Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali
Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Terdapat beberapa himpunan, sbb:
cara
Enumerasi 2. Simbol-simbol baku 3. Notasi pembentuk himpunan 4. Diagram Venn 1.
menyajikan
1.
Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Penulisan anggota suatu himp. ditentukan oleh anggota-anggotanya, BUKAN berdasarkan urutan.
Penulisan anggota himp. TIDAK BOLEH berulang, kecuali ditentukan sbg himpunan ganda (multiset).
Amati bahwa R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } memiliki EMPAT anggota, yaitu: a, b, {a, b, c}, dan {a, c}.
Amati bahwa C = {a, {a}, {{a}} } memiliki TIGA anggota, yaitu: a, {a}, dan {{a}}. Amati bahwa K = { {} } memiliki SATU anggota, yaitu: { }. { } adalah himpunan kosong, dan sering dilambangkan sbg .
Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4} R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}}
Maka: 3A {a, b, c} R cR {} K {} R
Latihan
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Benar/salah : aR? {1, 2} A ? 4A?
Benar Salah Salah
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Benar/salah : {a} R ? { } K ? 5A?
Benar
Benar Benar
Contoh Bila
P1 = {a, b} P2 = { {a, b} } P3 = {{{a, b}}}
Maka: a P1 a P2 P1 P2 P1 P3 P2 P3
2.
Simbol-simbol Baku
Simbol baku dicetak dgn huruf tebal. P = himpunan bilangan bulat positif = { 0, 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yg universal: semesta, disimbolkan dgn U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adlh himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3.
Notasi Pembentuk Himpunan Notasi:
{ x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 A = { x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 5 }
Atau: A = { x|x
P, x<5 } yg ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit}
Diagram Venn U menyatakan semesta pembicaraan 4.
Contoh Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. U
Diagram Venn:
A 1 3
B 2 5
7 8 6
4
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh o B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 o T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = ? 5 3 o A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = ?
Sebuah himp dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yg dlm hal ini n adlh bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya, himp. tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set)
D = {x|x adalh faktor dr 12}, maka |D| = 6 E = {x|x adlh bilangan positif kurang dari 1}, maka |E| = 0 F = {x|x adlh jumlah kucing di Bali} adlh himp.berhingga wlpn sulit dihitung G = {x|x adlh himpunan bilangan riil}, maka |R| = ∞
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh: E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
Catatan: himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Contoh: Manakah dari himpunan-himpunan ini yang berbeda: , { 0 }, { } ? Jawab: semuanya berbeda Himpunan tidak mengandung elemen Himpunan {0} mengandung satu elemen, yaitu bilangan nol Himpunan {} mengandung satu elemen, yaitu himpunan kosong
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B U
Diagram Venn: A
B
Contoh { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} {1, 2, 3} NZRC
Silsilah bilangan
Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
A B berbeda dengan A B o A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. o Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} o A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Contoh: Jika diketahui M = { r, s, t }, maka ujilah apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH: rM rM {r}M {r}M
Benar Salah
Salah Benar
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi :
A = B A B dan B A
Contoh: Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Contoh: Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut sama A = {1,2,3,4 } dan B = { 3,1,4,2} A=B Himpunan tidak berubah apabila elemen2nya disusun kembali C = {5,6,5,7} dan D = {7,5,7,6} C=D Himpunan tidak berubah apabila elemen2nya diulang E = {x|x2 – 3x = -2}, F = {2,1} dan G = {1,2,2,1} E=F=G
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi :
A ~ B A = B
Contoh: Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B
Diagram Venn:
U A
B
Contoh: Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi :
P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh: Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {} Himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}. *amati bahwa himpunan kuasa diapit tanda kurung kurawal, sebab ia adalah HIMPUNAN
Contoh: Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka P(A): { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} }
Munir, R., 2012, Matematika Diskrit Revisi ke5, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics and Its Applications 7th edition, McGraw-Hill
