´ MATRIXOK
Irodalom A fogalmakat, defin´ıci´ okat illet˝ oen k´et forr´ asra t´ amaszkodhatnak: ezek egyr´eszt elhangzanak az el˝ oad´ ason, m´ asr´eszt megtal´ alj´ ak a jegyzetben: Szab´ o L´ aszl´ o: Bevezet´es a line´ aris algebr´ aba, Polygon Kiad´ o, Szeged, 2003, 2. fejezet (M´ atrixok); tov´ abbi aj´ anlott irodalom: Hajnal Imre – dr. Nemetz Tibor – dr. Pint´er Lajos: Matematika III. (fakultat´ıv B v´ altozat), (gimn´ aziumi tank¨ onyv); VIII. fejezet (345. oldalt´ ol - 363. oldalig, feladatok is!!) D. K. Fagyejev–I. Sz. Szominszkij: Fels˝ ofok´ u algebrai feladatok , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1973, illetve Typotex Kiad´ o, 2000; 4. fejezet, 1. szakasz, 464. - 465., 467. - 479., 506. feladat Freud R´ obert: Line´ aris algebra, ELTE E¨ otv¨ os Kiad´ o, Budapest, 2001; 2. fejezet, 1. szakasz. Scharnitzky Viktor: M´ atrixsz´ am´ıt´ as (p´eldat´ ar, Bolyai-k¨ onyvek sorozat), M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 2000; A M´ atrixok c. fejezetben (fogalmak, jel¨ ol´esek a 89. o.-t´ ol), Kidolgozott feladatok (a 113. oldalt´ ol): 1.-9., 24.-57., 68., 71.-74. ´k P´ elda 1. P´ elda. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o m´ atrixok k¨ oz¨ ul azokat, amelyek l´eteznek: T T (a) A , B , (b) A + B, C + D, D − C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, ha 1 0 1 1 2 −1 D= A = −1 2 B= 2 C= −3 3 0 3 4 −1
2 4
.
Megold´ as. (a)
1 T A = −1 3
T 0 1 −1 2 = 0 2 4
3 4
,
T 1 BT = 2 = ( 1 2 −1
−1 ) ;
Typeset by AMS-TEX
´ MATRIXOK
(b) A + B nem l´etezik, mivel A ´es B nem azonos t´ıpus´ uak: az A m´ atrix 3 × 2-es, B pedig 3 × 1-es t´ıpus´ u. C ´es D viszont azonos t´ıpus´ uak, ´ıgy o ¨sszeadhat´ ok: C +D =
2 3
−1 0
+
1 −3
2 4
=
2+1 −1 + 2 3 + (−3) 0 + 4
=
3 1 0 4
;
´es persze a kivon´ as is elv´egezhet˝ o: D−C =
1 −3
2 4
−
2 −1 3 0
=
1 − 2 2 − (−1) −3 − 3 4−0
=
−1 −6
3 4
;
(c)
0 3·1 2 = 3 · (−1) 4 3·3
1 3 · A = 3 · −1 3
3·0 3 0 3 · 2 = −3 6 ; 3·4 9 12
(d) AD ´ertelmezett, hiszen A-nak 2 oszlopa van, D-nek pedig 2 sora. szorzatm´ atrixot a defin´ıci´ o alapj´ an a k¨ ovetkez˝ o m´ odon sz´ am´ıtjuk ki:
1 AD = −1 3
0 1 2 · −3 4
2 4
1·1+0·3 1·2+0·4 1 = (−1) · 1 + 2 · 3 (−1) · 2 + 2 · 4 = 5 3·1+4·3 3·2+4·4 16
A
2 6 , 22
(L´ atjuk, hogy a szorzatm´ atrixnak 3 sora van, mint A-nak, ´es 2 oszlopa van, mint D-nek.) DA nem l´etezik, mivel D oszlopainak sz´ ama nem egyezik meg A sorainak sz´ am´ aval.
BT A = ( 1 2
1 −1 ) −1 3
0 2 = 4
= ( 1 · 1 + 2 · (−1) + (−1) · 3
1 · 0 + 2 · 2 + (−1) · 4 ) = ( −4 0 ) .
´bbi aja ´nlott feladatok Tova 1. Feladat. Tegy¨ uk fel, hogy A, B adott, X pedig ismeretlen, azonos m´eret˝ u m´ atrixok. Oldja meg az al´ abbi m´ atrix-egyenleteket” (azaz a m˝ uveletek ismert-tanult ” tulajdons´ agai alapj´ an fejezz¨ uk ki az X m´ atrixot az o ¨sszef¨ ugg´esb˝ ol): (a) X + A = 2(X − B)
1 3 (b) 3 X + A = 5 X − B . 2 4
Adjuk meg a megold´ asokat, abban az esetben, ha
−1 A= 1 0
0 1 −1 0 1 −1
´es
1 2 B = 4 5 7 8
3 6 9
´ MATRIXOK
2. Feladat. Szorozza o ¨ssze az al´ abbi m´ atrixok k¨ oz¨ ul az o ¨sszeszorozhat´ okat:
A=
3 −1 2 0
7 −1
5 0
1 −1 2 D = 1 3 −2 0 −1 1 −2 0 R = 3 −11
B=
0 −9 2 1
P =(0
−9
−2 0 S = 3 1
5 −4
−2 11 C = 0 1 3 −8 3 −1 7 Q = 2 0 −1 6 −2 0
5)
11 1 −8 1
1 −1 0 0
T =
−2 3
1 −1
.
3. Feladat. Szorozzuk o ¨ssze a al´ abbi m´ atrixokat mindk´et sorrendben. ´erdekess´eget” tapasztalunk? ” A=
(a)
0 0
1 0
2 C = −1 1
(b)
B=
−3 4 −3
−5 5 −4
1 0
0 0
−1 D= 1 −1
5 0 4
Milyen
3 −3 3
5 −5 5
4. Feladat. Mutassunk r´ a egy p´eld´ aval, hogy m´ atrixok k¨ or´eben nem lehet egyszer˝ us´ıteni, azaz keress¨ unk olyan A, B, C m´ atrixokat (pl. a 2 × 2-es m´ atrixok k¨ or´eben), hogy AB = AC, de A 6= O ´es B 6= C. 5. Feladat. Mi t¨ ort´enik egy 3 × 3-as m´ atrixszal, ha balr´ ol, illetve jobbr´ ol az al´ abbi m´ atrixszal megszorozzuk:
2 0 0 (a) P = 0 1 0 ; 0 0 1 (c)
1 2 R =0 1 0 0
0 0; 1
2 (b) Q = 0 0
0 0 2 0; 0 2
1 0 0 (d) S = 0 0 1 ; 0 1 0
(Pr´ ob´ aljunk a ´ltal´ anos´ıtani!) *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Megjegyz´ es. Azonos t´ıpus´ u n´egyzetes m´ atrixok eset´en az o ¨sszeszorozhat´ os´ ag felt´etele teljes¨ ul, ´es a szorzat is ugyanolyan t´ıpus´ u lesz. Ez´ert (´es a szorz´ as asszociativit´ asa miatt!) n´egyzetes m´ atrix eset´en ´ertelmezhet˝ o a hatv´ anyoz´ as: A1 = A, ´es ha n ≥ 2, akkor An = AAn−1 ,
A ∈ T n×n .
Abban is meg´ allapodunk, hogy A0 = En , az n × n-es egys´egm´ atrix.
´ MATRIXOK
6. Feladat. Igazoljuk a m´ atrix-hatv´ anyoz´ as al´ abbi azonoss´ agait (m, k nemnegat´ıv eg´esz sz´ amok): (a) Am Ak = Am+k , ahol m, k ∈ N; (b) (Am )k = Amk , ahol m, k ∈ N; Mutassunk r´ a, hogy (AB)m = Am B m a ´ltal´ aban nem teljes¨ ul. Milyen felt´etel(ek) mellett teljes¨ ul ez az o ¨sszef¨ ugg´es? 7. Feladat. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi m´ atrix-hatv´ anyokat (n term´eszetes sz´ am, a val´ os sz´ am):
(a)
2 −4 1 −2
1111
(b)
n a 1 0 (g) 0 a 1 0 0 a
2 1
(h)
−3 −2
1111
cos ϕ sin ϕ
(c)
− sin ϕ cos ϕ
0 −1
1 0
n
1111
(i)
(d)
1 1 0 1
cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ
n
n
8. Feladat. (2003-as dolgozatfeladat) Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o m´ atrixok k¨ oz¨ ul azokat, amelyek l´eteznek: F C T + BT ,
G2 C T ,
F A + BD T ,
AG2 + G
ha −1 0 , A= 3 2 −1 1 1 0 C= , 1 0 1 −2
1 −1
B = ( 1 −1
2 D = −1 0
1 −2 −1
−1
1),
G=
0 −1 1 0 , 3 2
2 5 3 7
F = (2
,
4).
9. Feladat. Ha A ´es B tetsz˝ oleges n × n-es (azaz n´egyzetes) m´ atrixok, igazak-e a k¨ ovetkez˝ ok: (1) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 ; (2) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ; (3) Ha (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 , akkor AB = BA; (Ha igaz, bizony´ıtsa be; ha nem, keressen ellenp´eld´ at pl. a 2 × 2-es m´ atrixok k¨ oz¨ ott.) 10. Feladat. Sz´ am´ıtsa ki az A2 + 3A − 4E3 kifejez´es ´ert´ek´et az
1 3 A = 4 −2 3 1
−5 6 2
m´ atrixra. (M´ assz´ oval: sz´ am´ıtsa ki az f (x) = x2 + 3x − 4 polinom helyettes´ıt´esi ´ert´ek´et az A helyen.)
´ MATRIXOK
1 1 8 16 m´ atrix r¨ oviden a k¨ ovetkez˝ ok´eppen ´ırhat´ o f¨ ol: 27 81 1 1 1 A = (aij )3×4 , ahol aij = ij . Hasonl´ oan a B = 0 1 1 m´ atrix r¨ oviden a k¨ ovetkez˝ o: 0 0 1 1, ha i ≤ j, B = (bij )3×3 , ahol bij = 0, k¨ ul¨ onben.
1 1 11. Feladat. Az A = 2 4 3 9
´Irja f¨ ol az al´ abbi k´eplettel megadott” m´ atrixokat: ” (1) X = (xij )4×3 , ahol xij = i + j; −1, ha i > j, (2) X = (xij )3×3 , ahol xij = 0, ha i = j, 1, ha i < j; 1, ha i + j p´ aros (3) X = (xij )3×4 , ahol xij = 0, k¨ ul¨ onben; 2i−j , ha i ≥ j, (4) X = (xij )n×n , ahol n ∈ N ´es xij = ; 0, k¨ ul¨ onben; (5) X = (xij )4×4 , ahol xij = (−1)i−j ; (6) X = (aij )6×6 , ahol xij az i ´es j legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oja; Megjegyz´es. Ez az ´ır´ asm´ od a m´ atrixok egy m´ asik f¨ olfog´ as´ anak felel meg. Hasonl´ oan ahhoz, ahogyan pl. egy val´ os sz´ am n-esre id˝ onk´ent mint egy {1, 2, . . . , n} → R lek´epez´esre gondolunk, ugyan´ ugy egy T sz´ amtest f¨ ol¨ otti n × k-as m´ atrix nem m´ as, mint egy {1, 2, . . . , n} × {1, 2, . . . , k} → T lek´epez´es. 12. Feladat. Tal´ aljuk ki a az al´ abbi m´ atrixok k´eplet´et”: ” 1 1 A = 1 1 1 1 D = 1 0
1 1 2 3 3 6 4 10 1 1 0 −1
1 4 10 20
1 0 −1 −1
0 −1 −1 −1
1 2 B = 3 4 1 1 V = 1 1
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
1 2 4 8
1 1 3 4 9 16 27 64
1 1 1 1 1 2 C = 1 3 1 4 1 1 −1 0 1 ∗ 0 S = 1 −1 −1 0
1 1 1 1 1 −1 0 1
−1 0 1 −1
