PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER Materi Kuliah: Sistem Persamaan Aljabar Linier; Overview Aljabar Matriks; Metode Eliminasi Gauss; Metode Gauss-Jordan; Metode Iteratif (Gauss-Seidel & Jacobi); Metode Thomas
# SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER # Secara umum, sistem persamaan aljabar linier dapat dinyatakan dalam bentuk: a11 x1 + a12 x2 + ....... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ....... + a2n xn = b2 ..................................................... an1 x1 + an2 x2 + ....... + ann xn = bn ⎡ a11 a12 ⎢a a22 atau: ⎢ 21 ⎢ # # ⎢ ⎣ an1 an 2
atau:
" a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ " a2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥ = " # ⎥⎢#⎥ ⎢#⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ " ann ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bn ⎦
A
x = b
(A dan b diketahui, x harus ditentukan) Penyelesaian sistem persamaan linier merupakan salah satu masalah sentral dalam ilmu rekayasa modern, termasuk ilmu rekayasa kimia. Sistem persamaan linier Ax = b memiliki hanya satu penyelesaian x, jika A berupa matriks wajar (det (A) ≠ 0)
# OVERVIEW ALJABAR MATRIKS # Vektor adalah himpunan beraturan dari (lambang) bilangan-bilangan yang disebut elemen-elemen (dari vektor tersebut); banyaknya elemen di dalam himpunan dinamakan order atau dimensi dari vektor dimaksud. Dari analogi geometrik, sebuah vektor berorder n mendefinisikan (posisi) suatu titik di dalam ruang berdimensi n. ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ Vektor kolom: x = ⎢ 2 ⎥ atau: x = [xi ] ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ T Vektor baris: x = [x1 x2 " xn ] , dengan: T ≡ transposisi
Matriks:
Matriks A:
≡ himpunan beraturan dari vektor-vektor yang berdimensi sama ≡ jajaran segi-empat dari elemen-elemen (lambang/bilangan) ⎡ a11 a12 ⎢a a22 A = ⎢ 21 ⎢ # # ⎢ ⎣am1 am 2
" a1n ⎤ " a2 n ⎥⎥ " # ⎥ ⎥ " amn ⎦
berorder/berdimensi m x n
[ ]
A = aij
aij ≡ elemen matriks A yang posisinya di baris ke-i dan kolom ke-j aii (i = 1 s.d. n) ≡ elemen diagonal utama Jika m = n, matriks A disebut matriks bujur sangkar berorder n Jika m = 1 (hanya satu baris) vektor baris Jika n = 1 (hanya satu kolom) vektor kolom dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 1 dari 19
⎡ a11 ⎢a T T Matriks transposisi A dari matriks A: A = ⎢ 12 ⎢ # ⎢ ⎣a1n
a21 " am1 ⎤ a22 " am 2 ⎥⎥ berorder/berdimensi n x m # " # ⎥ ⎥ a2 n " amn ⎦
Matriks simetrik: matriks bujur sangkar yang bersifat: aij = aji Jika A matriks simetrik, maka: AT = A ⎡2 1 1 ⎤ T Contoh: A = A = ⎢⎢1 − 3 2⎥⎥ ⎢⎣1 2 1 ⎥⎦ Matriks antisimetrik: matriks bujur sangkar yang bersifat: aij = -aji Jika A matriks antisimetrik, maka: AT = -A 1 − 1⎤ ⎡0 ⎡ 0 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ T Contoh: A = ⎢− 1 0 2⎥ A = − A = ⎢⎢ 1 0 − 2⎥⎥ ⎢⎣ 1 − 2 0 ⎥⎦ ⎢⎣− 1 2 0 ⎥⎦ Matriks kerancang (sparse matrix): matriks (berdimensi besar) yang sebagian besar elemennya adalah nol. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U): matriks bujur sangkar yang semua elemen subdiagonalnya nol. ⎡1 2 4 7⎤ ⎢0 3 5 8 ⎥ ⎥ Contoh: U = ⎢ ⎢0 0 6 9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 5 ⎦ Jika A adalah matriks segitiga atas, maka: aij = 0 jika i > j
⎡ 4 2 1 0 0⎤ ⎢ 3 2 1 1 0⎥ ⎥ ⎢ Contoh: ⎢0 4 3 1 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 2 3⎥ ⎢⎣0 0 0 2 3⎥⎦ Lebar pita: atas = 2, bawah = 1, total = 4 Matriks tridiagonal: matriks pita dengan lebar pita atas = 1, bawah = 1, total = 1 Jika A matriks tridiagonal, maka: ⎧ 0 i − j >1 aij = ⎨ ⎩aij i − j ≤ 1
Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L): matriks bujur sangkar yang semua elemen superdiagonalnya nol. ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢ 3 4 0 0⎥ ⎥ Contoh: L = ⎢ ⎢6 1 7 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣8 9 2 5 ⎦ Jika B adalah matriks segitiga atas, maka: bij = 0 jika i < j
Matriks diagonal (D): matriks bujur sangkar yang bersifat: ⎧0 i ≠ j d ij = ⎨ ⎩λi i = j ⎡λ1 0 0 ⎤ Contoh: D = ⎢⎢ 0 λ2 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 λ3 ⎥⎦
Matriks pita (band matrix): matriks kerancang dengan elemen-elemen tak nol yang membentuk pita sepanjang diagonal.
Matriks identitas (I): matriks diagonal dengan λi = 1 untuk semua nilai i
Sifat-Sifat Aljabar Matriks dan Vektor 1. Penjumlahan dan pengurangan matriks Dua matriks A dan B bisa saling ditambahkan atau dikurangkan jika mempunyai dimensi yang sama (misal, matriks A dan B berdimensi m x n) 2. Perkalian matriks Dua matriks A dan B hanya bisa dikalikan menghasilkan matriks produk C = AB, jika: banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Jika A berdimensi m x n dan B berdimensi n x p, maka: n i = 1 s.d . m C = AB berdimensi m x p dan cij = ∑ aik bkj j = 1 s.d . p k =1 dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 2 dari 19
Pada umumnya: • Keterdefinisian AB tidak berarti keterdefinisian BA (banyaknya kolom B harus sama dengan banyaknya baris A) • AB ≠ BA (jika sama: kebetulan) ⎡1 0 ⎤ ⎡2 3 2⎤ Contoh: Jika A = ⎢⎢2 − 1⎥⎥ dan B = ⎢ , maka: − 1 2 − 1⎥⎦ ⎣ ⎢⎣3 1 ⎥⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 2 3 2⎤ ⎡2 3 2⎤ ⎢ ⎢ ⎥ AB = ⎢2 − 1⎥ ⎢ = ⎢5 4 5⎥⎥ ⎥ − 1 2 − 1⎦ ⎢⎣3 1 ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣5 11 5⎥⎦
3. Hukum asosiatif dan distributif terhadap perkalian dengan skalar: αA = Aα αAB = AαB = ABα α(A+B) = αA + αB 4. Hukum asosiatif untuk penjumlahan/pengurangan dan perkalian: A ± (B ± C) = (A ± B) ± C A(BC) = (AB)C 5. Hukum komutatif untuk penjumlahan/pengurangan: A + B = B + A 6. Hukum distributif pekalian terhadap penjumlahan: A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 7. (A + B)T = AT + BT
(AB)T = BTAT
(ABC)T = CT(AB)T = CTBTAT
Matriks Kebalikan (Invers)
Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar yang sama-sama berdimensi n dan BA = AB = I, maka B disebut matriks kebalikan (invers) dari matriks A dan diberi simbol A-1, sehingga: A-1A = AA-1 = I 1 / 8 − 1 / 8 ⎤ ⎡1 ⎡ 2 1 1⎤ ⎡ 1 / 8 ⎢ ⎥ ⎢ Contoh: ⎢ 4 1 0⎥ ⎢− 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 ⎢⎣− 2 2 1⎥⎦ ⎢⎣ 5 / 4 − 3 / 4 − 1 / 4⎥⎦ ⎢⎣0 A A-1
0 0⎤ 1 0⎥⎥ 0 1⎥⎦ I
Matriks bujur sangkar yang tidak memiliki kebalikan disebut matriks tak wajar (singular matrix). Matriks ini mempunyai determinan = 0. Aturan-aturan untuk matriks kebalikan: • (αA)-1 = α-1A-1 dengan: α ≡ skalar • (A-1)T = (AT)-1 • (AB)-1 = B-1A-1 • Jika D adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal dii (i = 1 s.d. n), maka D-1 1 adalah juga matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya adalah dii Determinan Matriks
Determinan adalah fungsi bernilai skalar dari semua elemen sebuah matriks bujur sangkar. Contoh:
⎡a A=⎢ ⎣c ⎡a A = ⎢⎢ d ⎢⎣ p
b⎤ d ⎥⎦ b e q
det (A) = ad – bc c⎤ f ⎥⎥ r ⎥⎦
det (A) = aer +bfp + cdq – pec – qfa – rdb
Determinan dari suatu skalar (alias matriks berorder 1 x 1) adalah nilai skalar itu sendiri. Determinan matriks bujur sangkar berorder > 1 dapat dievaluasi dengan menggunakan formula pengembangan dari Laplace, yakni: dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 3 dari 19
Jika A adalah matriks bujur sangkar berorder n, maka: n
det ( A) = ∑ aik (−1)i + k M ik
dengan: i = 1 atau 2 ... atau n
k =1
atau: n
det ( A) = ∑ akj (−1) k + j M kj
dengan: j = 1 atau 2 ... atau n
k =1
di mana: (−1) r + s M rs adalah kofaktor dari ars dan Mrs adalah determinan minor ars Minor
Jika Q adalah matriks bujur sangkar berorder (n-1) yang diperoleh dengan cara menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks bujur sangkar A (yang berorder n), maka matriks Q dinamakan minor aij dari matriks A. ⎡ a11 a12 a13 ⎤ Contoh: A = ⎢⎢a21 a22 a23 ⎥⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ Maka:
⎡a Minor a11 = ⎢ 22 ⎣ a32 ⎡a Minor a21 = ⎢ 12 ⎣a32
a23 ⎤ a33 ⎥⎦ a13 ⎤ a33 ⎥⎦
⎡a Minor a31 = ⎢ 12 ⎣a22
a13 ⎤ a23 ⎥⎦
a ⎤ ⎡a Minor a12 = ⎢ 21 23 ⎥ ⎣ a31 a33 ⎦ a ⎤ ⎡a Minor a22 = ⎢ 11 13 ⎥ ⎣a31 a33 ⎦ a ⎤ ⎡a Minor a32 = ⎢ 11 13 ⎥ ⎣a21 a23 ⎦
a ⎤ ⎡a Minor a13 = ⎢ 21 22 ⎥ ⎣ a31 a32 ⎦ a ⎤ ⎡a Minor a23 = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣a31 a32 ⎦ a ⎤ ⎡a Minor a33 = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣a21 a22 ⎦
Tiap matriks bujur sangkar berorder n mempunyai n2 buah minor. Contoh:
a b = ad − bc = −cb + da = ad − cb = −bc + da c d a
b
c
d
e
f = a (1)
p q
r
e
f
q
r
+ b (−1)
d
f
p
r
+ c (1)
d
e
p q
= aer – aqf – bdr + bpf + cdq – cpe = aer + bpf + cdq – pec – qfa – rdb
1 2 3
5 6 4 6 4 5 = 35 – 18 – 56 + 84 + 36 – 105 = -24 4 5 6 =1 −2 +3 3 7 7 7 7 3 7 3 7
Sifat-sifat determinan: 1. det (I) = 1 2. det (AT) = det (A) 3. Jika A dan B sama-sama berorder n, maka: det (AB) = det (A).det (B) 4. det (AB) = det (BA) 5. Jika A merupakan matriks tak wajar, maka: det (A) = 0 6. Jika elemen-elemen dari suatu baris (atau kolom) dari A semuanya bernilai nol, maka: det A) = 0 7. Jika A merupakan matriks segitiga atas/bawah atau matriks diagonal, maka: det (A) = a11.a22. .... . ann 8. Jika dua baris (atau kolom) dari A sama, maka: det (A) = 0 9. Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris (atau kolom) pada matriks A, maka: det (B) = - det (A) 10. Pengurangan kelipatan suatu baris atau kolom dari baris (kolom) tidak mengubah nilai determinan. 11. det (αA) = αn . det (A) dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 4 dari 19
Aturan Cramer untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Ax = b
Jika diketahui matriks bujur sangkar A yang berorder n dan vektor b yang juga berorder n, maka penyelesaian sistem persamaan linier Ax = b adalah: Δi dengan: i = 1 s.d. n xi = det ( A) di mana Δi adalah determinan dari matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i dari matriks A dengan vektor b. Contoh:
⎡2 3⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ det(A) = 8 – 9 = -1 ⎢ 3 4 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ A x b 1 3 2 1 Δ1 = = 4 − 0 = 4 dan Δ 2 = = 0 − 3 = −3 0 4 3 0 Δ1 4 Δ2 −3 = = −4 dan x2 = = =3 Maka: x1 = det ( A) − 1 det ( A) − 1
sehingga: x = [ -4 3 ]T
# METODE ELIMINASI GAUSS # Eliminasi Gauss merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier. Strategi penyelesaian sistem n buah persamaan linier Ax = b, di mana A adalah matriks bujur sangkar biasa dilakukan dengan: 1. Mereduksi Ax = b menjadi Ux = c, di mana U adalah matriks segitiga atas berorder n, dan 2. Menyelesaikan sistem Ux = c tersebut di atas dengan metode substitusi balik (backward substitution), sehingga diperoleh x. Metode pereduksian tersebut di atas disebut proses eliminasi Gauss, dan akan diilustrasikan dalam 3 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 4 3 2⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 3 4 3⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢− 1⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 3 4⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣− 1⎦
⎡4 ⎢3 contoh berikut ini: ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
A
x
⎡4 ⎢3 Bentuk matriks perbesarannya: ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
b
3 4 3 2
2 3 4 3 A
1 2 3 4
# 1⎤ # 1 ⎥⎥ # − 1⎥ ⎥ # − 1⎦ b
Langkah-langkahnya:
1. Buatlah elemen-elemen di bawah a11 menjadi bernilai nol, dengan cara: a a a a) Hitung: l21 = 21 , l31 = 31 , dan l41 = 41 a11 a11 a11
l21 =
3 4
l31 =
2 1 = 4 2
l41 =
1 4
b) Baris ke-2 baru = baris ke-2 lama – l21 (baris ke-1) Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l31 (baris ke-1) Baris ke-4 baru = baris ke-4 lama – l41 (baris ke-1) dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 5 dari 19
2 1 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 5 / 4 sehingga diperoleh: ⎢ ⎢0 3 / 2 3 5/ 2 ⎢ ⎣0 5 / 4 5 / 2 15 / 4
1 ⎤ # # 1 / 4 ⎥⎥ # − 3 / 2⎥ ⎥ # − 5 / 4⎦
2. Buatlah elemen-elemen di bawah a22 (yang baru) menjadi bernilai nol, dengan cara: a a a) Hitung: l32 = 32 dan l42 = 42 a22 a22
3/ 2 6 5/ 4 5 = l42 = = 7/4 7 7/4 7 b) Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l32 (baris ke-2) Baris ke-4 baru = baris ke-4 lama – l42 (baris ke-2) l32 =
2 1 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 5 / 4 sehingga diperoleh: ⎢ ⎢0 0 12 / 7 10 / 7 ⎢ ⎣0 0 10 / 7 20 / 7
# 1 ⎤ # 1 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7 ⎥ ⎥ # − 10 / 7 ⎦
3. Buatlah elemen-elemen di bawah a33 (yang baru) menjadi bernilai nol, dengan cara: a 10 / 7 5 a) Hitung: l43 = 43 l43 = = a33 12 / 7 6 b) Baris ke-4 baru = baris ke-4 lama – l43 (baris ke-3) 2 1 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 5 / 4 sehingga diperoleh: ⎢ ⎢0 0 12 / 7 10 / 7 ⎢ 0 5/3 ⎣0 0 U
# 1 ⎤ # 1 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7⎥ ⎥ # 0 ⎦ c
Proses eliminasi selesai setelah (n-1) tahap/langkah, di mana n adalah order dari matriks koefisien. 2 1 ⎤ ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 5 / 4 ⎥ ⎥ Penyelesaian persamaan: ⎢ ⎢0 0 12 / 7 10 / 7⎥ ⎥ ⎢ 0 5/3 ⎦ ⎣0 0 U
⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 1/ 4 ⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢− 12 / 7⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ x = c
selanjutnya dapat dilakukan dengan cara substitusi balik: 0 x4 = =0 5/3 ((−12 / 7) − (10 / 7)(0)) x3 = = −1 12 / 7 ((1 / 4) − (3 / 2)(−1) − (5 / 4)(0)) x2 = =1 7/4 (1 − (3)(1) − (2)(−1) − (1)(0)) x1 = =0 4 sehingga diperoleh: x = [0 1 -1 0]T ⎡4 ⎢3 Verifikasi hasil: ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
3 4 3 2
2 3 4 3
1⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 2⎥⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ =b = 3⎥ ⎢− 1⎥ ⎢− 1⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣− 1⎦
dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 6 dari 19
Persoalan yang Muncul dan Pemecahannya
Persoalan-persoalan yang dapat dijumpai dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss meliputi: 1. Division by Zero Pembagian dengan bilangan nol sangat mungkin terjadi dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss. Contoh: Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan kumpulan persamaan: 2 x2 + 3 x3 = 8 (Perhatikan bahwa tahap reduksi atau eliminasi 4 x1 + 6 x2 + 7 x3 = -3 yang pertama akan gagal, karena a11 = 0) 2 x1 + x2 + 6 x3 = 5 Persoalan yang sama dapat dijumpai jika elemen diagonal matriks koefisiennya mendekati nol (sangat kecil). 2. Round-Off Errors Error yang disebabkan oleh pembulatan bilangan yang terjadi selama proses eliminasi 3. Ill-Conditioned Systems Penyelesaian sebuah sistem persamaan ditentukan oleh kondisi sistem tersebut. Pada wellconditioned systems, perubahan kecil dalam satu atau lebih koefisiennya mengakibatkan perubahan yang kecil dalam penyelesaiannya. Dan sebaliknya, pada ill-conditioned systems, perubahan kecil dalam satu atau lebih koefisiennya mengakibatkan perubahan yang besar dalam penyelesaiannya. Ill-conditioned systems juga memungkinkan terjadinya jawaban dengan rentang yang lebar, yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. 4. Singular Systems Kasus ini terjadi jika determinan matriks koefisien sistem persamaan bernilai nol (atau merupakan matriks tak wajar), sehingga tidak mempunyai penyelesaian.
Persoalan tersebut di atas (1-3) dapat dipecahkan melalui beberapa cara, seperti (1) Penggunaan significant figures yang lebih banyak, (2) Pivoting, maupun (3) Scaling.
Contoh-contoh: # Ill-Conditioned Systems
Selesaikan sistem persamaan:
x1 + 2 x2 = 10 1,1 x1 + 2 x2 = 10,4 Ulangi lagi, tetapi jika koefisien x1 dalam persamaan kedua diganti menjadi 1,05. Penyelesaian: Dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh: 2(10) − 2(10,4) 1(10,4) − 1,1(10) x1 = =4 dan x2 = =3 1(2) − 2(1,1) 1(2) − 2(1,1) Dengan cara yang sama, untuk koefisien x1 dalam persamaan kedua diganti menjadi 1,05: 2(10) − 2(10,4) 1(10,4) − 1,05(10) x1 = =8 dan x2 = =1 1(2) − 2(1,05) 1(2) − 2(1,05) [Perhatikanlah bahwa perubahan yang kecil pada salah satu koefisien mengakibatkan penyelesaian (x1 dan x2) yang jauh berbeda.] # Pengaruh Scaling terhadap Determinan
Lakukan evaluasi nilai determinan (det) pada sistem persamaan berikut ini: (a) 3 x1 + 2 x2 = 18 (b) x1 + 2 x2 = 10 1,1 x1 + 2 x2 = 10,4 - x1 + 2 x2 = 2 (c) Ulangilah untuk sistem (b), tetapi jika kedua persamaan tersebut dikalikan faktor 10. Penyelesaian: (a) det = 3(2) – 2(-1) = 8 Sistem ini tergolong well-conditioned system. (b) det = 1(2) – 2(1,1) = -0,2 Sistem ini tergolong ill-conditioned system (karena mempunyai determinan yang nilainya mendekati nol) dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 7 dari 19
(c) Sistem (b) dikalikan 10 menjadi: 10 x1 + 20 x2 = 100 11 x1 + 20 x2 = 104 Perkalian sebuah persamaan dengan sebuah konstanta (scaling) tidak mempengaruhi penyelesaiannya. Dengan kata lain, sistem persamaan tetap bersifat ill-conditioned. Namun demikian, nilai determinannya jauh berubah, yakni: det = 10(20) – 20(11) = -20 # Partial Pivoting
Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan:
0,0003 x1 + 3,0000 x2 = 2,0001 (i) 1,0000 x1 + 1,0000 x2 = 1,0000 (ii) (Catatan: Penyelesaian eksak sistem persamaan ini adalah: x1 = 1/3 dan x2 = 2/3) Penyelesaian:
Perhatikan bahwa elemen pivot yang pertama, a11 = 0,0003, mendekati nol...!! Cara pertama: Jika persamaan (i) dikalikan 1/(0,0003), maka diperoleh: x1 + 10000 x2 = 6667 yang dapat digunakan untuk mengeliminasi x1 dari persamaan (ii): -9999 x2 = -6666 x2 = 2/3 x2 di atas selanjutnya dapat disubstitusikan balik ke persamaan (i) untuk mengevaluasi x1: 2,0001 − 3(2 / 3) x1 = 0,0003 Namun demikian, hasil yang diperoleh sangat dipengaruhi oleh banyaknya significant figures yang digunakan, seperti ditabelkan berikut ini: Nilai mutlak percent Significant x2 x1 relative error untuk x1 figures 3 0,667 -3,33 1099 4 0,6667 0,0000 100 5 0,66667 0,30000 10 6 0,666667 0,330000 1 7 0,6666667 0,3330000 0,1 Cara lain: Pivoting Jika kedua persamaan saling dipertukarkan posisinya (supaya elemen pivot pertama merupakan nilai yang terbesar dalam satu kolomnya), maka: 1,0000 x1 + 1,0000 x2 = 1,0000 (i.a) 0,0003 x1 + 3,0000 x2 = 2,0001 (ii.a) Melalui eliminasi dan substitusi, diperoleh: x2 = 2/3.
1 − (2 / 3) 1 Pada beberapa nilai significant figures yang digunakan, diperoleh hasil perhitungan sbb.:
Selanjutnya, x2 ini disubstitusikan balik sehingga diperoleh x1 sebesar: x1 = Significant figures 3 4 5 6 7
x2
x1
0,667 0,6667 0,66667 0,666667 0,6666667
0,333 0,3333 0,33333 0,333333 0,3333333
Nilai mutlak percent relative error untuk x1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa significant-figures-yang-digunakan mempunyai pengaruh yang jauh kurang sensitif terhadap perhitungan (bandingkan dengan cara sebelumnya...!!). Kesimpulan: Pada kasus ini, strategi pivoting memberikan hasil yang jauh lebih baik.
# METODE GAUSS-JORDAN # Metode eliminasi Gauss merupakan “separuh jalan” dari metode Gauss-Jordan, yakni metode yang dilakukan untuk mengubah matriks bujur sangkar A menjadi sebuah matriks diagonal D. Proses dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 8 dari 19
eliminasi yang dilakukan terhadap matriks segitiga atas U agar menjadi matriks diagonal D dilakukan melalui langkah-langkah yang serupa. Ilustrasi dalam contoh sebelumnya akan diproses lebih lanjut menggunakan metode Gauss-Jordan. (lihat kembali contoh sebelumnya) 3 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 4 3 2⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 3 4 3⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢− 1⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 3 4⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣− 1⎦
⎡4 ⎢3 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
A
x
b
Matriks perbesaran: ⎡4 ⎢3 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
3 4 3 2
2 3 4 3 A
1 2 3 4
# 1⎤ # 1 ⎥⎥ # − 1⎥ ⎥ # − 1⎦ b
Eliminasi Gauss
10 / 7 6 = 5/3 7 5/ 4 3 g 24 = = 5/3 4
2 1 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 5 / 4 ⎢ ⎢0 0 12 / 7 10 / 7 ⎢ 0 5/3 ⎣0 0 U
# 1 ⎤ # 1 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7⎥ ⎥ # 0 ⎦ c
g34 =
g14 =
1 3 = 5/3 5
g 23 =
3/ 2 7 = 12 / 7 8
g13 =
2 7 = 12 / 7 6
g12 =
3 12 = 7/4 7
2 0 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 3 / 2 0 ⎢ ⎢0 0 12 / 7 0 ⎢ 0 5/3 ⎣0 0
# 1 ⎤ # 1 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7⎥ ⎥ # 0 ⎦
0 0 ⎡4 3 ⎢0 7 / 4 0 0 ⎢ ⎢0 0 12 / 7 0 ⎢ 0 5/3 ⎣0 0
# 3 ⎤ # 7 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7⎥ ⎥ # 0 ⎦
0 0 ⎡4 0 ⎢0 7 / 4 0 0 ⎢ ⎢0 0 12 / 7 0 ⎢ 0 5/3 ⎣0 0
# 0 ⎤ # 7 / 4 ⎥⎥ # − 12 / 7⎥ ⎥ # 0 ⎦
D
Dengan demikian:
s
0 x1 = = 0 4 x2 =
7/4 =1 7/4
− 12 / 7 x3 = = −1 12 / 7 x4 =
0 =0 5/3
x = [0 1 -1 0]T
(sama dengan hasil yang diperoleh sebelumnya, dengan metode eliminasi Gauss)
Karena penyelesaian Ax = b sudah dapat dicapai secara efisien dengan metode eliminasi Gauss, penggunaan metode Gauss-Jordan bukanlah dalam penyelesaian sistem persamaan linier, melainkan dalam perhitungan manual penentuan matriks kebalikan (atau invers) A-1 dari matriks bujur sangkar A.
A . A-1 = I
(dapat ditentukan/dicari dengan metode Gauss Jordan) dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 9 dari 19
Contoh:
⎡ 2 1 1⎤ Tentukan invers dari matriks A = ⎢⎢ 4 1 0⎥⎥ , dengan metode Gauss-Jordan! ⎢⎣− 2 2 1⎥⎦ Penyelesaian: ⎡ 2 1 1 # 1 0 0⎤ ⎢ 4 1 0 # 0 1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣− 2 2 1 # 0 0 1⎥⎦ A I
1 # 1 0 0⎤ ⎡2 1 ⎢0 − 1 − 2 # − 2 1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 3 2 # 1 0 1⎥⎦
Tahap pertama eliminasi Gauss
1 # 1 0 0⎤ ⎡2 1 ⎢ 0 − 1 − 2 # − 2 1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 − 4 # − 5 3 1⎥⎦ (keadaan pada tahap akhir eliminasi Gauss)
Tahap kedua eliminasi Gauss
1 # 1 0 0⎤ ⎡2 1 ⎢0 − 1 − 2 # − 2 1 0⎥ Tahap pertama ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 − 4 # − 5 3 1⎥⎦ Gauss-Jordan
⎡2 1 0 # − 1 / 4 3 / 4 1 / 4 ⎤ ⎢0 − 1 0 # 1/ 2 − 1/ 2 − 1/ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 − 4 # − 5 3 1 ⎥⎦
Tahap kedua Gauss-Jordan
0 # 1 / 4 1 / 4 − 1 / 4⎤ ⎡2 0 ⎢0 − 1 0 # 1 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 4 # − 5 3 1 ⎥⎦
Selanjutnya, baris pertama dibagi dengan 2, baris kedua dibagi dengan (-1), dan baris ketiga 1 / 8 − 1 / 8⎤ ⎡1 0 0 # 1 / 8 ⎢ dibagi dengan (-4), sehingga diperoleh: ⎢0 1 0 # − 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 # 5 / 4 − 3 / 4 − 1 / 4⎥⎦
A-1
I Verifikasi hasil: ⎡ 2 1 1⎤ ⎢ 4 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 2 2 1⎥⎦ A
1 / 8 − 1 / 8⎤ ⎡ 1/ 8 ⎢− 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ⎥⎥ = ⎢ ⎢⎣ 5 / 4 − 3 / 4 − 1 / 4⎥⎦ A-1 =
1 / 8 − 1 / 8⎤ ⎡ 1/ 8 ⎢− 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ 5 / 4 − 3 / 4 − 1 / 4⎥⎦ A-1
⎡ 2 1 1⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ 4 1 0 ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 2 2 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ A = I
1 / 8 − 1 / 8⎤ ⎡ 1/ 8 ⎢ Jadi, matriks invers A adalah: A = ⎢− 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 5 / 4 − 3 / 4 − 1 / 4⎥⎦ -1
# METODE ITERATIF GAUSS-SEIDEL # Metode Gauss-Seidel merupakan metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang dilakukan secara iteratif. Berawal dari nilai-nilai tebakan awal untuk x, nilai awal ini selanjutnya diproses secara berulang-ulang (atau iteratif), hingga diperoleh nilai x yang cukup dekat dengan nilai sesungguhnya (atau memenuhi batas toleransi yang telah ditetapkan). Untuk sistem persamaan linier yang melibatkan matriks A dan vektor b yang berorder n, diperlukan nilai tebakan awal x sejumlah n-1 buah. Tinjaulah sistem persamaan linier (berorder 3) yang dinyatakan dalam bentuk matriks sbb.: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢⎣ a31 a32 A
a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ x = b
dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 10 dari 19
Dari baris 1, diperoleh: x1 =
b1 a12 a − x2 − 13 x3 a11 a11 a11
Dengan cara yang sama, x2 dan x3 dapat ditentukan dari baris 2 dan baris 3: x2 =
b2 a21 a − x1 − 23 x3 a22 a22 a22
dan
x3 =
b3 a31 a − x1 − 32 x2 a33 a33 a33
Pendekatan tersebut di atas digunakan dalam metode iteratif Gauss-Seidel. Jika dipilih 2 nilai tebakan awal untuk x2 dan x3, maka x1 dapat dihitung. Berdasarkan x1 (baru) yang dihitung x3 (lama), maka x2 (baru) dapat dihitung. Berdasarkan x1 (baru) dan x2 (baru), maka x3 (baru) dapat dihitung. Demikian seterusnya, sampai diperoleh harga-harga x1, x2, dan x3 yang konvergen. Prosedur iteratif ini digambarkan dalam diagram alir berikut ini. Prosedur yang analog dapat diterapkan terhadap sistem persamaan linier berorder n. MULAI Tebakan awal: x2,lama dan x3,lama Toleransi: tol
x1,baru =
b1 a11
x2,baru =
b2 a21 − x1, baru a22 a22
x3,baru
−
a a12 x2,lama − 13 x3, lama a11 a11 −
a23 x3,lama a22
a b a = 3 − 31 x1,baru − 32 x2,baru a33 a33 a33 Error ≤ tol ?
x2,lama = x2,baru x3,lama = x3,baru
Tidak
ke iterasi berikutnya
Ya x1 = x1,baru x2 = x2,baru x3 = x3,baru SELESAI
Persentase error perhitungan dapat dinyatakan sebagai: − xi ,iterasi sebelumnya x Errori = i ,iterasi sekarang x 100% xi ,iterasi sekarang Contoh:
Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan: 3 x1 – 0,1 x2 – 0,2 x3 = 7,85 0,1 x1 + 7 x2 – 0,3 x3 = -19,3 0,3 x1 – 0,2 x2 + 10 x3 = 71,4 Catatan: Nilai sebenarnya dari sistem persamaan ini adalah: x1 = 3; x2 = -2,5; dan x3 = 7 Penyelesaian: Dari setiap persamaan, dapat diperoleh x1, x2, dan x3 sebesar: 7,85 + 0,1 x2 + 0,2 x3 71,4 − 0,3 x1 + 0,2 x2 x1 = x3 = 3 10 − 19,3 − 0,1 x1 + 0,3 x3 x2 = 7 dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 11 dari 19
Iterasi pertama: Dengan menggunakan nilai tebakan awal untuk x2 dan x3 sebesar: x2 = x3 = 0, maka 7,85 + 0,1 (0) + 0,2 (0) = 2,616667 diperoleh: x1 = 3 Gunakan x1 = 2,616667 ini dan x3 = 0 untuk menghitung x2: − 19,3 − 0,1 (2,616667) + 0,3 (0) = −2,794524 x2 = 7 Gunakan x1 = 2,616667 dan x2 = -2,794524 untuk menghitung x3: 71,4 − 0,3 (2,616667) + 0,2 (−2,794524) = 7,005610 x3 = 10 Iterasi kedua: Dengan cara yang sama, maka diperoleh: 7,85 + 0,1 (−2,794524) + 0,2 (7,005610) = 2,990557 ε t = 0,31%; ε a = 12,5% x1 = 3 − 19,3 − 0,1 (2,990557) + 0,3 (7,005610) = −2,499625 ε t = 0,015%; ε a = 11,8% x2 = 7 71,4 − 0,3 (2,990557) + 0,2 (−2,499625) = 7,000291 x3 = ε t = 0,0042%; ε a = 0,076% 10 Komentar: Perhatikan bahwa metode ini bersifat konvergen (menuju nilai-nilai x sebenarnya). Langkah-langkah iterasi berikutnya dapat dilakukan untuk meningkatkan ketelitian dan kedekatan dengan nilai sebenarnya.
Kriteria Konvergensi untuk Metode Gauss-Seidel Metode Gauss-Seidel mirip dengan metode iterasi satu titik (dalam penentuan akar persamaan tak linier), yang dapat memunculkan 2 kemungkinan persoalan, yakni: (1) kadang-kadang tidak konvergen, atau (2) jika konvergen, maka laju konvergensinya lambat. Untuk sistem persamaan linier Ax = b yang melibatkan n buah persamaan, konvergensi metode ini akan selalu tercapai, jika:
n
aii > ∑ aij
(diagonally dominant)
j =1 j ≠i
Metode relaksasi merupakan modifikasi dari metode Gauss-Seidel yang dirancang untuk meningkatkan konvergensi. Setelah masing-masing xi dihitung dengan persamaan-persamaan di atas, nilai xi ini selanjutnya dimodifikasi dengan memberikan faktor pembobot terhadap hasil iterasi sekarang dan iterasi sebelumnya; atau:
xi ,baru = λ xi ,baru + (1 − λ ) xi ,lama di mana: λ ≡ faktor pembobot (bernilai antara 0 – 2; biasanya ditentukan secara empirik) Jika λ = 1, maka metode ini tidak dimodifikasi/direlaksasi Jika 0 ≤ λ ≤ 1, maka modifikasinya tergolong dalam underrelaxation (biasanya digunakan untuk membuat sistem yang tidak konvergen menjadi konvergen) Jika 1 ≤ λ ≤ 2, maka modifikasinya tergolong dalam overrelaxation (biasanya digunakan untuk mempercepat konvergensi sistem yang sudah konvergen). Pendekatan ini biasa disebut juga successive or simultaneous overrelaxation (SOR).
# METODE ITERATIF JACOBI # Metode Jacobi merupakan metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier secara iteratif yang mirip dengan metode Gauss-Seidel. Berawal dari nilai-nilai tebakan awal untuk x, nilai awal ini selanjutnya diproses secara berulang-ulang (atau iteratif), hingga diperoleh nilai x yang cukup dekat dengan nilai sesungguhnya (atau memenuhi batas toleransi yang telah ditetapkan). Untuk sistem persamaan linier yang melibatkan matriks A dan vektor b yang berorder n, diperlukan nilai tebakan awal x sejumlah n buah. dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 12 dari 19
Tinjaulah sistem persamaan linier (berorder 3) yang dinyatakan dalam bentuk matriks sbb.: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢⎣ a31 a32 A
a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ x = b
Seperti halnya metode Gauss-Seidel, metode Jacobi juga akan selalu menghasilkan penyelesaian yang konvergen jika matriks koefisien A bersifat diagonally dominant. Jika A merupakan matriks bujur b a a sangkar yang bersifat diagonally dominant, maka dari baris 1, diperoleh: x1 = 1 − 12 x2 − 13 x3 a11 a11 a11 Dengan cara yang sama, x2 dan x3 dapat ditentukan dari baris 2 dan baris 3: x2 =
b2 a21 a − x1 − 23 x3 a22 a22 a22
dan
b3 a31 a − x1 − 32 x2 a33 a33 a33
x3 =
Jika dipilih 3 nilai tebakan awal untuk x1, x2, dan x3, maka x1 (baru), x2 (baru), dan x3 (baru) dapat dihitung secara bersamaan. Demikian seterusnya, sampai diperoleh harga-harga x1, x2, dan x3 yang konvergen. Prosedur iteratif ini digambarkan dalam diagram alir berikut ini. Prosedur yang analog dapat diterapkan terhadap sistem persamaan linier berorder n. MULAI Tebakan awal: x1,lama, x2,lama, dan x3,lama ; Toleransi: tol
x1,baru =
b1 a11
x2,baru =
b2 a21 − x1,lama a22 a22
x3,baru =
b3 a31 a − x1,lama − 32 x2,lama a33 a33 a33
−
a12 a x2,lama − 13 x3, lama a11 a11 −
Error ≤ tol ?
a23 x3, lama a22
Tidak
x1,lama = x1,baru x2,lama = x2,baru x3,lama = x3,baru ke iterasi berikutnya
Ya x1 = x1,baru x2 = x2,baru x3 = x3,baru SELESAI
Persentase error perhitungan dapat dinyatakan sebagai: x − xi ,iterasi sebelumnya Errori = i ,iterasi sekarang x 100% xi ,iterasi sekarang Contoh:
Ulangi soal sebelumnya dengan metode iteratif Jacobi! Penyelesaian:
Jika digunakan nilai-nilai tebakan awal x, yaitu: x1 = x2 = x3 = 0 dan dengan cara yang mirip dengan sebelumnya, maka diperoleh hasil-hasil di bawah ini. dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 13 dari 19
Tabulasi hasil perhitungan (dengan metode Jacobi):
Bandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh dengan metode Gauss-Seidel sbb:
# METODE THOMAS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS KOEFISIEN TRIDIAGONAL # Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk sistem persamaan linier yang matriks koefisiennya berupa matriks tridiagonal. (Ingatlah kembali, apa yang dimaksud dengan matriks tridiagonal...!). Metode terapan ini biasa disebut metode Thomas, yang alur penyelesaiannya akan digambarkan dalam uraian berikut ini. Tinjaulah sistem persamaan linier: a11 x1 + a12 x2
= b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
= b2
a32 x2 + a33 x3 + a34 x4
= b3
......................................................................... an,n-1 xn-1 + ann xn = bn Atau, dapat dituliskan menjadi: d1 x1 + e1 x2
= b1
c2 x1 + d2 x2 + e2 x3
= b2
c3 x2 + d3 x3 + e3 x4
= b3
......................................................................... cn xn-1 + dn xn = bn Dalam bentuk perkalian matriks dan vektor, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai: ⎡d1 e1 ⎢c d 2 ⎢ 2 ⎢ 0 c3 ⎢ ⎢ ... ... ⎢⎣ 0 0
0 e2 d3 ... 0
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥ e3 0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ = ⎢b3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ cn d n ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣bn ⎥⎦ 0 0
... (*)
Matriks tridiagonal
Dengan menerapkan langkah-langkah yang telah dipelajari dalam metode eliminasi Gauss (pada materi sebelumnya), penyelesaian dari sistem persamaan linier (*) adalah sbb.: dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 14 dari 19
xn = γ n dan: ei xi +1
xi = γ i −
(i = n-1, n-2, ..., 1)
βi
dengan γi dan βi yang ditentukan melalui serangkaian perhitungan berurutan sbb.:
β1 = d1 b1
γ1 =
β1 ci ei −1
(i = 2, 3, ..., n)
bi − ci γ i −1
(i = 2, 3, ..., n)
βi = di − γi =
β i −1
βi
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut: 2 x1 – 3 x2 = -4 x1 + 2 x2 – x3 = 2 4 x2 – x3 + x4 = 9 2 x3 – x4 = 2 Penyelesaian: Sistem persamaan linier di atas memuat matriks koefisien tridiagonal. Mula-mula besaranbesaran ci, di, ei, dan bi akan didefinisikan lebih dahulu, untuk menyesuaikan dengan notasi yang diuraikan dalam metode Thomas tersebut di atas. i ci di ei bi 2 -3 -4 1 0 2 -1 2 2 1 -1 1 9 3 4 -1 0 2 4 2 Dengan metode Thomas, maka diperoleh hasil-hasil sbb.:
β1 = d1 γ1 =
b1
c3 e2
β2 b3 − c3 γ 2 = β3
β4 = d 4 − γ4
c2 e1
β1 b2 − c2 γ 1 = β2
β3 = d 3 − γ3
=
β1
β2 = d 2 − γ2
= 2
c4 e3
β3 b4 − c4 γ 3 = β4
−4 2
= -2
1 . (−3) 2 2 − 1 . (−2) 3,5 4 . (−1) −1− 3,5 9 − 4 . 1,14 0,143 2 .1 −1− 0,143
= 2−
= 3,5
=
= 1,14
= = = =
2 − 2 . 31 − 15
= 0,143 = 31 = -15 = 4
Dengan demikian: x4
= γ4
x3
= γ3 −
= 4
e3 x4
β3
= 31−
1. 4 0,143
= 3
dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 15 dari 19
x2
= γ2 −
x1
= γ1 −
e2 x3
β2
e1 x2
β1
(−1) (3) 3,5 (−3) (2) = −2− 2 = 1,14 −
= 2 = 1
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut di atas adalah: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; dan x4 = 4
# CONTOH APLIKASI # Neraca Massa Rangkaian Proses 3
1
Umpan
Pencampur
2
Pemisah
Reaktor A→B 4
Produk
Umpan berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam. Kendala: 1. 80% dari A dan 40% dari B di dalam alur 2 didaur ulang (recycle). 2. Perbandingan mol A terhadap mol B di dalam alur 1 adalah 5:1 Neraca massa (dalam kmol/jam):
Di sekitar pencampur: N A1 = N A3 + 100 N B1 = N B 3
atau:
N A1 − N A3 = 100
... (1)
atau:
N B1 − N B 3 = 0
... (2)
(NA1 menyatakan laju alir molar A di dalam alur 1, dst.)
Di sekitar reaktor: N A2 = N A1 − r
atau:
− N A1 + N A2 + r = 0
... (3)
N B 2 = N B1 + r
atau:
− N B1 + N B 2 − r = 0
... (4)
Di sekitar pemisah: N A3 + N A4 = N A 2
atau:
− N A2 + N A3 + N A4 = 0
... (5)
N B3 + N B4 = N B 2
atau:
− N B 2 + N B3 + N B4 = 0
... (6)
Berdasarkan kendala 1: N A3 = 0 ,8 N A2
atau:
... (7)
N B 3 = 0 ,4 N B 2
atau:
− 0 ,8 N A2 + N A3 = 0 − 0 ,4 N B 2 + N B 3 = 0
atau:
N A1 − 5 N B1 = 0
... (9)
(r menyatakan laju reaksi)
Berdasarkan kendala 2: N A1 = 5 N B1
... (8)
Berdasarkan penjabaran neraca massa di atas, dihasilkan 9 buah persamaan linier dengan 9 variabel yang tak diketahui (yakni NA1, NB1, NA2, NB2, NA3, NB3, NA4, NB4, dan r) Dengan demikian, terbentuk sistem persamaan linier yang dapat diselesaikan secara simultan! dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 16 dari 19
(Sebagai latihan, susunlah ke-9 persamaan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan vektor, dan selanjutnya silakan Anda selesaikan sendiri sistem persamaan linier tersebut. Untuk mengecek jawaban Anda, hasil perhitungan dari persoalan neraca massa ini adalah: NA1 = 227,3 kmol/jam; NB1 = 45,45 kmol/jam; NA2 = 159,1 kmol/jam; NB2 = 113,6 kmol/jam; NA3 = 127,3 kmol/jam; NB3 = 45,45 kmol/jam; NA4 = 31,82 kmol/jam; NB4 = 68,18 kmol/jam; dan r = 68,18 kmol/jam)
# LATIHAN SOAL # 1. Tuliskan sekumpulan persamaan berikut ini dalam bentuk matriks: 30 = 2 x2 + 6 x3 20 = 3 x2 + 8 x1 10 = x1 + x3 Tuliskan tranpose matriks koefisiennya! 2. Gunakan metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut: 2 x1 − 6 x2 = −18 − x1 + 8 x2 = 40 Cek jawaban Anda dengan mensubstitusikannya kembali ke dalam persamaan-persamaan di atas. 3. Untuk sekumpulan persamaan berikut: 2 x2 + 5 x3 = 1 2 x1 + x2 + 2 x3 = 1 3 x1 + x2 = 2 (a) Hitunglah nilai determinannya (b) Gunakan cara Cramer untuk menentukan harga x1, x2, dan x3. (c) Substitusikan jawaban Anda (pada butir (b)) ke dalam persamaan-persamaan semula, untuk mengecek kebenarannya. 4. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut: 4 x1 + x2 − x3 = −2 5 x1 + x2 + 2 x3 = 4 6 x1 + x2 + x3 = 6 Lakukan partial column pivoting dan cek kebenaran jawaban Anda dengan mensubstitusikan kembali ke dalam persamaan-persamaan semula. 5. Selesaikan sistem persamaan: x1 + x2 − x3 = −3 6 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 2 − 3 x1 + 4 x2 + x3 = 1 dengan metode: (a) eliminasi Gauss naive (b) eliminasi Gauss dengan partial pivoting (c) Gauss-Jordan naive (d) Gauss-Jordan dengan partial pivoting 6. Sistem persamaan berikut ini dirancang untuk menentukan konsentrasi (c, dalam g/m3) dalam serangkaian reaktor sebagai fungsi jumlah massa yang diumpankan ke dalam masing-masing reaktor (pada ruas kanan persamaan, dalam g/hari): 17 c1 − 2 c2 − 3 c3 = 500 − 5 c1 + 21 c2 − 2 c3 = 200 − 5 c1 − 5 c2 + 22 c3 = 30 (a) Gunakan matriks invers untuk menentukan harga konsentrasi c1, c2, dan c3. (b) Tentukan c1, c2, dan c3 dengan metode Gauss-Seidel, hingga tercapai εs = 5%. dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 17 dari 19
7. Gunakan metode Gauss-Seidel dengan relaksasi (dengan λ = 0,90 dan εs = 5%) untuk menyelesaikan sistem persamaan: − 5 x1 + 12 x3 = 80 4 x1 − x2 − x3 = −2 6 x1 + 8 x 2 = 45 (Jika perlu, lakukan penyusunan ulang terhadap persamaan untuk mencapai konvergensi). 8. Selesaikan 3 buah persamaan linier berikut ini dengan metode eliminasi Gauss, dan tunjukkan semua langkah perhitungannya. 3 x1 − 2 x2 + x3 = 3 2 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 2 4 x1 − 2 x2 − 3 x3 = −12 Ulangilah jika menggunakan metode iteratif Gauss-Seidel (atau Jacobi). 9. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan metode eliminasi Gauss, dan tunjukkan semua langkah perhitungannya. 2 x2 − x3 = 3 2 x1 − 3 x2 + x3 = 1 3 x1 − 2 x2 + 5 x3 = 10 10. Selesaikan 3 buah persamaan linier berikut ini dengan metode eliminasi Gauss, dan tunjukkan semua langkah perhitungannya. 3 x1 − x2 + 3 x3 = 2 5 x1 + 3 x2 + x3 = 6 x1 + 2 x2 − x3 = 2 11. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan metode Thomas, dan tunjukkan semua langkah perhitungannya. x1 − x2 =1 =1 2 x1 + x2 − 3 x3 3 x2 − 4 x3 + 2 x4 = 3 x3 − 5 x4 = 3 Ulangilah jika menggunakan metode iteratif Gauss-Seidel (atau Jacobi). 12. Sebuah kolom ekstraksi yang memiliki 4 tahap ideal/teoretik akan digunakan untuk mengekstraksi asam format yang terlarut dalam metil isobutil keton (MIBK) dengan menggunakan air sebagai pengekstrak. Operasi akan dilakukan dengan mode berlawanan arah (counter current); fasa organik diumpankan dari dasar kolom dengan laju 5 m3 MIBK/jam dan konsentrasi asam format 1,0 mol/liter MIBK, sedangkan fasa akuatik dialirkan dari puncak kolom dengan laju alir 2,45 m3 air/jam serta sama sekali tidak mengandung asam format. Operasi berlangsung isotermal dan harga rasio kesetimbangan konsentrasi asam format di dalam MIBK terhadap konsentrasi asam format di dalam air adalah K = 0,445. MIBK dan air dapat dianggap sama sekali tidak larut satu sama lain. 1 m3 = 1000 liter. Tentukan konsentrasi asam format pada aliran-aliran yang keluar dan masuk tiap pelat/tahap ideal dalam kolom ekstraksi tersebut. 13. Sebuah kilang minyak menghasilkan 3 jenis elpiji: A, B, dan C, dengan komposisi seperti disajikan pada tabel berikut ini (angka-angka yang ditunjukkan menyatakan %-volume komponen): Elpiji Komponen A B C C2 5,0 C3 90,0 10,0 i-C4 5,0 85,0 8,0 n-C4 5,0 80,0 i-C5 12,0 Jumlah 100,0 100,0 100,0 dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 18 dari 19
Dari sebuah perusahaan calon pelanggan, kilang minyak tersebut menerima tawaran kontrak jual beli 106 m3 elpiji yang disyaratkan harus mengandung: 31,2%-v propana, 53,4%-v isobutana, dan 12,6%-v n-butana. Kadar etana dan i-C5 tidak disyaratkan. Kilang minyak tersebut bermaksud memenuhi kontrak ini dengan cara mencampurkan elpiji A, elpiji B, dan elpiji C. Tentukan kebutuhan masing-masing elpiji A, B, dan C (dalam m3) agar persyaratan kontrak dapat dipenuhi dengan baik! 14. Gambar berikut ini memperlihatkan sistem tiga buah reaktor yang terhubungkan oleh pipa-pipa. Laju perpindahan setiap komponen/zat melalui setiap pipa merupakan perkalian dari laju alir volumetriknya (Q, dalam satuan m3/detik) dengan konsentrasinya yang keluar dari masing-masing reaktor (C, dalam satuan mg/m3). Sistem proses berada dalam kondisi steady, yang berarti bahwa laju massa masuk ke setiap reaktor sama dengan laju massa keluar. 400 mg/detik
Q13C1
Q33C3
1
3 Q12C1
Q23C2
Q21C2
200 mg/detik
Keterangan: Q33 = 120 Q13 = 40 Q12 = 80 Q23 = 60 Q21 = 20
2 Susunlah neraca massa pada masing-masing reaktor dan selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk (untuk menentukan harga-harga C1, C2, dan C3). 15. Tinjaulah proses perpindahan panas secara konduksi melalui dinding sebuah pipa. Suhu dinding bagian dalam: 200oC, suhu dinding bagian luar: 80oC, dan ketebalan dinding pipa: 0,05 meter. Jarijari bagian dalam pipa: 0,05 meter (ro) dan jari-jari bagian luar pipa: 0,1 meter. Persamaan diferensial yang dijabarkan berdasarkan neraca panas dalam dinding pipa dan menggambarkan distribusi suhu sepanjang dinding pipa dinyatakan sbb.: ⎛ d 2T ⎞ dT + r ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 0 dr ⎝ dr ⎠ Pendekatan beda hingga (finite difference) yang diterapkan untuk menyelesaikan persamaan di atas menghasilkan serangkaian persamaan aljabar linier berikut: ⎛1 ⎛ 1 r ⎞ 2r r ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ Ti +1 − ⎟⎟ Ti −1 = 0 Ti + ⎜⎜ − + Δr ⎝ 2 Δr ⎠ ⎝ 2 Δr ⎠ untuk: i = 2, 3, ..., 10 dengan: r = ro + Δ r (i − 1) = 0,05 + 0,005 (i − 1) dan T1 = 200oC dan T11 = 80oC Tentukan distribusi suhu di sepanjang dinding pipa menggunakan metode Thomas! (Jangan lupa bahwa r tidaklah konstan) ☺☺☺
Selamat Belajar!!!
☺☺☺
dy/analisis numerik/penyelesaian sistem persamaan aljabar linier/februari 2008/halaman 19 dari 19
