MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA
11.1.
Ketentuan dan Sifat-Sifat
KETENTUAN aP = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT 1. ap . aq = ap + q
5. a0 = 1
2. ap / aq = ap - q
6. a - p = 1/ap
3. (ap)q = apq
7. am/n = n√(am)
4. (a.b)p = ap . bp Contoh: 1. 3pq+q . 32p)/(3pq+p . 32q) = (3pq+q+2p)/(3pq+p+2q) = 3p-q 2. (0,0001)-1 √0,04 = (10-4)-1(0,2) = (104)(0,2) = 2000 3. (0,5)2 + 1/5√32 + 3√0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25 [ket : 32 = 25 ; 0,125 = (0,5)3 ] 4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka
2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = 2(24)-1/2 - 3(24)0 + (33)4/3 = 2(2-2) - 3(1) + 34 = 2-1 -3(1) + 81 = 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2
1
11.2.
Persamaan Eksponen
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].
BENTUK-BENTUK A.
af(x) = ag(x) → f(x) = g(x) → Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.
contoh : 2 SUKU Æ SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI 1.
√(82x-3) = (32x+1)1/4 (23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4 2(6x-9)/2 = 2(5x+5)/4 (6x-9)/2 = (5x+5)/4 24x-36 = 10x+10 14x = 46 x = 46/14 = 23/7
2.
3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10 3².3x²-3x+3x²-3x = 10 9.
3x²-3x
+ 3x²-3x = 10
10. 3x²-3x = 10 3x² - 3x = 30 x² - 3x = 0 x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3
2
3 SUKU Æ GUNAKAN PEMISALAN 1.
22x + 2 - 2 2
2x
2 .2
x+2 2
+1=0
x
- 2 .2 + 1 = 0
Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1 2.
3x + 33-x - 28 = 10 3x + 33/3x - 28 = 10 misal : 3x = p p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 → 3x = 30 x1 = 0 p2 = 27 → 3x = 33 x2 = 3
B.
af(x) = bf(x) → f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh: 1.
3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0
3
(x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1
C.
af(x) = bf(x) → f(x) log a = g(x) log b Bilangan
pokok
berbeda,
pangkat
berbeda.
Diselesaikan
dengan
menggunakan logaritma. Contoh: 1.
4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 =
D.
f(x)
g(x)
= f(x)
4/3
log 12
h(x)
→ Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan. 1. Pangkat sama g(x) = h(x) 2. Bilangan pokok f(x) = 1
ket: 1g(x) = 1h(x) = 1
3. Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.
4
ket : g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1 4. Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) positif → 0g(x) = 0h(x) = 0 Contoh: (x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3 1.
Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 → x1 = 5
2.
Bilangan pokok = 1 x² + 5x + 5 = 1 x² + 5x + 4 = 0 → (x-1)(x-4) = 0 → x2 = 1 ; x3 = 4
3.
Bilangan pokok = -1 x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x = 1 ; x = 4 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ≠ (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
4.
Bilangan pokok = 0 x² - 5x + 5 = 0 → x5,6 = (5 ± √5)/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 ± 1/2 √5) > 0 h(2 1/2 ± 1/2 √5) > 0
5
Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 √5}
11.3.
Pertidaksamaan Eksponen Bilangan Pokok a > 0 ≠ 1
Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1
0
af(x) > ag(x) → f(x) > g(x)
af(x) > ag(x) → f(x) < g(x)
af(x) < ag(x) → f(x) < g(x)
af(x) < ag(x) → f(x) > g(x)
(tanda tetap)
(tanda berubah)
Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3 Contoh: 1.
(1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1)
Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2 x>7 2.
32x - 4.3x+1 + 27 > 0 (3x)² - 4.31.3x + 27 > 0
6
misal : 3x = p p² -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0
11.4.
p < 1 atau
p>9
3x < 31
3x > 3²
x<1
x>2
atau
Bentuk Akar
Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Misal: √4, √9 , √16 , √49 , ........bukan bentuk akar karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4, dan 7. Menyederhanakan bentuk akar: √ab = √a * √b misal, √15 = √5 * √3
Operasi Aljabar Bentuk Akar a.
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan a√k + b√k = (a+b) √k a√k - b√k = (a-b) √k
b.
Operasi Perkalian a √m* b√n = a.b √m.n = ab √m √n
c.
Menarik Akar Kuadrat (√a + √b) 2 = (√a) 2 + 2√a√b + (√b) 2 = a + 2√a √b + b
7
Contoh Soal: 1.
5√7 + 6√7 = (5+6) √7 = 11√7
2.
2√6 (√3 + √2)
= 2√6 (√3) + 2√6(√2) = 2√18 + 2√12 = 2 √(32 *2) + 2 √(22*3) = 6√2 + 4√3
3.
Jika p= 3 + √5 dan q= 3 - √5 maka p2 – q2 Adalah: (3+√5)2 – (3 - √5)2 = 32 + 2.3√5 + (√5) 2 – (32 – 2.3√5 + (√5) 2) = 9 + 6√5 + 5 – 9 + 6√5 - 5 = 12√5
Latihan: 1.
(a-3 b5 c-7) : (a-6 b-2 c3) = .........
2.
Nilai dari 32 + (1 / 4) -2 / 52 adalah .......
3.
(ab) 2x . (ab2)-1 adalah ..........
4.
((p4 q2 s-3) / rs2) 2 : (p -4 q 10 r -6) adalah ............
5.
(√6 - √3) (√8 + √2) = ............
11.5.
Batasan dan Sifat-Sifat Logaritma Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang
memangkatkan a sehingga menjadi b. a
Ket : a = bilangan pokok b = numerus
log b = c Æ ac = b Æ mencari pangkat (a > 0 dan a ¹ 1) (b > 0)
c = hasil logaritma Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
8
a
a
log a = 1 ;
a
log 1 = 0 ;
log an = n
SIFAT-SIFAT 1.
a
log bc = alogb + alogc
2.
a
3.
a
4.
a
5.
a
log bc = c alog b log b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c log b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a log b. blog c = a log c
6. a alog b = b 7.
a
log b = c Æ aplog bp = c Æ Hubungan : aq log bp = alog bp/q = p/q alog b
Keterangan: 1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ] 2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh: 1.
Sederhanakan 2 3log 1/9 + 4log 2 3
log 2. 2log 5 .52log 3
- 3 1/2
=
2(-2) + 1/2
=
3
log 2.2log 5. 5²log3
= -3 1/2
= -7
9
3
log 31/2
2.
1/2
Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9
log 8
=n
3²
log 2³ = n
3/2 3log 2 = n 3
log 2 = 2n 3
4
log 3 = 2²log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n
3.
Jika log (a² / b4) log (a²/b4)
= -24
log (a/b²)²
= -24
Tentukan nilai dari log ³√(b²/a) !
2 log ( a/b²) = -24 log ( a/b²)
= -12
Æ Log ³√ (b²/a) = log (b²/a)1/3
= 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) =4
11.6.
Persamaan Logaritma
10
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma a
log f(x) = alog g(x) Æ f(x) = g(x)
a
log f(x) = b Æ f(x) =ab
f(x)
log a = b Æ (f(x))b = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ≠ 1 dan numerus > 0 ) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ! 1.
x
log 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2 (x -1/8) -8 = (10-2)-8 x = 10 16 2.
x
log 81 - 2 x log 27 + x log 9 + 1/2
x
x
log 34 - 2 x log33 + x log 3² + 1/2 x log 36 = 6
log 729 = 6
4 x log3 - 6 x log3 + 2 x log3 + 3 x log 3 = 6 3 x log 3 = 6 x
log 3 = 2
x² = 3 Æ x = √3 (x>0) 3.
x
log (x+12) - 3 x log 4 + 1 = 0
x
log(x+12) - x log 4³ = -1
x
log ((x+12)/4³) = -1
(x+12) / 4³ = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 ; x = 4 11
4.
²log²x - 2 ²logx - 3 = 0 misal : ²log x = p p² - 2p - 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = ½
11.7.
Pertidaksamaan Logaritma Bilangan pokok a > 0 ≠ 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1
0
a log f(x) > b Æ f(x) > ab
a log f(x) > b Æ f(x) < ab
a log f(x) < b Æ f(x) < ab
a log f(x) < b Æ f(x) > ab
(tanda tetap)
(tanda berubah) syarat f(x) > 0
Contoh: Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan
12
1.
²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) → Hilangkan log → Tanda tetap - 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 b. syarat : x² - 2 > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2
2.
1/2
log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) → Hilangkan log → Tanda berubah x < - 2 atau x > 2 a. (x² - 3) > (1/2)0 x² - 3 > 1 Æ x2 -4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2 b. syarat : x² - 3 > 0 (x - √3)(x + √3) > 0 x < √3 atau x > √3
11.8.
Logaritma Biasa Logaritma biasa adalah log dengan basis 10.
Misal: 100 = 10 2 .:.
10
log 100 = 2
13
Dengan menggunakan logaritma, angka 10 yang merupakan bilangan basis dapat dihilangkan dan pernyataan diatas dapat disederhanakan menjadi: log 100 = 2. Jika menggunakan basis bilangan lain, bilangan basis tetap dituliskan. Misal: 125 = 53
.:. 5 log 125= 3
Log 10 = 1, log 100= 2, log1000= 3 Log 275, terdapat antara 2 dan 3, jika dicari log 275= 2,4393 sampai 4 tempat desimal, yang: (a) bagian bilangan bulat yaitu 2, disebut karakteristik, (b) bagian desimal yaitu 0,4393, disebut mantisa.
Latihan dan Penyelesaian: 1. Log 20 + log 5 = log (20*5) = log (100) = 2 2. Jika b log a 2 = 6 maka b
a
log b 4 adalah:
log a 2 = 6 Æ 2 b log a= 6 atau b log a= 6 / 2 Æ b log a = 3
a
log b 4 = 4
a
log b
Æ
a
log b = 1 / b log a
= 4 / b log a = 4/3 3. Bila 7
7
log2 =a dan
2
log 3 = b, maka berapa
6
log 98 ?
Log 2= a Æ log 2 / log 7 = a
14
Log 7 = log2 / a 2
Log 3 = b Æ log 3 / log 2 = b Log 3= b log 2
6
Log 98 = log 98 / log 6 = log (2 * 7 * 7) / log 6 = ( log 2 + 2 log 7 ) / log (2 * 3) = ( log2 + 2 (log 2 / a) ) / ( log 2 + b log 2) = (1 + 2 / a ) / 1+ b = (a + 2) / (a (1+b))
4. Akar dari persamaan: 3 5x-1 = 27 x+3, adalah..... 3 5x-1 = 27 x+3 3 5x-1 = (33) x+3
Æ 3 5x-1 = 33x + 9
Æ 5x–1= 3x+9 Æ 2 x = 10 Æ x= 5
5. harga x yang memenuhi persamaan : 4 x+3 = 4√(8 x+5) adalah ......... 4 x+3 = 4√(8 x+5)
atau 4 x+3 = 8 (x+5 / 4)
(2 2)x+3 = (2 3) (x+5 / 4) Æ 2x + 6 = (3x + 15) / 4 Æ 8x + 24 = 3x + 15 Æ 5x = -9 Æ X = -9 / 5
15
6. Ditentukan persamaan : 4 x+2 / 8 = √8x Tentukan nilai x2 Jawab: 4 x+2 / 8 = (8 x) ½ = 8 (2 2)
x+2
x/2
/ 8 = (23) x/2
2 2x + 4 / 23 = 2 3x / 2 2 2x + 4 – 3 = 2 3x / 2 Æ 2x + 4 – 3 = 3x / 2 4x + 8 – 6 = 3x X=-2
===========
16
