INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK
NURFAUZIAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 2015 Nurfauziah NIM G54100070
ABSTRAK NURFAUZIAH. Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan MUHAMMAD ILYAS. Inverse eigenvalue problem adalah proses mengonstruksi suatu matriks yang mempertahankan struktur tertentu dari data tertentu. Biasanya Data yang digunakan dapat berupa informasi sebagian dari nilai eigen atau vektor eigen. Beberapa jenis matriks yang sering dibahas dalam inverse eigenvalue problem adalah Matriks Tridiagonal Simetrik, Matriks Jacobi, Matriks Toeplitz, dan matriks Hermitian. Dalam karya ilmiah ini, jenis matriks yang dibahas adalah Matriks Tridiagonal Simetrik beserta dua kasus khusus yaitu matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif dan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan. Dalam setiap kasus tersebut masing-masing memeliki syarat perlu dan cukup yang dibahas dalam lema dan teorema. Kata kunci: Inverse eigenvalue problem, Matriks Tridiagonal Simetrik, Nilai Eigen.
ABSTRACT NURFAUZIAH. An Inverse Eigenvalue Problem for Symmetric Tridiagonal Matrices. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and MUHAMMAD ILYAS. Inverse eigenvalue problem is the process of constructing a matrix that retains a certain structure of specific data. The data typically used may be information some of eigenvalues or eigenvectors. Several types of matrices that are often discussed in inverse eigenvalue problem are symmetric tridiagonal matrices, Jacobi matrices, Toeplitz matrices, and Hermitian matrices. In this paper, we discussed the problem for symmetric tridiagonal matrices and its two special cases, namely a symmetric tridiagonal matrices with negative main diagonal entries and those with constant elements. In every case we provided necessary and sufficient conditions which are presented in the lemma and theorems. keywords: Inverse eigenvalue problem, minimal and maximal eigenvalue, symmetrical tridiagonal matrices.
INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK
NURFAUZIAH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan September 2014 ini adalah matematika murni, yang berjudul Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik. Terima kasih kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MSi dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr Jaharuddin selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Disamping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, bapak, adik dan seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat matematika 47, kakak dan adik kelas, sahabat SMA Negeri 1 Pandeglang, SMP Negeri 1 Jiput, SD Negeri 3 Sukacai, teman-teman Lingkar Inspirasi, teman-teman BEM KM 2013/2014 serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga karya ilmiah ini selesai. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2015 Nurfauziah
DAFTAR ISI PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Matriks
1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3
Teorema Cauchy Interlace
3
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Matriks Tridiagonal Simetrik
4
Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Tak Negatif
8
Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Bernilai Konstan
10
Contoh Aplikasi
13
SIMPULAN DAN SARAN
20
Simpulan
20
Saran
20
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti contoh aplikasi 1
22
2 Bukti contoh aplikasi 2
24
3 Bukti contoh aplikasi 3
26
PENDAHULUAN Latar Belakang Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam matriks. Matriks tridiagonal simetrik adalah matriks yang mempunyai elemen yang simetrik secara diagonal dan bernilai nol pada entri-entri selain diagonal utama, superdiagonal dan subdiagonal. Istilah “eigen’’ di dalam bahasa Jerman mempunyai arti “asli”. Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli, nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks. Mengkonstruksi suatu matriks yang mempertahankan struktur tertentu dari data tertentu disebut inverse eigenvalue problem. Data yang digunakan dapat berupa informasi sebagian dari nilai eigen atau vektor eigen. Salah satu matriks yang sering dibahas dalam inverse eigenvalue problem adalah matriks tridiagonal simetrik karena sangat penting dalam banyak aplikasi, di antaranya digunakan pada teori getaran yang dibahas oleh Barcilon (1979), desain struktural yang dibahas oleh Joseph (1992), dan teori control yang dibahas oleh Byrnes (1989). Dalam karya ilmiah ini akan dikonstruksi suatu matriks tridiagonal simetrik dari data yang terdiri dari beberapa nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama. Sumber utama penulisan karya ilmiah ini ialah jurnal ilmiah karya Hubert Pickmann, Ricardo L. Soto, J. Egana, dan Mario Sales (2006) yang berjudul An inverse eigenvalue problem for symmetrical tridiagonal matrices. Contoh aplikasi teori inverse eigenvalue problem diberikan pada lampiran dengan menggunakan software MAPLE.
Tujuan Tujuan karya ilmiah ini ialah mengkaji secara teoritis syarat perlu dan cukup untuk mengkonstruksi suatu matriks tridiagonal simetrik dari nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama.
TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai konsep yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan. Matriks Matriks Tridiagonal Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang berukuran | dinotasikan sebagai , adalah matriks dengan entri-entri jika |
, .
2
. (
(1)
)
Berikut merupakan contoh matriks tridiagonal dengan (
)
Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas digonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal (Kouachi 2006). Matriks Tridiagonal Simetrik Matriks tridiagonal simetrik adalah matriks yang berukuran | dinotasikan sebagai dengan entri-entri jika | dan untuk semua dan .
. (
yang
(2)
)
Berikut merupakan contoh matriks tridiagonal simetrik dengan (
)
Submatriks utama Jika terdapat matriks tridiagonal simetrik
, [
]
(3)
3 maka submatriks utama dari adalah submatriks-submatriks yang dibentuk baris terakhir dan kolom terakhir dari , dengan menghilangkan dengan Submatriks-submatriks tersebut dituliskan sebagai berikut
, -,
[
],
[
],..., [
]
(Anton, Howard. 2005). Nilai Eigen dan Vektor Eigen . Skalar disebut nilai eigen atau Misalkan adalah suatu matriks nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol , sehingga Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen . Persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk (
)
(4)
Persamaan (4) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika singular atau ekivalen dengan (
)
(5)
Jika determinan pada persamaan (5) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat dalam peubah sebagai berikut ( )
(
)
(6)
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari (Leon 2001). Definisi 1 Jika himpunan * + memenuhi kondisi balanced set, maka terdapat matriks tridiagonal simetrik dan Гiaruaunuk eeiaukuk keuue aenak pure .suniutrens utuiukuu Teorema Cauchy Interlace Teorema Cauchy Interlace Jika terdapat matriks simetrik yang berukuran merupakan submatriks utama dari yang berukuran
, dengan , maka
4 ( )
( )
dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari memenuhi pertidaksamaan berikut, ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
yang
.
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Definisi. Misalkan diberikan suatu fungsi ( ) dengan bilangan real, jika ( ) memenuhi sifat ( ) ( ) maka ( )merupakan fungsi genap. Sedangkan jika berlaku ( ) ( ) maka ( ) merupakan fungsi ganjil.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas beberapa lema dan teorema yang digunakan untuk mendapatkan suatu matriks tridiagonal simetrik. Matriks Tridiagonal Simetrik Misalkan diberikan matriks tridiagonal simetrik dengan bentuk sebagai berikut.
, ( dengan dari . (
(7)
)
dan , adalah submatriks utama ( ) merupakan polinomial karakteristik dari , dengan ( ) ) adalah matriks identitas ordo ke- .
Berikut merupakan lema yang akan menjelaskan tentang polinomial karakteristik ( ), dengan yang memenuhi relasi rekursif. Lema 1 Jika diberikan matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran , maka barisan polinomial karakteristik { ( )} memenuhi relasi rekursif sebagai berikut: ( ) dengan
( )
(
) ( )
(
( ) ), dan
( ) .
(8)
5 Ilustrasi Kebenaran Berikut adalah Ilustrasi kebenaran Lema 1 untuk Untuk ( )
|
|
Untuk ( )
(
, maka
.
),
|
|
(
)(
(
) ( )
(
) ( )
) ( ) ( )
(
maka |
dan
)
|
|
|
(
)(
)(
(
),(
(
) ( )
)
)(
(
)
)
-
( (
) )
( ).
Lema 2 Diberikan matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran ( )
, dengan polinomial karakteristik Misalkan , 1. Jika 2. Jika
( )
dan ( ) ( )
( )
∏
.
( )
/
.
berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari
maka ( , maka
( )
) ( )
.
.
Bukti:
Akan dibuktikan bentuk (1) dan (2). ( ) ( ) ∏ . /, sehingga ( )
( ) ( ) ∏ . untuk , /, jika bilangan genap, maka ( ) , dan jika ( ) , sehingga diperoleh ( ) ( ) .
Selanjutnya, untuk
( )
,
( )
∏
.
( )
/,
bilangan ganjil maka
6 ( )
. / akan selalu bernilai positif untuk bilangan genap ataupun ganjil sehingga diperoleh ( ) . Selanjutnya akan dibahas unsur-unsur dari matriks tridiagonal simetrik dan dengan menggunakan Teorema 1 sebagai berikut.
yaitu
Teorema 1. Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran , , dengan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari adalah ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
dan
.
(9)
Bukti: Akan dibuktikan terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti bentuk (7), yang mempunyai unsur dan dengan , unsur-unsur tersebut akan didapatkan dengan cara sebagai berikut. ( )
Misalkan diberikan .
(9), dengan ( )
dan
( )
{
( )
/
( )
dan
( )
.
dan
yang memenuhi persamaan
/ =0. Selanjutnya dengan mensubtitusikan
ke dalam Lema 1 maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
. (10) ( ) ( ) ( ) ( ) / . / . / . / . Selanjutnya, dengan merubah persaman (10) kedalam bentuk matriks maka akan diperoleh matriks sebagai berikut. (
.
( )
.
( )
/
)
(
/
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
.
( )
/ /
)(
.
( )
( )
dengan dan , persamaan (11) bisa dinyatakan sebagai berikut |
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
.
(
/ | ) /
(
( )
)
(
/
)
(11)
sehingga determinan dari
( )
)
(
( )
)
(
Koefisien matriks (11) tak nol, sehingga dapat dituliskan bahwa ̃
(
)
̃
(
)
0
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/1
( )
).
(12)
7 ̃
(
)
.
( )
/
.
( )
/
(
)
( )
.
/
.
( )
/.
(13)
Perhatikan bahwa persamaan (13) memenuhi pertidaksamaan (9) sehingga berdasarkan Lema 2 diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut. ( )
Jika .
( )
( )
maka (
( )
Selanjutnya, jika ( )
.
( )
maka (
Karena ̃ dan sebagai berikut.
{
/
( )
dan jika .
( )
/
.
)
.
( )
/
dan jika
)
( )
.
( )
( )
)
,sehingga diperoleh (
/
Jadi dapat disimpulkan bahwa ̃
{
( )
.
,sehingga diperoleh (
/
maka
)
/
/
maka
.
.
( ) ( )
/
( )
.
.
maka solusi dari persamaan (10) dapat dituliskan
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
( )
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
( )
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
,
.
(14)
Ubah persaman (14) ke dalam bentuk matriks maka diperoleh matriks sebagai berikut. ( )
(
( )
.
( )
.
( )
/
)
/
(
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
)(
).
Selanjutnya, dengan menggunakan Metode Cramer dapat dicari rumus dengan sebagai berikut. | | | | dengan | |
|
| |
|
( ) ( )
.
( )
.
( )
/ /
(
( )
(
( )
) )
.
( )
.
(
(
( )
(
( )
/ | ) /
) | )
.
( )
( )
(
/
( )
)
.
(
( )
( )
)
/
.
( )
(
( )
/
( )
)
.
(
dan
( )
( )
/
),
,
8 | |
|
.
( )
.
( )
/
( )
/
( )
.
( )
.
( )
Sehingga unsur-unsur ( )
| |
( )
.
/ /
|
(
( )
)
( )
( )
(
( )
.
( )
(
)
( )
(
( )
),
diperoleh sebagai berikut /
.
( )
( )
/
( )
.
/
.
( )
| | | |
)
/
( )
.
( )
/
.
( )
/
( )
.
/
.
( )
(15) /
| | .
( )
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
.
(16)
Berdasarkan pertidaksamaan (9) dan Lema 2 diperoleh persamaan sebagai berikut, ( Sehingga
(
)
( )
.
( )
.
( )
/
.
( )
/
.
, dengan
̃
)
/
Sebaliknya, misalkan terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran dengan adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari Cauchy Interlace berlaku ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
. dan berturut-turut , sehingga menurut Teorema (
)
( )
.
Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Tak Negatif Pada bagian ini akan dibahas kasus khusus untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif dari nilai eigen minimal dan maksimal dari , dengan . Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif akan ditunjukan oleh Teorema 2. Teorema 2. ( ) ( ) Diberikan dan sebanyak , dengan ,terdapat matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif yang berukuran ( ) ( ) seperti pada bentuk (7), dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan jika dan hanya jika ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
(17)
9 ( )
(18)
( ) ( )
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
/
.
( )
/
(19)
Bukti: Akan dibuktikan jika nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama memenuhi pertidaksamaan (17), (18), dan (19) maka akan diperoleh , . Berdasarkan Teorema 1, pertidaksamaan (17) merupakan syarat perlu dan ( ) cukup terbentuknya suatu matriks tridiagonal simetrik, diketahui , ( ) berdasarkan rumus akan diperoleh . Selanjutnya, diketahui ( )
(
( )
)
(
.
)
.
( ) ( )
/
.
/
.
( ) ( )
/ /
,
( )
( )
dan
Berdasarkan Lema 2 diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut. ( ) ( ) ( ) Jika maka ( ) . / dan jika .
( )
. Sehingga dapat disimpulkan (
/
)
.
(20)
. ( )
( )
/
(
)
.
( )
maka /
.
Selanjutnya, dengan menyilang atau menyamakan penyebut pertidaksamaan (20) dapat dituliskan bahwa ( )
(
)
.
( )
/
( )
.
( )
/
(
)
.
( )
/
.
( )
/.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan (
)
0
( )
.
( )
/
.
( )
( )
/
.
maka berdasarkan persamaan (15) diperoleh matriks
( )
/
.
( )
/1
,
dengan
̃
Sebaliknya, misalkan terdapat sebuah matriks tridiagonal simetrik ( ) ( ) seperti pada bentuk (7) dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan Teorema Cauchy interlace menjamin kondisi (17) benar dan berdasarkan Teorema 1 terdapat unsur sebagai berikut, 0
( )
.
( )
/
.
( )
/
Persamaan di atas ekuivalen dengan
( )
.
( )
/
.
( )
/1
,
10 ( )
0
.
( )
/
.
( )
( )
/
.
( )
/
( )
.
/1 (
)
̃ dengan ̃
. Maka diperoleh
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( (
) )
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
/
.
( )
/
(
)
( )
.
( )
.
( )
/
.
( )
/
(
)
( )
.
( )
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
/
.
( )
/
/ /
.
( )
.
( )
/ /
.
Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Bernilai Konstan Pada bagian ini akan dibahas kasus khusus untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan. Lema 3. Diberikan matriks tridiagonal simetrik sebagai berikut.
, (
(21)
)
( ) merupakan polinomial karakteristik dari dengan dan dari dengan . Jika bilangan genap maka submatriks utama ( ) merupakan polinomial genap dan jika bilangan ganjil maka ( ) merupakan polinomial ganjil. Bukti: Akan dibuktikan jika bilangan ganjil maka ( ) merupakan polinomial ganjil, sedangkan jika bilangan genap maka ( ) merupakan polinomial genap. Diberikan , , berdasarkan rumus polinomial karakteristik pada Lema 1 maka polinomial karakteristik dari adalah ( ) Untuk bilangan ganjil. Jika , maka ( ) ( ) ( )
( )
( )
.
11 (
karena
)
(
( ( ( ,
( ( ) ) )
) )
)
( ), maka
( ) merupakan polinomial ganjil.
Anggap benar untuk bilangan genap dan bilangan ganjil, ( ) merupakan polinomial genap dan ( ) merupakan polinomial maka ganjil sehingga ( ) ( ) ( )/ . .
karena
(
)
( )
( )/
( ) ( ) ( ), ( ), maka ( ) merupakan polinomial ganjil.
Untuk bilangan genap. Jika , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), maka ( ) merupakan polinomial genap. Anggap benar untuk bilangan ganjil dan bilangan genap maka ( ) merupakan polinomial genap, ( ) merupakan polinomial ganjil dan sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), maka ( ) merupakan polinomial genap. karena ( ) Karena
Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan akan ditunjukkan oleh Teorema 3 sebagai berikut, Teorema 3. ( ) ( ) Diberikan bilangan real dan sebanyak , yang memenuhi persamaan (9). Terdapat matriks tridiagonal simetrik yang ( ) berukuran dengan dan seperti pada bentuk (21) dengan dan ( ) berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan jika dan hanya jika ( )
( )
( )
12 Bukti: ( ) ( ) Diketahui tridiagonal simetrik seperti pada bentuk (21). ( ) Jika maka
( )
Akan dibuktikan terdapat matriks yang berukuran dengan dan
( )
( )
sehingga
( )
( )
( )
( )
.Berdasarkan
( )
Definisi 1, jika dan maka himpunan nilai eigen tersebut memenuhi kondisi balanced set sehingga akan ada matriks tridiagonal simetrik dengan seperti bentuk (21) dengan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan memenuhi persamaan (9). ( ) ( ) ( ) ( ) Jika dan didefinisika , maka ( ) ( ) =0
dengan menjumlahkan .
( )
( )
( )
dan
( )
sehingga
( )
( )
,
maka diperoleh,
/
.
( )
( )
/
.
( )
( )
( )
/
.
dan , himpunan nilai eigen tersebut Menurut definisi 1 jika memenuhi kondisi balanced set sehingga terdapat suatu matriks tridiagonal simetrik seperti pada bentuk (21) dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan ( )
Selanjutnya, dibentuk suatu matriks tridiagonal simetrik dengan ( ) ( ) dan berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan . Sebaliknya , misalkan terdapat suatu matriks tridiagonal simetrik ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yang memenuhi dan dengan dan berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dengan dari . ( ) ( ) ( ) Akan dibuktikan ( )
( )
( )
Diketahui dan . Akan dibuktikan bahwa Diberikan ganjil. Jika ganjil maka genap dan ganjil. Selanjutnya, berdasarkan Lema ( ) merupakan polinomial genap dan jika 3 jika genap maka ( ) merupakan polinomial ganjil. Berdasarkan persamaan (15) ganjil maka dan Lema 3, diperoleh dengan cara sebagai berikut, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . / . / . / . / ( )
.
( )
/
.
( )
/
( )
.
( )
/
.
( )
/
13 ( )
.
( )
/
( )
.
( )
/
.
( )
/
.
( )
/
. Diberikan genap Jika genap maka ganjil dan genap. Selanjutnya, berdasarkan Lema ( ) merupakan polinomial ganjil dan jika 3, jika ganjil maka ( ) merupakan polinomial genap. Berdasarkan persamaan (15) genap maka dan Lema 3, diperoleh dengan cara sebagai berikut. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . / . / . / . / ( ) ( )
( )
. .
( )
/
/
( )
. .
( )
( )
/ ( )
/
( )
. .
( )
/
/
( )
. .
( )
/
/
. Dari pembuktian di atas, dapat disimpulkan bahwa , dan berturutsehingga terdapat matriks seperti pada bentuk (21) dengan turut merupakan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dengan dari yang memenuhi persamaan (9) dengan polinomial ( ) genap atau ganjil berlaku ( ) karakteristik ( ) Untuk ( ) ( ) dan ( ) 0. memenuhi persamaan sehingga nilai eigen minimal dan maksimal dari ( )
( )
berturut-turut adalah
( )
( )
dan
, Maka .
( )
( )
/
.
( )
( )
( )
( )
/ ( )
Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas contoh aplikasi dari Inverse eigenvalue problem dari yaitu akan dibuat suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukurunan beberapa nilai eigen dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibuktikan dalam bab hasil dan pembahasan. 1. Matriks tridiagonal simetrik umum Misalkan diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama matriks tridiagonal simetrik yang berukuran sebagai berikut, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan ( ) dan . -5 -2 -1 4 6 Berdasarkan Teorema 1, untuk mendapatkan elemen-elemen dari matriks tridiagonal simetrik dituliskan sebagai berikut. ( )
(
)
(
) (
)
(
)( )
14 ( )
( ( )
=
(
)
.
( )
.
( )
(
)
( (
.
/
.
( )
( ) ( )
( )
(
(
)
/
.
( )
.
( )
( )( )
( )
/
)
)(
( )
/
( )
( )
( )
.
( )
/
( )
/
( )
. )
(
/
/
.
.
( )
.
( )
/
( )
( )
/ ( )
. (
)
( )
(
( )
/
/
)
. .
( )
/
.
/ ( )
/
)
( )( )(
) )( ) ( )( )
(
( )
)( ) ( )( )( ) )( ) ( )( )
(
.
) ( )
.
√ .
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ( (
( )
(
)
) ( ) ( ) ( ) ) ( )
.
( )
.
( )
(
)( (
.
( )
.
( )
( )
/
( )
( )
. )
( )
(
)
( )
(
)(
)(
)( ) (
/ /
( )
.
.
( )
( )
)(
/
( )( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
)
)( ) ( )(
(
(
.
)( ) (
( )
.
/
)
( (
/
) )
)(
)(
( )
/
.
/
.
( )
(
)
)
)
)
. /
( )
. (
)
( )
(
) ))
/ ( )
.
( )
/
.
)
/ ( )
/
( )
/
/
)(
)
( )( )
( )( )
15 √
,
sehingga, matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut √
√ √
√ √
(
)
√
(
√
)
√ √
√
√
√
,
√
(
√
√
,
)
√
(
. )
Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut. ( ) . ( )
dan
( )
( )
. dan
( )
.
(Lihat lampiran 1) 2. Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal utama Tak Negatif Diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama matriks sebagai berikut. tridiagonal simetrik yang berukuran ( )
( )
( )
( )
( )
( )
dengan
dan
-2 -1 3 4 6 Syarat perlu dan cukup pada Teorema 2 sebagai berikut. 1. Syarat pertama ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . -2 -1 3 4 6 2. Syarat kedua ( ) . 3. Syarat ketiga ( ) ( ) ( ) . / . / ( )
Untuk
.
( )
/
.
( )
/
, dan memenuhi
16 ( )
.
( )
( )
/
( )
. / ( ) (
.
( )
/
.
( )
/
.
)
Untuk ( )
.
( )
/ . ( )
( )
.
( )
. ( )
( )
(
)
( )
/
/
/ ( )(
( )
)
( )( )
.
Karena ketiga pertidaksamaan di atas terpenuhi maka berdasarkan bukti dari Teorema 1 matriks yang akan dihasilkan merupakan matriks tridiagonal simetrik tak negatif. Unsur-unsur matriks tridiagonal tersebut dapat dicari sebagai berikut. ( )
( ) ( )
( (
( )
=
(
)
.
( )
.
( )
(
)
( (
( ) ( )
.
/
( (
(
( )
( )
.
.
( )
/
.
( )
( ) ( )
( )
(
(
)
/
( )
( )
/
/
( )
.
( )
.
/
( )
/
.
( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
( )
/
/
.
.
( )
( )
/
/
)
.
( )
/
.
/ ( )
/
)
( )( )( ) )( ) ( )( )
√ ( ) ( ) ( ) ( )
. ( ( ( (
( )
(
.
( )( ) ( )( )
)( ) ( )( )( ) )( ) ( )( )
( .
)
/
)
)(
) ( ) ( )
)
) ( ) ( ) ( ) ) ( )
.
( )
.
( )
( (
/ /
) )
.
( )
.
( )
/ /
) )
( )( ) . ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) . ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .
( )
.
.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
( )
( )
/
.
/
.
( )
(
)
)
.
( )
/
/
.
17 (
)( )( ) ( )( ( )( ) (
)(
)(
)
)
. .
( )
.
/
( (
( )
( )
( )
. )
)
/
( )
( )
( )
. /
. (
)
( )
(
/ ( )
( )
/
.
/ ( )
/
)
( )(
)( ) ( )( ) ( )( ))
√
.
.
,
Sehingga, matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut
√ √
(
√
, )
(
√
√ √
(
)
√ )
(
√
)
Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut. ( ) . ( )
dan
( )
( )
. dan
( )
(Lihat lampiran 2) 3. Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal yang Bernilai Konstan Diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran sebagai berikut. ( )
( )
( )
( )
( )
dengan
( )
dan
18 1
3
4
5
7
dengan nilai-nilai eigen tersebut memenuhi persamaan ( ) ( ) ( ) . Berdasarkan bukti Teorema 1, untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik ditunjukan sebagai berikut. ( )
( ) ( )
( ( ( )
=
( )
.
( )
.
( )
/
( )
.
( )
( ) ( ) ( )
/
(
( )
.
.
( )
/ ( )
( )
( )
/
( ) ( )
( ( )
/
( )
.
/
( )
( )
. /
.
.
( )
( )
. .
/
/
( )
( )
.
/ ( )
.
)( ) ( )( ) /
)( ) ( )( )( ) )( ) ( )( )
.
.
( )
/
.
/ ( )
/
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) )( ) ( )( )
√ ( ( ( (
.
( )
(
.
/
( )
( )(
(
) ( ) ) ( )
) ) ) )
.
( (
) ( ) ( )( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ( ( )
( )
.
( )
.
( )
( ) ( )
/ /
.
( )
.
( )
/ /
( )
.
.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )( )( ( )( ) ( )(
)
)
.
( )
/
.
/
.
.
( )
( )
/
/
. .
19 ( )
. .
( )
( )
/
( )
/
.
(
)
( )
( )
( )
( )( )( ) ( )( ) ( )(
( )
. /
/ ( )
.
.
( )
/
.
/ ( )
/
( ) ( )
( )
.
)
√ , sehingga matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut.
√ ),
( √ dengan (
√ )
(
√ )
√
( )(
)
.
√
(
√ ), √
dengan √ )
(
(
√ )
√
( )(
)
.
√
(
√ ), √
dengan (
√ )
(
√ )
√
( )(
)
.
√
(
√ ), √
dengan (
√ ) √
(
√ ) √
( )(
)
.
20 Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut. ( ) . ( )
( )
dan
( )
.
( )
dan (Lihat lampiran 3)
.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa syarat perlu dan cukup untuk menyelesaikan Inverse Eigenvalue Problem 1. Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik ( )
(
)
( )
( )
yang berukuran ( )
2. Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik diagonal utama tak negatif adalah ( )
(
)
( )
( )
( )
(
adalah
)
( )
yang berukuran (
)
. dengan
( )
( ) ( ) ( )
.
( )
.
( )
/ /
.
( )
/
.
( )
/
3. Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik diagonal utama bernilai konstan adalah ( )
( )
dengan dan submatriks utama
( )
( )
yang berukuran
dengan
( )
berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari dengan dari Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai penggunaan MATLAB untuk menyelesaikan Inverse Eigenvalue Problem untuk suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran besar.
21
DAFTAR PUSTAKA Barcilon V. 1979. On The Multiplicity of Solutions of The Inverse Problem for A Vibrating Beam. SIAM J, Appl, Math. 37: 119-127. Byrnes CI. 1989. Pole Placement by Output Feedback, in Three Decades of Mathematical Systems Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer – Verlag 135: 31-78. Chu MT, Golub GH. 2005. Inverse Eigenvalue Troblems: Theory, Algorithms and Applications. New York (US) : Oxford University Press. Joseph KT. 1992. Inverse Eigenvalue Problem in Structural Design. AIAA J. 30 : 2890-2896. Kouachi S. 2006. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices. ELA. 15(1) : 115-133. doi:10.4064/am35-1-7. Mercer, AMCD, Mercer, Peter R. 1998. Cauchy’s Interlace Theorem and Lower Bound for The Spectral Radius. Internat. J. Math & Math. Sci.Vol. 23. No. 8 (2000) 563–566 .S016117120000257X. Pickmann H, Soto RL, Egana J, Salas M. 2006. An Inverse Eigenvalue Problem for Symmetrical Tridiagonal Matrices. Computers and Mathematics with Applications. 54 (2007) 699–708 . Zhang F. 1999. Matrices Theory: Basic Results and Techniques Springer-Verlag. New York (US).
22 Lampiran 1 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik umum >
23
24 Lampiran 2 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif >
25
26 Lampiran 3 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan >
27
28
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pandeglang pada tanggal 10 Mei 1992. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara dari Bapak Sacarudin dan Ibu Eti Suhaeti. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pandeglang dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif diberbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam Ikatan Keluarga Muslim TPB (IKMT) pada tahun 2010/2011. Penulis aktif sebagai anggota BEM FMIPA tahun 2011/2013 dan anggota BEM KM tahun 2013/2014. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, di antaranya menjadi salah satu anggota divisi logistik dan transportasi dari kegiatan Open House (OH) 48 dan salah satu anggota divisi Penanggung Jawab Laskar dari Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) 48.