Latihan 2 : Ruang Vektor dan Ruang Vektor Bagian a 1. Andaikan V = { | a, b R}. dengan operasi penjumlahan pada himpunan V di b
a a a a2 a dan operasi perkalian pada V didefinisikan: k 1 definisikan : 1 + 2 = 1 b1 b2 b1 b2 b1 ka = 1 . Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? kb1 a 2. Andaikan V = { b | a, b, c R}. dengan operasi penjumlahan pada V di definisikan : c a1 a 2 a1 2a 2 a1 ka1 b1 + b2 = b1 2b2 dan operasi perkalian pada V didefinisikan : k b1 = kb1 . c c c 2c c kc 2 1 2 1 1 1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? a 3. Andaikan V = { b | a, b, c R}. dengan operasi penjumlahan pada V di definisikan : c a1 a 2 a1 a 2 a1 ka1 b1 + b2 = b1 b2 dan operasi perkalian pada V didefinisikan : k b1 = 0 . c c c c c kc 2 1 2 1 1 1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? 4. Andaikan M = {semua matriks berdimensi 2 x 3}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi perkalian pada M adalah operasi perkalian skalar. Apakah M merupakan ruang vektor ? 5. Himpuna semua polinom berderajat dua P = { a + bt + ct2; dengan a, b, c R}. Operasi penjumlahan pada P adalah penjumlahan polinom, dan operasi perkalian pada P adalah perkalian skalar. Selidiki apakah P merupakan ruang vektor ?
6. Diketahui sembarang field F dan X adalah himpunan yang tidak kosong. Pandanglah V sebuah fungsi dari X into F. Jumlah dua fungsi f, g V adalah sebuah fungsi f + g V budi murtiyasa, ums, latihan ruang vektor dan ruang bagian
Page 1
yang didefinisikan (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan Perkalian skalar k F dengan fungsi f V adalah fungsi kf V yg didefinisikan (kf)(x) = kf (x). Selidiki apakah V merupakan ruang vektor atas field F ? a 7. Andaikan V = { b | a, b,c R}. Operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar di c dalam V berturut-turut didefinisikan dengan : a1 a 2 a1 a 2 a1 ka1 b1 + b2 = b1 b2 dan k b1 = 1 c c c c c kc 2 1 2 1 1 1 Di bawah operasi tersebut, selidiki apakah V merupakan ruang vektor ?. Jelaskan jawab saudara !
a 8. Diketahui V = { b | c
a1 a, b, c Real}. Operasi penjumlahan pada V didefinisikan ; b1 c 1
a 2 a1 a 2 a1 ka1 + b2 = b1 b2 , sedangkan operasi perkalian pada V didefinisikan k b1 = kb1 . c c c c 1 2 2 1 1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? a 9. Andaikan V = { | a, b R}. Operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar di b dalam V berturut-turut didefinisikan dengan : a1 a 2 a1 3a 2 a ka dan k = + = b kb b2 b2 b1 3b2 Di bawah operasi tersebut, selidiki apakah V merupakan ruang vektor ?. Jelaskan jawab saudara !
x 10. Let V be the set of all pairs of real numbers. Define : y for any scalar k,
x1 x 2 x1 x 2 + = and y1 y 2 y1 y 2
x1 kx1 k = . Is V a vector space with these operations ? y1 y1
budi murtiyasa, ums, latihan ruang vektor dan ruang bagian
Page 2
x 11. Andaikan V = { | x , y ϵ Real}. Jika operasi penjumlahan dan perkalian di dalam V y
x1 x 2 x1 2 x 2 x dan k 1 = berturut-turut didefinisikan dengan + = y1 y 2 y1 2 y 2 y1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? Jelaskan jawab saudara !
kx1 . ky1
a 12. Andaikan V = { b | a, b, c R}. dengan operasi penjumlahan pada V di definisikan : c
a1 a 2 a1 a 2 a1 ka1 b1 + b2 = b1 b2 dan operasi perkalian pada V didefinisikan : k b1 = kb1 . c c c c c kc 2 1 2 1 1 1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ?
13. Selidiki apakah W merupakan subpaces dari V = R3, jika : x a) W = { y | x + y + z = 0; x, y, z ϵ R} z b)
x W = { y | xy z = 0; x, y, z ϵ R} z
x x 14. Let U = { y | x + 2y – z = 0; x, y, z ϵ R} and W = { y | 2x + 3y + z =0; x, y, z ϵ R}. z z a) Is U a subspace of R3 ? b) Is W a subspace of R3 ? c) Is U W a subspace of R3 ? 15. Andaikan V = R4. Selidiki apakah W subspace dari V, jika : a b a) W = { | a – 2d = b + c; a, b, c, d Real}. c d budi murtiyasa, ums, latihan ruang vektor dan ruang bagian
Page 3
a b b) W = { | a + 2b + c = 1 + 2d; a, b, c, d Real} c d 16. Andaikan V = R3. Selidiki apakah W subspace dari V, jika : a a) W = { b | a = b + c; a, b, c R}. c
a b) W = { b | a + b + c = 1; a, b, c R}. c 17. Andaikan V = R3. Himpunan W merupakan himpunan bagian dari V. Selidiki apakah himpunan W berikut ini merupakan subspace (ruang vektor bagian) dari V ?. Jelaskan jawab saudara ! a (a). W = { b | 2a – b = 3c; a, b, c R}. c
a (b). W = { a | a R}. 9a 18. Andaikan V = R3 . Apakah W subspace dari V jika : a a) W = { b | a + 2b – c = 0; a, b, c R} c
a b) W = { b | a + b > 1 ; a, b, c R} c a c) W = { b | a = b – c ; a, b, c R} c a d) W = { b | a + b = c + 1; a, b, c R} c budi murtiyasa, ums, latihan ruang vektor dan ruang bagian
Page 4
19. Andaikan V = R3. Himpunan-himpunan U dan W himpunan bagian dari V, dengan a a himpunan U = { b | a = b; dengan a, b, c R} dan W = { b | b = 2a; a, b R}. Selidiki c 0 apakah himpunan berikut ini ruang vektor bagian (subspace) dari V ? a) U b) W c) U∩W 20. Andaikan ruang U dan W adalah subspace dari V, buktikan bahwa U + W juga subspace dari V !. 21. Andaikan ruang U dan W adalah subspace dari V, buktikan bahwa U W juga subspace dari V !.
budi murtiyasa, ums, latihan ruang vektor dan ruang bagian
Page 5