PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
SMA Negeri 1 Ponorogo Mei 2012
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN Email :
[email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only) © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumber URL-nya ya…
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
A. Pendahuluan Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran tersebut, mempunyai dua buah garis singgung dengan gradien yang sama, dan mempunyai dua garis singgung yang dapat ditarik melalui satu titik di luar lingkaran. Setidaknya itulah yang dapat kita tentukan, dan materi inilah yang selama ini diajarkan di SMA/MA kelas XI IPA pada Bab Lingkaran, sub bab Menentukan persamaan garis singung lingkaran. Dengan rincian sebagai berikut: a. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran, b. Menentukan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui, dan c. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran. Muncul pertanyaan, bagaimanakah dengan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran, apakah bisa kita tentukan? Mengapa selama ini yang dibahas hanya sebatas menentukan panjang garis singgung sekutu dua lingkaran, yang mana materi ini telah dibahas di tingkat SMP? Berikut adalah pembahasan, bagaimana kita menentukan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran. B. Dasar Teori Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang me motong lingkaran tepat pada satu titik dan titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Garis y = mx + c menyinggung lingkaran L jika nilai D = 0. Dimana D adalah diskriminan persamaan kuadrat yang diperoleh setelah mensubtitusikan y = mx + c ke persamaan lingkaran.
y = mx + c
L
Atau Garis ax + by + c = 0 menyinggung lingkaran L jika d = r, dengan d adalah jarak titik pusat lingkaran P( x1 , y1 ) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 dan r adalah jari-jari lingkaran, dimana d = PQ =
ax1 + by1 + c a 2 + b2
.
L ax + by + c = 0 r P Q
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran
Dari gambar, m PQ =
Y
y1 x1
PQ tegak lurus gs, maka
Q(x 1 , y1 )
y1
m PQ m gs = −1 ⇒ m gs = −
r
P
x1
x1 y1
Persamaan garis singgung melalui Q ( x1 , y 1 ) adalah:
X
gs
y − y 1 = m( x − x1 ) x y − y 1 = − 1 (x − x1 ) y1 y 1 ( y − y1 ) = − x1 ( x − x1 ) y1 y − y 1 = − x1 x + x1 2
2
x1 x + y1 y = x1 2 + y1 2 Karena Q(x 1 , y1 ) pada lingkaran, maka x12 + y12 = r 2 , sehingga persamaan garis singgungnya adalah: x1 x + y1 y = r 2 Dengan sistem bagi adil, lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan garis singgung:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 mempunyai persamaan garis singgung: x1 x + y1 y +
A (x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0 2 2
Persamaan Garis Singgung Suatu Lingkaran Jika Gradiennya Diketahui Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx + c , Subtitusi y ke persamaan lingkaran x 2 + (mx + c ) = r 2 ⇒ x 2 + m 2 x 2 + 2 mcx + c 2 − r 2 = 0 2
(
)
(
)
⇒ 1 + m 2 x 2 + 2 mcx + c 2 − r 2 = 0
Garis menyinggung lingkaran jika D = b2 – 4ac = 0
(2mc)2 − 4(1 + m 2 )(c 2 − r 2 ) = 0 ⇒ 4 m2 c 2 − 4c 2 − 4m 2c 2 + 4r 2 + 4m2 r 2 = 0 ⇒
− c2 + r 2 + m 2 r 2 = 0
⇒
c 2 = r 2 + m2 r 2
⇒
c 2 = r 2 1 + m2
(
⇒
(
)
c = ±r 1 + m 2
)
Maka persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah: y = mx + c = mx ± r 1 + m 2 Dengan sistem bagi adil, untuk lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 akan diperoleh persamaan garis singgung: y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 Sehingga gradien garis singgung lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 yang melalui titik
T ( x1 , y1 ) di luar lingkaran dapat kita tentukan dengan rumus: y1 − b = m(x1 − a ) ± r 1 + m 2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah: 1. Menentukan gradien garis singgung lingkaran. 2. Gunakan rumus persamaan garis melalui suatu titik, misalnya T ( x1 , y1 ) dan diketahui gradiennya (m). Persamaannya adalah: y − y1 = m( x − x1 )
Persamaan Garis Polar/Kutub Dari satu titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran tersebut. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung disebut garis polar atau garis kutub. g1
A
T (x1, y1 ) P
g2
A dan B adalah titik singgung, juga titik potong garis polar dengan lingkaran.
B Garis polar/kutub
Misal A ( x A , y A ) maka PGS di titik singgung A adalah x A x + y A y = r 2
…….(1)
B ( x B , y B ) maka PGS di titik singgung B adalah x B x + y B y = r 2
…….(2)
Sehingga persamaan garis AT adalah x A x1 + y A y1 = r 2
……….(3)
BT adalah x B x1 + y B y1 = r 2
……….(4)
Kurangkan (3) dengan (4), diperoleh
( x A − x B )x1 + ( y A − y B ) y1 = 0 ⇒ Gradien garis AB adalah
( y A − y B ) = − x1 ( x A − x B ) y1
( y A − y B ) x1 =− ( x A − x B ) y1
dan garis AB melalui titik A maka persamaan
garis AB adalah y − yA = −
x1 (x − x A ) ⇒ y1 y − y1 y A = − x1 x + x1 x A y1 ⇒
x1 x + y1 y = x1 x A + y1 y A
⇒
x1 x + y1 y = r 2
Jadi, persamaan garis polar AB pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah: x1 x + y1 y = r 2 Uuntuk lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan garis polar:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 Dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 persamaan garis polarnya adalah: x1 x + y1 y +
A (x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0 2 2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah: 1. Tentukan persamaan garis polarnya. 2. Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, untuk mencari titik A dan B sebagai titik singgung lingkaran. 3. Gunakan rumus Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran untuk mencari persamaan garis singgungnya.
Kedudukan Dua Lingkaran: Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu: a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r
R
R
r P
Q
P
Saling Asing Luar
R
r Q
PQ r
Bersinggungan Luar
Bersinggungan Dalam
R
R PP
PQ r
Q r
Saling Asing Dalam
Berpotongan
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, atau bersinggungan luar. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika R + r ≤ PQ . Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, atau berpotongan. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika R − r ≤ PQ .
Titik Bagi Ruas Garis AB Koordinat titik bagi ruas garis AB yaitu titik C, dimana AC : CB = a : b adalah a x + b xA ay B + by A C (x C , y C ) = C B , a +b a+b
b B a C A
Dua Segitiga yang Sebangun Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Perhatikan gambar, segitiga ABC sebangun dengan segitiga PQR, maka ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R dan
AB AC BC = = PQ PR QR
Q B
β
β A
α
γ
P
α
γ
C
R
C. Persamaan Garis Singgung Sekutu Dua Lingkaran Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan terlebih dulu titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran. Adapun lingkaran yang akan digunakan, bisa memilih lingkaran pertama atau lingkaran kedua. Titik potong kedua garis singgung adalah: Garis Singgung Sekutu Dalam g1
A D R
r
P
Q E C B
g2
Perhatikan gambar di atas! ∆PBE sebangun dengan ∆QDE , karena ∠PBE = ∠QDE = 90 0 dan ∠PEB = ∠QED
(saling bertolak belakang) mengakibatkan ∠ BPE = ∠DQE , sehingga PE PB R = = QE QD r
atau
PE : QE = R : r .
Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan perbandingan PE : EQ = R : r
r Q R E P
Rx + rx P Ry Q + ry P Maka koordinat titik E adalah E Q , R + r R+ r
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R > r. A D R r
Q
S
P C B
Perhatikan gambar di atas! ∆ PBS sebangun dengan ∆QCS , karena ∠PBS = ∠ QCS = 90 0 dan ∠PSB = ∠ QSC
(saling berhimpit) mengakibatkan ∠BPS = ∠CQS , sehingga PQ + QS PB R PQ R = = ⇒ +1 = QS QC r QS r
⇒
PQ R − r = ; R>r QS r
Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ : QS = ( R − r ) : r ; R > r sehingga
r S R–r Q P
( R − r ) xS + rx P ( R − r ) yS + ry P Q (xQ , yQ ) = Q , (R − r ) + r ( R − r )+ r diperoleh : ⇒ xQ =
(R − r ) xS + rx P ⇒ (R − r ) + r
RxQ = ( R − r ) xS + rx P
⇒ ( R − r ) xS = Rx Q − rx P ⇒
dan ⇒ yQ =
(R − r ) y S + ry P ⇒ (R − r ) + r
xS =
Rx Q − rxP
(R − r)
Ry Q = ( R − r ) yS + ry P
⇒ ( R − r )y S = Ry Q − ry P ⇒
yS =
Ry Q − ry P
(R − r )
Rx − rx P Ry Q − ry P Sehingga kita dapatkan koordinat titik S adalah S ( x S , y S ) = S Q , R−r R− r
Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran kita menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgungnya terlebih dulu.
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r. Jika R = r (jari-jari kedua lingkaran sama), maka kedua garis singgung sekutu sejajar dan tidak mempunyai titik potong. Kedua garis singgung sejajar dengan garis PQ, yaitu garis yQ − y P yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Sehingga diperoleh m gs = mPQ = . xQ − x P g1
g2
Q r P R= r
Persamaan garis singgung sekutunya kita kita tentukan dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya. Persamaan garis singgung dengan gradien m untuk lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 adalah y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 .
Dua Lingkaran yang Bersinggungan
R P
R
r E
Q
Bersinggungan Luar
PQ r
S
Bersinggungan Dalam
Rx + rx P Ry Q + ry P pada lingkaran yang bersinggungan luar, merupakan Titik E Q , R + r R+ r titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan Rx − rx P Ry Q − ry P pada dua lingkaran yang bersinggungan dalam, dalam. Titik S Q , R − r R− r
juga merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan luar. Titik E dan titik S adalah titik singgung sekutu. Sehingga persamaan garis singgung sekutunya dapat ditentukan dengan rumus menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
D. Soal dan Pembahasannya Pada pembahasan soal di bawah, untuk soal pertama kita akan menentukan gradien garis singgung terlebih dulu, kemudian mencari persamaan garis singgung sekutunya dengan menggunakan lingkaran pertama, juga dengan lingkaran kedua. Untuk soal kedua kita gunakan kedua cara namun dengan lingkaran yang sama yaitu menggunakan lingkaran pertama. Soal ketiga dan keempat adalah contoh soal dengan karakteristik khusus. Soal Pertama: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 ≡ ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 = 16 dan
L2 ≡ ( x − 12) 2 + ( y − 3)2 = 4 .
Jawab: 3 x + 4 y − 38 = 0
L1
3 x − 4 y − 14 = 0
L2
L1 ≡ ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 = 16 mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
L2 ≡ ( x − 12) 2 + ( y − 3)2 = 4 mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2 Hubungan dua lingkaran
PQ =
(12 − 2 )2 + (3 − 3)2
R+r =4+2 =6 R − r = 4 −2 = 2
= 100 = 10 R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar. Rx + rx P Ry Q + ry P , sehingga kita peroleh koordinat Diketahui bahwa koordinat titik E Q , R + r R + r 4 . 12 + 2 . 2 4 . 3 + 2 . 3 52 18 26 titik E adalah: E , = E , = E , 3 4+2 4+2 6 6 3
Cara 1: Menggunakan Lingkaran Pertama. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah: y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 3 = m(x − 2 ) ± 4 1 + m 2 26 Garis singgung melalui titik E , 3 3
26 3 − 3 = m − 2 ± 4 1 + m2 3 20 ⇒ 0= m ± 4 1 + m2 3 20 ⇒ ± 4 1 + m2 = m 3 400 m2 ⇒ 16 + 16m 2 = 9 2 ⇒ 144 + 144m = 400m 2
y − 3 = m ( x − 2) ± 4 1 + m 2 ⇒
⇒
256m 2 = 144
⇒
16m 2 = 9 9 m2 = 16 3 m=± 4
⇒ ⇒
26 26 Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x − 3 3 3 3 26 Untuk m = ⇒ y − 3 = x − 4 4 3 3 26 ⇒ y −3 = x − 4 4 Jadi, persamaan garis ⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0 singgung persekutuan dalam 3 3 26 Untuk m = − ⇒ y − 3 = − x − L1 dan L2 adalah: 4 4 3 • g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0 3 26 ⇒ y −3 = − x + • g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0 4 4 ⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Cara 2: Menggunakan Lingkaran Kedua. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
y − yQ = m (x − xQ ) ± r 1 + m 2 ⇒ y − 3 = m( x − 12 ) ± 2 1 + m 2
26 Garis singgung melalui titik E , 3 3
y − 3 = m( x − 12) ± 2 1 + m2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
26 3 − 3 = m − 12 ± 2 1 + m 2 3 10 0 = − m ± 2 1+ m 2 3 10 ± 2 1+ m 2 = − m 3 100 m2 4 + 4m 2 = 9 2 36 + 36 m = 100m 2
⇒
64m 2 = 36
⇒
16 m2 = 9
⇒
m2 =
⇒
9 16 3 m =± 4
26 26 Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x − 3 3 3 3 26 Untuk m = ⇒ y − 3 = x − 4 4 3 3 26 ⇒ y −3 = x − 4 4 Jadi, persamaan garis ⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0 singgung persekutuan dalam 3 3 26 Untuk m = − ⇒ y − 3 = − x − L1 dan L2 adalah: 4 4 3 • g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0 3 26 ⇒ y −3 = − x + • g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0 4 4 ⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Soal Kedua: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16 dan L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4 )2 = 4 . Jawab:
y = 5 x − 23
5 x + 12 y − 149 = 0
L1 L2
y=2
L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16 mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4 )2 = 4 mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2 Hubungan dua lingkaran
PQ =
(15 − 5) 2 + (4 − 6)2
R+r =4+2= 6 R − r = 4 −2 = 2
= 100+ 4 = 104 R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Rx − rx P Ry Q − ry P , sehingga kita peroleh koordinat Diketahui bahwa koordinat titik S Q , R − r R− r 4.15 − 2.5 4.4 − 2.6 50 4 titik S adalah: S , = S , = S (25, 2) 4−2 4−2 2 2
Cara 1: Dengan Menentukan Persamaan garis Polar Persamaan garis polar berdasar titik S(25, 2) pada lingkaran L1 (dipilih L1) adalah: ( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 ⇒ (25 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16
⇒ ⇒ ⇒
20x − 100− 4 y + 24 − 16 = 0 20x − 4 y − 92 = 0 y = 5 x − 23
Subtitusi y ke persamaan L1
( x − 5)2 + ( y − 6)2 = 16 ⇒
( x − 5 )2 + (5 x − 29)2 = 16
⇒ x 2 − 10x + 25 + 25x 2 − 290x + 841− 16 = 0 ⇒
26x 2 − 300x + 850 = 0
⇒
13x 2 − 150x + 425 = 0
(13x − 85)( x − 5) = 0
⇒ ⇒
x=
85 atau x = 5 13
Subtitusi x ke persamaan garis polar (bukan ke persamaan lingkaran).
85 85 425 299 126 ⇒ y = 5 ⋅ − 23 = − = 13 13 13 13 13 ∗ x = 5 ⇒ y = 5 ⋅ 5 − 23 = 25 − 23 = 2 ∗x =
85 126 ⇒ T1 , 13 13 ⇒ T2 (5, 2 )
85 126 T1 , dan T2 (5, 2 ) adalah titik potong garis polar dengan lingkaran yang merupakan 13 13 titik singgung pada lingkaran L1.
Kita tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran L1. Persamaan garis singgung melalui T ( x1 , y1 ) pada lingkaran ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 adalah:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b )( y − b) = r 2 85 126 85 126 T1 , − 6 ( y − 6) = 16 ⇒ − 5 ( x − 5 ) + 13 13 13 13 20 ⇒ ( x − 5) + 48 ( y − 6) − 16 = 0 13 13 ⇒ 20(x − 5) + 48( y − 6) − 208 = 0 ⇒ 20 x + −100 + 48 y − 288 − 208 = 0 ⇒ 20 x + 48 y − 596 = 0 ⇒ 5 x + 12 y − 149 = 0
T1 (5, 2) ⇒ (5 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16 ⇒ 0( x − 5) − 4( y − 6) − 16 = 0 ⇒ − 4 y + 24 − 16 = 0 ⇒ − 4 y = −8 ⇒ y=2
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah: 5 x + 12 y − 149 = 0
dan
y=2
Cara 2: Dengan Menentukan Gradien Garis Singgung. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah (dipilih L1): y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 6 = m( x − 5 ) ± 4 1 + m 2 Garis singgung melalui titik S (25, 2) y − 6 = m ( x − 5) ± 4 1 + m 2 ⇒
2 − 6 = m (25 − 5 ) ± 4 1 + m 2
⇒
− 4 = 20m ± 4 1 + m 2
⇒
− 1 = 5m ± 1 + m 2
⇒
± 1 + m = 5m + 1 2
⇒
1 + m = 25m + 10 m + 1 2
2
⇒ 24m + 10m = 0 ⇒ m (24m + 10 ) = 0 2
⇒
m = 0 atau m = −
10 5 =− 24 12
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S (25, 2) adalah: y − 2 = m(x − 25) Untuk m = 0 ⇒ y − 2 = 0( x − 25) ⇒ y−2= 0 ⇒ y=2 5 5 Untuk m = − ⇒ y − 2 = − ( x − 25 ) 12 12 5 125 ⇒ y −2 = − x+ 12 12 ⇒ 12 y − 24 = −5 x + 125 ⇒ 5 x + 12 y − 149 = 0
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah: y=2
dan
5 x + 12 y − 149 = 0
Soal Ketiga: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran
L1 ≡ ( x − 4 ) + ( y − 2 ) 2
2
2
2
6 12 = 5 dan L2 ≡ x − + y + = 5 . 5 5
Jawab:
L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R = 2
5
2
6 6 12 12 L2 ≡ x − + y + = 5 mempunyai pusat Q , − dan jari- jari r = 5 5 5 5
5
Hubungan dua lingkaran 2 2 64 256 320 16 12 6 PQ = − 4 + − − 2 = + = = = 1,79 25 25 25 5 5 5 0 < 1,79 < 4,47 R + r = 5 + 5 = 2 5 = 4, 47 R − r < PQ < R + r R−r= 5− 5 =0
Maka L1 dan L2 berpotontan di dua titik, tidak mempunyai garis singgung sekutu dalam, hanya mempunyai garis singgung sekutu luar. Untuk R = r (jari- jari kedua lingkaran sama, yaitu
m gs = mPQ
5 ), kedua garis singgung sejajar PQ.
6 16 − − 2 − y − yP 16 = Q = 5 = 5 = =2 8 xQ − xP 12 − 4 8 − 5 5
Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2. Persamaan garis singgung L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 (dipilih L1) dengan gradien 2 adalah: y − 2 = 2(x − 4) ± 5 1 + 2 2 ⇒ ⇒ ⇒
y = 2 + 2x − 8 ± 5 y = 2x − 6 ± 5 y = 2 x − 11 atau
y = 2x −1
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah: y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 .
y = 2x −1 y = 2 x − 11
P
L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 ) 2 = 5
Q
2
2
6 12 L2 ≡ x − + y + = 5 5 5
Soal Keempat: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam antara lingkaran
L1 ≡ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 dan L2 ≡ (x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 . Jawab:
L1 ≡ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3 L2 ≡ (x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(6 − 1)2 + (1 − 1)2
R + r = 3+ 2 = 5 R − r = 3−2 =1
= 25 = 5 R + r = PQ R − r < PQ
Maka L1 dan L2 bersinggungan luar, mempunyai satu garis singgung sekutu dalam dan dua garis singgung sekutu luar.
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 ( x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 (x − 1) 2 − ( x − 6 )2 = 5
−
x 2 − 2 x + 1 − x 2 + 12 x − 35 = 5 10 x = 40 x=4 Cara 2: Rx + rx P Ry Q + ry P Titik singgung sekutu dua lingkaran adalah E Q , R+r R+ r 18 + 2 3 + 2 E , = E (4, 1) 3+ 2 3+ 2
=
E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 ⇒ (4 − 1)( x − 1) + (1 − 1)( y − 1) = 9 ⇒ 3(x − 1) = 9 ⇒ ⇒ ⇒
3x − 3 = 9 3 x = 12 x=4
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
E. Kesimpulan Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan koordinat titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung sekutunya dengan cara “Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran”. Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka persamaan garis singgung sekutu luar ditentukan denga n persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya, dengan gradien garis singgung sama dengan gradien garis PQ. Pada dua lingkaran yang bersinggungan luar dan bersinggungan dalam, ditemukan titik singgung sekutu, sehingga persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran bisa menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgung terlebih dulu. Dipilih cara mana yang lebih mudah. Karena terdapat dua buah lingkaran, maka dapat dipilih salah satu lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya.
F. Bahan Bacaan Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk kelas VIII SMP/MTs. Jakarta. BSE Depdiknas. Departemen Matematika Technos. –tanpa tahun-. Teori Ringkas Matematika. Surabaya. Litbang LP3T Technos. Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap Pintar Matematika (Bilingual). Jakarta. Cerdas Pustaka Publisher. Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA. Jakarta. Grafindo Media Pratama. Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic Publisher and Distributors. (PDF File) Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia. Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung. Erlangga. No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)
G. Aplikasi Pendukung • Microsoft Office Word 2007 • Goegebra Portable 4.2 / Geogebra Setup 3.0 (http://www.geogebra.org)
Lampiran: Tabel Banyak Garis Singgung Persekutuan (GSP) Dua Lingkaran
No
Banyak GSP
Hubungan 2 Lingkaran
Dalam
Luar
1
E 2
2
Cara menentukan PGSP Dalam Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:
Luar Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:
Rx Q + rx P RyQ + ryP E , R+ r R+ r
Rx Q − rx P Ry Q − ry P S , R−r R− r
Jika jari-jari lingkaran sama Dengan:
S
L1: Pusat P , jari-jari R L2: Pusat Q, jari-jari r
Saling Asing Luar
mk m gs = mPQ =
yQ − y P xQ − x P
PGS ditentukan dengan rumus PGS jika diketahui gradiennya.
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
2
1
2
Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu
-- Sda --
Rx Q + rx P RyQ + ryP , E , R + r R+ r kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
Bersinggungan Luar
3 0
2
-
-- Sda --
Berpotongan Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
4 0
1
-
Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu
Rx Q − rx P Ry Q − ry P S , R−r R− r kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
Bersinggungan Dalam
5 0 Saling Asing Dalam
0
-
-
,
