MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc

Jurdikmat FMIPA UNY

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: [email protected]

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2012


Jurdikmat FMIPA UNY

MATERI ALJABAR LINEAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. IV

V No 1 2 3 4

Ruang vektor Subruang vektor Kombinasi linear dan bebas linear Basis dan Dimensi Ruang baris dan Ruang kolom Ruang hasil kali dalam Orthogonalitas, basis ortonormal Transformasi Linear, Matrik transformasi Nilai eigen dan vektor eigen Referensi/Sumber Bahan A. Wajib Anton, H. 1995. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley and Sons. B. Anjuran Setiadji, 1990. Pengantar Aljabar Linear. Diktat Kuliah. Evaluasi Komponen

Partisipasi Kuliah Tugas-tugas Ujian Tengah Semester Ujian Semester Jumlah

Bobot (%) 10 25 30 35 100 %


Jurdikmat FMIPA UNY

BAB I RUANG VEKTOR Sebelum sampai pada definisi ruang vektor secara abstrak, lebih dulu diperkenalkan pengertian lapangan (field). Lapangan adalah suatu sistem aljabar dengan dua operasi yang dinamakan “addisi”(dinotasikan +) dan “multiplikasi”(dinotasikan . ), yang memenuhi aksioma-aksioma berikut ini : 1. Terhadap addisi: a. Tertutup b. Assosiatif c. Terdapat elemen netral d. Setiap elemen mempunyai invers e. Komutatif 2. Terhadap multiplikasi: a. Tertutup b. Assosiatif c. Terdapat elemen satuan d. Setiap elemen tak nol mempunyai invers e. Komutatif Sebagai contoh struktur aljabar yang merupakan lapangan yang sering dijumpai yaitu: a. (, +, .) merupakan himpunan bilangan riil terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan riil. b. (, +, .) merupakan himpunan bilangan kompleks terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks. c. (, +, .) merupakan himpunan bilangan rasional terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan rasional. DEFINISI Diberikan himpunan tak kosong V bersama dengan suatu operasi ⊕ pada V. Diberikan suatu lapangan (field) ( ℝ , +, .). Diberikan suatu operasi perkalian skalar : ℝ × V → V. Himpunan V disebut ruang vektor atas ℝ terhadap oeprasi perkalian skalar jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:

1. (∀u , v ∈ V )u + v ∈ V 2. (∀u , v ∈ V )u + v = v + u

3. (∀u, v, w ∈ V )u + ( v + w ) = (u + v) + w

4.

( ∃0 ∈V ) ( ∀v ∈V ) 0 + v = v + 0 = v

5. (∀u ∈ V ) ( ∃ ( −u ) ∈ V ) u + ( −u ) = 0

6. α ∈ ℝ, u ∈ V ⇒ α u ∈ V

7. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ (α + β ) u = α u + β u

8. α ∈ ℝ, u , v ∈ V ⇒ α ( u + v ) = α u + α v

9. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ α ( β u ) = (αβ ) u 10. 1.u = u


Jurdikmat FMIPA UNY

Contoh: Buktikan bahwa ℝ 2 merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Bukti: 1. Ambil sebarang ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) berlaku

( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ ℝ 2 ∈ℝ

∈ℝ

SIFAT KOMUTATIF

2. ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

= ( x2 + x1 , y2 + y1 ) = ( x2 , y2 ) + ( x1 , y1 ) 3.

SIFAT ASOSIATIF

[ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )] + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) = ( x1 , y1 ) + ( x2 + x3 , y2 + y3 )

= ( x1 , y1 ) + [ ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )] 4. ∃0, ∀ ( x1 , y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 )

ADA ELEMEN IDENTITAS

( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 ) 0 = ( x1 , y1 ) − ( x1 , y1 ) = ( x1 − x1 , y1 − y1 ) = (0, 0) Jadi, terdapat 0 = (0, 0) sehingga ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 ) . 5. ∀( x1 , y1 ), ∃p ∈ ℝ 2 berlaku ( x1 , y1 ) + p = 0

( x1 , y1 ) + p = 0 ( x1 , y1 ) + ( p, q ) = (0, 0) p = (0, 0) − ( x1 , y1 ) p = (0 − x1 , 0 − y1 ) = (− x1 , − y1 ) Jadi, ∀( x1 , y1 ), ∃(− x1 , − y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + (− x1 , − y1 ) = 0

ADA ELEMEN INVERS


Jurdikmat FMIPA UNY

SIFAT 1 – 5 merupakan sifat GRUP KOMUTATIF terhadap penjumlahan. SIFAT TERTUTUP 6. Ambil sebarang α ∈ ℝ dan ( x1 , y1 ) ∈ ℝ 2 berlaku

Terhadap perkalian skalar

α ( x1 , y1 ) = (α x1 , α y1 ) ∈ ℝ 2 7.

(α + β ) ( x1 , y1 ) = (α + β ) x1 , (α + β ) y1  = (α x1 + β x1 , α y1 + β y1 ) = (α x1 , α y1 ) + ( β x1 , β y1 )

Sifat 7 dan 8 SIFAT DISTRIBUTIF

= α ( x1 , y1 ) + β ( x1 , y1 ) 8. α [ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) ] = α ( x1 + x2 , y1 + y2 )

= (α x1 + α x2 , α y1 + α y2 ) = (α x1 , α y1 ) + (α x2 , α y2 ) = α ( x1 , y1 ) + α ( x2 , y2 ) 9. α [ β ( x1 , y1 ) ] = α ( β x1 , β y1 )

SIFAT ASOSIATIF

= (αβ x1 , αβ y1 ) = αβ ( x1 , y1 )

10. 1 ⋅ ( x1 , y1 ) = (1 ⋅ x1 ,1 ⋅ y1 ) = ( x1 , y1 )

SIFAT 6 – 10 merupakan sifat dengan operasi perkalian skalar. KES: ℝ 2 merupakan RUANG VEKTOR. TUGAS: Selidikilah apakah himpunan berikut membentuk ruang vektor bentuk operasi jumlah dan perkalian yang didefinisikan. 1. Himpunan A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0} dengan definisi:

( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y ') α ( x , y ) = (α x , α y ) 2. Himpunan ℝ 2 dengan definisi: ( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x '+ 1, y + y ')

α ( x , y ) = ( α x, α y )

3. Diberikan M2() =

, , , . Buktikan bahwa M2() merupakan ruang vektor ! 4. Buktikan = , , | , , merupakan ruang vektor atas .


Jurdikmat FMIPA UNY

5. Buktikan = | , , √ 1" merupakan ruang vektor atas .

6. Latihan 4.2 halaman 141

TEOREMA: Jika V ruang vektor atas ℝ : a. α ⋅ 0 = 0 , ∀α ∈ ℝ b. 0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V c. −1 ⋅ v = −v , ∀v ∈ V d. α ⋅ v = 0 , maka α = 0 atau v = 0 Bukti: (i) Bukti yang d sebagai latihan (ii) Ambil sebarang α ∈ ℝ dan # ∈ V, perhatikan 1·#=# = (0 + 1) · # = (0 · #) + (1 · #) = (0 · #) + # sehingga diperoleh # + (-# = %0 · # #' + (- # 0( = 0 · # # # = 0 · # 0( =0 · # Jadi terbukti bahwa 0 · # = 0(. (iii)

Sekarang perhatikan # + (-1 · #) = (1 · #) ⊕ (-1 · #) = (1 + (-1)) · # =0·# = 0(

= # # dengan menggunakan sifat kanselasi dari kiri, maka diperoleh bahwa (-1 · #) = #. (iv)

α · 0 = α · # # = α · %1 · # 1 · #' = α · ((1 + (-1)) · #) = α. 1 1 · # = (α.0) · # =0·#


Jurdikmat FMIPA UNY

= 0.

SUB RUANG VEKTOR Definisi: V ruang vektor, W ⊂ V W dikatakan sub ruang vektor dari V jika W terhadap operasi yang sama pada V, W membentuk ruang vektor. Contoh : A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0} 2 A sub ruang vektor dari ℝ atau

A ⊂ ℝ2 .

TEOREMA: V ruang vektor dan W ⊆ V , berlaku W subruang vektor dari V jika dan hanya jika: i) ii)

∀u , v ∈ W berlaku u + v ∈ W ∀α ∈ ℝ, ∀u ∈ W berlaku α u ∈ W


Jurdikmat FMIPA UNY

KUIS:

1. Diberikan B = {( x, y , z ) ∈ ℝ 3 | x + y = z}

Tentukan apakah B ruang vektor atau bukan? 2. V: himpunan semua fungsi kontinu bernilai real dengan operasi berikut f(x) + g(x) = (f+g) (x) dan

α ⋅ f ( x) = (α f )( x)

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

Recommend Documents