Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása

Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Zankó Istvánné tanár

Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály

Mûszaki Kiadó, Budapest

Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens

Az elôzô kiadásokat bírálták: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus TÜSKÉS GABRIELLA matematika szaktárgyi szakértô

© Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Zankó Istvánné, 2010 © Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2010

ISBN 978-963-16-4508-8 Azonosító szám: MK–4191-0/UJ

Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Orgován Katalin ügyvezetô igazgató Szerkesztôségvezetô: Hedvig Olga Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki szerkesztô: Csukás Márta Borítóterv: H-moll Grafika Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Garay Ferenc Terjedelem: 16,45 (A/5) ív 1. kiadás e-mail: [email protected] www.muszakikiado.hu www.hajdumatek.hu

Tartalom MÉRTÉKEGYSÉGEK ..................................................................................................... 6 1. A TERMÉSZETES SZÁMOK...................................................................................... A tízes számrendszer ........................................................................................... A római számírás............................................................................................. Továbblépünk a tízes számrendszerben......................................................... Tájékozódás a számegyenesen ........................................................................... Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb....................................................... Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, ... .................................................. A természetes számok kerekítése........................................................................ Hosszúságmérés .................................................................................................. Tömegmérés......................................................................................................... A természetes számok összeadása ..................................................................... A természetes számok kivonása .......................................................................... A természetes számok szorzása.......................................................................... Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval............................................................... Az idõ mérése....................................................................................................... Osztó, többszörös................................................................................................. A természetes számok osztása............................................................................ Osztás egyjegyû osztóval................................................................................ Az összeg és a különbség osztása ................................................................. Osztás többjegyû osztóval .............................................................................. A mûveletek sorrendje .......................................................................................... Gyakorlófeladatok................................................................................................. Nem tízes alapú számrendszerek ........................................................................ Törd a fejed!.......................................................................................................... Tudáspróba...........................................................................................................

7 7 9 9 11 12 13 15 17 17 18 19 21 22 23 25 27 27 28 29 30 31 34 35 39

2. GEOMETRIAI ALAKZATOK ....................................................................................... Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal..................................................... Egyenesek kölcsönös helyzete ............................................................................ Síkidomok, sokszögek .......................................................................................... Egybevágó síkidomok........................................................................................... Téglalap, négyzet ................................................................................................. A terület mérése, mértékegységei ........................................................................ A téglalap területe................................................................................................. Téglatest, kocka.................................................................................................... Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben ....................... A téglatest hálója, felszíne.................................................................................... A téglatest térfogata.............................................................................................. Az ûrtartalom mérése ...........................................................................................

40 40 40 41 42 42 43 44 45 46 47 47 49 3

Gyakorlófeladatok................................................................................................. Törd a fejed!........................................................................................................ Képességpróba ............................................................................................. Tudáspróba.........................................................................................................

50 52 58 58

3. A TÖRTEK ................................................................................................................ A törtek értelmezése........................................................................................... Törtek bõvítése, egyszerûsítése......................................................................... Törtek összehasonlítása..................................................................................... Egyenlõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása................................................. Különbözõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása............................................. Törtek szorzása természetes számmal .............................................................. Törtek osztása természetes számmal ................................................................ Mi a valószínûbb?............................................................................................... Gyakorlófeladatok............................................................................................... Törd a fejed......................................................................................................... Tudáspróba.........................................................................................................

60 60 62 63 64 65 66 68 70 71 74 78

4. GEOMETRIAI VIZSGÁLATOK, SZERKESZTÉSEK................................................. Ponthalmazok, a kör és a gömb ......................................................................... Háromszög szerkesztése ................................................................................... Szakaszfelezõ merõleges................................................................................... Téglalap szerkesztése........................................................................................ Testek ábrázolása .............................................................................................. A szögtartomány................................................................................................. A szögek mérése szögmérõvel .......................................................................... A szögek fajtái .................................................................................................... Tájékozódás a terepen és a térképen ................................................................ Tájékozódás iránytûvel, tájolóval................................................................... Gyakorlófeladatok............................................................................................... Törd a fejed!........................................................................................................ Tudáspróba.........................................................................................................

79 79 80 81 82 83 86 87 88 89 90 90 93 98

5. A TIZEDESTÖRTEK................................................................................................. A tizedestörtek értelmezése ............................................................................... A tizedestörtek ábrázolása számegyenesen ...................................................... A tizedestörtek egyszerûsítése, bõvítése, összehasonlítása ............................. A tizedestörtek kerekítése .................................................................................. A mérés pontosságának jelzése.................................................................... Euróval fizetünk .................................................................................................. A tizedestörtek összeadása, kivonása ............................................................... Az összeadás és a kivonás tulajdonságai .......................................................... A tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, ... ......................... A tizedestörtek szorzása természetes számmal ................................................

99 99 102 102 103 104 105 105 108 109 109

4

A tizedestörtek osztása természetes számmal .................................................. Az átlag kiszámítása........................................................................................... Törtalakban írt szám tizedestört alakja............................................................... Gyakorlófeladatok............................................................................................... Tudáspróba.........................................................................................................

110 111 112 112 117

6. ÖSSZEFÜGGÉSEK, NYITOTT MONDATOK .......................................................... Táblázatok, grafikonok........................................................................................ Összefüggések, sorozatok ................................................................................. Arányos következtetések.................................................................................... Egyenlet, egyenlõtlenség.................................................................................... Gyakorló- és fejtörõ feladatok............................................................................. Tudáspróba.........................................................................................................

118 118 120 122 123 125 129

7. AZ EGÉSZ SZÁMOK ................................................................................................ Nem elég a természetes szám ........................................................................... Az egész számok összehasonlítása................................................................... Az egész számok abszolútértéke ....................................................................... Az egész számok összeadása, kivonása........................................................... A derékszögû koordináta-rendszer..................................................................... Gyakorlófeladatok............................................................................................... Törd a fejed!........................................................................................................ Tudáspróba.........................................................................................................

130 130 131 132 133 135 136 138 141

8. ÖSSZEFOGLALÓ..................................................................................................... Számok és mûveletek......................................................................................... Mérések, mértékegységek, geometria ............................................................... Képességpróbák.................................................................................................

142 142 145 149

A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA............................................................... 1. A természetes számok ................................................................................... 2. Geometriai alakzatok ...................................................................................... 3. A törtek ........................................................................................................... 4. Geometriai vizsgálatok, szerkesztések .......................................................... 5. A tizedestörtek ................................................................................................ 6. Összefüggések, nyitott mondatok .................................................................. 7. Az egész számok ........................................................................................... 8. Összefoglaló ...................................................................................................

150 150 157 163 166 169 172 173 174

5

MÉRTÉKEGYSÉGEK

Hosszúságmérés: alapegység az 1 méter (jele: m). A Párizson átmenõ délkör hossza körülbelül 40 000 000 m = 40 000 km. Tömegmérés: alapegysége az 1 gramm (jele: g), SI-ben az 1 kilogramm (kg). 1000 g = 1 kg, az 1 l tiszta 4 °C-os víz tömege. Nagyobb tömeg mérésére használják a tonnát (jele: t). 1 t = 1000 kg Ûrtartalommérés: alapmértékegysége az 1 liter (jele: l). 3

3

1 l » 1 dm (nagyon kicsi az eltérés). 1000 l » 1 m

Az egység ezerszeresét a kilo-, százszorosát a hekto-, tízszeresét a deka-, tizedrészét a deci-, századrészét a centi-, ezredrészét a milli- elõtagok jelentik.

Az alapegység hányszorosa (mekkora része)

1000

A hosszúság mértékegységei

kilométer km

Jelölés A tömeg mértékegységei

100

10

1

1

1

10

100

1000

méter

deciméter

centiméter

milliméter

m

dm

cm

mm

1

kilogramm

dekagramm

gramm

decigramm

centigramm

milligramm

kg

dkg, dag

g

dg

cg

mg

hektoliter

liter

deciliter

centiliter

milliliter

hl

l

dl

cl

ml

Jelölés Az ûrtartalom mértékegységei Jelölés

Idõmérés mértékegységei: óra (= hora; jele: h);

1 nap = 24 h;

perc (= minutum; jele: min);

1 h = 60 min;

másodperc (= secundum; jele: s);

1 min = 60 s

Nagyobb idõhossz mérésére használjuk az évet: 1 év » 365 nap 6

1. A TERMÉSZETES SZÁMOK

A tízes számrendszer Helyiértékes írásmód a tízes számrendszerben 1.

a) 79 531 Ft;

b) 70 953 Ft;

c) 7953 Ft;

d) 79 503 Ft

7953 Ft < 70 953 Ft < 79 503 Ft < 79 531 Ft 2.

a) Sok megoldás van. Például: 3 · 50 + 1 · 10 + 1 · 5 + 1 · 2 + 1 · 1 = 8 · 20 + 4 · 2 = 16 · 10 + 8 · 1 = = 2 · 50 + 3 · 20 + 1 · 5 + 3 · 1 = 1 · 50 + 11 · 10 + 2 · 2 + 4 · 1 b) Visszaadás nélkül: 1 · 100 + 1 · 50 + 1 · 10 + 1 · 5 + 1 · 2 + 1 · 1 c) 2 db százassal fizetünk, és visszakapunk 32 Ft-ot.

3.

Sz T

a) Az 5 tényleges értéke:

E sz

t

e

5

3

4

0

9

ötvenezer

4

9

2

5

1

ötven

5

0

0

ötszáz

8

3

1

5

öt

5

0

9

4

ötezer

4

b) Rendre: 9, egyes;

9, ezres;

c) Rendre: tízezres, 5; 4.

5.

6.

a) 30 456;

34 506;

b)

50 048; 50 480;

5 480; 54 800;

a) 10;

100;

1000;

b) 10;

100;

1000

a) 50-et;

5, százas;

tízezres, 4;

8, ezres;

százas, 5;

9, tízes

tízezres, 4;

ezres, 5

3456; c) 75 304; 57 430;

34 750; 43 075

10 000

b) 30-at;

c) 20-at 7

7.

a) 135 = 1 · 100 + 3 · 10 + 5 · 1;

306 = 3 · 100 + 0 · 10 + 6 · 1;

2345 = 2 · 1000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 5 · 1; 5008 = 5 · 1000 + 0 · 100 + 0 · 10 + 8 · 1; 23 205 = 2 · 10 000 + 3 · 1000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1; 20 034 = 2 · 10 000 + 0 · 1000 + 0 · 100 + 3 · 10 + 4 · 1 8.

a) A legkisebb háromjegyû szám: 100; a legnagyobb: 999 b) A kétjegyû természetes számok száma: 99 - 9 = 90 (10; 11; ...; 99); a háromjegyûeké: 999 - 99 = 900 (100; 101; ...; 999); a négyjegyûeké: 9999 - 999 = 9000 (1000; 1001; ...; 9999) c) Az ötjegyû kerek tízesek: 10 000; 10 010; 10 020; ...; 99 980; 99 990 0-tól 99 990-ig 10 000 db kerek tízes van. 0-tól 9 990-ig 1 000 db kerek tízes van. 10 000-tõl 99 990-ig 10 000 - 1000 = 9000 kerek tízes van, ezek az ötjegyû kerek tízesek. Az ötjegyû kerek százasok: 10 000; 10 100; 10 200; ...; 99 800; 99 900 10 000-tõl 99 900-ig 1000 - 100 = 900 kerek százas van. 10 000-tõl 99 000-ig 100 - 10 = 90 kerek ezres van.

9.

a)

60 Ft;

600 Ft;

6 000 Ft;

60 000 Ft

b)

100 Ft;

1 000 Ft;

10 000 Ft;

100 000 Ft

c)

80 Ft;

800 Ft;

8 000 Ft;

80 000 Ft

d)

100 Ft;

1 000 Ft;

100 000 Ft;

100 000 Ft

e)

5 000 Ft;

5 000 Ft;

50 000 Ft;

50 000 Ft

f) 100 000 Ft;

100 000 Ft;

100 000 Ft;

100 000 Ft

10.

a) 65 738, 65 648;

b) 71 010, 70 920;

c) 34 995, 34 905

11.

a) 64 748, 55 748;

b) 70 200, 61 200;

c) 29 321, 20 321

12.

a) 70 008;

b) 70 098;

c) 70 998

13.

a) 21 000, 22 000, 23 000, ..., 34 000, 35 000 b) 23 000, 23 100, 23 200, ..., 24 800, 24 900 c) 30 000, 40 000, 50 000 d) Nincs ilyen szám.

e) 25 002, 25 004, 25 006, ..., 25 022, 25 024 8

A római számírás 14.

XVIII; XXXI; XLV; MMDCCCII; MMM

15.

66;

44;

298;

XCIV;

609;

911;

CCXLVIII;

CDV;

DCCCXXXIX;

MCMXCIX;

3999

Továbblépünk a tízes számrendszerben 16.

a) Háromszázhuszonnégy; száznegyven); ezerhét; ötezer-háromszáznegyven;

ezerkétszáznegyven (csekken: egyezerkettõkétezer; kétezer-egy; huszonötezer; huszonnégyezer-három.

b) Növekvõ sorrendben: 20 003; 20 008; 20 803; 28 003; 30 208; 200 038; 208 003 17.

Csökkenõ sorrendben: 500 004; 450 004; 404 040; 54 000; 5405; 5004; 4500

18.

a) 50 525;

b) 500 075;

c) 50 525;

d) 50 525;

e) 500 720;

f) 502 575

19.

a) 1234; 2134; 3124; 4123;

1243; 2143; 3142; 4132;

1324; 2314; 3214; 4213;

1342; 2341; 3241; 4231;

1423; 2413; 3412; 4312;

1432; 2431; 3421; 4321

A számokat növekvõ sorrendben írtuk fel. b) Hat számban áll a százasok helyén 4. c) Hat számban áll az ezresek helyén 2. 20.

A kirakható négyjegyû számok növekvõ sorrendben: 2059; 5029; 9025;

2095; 5092; 9052;

2509; 5209; 9205;

2590; 5290; 9250;

2905; 5902; 9502;

2950; 5920; 9520

a) A legkisebb: 2059, mert 0-val négyjegyû szám nem kezdõdik; a legnagyobb: 9520

21.

b) 18-at;

c) 6;

d) 4;

e) 10-et

a) 865 420;

b) 204 568 9

22.

23.

24.

25.

26.

27.

a) 45 687;

45 688;

45 689;

45 690;

45 691

b) 45 687;

45 697;

45 707;

45 717;

45 727

c) 45 687;

45 787;

45 887;

45 987;

46 087

d) 45 687;

46 687;

47 687;

48 687;

49 687

e) 45 687;

55 687;

65 687;

75 687;

85 687

f) 45 687;

145 687;

245 687;

345 687;

445 687

a) 523 452;

523 451;

523 450;

523 449;

523 448

b) 523 452;

523 442;

523 432;

523 422;

523 412

c) 523 452;

523 352;

523 252;

523 152;

523 052

d) 523 452;

522 452;

521 452;

520 452;

519 452

e) 523 452;

513 452;

503 452;

493 452;

483 452

f) 523 452;

423 452;

323 452;

223 452;

123 452

a) 234 897;

234 902;

234 907;

234 912;

234 917;

234 922

b) 234 897;

234 947;

234 997;

235 047;

235 097;

235 147

c) 234 897;

235 397;

235 897;

236 397;

236 897;

237 397

d) 234 897;

239 897;

244 897;

249 897;

254 897;

259 897

e) 234 897;

284 897;

334 897;

384 897;

434 897;

484 897

a) 4000-rel csökken;

b) 400-zal nõ;

c) 30 000-rel nõ;

d) 3-mal csökken;

e) 300 000-rel nõ;

f) 30-cal csökken

a) Shreket.

b) Macskafogó.

c) A 3. héten, 4586-tal.

d) Lecsó.

e) Shrek.

a) 167 b) Margó:

10

Tájékozódás a számegyenesen 28.

a)

b)

c)

29.

a) x = 200;

y = 350;

z = 620;

u = 770;

v = 1000;

w = 1100

b) Az a) feladatban adott számok 10-szeresei. Például: x = 2000 c) Az a) feladatban adott számok 100-szorosai. Például: x = 20 000 d) Az a) feladatban adott számok 1000-szeresei. Például: x = 200 000 30.

a) x = 700;

y = 3000;

z = 5400;

u = 7500;

v = 8800;

w = 10 000

b) Minden szám 20 000-rel nagyobb, mint az a) feladatban: x = 20 700;

y = 23 000;

z = 25 400;

c) x = 70 700;

y = 73 000;

...;

d) x = 130 700; 31.

32.

y = 133 000;

...;

w = 30 000

w = 80 000 ...;

w = 140 000

a) a = 65;

b = 400;

c = 525;

d = 810;

e = 1150

b) a = 6518;

b = 40 000;

c = 52 480;

d = 80 850;

e = 116 000

a)

b)

c)

d)

11

e)

A növekvõ sorrend leolvasható a számegyenesrõl.

Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb 33.

34.

a) 245 682; 245 692;

245 684; 245 694;

245 686; 245 696;

245 688; 245 698;

245 690; 245 700

b)

46 789;

46 791;

46 793;

46 795;

46 797;

46 799

c) 415 610; 415 680;

415 620; 415 690

415 630;

415 640;

415 650;

415 660;

415 670;

d) 645 000; 652 000

646 000;

647 000;

648 000;

649 000;

650 000;

651 000

46 787;

a) x > 5

b) x < 5

c) x ³ 5;

h) x ³ 5;

i) x ³ 5; ugyanaz az igazsághalmazuk.

d) x £ 5;

e) x £ 5;

g) x £ 5; ugyanaz az igazsághalmazuk.

f) 5 £ x £ 10

j) 5 < x < 10

12

35.

3250 £ a £ 3800

5320 < b < 5650

4830 < c £ 5060

36.

a) 6080 < a £ 6310 b) 4400 £ b < 5550

37.

350 < u < 1050

Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, ... 38.

a) Az egyforintosok száma: 450; 1250; 3200; 135 000; 10 000; 10 000 b) A tízforintosok száma: 54; 540; 5400; 54 000 c) A százforintosok száma: 63; 35; 543; 49 d) Az egyforintosok száma: 150; 15 000; 15 000

39.

b) Tízzel szorozva: 580; 6040; 730; 8300; 5640; 70; 700 stb. Százzal szorozva: 5800; 60 400; 7300; 83 000; 56 400; 700; 7000 stb. c) Ezerrel szorozva: 68 000; 64 000; 735 000; 803 000; 500 000; 0; 139 000 Tízezerrel szorozva: 680 000; 640 000; 7 350 000; 8 030 000; 5 000 000; 0; 1 390 000. (A 0-t bármivel szorozva 0-t kapunk.)

40.

Százezres

Tízezres

Ezres

Százas

Tízes

Egyes

3

5

0

0

3

5

0

0

0

5

0

0

0

0

3

5

0

3

5

a) 3 b)

13

41.

a) A 0-ra végzõdõ számok oszthatók 10-zel. Pirossal például: 58 000 : 10 = 5800; 604 000 : 10 = 60 400; 564 000 : 10 = 56 400; 3 500 000 : 10 = 350 000; 70 000 : 10 = 7000; 70 070 : 10 = 7007; 700 700 : 10 = 70 070; 66 000 : 10 = 6600; 60 060 : 10 = 6006; 600 600 : 10 = 60 060 A szám osztható 100-zal, ha két utolsó számjegye 0. Kékkel például: 58 000 : 100 = 580; 604 000 : 100 = 6040; 7800 : 100 = 78; 564 000 : 100 = 5640; 3 500 000 : 100 = 35 000; 70 000 : 100 = 700; 700 700 : 100 = 7007; 66 000 : 100 = 660; 600 600 : 100 = 6006 A szám osztható 1000-rel, ha három utolsó számjegye 0. Feketével: 58 000 : 1000 = 58; 604 000 : 1000 = 604; 564 000 : 1000 = 564; 3 500 000 : 1000 = 3500; 70 000 : 1000 = 70; 7000 : 1000 = 7; 6000 : 1000 = 6; 66 000 : 1000 = 66 b) Igaz állítások például: Minden 1000-rel osztható szám osztható 100-zal is és 10-zel is. Minden 100-zal osztható szám osztható 10-zel is. Hamis állítások: Amelyik szám osztható 10-zel, az osztható 100-zal is. Minden 100-zal osztható szám 1000-rel is osztható. c)

42.

Például: a) 300 420;

234 000

b) 200 340;

430 020

c) 403 200;

240 300

d) Ilyen szám nincs. e) 200 034;

14

420 003

A természetes számok kerekítése 43.

76 512 kisebb szomszédok

nagyobb szomszédok

egyes

76 511

76 513

tízes

76 510

76 520

százas

76 500

76 600

ezres

76 000

77 000

tízezres

70 000

80 000

Hasonlóan a 42 325 kisebb szomszédai: nagyobb szomszédai:

42 324, 42 320, 42 300, 42 000, 40 000; 42 326, 42 330, 42 400, 43 000, 50 000

A 94 528 kisebb szomszédai: nagyobb szomszédai:

94 527, 94 520, 94 500, 94 000, 90 000; 94 529, 94 530, 94 600, 95 000, 100 000

A 317 kisebb szomszédai: nagyobb szomszédai:

316, 310, 300, 0, 0; 318, 320, 400, 1000, 10 000

Az 1988 kisebb szomszédai: nagyobb szomszédai:

1987, 1980, 1900, 1000, 0; 1989, 1990, 2000, 2000, 10 000

A 10 000 kisebb szomszédai: 9 999, 9 990, 9 900, 9 000, 0; nagyobb szomszédai: 10 001, 10 010, 10 100, 11 000, 20 000 44.

Pontos érték: 139 990 Ft Közelítõ érték: 140 000 Ft

45.

a) Pontos: 3 (testvér) c) Kicsi a valószínûsége, hogy pontosan 800 000 Ft-ba került. e) A futópálya hosszát nagy pontossággal mérik, de a mérésnek mindig van valamekkora hibája.

46.

Ezresre úgy kerekítünk, hogy a szám helyett a legközelebbi 1000-rel osztható számot vesszük. Ha a szám ezerrel osztható, akkor ez maga a szám, ellenkezõ esetben a közelebbi 1000-es szomszéd. Ha 500-ra végzõdik a szám, akkor fölfelé kerekítünk. Ha x » 4000, akkor 3500 £ x < 4500.

15

47.

a) Legalább 65, legfeljebb 74 kiránduló volt. 65 £ x £ 74

b) Az iskolába legalább 695 tanuló, legfeljebb 704 tanuló jár. 695 tanuló £ létszám < 705 tanuló

c) Máténak legalább 650 Ft-ja, de 750 Ft-nál kevesebb pénze van. Legfeljebb 745 Ft-ja lehet. 650 Ft £ Máté pénze £ 745 Ft

d) Encsen legalább 6500 ember, legfeljebb 7499 ember él. 6500 ember £ a lakosok száma < 7500 ember

e) A pénztárgép legalább 6995 Ft-ot, de legfeljebb 7005 Ft-ot mutatott. 6995 Ft £ összeg < 7005 Ft

f) A kardszárnyú delfin tömege: 6950 kg £ tömeg < 7050 kg

48.

a)

x » 12 620;

y » 12 600;

z » 12 650;

u » 12 680;

v » 12 690

x » 56 500;

y » 56 600;

z » 56 900;

u » 56 000;

v » 57 000

b)

16

c)

x » 263 000;

y » 266 000;

z » 267 000;

u » 260 000;

v » 270 000

x » 340 000;

y » 370 000;

z » 390 000;

u » 300 000;

v » 400 000

d)

Hosszúságmérés 49.

c) Ha a tanár araszának a hosszúsága más, mint a tanulóé, akkor az eredmény is más lesz.

53.

Egy bekötõút hossza: 3 km

Egy radír szélessége: 30 mm

Egy szoba magassága: 300 cm

Egy papírlap hossza: 3 dm

54.

a) 6 m 10 cm = 61 dm = 610 cm = 6100 mm b) 3500 cm = 35 000 mm = 350 dm = 35 m c) 5060 m = 5 km 60 m = 50 600 dm = 506 000 cm

55.

a) A 37 és fél dm-es és a 367 cm-es darabokból vágható le. b) Ha a 367 cm-es darabból vágjuk le, akkor kevesebb lesz a hulladék.

56.

48 cm

Tömegmérés 57.

a) A matematikakönyv tömege nagyobb, mint a matematikafüzet tömege. c) Egy tál konyhasó tömege nagyobb, mint az ugyanakkora tál daráé.

59.

a) 4000 g = 400 dkg (dag) = 4 kg;

b) 16 kg = 1600 dkg = 16 000 g;

c) 2500 dag = 25 000 g = 25 kg;

d) 40 t = 40 000 kg = 4 000 000 dkg;

e) 20 060 kg = 20 t 60 kg = 2 006 000 dkg 17

60.

A tanuló tömege: 30 kg A csecsemõ tömege: 3000 g A C vitamin tömege: 30 mg A homok tömege: 3 t A tea tömege: 3 dkg (dag)

61.

Ásványtartalom: (19 + 1 + 25 + 55 + 5 + 395 + 2500) mg = 3000 mg = 3 g 1000 g - 3 g = 997 g víz van 1 kg ásványvízben.

62.

A 2600 kg tömegû gránittömb nem szállítható el ezzel a gépkocsival. A többi anyag tömege összesen 2400 kg. Egyszerre elszállítható.

A természetes számok összeadása 64.

a) 548 + 426 = 974;

65.

A tagok megfelelõ csoportosításával ésszerûsíthetõ a számítás: a) 4000;

66.

b) 590;

b) 974 - 243 = 731

c) 2100;

d) 11 000;

a) Becslés: 6000 + 5000 + 6000 = 17 000; b) 4708;

c) 351 788;

d) 336 641;

a) 2146;

68.

779 579 = hétszázhetvenkilencezer-ötszázhetvenkilenc

69.

48 + 17 = 65

c) 15 256;

f) 9000

a kiszámított összeg: 16 017;

67.

b) 7672;

e) 7000;

d) 49 362;

e) 24 268 e) 23 288;

f) 100 002

A zárójelekbe írt kifejezések értékének kiszámítása nélkül is meghatározhatjuk az eredményeket a komponensek változásából. a) (48 + 52) + 17 b) 48

= 65 + 52 = 117

+ (17 - 10) = 65 - 10 = 55

c) (48 - 20) + (17 + 20) = 65 70.

Például: a) A 100-at adhatom az egyik taghoz: 143 + (72 + 100) = 143 + 172 A 100 egy részét adhatom az egyik taghoz, a fennmaradó részt a másik taghoz: (143 + 7) + (72 + 93) = 150 + 165

18

b) A 75-öt elvehetem az elsõ tagból: (143 - 75) + 72 = 68 + 72 A 75 egy részét az egyik tagból veszem el, a fennmaradó részt a másik tagból: (143 - 3) + (72 - 72) = 140 + 0 Az egyik tagból elveszünk 100-at, a másikhoz hozzáadunk 25-öt: (143 - 100) + (72 + 25) = 43 + 97 c) Amennyit az egyik tagból elvettem, ugyanannyit kell a másikhoz adnom. 71.

a) 198 + 202 = (198 + 2) + (202 - 2) = 200 + 200 = 400 b) 149 + 150 = (150 - 1) + 150 = 150 + 150 - 1 = 300 - 1 = 299 c) 517 + 1002 = 517 + 2 + 1000 = 519 + 1000 = 1519 d) 627 + 998 = (627 - 2) + (998 + 2) = 625 + 1000 = 1625

A természetes számok kivonása 72.

235 - 160 = 75.

Jutkának 75 forintja marad.

a) 235 - (160 - 25) = 75 + 25 = 100 b) 235 - (160 + 55) = 75 - 55 = 20 73.

a) A különbség rendre: 5; 10; 0; 11 b) Ha a kisebbítendõt 1-gyel, 2-vel, 3-mal ... stb. növeled, a különbség ugyanannyival nõ (ha közben a kivonandót nem változtatod). Ha a kisebbítendõt csökkented, a különbség ugyanannyival csökken. c) Ha a kivonandót 1-gyel, 2-vel, 3-mal ... növeled, a különbség ugyanannyival csökken (ha közben a kisebbítendõ nem változik). Ha a kivonandót csökkented, a különbség ugyanannyival nõ. d) Ha a kisebbítendõt és a kivonandót egyidejûleg ugyanannyival csökkented vagy növeled, a különbség nem változik.

74.

a) 60 - 45 = 15;

b) (60 + 5) - 45 = 15 + 5 = 20;

c) 60 - (45 + 5) = 15 - 5 = 10;

d) (60 + 5) - (45 + 5) = 15;

e) (60 - 10) - 45 = 15 - 10 = 5;

f) 60 - (45 - 10) = 15 + 10 = 25;

g) (60 - 10) - (45 - 10) = 15 75.

a) 700;

b) 1970;

c) 1470;

d) 300;

f) 3300;

g) 1300;

h) 1300;

i) 1300

e) 2300;

19

76.

77.

a) Becslés: 5700 - 4600 = 1100;

a kiszámított különbség: 1112;

b) 3744;

c) 72 148;

d) 26 142;

e) 6973

a) 3227;

b) 1323;

c) 6400;

d) 1327;

f) 3345;

g) 7050;

h) 1999;

i) 1211

78.

a) 5219;

79.

a) 26 tanuló;

b) 10 953;

c) 64 649;

b) 750 m-t;

d) 1032;

c) 760 Ft-ja;

e) 9304; d) 273 mm;

e) 5184;

f) 7944;

g) 558

e) Éva 88 cm

f) Csak a változásokból nem lehet megállapítani a város lakóinak a számát, mert hiányzik a lakosok egy évvel ezelõtti száma. Annyit tudunk, hogy 350-nel többen élnek a városban, mint egy éve. 80.

81.

a) A = 138;

b) A = 100;

c) nincs természetes szám megoldása;

d) A < 8;

e) A ³ 10;

f) minden természetes szám megoldás;

g) A = 47;

h) A = 5000;

i) A = 5500;

j) A £ 56;

k) A > 1995;

l) A > 2000

a)

Szükséges adatok

Felesleges adatok

328 Ft; 428 Ft; 1200 Ft

3 nap; 5 óra

1200 - (328 + 428) = 444.

444 Ft-ot kell kérnie.

b) Szükséges adatok: 35 kg; 75 kg; 58 kg. A lift terhelhetõsége: 300 kg Az adatokból kikövetkeztethetõ újabb szükséges adat: a két vendég tömege több 150 kg-nál. Felesleges adatok: 138 cm; 37 év; 162 cm Az öt személy több mint 318 kg, nem szállhatnak be egyszerre. c) Felesleges minden idõvel kapcsolatos adat. s = (87 000 m + 4500 m) · 2 = 183 000 cm = 183 km d) Bélának (3850 + 1270 =) 5120 Ft-ja van. A két fiúnak együtt (3850 + 5120 =) 8970 Ft-ja. Felesleges adat: Kati pénze 820 Ft. e) Szükséges adatok: a fiúk száma 413, a lányok száma ennél 28-cal kevesebb. Felesleges adat: tavaly 50 fiúval kevesebb volt. A kislányok száma 385. 82.

a) 8000 - (4500 - 1000) + (2000 - 500) = 6000 (Ft) b) 8000 - 4500 - 1000 - (2000 - 500) = 1000 (Ft)

20

A természetes számok szorzása 83.

84.

A-ból B-be

B-bõl C-be

A-ból C-be B-n keresztül

a)

1

2

1·2= 2

b)

1

3

1·3= 3

c)

2

3

2·3= 6

d)

4

3

4 · 3 = 12

a) A babára 3-féle szoknyát adhat. Így a 4 blúzzal 3 · 4 = 12-féleképpen öltöztethetõ. b) Az állomástól a kilátóig vezetõ 3 út mindegyike 4-féleképpen folytatható a múzeumig, így az állomástól a múzeumig 3 · 4 = 12-féleképpen juthatunk el a kilátó érintésével. c) A kétjegyû szám háromféleképpen kezdõdhet, és mindegyik kezdés négyféleképpen folytatódhat, így a megoldások száma: 3 · 4 = 12

85.

86.

a) 280; 300; 600;

b) 820; 410; 4100;

c) 6800; 6732; 67 320;

d) 200; 2000; 20 000

a) 13 · 4 · 25 = 13 · (4 · 25) = 1300; b) 25 · 30 · 15 · 4 = (25 · 4) · (30 · 15) = 100 · 450 = 45 000; c) (2 · 50) · (34 · 20) = 68 000; d) 5 · 63 · 20 = (5 · 20) · 63 = 6300; e) (2 · 5) · 100 · 19 = 19 000; f) (8 · 125) · (5 · 7) = 1000 · 35 = 35 000; g) 0 van a tényezõk között, ezért a szorzat 0; h) 7 · (125 · 4 · 2) = 7000; i) (8 · 125) · (4 · 5) · 3 = 60 000; j) 195 · (5 · 20) = 19 500; k) (4 · 2) · (8 · 125) = 8000;

l) (11 · 7) · (4 · 250) = 77 000 21

87.

a) 85 · 8 = 680 (Ft) b) 200 · 31 = 6200 (Ft) c) 25 · 16 = 400 (kézfogás) d) 250 · 100 = 25 000 (szõlõtõke) e) 250 · 6 = 1500 (dkg), (azaz kb. 15 kg) f) 3500 - 22 · 150 = 200 (Ft) g) (35 000 + 12 500 + 2500) · 20 = 1 000 000 (Ft)

88.

a) 2-szeresére nõ; d) 3-szorosára nõ;

89.

b) ötödére csökken; e) nem változik;

c) felére csökken;

f) nem változik;

g) 4-szeresére nõ.

a) Pontatlan.

b) Igaz.

c) Igaz.

e) Hamis (pontatlan).

f) Hamis (pontatlan).

g) Igaz.

d) Hamis.

Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval 90.

91.

a)

3 766; 37 660; 376 600;

39 274; 392 740; 3 927 400;

378 214; 3 767 614; 3 782 140;

38 198; 382 518; 393 278

b)

3 388; 338 800;

32 186; 312 860;

3 221 141; 2 611 301;

34 727; 339 647

c)

3 648; 36 480; 3 648 000;

35 568; 359 784; 3 597 840;

322 848; 367 992; 3 651 192;

3 228 936; 3 557 256; 3 561 360

a) 84 · 25 = 2100; 88 · 25 = 2200; 88 · 25 = (84 + 4) · 25 = 84 · 25 + 4 · 25 b) 70 · 39 = 2730; 70 · 40 = 2800; 70 · 40 = 70 · (39 + 1) = 70 · 39 + 70 · 1 c) 921 · 39 = 35 919; 921 · 29 = 26 709; 921 · 29 = 921 · (39 - 10) = 921 · 39 - 921 · 10 d) 333 · 75 = 24 975; 313 · 75 = 23 475; 313 · 75 = (333 - 20) · 75 = 333 · 75 - 20 · 75 e) 541 · 17 = 9197; 541 · 1700 = 919 700; 541 · (17 · 100) = (541 · 17) · 100

22

f) 84 · 50 = 4200; 168 · 25 = 4200; 84 · 50 = (84 · 2) · (50 : 2) = 168 · 25 g) 700 · 39 = 27 300; 7 · 39 = 273; (700 · 39) : 100 = 7 · 39 h) 921 · 30 = 27 630; 921 · 10 = 9210; 921 · 10 · 3 = 921 · 30 i) 333 · 25 = 8325; 111 · 75 = 8325; (333 : 3) · (25 · 3) = 111 · 75 j) 541 · 117 = 63 297; 541 · 234 = 126 594; 541 · (117 · 2) = (541 · 117) · 2 92.

a) 785 · 51 = 40 035 (Ft) b) 387 · 71 = 27 477 (Ft) c) 1200 : 6 = 200 (Ft) d) Akkor is 3 perc alatt. e) Valószínûleg hamarabb; ha õk is ugyanolyan tempóban dolgoznak: 2 óra f) 250 g · 52 = 13 000 g = 13 kg g)

m

2

3

10

11

27

35

x

Ft

450

675

2250

2475

6075

7875

225 · x

h) 110 · 11 - 85 · 11 = 275 (km);

vagy: (110 - 85) · 11 = 25 · 11 = 275 (km)

i) 3450 + 134 · 170 - 251 · 75 = 3450 + 22 780 - 18 825 = 7405 (Ft)

Az idõ mérése 94.

b) Egy szökõév elsõ 5 hónapja 152 napból áll. (Január 31 napos, február 29 napos, március 31 napos, április 30 napos, május 31 napos.) c) A leghosszabb ideig - 80 percig - Cili dolgozott. A három gyerek összesen 185 percig, azaz 3 óra 5 percig dolgozott. d) 9 óra 30 perctõl 13 óra 15 percig 3 óra 45 perc = 225 perc telik el.

A hasonló feladatok megoldásában segíthet az „idõegyenes”. 23

e) 15 perc = 900 másodperc. f) Október 9-bõl még hátra van: október 10-tõl 21-ig 11 · 24 óra: október 21-én eltelik:

12 óra 264 óra + 4 óra _______

Ez összesen:

280 óra

g) 10 nap = 240 óra = 14 400 perc = 864 000 másodperc, és ez kevesebb 1 000 000 másodpercnél. 95.

a) 8 óra 30 percet biztosítanak alvásra. b) 35 perc + 2 óra 30 perc + 25 perc + 10 perc = 3 óra 40 perc 3 óra 40 percet fordítanak egészségük megóvására. c) 2 óra 30 perc + 3 óra 25 perc + 1 óra 30 perc = 7 óra 25 perc 7 óra 25 percet fordítanak munkára. d) 15 perc = 900 másodperc 7800 m · 900 » 7 000 000 m = 7000 km e) 250 ml + 3 és fél dl = 6 dl, több mint fél liter. f) 67, 72, 71 átlaga 70. 10 perc alatt körülbelül 10 · 70 = 700-at verhetett a szíve.

96.

a) Az elsõ hat hónap 181 napból áll, szökõévben 182 napból. b) 1 hét = 168 óra;

1 nap = 1440 perc

c) Aladár a házi feladatra 1 órát fordított. 4 · 45 + 90 = 270; 270 perc = 4 és fél óra d) Szükséges adatok: egy és fél óra, 12 perc, 65 perc Felesleges adatok: 127 km, 102 km Az út 167 perc = 2 óra 47 percig tartott. e) Szükséges adatok: 1 óra 25 perc, 2 óra 40 perc, 65 perc Felesleges adatok: 515 m tengerszint feletti magasság, 5 km hosszú út. A túra 5 óra 10 percig tartott. f) 6 és háromnegyed óra - 2 óra 50 perc = 405 perc - 170 perc 405 perc - 170 perc = 235 perc = 3 óra 55 perc Legkésõbb 3 óra 55 perc múlva kell indulniuk. g) 4 · 45 · 52 = 9360; 9360 (perc) = 9360 : 60 = 156 (óra) Másképp számolva: 4 · 45 perc = 180 perc = 3 óra; 3 · 52 = 156 (óra) Flóra egy év alatt 156 órát (= 6 nap 12 órát) edz. 24

Osztó, többszörös 97.

a) 1, 20;

2, 10;

4, 5;

c) 1, 48;

2, 24;

3, 16;

d) 1, 47; f) 1, 50; 98.

b) 1, 36; 4, 12;

3, 12;

4, 9;

6;

6, 8;

e) 1, 49; 2, 25;

2, 18;

7;

5, 10

a) 1 b) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37 c) A többi egész szám 39-ig.

99.

a)

100.

a), b), c) 2, 5, 10 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft; 5840 Ft Csak 5 Ft-osra váltható 2645 Ft.

b) A szám többszörösére mutat a nyíl.

d) 20 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 5840 Ft e) 50 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft f) 100 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft g) 200 Ft-osra váltható: 4000 Ft; 3200 Ft h) 500 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft 101.

a) 0, 20, 40, 60, 80, 100, ..., 500, 520, 540, 560, 580, 600 b) 0, 25, 50, 75, 100, 125, ..., 500, 525, 550, 575, 600 c) 0, 30, 60, 90, 120, 150, ..., 480, 510, 540, 570, 600 25

102.

a) Sárga: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30 Zöld: 0; 9; 18; 27 Csak sárga: 3; 6; 12; 15; 21; 24; 30 Csak zöld nincs, hiszen amelyik szám 9-cel osztható, az osztható 3-mal is. Mindkét színnel: ami zöld. Egy színnel sem: 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; ... A = {A 3 többszörösei};

b)

B = {A 9 többszörösei}

103.

a) A 10 többszöröseit. C = páratlan;

b)

D = nem osztható 5-tel

c) Az ábrán megszámoztuk a mezõket. Így a megoldásban a római számok jelentik a beszínezett halmazokat. X = {2-nek többszöröse, de 5-nek nem többszöröse}: II. Y = {2-nek és 5-nek többszöröse}: III. W = {5-nek többszöröse, de 2-nek nem többszöröse}: IV. Z = {2-nek vagy 5-nek többszöröse}: II., III., IV. 104.

26

Csak sárga: 4; 8; 16; 20; 28; csak kék:

6; 18; 30;

mindkettõ:

0; 12; 24;

egyik sem:

1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 19; 21; 22; 23; 25; 26; 27; 29

A természetes számok osztása 105.

a) 3 · x = 21; c) x · 6 = 150; e) x · 7 = 56;

106.

x = 7; x = 25 (dm);

b) 8 · x = 96;

x = 12;

d) x = 11 · 3;

x = 33;

x=8

a) a = 8;

b) b = 5;

c) c = 3;

d) d = 13;

e) e = 25;

f) f = 16;

g) g = 136;

h) h = 150;

i) i = 2300;

j) j = 100;

k) k = 400;

l) x = 40;

m) nincs megoldás;

n) n = 0;

o) nincs megoldás;

p) nincs megoldás 107.

a) 3 többszörösei: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18;

3-mal osztva 0 maradékot adnak.

b) A 4; 7; 10; 13; 16; 19 lesz kék. c) Nincs. d) 3-mal osztva 2-t adnak maradékul. 108.

A hányados a) a kétszeresére nõ;

b), c) a harmadára csökken;

d) a négyszeresére nõ;

e), f) nem változik.

Osztás egyjegyû osztóval 109.

110.

A hányadosok után ( )-ben a maradék van. a) 163 (0);

63 (1);

1203 (0);

700 (5);

1006 (2)

b) 159 (0);

128 (0);

60 (4);

1016 (0);

1561 (4)

c)

56 (0);

115 (2);

105 (0);

147 (6);

655 (4)

d)

63 (0);

111 (0);

500 (3);

677 (0);

111 (1)

e)

71 (4);

71 (7);

57 (4);

921 (4);

125 (0)

a) 125 Ft;

b) 745 Ft-ja van;

d) 3570 : 7 = 510 (0);

c) nem, 143 nem osztható 5-tel; e) 940 · 5 = 4700 27

Az összeg és a különbség osztása 111.

a) (36 - 16) : 4 = 36 : 4 - 16 : 4 = 5 b) (24 500 - 3500) : 7 = 24 500 : 7 - 3500 : 7 = 3000 (Ft) c) (5720 + 2280) : 8 = 5720 : 8 + 2280 : 8 = 1000 (Ft)

112.

a) (156 + 204) : 6 = 360 : 6 = 60; 156 : 6 + 204 : 6 = 26 + 34 = 60 b) (2015 + 410) : 5 = 2425 : 5 = 485; 2015 : 5 + 410 : 5 = 403 + 82 = 485 c) A természetes számok körében csak a következõ terv szerint végezhetjük el a számítást: (6506 + 3318) : 8 = 9824 : 8 = 1228 d) (456 - 234) : 3 = 222 : 3 = 74; 456 : 3 - 234 : 3 = 152 - 78 = 74 e) (4185 - 918) : 9 = 3267 : 9 = 363; 4185 : 9 - 918 : 9 = 465 - 102 = 363 f) A természetes számok körében csak egy terv szerint számítható ki: (6506 - 4931) : 5 = 1575 : 5 = 315 A következõ három feladatban csak egyféle terv szerint számolhatunk: g) 4536 : (6 + 2) = 4536 : 8 = 567 h) 225 : (3485 - 3480) = 225 : 5 = 45 i) Nem értelmezhetõ a nullával való osztás.

113.

a) 148 · 4 = (150 - 2) · 4 = 600 - 8 = 592; 96 : 4 = (100 - 4) : 4 = 25 - 1 = 24; 2985 : 5 = (3000 - 15) : 5 = 600 - 3 = 597 b) 72 · 81 + 28 · 81 = 100 · 81 = 8100; 68 : 4 - 28 : 4 = 40 : 4 = 10; 1896 : 8 - 16 : 8 + 120 : 8 = 2000 : 8 = 250

114.

a) 32; 64; 80; 88; 92; 94; ... b), c) 32; 40; 44; 46; 47; 47 és

28

1 2

Osztás többjegyû osztóval 115.

15 : 3 = 150 : 30 = 1500 : 300 (= 15 000 : 3000 ...) = 5

116.

27 : 3 = 270 : 30 = 2700 : 300 = 27 000 : 3000 = 9 (a maradék 0) 29 : 3 = 9; 2

117.

290 : 30 = 9; 20

a) 96'7 : 23 = 4.;

2900 : 300 = 9; 200

2940 : 300 = 9 240

becslés: 40 < hányados < 50, maradék < 23; hányados (h) = 42, maradék (m) = 1;

568 : 41, 630 : 15,

h = 13, h = 42,

m = 35; m = 0;

745 : 25, 632 : 28,

h = 29, h = 22,

m = 20; m = 16

b) 745 : 68, 560 : 28, 635 : 27,

h = 10, h = 20, h = 23,

m = 65; m = 0; m = 14

808 : 39, 984 : 48,

h = 20, h = 20,

m = 28; m = 24;

c)

456 : 63, 6052 : 79, 7000 : 63,

h = 7, h = 76, h = 111,

d) 46'52 : 18 = 2..; 2328 : 76, 6784 : 48, 118.

294 : 30 = 9; 24

h = 30, h = 141,

m = 15; m = 48; m=7

2368 : 45, 6409 : 52,

becslés: 200 < h < 300, h = 258, m = 8; m = 48; m = 16;

8200 : 39, 3565 : 71,

h = 52, h = 123,

m = 28; m = 13;

m < 18; h = 210, h = 50,

m = 10; m = 15

a) 207 Ft-ba. b) 365 Ft-ot (és megmaradt 15 Ft); felesleges adat: 11-es találat. c) 750 : 25 = 30 (db-ot).

d) 58 Ft-ja.

e) (65 000 - 1200) : 425 = 150 (Ft) és maradt 50 Ft. f) 74 000 : (310 + 60) = 200 (db-ot). 119.

a) Becslés: 120 000 : 80 = 1500 (zsák). 1576 zsákot teletölthettek és az 1577. zsákba 72 kg jut. A további feladatokban is becsüld meg az eredményt! Itt csak a kiszámított értékeket adjuk meg. b) 10 080 perc = 168 óra = 7 nap. c) Csaba 3 km 450 m hosszú utat 6273 lépéssel tesz meg. (345 000 : 55 = 6272) 40

6273 lépést 2091 · 2 másodperc = 4182 másodperc » 70 perc alatt tesz meg. 29

d) A csõ átmérõje felesleges adat. 275 csõre van szükség. A 275. csõbõl csak 12 m-es darab kell. e) 17 és fél percig esett az esõ. A fél perc a 60-nal való osztás maradékából, a 30 másodpercbõl adódik. 120.

a) Becslés: 240 · 20 = 4800 < 6480 < 240 · 30 = 7200; A vég 27 méter hosszú.

20 < h < 30

b) Egy lap szélességû járdához 10 654 lap, két lap szélességû járdához 21 308 lap kell. Megvizsgálhatjuk, hogy ha a lapok között fél centiméteres rést hagynak ki, akkor kb. hány lappal kell kevesebb. (Körülbelül 200 lappal.) c) Egy hét alatt 27 535 Ft-ot keresett.

d) 696 Ft az órabér.

e) Egy-egy rész 506 kg. A maradék 32 kg = 32 000 g.

32 000 g : 78 » 410 g

f) x · 57 < 17 625;

17 625 : 57 = 309; 12

x = 309

g) x · 87 < 36 550 < x · 88;

36 550 : 87 = 420; 10

x = 420;

10-zel több.

A mûveletek sorrendje 121.

a) (7800 + 13 200) : 30 = 700 (Ft) b) 645 · 20 + 600 · 8 = 18 340 (Ft-ot) Ha nem volt szökõév, mert akkor még 645-tel (vagy 680-nal) többet.

122.

123.

30

I.

II.

III.

Összehasonlítás

a)

110

62

110

I. = III. > II.

b)

66

66

2

I. = II. > III.

c)

1000

1190

390

III. < I. < II.

d)

10 000

73

43

I. > II. > III.

e)

136

3

48

I. > III. > II.

f)

496

121

136

I. > III. > II.

a) 970; 890;

b) 81; 6;

c) 983; 5285;

d) 1315; 1770;

e) 752; 13 706; 768; 976;

f) 18 585; 905; 1489; 921

Gyakorlófeladatok 124.

a) Ötezer-háromszázhetvenhét; százötvenhat; háromszázötvenhatezer-nyolcszázkilencvenhárom; százhetven; huszonháromezer-kilencszázöt; tízezer-nyolcszázhárom; ezerkilencszázkilencvenöt. b) 4030;

590 305;

2002;

3 000 630;

1 000 000

2002 < 4030 < 590 305 < 1 000 000 < 3 000 630 c) Legnagyobb: 964; 125.

a) 606 820; b) 460;

606 800;

500;

c) 10 000;

legkisebb: 103

0;

10 000;

607 000;

610 000

0 10 000;

10 000

14 500, 15 499;

0, 49;

126.

305, 314;

127.

Az 1, 0, 9, 6 számkártyákból 18 négyjegyû szám rakható ki. Ezek:

1069; 6019; 9016;

1096; 6091; 9061;

1609; 6109; 9106;

15 000, 24 999

1690; 6190; 9160;

1906; 6901; 9601;

1960; 6910; 9610

A legkisebb páros szám közülük: 1096 A legnagyobb páratlan szám: 9601 128.

a) b) a)

129.

b)

a) 27 202;

b) 36 635;

c) 60 898;

d) 102 271;

e) 357 032;

f) 31 067 31

130.

131.

a) 3222;

b) 53 222;

c) 6111;

d) 3554;

e) 8848;

f) 59 115;

g) 2912;

h) 51 123;

i) 25 236

a) 10 710;

b) 529 032;

c) 415 415;

d) 117 488;

e) 21 480;

f) 108 360;

g) 546 720;

h) 285 150;

i) 135 600;

j) 1 483 424;

k) 1 041 600;

l) 710 600;

m) 14 742;

n) 365 466;

o) 2 848 479;

p) 1 381 089 132.

Hányados: h; maradék: m a) h = 8,

m = 26;

b) h = 117, m = 57;

c) h = 60,

m = 25;

d) h = 37,

m = 26;

e) h = 67,

f) h = 14,

m = 32;

g) h = 14,

m = 83;

h) h = 864, m = 44;

i) h = 4,

m = 29;

j) h = 67,

m = 2;

k) h = 31,

l) h = 2561, m = 4;

m) h = 15, m = 37;

m = 29;

m = 30;

n) h = 2099, m = 63;

o) h = 29,

m = 618;

p) h = 52, m = 5190 133.

a) 7780; 4740;

b) 980 600; 200 500;

c)

d) 7 030 000; 690 000;

334 000; 1 037 000;

e) h = 400, h = 311,

m = 2; m = 0;

f) h = 520, h = 100,

m = 0; m = 5;

g) h = 140, h = 40,

m = 0; m = 0;

h) h = 300, h = 140,

m = 400; m=0

134.

Száz- Tíz- Milliós milliós milliós

Százezres

Tízezres

Ezres Százas Tízes

a)

3 32

Egyes

3

6

3

6

0

3

6

0

0

3

6

0

0

0

6

0

0

0

0

Száz- Tíz- Milliós milliós milliós

Százezres

Tízezres

Ezres Százas Tízes

Egyes

1

8

0

2

5

0

0

1

3

0

0

2

5

0

0

0

4

0

0

0

0

4

8

2

0

0

0

6

0

0

0

0

0

b)

135.

136.

a) 28 + 34;

b) 34 - 28;

c) 28 - 13;

d) 32 - 28;

e) 34 - 29;

f) 18 £ x £ 32

a) 190 + (190 - 35) = 345 (Ft) b) A nyitott mondat lehet: 145+ x = 280

135 Ft-ot kell még gyûjteni.

c) Szükséges adatok: Katinak van 3100 forintja; a labda ára 650 Ft; a társasjáték 1970 Ft. Felesleges adat nincs. 3100 > 650 + 1970, ezért Katinak nem kell pénzt kérnie a szüleitõl. d) x = 258 · 145;

x = 37 410 Ft-ot kaptak.

e) (500 - 200) : 2 = 150 Az 500 Ft-ból az egyik gyerek 150, a másik 350 Ft-ot kapott. 137.

a) Ha a résztvevõk száma százas pontosságú, akkor a tanulók számát is százasokra kerekítjük. 2500 - 800 = 1700 a felnõttek száma. b) A liftbe hatan szállhatnak be.

76 » 80;

500 : 80 » 6

c) (130 000 Ft + 150 000 Ft) · 12 = 3 360 000 Ft Az évi jövedelem: 3 360 000 Ft 138.

139.

a) 15 m 8 cm = 1508 cm;

30 400 mm = 30 m 40 cm

b) 40 dm 50 mm = 4 m 5 cm;

605 cm = 6 m 50 mm

c) 7 km 50 m = 7050 m;

4360 m = 4 km 360 m

a) 35 kg 4 dkg = 3504 dkg;

25 300 g = 25 kg 30 dkg

b) 450 dkg = 4 kg 500 g;

1508 dkg = 15 kg 80 g 33

140.

a) 5 nap 6 óra = 126 óra;

50 óra = 2 nap 2 óra = 3000 perc

b) Fél óra = 30 perc = 1800 másodperc c) 1év » 52 hét;

3 (normál) év 100 nap = 1195 nap

Nem tízes alapú számrendszerek B1.

a) A babszemek száma a leltár alapján: 125 · 1 + 25 · 0 + 5 · 4 + 1 · 3 = 125 + 20 + 3 = 148 b) 148 hatosával csoportosítva: 36 · 4 + 6 · 0 + 1 · 4 = 404Å

B2.

B3.

a = 5;

b = 54;

c = 109;

e = 33;

f = 31;

g = 127

128

64

1 B4.

0

a) 0 = 0Â;

16

8

4

2

1

1

0

1

0

10

1

0

0

0

1

17

1

0

0

0

0

0

32

1

0

0

0

0

1

33

1

1

1

0

1

1

59

0

0

0

0

0

1

129

1 = 1Â;

2 = 2Â;

4 = 11Â;

5 = 12Â;

7 = 21Â;

8 = 22Â;

9 = 100Â;

10 = 101Â;

11 = 102Â;

12 = 110Â;

13 = 111Â;

14 = 112Â;

15 = 120Â;

16 = 121Â;

17 = 122Â;

18 = 200Â;

19 = 201Â;

20 = 202Â

c) 0;

1;

d) 322Ä;

három, 2;

kilenc,

3;

10020Â;

4;

huszonhét,

223Å

a) 73 = 64 + 8 + 1 = 1001001Á; Összehasonlítás:

nyolcvanegy

5

73 = 64 + 2 · 4 + 1 = 1021Ã

34

3 = 10Â;

6 = 20Â;

b) Egy,

B5.

32

d = 64;

b) 1101111Á;

157Ç

Összehasonlítás:

c) 1A9 ; 11C ; d) g = 26;

ahol A = 11, C = 13

h = 396;

i = 133;

j = 51 442

Törd a fejed! B6.

A = {3 többszörösei} B = {5 többszörösei}

K: 0; 15; 30 L: 3; 6; 9; 12; 18; 21; 24; 27; 33; 36; 39 M: 5; 10; 20; 25; 35; 40 N: 1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 22; 23; 26; 28; 29; 31; 32; 34; 37; 38 B7.

a)

B8.

A: hamis B: hamis

b)

35

B9.

A = {Páratlan számok} B = {10-zel osztható számok} C = {Páros számok} D = {10-zel nem osztható számok}

B10.

9; 108; 1 107; 11 106; 111 105; 1 111 104; 11 111 103; 111 111 102; 1 111 111 101;

B11.

a) x = 5784 + 4278 » 5800 + 4300 = 10 100;

b) 111 111; 222 222; 333 333; 444 444; 555 555; 666 666; 777 777; 888 888; 999 999;

c) 100 000; 150 000; 200 000; 250 000; 300 000; 350 000; 400 000; 450 000; 500 000 x = 10062;

5744 + 4278 = 10 062 - 40; 5284 + 5278 = 10 062 + 500 b) y = 8524 - 3462 » 8500 - 3500 = 5000;

y = 5062;

8494 - 3462 = 5062 - 30; 8524 - 3262 = 5062 + 200; 6524 - 1462 = 5062; 8724 - 3662 = 5062; 8504 - 3492 = 5062 - 50 B12.

Becslés: 4800 · 25 » 5000 · 25 = 125 000 4800 · 25 = 4000 · 25 + 800 · 25 = 120 000 480 · 25 = 120 000 : 10;

B13.

157'50 : 25 = 6 . . ;

4800 · 50 = 120 000 · 2;

600 < h < 700

a = 157 500 : 25 = 6300 b = 15 750 : 75 = 630 : 3 = 210 c = 157 500 : 250 = 630 B14.

36

48 · 2500 = 120 000

B15.

a) 5300 - (2300 + 1800) = 1200;

b) (5300 - 2300) + 1800 = 4800;

c) 5300 + (2300 - 1800) = 5800 B16.

B17.

6 · 7 = 42;

32 : 4 = 8;

96 : 8 = 12

a) 26 + 9 · 3 = A;

11 + 6 · 7 = A;

41 + 96 : 8 = A;

45 + 32 : 4 = A

b) 67 - 6 · 7 = B;

33 - 32 : 4 = B;

37 - 96 : 8 = B;

52 - 9 · 3 = B

c) 32 : 4 - 5 = C;

96 : 8 - 9 = C;

6 · 7 - 39 = C;

9 · 3 - 24 = C

A = 53;

C=3

a) c) (

B18.

9 · 3 = 27;

B = 25;

+ 2 · 5 = 70; + 2) · 5 = 70;

= 60;

b)

· (2 + 5) = 70;

= 10

= 12;

d)

· 2 + 5 = 70;

= 32 és fél

a) (650 · 2 + 100) : 2 = (1300 + 100) : 2 = 700 b) (650 + 100) · 2 : 2 = 750 · 2 : 2 = 750 c) (650 : 2 + 100) · 2 = (325 + 100) · 2 = 850

B19.

Mindketten ugyanannyit költöttünk. (1200 + 1800 + 4000) + (3000 + 1500) = 7000 + 4500 = = 11 500 (Ft-ért vásároltam.) (1200 + 1800) + (4000 + 3000 + 1500) = 3000 + 8500 = = 11 500 (Ft-ért vásárolt Pista.) (Az összeg tagjai tetszés szerint csoportosíthatók.)

B20.

a) d = 0;

B21.

a) 0;

6;

12;

18;

24;

30;

36;

42;

48

b) 1;

7;

13;

19;

25;

31;

37;

43;

49

c) 2;

8;

14;

20;

26;

32;

38;

44;

50

d) 3;

9;

15;

21;

27;

33;

39;

45

e) 4;

10;

16;

22;

28;

34;

40;

46

f) 5;

11;

17;

23;

29;

35;

41;

47

b) e bármely természetes szám lehet;

c) f = 34

g), h) 6-tal osztva 6, illetve 7 maradék nem lehet, mert abban még egyszer megvan a 6. A maradéknak kisebbnek kell lenni az osztónál. B22.

a) 5 t = 5000 kg; 7 t 25 kg = 7025 kg; 5 tized t = 500 kg (1 tized t = 1000 kg : 10)

13 t 13 kg= 13 013 kg;

b) 20 kg = 2000 dkg; 3 t 2 kg = 3002 kg = 300 200 dkg; negyed kg = 100 dkg : 4 = 25 dkg; 3 negyed kg = 75 dkg 37

B23.

c) 300 cm = 3 m; 6000 cm = 60 m;

300 dm = 30 m; 250 dm = 25 m;

2000 mm = 2 m; 250 cm = 2 és fél m

d) 1000 dkg = 10 kg; 3500 g = 3 és fél kg

2000 g = 2 kg;

3400 dkg = 34 kg;

a) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Az ismert adatok segítségével a mennyiségeket szakaszokkal ábrázolhatjuk. Az ismert és az ismeretlen adatokat táblázatba foglalhatjuk:

Csomag

Doboz

Rendeltek

35

?

Leszállítottak

?

1344

Késõbb szállítják

7

?

A megoldás lépései lehetnek: (1) (2) (3) (4)

Leszállítottak (35 - 7 =) 28 csomagot, ez 1344 doboz. Egy csomagban (1344 : 28 =) 48 doboz van. A rendelt mennyiség (35 · 48 =) 1680 doboz. Ellenõrzés például: késõbb szállítanak 48 · 7 = 366 dobozt, 1344 + 336 = 1680 doboz.

b) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Most is segíthet a rajz, a mennyiségek szakaszokkal való ábrázolása.

A megoldás lépései lehetnek: (1) (2) (3) (4)

3 autóra fér (8 + 1 =) 9 t burgonya. 1 autóra 3 t fér. Az elszállított burgonya (5 · 3 + 8 =) 23 tonna. Ellenõrzés: 8 · 3 - 1 = 23

c) Hiányzik a lánc hossza, nem oldható meg a feladat. d) A gyerekek életkora felesleges adat. Mivel nem tudjuk, hogy a harmadik gyerek milyen munkatempóval ás, ezért csak azt mondhatjuk, hogy 4 óránál kevesebb idõ szükséges a kert felásásához. e) 1 km-t körülbelül 50 másodperc alatt teszünk meg. A 102 km-t 5100 másodperc = 85 perc alatt tesszük meg. 38

Tudáspróba 141. 1.

407 605;

2.

560 782 » 560 780;

3.

0<x £ 9

4.

a) 7 m 8 cm = 708 cm = 7080 mm;

34 500 mm = 34 m 5 dm

3 pont

b) 4 t 5 kg = 4005 kg = 400 500 dkg;

405 dkg = 4 kg 50 g

3 pont

c) 1 nap 12 óra = 36 óra = 2160 perc;

75 óra = 3 nap 3 óra

3 pont

5.

7 000 056

2 pont 560 782 » 560 800;

560 782 » 561 000

3 pont 2 pont

x = 6343 - 2857 » 6300 - 2900 = 3400 x = 3486 y = 6517 · 51 » 6500 · 50 = 325 000 y = 332 367

Ellenõrzéssel: 3 pont Rövidített szorzás esetén: 3 pont

z = (5428 + 3571) · 18 » » (5400 + 3600) · 20 = 180 000 z = 161 982

Mûveleti sorrend: 1 pont Becslés: 2 pont Számítás: 2 pont

w = 5648 : 27; becslés: 200 < w < 300 w = 209; maradék 5

2 pont Számítás: 2 pont Ellenõrzés: 2 pont

6. 2 pont 2 pont 7.

a) 1 fõ 585 Ft 18 fõ x Ft _______________ x = 585 · 18 » 600 · 20 = 12 000; x = 10 530

x < 12 000;

Az eredmény összhangban van a becsült értékkel. 10 530 Ft-ot kaptak összesen. b) 570 : 45 = 12;

5 pont

12 pogácsát vehet, és marad 30 Ft-ja. Ellenõrzéssel: 5 pont

39

2. GEOMETRIAI ALAKZATOK

Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal 1.

a) Test.

b) Test (esetleg gömbtest).

c) Vonal, ha eltekintünk a vastagságától, ellenkezõ esetben test. d) Felület (sík).

e) Test (téglatest).

f) Felület (gömbfelület).

g) Vonal. Ha végesnek gondoljuk, akkor szakasz, ha végtelennek, akkor egyenes. h) Vonal, ha a vastagságától eltekintünk. 2.

Szakasz

AB

CD

EF

GH

MN

EP

PF

GP

PH

Mérés (mm)

35

11

107

35

53

56

51

11

24

1 mm-es eltérés nem számít hibának. 3.

a) A Q pont mindkét félegyeneshez hozzá tartozik. b) Lásd a tankönyv 76. oldalának utolsó három ábráját.

Egyenesek kölcsönös helyzete 6.

A pontok az adott egyenestõl 2 cm távolságra lévõ párhuzamos egyenespáron vannak.

7.

a) A két szívószál párhuzamos egymással. Kétféleképpen helyezhetõ el a második szívószál. b) A térben végtelen sokféleképpen helyezhetõ el a második szívószál úgy, hogy párhuzamos legyen a padra letett szívószállal.

40

8.

9.

a) s párhuzamos p-vel

(s | p)

b) f merõleges p-re

(f ^ p)

c) k párhuzamos f-fel

(k | f )

k merõleges s-re k merõleges p-re

(k ^ s) (k ^ p)

Síkidomok, sokszögek 10.

Csoportosítási szempontok lehetnek például: Egy határvonala van (1., 4., 5., 6., 7., 8.). A végtelenbe nyúlik, nem korlátos (4., 8.). Csak egyenes szakaszok határolják (1., 2., 4., 6., 7.). Félegyenesekbõl áll a határvonala (8.). Tengelyesen tükrös (1., 3., 5., 8.).

11.

a) Az a oldallal szemközti oldal a c. b) Az a oldallal szomszédos oldalak a b és a d oldal. c) Az A csúccsal szemközt a C csúcs van. A két csúcsot átló köti össze. d) K = a + b + c + d = 27 mm + 24 mm + 30 mm + 35 mm = 116 mm = = 11 cm 6 mm = 1 dm 16 mm

12.

A: 1., 4., 6., 7;

B: 1., 2., 4., 6., 8., 10.;

C: 6., 10.;

D: 4., 6., 10.;

E: 4., 6., 10.;

F: 4., 6 41

Egybevágó síkidomok 13.

Egybevágó sokszögek: az 1. és a 2.,

a 4. és a 9.,

14.

b) Elkezdtük a kétszeresre nagyított kép megrajzolását:

c) Elkezdtük a tükörkép megrajzolását. Egybevágó síkidomokat kapunk:

a 5. és a 7.

d) A tükörkép egybevágó az eredeti képpel:

15.

A két négyszög nem egybevágó egymással. Az oldalaik egyenlõk, de az egyikben merõlegesek a szomszédos oldalak, a másikban nem.

Téglalap, négyzet 16.

a) 148 m;

140 m;

b) 74 db;

70 db;

c) 296 » 300;

42

112 m 56 db

280;

224 » 220 lépéssel

17.

A méréssel közelítõ értékeket kapunk, ezért az eredmények mellé odaírtuk, hogy milyen hibahatáron belül elfogadható a kerületre kapott érték. Például, ha K = 65 ± 3 mm, akkor a kerületet 62 mm és 68 mm közötti értéknek mérhetjük.

18.

19.

(1) 79 ± 3 mm;

(2) 69 ± 3 mm;

(3) 70 ± 4 mm;

(4) 56 ± 4 mm;

(5) 65 ± 4 mm;

(6) 81 ± 5 mm;

(7) 68 ± 5 mm;

(8) 47 ± 6 mm;

(9) 66 ± 6 mm;

(10) 48 ± 6 mm

a) 80 cm;

b) 6 m = 60 dm = 600 cm;

c) 252 dm = 2520 cm;

d) 92 cm, ez a téglalap négyzet.

a) 70 · 2 + b · 2 = 350;

b · 2 = 210;

b = 105 cm

b) Nincs ilyen téglalap, mert 2 · 65 mm = 130 mm. A másik két oldalnak 0 cm-nek kellene lennie. c) 15 dm, ez a téglalap négyzet; d) 6 cm,

20.

e) 8 cm,

11 cm;

a) 4 · a = 360 cm;

4 · 15 dm = 60 dm = 6 m

a = 90 cm;

16 cm

b) 1 m 40 mm = 104 cm;

a = 26 cm

A terület mérése, mértékegységei 21.

Ha a területegység 1 rácsnégyzet területe, akkor a téglalapok területe növekvõ sorrendben: (2) 10 egység;

(4) 12 egység;

(1) 15 egység;

(3) 16 egység

Észrevehetõ, hogy a (2) téglalap kerülete a legnagyobb (22 hosszúságegység), ugyanakkor ennek a téglalapnak a területe a legkisebb. A másik három téglalap kerülete egyenlõ, 16 hosszúságegység, a területük mégis különbözõ. Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 43

22.

a) T = 32 területegység. b) A területegységet négyszeresére növeltük, a mérõszám egynegyed részére csökken. T = 8 területegység.

23.

A téglalap oldalai (hosszúságegység): 1 és 7;

2 és 6;

3 és 5;

4 és 4

A téglalapok területe (területegység): 7; 12; 15; 16 Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 24.

Az oldalak növekedése:

A terület növekedése:

2-szeres

(2 · 2 =) 4-szeres

3-szoros

(3 · 3 =) 9-szeres

4-szeres

(4 · 4 =) 16-szoros stb.

25.

26.

a)

b)

c)

d)

K (hosszúságegység)

26

26

34

40

T (területegység)

31

32

32

33

2

2

2

a) 1 dm = 100 cm = 10 000 mm ; 2

2

1 m = 10 000 cm 2

2

2

b) 6 dm = 600 cm = 60 000 mm ; 2

2

16 m = 160 000 cm 2

c) 1 ha = 10 000 m ; 2

9 ha = 90 000 m ; 2

15 ha = 150 000 m 2

2

d) 4 ha 45 m = 40 045 m ; 2

200 000 m = 20 ha 2

2

e) 1 km = 100 ha = 1 000 000 m 2

2

f) 6 km 20 ha = 620 ha = 6 200 000 m

A téglalap területe 2

2

2

27.

a) T = 6 cm = 600 mm

28.

Figyeljük meg a szorzatok változását: 2

a) 315 cm ; 44

2

b) T = 1200 mm = 12 cm

2

b) 630 cm ;

2

c) 945 cm ;

2

d) 1260 cm

29.

2

2

a) 16 200 mm = 162 cm 2

2

2

2

b) 15 000 cm = 150 dm = 1 m 50 dm 2

2

c) 1500 mm = 15 cm 2

2

2

2

d) 21 000 cm = 210 dm (= 2 m 10 dm ) 2

e) 350 000 m = 35 ha 2

2

2

f) 20 000 mm = 200 cm = 2 dm 2

2

g) 3 000 000 m = 300 ha = 3 km 30.

a) 50 cm;

31.

c) T = 42 · 18 m = 756 m ;

b) 120 mm; 2

2

c) 205 m

2

2

2

2

marad: 756 m - 140 m - 52 m = 564 m

Téglatest, kocka 33.

a) Az a négy él merõleges a kiválasztott lapra, amelyek egy pontban döfik a lap síkját. A többi nyolc él párhuzamos a kiválasztott lappal (azok is amelyek rajta vannak a lapon).

b) Négy lap párhuzamos a kiválasztott éllel (két ilyen lapnak metszésvonala ez az él).

c) A kiválasztott két él nem metszi egymást, és nem párhuzamos egymással.

45

Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben B1.

a) A papírlap síkja párhuzamos az asztallap síkjával. (Igaz.) b) A lila rudak hossza 6 cm. A rájuk fektetett papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Néhány 3 cm hosszú világoskék rúdra ráhelyezünk egy lapot. Erre a lapra ráállítunk néhány világoskék rudat, majd rájuk is fektetünk egy lapot. A két papírlap síkja és az asztallap síkja párhuzamos egymással. A felül lévõ papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Az alatta lévõ lap pontjai 3 cm-re vannak a felsõ papírlap, illetve az asztallap síkjától is. c) A negyedik emelet padlósíkján.

B2.

Tekintsük a következõ feladatnál látható ábrát. a) Például az AB élre merõleges a BC, a BF, az AD és az AE él; az AB éllel párhuzamos az AB, az EF, a GH és a CD él; az AB éllel kitérõ élpárt alkot az EH, a DH, az FG és a CG él. b) Például az ABCD lappal párhuzamos az ABCD és az EFGH lap. c) Például az ABCD lappal párhuzamos az AB, a BC, a CD, a DA, az EF, az FG, a GH és a HE él. d) Például az AB éllel párhuzamos az ABCD, az ABFE, az EFGH és a CGHD lap.

B3.

a) A B csúcsban találkozó három él mindegyike merõleges a másik két élre. b) Az ABFE lapra merõleges az ABCD lap, az ADHE lap, a BCGF lap és az EFGH lap. c) Az ABFE lapra merõleges az AD él, az EH él, az FG él és a BC él. d) Az AB élre merõleges a BCGF és az ADHE lap.

46

A téglatest hálója, felszíne 34.

Az a) és a c) kockaháló.

35.

Az összeállítható téglatestek élei és felszíne: 2

(2) 2 cm, 2 cm, 3 cm, A = 32 cm ;

2

2

(4) 2 cm, 3 cm, 4 cm, A = 52 cm

(1) 2 cm, 2 cm, 2 cm, A = 24 cm ;

2

(3) 2 cm, 2 cm, 4 cm, A = 40 cm ; 36.

2

a) 500 mm ;

2

250 mm ;

2

2

3200 cm = 320 000 mm

2500 mm ;

2

2

c) 300 cm = 30 000 mm ; 37.

2

a) A = 112 egység;

2

b) 15 cm ;

205 cm ;

2

b) A = 192 egység;

c) A = 136 egység

1 területegység egy rácsnégyzet területe. 38.

2

b) 248 cm = 2 dm 48 cm ;

2

2

e) 5400 dm = 54 m ;

a) 62 cm ;

2

2

d) 90 dm ;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f) 142 m ; 2

g) 7636 mm = 76 cm 36 mm ; 39.

2

c) 558 cm = 5 dm 58 cm ; 2

2

h) 1090 dm = 10 m 90 dm

a) 7462 mm = 74 cm 62 mm 2

2

2

2

b) 111 760 cm = 11 m 17 dm 60 cm 2

2

2

c) 994 dm = 9 m 94 dm 40.

2

2

a) 24 cm ;

2

b) 96 cm ; 2

2

2

2

c) 2400 cm = 24 dm ;

2

d) 41 334 mm = 4 dm 13 cm 34 mm ; 2

2

2

2

2

e) 1 524 096 mm = 1 m 52 dm 40 cm 96 mm ; 2

2

2

2

f) 18 150 mm = 1 dm 81 cm 50 mm 41.

2 db 4 ´ 3 cm-es lappal kiegészítve 4 ´ 3 ´ 2 cm-es téglatestet kapunk; 2

A = 52 cm .

A téglatest térfogata 42.

Rózsaszín rúdból 4 db - 8 fehér kocka. Világoskék rúdból 9 db - 27 fehér kocka. Piros rúdból 16 db - 64 fehér kocka. Lila rúdból 36 db - 216 fehér kocka. 47

43.

a) 5 · 4 egységkockából épül fel egy réteg. 3 rétegbõl épül fel a téglatest. 5 · 4 · 3 = 60 egységkocka szükséges. b) Az alaplapjára (4 · 3 =) 12 egységkocka fér. (72 : 12 =) 6 egység magas lesz a téglatest. c) A felépíthetõ téglatestek éleinek a hosszúsága: 1 ´ 1 ´ 64 egység;

1 ´ 2 ´ 32 egység;

1 ´ 4 ´ 16 egység;

1 ´ 8 ´ 8 egység;

2 ´ 2 ´ 16 egység;

2 ´ 4 ´ 8 egység;

4 ´ 4 ´ 4 egység, ez kocka 44.

3

a) A felépíthetõ téglatestek térfogata minden esetben 8 cm . b) Éleinek a hosszúsága, illetve felszíne: 2

1 ´ 1 ´ 8 cm;

A = 34 cm ;

1 ´ 2 ´ 4 cm;

A = 28 cm ;

2 ´ 2 ´ 2 cm;

A = 24 cm

2

2

A felépíthetõ, egyenlõ térfogatú téglatestek közül a kocka felszíne a legkisebb. 45.

a) 27-et; (hat vágással darabolható fel). b) 1-szerese; a darabolás során a térfogat nem változik. c)

46.

1 része; minden vágással még két lapnyi új felület képzõdik. Így a kocka 3 felszínéhez még hozzáadódik a kétszerese, ezért az eredeti felszín megháromszorozódik. 3

3

a) 30 cm ;

b) 240 cm ;

3

3

c) 250 dm ;

d) 50 dm ; 3

3

3

e) 27 000 dm = 27 m ; 3

f) 105 m ; 3

3

g) 43 400 mm = 43 cm 400 mm ; 3

3

3

i) 35 640 cm = 35 dm 640 cm ; 47.

3

3

3

3

3

j) 8 000 000 cm = 8000 dm = 8 m

3

a) a · b · c = 3600 cm ; c = 3600 : (a · b); c = 18 cm;

48

3

h) 2100 dm = 2 m 100 dm ;

b) 8 dm;

c) 10 cm = 1 dm;

d) 12 cm;

e) 25 dm = 2 m 5 dm

48.

8 · 8 · 3 = 192 kis kocka fér bele.

6 · 6 · 4 = 144 Kevesebb kis kocka férne bele.

Az ûrtartalom mérése 50.

a) 1 l = 10 dl; 170 dl = 17 l;

100 dl = 10 l; 5 dl = fél l

3

3

3

b) 1 l = 1 dm = 1000 cm ;

1 dl = 10 cl = 100 cm

3

3

1 ml = 1 cm = 1000 mm

d) 5 l = 50 dl = 500 cl = 5000 ml;

300 cl = 30 dl = 3000 cm

3

3

3

e) 500 l = 5 hl = fél m ;

3

20 000 dm = 20 m = 20 000 l

3

3

f) 4 m = 40 hl = 4000 l; 51.

3

c) 1 cl = 10 ml = 10 cm ;

500 hl = 50 000 l = 50 m

fazék: 5 l;

orvosságosüveg: 5 ml;

bögre: 5 dl;

hordó: 5 hl;

kis pohár: 5 cl 52.

a) A vödröt az 1 literes palack segítségével megtöltjük. 3 Az egyliteres palackba 1 dm víz fér. 3

b) Például a félliteres (500 cm -es) bögrét telemerjük a kis pohárral, így megálla3 píthatjuk, hogy a kis pohár térfogata mekkora része az 500 cm -nek. A kavicsot mérõpohárban adott vízbe sûlyesztjük, és megállapítjuk a térfogat növekedését.

49

Gyakorlófeladatok 53.

a) 1 m = 10 dm = 1000 mm = 100 cm;

1 dm = 10 cm = 100 mm

b) 80 dm = 8 m = 800 cm = 8000 mm; 500 cm = 5000 mm = 50 dm = 5 m c) 1 km = 1000 m; 45 000 m = 45 km

2 és fél km = 2500 m;

d) 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml;

1 dl = 100 ml = 10 cl

e) 100 l = 1000 dl = 1 hl;

2500 l = 25 hl = 25 000 dl

3

3

3

f) 1 l = 1 dm = 1000 cm ; 3

250 hl = 25 m = 25 000 l 3

3

g) 40 dl = 4 dm = 4000 cm ;

250 cl = 2500 cm = 25 dl

h) 1 kg = 1000 g = 100 dkg;

250 t = 250 000 kg

i) 2500 g = 2 és fél kg = 250 dkg;

2500 dkg = 25 kg = 25 000 g

j) 1 óra = 60 perc = 3600 másodperc;

1 nap = 24 óra = 1440 perc

54.

a | b;

55.

6 téglalap határolja, 12 éle, 8 csúcsa van. Egy élben 2 lap, egy csúcsban 3 él találkozik. A szemközti téglalapok egybevágók.

a ^ c;

b ^ c;

c | e;

e ^ a;

e ^ b;

a | a;

b|b

stb.

A kockát 6 egybevágó négyzet határolja. A kocka is téglatest, érvényesek rá a fent megfogalmazott összefüggések. 56.

57.

Az egyenesek a papír síkjában vannak. a) b | c;

d ^ b;

d ^ c;

b) a ^ d;

c) b | d;

a ^ c;

a ^ d;

d) Nem rajzolható így meg a négy egyenes.

2

2

a) 700 mm ;

b) 20 000 mm ; 2

d) 13 400 mm ; 58.

2

a) 30 cm ;

60.

c) 1004 cm ;

2

c) 234 dm ;

b) 1200 dm ;

2

e) 650 dm

2

2

2

b) 2 és fél m ; 2

2

2

2

a) 50 m ; d) 5020 m ;

50

2

b) 1200 cm ;

2

d) 207 dm ;

2

c) 1245 mm ;

2

e) 450 cm

a) 300 dm ;

b | d;

e) 20 004 mm

2

d) 307 cm ; 59.

a | c;

2

e) 45 m

2

c) 20 000 m ;

61.

a) a = 6 cm;

62.

a) 6 db-ot;

2

T = 36 cm ;

b) a = 8 cm;

70 cm széles, 10 cm hosszú csík marad.

b) 36 db; 63.

K = 32 cm

c) 20 m, 28 m;

2

T = 560 m 2

2

a) Fedõlappal együtt: A = 2 · (50 · 35 + 50 · 80 + 35 · 80) cm = 17 100 cm

Ha fedõlap nélkül készítjük az akváriumot, akkor tudnunk kell, hogy milyen méretû a hiányzó fedõlap. Ennek a területét nem kell beszámítanunk. Így három megoldást kapunk: 2

15 350 cm ;

2

2

13 100 cm ;

14 300 cm

Mivel a szorzat tényezõi felcserélhetõk, a térfogat értéke mindig ugyanakkora, függetlenül attól, hogy az akváriumnak melyik lapja a fedõlap. 3

3

V = 50 · 80 · 35 = 140 000 cm = 140 dm = 140 l 2

A = 2 · (30 · 15 + 25 · 15 + 30 · 25) mm

b) A testháló lehet például:

2

2

2

A = 3150 mm = 31 cm 50 mm

3

3

V = 15 · 25 · 30 mm = 11 250 mm = 3 3 = 11 cm 250 mm 64.

a) 117 m;

b) K = 12 m 30 cm;

c) K = 100 cm = 10 dm = 1000 mm 65.

2

2

a) T = 27 m = 2700 dm 2

2

2

b) T = 25 000 mm = 250 cm = 2 és fél dm c) 1488 : 24 = 62; 66.

a másik oldal hossza: 62 m

Él (cm)

1

2

2

6

24 54 96 150 216 276 384 486

3

1

8

A (cm ) V (cm )

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

600

726

864

1014

27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197

Ha az élhosszúság mérõszáma megegyezik a lapok számával, akkor A = V. Ha az élhosszúság mérõszáma kisebb 6-nál, akkor A > V, ha az élhosszúság mérõszáma nagyobb mint 6, akkor A < V. 67.

2

b) A labdarúgópálya területe: T » 5000 m = fél ha 51

Törd a fejed! B4.

2 cm-szer 2 cm-es; 2 cm-szer 5 cm-es;

B5.

Öt megoldás van. A téglalapok oldalai és területe:

2 cm-szer 3 cm-es; 3 cm-szer 3 cm-es

2

2

1 cm, 9 cm, 9 cm ;

2 cm, 8 cm, 16 cm ;

2

2

3 cm, 7 cm, 21 cm ;

4 cm, 6 cm, 24 cm ;

2

5 cm, 5 cm, 25 cm

Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. B6.

Az „egyik” oldala legyen a, a másik oldala legyen b. a) és b) feladat megoldása ugyanaz a téglalap is lehet: a = 2 · b vagy a = b : 2 c) a = b + 2 cm d) Így a = 3 · b - 2;

B7.

b>

2 cm. 3

A szorzat változásáról tanultakat alkalmazhatjuk. a) 3-szorosára nõ; b) 4-szeresére nõ; c) felére csökken; d) nem változik.

B8.

2

a) T = 350 dm ,

a = 7 dm,

b = 50 dm;

a = 13 cm,

b = 30 000 cm = 300 m;

2

a = 700 m,

b = 500 m;

2

a = 50 m,

b = 9400 m;

2

a = 12 000 m,

b = 30 m;

a = 43 dm,

b = 7 dm

2

b) T = 390 000 cm , c) T = 350 000 m , d) T = 470 000 m , e) T = 360 000 m , 2

f) T = 301 dm ,

52

B9.

a)

B10.

a) 87 m kerítés kell még.

b)

2

A kert területe: T = 943 m

b) 9 megoldás van. Az udvar két szomszédos oldala, illetve területe lehet: a (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

b (m)

17

16

15

14

13

12

11

10

9

2

17

32

45

56

65

72

77

80

81

T (m )

2

2

c) A szoba: T = 20 m ; d) A fél kerület 11 cm;

2

2

a szõnyeg: 3 · 4 m = 12 m ; a másik oldal 7 cm;

marad: 8 m 2

T = 28 cm

e) (5460 : 52 =) 105 m 2

2

f) T = 58 · 72 m = 4176 m ; 2 görkorcsolyapálya: (4176 : 9 =) 464 m ;

2

füves terület: (464 · 8 =) 3712 m

Ha a görkorcsolyapálya téglalap alakú volt, akkor a másik oldalának hossza: (464 : 16 =) 29 m 2

2

g) (1350 dm : 6 =) 225 m ; a kocka éle: 15 dm (Próbálgatással döntsd el, hogy melyik az a szám, amit önmagával megszorozva 225-ot kapunk!) h) K = (386 mm + 2 · 386 mm) · 2 = 2316 mm = 2 m 3 dm 1 cm 6 mm i) a = 25 cm; b = 50 cm; c = 150 cm; 3 3 3 V = a · b · c = 187 500 cm = 187 dm 500 cm = 187 és fél liter 2 A zárt akvárium felszíne: A = 25 000 cm (1) Tételezzük fel, hogy az akvárium 50 cm magas és felül nyitott: 2 2 2 2 A1 = A - 25 · 150 cm = 25 000 cm - 3750 cm = 21 250 cm (2) Ha az akvárium 25 cm magas és felül nyitott: 2 2 2 2 A2 = A - 50 · 150 cm = 25 000 cm - 7500 cm = 17 500 cm (3) Ha az akvárium 150 cm magas és felül nyitott: 2 2 2 2 A3 = A - 25 · 50 cm = 25 000 cm - 1250 cm = 23 750 cm j) 225 l - 152 l = 73 l marad. 53

B11.

2

a) T = 5076 m ;

b = 108 m 2

b) T = 2 700 000 m = 270 ha; 3240 t füvet kaszáltak le;

ebbõl (3 240 000 : 4800 =) 675 t széna lett.

B12.

A legbelsõ téglalap területe 6 egység. A köré írt négyszög területe 2 · 6 egység = 12 egység. A köré írt négyszög területe mindig 2-szerese az eredeti négyszögnek. Így az öt négyszög területe rendre: 6 egység; 12 egység; 24 egység; 48 egység; 96 egység

B13.

a) 1584 : 24 + 816 : 24 = (1584 + 816) : 24 = 2400 : 24 = 100 A kert hosszúsága 100 m. b) A méréseket milliméter-pontossággal végezzük (1 mm eltérés nem számít hibának). A telek 29 m széles, 57 m hosszú. Az épület alaprajza téglalapokra bontható. Például: 57 · 29 - (31 · 9 + 8 · 8 + 19 · 12) = 1082 2

Az udvar területe: T » 1100 m

2

2

2

c) 5 · (6 + 4 + 7) m + 2 · (17 és fél) m = 120 m B14.

2

a) 30 ha;

b) 289 km = 28 900 ha 2

2

2

1 ha = 100 · 100 m = 10 000 m ; B15.

2

1 km = 10 · 10 ha = 100 ha

2

a) 40 000 m ;

55 000 m

b) 7 ha;

3 és fél ha

2

2

2

2

2 és fél km = 250 ha = 2 500 000 m

2

4 500 000 m = 450 ha = 4 és fél km

c) 1 km = 100 ha = 1 000 000 m

d) 6 km = 600 ha = 6 000 000 m ; 2

e) 3 000 000 m = 300 ha = 3 km ; B16.

54

2

2

2

2

B17.

2

2

a) 70 km ;

b) fél km ;

2

2

c) 2 km ; B18.

B19.

d) fél km

Az összerakott kocka minden éle 2 egység hosszúságú. a) 4-szerese;

b) fele

a) 27-re;

b) V = 27 térfogategység;

c) A = 54 területegység; d) A 27 db egység élhosszúságú kis kockából 3 lapja piros a kocka csúcsain lévõ 8 kis kockának; 2 lapja piros az élek közepén lévõ 12 kis kockának; 1 lapja piros a lapok közepén lévõ 6 kis kockának; 0 lapja piros a kocka közepén lévõ 1 kis kockának. B20.

2

3

2

b) Egy éle 4 cm; B21.

2

a) Egy lapjának a területe (150 cm : 6 =) 25 cm ; egy éle: 5 cm; V = 125 cm A = 96 cm

a) 10 dl;

b) 5 dl;

c) 3 dl;

d) 4 dl 5 cl

B22.

Ha a téglatest minden élét 2-szeresére növeljük, akkor minden lapjának területe (2 · 2 =) 4-szeresére változik, tehát a felszín is 4-szeresére nõ. Ha a téglatest minden éle 3-szorosára nõ, akkor a felszíne (3 · 3 =) 9-szeresére változik.

B23.

1.

B24.

A térben négy egybevágó háromszöget állíthatunk össze:

B25.

Ha a kocka éleit 2-szeresére változtatjuk, akkor a térfogata (2 · 2 · 2 =) 8-szorosára nõ. Ha a kocka éleit 3-szorosára változtatjuk, akkor a térfogata (3 · 3 · 3 =) 27-szeresére nõ.

B26.

a) 2 · 41 m + 2 · x = 126 m;

B;

2.

A;

3.

C

x = 22 m 2

2

b) T = 41 · 22 m = 902 m

55

2

c) Tsz = 2 · 125 · 400 cm ; 2

2

Tsz = 100 000 cm = 10 m d) a = 28 cm;

2

T = 3024 cm ;

b = 3024 : 28 (cm); 3

e) V = 36 m = 36 000 l; B27.

I. megoldás:

T = a · b Þ b = T : a;

100 < b < 200; V = a · b · c;

b = 108 cm 36 = 3 · 4 · c;

Hiányzik 2 db 30 cm-szer 40 cm-es lap.

II. megoldás: Hiányzik 1 db 30 cm-szer 40 cm-es és 1 db 25 cm-szer 30 cm-es lap. I.

II.

B28.

56

c=3m

B29.

A következõ összeállításokból hajtogatható össze kocka:

A következõ összeállításokból nem hajtogatható össze kocka:

57

Képességpróba B30. 1.

Nem jutunk ellentmondásra, ha feltételezzük, hogy Dóra kijelentése hamis, a többi kijelentés igaz. Ebben az esetben csak Berta rajzolhatta a hatszöget. Ha más állításokról tételezzük fel, hogy hamis, akkor még egy hamis állítást találunk, ami nem felel meg a feltételeknek. Például legyen Andi állítása hamis. Ekkor Andi rajzolta vagy a háromszöget vagy a hatszöget. Tehát vagy Cili vagy Dóra állítása is hamis.

2.

a · b = 88 cm ;

2

88 = 11 · 8

2

99 = 11 · 9

a · c = 99 cm ;

a = 11 cm;

b = 8 cm;

c = 9 cm; 2

A = 2 · (a · b + a · c + b · c) = 2 · (88 + 99 + 72) = 518 cm 2

A helyes válasz D: 518 cm 3.

Petra

1 perc alatt 100 · 60 cm = 6000 cm = 60 m utat tesz meg; 30 perc alatt 30 · 60 m = 1800 m-t.

K = 2 · (400 + b) = 1800 m;

b = 500 m

A helyes válasz A: 500 m 4.

10 l = 100 dl; 100 dl víz 10 dl víz 5 dl víz

20 cm magas vízszint; 2 cm magas vízszint; 1 cm magas vízszint

A helyes válasz C: 21 cm 5.

a) 2 · 2 · 2 = 8;

b) 6 · 4 = 24;

c) 12 · 2 = 24;

d) 8;

e) nincs ilyen kis kocka;

f) 64 · 6 cm = 384 cm

2

2

Tudáspróba 68. 1.

A merõleges egyenes megrajzolása, pontosságtól függõen. A párhuzamos egyenes megrajzolása, pontosságtól függõen.

2.

a) 1 m = 100 dm = 10 000 cm = 1 000 000 mm

2

2

2

2

2

2

2

2

b) 50 dm = 5000 cm = 500 000 mm = fél m 58

2 pont 2 pont 3 pont 3 pont

2

2

2

c) 50 ha = 500 000 m = fél km ; 3

15 000 m = 1 és fél ha

3

3

d) 1 m = 1000 dm = 1 000 000 cm ; 3

e) 1 m = 10 hl = 1000 l = 10 000 dl; 3.

3

3

1 cm = 1000 mm = 1 ml 3

15 cm = 15 ml

3 pont 4 pont 4 pont

A kerítés hosszúsága: L = K - 2 m = 2 · (17 m + 48 m) - 2 m = 128 m

3 pont

2

A kert területe: T = a · b = 816 m

2 pont

2

4.

T = a · b = 555 m

5.

T = 27 · b = 3024 cm

1 pont

b = (3024 : 27 =) 112 cm

2 pont

6.

7.

2 pont 2

3

V = a · b · c;

3

3

V = 15 · 20 · 30 dm = 9000 dm = 9 m

3 pont

V = 9000 l = 90 hl

2 pont

A téglatest élei: 15 mm, 20 mm, 30 mm A téglatest hálójának hibátlan felrajzolása.

1 pont 2 pont

2

2

A = 2700 mm = 27 cm 3

3

V = 9000 mm = 9 cm

3 pont 3 pont

59

A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA

Ebben a fejezetben az oldalak alján található feladatok megoldásával foglalkozunk.

1. A természetes számok 11. old.

Ha a vásárolt áru árának utolsó számjegye 3, 4 vagy 6, 7, akkor 5-re „kerekítünk”. Ha az áru árának utolsó számjegye 1, 2 vagy 8, 9, akkor (szabályosan) kerek tízesre kerekítünk. a) 0 Ft;

12. old.

b) 5 Ft;

c) 5 Ft;

d) 10 Ft a visszajáró pénz.

1. Ha bármely kétjegyû számhoz hozzáírjuk fordított sorrendben a számjegyeit, akkor a feltételnek megfelelõ négyjegyû számot kapunk: Például: 1001; 1111; ...; 1991; 2002; 2112; ...; 2992; ...; 9779; 9889; 9999 Tehát a feltételnek 90 db négyjegyû szám felel meg, annyi ahány kétjegyû szám van. 2. 50 000 + 15 000 + 2500 + 350 + 45 = 67 895

13. old.

A gondolt szám 15. Az A állítás hamis.

14. old. 18. old.

105 mm

19. old.

Egy beosztás 5 lépés. A 0-ról indult a teknõs. 150

21. old.

a) Legalább 5 lány szereti az informatikát. b) Legfeljebb 13 lány szereti az informatikát. A lányok halmazát és az I halmazt kell ábrázolnunk.

24. old.

a) 4500;

25. old.

Ha az érmék azonos tömegûek lennének, akkor egyenlõ lenne a két összeg. Mivel a 10 Ft-os könnyebb, így ebbõl több van, tehát a 20 dkg 10 Ft-os ér többet.

26. old.

100 < x < 200; 159 a legkisebb és 195 a legnagyobb ilyen szám. A helyes válasz C. Öt ilyen szám van: 159; 168; 177; 186; 195

28. old.

A B a hibás kerekítés. A: tízezresre;

29. old.

b) 0;

C: tízesre;

c) 1

D: ezresre kerekítettünk.

a) 1 öl = 6 láb; 1 láb = 12 hüvelyk; 1 hüvelyk = 12 vonás 1 öl » 1896 mm (Magyarországon) b) 1 line (ejtsd lájn) » 0,635 mm (angol vonal) 1 inch (ejtsd incs) = 40 line » 25,4 mm (angol hüvelyk) 1 foot (ejtsd fut) = 12 inch » 304,8 mm (angol láb) 1 yard (ejtsd jard) » 0,9 m 1 mile (ejtsd májl) = 1760 yard » 1609 m (angol mérföld)

30. old.

Anikó és Cili távolsága legalább 1 m, legfeljebb 7 m. Állhatnak egymástól 5 m-re, ha egy derékszögû háromszög három csúcsán állnak és Bea áll a derékszögû csúcson.

32. old.

a) A tömegmértékegységek helyenként eltértek egymástól: 1 font » 0,55 kg (0,38-0,61 kg határok között változott); 1 lat » 1,6 dkg (1,40-1,95 dkg határok között változott) Régi értelmezés szerint a mázsa nem 100 kg-ot jelentett: 1 mázsa 100-144 font között (49-75 kg határok között) változott. A XIX. század végétõl 1 mázsa (métermázsa) = 100 kg; jele 1 q. b) Néhány példa: Amerikában 1 stone » 6,35 kg. Angliában 1 pound » 45,4 dkg (angol font); a jele lb (a latin libra után). 1 ton » 1016 kg, de a rövid tonna csak 2000 font » 907 kg. Például Angliában az ékszerészek és a patikusok különbözõ mértékegységeket használnak. Az interneten keress további mértékegységeket! 151

33. old.

1B = 7D

34. old.

Minden esetben rosszul számolt. Minden esetben a helyiértékekkel és a helyiértékváltással volt gondja.

35. old.

100-zal, illetve 900-zal kisebb tagokat adott össze. Ezért az eredmény 1000-rel kevesebb a ténylegesnél. Az összeg helyesen: 6746

36. old.

1. a) A kivonandót 100-zal növelte, így a különbség 100-zal kisebb lett. A helyes különbség: 3556 b) A kisebbítendõt 100-zal növelte, így a különbség 100-zal több lett. A különbség helyesen: 3356 2. a) 52

37. old.

60

b) 40 18 44

48 40 32

38 34 30

22 20 18

20 72 28

24 50 28

15 28 17

d) 85 30 95

e) 25 14 27

80 70 60

24 22 20

45 110 55

17 30 19

8

c)

23 12 25

Nem állapítható meg az adatokból. Valószínûleg 36 kg-nál kevesebb volt a tömege.

38. old.

39. old.

Elõfordulhat, hogy Budapest különbözõ területein más-más hõmérsékletet mérnek. Azt mondhatjuk, hogy körülbelül 30 °C volt Budapesten. A Meteorológiai Intézet az egyes mérõállomásokon mért hõmérsékleteket közli.

152

40. old.

1. Ha egy kétjegyû számból kivonjuk a számjegyeinek összegét, akkor 9-cel osztható kétjegyû számot kapunk: (10a + b) - (a + b) = 9a Ezután már olyan számokból vonunk ki, amelyek szintén oszthatók 9-cel és 99-nél kisebbek. Így a számjegyek összege innentõl mindig 9 lesz, ezt vonjuk ki. Végül 9-et kapunk. 2. A nagyobbik szám a másiknak 10-szerese. A kivonás után a kisebbik szám 9-szeresét kapom. A kisebbik szám: 1458 : 9 = 162; a nagyobbik: 1620 3. Csak az életkorok összege (a 110 év) szükséges a feladat megoldásához. Az életkorok összege 5 évvel ezelõtt 4 · 5 = 20 évvel kevesebb, 90 év volt. 110 - 4 · 5 = 90

41. old.

Ha egy számot 2-vel és 5-tel szorzunk, az 10-zel való szorzást jelent, ezt a számot 10-zel osztva a gondolt számot kapjuk. Ha 0-ra gondolunk, akkor Virágnak van igaza.

43. old.

A helyes válasz D: 3 · 4 = 12 eset van, hiszen nem a bejárattól, hanem az elsõ terembõl kell a harmadikba jutnunk.

44. old.

1. A = 45 · 1000 - 45 B = 25 · 120 = 25 · (4 · 30) = (25 · 4) · 30 = 100 · 30 C = 125 · 88 = 125 · (8 · 11) = (125 · 8) · 11 = 1000 · 11 D = 200 · 50 - 50 2. 86 db 1-es, valamint 2 db 2-es és 2 db 5-ös. 1 · 1 · ... · 1 · 2 · 2 · 5 · 5 = 100 ; 1 + 1 + ... + 1 + 2 + 2 + 5 + 5 = 100 14243 1442443 86 db 1-es 86 db 1-es

45. old.

Az A becslés a hibás. Helyesen: 600 · 800

46. old.

Ugyanannyi ideig, azaz 42 percig.

47. old.

48. old.

A két idõ azonos: 85 perc = 1 óra 25 perc 153

49. old.

Sok lehetõség van. Például: Gépkocsival 7 óra 40 perckor indultunk el a 90 km-re lévõ nyaralóhoz, és 9 órakor érkeztünk oda. Átlagosan hány kilométert tettünk meg egy óra alatt?

50. old.

Olyan 5-tel osztható számot keresünk, amelybõl 1-et elvéve 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal osztható számot kapunk. A helyes válasz: D

51. old.

1 ´ 144 = 2 ´ 72 = 3 ´ 48 = 4 ´ 36 = = 6 ´ 24 = 8 ´ 18 = 9 ´ 16 = 12 ´ 12 Nyolcféle különbözõ méretû téglalap rakható ki.

52. old.

1.

Ismétléssel újabb megoldásokat kapunk, például: 102 564 102 564 2. Minden 8.-nál ismétlõdik az állás és minden 5.-nél ismétlõdik a szín. A 150. ábra: fekete í 53. old.

Nem oldható meg ezekbõl az adatokból. Nincs olyan összefüggés az idõpont és a lehullott csapadék mennyisége között, amely alapján válaszolhatnánk a kérdésre.

55. old.

A helyes válasz B: a 9. nap 40 araszra a kút aljától indul, a nap végére kiér, már nem csúszik vissza.

56. old.

A lehetséges számjegyek: 1; 3; 5; 7; 9

57. old.

A helyes válasz C: 5 Egy nem szökõ év 52 hét + 1 nap, tehát egy évben 52 vagy 53 csütörtök van. Mind a 12 hónapban legalább 4 csütörtök van, 5-nél több viszont nem lehet. Az így adódó 48-on túl fennmarad 4 vagy 5 csütörtök, amelyek föltétlenül különbözõ hónapokra esnek. Tehát legfeljebb 5 olyan hónap lehet egy évben, amelyben 5 csütörtök van.

58. old.

Ha a móló is úszik a vízen, akkor egyiknek sem éri el a felsõ peremét a víz. Ha a móló a fenékhez rögzített, akkor a vízbõl kint lévõ része csökkenni fog, a felsõ peremét 25 óra alatt éri el a vízszínt. A hajó pedig úszik a vízen, így annak állandó lesz a víz feletti magassága.

59. old.

154

Rosszul számolt mindkét esetben. Becsléssel ki lehet szûrni ezt a hibát. Az elsõ esetben 10-es, a második esetben 100-as nagyságrendû az eredmény.

60. old.

61. old.

A második zárójelben 200 - 8 · 25 = 0, így a szorzat is 0.

62. old.

1. 1 földi nap =

24 neptunuszi nap = 1,5 neptunuszi nap 16 60 223 · 1,5 » 90 335 1 neptunuszi év 90 335 neptunuszi nap. Más tervvel számolva: 60 223 · 24 = 1 445 352 földi óra egy neptunuszi nap. 1 445 352 : 16 » 90 335

2. A négy számjegy összege: 3 + 5 + 7 + 9 = 24 Mindegyik számjegy minden helyiértéken 6-szor fordul elõ. Így az összes kirakható szám összege: 6 · 24 · 1000 + 6 · 24 · 100 + 6 · 24 · 10 + 6 · 24 · 1 = = 144 000 + 14 400 + 1440 + 144 = 159 984 3. A 320 m felesleges adat. A Süni elõnyének csökkenése 1 másodperc alatt: 105 dm - 5 dm = 100 dm = 10 m 30 másodperc alatt a Süni elõnyének csökkenése: 30 · 10 m = 300 m 30 s múlva 1500 dm = 150 m lesz a süni elõnye. 64. old.

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 Az elsõhöz 11 próbálkozás kell a legrosszabb esetben, mert a maradék 1 már biztos, hogy az elsõ lakatba való. Az utolsó 2 lakatnál elég 1 próbálkozás.

65. old.

132 óra = 5,5 nap 1 nap 12 óra, így 132 óra múlva éjfél lesz, tehát nem fog sütni a Nap. 2 Az Északi-sarkon nyáron hónapokig nem nyugszik le a Nap, így ott elképzelhetõ, hogy süt a Nap a kérdéses idõpontban.

68. old.

155

69. old.

Igen, a 2-es számrendszerben 10Á = 2. Tehát valóban két fajta ember van, aki ismeri és aki nem ismeri a bináris számokat.

70. old.

A szemben lévõ lapokon a számok összege mindig 7. Tehát a látható lapokon lévõ számok összege: 5 + 5 · 14 = 75 A D a helyes válasz.

72. old.

a) 24 : (40 - 4 · 4) = 1 b) (20 - 4 · 4) · 40 = 160 c) 4 · (4 + 36) : 40 = 4 d) (56 - 4 · 4) · 10 = 400 e) 40 : 4 + (4 + 26) = 40 f) (16 + 4) · (4 - 2) = 40 g) 30 · 4 : (4 + 26) = 4 h) 40 - (4 : 4 + 25) = 14

73. old.

1. Most a férõhelyeket téglalappal ábrázoljuk:

Ha egy-egy padra nem 5-en, hanem 1-gyel többen, 6-an ülnek, akkor a férõhelyek száma 100-zal több, ehhez pontosan 100 pad szükséges. A nézõk száma: 5 · 100 + 98 = 598 Ellenõrzés: 6 · 100 - 2 = 598 2. Például: 112 + 113 = = 74 + 75 + 76 = = 43 + 44 + 45 + 46 + 47 = = 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 = = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = ... = = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 + 17 + 18 + + 19 + 20 + 21 + 22 156

Próbáljunk meg 18 tagú összeget képezni. Kiindulásként írjuk fel 1-tõl 18ig a természetes számok összegét a következõképpen csoportosítva: (1 + 18) + (2 + 17) + (3 + 16) + (4 + 15) + (5 + 14) + (6 + 13) + + (7 + 12) + (8 + 11) + (9 + 10) = 9 · 19 = 171 225 - 171 = 54;

54 : 18 = 3

Ha az elõzõ 18 tagú sorozat mindegyik tagjához 3-at adunk, akkor a feltételnek megfelelõ 18 tagú sorozatot kapunk: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 + 17 + + 18 + 19 + 20 + 21 = 225 Legfeljebb 18 tagból állhat az összeg. 74. old.

A helyes válasz A: 895

2. Geometriai alakzatok 75. old.

A porszem test, van kiterjedése. Ha a porszemet pontnak tekintjük, akkor úgy gondoljuk, hogy nincs kiterjedése.

76. old.

Kiindulhatunk abból, hogy Bálint és Dóra állítása közül az egyik hamis, mert egyszerre mindkettõ nem lehet igaz. Ha a

77. old.

testre gondoltak, akkor csak Bálint állítása hamis.

Például:

Természetesen sok más ötletes megoldás is megrajzolható. 78. old.

Egy szívószál 5 vágással vágható 6 db 3 cm hosszú részre. Tehát 10 vágást kell végrehajtanunk. A térben is építkezhetünk. 157

79. old.

81. old.

Két egymást metszõ kör a síkot 4 részre osztja. Ha valamelyik síkrészen az egyenes áthalad, akkor azt két részre osztja. Ezért legalább 5 részre és legfeljebb 8 részre oszthatjuk így a síkot.

82. old.

a) 13 háromszög látható. b)

9 db 2 kis háromszögbõl álló négyszög látható; 12 db 3 kis háromszögbõl álló négyszög látható; 6 db 4 kis háromszögbõl álló négyszög látható; 3 db 5 kis háromszögbõl álló négyszög látható; 3 db 8 kis háromszögbõl álló négyszög látható.

c) Ha a nagy háromszög oldalainak a közepérõl elveszünk egy-egy gyufát, akkor 6 háromszög látható. 83. old.

1. Tizenhatszög. 2. a) Az oldalak nemcsak a csúcsokban találkoznak. b) Nem záródó töröttvonal. Vannak olyan csúcsai, amelyekhez nem két oldal csatlakozik. c) Két töröttvonal határolja (az egyszerû sokszögnek egy határvonala van). d) A szomszédos oldalak (RM és MN, illetve QP és PO) egy egyenesbe esnek.

158

84. old.

A

85. old.

Öt négyszög egybevágó a zöld (ACEF) négyszöggel. A zöld négyszög saját magával is egybevágó!

és a

kertben bújhattak el egymás elõl.

Nem egybevágó négyszögek például: ABCD; ABCJ; AHIE; AHIJ 86. old.

Az újra és újra kivarrt minták egybevágók. A minták között több tengelyesen tükrös alakzat figyelhetõ meg.

87. old.

Helyes válasz B: 20 m A kert két szomszédos oldala 20 m és 50 m hosszú.

88. old.

a) A látható téglalapok: 13 db kis négyzet; 6 db 4 kis négyzetbõl álló négyzet; 1 db 9 kis négyzetbõl álló négyzet; 18 db 2 kis négyzetbõl álló téglalap; 10 db 3 kis négyzetbõl álló téglalap; 4 db 4 kis négyzetbõl álló téglalap; 1 db 5 kis négyzetbõl álló téglalap; 6 db 6 kis négyzetbõl álló téglalap; 2 db 8 kis négyzetbõl álló téglalap b) A számkártyákra írt számok összege 195, ezért oszloponként (195 : 5 =) 39, soronként (195 : 3 =) 65 a számok összege. Lehetséges kirakás:

22

9

10 24

14 12 11 13 15 25

5

19 16

c) Lehetséges áthelyezés:

159

89. old.

A földterület mérésére használt régi mértékegységek. 2

2

1 négyszögöl = 1896 · 1896 mm » 3,6 m ; 1 kataszteri hold = 1600 A öl 1 magyar hold = 1200 A öl

jele: 1 A öl

1 köblös akkora földterület volt, amelybe 1 köböl búzát vetettek. A köböl koronként és helyenként változott, ezért az 1 köblös értéke is változó volt. Késõbb a legtöbb helyen a kassai köbölt vették alapul, amely 4 véka volt. Így a vékás a köblös negyedrésze volt (nem mindenhol). A földmérõ lánc a XIX. században még országosan elterjedt volt. Mérete vidékenként változott. Például Szatmárban 10 öl hosszú volt a lánc. Egy láncalja egy lánc széles és 12 lánc hosszú téglalap alakú területet jelentett, ami 1200 A ölnek, vagyis 1 magyar holdnak felelt meg. 90. old.

Helyes válasz D: 6 egység

92. old.

1. Európa területe 10 508 000 km , így Európa a második legkisebb földrész. 2 Magyarország területe 93 030 km , a több, mint 60 európai állam között a 19. helyen áll.

2

2. Helyes válasz C: 1 A öl = 36 A láb 2

93. old.

Az elsõ félórában levágta a 600 m fû egyne2 gyed részét, 150 m -t. A második félórában 2 200 m -en tolta végig a fûnyírót, de ennek a 2 területnek az egynegyedérõl, 50 m -rõl már az elsõ félórában lenyírta a füvet. Így a má2 2 sodik félórában is 150 m , összesen 300 m füvet vágott le.

95. old.

2. A 4 m széles szobában 20 szál padlódeszka fér el egymás mellett. A 4 és fél m hosszú fal mentén 1 és fél szál deszka ér végig. 30 szál deszkát kell megvásárolnia.

96. old.

Számláljuk meg a 10 cm-es, 20 cm-es és 30 cm-es szalagdarabokat. Ezek együttes hosszához még hozzá kell adnunk a masni elkészítéséhez szükséges 50 cm-es darabot: 6 · 10 cm + 6 · 20 cm + 4 · 30 cm + 50 cm = = 6 · (10 cm + 20 cm) + 4 · 30 cm + 50 cm = = 6 · 30 cm + 4 · 30 cm + 50 cm = 10 · 30 cm + 50 cm = 350 cm 350 cm szalagra volt szüksége.

97. old.

160

Az eredeti testnek 6 lapja, 12 éle és 8 csúcsa van. A kis kocka elvételével 3-mal nõ a lapok száma, 9-cel nõ az élek száma és 6-tal nõ a csúcsok száma. (3 él találkozásánál mindig csúcsok keletkeznek.) A maradék testnek 9 lapja, 21 éle és 14 csúcsa van.

99. old.

1. a) AB; EF; HG; DC b) ABFE; ABCD; EFGH; CDHG 2

2

100. old. Az eredeti kocka felszíne: A = 6 · 3 · 3 cm = 54 cm A maradéktest felszíne ugyanekkora. 102. old. Helyes válasz: B 3

3

3

105. old. A test térfogata: V = 125 cm - 12 · 1 cm = 113 cm ; 2

2

2

a helyes válasz C. a helyes válasz C.

A test felszíne: A = 150 cm + 12 · 2 cm = 174 cm ; 106. old. a)

Az elölnézet területe átdarabolható így:

b) A felszínszámításnál célszerû a felülnézetbõl, illetve az elölnézetbõl kiin2 dulni. Az alap és a felülnézet területe 121 cm , az elölnézet területének mérõszáma az elsõ hat páratlan szám összege: 2

2

2

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11) cm = 6 cm

Az építmény mind a négy oldala felõl nézve olyan, mint az elölnézete. Ezért A = 2 · felülnézet + 4 · elölnézet. 2

Végeredményben: A = 386 cm 2

2

2

2

2

2

3

3

c) A test térfogata: V = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ) cm = 286 cm

161

109. old. 15 pontos vár:

110. old. Az 1. hálón a 6-ossal szemben nem az 1-es, a 4-essel szemben nem 3-as helyezkedik el. Nem egyszerûbb: A 4-essel szemben a 2-es van, így nem lehet szabályos a kocka hálója. A 2. háló hibátlanul befejezhetõ. A 3. hálón a 4-essel szemben helyezkedik el az 1-es, azaz nem szabályos dobókocka hálója. A 4. alakzat nem kockaháló.

111. old. A helyes terv:

162

116. old. Például 8 kockaháló egyszerûen:

Például 9 kockaháló:

3. A törtek 122. old. 1. Andi állítása igaz (feltéve, ha a három fióka õszre nõtt fel.) Biri állítása igaz. Cili állítása hamis. 2. a) 90 ilyen tört van: 0 0 0 0 1 1 1 1 ; ; ; ...; ; ; ; ; ...; ; 1 2 3 9 1 2 3 9

...;

9 9 9 9 ; ; ; ...; 1 2 3 9

b) 9 tört egyenlõ 1-gyel. c) 36 db 1-nél nagyobb tört van:

2 3 3 4 4 4 9 ; ; ; ; ; ; ...; 1 1 2 1 2 3 8

123. old. 1. Ha a süteményeket nem egyenlõen osztja el, akkor legalább 2 és legfeljebb 15 unokája van. Ha egyenlõen osztja el, akkor 3 vagy 5, vagy 15 unokája lehet. 2-2 egész süteményt nem kaphatnak a gyerekek, mert 15 nem páros szám. 5 unokája van a nagymamának, ha egy-egy unokának 3 süti jut. 2. 1 dl víz kifolyik. 124. old. 1. Helyes válasz A: Déli 12 óra 2. Helyes válasz B: 1 db;

9 5

1 1 1 1 tallért, 2 db tallért, 1 db tallért és 4 db tallért; 2 3 4 5 1 1 1 vagy 2 db tallért, 3 db tallért és 4 db tallért. 3 4 5

3. 1 db

163

125. old. Nincs igaza Taszilónak, mert

3 3 dinnye nem egyenlõ almával. 4 4

127. old. Tímea: hamis; Ubul: igaz; 1 Az állítások része igaz. 2 128. old. a)

Vanda: hamis;

Zalán: igaz

3 30 = ; 4 40

5 50 = . Végtelen sok ilyen tört van. 4 40 31 32 33 48 49 ; ; ; ...; ; -bõl bármelyik tíz megfelel. Például a 40 40 40 40 40

b) n = 2; 3; 4.

Bõvítsük az

n n 2n -ot: = 6 6 12

129. old. Legfeljebb 56 ötödikes lehet az iskolában, hiszen számuk 7-tel és 8-cal is osztható (és 100-nál kisebb). 3 3 rész: 24 tanuló; rész: 21 tanuló 7 8 3-mal többen oldották meg a fejtörõ feladatot. 132. old.

3 9 18 = = ; 5 15 30 A

133. old.

5 25 50 = = 3 15 30

34 34 18 50 34 16 tört van középen: = = 30 30 30 30 30 30

1 m elõnye maradt Siminek. 2 7 része idõsebb 60 évesnél 100 Pazonyban a 20 évesnél nem idõsebb emberek száma 1200.

135. old. A lakosság

136. old. Mivel csak összeadás fordul elõ, a zárójelek elhagyhatók. 1 1 3 db összege egy egész, 2 db összege egy fél. 3 4 A mûveletsor összege: 2 137. old. 1. A 6 és fél méter a fél méter 13-szorosa. 6 18 20 kg = kg; 2 kg = kg; 10 10 10 Az A válasz a hibás.

2. 3 ·

164

13 · 2 kg = 26 kg

2 kg liszt marad. 10

5 m = 1 m. 5 1 perc = 60 másodperc alatt Gidus elõnye 60 m lesz.

139. old. 1 másodperc alatt Gidus elõnye

141. old. A helyes válasz C: 24 142. old. A helyes válasz: C Mindkét színû golyó kivételének egyenlõ a valószínûsége. 143. old. Ha a kísérletek száma kellõen nagy, akkor nagy a valószínûsége annak, hogy az elsõ esemény következik be legtöbbször és a harmadik a legritkábban. Az 1. esemény bekövetkezésének legnagyobb a valószínûsége. 144. old. A helyes válasz C: 1-nek 145. old. Megették az egész pizzát. 146. old. A helyes válasz B: 8 147. old. 65 ilyen tört van: 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 ; ; ...; ; ; ; ...; ; ; ; ...; ; ; ...; ; ; ...; ; 1 2 5 1 2 5 1 2 5 2 5 2 5 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 12 ; ...; ; ; ...; ; ; ...; ; ; ; ; ; ; ; 2 5 2 5 2 5 3 4 5 3 4 5 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3 4 5 3 4 5 3 4 5 4 5 4 5 18 18 19 19 20 20 21 22 23 24 25 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4 5 4 5 4 5 5 5 5 5 5 149. old. 37 golyó van a dobozban: 7 piros és 30 kék 150. old. Legfeljebb 8 egész értékû törtet kaphatunk. 151. old. Négy ilyen tört van:

7 6 3 4 ; ; ; 1 2 5 4

152. old. Cecíliáé hibátlan.

165

4. Geometriai vizsgálatok, szerkesztések 157. old. 1. A „lényegében különbözõ helyzetet” értelmezzük úgy, hogy az érintési pontok számában különböznek, illetve abban, hogy „kívülrõl” vagy „belülrõl” érintik egymást a körök. Egy pontban érintik egymást:

Két pontban érintik egymást:

Három pontban érintik egymást:

2. Ábel ás Virág között mindkét oldalon 13 tanuló helyezkedik el. Tehát 28 tanuló jár az osztályba.

166

158. old.

160. old. Ismételt két egyenlõ részre hajtogatással megkapjuk a negyedrészt és a nyolcadrészt is. 3 Például a szalag része: 8

163. old. A szakaszfelezést a tankönyv 160. oldalán találod meg. A négyzetek és a téglalap megszerkesztéshez használhatod a derékszögû vonalzót is. a) Osszuk ismételt felezéssel 4 egyenlõ részre a felvett szakaszt. Egy rész lesz a négyzet egy oldala. b) Osszuk ismételt felezéssel 8 egyenlõ részre a felvett szakaszt. Egy rész lesz a téglalap egyik oldala, három rész a téglalap másik oldala. c) Az adott szakasz 32 mm hosszú. 2

A négyzet területe: T = 1024 mm

A nagyított négyzet oldalának a hosszúsága: a' = 40 mm 2

A nagyított négyzet területe: T' = 1600 mm T' 1600 25 A két terület aránya: = = (64-gyel egyszerûsítettünk.) T 1024 16 2 25 5 = 16 4

FG IJ H K

A területek aránya megegyezik az oldalak arányának a négyzetével. 165. old. A felülnézet hibás. A piros rúd takarja a kék rudakat. 166. old. Az A pontból érkezõ dobás könnyebben védhetõ, mivel a kisebb szöget könnyebb „lezárni”.

167

167. old. 1. Induljunk ki a következõ észrevételbõl: (1 + 12 ) + ( 2 + 11) + ( 3 + 10) + ( 4 + 9) + ( 5 + 8) + ( 6 + 7) = 144444424444443 144444 42444444 3 39 39 = 3 · 13 + 3 · 13 1 óra alatt a kismutató 5 beosztást fordul el, ezért (60 : 5 =) 12 perc alatt halad elõre egy beosztást, és (4 · 12 =) 48 perc alatt 4 beosztást. Az elõzõek alapján 3 óra 48 perckor a kismutató az 5-ös elõtti beosztáson áll, a nagymutató a 9-es utáni harmadik beosztáson. Az egyenesszögnél kisebb szögtartományban a 4; 5; 6; 7; 8 és 9 számok voltak. 2. (1 + 12 ) + ( 2 + 11) + ( 3 + 10) + ( 4 + 9 ) + ( 5 + 8) + ( 6 + 7 ) 144424443 144424443 144424443 26 26 26 Reggel 8 óra 24 perckor nézhetett Emma az órára. A nagyobb szögtartományban az 1; 2; 3; 4; 9; 10; 11 és 12 számok voltak. Megoldás lehet, ha nem reggelrõl van szó, az este 8 óra 24 perc, a hajnali, illetve délutáni 4 óra 44 perc. 168. old. Rendre: 6°-ot; 169. old. a) 90°-kal;

30°-ot;

90°-ot;

b) 270°-kal;

180°-ot;

c) 135°-kal;

270°-ot d) 22 és fél fokkal

170. old. (1 + 12 ) + ( 2 + 11) + ( 3 + 10) + ( 4 + 9 ) + ( 5 + 8) + ( 6 + 7 ) 144424443 144424443 144424443 26 26 26 Délelõtt 10 óra 12 perckor nézhetett Máté az órára. A kisebb szögtartományban az 1; 2; 11 és 12 számok voltak. 10 óra 12 perckor a kismutató a 10-es utáni elsõ beosztáson áll, a nagymutató a 2-es utáni második beosztáson. A két mutató 21 beosztást fog közre. Egy beosztás 6°-nak felel meg. Tehát a kisebbik szögtartomány 126°-os. 171. old. Arisztid: hamis

Például:

Balambér: igaz Coborján: igaz Dömötör: hamis

173. old. Esetleg jobban kiismerhetitek magatokat a térképen, ha a település mûholdképét is letöltitek. 168

177. old. a) Ha távolabb megyek Katitól, akkor kisebb szögben látom õt, és a környezetébõl többet látok. b) Ha közelebb megyek Katihoz, akkor nagyobb szögben látom õt, és a környezetébõl kevesebbet látok. 178. old. 1. A: B: C: D:

Az irányváltás mértéke szögfokban mérve: A tea hõfoka Celsius-fokban mérve: A futó hõmérséklete Celsius-fokban mérve: A lejtõ vízszintessel bezárt szögének mértéke:

37°; 37°; 37° 37°

90°; 90°

180°

2. a) Helyes válasz C: 90°-os (szélcsendes idõben) b) Helyes válasz B: 10°-os 179. old. Tekintsük félegyenesnek a repülõ légi útvonalát és a kifutópályán lévõ útvonalát. A két félegyenes egy tompaszöget (és egy homorúszöget) zár be, leszálláskor és felszálláskor egyaránt. 180. old. Helyes válasz: Cili hajója nem kelet felé tart 181. old. Kisebb lett a látószög, távolodtam a festménytõl. 182. old. Az elsõ sorból nagyobb szögben látszik a tábla.

5. A tizedestörtek 184. old. Helyes válasz C: 900 dkg = 9 kg 185. old. 6,006; 187. old. 2,99;

2002,0202; 3,89;

0,015;

3,98;

188. old. 780 mm < x < 890 mm;

B a helyes válasz.

C a helyes válasz. C a helyes válasz.

193. old. Anita a 4,99-ra gondolt. 194. old. Az adatokból kitûnik, hogy az autók kilométer-számlálója 100 m-enként vált. Alfonz éppen 85,0 km-t, vagyis 85 000 m-t tett meg. Bella autója kevesebb, mint 85,1 km-t, vagyis 85 100 m-nél kisebb utat tett meg. Kevesebb, mint 100 m-rel tett meg Bella autója nagyobb utat. Ha legalább 100 m-rel többet tett volna meg Bella, akkor már 85,1 km-t mutatott volna az óra számlálója. 169

195. old. Helyes válasz B: január 9-én 196. old. Helyes válasz C: 25 centet. 199. old. 1. Helyes válasz A: 187,75 ¤. (Pontosan a pénztárcában lévõ pénz volt a vesztesége.) 2. Rosszul számolt. Az 1., a 2. és a 4. mûveletben a megfelelõ helyiértékeket nem írta egymás alá, míg a 3. mûveletnél az egyesek helyén felcserélte a kivonandót a kisebbítendõvel. 200. old. A: 2,6 0,4 2,4 1

B: 3,8 1,6 4,2

C: 1,9 0,8 2,1

1,6

3,6 3,2 2,8

1,8 1,6 1,4

3,6 1,4

2,2 4,8 2,6

1,1 2,4 1,3

2

3

D: 0,86 0,31 0,96

E: 2,55 1,45 2,75

0,81 0,71 0,61

2,45 2,25 2,05

0,46 1,11 0,56

1,75 3,05 1,95

201. old. A (3), a (4) és az (5) mûveletek esetén a mûveleti jelet is be kell írnunk. A (4) és az (5) mûvelet esetén nem állapíthatók meg egyértelmûen a mûveleti jelek, illetve a hiányzó számjegyek.

202. old. Helyes válasz D: 0-val 204. old.

170

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mérete (m)

Ugrás száma

3,50

3,85

4,20

4,55

4,90

5,25

5,60

5,95

6,30

6,65

Távolság (m)

3,50

7,35

11,55

16,10

21,00

26,25

31,85

37,80

44,10

50,75

210. old. 1. Helyes válasz C: 0,0025 m 2. Helyes válasz B: 3,8 212. old. a) 6,345 - 17 · 0,328 = 0,769 (km) b) 60,96 cm Magyarországon az inch-nek a hüvelyk felelt meg. 213. old. Nem állapítható meg az állatok egyenkénti takarmányfogyasztása. Az átlagos fogyasztás nagyon távol van a tényleges értékektõl. 214. old.

217. old. A négy gyerek tömegének átlaga akkor egyezik meg a három fiú tömegének átlagával, ha Emma tömege ugyanakkora, mint a három fiú tömegének átlaga. Ezért Emma tömege 40 kg. 220. old. 1,1; 1,2; 1,3; ...; 2,0; 2,1; ...; 2,9 Helyes válasz A: 16. helyen áll a 2,6. 222. old. 1. a) 8,61 m-t kell még mászniuk. b) (400 · 22,11 m =) 8844 m magas hegycsúcs felelne meg az embernek. A Csomolungma (Mont Everest) 8844 m magas. 2. Legalább 3 golyót kell kivenni, hogy biztosan legyen köztük piros. Az összes lehetséges sorrend száma: 20 3 piros golyó középen kétféleképpen helyezkedhet el: b p p p z és z p p p b 2 Az esetek = 0,1 részében lesz a 3 piros golyó középen. 20 226. old.

A hiányzó tizedesvesszõ egyértelmûen nem pótolható. Ha 3,608 volt a szorzandó, akkor 270,600 a szorzat. Ha 36,08 volt a szorzandó, akkor 2706,00 a szorzat. Ha 360,8 volt a szorzandó, akkor 27060,0 a szorzat. 171

6. Összefüggések, nyitott mondatok 228. old. Az R válasz az igaz. A diagram nem tükrözi hûen a mennyiségi viszonyokat. 229. old. Az árak nagysági viszonyai: R < M < J < D < F Az áru betûjele

R

M

J

D

F

Az áru ára (Ft)

300

500

1250

2500

5000

230. old. D a helyes válasz. A nagyszülõk egyben szülõk is, az egyik szülõ egyben gyermeke a nagyszülõknek. A szülõknek van három gyermekük, akik egyben unokák is. 231. old. A helyes válasz: C Magyarországon az átlaghõmérséklet csökken az év utolsó négy hónapjában. 232. old. y = 3x + 2;

a C válasz a helyes: 14 = 3 · 4 + 2

233. old. A leadott lövések száma rendre: 2; 4; 6; 8; 3; 9; 15; 4; 20; 28; 15; 25; 50; 50 L=V·C 235. old.

1 tyúk 1 nap alatt 0,5 tojást tojik; 1 tyúk 10 nap alatt 5 tojást tojik; 10 tyúk 10 nap alatt 50 tojást tojik.

236. old. 24 km;

42 km;

204 km

A 24-es szám állt az 1. óra végén a kilométertáblán. 237. old. 1. 2 kg 2. Nem állapítható meg, mert nincs összefüggés a távolság és a hõmérséklet között. 238. old. Fél óra alatt. 239. old. Az apa 5 év múlva lesz 50 éves, tehát most 45 éves. Bea most 18 éves. 18 · 2,5 = 45 240. old. 1 tulipán 2 gyöngyvirágot ér. 241. old. a) (x + 3) · 2 - 6 - x = x;

igen

b) x + x + 10 - x - 5 - x - 1 = 4; 172

igen

245. old. 3 teknõs (és 9 béka) napozik a parton. 246. old. A helyes válasz C: 12 napig Hétfõn reggel már eltelt 3 nap, de hátravolt még 9 nap. Kedden reggel már eltelt 4 nap, és hátravolt még 8 nap. 247. old. 1. 1 ceruza

5 borítékot ér 4

2. 1 ló 3 tallért ér.

7. Az egész számok 249. old. A gyerek i. e. 2. év május 1-jén született. 250. old. A 8. emeleten van Dolgos úr irodája. 251. old. A helyes válasz B: -2 °C 39 °C-ról 37 °C-ra változhatott Liza hõmérséklete. 254. old. Brúnónak 255. old. A déli csatornát. 257. old. a) A negatív egyenleg idõpontja: 10.03.03. b) A záró egyenleg: 82 300 Ft 258. old. 10 200 m 261. old. a) Szalámis szeletet; barack nektárt; körtét b) Krémeshez: (-3; +2);

kakaóhoz: (+1; 0)

263. old. A jelzõszámokkal ábrázolt ábrákat más csak akkor tudja megrajzolni, ha azt is megmondjuk, hogy közvetlenül melyiket melyikkel kötjük össze. 265. old. 19 877 m a különbség. 266. old. Az átalakítás után 50 000 ¤ jövedelmet könyvelhetett el (50 000 ¤ volt a kiadás és 50 000 ¤ a haszon). Az átalakítás elõtt 50 000 ¤ vesztesége volt évente. Tehát év végén 50 000 ¤-val több pénze maradt így. 173

267. old. Például: c) Amíg a 2000 m feletti hegycsúcsokon nem emelkedik -8 °C fölé a hõmérséklet, addig a völgyekben nem lesz hidegebb +20 °C-nál.

8. Összefoglaló 276. old. a) 9 db 1 ´ 1-es; 4 db 2 ´ 2-es; 1 db 3 ´ 3-as négyzet látható. b)

100

5

60

15

55

95

50 105 10

174

c)

d)