KONSEP ALJABAR YANG TERLUPAKAN

Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455

KONSEP ALJABAR YANG TERLUPAKAN Eka Nurmala Sari Agustina Prodi Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Sidoarjo ([email protected] / [email protected]) Abstrak Penyelesaian soal matematika sering kali menggunakan konsep aljabar. Konsep aljabar tidak hanya berhenti digunakan pada jenjang sekolah menengah, tetapi sampai pada jenjang perguruan tinggi, khussusnya untuk mahasiswa pendidikan matematika. Akan tetapi, dalam penerapan konsep aljabar, masih terdapat mahasiswa yang melakukan kesalahan ketika menyelesaikan soal matematika perkuliahan yang melibatkan aljabar. Kesalahan yang tampak adalah kesalahan konsep, kesalahan dalam memilih metode penyelesaian, dan kesalahan prosedural. Kata Kunci: Konsep aljabar, kesalahan konsep, kesalahan prosedural Abstract Algebra is always use to solve mathematics problems. Concep of Algebra is not use just by student at school, but until they go to collage. In reality, there are many error of the uses of Algebra concept, when some univercity students solve some problem about Algebra. The error are concept error, error of the solving methode, and procedural error. Key Words: Concept of Algebra, concept error, procedural error

PENDAHULUAN Aljabar merupakan

Materi salah

satu

aljabar

juga

dapat

diterapkan saat menyelesaikan soal yang

materi yang diajarkan mulai tingkat

terdapat pada jenjang perguruan tinggi,

sekolah menengah pertama hingga tingkat

seperti

perguruan tinggi. Aljabar dapat ditemukan pada bidang matematika yang lain seperti pada geometri dan ilmu ukur. Sebagai

menyelesaikan

Contohnya

ketika

menyelesaikan

soal

soal

kalkulus. mahasiswa

∫ 2𝑥. sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥,

maka mahasiswa dapat memisalkan 𝑥 2 =

contoh penerapan aljabar pada bidang

a sehingga 2x dx = da dan diperoleh

geometri yaitu menentukan panjang sisi

∫ 2𝑥. sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥

persegi panjang agar luasnya maksimum

menjadi

∫ sin 𝑢 𝑑𝑢.

Pengubahan 𝑥 2 menjadi a merupakan

jika diketahui jumlah dua sisi yang

bagian dari aljabar.

berdekatan.

25


Kita aljabar

telah

dapat

mengetahui

bahwa

Komponen-komponen aljabar diantaranya

diterapkan

dalam

adalah pengertian variabel, bentuk aljabar,

pada

keterurutan operasi bilangan, dan kalimat

menyelesaikan soal

matematika

terbuka. (Holliday, et. al., 2008)[1].

jenjang perguruan tinggi, tetapi pada kenyataanya masih terdapat mahasiswa

Variabel

adalah

simbol

yang

yang melupakan penerapan aljabar dalam

digunakan untuk mewakili suatu bilangan

proses pemecahan masalah matematika.

yang belum diketahui nilainya. Bentuk

Seperti yang ditemukan penulis saat

aljabar

mengoreksi

tengah

unsur-unsur aljabar yang terdiri dari satu

semester materi kalkulus peubah banyak,

atau lebih bilangan dan variabel pada satu

terdapat

salah

atau lebih operasi aritmatik. Contohnya:

menggunakan konsep aljabar. Mahasiswa

6x, 4y + 6, 7 – 𝑏 , 3k3, dsb. 6x bermakna 6

cenderung fokus pada materi perkuliahan

dikali dengan x dan 3k3 bermakna tiga

yang sedang dihadapi sehingga lupa

dikali k selanjutnya dikali k lagi kemudian

bahwa materi matematika yang satu

dikali k lagi. Tulisan 4y + 6 dapat

terkait dengan yang lain. Oleh karena itu,

dijabarkan bahwa 4 adalah koefisien, y

diperlukan adanya pemaparan kesalahan

adalah variabel, dan 6 adalah konstanta.

yang

(Holliday, et. al., 2008)

jawaban

ujian

mahasiswa

dilakukan

yang

mahasiswa

merupakan

bentuk

𝑎

dalam

menerapkan aljabar.

Keterurutan

MATERI ALJABAR Materi Aljabar

penulisan

operasi

bilangan

adalah keterurutan proses penghitungan yang

dari

sering

suatu

operasi

antar

bilangan.

diterpkan pada jenjang perguruan tinggi

Misalkan terdapat operasi perkalian atau

khususnya pada program studi pendidikan

pembagian

matematika adalah operasi aljabar dan

pengurangan dalam suatu operasi bilangan

konsep

yang muncul secara bersamaan, maka

penyelesaian

aljabar

seperti

dan

penjumlahan

atau

metode substitusi dan eliminasi.

yang dikerjakan terlebih dahulu adalah

Operasi Aljabar

perkalian atau pembagian. Contohnya 5 + operasi

10 × 3 – 20 : 2 = 5 + 30 – 10 = 35 – 10 =

bilangan, terlebih dahulu siswa atau

25. Kalimat terbuka merupakan kalimat

mahasiswa

matematika yang memuat satu atau lebih

Sebelum

mempelajari

mempelajari

telah

mengenal

komponen

atau

variabel

aljabar. 26

dimana

kalimat

matematika


tersebut belum diketahui kebenarannya.

variabel,

Contohnya 8n – 2 = 4 merupakan kalimat

metode

terbuka, jika n diganti dengan 2, maka

metode substitusi, dan metode eliminasi

pernyataan 8.2 – 2 = 4 menjadi pernyataan

(Beecher,

yang salah, tetapi jika n diganti dengan

3

digunakan

diantaranya

Namun,

metode

pada

substitusi

dan

hanya pada sistem persamaan linier dua

pernyataan yang bernilai benar. (Holliday,

atau tiga variabel saja.

et. al., 2008)

Berikut

Selanjutnya kita mulai mengenal

penyelesaian

operasi aljabar. Operasi Aljabar terdiri

contoh sistem

proses

persamaan

dua

variabel tetapi bukan persamaan yang

dari penjumlahan, pengurangan, perkalian,

linier.

pembagian, eksponen. Konsep operasi

Misalkan

terdapat

persamaan berikut, yaitu

Aljabar sama dengan sama dengan konsep

sistem

y2

=

12x

(persamaan I) dan xy – 3y = 0 (persamaan

operasi bilangan bulat yaitu suku-suku dijumlahkan

grafik,

metode eliminasi dapat diterapkan tidak

3

saling

beberapa

metode

2007).

kenyataannya,

4

maka pernyataan 8. 4 – 2 = 4 menjadi

sejenis

dapat

II).

atau

Berikut

adalah

proedur

penyelesaiannya.

dikurangkan. Contoh 2x – 2y + 3y + 2x =



2x + 2x + 3y – 2y = 4x + 3y.

Substitusi y2 = 12x ⟺ x =

1 2 y 12

ke

xy – 3y = 0

Metode penyelesaian soal Aljabar

1

⟹ ( y2)y – 3y = 0

Pada Aljabar kita juga mengenal

12

1 3 y 12

persamaan sepeti 2y = 6 – 2x atau x = y.

⟹

Untuk menyelesaikan persamaan tunggal

⟹ y3 – 24y = 0

2

2

2y = 6 – 2x dapat dilakukan 2

seperti dengan

mencoba

secara

⟹ y (y2 – 24) = 0

langsung.

⟹ y (y – √24) (y + √24)= 0

Contohnya, jika nilai x = 0, maka 2y2 = 6 –

⟹ y = 0 atau (y – √24) = 0 atau

0 sehingga diperoleh y= √3 atau y = –√3.

(y + √24) = 0

Pada materi Aljabar, terdapat sub

⟹ y = 0 atau y = √24 atau y = −√24.

materi tentang sistem persamaan liner dua variabel

atau

persamaan

linier

– 3y = 0 (dikalikan dengan 12)



tiga

1

Substitusi nilai-nilai y ke x = 12y2.

variabel. Untuk menentukan solusi dari

y=0⟹x=0

sistem persamaan linier dua atau tiga

y = √24 ⟹ x = 12(√24)2 = 2

1

27


1

Kesalahan

y = −√24 ⟹ x = 12(−√24)2 = 2 

Sehingga

diperoleh

penyimpangan terhadap sesuatu hal yang

pasangan

benar (Sutopo, 2005). Jika dikaitkan

berurutan yaitu (0, 0), (2, √24) dan (2,

dengan proses siswa menyelesaikan soal

−√24).

matematika

Adapula sistem persamaan tersebut dapat

diselesaikan

dengan

12x – y2 = 0 × y

12xy – y3 = 0

xy – 3y = 0

× 12

12xy – 24y = 0 –

× 12

–y + 24y = 0

xy – 3y = 0

kesalahan

penyimpangan jawaban yang berbeda dari proses penyelesaian soal matematika yang sebenarnya.

Menurut

Sandhu

(2013)

kesalahan dibedakan menjadi dua yaitu

3

miskonsepsi

y – 24y = 0

dan

kesalaha

(error).

3

⟺ 

maka

menyelesaikan soal matematika adalah

metode

eliminasi yaitu: 

merupakan

Miskonsepsi

merupakan

kesalahan

Menyelesaikan y3 – 24y = 0 dengan

terhadap

cara memfaktorkan, diperoleh:

pemahaman terhadap soal yang tidak jelas

y – 24y = 0

konsep,

prosedur,

dan

3

bagi siswa. Kesalahan (error) terjadi

⟹ y (y – 24) = 0

ketika

⟹ y (y – √24) (y + √24)= 0

dilakukan berikutnya, tetapi mereka salah

⟹ y = 0 atau (y – √24) = 0 atau

dalam langkahnya, misal saat substitusi

2

(y + √24) = 0

Terdapat

yang

harus

dua

jenis

kesalahan

konseptuan dan kesalahan prosedural.

y=0⟹x=0 y = √24 ⟹ x =

apa

menurut Kastolan (1992) yaitu kesalahan

1

Substitusi nilai-nilai y ke x = 12y2. 1

tahu

nilai atau kekeliruan penghitungan.

⟹ y = 0 atau y = √24 atau y = −√24. 

siswa

Kesalahan

konseptual

merupakan

2

(√24) = 2

12

1

kesalahan yang dilakukan mahasiswa

2

y = −√24 ⟹ x = 12(−√24) = 2

dalam menafsirkan istilah, konsep, dan

Sehingga

prinsip

atau

salah

dalam

berurutan yaitu (0, 0), (2, √24) dan (2,

menggunakannya.

Indikator

kesalahan

−√24).

konseptual yaitu:

diperoleh

pasangan

a) kesalahan menentukan rumus atau KESALAHAN MENYELESAIKAN SOAL MATEMATIKA

teorema atau definisi untuk menjawab suatu masalah,

28


b) penggunaan rumus, teorema, atau

b) kesalahan menginterpretasikan suatu

definisi yang tidak sesuai dengan

representasi dari bentuk aljabar; dan

kondisi prasyarat berlakunya rumus,

c) ketidak mampu memaknai hubungan-

teorema, atau definisi tersebut, dan

hubungan sifat pada bentuk aljabar.

c) tidak menuliskan rumus, teorema, atau definisi

untuk

menjawab

Suatu

suatu

dikatakn

sebagai

kesalahan prosedural jika:

masalah.

a) kesalahan dalam perhitungan yaitu

Kesalahan kesalahan

kesalahan

prosedural dalam

merupakan

menyusun

operasi

langkah-

pengurangan,

langkah yang hierarki sistematis untuk

penjumlahan,

perkalian,

dan

pembagian bentuk aljabar;

menjawab suatu soal. Indikator kesalahan

b) ketidakmampuan

prosedural yaitu:

menulis

langkah-

langkah kerja dengan teratur;

a) ketidakhirarkisan

langkah-langkah

c) kesalahan dalam menerapkan aturan,

dalam menyelesaikan masalah, dan b) Kesalahan

hitung

atau

prinsip, atau rumus dalam operasi

ketidakmampuan

aljabar; dan

memanipulasi langkah-langkah untuk

d) ketidakmampuan

menjawab suatu masalah.

memanipulasi

(Kastolan, 1992).

siswa

dalam

bentuk

aljabar

berdasarkan sifat dan prinsip yang

Abidin (2012) mengelompokkan

berlaku.

kesalahan menjadi dua sama seperti yang disebutkan

Kastolan,

yaitu

TEMUAN KESALAHAN PENGGUNAAN KONSEP ALJABAR DAN PENJELASANNYA Berikut adalah beberapa kesalahan

kesalahan

konseptual dan prosedural. Kesalahankesalahan

yang

digolongkan

dalam

kesalahan konseptual yaitu: a) kesalahan memeahami definisi dan

aljabar

mahasiswa

penulis

pada

yang

jawaban

ditemukan

ujian

tengah

semester mata kuliah Kalkulus Peubah

sifat-sifat variabel dari suatu bentuk

Banyak.

aljabar;

29


1.

1

2 3

Bagian no. 1

untuk turunan f(x, y) terhadap

a. Mahasiswa melakukan kesalahan

variabel y.

konsep aljabar dalam menentukan

b. Mahasiswa melakukan kesalahan

turunan pertama f(x, y) terhadap

prosedural

variabel x dan turunan pertama f(x,

menggunakan metode substitusi

y) terhadap variabel y. Seharusnya

untuk menemukan nilai x dan y

mahasiswa menjawab fx(x, y) = 3x2

tetapi

– 6y = 0 dan fy(x, y) = 12y2 – 6x =

menentuka bahwa nilai x = 0 dan y

0. Mahasiswa dimungkinkan lupa

= 0. Hasil yang mahasiswa peroleh

atau kurang teliti bahawa jika

memang menjadikan persamaan

suatu

variabel

yang mereka temukan bernilai

diturunkan terhadap variabel x

benar. Tetapi, mahasiswa belum

maka yang dioperasikan hanya

menemukan nilai (x, y) yang lain.

yang terdapat variabel x (Purcel, et

Dalam

al., 2008). Tetapi, mahasiswa tetap

dikatakan melakukan kesalahan

menuliskan 4y3 pada 3x2 + 4y3 –

prosedural karena mahasiswa tidak

6y = 0 walau pada f(x, y), 4y3 tidak

menuliskan prosedur yang benar

berpasangan dengan x. Begitu juga

untuk menentukan nilai x atau y.

fungsi

dua

30

yaitu

mahasiswa

hal

ini

tidak

langsung

mahasiswa


turunan pertama ataupun ke dua. Hal

Bagian no. 2 Mahasiswa

melakukan

kesalahan

yang serupa juga dilakukan untuk fyy

konsep aljabar dalam menentukan

dan fxy.

turunan kedua f(x, y) terhadap variabel

Bagian no. 3

x

a. Mahasiswa melakukan kesalahan

dengan

terhadap

turunan variabel

pertama x.

juga

Mahasiswa

prosedural

dalam

mengalikan

menuliskan fxx = 6x + 4y3 – 6y yang

bentuk aljabar dari fxx.fyy - fxy2. Ada

seharusnya fxx = 6x karena fx(x, y) =

suku dari fxx yang belum dikalikan

3x2 – 6y. Terlihat dari jawaban pada

dengan suku pada fyy.

bagian

no.

1

mahasiswa

juga

b. Mahasiswa

juga

belum

melakukan hal yang sama, yaitu

mensubstitusikan nilai x dan y

beranggapan bahwa jika suku yang

setelah menemukan nilai x dan y

tidak memuat variabel x seperti 4y3

dari prosedur ∇f = 0.

maka tetap ditulis pada turunan f baik 2.

31


Bagian no. 1 Mahasiswa melakukan prosedural turunan

ddalam

pertama

untuk mengetahui apakah nilai (x, y) kesalahan

yang telah ditemukan mengakibatkan f

menentukan

f(x,

y)

memilika

tehadap

nilai

maksimum

atau

minimum lokal atau titik pelana.

variabel x. Mahasiswa menuliskan fx (x, y) = 2xy2 – 12x yang seharusnya

SIMPULAN Dari hasil

adalah fx (x, y) = y2 – 12x. Terlihat dari

jawaban

mahasiswa

sebenarnya dia paham jika

berikut.

f(x, y)

1. Kesalahan menentukan

yang diolah adalah suku yang memuat

kurang

teliti

dalam

fungsi

dua

pertama f terhadap variabel x atau y,

menentukan

atau turunan kedua f terhadap variabel x atau variabel y.

Bagian no. 2

2. Kesalahan prosedural yang dilakukan

Prosedur yang dilakukan mahasiswa

mahasiswa diantaranya:

untuk menentuka nilai merupakan

a. Kesalahan mengalikan dua bentuk

bagian dari metode menentukan nilai x

aljabar.

atau y. Mahasiswa menuliskan – 12x =

b. Kesalahan tidak mensubstitusikan

– 2xy2 kemudian membagi kedua ruas x.Mahasiswa

nilai x dan y yang ditemukan.

melakukan

c. Kesalahan

kesalahan dengan membagi kedua ruas

metode

seharusnya bisa dilakukan dengan

lupa bahwa untuk melakukan prosedur

metode substitusi.

tersebut haruslah ada jaminan bahwa x

d. Kesalahan

≠ 0.

menggunakan

pembagian dengan variabel tanpa

Bagian no. 3 Mahasiswa

memilih

penentuan nilai x dan y yang

dengan x, dimungkinkan mahasiswa

prosedural

turunan

dalam

terhadap variabel y, baik pada turunan

karena

turunan f.

dengan

konseptual

variabel terhadap variabel x atau

variabel x. Kesalahan yang dilakukan dimungkinkan

diperoleh

mahasiswa melakukan kesalahan sebagai

bahwa

diturunkan terhadap variabel x maka

mahasiswa

temuan

melakukan karena

mengetahui

kesalahan

apakah

variabel

tersebut bernilai 0 atau tidak.

menghilangkan

tahap pengecekan dengan diskriminan

32


SMA Negeri Se-Kotamadya Malang. Malang: IKIP Malang.

SARAN 1. Sebaiknya mahasiswa perlu berlatih

Abidin, M. Z. (2012). Kesalahan Konseptual dan Prosedural Siswa dalam Belajar Aljabar, (Online), (http://www.onlinesyariah.com/2012/ 12/08/kesalahan-konseptual-danprosedural-siswa-dalam-belajaraljabar/).

menghubungkan konsep matematika yang satu dengan konsep matematika yang lain. 2. Sebaiknya mahasiswa tidak terfokus saja

pada

materi

yang

sedang

dipelajari, tetapi juga pada konsep aljabar yang terkait dengan materi yang dipelajari. 3. Berbagai hal yang telah dipaparkan dapat dijadikan bahan awal untuk mengadakan penelitian yang lebih lanjut. DAFTAR PUSTAKA Holliday, et. al. (2008). California Algebra 1 Concepts, Skills, and Problem Solving. USA : The McGrow – Hill Company. Beecher, Judith A, et al. (2007). Algebra ang Trigonometry, 3rd Ed. London: Addison-Wesley Publishing Company. Sandhu, D. (2013). Does anyone have any information on the differences between misconceptions and errors in mathematics. Research Gate., (Online),(http://www.researchgate.net /post/Does_anyone_have_any_inform ation_on_the_differences_between_m isconceptions_and_errors_in_mathem atics) Kastolan, dkk. (1992). Identifikasi JenisJenis Kesalahan Menyelesaikan SoalSoal Matematika yang Dilakukan Peserta Didik Kelas II Program A1

33


34

KONSEP ALJABAR YANG TERLUPAKAN

Recommend Documents