SOAL DAN PEMBAHASAN SOAL Dilengkapi kunci jawaban dan Pembahasan setiap nomor soal
MATEMATIKA DIMENSI TIGA & RUANG Untuk SMA, SMK Persiapan Ujian Nasional Copyright © soal-unas.blogspot.com Artikel ini boleh dicopy , dikutip, di cetak dalam media kertas atau yang lain, dipublikasikan kembali dalam berbagai bentuk dengan tetap mencantumkan copyright dan link yang tertera pada setiap document tanpa ada tujuan komersial.
Di persembahkan oleh: Kumpulan soal Ujian Nasional, Ujian Akhir Nasional dan Pembahasan http://soal-unas.blogspot.com/ Update terbaru info soal Ujian Nasional, tips ujian, soal dan pembahasan UN via facebook http://www.facebook.com/pages/Kumpulan-Soal-Ujian-Nasional/149785065130008 update terbaru informasi seputar ujian nasional http://soalsoal.wordpress.com
0
Prediksi soal Ujian Nasional http://www.facebook.com/pages/Kumpulan-Soal-Ujian-Nasional/149785065130008
soal-unas.blogpost.com
1
Dimensi Tiga 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dibuat bidang datar. Tentukan luas bagian bidang di dalam kubus ! Jawab : H
G
E
F Q
P
D
C
A
a
B a
LPQDF =
1 2
.PQ.DF =
1 2
.a 2 .a 3 =
1 2
a2 6
2. Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. Titik P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, AB dan BF. Berupa apakah penampang bidang PQR ! Jawab : H
T
E
S
Garis bantu
F U
P A
G
R
D
C
Q
B
Sumbu afinitas Jadi berupa segienam beraturan PQR.STU
soal-unas.blogpost.com
2
3. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik P tengah-tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis BG ! Jawab :
H
G
G
20
P
P
E
F
4 2− x 6
D
P’
C
A
x
B
B
P’ adalah proyeksi titik P pada garis BG.
PG =
42 + 22 =
20
BG = 4 2
(4 2 )
BP =
2
+ 22 = 6
( PP') 2 = ( PP') 2 2
20 − (4 2 − x) 2 = 62 − x 2 ⇔ x = 3 2 ( PP' ) 2 = 36 − x 2 = 36 − (3 2 ) 2 = 18 ⇒ PP' = 3 2
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk-rusuknya 10 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC ! Jawab : H E
G F
F
10 2 10 2 D
C
C
5 2 A
B
FF ' =
A
(10 2 ) 2 − (5 2 ) 2 = 5 6
soal-unas.blogpost.com
F’
3
5. Panjang setiap rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 , sedangkan titik Q pada AD dan AQ = 1. Tentukan jarak A ke bidang QBF ! Jawab : H
G
E
F Q
D
x
A’
1
C
2–x
A A
B
B
BQ =
3
1+ 3 = 2
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 1 − x 2 = 3 − (2 − x) 2 ⇒ x = AA' =
1 − x2 =
1−
1 4
=
1 2
1 2
3
Cara lain :
L∆ QAB =
1 2
AB. AQ =
1 2
BQ. AA'
AB. AQ = BQ. AA' 3.1 = 2. AA' ⇔ AA' =
1 2
3
6. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak antara titik C dengan bidang BDG yang panjang rusuknya 6 cm ! Jawab : H
G
E
G
F 6
C’ D A
C
T B
GT =
T
3 2
36 + 18 = 3 6
CT .CG = GT .CC ' ⇔ CC ' =
CT .CG 3 2 .6 = = 2 3 GT 3 6
soal-unas.blogpost.com
C
4
7. Jika BE dan AH masing-masing diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan besar sudut antara BE dan AH ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A
B
BG sejajar AH.
∠ ( BE , AH ) = ∠ ( BE , BG ) = 60
8. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AF dan BH ! Jawab : H
Q
E
G
F a P
A
D
a
a
C
B
PQ sejajar AF
∠ ( BH , AF ) = ∠ ( BH , PQ ) = x PR =
1 2
PQ =
1 2
a 2
BR =
1 2
BH =
1 2
a 3
BP =
a 2 + ( 12 a ) 2 =
1 2
a 5
( BR) 2 + ( PR) 2 − ( BP) 2 34 a 2 + 24 a 2 − 54 a 2 cos x = = = 0 ⇒ x = 90 1 1 2.BR.PR 2. 2 a 3. 2 a 2
soal-unas.blogpost.com
5
9. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A’
A
B
∠ ( AH , BFHD ) = ∠ ( AH , A' H ) = α sin α =
AA' 12 a 2 1 = = ⇒ α = 30 AH 2 a 2
10. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG ! Jawab :
H
G
E
F
D
C T
A
B
∠ ( CG , BDG ) = ∠ ( CG , GT ) = θ tan θ =
CT = CG
1 2
a 2 = a
1 2
2
11. Pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika θ adalah sudut antara bidang ABGH dan ABPQ, maka tentukan tan θ ! Jawab :
H E
Q
G P
F
D A
C B
soal-unas.blogpost.com
6
PB⊥ AB ⇒ ∠ ( ABPQ, ABGH ) = ∠ ( PB, GB ) = θ GB⊥ AB AB = a ⇒ BP =
5 , BG = a 2
a 2
cosθ =
( PB) 2 + ( BG ) 2 − ( PG ) 2 = 2.PB.BG
tan θ =
1 3
5 4
a 2 + 2a 2 − 2.
a 2
1 4
5.a 2
a2
=
3a 2 = a 2 10
3 10
12. Pada bangun D.ABC diketahui bahwa bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. Panjang DC = 1 dan sudut DBC = 30 . Bila θ menyatakan sudut antara bidang DAB dengan CAB maka tentukan tan θ ! Jawab : D
A
θ
T
C
30 B
sin 30 = BC =
1 ⇔ BD = 2 BD
22 − 12 =
BT =
1 2
BA =
1 2
3 3
CT =
( 3) − (
tan θ =
CD 1 2 = 3 = CT 3 2
2
1 2
3
)
2
=
3 2
13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal BH. Tentukan perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD.EFGH ! Jawab :
H
G
E
VP. BCS : VABCD.EFGH = 1 : 24
F P
S
D A
C B
soal-unas.blogpost.com
7
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik pada perpanjangan AE sehingga TE = ½ a. Jika bidang TBD memotong bidang atas EFGH sepanjang PQ, maka tentukan panjang PQ ! Jawab : T H EP
G
Q
F
D
C
A
B
TE PQ = ⇒ EA BD
1 2 3 2
a PQ = ⇔ PQ = a a 2
1 3
a 2
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tentukan panjang proyeksi DE pada bidang BDHF ! Jawab : H E
G
E’ F
D A
C B
Proyeksi DE pada BDHF adalah DE’.
DE ' =
82 + (4 2 ) 2 = 4 6 cm.
soal-unas.blogpost.com
8
16. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk irisan bidang yang melalui titik-titik P, D dan F dengan kubus ! Jawab : H
G
E
F
P
Sumbu afinitas
D
C
A
B
Jadi berupa belah ketupat.
17. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan panjang proyeksi AH pada bidang BDHF ! Jawab : H
G
E
F
D
C A’
A
B
Proyeksi AH pada BDHF adalah A’H
A' H =
82 + ( 4 2 ) 2 = 4 6
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Tentukan jarak antara titik K ke garis HC ! Jawab :
H
G
E
H
F
12 2 − x K’
D A
C K
B
x C
K
soal-unas.blogpost.com
9
KC =
12 2 + 6 2 =
KH =
12 2 +
180 2
180 =
324
( KK ') 2 = ( KK ') 2 2
180 − x 2 = KK ' =
2
324 − (12 2 − x ) 2 ⇒ x = 3 2
180 − (3 2 ) 2 = 9 2
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan jarak titik A ke diagonal BH ! Jawab : H
G
E
H
F
a 3− x a 2 D
A’
C
A
B
A
x B
a
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 a 2 − x 2 = (a 2 ) 2 − (a 3 − x) 2 ⇒ x = AA' =
a2 − (
a 3
a 2 a ) = 6 3 3
20. Pada limas T.ABC diketahui AT, AB dan AC saling tegak lurus. Panjang AT = AB = AC = 5 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang TBC ! Jawab :
T
T x A’ 5 2
6− x
C A
D B
soal-unas.blogpost.com
A
D
10
AD =
52 − ( 52 2 ) 2 =
5 2
TD =
52 + ( 52 2 ) 2 =
5 2
2 6
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 52 − x 2 = ( 52 2 ) 2 − ( 52 6 − x) 2 ⇒ x = AA' =
25 − ( 53 6 ) 2 =
5 3
5 3
6
3
21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegaknya 12 2 cm. Tentukan jarak A ke TC ! Jawab :
T T A’
D
C
A
C
B
AA' =
A
(12 2 ) 2 − (6 2 ) 2 = 6 6
22. Prisma segi-4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T. Tentukan jarak titik D ke TH ! Jawab : H
G
E
H
F
x 8 D’
D
C
82 − x D
T A
3 2 B
HT =
64 + 18 =
82
82 − x 2 = (3 2 ) 2 − ( 82 − x) 2 ⇒ x = DD' =
T
82 − ( 32 82 ) 2 = 41
24 41
32 41
82
41
soal-unas.blogpost.com
11
23. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik H ke DF ! Jawab : H
G
E
H
F
F
6 3− x x
D
C
A
H’
D
B
36 − x 2 = 72 − (6 3 − x) 2 ⇒ x = 2 3 HH ' =
36 − (2 3 ) 2 = 2 6
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka tentukan jarak titik A ke titik S ! Jawab : H
G
P
E
P
F
S’
D
C
A
B
AP = CP =
a2 + (
A
a 2 2 ) = a 2
(a 2 ) 2 − ( AS ) 2 = (a
) − (a
3 2 2
C
3 2 3 2
− AS ) 2 ⇒ AS =
1 3
a 6
25. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik C ke bidang AFH ! Jawab :
P H E
G
P
x
F
C’
54 − x D A
C
A
B
soal-unas.blogpost.com
C
12
AP = CP =
62 + (3 2 ) 2 =
54
2
54 − x 2 = (6 2 ) 2 − ( 54 − x ) 2 ⇒ x = CC ' =
6
54 − 6 = 4 3
26. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB = AC, TA = 5 3 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka tentukan sudut antara TBC dan bidang alas ! Jawab :
T
T
5 3
θ
C
A
A
D
D
5
B
AB 2 + AC 2 = 10 2 Karena AB = AC maka 2 AB 2 = 100 ⇔ AB = AD =
50 − 25 = 5
tan θ =
5 3 = 5
50
3 ⇒ θ = 60
27. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α maka tentukan sin α ! Jawab : H
G P
E
P
F
2 2
F 4
D A
C B
α B
soal-unas.blogpost.com
13
BP =
16 + 8 = 2 6
sin α =
2 2 1 = 3 2 6 3
28. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan nilai sin α ! Jawab :
H
G
E
F
F
a
D
P
α
C
A
B
a
sin α =
=
3 2
a
1 3
a
3 2
a 2 2
P
B
6
29. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, tentukan besar sudut antara TA dan bidang ABCD ! Jawab :
T T a
D
C
α
P a A
a
cosα =
a 2 2
a
B
=
1 2
2 ⇒ α = 45
soal-unas.blogpost.com
A
a 2 2
P
14
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 Titik T pada perpanjangan CG, sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α maka tentukan tan α ! Jawab :
T
T
α H
G
E
8
F
D
C
P
C
P
2 2
A
B
tan α =
2 2 1 = 2 8 4
31. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan nilai cosα ! Jawab :
H
G
E
P
α
F a 2 2
a
3 2
P D
C
A
D
B 2
CP = cosα =
a 2 3 2 2 + a = a 2 a 2 2
a
3 2
=
1 3 3
soal-unas.blogpost.com
a
C
15
32. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab : T
T
4
4
2 3 B
4
α
P A
P 4
CP = PT = cosα =
C
2 3
C
42 − 22 = 2 3
(2 3 ) 2 + (2 3 ) 2 − 42 1 8 = ⇒ tan α = = 2 2 3 1 2.2 3.2 3
33. Bidang empat A.BCD dengan AD siku-siku dengan alas dan segitiga BCD siku-siku di D. Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
A A
C 4
E
4
2 D
α 2
B
BC = 2 2 DE =
4− 2 = 2 4 tan α = = 2 2 2
soal-unas.blogpost.com
D
2
E
16
34. Pada limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
T
T
α
13
3 17 D
3 17
C
P
Q8
A
6
P
6
Q
B
TP = TQ =
132 − 42 = 3 17
(3 17 ) 2 + (3 17 ) 2 − 6 2 15 8 = ⇒ tan α = 17 15 2.3 17 .3 17
cosα =
35. Pada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 2 5 cm dan rusuk alas 4 cm, tentukan tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD ! Jawab :
T T
2 5 4 D
C
P
Q
α
2 Q
A
4
B
TP =
(2 5 ) 2 − 2 2 = 4
TQ =
16 − 4 = 2 3
tan α =
2 3 = 2
3
soal-unas.blogpost.com
2
P
17
36. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi panjang pula pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE = 7 m. Jika α dan β berturut-turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tentukan tan α . tan β ! Jawab :
E
β
7
F D
C
3
4
α A
B
CD = AB =
7 2 − 32 = 2 10
BD =
16 + 40 = 2 14
AE =
32 + 42 = 5
tan α . tan β =
3 2 10 . = 2 14 5
3 35
37. Dari limas beraturan T.PQRS diketahui TP=TQ=TR=TS=2 dan PQ=QR=RS=SP=2. Jika α adalah sudut antara bidang TPQ dan TRS, maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
T
T
α 2
3
Q
R
A P
B2
TA = TB =
A
S
2
cosα =
3
22 − 12 =
3
( 3 ) 2 + ( 3 ) 2 − 22 2. 3. 3
=
1 3
soal-unas.blogpost.com
2
B
18
38. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan segitiga sama sisi, TA tegak lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30 . Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tentukan nilai tan α ! Jawab : T
1 C
α
A
30
D
B
1 = tan 30 3 AD = ( 3 ) 2 − ( 23 ) 2 = 2 TA 1 2 tan α = = = AD 32 3 AB = AC = BC =
3
39. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC ! Jawab :
T
9 C
6 A
α
3 D B
TD =
9 2 − 32 =
72
CD =
62 − 32 =
27
cosα =
72 + 27 − 81 6 = ⇒ sin α = 12 2. 72 . 27
138 12
soal-unas.blogpost.com
19
40. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α , maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
T T
α
11 3 D
3
C
P
Q
P
Q
2 2 A
B
TP = TQ = cosα =
( 11) 2 − ( 2 ) 2 = 3
9+ 9− 8 5 = 2.3.3 9
soal-unas.blogpost.com
