funkci úhlu pooto ení podle vztahu Tω = − EIωϕ ′′′


P íslušná druhotná smyková nap tí jsou dána vztahem

τω = kde Sω ( s ) = kterém t

A

ω dA

Tω Sω ( s ) Iω t

je výse ový statický moment bodu st ednice pr ezu ve ur ujeme nap tí; za átek (s=0 ) se volí na okraji st ednice,

je tlouš ka st ny pr ezu, kde nap tí ur ujeme.

Zatím byla uvedena závislost složek nap tí σ ω , τ t , τ ω , resp. silových veli in

B , Tt ,Tω na funkci úhlu pooto ení. Když ur íme tuto funkci, je problém napjatosti i p etvo ení prutu p i složeném kroucení vy ešený. Z rovnováhy kroutících moment v pr ezu prutu vyplývá, že moment výslednice primárních smykových nap tí τ t a druhotných smykových nap tí τ ω ke st edu ohybu pr ezu se rovná celkovému vn jšímu kroutícímu momentu v ezu T . Platí tedy

Tω + Tt = T

Po dosazení a derivováním podle sou adnice x dostáváme

EIωϕ IV − GI tϕ ′′ = m( x) kde

m( x) = −T ′ je intenzita kroutícího zatížení.

Rovnice je základní diferenciální rovnice složeného kroucení umož ující v závislosti na tuhosti, zatížení uložení prutu stanovit funkci úhlu pooto ení. ešení rovnice obsahuje 4 konstanty, které je pot ebné ur it v závislosti na okrajových podmínkách prutu v uložení. Na každém konci prutu m žeme psát 2 okrajové podmínky, které mají v b žných p ípadech tvar: - prosté podep ení v kroucení

ϕ =0 ϕ ′′ = 0 , tj. B = 0 ( volná deplanace ) - vetknutí v kroucení

ϕ =0

ϕ ′ = 0 , tj. nulová deplanace


- volný nezatížený konec

ϕ ′′ = 0 , tj. B = 0 ( volná deplanace ) ϕ ′′′ − ϕ ′GI t / EIω = 0 , tj. T = 0

ešením diferenciální rovnice je p íslušný problém složeného kroucení definovaný takto: Z diferenciální rovnice složeného kroucení se ur í funkce úhlu pooto ení ϕ ( x) , s pomocí které se stanoví silové veli iny složeného kroucení B , Tt ,Tω podle uvedených vztah a dále se již mohou vypo ítat p íslušná nap tí složeného kroucení σ ω , τ t , τ ω . ešení diferenciální rovnice je pom rn pracné. Pro b žné p ípady zatížení a uložení kroucených prut používáme výsledné vzorce pro výpo et silových veli in složeného kroucení (viz tab. 4.1).

Obr. 4.1: Složené (vázané) kroucení

Shrnutí: Vázané a složené kroucení vzniká u prut s deplanujícími pr ezy p i obecném kroutícím zatížení a obecných okrajových podmínkách ( uložení konc prut v kroucení ), s vyjímkou p ípad prostého kroucení. Vznikají t i vnit ní návrhové silové veli iny – bimoment BSd , moment ohybového kroucení Tω , Sd , moment prostého kroucení Tt , Sd , a z nich nap tí σω, τt, τω. •

Pruty otev eného pr ezu

σω = τω =

BSd .ω Iω Tω , Sd .S ω I ω .t

normálové nap tí od kroucení smykové nap tí od ohybového kroucení


τt =

Tt , Sd .t It

smykové nap tí od prostého kroucení

σω

τ

τω

Obr. 4.2: Normálová a smyková nap tí u prutu otev eného pr ezu BSd

… hodnota bimomentu

Tω,Sd

… moment ohybového kroucení

Tt,Sd

… moment prostého kroucení

ω

… hlavní výse ová sou adnice posuzovaného místa

Iω

… výse ový moment setrva nosti pr ezu ke st edu smyku

It

… moment tuhosti v prostém kroucení

t

… tlouš ka pr ezu v posuzovaném míst

Sω

… výse ový statický moment pro posuzované místo


Tab.4.1: Silové veli iny p i složeném kroucení


4.2

Analogie problému kroucení s ohybem a p ibližné ešení

Vzhledem k pracnosti aplikace obecné Vlasovovy teorie tenkost nných prut jsou vypracovány jednoduché a praktické, když p ibližné, metody výpo tu kroucených prut . Když porovnáme diferenciální rovnici složeného kroucení s diferenciální rovnicí teorie 2. ádu nosníku ohýbaného a sou asn taženého, je z ejmé, že mezi ob ma problémy existuje úplná analogie. P episem odpovídajících si symbol a veli in je možné se známých ešení jednoho stavu namáhání p ímo odvodit závislosti pro analogický stav. V p ípad , že je tuhost pr ezu prostém kroucení zanedbateln malá, tj. platí GI t → 0 , zjednoduší se rovnice složeného kroucení na tvar platný jen pro vázané kroucení

EIωϕ IV = m který se podobá rovnici ohybu

EI tη IV = q

Uvedená podobnost se ozna uje jako zjednodušená analogie ohybu a kroucení. S použitím této analogie je možné se známých závislostí platných pro ohýbaný prut odvodit vztahy platné pro analogický p ípad vázaného kroucení ( tj. pro analogické zatížení a analogické podep ení ). Postupy vycházející z p edpokladu GI t → 0 nejsou vhodné pro všechny pruty ( zvlášt u válcovaných pr ez by vznikly velké nep esnosti ). ešení zachovávající výhody zjednodušené analogie a respektující p itom skute nou tuhost pr ezu v prostém kroucení vychází z principu modifikované analogie. Vychází se z výrazu pro bimoment, který se ur uje ze vztahu Bo = Me pro GI t → 0 , tj. s využitím známých vztah pro ohybový moment. Hodnota Bo se opraví s ohledem na skute nou tuhost v prostém kroucení podle vztahu B = Bo (1 − χ ) kde pro opravný sou initel χ

platí obecný vztah

χ=

B(GI t → 0) − B (GI t ) B (GI t → 0)


Na základ vztahu B = Bo (1 − χ ) je možné s využitím rovnice Tω + Tt = T a Tω = B′ psát výsledné vztahy pro výpo et silových veli in složeného kroucení:

B = Me(1 − χ ) Tt = Teχ Tω = Te(1 − χ ) •

Pruty uzav eného pr ezu

Pruty s uzav eným pr ezem mají v porovnání s pruty s otev eným pr ezem velkou tuhost v kroucení, jejich deplanace je zpravidla zanedbatelná a lze ji p ibližn brát σω=τω=0. Smykové nap tí od prostého kroucení se ur í podle vztahu

τt =

TSd Ω.t

TSd … vn jší kroutící moment v posuzovaném pr ezu Ω

…

t

… tlouš ka pr ezu v posuzovaném míst

dvojnásobná plocha omezená st ednicí pr ezu

σω=τω

τ

Obr. 4.3: Smykové nap tí na uzav eném pr ezu Složky vnit ních sil BSd , Tω , Sd , Tt , Sd p i kroucení pr ezu m žeme ur it : 1. p esn – ešením diferenciální rovnice složeného kroucení s uvážením konkrétních okrajových podmínek uložení konc prut v kroucení

E.I ω .ϕ IV − G.I t .ϕ II = m m

… kroutící zatížení prutu

ϕ

… úhel pooto ení pr ezu, jenž je p edm tem ešení uvedené rovnice


a pak

BSd = − E.I ω .ϕ II , Tω ,Sd = − E.Iω .ϕ III , Tt , Sd = G.I t .ϕ I .

Pro nej ast ji se vyskytující p ípady kroutícího zatížení a okrajové podmínky jsou uvedeny vztahy a pr b hy pro BSd , Tω , Sd , Tt , Sd nap . viz tab. 4.1. 2. p ibližn – analogie ohybu s kroucením s respektováním tuhosti v kroucení – p sobí-li p í né zatížení na prut otev eného pr ezu v rovin , jejíž vzdálenost od st edu smyku Cs má hodnotu e

BSd = M Sd .e.(1 − κ ) ,

Tω , Sd = VSd .e.(1 − κ ) , Tt , Sd = VSd .e.κ

Obr. 4.4: P sobení p í ného zatížení ve vzdálenosti e od st edu smyku Cs

MSd , VSd návrhový ohybový moment a posouvající síla v posuzovaném pr ezu ur ené pro podmínky podep ení prutu v kroucení

κ sou initel vlivu tuhosti prutu v prostém a ohybovém kroucení, který lze brát

p ibližn

κ=

L

1

α β+ ψ .L

2

… délka (rozp tí) prutu

α, β … sou initele podmínek uložení a zatížení viz SN 731401-98, str.113, Tab.F.1


ψ=

G.I t I = 0,62. t … parametr kruhu E .I ω Iω

Shrnutí: Kroucení vzniká u ohýbaných nosník v p ípadech, když p í n p sobící zatížení neprochází tzv. st edem smyku a v p ípad osam le p sobících kroutících moment . Prosté (volné) kroucení vzniká u prut , jejichž pr ezy nedeplanují, pop . u prut s deplanujícími pr ezy, zatížených na obou koncích kroutícími momenty opa ného smyslu, p i emž deplanaci nesmí být po celé délce prutu brán no. P i prostém kroucení vzniká pouze tzv. smykové nap tí od prostého kroucení. Složené (vázané) kroucení vzniká u prut s deplanujícími pr ezy p i obecném kroutícím zatížení a obecných okrajových podmínkách. Vznikají t i vnit ní silové veli iny – bimoment, moment prostého kroucení a moment ohybového kroucení. V závislosti na nich t i nap tí – normálové, smykové od prostého kroucení a smykové od ohybového kroucení.

P ibližná analogie ohybu s kroucením s respektováním tuhosti v kroucení BSd = M Sd .e.(1 − κ ) Tω , Sd = VSd .e.(1 − κ )

pr b hy

Tt , Sd = VSd .e.κ

s ohledem

na

uložení prutu a zatížení, viz Tab.4.1

MSd , VSd

κ

návrhový ohybový moment a návrhová posouvající síla v posuzovaném pr ezu sou initel vlivu tuhosti prutu v prostém a ohybovém kroucení, který lze brát p ibližn

κ=

L

1

α β+ ψ.L

2

… délka (rozp tí) prutu

α, β … sou initele podmínek uložení a zatížení viz SN 731401 – 98, str.113, Tab. F.1

ψ =

G.I t E .I ω

… parametr kruhu


5

P íklad

Navrhn te a posu te nosník I pr ezu o rozp tí 5,0m na ohyb a kroucení zatížený silou Fsd = (20 + n ⋅ 2 )kN = 20 + 40 ⋅ 2 = 100kN , p sobící uprost ed nosníku s excentricitou 50mm nosník je zajišt n proti klopení pouze v podporách.

ešení: a) vstupní parametry: p sobící síla:

Fsd = 100kN

vzdálenost FSd od podpor:

L / 2 = 2,5m

excenricita

e = 50mm

sou initel spolehlivosti mat.:

γ M = γ M = 1,15

díl í sou initel spol. – náh.b em.

γ Q = 1,4

díl í sou initel spol.

γ G = 1,2

0

b) Výpo et momentu a posouvající síly: b.1.) Stanovení ohybového momentu:

1 1 M Sd = ⋅ FSd ⋅ L = ⋅100 ⋅ 5 = 125, 0kNm 4 4 b.2.) Stanovení posouvající síly:

1 1 VSd = ⋅ FSd = ⋅100 = 50, 0kNm 2 2

1

P íklad

Nosník se navrhne na ohyb p i ztrát p í né a torzní stability podle vzorce:

M b ,Rd =

χ LT ⋅ Weff ,min ⋅ f y , γ M1

protože se po ítá pružn , pak p edpokládá se, že navrhovaný profil bude t ídy 1 W nebo 2, ale β w = el , y ≤ 1 . W pl , y Pro první p iblížení se uvažuje β w = 1 . Musí se tedy nejprve odhadnout sou initel ztráty p í né a torzní stability χ LT pro:

ε=

235 =1 fy

,

λ1 = 93,9 ⋅ ε = 93,9 za p edpokladu, že štíhlost na klopení λ bude pom rná štíhlost: λ

LT

=

λ LT λ1

LT

βw =

= 100 ,

100 ⋅ 1 ≅ 1,06 , 93,9

z tabulek pro válcované nosníky platí k ivka a

χ LT = 0,62 ,

potom:

Wy , ef , min =

M Sd ⋅ γ M 1 125, 0 ⋅ 106 ⋅ 1,15 = = 843,11 ⋅ 103 mm3 χ LT ⋅ f y 0, 62 ⋅ 275

Pro namáhání kroucením je ponechána rezerva 50% W y , ef = 1,5 ⋅ W y , ef , min = 1264,66 ⋅ 103 mm3

Navrženo I 400 Zat íd ní pr

ezu:

Pr ez z oceli S275 se zat ídí: ( SN 731401 – 98, str.28.)


Stojina:

(ε =

d ≤ 72 ⋅ ε tw

235 / f y

)

235 275

ε=

d 235 ≤ 72 ⋅ tw 275 378,4 ≤ 66,6 14,4

26,28 ≤ 66,6

t ída 1.

pásnice:

(ε =

c ≤ 10 ⋅ ε tf

235 / f y

)

235 275

ε=

c 235 ≤ 10 ⋅ tf 275 77,5 ≤ 9,2 21,6

3,6 ≤ 9,2

t ída 1.

Charakteristické hodnoty profilu I 400:

A = 118cm 2 , I y = 29100cm 4 , Wy = 1460cm3 , S y = 862, 6cm3 , tw = 14, 4mm , t f = 21, 6mm , I z = 1140cm 4 , b = 155mm , k = 1, 29 , h = 400mm I t = 1700 ⋅ 103 mm 4 , i y = 157mm , iz = 31, 2mm , g k = 92, 6kg / m Polom r setrva nosti p i klopení je dán vztahem: i y1 =

iz h 31,2 400 ⋅ = ⋅ = 40,13mm i y 2 157 2

Výse ové statické hodnoty:

I ω = 395 ⋅109 mm 6 b⋅h 155 ⋅ 378,4 =± = ± 14 663mm 2 4 4 1 b⋅h b 1 = ⋅ ⋅ ⋅ d p = ⋅ 21,6 ⋅ 1552 ⋅ 378,4 = 12,273 ⋅106 mm 4 2 4 2 16

ωmax = ± Sω ,max

P íklad

e) Posouzení na mezní stav použitelnosti: Vlastní tíhu nosníku je možno zanedbat. Charakteristická hodnota síly se vypo te z návrhové hodnoty. FK =

δ=

FSd

=

γQ

100 = 71, 43kN , 1, 4

1 ⋅ FK ⋅ L3 1 ⋅ 71 429 ⋅ 5 0003 = = 3,04mm 48 ⋅ E ⋅ I y 48 ⋅ 210 000 ⋅ 291 000

L 5000 = = 20mm zanedbatelný a tudíž 250 250 se nemusí posuzovat (p esn ji) s vlivem vlastní tíhy. Pr hyb je oproti dovolené hodnot

f) Posouzení na mezní stav únosnosti: Namáhání profilu se rozd lí na namáhání od ohybu a na namáhání od kroucení.

f.a.) Namáhání od ohybu: Pro navržený I profil se stanoví štíhlost z hlediska ztráty stability v ohybu. Kritický moment M cr se stanoví pro k = 1 (prosté uložení na ohyb) a pro k w = 1 ( není brán no deplanaci). Ur í se sou initele C1 = 1,365 , C2 = 0,553 , a jelikož h 400 zatížení p sobí na horní tla enou pásnici, proto z g = = = 200mm 2 2

M cr = C1

= 1,365 ⋅

⋅

1 1

π 2 ⋅ E ⋅ Iz

(k ⋅ L)

2

⋅

k kw

2

2 ( k ⋅ L ) ⋅ G ⋅ It I ⋅ w + + ( C2 ⋅ z g ) − ( C2 ⋅ z g ) = 2 Iz π ⋅ E ⋅ Iz

π 2 ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ 11, 4 ⋅ 106

(1 ⋅ 5000 )

2

⋅

2

2

⋅

3,95 ⋅ 1011 50002 ⋅ 81 ⋅ 103 ⋅ 1, 7 ⋅ 106 2 + 2 + ( 0,553 ⋅ 200 ) − ( 0,553 ⋅ 200 ) = 6 3 6 11, 4 ⋅ 10 π ⋅ 210 ⋅ 10 ⋅ 11, 4 ⋅ 10

= 423, 45 ⋅ 106 Nmm


Pro pružné p sobení je pom rná štíhlost:

λLT =

Wel ⋅ f y M CR

=

1460 ⋅ 103 ⋅ 275 = 0,974 423,45 ⋅ 10 6

Hodnota sou initele vzp rnosti na klopení χ LT plyne z k ivky a (str.110. SN 73 1401 - 98), a nebo ze vzorce: (α LT = 0,21) Φ LT =

χ LT =

(

)

1 + α LT ⋅ λLT − 0, 2 + λLT

2

2 1 Φ LT + Φ LT − λLT 2

2

= 1, 05532

≈ 0, 6839

Moment od vlastní tíhy nosníku:

1 1 92, 6 M G , Sd = ⋅ Gk ⋅ γ G ⋅ L2 = ⋅ ⋅1, 2 ⋅ 52 ≈ 3, 473kNm , 8 8 100 ten se p i te k momentu od nahodilého zatížení a vy íslí se, normálové nap tí:

σ x ,b =

M Sd + M G , Sd

χ LT ⋅Wel , y

125 + 3, 473) ⋅106 ( = 0, 6839 ⋅1460 ⋅103

= 128, 67 MPa

Smykové nap tí se, za p edpokladu rovnom rného rozd lení smykového nap tí po výšce st ny nosníku, ur í z plochy ú inné ve smyku: Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + ( tw + 2r ) ⋅ t f = = 11800 − 2 ⋅ 155 ⋅ 21, 6 + (14, 4 + 2 ⋅ 14, 4 ) ⋅ 21, 6 ≈ 5726,1mm 2

τb =

fy VSd 50 ⋅ 103 = = 8, 732 MPa ≤ = 138, 06 MPa AV 5726,1 3 ⋅ 1,15

f.b.) Namáhání od kroucení: (postup dle SN 73 1401 - 98)

vyhovuje

P íklad

Rozd lovací parametr χ , vyjad ující vliv tuhosti pr ezu na rozd lení kroutícího momentu na volné a vázané kroucení, závisí na parametru tuhosti pr ezu: G ⋅ It 81000 ⋅ 1700000 ⋅L = ⋅ 5000 = 6,44 E ⋅ Iw 210000 ⋅ 3,95 ⋅ 1011

ψ ⋅L =

Parametr χ se vypo te z hodnot α a β . Pro prostý nosník bez zabrán ní deplanace a pro zatížení osam lým b emenem je α = 3,7 a β = 1,08 1

χ= β+

α ψ ⋅L

2

1

= 1, 08 +

3, 7 6, 44

2

= 0, 709

dále se vy íslí bimoment z rovnice:

BSd = M Sd ⋅ e ⋅ (1 − χ ) = 125 ⋅ 0, 05 ⋅ 0, 29072 = 1,817kNm 2 a normové nap tí od kroucení:

w=

1 1 ⋅ b ⋅ h = ⋅155 ⋅ ( 400 − 21, 6 ) = 14, 663 ⋅103 mm 2 4 4

σ x,w =

BSd 1,817 ⋅109 ⋅14, 663 ⋅103 ⋅w = = 67, 45MPa 3,95 ⋅1011 Iω

Dále se vypo te moment prostého kroucení:

τ t , Sd = VSd ⋅ e ⋅ χ = 50 ⋅ 0, 05 ⋅ 0, 709 = 1, 773kNm a moment vázaného kroucení:

Tw, Sd = VSd ⋅ e ⋅ (1 − χ ) = 50 ⋅ 0, 05 ⋅ 0, 29072 = 0, 727kNm Z moment v prostém a vázaném kroucení se vypo ítají smyková nap tí. K tomu je pot eba vy íslit statický výse ový moment pro ez uprost ed pásnice pr ezu.

Sω ,max =

1 b⋅h b 1 ⋅ ⋅ ⋅ d p = ⋅ 21,6 ⋅1552 ⋅ 378,4 = 12,273 ⋅106 mm 4 2 4 2 16


Smyková nap tí od prostého kroucení v pásnici:

τt =

Tw, Sd It

⋅tf =

0, 727 ⋅ 106 ⋅ 21, 6 = 9, 235MPa 1700 ⋅ 103

a ve st n :

τt =

Tw, Sd It

0, 727 ⋅ 106 ⋅ tw = ⋅ 14, 4 = 6,156 MPa 1700 ⋅ 103

Smykové kroucení od vázaného kroucení v pásnici:

τw =

Tw, Sd ⋅ Sω Iω ⋅ t f

=

0, 727 ⋅ 106 ⋅ 12, 273 ⋅ 106 = 1, 045MPa 1700 ⋅ 103 ⋅ 21, 6

Ve st n nosníku je smykové nap tí od vázaného kroucení rovno nule, nebo je zde výse ová sou adnice a tedy i její statický moment roven nule. Nejv tší normálové nap tí bude v míst nejv tšího ohybového momentu uprost ed rozp tí nosníku

g) Pr b h normálových nap tí:

P íklad

σ x ,max = σ x ,b + σ x , w = 128, 66 + 67, 45 = 196,114MPa σ x ,min = σ x ,b − σ x , w = 128, 66 − 67, 45 = 61, 22 MPa


h) Pr b h smykových nap tí: ve st n nosníku:

τ max = τ b + τ t = 8,732 + 6,16 = 14,89MPa v pásnici nosníku:

τ max = τ b + τ t + τ w = 0 + 9,235 + 1,045 = 10,28MPa Smyková nap tí jsou menší než: 1 fy 1 275 ⋅ = ⋅ = 138,06 MPa 3 γ M0 3 1,15 a jsou dokonce menší než 0,5 ⋅ f y / γ M 0 3

=

0,5 ⋅ 275 / γ M 0 3

= 69,0310 MPa

Kontrolní otázky

6

Kontrolní otázky 1

Kdy u prut vzniká ohyb a kdy kroucení?

2

Jaký nosný systém pokládáme za tenkost nný prut?

3

Co je st ednice pr ezu?

4

ím se vyzna ují svazkové pr ezy?

5

Jaké hlavní body se ur ují v pr ezu tenkost nného prutu?

6

Definujte hlavní výse ovou sou adnici.

7

Kdy vzniká prosté kroucení?

8

Definujte vázané a složené kroucení.

9

Jaká nap tí vznikají p i prostém kroucení na otev eném a uzav eném pr ezu?

10 Jaká p etvo ení vznikají na krouceném prutu? 11 Jaké silové veli iny se ur ují u kroucených prut ? 12 Napište vztahy pro nap tí, která vznikají p i složeném kroucení. 13 Co je deplanace pr ezu a jak závisí na hlavní výse ové sou adnici? 14 V em je podstata analogie kroucení s ohybem? 15 Jaký význam má funkce úhlu pooto ení p i p esném ešení kroucení?


7

Literatura

[1]

K upka, V. : P í inkové áry bimoment a moment kroutících. Inženýrské stavby. . 10, 1959.

[2]

Pan, V. : Statika tenkost nných prut a konstrukcí. Praha 1959.

[3]

Faltus,F. : Ocelové konstrukce pozemního stavitelství. Praha 1960.

[4]

Umanskij,A.A.: Stroitelnaja mechanika samol’ota. Moskva 1961.

[5]

Vlasov,V.Z.: Tenkost nné pružné pruty. Praha 1962.

[6]

Mrazik,A.-Gruska,J.: Výpo et tenkost nných prútov. VSAV, Bratislava 1965.

[7]

Melcher,J.: P ibližný výpo et kroucených tenkost nných prut . Inženýrské stavby. . 6, 1968.

[8]

Šertler, H.: Vliv kroutícího zatížení na p ímo pojížd né mostní konstrukce s horní mostovkou. Inženýrské stavby. . 9. 1968.

[9]

Svoboda, M.-Melcher,J.: Vybrané stati prvk Brno 1970.

[10]

Zborník- P’osobenie tenkost nných otvorených a uzavretých prierezov. Bratislava 1972.

[11]

Pechar,J.-Studni ka,J.-Šafka,J.: Vybrané stat z ocelových konstrukcí. Praha 1973.

[12]

Melcher,J. Ohyb, kroucení a stabilita ocelových nosník . Knižnice odborných a v deckých spis VUT v Brn , svazek A-5, Brno 1975.

[13]

Vo íšek, V. a kol.: Prvky kovových konštrukcií. Bratislava 1983.

[14]

Ferjen ík a kol.: Navrhovanie ocel’ových konštrukcií. Bratislava 1984.

[15]

Sýkora, K.: Kovové konstrukce – pom cka pro cvi ení, VUT Brno, 1991

[16]

Wald, F. a kol.: Prvky ocelových konstrukcí – P íklady podle Eurokód , VUT Praha 1998

ocelových konstrukcí.

PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL BO02-M05

Recommend Documents