2. 5.
Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
(1 2 3 )4 5 (6 2 7)4 8 9 4
Bentuk Umum
1 4 5 6 4 5 :1 5 ;6 5 < 8 0 dibagi (22)
Pusat (3, 7)
Jari-jari 9
Pusat @
@
?2 4 :, 2 4 ;A
Jumlah kuadrat pusat dikurangi <
Jari-jari @
4
@
4
9 8 B?2 4 :A 5 ?2 4 ;A 2 <
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran PGS Lingkaran di titik (1@ , 6@ ) pada lingkaran
PGS Lingkaran dengan gradien D
Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. faktor Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. penjumlahan
Ingat pola persamaan garis lurus F 8 GH 5 I Lalu perhatikan gambar berikut!
KLMNOPL
14
QRRRRRRRS
1@ 1
(1 2 3)4
QRRRRRRRS
(1@ 2 3)(1 2 3)
1
QRRRRRRRS
KLMNOPL KLMNOPL
@ (1 4 @
5 1) Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien G,, maka PGS tersebut adalah F 8 GH T I dimana I 8 UVW 5 GX
PGS lingkaran di titik (1@ , 6@ ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 9 1@ 1 5 6@ 6 8 9 4
PGS lingkaran di titik (1@ , 6@ ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 9 (1@ 2 3)(1 2 3) 5 (6@ 2 7)(6 2 7) 8 9 4 PGS lingkaran di titik (1@ , 6@ ) pada lingkaran dengan bentuk umum 1 4 5 6 4 5 :1 5 ;6 5 < 8 0 Z
PGS dengan gradien D dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 9 6 8 D1 T 9√1 5 D4
PGS dengan gradien D dari lingkaran pusat (3, 7) dan jari-jari 9 (6 2 7) 8 D(1 2 3) T 9√1 5 D4
[
1@ 1 5 6@ 6 5 4 (1@ 5 1) 5 4 (6@ 5 6) 5 < 8 0
Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (1@ , 6@ ) ke garis 31 5 76 5 ] 8 0: 31@ 5 76@ 5 ] ^8_ _ √34 5 7 4
TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (1@ , 6@ ) jari-jari 9 yang sejajar dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0: 31 5 76 8 31@ 5 76@ T 9V34 5 7 4
PGS lingkaran pusat (1@ , 6@ ) jari-jari 9 yang tegak lurus dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0: 71 2 36 8 71@ 2 36@ T 9√34 5 7 4
PGS Lingkaran di titik (1@ , 6@ ) yang berada di luar lingkaran (3, 7) (0, 0)
(1@ , 6@ )
Titik Singgung (3, 7) Diperoleh PGS 5 Persamaan Lingkaran (dalam variabel 3, 7). Substitusi titik (1@ , 6@ ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (3@ , 7@ ) dan (34 , 74 ) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai
TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.
Contoh Soal: Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 1 4 5 6 4 8 10!
Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (a, b).. Artinya titik (3, 7)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran.
(3, 7)
(0, 0)
(5, 5)
Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel a dan b. Perhatikan bahwa (3, 7) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (3, 7) adalah aH 5 bF 8 Wd Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (3, 7) adalah aX 5 bX 8 Wd
Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (e, e) ke PGS akan diperoleh: 31 5 76 8 10 f 53 5 57 8 10 f 357 82 f b8223
Dari persamaan lingkaran 34 5 7 4 8 10 dan 7 8 2 2 3, substitusikan b 8 X 2 a ke persamaan lingkaran diperoleh: 34 5 (2 2 3)4 8 10 f 34 5 (4 2 43 5 34 ) 8 10 f 234 2 43 5 4 8 10 4 f 23 2 43 5 4 2 10 8 0 f 234 2 43 2 6 8 0 f 34 2 23 2 3 8 0 (3 5 1)(3 2 3) 8 0 f f 3 8 21 atau 3 8 3 Dari 3 8 21 atau 3 8 3 akan diperoleh nilai 7, yaitu: 3 8 21 f 7 8 2 2 3 8 2 5 1 8 3 3 8 3 f 7 8 2 2 3 8 2 2 3 8 21
Jadi dua titik singgung tersebut adalah (2W, i) dan (i, 2W)..
Sehingga PGS lingkaran pada titik (2W, i) dan (i, 2W) adalah: 21 5 36 8 10 dan 31 2 6 8 10.
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran 1 4 5 6 4 8 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 9 8 √10.
Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus: j
6 8 D1 T 9V1 5 D4
5 8 D(5) T √10V1 5 D4
f 5 2 5D 8 T√10V1 5 D4 (kuadratkan kedua ruas) f 25 2 50D 5 25D4 8 10 5 10D4 f 15D4 2 50D 5 15 8 0 f 3D4 2 10D 5 3 8 0 f (3D 2 1)(D 2 3) 8 0 1 k D 8 atau D 8 3 3 @
Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien D 8 l 6 2 6@ 8 D(1 2 1@ ) 1 6 2 5 8 (1 2 5) 3 21 5 3F 8 10
Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien D 8 3 6 2 6@ 8 D(1 2 1@ ) 6 2 5 8 3(1 2 5) iH 2 F 8 10
Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jarijari-jari lingkaran
Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh: 1.
Diberikan persamaan lingkaran 1 4 5 6 4 8 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian:
(1 2 0)4 5 (6 2 0)4 8 25
9 4 8 25 j 9 8 5
Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5. 2.
Diberikan persamaan lingkaran (1 2 3)4 5 (6 2 4)4 8 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian:
(1 2 3)4 5 (6 5 4)4 8 25
9 4 8 25 j 9 8 5
Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5. 3.
Diberikan persamaan lingkaran 1 4 5 6 4 2 21 5 41 2 20 8 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian:
1 4 5 6 4 2 21 5 41 2 20 8 0 1
22
dibagi (-2)
Maka pusat (1, 22), dan jari-jari adalah 9 8 V(1)4 5 (22)4 2 (220)
Menentukan persamaan lingkaran
Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.
Misal diketahui pusat lingkaran (3, 7) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 9 8 |7|.
Misal diketahui pusat lingkaran (3, 7) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 9 8 |3|.
Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 21) dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 7) dengan jari-jari 9: (1 2 3)4 5 (6 2 7)4 8 9 4 (1 2 5)4 5 (6 5 1)4 8 9
atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:
(1 2 5)4 5 (6 5 1)4 8 9 j 1 4 2 101 5 25 5 6 4 5 26 5 1 2 9 8 0 f 1 4 5 6 4 2 101 5 26 5 17 8 0 2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian:
(1 2 3)4 5 (6 2 2)4 8 24 j 1 4 5 6 4 2 61 2 46 5 9 8 0 3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (21, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:
(1 5 1)4 5 (6 2 2)4 8 (21)4 j 1 4 5 6 4 5 21 2 46 5 4 8 0 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 31 2 46 2 2 8 0 adalah …. Penyelesaian:
Pusat (1@ , 6@ ) 8 (1, 4)
Garis 31 2 46 2 2 8 0, dengan 3 8 3, 7 8 24, dan ] 8 22.
Persamaan lingkaran dengan pusat (1@ , 6@ ) menyinggung garis 31 5 76 5 ] 8 0 adalah: (1 2 3)4 5 (6 2 7)4 8 r
Nst uvwt ux 4 √Ny uv y
z
3(1) 2 4(4) 2 2 (1 2 1) 5 (6 2 4) 8 { j | √34 5 44 f 1 4 2 21 5 1 5 6 4 2 86 5 16 8 9 f 1 4 5 6 4 2 21 2 86 5 8 8 0 4
4
4
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.
Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.
Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh: 1.
Persamaan garis singgung lingkaran 1 4 5 6 4 8 25 di titik (4, 23) adalah …. Penyelesaian:
1@ 8 4 dan 6@ 8 23
Ingat, ganti 1 4 menjadi 1@ 1, dan 1 menjadi ?
1 4 5 6 4 8 25 j 1@ 1 5 6@ 6 8 25
st us 4
A.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 41 2 36 8 25
2.
Persamaan garis singgung lingkaran (1 2 1)4 5 (6 2 4)4 8 25 di titik (22, 0) adalah …. Penyelesaian:
1@ 8 22 dan 6@ 8 0
Ingat, ganti 1 4 menjadi 1@ 1, dan 1 menjadi ?
(6 2 4)4 8 25 (1 2 1)4 5 j (1@ 2 1)(1 2 1) 5 (6@ 2 4)(6 2 4) 8 25
st us 4
A.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
(22 2 1)(1 2 1) 5 (0 2 4)(6 2 4) 8 25 (23)(1 2 1) 5 (24)(6 2 4) 8 25 j f 231 2 46 2 6 8 0 3.
Persamaan garis singgung lingkaran 1 4 5 6 4 2 61 5 46 2 12 8 0 di titik (7, 1) adalah …. Penyelesaian:
1@ 8 7 dan 6@ 8 1
Ingat, ganti 1 4 menjadi 1@ 1, dan 1 menjadi ? 14 5 64 2 6
st us 4
A.
1 54 6 2 12 8 0 1@ 5 14 6@ 5 6 j 1@ 1 5 6@ 6 2 6 ~ 5 4~ 2 12 8 0 2 2 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
71 5 6 2 3(7 5 1) 5 2(1 5 6) 2 12 8 0 j 41 5 36 2 31 8 0
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.
1.
Persamaan garis singgung lingkaran 1 4 5 6 4 8 9 di titik (1, 3) adalah ….
Penyelesaian:
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 9 8 3.
Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).
1 4 5 6 4 8 9 j (1)4 5 (3)4 8 10 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut:
j
6 8 D1 T 9V1 5 D4
3 8 D(1) T 3V1 5 D4
f 3 2 D 8 T3V1 5 D4 (kuadratkan kedua ruas) f 9 2 6D 5 D4 8 9 5 9D4 f 8D4 5 6D 8 0 f 2D(4D 5 3) 8 0 3 k D 8 0 atau D 8 2 4 Melalui (1 ,3) dan gradien D 8 0 6 2 6@ 8 D(1 2 1@ ) 6 2 3 8 0(1 2 1) 683
Melalui (1 ,3) dan gradien D 8 2 6 2 6@ 8 D(1 2 1@ ) 3 6 2 3 8 2 (1 2 1) 4 46 2 12 8 231 5 3 31 5 46 8 15
l
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (1 2 3)4 5 (6 5 5)4 8 80 yang sejajar dengan garis 6 2 21 5 5 8 0 adalah …. Penyelesaian:
Trik Superkilat: Superkilat:
Sesuaikan sejajar apa nggak?
Masukkan substitusikan pusat
PGS lingkaran pusat (1@ , 6@ ) jari-jari 9 yang sejajar dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0:
31 5 76 8 31@ 5 76@ T 9V34 5 7 4
T Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (3, 25) dan jari-jari 9 8 √80
PGS yang sejajar 6 2 21 5 5 8 0 adalah 6 2 21 juga!!!
6 2 21 8 (25) 2 2(3) T √80 V14 5 (22)4 j 6 2 21 8 211 T 20 f 6 8 21 2 11 T 20
2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 1 4 5 6 4 2 41 2 86 5 15 8 0 yang tegak lurus garis 1 5 26 8 6 adalah …. Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 9 8 √5
PGS yang sejajar 1 5 26 8 6 adalah 1 5 26 harus diubah menjadi 21 2 6 !!!
21 2 6 8 2(2) 2 (4) T √5 V(2)4 5 (1)4 j 21 2 6 8 0 T 5 f 21 2 6 8 5 dan 21 2 6 8 25
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah .... PGS lingkaran A. x = 2 dan x = −4 Memotong garis 6 8 3 4 4 (1@ 5 3)(1 5 3) 5 (6@ 5 7)(6 5 7) 8 9 4 B. x = 2 dan x = −2 6 8 3 j (1 5 1) 5 (3 2 3) 8 9 (1 5 1)4 8 9 f C. x = −2 dan x = 4 f 1 5 1 8 T3 (24, 3) j (24 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9 D. x = −2 dan x = −4 f 231 2 3 8 9 f 1 5 1 8 23 atau 1 5 1 8 3 E. x = 8 dan x = −10 f 1 8 24 f 1@ 8 24 14 8 2
TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran
Jadi titik potongnya di (24, 3) dan (2, 3)
(2, 3) j (2 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9 f 31 5 3 8 9 f 182
683
1 8 24
2.
182
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah .... A. x = 2 dan x = −4 Memotong garis 6 8 3 PGS lingkaran B. x = 2 dan x = −2 (1@ 5 3)(1 5 3) 5 (6@ 5 7)(6 5 7) 8 9 4 (1 5 1)4 5 (3 2 3)4 8 9 683j C. x = −2 dan x = 4 (1 5 1)4 8 9 f D. x = −2 dan x = −4 f 1 5 1 8 T3 (24, 3) j (24 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9 f 231 2 3 8 9 f 1 5 1 8 23 atau 1 5 1 8 3 E. x = 8 dan x = −10 TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran 683
1 8 24
182
f 1@ 8 24 Jadi titik potongnya di (24, 3) dan (2, 3)
14 8 2
f 1 8 24 (2, 3) j (2 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9 f 31 5 3 8 9 f 182
