Integral Garis
Kalkulus Multivariabel I Integral Garis
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Integral Garis
Salah satu jenis generalisasi integral tentu
Rb
f (x)dx diperoleh
a
dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga. Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan R [a, b] dengan kurva C pada bidang xy . Integral yang dihasilkan f (x, y )ds disebut integral garis atau integral kurva. C
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Misalkan C adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini, misalkan C dinyatakan secara parametris dengan x = x(t),
y = y (t),
a≤t≤b
di mana x 0 dan y 0 kontinu dan tidak secara simultan nol pada (a, b).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Kita mengatakan bahwa C berorientasi positif jika arahnya berhubungan dengan peningkatan nilai-nilai t. Andaikan C berorientasi positif dan C hanya dapat ditelusuri sekali ketika t berubah dari a ke b. Jadi, C mempunyai titik awal A = (x(a), y (a)), dan titik akhir B = (x(b), y (b)). Perhatikan pembagian partisi P dari selang parameter [a, b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi n subbusur Pi−1 Pi di mana titik Pi berhubungan dengan ti .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Misalkan ∆si melambangkan panjang busur Pi−1 Pi dan misalkan |P| merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan |P| adalah ∆ti terbesar = ti − ti−1 . Pilih sebuah titik contoh Qi (¯ xi , y¯i ) pada subbusur Pi−1 Pi . Selanjutnya, lihat jumlah Riemann n X
f (¯ xi , y¯i )∆si
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Jika f taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Jika f kontinu pada daerah D yang mengandung kurva C , maka jumlah Riemann ini memiliki sebuah limit ketika |P| → 0. Limit ini disebut integral garis dari f di sepanjang C dari A ke B terhadap panjang busur, dalam hal ini n X
Z f (x, y )ds = lim
|P|→0
C
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
f (¯ xi , y¯i )∆si
i=1
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Untuk f (x, y ) ≥ 0, fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tirai melengkung. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai dengan menyatakan segala sesuatunya dengan menggunakan parameter t dan menghasilkan integral tentu biasa. Dengan menggunakan p ds = [x 0 (t)2 ] + [y 0 (t)2 ] akan dihasilkan Zb
Z f (x, y )ds = C
q f (x(t), y (t)) [x 0 (t)2 ] + [y 0 (t)2 ]dt
a
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus di mana C , meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulus sepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulus C1 , C2 , . . . , Ck yang digabung, seperti ditunjukkan Gambar 3.4. Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjang C sebagai jumlah dari integral-integral pada kurva-kurva individunya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh R1: Hitung x 2 y ds, di mana C ditentukan oleh persamaan parametrik C
x = 3 cos t, y = 3 p sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = 9 − y 2 , y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang sama.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Penyelesaian: I
Parametrisasi I Z C
Zπ/2 q 2 2 x y ds = (3 cos t) (3 sin t) (−3 sint)2 + (3 cos t)2 dt 0
π/2 Zπ/2 81 = 81 cos 2 t sin t dt = − cos 3 t = 27 3 0 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Integral Garis
I
Parametrisasi II s s 2 dx y2 3 da = 1 + dy = 1 + dy dy = p 2 dy 9−y 9 − y2 dan Z
2
Z3
x y ds = C
0
3 (9 − y 2 )y p dy 9 − y2
Z3 p =3 9 − y 2 y dy 0
= −[(9 − y 2 )3/2 ]30 = 27
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh 2: Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran x = a cos t,
y = a sin t, 0 ≤ t ≤ π, a > 0
Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknya dari sumbu x, tentukan massa dan pusat massa kabel tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Penyelesaian: Gunakan prinsip iris, hampiri, dan integralkan. Massa seutas kabel dengan panjang ∆s dapat dihampiri dengan δ(x, y )∆s, di mana δ(x, y ) = ky adalah kerapatan di (x, y ) (k adalah konstanta). Jadi, massa m di seluruh kabel adalah Zπ
Z m=
ka sin t
ky ds = 0
C
= ka2
p a2 sin2 t + a2 cos 2 tdt
Zπ
sin t dt = [−ka2 cos t]π0 = 2ka2
0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Momen kabel tersebut terhadap sumbu x dinyatakan dengan Zπ
Z Mx =
y ky ds = 0
C
=
ka3 2
ka3 sin2 t dt
Zπ (1 − cos 2t)dt 0
π 1 ka3 π = t − sin 2t = 2 2 2 0 ka3
Jadi,
1 3 ka π Mx 1 = 2 2 = πa m 2ka 4 Berdasarkan sifat simetri, x¯ = 0, sehingga pusat massanya ada di (0, πa/4).
y¯ =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh 3: Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatan δ(x, y , z) = kz jika kabel ini mempunyai bentuk heliks C dengan parametrisasi x = 3 cos t, y = 3 sin t,
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
z = 4t 0 ≤ t ≤ π
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Penyelesaian: Zπ
Z m=
kz ds = k C
p (4t) 9 sin2 t + 9 cos 2 t + 16dt
0
Zπ = 20k 0
π t2 t dt = 20k = 10 kπ 2 2 0
Satuan untuk m bergantung pada panjang dan kerapatannya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Kerja
Andaikan gaya yang bekerja pada sebuah titik (x, y , z) dalam ruang dinyatakan dengan medan vektor F (x, y , z) = M(x, y , z)i + N(x, y , z)j + P(x, y , z)k di mana M, N, dan P kontinu. Kita akan menentukan kerja W yang dilakukan oleh F pada sebuah partikel yang bergerak di sepanjang kurva berorientasi yang mulus, C .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Misalkan r = xi + y j + zk adalah vektor posisi untuk titik Q(x, y , z) pada kurva tersebut (Gambar 3.5). Jika T adalah vektor singgung satuan dr /ds di Q, maka F . T adalah komponen singgung dari F di Q.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Integral Garis
Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel tersebut dari Q dalam jarak pendek ∆s di sepanjang kurva tersebut dapat dihampiri sebesar F . T ∆s, dan konsekuensinya kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari A ke B di sepanjang C R didefinisikan dengan F . T ds. Dengan T = (dr /dt)(dt/ds), C
sehingga rumus alternatif untuk kerja adalah sebagai berikut Z Z Z dr W = F . T ds = F. dt = F.dr dt C
C
C
dengan dr = dxi + dy j + dzk, maka F .dr = (Mi + Nj + Pk).dxi + dy j + dzk = Mdx + Ndy + Pdz sehingga Z W =
Z F.dr =
C
Mdx + Ndy + Pdz C
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh 1: Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya hukum kuadrat invers −cr −c(xi + y j + zk) F (x, y , z) = 3 = 2 = Mi + Nj + Pk |r| (x + y 2 + z 2 )3/2 untuk menggerakkan sebuah partikel di sepanjang kurva garis lurus C dari (0, 3, 0) ke (4, 3, 0) seperti ditunjukkan gambar.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Penyelesaian: Di sepanjang C , y = 3 dan z = 0, sehingga dy = dz = 0. Dengan menggunakan x sebagai parameter, diperoleh Z Z x dx + y dy + z dz W = Mdx + Ndy + Pdz = −c (x 2 + y 2 + z 2 )3/2 C
C
Z4 = −c
x c dx = 3/2 2 2 (x + 9) (x + 9)1/2
0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
4 = 0
Kalkulus Multivariabel I
−2c 15
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh 2: Hitung integral garis Z
(x 2 − y 2 ) dx + 2xy dy
C
di sepanjang kurva C yang persamaan parametriknya adalah x = t 2 , y = t 3 , 0 ≤ t ≤ 23 . Penyelesaian: Karena dx = 2t dt dan dy = 3t 2 dt, Z C
Z3/2 (x − y ) dx + 2xy dy = [(t 4 − t 6 )2t + 2t 5 (3t 2 )]dt 2
2
0
Z3/2 8505 = (2t 5 + 4t 7 )dt = ≈ 16.61 512 0 Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Contoh 3: R Hitunglah xy 2 dx + xy 2 dy di sepanjang lintasan C = C1 ∪ C2 C
seperti ditunjukkan gambar. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus C3 dari (0, 2) ke (3, 5).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Penyelesaian: I
Pada C1 , y = 2, dy = 0, dan Z
2
2
Z3
xy dx + xy dy = 0
C1 I
4x dx = [2x 2 ]30 = 18
Pada C2 , x = 3, dx = 0, dan Z
2
2
Z5
xy dx + xy dy =
3y 2 dy = [y 3 ]52 = 117
2
C2
Kita dapat menyimpulkan bahwa Z xy 2 dx + xy 2 dy = 18 + 117 = 135 C2 Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Integral Garis
I
Pada C3 , y = x + 2, dy = dx, sehingga Z
2
Z3
2
xy dx + xy dy = 2
x(x + 2)2 dx
0
C3
Z3 =2
(x 3 + 4x 2 + 4x)dx
0
x 4 4x 3 =2 + + 2x 2 4 3
3 = 0
297 2
Perhatikan bahwa kedua lintasan dari (0, 2) ke (3, 5) menghasilkan nilai yang berbeda untuk integral ini.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Latihan
1. Hitunglah setiap integral garis berikut a. b. c.
R C R C R
(x 3 + y )ds; C adalah kurva x = 3t, y = t 3 , 0 ≤ t ≤ 1 xe y ds; C adalah ruas garis dari (−1, 2) ke (1, 1) (x + 2y )dx + (x − 2y )dy ; C adalah ruas garis dari (1, 1) ke
C
(3, −1)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Garis
Integral Garis Kerja Latihan Pustaka
Pustaka
I
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
I
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.
I
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
I
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I