Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Warsoma Djohan

Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Open Source Not For Commercial Use


March 11, 2011

1 / 34

Fungsi Dua/Lebih Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Dua Peubah


Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.



March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY


Fungsi Dua Peubah

Notasi: z = f (x, y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. √ y−x2 Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2


f (x,y)


f : (x,y)

z

z



March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY


Fungsi Dua Peubah


f (x,y)

f : (x,y)

z

z



Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai.



March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY


Fungsi Dua Peubah


f (x,y)

f : (x,y)

z

z



Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.



March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY


Fungsi Dua Peubah


f (x,y)

f : (x,y)

z

z



Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.

Latihan: Tentukan daerah definisi dari contoh di atas lalu gambarkan. ♠ Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3




1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY


3

z = f ( x, y)

2.5


2

1.5

1

0.5


0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3

Contoh: Gambarkan grafik z =


1 3

p

36 − 9x2 − 4y2



1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY


3

z = f ( x, y)

2.5


2

1.5

1

0.5


0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3


1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0




1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY


3

z = f ( x, y)

2.5


2

1.5

1

0.5


0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

( x, y)

2.5

3


1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

1.5

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

1 –6

–4

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0


1.5 0.5

1

0.5

–2

–8

–6

–4

–2

2

3

4

6

8

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.

2

–0.5

4

6



March 11, 2011

3 / 34

ITB USE ONLY


3

z = f ( x, y)

2.5


2

1.5

1

0.5


0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

( x, y)

2.5

3


1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

1.5

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

1 –6

–4

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0


1.5 0.5

1

0.5

–2

–8

–6

–4

–2

2

3

4

6

8

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.

2

–0.5

4

Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar. Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalah dengan membuat kontur/kurva ketinggiannya. 6



March 11, 2011

3 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)


WD2011

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).

y x



March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

WD2011

z=k

y x



March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)


z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.

y x



March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)


z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy kurva ketinggian

x

y

f(x,y)=k



March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)


z=k

WD2011


x

y

f(x,y)=k


Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f (x, y) dengan ketinggian k


March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)


z=k

WD2011


x

y

f(x,y)=k


Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama.



March 11, 2011

4 / 34


ITB USE ONLY


z=f(x,y)


z=k

WD2011


x

y

f(x,y)=k


Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama.

Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur. p Contoh: Gambarkan peta kontur dari z = 31 36 − 9x2 − 4y2 ♠ Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

4 / 34

Menggambar Peta Kontur

ITB USE ONLY


Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?



March 11, 2011

5 / 34


ITB USE ONLY



Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama ?



March 11, 2011

5 / 34


ITB USE ONLY


Latihan: Gambarkan peta kontur dari: (a) z = xy ♠



(b) z = y2 − x2 .


Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama ?

March 11, 2011

5 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah


Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah


Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah


Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Persamaan kurva ketinggiannya:



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k z = x2 + y2 + k



March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah



Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k z = x2 + y2 + k Peta kontur berupa kumpulan paraboloida.



March 11, 2011

6 / 34

Turunan Parsial

ITB USE ONLY

Turunan Parsial


Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z = f (x, y) dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz.



March 11, 2011

7 / 34

ITB USE ONLY

Turunan Parsial

Turunan Parsial

Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu: a. Turunan parsial terhadap variabel x

♠

b. Turunan parsial terhadap variabel y

♠





March 11, 2011

7 / 34

ITB USE ONLY

Turunan Parsial

Turunan Parsial


♠


♠



Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya ikutilah contoh berikut ini.



March 11, 2011

7 / 34

ITB USE ONLY

Turunan Parsial

Turunan Parsial


♠


♠



Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya ikutilah contoh berikut ini. Contoh: 2 Tentukan semua turunan parsial pertama dari f (x, y) = x2 y3 + ex y . Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

♠ 7 / 34

Turunan Parsial Kedua



Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y).



March 11, 2011

8 / 34




Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.



March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.





March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. fxx (x, y) =

∂

∂f ∂x

∂x


=

∂ 2f (x, y) ∂ x2

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x ∆x→0

= lim




March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. fxx (x, y) = fxy (x, y) =

∂

∂

∂f ∂x

∂x ∂f ∂x

∂y


=

∂ 2f (x, y) ∂ x2

=

∂ 2f ∂ y ∂ x (x, y)

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x ∆x→0

= lim

= lim

∆y→0

fx (x,y+∆y)−fx (x,y) ∆y




March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. fxx (x, y) = fxy (x, y) = fyx (x, y) =

∂

∂

∂

∂f ∂x

∂x ∂f ∂x

∂y ∂f ∂y

∂x


=

∂ 2f (x, y) ∂ x2

=

∂ 2f ∂ y ∂ x (x, y)

= lim


=

∂ 2f ∂ x ∂ y (x, y)

= lim

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x ∆x→0

= lim

∆y→0

∆x→0




March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. fxx (x, y) = fxy (x, y) = fyx (x, y) = fyy (x, y) =

∂

∂

∂

∂

∂f ∂x

∂x ∂f ∂x

∂y ∂f ∂y

∂x ∂f ∂y

∂y


=

∂ 2f (x, y) ∂ x2

=

∂ 2f ∂ y ∂ x (x, y)

= lim


=

∂ 2f ∂ x ∂ y (x, y)

= lim


=

∂ 2f (x, y) ∂ y2

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x ∆x→0

= lim

∆y→0

∆x→0

= lim

∆y→0



fy (y,y+∆y)−fy (x,y) ∆y


March 11, 2011

8 / 34



Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. fxx (x, y) = fxy (x, y) = fyx (x, y) = fyy (x, y) =

∂

∂

∂

∂

∂f ∂x

∂x ∂f ∂x

∂y ∂f ∂y

∂x ∂f ∂y

∂y

=

∂ 2f (x, y) ∂ x2

=

∂ 2f ∂ y ∂ x (x, y)

= lim


=

∂ 2f ∂ x ∂ y (x, y)

= lim


=

∂ 2f (x, y) ∂ y2

fx (x+∆x,y)−fx (x,y) ∆x ∆x→0

= lim

∆y→0

∆x→0

= lim

∆y→0



fy (y,y+∆y)−fy (x,y) ∆y 2

Latihan: Tentukan semua turunan parsial kedua dari f (x, y) = x2 y3 + ex y . ♠ Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

8 / 34

Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1

ITB USE ONLY

Limit Fungsi 2 Peubah


Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).



March 11, 2011

9 / 34


ITB USE ONLY

Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).



x2 −y2 x2 +y2

berikut ini:


Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =

March 11, 2011

9 / 34


ITB USE ONLY


z

x

y



x2 −y2 x2 +y2

berikut ini:



March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

y=x -1

1

x

0

1

y -1 0



x2 −y2 x2 +y2

berikut ini:



March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2

-1

0

1

1

-1

-1 0

0

1

y 0



Perbesaran gambar 2, 10.000 kali



March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2

-1

0

1

1

-1

-1 0

0

1

y 0




Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) →



March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2

-1

0

1

1

-1

-1 0

0

1

y 0




Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1



March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2



-1

0

1

1

1

y -1

-1

0

0

0


Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1 Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2

-1

0

1

1

-1

-1 0

0

1

y 0




Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1 Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → − 1 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

9 / 34

ITB USE ONLY



z

berikut ini:

y=x

y=x -1

1

x

x2 −y2 x2 +y2

-1

0

1

1

-1

-1 0

0

1

y 0




Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1 Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → − 1 Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang garis y = x, f (x, y) → 0 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

9 / 34


ITB USE ONLY


Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:



March 11, 2011

10 / 34


ITB USE ONLY


Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:



March 11, 2011

10 / 34

ITB USE ONLY


Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini: 0.75 1

0.75 1

0.1

0.25

0.1

0.25

0.05 0.01

Perhatikan peta kontur paling kanan. (bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya).


0.5



0.5

0.05

0.01

March 11, 2011

10 / 34

ITB USE ONLY



0.75 1

0.1

0.25

0.5

0.1

0.25

0.05 0.01



0.5

0.05

0.01

Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal.



March 11, 2011

10 / 34

ITB USE ONLY



0.75 1

0.1

0.25

0.5

0.1

0.25

0.05 0.01



0.5

0.05

0.01

Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal. Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) → (0, 0).



March 11, 2011

10 / 34

ITB USE ONLY



0.75 1

0.1

0.25

0.5

0.1

0.25

0.05 0.01



0.5

0.05

0.01

Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal. Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) → (0, 0). Apakah tiap jalur memberikan kecendrungan nilai f (x, y) yang sama ? Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

10 / 34

ITB USE ONLY


Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah

Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis lim f (x, y) = L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0 (x,y)→(a,b)

sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε . p Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2



March 11, 2011

11 / 34

ITB USE ONLY




sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε . p Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2 Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b).



March 11, 2011

11 / 34

ITB USE ONLY




sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε . p Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2 Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b).

Nilai limit f (x, y) tidak boleh bergantung pada arah (x, y) mendekati (a, b). (Pada fungsi dua peubah tidak ada konsep limit kiri atau limit kanan). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

11 / 34

Limit Fungsi Dua Peubah

ITB USE ONLY

Soal-soal Latihan Limit Fungsi Dua Peubah 1. Periksa

x2 −y2 (x,y)→(2,2) x−y

2. Periksa

3−x2 −xy 2 2 (x,y)→(0,0) x +y

3. Periksa

x2 +y2 4 4 x (x,y)→(0,0) −y

5. Periksa


4. Periksa

lim

lim

lim

lim

(x,y)→(0,0)

xy (x2 +y2 )2

x2 y 4 +y2 x (x,y)→(0,0)

lim



March 11, 2011

12 / 34

Kekontinuan Fungsi Dua Peubah

ITB USE ONLY

Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi lim f (x, y) = f (a, b) Open Source Not For Commercial Use

(x,y)→(a,b)



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY

Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi lim f (x, y) = f (a, b) Sifat-sifat: Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).




(x,y)→(a,b)

March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)

Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)

Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)


Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b), maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)


Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b), maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2)



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)



Jawab: Nyatakan f (x, y) = (g ◦ h)(x, y) dengan h(x, y) = x3 − 4xy + y2 dan g(x) = cos x.



March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY



(x,y)→(a,b)



Jawab: Nyatakan f (x, y) = (g ◦ h)(x, y) dengan h(x, y) = x3 − 4xy + y2 dan g(x) = cos x. Fungsi h kontinu di sebarang titik (x, y) ∈ R2 , dan fungsi g kontinu diseluruh R, maka fungsi f kontinu di setiap titik pada R2 . Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

13 / 34


ITB USE ONLY

Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di S ⊂ R2 bila f kontinu pada setiap titik pada S. Bila S memiliki ”batas”, maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.




Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan

March 11, 2011

14 / 34


ITB USE ONLY

Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di S ⊂ R2 bila f kontinu pada setiap titik pada S. Bila S memiliki ”batas”, maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.

Sifat: Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah. Bila fxy dan fyx kontinu pada himpunan buka S, maka fxy = fyx .




Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan

March 11, 2011

14 / 34

Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan

ITB USE ONLY

Diferensial Fungsi Dua Peubah


Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja.



March 11, 2011

15 / 34


ITB USE ONLY



Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 ) dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0)



March 11, 2011

15 / 34


ITB USE ONLY



Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 ) dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0) Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P permukaan x = f (x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut disajikan visualisasi dari konsep tersebut: ♠ ♠



March 11, 2011

15 / 34


ITB USE ONLY



Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 ) dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0) Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P permukaan x = f (x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut disajikan visualisasi dari konsep tersebut: ♠ ♠ Fungsi z = f (x, y) disebut terdiferensialkan di titik P(a, b), bila fungsi tersebut bersifat Locally linear di P.



March 11, 2011

15 / 34


ITB USE ONLY

Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,


dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.



March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY




Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: ∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)



March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY




Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: ∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p) ∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)



March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY



∇[α f (~p)] = α ∇f (~p) ∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p)





March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY






Sifat: Bila fx (x, y) dan fy (x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b) maka f (x, y) terdiferensialkan di (a, b).



March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY







Contoh: Tunjukkan f (x, y) = xey + x2 y terdiferensialkan di mana-mana.



March 11, 2011

16 / 34


ITB USE ONLY







Contoh: Tunjukkan f (x, y) = xey + x2 y terdiferensialkan di mana-mana. Sifat: Jika fungsi f (x, y) terdiferensial di P maka f (x, y) kontinu di P. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

16 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

Turunan Berarah


Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.



March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.


Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .



Animasi turunan berarah ♠ .

March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Contoh pada masalah sehari-hari ♠ . Perhatikan permukaan z = f (x, y)





March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Contoh pada masalah sehari-hari ♠ . Perhatikan permukaan z = f (x, y) P(a, b) titik pada daerah definisi f





March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY




~u vektor satuan yang berpangkal di P



March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY





Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan~u.



March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY





Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan~u. Hasilnya berupa sebuah kurva.



March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY





Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan~u. Hasilnya berupa sebuah kurva. Buat garis singgung di titik (a, b, f (a, b)).



March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY





Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan~u. Hasilnya berupa sebuah kurva. Buat garis singgung di titik (a, b, f (a, b)). Akan dihitung gradien/tanjakan dari garis singgung tersebut. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

17 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY


Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u: ∂f f (~P + h~u) − f (~P) dengan ~P =< a, b > (P) = D~u f (P) = lim h→0 h ∂~u



March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY



~u =



March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY



~u = < 0, 1 >

∂f (P) = ∂~u



March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY



~u = < 0, 1 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x



March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

~u = < 0, 1 >

~u =

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x





March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

~u = < 0, 1 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x


~u = < 1, 0 >

∂f (P) = ∂~u




March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

~u = < 0, 1 >

~u = < 1, 0 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂y



~u =



March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

~u = < 0, 1 >

~u = < 1, 0 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂y





~u = < u1 , u2 >

∂f (P) = ∂~u

March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY



~u = < 0, 1 >

~u = < 1, 0 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂x

~u = < u1 , u2 >

∂f ∂f (P) = (P) ∂~u ∂y

∂f (P) = · · · · · · ∂~u

Teorema: Misalkan z = f (x, y) terdiferensial di sekitar titik P, dan~u vektor ∂f arah satuan maka (P) = ∇F(P) ·~u ∂~u Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

18 / 34

Turunan Berarah

ITB USE ONLY

Soal-soal latihan: 1

Misalkan f (x, y) = 4x2 − xy + 3y2 , tentukan Du f di titik (2, −1) (a.) pada arah~a = h4, 3i (b.) pada arah menuju titik (5, 3). Misalkan z = f (x, y), pada arah manakah D~u f (~p) maksimum?

3

Diberikan temperatur sebuah keping pada setiap titik (x, y) adalah T(x, y) = 4x2 − xy + 3y2 . Seekor kutu berada di posisi (1, 2). Pada arah manakah dia harus bergerak agar mengalami penurunan temperatur terbesar.

4

Alief sedang berada pada lereng gunung Bromo. Bila Dia bergerak ke utara, laju perubahan ketinggiannya adalah 0,7 meter/detik, sedangkan bila bergerak ke arah barat laju perubahan ketinggiannya 0,5 meter/detik. Tentukan laju perubahan ketinggian gunung bila dia bergerak ke arah timur laut. Petunjuk: gambarkan arah mata angin dengan arah timur dan utara masing-masing menggambarkan sumbu x positif dan y positif



2


March 11, 2011

19 / 34

Turunan Berarah vs Vektor Gradien

ITB USE ONLY

Turunan Berarah vs Vektor Gradien:


Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ dari fungsi z = f (x, y).

l



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY

Turunan Berarah vs Vektor Gradien: Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ dari fungsi z = f (x, y). Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut. Open Source Not For Commercial Use

P

l



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P

Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ dari fungsi z = f (x, y). Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut. Open Source Not For Commercial Use

r u

~u vektor singgung satuan satuan di titik P.

l



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P


r u

~u vektor singgung satuan satuan di titik P. Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?

l



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P


r u


l


Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u


March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P


r u


l

Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u Jadi ∇f (P) ·~u = 0



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P

Ñf ( P )


r u


l


Kesimpulan: ∇f (P) tegak lurus terhadap lengkungan ℓ



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P

Ñf ( P )


r u


l



Perluasan konsep: Misalkan F(x, y, z) = k sebuah permukaan dan P sebarang titik di permukaan tersebut, maka ∇F =< Fx (P), Fy (P), Fz (P) > tegak lurus permukaan di titik P. Bukti ♠ .



March 11, 2011

20 / 34


ITB USE ONLY


P

Ñf ( P )


r u


l



Perluasan konsep: Misalkan F(x, y, z) = k sebuah permukaan dan P sebarang titik di permukaan tersebut, maka ∇F =< Fx (P), Fy (P), Fz (P) > tegak lurus permukaan di titik P. Bukti ♠ . 2

Latihan: Diberikan fungsi z = x4 + y2 . Tentukan vektor gradien di titik (2, 1), lalu gambarkan kurva ketinggian beserta vektor gradiennya. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

20 / 34

Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung

ITB USE ONLY

z

y

x F(x,y,z)=0




Bidang Singgung

March 11, 2011

21 / 34


ITB USE ONLY

z

Bidang Singgung

y

x F(x,y,z)=0




Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0

March 11, 2011

21 / 34


ITB USE ONLY

z

Bidang Singgung Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0 P

b y

x F(x,y,z)=0




a

P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.

March 11, 2011

21 / 34


z

ITB USE ONLY

Bidang Singgung Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0 P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.

P

a

b y

x F(x,y,z)=0




Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.

March 11, 2011

21 / 34


z

ITB USE ONLY

Bidang Singgung Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0 P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.

P

a

b y

x

Bagaimana menentukan persamaan bidang singgung tersebut?

F(x,y,z)=0





March 11, 2011

21 / 34


z

ITB USE ONLY

Bidang Singgung Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0

ÑF(P )


P

a

b y

x F(x,y,z)=0



Dibuat bidang singgung yang melalui titik P. Bagaimana menentukan persamaan bidang singgung tersebut? ∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.


March 11, 2011

21 / 34


z

ITB USE ONLY


ÑF(P )


P

a

b y

x F(x,y,z)=0

Bagaimana menentukan persamaan bidang singgung tersebut? ∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.

Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.





March 11, 2011

21 / 34


z


ÑF(P )


P

b y

x F(x,y,z)=0


Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung. Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut.




Q

a

ITB USE ONLY


March 11, 2011

21 / 34


z


ÑF(P )


P

b y

x F(x,y,z)=0


Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung. Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut. −→ Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ .




Q

a

ITB USE ONLY


March 11, 2011

21 / 34


z


ÑF(P )


P

b y

x F(x,y,z)=0



Q

a

ITB USE ONLY


Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung. Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut. −→ Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ . Jadi ∇F(P)· < x − a, y − b, z − c >= 0.



March 11, 2011

21 / 34


z


ÑF(P )


P

b y

x F(x,y,z)=0



Q

a

ITB USE ONLY


Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung. Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut. −→ Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ . Jadi ∇F(P)· < x − a, y − b, z − c >= 0.

<

∂F ∂F ∂F ∂ x (P), ∂ y (P), ∂ z (P) > · < x − a, y − b, z − c >= 0



March 11, 2011

21 / 34


ITB USE ONLY

Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)

P


z=f(x,y)



March 11, 2011

22 / 34


ITB USE ONLY


P

Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.


z=f(x,y)



March 11, 2011

22 / 34


ITB USE ONLY


P

Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan. Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0. Open Source Not For Commercial Use

z=f(x,y)



March 11, 2011

22 / 34

ITB USE ONLY

Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung ÑF(P )


P

Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan. Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0. ∇F =<


∂f ∂f ∂x, ∂y,

−1 >



z=f(x,y)

March 11, 2011

22 / 34

ITB USE ONLY



P


∇F =< ∂f

∂f ∂f ∂x, ∂y,

−1 >

∂f


Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.

z=f(x,y)

Persamaan bidang: < ∂ x (P), ∂ y (P), −1 > · < x − a, y − b, z − c >= 0



March 11, 2011

22 / 34

ITB USE ONLY



P


∇F =< ∂f

∂f ∂f ∂x, ∂y,

−1 >

∂f


Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.

z=f(x,y)

Persamaan bidang: < ∂ x (P), ∂ y (P), −1 > · < x − a, y − b, z − c >= 0 Soal-soal latihan: 1

2 3

Tentukan persamaan bidang singgung terhadap x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3). Tentukan persamaan bidang singgung terhadap z = x2 + y2 di titik (1, 1, 2). Tentukan persamaan bidang singgung yang sejajar dengan bidang xoy terhadap z = x2 − 2xy − y2 − 8x + 4y.



March 11, 2011

22 / 34

Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi

ITB USE ONLY


Diferensial Total dan Aproksimasi



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY

Diferensial Total dan Aproksimasi


Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY

Diferensial Total dan Aproksimasi Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠ Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y). Open Source Not For Commercial Use

( x0, y0 , f ( x0, y0 )) dz Dz ( x, y, f ( x, y)) z = f ( x, y ) Dx

( x0, y0 )

Dy

( x, y)



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY

Diferensial Total dan Aproksimasi Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠

dz Dz

Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .

( x, y, f ( x, y)) z = f ( x, y ) Dx

( x0, y0 )

Dy

( x, y)




Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y). ( x0, y0 , f ( x0, y0 ))

March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY


dz Dz ( x, y, f ( x, y))


Diferensial dari peubah bebas x dan y,

z = f ( x, y ) Dx

( x0, y0 )

Dy

( x, y)





March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY


dz Dz ( x, y, f ( x, y)) z = f ( x, y ) Dx

( x0, y0 )

Dy

( x, y)






dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY



( x0, y0 )

Dy

( x, y)



dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0

Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.





March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY



( x0, y0 )

Dy

( x, y)





dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y).



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY



( x0, y0 )

Dy

( x, y)





dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y). Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy.



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY



( x0, y0 )

Dy

( x, y)





dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y). Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy. Pada gambar di atas z − f (x0 , y0 ) adalah segmen dz, jelaskan?



March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY



( x0, y0 )

Dy

( x, y)





dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y). Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy. Pada gambar di atas z − f (x0 , y0 ) adalah segmen dz, jelaskan? dz = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy disebut diferensial total dari fungsi f . Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

23 / 34


ITB USE ONLY

Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y).


Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa?



March 11, 2011

24 / 34


ITB USE ONLY

Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y). Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa? Open Source Not For Commercial Use

Jadi untuk keperluan aproksimasi, digunakan hubungan



March 11, 2011

24 / 34


ITB USE ONLY

Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y). Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa?

f (x, y) − f (x0, y0 ) = ∆z

≈ dz = fx(x0 , y0) dx + fy(x0 , y0) dy.


Jadi untuk keperluan aproksimasi, digunakan hubungan

Latihan: 1 Misalkan z = 2x3 + xy − y3 . Tentukan ∆z dan dz bila (x, y) berubah dari (2, 1) ke (2, 03 ; 0, 98). √ 2 Gunakan hampiran diferensial total untuk menghitung 3,9 · 9,1.



March 11, 2011

24 / 34

Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai

ITB USE ONLY

Aturan Rantai


Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.



March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY

Aturan Rantai Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.


Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.



March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY


Aturan Rantai jenis 1 Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(t) dan y = y(t).





March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY





Perhatikan bahwa terhadap peubah t, f merupakan fungsi satu peubah.



March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY






dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt



March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY






dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt

Latihan: 1 Misalkan z = x3 y dengan x = 2t dan y = t 2 . Tntukan dz . dt 2 Sebuah silinder jari-jari alasnya r = 10 cm dan tingginya h = 100 cm. Silinder tersebut dipanaskan sehingga memuai dengan laju pertambahan jari-jarinya 0,2 cm/jam dan laju pertambahan tingginya 0,5 cm/jam. Tentukan laju pertambahan volumenya setiap saat. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

25 / 34


ITB USE ONLY

Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1


Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.



March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY

Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1 Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.


Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).



March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY


Turunkan F(x, y) = 0 terhadap x memakai aturan rantai jenis 1.





March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY



∂ F dx ∂ F dy + =0 ∂ x dx ∂ y dx





March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY



∂ F dx ∂ F dy + =0 ∂ x dx ∂ y dx Dengan mengingat

dx dx

= 1, diperoleh

∂ F ∂ F dy + =0 ∂ x ∂ y dx





March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY



∂ F dx ∂ F dy + =0 ∂ x dx ∂ y dx Dengan mengingat

dx dx

= 1, diperoleh

∂ F ∂ F dy + =0 ∂ x ∂ y dx Dari persamaan terakhir, Latihan: Tentukan

dy dx

dy dx



dapat ditentukan.

dari x3 + x2 y − 10y4 = 0



March 11, 2011

26 / 34


ITB USE ONLY

Aturan Rantai jenis 2


Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).



March 11, 2011

27 / 34


ITB USE ONLY

Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t). Open Source Not For Commercial Use

Perhatikan bahwa terhadap peubah (s, t), f merupakan fungsi dua peubah.



March 11, 2011

27 / 34

ITB USE ONLY


Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s


dan



∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t


March 11, 2011

27 / 34

ITB USE ONLY


Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

dan

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

Latihan: Misalkan z = x3 y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan

∂z ∂s


dan



∂z ∂t .


March 11, 2011

27 / 34


ITB USE ONLY

Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2


Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.



March 11, 2011

28 / 34


ITB USE ONLY

Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.


Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).



March 11, 2011

28 / 34


ITB USE ONLY

Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0. Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y). Open Source Not For Commercial Use

Turunkan F(x, y, z) = 0 terhadap x dan y memakai aturan rantai jenis 2.



March 11, 2011

28 / 34

ITB USE ONLY


Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2 Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0. Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).

∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x


dan



∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y


March 11, 2011

28 / 34

ITB USE ONLY



∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x Dengan mengingat

∂x ∂x

= 1 dan

∂y ∂y

∂F ∂F ∂z + =0 ∂x ∂z ∂x


dan

∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y

= 1, diperoleh

dan



∂ F ∂ F dz + =0 ∂ y ∂ z dy


March 11, 2011

28 / 34

ITB USE ONLY



∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x Dengan mengingat

∂x ∂x

= 1 dan

dan

∂y ∂y

Dari persamaan terakhir, Latihan: Tentukan

∂z ∂x

∂z ∂x

dan


dan

∂z ∂y

∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y

= 1, diperoleh

∂F ∂F ∂z + =0 ∂x ∂z ∂x

dan ∂z ∂y



∂ F ∂ F dz + =0 ∂ y ∂ z dy

dapat ditentukan.

dari x3 ey+z − y sin(x − z) = 0


March 11, 2011

28 / 34

Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum

ITB USE ONLY


Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah



March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y) 8

6

2

0

−2

−4

−6 3

3 2

2 1

1 0

0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x




4

March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)

titik maksimum 8

4

2

0

−2

−4

−6 3

3 2

2 1

1 0

0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x




f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df . f (p0 ) disebut nilai maksimum.

6

March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY


4

2

0

−2

−4

−6 3

3 2

2

titik minimum

1 0

1 0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x




6

f dikatakan mencapai minimum di p0 bila f (p0 ) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df . f (p0 ) disebut nilai minimum.


March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY


titik maksimum lokal


4

2

0

−2

−4

−6 3

3 2

2 1

1 0

0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x


6


f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal.



March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY


4

2

0

−2

−4

titik minimum lokal

−6

3

3 2

2 1

1 0

0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x



6


f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal. f dikatakan mencapai minimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≤ f (p) untuk semua titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai minimum lokal



March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY


4

2

0



titik ekstrim lokal

6

−2

−4

titik ekstrim lokal

−6

3

3 2

2 1

1 0

0 −1

−1 −2

−2 −3 y

−3 x


f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal. f dikatakan mencapai minimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≤ f (p) untuk semua titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai minimum lokal Untuk selanjutnya titik maksimum/minimum disebut titik ekstrim. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)


March 11, 2011

29 / 34


ITB USE ONLY


Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).



March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY



Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas, maka titik ekstrim dijamin ada.



March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY


(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY


(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY


(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY


(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada c. Titik batas dari Df





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY


(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada c. Titik batas dari Df 2

Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY



Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 . fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y .





March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY






fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1



March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY






fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1 Titik singular dan titik batas tidak ada.



March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY






fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1 Titik singular dan titik batas tidak ada. 2

f (x, y) = x2 − 2x + y4 =



March 11, 2011

30 / 34

ITB USE ONLY








2

f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 =



March 11, 2011

30 / 34

ITB USE ONLY








2

2

f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥



March 11, 2011

30 / 34

ITB USE ONLY








2

2

f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ − 1



March 11, 2011

30 / 34

ITB USE ONLY








2

2

f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ − 1 Jadi (1, 0) merupakan titik minimum, dan tidak ada titik maksimum.



March 11, 2011

30 / 34


ITB USE ONLY

Teorema Pengujian titik ekstrim lokal

a. b. c. d.

Jika D > 0 dan fxx (p0 ) < 0, maka p0 titik maksimum lokal. Jika D > 0 dan fxx (p0 ) > 0, maka p0 titik minimum lokal. Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim). Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.




Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik stasioner p0 (x0 , y0 ). Tetapkan D = fxx (p0 ) fyy (p0 ) − fxy2 (p0 ), maka

March 11, 2011

31 / 34


ITB USE ONLY

Teorema Pengujian titik ekstrim lokal

a. b. c. d.

Jika D > 0 dan fxx (p0 ) < 0, maka p0 titik maksimum lokal. Jika D > 0 dan fxx (p0 ) > 0, maka p0 titik minimum lokal. Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim). Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.

Latihan: 2

1 2 3

2


Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik stasioner p0 (x0 , y0 ). Tetapkan D = fxx (p0 ) fyy (p0 ) − fxy2 (p0 ), maka

Tentukan titik ekstrim lokal / titik pelana dari z = −x + by2 . a2 Tentukan titik pada z2 = x2 y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 pada daerah 2 S = {(x, y) : x2 + y4 ≤ 1} petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi x = cos t dan y = 2 sin t dengan 0 ≤ t ≤ 2π .



March 11, 2011

31 / 34

Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange

ITB USE ONLY


Ektrim Dengan Kendala.



March 11, 2011

32 / 34


ITB USE ONLY

Ektrim Dengan Kendala. Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y)


Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0.



March 11, 2011

32 / 34


ITB USE ONLY



Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0. Ilustrasi:

y2 Cari titik maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang x2 + − 1 = 0 4 } | {z g(x, y)



March 11, 2011

32 / 34


ITB USE ONLY



Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0. Ilustrasi:

y2 Cari titik maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang x2 + − 1 = 0 4 } | {z Berikut ditampilkan visualisasi dari masalah ini. g(x, y)



March 11, 2011

32 / 34


ITB USE ONLY


Metode Pelipat Lagrange.



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY

Metode Pelipat Lagrange.


Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY

Metode Pelipat Lagrange. Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.


Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY

Metode Pelipat Lagrange. Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0. Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya. Open Source Not For Commercial Use

Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala titik tersebut berada pada kurva g(x, y) = 0



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY


Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala titik tersebut berada pada kurva g(x, y) = 0 Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 .



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY


Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala titik tersebut berada pada kurva g(x, y) = 0 Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 . Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan kurva ketinggian dari f , Mengapa?.



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY


Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala titik tersebut berada pada kurva g(x, y) = 0 Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 . Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan kurva ketinggian dari f , Mengapa?. Dengan demikian, di titik ekstrim, ∇g(x, y) sejajar dengan ∇f (x, y), Mengapa?



March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY


Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala titik tersebut berada pada kurva g(x, y) = 0 Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 . Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan kurva ketinggian dari f , Mengapa?. Dengan demikian, di titik ekstrim, ∇g(x, y) sejajar dengan ∇f (x, y), Mengapa? Jadi untuk mencari titik ekstrim dari z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0, kita harus mencari pasangan titik (x, y) yang memenuhi hubungan:

∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

dengan λ konstanta, disebut pelipat Lagrange Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

33 / 34


ITB USE ONLY


Titik (x, y) yang memenuhi hubungan ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) disebut titik kritis



March 11, 2011

34 / 34


ITB USE ONLY



Diskusi: Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan titik maksimum dan titik minimumnya?



March 11, 2011

34 / 34


ITB USE ONLY



Diskusi: Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan titik maksimum dan titik minimumnya? Bila hanya terdapat 1 buah titik krirtis, bagaimana menentukan jenisnya?



March 11, 2011

34 / 34


ITB USE ONLY


1 2 3

4


Diskusi: Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan titik maksimum dan titik minimumnya? Bila hanya terdapat 1 buah titik krirtis, bagaimana menentukan jenisnya? Latihan: 2

Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang g(x,y) = x2 + y4 − 1 = 0. 2 Carilah titik-titik ekstrim dari f (x, y) = y2 − x2 pada elips x4 + y2 = 1. Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga bahan alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp 6.000/m2 dan jumlah uang yang tersedia Rp. 120.000. Catatan: ∇f (x,y,z) = hfx ,fy ,fz i. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan silinder x2 + y2 = 2 dengan bidang y + z = 1. Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, rumus metode Lagrangenya adalah:   ∇f (x, y, z) = λ ∇g(x, y, z) + µ ∇h(x, y, z) g(x, y, z) = 0  h(x, y, z) = 0



March 11, 2011

34 / 34

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Recommend Documents