MATRIK dan RUANG VEKTOR

[email protected]

MATRIK dan RUANG VEKTOR

A.

Matrik 1. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut:

 a11 a12 ... a1n   a 21 a 22 ... a 2n     : :    am1 am2 ... amn 

urutan di atas disebut sebuah matrik mXn, karena memiliki m baris dan n kolom. Aturan simbol matrik: a. menggunakan kurung siku [ ] b. menggunakan kurung biasa ( ) c. menggunakan bentuk ║ ║ d. Nama matrik disimbolkan dengan hurup besar, A, B dsb e. Elemen matrik di simbolkan dengan hurup kecil miring karena matrik merupakan urutan – urutan bilangan berdimensi dua, maka diperlukan dua subskrip untuk menyatatakan setiap elemennya. Menurut perjanjian, subskrip pertama menyatakan baris, subskrip kedua menyatakan kolom. amn

.

m menyatakan baris, n menyatakan kolom. setiap matrik yang

memiliki baris dan kolom sama (m=n) disebut matrik persegi (square matrice). Contoh matrik 1 0 a b  0 1 ,  c d  , (1,2,3,3)     1 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

Bukan matrik, 1 0  b   1  , c     

2. Operasi Matrik; a. Kesamaan Dua matrik A dan B dikatakan sama

(A=B), jika dan hanya jika

elemen yang bersangkutan sama. aij=bij untuk setiap i,j Contoh: 1 0

1 0

2 0

1 0

A =  , B= 0 1 A = B, karena a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22, 0 1    A =  , B= 0 1 A ≠ B, karena a11 ≠ b11 0 1   

b. Perkalian dengan bilangan Skalar Bila diberikan sebuah matrik A dan sebuah bilangan skalar k, hasil kali k dan A didefinisikan sebagai kA; k .a11 ka12 ... ka1n   ka 21 ka 22 ... ka 2n   kA =   : :     kam1 kam2 ... kamn 

setiap elemen dari A dikalikan langsung dengan k. Hasil kali kA merupakan sebuah matrik lain yang mempunyai m baris dan n baris, dimana m dan n ini sama dengan m dan n matrk asli (matrik A)

c. Penjumlahan Matrik C merupakan hasil penjumlahan dari matrik A dan matrik B, dimana jumlah baris dan kolom matrik A harus sama dengan matrik B. Didefinisikan: 2 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

cij = aij+bij  c11 c12 ... c1n   c 21 c 22 ... c 2n   = C=   : :    cm1 cm2 ... cmn 

 a11 a12 ... a1n   a 21 a 22 ... a 2n    +  : :    am1 am2 ... amn 

 b11 b12 ... b1n   b 21 b 22 ... b 2n     : :    bm1 bm2 ... bmn 

 a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n   a 21 + b 21 a 22 + b 22 ... a 2n + b 2n   =    : :   am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn 

pernyataan ini dapat diringkas menjadi C=A+B Hukum Asosiatip A+B=B+A A + (B + C) = (A+B) + C

d. Pengurangan Aturan yang berlaku pada operasi Pengurangan sama dengan yang berlaku pada operasi penjumlahan. A – B = A + (-) B

e. Perkalian antar matrik

3 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

Jika diberikan sebuah m X n matrik A dan sebuah n X r matrik B, hasil kali AB didefinisikan sebagai m X r matrik C, dimana elemen elemennya dihitung dari elemen elemen dari A, B menurut. cij =

∑

n k =1

aikbkj,

i = 1,...,m

j= 1,..., r

Dalam hasil kali matrik AB, matrik A disebut pengali muka dan B pengali belakang. Hasil kali AB ditentukan hanya kalau jumlah kolom di A sama dengan jumlah baris di B

Aturan: A dan B bisa dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom di A sama dengan jumlah baris di B Contoh: 3 2  4 , B=    6 1  5

A

=

C

= AB [3(4) + 2(5)]

22

=   = 29 [6(4) + 1(5)]   

Berlaku hukum Asosiatif = (AB) C = A (BC) = A B C

Berlaku hukum Distributif = A (B + C) = AB + BC

Latihan : 4 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

Tunjukkan dengan penghitungan sebenarnya bahwa berlaku hukum asosiatif pada perkalian matrik berikut: 0 b 7  3 7 1  a 1      A=   , B=   , C = 2 c 1  3 4   1 8 9 1 4 0

Di mana: a, b, c = dua digit terakhir NRP Anda


[email protected]

IDENTITAS, SKALAR, DIAGONAL DAN MATRIK NOL

Matrik Identitas: Definisi: Matrik bujur sangkar yang mempunyai angka angka satu sepanjang diagonal utama (diagonal dari kiri atas sampai kanan bawah) dan elemen elemen lainnya bernilai nol. Matrik Identitas disimbolkan dengan I atau In, dimana n merupakan orde matrik

I

=

I4

1 0  0  0

=

0 0 0 1 .0.. 0 0 1 0  0 .0.. 1

Jika A adalah sebuah matrik persegi dari orde n dan I adalah matrik identitas dari orde n, maka: IA= AI = A I2 = I, I3 = I

Matrik Skalar: Untuk setiap skalar K, matrik bujur sangkar S = ║ k δij║ = k. I disebut matrik skalar

Matrik Diagonal: Sebuah matrik bujur sangkar D = ║ ki δij║ Disebut sebuah amtrik diagonal. Perhatikan bahwa ki dapat berubah dengan

i

Contoh: 6 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

2 0

1 0

(1 )   = (2) 0 1 adalah matrik skalar 0 2     2 0 0 (2) 0 1 0 adalah matrik diagonal 0 0 3

Matrik Nol: Sebuah matrik yang elemen elemennya nol disebut matrik nol dan dinyatakan dengan symbol 0. Sebuah matrik NOL tidak perlu bujur sangkar

Contoh: 0 0  0=  , 0 0  

0 0 0  , 0=   0 0 0

 0=  

0 0 0

   


[email protected]

TRANSPOSE, MATRIK SIMETRIS, MATRIK SIMETRIS MIRING

Transpose: Definisi; transpose dari sebuah matrik A =║ aij║ adalah sebuah matrik dibentuk dari A dengan menukar baris baris dan kolom kolom sehingga bari i dari A menjadi kolom i dari matrik transpose. Transpose disimbolkan dengan A’. A =║ aij║ A’=║ aji║ Contoh: 1 3

1 2

A =  , A’= 3 5  2 5   1 3 4 1    B=   , B’= 3 0 1 0 4

0 1 0

Jika A adalah matrik m X n, maka A’ adalah matrik n X m Perlu Anda perhatikan: 1. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’ 2. (AB)’ = B’ A’ 3. I’ = I 4. (A’)’ = A

Matrik Simetris: Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik A’, A= A’ Catatan: elemen diagonal adalah sembarang Contoh: 2 0 7  0 3 5    7 5 1


[email protected]

Matrik Simetris miring: Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik -A’, A=-A’ Catatan: elemen diagonal adalah nol Contoh: 0 1 2  − 1 0 − 3   − 2 3 0 


[email protected]

Latihan: Buktikan bahwa: 1. IA= AI = A 2. I2 = I, I3 = I 3. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’ 4. (AB)’ = B’ A’ 5. I’ = I 6. (A’)’ = A


[email protected]

Pemisahan Matriks, Determinan Pemisahan Matriks Matriks ‘kecil’ yang dibentuk dari pemisahan sebuah matriks disebut Matriks Bagian (sub-matriks) Sub-matriks : jika kita mempunyai matrik Amn kemudian kita coret semua baris-baris kecuali baris k dan semua kolom kolom keculi kolom s, maka akan diperoleh matrik k x s. Matrik Aks ini disebut matrik bagian Amn Contoh:

1 0 A42 =  0  0

0 0 0 1 .0.. 0 , jika kita coret baris ke 1 dan ke 4, serta kolom ke1 dan 0 1 0  0 .0.. 1

kolom ke3, maka akan diperoleh:

A22

  =    

1 0

 0 0  

Ada beberapa alasan untuk melakukan pemisahan matrik, diantaranya: 1. Pembagian dapat menyederhanakan penulisan atau pencetakan dari A 2. Ia menunjukkan beberapa susunan khusus dari A yang perlu diperhatikan 3. Pemisahan ini akan Memudahkan penghitungan Sekarang kita akan mempertimbangkan pembagian dari sebuah pandangan yang lebih umum.  a11 a 21  A= a31  a 41 a51

a12

a13

a 22 a32 a 42 a52

a 23 a33 a 43 a53

a14  a 24 a34 , bayangkan A dibagi menjadi empat oleh garis  a 44 a54

garis putus seperti yang terlihat, sekarang kita memiliki 4 matrik baru: 11 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

 a11 a12

a13 

 a14 

A-11 =   , A-12 = a 24 a 21 a 22 a 23  

A-21 =

 a31 a32 a33 a 41 a 42 a 43    a51 a52 a53

A22 =

 a34 a 44 ,    a54

sehingga A dapat ditulis sebagai:  A − 11

A − 12 

A =   A − 21 A − 22

Operasi matrik A dan B dapat dilakukan dengan operasi matrik matrik bagian dari A dan B, hal ini akan memudahkan penghitungan Jika kita memiliki matrik A dan membaginya sebagai berikut:

A=

1 3 2  2 5 0 =  A − 11 A − 12   A − 21 A − 22     4 1 7 1 3  2 , A-12 =  0  , A-21 = [4 1], A-22 = [7] 2 5  

A-11= 

Kita jika memiliki matrik B dan membaginya sebagai berikut 0 1 2  B = 2 4 5 = 6 0 1 0 

 B − 11 B − 12   B − 21 B − 22 ;   1 2 

B-11=   , B-12 =   , B-21 = [6] , B-22= [0 1] 2 4 5


[email protected]

Cara Penghitungan Biasa: C= AB dengan mengalikan matriks matriks langsung tanpa pembagian:

C

1 3 2 0 1 2 18 13 19  = 2 5 0 2 4 5 = 10 22 29 4 1 7 6 0 1 44 8 20

Cara penghitungan dengan pembagian: C

 A − 11

A − 12   B − 11

B − 12 

=     A − 21 A − 22  B − 21 B − 22  ( A − 11.B − 11) + ( A − 12.B − 21)

( A − 11.B − 12) + ( A − 12.B − 22) 

=    ( A − 21.B − 11) + ( A − 22.B − 21) ( A − 21.B − 12) + ( A − 22.B − 22) Dimana, 1 3   0 

2

6

12

18

A-11.B-11+A-12.B-21=     +   [6] = 10 +  0  = 10 2 5  2 0        1 3  1 2   2  13 17  0 2 13 19  +   [0 1] =     + =  2 5 4 5 0  22 29 0 0 22 29

A-11.B-12+A-12.B-22= 

0 

A-21.B-11+A-22.B-21= [4 1]   + [7] [6] = [44] 2 1 2 

A-21.B-12+A-22.B.22= [4 1]   + [7] [0 1] = [8 13] + [0 7] = [8 20] 4 5 Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut 18 13 19  C= 10 22 29 44 8 20

Determinan 13 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

Notasi | | Sebuah determinan orde dua didefinisikan sebagai

a11 a12 = a11a22-a12a21 a 21 a 22

Determinan orde tiga didefinisikan sebagai a11 a12

a13

a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 a31 a32 a33

a11 a12

a13 a11 a12

a13

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

+

Beberapa sifat Determinan: 1. Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A | 1 3 2 |A | = 4

|A | =

2 = -2, jika dua kolom ditukar maka determinan yang baru adalah 4 1 =2 3

2. Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A | 3. Jika suatu matriks mempunyai du baris dan dua kolom yang sama maka Determinannya = 0 4. |A | = |A’ | |A | =

4 1 =5 3 2

5. |A | = x, maka |k A | = k2x


[email protected]

Latihan : 1. tentukan cara pembagian matriks A dan B jika akan dilakukan perkalian matriks A dan B 2. Buktikan sifat determinan berikut, untuk matrik orde >2 o Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A | o Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A | o |A | = x, maka |k A | = k2x


[email protected]

Kofaktor, Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan suatu Matriks,Adjoint dan Invers Matrik

Kofaktor Kofaktor Aij dari elemen aij dari sebuah matriks bujur sangkar A adalah (-1)i+j kali determinan dari matriks matrik bagian (sub matric) yang diperoleh dari A dengan mencoret baris i dan kolom j a11 a12

a13

A = a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33

Kofaktor Aij diperoleh dengan mencoret baris I dan kolom j dan mengalikan(1)i+j dengan determinan yang dihasilkan, sehingga: A11= (-1)1+1

a 22 a 23 = (+) a22 a33 - a23 a32 a32 a33

A12= (-1)1+2

a 21 a 23 = (-) a21 a33 - a23 a31 a31 a33

A13= (-1)1+3

a 21 a 22 = (+) a21 a32 - a22 a31 a31 a32

A21= (-1)2+1

a12 a13 = (-) a12 a33 – a13 a32 a32 a33

A22= (-1)2+2

a11 a13 = (+) a11 a33 – a13 a31 a31 a33

A23= (-1)2+3

a11 a12 = (-) a11 a32 – a12 a31 a31 a32

A31= (-1)3+1

a12 a13 = (+) a12 a23 – a13 a22 a 22 a 23


[email protected]

A32= (-1)3+2

A33= (-1)3+3

a11 a13 a 21 a 23 a11

a12

a 21 a 22

= (-) a11 a23 – a13 a21

= (+) a11 a22 – a12 a21

Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan suatu Matriks: A = a11A11+a12A12+a13A13 = a21A21+a22A22+a23A23 = a31A31+a32A32+a33A33 Adjoint: Adjoin merupakan dari matrik matrik kofaktor. Jika kofaktor A = [X] maka adjoint A = [X]’ Invers Matrik: Simbol invers matrik A = A-1, ini tidak sama dengan 1/A karena Operasi matrik tidak mengenal istilah pembagian matriks. Jika AB = BA = I, jika matrik semacam B ada, maka B adalah matriks Invers dari A. sehingga A A-1 = A-1 A = I Rumus mencari invers: A-1 =

1 adj. A | A|

Matriks Singular dan Matriks tidak Singular. Matriks bujur sangkar A dikatakan Singular jika A = 0, tidak singular jika A ≠ 0. Matriks yang bisa diinvers hanya Matriks tidak Singular. Contoh:  a11 a12 

A=   a 21 a 22 A-1 =

1 adj. A | A|

|A| = a11a22 – a12 a21 Adj A =? 17 Lalu Muhamad Jaelani Jurusan Teknik Geomatika ITS Surabaya

[email protected]

 a 22

Kofaktor A =  − a12

A-1 =

− a 21  a 22 − a12 , sehingga Adj A=    a11  − a 21 a11 

 a 22 − a12 1 a11a 22 − a12a 21 − a 21 a11 

Sifat sifat invers: (AB)-1 =B-1 A-1 (A-1)-1 = A (A’)

-1

= (A-1)’

(A-1)’A’ = I = A’ (A-1)’


[email protected]

Aplikasi Operasi Matrik Metode Matriks dalam Perataan kwadrat Terkecil AX =L+V A

=

L

=

 a11 a12 ... a1n   a 21 a 22 ... a 2n     : :    am1 am2 ... amn   l1  l 2   :   l 3

X

=

V

=

 x1   x 2   :     x 3  v1  v 2    :    v3 

ATA X =ATL X = (ATA)-1 ATL

Contoh: 393.65

A

X=190.40

B

Y= 203.16

C

Solusi: Persamaan pengamatan X+ Y X Y

=393.65 =190.40 =203.16

Persamaan pengamatan dengan, memasukkan Residual error (v) X+ Y =393.65+v1 X+ 0 =190.40+v2 0+ Y =203.16+v3 jika di rubah ke bentuk matrik :


[email protected]

1 1 A = 1 0 , 0 1

x X=   ,  y

1 1 1 0  A A=   1 1 0 1 0  2 (ATA)-1= 1/3  − 1

1 0 = 1 − 1 , 2 

T

393.65 L= 190.40  , 203.16

 v1 V= v 2  v3

2 1  1 2    584.05

ATL=   596.81

X = (ATA)-1 ATL  2 − 1 584.05 190.43   596.81 = 203.19 − 1 2     

=1/3 

Untuk melihat ketelitian, kita bisa menghitung: Matrik Sisa (V) =AX-L 1 1 190.43  = = 1 0  203.19  0 1

− 0.03  0.03     0.03 

Standar Deviasi = σ0= VTV r − 0.03 V V = [− 0.03 0..03 0.03]  0.03  = [0.0027]  0.03  T

= σ0 = 0.0027 (3 − 2) = ± 0.052 = σx =± 0.052 2 / 3 = ± 0.042 = σx =± 0.052 2 / 3 = ± 0.042


MATRIK dan RUANG VEKTOR

Recommend Documents