1 Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.2 Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sir...
Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak
mengandung sirkuit
a
b
a
b
a
b
a
b
c
d
c
d
c
d
c
d
e
pohon
f
e
f
pohon
e
f
bukan pohon
e
f
bukan pohon
Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan. Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.
Pohon Merentang (spanning tree) Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon. Pohon merentang diperoleh dengan memutus dalam graf.
G
T1
T2
T3
sirkuit di
T4
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang. Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
Aplikasi Pohon Merentang 1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain. 2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
(a)
(b) Router Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast
Pohon Merentang Minimum Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang. Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree ). a 55
d
25 c
b
a
45 30
h b
40
20
5
40
50 15
g
e 35
d
25 c
h
20
5
15
g
e
10 f
30
10 f
Algoritma Prim Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubungberbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor
Contoh: 1
10
30
45
4
2 50 40
35
25 55
20
5 15
6
3
Langkah
1
Sisi
(1, 2)
(2, 6)
2
Bobot
Pohon rentang 1
10
2
1
10
2
10
25 25
3
(3, 6)
6
1
15
10 3
25 15 6
4
(4, 6)
1
20
10
2 3
4
25 20
15 6
5
(3, 5)
1
35
10
2
45 4
35 25 55
20
5 15
6
3
Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1
10
2
45 4
35 25 55
20
5 15
6
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
3
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun
bobotnya tetap sama. Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang akan dipilih
berbobot sama.
Contoh: a
3
b
4 5
e 5 i
4
2
3
f
4 g
3
5 j
6
c
4
2
d 6
4
h 4
k
l
2
Tiga buah pohon merentang minimumnya: a 4
b
3
2
f
e
c
5
3 i
j
3
g
d
2
4
h 4
k
2
l
b
3
c 2
f
e
4
4
a
d
2 3
a 4
h
3 i
j
Bobotnya sama yaitu = 36
4 4
k
2
l
c
4 2
f
e
4
5
b
3
3
g
d
2
h 4
5
3 i
j
4 k
2
l
Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung – berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor
Contoh: 1
10
30
45
4
2 50 40
35
25 55
20
5 15
6
3
Sisi-sisi diurut menaik: Sisi Bobot
(1,2) 10
Langkah
(3,6) 15
(4,6) 20
Sisi
(2,6) 25
(1,4) 30
(3,5) 35
Bobot
0
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
(2,5) 40
(1,5) 45
(2,3) 50
Hutan merentang 1
2
1
2
1
2
3
3
4
5
4
5
6
6 3
(4, 6)
20
1
2
3
5
4 6
4
(2, 6)
25
1
4
2
3
5
(5,6) 55
5
(1, 4)
30
6
(3, 5)
35
ditolak
1
2
3
5 4 6
Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1
10
2
45 4 4
(2, 6)
20
3
35 25 25 55
5
1
15 4
6
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
2
3
5
Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree). a
a
b c e
h
f
i
b
d
e
g
j
(a) Pohon berakar
d
c
h
f
i
g
j
(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat dibuang
b e
a b
e
f
d g
a
d
c
d
f
c h
e
g
h
b g
h
f
b sebagai akar
a
c
e sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar
Terminologi pada Pohon Berakar Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu a
b
c
e
h
d
f
i
g k
j
l
m
2. Lintasan (path) Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
a
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. b
3. Saudara kandung (sibling) f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
c
e
f
saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.
h
d
i
g k
j
l
m
4. Upapohon (subtree) a
b
c
e
h
d
f
i
g k
j
l
m
5. Derajat (degree) Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0. Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3 a
b
c
e
h
d
f
i
g k
j
l
m
6. Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. 7. Simpul Dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a b
c
e
h
d
f
i
g k
j
l
m
8. Aras (level) atau Tingkat Aras a
b
c
e
h
0
d
f
i
2
g k
j
l
1
3
m
4
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
Pohon Terurut (ordered tree) Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree). 1
2
5
1
4
3
6
7
8
3
9
8
4
2
9 6
5 7
10
10
(a)
(b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>
