KTSP & K-13
matematika PERSAMAAN LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mempunyai kemampuan sebagai berikut. 1. Memahami definisi lingkaran. 2. Memahami persamaan umum lingkaran. 3. Memahami hubungan dua buah lingkaran. 4. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan persamaan lingkaran.
A. Definisi Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu pada bidang datar. Jarak yang dimaksud adalah jari-jari lingkaran, sedangkan titik tertentu yang dimaksud adalah pusat lingkaran. Perhatikan gambar berikut! Y r
P(x, y)
C(a, b)
0
X
Gambar di atas memperlihatkan lingkaran yang berpusat di C(a, b) dan jari-jari r.
K e l a s
XI
Misalkan titik P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Jarak titik P(x, y) ke titik pusat lingkaran dinyatakan dengan rumus berikut. d ( P,C ) =
( x − a)
2
+ ( y − b )2
r=
( x − a)
2
+ ( y − b )2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat C(a, b) dan jari-jari r.
Contoh Soal 1 Gambarlah lingkaran (x +1)2 + (y – 3)2 = 16! Pembahasan: Lingkaran (x + 1)2 + (y – 3)2 = 16 adalah lingkaran yang berpusat di (a, b) = (−1, 3) dan berjari-jari r = 16 = 4 . Dengan demikian, gambar lingkarannya adalah sebagai berikut. Y 8 7 6
C(-1, 3)
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
O
X 1
2
3
B. Persamaan Umum Lingkaran Persamaan lingkaran dengan pusat C(a, b) dan jari-jari r adalah sebagai berikut. (x – a)2 + (y – b)2 = r2
2
Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh:
( x − a)
2
+ ( y − b) = r2 2
⇔ x 2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 − r 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Persamaan di atas disebut sebagai persamaan umum lingkaran, dengan: 1 A = −2a ⇒ a = − A 2 1 B = −2b ⇒ b = − B 2 Berdasarkan nilai tersebut, pusat lingkarannya dapat dinyatakan sebagai berikut. 1 1 C ( a,b ) = C − A, − B 2 2 Sementara itu, jari-jari lingkarannya adalah sebagai berikut. a2 + b 2 − r 2 = C ⇔ r = a2 + b 2 − C Persamaan Umum Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 1 1 (a,b ) = − A, − B 2 2
Pusat Lingkaran Jari-Jari Lingkaran
r = a2 + b 2 − C
Contoh Soal 2 Persamaan umum lingkaran yang berpusat di (–3, 4) dan menyinggung sumbu-Y adalah .... Pembahasan: Grafik lingkaran yang berpusat di (a, b) = (−3, 4) dan menyinggung sumbu-Y adalah sebagai berikut.
3
Y
8 7 6
jari-jari
menyinggung sumbu Y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1
O
–1
X 1
2
3
–2
Berdasarkan gambar tersebut, tampak jelas bahwa lingkaran di atas memiliki pusat (a, b) = (–3, 4) dan jari-jari 3. Dengan demikian, diperoleh:
( x − a)
2
+ ( y − b) = r2 2
⇔ ( x − ( −3 ) ) + ( y − ( 4 ) ) = 32 2
2
⇔ ( x + 3 ) + ( y − 4 ) = 32 2
2
⇔ x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 8 y +16 = 9 ⇔ x 2 + y 2 + 6 x − 8 y +16 = 0 Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di (–3, 4) dan menyinggung sumbu-Y adalah x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0. Pada beberapa soal, jari-jari lingkaran tidak diketahui, tetapi persamaan garis singgungnya diketahui, yaitu px + qy + r = 0. Jari-jari adalah jarak dari titik pusat C(a, b) ke garis singgung lingkaran. Perhatikan gambar berikut! qy +
jari
- ja
ri
px +
C(a, b)
4
r=
0
Dengan menggunakan rumus jarak titik pada garis, diperoleh rumus untuk mencari jarijari lingkaran berikut. Jari - jari =
p(a) + q(b ) + r p2 + q2
Contoh Soal 3 Persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5, 1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 4 = 0 adalah .... Pembahasan: Diketahui pusat lingkaran (a, b) = (5, 1) dan garis singgung lingkaran px + qy + r = 3x – 4y + 4 = 0. Jari-jari lingkaran dengan pusat (5, 1) dan garis singgung 3x – 4y + 4 = 0 adalah sebagai berikut. Jari - jari = r =
3 ( 5 ) − 4 (1) + 4 32 + ( −4 )
2
15 5 ⇔ Jari - jari = r = 3 ⇔ Jari - jari = r =
Dengan demikian, persamaan umum lingkarannya adalah sebagai berikut. ⇔ ( x − 5 ) + ( y − 1) = 32 2
2
⇔ x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 2 y +1= 9 ⇔ x 2 + y 2 − 10 x − 2 y +17 = 0 Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5, 1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 4 = 0 adalah x2 + y2 – 10x – 2y + 17 = 0.
Contoh Soal 4 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 10x + 4y + 4 = 0. Pembahasan: Diketahui A = –10, B = 4, dan C = 4. Dengan demikian, pusat lingkarannya adalah sebagai berikut.
5
1 1 P ( a,b ) = P − ( −10 ) , − ( 4 ) 2 2 ⇔ P ( a,b ) = P ( 5, −2 ) Sementara itu, jari-jarinya adalah sebagai berikut. r = a2 + b 2 − C ⇔ r = 52 + ( −2 ) − 4 2
⇔ r = 25 ⇔ r=5 Jadi, pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 10x + 4y + 4 = 0 berturut-turut adalah P(5, −2) dan r = 5.
Contoh Soal 5 Persamaan umum lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y + p = 0 mempunyai jari-jari 4. Nilai p adalah .... Pembahasan: Diketahui A = 6, B = –4, C = p, dan r = 4. Pusat lingkaran dirumuskan sebagai berikut. 1 1 T ( a,b ) = T − A, − B 2 2 1 1 ⇔ T ( a,b ) = T − ( 6 ) , − ( −4 ) 2 2 ⇔ T ( a,b ) = T ( −3,2 )
Dengan demikian, nilai p dapat ditentukan sebagai berikut. r=4 ⇔ a2 + b 2 − C = 4 ⇔
( −3)
2
+ (2) − p = 4 2
⇔ 13 − p = 16 ⇔ p = −3 Jadi, nilai p = −3.
6
Contoh Soal 6 Persamaan umum lingkaran yang sepusat dan berjari-jari dua kalinya lingkaran x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0 adalah .... Pembahasan: Dari lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0, diketahui nilai A = –6, B = 2, dan C = 1. Pusat lingkaran: C2 ( a2 , b2 ) = C1 ( a1 , b1 ) 1 1 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = − ( −6 ) , − ( 2 ) 2 2 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = ( 3, −1) Jari-jari lingkaran: r2 = 2r1 ⇔ r2 = 2 a12 + b12 − C ⇔ r2 = 2
(3)
2
+ ( −1) − 1 2
⇔ r2 = 6 Dengan demikian, persamaan umum lingkarannya adalah sebagai berikut.
( x − 3)
2
+ ( y +1) = 62 2
⇔ x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y +1= 36 ⇔ x 2 + y 2 − 6 x + 2 y − 26 = 0 Jadi, persamaan umum lingkaran yang sepusat dan berjari-jari dua kalinya lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0 adalah x2 + y2 – 6x + 2y – 26 = 0. C.
Hubungan Dua Buah Lingkaran Dua buah lingkaran L1 dengan pusat C1, jari-jari r1 dan lingkaran L2 dengan pusat C2, jari-jari r2 memiliki kedudukan sebagai berikut. 1.
L1 bersinggungan dalam dengan L2
C2
C1
r1
Berlaku |r2 – r1| = |C1C2|
r2
7
2.
L1 bersinggungan luar dengan L2
C1
r2
C2
Berlaku |r2 + r1| = |C1C2|
r1
3.
L1 di dalam L2 tanpa bersinggungan
C2
C1
r1
Berlaku |r2 – r1| > |C1C2|
r2
4.
L1 saling lepas dengan L2
C1
C2 r2
r1
8
Berlaku |r2 + r1| < |C1C2|
5.
L1 berpotongan dengan L2
C2
C1 r2
r1
Berlaku |r2 – r1| < |C1C2| < |r2 + r1|
Solusi Quipper untuk mengingat kedudukan lingkaran adalah sebagai berikut.
Super "Solusi Quipper"
C1C2
C1C2
C1C2 | r1 – r2 |
| r1 + r2 |
C1C2
C1C2
9
Solusi Quipper untuk menghitung jarak pusat C1C2 adalah sebagai berikut.
Super "Solusi Quipper" C1C2
C1(a1, b1) C2(a2, b2)
( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) 2
2
Contoh Soal 7 Tentukan hubungan lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 6x + 8y = 0 dengan L2 ≡ x2 + y2 – 4x + 6y – 23 = 0! Pembahasan: Mula-mula, tentukan pusat dan jari-jari kedua lingkaran tersebut. Dari lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 6x + 8y = 0, diketahui nilai A = –6, B = 8, dan C = 0. Pusat lingkaran: 1 1 C1 ( a1 , b1 ) = C1 − A, − B 2 2 1 1 ⇔ C1 ( a1 , b1 ) = C1 − ( −6), − ( 8 ) 2 2 ⇔ C1 ( a1 , b1 ) = C1 ( 3, −4 )
Jari-jari lingkaran: r1 = a12 + b12 − C ⇔ r1 = 32 + ( −4 ) − 0 2
⇔ r1 = 5 Dari lingkaran L2 ≡ x2 + y2 – 4x + 6y – 23 = 0, diketahui nilai A = –4, B = 6, dan C = –23. Pusat lingkaran: 1 1 C2 ( a2 , b2 ) = C2 − A, − B 2 2 1 1 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = C2 − ( −4), − ( 6 ) 2 2 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = C2 ( 2, −3 )
10
Jari-jari lingkaran: r2 = a22 + b22 − C ⇔ r2 = 22 + ( −3 ) − ( −23 ) 2
⇔ r2 = 6 Selanjutnya, tentukan nilai |r2 – r1|, |r2 + r1|, dan |C1C2|. |r2 – r1| = |6 − 5| = 1 |r2 + r1| = |6 + 5| = 11 C1C2 =
( a1 − a2 )2 + ( b1 − b2 )2
⇔ C1C C2C = = ( 3(−a 2−) a+)(2−+4 (−b( −−3)b) )2 1 2 1 2 1 2 2
2
⇔ C1⇔ C2 C= C 12=+ ( (−31)− 2 )2 + ( −4 − ( −3) )2 1 2 2
⇔ C1C2 = 2 2 ⇔ C1C2 = 12 + ( −1) ⇔ C1C21 <= 2 < 11, maka lingkaran L1 berpotongan dengan lingkaran L2. Untuk lebih Oleh karena jelasnya, perhatikan gambar berikut.
Y 3 2 1
X
–4 –3 –2 –1 0 1 –1 –2 –3 –4
2
3
4
5
6
7
8
C2 C1
–5 –6 –7
berpotongan
–8 –9
Jadi, hubungan kedua lingkaran tersebut adalah berpotongan.
11
Contoh Soal 8 Tentukan hubungan antara lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 4y – 167 = 0 dengan lingkaran L2 ≡ x2 + y2 – 6x – 16y + 57 = 0! Pembahasan: Mula-mula, tentukan pusat dan jari-jari kedua lingkaran tersebut. Dari lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 4y – 167 = 0, diketahui nilai A = –10, B = 4, dan C = –167. Pusat lingkaran: 1 1 C1 ( a1 , b1 ) = C1 − A, − B 2 2 1 1 ⇔ C1 ( a1 , b1 ) = C1 − ( −10), − ( 4 ) 2 2 ⇔ C1 ( a1 , b1 ) = C1 ( 5, −2 )
Jari-jari lingkaran: r1 = a2 + b2 − C ⇔ r1 = 52 + ( −2 ) − ( −167) 2
⇔ r1 = 14 Dari lingkaran L2 ≡ x2 + y2 – 6x – 16y + 57 = 0, diketahui nilai A = 6, B = –16, dan C = 57. Pusat lingkaran: 1 1 C2 ( a2 , b2 ) = C2 − A, − B 2 2 1 1 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = C2 − ( 6 ) , − ( −16 ) 2 2 ⇔ C2 ( a2 , b2 ) = C2 ( −3, 8 )
Jari-jari lingkaran: r2 = a22 + b22 − C ⇔ r2 = ( −3)2 + ( 8 ) − ( 57 ) 2
⇔ r2 = 4 Selanjutnya, tentukan nilai |r2 – r1|, |r2 + r1|, dan |C1C2| |r2 – r1| = |4 − 14| = 10 |r2 + r1| = |4 + 14| = 18
12
C1C2 =
( a1 − a2 )2 + ( b1 − b2 )2
⇔ C1CC =2 = ( 5 −((a−1 3)− )a2 +)2(+−2( b−1 8−)b2 )2 2 1C 2
2
2 2 ⇔ C1C⇔ 822 + = ( −(10 5 −) ( −3) ) + ( −2 − 8 ) 2 =C1C 2
2 ⇔ C1C⇔ 164 2 2 =C C 1 2 = 8 + ( −10 )
Oleh karena 102 <= 164 < 18, lingkaran L1 berpotongan dengan lingkaran L2. ⇔ C1C Jadi, hubungan kedua lingkaran tersebut adalah berpotongan.
Contoh Soal 9 Tentukan hubungan lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0 dengan L2 ≡ x2 + y2 + 12x – 4y – 41 = 0! Pembahasan:
Super "Solusi Quipper" Lingkaran 1: C1 = ( −3, −2) L1 r1 = 9 + 4 + 3 = 4 Lingkaran 2: C2 = ( −6,2) L2 r2 = 36 + 4 + 41 = 9 Dengan demikian, diperoleh: C1C2
( −3, −2 ) ( −6,2)
−
9 +16 = 5 |r1 + r2| = |4 + 9| = 13 |r1 – r2| = |4 – 9| = –5
13
Super "Solusi Quipper" Jika digambarkan, akan diperoleh: |r1 − r2 | = 5
|r1 + r2 | = 13
|C1C2 | = 5
Jadi, hubungan kedua lingkaran tersebut adalah bersinggungan dalam.
14
