OPERATIONS RESEARCH
oleh Bambang Juanda
• Analisis (Metode) Kuantitatif: pendekatan ilmiah dalam pembuatan keputusan manajerial. • Operations Research (Management Sciences): Aplikasi metode-metode kuantitatif dalam pembuatan keputusan di lingkungan bisnis, industri, pemerintah, militer, dll dgn tujuan memperbaiki kualitas keputusan manajerial
TAHAPAN UMUM DALAM OPERATION RESEARCH
Perumusan Masalah
Penyusunan Model
Pengumpulan Data
Penentuan Solusi
Uji Kelayakan Model - Uji Solusi -Analisis Hasil
Implementasi Hasil
Pendekatan OR (Management Sciences) dalam Pemecahan Masalah 1. Menerapkan Metode Ilmiah: a) pengamatan & perumusan masalah b) penyusunan Model (Hipotesis) c) pengumpulan data d) penentuan, uji, & analisis solusi/hasil 2. Pedekatan sistem (utk mencapai tujuan organisasi secara keseluruhan)
Penyusunan Model Model: Abstraksi (penyederhanaan) realitas Ada 3 jenis Model: 1. Model Iconic; representasi fisik dari objek dgn skala berbeda. Mis: mobil2an. 2. Model Analog (skematik); digambarkan dgn sifat fisik lainnya. Meteran (ukuran) temperatur mobil menggambarkan sistem pendingin mobil. 3. Model matematik (simbol)
Symbolic (Mathematical) Model Peubah Keputusan (controllable variables)
Model matematik a) Fungsi Tujuan
uncontrollable variables
Output Model (hasil)
b) Kendala (restriksi)
Peubah Keputusan: nilainya dari output model (dikontrol decision maker) Peubah yg tidak dapat dikontrol: 1) Nilai diketahui pasti koefisien model (model deterministik) 2) Nilai tidak diketahui pasti model stokastik Kendala (constraint): membatasi nilai peubah keputusan akibat kendala teknologi, ekonomi, sumberdaya yg berkaitan dgn pemasalahan, dll.
LINEAR PROGRAMMING suatu teknik pemodelan matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan dalam pengalokasian sumberdaya yang terbatas
Empat Karakteristik Masalah LP: 1) Cari TUJUAN optimal (maks /min). 2) Ada kendala atau restriksi. 3) Ada alternatif (bisa tak hingga) keputusan yang dapat dipilih. 4) Semua komponen model dlm persamaan atau pertidaksamaan linear.
5 Asumsi Dasar Masalah LP: 1) Kondisi pasti (certainty), semua parameter model dapat diperkirakan dan nilainya tidak berubah selama periode pengkajian. 2) Proporsionality; jika harga 1 TV Rp 1 juta, maka harga 5 TV Rp 5 juta. 3) Additivity; total semua aktivitas sama dengan jumlah aktivitas-aktivitas individu. 4) Divisibility; solusi dapat berupa bilangan pecahan. 5) Nonnegativity; kuantitas tidak mungkin bernilai negatif.
Contoh Masalah Perusahaan Furnitur Sebuah perusahaan furnitur memproduksi meja dan kursi dengan harga bersaing. Proses produksi keduanya serupa, membutuhkan beberapa jam di bagian carpentry (memotong, mengukir, dan lainlain) dan bagian finishing (penghalusan dan pengecatan). Untuk memproduksi 1 meja membutuhkan waktu 4 jam di bagian carpentry, dan 2 jam di bagian finishing. Sedangkan untuk memproduksi 1 kursi membutuhkan waktu 3 jam di bagian carpentry, dan 1 jam di bagiam finishing. Tiap minggu produksi berjalan, 240 jam tersedia di bagian carpentry dan 100 jam di bagian finishing. Keuntungan tiap meja adalah $ 7; dan keuntungan tiap kursi adalah $ 5. Perusahaan ingin menentukan jumlah meja dan jumlah kursi yang diproduksi agar memberikan keuntungan maksimum.
Data Perusahaan Furnitur Jumlah jam utk memproduksi 1 unit Department
Meja (X1)
Kursi (X2)
Carpentry
4
3
Jumlah jam per minggu 240
Painting/ varnishing
2
1
100
$7
$5
Profit per unit Peubah keputusan:
X1= jumlah meja yang diproduksi X2= jumlah kursi yang diproduksi Tujuan Maks keuntungan = 7 X1 + 5 X2 Dengan kendala: 4 X1 + 3 X2 240 (carpentry constraint) 2 X1 + 1 X2 100 (painting constraint) X1, X2 0 (nonnegativity constraint)
Struktur Data Model LP Pemakaian sumber per unit kegiatan Jenis Jenis Kegiatan Sumber (fasilitas)/kendala
Kapasitas sumber
1
2
3
...
n
1
a11
a12
a13
...
a1n
b1
2
a21
a22
a23
...
a2n
b2
3
a31
a32
a33
...
a3n
b3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
am1
am1
am1
am1
bm
Perubahan Z tiap unit C1 Tingkat kegiatan X1
C2 X2
C3 X3
... ... ...
Cn Xn
Model Umum LP n : Maks Z = C1 X1 + C2 X2 + . . . +Cn Xn = ∑ Cj Xj n j=1 Dengan kendala : ∑ aij Xij bi, I = 1, 2, . . . , m j=1 atau a11 X1 + a12 X2 + . . . + a1n Xn b1 a21 X1 + a22 X2 + . . . + a2n Xn b2 : am1 X1 + am2 X2 + . . + amn Xn bm Xj 0, j = 1, 2, 3, . . . n Fungsi Tujuan
Xj : Tingkat kegiatan ke-j yang dipilih aij : banyaknya sumber (fasilitas) ke-i yang diperlukan untuk menghasilkan 1 unit kegiatan (output) ke-j bi : banyaknya sumber ke-i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan Z : Nilai yang dioptimalkan (maks atau minimum) Cj : Kenaikan nilai Z jika ada pertambahan 1 unit kegiatan ke-j = Z Xj
Metode Grafik • Paling mudah, hanya 2 peubah keputusan • Memberikan penjelasan prosedur metode lain (simpleks) Tahapan Solusi dengan Metode Grafik 1. Formulasikan masalah dalam fungsi matematika; 2. Buat grafik semua persamaan kendala; 3. Identifikasikan daerah solusi feasible; 4. Pilih salah satu tehnik grafik: - metode Titik Pojok - metode garis iso-profit atau iso-cost; 5. Cari Solusi optimal.
2 X1 + 1 X2 ≤ 100
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
METODE TITIK POJOK
(Meja=30, Kursi=40)
Evaluasi nilai fungsi tujuan 7 X1 + 5 X2 , untuk semua titik pojok (X1,X2) 1- ( 0, 0) 7 ( 0) + 5 ( 0) = $ 0 2- ( 0,80) 7 ( 0) + 5 (80) = $ 400 3- (30,40) 7 (30) + 5 (40) = $ 410 (maksimum/optimal) 4- (50, 0) 7 (50) + 5 ( 0) = $ 350
Metode garis iso-profit (untuk masalah maksimisasi) 1) buat garis dgn kemiringan sama dengan fungsi tujuan; 2) geser ke kanan atas sampai nyinggung titik paling luar daerah solusi feasible. (dalam gambar, persamaan garis: 410=7 X1 + 5 X2 menyinggung titik X1=30 dan X2=40)
Contoh masalah Minimisasi
Sebuah peternakan ayam kalkun ingin membeli 2 jenis pakan ayamnya dan mencampurkannya untuk memberikan makanan yang baik dengan biaya murah bagi ayam kalkunnya. Masing-masing jenis pakan berisi (dengan proporsi yang berbeda) beberapa atau semua tiga unsur nutrisi (A, B, dan C) yang penting untuk penggemukan ayam-ayamnya. Tiap pound pakan pertama berisi 5 ounces nutrisi A, 4 ounces nutrisi B, dan 0.5 ounces nutrisi C. Tiap pound pakan kedua berisi 10 ounces nutrisi A, 3 ounces nutrisi B, dan tidak mengandung nutrisi C. Harga jenis pakan pertama 2 sen ($) per pound, sedangkan harga jenis pakan kedua 3 sen ($) per pound. Pemilik peternakan ingin menggunakan model LP untuk menentukan makanan biaya rendah yang memenuhi kebutuhan minimum makanan per bulan untuk masing-masing unsur nutrisi.
Data Masalah Peternakan Ayam Komposisi Tiap pound
Kebutuhan minimum bulanan (oz)
Nutrisi
Pakan pertama
Pakan kedua
A
5
10
90
B C
4 0.5
3 0
48 1.5
Biaya per pound
2 sen
3 sen
Peubah keputusan:
X1 = jumlah pound pakan pertama yang dibeli X2 = jumlah pound pakan kedua yang dibeli
Model LP: Meminimumkan biaya = 2 X1 + 3 X2 Dengan kendala: 5 X1 + 10 X2 90 ounces 4 X1 + 3 X2 48 ounces 0.5 X1 1.5 ounces X1, X2 0
(kendala nutrisi A) (kendala nutrisi B) (kendala nutrisi C) (nonnegativity constaraint)
Daerah Solusi Feasible Masalah peternakan Ayam
Metode garis iso-cost (untuk masalah minimisasi) 1) buat garis dgn kemiringan sama dengan fungsi tujuan; 2) geser ke kiri bawah sampai nyinggung titik paling luar daerah solusi feasible. (dalam gambar, persamaan garis: 31.2 = 2 X1 + 3 X2 menyinggung titik X1=8.4 dan X2=4.8)
Kasus (1) Tidak ada solusi feasible (infeasibility); disebabkan kendala-kendala yang saling bertentangan. Misalnya kendala: X1 + 2 X2 ≤ 6; 2 X1 + X2 ≤ 8; dan X1 ≥ 7
Kasus (2) Peubah keputusan dan Tujuan bernilai tak hingga (unboundedness); disebabkan formulasi model kurang benar. Misalnya: Tujuan Max 3 X1 + 5 X2 dengan kendala X1 ≥ 5; X2 ≤ 10; X1 + 2 X2 ≥ 10
Kasus (3) Redundancy; dalam model LP yang besar, ada kendala tidak perlu dimasukkan karena solusi feasible tak terpengaruh. Misalnya: Tujuan Max X1 + 2 X2 dengan kendala X1 + X2 ≤ 20; 2 X1 + X2 ≤ 30; X1 ≤ 25
Kasus (4) alternate optimal solution; krn slope fungsi tujuan dan kendala sama. memberikan fleksibilitas memilih solusi optimal. Misalnya: Tujuan Max 3 X1 + 2 X2 dengan kendala 6 X1 + 4 X2 ≤ 24; X1 ≤ 3
