PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS A. Langkah-langkah pengujian hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tentang nilai-nilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Jika hasil yang didapat dari penelitian terhadap sampel acak, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, hipotesis diterima. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama: 1. Kekeliruan tipe I: ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima 2. Kekeliruan tipe II: ialah menerima hipotesis yang seharusanya ditolak. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan
dan peluang kekeliruan tipe II dinyatakan . Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1. Perumusan hipotesis Perumusan hipotesis dilakukan dengan dua macam, yaitu hipotesis awal,  , dan hipotesis alternatif,  . Pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan uji satu pihak atau uji dua pihak. Pengujian hipotesis uji satu pihak:        Atau         Pengujian hipotesis uji dua pihak:       

2. Menentukan distribusi yang akan digunakan, apakah z, t,  , F atau yang lain. 3. Penentuan daerah penolakan hipotesis (daerah kritis) 4. Pilih taraf nyata,
, atau yang disebut juga ukuran daerah kritis. Jika uji dua pihak maka luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah 
. Daerah penolakan 

Daerah penolakan     


Daerah penerimaan 

   


KED

Jika uji satu pihak maka luas daerah kritis atau daerah penolakan adalah
. Jika         Daerah Penolakan 

Daerah Penerimaan 

Luas =


d

Jika       

Daerah Penolakan  ' 


Daerah Penerimaan 

d Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh
, yang menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan  . 5. Menentukan nilai statistik 6. Menarik sebuah kesimpulan

B. Menguji rata-rata 1. Uji dua pihak Misal populasi berdistribusi normal dengan rata-rata  dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata . Diambil sampel acak berukuran n, lalu nilai statistik berupa rata-rata  dan simpangan baku s. Maka pengujian hipotesis: a.  diketahui       Untuk pasangan hipotesis       Dengan  sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:      " !  diterima jika  #$%&   #$%& dengan  #$%& didapat dari daftar normal baku    dengan peluang  #
&. Dalam hal lainnya,  ditolak. Contoh: Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhirakhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum.

KED

Jawab: 1. Perumusan hipotesis     ())*+,-.//01+210+23145.310/())*+6      ())*+,-.//01310+278-./-8,-34())*+91 2. Karena sampel acak yang diambil cukup banyak maka distribusi normal yang digunakan. 3. Pengujian dua pihak 4. Taraf nyata
 ),):, maka  #$,;&   #$,;& < ,=>  =>

5. Nilai statistik:  

?@$A B !;







),=C

6. Kesimpulan: 810  ),=C, ada dalam daerah penerimaan  . Dalam taraf nyata 0,05,  diterima artinya rata-rata masa pakai lampu masih sekitar 800 jam.

b.  tidak diketahui

      Untuk pasangan hipotesis       Karena simpangan baku tidak diketahui maka ditaksir dengan nilai simpangan baku, s, yang dihitung dari sampel. Maka statistik yang digunakan:   D E  " ! Dengan dk = n – 1. Maka  diterima jika D$ % D D$ % dengan D$ % didapat dari     daftar distribusi t dengan peluang  
dan dk = n – 1. Contoh: Untuk contoh di atas, jika simpangan baku populasinya tidak diketahui, dan didapat dari sampel didapat E  ::*+. Jawab: 1. Perumusan hipotesis     ())*+,-.//01+210+23145.310/())*+6      ())*+,-.//01310+278-./-8,-34())*+91 2. Statistik uji: t. 3. Pengujian dua pihak 4. Taraf nyata
 ),):, maka D$ % D D$ % < ,) D ,)

5. Nilai statistik: t

?@$A ;; !;





,)=



6. Kesimpulan: D  ,)=, ada dalam daerah penerimaan  . Dalam taraf nyata 0,05,  diterima artinya rata-rata masa pakai lampu masih sekitar 800 jam.

2. Uji satu pihak Misal populasi berdistribusi normal dengan rata-rata  dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata . Diambil sampel acak berukuran n, lalu nilai statistik berupa rata-rata  dan simpangan baku s. Maka pengujian hipotesis: a.  diketahui       1. Untuk pasangan hipotesis        Dengan  sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:      " ! KED

 ditolak jika  F ,;$% dengan ,;$% didapat dari daftar distribusi normal baku menggunakan peluang #),:
&. Contoh: Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang lama jika rata-rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata per jam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakanmetode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha? Jawab: 1. Menentukan hipotesis:     >       > 2. Statistik uji: z 3. Pengujian satu pihak 4. Taraf nyata
 ),):, maka  F ,;$,; <  F ,>C B,@$B  ,>: 5. Nilai statistik:   G,H

6. Kesimpulan 810  ,>:, ada dalam daerah penolakan  . Dalam taraf nyata 0,05,  ditolak artinya metode baru dapat menggantikan metode baru.

      2. Untuk pasangan hipotesis       Dengan  sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:      " !  ditolak jika  I ,;$% dengan ,;$% didapat dari daftar distribusi normal baku menggunakan peluang #),:
&.

b.  tidak diketahui

      1. Untuk pasangan hipotesis        Karena simpangan baku tidak diketahui maka ditaksir dengan nilai simpangan baku, s, yang dihitung dari sampel. Maka statistik yang digunakan:   D E  " ! Dengan dk = n – 1 dengan peluang (1 –
). Maka  ditolak jika F D$% . Contoh: Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam horman tertentu kepada ayam akan menambah berat telurnya rata-rata 4,5 gr. Sampel acak yang terdiri atas 31 butir telur dari ayam yang telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata-rata bert 4,9 gr dan simpangan baku s = 0,8gr. Cukup beralasankah untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur paling sedikit 4,5gr?

KED

Jawab: 1. Menentukan hipotesis:     C,:       C,: 2. Statistik uji: t 3. Pengujian satu pihak 4. Taraf nyata
 ),), maka D F D$, < D F ,C> J,@$J,;

5. Nilai statistik: t ,A

 !H

 ,K(

6. Kesimpulan D810  ,K(, ada dalam daerah penolakan  . Dalam taraf nyata 0,01,  ditolak artinya maka rata-rata berat telur naik paling sedikit 4,5.       2. Untuk pasangan hipotesis       

Karena simpangan baku tidak diketahui maka ditaksir dengan nilai simpangan baku, s, yang dihitung dari sampel. Maka statistik yang digunakan:   D E  " ! Dengan dk = n – 1 dengan peluang (1 –
). Maka  ditolak jika I D$% . C. Menguji proporsi 1. Uji Dua Pihak Misal populasi berdistribusi binom dengan proporsi kejadian A = L. Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu dihitung proporsi sampel untuk kejadian sebesar ", akan diuji mengenai uji dua pihak:   L  L      L L Dengan L diketahui. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:  " L  L # L & " M  #$%&   #$%& dengan  #$%& didapat dari daftar normal baku     dengan peluang  #
&. Dalam hal lainnya,  ditolak. Contoh: Kita ingin menguji bahwa distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang mengandung 2.458 laki-laki. Dalam taraf nyata 0,05, betulkah distribusi kedua jenis kelamin itu sama? Jawab: 1. Menentukan hipotesis Jika L = peluang terdapat laki-laki, maka akan diuji pasangan hipotesis:   L    N   L  2. Statistik uji: z  diterima jika

KED

3. Pengujian dua pihak 4. Taraf nyata
 ),):, maka  5. Menentukan nilai statistik:  

 

#$%& 6J;A J6A$,;

G#,;&#,;& J6A

#$%&

 ,>(

<

,=>  ,=>

6. Kesimpulan 810  ,>(, ada dalam daerah penerimaan  . Dalam taraf nyata 0,05,  diterima artinya peluang adanya laki-laki dan perempuan sama besar.

2. Uji Satu Pihak Misal populasi berdistribusi binom dengan proporsi kejadian A = L. Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu dihitung proporsi sampel untuk kejadian sebesar ", akan diuji mengenai uji satu pihak:   L  L      L  L Dengan L diketahui. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:  " L  L # L & " M  ditolak jika  F ,;$% dengan ,;$% didapat dari daftar normal baku dengan peluang #),:
&. Dalam hal lainnya,  diterima. Uji pihak kiri:   L  L      L L Dengan L diketahui. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:  " L  L # L & " M

 ditolak jika  I ,;$% dengan ,;$% didapat dari daftar normal baku dengan peluang #),:
&. Dalam hal lainnya,  diterima. Contoh: Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 60% anggota masyarakat termasuk golongan A. Sebuah sampel acak telah diambil yang terdiri atas 8.500 orang dan ternyata 5.426 termasuk golongan A. Apabila
 ),), benarkah pernyataan tersebut? Jawab: 1. Menentukan Hipotesis:   L  ),>     L  ),> 2. Uji statistik : z 3. Pengujian satu pihak 4. Taraf nyata
 ),), maka  F ,;$% <  F ,OO

5. Nilai statistik:  

;6JB A6;$,B

G#,B&#,J& A6;

 ,K=

6. Kesimpulan 810  ,K=, ada dalam daerah penolakan  . Dalam taraf nyata 0,01,  ditolak artinya persentase anggota masyarakat golongan A sudah melampaui 60%. KED

D. Menguji varians Misal populasi berdistribusi normal dengan rata-rata  dan varians   . Akan diuji mengenai parameter rata-rata . Diambil sampel acak berukuran n, lalu nilai statistik berupa rata-rata  dan varians E  . Pengujian hipotesis: 1. Uji Dua Pihak Pasangan hipotesis:         P        Untuk menguji hipotesis ini digunakan statistik chi-kuadrat: #" &E  

  Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika   

 %  $  % dimana  % dan $ % didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat     dengan dk = (n – 1) dan masing-masing dengan peluang 
dan  
. Dalam hal lainnya  ditolak. Contoh: Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhirakhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 lampu didapat s = 55. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, benarkah   >)*+ dalam taraf nyata
 ),):? Jawab: 1. Menentukan Hipotesis:       O>))        O>)) 2. Uji statistik : chi-kuadrat 3. Pengujian dua pihak   4. Taraf nyata:
 ),):, maka  %  $  % < O,> K),= 5. Nilai statistik:  

#;$&#H6;& HB



 C,KC



 C,KC ada dalam daerah penerimaan  . Dalam taraf nyata 0,05,  6. Kesimpulan diterima artinya    O>))*+. 

810

2. Uji Satu Pihak Dalam kenyataan sangat sering dikehendaki adanya varians yang berharga kecil. Untuk ini pengujian diperlukan dan akan merupakan uji pihak kanan:         P           dengan $% didapat dari daftar chi-kuadrat Kriteria pengujian:  ditolak jika  F $% dengan dk = n – 1dan peluang #
&. Dalam hal lainnya,  diterima. Jika hipotesis 0 dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, yakni pasangan:         P         Maka hal yang sebaliknya akan terjadi mengenai kriteria pengujian, yaitu tolak  jika  I % , dimana % didapat dari daftar chi-kuadrat dengan QR  #" & dan peluang
. KED

Contoh: Proses pengisian semacam minuman ke dalam botol oleh mesin, paling tinggi mencapai varians 0,50 cc. Akhirn-akhir ini ada dugaan bahwa isi botol telah mempunyai variabilitas yang lebih besar. Diteliti 20 buah botol dan isinya ditakar. Ternyata sampel ini menghasilkan simpangan baku 0,90 cc. Dengan
 ),):, diperlukan mesin distel? Jawab: 1. Menentukan Hipotesis:       ),:         ),: 2. Uji statistik : chi kuadrat 3. Pengujian satu pihak  4. Taraf nyata
 ),):, maka dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh  F $% <  F O), #$&#,A&  O),K( 5. Nilai statistik:   ,;

 6. Kesimpulan 810  O),K( ada dalam daerah penolakan  . Maka  ditolak artinya variasi isi botol telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk menyetel kembali mesin agar pengisian lebih merata. E. Menguji Kesamaan Dua Rata-rata a. Uji Dua Pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh  SSS,  E. Akan diuji  E dan SSS, tentang rata-rata  74 .

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah:              Untuk ini dibedakan dalam beberapa kasus: 1.      dan  diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah: SSS  SSS     G" T " 



Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika



#$%&



didapat dari daftar normal baku dengan peluang  # Dalam hal lainnya  ditolak. 2.      tetapi  tidak diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah: SSS  SSS  D   EG T " " Dengan #" &E T #" &E E  " T "  

#$%&

dimana 

#$%&


&.

KED

Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika dimana D$UW didapat dari daftar student dengan QR  " T " V

hal lainnya  ditolak. 3.   dan kedua-duanya tidak diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah: SSS  SSS  DX  E E M T  " "

D$UW D D$UW V

 peluang 

U % V

V

. Dalam

Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika Y D T Y D Y D T Y D

DX

Y T Y Y T Y [V

Dengan: YZ  ]\ dan DZ  D^$U_`,#]\ $& dengan i = 1, 2 . Dalam hal lainnya  ditolak. V

\

4. Observasi berpasangan Untuk observasi berpasangan, ambil a    . Hipotesis nol dan tandingannya adalah:    )   a  a ) Jika bZ  Z cZ , maka data b , b , d , b] menghasilkan bS dan simpangan baku Ea . Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik: bS DE a  !" dan terima  jika D$UW D D$UW dimana D$UW didapat dari daftar student dengan QR  " T "

V

 peluang 

U % V

V

V

. Dalam hal lainnya  ditolak.

Contoh: Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui macam makanan yang mana yang lebih baik bagi ayam tersebut. Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Tambah berat badan ayam (dalam ons) hasil percobaan adalah sebagai berikut: A 3.1 3.0 3.3 2.9 2.6 3.0 3.6 2.7 3.8 4.0 3.4 B 2.7 2.9 3.4 3.2 3.3 2.9 3.0 3.0 2.6 3.7 Dalam taraf nyata
 ),):, tentukan apakah kedua macam makanan itu sama baiknya atau tidak. (berat daging ayam berdistribusi normal dengan varians yang sama besar) Jawab:      1.         2. Uji statistik : t 3. Uji 2 pihak 4. Taraf nyata
 ),):, maka D6@?;e@ D D6@?;e@ < ,)= D ,)= 5. Nilai Statistik: Rata-rata dan varians untuk masing-masing sampel: SSS  f 

g h\ ]i



H;6J 

 O6 dan Ef 

V g#h\ $h SSSS& i

]i $



6@@BJ 

 )6==>

KED

SSS  a 

g h\ ]j



H6 

 O6) dan Ea 

V g#h\ $h SSSS& j

6 @

]j $



O6

O6)

 )6

Maka simpangan baku gabungannya: # &#)6==>& T #) &#)6& 6==>( E    )6:KK  T )  = Maka:

 )6(>   !)6:KKG T ) 6. Kesimpulan: karena t hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya kedua macam makanan ayam itu memberikan tambahan berat daging ayam sama terhadap ayam-ayam itu. D

b. Uji Satu Pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak SSS,  E. Akan diuji diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh   E dan SSS, tentang rata-rata  74 . Maka pengujian hipotesis: 

Hipotesis

     dan  diketahui

Uji Statistik

Kriteria pengujian   dan kedua-duanya tidak diketahui

Uji Statistik

            



Uji Statistik Kriteria pengujian

     tetapi  tidak diketahui

          

ditolak : F 6;

%$Dengan: 

 SSS

  G" T "  

ditolak : I

D E 

 SSS

#"

ditolak :D F D$% dengan: QR  " T " peluang 


 SSS

EG

6;

%$ SSS

  T " "

&E T #" &E " T " 

DX 

ditolak :D I D$%  dengan: QR  " T " peluang 
 SSS



 SSS

E E M T  " " KED

Kriteria pengujian

kU lU mkV lV kU mkV [V dan YZ  \ ]\

kU lU mkV lV kU mkV [V YZ  \ ]\

ditolak: DX F

ditolak:DX I

dengan:

dengan:

dan

DZ  D#$_&,#]\ $& dengan i = DZ  D#$_&,#]\ $& dengan i = 1, 2 1, 2

Contoh: Diduga bahw apemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang berenang dan 20 yang tidak senang berenang. Rata-rata tinggi badannya berturut-turut 167,2 cm dan 160,3 cm. Simpangan baknya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf nyata
 ),):, dapatkah kita mendukung dugaan tersebut? (misal distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan   ) Jawab:      1.          2. Uji statistik: t 3. Uji satu pihak k l mk l 4. Taraf nyata
 ),):, maka DX F UkU mkV V Dengan Y 

[UV ]U



B6?V ;

U

V

[V

 6==, Y  ]V  V

?,V 

 6:,

D  D#$_&,#]U $&  6K>, dan

D  D#$_&,#]V $&  6KO maka #6==&#6K>& T #6:&#6KO& < D F 6K: DX F 6== T 6: B?6$B6H  6=C 5. Nilai statistik: D n  V V Go6p mp6U Uq

Vr

6. Kesimpulan: Karena t’ hitung berada dalam daerah penolakan , maka  ditolak. Artinya benar tinggi pemuda yang suka berenang lebih tinggi dibandingkan pemuda yang tidak suka berenang.

F. Menguji Kesamaan Dua Proporsi a. Uji dua pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi binom yang didalamnya masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar L 74L. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak  berukuran " dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar " . Dari populasi kedua diambil sebuah sampel acak berukuran " dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar  " . Kedua sampel diambil secara independen. Maka pengujian hipotesis:    L  L       L L Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik:   " "    Gst u T v " "

KED

Dengan s 

hU mhV ]U m]V

dan t  

s. Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata
, maka

kriteria pengujian adalah: terima  jika  #$%&   #$%& dimana  #$%& didapat    dari daftar normal baku dengan peluang  #
&. Dalam hal lainnya  ditolak.

Contoh: Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Terdapat 150 pemilih menyatakan akan memilih calon C. Didaerah B penelitian dilakukan terhadap 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih calon C. Dengan taraf nyata
 ),): adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C di antara kedua daerah itu? Jawab:    L  L  1.      L L 2. Uji statistik : z 3. Uji dua pihak 4. taraf nyata
 ),):, maka  #$%&   #$%& < 6=>  6=>  ;mB ;mH



 )6:>KO dan t   )6:>KO  )6COK :) > :) O))  6C    G#)6:>KO&#)6COK& u T v :) O)) 6. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya tidak ada perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C diantara kedua daerah.

5. Nilai statistik: dengan s 

b. Uji satu pihak Uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisnya adalah:    L  L       L  L Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian:  ditolak  F 6;$% dimana #$%& didapat dari daftar normal baku dengan peluang #
&. Dalam hal lainnya  ditolak. Uji pihak kiri, maka pasangan hipotesisnya adalah:    L  L       L L Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian:  ditolak  I 6;$% dimana #$%& didapat dari daftar normal baku dengan peluang #
&. Dalam hal lainnya  ditolak Contoh: Terdapat dua kelompok, ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 100 pasien yang menderita semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan serum tertentu tetapi tidak kepada kelompok B. Kelompok B sering dinamakan kelompok kontrol. Setelah jangka waktu tertentu, terdapat 80 yang sembuh dari kelompok A dan 68 dari kelompok B. Apakah penelitian ini memperlihatkan bahwa pemberian serum ikut membantu menyembuhkan penyakit? (
 ),):) Jawab:    Lf  La  1.      Lf  La 2. Uji statistik : z KED

3. Uji satu pihak 4. taraf nyata
 ),):, maka  F 6;$% <  F 6>C AmBA 5. Nilai statistik: dengan s  m  )6KC dan t   )6KC  )6> >( () )) ))  6=C    G#)6KC&#)6>& u T v )) )) 6. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya pemberian serum membantu menyembuhkan penelitian. G. Menguji Kesamaan Dua Varians Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh  SSS,  E. Akan diuji  E dan SSS, tentang rata-rata  74 . Maka pengujian hipotesis: a. Uji dua pihak       P      Pengujian menggunakan statistik: E w  E Kriteria pengujian adalah terima hipotesis  jika w#$%&#]U $,]V $& w w %#]U $,]V $& 

Untuk taraf nyata
, dimana wx#y,]& didapat dari daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang = n dan dk penyebut = m.

Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis  : z/140./-./ w z/140./3.{1 Dan tolak  hanya jika w F w %#]U $,]V $& 

Jika peluang berbeda dengan 0,01 atau 0,05, maka gunakan:  w#$|&#}V ,}U &  w|#}U ,}V & Contoh: Ada dua macam pengukuran kelembaban suatu zat. Cara ke-1 dilakukan 10 kali yang menghasilkan E   C6K dan cara ke-2 dilakukan 13 kali dengan E   OK6. Dengan
 ),) tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians homogen? Jawab:        1. P       2. Uji statistik : F 3. Uji dua pihak 4. taraf nyata
 ),), maka w F w %#]U $,]V $& < w F w6;#,@& < w F O6)K 

KED

H?6

5. Nilai statistik: w  J6?  6:)> 6. Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya varians kedua cara penentuan kelembaban homogen. b. Uji satu pihak Uji pihak kanan, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya:       P       Uji pihak kiri, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya:       P      Statistik yang digunakan: w 

[UV [VV

Kriteria pengujian: untuk uji pihak kanan:  ditolak jika w F w%#]U $,]V $& sedangkan untuk uji pihak kiri:  ditolak jika w I w#$%&#]U $,]V $& Contoh: Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan E  :6C gram dan E  O)6K gram. Penimbangan masing-masing dilakukan sebanyak 13 kali. Ada anggapan bahwa metode kesatu menghasilkan penimbangan dengan variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu? Jawab:       1. P      2. Uji statistik : F 3. Uji satu pihak 4. taraf nyata
 ),):, maka w I w#$%&#]U $,]V $& < w I w6@;#6& karena w6;#6&  6>= maka w6@;#6&  ~



r6rq#UV6UV&

 )6OK

Maka w I )6OK J6? 5. Nilai statistik: w   )6(O H?6 Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah terima  maka  diterima. Artinya tidak benar varians

KED

A. Menguji Kesamaan Dua Rata-rata c. Uji Dua Pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak SSS,  E. Akan diuji diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh   E dan SSS, tentang rata-rata  74 . Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah:              Untuk ini dibedakan dalam beberapa kasus: 5.      dan  diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah: SSS  SSS     G T " " Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika



#$%&



didapat dari daftar normal baku dengan peluang  #
&. Dalam hal lainnya  ditolak. 6.      tetapi  tidak diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah: SSS  SSS  D   EG T " " Dengan #" &E T #" &E E  " T "  Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika D$UW D D$UW 

#$%&

dimana 

#$%&

dimana D$UW didapat dari daftar student dengan QR  " T " V

hal lainnya  ditolak. 7.   dan kedua-duanya tidak diketahui Statistik yang digunakan jika  benar adalah:  SSS  SSS DX  E E M T  " "

V

 peluang 

U % V

V

. Dalam

Dengan taraf nyata
, maka kriteria pengujian adalah: terima  jika Y D T Y D Y D T Y D

DX

Y T Y Y T Y [V

Dengan: YZ  \ dan DZ  D^$U_`,#]\ $& dengan i = 1, 2 . Dalam hal lainnya  ditolak. ] \

V

8. Observasi berpasangan Untuk observasi berpasangan, ambil a  

 . Hipotesis nol dan tandingannya adalah: KED

   )   a  a ) Jika bZ  Z cZ , maka data b , b , d , b] menghasilkan bS dan simpangan baku Ea . Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik: bS DE a  !" dan terima  jika D$UW D D$UW dimana D$UW didapat dari daftar student dengan

QR  " T "

V

 peluang 

U % V

V

V

. Dalam hal lainnya  ditolak.

Contoh: Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui macam makanan yang mana yang lebih baik bagi ayam tersebut. Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Tambah berat badan ayam (dalam ons) hasil percobaan adalah sebagai berikut: A 3.1 3.0 3.3 2.9 2.6 3.0 3.6 2.7 3.8 4.0 3.4 B 2.7 2.9 3.4 3.2 3.3 2.9 3.0 3.0 2.6 3.7 Dalam taraf nyata
 ),):, tentukan apakah kedua macam makanan itu sama baiknya atau tidak. (berat daging ayam berdistribusi normal dengan varians yang sama besar) Jawab:      7.         8. Uji statistik : t 9. Uji 2 pihak 10. Taraf nyata
 ),):, maka D6@?;e@ D D6@?;e@ < ,)= D ,)= 11. Nilai Statistik: Rata-rata dan varians untuk masing-masing sampel:  SSS f 

SSS  a 

g h\

H;6J  O6 dan Ef  H6    O6) dan Ea ]j

]i g h\







V g#h\ $h SSSS& i

]i $ V g#h\ $h SSSS& j ]j $

6@@BJ  )6==>  6  @  )6



Maka simpangan baku gabungannya: # &#)6==>& T #) &#)6& 6==>(   )6:KK E   T )  = Maka:

D

O6

O6)

 )6(>   !)6:KKG T ) 12. Kesimpulan: karena t hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya kedua macam makanan ayam itu memberikan tambahan berat daging ayam sama terhadap ayam-ayam itu.

d. Uji Satu Pihak

KED

Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh  SSS,  E. Akan diuji  E dan SSS, tentang rata-rata  74 . Maka pengujian hipotesis: 

Hipotesis

     dan  diketahui

Uji Statistik

Kriteria pengujian

  dan kedua-duanya tidak diketahui

ditolak : F 6;

%$Dengan: 

D E 

#"

ditolak :D F D$% dengan: QR  " T " peluang 


 SSS

G

EG

dengan:

ditolak : I

6;

%$ SSS

  T " "

&E T #" &E " T " 

ditolak :D I D$%  dengan: QR  " T " peluang 
 SSS



 SSS

E E M T  " "

kU lU mkV lV kU mkV [V dan YZ  \ ]\

ditolak: DX F

 SSS

  T " "

 SSS

DX 

Uji Statistik

Kriteria pengujian

            



Uji Statistik Kriteria pengujian

     tetapi  tidak diketahui

          

kU lU mkV lV kU mkV [V YZ  \ ]\

ditolak:DX I dengan:

dan

DZ  D#$_&,#]\ $& dengan i = DZ  D#$_&,#]\ $& dengan i = 1, 2 1, 2

Contoh: Diduga bahw apemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang berenang dan 20 yang tidak senang berenang. Rata-rata tinggi badannya berturut-turut 167,2 cm dan 160,3 cm. Simpangan baknya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf nyata
 ),):, dapatkah kita mendukung dugaan tersebut? (misal distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan   ) Jawab: KED

     1.          2. Uji statistik: t 3. Uji satu pihak k l mk l 4. Taraf nyata
 ),):, maka DX F UkU mkV V Dengan Y 

[UV ]U



B6?V ;

U

V

[V

 6==, Y  ]V  V

?,V 

 6:,

D  D#$_&,#]U $&  6K>, dan

D  D#$_&,#]V $&  6KO maka #6==&#6K>& T #6:&#6KO& DX F < D F 6K: 6== T 6: B?6$B6H  6=C 5. Nilai statistik: D n  V V Go6p mp6U Uq

Vr

6. Kesimpulan: Karena t’ hitung berada dalam daerah penolakan , maka  ditolak. Artinya benar tinggi pemuda yang suka berenang lebih tinggi dibandingkan pemuda yang tidak suka berenang.

B. Menguji Kesamaan Dua Proporsi c. Uji dua pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi binom yang didalamnya masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar L 74L. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak  berukuran " dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar " . Dari populasi kedua diambil sebuah sampel acak berukuran " dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar  " . Kedua sampel diambil secara independen. Maka pengujian hipotesis:    L  L       L L Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik:   " "    Gst u T v " " h mh Dengan s  U V dan t   s. Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata
, maka ]U m]V

kriteria pengujian adalah: terima  jika  #$%&   #$%& dimana  #$%& didapat    dari daftar normal baku dengan peluang  #
&. Dalam hal lainnya  ditolak.

Contoh: Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Terdapat 150 pemilih menyatakan akan memilih calon C. Didaerah B penelitian dilakukan terhadap 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih calon C. Dengan taraf nyata
 ),): adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C di antara kedua daerah itu? Jawab:    L  L  1.      L L 2. Uji statistik : z 3. Uji dua pihak 4. taraf nyata
 ),):, maka  #$%&   #$%& < 6=>  6=>  ;mB



5. Nilai statistik: dengan s  ;mH  )6:>KO dan t  

)6:>KO  )6COK

KED

:) :)

> O))

 6C   G#)6:>KO&#)6COK& u T v :) O)) 6. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya tidak ada perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C diantara kedua daerah. 

d. Uji satu pihak Uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisnya adalah:    L  L       L  L Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian:  ditolak  F 6;$% dimana #$%& didapat dari daftar normal baku dengan peluang #
&. Dalam hal lainnya  ditolak. Uji pihak kiri, maka pasangan hipotesisnya adalah:    L  L       L L Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian:  ditolak  I 6;$% dimana #$%& didapat dari daftar normal baku dengan peluang #
&. Dalam hal lainnya  ditolak Contoh: Terdapat dua kelompok, ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 100 pasien yang menderita semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan serum tertentu tetapi tidak kepada kelompok B. Kelompok B sering dinamakan kelompok kontrol. Setelah jangka waktu tertentu, terdapat 80 yang sembuh dari kelompok A dan 68 dari kelompok B. Apakah penelitian ini memperlihatkan bahwa pemberian serum ikut membantu menyembuhkan penyakit? (
 ),):) Jawab:    Lf  La  7.      Lf  La 8. Uji statistik : z 9. Uji satu pihak 10. taraf nyata
 ),):, maka  F 6;$% <  F 6>C AmBA 11. Nilai statistik: dengan s  m  )6KC dan t   )6KC  )6> >( () )) ))  6=C    G#)6KC&#)6>& u T v )) )) 12. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya pemberian serum membantu menyembuhkan penelitian. C. Menguji Kesamaan Dua Varians Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut  74 dan  74. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran " , sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak SSS,  E. Akan diuji diambil sebanyak " . Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh   E dan SSS, tentang rata-rata  74 . Maka pengujian hipotesis: a. Uji dua pihak KED

P

Pengujian menggunakan statistik:

        w

E E

Kriteria pengujian adalah terima hipotesis  jika w#$%&#]U $,]V $& w w

%#]U $,]V $&

Untuk taraf nyata
, dimana wx#y,]& didapat dari daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang = n dan dk penyebut = m.

Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis  : z/140./-./ w z/140./3.{1 Dan tolak  hanya jika w F w %#]U $,]V $& 

Jika peluang beda dari 0,01 atau 0,05, maka gunakan: w#$|&#}V ,}U & 



w|#}U ,}V &

Contoh: Ada dua macam pengukuran kelembaban suatu zat. Cara ke-1 dilakukan 10 kali yang menghasilkan E   C6K dan cara ke-2 dilakukan 13 kali dengan E   OK6. Dengan
 ),) tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians homogen? Jawab:        7. P       8. Uji statistik : F 9. Uji dua pihak 10. taraf nyata
 ),), maka w F w %#]U $,]V $& < w F w6;#,@& < w F O6)K 

H?6 J6?

 6:)> 11. Nilai statistik: w  12. Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah penerimaan  , maka  diterima. Artinya varians kedua cara penentuan kelembaban homogen.

b. Uji satu pihak Uji pihak kanan, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya:       P       Uji pihak kiri, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya:       P      [V

Statistik yang digunakan: w  [UV V

Kriteria pengujian: untuk uji pihak kanan:  ditolak jika w F w%#]U $,]V $& sedangkan untuk uji pihak kiri:  ditolak jika w I w#$%&#]U $,]V $& Contoh: KED

Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan E  :6C gram dan E  O)6K gram. Penimbangan masing-masing dilakukan sebanyak 13 kali. Ada anggapan bahwa metode kesatu menghasilkan penimbangan dengan variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu? Jawab:       6. P      7. Uji statistik : F 8. Uji satu pihak 9. taraf nyata
 ),):, maka w I w#$%&#]U $,]V $& < w I w6@;#6& karena w6;#6&  6>= maka w6@;#6&  ~



r6rq#UV6UV&

 )6OK

Maka w I )6OK J6? 10. Nilai statistik: w  H?6  )6(O 11. Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah terima  maka  diterima. Artinya tidak benar variabilitas cara kesatu lebih kecil.

KED

Rangkuman 1. Menguji rata-rata Hipotesis                             2. Menguji proporsi Hipotesis   L  L   L L   L  L   L  L   L  L   L L 3. Menguji varians Hipotesis                                  

Kondisi

 diketahui  tidak diketahui

Normal

Student

 diketahui  tidak diketahui

Normal Student

 diketahui  tidak diketahui

Distribusi Normal

Normal

Normal

Normal Student

Statistik

  

Distribusi Chi-kuadrat

Statistik      " !   D E  " !      " !   D E  " !      " !   D E  " !

Distribusi

h $ ] r

r& Gr #$ ] h $ ] r r& Gr #$ ] h $ ] r r& Gr #$ ]

 

Chi-kuadrat



Chi-kuadrat

 



#" #"

&E 



&E 



&E 



V

V

Terima DU€U% D DU€U% V

dk = (n – 1)

V

Tolak  F ,;

%$Tolak D F DU€% dk = (n – 1)

Tolak  I ,;$% Tolak D I DU€% dk = (n – 1)

Daerah Ho Terima U#$%&  U#$%& V

V

Tolak  F ,;$% Tolak  I ,;

%$Statistik #"

Daerah Ho Terima U#$%&  U#$%&

Daerah Ho

 % 

Terima 

 $ 

dk = (n – 1)

%

Tolak 

F $% dk = n-1 

Tolak

 I % dk = n-1 KED

4. Menguji kesamaan dua rata-rata Hipotesis

        

Kondisi

Distribusi

    

Normal

    E 

 

    E          

Student



 

    E          

 

Student

Student

Student

Student

Student

E  

#"

Statistik  SSS SSS     G" T " D

 SSS

 SSS

 SSS

E E M T  " "  SSS

EG

DX 

D

 SSS



  EG" T "  

DX 

D



 SSS

  T " "

 SSS

 SSS

E E M T  " "  SSS

 SSS

  EG" T "  

DX 

 SSS

 SSS

E E M T  " "

Daerah Ho 

Terima

 U#$%&

U #$%& V

V

Terima DU€U% D DU€U% V

QR  " T "

V



Terima Y D T Y D Y D T Y D

Dn

Y T Y Y T Y  E YZ  Z "Z DZ  D^$U_`,#]\ $& V

Tolak D F DU€% QR  " T "



Tolak Y  D T Y D Dn F Y T Y E YZ  Z "Z

DZ  D^$U_`,#]\ $& V

Tolak D I DU€% QR  " T "



Tolak Y D T Y D Dn I Y T Y E YZ  Z "Z DZ  D^$U_`,#]\ $& V

&E T #" &E " T " 

KED

5. Menguji kesamaan dua hipotesis Hipotesis Distribusi   L  L   L L Normal   L  L   L  L   L  L   L L

Statistik 

Normal



Normal



6. Menguji kesamaan dua varians Hipotesis Distribusi Statistik   E      w  F       E        

   

 

   

F F

w w

E E E E

u]hU v U

Gst u u]hU v U

Gst u u]hU v U

Gst u

w

u]hV v V

  " T " v

Daerah Ho Terima U#$%&  U#$%& V

u]hV v

V

Tolak  F ,;

%$V

  " T " v u]hV v

Tolak  I ,;

%$V

  " T " v

Daerah Ho Terima

w w

 u$ %v#]U $,]V $& 



%#]U $,]V $&

Tolak w F w%,#]U $,]V $&

Tolak w I w#$%&#]U $,]V $&

KED