Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

2012, Nop 2014

Email : [email protected]

MatikZone’s Series

Blog : www.matikzone.wordpress.com

HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – [email protected] - www.matikzone.wordpress.com

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Misalkan: 𝑷 = 𝑷(𝒙𝑷 , 𝒚𝑷 ) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏 𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸 , 𝒚𝑸 ) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐 𝑹 = Jari-jari 𝑳𝟏 𝒓 = jaari-jari 𝑳𝟐 𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam 𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar

GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM

A D R

r

P

Q E C B

PBE ~ QDE , karena PBE  QDE  900 dan PEB  QED yang berakibat

PE PB R   QE QD r perbandingan PE : QE = R : r) BPE  DQE . Diperoleh

atau PE : QE  R : r . (E membagi PQ dengan

 RxQ  rxP RyQ  ryP   , R  r   R r

Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥𝐸 , 𝑦𝐸 ) = E

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR A D R Q

r

S

P C B


PBS ~ QCS , karena PBS  QCS  900 dan PSB  QSC yang mengakibatkan PQ  QS PB R PQ R PQ R  r    1    ; Rr BPS  CQS . Diperoleh QS QC r QS r QS r Titik S adalah perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ : QS  ( R  r ) : r; R  r ), maka

  R  r  xS  rxP R  r yS  ryP   QxQ , yQ   Q , R  r   r   R  r r diperoleh: R  r xS  rxP   xQ  RxQ   R  r  xS  rxP R  r   r   R  r  xS  RxQ  rxP  dan  yQ 

xS 

R  r yS  ry P  R  r   r

RxQ  rxP R  r

RyQ   R  r yS  ry P

  R  r yS  RyQ  ry P 

yS 

RyQ  ry P R  r

 RxQ  rxP RyQ  ryP   , R  r R  r  

Jadi, koordinat titik S adalah S xS , y S   S 

Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:

g1

A

T x1, y1  P

g2

B Polar

1. Tentukan persamaan garis polarnya 2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan koordinat titik A dan B. 3. Gunakan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya. Persamaanya sama dengan persamaan garis polar.

Lingkaran: (𝑥 − 𝑥𝑃 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑃 )2 = 𝑅 2 , Persamaan garis polar: (𝑥1 − 𝑥𝑃 )(𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦1 − 𝑦𝑃 )(𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2

Lingkaran: x 2  y 2  Ax  By  C  0 , 𝐴

𝐵

2

2

Persamaan garis polar: 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + (𝑥1 + 𝑥) + (𝑦1 + 𝑦) + 𝐶 = 0


GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r. g1 Jika R = r diperoleh gradient garis singgung

𝑚𝑔 = 𝑚𝑃𝑄 =

𝑦𝑄 −𝑦𝑃 𝑥𝑄 −𝑥𝑃

g2

Q r

Dengan persamaan garis singgung: P R= r

𝑦 − 𝑦𝑃 = 𝑚𝑔 (𝑥 − 𝑥𝑃 ) ± 𝑅√1 + 𝑚𝑔 2 atau 𝑦 − 𝑦𝑄 = 𝑚𝑔 (𝑥 − 𝑥𝑄 ) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔 2

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙𝑷 = 𝒙𝑸 .

P

R

Persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: 𝑥 = 𝑥𝑃 + 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑅

Q

DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN

R P

R

r E

Q

Bersinggungan Luar

P Q r

S

Bersinggungan Dalam

 RxQ  rxP RyQ  ryP   Rx  rxP RyQ  ryP   dan S  Q  adalah titik singgung sekutu dua E , , R  r  Rr   R r  R r lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:


Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:

(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2 or (𝑥𝐸 − 𝑥𝑄 )(𝑥 − 𝑥𝑄 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑄 )(𝑦 − 𝑦𝑄 ) = 𝑟 2 Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:

(𝑥𝑆 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝑆 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2 (𝑥𝑆 − 𝑥𝑄 )(𝑥 − 𝑥𝑄 ) + (𝑦𝑆 − 𝑦𝑄 )(𝑦 − 𝑦𝑄 ) = 𝑟 2

or

CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN: Soal 1: Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L1  x  22   y  32  16 dan

L2  x  122   y  32  4 .

Pembahasan:

3x  4 y  38  0

L1

3x  4 y 14  0

L2

L1  x  22   y  32  16 berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4 L2  x  122   y  32  4 berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2 Hubungan dua lingkaran 2 2 PQ  12  2  3  3  100  10  and R  r  PQ Rr  42  6 R  r  PQ dan  Rr  42  2 

Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.

 4.12  2.2 4.3  2.3   52 18   26  Kita peroleh E ,   E ,   E , 3  42   42 6 6  3 


Cara 1: menggunakan 𝑳𝟏 . Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

y  yP  mx  xP   R 1  m2  y  3  mx  2  4 1  m2

 26  Garis singgung melalui titik E , 3 , sehingga  3   26  y  3  mx  2  4 1  m 2  3  3  m  2   4 1  m 2  3  20  0  m  4 1  m2 3 20   4 1  m2  m 3 400m 2  16  16m 2  9 2  144  144m  400m 2



256m 2  144



16m 2  9 9 m2  16 3 m 4

 

3 26  y 3  x   4 3 3 26  y 3  x  4 4  3x  4 y  14  0 3 3 26  Untuk m    y 3   x   4 4 3 3 26  y 3   x  4 4  3x  4 y  38  0 Untuk m 

3  4

Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:

 g1  3x  4 y  14  0  g 2  3x  4 y  38  0

Cara 2: menggunakan 𝑳𝟐 . Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:

y  yQ  m x  xQ   r 1  m 2  y  3  mx  12  2 1  m 2

 26  Garis singgung melalui titik E , 3 , sehingga  3 


y  3  mx  12  2 1  m 2      

 26  3  3  m  12   2 1  m 2  3  10 0   m  2 1  m2 3 10  2 1  m2   m 3 100m 2 2 4  4m  9 2 36  36m  100m 2 64m 2  36



16m 2  9 9  m2  16 3  m 4 3 3 26  Untuk m   y 3  x   4 4 3 3 26  y 3  x  4 4  3x  4 y  14  0 3 3 26  Untuk m    y 3   x   4 4 3 3 26  y 3   x  4 4  3x  4 y  38  0

Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:  g1  3x  4 y  14  0  g 2  3x  4 y  38  0

Soal 2: Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar dari L1  x  5   y  6  16 dan 2

2

L2  x  152   y  42  4 .

Pembahasan:

y  5x  23

5x  12 y 149  0

L1 y2

L2


L1  x  52   y  62  16 , berpusat di P(5, 6) dan jari-jari R = 4 L2  x  152   y  42  4 , berpusat di Q(15, 4) dan jari-jari r = 2 Hubungan dua lingkaran

PQ  15  52  4  62  100  4  104   Rr  42  6 R  r  PQ dan R  r  PQ  Rr  42  2  Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar

 4.15  2.5 4.4  2.6   50 4  Kita dapatkan titik S  ,   S  ,   S 25, 2 42   42  2 2 Cara 1: menggunakan garais polar pada L1 Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah: (𝑥𝐸 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2

x1  ax  a   y1  b y  b  r 2  25  5x  5  2  6 y  6  16   

20 x  100  4 y  24  16  0 20 x  4 y  92  0 y  5x  23

Subtitusi ke L1

x  52   y  62  16 

x  52  5x  292  16

 x 2  10 x  25  25x 2  290 x  841  16  0 

26 x 2  300 x  850  0

 

13x 2  150 x  425  0 13x  85x  5  0 85 x atau x  5 13

 Subtitusi x ke persamaan garis polar.

85 85 425 299 126  y  5   23    13 13 13 13 13  x  5  y  5  5  23  25  23  2 x 

 85 126   T1  ,   13 13   T2 5, 2

 85 126  T1  ,  dan T2 5, 2 adalah titik singgung dari garis singgungnya, sehingga:  13 13 


 85 126   85   126  T1  ,  6  y  6  16     5 x  5    13 13   13   13  20 x  5  48  y  6  16  0  13 13  20x  5  48 y  6  208  0  20 x  100  48 y  288  208  0  20 x  48 y  596  0  5x  12 y  149  0

T1 5, 2  5  5x  5  2  6 y  6  16  0x  5  4 y  6  16  0   4 y  24  16  0   4 y  8  y2 Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y  2

dan 5x  12 y  149  0

Cara 2: menentukan gradien dan L1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

y  yP  mx  xP   R 1  m2  y  6  mx  5  4 1  m2

Garis singgung melalui titik S 25, 2 , sehingga

y  6  mx  5  4 1  m 2 

2  6  m25  5  4 1  m 2



 4  20m  4 1  m 2



 1  5m  1  m 2

 

 1  m 2  5m  1 1  m 2  25m 2  10m  1

 24m 2  10m  0  m24m  10  0 

m  0 atau m  

10 5  24 12

Untuk m  0  y  2  0x  25  y2 0  y2 5 5 Untuk m    y  2   x  25 12 12 5 125  y2  x 12 12  12 y  24  5x  125  5x  12 y  149  0 Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y  2

dan 5x  12 y  149  0


Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Hubungan 2 Lingkaran

Banyak Garis Singgung D

L

Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Sekutu Dalam  

E 2

PQ > R + r

2

Tentukan titik E Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

 RxQ  rxP RyQ  ryP   E , R  r   R r

Garis Singgung Sekutu Luar  

Tentukan titik S Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

 RxQ  rxP RyQ  ryP   S  , R  r   R r Jika R = r, gunakan persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya

S

m𝑚gs𝑔  mPQ  Saling Asing Luar

cat: L1: pusat P , jari-jari R L2: pusat Q, jari-jari r

yQ  yP xQ  xP

Jika R = r dan 𝑥𝑃 = 𝑥𝑄 , maka persamaannya adalah 𝑥 = 𝑥𝑝 ± 𝑅

PQ = R + r

 

1

2

Tentukan titik E Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

-- Sama dengan atas --

atau

𝐿1 − 𝐿2 = 0

PQ < | R – r |

PQ = | R – r |

| R – r | < PQ < R + r

Bersinggungan Luar

0

2

-

-- Sama dengan atas --

Berpotongan   0

1

-

Tentukan titik S Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿1 − 𝐿2 = 0

Bersinggungan Dalam

0

0

-

-

Saling Asing Dalam


Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Recommend Documents