Keterdiferensialan
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I Keterdiferensialan Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x0 jika f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) h f (x0 + h) − f (x0 ) ⇔ lim − f 0 (x0 ) = 0 h→0 h f (x0 + h) − f (x0 ) − hf 0 (x0 ) =0 ⇔ lim h→0 h lim
h→0
Misalkan ε =
f (x0 +h)−f (x0 )−hf 0 (x0 ) , h
maka kondisi
∆y = f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 )h + εh dengan ε → 0 untuk h → 0 setara dengan keterdiferensialan fungsi y = f (x) di x0 . Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Hampiran linier dari f di x0 Jika x0 + h = x, maka f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )h
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah
Untuk fungsi z = f (x, y ) di titik (x0 , y0 ), perubahan ∆z = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) memenuhi kondisi ∆z = f (x0 +h, y0 +k)−f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )h+fy (x0 , y0 )k+ε1 h+ε2 k dengan ε1 , ε2 → 0 untuk (h, k) → (0, 0).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Hampiran linier dari f (x, y ) di (x0 , y0 ) Jika x0 + h = x dan y0 + k = y , maka f (x, y ) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Diferensial Total Fungsi Dua Peubah
Untuk fungsi z = f (x, y ), jika (x0 , y0 ) bergerak ke (x0 + dx, y0 + dy ), maka diferensial dari f didefinisikan sebagai dz = df = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
∂f ∂f dx + dy di (x0 , y0 ) ∂x ∂y
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Fungsi z = f (x, y ) terdiferensialkan di (x0 , y0 ) jika turunan parsial fx (x0 , y0 ) dan fy (x0 , y0 ) memenuhi kondisi ∆z = f (x0 +h, y0 +k)−f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )h+fy (x0 , y0 )k+ε1 h+ε2 k dengan ε1 , ε2 → 0 untuk (h, k) → (0, 0). Dalam bentuk vektor, jika x0 = hx0 , y0 i, h = hh, ki, ε = hε1 , ε2 i, dan ∇f (x0 ) = hfx (x0 ), fy (x0 )i, maka kondisi keterdiferensialan di hx0 , y0 i dapat ditulis ∆z = f (x0 + h) − f (x0 ) = ∇f (x0 ) · h + ε(h) · h dengan ε(h) → 0 untuk h → 0. Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Teorema Untuk fungsi z = f (x, y ), jika f terdiferensialkan di (x0 , y0 ), maka f kontinu di (x0 , y0 ). Untuk fungsi z = f (x, y ), jika turunan parsial fx (x, y ) dan fy (x, y ) kontinu pada suatu daerah terbuka D, maka f terdiferensialkan pada D.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Jika fungsi f dapat didiferensialkan di x0 , maka ketika h mempunyai besaran yang kecil f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + ∇f (x0 ) · h Dengan menganggap x = x0 + h, kita menjumpai bahwa fungsi T yang didefinisikan sebagai T (x) = f (x0 ) + ∇f (x0 ) · (x − x0 ) harusnya menjadi hampiran yang baik untuk f (x) jika x dekat dengan x0 . Persamaan z = T (x) mendefinisikan sebuah bidang yang menghampiri f di dekat x0 . Biasanya bidang ini disebut bidang singgung.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Contoh 1
Untuk f (x, y , z) = x sin z + x 2 y , tentukan ∇f (1, 2, 0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Penyelesaian: Turunan parsialnya adalah ∂f = sin z + 2xy ∂x ∂f = x2 ∂y ∂f = x cos z ∂z Jadi, ∇f (1, 2, 0) = 4i + j + k
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Contoh 2
Tunjukkan fungsi f (x, y ) = xe y + x 2 y dapat didiferensialkan di manapun dan tentukan gradien dari fungsi f . Kemudian tentukan persamaan z = T (x, y ) dari bidang singgung di (2, 0).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Penyelesaian: Karena turunan parsial fx (x, y ) = e y + 2xy dan fy (x, y ) = xe y + x 2 kontinu di manapun, maka f dapat didiferensialkan di manapun. Vektor gradien dari fungsi f adalah ∇f (x, y ) = (e y + 2xy )i + (xe y + x 2 )j = he y + 2xy , xe y + x 2 i Jadi, ∇f (2, 0) = i + 6j = h1, 6i. Persamaan bidang singgungnya adalah z = f (2, 0) + ∇f (2, 0) · hx − 2, y − 0i = 2 + h1, 6i · hx − 2, y i = 2 + x − 2 + 6y = x + 6y Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan
Fenomena Fungsi Satu Peubah Pertambahan untuk Fungsi Dua Peubah Keterdiferensialan Fungsi Dua Peubah Latihan
Latihan
Tentukan persamaan bidang singgungnya 1
f (x, y ) = x 2 y − xy 2 , di (−2, 3)
2
f (x, y ) = x 3 y + 3xy 2 , di (2, −2)
5
1 f (x, y ) = cos πx sin πy + sin 2πy di −1, 2 2 x f (x, y ) = di (2, −1) y f (x, y , z) = 3x 2 − 2y 2 + xz 2 di (1, 2, −1)
6
f (x, y , z) = xyz + x 2 di (2, 0, −3)
3
4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I