MODUL MATEMATIKA. Geometri Dimensi Tiga. Maylisa Handayani,S.Pd. Penyusun: MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

MODUL MATEMATIKA

Geometri Dimensi Tiga

Penyusun:

Maylisa Handayani,S.Pd

MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

i

Kata Pengantar

Puji sukur kami haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunianya, sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan modul Geometri Dimensi Tiga untuk Sekolah Menengah Kejuruan. Pada modul ini anda akan mempelajari Geometri Dimensi Tiga, yang meliputi bangun ruang dan unsur-unsurnya, luas permukaan bangun ruang, volume bangun ruang dan menentukan hubungan antara unsur-unsur suatu bangun ruang. Dengan mempelajari Geometri Dimensi Tiga diharapkan anda dapat menerapkan konsep bangun ruang untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang terkait dengan masalah keruangan. Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan dunia kerja dan industri. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi.. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja yang diharapkan. Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih


ii

DAFTAR ISI

Halaman Sampul.......................................................................... Halaman Francis .......................................................................... Kata Pengantar ............................................................................ Kata Pengantar ............................................................................ Daftar Isi …… .............................................................................. Peta Kedudukan Modul.................................................................. Daftar Judul Modul ...................................................................... Glosary ……................................................................................

i ii iii v vi viii ix x

I. PENDAHULUAN A. Deskripsi ...............................................................................

1

B. Prasyarat ............................................................................... 1 C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 1 D. Tujuan Akhir........................................................................... 2 E. Kompetensi............................................................................. 3 F. Cek Kemampuan ..................................................................... 5 II. PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Peserta Diklat.................................................. B. Kegiatan Belajar ...................................................................... 1. Kegiatan Belajar 1............................................................... a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ b. c. d. e. f.

Uraian Materi................................................................. Rangkuman .................................................................. Tugas .......................................................................... Tes Formatif.................................................................. Kunci Jawaban Formatif..................................................

2. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ b. Uraian Materi................................................................. c. Rangkuman................................................................... MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga iii

6 7 7 7 7 11 12 12 13 15 15 15 23

d. Tugas........................................................................... e. Tes Formatif.................................................................. f. Kunci Jawaban Formatif..................................................

3. Kegiatan Belajar 3 ..............................................................

23 24 24

26

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................

26

b. Uraian Materi.................................................................

26

c. Rangkuman...................................................................

34

d. Tugas...........................................................................

35

e. Tes Formatif..................................................................

36

f. Kunci Jawaban Formatif..................................................

37

4. Kegiatan Belajar 4 ..............................................................

38

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................

38

b. Uraian Materi.................................................................

38

c. Rangkuman...................................................................

51

d. Tugas...........................................................................

52

e. Tes Formatif..................................................................

52

f. Kunci Jawaban Formatif..................................................

53

III. EVALUASI ............................................................................... KUNCI EVALUASI ...................................................................... IV. PENUTUP

...............................................................................

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................


iv

54 55 56 57

PETA KEDUDUKAN MODUL MAT.01

MAT.02

MAT.03

MAT.04

MAT.05

MAT.07

MAT.1 1

MAT.06

MAT.08

MAT.09

MAT.12

MAT.14

MAT.10

MAT.15

MAT.13

MAT.16


v

Glossary

ISTILAH Diagonal bidang

KETERANGAN

Diagonal ruang

Garis penghubung dua titik sudut berhadapan yang tidak sebidang.

Jaring-jaring

Jaring-jaring suatu bangun ruang terjadi bila sisisisinya direbahkan sehingga terletak sebidang dengan alas bangun ruang tersebut.

Luas

Jumlah luas sisi-sisinya.

Sisi

Bidang yang menyelimuti bangun ruang.

Rusuk

Perpotongan sisi bangun ruang.

Titik sudut

Perpotongan rusuk bangun ruang.

Volume

Banyak satuan volume dalam bangun ruang.

Garis penghubung dua titik sudut berhadapan yang sebidang.


vi

BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari 3 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 adalah macam-macam bangun ruang dan jaring-jaringnya, kegiatan belajar 2 adalah luas permukaan bangun ruang, dan kegiatan belajar 3 adalah volume bangun ruang. Kegiatan belajar 4 adalah hubungan antar unsur-unsur bangun ruang. Dalam kegiatan belajar 1, yaitu macam-macam bangun ruang dan jaring-jaringnya, akan diuraikan mengenai kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola beserta unsur-unsurnya. Dalam kegiatan belajar 2, yaitu luas permukaan bangun ruang, akan diuraikan mengenai luas permukaan kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola. Dalam kegiatan belajar 3, yaitu volume bangun ruang akan diuraikan mengenai volume kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola. Dalam kegiatan belajar 4, yaitu hubungan antar hubungan antar unsur-unsur bangun ruang, akan diuraikan mengenai hubungan garis dengan titik, titik dengan bidang, garis dengan bidang, kedudukan garis dalam ruang, kedudukan dua bidang, jarak, dan sudut.

B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah geometri dimensi dua.

C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut:

1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yang lain.

1

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.


3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir. Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:

1. Mengetahui unsur-unsur dalam ruang, 2. Menggambar jaring-jaring bangun ruang, 3. Menentukan luas permukaan bangun ruang dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah sehari-hari,

4. Menentukan volume bangun ruang dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah sehari-hari,

5. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, 6. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang, 7. Menentukan besar sudut dalam ruang.

2


E. Kompetensi KOMPETENSI : GEOMETRI DIMENSI TIGA PROGRAM KEAHLIAN : program adaktif MATA DIKLAT/KODE : MATEMATIKA/ DURASI PEMBELAJARAN : 35 Jam @ 45 menit

SUB KOMPETENSI 1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsurunsurnya

2. Menghitung luas permukaan

3.

Menerapkan konsep volume bangun ruang

MATERI POKOK PEMBELAJARAN KRITERIA KINERJA  Unsur-unsur bangun ruang diidentifikasi berdasar ciri-cirinya.  Jaring-jaring bangun ruang digambar pada bidang datar.

Luas permukaan bangun ruang dihitung dengan menggunakan rumus.

 Pengertian volume suatu bangun ruang didefinisikan sesuai konsepnya  Volume bangun ruang dihitung dengan menggunakan konsep dan rumus yang ditentukan

LINGKUP BELAJAR

SIKAP

PENGETAHUAN

 Macam-macam bangun ruang (kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, bola)  Jaring-jaring bangun ruang

Teliti dan cermat dalam menyelesaikan masalah geometri dimensi tiga

 Unsur-unsur bangun ruang (rusuk, diagonal bidang, diagonal ruang. bidang diagonal)  Cara menggambar jaring-jaring bangun ruang

Luas permukaan bangun ruang

Teliti dan cermat dalam menyelesaikan masalah geometri dimensi tiga Teliti dan cermat dalam menyelesaikan masalah geometri dimensi tiga

 Konsep luas bangun ruang  Rumus-rumus luas per-mukaan bangun ruang

Menghitung luas permukaan bangun ruang

 Pengertian volume bangun ruang (kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, bola)  Perhitungan volume bangun ruang

Menghitung volume bangun ruang

 Pengertian volume bangun ruang (kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, bola)  Volume bangun ruang

KETERAMPILAN  Menunjukkan unsurunsur bangun ruang  Menggambar jaringjaring bangun ruang

MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga SUB KOMPETENSI 4.

Menentukan hubungan antara unsurunsur dalam bangun ruang

3 MATERI POKOK PEMBELAJARAN

KRITERIA KINERJA

LINGKUP BELAJAR

 Hubungan antar unsur dalam ruang ditentukan satu dengan lainnya  Jarak antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan  Besar sudut dalam ruang di-hitung sesuai ketentuan

 Unsur-unsur dan hubungannya dalam bangun ruang  Jarak unsur-unsur dalam bangun ruang  Sudut-sudut dalam bangun ruang


4

SIKAP

PENGETAHUAN

Teliti dan cermat dalam menyelesaikan masalah geometri dimensi tiga

 Unsur-unsur bangun ruang  Hubungan antar unsur - Titik dengan garis - Titik dengan bidang Garis dengan garis - Garis dengan bidang - Bidang dengan bidang  Jarak antar unsur bangun ruang  Sudut antar unsur bangun ruang

KETERAMPILAN Menghitung jarak dan sudut pada bangun ruang

F. Cek kemampuan Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika Anda merasa dapat mengerjakan semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal Evaluasi pada BAB III. 1. Dari suatu kubus ABCD.EFGH, sebutkan salah satu a. rusuknya, titik sudutnya, sisinya. b. bidang diagonalnya, diagonal ruangnya, dan diagonal bidangnya. 2. Gambarlah minimal tiga macam jaring-jaring balok. 3. Tentukan luas permukaan a. kubus yang sisinya 4 cm. b. balok yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut 5 cm, 2cm, dan 4 cm. c.

bola yang jari-jarinya 16 cm.

d. tabung yang jarai-jari lingkaran alasnya 7 cm dan tingginya 10 cm. e. limas segi empat beraturan yang sisi alasnya 6 cm dan tingginya 5 cm. 4. Tentukan volume untuk bangun-bangun ruang pada soal nomor 3. 5. Diketahui kubus ABCD dengan rusuk 5 cm. Tentukan: a. Luas bidang diagonalnya. b. Besar sudut AHC. c.

Luas segitiga AHC.


5

BAB II. PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar Siswa

Kompetensi Sub Kompetensi

: Menerapkan konsep Geometri Dimensi Tiga : - Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya. Menghitung luas permukaan bangun ruang. - Menerapkan konsep volume bangun ruang - Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang.

Tulislah semua jenis kegiatan yang Siswa lakukan di dalam tabel kegiatan di bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya kemudian meminta tanda tangan kepada guru atau instruktur Siswa.

Jenis Kegiatan

Tanggal


Waktu

6

Tempat Belajar

Alasan perubahan

Tanda Tangan Guru

B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar 1 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan Anda dapat:  menentukan unsur-unsur bangun ruang,  menggambar jaring-jaring bangun ruang.

b. Uraian Materi 1) Unsur-unsur bangun ruang Anda telah mempelajari berbagai bentuk bangun ruang, antara lain kubus, balok, prisma, limas, dan bola. Sekarang anda akan mempelajari unsur-unsur yang terdapat pada kubus dan balok. Untuk itu perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut. Kubus mempunyai 6 sisi yang berbentuk persegi yaitu persegi ABCD, ABFE, BCGF, DCGH, ADHE, dan EFGH. ABCD disebut bidang alas, seringkali disebut alas dan EFGH disebut bidang atas kubus ABCD.EFGH. Sisi yang lain disebut sisi tegak atau bidang tegak. Sisi ABCD berhadapan dengan sisi EFGH. Cobalah anda mencari sisi lain yang juga berhadapan. Setiap 2 sisi kubus berpotongan menurut suatu garis. Garis tersebut disebut rusuk kubus. Jadi ada 12 rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan HE. Rusuk-rusuk tersebut dapat dikelompokkan menjadi 3 kelompok, yaitu rusuk yang terletak pada bidang alas, rusuk yang terletak pada bidang atas, dan rusuk yang terletak pada bidang tegak. Sebutkan rusuk-rusuk mana yang terletak pada alas, bidang atas, dan bidang tegak.


7

Kubus mempunyai 8 titik sudut, yaitu titik-titik A, B, C, D, E, F, G, dan H disebut titik sudut kubus ABCD.EFGH. Anda dapat melihat bahwa di antara titiktitik tersebut ada yang terletak pada satu bidang. Titik-titik ini disebut titik sebidang. Titik-titik A, B, C, dan D adalah titik-titik yang terletak pada bidang yang sama, yaitu bidang ABCD. Karena itu, titik-titik tersebut dikatakan titik yang sebidang. Sedangkan titik A dan titik G tidak sebidang. Titik A berhadapan dengan titik C yang sebidang, dan titik A juga berhadapan dengan titik G yang tidak sebidang. Bila anda menghubungkan 2 titik berhadapan yang sebidang anda mendapatkan sebuah garis yang disebut diagonal bidang. Contoh CH adalah diagonal bidang yang terletak pada bidang DCGH. Ada berapa diagonal bidang pada suatu kubus? Sebutkan semua diagonal bidang pada kubus ABCD.EFGH. Bila anda menghubungkan 2 titik berhadapan yang tidak sebidang anda mendapatkan sebuah garis yang disebut diagonal ruang. Contoh CE adalah diagonal ruang, karena titik C dan titik E adalah titik yang berhadapan, tetapi mereka tidak sebidang. Titik C terletak pada bidang DCGH dan titik E terletak pada bidang ABFE. Ada berapa diagonal ruang pada suatu kubus? Sebutkan semua diagonal ruang pada kubus ABCD.EFGH. Sekarang perhatikan titik C yang berhadapan dengan titik E dan titik B yang berhadapan dengan titik H. Anda dapat membuat bidang yang memuat rusuk BC dan HE, yaitu bidang BCHE. Bidang BCHE disebut bidang diagonal. Ada berapa bidang diagonal dalam suatu kubus? Sebutkanlah bidang-bidang diagonal pada kubus ABCD.EFGH.

Contoh 1: Berikut ini adalah balok ABCD.EFGH. Dari balok tersebut, tentukan: a) nama unsur untuk garis AB, BD, dan EC. b) kedudukan titik D terhadap titik F dan G. c) kedudukan


8

garis

AB terhadap garis EF dan GH.

Penyelesaian:

a) Garis AB adalah rusuk kubus ABCD. EFGH. Garis BD adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH. Garis EC adalah diagonal ruang kubus ABCD. EFGH.

b) Titik D dan titik F adalah titik yang tidak sebidang. Mereka adalah dua titik yang berhadapan. Titik D dan titik G adalah titik yang sebidang, kedua titik tersebut berhadapan. c) Garis AB berhadapan dengan garis EF dan GH.

2) Jaring-jaring Anda dapat membedah suatu kubus dan meletakkan sisinya sedemikan hingga sisi-sisi tersebut terletak pada satu bidang seperti terlihat pada gambar berikut, yang disebut jaring-jaring kubus.


9

Ada beberapa cara untuk membuat jaring-jaring kubus. Contoh 2: Gambar berikut adalah jaring-jaring kubus.

Gambar berikut bukan jaring-jaring kubus.

Anda mengenal juga bangun ruang yang berbentuk prisma. Berikut ini adalah gambar suatu prisma segienam beserta jaring-jaringnya.

Prisma segienam MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

Jaring-jaring prisma segienam 10

Contoh 3: Berikut adalah gambar prisma segitiga beserta jaring-jaringnya Prisma segitiga Jaring-jaring prisma segitiga


11

c. Rangkuman 1 Balok

ABCD.EFGH mempunyai 6 sisi, yaitu bidang

alas

ABCD, bidang atas EFGH, dan sisi tegak

ABFE,

BCGF, DCHG, ADHE.

Balok

ABCD.EFGH mempunyai 12 rusuk, yang

merupakan 2 perpotongan sisi, antara lain: AB, BF, dan EH. Balok ABCD.EFGH mempunyai 8 titik sudut, yang merupakan perpotongan rusuk, antara lain: B dan G. EC adalah salah satu diagonal ruang pada balok ABCD.EFGH. ED adalah salah satu diagonal bidang pada balok ABCD.EFGH. ADGF EC adalah salah satu bidang diagonal pada balok ABCD.EFGH. Berikut adalah gambar balok dengan panjang L, lebar W, dan tinggi H, beserta jaringjaringnya. Balok

Jaring-jaring balok

d. Tugas 1 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat.


12

1) Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH 5 cm. Tentukan panjang: diagonal bidang dan diagonal ruangnya. 2) Gambarlah jaring-jaring balok yang panjangnya 5 cm, lebarnya 4 cm, dan tingginya 6 cm. 3) Gambarlah suatu prisma segitiga. Sebutkan unsur-unsurnya.

e. Tes Formatif 1 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Diketahui suatu balok ABCD.EFGH dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Tentukan panjang: diagonal bidang dan diagonal ruangnya. 2) Gambarlah jaring-jaring kubus yang panjang rusuknya 2 cm. 3) Gambarlah limas segilima. Sebutkan unsur-unsurnya.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1 1) Penyelesaian: berikut adalah gambar balok ABCD.EFGH. Panjang = AB = 8 cm Lebar = BC = 6 cm Tinggi = AE = 5 cm Diagonal bidang = AC = v (AB2 + BC2 ) = v ( 64 + 36 ) cm = 10 cm. Diagonal ruang = CE = v (AC 2 + AE 2 ) = v ( 102 + 52 ) cm = 5v5 cm.

2) Jaring-jaring kubus dengan rusuk 2 cm, antara lain: MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

13

3) Berikut adalah gambar limas segilima. Limas T.ABCDE mempunyai 6 sisi, yaitu: ABCDE sebagai alas dan sisi tegak ABT, BCT, CDT, DET, AET. Limas

T.ABCD mempunyai 6 titik sudut,

yaitu T

sebagai puncak dan titik-titik A, B, C, D, dan E.

Limas T.ABCDE mempunyai 10 rusuk, yaitu AB, BC, CD, DE, dan AE rusukrusuk yang terletak pada bidang alas dan TA, TB, TC, TD, dan TE yang merupakan rusuk tegak.


14

2. Kegiatan Belajar 2 a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan Anda dapat:  menentukan luas permukaan kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola.  Menggunakan rumus luas permukaan kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 1) Luas Permukaan Kubus Pada Kegiatan Belajar 1, Anda telah mempelajari jaring-jaring kubus. Jaringjaring kubus tersebut dapat menolong Anda untuk menentukan luas permukaan kubus. Berikut ini adalah satu jaring-jaring kubus. Dari jaring-jaring ini Anda dapat mengetahui bahwa permukaan kubus terdiri dari 6 persegi. Tentunya anda masih ingat bahwa luas persegi yang sisinya s adalah s2.

Karena permukaan kubus terdiri dari 6 persegi dan sisi persegi menjadi rusuk kubus, maka luas permukaan kubus yang panjang rusuknya s adalah 6 s2. Jika luas permukaan kubus dinyatakan sebagai A, maka A = 6 s2 Contoh 1: MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

15

Tentukan luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 5 cm. Penyelesaian: A = 6 s2 = 6 ? 52 = 150 Jadi luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 5 cm adalah 150 cm2.

Luas permukaan suatu bangun ruang seringkali hanya dikatakan sebagai luas permukaan bangun ruang yang bersangkutan.

2) Luas Permukaan Balok Pada Kegiatan Belajar 1, Anda telah mempelajari jaring-jaring balok. Jaringjaring balok tersebut dapat menolong Anda untuk menentukan luas permukaan balok. Berikut ini adalah satu jaring-jaring balok. Dari jaring-jaring ini Anda dapat mengetahui bahwa permukaan balok terdiri dari 2 persegi panjang dengan panjang L (sebagai panjang balok), dan lebar H (sebagai tinggi balok), 2 persegi panjang dengan panjang L dan lebar W (sebagai lebar balok), serta 2 persegi panjang dengan panjang W dan lebar H . Tentunya anda masih ingat bahwa luas persegi panjang yang panjangnya L dan lebarnya H adalah L ? H.

Jika suatu panjang L,

balok dengan tinggi H, lebar W, dan luasnya A,

maka A = 2 (L ? W + H ? L + H ? W)

Contoh 2:


16

Suatu kotak perhiasan berbentuk balok dengan panjang 20 cm, lebar, 10 cm, dan tinggi 5 cm. Tentukan lebar kain minimal yang dapat digunakan untuk melapisi seluruh permukaan kotak perhiasan tersebut. Penyelesaian: A = 2 (20 ? 10 + 5 ? 20 + 5 ? 10) = 2 ( 200 + 100 + 50) = 700 Jadi kain pelapis yang diperlukan minimal 700 cm2.

3) Luas Permukaan Prisma Pada Kegiatan Belajar 1 telah mengetahui jaring-jaring prisma segienam. Misal A menyatakan luas permukaan prisma, H menyatakan tinggi prisma, dan panjang sisi-sisi alasnya adalah L1, L2, L3, L4, L5, dan L6. Jaring-jaring prisma ditunjukkan di sebelah kanan. Garis putus-putus menyatakan lipatan.

Luas A ditentukan oleh A

= L1 H + L2 H + L3 H + L4 H + L5 H + L6 H + 2 ? luas alas = ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 ) H + 2 ? luas alas = keliling alas ? tinggi + 2 ? luas alas

Secara umum,

Luas permukaan prisma=keliling alas? tinggi+2? luas alas Contoh 3: Gambarlah jaring-jaring prisma berikut. Setelah itu, tentukan luasnya. Penyelesaian:


17

Jaring-jaring prisma tersebut adalah:

Luas alas = ( ? 12 ? 16) ? 96 Keliling alas = 12 + 16 + 20 = 48 Jadi luas prisma = { 48 ? 9 + 2 (96) } cm2 = 624 cm2.

4) Luas Permukaan Tabung Gambar (a) berikut menunjukkan dua lingkaran yang berjari-jari sama, r, dan persegi panjang dengan lebar h dan panjang 2? r, yang merupakan keliling lingkaran. Untuk membentuk silinder atau tabung di gambar (b), anda dapat menggulung persegi panjang sehingga sisi AB dan CD berimpit. Kedua lingkaran yang berjarijari sama menjadi alas dan tutup tabung. Persegi panjang tersebut menjadi selimut tabung.

Luas selimut tabung = luas persegi panjang = 2? r h Luas alas dan tutup tabung masing-masing adalah ? r2 Jika luas permukaan tabung A, maka A = 2? r h + 2? r2 A = 2? r ( h + r ) Contoh 4: MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

18

Diameter atau garis alas suatu silinder 14 cm. Sedangkan tinggi silinder 10 cm. Tentukan luas silinder. Penyelesaian: Pilih ? =

r =

= 7 dan h = 10

A = 2? r ( h + r ) = { 2 ?

? 7 ? ( 10 + 7 ) } = 748

Jadi luas silinder adalah 748 cm2.

5)

Luas Permukaan Kerucut Kerucut mempunyai 2 permukaan, yaitu bidang lengkung, yang disebut selimut kerucut, dan alas yang berbentuk lingkaran. Gambar di samping menunjukkan kerucut dengan: T sebagai titik puncak, alas lingkaran g, M proyeksi

T pada alas, dan TM merupakan tinggi kerucut.

Bila selimut kerucut tersebut Anda buka dan kemudian Anda bentangkan pada suatu bidang datar, maka Anda memperoleh bentuk berikut. Bentuk ini berupa juring lingkaran yang berjari-jari a, yang disebut apotema, dan panjang busur sama dengan keliling lingkaran alas yang jari-jarinya R. Keliling lingkaran alas = 2? R.

panjangbusur Luas selimut kerucut

? luaslingkaran

=

kelilinglingkaran 2?R 2 = ??a 2?a =?Ra Luas kerucut

= luas selimut + luas alas


19

Jika luas kerucut dinyatakan dengan A, maka A = ? R a + ? R2 A=?R(a+R) Bila ß merupakan sudut pusat juring, maka ß=

2?R ? 3600 2?a

R ß = ? 3600 a Contoh 5: Selimut sebuah kerucut yang telah dibuka berupa setengah lingkaran yang berjari-jari 4 cm. Hitung luas kerucut. Penyelesaian: Keliling lingkaran alas = setengah keliling lingkaran yang berjari-jari 4 cm. Keliling lingkaran alas = ? 2? (4) = 4p. Keliling lingkaran alas = 2? r. Jadi jari-jari lingkaran alas = 2 cm. Luas alas kerucut = ? 22 cm 2 = 4 ? cm2 . Luas selimut kerucut = ? R a cm2. = ? 2 (4) cm2 = 8 ? cm2. Jadi luas kerucut = ( 4 ? + 8 ? ) cm2 = 12 ? cm2.

6) Luas Permukaan Limas Limas berikut adalah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan puncak P dan alas persegi ABCD. Sisi tegak limas berbentuk segitiga sebangun dengan tinggi sama, yaitu PT. Bila limas tersebut direbahkan sedemikian hingga semua sisi sebidang dengan alas, diperoleh jaring-jaring limas berikut ini. MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

20

Dari

gambar jaring-jaring limas di samping,

P

Anda dapat menentukan luas yang D

alas

limas

merupakan jumlah dari luas

C

(persegi P

ABCD) dan luas sisi-sisi tegaknya (?ABP, ?BCP, ?CDP, dan ? ADP). Jadi luas

P A

B

limas P.ABCD = luas persegi ABCD + luas ?ABP + luas P

?BCP + luas ?CDP + luas ?

ADP.

Luas limas = Luas alas + Luas seluruh sisi tegak Contoh 6: Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan rusuk AB = 12cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan luas limas. Penyelesaian: T AB = 12 cm OF =

EB =

TO = 8

AB = 6 cm cm.

Tinggi ? BCT = v { (OT)2 + (OF)2 } cm

TF =

v ( 82 + 62 ) cm = 10 cm

=

Luas persegi ABCD = ( 12 × 12 ) cm2 = 144 cm2. Luas ? ABT

= luas ?CDT = luas ? ADT = luas ? BCT = ( ? BC ?TF ) cm2 =( ?12 ?10) cm2 = 60 cm2

Luas limas T. ABCD

= luas alas + luas seluruh sisi tegak = ( 144 + 4 ? 60 ) cm2 = 284 cm2.

7) Luas Permukaan Bola Jika A menyatakan luas permukaan bola yanga berjari-jari R, maka


21

A = 4 ? R2 Contoh 7: Tentukan luas bola yang berjari-jari 7. Penyelesaian: Pilih p =

.

Luas bola

= 4 ? R2 =4×

× 72

= 616

Contoh 8: Tentukan luas bola yang berjari-jari 10. Penyelesaian: Luas bola

= 4 ? R2 = 4 ? 102 = 400 ?.

Perhatikan contoh 7 dan 8. Dari kedua contoh tersebut, Anda dapat melihat bahwa Anda dapat memilih ? sebagai

jika jari-jari bola

kelipatan 7. Pemilihan ini dilakukan untuk memudahkan perhitungan yang Anda lakukan. Jika ? bukan kelipatan 7, Anda dapat tetap menggunakannya untuk menghitung luas bola.

c. Rangkuman 2 Luas kubus dengan rusuk s adalah A = 6 s2


22

Luas balok dengan tinggi H, panjang L, lebar W, adalah A = 2 (L

? W + H ? L + H ? W) Luas prisma adalah A = keliling alas ? tinggi + 2 ? luas alas Luas tabung dengan jari-jari lingkaran alas r dan tinggi h adalah A = 2? r ( h + r ) Luas kerucut dengan jari-jari lingkaran alas R dan apotema a. A=?R(a+R) Luas limas adalah A = Luas alas + Luas seluruh sisi tegak Luas bola dengan jari-jari R adalah A = 4 ? R2

d. Tugas 2 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Tentukan luas dari kubus dengan rusuk 10 cm. 2) Tentukan luas balok ABCD.EFGH dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan AE = 10 cm. 3) Balok pada soal nomor 2) dibelah menjadi dua menurut bidang ACGE, sehingga menjadi 2 prisma ABC.EFG dan ACD. EGH. Tentukan luas prisma ABC.EFG. 4) Pada balok di soal nomor 2) dibuat limas E.ABD. Tentukan luas limas tersebut. 5) Tentukan luas kerucut dengan apotema 10 dan jari-jari lingkaran alas 14 cm. 6) Tentukan luas tabung dengan jari-jari lingkaran alas 5 dan tinggi 10. 7) Tentukan luas bola yang jari-jarinya 28.

e. Tes Formatif 2 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Tentukan luas balok dengan panjang 24 mm, lebar 18 mm, dan tinggi 5 mm. 2) Tentukan luas kubus yang rusuknya 12.


23

3) Gambar di samping adalah gambar prisma tegak

dengan alas

persegi panjang BCDE. Segitiga ABC merupakan

saklah satu

sisi tegaknya. Tentukan luas prisma bila BC = 4 cm, dan CD = 7 cm. 4) Gambar di samping adalah beraturan yang biasa disebut

AB = 3 cm,

gambar

limas

segitiga

bidang empat. Tentukan luas

bidang empat tersebut.

5) Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas 14 cm dan apotema 10 cm. Tentukan luas kerucut tersebut. 6) Pak Sembiring ingin membuat tempat air berbentuk silinder dengan jarijari lingkaran alas 1 m dan tingginya juga 1 m. Tentukan luas minimal bahan yang diperlukan Pak Sembiring. 7) Tentukan luas bola yang jari-jarinya 15 cm.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2 1) 1284 mm2. 2) 1728. 3) 75 cm2. 4) Tinggi setiap segitiga 3v3 cm. Luas setiap segitiga 9v3 cm2. Jadi luas bidang empat 36v3 cm2. 5) 1.056 cm2. 6) 4? m2. 7) 900? cm2.


24

3. Kegiatan Belajar 3 a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, diharapkan Anda dapat:  menentukan volume kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola.  Menggunakan rumus volume kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.


25

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3

Gambar di atas menunjukkan sebidang tanah yang disiapkan untuk suatu bangunan. Pemborong dengan sengaja meninggalkan timbunan tanah. Tahukah Anda bahwa tujuannya adalah memperkirakan volume tanah yang diambil dari areal tersebut?

1) Volume Balok Gambar di samping adalah gambar balok dengan panjang 5 cm, lebar 1 cm, dan tinggi 1 cm. Balok itu memuat 5 satuan volume, dalam hal ini 1 cm3. Dengan demikian volume balok tersebut adalah (5×1×1) cm3 = 5 cm3. Gambar di samping menunjukkan balok dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 1 cm. Balok itu memuat 10 satuan volume. Karena itu, volume balok tersebut (5 × 2 × 1) cm3 = 10 cm3 .

Gambar di samping adalah gambar balok dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 4 cm.


26

Balok itu memuat 40 satuan volume. Karena itu, volume balok tersebut (5 × 4 × 2) cm3 = 40

cm3 .

Dari beberapa balok di atas, Anda dapat menemukan volume balok dengan mengalikan panjang, lebar, dan tinggi, yang bersatuan panjang sama. Karena itu, volume, V, dari balok yang berpanjang L, berlebar W dan bertinggi H, ditentukan dengan rumus berikut.

V = ( L × W × H ) satuan volume Luas alas Contoh 1: Suatu balok yang panjangnya 9 cm dan lebarnya 7 cm mempunyai volume 315 cm3. Tentukan a) Tinggi balok b) Luas permukaan balok

Penyelesaian: a)

L = 9, W = 7, V = 315

V=L× W ×H 315 = 9 × 7 × H H=

=5

Jadi tinggi balok 5 cm. b)

A =2(L×W+H×

L+H×W)

= 2 (9 × 7

+ 5 × 9 + 5 × 7 ) = 286 Jadi luas balok = 286 cm2.


27

Contoh 2: Tentukan volume kayu yang digunakan untuk membuat kotak terbuka, yang berbentuk balok, dengan ketebalan 2 cm, jika diketahui ukuran bagian dalam kotak adalah panjang 54 cm, lebar 46 cm, dan kedalaman 18 cm. Penyelesaian: Panjang luar = (54 + 2 + 2) cm

= 58 cm.

Lebar luar

= 50 cm.

= (46 + 2 + 2) cm

Tinggi luar = (18 + 2) cm

= 20 cm.

Volume luar = (58 × 50 × 20) cm3

= 58.000 cm3.

Volume dalam = (54 × 46 × 18) cm3

= 44.712 cm3.

Jadi volume kayu yang digunakan

= (58.000 – 44.712) cm3 = 13.288 cm3.

2) Volume Kubus Kubus merupakan kejadian khusus dari balok, artinya kubus adalah balok dengan panjang, lebar, dan tinggi sama. Misal panjang, lebar, dan tinggi kubus adalah s . Dengan kata lain panjang rusuk kubus adalah s. Jika volume kubus dinyatakan dengan V dan rusuknya s, maka V = s3 Contoh 3: Nyatakan: a) 1 cm3 dalam mm3.

b) 1 m3

dalam cm3. Penyelesaian: a) Karena 1 cm = 10 mm, berarti kubus dengan rusuk 10 mm mempunyai volume 1cm3. Jadi 1 cm3 = (10 × 10 × 10) mm3 = 1.000 mm3 .


28

b) Karena 1 m = 100 cm, dengan cara serupa didapat: 1m3 = (100 × 100 × 100) cm3.

Untuk menentukan volume suatu cairan digunakan satuan khusus. Satuan ini adalah mililiter (ml), liter (l), dan kiloliter (Kl). Biasanya Anda membeli susu atau bensin dengan satuan liter dan obat dengan satuan mililiter. 1 ml = 1 cm3 1 l = 1.000 ml = 1.000 cm3 1 kl = 1.000 l = 1m3

Contoh 4: Sebuah kontainer berbentuk balok dengan panjang 20 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 14 cm. Tentukan volume cairan, dalam l, yang dapat dimuat kontainer tersebut (hal ini sering disebut sebagai kapasitas kontainer). Penyelesaian: Volume kontainer = (20 × 3 × 14) cm3 = 840 cm3 1.000 cm3 = 1l Jadi volume cairan dalam kontainer = 0,84 l.

3) Volume Prisma Tiga prisma berikut diperoleh dengan menumpuk beberapa bangun yang identik yang dipotong dari kardus.

Volume prisma tegak persegi panjang atau balok = luas alas × tinggi Begitu juga luas prisma tegak segitiga = luas alas × tingi MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

29

Secara umum , untuk prisma tegak yang volumenya dinyatakan dengan V, didapat rumus V=A×H A adalah luas alas prisma dan H merupakan tinggi prisma.

Contoh 5: Tentukan luas dan volume prisma tegak segitiga seperti gambar di samping. Penyelesaian: Luas alas = { (6 × 5) + ( × 3 × 4) cm2 = 36 cm2 2

Luas sisi tegak = keliling alas × tinggi

2

= { (6+ 5 + 6 + 4 + 3) × 4,5 } cm = 108 cm Jadi luas prisma = { 108 + 2 ( 36 ) } cm2 = 180 cm2. Volume prisma = ( 36 × 4,5) cm3 = 162 cm3.

4) Volume Tabung Karena suatu tabung atau silinder merupakan sebuah

prisma tegak dengan

alas

lingkaran,

maka volume tabung = luas alas × tinggi.

Alas tabung berbentuk lingkaran dan luas lingkaran yang berjari-jari r adalah ? r2. Jika volume tabung V, maka V = ? r2 h Contoh 6:


30

Garis tengah lingkaran alas sebuah tabung 14 cm dan tingginya 10 cm. Tentukan volume tabung. Penyelesaian: r =

= 7, h = 10 ; V = ?

× 72 × 10 ) cm2 = 1.540

cm2 Jadi volume tabung adalah 1.540 cm2.

Bayangkan sebuah silinder berjari-jari R dan tingginya h. Misal silinder lain yang lebih kecil dengan jari-jari r (r < R) dengan tinggi sama, yaitu h, dimasukkan ke dalam silinder yang berjari-jari R. Kejadian ini menghasilkan sebuah pipa, seperti gambar berikut. Silinder seperti ini disebut silinder berlubang. Volume silinder berlubang ? R2 h - ? r2 h

= ? h (R2 - r2)

Volume silinder berlubang = ? h (R2 - r2) Contoh 7: Gambar di

sebelah

kanan menunjukkan

potongan sebuah pipa logam. Jari-jari bagian dalam pipa adalah 2,1 cm, jari-jari bagian luar pipa adalah 2,5 cm dan panjang pipa 12 cm. Tentukan volume logam yang digunakan untuk membuat pipa.

Penyelesaian: R = 2,5, r = 2,1, h = 12. Penampang pipa berupa cincin. Luas cincin = { ? (2,5)2 - ? (2,1)2 } cm2 = 1,84 ? cm2 Volume pipa = (1,84 × 3,34 × 12) cm3 = 76,7 cm3 (dibulatkan sampai 1 tempat desimal).


31

Jadi volume logam yang digunakan untuk membuat pipa adalah 73,7 cm3.

5) Volume Limas Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di samping ini. Titik

O

merupakan

perpotongan diagonal ruang, sehingga kubus terbagi menjadi 6 limas segiempat, dengan alas persegi, yang sama besar. Keenam limas tersebut adalah O.ABFE, O.ABCD, O.DCGH, O.BFGC, O.BHEG, dan O.HADE. Dengan demikian tinggi setiap limas adalah setengah panjang rusuk kubus, s. Karena keenam limas sama besar, maka volume setiap limas

=

volume kubus.

= s3 1 1 = ( s)s2 32 1 1 = s2( s) 3 2 =

luas alas × tinggi.

Secara umum, suatu limas yang luas alasnya A dan tingginya h, dan volumenya V, maka V=

Ah

Contoh 8: Sebuah limas tegak dengan alas berbentuk persegi panjang yang panjangnya 5 dan lebarnya 4. jika tinggi limas 6, tentukan volume limas. MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

32

Penyelesaian: Alas berbentuk persegi panjang. Panjang alas = 5, lebar alas = 4, maka A = 20. Tinggi limas 6. Jadi volume limas =

× 20 × 6 = 40.

6) Volume Kerucut Kerucut adalah kejadian khusus dari limas. Kekhususannya terletak pada bentuk alas. Alas kerucut berbentuk lingkaran. Jika suatu kerucut dengan tinggi h dan jarijari alas r dan volume V, maka V = ? r2 h

Contoh 9: Jika jari-jari sebuah kerucut 7 cm dan tingginya 10 cm, maka hitunglah volume kerucut tersebut. Penyelesaian: Volume kerucut = ( ? r2 h ) cm3 1 22 2 =( ? ? 7 ? 10) cm3 =513 cm3 37 7) Volume Bola Jika V volume suatu bola yang berjari-jari R, maka V = ?R3 Contoh 10: Tentukan volume bola yang jari-jarinya 15 cm. Penyelesaian: V = ?R3 = { ? (15)2 } cm3 = 300 ? cm3.


33

c. Rangkuman 3 Volume, V, dari balok yang berpanjang L, berlebar W dan bertinggi H, ditentukan dengan rumus berikut. V = ( L × W × H ) satuan volume Luas alas Volume kubus dinyatakan dengan V dan rusuknya s, maka V = s3 Prisma tegak yang volumenya dinyatakan dengan V, didapat rumus V=A×H A adalah luas alas prisma dan H merupakan tinggi prisma. Alas tabung berbentuk lingkaran dan luas lingkaran yang berjari-jari r adalah ? r2. Jika volume tabung V, maka V = ? r2 h Jika V volume silinder berlubang dengan jari-jari lingkaran luar R dan jari-jari lingkaran dalam r, maka V = ? h (R2 - r2) Jika suatu limas dengan luas alas A, tinggi h, dan volume V, maka V=

Ah

Jika suatu kerucut dengan tinggi h, jari-jari alas r, dan volume V, maka V=

? r2 h

Jika V volume suatu bola yang berjari-jari R, maka V = ?R3

d. Tugas 3 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat.


34

1. Ahmad memindahkan jus dari suatu tangki berbentuk balok ke dalam gelas. Panjang tangki 65 cm, lebar 40 cm, dan tinggi 54 cm. Volume setiap gelas 200 ml. Berapa gelas jus yang dapat diperoleh Ahmad? 2. Tentukan volume prisma yang gambarnya seperti tampak di samping ini.

3. Sebuah lempengan logam berbentuk silinder dengan tebal 0,25 cm dan diameter atau garis tengah 30 cm dilelehkan. Dari lelehan tersebut dibuat batang berbentuk silinder lagi tetapi diameternya 5 cm. Tentukan panjang batang yang diperoleh. 4. Diagram berikut menunjukkan tempat air berbentuk setengah silinder dengan ukuran seperti pada gambar. Tentukan volumenya dalam liter.

5. Di dalam sebuah kubus yang rusuknya 14 cm dibuat sebuah bola yang menyinggung sisi-sisi kubus. Tentukan volume kubus yang berada di luar bola. 6. Tentukan volume dan luas permukaan bangun berikut, yang terdiri dari dua silinder atau tabung.

7. Di dalam sebuah limas T.ABCD dibuat kerucut yang alasnya berimpit dengan alas limas dan tingginya sama dengan tinggi limas. ABCD berbentuk persegi yang sisinya 7 cm. Tinggi limas 9 cm. Diameter kerucut sama dengan panjang sisi persegi. Tentukan volume limas yang terletak di luar kerucut.

e. Tes Formatif 3 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat.


35

1. Sebuah tangki berukuran panjang 4 m, lebar 2 m, dan tinggi 4,8 m. Mulamula tangki tersebut diisi air separonya. Tentukan kedalaman air dalam tangki setelah 4.000 l air ditambahkan lagi ke dalam tangki tersebut. 2. Tentukan volume prisma yang gambarnya seperti gambar di samping ini.

3. Melalui sebuah pipa dengan garis tengah atau diameter 56 mm dialirkan air dengan kecepatan 3m/det. Berapa volume air, dalam liter, yang dapat ditampung dalam pipa tersebut per 1 menit?

4. Gambar di samping menunjukkan pipa yang terbuat dari logam dengan diameter bagian luar 28 mm dan diameter bagian dalam 20 mm. Panjang pipa 3,5 m.

Tentukan volume logam yang diperlukan untuk membuat pipa tersebut. 5. dan

Tentukan

volume

permukaan

bangun

luas

berikut, yang terdiri dari dua balok.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3 1. 2, 9 m. 2. 1.404 cm3.


36

3. r = 28 mm = 2,8 cm, h = 3 m = 300 cm. Volume air yang dapat dialirkan per detik = ? r2 h =(

? 2,8? 2,8? 300) cm3 = 7.392 cm3.

Volume air yang dapat ditampung per menit adalah ( 7.392 × 60 ) cm3 = 443.520 cm3 = 443,5 liter ( dibulatkan sampai 1) 4. 1.056 cm3. Jadi 443.5 liter air per menit dapat ditampung dalam pipa (tempat decimal). 5. 108 cm2; 168 cm3.0

4. Kegiatan Belajar 4 a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini, diharapkan Anda dapat:  menentukan hubungan antara titik dengan garis,  menentukan hubungan antara titik dengan bidang,  menentukan hubungan antara garis dengan garis,

menentukan hubungan antara garis

dengan bidang,  menentukan hubungan antara bidang dengan bidang.  menentukan jarak unsur pada bangun ruang,  menentukan sudut pada suatu bangun ruang.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4 Anda telah mempelajari unsur-unsur bangun ruang pada Kegiatan Belajar 1. Pada kegiatan belajar 4, Anda mempelajari hubungan antara unsurunsur tersebut.

1) Letak titik dan garis dalam ruang Bangun ruang apakah yang sering Anda jumpai dalam kehidupan seharihari? Ya, balok adalah bangun ruang yang sering Anda jumpai dalam kehidupan MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

37

sehari-hari. Cobalah Anda amati ruang kelas Anda, kemasan-kemasan yang Anda jumpai di toko, atau benda lain yang terdapat di sekitar Anda. Pada umumnya bendabenda tersebut berbentuk balok. Karena itulah untuk memahami letak titik, garis, dan bidang dalam ruang, Anda dapat memulainya dengan memahami letak titik dan garis pada balok. Untuk itu perhatikan balok ABCD.EFGH berikut.

Tentunya anda masih ingat bahwa balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi panjang yang sepasang-sepasang berukuran sama. Sisi-sisi yang berukuran sama adalah sisi-sisi yang saling berhadapan. Sisi ABCD berhadapan dengan sisi EFGH. Kedua sisi ini merupakan persegi panjang yang berukuran sama, artinya panjang persegi panjang ABCD sama dengan panjang persegi panjang EFGH begitu juga dengan lebarnya. Dalam hal ini AB = EF dan BC = FG. Sekarang perhatikanlah titik A. Titik A terletak pada garis AB dan juga pada garis AD, tetapi titik A tidak terletak pada garis BC. Titik A adalah titik yang terletak pada bidang ABFE dan tidak terletak pada bidang EFGH. Hal ini dikatakan juga sebagai: bidang ABFE memuat titik A atau titik A termuat pada bidang ABFE dan


38

bidang EFGH tidak memuat titik A atau titik A tidak termuat dalam bidang EFGH. Cobalah Anda cari bidang lain yang juga memuat titik A. Setelah itu perhatikan garis AB. Garis AB terletak pada bidang ABCD, tetapi tidak terletak pada bidang BCGF. Hal ini juga dikatakan bahwa: garis AB termuat pada bidang ABCD dan tidak termuat pada bidang BCGF atau bidang ABCD memuat garis AB dan bidang BCGF tidak memuat garis AB. Cobalah Anda cari bidang lain yang memuat garis AB.

2) Hubungan antara garis dan bidang serta garis dan garis dalam ruang Setelah Anda mempelajari letak titik dan garis dalam ruang, sekarang Anda mempelajari bagaimana hubungan antara garis dan bidang dalam ruang. Untuk itu, perhatikan kubus berikut.

Dari gambar di atas Anda dapat melihat bahwa garis BG dan FC terletak pada bidang BCGF. Kedua garis ini (BG dan FC) sebidang dan berpotongan di titik T. Tentunya Anda dengan mudah dapat memahami bahwa sudut yang dibentuk oleh garis BG dan FC adalah sudut siku-siku (besarnya 900).


39

Garis BG dan garis ED tidak sebidang, kedua garis tersebut dikatakan bersilangan. Kedua garis ini (BG dan ED) tidak dapat berpotongan. Lebih lanjut Anda dapat mengatakan bahwa BG dan ED adalah dua garis yang bersilangan tegak lurus, karena ED //FC serta BG dan FC berpotongan tegak lurus.

Contoh 1: Perhatikan kubus ABCD.EFGH. a) Di mana sajakah letak garis DC? b)

Tentukan pada bidang apa saja letak titik

C? c)

Sebutkan garis yang sejajar dengan garis

AC. d)

Sebutkan garis yang bersilangan tegak

lurus dengan garis DB. e)

Tentukan garis yang tegak lurus dengan garis DH.

Penyelesaian: a) Garis DC terletak pada bidang ABCD, DCGH, dan DCFE. b) Titik C terletak pada bidang ABCD, DCGH, DCFE, dan ACGE. c) Garis yang sejajar dengan garis AC adalah garis EG. d) Garis yang bersilangan tegak lurus dengan garis DB adalah garis EG. e) Garis yang tegak lurus dengan garis DH adalah garis AD dan DC. Kembali perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.


40

Garis FC dan garis ED juga dua garis yang sebidang, tetapi mereka tidak berpotongan, karena kedua garis ini sejajar. Karena garis ED sejajar dengan salah satu garis yang terletak pada bidang BCGF, maka dikatakan bahwa garis ED sejajar dengan bidang BCGF. Garis

DC tegak lurus dengan garis BC (mengapa?).

Grais

DC juga tegak lurus garis CG (mengapa?

Karena

garis DC tegak lurus pada garia BC CG

dan

yang berpotongan, maka garis BC

tegak

lurus pada bidang yang memuat garis BC dan CG, yaitu bidang BCGF.

Perhatikanlah baik-baik bahwa untuk menentukan bahwa suatu garis tegak lurus pada suatu bidang, Anda harus menunjukkan bahwa garis tersebut tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut. Sedangkan untuk menunjukkan bahwa suatu garis sejajar suatu bidang, Anda cukup menunjukkan bahwa garis tersebut sejajar dengan satu garis yang terletak pada bidang tersebut.

Contoh 2: Diketahui balok ABCD.EFGH. Tentukan: a) bidang yang sejajar dengan garis AF, jelaskan. b) bidang yang tegak lurus garis DH jelaskan.

Penyelesaian: a) Garis AF sejajar dengan bidang DCGH, karena AF sejajar dengan garis DG yang terletak pada bidang DCGH.


41

b) DH tegak lurus garis DC karena DCGH persegi panjang. DH tegak lurus garis DA karena ADHE persegi panjang. DH tegak lurus bidang yang memuat DC dan DA, yaitu bidang ABCD.

3) Hubungan antara bidang dengan bidang Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.

Bidang

ABCD dan bidang DCGH adalah

dua

bidang yang berpotongan menurut garis CD. Kedua

bidang ini saling tegak lurus, karena tumpuan

sudut

kedua bidang adalah sudut siku-siku.

Sudut tumpuan dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang. Contoh 3: Garis DH adalah garis pada bidang DCGH. Garis AD adalah garis pada bidang ABCD. DH ? DC, AD ? DC, DC garis potong atau garis sekutu bidang DCGH dan ABCD. ? ADH adalah sudut tumpuan bidang DCGH dan ABCD. ? ADH = 900 (ADHE persegi panjang). Karena sudut tumpuan bidang DCGH dan ABCD besarnya 900, maka bidang DCGH dan ABCD merupakan bidang yang berpotongan tegak lurus.


42

Sekali lagi perhatikan kubus ABCD.EFGH.

Bidang ADHE dan bidang BCGF adalah dua bidang yang sejajar, karena kedua bidang tersebut tidak bersekutu pada satu titikpun. Carilah

bidang-bidang lain pada kubus ABCD.EFGH yang saling sejajar. Dua bidang sejajar, bila kedua bidang tersebut

masing-masing memuat dua garis berpotongan yang sepasang-sepasang sejajar.

Contoh 4: Tunjukkan bahwa bidang AFH dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH adalah dua bidang yang sejajar. Bukti: Bidang ADHE // bidang BCGF. Bidang ABGH memotong kedua bidang menurut garis

AH dan

BG, maka

AH//BG.......(1)

Perhatikan

bidang ABCD dan EFGH. Kedua bidang dipotong bidang BDHF

berturut-turut pada garis BD dan HF. Karena itu BD//HF....(2) Dari (1) dan (2) didapat bidang AFH//bidang BDG.

4) Jarak titik, garis dan bidang Dalam kehidupan sehari-hari, Anda sering mendengar istilah jarak. Misal jarak dari Jakarta ke Surabaya adalah 950 km. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jarak adalah panjang jalan yang dilalui, jika seseorang berjalan dari Jakarta ke Surabaya. Jalan ini tentunya berbelok-belok, mendaki, atau menurun. Dalam


43

geometri jarak antara dua titik adalah ruas garis penghubung kedua titik tersebut. Hal ini biasanya Anda katakan sebagai panjang (ruas) garis. Contoh 5: Pada kubus ABCD yang rusuknya 5cm, panjang AH = 5v2 cm (cobalah Anda hitung dengan teorema Pythagoras). Anda dapat pula menentukan jarak dari suatu titik A ke suatu garis g. Untuk itu buatlah garis tegak lurus dari titik A ke garis g, namakan garis ini garis d. d memotong garis g di titik P1. Panjang PP1 adalah jarak titik P ke garis g.

Sekarang Anda akan menentukan jarak dari suatu titik P ke bidang ? . Untuk itu, proyeksikanlah titik P ke bidang ? , hasilnya adalah titik P1.. Titik P1 disebut proyeksi P pada bidang ? . Jika Q sembarang titik pada bidang ? , maka ?PP1Q adalah segitiga siku-siku dengan ? P1 sudut sikusiku dan PQ sisi miring. PP1 adalah jarak titik P ke bidang ?.

Jika ada dua garis sejajar, bagaimanakah Anda menentukan jarak keduanya? Pada gambar di samping, garis a dan b adalah dua garis sejajar. P sembarang titik pada

pada garis a dan P1 proyeksi P pada b. Jarak antara garis a dan b adalah panjang ruas garis PP1.

Contoh 7: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm. Tentukan: jarak antara a) titik C dan titik H,


44

b) titik B dan garis CF, c) titik E dan bidang ADGF, d) garis AB dan garis GH.

Jawab:

a) Perhatikan ?DCH adalah segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku DC = 6 cm dan DH = 6 cm serta sisi miring CH.

CH2 = v (CD2 + DH2 ) cm

= v (36 + 36) cm = v 72 cm = 6v2 cm. b) Untuk menentukan jarak dari titik B ke garis CF terlebih dahulu dibuat bidang melalui B dan CF, yaitu bidang BCGF. Setelah itu tentukan proyeksi B pada CF. Karena BCGF suatu persegi, maka proyeksi B pada CF adalah titik P. Jadi jarak B ke CF = BP = =(


45

BG × 6v2 ) cm = 3v2 cm.

c) Jarak E ke bidang ADGF adalah ruas garis EQ dengan Q titik potong AF dan BE dan Q merupakan proyeksi E pada ADGF. EQ =

EB = (

× 6v2 ) cm = 3v2 cm.

d) AB dan GH merupakan dua garis sejajar. Jadi jaraknya dapat diwakili oleh jarak salah satu titik pada AB, misal A, ke garis GH. Karena GH ? DH dan GH ? EH, maka GH tegak lurus pada bidang ADHE. Dengan demikian GH tegak lurus pada semua garis pada bidang ADHE. Berarti GH ? AH. Dengan demikian proyeksi A pada GH adalah titik H. Jadi jarak AB dan GH adaalah AH = 6v2 cm.

Anda telah mempelajari jarak antara dua titik, jarak dari suatu titik ke suatu garis, dan jarak titik ke bidang. Sekarang marilah kita mempelajari jarak antara dua bidang sejajar. Jarak antara dua bidang sejajar adalah panjang ruas garis yang menghubungkan sebuah titik di salah satu bidang dengan proyeksinya di bidang yang lain. Gambar di samping menunjukkan bidang ? yang sejajar dengan bidang ß. P titik sembarang pada bidang ? . P1 proyeksi P pada ß. Jarak antara bidang ? dan ß adalah panjang ruas

garis PP1.

Anda tahu bahwa ada garis yang bersilangan. Bagaimanakah caranya, jika Anda diminta untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan? Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua garis tersebut. Untuk itu, cermatilah cara untuk menentukan suatu garis yang memotong tegak lurus kedua garis terebut. Ada 2 cara yang dapat Anda lakukan untuk menentukan garis yang memotong tegak lurus dua garis yang bersilangan. Kegunaan masing-masing cara dapat Anda sesuaikan dengan ketentuan yang ada. MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

46

Masing-masing cara diuraikan pada uraian berikut ini.

Cara 1: a)

Buat garis b1 yang memotong garis a dan

sejajar garis b.

b)

Buat bidang ? yang melalui a dan b1. Bidang ? adalah bidang yang sejajar dengan garis b karena memuat garis b1 yang sejajar b.

c)

Tentukan proyeksi garis b pada bidang ? , namakan b2. Garis b2 sejajar dengan garis b dan memotong garis a di titik A.

d)

Melalui titik A buat garis yang tegak lurus pada bidang ? . Garis ini memotong garis b di titik B.

e)

Ruas garis AB adalah garis yang memotong tegak lurus garis a di titik A dan memotong tegak lurus garis b di titik B. Jadi panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis a dan garis b.

Cara 2: a)

Buat

bidang ?

yang memotong

tegak lurus garis a di titik P. b)

Proyeksikan

garis

b

ke

bidang ?, namakan garis b1.

c) Pada bidang ? buat garis melalui P dan memotong tegak lurus garis b1 di titik Q. d) Melalui titik Q buat garis tegak lurus bidang ? dan memotong garis b di titik B.


47

e) Melalui titik B buat garis sejajar QP yang memotong garis a di titik A. f) Ruas garis AB merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus garis a di titik A dan memotong tegak lurus garis b di titik B. Jadi ruas garis AB merupakan jarak antara garis a dengan garis b.

Jika garis a dan b bersilangan tegak lurus, maka cara 2 dapat disederhanakan sebagi berikut: a)

Buat bidang ? yang melalui b

dan

memotong tegak lurus a di titik A. b)

Melalui

a

buat

yang memotong tegak lurus b di titik B.

c) Panjang ruas garis AB adalah jarak antara garis a dan garis b.

Contoh 8: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Tentukan: a) jarak antara bidang ABFE dan bidang CDHG. b) Jarak antara rusuk AE dan diagonal sisi DF. Jawab: a)

Bidang

ABFE dan

bidang CDHG adalah 2 bidang yang sejajar. Demikian jarak keduanya ditentukan salah satu titik pada

oleh jarak bidang ABFE

ke bidang CDHG. Untuk itu, pilih titik A. Proyeksi titik A pada bidang CDHG adalah D. Dengan demikian jarak antara bidang ABFE dan bidang CDHG adalah panjang ruas


48

garis

garis AD, yang sama dengan panjang rusuk kubus. Jadi jarak antara kedua bidang ABFE dan bidang CDHG adalah 12 cm. b) Garis AE dan garis DF adalah dua garis yang bersilangan. Untuk menentukan jarak antara kedua garis berarti harus ditentukan terlebih dahulu garis yang memotong keduanya. Pilih bidang ABCD yang tegak lurus pada garis AE. Proyeksikan DF ke bidang ABCD, hasilnya adalah garis DB. Melalui titik A pada bidang ABCD buat garis yang memotong tegak lurus garis DB, namakan titik ini titik P. Titik P adalah titik potong diagonal AC dengan DB Melalui titik P buat garis sejajar AE yang memotong DF di titik N. Melalui N buat garis sejajar PA yang memotong AE di titik M. Dengan demikian panjang garis MN adalah jarak antara garis AE dengan garis DF. MN = AP =

AC = 6v2 cm.


49

5) Sudut pada bangun ruang Anda telah mempelajari dua garis yang bersilangan tegak lurus. Sudut antara kedua garis tersebut besarnya 900,, misal sudut antara garis DE dengan

garis

BG.

Sekarang

Anda

akan

mempelajari sudut-sudut lain pada suatu bangun ruang.

Perhatikan ?EBG pada kubus ABCD.EFGH berikut. Segitiga apakah ?EBG? Ya, ?EBG adalah segitiga samasisi, karena ketiga sisinya sama panjang (semua sisi ?EBG adalah diagonal bidang pada kubus ABCD.EFGH). Jika penjang kubus s,

rusuk

maka panjang sisi ?EBG

adalah sv2.

Rangkuman 4

c. Pada

kubus ABCD.EFGH: titik A terletak pada garis, AB, AD, dan AE, garis AB terletak pada bidang ABCD dan ABFE, titik A terletak pada bidang yang memuat garis AB, AD, dan AE, yaitu bidang ABCD, ABFE, dan ADHE.

Garis AB dan garis GH adalah dua garis yang sejajar. Garis BG dan garis DC adalah dua garis yang bersilangan.


50

Garis AB dan garis DH adalah dua garis yang bersilangan tegak lurus. Garis AB sejajar dengan bidang CDHG, karena AB sejajar dengan salah satu garis pada bidang CDHG yaitu garis CD. Garis AB tegak lurus dengan bidang CBFG, karena AB tegak lurus dengan dua garis berpotongan pada bidang CBFG yaitu garis CB dan BF. Bidang ABCD berpotongan dengan bidang DECF. Bidang ABCD berpotongan tegak lurus dengan bidang DCGH. Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH. Jarak antara dua titik adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik tersebut. Jarak antara sebuah titik ke sebuah garis adalah panjang garis yang memproyeksikan titik ke garis. Begitu juga jarak titik ke bidang. Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak salah satu titik di salah satu garis ke garis yang lain. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus pada kedua garis tersebut. Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak dari salah satu titik pada bidang yang satu ke bidang yang lain. Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang. Sudut antara dua bidang adalah sudut tumpuan kedua bidang. Sudut tumpuan dua bidang adalah sudut antara dua garis pada masingmasing bidang di mana garis-garis tersebut masing-masing tegak lurus pada garis potong kedua bidang.

d. Tugas 4 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Dari balok ABCD.EFGH, a) tentukan garis yang bersilangan dengan DH, b) tunjukkan bahwa garis AB bersilangan tegak lurus dengan CG, c) apakah garis BD sejajar dengan bidang EFGH? MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

51

2) Pada kubus ABCD.EFGH a) tentukan garis yang tegak lurus dengan garis BG, b) tentukan sudut antara garis GH dengan bidang ACGE. 3) Apakah bentuk proyeksi suatu titik pada suatu a) garis? b) pada suatu bidang? 4) Jika bidang ? memotong bidang ? dan bidang ß yang sejajar, bagaimanakah kedudukan garis potong bidang ? dengan bidang ? dan garis potong bidang ? dengan bidang ß? 5) Diketahui balok ABCD.EFGH dengan alas berbentuk persegi yang sisinya 8 cm dan tinggi balok 12 cm. Tentukan jarak antara titik G dengan bidang BDHF.

e. Tes Formatif 4 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Pada balok ABCD.EFGH a) apakah BG ? GH? b) apakah AC proyeksi DG pada bidang ABCD? c) tentukan sudut antara garis DF dengan bidang EFGH. 2) Apakah bentuk proyeksi suatu garis pada suatu bidang? Jelaskan jawaban Anda. 3) Pada balok ABCD.EFGH, apakah bidang AFH sejajar dengan bidang BDG? Jelaskan jawaban Anda. 4) Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Tentukan jarak antara bidang BDE dengan bidang CFH. 5) Tentukan jarak titik C ke garis HF pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 5.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 4 1 a) ya. b) bukan. c) ? DFH


52

2) Proyeksi suatu garis pada suatu bidang berupa titik jika garis tersebut tegak lurus pada bidang dan berupa garis jika garis tersebut tidak tegak lurus bidang. 3) Ya, karena masing-masing bidang memuat dua garis berpotongan yang sepasangsepasang saling sejajar. 10 3 5)

4)

3 cm.

5 6 2

BAB III. EVALUASI A. Soal-Soal Tes`Evaluasi Selesaikan soal berikut dengan cermat. 1. Sebuah tangki berbentuk balok dengan panjang 60 cm dan lebar 40 cm berisi air dengan ketinggian 30 cm. Dalam tangki tersebut dimasukkan potongan es berbentuk balok dengan ukuran 20 cm, 15 cm, dan 12 cm. Tentukan kedalaman air setelah es mencair, anggap volumenya menyusut .


53

2. Ada 500 kaleng berbentuk silinder tanpa tutup atas. Masing-masing dengan diameter 8 cm dan tinggi 14 cm. Kaleng-kaleng ini dibuat dari lempengan seng. Bagian luar kaleng-kaleng ini dicat. Tentukan, dalam m2, luas seluruh bidang yang di cat. 3. Berapa banyak kotak korek api yang berukuran 80 mm, 75 mm, dan 18 mm yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah kotak yang ukuran bagian dalamnya 72 cm, 60 cm, dan 45 cm. 4. Kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm. a) tentukan jarak antara antara AH dan CF, b) tentukan jarak antara bidang ACH dengan bidang BEG c) tentukan sudut tumpuan bidang CDHG dan bidang EFGH. 5. Pada balok ABCD.EFGH, tentukan: a) bidang yang sejajar dengan garis FC, b) garis yang sejajar dengan garis FC, c) bidang yang sejajar dengan bidang BCGF

B. Kunci Jawaban Evaluasi Tes Tertulis 1. 31,35 cm. 2. 20.096 m2. 3. 1.800. 4. a) 6 cm b) 2v3 cm c) ? BDC 5. a) bidang ADHE, b) garis EH, AD, dan BC, c) bidang ADHE.


54

BAB IV. PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes praktek untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya. Mintalah pada guru untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi dan bila memenuhi syarat anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.


55

DAFTAR PUSTAKA

Iswadji, Djoko. Dkk. 1999. Geometri ruang. Universitas Terbuka. Lee Peng Yee, Fan Liang Huo, Teh Keng Seng, Looi Chin Keong. 2002. New Syllabus Mathematics 2. Singapore: Shinglee Publishers PTE LTD. ------ 2001. New Syllabus Mathematics 1. Singapore: Shinglee Publishers PTE LTD. Lee Peng Yee, Teh Keng Seng, Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 4. Singapore: Shinglee Publishers PTE LTD. ------ 1996. New Syllabus D Mathematics 2. Singapore: Shinglee Publishers PTE LTD.


56

MODUL MATEMATIKA. Geometri Dimensi Tiga. Maylisa Handayani,S.Pd. Penyusun: MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

Recommend Documents