MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management) 5.Nasifatul ulla (ekonomi akuntansi)
MATEMATIKA EKONOMI
Persamaan kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
dengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
1 Arti nilai a, b, dan c 2 Rumus Kuadratis (Rumus abc) 3 Pembuktian rumus kuadrat 4 Diskriminan/determinan
Arti nilai a, b, dan c
Variasi nilai a
Variasi nilai b
Variasi nilai c
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a. c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.
Contoh soal : Contoh mencari nilai a,b ,dan c ☺
Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum??? Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8 <=>
2x2 - 3x = 3x-3x -8
<=>
2x2 – 3x = -8
<=>
2x2 - 3x + 8 = -8 + 8
<=>
2x2 – 3x + 8 = 0
(kedua ruas dikurangi 3x)
(kedua ruas ditambah 8)
Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8
Rumus Kuadratis (Rumus abc)
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa . Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi . Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
dan
. Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
Pembuktian rumus kuadrat Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
bagi kedua ruas untuk mendapatkan
Pindahkan
ke ruas kanan
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
Pindahkan
ke ruas kanan
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.
Pindahkan
ke ruas kanan
sehingga didapat rumus kuadrat
Contoh soal : a. Menggunakan rumus kuadrat Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0
a =1 b = 4 c = -12 penyelesaian :
x1,2 = - b ± √b2 – 4ac 2a
<=>
x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12) 2x1
<=>
x1,2 = - 4 ± √16 + 48 2
<=>
x1,2 = - 4 ± √64 2
<=>
x1,2 = - 4 ± 8 2
<=>
x1,2 = - 4 + 8
<=>
x1 = 2
atau
x1,2 = - 4 - 8
2
2 atau
x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}
Diskriminan/determinan
Akar-akar dan nilai D. Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D. Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.
Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks: - Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
dan Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.
Akar riil dan kompleks Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.
Titik potong dengan garis y = d Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (
) dengan
suatu garis mendatar ( ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan , diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan
.
Contoh soal 1.
Persamaan kuadrat x = 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 = -2 atau x2 = -3. Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah a = 1, b = 5, dan c = 6, sehingga nilai diskriminannya adalah: D
= = = = =
b – 4ac 5 – 4.1.6 25 – 24 1 1
Ternyata bahwa: D>0 dan D = 1 merupakan bentuk kuadrat sempurna. 2.Persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 = atau x2 = Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (tak terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah a = 2, b = -4, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = = = =
b – 4ac (-4) – 4.2.1 16 – 8 8
Ternyata bahwa D>0 dan D=8 tidak berbentuk kuadrat sempurna.
3. Persamaan kuadrat x – 4x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 = 1 atau x2 = 2
Dikatakan kedua akarnya sama (kembar), real dan rasional. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x – 4x + 4 = 0 adalah a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = = = =
b – 4ac (-4) – 4.1.4 16 – 16 0
Ternyata bahwa D=0
4
Persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 adalah a = 3, b = 2, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 2 – 4.3.1 = 4 – 12 = -8 Ternyata bahwa D<0
FUNGSI NON LINIER : -
Fungsi linier dapat berupa fungsi kuadrat dan fungsi rasional (fungsi pecah ) Gafik fungsi kuadrat berupa parabola Gafik fungsi rasional berupa hiperbola
Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat
a>0 D<0
a<0 D<0 a>0 D=0
a<0 D=0 a>0 D>0 a<0 D>0
Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa kurva y= ax2 + bx + c dengan cara sebagai berikut:
a. Jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan. •
Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y
•
Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x
•
Tentukan titik puncak
b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan. –
Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y.
–
Tentukan titik puncak dengan memperhatikan sumbu simetri.
–
Tentukan beberapa titik lain yang mudah.
Contoh Soal: Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x – x2, jika asalnya {x│-2 ≤ x ≤ 6, x R} Jawab: f(x) = 5 + 4x – x2 tidak dapat difaktorkan, maka: a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, (0, 5)
b. y = -
=9;x=-
= 2. Jadi (2, 9)
c. Mengambil titik lain yang lebih mudah x = 5 maka y = 0; (5, 0) x = -1 maka y = 0; (-1, 0)
9
5
-1
2
5
Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f(x) yang bersesuain dengan titik maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi.
FUNGSI PANGKAT TIGA -Fungsi polinomial pangkat tiga dengan satu variabel bebas disebut fungsi kubik. -Kurva mempunyai dua lengkung yaitu lengkung kertas dan lengkung kebawah -bentuk umum Y=a0+a1+a2x2+a3x3 FUNGSI Rasional : Adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional
( ) ( )
dengan g (x) dan h (x) adalah polinom polinom dan h (x) tidak sama dengan nol.
LINGKARAN Definisi :tempat kedudukan titik titik pada suatu bidang yang mempunyai jarak tertentu dari suatu titik yang disebut pusat. Jarak titik titik tersebut dari pusat disebut jari jari lingkaran Bentuk umum Ax2+cy2+Dx+Ey+f=0 Dimana A=C Dan tidak sama dengan nol A dan tandanya sama.
BENTUK STANDART PERSAMAAN LINGKARAN (x-h)2+(y-k)2=r2
Dimana : (h,k)=pusat lingkran R=jari jari lingkaran Jika (h=0,k=0)maka pusat lingkaran berimpit dengan titik asal (0.0).persamaan lingkaran menjadi X2+y2=r2
JARI JARI LINGKARAN Jika r2
0,terdapat lingkaran.
