Hutahaean Vol. 13 No. 2 April 2006
urnal TEKNIK SIPIL
Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi) Syawaluddin H1) Abstrak Pada paper ini disajikan penggunaan polinomial Lagrange untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial secara numeris. Pada metoda ini suatu fungsi pada persamaan differensial didekati dengan polinomial Lagrange, selanjutnya differensial dari fungsi didekati dengan differensial dari polinomial Lagrange. Dengan metoda ini dihasilkan koefisien turunan yang sama dengan metoda selisih hingga. Metoda ini juga mirip dengan metoda elemen hingga dalam hal ukuran grid, yaitu dapat digunakan ukuran grid yang tidak seragam. Kemiripan lain dengan metoda elemen hingga adalah bahwa shape function dari metoda elemen hingga untuk elemen garis dan segiempat adalah berasal dari polinomial Lagrange. Metoda yang dikembangkan digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang Airy dan memberikan hasil yang baik. Kata-kata kunci : Polinomial Lagrange. Abstract This paper presents a numerical method for solving a differential equation by using Lagrangian Polynomial. In this method function in a differential equation is approximated with Lagrange Polynomial and then the differential of the function is approxiated with differential of Lagrange Polynomial. This method results in the same coefficient derivatives with the finite difference method. The results show that the differential coefficients’ is the same with finite difference method. Compare with finite element method, the method is alike it uses the same shape function and because it can be used with variably grid size. The method was used to solve Airy wave’s equation and give a good result. Keywords : Lagrange Polynomial.
1. Latar Belakang Harga suatu fungsi dapat didekati dengan polinomial Lagrange, sehingga differensial dari fungsi dapat dinyatakan dengan differensial dari polinomial Lagrange tersebut. Sesuai dengan namanya, polinomial Lagrange adalah berbentuk polinomial, dimana turunannya dapat dihitung dengan mudah. Dengan demikian, bila fungsi pada persamaan differensial didekati dengan polinomial Lagrange, maka differensial fungsi dapat digantikan dengan differensial dari polinomial Lagrange. Selanjutnya dengan memasukan harga syarat batas, diperoleh harga fungsi pada titik-titik polinomial. Dengan polinomial Lagrange ini dihasilkan suatu metoda yang serupa dengan metoda selisih hingga, dengan kelebihan perhitungan dengan ukuran grid yang tidak seragam dapat dilakukan tanpa memerlukan
formulasi khusus. Dengan metoda ini perhitungan pada domain yang memerlukan ukuran grid yang tidak seragam dapat dilakukan dengan mudah. Sehingga metoda ini juga mirip dengan metoda elemen hingga. Metoda elemen hingga untuk elemen garis dan elemen segiempat menggunakan shape function yang dapat diturunkan dengan menggunakan polinomial Lagrange [Stasa L. Frank, 1986], [Zienkiewicz, O.C., Morgan, K]. Perbedaannya adalah bahwa pada metoda elemen hingga terdapat proses minimalisasi kesalahan baik dengan menggunakan weighted residual method maupun variational principle. Kemudahan lain yang diberikan pada metoda polinomial Lagrange ini adalah bahwa, sebagaimana halnya pada metoda selisih hingga, pada pengerjaan dengan skema explisit tidak memerlukan operasi matrix.
1. Staf Pengajar PST Kelautan-ITB Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 29 Nopember 2005 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 30 Desember 2005 - 7 April 2006. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 7 April 2006 hingga 8 Mei 2006.
Vol. 13 No. 2 April 2006 99
Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)
2. Polinomial Lagrange
1
2
3
Berdasarkan [Anderson John D. JR], suatu fungsi f (x) dapat didekati dengan polinomial Lagrange, yaitu :
1
2
3
1
2
3
2
3
4
3
4
5
n-2
n-1
n
n
∑ L (x) f
f (x) =
i
(2.1)
i
i =1
(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) (x - x j ) ......... (x - xn ) (xi - x1 )(xi - x2 )(xi - x3 ) (xi - x j ) ......... (xi - xn ) (2.2)
dimana i = 1, 2, 3 ……… n, J = 1, 2, 3 ……….. n j ≠ i
2
3
Gambar 2.1. Ilustrasi polinomial lagrange
L1 =
L2 =
(x - x2 )(x - x3 ) (x1 - x2 )(x1 - x3 ) (x - x1 )(x - x3 ) (x2 - x1 )(x2 - x3 ) (x - x1 )(x - x2 ) (x3 - x1 )(x3 - x2 ) Selanjutnya
(2.3a)
(2.3b)
(2.3c) f (x) pada domain tersebut dapat didekati dengan polinomial Lagrange, yaitu :
L3 =
n
f (x) =
∑ L (x) f i
i
i =1
f (x) =
Segmen domain untuk titik 2 Segmen domain untuk titik 3
Segmen domain untuk titik n Gambar 2.2. Segmentasi pada pengerjaan polinomial Lagrange
adalah sebagai berikut
Untuk suatu domain yang dibagi atas 3 titik, seperti pada Gambar 2.1., maka:
1
n
Segmen domain untuk titik 4
Dimana: Li (x) = polinomial Lagrange untuk titik ke i Li (x) =
5 4 Segmen domain untuk titik 1
L1 (x) f1 + L2 (x) f2 + L3 (x) f3 (2.4)
Terlihat pada Gambar (2.2) bahwa turunan titik 1 akan dinyatakan oleh harga fungsi pada titik 1, 2 dan 3, hal ini serupa dengan metoda selisih hingga pada skema forward-difference, sedangkan pada titik-titik 2, 3 ………. n-1 akan serupa dengan central-difference, sedangkan pada titik ke n akan serupa dengan backward-difference. Keuntungan lain dari penggunaan polinomial Lagrange adalah bahwa segmen domain dapat dengan mudah diperluas, misal segmen domain dengan 4, 5, 6 dan 7 titik polinomial. Penggunaan segmen dengan 2 titik adalah menjadi pendekatan linier, dengan 3 titik adalah pendekatan kuadratis dan seterusnya.
3. Koefisien Differensial Yang dimaksud dengan koefisien differensial adalah harga dLi/dx pada Persamaan (2.5). Koefisien ini dapat langsung dihitung dengan menggunakan definisi dari polinomial Lagrange seperti pada Persamaan (2.2). Tetapi hal ini tentunya kurang praktis bila setiap saat harus menghitung koefisien turunan. Untuk mengatasi hal tersebut, maka dilakukan transformasi koordinat, dari sistim koordinat x, ke sistim koordinat kurvilinier ξ, dengan domain -1< ξ < 1.
Harga-harga fungsi pada x1 < x < x3, dapat dihitung dengan Persamaan (2.4) dengan diketahuinya f1, f2 dan f3. Demikian juga dengan harga-harga turunan df / dx pada x1 < x < x3 termasuk pada x = x1, x2 dan x3 dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (2.3), yaitu :
Transformasi koordinat pada suatu segmen domain n dilakukan dengan Li ( ξ ) xi menggunakan Persamaan (3.1) x= i =1 (5).
d f d L3 d L1 d L2 f1 + = f2 + f3 dx dx dx dx
n = jumlah titik pada segmen domain
(2.5)
Pemakaian polinomial Lagrange untuk menyelesaikan persamaan differensial ini tidak berarti bahwa Persamaan (2.1) dikerjakan pada seluruh domain sekaligus, walaupun hal ini memungkinkan, tetapi dikerjakan persegmen garis atau sub domain. Untuk domain seperti pada Gambar (2.2), maka pengerjaan polinomial Lagrange misal dengan 3 titik polinomial
100 Jurnal Teknik Sipil
∑
Li (ξ) polinomial Lagrange dalam sistim koordinat ξ, mempunyai bentuk yang sama seperti pada Persamaan (2.2) dimana x n diganti dengan ξ . Li ( ξ ) f i Sedangkan f pada suatu (3.2) f (ξ) = i =1 segmen domain juga dilakukan pendekatan yang sama yaitu :
∑
Hutahaean
d f d f dx = dξ d x d ξ Korelasi antara turunan pada domain x dengan pada domain 1 d f ξ adalah sebagai d f = (3.3) dx dx/dξ d ξ berikut :
d f d L1 d L2 d L3 f1 + = f2 + f3 dξ dξ dξ dξ d f 1 1 1 (2ξ – 1) f1 + = (-2ξ ) f2 + (2ξ + 1) f3 dξ 2 2 2 Pada titik 1 , ξ = -1
dx/dξ dikenal dengan matrix Jacobian, dalam hal ini u k u r a n ma tr ix n ya n dx d Li adalah (1 x 1). Matrix (3.4) = xi Jacobian ini dapat dξ ξ d i =1 dihitung dengan menggunakan Persamaan (3.1), yaitu :
∑
Transformasi koordinat pada Persamaan (3.1), memungkinkan bahwa, walaupun pada domain x digunakan ukuran grid yang tidak seragam, dapat ditransformasikan ke domain ξ dengan ukuran grid yang seragam, seperti terlihat pada Gambar (3.1) Pada grid dengan ukuran seragam ini (pada sistim koordinat ξ), dapat dihitung koefisien turunan yang berharga tetap yang hanya tergantung pada jumlah titik polinomial pada segmen domain. (ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 ) L1 (ξ) = Koefisien (ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 ) a. turunan (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 ) s e g m e n d uo mn taui kn L2 (ξ) = (ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 ) d e n g a n 3 t it ik polinomial (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 ) Dengan 3 titik L3 (ξ) = polinomial, polinomial (ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 ) Lagrange pada sistim koordinat ξ adalah
d L1 1 d L3 3 , d L2 1 = (2ξ – 1) = = 2, = dξ 2 dξ 2 dξ 2 Pada titik 2 , ξ = 0 dimana ξ1 = -1, ξ2 = 0 dan ξ3 = 1 = L1 (ξ) f1 f (ξ) d L1 1 d L2 d L 1 3 + L1 (ξ) , = = 0, = dξ 2 f dξ 2 1 + L1 dξ (ξ) f1 Pada titik 3 , ξ = 1
d L1 1 , d L2 d L3 3 = =-2, = dξ 2 dξ dξ 2
⎡ - 1.500 2.000 [C ] = ⎢⎢ - 0.500 0.000 ⎢⎣ 0.500 - 2.000
- 0.500 ⎤ 0.500 ⎥⎥ 1.500 ⎥⎦
(3.5)
Pada titik 1
d f 1 (C11 f1 + C12 f2 + C13 f3 ) (3.6a) = Jadi dx J1
δx1
δx2 x2
x1
x3
3
ξ=
∑ L (x) ξ i =1
i
3
x=
i
∑ L (ξ ) x i =1
i
i
ξ1
ξ2
ξ3
-1
0
1
Gambar 3.1. Transformasi dari ξ ke x
koefisien turunan adalah (3.6b) Pada titik 1 : C11 = 3/2 ; C12 = 2 ; C13 = Pada titik 2 1/2 Pada d f 1 t i t i k (3.6c) (C f + C f + C f ) 21 1 22 2 23 3 = 2 : dx J2 C21 = J2 = C21 x1 + C22 x2 + C23 x3 1/2 ; C22 = (3.6d) 0 ; C23 = 1/2 Pada titik 3 Pada titik 3 : C31 = - 1/2 ; C32 = 2 ; d f 1 (C31 f1 + C32 f3 + C33 f3 ) C33 (3.6e) = (3.6e) dx J3 = J3 = C31 x1 + C32 x2 + C33 x3 1/2 (3.6f) J1 = C11 x1 + C12 x2 + C13 x3
Vol. 13 No. 2 April 2006 101
Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)
Atau ditulis dalam bentuk matrix 1
2
3
5
4
6
n
[C] selanjutnya disebut dengan matrix koefisien turunan. Dengan menggunakan [C] dapat dihitung harga turunan, yaitu : ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
-1
− 1
1 3
1
3
df df dx = dξ dx dξ d dξ
L2 =
L3 =
L4 =
tersebut dan
d 2 f ⎛ d 2 f dx ⎞ dx df d 2 x koordinat ξ1, ξ ⎟ + =⎜ dξ 2 ⎜⎝ dx 2 dξ ⎟⎠ dξ dx dξ 2 2, ξ3 dan ξ4,
b. Koefisien turunan untuk segmen domain dengan 4, 5 dan 7 titik polinomial Titik-titik koordinat pada segmen domain adalah
[C ]
=
2 .6 6 7 - 1 .0 0 0
0 .0 0 0
1 .3 3 3
- 3 .0 0 0 6 .0 0 0
1 .6 6 7 - 8 .0 0 0
- 0 .5 0 0 ⎤ 0 .1 6 7 ⎥⎥ - 0 .1 6 7 ⎥ ⎥ 0 .5 0 0 ⎥ 4 .1 6 7 ⎦⎥
(3.8)
3.600 - 0.500 ⎤ - 0.750 0.100 ⎥⎥ - 1.750 4.000 - 1.500 0.400 - 0.050 ⎥ ⎥ - 2.250 0.000 2.250 - 0.450 0.050 ⎥ 1.500 - 4.000 1.750 1.200 - 1.000 ⎥ ⎥ - 2.500 5.000 - 7.500 - 0.450 0.500 ⎥ 11.250 - 20.000 22.500 - 18.000 7.350 ⎥⎦
- 7.350 18.000 - 22.500 20.000 - 11.250 - 0.500 3.850 7.500 - 5.000 2.500 0.100 - 1.200 - 0.050
0.450
0.050 - 4.000 - 1.000 0.750 0.500 - 3.600
102 Jurnal Teknik Sipil
(3.9)
d a p a t df d x d i h i t u n g matrix dx dξ 2 koefisien turunan, 2 2
⎛ d 2 x df d x ⎞ (3.10) ⎜⎜ 2 ⎟ dx dξ 2 ⎟⎠ ⎝ dξ yaitu :
Dengan cara yang sama dapat dihitung matrix koefisien turunan untuk 5, 6, 7 2 2 …………. n titik polinomial, n d Li d f = f i dimana perhitungannya dapat dξ 2 i = 1 dξ 2 dengan mudah dibuat program komputernya. Koefisien turunan untuk segmen domain dengan 5 dan 7 titik polinomial adalah sebagai berikut. Koefisien turunan pada segmen domain dengan 5 titik polinomial
∑
Koefisien turunan pada segmen domain dengan 7 titik polinomial
Perhitungan turunan ∂η ∂ (uH) dua, dapat (4.1) + = 0 ke ∂t ∂x dilakukan dengan cara sebagai berikut
∂u ∂u ∂η +u +g =0 ∂t ∂x ∂x
Polinomial Lagrangenya adalah ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ [C ] = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
2
d2 f 1 = 2 dξ (dx dξ )2
Pengerjaan metoda ini pada domain yang terdiri atas n titik, adalah pada titik 1, ⎡ - 2.750 4.500 - 2.250 0.500 ⎤ digunakan ⎢ - 0.500 0.750 ⎥ 1.500 - 0.250 ⎥ [C ] = ⎢ (3.7) ⎢ 0.250 - 1.500 0.750 0.500 ⎥ Persamaan ⎢ ⎥ dan 2.250 - 4.500 2.750 ⎦ (3.6a) ⎣ - 0.500 (3.6b) pada titik 2 s/d (n-1), digunakan Persamaan (3.6c) dan (3.6d) pada titik n, digunakan Persamaan (3.6e) dan (3.6f)
- 6 .0 0 0 3 .0 0 0
2
1 d f d f ⎛ dx ⎞ = 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 dx dξ dx ⎝ dξ ⎠ dξ
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 ) (ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 ) (ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 ) (ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 ) (ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 )
8 .0 0 0 ⎡ - 4 .1 6 7 ⎢ - 0 .5 0 0 1 .6 6 7 ⎢ ⎢ 0 .1 6 7 - 1 .3 3 3 ⎢ 1 .0 0 0 ⎢ - 0 .1 6 7 ⎣⎢ 0 .5 0 0 - 2 .6 6 7
⎛ df dx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dx dξ ⎠
d2 f d ⎛ df ⎞ dx df d ⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟D a r i = + ⎜ ⎟ 2 dξ ⎝ dx ⎠ dξ dx dξ ⎜⎝ dξ ⎟⎠ polinomial dξ
2
L1 =
⎛ df ⎞ d ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ dξ ⎠ dξ
(4.2)
Hutahaean
z
Muka air diam
η
x
h
u
Gambar 4.1. Sket variabel pada persamaan gelombang Airy
4. Contoh Pemakaian Sebagai contoh akan diselesaikan persamaan gelombang Airy satu dimensi, dimana persamaan terdiri atas dua persamaan differensial, yaitu :
n-1
n
Gambar 4.2. Pembagian domain dalam sejumlah grid-point
a. Persamaan Kontinuitas
b. Persamaan momentum dimana : Pada titik i = 1
η
=
fluktuasi muka
air
∂u 1 = (C11 u1 + C12 u2 + C13 u3 ) ∂x J1
u
J1 = C11 x1 + C12 x2 + C13 x3 ) Perhitungan d ƒ / dx dilakukan dengan menggunakan Persamaan 3.10. Koefisien diferensial untuk d2ƒ / dξ2 dapat dengan mudah dibentuk yaitu dengan menggunakan persamaan 2
=
2
kecepatan rata-rata kedalaman h = kedalaman perairan pada muka air diam H = h + η = kedalaman total Pada titik i = 2 s/d (n – 1)
2
2
dimana sebagai koefisien turunan adalah d Li / dξ . Jadi dalam perhitungan turunan orde 2 perlu dibentuk 2 koefisien diferensial, yaitu untuk dLi / dξ dan d2Li / d ξ2 .
∂u = (C21 ui-1 + C22 ∂x
a. Penyelesaian differensial ruang ∂/∂ ui + C23 ui+1 ) x S e -
∂ (uH) 1 (C21 (uH)i-1 + C22 (uH)i + C23 (uH)i+1 ) = ∂x J2 Pada titik i = n bagaimana halnya dengan metoda selisih hingga, maka daerah perhitun-
∂ (uH) 1 = ∂x J3
a. Batimetri perairan 1
n
2
b. Grid point Gambar 4.3. Grid-point pada perairan dengan kedalaman berubah secara konstan
(C31 (uH)n-2 + C32 (uH)n-1 + C33 (uH)n )
gan dibagi-bagi dalam sejumlah grid-point, seperti terlihat pada Gambar 4.2 berikut. Ukuran grid tidak harus seragam, tetapi dapat berbeda-beda. Misal suatu batimetri dengan kedalaman berubah, maka sebaiknya digunakan ukuran grid yang berbeda-beda, dimana pada kedalaman yang lebih kecil digunakan ukuran grid yang lebih kecil. Bila digunakan ukuran grid yang seragam, misal mengacu pada ukuran grid pada perairan dalam, maka perhitungan pada perairan
Vol. 13 No. 2 April 2006 103
Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)
Pada titik i = 1
yang
lebih
dangkal
∂η 1 (C11 η1 + C12 η2 + C13 η3 + C14 η4 + = ∂x J 1 C15 η5 + C16 η6 + C17 η7) J1 = (C11 x1 + C12 x2 + C13 x3 + C14 x4 + C15 x5 + C16 x6 + C17 x7) Pada titik i = 2
menjadi kurang teliti, sedangkan bila ukuran ∂η 1 grid seragam mengacu pada ukuran grid = ∂x J 2 pada perairan yang lebih dangkal, maka (C21 η1 + C22 η2 + C23 η3 + C24 η4 + C25 η5 + C26 η6 + C27 η7) J2 = (C21 x1 + C22 x2 + C23 x3 + C24 x4 + C25 x5 + C26 x6 + C27 x7)
jumlah grid akan terlalu banyak. Untuk menentukan ukuran grid ∂η 1 dapat digunakan kriteria Courant, yaitu δt = ∂x J 3 < δx / C , dimana C = kecepatan Pada titik i = 3
Pada titik i = n
∂η 1 = ∂x J7 (C71 ηn-6 + C72 ηn-5 + C73 ηn-4 + C74 ηn-3 + C75 ηn-2 + C76 ηn-1 + C77 ηn ) J7 = (C71 xn-6 + C72 xn-5 + C73 xn-4 + C74 xn-3 + C75 xn-2 + C76 xn-1 + C77 xn )
3.6c-d • Pada titik n dikerjakan persamaan 3.6e-f Jadi pada contoh ini digunakan segmen domain dengan 3 titik polinomial untuk menghitung ∂(uH)/∂x dan ∂u/∂x. Sedangkan untuk perhitungan ∂η/∂x digunakan segmen domain dengan 7 titik polinomial, yaitu sebagai berikut.
(C31 η1 + C32 η2 + C33 η3 + C34 η4 + C35 η5 + C36 η6 + C37 η7)
J3 = (C31 x1 + C32 x2 + C33 x3 + C34 x4 + C35 x5 + C36 x6 + C37 x7) Pada titik i = 4 s/d (n-3) gelombang, dimana makin ∂η 1 dangkal perairan makin kecil C, sehingga makin kecil ukuran grid. =
∂x
Mengingat pada titik 1 digunakan fluktuasi muka air sebagai syarat batas, maka pada titik tersebut tidak dikerjakan persamaan kontinuitas, atau tidak dilakukan perhitungan ∂(uH)/∂x .
J4
(C41 ηi-3 + C42 ηi-2 + C43 ηi-1 + C44 ηi + C45 ηi+1 + C46 ηi+2 + C47 ηi+3 ) J4 = (C41 xi-3 + C42 xi-2 + C43 xi-1 + C44 xi + C45 xi+1 + C46 xi+2 + C47 xi+3 )
Misal untuk batimetri dengan Pada titik i = n-2 kemiringan konstan, maka ukuran ∂η 1 grid yang digunakan berubah juga = secara konstan seperti terlihat pada ∂x J 5 Gambar 4.3. berikut.
Pada titik ini persamaan momentum tidak dikerjakan, karena digunakan syarat batas benda padat, yaitu un = 0. Pada perhitungan ini harga Cij digunakan harga [C] pada persamaan (3.5). Perhitungan ∂η/∂x , digunakan segmen domain dengan
(C51 ηn-6 + C52 ηn-5 + C53 ηn-4 + C54 ηn-3 + C55 ηn-2 + C56 ηn-1 + C57 ηn )
300 m
J5 = (C51 xn-6 + C52 xn-5 + C53 xn-4 + C54 xn-3 + C55 xn-2 + C56 xn-1 + C57 xn )
differensial ruang ∂/∂x digunakan Persamaan 3.5a-f, yaitu : Pada titik i = n-1 • Pada titik 1 dikerjakan per∂η 1 samaan 3.6a-b = ∂x J • Pada titik 2 dikerjakan persamaan Perhitungan
a. Kanal untuk eksekusi model 2m 5m
6
(C61 ηn-6 + C62 ηn-5 + C63 ηn-4 + C64 ηn-3 + C65 ηn-2 + C66 ηn-1 + C67 ηn ) J6 = (C61 xn-6 + C62 xn-5 + C63 xn-4 + C64 xn-3 + C65 xn-2 + C66 xn-1 + C67 xn )
104 Jurnal Teknik Sipil
b. Batimetri kanal Gambar 4.4. Kanal dengan batimetri berubah konstan
Hutahaean
1,00
Gelombang linier
0,75 0,50
mukaair(m)
0,25 0,00 -0,25 -0,50 -0,75 -1,00
0
50
100
150 x (m)
200
250
300
Gambar 4.5. Hasil eksekusi model pada kanal dengan kedalaman berubah
7 titik polinomial. Latar belakang perbedaan antara perhitungan ∂(uH)/∂x, ∂u/∂x dan ∂η/∂x dapat dilihat pada [Syawaluddin, H., 2005]. Pada perhitungan ∂η/∂x ini digunakan harga Cij pada Persamaan (3.9).
Hasil simulasi adalah seperti terlihat pada Gambar 4.5. Terlihat pada gambar tersebut terjadi pembesaran tinggi gelombang dengan berkurangnya kedalaman, dimana hal ini menunjukkan bahwa persamaan gelombang Airy juga dapat menghasilkan fenomena shoaling pada gelombang. Perbandingan terhadap solusi analisis (teori gelombang linier), menunjukkan bahwa model memberikan hasil yang cukup dekat dengan teori gelombang linier. Pada paper ini tidak bermaksud meneliti persamaan gelombang Airy ataupun peristiwa shoaling pada persamaan gelombang Airy, mengenai berbagai keterbatasan ataupun kemampuan persamaan gelombang Airy dapat dibaca pada berbagai buku ataupun paper, antara lain [Dean, Robert G., and Dalrymple] dan [Syawaluddin, H., 2005].
5. Diskusi dan Kesimpulan Seperti telah disebutkan bahwa metoda numeris yang dikembangkan adalah identik dengan metoda selisih
b. Penyelesaian differensial waktu Penyelesaian differensial waktu digunakan metoda integrasi dengan koefisien integrasi diperoleh dari polinomial Lagrange juga. Metoda integrasi ini dapat dilihat pada [Syawaluddin, H., 2005]. Sebagai contoh eksekusi model, digunakan suatu kanal dengan kemiringan berubah (Gambar 4.4). Pada mulut kanal terdapat gelombang dengan perioda 6 detik, dengan amplitudo 0.05 m. Pada simulasi ini digunakan grid dengan ukuran tidak seragam sebanyak 300 buah. Bila digunakan ukuran grid yang seragam akan diperlukan grid sebanyak 500 buah agar diperoleh hasil yang baik.
Vol. 13 No. 2 April 2006 105
Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)
106 Jurnal Teknik Sipil
