Inteligentní kalkulus 1

Inteligentní kalkulus 1 1000 příkladů z elementární analýzy

Ilja Černý

Praha 2011

K elektronickému vydání knihy Ilja Černý: Inteligentní kalkulus 1 Kniha Ilja Černý :Úvod do inteligentního kalkulu s podtitulem „1000 příkladů z elementární analýzyÿ byla vydána nakladatelstvím Academia v roce 2002 a má nyní kratší název uvedený nahoře. Je určena studentům a učitelům matematické analýzy všech typů vysokých škol, kterým nestačí seznámit se s bezduchou početní rutinou, ale kteří chtějí do základu pochopit teoretické principy, na nichž jsou výpočty založeny, kteří chtějí znát předpoklady, za nichž lze danou početní metodu užít, i obor, v němž získané výsledky platí. Zásada, že když někdo o něčem mluví, měl by vědět, o čem přesně mluví, která by se mezi rozumnými lidmi měla uplatňovat aspoň v přiměřené míře, se v matematice jeví jako zcela nezbytná. Přesto však tuto zásadu většina matematiků nerespektuje na příklad v případě tzv. neurčitého integrálu. Podle autorova názoru nelze do nekonečna omlouvat, že o integrálu bez mezí se mluví již několik století, aniž se podařilo podat jeho definici – dosavadní pokusy v tomto směru vždy skončily neúspěchem. Protože je tento symbol ve skutečnosti nepotřebný, měla jej Occamova břitva již dávno ze seriozní matematiky odstranit. Přesto jej převažující část matematické veřejnosti toleruje – přednost má zřejmě tradice před jednou z hlavních zásad všech skutečných věd i před zdravým rozumem. Bohužel je podobných „zvyklostíÿ v matematické analýze více; výrazně se projevují např. i při vyšetřování průběhu funkce. Autor je toho názoru, že příslušný výklad je třeba racionálním způsobem modifikovat: Vyjasnit všechny užívané pojmy včetně jejich významu v dané souvislosti, upravit věty, podle nichž se při výpočtech postupuje, tak, aby se daly co nejlépe aplikovat, eliminovat vše, co není skutečně nutné. Těmito zásadami se autor snažil řídit nejen v této knize, ale i v jejím pokračování, které mělo název Úvod do inteligentního kalkulu 2 (1000 příkladů z pokročilejší analýzy), které vyšlo v nakladatelství Academia v roce 2005 a má v elektronické podobě kratší název Inteligentní kalkulus 2. Proto nabídce příkladů určitého typu předchází stručný výklad potřebných pojmů a vět spolu s několika rozřešenými typickými příklady. Řešení předložených příkladů (event. doprovázené obrázky) jsou uvedena vždy na konci příslušné kapitoly. Autor obou knih, prof. RNDr. Ilja Černý, DrSc., se narodil v roce 1929 v Praze. Po ukončení gymnázia začal v roce 1948 studovat na tehdejší Přírodovědecké fakultě Karlovy univerzity v Praze, po absolutoriu se stal vědeckým aspirantem na tehdy vzniklé Matematickofyzikální fakultě UK, pak odborným asistentem postupně na katedře matematické analýzy a katedře aplikované matematiky, na níž v letech 1962 až 1968 zastupoval vedoucího katedry (a která z věcných důvodů změnila svůj název na katedru základů matematické analýzy). Od roku 1965 byl docentem, od roku 1989 je profesorem. Po odchodu do důchodu pracoval (do roku 2000) na Technické univerzitě v Liberci. Během svého 49 let trvajícího učitelského působení na vysokých školách vedl přednášky, semináře a cvičení nejen z reálné a komplexní analýzy, ale např. i z topologie a teorie množin. Jeho publikační činnost byla ve velké míře ovlivněna potře2

bami jeho činnosti učitelské. V polovině padesátých let napsal skriptum Integrální počet, založené na článku jeho o něco staršího učitele a přítele prof. Jana Maříka a umožňující nejen výklad Lebesgueova integrálu již ve druhém ročníku, ale majícího za následek i konec pokusů o přijatelný výklad teorie vícerozměrného Riemannova integrálu (který se, jak je dobře známo, k tomuto účelu vůbec nehodí). Výklady komplexní analýzy trpěly ještě koncem padesátých let nepříjemným rozporem: v „matematické částiÿ měly již co do přesnosti skvělou úroveň reálné analýzy (o níž se u nás zasloužil především prof. Vojtěch Jarník, ale i o generaci mladší prof. Jan Mařík), která však byla znehodnocována její „topologickou částíÿ, která se studentům předkládala buď jako „evidentníÿ, nebo s odkazem, že např. Jordanovu nebo Eilenbergovu větu se studenti naučí (v tehdy neexistující) přednášce z topologie. I. Černý navrhl ve skriptu Stručný úvod do teorie funkcí komplexní proměnné způsob, jak názorné, ale poměrně těžko dokazatelné věty z topologie zařadit do výkladu komplexní analýzy. Obě citovaná skripta se dočkala řady vydání – snad i proto, že podle nich jako první nepřednášel jejich autor, ale jeho učitel prof. V. Jarník, jeden z nejlepších univerzitních pedagogů. Snaha o proveditelný způsob, jak exaktně vyložit věty o křivkovém a plošném integrálu, vedly I. Černého k překladu knihy vynikajícího polského matematika Romana Sikorského, kterou nakladatelství Academia vydalo v roce 1973 pod názvem „Diferenciální a integrální počet. Funkce více proměnnýchÿ a která výborně doplňuje Jarníkův Integrální počet II. V dalších letech rozpracovával I. Černý i myšlenku těsného propojení komplexní analýzy s topologií roviny: V roce 1967 vyšla (v NČSAV) jeho kniha Základy analysy v komplexním oboru, v roce 1983 (v nakladatelství Academia) obsáhlá monografie Analýza v komplexním oboru, o niž projevilo zájem anglické nakladatelství Ellis Horwood a která byla nakonec ve zhuštěnější podobě vydána v roce 1992 pod názvem Foundations of Analysis in the Complex Domain. V posledně zmíněných třech knihách autor značně rozšířil výklad o (víceznačných) analytických funkcích a o konformních zobrazeních, aby umožnil exaktní aplikace komplexní analýzy např. v rovinných problémech aerodynamiky a hydrodynamiky. I. Černý byl na MFF řadu let členem vědecké rady, vedoucím katedry a v letech 1966 až 1970 proděkanem. V letech 1955 až 1970 se aktivně účastnil prakticky všech studijních reforem, které tehdy na MFF probíhaly. Nebyl nikdy členem žádné politické strany, ale byl členem kolegia děkana (vedeného prof. A. Švecem), které v dobách represe a hromadného vyhazování učitelů i studentů vysokých škol po roce 1968 dovedlo své učitele i studenty před tímto osudem uchránit. Je nositelem dvou medailí fakulty a jedné medaile Univerzity Karlovy. Elektronická verze Autor uděluje souhlas k volnému šíření této elektronické knihy v nezměněném tvaru prostřednictvím elektronických médií. Praha 2011

I. Černý

3

Rád bych touto cestou poděkoval všem, kteří se o vydání knihy nejvíce zasloužili. Je to především Akademie věd České republiky, která na ni poskytla velkorysou dotaci. Za mimořádně pečlivou korekturu mnohokrát děkuji paní RNDr. Evě Leinerové z redakce přírodních věd a paní Běle Trpišovské z technické redakce. První z nich mi pomohla překlenout některá pravopisná úskalí, zásluhou druhé se výrazně zlepšila grafická úprava textu. (Veškerou vinu za nedostatky, které budou v knize nalezeny, je proto třeba přičíst mně jako autorovi.) Vedoucí redakce, pí Ing. Jitka Zykánová, vydání knihy řídila; rád bych jí co nejsrdečněji poděkoval jak za skvělou organizaci práce, tak i za neocenitelnou ochotu řešit se mnou všechny vzniklé problémy. I. Černý, červenec 2002

Moje vřelé díky patří nyní i panu doc. Pavlu Pyrihovi z katedry matematické analýzy na MFF UK, který elektronické vydání této knihy inicioval a realizoval. I. Černý, prosinec 2011

Sazba: AMS-TEX Obrázky : Mathematica

c Ilja Černý, 2002

ISBN 80-200-1017-3

4

Obsah Předmluva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Označení, operace, zkratky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1. Nerovnosti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3. Limity posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4. Limity funkcí – 1. část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5. Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

6. Limity funkcí – 2. část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

7. Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2. Indukce

8. Slovní úlohy na extrémy 9. Primitivní funkce

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Dodatek ke kapitole 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10. Newtonův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11. Číselné řady

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Dodatek ke kapitole 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Literatura Rejstřík

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5

6

Předmluva Kalkulus chápaný jako soubor výpočetních metod matematické analýzy může být bezduchý, nebo inteligentní. První z těchto verzí kalkulu je pouhé počítání, při němž není nutné přesně vědět, co se vlastně počítá, podle jakých pravidel se počítá a jaký je obor platnosti získaných výsledků. V inteligentní verzi kalkulu se nejdříve přesně definují pojmy a jednotlivé početní metody jsou založeny na přesně formulovaných větách ; během počítání se stále kontroluje, za jakých podmínek a ve kterém oboru jsou splněny potřebné předpoklady. V důsledku toho je pak zcela přesně známo, jaký je smysl a obor platnosti výsledků ; je plně zaručena i jejich správnost. Tato knížka má čtenáře uvést do inteligentního kalkulu. Po čtyřicetidevítiletém působení na dvou univerzitách – na Karlově univerzitě v Praze a na Technické univerzitě v Liberci – jsem došel k pevnému přesvědčení, že jedním z nejdůležitějších úkolů výuky matematiky má být výcvik v logickém myšlení v tom nejširším slova smyslu : Student má prakticky poznat základní pravidla logického myšlení, naučit se správně užívat alternativy, konjunkce, implikace a ekvivalence spolu s jejich negacemi. Má vždy vědět, o čem mluví nebo píše ; v matematice to např. znamená mít dobře rozmyšlené definice pojmů, které užívá. Má znát obecné zákonitosti oboru, v matematice tedy věty ; důležité přitom je, aby spolehlivě věděl, za jakých předpokladů to či ono tvrzení platí. Má se naučit analyzovat danou situaci a naopak z dílčích poznatků, které k danému problému shromáždil, složit (tedy syntetizovat) rozumný celek. Má v praxi prokázat, že obecné věty a metody dovede aplikovat na konkrétních příkladech tak, aby zároveň využil všechny specifické vlastnosti příkladu ke zjednodušení postupu. Každý, kdo prohlašuje matematiku za svůj obor, by měl vždy mluvit srozumitelně, jednoznačně a stručně; správné rozhodnutí o tom, co je v dané situaci podstatné a co je podružné, by mělo zásadním způsobem ovlivnit jeho vyjadřování. Měl by se učit být kritický, a to zejména k sobě samému ; říká-li sám sobě pravdu, může si ušetřit mnohé nesnáze. Podle mých zkušeností poskytuje matematická analýza velmi mnoho příležitostí, jak se správnému logickému uvažování učit; čtenáře, který se rozhodl užít tuto sbírku při svém studiu, pravděpodobně nemusím přesvědčovat, že správné myšlení není lidem vrozeno. Jistě již při nejrůznějších příležitostech zpozoroval, jak nesprávně „necvičeníÿ lidé mnohdy uvažují a k jak paradoxním výsledkům docházejí. Elementární matematická analýza, do níž naše příklady patří, je zároveň názorná a zrádná. Názornost pomáhá zejména začátečníkovi, aby se v situaci orientoval; řeší-li však problémy skutečně poctivě, brzy zjistí, že pojmy jsou daleko hlubší, než se zdají být na první pohled, takže spoléhat jen na tzv. selský rozum nelze – brzy se dojde k nepravdivým závěrům. Jedině možnou metodou je užívat jen dokázané věty a algoritmy a soustavně ověřovat všechny předpoklady, za nichž je lze aplikovat. Příklady do této sbírky jsem shromažďoval desítky let. Kromě standardních příkladů, které nemohou chybět v žádné podobné knížce, bylo třeba najít příklady, které čtenářům umožní co nejvšestranněji zvládnout příslušnou látku. Na cvičeních k přednáškám z matematické analýzy jsem ověřoval, co je pro dobré studenty samo7

zřejmé, co jim může činit potíže a co jim nejspíše poskytuje informace potřebné k pochopení tzv. teorie. Nepředpokládám, že by někdo (kromě autora) vyřešil všechny příklady. Je jich tak mnoho jen proto, aby nejen čtenáři, ale např. i vedoucí cvičení měli co největší výběr jak lehčích, tak i náročnějších příkladů. Protože je mým cílem pomoci čtenáři v nesnadném procesu směřujícímu ke spolehlivému myšlení, považoval jsem za nutné v každé kapitole vysvětlit všechny pojmy, věty a metody potřebné k vyřešení příslušných příkladů. (Nezabývám se ovšem např. tak základními pojmy, jako je výrok, množina, přirozené nebo reálné číslo, ani např. všeobecně známými zákony algebry.) V každé kapitole je několik podrobně vyřešených příkladů, které mají čtenáři naznačit, jak lze postupovat. Některé rozřešené příklady obsahují výsledky, které čtenář obvykle hledá ve sbírkách vzorců nebo v různých tabulkách ; i na vzorce se samozřejmě vztahují přísná pravidla matematické logiky – jsou bezcenné, není-li např. uveden obor jejich platnosti. Číslované poznámky výklad doplňují a někdy upozorňují i na možná nedorozumění a z nich vyplývající nebezpečí nesprávných závěrů. Matematika se vyvíjí nejen ve své „objevitelskéÿ části, ale i v metodice. Je politováníhodné, že vysokoškolské výklady někdy mnohé z toho, co bylo v průběhu vývoje překonáno a nahrazeno lepším, efektivnějším a obecnějším, nerespektují a drží se spíše „vyzkoušených cestÿ – často jsou to cesty, po nichž před mnohými lety nynější učitelé, tehdejší studenti, sami kráčeli. Ve své pohodlnosti nedávají mladé generaci právě dobrý příklad svým nezdravým a nerozumným konzervatismem. Na řadě míst sbírky jsem se proto snažil uvést věci na správnou míru – aspoň tak, jak ji sám vidím. Jde např. o zbytečné hledání lokálních extrémů při vyšetřování průběhu funkce, o nedorozumění související s termínem „neurčité výrazyÿ při výpočtu limit, R o užívání záhadného a zcela zbytečného znaku a řadu dalších drobných detailů. Velmi prosím čtenáře, aby se nad těmito partiemi dobře zamyslil a utvořil si svůj vlastní úsudek, podle něhož pak bude i jednat. Bylo by jistě zbytečné snažit se zde charakterizovat tematiku této sbírky. Je patrná z obsahu a odpovídá zhruba sylabům matematické analýzy pro 1. ročník univerzitního studia; obdobnou sbírku příkladů k látce 2. ročníku analýzy připravuji do tisku. Z toho, že sbírka vychází z univerzitních sylabů, vůbec neplyne, že by z ní nemohli čerpat i studenti, pro něž je matematická analýza jen pomocným předmětem. Psal jsem ji zejména pro studenty, kteří se nechtějí spokojit jen s povrchním pochopením početních principů analýzy. Na závěr bych rád znovu čtenáře – hlavně z řad učitelů – vyzval, aby odmítli bezduchý kalkulus, protože jde o systém, který funguje jen v případě, že výsledky jsou předem známy ; objevit na základě něj něco nového není pravděpodobně možné. A hlavně : kdo podobným způsobem s matematikou zachází, okrádá ji navíc o jednu z jejích nejcennějších vlastností – učit správnému uvažování. Praha 2002

I. Černý

8

Označení, operace, zkratky Množiny {x ∈ X ; V (x)}

množina všech x ∈ X, pro něž platí V (x)

R

množina všech konečných reálných čísel

R∗

R ∪ {−∞, +∞}

{x ∈ R ; x > 0}

R+

{x ∈ R ; x < 0}

R− N

množina všech přirozených čísel

Z

množina všech celých čísel

N(N ), kde N

∈

Z

{n ∈ Z ; n ≥ N }

Q

množina všech racionálních čísel

C

množina všech konečných komplexních čísel

Intervaly

za předpokladu, že − ∞ ≤ a < b ≤ +∞

ha, bi

{x ∈ R∗ ; a ≤ x ≤ b}

{x ∈ R∗ ; a < x ≤ b}

(a, bi

{x ∈ R∗ ; a ≤ x < b}

ha, b)

(a, b)

{x ∈ R∗ ; a < x < b}

Okolí

za předpokladu, že δ

U (a, δ), kde a ∈ R

{x ∈ R ; |x − a| < δ}

+

U (a, δ), kde a ∈ R U − (a, δ), kde a ∈ R +

U (−∞, δ) = U (−∞, δ) −

U (+∞, δ) = U (+∞, δ)

∈

R+

ha, a + δ) (a − δ, ai

h−∞, −1/δ) (1/δ, +∞i

není definováno

U − (−∞, δ), U + (+∞, δ)

U (a), U + (a), U − (a)

každé U (a, δ), U + (a, δ), U − (a, δ)

Prstencová okolí

za předpokladu, že δ

P (a, δ), kde a ∈ R

{x ∈ R ; 0 < |x − a| < δ}

P + (a, δ), kde a ∈ R

(a, a + δ) 9

∈

R+

P − (a, δ), kde a ∈ R +

P (−∞, δ) = P (−∞, δ)

(a − δ, a)

(−∞, −1/δ)

P (+∞, δ) = P − (+∞, δ)

(1/δ, +∞)

není definováno

P − (−∞, δ), P + (+∞, δ)

P (a), P + (a), P − (a)

každé P (a, δ), P + (a, δ), P − (a, δ)

Operace s ±∞ a + (+∞) = +∞ + a := +∞

pro každé a ∈ (−∞, +∞i

a + (−∞) = −∞ + a := −∞

pro každé a ∈ h−∞, +∞)

a − (+∞) := −∞

pro každé a ∈ h−∞, +∞)

a − (−∞) := +∞

pro každé a ∈ (−∞, +∞i

není definováno

+ ∞ − (+∞), −∞ − (−∞)

není definováno

a · (±∞) := ±∞

a · (±∞) := ∓∞ není definováno a := 0 ±∞ ±∞ := ±∞ a ±∞ := ∓∞ a

není definováno není definováno a0 := 1

pro každé a ∈ (0, +∞i

pro každé a ∈ h−∞, 0) 0 · ±∞, ±∞ · 0

pro každé a ∈ R pro každé a ∈ R+ pro každé a ∈ R−

a pro žádné a ∈ R∗ 0 +∞ −∞ +∞ −∞ , , , +∞ +∞ −∞ −∞

pro každé a ∈ R

(+∞)n := +∞ n

+ ∞ + (−∞), −∞ + (+∞)

pro každé n ∈ N n

(−∞) := (−1) (+∞)

pro každé n ∈ N

(±∞)−n: = 0

pro každé n ∈ N

není definováno

(±∞)0

Kongruence

pro komplexní čísla a, b, c 6= 0

a ≡ b mod c

a − b = kc pro vhodné k

10

∈

Z

Zkratky V.i.j

Věta i. j (j - tá věta i- té kapitoly)

Po.i.j

Poznámka i. j (j - tá poznámka i- té kapitoly)

Cv.i.j

Cvičení i. j (j - té cvičení i- té kapitoly)

Př.i.j

Příklad i. j (j - tý příklad i- té kapitoly)

s.v.

skoro všechna – viz kap. 3

z.p.f.

zobecněná primitivní funkce – viz kap. 10

Symboly {ak }∞ k=1

posloupnost o členech ak

ak → a (pro k → ∞)

k→∞

a < ak → a

(ak → a) ∧ (ak < a) pro s.v. k

a ≤ ak → a a > ak → a

lim ak = a

(ak → a) ∧ (ak ≤ a) pro s.v. k

(ak → a) ∧ (ak > a) pro s.v. k

a ≥ ak → a

(ak → a) ∧ (ak ≥ a) pro s.v. k

ak ր a

ak → a, {ak }∞ k=1 je neklesající

a 6= ak → a ak ց a

f :X→Y

(ak → a) ∧ (ak 6= a) pro s.v. k ak → a, {ak }∞ k=1 je nerostoucí

zobrazení f, pro něž je f (X) ⊂ Y

f : X →na Y

zobrazení f, pro něž je f (X) = Y

gr f

graf funkce f

g◦f

superpozice funkcí f : X → Y, g : Y → Z

D(f )

funkce inverzní k f

f−1 Id, Id

definiční obor funkce f

a

identita, její a- tá mocnina

exp

exponenciála (exp x = ex )

lg

přirozený logaritmus

expa (kde 1 6= a ∈ R+ )

exponenciála o základu a (expa x = ax )

lg a (kde 1 6= a ∈ R+ )

f (x) → A pro x → a

logaritmus o základu a lim f (x) = A

x→a

11

⌣

funce je konvexní

⌢

funkce je konkávní

∼

inflexní bod

ak = O(bk ) (pro k → ∞) ak ≍ bk (pro k → ∞)

existuje K

∈

pro s.v. k

R+ tak, že |ak | ≤ K |bk |

(ak = O(bk )) ∧ (bk = O(ak ))

f (x) = O(g(x)) pro x → a

existuje K

f (x) ≍ g(x) pro x → a

(f (x) = O(g(x))) ∧ (g(x) = O(f (x)))

f (x) = o(g(x)) pro x → a

∈

R+ a P (a) tak, že

|f (x)| ≤ K |g(x)| všude v P (a) lim f (x)/g(x)) = 0

x→a

12

1. Nerovnosti Řešit nerovnost znamená najít množinu M všech (konečných reálných) čísel, která tuto nerovnost splňují. Jak lze v jednoduchých případech množinu M znázornit na číselné ose, ukazuje obrázek na této stránce dole. Příklad 1.1. Rozřešme nerovnost f (x) ≥ 0, kde (1)

f (x) :=

(x + 1)(x − 1)(x − 2)2 (x − 3) . x

Zlomek vpravo má smysl, právě když je x 6= 0, a je součinem výrazu 1/x = x−1 a faktorů v čitateli. Pro x 6= 0 je f (x) ≥ 0, právě když se buď jeden z faktorů v čitateli rovná nule, nebo když je počet záporných faktorů sudý. Ze znamének jednotlivých faktorů můžeme utvořit takovouto tabulku : (−∞, −1i

(−1, 0)

0

(0, 1i

(1, 2)

2

(2, 3)

h3, +∞)

x−1

<0

<0

—

>0

>0

>0

>0

>0

x+1

≤0

>0

>0

>0

>0

>0

>0

>0

<0

<0

<0

>0

>0

>0

>0

>0

>0

>0

≤0

>0

>0

=0

>0

>0

<0

<0

<0

<0

<0

<0

<0

≥0

x−1

2

(x − 2) x−3

Interval nebo číslo (v první řádce tabulky) patří do množiny {x ∈ R ; f (x) ≥ 0}, právě když v příslušném sloupci není vodorovná linka — (která znamená, že faktor není definován), a je v něm buď = 0, nebo sudý počet symbolů < 0, ≤ 0. Zřejmě je (2)

{x ∈ R ; f (x) ≥ 0} = (−∞, −1i ∪ (0, 1i ∪ {2} ∪ h3, +∞),

čímž je daná nerovnost vyřešena. Na číselné ose vyznačíme množinu všech jejích řešení např. takto:

-1

0

1

2

3

Znaky „< ÿ, „>ÿ resp. „(ÿ , „)ÿ znamenají, že příslušný krajní bod k intervalu patří resp. nepatří. Izolovaný bod množiny (2) je vyznačen malým černým kolečkem.

13

Cvičení Řešte následující nerovnosti a výsledné množiny řešení vyznačte na číselné ose. 1.01. |x | < |x + 1|

1.02. |x + 3| ≤ |x − 1|

1.03. |x − 1| ≤ |2x − 5|

1.04. |x + 4| − |x + 1| ≤ x

1.05. |x − 2| − x > 1

x−1 ≤1 x+1 x−3 1.09. ≤ |x + 1| x−1 1.07.

1 < |x + 2| x x−2 x+1 1.08. ≤ x + 4 x − 3 x + 2 1.10. x ≤ x − 3 1.06.

1.11. x + 1 ≤ x2 + 7x + 6

1.12. x2 ≤ |x2 − 2x − 3|

1.13. |x2 − 2x − 3| < 5 − x

1.14. |x − |x + 1|| ≤ 2x

1.15. |x + 1| > x2 + 7x + 6

1.16. |2x2 + 6x − 7| < |x2 − 5x − 7|

1.17. x + 1 ≥ |x2 + 4x + 3| √ √ 1.19. x + 1 − x − 1 > 1 p x2 + 2x + 3 > |x + 1| 1.21. p 1.23. x2 < x2 + 1 p 3 2 x −1≤x+1 1.25.

1.18. 1.20. 1.22. 1.24. 1.26.

x2 − 2x + 3 < 1 − 2x x2 + 4x + 5 √ √ x − 1 + 11 − x > 3 p x2 + 2x − 3 < |x + 1| p (x2 − 1)(x2 + 4) < x2 p 3 2 x −9≥x−1

1.27. sin x ≤ cos x

1.28. sin 2x < cos x

1.29. 2 sin x ≤

1.30. tg x > cotg x

1 cos x

1.31. sin x ≤ 2 cos2 x − 1

1.32. | tg x + 1| ≤ | tg x − 1|

Často je třeba najít množinu všech čísel splňujících dvě nebo více nerovností, po případě vyřešit nerovnost(i) s jedním nebo více parametry. Příklad 1.2. Jsou-li x a x0 dva body z R, je |x − x0 | jejich vzdálenost na číselné ose. Pro každé δ ∈ R+ je tedy |x − x0 | < δ ⇔ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),

|x − x0 | > δ ⇔ x ∈ (−∞, x0 − δ) ∪ (x0 + δ, +∞). 14

Kromě toho je 0 < |x − x0 | < δ ⇔ x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ). Příklad 1.3. Rozřešme nerovnost f (x) := ax2 + bx + c > 0 ,

(3)

kde a, b, c jsou libovolné (reálné) parametry . Označme M množinu všech řešení a rozeznávejme tyto situace : 1. a = b = c = 0; pak nerovnost (3) neplatí pro žádné x ∈ R, tj. M = ∅.

2. a = b = 0 6= c ; pak je M = R pro c > 0 a M = ∅ pro c ≤ 0.

3. a = 0 6= b ; pak se nerovnost (3) redukuje na nerovnost bx + c > 0, která je ekvivalentní s nerovností x > −c/b (tj. s rovností M = (−c/b, +∞)) v případě, že b ∈ R+ , a s nerovností x < −c/b (tj. s rovností M = (−∞, −c/b)) v případě, že b ∈ R− . 4. a 6= 0; označme D := b2 − 4ac a vyřešme odděleně tyto dva případy : 4a. D ≥ 0; pak je

(4a)

√ √ −b + D −b − D ≤ x2 := f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ), kde x1 := 2a 2a

jsou kořeny rovnice f (x) = 0. Znaménko polynomu f (x) závisí na tom, zdali počet záporných faktorů v rozkladu (4a) je sudý, nebo lichý. Při a > 0 je proto f (x) > 0, právě když je buď x < x1 (tedy i x < x2 ), nebo x > x2 (tedy i x > x1 ); to znamená, že (5a)

√ √     −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac ∪ , +∞ . M = − ∞, 2a 2a

Při a < 0 je f (x) > 0, právě když je x1 < x < x2 (protože nemůže být x < x1 a zároveň x > x2 ); tomu odpovídá množina (5b)

M=



−b −

√ √  b2 − 4ac −b + b2 − 4ac . , 2a 2a

4b. D < 0; nyní je (4b)

h b 2  −D i f (x) = a x + + , 2a 4a2

přičemž výraz [. . . ] je zřejmě kladný pro všechna x ∈ R. Z toho plyne, že při a > 0 resp. a < 0 je M = R resp. M = ∅. 15

Cvičení Řešte následující nerovnosti a výsledné množiny řešení vyznačte na číselné ose. 1.33. 1 < |x + 3| < 3 − x

1.35. 1 ≤ |10 − x2 | ≤ 6

1.34. − 4 < x2 − x − 6 ≤ 5

1.36. 2x < |x2 − 5| ≤ 4x

Řešte následující nerovnosti s reálnými parametry a, b a výsledné množiny řešení vyznačte na číselné ose. 1.37. | 1 + ax | < 2 1.39. | ax + b | ≤ b

1.38. |a(x2 − 1)| < 1 1.40. |ax2 − b | < a

Řešení 1.01.

− 12 , +∞

1.02. (−∞, −1i




1.03. (−∞, 2i ∪ h4, +∞) 1.04. h3, +∞) 1.05.


− ∞, 21 √
1.06. R− ∪ 2 − 1, +∞

1.07. (−1, +∞) 1.08.

 − 4, 15 ∪ (3, +∞) √  1.09. ∞, − 12 ( 17 + 1) ∪ (1, +∞) √
1.10. (− ∞, 3) ∪ 3, 2 + 6

1.11. (− ∞, −5i ∪ h−1, +∞) √ √  

1.12. − ∞, − 32 ∪ 12 (1 − 7), 21 (1 + 7) √ √
1.13. 12 (1 − 33 ), 1 ∪ (2, 12 (1 + 33 )) 1.14.

1

2 , +∞




1.15. (−7, −1)

16

1.16.


− 11, − 73 ∪ (0, 2)

1.17. {−1} 1.18. 1.19.



√ √

− ∞, − 12 ( 13 + 3) ∪ − 1, 12 ( 13 − 3)

1, 54




1.20. (1, 11) 1.21. R 1.22. (−∞, −3i ∪ h1, +∞) q √ . 1.23. |x | < 12 ( 5 + 1) = 1.2720 √ . 1.24. 1 ≤ |x | < 23 3 = 1.1547 1.25. x ≥ −1 1.26. x ≤ −1 [

 (2k − 34 )π, (2k + 41 )π 1.27. k ∈Z

1.28.

[

k ∈Z

1.29.

[

k ∈Z

1.30.

[

k ∈Z

1.31.

[

k ∈Z

1.32.

[

k ∈Z




(2k − 12 )π, (2k + 61 )π ∪ (2k + 12 )π, (2k + 65 )π

{(2k − 43 )π} ∪ (2k − 12 )π, (2k + 21 )π








(k − 14 )π, kπ ∪ (k + 41 )π, (k + 21 )π

h(2k − 76 )π, (2k + 61 )πi ( 12 (2k − 1)π, kπi

1.33. (−∞, −4) ∪ (−2, 0) √ √ 


1.34. 12 (1 − 3 5), −1 ∪ 2, 12 (1 + 3 5) √ 

√ 

11 , 4 1.35. − 4, − 11 ∪ h−3, −2i ∪ h2, 3i ∪ √

√
 1.36. 1, 6 − 1 ∪ 6 + 1, 5 1.37. pro a = 0 : R ;

pro a 6= 0 : otevřený interval s krajními body − 3/a, 1/a 17

1.38. pro a = 0 : R ; je-li 0 < |a| < 1 : (−A, A), kde A :=

p

1 + 1/|a| ; p je-li |a| ≥ 1 : (−A, −B ) ∪ (B, A), kde B := 1 − 1/|a|

1.39. pro b < 0 : ∅;

je-li b ≥ 0 = a : R ;

je-li b = 0 6= a : {0};

je-li b > 0 6= a : uzavřený interval s krajními body − 2b/a , 0

1.40. pro a ≤ 0 : ∅;

je-li a > 0, a + b ≤ 0 : ∅;

je-li a > 0, a + b > 0, b < a : (−C, C ), kde C :=

p

b/a + 1 ; p je-li b ≥ a > 0, a + b > 0 : (−C, −D) ∪ (D, C ), kde D := b/a − 1

18

2. Indukce Dokázat platnost nekonečné posloupnosti {V (n)}∞ n=1 výroků V (n) umožňuje tzv. indukce (podrobněji: úplná nebo matematická indukce): Věta 2.1. Nechť platí výrok V (1) a nechť pro každé n výroku V (n) platnost výroku V (n + 1). Pak výrok V (n) platí pro každé n ∈ N.

∈

N plyne z platnosti

Poznámka 2.1. Věta 2.1, nazývaná též princip indukce, je ekvivalentní s tímto tvrzením: Věta 2.1∗ . Nechť platí výrok V (1) a nechť pro každé n výroků V (1), . . . , V (n) platnost výroku V (n + 1). Pak výrok V (n) platí pro každé n ∈ N.

∈

N plyne z platnosti

Dále : V obou vyslovených větách lze množinu N nahradit množinou tvaru (1)

N(N ) := {n ∈ Z; n ≥ N }, kde N

∈

Z.

Předpokládáme pak, že 1) platí výrok V (N ) a že 2) pro každé celé číslo n ≥ N plyne z platnosti výroku V (n) (nebo : z platnosti výroků V (N ), . . . , V (n)) platnost výroku V (n+1). Za předpokladů 1) a 2) platí výrok V (n) pro každé celé číslo n ≥ N .

Příklad 2.1. Dokažme binomickou větu : Pro každá tři čísla n ∈ N, a ∈ C, b ∈ C platí identita n   X n k n−k (2) (a + b)n = a b . k k=0

D ů k a z . Protože rovnost (2) je pro n = 1 zřejmá, zbývá dokázat, že když rovnost (2) platí pro nějaké n ∈ N, platí analogická rovnost i pro n + 1. Užijme (2) a přepišme identitu (a + b)n+1 = (a + b) · (a + b)n ve tvaru (a + b)n+1 =

n   X n

k=0

=

n+1 X j=1

k

ak+1 bn−k +

n   X n

k=0

k

ak bn+1−k

n n  j n+1−j X  n  j n+1−j a b + a b j−1 j j=0

n  n X n  j n+1−j  n  n+1 0  n  0 n+1 X  n  j n+1−j = a b + a b + a b + a b . j−1 n 0 j j=1 j=1

Uvážíme-li, že  n  n n + 1 n n + 1 n n + 1 + = , =1= , =1= , j−1 j j n n+1 0 0

19

vidíme, že n+1

(a + b)

= =

n + 1 0

n+1 X j=0

0 n+1

a b

+

n  X n + 1

j

j=1

aj bn+1−j +

n + 1 n+1

an+1 b0

n + 1  j n+1−j a b , j

tj. že opravdu platí analogie vzorce (2) pro n + 1. Tím je binomická věta dokázána.

Cvičení Dokažte indukcí tato tvrzení: n X k = 21 n(n + 1) 2.01. n ∈ N ⇒ k=1

2.02. n ∈ N, 1 6= q 2.03. n ∈ N ⇒ 2.04. n ∈ N ⇒ 2.05. n ∈ N ⇒ 2.06. n ∈ N ⇒ 2.07. n ∈ N ⇒ 2.08. n ∈ N ⇒ 2.09. n ≥ 0 ⇒

n X

k=1 n X

k=1 n X

k=1 n X

k=1 n X

k=1 n X

k=1 n X

k=0

∈

C ⇒

k2 =

1 6

n X

qk =

k=0

1 − q n+1 1−q

n (n + 1)(2n + 1)

k 3 = 14 n2 (n + 1)2 k(k + 1) = 31 n(n + 1)(n + 2) k(k + 1)(k + 2) = 41 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) k · k ! = (n + 1)! − 1 1 n = (2k − 1)(2k + 1) 2n + 1 2k = 2n+1 − 1

2.10. n ∈ N, x ≥ −1 ⇒ (1 + x)n ≥ 1 + nx (Bernoulliho nerovnost)   n X x 1 − xn k n kx = 2.11. n ∈ N, 1 6= x ∈ C ⇒ − nx 1−x 1−x k=1

20

2.12. n ∈ N, α ∈ R ⇒ (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα (Moivrův vzorec) 2.13. n ∈ N, α ∈ R ⇒ 2.14. n ∈ N, α ∈ R ⇒

n X

k=1 n X

k=1

sin kα · sin 12 α = sin 12 nα · sin 12 (n + 1)α cos kα · sin 21 α = sin 12 nα · cos 12 (n + 1)α s

π 1 2.15. n ∈ N ⇒ cos = n 3·2 2 π 1 2.16. n ∈ N ⇒ sin = 3 · 2n 2 2.17. n ∈ N, z

∈

C ⇒ (1 − z)

2.18. n ∈ N, 1 ≤ k ≤ n ⇒ 2.19. n ∈ N ⇒ 2.20. n > 1 ⇒ 2.21. n > 1 ⇒

s

n X

k=1 n X

k=1 n X k=2

2+

r

2−

r

n Y

k=0

n k

√ 1 ≤2 n k

2+

√ 3

(n odmocnin)

2+

√ 3

(n odmocnin)

2 + ··· +

q

2 + ··· +

q

k

(1 + z 2 ) = 1 − z 2

+

n+1

 n  n + 1 = k−1 k

√ 1 √ > n k n−1 1 < 2 k n+1

2.22. n ≥ 4 ⇒ 2n ≥ n2 2.23. n ∈ N ⇒

1 1 · 3 · · · (2n − 1) < √ 3n 2 · 4 · · · (2n)

2.24. n > 2 ⇒ (n !)2 > nn 4n n n+1  k  k 2 1 k ≤1+ + 2.26. n ∈ N, 1 ≤ k ≤ n ⇒ 1 + n n n n 2 X1 n 2.27. n ≥ 0 ⇒ ≥ +1 k 2 2.25. n ∈ N ⇒

 2n 

≥

k=1

2.28. n ∈ N ⇒ 10n − 1 je dělitelné číslem 9 21

2.29. n ∈ N ⇒ 10n − 4 je dělitelné číslem 6 2.30. n ∈ N ⇒ n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 je dělitelné číslem 9 2.31. n ∈ N ⇒ 4n + 15n − 1 je dělitelné číslem 9 2.32. n ∈ N ⇒ 62n + 3n+2 + 3n je dělitelné číslem 11 2.33. n ∈ N ⇒ n3 + 11n je dělitelné číslem 6 p a1 + . . . + an n a1 · · · an ≤ 2.34. n ∈ N, ak ≥ 0 pro k = 1, . . . , n ⇒ ; n rovnost platí, právě když a1 = . . . = an p
n −1 −1 a1 · · · an ≥ n a−1 2.35. n ∈ N, {a1 , . . . , an } ⊂ R+ ⇒ 1 + · · · + an 2.36. Nechť n ∈ N a nechť b1 , . . . , bn je permutací kladných čísel Y 1/n n n X ak ak ≥n = n. a1 , . . . , an . Pak je bk bk k=1

k=1

2.37. Je-li n ∈ N a jsou-li a1 , a2 , . . . , an (komplexní) čísla, je 1, 1, ... , 1 a1 , a2 , ... , an Y 2 2 a1 , a , . . . , a2n = (ak − aj ). 2 .......................... 1≤j
(Vlevo je tzv. Vandermondův determinant čísel a1 , . . . , an .) ***

Indukci lze užít i k definici posloupnosti: Příklad 2.2. Faktoriály se definují indukcí, a to takto: (3)

0! := 1, n! := n · (n − 1)! pro každé n ∈ N .

Faktoriály se v matematice vyskytují tak často, že není na škodu pamatovat si, že 1! = 1,

6! = 720,

2! = 2,

7! = 5040,

3! = 6,

8! = 40320,

4! = 24,

9! = 362880,

5! = 120,

10! = 3628800.

22

Cvičení 2.38. Položíme-li a1 := 1, a2 := 1 a definujeme-li an+2 := an + an+1 pro každé n ∈ N, získáme tzv. Fibonacciho posloupnost . Vypište prvních 15 jejích členů a přesvědčte se,√že čím je n větší, tím je podíl an /an+1 blíže tzv. zlatému řezu . rovnému z := 21 ( 5 −1) = 0.61803 39887. (Pro kontrolu : a14 = 377, a15 = 610; čísla . 377/610, z se shodují na pěti místech za desetinnou tečkou, 377/610−z = 1.2·10−6 .) 2.39. Položte (4)

(−1)!! := 1, 0!! := 1 a n !! := n (n − 2)!! pro každé n ∈ N.

Vypočítejte n !! pro n = 1, . . . , 10. (Pro kontrolu : 9!! = 945, 10!! = 3840.) 2.40. Položte c1 := cos 31 π, m1 := 6 a dokažte, že a1 := 3 sin 13 π je obsah pravidelného šestiúhelníku vepsaného do jednotkové kružnice J. Pro každé n ∈ N pak definujte cn+1 :=

q

1 2 (cn

+ 1),

an+1 :=

an , cn+1

mn+1 := 2mn

a dokažte, že 1) pro každé n ∈ N platí nerovnost an+1 ≥ an , 2) an je obsah pravidelného mn -úhelníku vepsaného do J. Vypočtěte pro n = 1, . . . , 10 čísla mn a an – druhé z nich aspoň na 10 desetinných míst; všimněte si, že s rostoucím n apro. ximuje číslo q an číslo π = 3.14159 26535 stále lépe. (Rada: Užijte známý vzorec

cos 12 α =

1 2 (cos α

+ 1) platný např. pro všechna α ∈ h0, 12 πi. Pro kontrolu :

. m1 = 6, a1 = 2.59807 62114,

. m10 = 3072, a10 = 3.14159 04632.)

23

3. Limity posloupností V této kapitole bude slovo posloupnost znamenat zobrazení množiny N (nebo obecněji množiny N(N ) := {n ∈ Z; n ≥ N }, kde N ∈ Z) do množiny R všech (konečných) reálných čísel. Je-li a posloupnost, měli bychom (v souladu s obecnými pravidly teorie množin) hodnotu tohoto zobrazení v čísle n značit a(n). Je však zvykem nazývat toto číslo n - tý člen posloupnosti, značit je an , pro posloupnost ∞ samu užívat např. symbol {an }∞ n=1 , v obecnějším případě {an }n=N , a nazývat ji posloupnost o členech an . Nehrozí-li záměna s jednobodovou množinou, lze pro tuto posloupnost užít i stručnější označení {an }. Je-li pro každé n ∈ N (obecněji: pro každé n ≥ N , kde N ∈ Z) dán výrok V (n), říkáme, že výrok V (n) platí pro skoro všechna n ∈ N (obecněji: pro skoro všechna n ≥ N ), existuje-li konečná množina K ⊂ N (obecněji: K ⊂ N(N )) tak, že výrok V (n) platí pro každé n ∈ N − K (obecněji: pro každé n ∈ N(N ) − K). Nehrozí-li nedorozumění, říkáme, že V (n) platí pro skoro všechna n ; místo „skoro všechnaÿ píšeme většinou „s.v.ÿ. Poznamenejme ještě, že výrok „V (n) platí pro s.v. nÿ je ekvivalentní s výrokem „existuje n0 tak, že V (n) platí pro všechna n > n0 ÿ. Zatímco členy posloupností reálných čísel jsou konečné, limity takových posloupností budou moci být rovny i ±∞. Pro pohodlí čtenáře zopakujeme základní definice vztahující se k číslům z R∗ = R ∪ {−∞, +∞}, tedy k reálným číslům 1 ):

0) Uspořádání : −∞ je nejmenší, +∞ největší reálné číslo, takže nerovnosti −∞ < a < +∞ platí pro každé a ∈ R a je ovšem i −∞ < +∞ ; sgn (+∞) := +1, sgn (−∞) := −1, −(+∞) := −∞, −(−∞) := +∞, |±∞ | := +∞. 1) Součet: a + b := +∞ , je-li buď a = +∞ a b > −∞, nebo b = +∞ a a > −∞ ;

a + b := −∞ , je-li buď a = −∞ a b < +∞, nebo b = −∞ a a < +∞ ;

součet a + b nemá smysl, právě když je jedno z čísel a, b rovno +∞, druhé −∞.

2) Rozdíl a − b je definován jako součet a + (−b), má-li tento součet smysl podle bodu 1); rozdíl a − b nemá smysl, právě když jsou a, b nekonečná čísla téhož znaménka. 3) Součin     +1 +∞ a buď a = ±∞, nebo b = ±∞ ; , je-li sgn a · sgn b = ab := −1 −∞ součin ab nemá smysl, právě když je jedno z čísel a, b rovno ±∞, zatímco druhé z nich je 0. 1 ) Čísla z R se podrobněji nazývají konečná , čísla ±∞ jsou nekonečná . Slovo nevlastní zde ani pro čísla, ani pro limity neužíváme, protože může budit dojem, že to nejsou „plnoprávnáÿ čísla resp. limity. Kromě toho považujeme za zbytečné mít pro jeden pojem dva různé názvy.

24

4) Podíl   + ∞ , je-li a = ±∞, 0 6= b 6= ±∞, sgn a · sgn b = +1     a − ∞ , je-li a = ±∞, 0 6= b 6= ±∞, sgn a · sgn b = −1 ; :=   b   0, je-li a ∈ R, b = ±∞

podíl a/b nemá smysl, právě když je buď b = 0, nebo |a| = |b | = +∞. 5) Mocniny čísel ±∞ se definují takto: (±∞)n :=



(±1)n · (+∞), je-li n ∈ N 0,

je-li − n ∈ N



;

výrazy (±∞)0 , a±∞ (kde a ∈ R∗ ) nemají smysl; připomeňme však, že 00 := 1.  Píšeme lim an = a (nebo např. an → a pro n → ∞)

n→∞

a číslo a mínky :

∈

R∗ nazýváme limita posloupnosti {an }, jsou-li splněny tyto dvě pod-

(1′ )

pro každé a′ < a je an > a′ pro s.v. n ,

(1′′ )

pro každé a′′ > a je an < a′′ pro s.v. n .

Je-li a ∈ R, říkáme, že posloupnost {an } konverguje (nebo že čísla an konvergují ) k číslu a; je-li a = ±∞, říkáme, že an k a divergují. Konvergentní posloupnost je posloupnost mající konečnou limitu ; divergentní jsou všechny ostatní posloupnosti, tedy posloupnosti s limitou ±∞ a posloupnosti, které limitu nemají.  Říkáme, že posloupnost {an } je omezená, existuje-li K ∈ R+ tak, že nerovnost |an | ≤ K platí pro všechna n. Říkáme, že posloupnost {an } je omezená shora resp. zdola, existuje-li K ∈ R tak, že je an ≤ K resp. an ≥ K pro všechna n.  Platí např. tato tvrzení: 1. Posloupnost {an } je omezená, právě když je omezená shora i zdola. 2. Je-li lim n→∞ an < +∞ (resp. lim n→∞ an > −∞), je posloupnost {an } omezená shora (resp. zdola). Každá konvergentní posloupnost je omezená.

Poznámka 3.1. Na rozdíl od literatury, v níž se konečné a nekonečné limity zavádějí zpravidla třemi různými definicemi, jsou zde všechny možnosti shrnuty do jedné definice. Je-li a ∈ R, je konjunkce (1′ ) ∧ (1′′ ) ekvivalentní s výrokem, že (1k )

pro každé ε ∈ R+ platí nerovnost |an − a| < ε pro s.v. n ;

je-li a = +∞ (resp. a = −∞), je podmínka (1′′ ) (resp. (1′ )) prázdná , protože nelze splnit její premisu, a podmínku (1′ ) (resp. (1′′ )) lze napsat v ekvivalentním tvaru (1n )

pro každé K

∈

R platí nerovnost an > K (resp. an < K) pro s.v. n . 25

Čtenář se může sám přesvědčit, že se s podmínkami (1′ ) a (1′′ ) pracuje aspoň tak dobře jako s podmínkami (1k ) a (1n ).  V této kapitole se budeme zabývat jen limitami, které lze vypočítat elementárními úpravami, známe-li limity některých jednoduchých výrazů, jako např. ( ) 0 pro každé x ∈ (−1, 1) n lim x = (2) , n→∞ + ∞ pro každé x ∈ (1, +∞) (3)

lim

n→∞

√ n

x = 1 pro každé x ∈ R+ .

Je ovšem nutné znát i základní věty o limitách posloupností: Věta 3.1 (o limitě absolutní hodnoty). Je-li an → a |an | → 0, je an → 0. Věta 3.2 (o limitě bn → b ∈ R∗ plyne, že    an ± bn an bn (4)   a /b n

n

∈

R∗ , je |an | → |a|. Je-li

součtu (rozdílu), součinu a podílu). Z relací an → a

∈

R∗ ,

 → a ± b  → ab , má-li příslušná pravá strana smysl.   → a/b

Dodatek . Nechť an > 0 (resp. an < 0) pro s.v. n ; pak an → 0 ⇒ 1/an → +∞ (resp. 1/an → −∞). Věta 3.3. 1. Je-li an → 0 a je-li {bn } omezená posloupnost, je an bn → 0.

2. Je-li {an } omezená posloupnost a je-li |bn | → +∞, je an /bn → 0.

V mnohých případech, v nichž se k výpočtu limity žádná z právě uvedených vět přímo nehodí, může vést k cíli tato věta o limitním přechodu v nerovnostech : ∞ ∞ Věta 3.4. Pro každé tři posloupnosti {an }∞ n=1 , {bn }n=1 , {cn }n=1 platí:

1. 2. 3. 4.

an an an an

≤ bn ≤ bn ≤ bn ≤ bn

pro s.v.n, an → +∞ ⇒ bn → +∞ ; pro s.v.n, bn → −∞ ⇒ an → −∞ ; pro s.v.n, an → a, bn → b ⇒ a ≤ b ; ≤ cn pro s.v.n, an → b, cn → b ⇒ bn → b .

Poznámka 3.2. Jak se čtenář snadno přesvědčí, je implikace (5)

α ∈ R, a ∈ (1, +∞) ⇒ lim

n→∞

nα =0 an

přímým důsledkem tohoto užitečného tvrzení: Věta 3.5. Pro každou posloupnost čísel an 6= 0 platí: a n+1 (6) lim < 1 ⇒ lim an = 0. n→∞ n→∞ an 26



Ilustrujme nyní na několika příkladech, jak lze počítat limity posloupností elementárními úpravami: Příklad 3.1. Abychom dokázali rovnost √ √ 4 n + 3 n3 − 10 n2 − 1 + sin n3 p = −3, lim √ √ 3 2 n→∞ n + n + n + 3 4 n4 − 3

stačí všechny sčítance v čitateli i ve jmenovateli dělit n. Nové sčítance budou pak mít po řadě limity 1, 0, −10, 0 (čitatel) a 0, 3 (jmenovatel) a stačí aplikovat V.3.2 . Poznamenejme, že v podobných případech vytýkáme z čitatele i ze jmenovatele nejvyšší mocniny n, čímž (po případné úpravě) získáme výraz tvaru nα ·

an + · · · , kde 0 6= lim an n→∞ bn + · · ·

∈

R , 0 6= lim bn n→∞

∈

R,

a v němž tečky znamenají součty výrazů, z nichž každý má nulovou limitu. Na takto upravený výraz lze pak aplikovat V.3.2. Číslo α je rozdíl exponentů mocnin vytknutých v čitateli a ve jmenovateli; výsledná limita závisí podstatným způsobem na tom, zdali je α < 0, nebo α = 0, nebo α > 0. Příklad 3.2. Užitím identity (a2 − b2 ) = (a − b)(a + b) (platné pro každá dvě komplexní čísla a, b) vypočteme např. limitu lim

n→∞

√

n+1−

√
2 √ n − 1 = lim √ = 0. n→∞ n+1+ n−1

Aplikací obecnějšího vzorce (7)

an − bn = (a − b)

n−1 X

ak bn−1−k

k=0

(platného pro každé n ∈ N) na rozdíl p p p p 3 n2 + n + 1 − n3 + 1 = 6 (n2 + n + 1)3 − 6 (n3 + 1)2 (8)

dostaneme zlomek s čitatelem (9)

(n2 + n + 1)3 − (n3 + 1)2

= (n6 + 3n5 + 6n4 + 7n3 + 6n2 + 3n + 1) − (n6 + 2n3 + 1) = 3n5 + 6n4 + 5n3 + 6n2 + 3n = n5 (3 + · · · ),

kde tečky znamenají výraz, který má pro n → ∞ limitu 0, a se jmenovatelem (10)

p p p 6 (n2 + n + 1)15 + 6 (n2 + n + 1)12 (n3 + 1)2 + · · · + 6 (n3 + 1)10 p p
= n5 6 (1 + n−1 + n−2 )15 + · · · + 6 (1 + n−3 )10 ;

v závorkách v posledním řádku je přitom 6 sčítanců, z nichž každý má limitu 1. 27

Z (9) a (10) ihned plyne, že p p
3 n2 + n + 1 − n3 + 1 = lim n→∞

3 6

=

1 2

. 

Jak jsme již řekli, mohou tam, kde selhávají rovnosti, pomoci nerovnosti a např. V.3.4 ; ilustrujme to opět příkladem: Příklad 3.3. Abychom vypočetli limitu p n n b := lim 2 + n5 , n→∞

uvážíme, že lim n→∞ (n5 /2n ) = 0 (sr. s (5)), z čehož plyne, že nerovnost n5 < 2n , a tedy i relace p p √ n 2 ≤ n 2n + n5 ≤ n 2n + 2n = 2 2 √ platí pro všechna dostatečně velká n. 2 ) Protože lim n→∞ n 2 = 1 (sr. s (3)), je b = 2 podle 4. části V.3.4 . Příklad 3.4. Abychom vypočítali limitu (11)

lim

n→∞

n 1 X 2 k , nα k=1

kde α ∈ R, užijeme vzorec n X

k2 =

1 6

n (n + 1)(2n + 1)

k=1

ze Cv.2.3 , z něhož je patrné, že pro α = 3 je limita rovna 1/3. Podle věty o limitě součinu je proto limita (11) rovna 0 pro všechna α > 3 a +∞ pro všechna α < 3. Příklad 3.5. Dokažme, že (12)

lim

n→∞

√ n

n = 1.

√ √ Protože je n n ≥ 1 pro každé n ∈ N, je n n = 1 + hn pro vhodné číslo hn ≥ 0. Pro všechna n > 1 je přitom podle binomické věty n=

n  
n X
n √ n k n hn ≥ = 1 + hn = n k k=0

1 2

n (n − 1) h2n ;

p z toho ihned plyne, že h2n ≤ 2/(n − 1), takže 0 ≤ hn ≤ 2/(n − 1) → 0. Podle √ V.3.4 je tedy i hn → 0; podle V.3.2 proto n n = 1 + hn → 1. 2 ) Tj. „od určitého indexu počínajeÿ. Čtenář může ověřit, že nerovnost n5 < 2n platí pro . všechna n > 22, zatímco 225 /222 = 1.23 > 1. Pro náš výpočet jsou ovšem tyto podrobnosti zbytečné.

28

Cvičení Vypočtěte limity pro n → ∞ těchto výrazů : 3.01.

n2 + (n + 1)2 (n + 3)2 + (n + 4)2

3.02.

2n3 + (2n − 1)3 (1 − 3n)3 + n3

n + 2n2 + 3n3 (n + + (n + 2)2 + (n + 3) p p n + 4 (n + 1)3 − 2 n2 − 1 p p 3.04. 4 3 n3 − 1 − 8 (n − 1)7 − n 3.03.

3.05.

3.06.

3.07.

1)3

a1 nα1 + a2 nα2 + · · · + ap nαp , kde p ∈ N, q b1 nβ1 + b2 nβ2 + · · · + bq nβq

α1 > · · · > αp , β1 > · · · > βq v q u u n + n + pn + 1 t n+1

v q u √ u t n + n2 + n4 + 1 n+1

(n3 − 1)(n2 + 1) − 2n n3 (n3 + 5) √
√ √ 3.09. n n − n + 1 3.08.

3.10. n

3.11. n 3.12. n 3.13.

p

n2 + 1 −

p

n2 + n + 1 −

p

p
n2 − 1

n2 + n + 1 −

1 √ n − n2 − n

p p

n2 − n + 1 n2 + n − 1







1 √ 3.14. √ 3 2 n + n + 2 − 3 n2 − n − 2 p p
3 2 3 n + 1 − n2 − 1 , kde α ∈ R 3.15. nα 29

∈

N, a1 6= 0 6= b1 a

√  n , kde α ∈ R q q √ √  3.17. nα n3 + n − n3 − n , kde α ∈ R α

3.16. n

3.18.

q

n2

√ + n−

q

n2 −

n 1 X k n2 k=1

3.19. 3.20.

n X

1 √ 2 k +k k=1 n X

1 √ 3 2 k +k

k=1

3.21.

n X √ √ √
k+ k+2−2 k+1

k=1

3.22. 3.23.

n X

1 √ n +k k=1 p n

5n + 4n + 3n + 2n + 1n

3.24. nα (

√ n

3−

√ n 2), kde α 6= 1

√ √ 3.25. nα ( n n + 1 − n n ), kde α 6= 2 3.26.

√ n n!

n! nn (n !)2 3.28. nn 2n − 1 1 3 · ··· 3.29. 2 4 2n n X 1 3.30. 4k 2 − 1 3.27.

k=1

3.31.

n  Y

k=0

1 + x2

k



Za předpokladu, že k

( |x | < 1) ∈

N, dokažte tato tvrzení:

3.32. 1) an → a ∈ R ⇒ akn → ak 2) an → ±∞ ⇒ akn → (±1)k · (+∞) 30

3.33. 1) an ≥ 0 pro s.v. n, an → a ∈ R ⇒ a ≥ 0, √ 2) an → +∞ ⇒ k an → +∞

√ √ k a → k a n

√ √ k a → k a n √ k je liché ⇒ k an → −∞ 

3.34. 1) an → a ∈ R, k je liché ⇒ 2) an → −∞ ,

Připomeňme nyní některé dobře známé pojmy : Je-li X ⊂ R, říkáme, že funkce f : X → R je      neklesající         rostoucí    nerostoucí v X, jestliže x ∈ X, y       klesající        konstantní 

  f (x) ≤ f (y)            f (x) < f (y)    f (x) ≥ f (y) . ∈ X, x < y ⇒      f (x) > f (y)          f (x) = f (y)

Říkáme, že funkce f : X → R je monotónní (resp. ryze monotónní ), je-li buď neklesající, nebo nerostoucí (resp. buď rostoucí, nebo klesající). Místo „funkce f je neklesající (rostoucí, nerostoucí, klesající) v Xÿ se též říká, že „f v X neklesá (roste, neroste, klesá)ÿ. Je-li X = N (nebo obecněji X = N(N ), kde N ∈ Z), je funkce f : X → R posloupností. I když se tedy právě vyslovené definice vztahují i na posloupnosti, připomeneme jejich běžnější (ekvivalentní) podobu tímto jednoduchým tvrzením: Posloupnost

{an }∞ n=1

    an ≤ an+1  neklesající                    a < a rostoucí n n+1         an ≥ an+1 . nerostoucí , právě když n ∈ N ⇒ je           an > an+1  klesající               a = a  konstantní  n n+1

Dodejme ještě, že posloupnost {an } se nazývá stacionární, existuje-li m tak, že an = am pro každé n > m.  Má-li se dokázat jen existence limity, hodí se často tato obecná věta: Věta 3.6 (o existenci limity monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má (konečnou nebo nekonečnou) limitu. Konečnou limitu má právě každá omezená monotónní posloupnost. P o d r o b n ě j i : Je-li posloupnost {an } neklesající (nerostoucí ), je lim an = sup{an ; n ∈ N } ( lim an = inf {an ; n ∈ N }).

n→∞

n→∞

31

Příklad 3.6. Ukažme, že první z posloupností n 1 n o∞ 1+ , n n=1

(13)

n

1+

1 n+1 o∞ n n=1

roste, druhá klesá. Nechť an je n-tý člen první posloupnosti; jednoduchým výpočtem a užitím Bernoulliho nerovnosti (viz Cv.2.10 ) dostaneme vztahy  an+1 1 n+1  1 n n + 2  n(n + 2) n = 1+ : 1+ = an n+1 n n + 1 (n + 1)2 n n + 2   n3 + 3n2 + 3n + 2 1 n n + 2 1− 1− = 3 > 1, ≥ = 2 2 n+1 (n + 1) n+1 (n + 1) n + 3n2 + 3n + 1 které dokazují, že posloupnost {an } je rostoucí. Nechť bn je n-tý člen druhé z posloupností (13); podobným postupem jako nahoře získáme pro každé n > 1 relace  bn−1 1 n+1 n  n2 n 1 n  : 1+ = = 1+ bn n−1 n n + 1 n2 − 1     n n 1 n n3 + n2 − n n = 1+ 2 1+ 2 = 3 ≥ > 1, n+1 n −1 n+1 n −1 n + n2 − n − 1 z nichž je patrné, že posloupnost {bn } je klesající. Ze zřejmé nerovnosti an < bn platné pro každé n ∈ N ihned plyne, že obě posloupnosti jsou omezené ; podle V.3.6 mají tedy jisté konečné limity a resp. b. Protože je bn = an (n + 1)/n a protože (n + 1)/n → 1 pro n → ∞, je a = b. Společná limita (14)

e := lim

n→∞



1+

1 n n

posloupností (13) se nazývá Eulerovo číslo; je základem tzv. přirozených logaritmů.

Cvičení Pomocí vět V.3.6 a V.3.4 dokažte existenci konečných limit těchto dvou posloupností: 3.35.

n X 1 k2

3.36.

k=1

3.37. Buď a0 :=

n X 1 , kde α > 2.  kα

k=1

√

2 a an :=

p

2 + an−1 , je-li n ∈ N ; dokažte, že an → 2. 32

3.38. Proveďte do všech podrobností důkaz tohoto tvrzení: Věta 3.7. Pro každou posloupnost {an }∞ n=1 platí: n

1X lim an = a ∈ R ⇒ lim ak = a . n→∞ n→∞ n ∗

(15)

k=1

′

′

(Návod : Je-li dáno a < a, zvolíme pomocné b ∈ (a′ , a) a najdeme p ∈ N tak, že je an > b′ pro každé n > p. Protože (a1 + . . . + ap )/n → 0 a (n − p)b′ /n → b′ pro n → ∞, existuje q > p tak, že pro všechna n > q je a1 + . . . + ap ap+1 + . . . + an a1 + . . . + ap n−p ′ a1 + . . . + an = + > + b > a′ . n n n n n Podobně postupujeme v případě, že je dáno a′′ > a.) 3.39. Pomocí V.3.7 ukažte, že lim

n→∞

n 1X √ k k = 1. n



k=1

*** {nk }∞ k=1

Je-li rostoucí posloupnost přirozených čísel, říkáme, že {ank }∞ k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti {an }∞ . Z definice limity ihned plyne, že n=1 (16)

an → a ⇒ ank → a .

Číslo a ∈ R∗ nazýváme hromadným bodem posloupnosti {an }∞ n=1 , existuje-li ∞ → a (pro k → ∞). Množinu vybraná z {a } tak, že a posloupnost {ank }∞ n n n=1 k k=1 3 všech hromadných bodů posloupnosti {an }∞ značíme Ls a . ) n n=1 Platí tato tři důležitá tvrzení:

Věta 3.8. (Bolzano – Weierstrassova.) Každá posloupnost má aspoň jeden hromadný bod v R∗ . Každá omezená posloupnost má aspoň jeden hromadný bod v R. Věta 3.9. lim n→∞ an = a ∈ R∗ , právě když je Ls an = {a}.

Věta 3.10. Pro každou posloupnost {an }∞ n=1 existuje min Ls an i max Ls an .

Čísla min Ls an a max Ls an se nazývají limes inferior a limes superior posloupnosti {an }∞ n=1 a značí se např. takto: lim inf an := min Ls an , lim sup an := max Ls an ; n→∞

n→∞

symbol „n → ∞ÿ pod znaky lim inf a lim sup se často vynechává. 3 ) Označení je převzato z obecné topologie, kde znamená topologický limes superior ; latinský limes je na rozdíl od české limity rodu mužského.

33

Snadno nahlédneme, že posloupnost {an }∞ n=1 má limitu, právě když je min Ls an = max Ls an ; limita je pak rovna společné hodnotě lim inf an a lim sup an . Obráceně : K tomu, aby posloupnost {an }∞ n=1 neměla limitu, je nutné a stačí, aby měla aspoň dva různé hromadné body, tj. aby bylo lim inf an < lim sup an .

Cvičení Pro každou z následujících posloupností {an }∞ n=1 najděte množinu Ls an a čísla lim inf an , lim sup an . 3.40. (−1)n 3.41. (−1)n n n n+1 √ √ n 3.43. (−1) ( n − n − 1 )

3.42. (−1)n

3.44.

(−1)n 1 + (−1)n + n 2

n2 + 1 n+1 n 3.46. 1 + cos( 12 nπ) n+1 3.45. (−1)n

3.47. n sin ( 41 πn)  1 n 3.48. 1 + cos nπ n nπ , kde k ∈ N 3.49. sin k Dále : ∞ 3.50. Dokažte, že posloupnosti {sin n}∞ n=1 , {cos n}n=1 nemají limitu.

(Návod pro první posloupnost. Označíme-li

Ik := h 16 π + 2kπ, 65 π + 2kπi, Jk := h− 56 π + 2kπ, − 16 π + 2kπi, je sin x ≥ 21 všude v Ik a sin x ≤ − 21 všude v Jk pro každé k ∈ Z. Protože délka každého z intervalů Ik , Jk je 23 π > 2, existují dvě rostoucí posloupnosti přirozených čísel mk ∈ Ik , nk ∈ Jk tak, že sin mk ≥ 21 a sin nk ≤ − 21 pro každé k ∈ N. Z toho snadno plyne, že posloupnost sin n nemá limitu.)

34

Řešení 5 3.01. 1. 3.02. − 13 . 3.03. 3. 3.04. − 31 .

3.05. a1 /b1 pro α1 = β1 ; sgn(a1 /b1 ) · (+∞) pro α1 > β1 ; 0 pro α1 < β1 . p √ 3.06. 1. 3.07. 1 + 2 . 3.08. −∞ . 3.09. − 21 . 3.10. 1. 3.11. +∞ . 3.12. 1. 3.13. 2. 3.14. +∞ .

3.15.

2 3

pro α =

4 3

; +∞ pro α >

4 3

; 0 pro α <

4 3

.

3.16. 1 pro α =

1 2

; +∞ pro α >

1 2

; 0 pro α <

1 2

.

3.17. 1 pro α = 1; +∞ pro α > 1; 0 pro α < 1. √ 3.18. 12 . 3.19. +∞ . 3.20. +∞ . 3.21. 1 − 2. 3.22. +∞ . 3.23. 5.

3.24. +∞ pro α > 1; 0 pro α < 1. 3.25. +∞ pro α > 2; 0 pro α < 2. 3.26. +∞ . 3.27. 0. 3.28. +∞ . 3.29. 0. 3.30.

1 2

. 3.31. 1/(1 − x).

Protože množina Ls an je ve všech příkladech 3.40 – 3.49 konečná, jistě není nutné uvádět její minimum lim inf an a maximum lim sup an ; omezujeme se proto jen na vyjmenování hromadných bodů. 3.40. ±1. 3.41. ±∞ . 3.42. ±1. 3.43. 0. 3.44. 0, 1. 3.45. ±∞ .

3.46. 0, 1, 2. 3.47. 0, ±∞ . 3.48. ±e. 3.49. ± sin (jπ/k), 0 ≤ j < k. Poznámka 3.3. Cvičení 3.24 s α = 1 a 3.25 s α = 2 nevyřešíme jednoduchými . algebraickými úpravami; k výsledkům (lg (3/2) = 0.405465 resp. 1) však lze dojít metodami, které vyložíme v kapitole 6 (sr. s Po.6.4 a příkladem 6.81).

Cvičení 3.51. Dokažte, že a ∈ Ls an , právě když každé okolí bodu a obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti {an }, tj. právě když pro každé U (a) existuje nekonečně mnoho indexů n, pro něž je an ∈ U (a). Dokažte dále, že v důsledku toho platí i toto tvrzení:

(17)

bk

∈

Ls an pro všechna k

∈

N, bk → b ⇒ b ∈ Ls an .

3.52. Existují posloupnosti, jejichž členy jsou (právě) všechna racionální čísla; jednou z nich je např. tato posloupnost {an }∞ n=1 : − 11 , 01 , 11 , − 24 , − 32 , − 22 , − 12 , 20 , 12 , 22 , 23 , 42 ,

15 16 25 − 93 , − 83 , . . . , 30 , . . . , 93 , − 16 4 ,− 4 ,... , 4 ,− 5 ,... .

35

Protože pro každé číslo q ∈ Q existuje nekonečně mnoho indexů n tak, že q = an , je zřejmě Q ⊂ Ls an . Dokažte však, že Ls an = R∗ , tj. že každé číslo r ∈ R∗ je hromadným bodem této posloupnosti. 3.53. Srovnejte prvky „dvakrát nekonečnéÿ matice  1 1 + 12 1 + 31 1 + 41 . . . 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ...   2 3 4    3 3 + 12 3 + 31 3 + 41 . . .    4 4 + 1 4 + 1 4 + 1 ... 2 3 4 ............................ 

po jejích vedlejších diagonálách do posloupnosti

1, 1 + 21 , 2, 1 + 13 , 2 + 12 , 3, 1 + 14 , 2 + 31 , 3 + 12 , 4, . . . a dokažte, že hromadnými body této posloupnosti jsou právě všechna přirozená čísla a bod +∞. 3.54. Najděte posloupnost {an }, pro niž je Ls an = Z ∪ {−∞, +∞}. 3.55. Rozhodněte, zdali existuje posloupnost {an }, pro niž je Ls an rovno N resp. {1/n ; n ∈ N } resp. Q. (Odpověď je „neÿ na všechny tři otázky – viz (17).)

36

4. Limity funkcí – 1. část Je-li {an } posloupnost reálných čísel a je-li a ∈ R∗ , píšeme (1)

a 6= an → a resp. a < an → a resp. a > an → a ,

je-li an → a a zároveň an 6= a resp. an > a resp. an < a pro s.v. n. Reálnou funkcí reálné proměnné rozumíme každé zobrazení z R do R. Je-li f taková funkce, je-li a ∈ R (resp. a ∈ (−∞, +∞i resp. a ∈ h−∞, +∞)), je-li A ∈ R∗ a platí-li implikace (2)

a 6= an → a (resp. a < an → a resp. a > an → a) ⇒ f (an ) → A ,

říkáme, že A je (oboustranná) limita (resp. limita zprava resp. limita zleva) funkce f v bodě a; tuto limitu pak značíme (3)

lim f (x) (resp. lim f (x) resp. lim f (x))

x→a

x→a+

x→a−

nebo krátce (3∗ )

f (a±) (resp. f (a+) resp. f (a−)).

Místo lim x→+∞− f (x) resp. lim x→−∞+ f (x) se zpravidla píše jen lim x→+∞ f (x) resp. lim x→−∞ f (x). Limity zprava a zleva se nazývají jednostranné. Je-li lim x→a f (x) = A ∈ R, říkáme též, že f (x) pro x → a konverguje k A ; je-li A = ±∞, říkáme, že f (x) k A diverguje. Podobné slovní vazby se užívají i v případě jednostranných limit. Často je výhodný i zápis (4)

f (x) → A pro x → a (resp. x → a + resp. x → a−).

Čtenáři je jistě známo, že limita f (a±) existuje, právě když je f (a+) = f (a−), načež f (a±) = f (a+) = f (a−).  V oddílu „Označení, operace, zkratkyÿ najde čtenář definice okolí (5)

U (a, δ), U + (a, δ), U − (a, δ),

která se stručněji značí U (a), U + (a), U − (a) a nazývají oboustranná, pravá a levá okolí bodu a. Množiny, které z nich vzniknou odstraněním bodu a, značíme (6)

P (a, δ), P + (a, δ), P − (a, δ),

stručněji P (a), P + (a), P − (a); jsou to tzv. prstencová neboli redukovaná okolí bodu a, a to oboustranná, pravá a levá. 37

Pro limity funkcí (oboustranné, zprava, zleva) platí analogie vět V.3.1 – V.3.4 ; slova „pro s.v. nÿ je ovšem třeba nahradit slovy „pro všechna x z jistého (oboustranného, pravého, levého) prstencového okolí bodu aÿ. Kromě toho platí tato velmi důležitá a často užívaná věta : Věta 4.1 (o limitě superpozice). Nechť existují limity b := f (a±) a c := g(b±); nechť dále existuje okolí P (a) tak, že pro každé x ∈ P (a) platí nerovnost f (x) 6= b. Pak existuje i limita (g ◦ f )(a±) a rovná se c.

Poznámka 4.1. Předpoklad věty 4.1, že existuje P (a) tak, že b 6∈ f (P (a)), je podstatný – není-li splněn, nemusí rovnost (g ◦ f )(a±) = c platit. P ř í k l a d : Je-li f (x) := 1 − | sgn x |, g(y) := | sgn y |, je f (x) = 0 pro všechna x 6= 0, g(y) = 1 pro všechna y 6= 0, g(f (x)) = 0 pro všechna x 6= 0. Je-li tedy a = 0, je b := f (0±) = 0, c := g(0±) = 1, (g ◦ f )(0±) = 0; tvrzení věty 4.1 tedy neplatí. Je to proto, že limita g(b±) obecně nijak nesouvisí s hodnotou funkce g v bodě b; při tvorbě superpozice, tedy při dosazování y = f (x) do g(y), se proto f (x) nesmí rovnat b – stačí v jistém P (a), protože existence ani hodnota limity f (a±) nezávisí na tom, jak se funkce f chová „daleko od bodu aÿ. Plné pochopení toho, co jsme právě řekli, je nejen nutným předpokladem pro spolehlivou aplikaci V.4.1, ale také východiskem pro samostatnou tvorbu modifikací této věty. Protože každou z oboustranných limit lze v této větě buď ponechat, nebo nahradit jednostrannou limitou, existuje ještě dalších osm tvrzení podobných V.4.1 a v početní praxi se setkáváme se všemi devíti situacemi. Máme dvě možnosti: 1) Nerozumět a buď si pamatovat všech devět tvrzení, nebo (v souladu s praxí bezduchého kalkulu) předpoklady ignorovat a spoléhat, že to přesto „všechno dobře dopadneÿ. 2) Rozumět a nezatěžovat si paměť tvrzeními, která v případě potřeby a podle dané situace umíme sami spolehlivě vytvořit. V případě, že se splní autorovo přání a čtenář se rozhodne postupovat podle bodu 2), zbývá jen uvědomit si, že limita zprava (zleva) závisí jen na hodnotách, kterých příslušná funkce nabývá v jistém pravém (levém) prstencovém okolí příslušného bodu. Pak budou jistě zřejmé tyto dvě zásady modifikace věty 4.1: Nahradíme-li předpoklad existence limity f (a±) předpokladem, že existuje limita f (a+) resp. f (a−), dostaneme tvrzení o limitě (g ◦ f )(a+) resp. o limitě (g ◦ f )(a−). Nahradíme-li předpoklad existence limity g(b±) předpokladem, že existuje limita g(b+) (g(b−)), budeme předpokládat, že všude v jistém P (a+) resp. P (a−) platí nerovnost f (x) > b (f (x) < b). 1 ) Platí tedy např. tato tvrzení: A. Nechť existují limity b := f (a−) a c := g(b+); nechť dále existuje okolí P − (a) tak, že pro každé x ∈ P − (a) platí nerovnost f (x) > b. Pak existuje i limita (g ◦ f )(a−) a rovná se c. 1 ) Tento předpoklad není ovšem nutné explicite uvádět, je-li b = −∞ (b = +∞); je zajímavé, že s nekonečnými limitami se v tomto případě pracuje o něco jednodušeji než s limitami konečnými.

38

B. Nechť existují limity b := f (a±) a c := g(b−); nechť dále existuje okolí P (a) tak, že pro každé x ∈ P (a) platí nerovnost f (x) < b. Pak existuje i limita (g ◦f )(a±) a rovná se c. C. lim g(x) = lim g(1/x) (resp. lim g(x) = lim g(1/x)), má-li jedna x→+∞

x→0+

strana rovnosti smysl.

x→−∞

x→0−

K velmi důležitým existenčním větám patří toto tvrzení: Věta 4.2 (o existenci jednostranných limit monotónní funkce). Je-li funkce f : (a, b) → R monotónní (v (a, b)), existují obě jednostranné limity f (a+), f (b−). P o d r o b n ě j i : Je-li funkce f v (a, b) neklesající (resp. nerostoucí), je f (a+) = inf f ((a, b)), f (b−) = sup f ((a, b)) (resp. f (a+) = sup f ((a, b)), f (b−) = inf f ((a, b))). D ů s l e d e k : Je-li funkce f monotónní v intervalu (a, b), existují pro každé c ∈ (a, b) konečné limity f (c−), f (c+). Pro neklesající (resp. nerostoucí) funkci f je přitom f (c−) ≤ f (c) ≤ f (c+) (resp. f (c−) ≥ f (c) ≥ f (c+)). *** Je-li a ∈ R a lim x→a = f (a), říkáme, že f je spojitá v bodě a; spojitost zprava resp. zleva se definuje platností rovnosti lim x→a+ = f (a) resp. lim x→a− = f (a). Spojitosti se někdy podrobněji říká oboustranná spojitost, zatímco spojitost zprava resp. zleva je spojitost jednostranná. Je zřejmé, že f je spojitá v bodě a, právě když je v bodě a spojitá zprava i zleva. Kromě toho platí: f je spojitá v bodě a, právě když (7)

an → a ⇒ f (an ) → f (a);

analogicky : f je spojitá v bodě a zprava (zleva), právě když (7±)

a ≤ an → a (a ≥ an → a) ⇒ f (an ) → f (a).

Důležité upozornění. Bohužel se často stává, že začátečník – mnohdy ovlivněný falešným výkladem pojmů limity a spojitosti ve škole – dostatečně nerozlišuje limitu od hodnoty. Je proto vhodné pamatovat si jednoduchý protipříklad a zároveň vědět, kdy je limitu opravdu možné nahradit hodnotou : P ř í k l a d : Je-li f (x) := | sgn x |, je f (0) = 0. Protože však je f (x) = 1 pro všechna x 6= 0, je i lim x→0 f (x) = 1 6= f (0). T v r z e n í : Výpočet lim x→a f (x) lze nahradit dosazením x = a do f (x), právě když je f spojitá v bodě a. Přímo z definice spojitosti vyplývá, že v žádném jiném případě nelze limitní přechod nahradit dosazením ! 2 )  2 ) Protože spojitost je definována jen v bodech a ∈ R, je zřejmé, že dosazovat nelze v případě, že a = ±∞. Říkat například, že „exponenciála je v −∞ rovna 0ÿ, je nesprávné , protože symbol exp (−∞) nemá smysl. Je ovšem exp (−∞+) = 0 a „limita exp x pro x → −∞ je rovna 0ÿ resp. „exp x konverguje k 0 pro x → −∞ÿ jsou správné výroky.

39

Vzhledem k okolnostem uvedeným v Po.4.1 jistě uvítáme platnost této jednoduché modifikace věty o limitě superpozice : Věta 4.1∗ . Je-li f (a±) = b (resp. f (a+) = b resp. f (a−) = b) a je-li funkce g spojitá v bodě b, je (g ◦ f )(a±) = g(b) (resp. (g ◦ f )(a+) = g(b) resp. (g ◦ f )(a−) = g(b)). Poznámka 4.1∗ . Podobně jako tomu bylo u V.4.1 , lze i V.4.1∗ modifikovat tím, že předpoklad oboustranné spojitosti funkce g v bodě b nahradíme předpokladem spojitosti jednostranné. Pak je ovšem třeba přidat předpoklad, že všechny hodnoty, kterých funkce f nabývá v jistém P (a) (resp. P + (a) resp. P − (a)), jsou ≥ b, je-li g spojitá v bodě b zprava, resp. ≤ b, je-li g spojitá v bodě b zleva. Čtenář, který myšlenkově plně zvládl obsah Po.4.1 , nebude mít jistě potíže s vytvořením platných vět analogických větě 4.1∗ , tedy ani např. s touto její modifikací: D. Je-li f (a±) = b, existuje-li P (a) tak, že pro každé x ∈ P (a) je f (x) ≤ b, a je-li funkce g spojitá v bodě b zleva, je (g ◦ f )(a±) = g(b). *** Říkáme, že funkce f je spojitá v intervalu I ⊂ R, jestliže (8)

an

∈

I , an → a ∈ I ⇒ f (an ) → f (a).

Spojitost funkce f v intervalu I lze (ekvivalentně) popsat i takto: Funkce f je spojitá v intervalu I s krajními body a < b, právě když platí tyto dvě podmínky : 1) f je spojitá zprava v každém bodě x ∈ I různém od b, 2) f je spojitá zleva v každém bodě x ∈ I různém od a.  Je-li a ∈ R, je (oboustranná) derivace funkce f v bodě a definována rovností f ′ (a) := lim

(9)

x→a

f (x) − f (a) , x−a

existuje-li (konečná nebo nekonečná) limita vpravo; rovnosti (9±)

′ f+ (a) := lim

x→a+

f (x) − f (a) f (x) − f (a) ′ , f− (a) := lim x→a− x−a x−a

definují – za předpokladu, že příslušná limita existuje – derivace jednostranné, konkrétněji derivaci zprava a derivaci zleva. Platí tato základní tvrzení: ′ ′ f ′ (x) existuje, právě když je f+ (x) = f− (x), načež se f ′ (x) rovná společné hod′ ′ notě f+ (x) a f− (x).

′ ′ (a)) plyne spojitost (a) resp. f− Z existence konečné derivace f ′ (a) (resp. f+ funkce f v bodě a (resp. zprava resp. zleva v bodě a).

40

Poznámka 4.2. Z existence nekonečné derivace spojitost neplyne, jak ukazuje příklad funkce sgn, která má v bodě 0 derivaci +∞, ale není v tomto bodě spojitá, a to ani zprava, ani zleva. Za druhé : Ze spojitosti neplyne existence derivace (ani konečné, ani nekonečné), jak ukazují tyto dva další p ř í k l a d y : Funkce f (x) := |x | má pro všechna x 6= 0 derivaci (|x |)′ = sgn x ; protože ′ ′ f+ (0) = 1, f− (0) = −1, f ′ (0) neexistuje, přestože f je v bodě 0 spojitá. Poněkud složitější příklad funkce g : R → R, definované podmínkami (10)

g(x) := x sin

1 pro x 6= 0, g(0) := 0, x

ukazuje, že ze spojitosti funkce (v našem případě v bodě 0) neplyne ani existence kterékoli z jednostranných derivací.  Příklad 4.1. Čtenáři je jistě známo, že   R, je-li n ∈ N n ′ n−1 . (11) (Id ) = n Id všude v R− ∪ R+ , je-li n ∈ Z, n < 0 Pn Každý polynom, tj. každá funkce tvaru k=0 ak Idk , kde n ≥ 0 a kde a0 , . . . , an jsou (konečná) reálná čísla, je spojitý v celém R. Racionální funkce f je spojitá v každém intervalu obsaženém v jejím definičním oboru, tedy – píšeme-li f = g/h, kde g a h 6≡ 0 jsou polynomy – v každém intervalu, který neobsahuje žádný kořen polynomu h. (Seřadíme-li všechny reálné kořeny tohoto polynomu do posloupnosti x1 < . . . < xn , kde n ≥ 0 3 ), a označíme-li ještě x0 := −∞, xn+1 := +∞, jsou (xk , xk+1 ), 0 ≤ k ≤ n, maximální intervaly, v nichž je racionální funkce f spojitá.) Liché odmocniny jsou spojité v celém R, v bodě 0 mají derivaci rovnou +∞. Sudé odmocniny jsou spojité jen v intervalu h0, +∞) (který je jejich definičním oborem) a v bodě 0 zprava mají derivaci rovnou +∞. Pro každé n ∈ N má n - tá odmocnina derivaci
′
′ √ 1 1 n (12) x = x1/n = x1/n−1 = √ n n n xn−1 v každém bodě x 6= 0 svého definičního oboru. 

Pro pohodlí čtenářů nyní zopakujeme některé základní vlastnosti funkcí, s nimiž se v elementární analýze nejčastěji setkáváme : Funkce (13)

sin, cos , tg , cotg , exp , lg , expa := exp ◦(a lg), lg a := (expa )−1 ,

kde a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), stejně jako funkce
(14) sinh x := 21 ex − e−x , cosh x := 3)

1 2

ex + e−x




(x ∈ R),

Je-li n = 0, jde o „prázdnou posloupnostÿ, což odpovídá situaci, že h 6= 0 všude v R.

41

tedy hyperbolický sinus a kosinus, mají v každém bodě x svého definičního oboru (konečnou) derivaci, přičemž (15)

sin′ x = cos x , cos′ x = − sin x , tg′ x =

(16)

exp′ x = exp x , lg x =

1 1 , cotg′ x = − 2 , 2 cos x sin x

1 1 , exp′a x = lg a · expa x , lg′a x = , x x · lg a

sinh′ x = cosh x , cosh′ x = sinh x .

(17)

Cyklometrické a hyperbolometrické funkce jsou definovány rovnostmi

arccos := cos |h0, πi −1 , (18) arcsin := sin |h− 12 π, 21 πi −1 ,

arccotg := cotg |(0, π) −1 , (19) arctg := tg |(− 12 π, 21 π) −1 ,
argsinh := sinh−1 , argcosh := cosh |h0, +∞) −1 , (20) a každá z nich je spojitá ve svém definičním oboru ; přitom

(21) (22) (23)

1 , arcsin′ x = √ 1 − x2 1 arctg′ x = , 1 + x2 1 argsinh′ x = √ v R, 1 + x2

1 arccos′ x = − √ v (−1, 1), 1 − x2 1 arccotg′ x = − v R, 1 + x2 1 argcosh′ x = √ v (1, +∞). 2 x −1

Podobně jako je tomu u posloupností, lze limity funkcí často počítat vhodnou úpravou příslušného „výrazuÿ; podstatnou úlohu při tom ovšem hrají „základní limityÿ, jako např. tg x ex − 1 lg (1 + x) sin x = lim = lim = lim = x→0 x x→0 x→0 x→0 x x x sinh x arcsin x arctg x argsinh x lim = lim = lim = lim = 1. x→0 x→0 x→0 x→0 x x x x lim

(24)

Všechny tyto limity jsou zároveň derivacemi příslušných funkcí v bodě 0. Často jsou potřebné i limity (25)

lim

x→0

cosh x − 1 1 − cos x 1 = lim = . x→0 x2 x2 2

V následujících čtyřech limitách se porovnávají „rychlosti růstuÿ mocnin a logaritmických resp. exponenciálních funkcí:   lgα x β α    lim  = lim x | lg x | = 0   x→+∞ xβ x→0+ .  (26) α ∈ R, β ∈ R+ ⇒ α     α βx  lim x  = lim |x | e =0 x→+∞ eβx x→−∞ 42

Ukažme nyní na několika příkladech, jak lze některé limity počítat úpravou příslušného výrazu : Příklad 4.2. Je-li p limitu

∈

(27)

N, q

∈

N, α1 < · · · < αp , β1 < · · · < βq , a1 6= 0 6= b1 , lze

A := lim

x→0+

a1 xα1 + · · · + ap xαp b1 xβ1 + · · · + bq xβq

vypočítat tím, že vytkneme nejnižší mocniny x v čitateli a ve jmenovateli. Dostaneme lim xα1 −β1

(28)

x→0+

a1 + · · · , b1 + · · ·

kde tři tečky znamenají výrazy konvergující a podle věty o limitě součinu je    a1 /b1 0 (29) A=   sgn (a1 /b1 ) · (+∞)

k 0. Zlomek má tedy limitu a1 /b1  při α1 = β1   při α1 > β1

při α1 < β1

.

 

Postupovali jsme zřejmě podobně jako v případě posloupnosti (sr. s Př.3.1), kde jsme však vytkli nejvyšší mocniny n, protože šlo o limitu pro n → ∞. Zcela analogicky jako u posloupností bychom postupovali, kdyby (27) byla limitou pro x → +∞ a kdyby bylo ap 6= 0 6= bq . Jak je patrné, čitatel i jmenovatel se vždy snažíme upravit tak, aby daný zlomek nabyl tvaru xγ (c + . . . ), kde c 6= 0 a kde tři tečky představují funkci konvergující k 0. Příklad 4.3. Užitím identity (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 vypočteme (podobně jako kdyby šlo o posloupnost) limitu p 3

(x2 + x + 1)2 +

p 3

x→+∞

= lim

p

x→+∞ 3

√ 3

x4

lim

(30)

x2 + x + 1 − √ 3 2 x4

p 3

x2 + x − 1

(x2 + x + 1)(x2 + x − 1) +




p . 3 (x2 + x − 1)2

Po této úpravě, kterou jsme odstranili nepřehledný rozdíl odmocnin, z nichž každá má limitu +∞, vydělíme čitatele i jmenovatele výrazem x4/3 , využijeme spojitosti v bodě 1 každé z výsledných třetích odmocnin ve jmenovateli a ihned vidíme, že hledaná limita je rovna 32 .  V dalších dvou příkladech budeme potřebovat některé z rovností (24) – (26) spolu s větou 4.3 o limitě superpozice ; podstatnou roli bude hrát i spojitost. Příklad 4.4. Abychom mohli při výpočtu limity √ 1 − cos x cos 2x (31) lim x→0 arctg (arcsin 2x · sin 3x) 43

užít (25), přepíšeme čitatel na tvar 1 − cos x + cos x (1 −

√

cos 2x ) = (1 − cos x) +

1+

cos x √ (1 − cos 2x) cos 2x

a po vydělení výrazem x2 dostaneme identitu √ 1 − cos 2x 1 − cos x cos x 1 − cos x cos 2x √ · = + · 4, 2 2 x x (2x)2 1 + cos 2x jejíž pravá strana má pro x → 0 limitu

1 2

+

1 2

·

1 2

· 4 = 23 . Protože identita

arctg (arcsin 2x · sin 3x) arctg (arcsin 2x · sin 3x) arcsin 2x sin 3x = · ·2· ·3 x2 arcsin 2x · sin 3x 2x 3x platí např. v P (0, 21 ) a protože její pravá strana má limitu 1 · 1 · 2 · 1 · 3 = 6, je zřejmé, že limita (31) je rovna 32 · 16 = 41 .

Příklad 4.5. Někdy lze limitu vypočítat vhodnou substitucí a aplikací V.4.1 resp. V.4.1∗ . Při hledání limity x A := lim x arccos √ 2 x→+∞ x +1

(32)

můžeme uvažovat např. takto: Je-li t ∈ (0, 12 π), plyne z rovnosti x = cotg t rovnost x2 + 1 = cotg2 t + 1 = 1/ sin2 t, takže (33)

√

x x2

+1

= cotg t · sin t = cos t ;

kromě toho t → 0+ ⇒ x = cotg t → +∞. Podle V.4.1 a Po.4.1 je tedy (34)

A = lim cotg t · arccos (cos t) = lim cos t · t→0+

t→0+

t = 1. sin t



Připomeňme, že výraz (35)

f (x)g(x) := exp (g(x) lg f (x))

je definován v těch intervalech obsažených v průniku definičních oborů funkcí f , g, v nichž je f (x) > 0. Při výpočtu limit funkcí tvaru (35) najdeme zpravidla nejdříve limitu exponentu h(x) := g(x) lg f (x) a pak aplikujeme V.4.1 s tím, že

(36)

         0   −∞  h(x) → A ∈ R ⇒ exp (h(x)) → exp A .     +∞    +∞  44

Příklad 4.6. Máme vypočítat limitu A := lim (sin x + cos x)1/x ,

(37)

x→0

pokud existuje. Je-li x ∈ (− 14 π, 43 π), je sin x + cos x > 0 a (38)

1 lg (1 + (sin x + cos x − 1))  sin x 1 − cos x  . lg (sin x + cos x) = − x sin x + cos x − 1 x x

První zlomek vpravo přitom konverguje k 1 podle V.4.1, protože lg (1 + y)/y → 1 pro y → 0 a protože funkce sin x + cos x − 1 má limitu 0 a neanuluje se nikde v P (0, 41 π); první zlomek ve velkých závorkách vpravo konverguje k 1, druhý k 0. Z toho plyne, že se limita funkce (38) rovná 1, takže A = e. Poznámka 4.3. Autor by čtenáře rád upozornil na nebezpečný souběh okolností, který je častým zdrojem hrubých chyb : Podle definice je sice 00 = 1, ale (39)

z podmínek lim f (x) = lim g(x) = 0 neplyne, že lim f (x) g(x) = 1,

a to zejména proto, že lim f (x) g(x) není obecně totéž co (lim f (x)) lim g(x) .

(40)

Příklad 4.7. Triviálním příkladem ilustrujícím (39) je konstantní funkce x1/ lg x = exp (lg x/ lg x) ≡ e v R+ ,

(41)

která má v bodě 0 zprava limitu e, ačkoli lim x→0+ x = lim x→0+ (1/ lg x) = 0. Příklad 4.8. Další varovný příklad : Je  1 −1/ lg x = +∞ , (42) lim x→+∞ ex + x i když (43)

lim

x→+∞

ex

lim

x→+∞



ex

1 1/ lg x = 0, +x

1 1 = lim = 0. x→+∞ +x lg x

První z rovností (42) dokážeme takto: Pro všechna x > 1 je (44)

−

 1  lg (ex (1 + xe−x )) x lg (1 + xe−x ) 1 = lg x = + . lg x e +x lg x lg x lg x

Podle (26) je xe−x → 0 pro x → +∞, z čehož ihned plyne, že poslední zlomek má limitu 0. Podle (26) je také lim x→+∞ (lg x)/x = 0; protože funkce (lg x)/x je pro všechna x > 1 kladná, plyne z toho, že lim x→+∞ x/ lg x = +∞. Výraz (44) má tedy pro x → +∞ limitu +∞ a podle (36) platí první z rovností (42); druhá z těchto rovností plyne ihned z první. 45

Cvičení V následujících příkladech předpokládáme, že m ∈ N, n ∈ N, k1 ∈ N, . . . , kn ∈ N, a ∈ R+ , b ∈ R+ , c ∈ R+ , A ∈ (1, +∞), α ∈ R, α1 ∈ R, . . . , αn ∈ R, β ∈ R, 0 6= γ ∈ R. Některou z elementárních metod (tedy bez užití l’Hospitalova pravidla a Taylorových polynomů 4 )) vypočtěte tyto limity : 4.01. 4.03. 4.05. 4.07. 4.09. 4.11. 4.13.

√ 1 + x + x2 − 1 lim x→0 x √ mx−1 lim √ x→1 n x − 1 √ √ lim xα ( x + 1 − x − 1 ) x→+∞ √ n 1+x−1 lim x→0 x √ √ x + 2 − 3 x + 20 √ lim 4 x→7 x+9−2 √ √ 1+x− 1−x √ lim √ x→0 3 1 + x − 3 1 − x q √ √  x− x− x lim

xm − 1 x→1 xn − 1 √ 3 1 + 2x + 1 4.04. lim √ x→−1 3 x + 2 + x √ √ 4.06. lim xα ( 3 x + 1 − 3 x − 1 ) 4.02. lim

x→+∞

m n  − m x→1 1 − x 1 − xn √ √ √ x− a− x−a √ 4.10. lim x→a+ x2 − a2 √ √ x+1− x−1 √ 4.12. lim √ x→+∞ 3 x + 1 − 3 x − 1 q  3 √ √ 3 3 4.14. lim x2 + x4 − x2 4.08. lim

x→+∞

x→+∞

2 sin2 x + sin x − 1 sin x + 1 x→3π/2
4.18. lim x 31/x − 21/x

2

4.15. 4.17.

lim

x→π/6

2 sin x − 3 sin x + 1 2 sin x − 1

4.16.

lim x (lg (x + 1) − lg x)

x→+∞

4.19. lim

x→a

x

x

lim

x→+∞

a

x −a x−a

4.20. lim

x→a

3

4.21. lim

lg (e + x ) lg (e3x + x6 )

4.22.

4.23. lim

exp(sin 2x) − exp x tg x

4.24. lim

4.25. lim

lg (1 + xex ) sin 2x3 lg (cos x2 )

x→0

x→0

x→0

lim

ax − xa x−a

x→+∞

lg (ex + x3 ) lg (e3x + x6 )

exp (arctg2 x) − exp x x→0 sin x √ 1 − cos x √ 4.26. lim lg x→0+ 1 − cos x

lg (1 + xex ) √ x→0 lg (x + 1 + x) 1 − cotg3 x 4.29. lim 3 x→π/4 2 − cotg x − cotg x

1 + sin x − cos x 1 + sin γx − cos γx  a 4.30. lim lg (1 + A x ) lg 1 + x→+∞ x

4.27. lim

4)



4.28. lim

x→0

Příklady na aplikace těchto méně elementárních metod najde čtenář v kapitole 6.

46

√ 1 − 4x2 ) √ lg (x + 1 − x2 )

lg (2x +

4.31. lim

x→0

4.32. lim

x→0

arccos x lim √ 1 − x2 √ √ cos x − 3 cos x 4.35. lim x→0 tg x2

4.33.

4.34.

x→1−

p

lim

x→1−

√ 1 + tg x − 1 + sin x x3

arccos x √ 1−x

1 − sin 2x − cos 2x 1 − cotg x √ √ cos x − 4 cos x 4.38. lim x→0 sin x arcsin x

4.36.

lim

x→π/4

lg (cos ax) lg (cos bx) √ 1 − cos x2 4.39. lim x→0 1 − cos x

22 − 2x 4.40. lim x→2 2x − x2

4.41.

4.42. lim

4.37. lim

x→0

4.43. 4.45.

lim

x→0−

lim

x→+∞

4.51. 4.53. 4.55. 4.57. 4.59.

x→0

4.44.

lg x + 1

ex+1 − ex

x→−∞

x→0

4.49.

lg (1 + sin2 x) lg (1 + tg3 x)  lg x − 1 lg x

lim

4.47. lim

x


ex

4.46.

 ax + bx + cx 1/x

lim

x→+∞

sin

1 1 x + cos x x

1 − x−a

lim

x→+∞


√ x

lim (tg x)sin x−1

4.54.

x→π/2−

2

lim x1/ arccos lim

lim

 1 + x 1/(1+√x)

2+x  lg (x2 + x + 1) x

lg (x2 + x − 1)  arccos x 1/ sin πx 4.61. lim x→0+ arctg (1/x) 4.63.

x→+∞

lim (tg xa )1/ lg x

x→0+

4.65. lim (1 + x2 )1/ arctg

2

x→+∞

lg x

lim ( 1 π x→−∞ 2

+ arctg x)1/x

lim

lim

x→1−

1 2π


1/ lg (1−x) − arcsin x

 x 1/ arccotg x x→+∞ x + 1 x+2/x  x −4 4.58. lim 5 exp x→0 x+2  lg (x2 + x + 1) x2 lg x 4.60. lim x→+∞ lg (x2 + x − 1)  cos x 1/x2 4.62. lim x→0 cos 2x

x

x→1−

x→+∞

lg (tg ( 14 π + αx)) sin γx  lg (lg x) 1/ lg (lg x)

(x + a)x+a (x + b)x+b x→+∞ (x + a + b)2x+a+b  ax + bx α/x 4.50. lim x→0 ax2 + bx2  x 1/(cos x+1) 4.52. lim x→+π± π 4.48.

3



lim

2

x

4.56.

lim

4.64.

lim

4.66.

x→0

47

x→0+

1 + tg

√
1/(2√x ) x

lim (arccotg x)α/ lg x

x→+∞

4.67. 4.68.

x→0

lim

x ex + e2x + . . . + enx − n

lim

cos x cos 2x · · · cos nx − 1 x2

x→0

sinh2 x x→0 cosh x cosh 2x · · · cosh nx − 1
√ x sin (lg (x + 1)) − sin(lg x) 4.70. lim

4.69.

lim

x→+∞

4.71.

lim

x→+∞

r

p

lim xα

4.72.

x→+∞

4.73.

x2 + x + 1 − x2 + x + 1 −

lim xα

p 4

(x + 1)3 −

lim

x→+∞

4.76.

x−

p 3

x→+∞

4.75.

x+

√

lim xα

x→+∞

4.74.

x+

q

lim

x→0

1 x

p n

r

p

x







(x + α1 )(x + α2 ) · · · (x + αn ) − x

p






x2 + x − 1

(x − 1)3

√

x−

x2 − x + 1

p 3

p 4

x+

q

p
n
n
x2 + 1 + x − x2 + 1 − x




p p

n
1 2+1 n+ x− x x2 + 1 x + x→+∞ xn n  1X sin (α + kx) − n sin α 4.78. lim x→0 x 4.77.

lim

k=1 n

4.79.

x→0

 1X cos (α + k 2 x) − n cos α x

lim

(1 + α1 x)1/k1 (1 + α2 x)1/k2 · · · (1 + αn x)1/kn − 1 x

lim

4.80.

x→0

k=1

Řešení 4.01.

1 2

. 4.02.

m n

. 4.03.

n m

. 4.04.

1 2

.

4.05. 1 pro α =

1 2

; +∞ pro α >

1 2

; 0 pro α <

1 2

.

4.06.

2 3

; +∞ pro α >

2 3

; 0 pro α <

2 3

.

2 3

pro α =

48

4.07. 1/n . 4.08.

1 2

√ (m − n). 4.09. 112/27. 4.10. −1/ 2a. 4.11.

4.12. +∞ . 4.13. − 12 . 4.14.

1 3

4.23. 1. 4.24. −1. 4.25. −4. 4.26. −∞ . 4.27. 3 4

.

1 3

.

. 4.15. − 21 . 4.16. −3. 4.17. 1.

4.18. lg 23 . 4.19. aa (lg a + 1). 4.20. aa (lg a − 1). 4.21.

4.29.

3 2

. 4.30. a lg A . 4.31. 2. 4.32.

1 4

2 3

1 3

. 4.22.

. 4.28. 1/γ .

. 4.33. 1. 4.34.

√ 2.

√ 2 . 4.40. 16 lg 2.

1 4.35. − 12 . 4.36. 1. 4.37. a2 /b2 . 4.38. − 18 . 4.39.

4.41. −∞ . 4.42. 2α/γ . 4.43. e−2 . 4.44. e−1 . 4.45. 1. 4.46. 1. 4.47.

√ 3

abc. 4.48. e−(a+b) . 4.49. e. 4.50. (ab)α/2 .

4.51. e−1 pro a =

1 2

; 0 pro a ∈ (0, 12 ); 1 pro a >

4.52. +∞ zprava, 0 zleva.

1 2

.

4.53. 1. 4.54. e1/2 . 4.55. e−1/2 .

4.56. e−1 . 4.57. 1. 4.58. e5 . 4.59. 1. 4.60. e. 4.61. 1. 4.62. e3/2 . 4.63. ea . 4.64. e1/2 . 4.65. e. 4.66. e−α . 4.67. 2/n (n + 1). 1 n (n + 1)(2n + 1). 4.69. 12/n(n + 1)(2n + 1). 4.70. 0. 4.71. 0. 4.68. − 12

4.72. 1 pro α = 0; +∞ pro α > 0; 0 pro α < 0. 4.73.

2 3

pro α =

4 3

; +∞ pro α >

4 3

; 0 pro α <

4 3

.

4.74.

3 2

pro α =

1 4

; +∞ pro α >

1 4

; 0 pro α <

1 4

.

4.75. (α1 + α2 + · · · + αn )/n . 4.76. 2n . 4.77. 2n . 4.78. 4.79. − 61 n(n + 1)(2n + 1) sin α . 4.80.

Pn

49

j=1 (αj /kj ).

1 2

n (n + 1) cos α .

5. Derivace Derivace (oboustranná, zprava, zleva) reálné funkce f reálné proměnné v bodě a ∈ R byla definována v kapitole 4 (viz řádky (9) a (9±)); tato derivace se podrobněji nazývá derivace řádu 1. Oboustranné derivace řádu n, kde n > 1 je přirozené číslo, se definují indukcí, v níž zbývá provést indukční krok : Je-li a ∈ R a má-li funkce f v každém bodě x jistého okolí U (a) derivaci f (n−1) (x) řádu n − 1, definujeme derivaci f (n) (a) řádu n funkce f v bodě a rovností f (n) (a) := (f (n−1) )′ (a),

(1)

má-li pravá strana smysl. Dodejme, že derivací řádu 0 v bodě a ležícím v definičním oboru funkce f budeme rozumět číslo f (a). Kromě názvu „derivace řádu nÿ se běžně užívá i termín „derivace n - tého řáduÿ. Jednostranné derivace řádů n > 1 nebudeme nikde potřebovat, a proto je ani nebudeme definovat. Říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě a, existuje-li konečná derivace f ′ (a); říkáme, že f je diferencovatelná v množině M ⊂ R, je-li diferencovatelná v každém bodě této množiny. Přechod od f ke konečné derivaci f ′ se nazývá diferencování (funkce f ). Připomeňme, že funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá, že obrácené tvrzení neplatí, a zopakujme dobře známá základní pravidla derivování: Věta 5.1 (o derivaci součtu a rozdílu). Existují-li derivace f ′ (a), g ′ (a), je (2)

(f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g ′ (a), má-li pravá strana smysl.

Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.2 (o diferencování součinu). Jsou-li funkce f , g diferencovatelné v bodě a, platí totéž o součinu f g, přičemž (3)

(f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a).

Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.3 (o diferencování podílu). Jsou-li funkce f , g diferencovatelné v bodě a a je-li g(a) = 6 0, je i podíl f /g diferencovatelný v bodě a, přičemž (4)

 f ′ g

(a) =

f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a) . g 2 (a)

Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.4 (o diferencování superpozice). Je-li funkce f diferencovatelná v bodě a a funkce g v bodě f (a), je superpozice g ◦ f diferencovatelná v bodě a, přičemž (5)

(g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) f ′ (a). 50

Poznámka 5.1. Všimněme si, že větu o derivaci součtu (rozdílu) lze na rozdíl od vět 5.2 – 5.4 užít i za některých situací, kdy jsou derivace nekonečné . 1 ) Je proto zcela korektní napsat např. √ 3

(6)

√
′ x+ 5x =

(

1 −2/3 3x

+ 51 x−4/5 pro x 6= 0

+ ∞ + ∞ = +∞ pro x = 0

)

.

√ √ Větu 5.1 však nelze užít k výpočtu derivace rozdílu h(x) := 3 x − 5 x v bodě 0, protože bychom dostali výraz +∞ − (+∞), který nemá smysl. To samozřejmě nevyvrací existenci této derivace ; vzhledem k tomu, že √ 3

x− x

√ 5

je h′ (0) = −∞.

x


= x−2/3 − x−4/5 = x−4/5 x2/15 − 1 → −∞ pro x → 0,

Příklad 5.1. První derivací funkce f (x) := lg (1 + x) v intervalu (−1, +∞) je funkce 1/(1 + x). Předpokládáme-li platnost identity (7)

f (n) (x) = (−1)n−1

(n − 1)! pro každé x ∈ (−1, +∞) (1 + x)n

a některé n ∈ N, ihned vidíme, že f (n+1) (x) = (f (n) )′ (x) = (−1)n−1 (−n)

n! (n − 1)! = (−1)n (1 + x)n+1 (1 + x)n+1

všude v (−1, +∞); tím je platnost (7) dokázána pro každé n ∈ N. Příklad 5.2. Jak snadno nahlédneme, platí všude v R a pro všechna celá čísla n ≥ 0 identity (81 )

sin(4n) = sin, sin(4n+1) = cos ,

sin(4n+2) = − sin , sin(4n+3) = − cos ,

(82 )

cos(4n) = cos , cos(4n+1) = − sin , cos(4n+2) = − cos , cos(4n+3) = sin .

Příklad 5.3. Aplikujeme-li dvakrát větu o diferencování superpozice, dostaneme identitu (arctg (exp (tg x)))′ =

1 1 · exp (tg x) · exp (2 tg x) + 1 cos2 x

platnou všude v R − { 21 (2k + 1)π ; k ∈ Z}. V.5.4 lze užít, protože každá ze tří zúčastněných funkcí je diferencovatelná všude ve svém definičním oboru.  1 ) Zdůraznili jsme to tím, že jsme věty 5.2 – 5.4 nazvali větami o diferencování součinu, podílu a superpozice.

51

Ve větě V.5.4 se mluví jen o „oboustrannéÿ diferencovatelnosti – jinou jsme ani nezavedli; jednostranné a nekonečné derivace pomocí ní počítat nelze . Často však lze užít následující jednoduché a velmi užitečné tvrzení, k němuž se uchylujeme zejména v případech, kdy se pro výpočet (oboustranné nebo jednostranné) derivace nehodí žádná ze zatím uvedených vět. Věta 5.5. Je-li a ∈ R, je-li f spojitá v jistém U (a) (U + (a), U − (a)) a je-li limita ′ ′ f (a±) (f ′ (a+), f ′ (a−)) rovna A ∈ R∗ , existuje i derivace f ′ (a) (f+ (a), f− (a)) a rovná se A. ′

Z právě uvedené věty ihned plyne, že např. (9)

arcsin′+ (−1) = arcsin′− 1 = +∞ , arccos′+ (−1) = arccos′− 1 = −∞ .

Příklad 5.4. Pro každé x ∈ h−1, 0) ∪ (0, 1i nechť je

√ arccos x 1 1 − 1 − x2 √ (10) f (x) := . + lg x 2 1 + 1 − x2 √ Funkce arccos x a 1 − x2 jsou diferencovatelné v každém bodě x ∈ (−1, 1), zlomek v logaritmu je kladný, je-li navíc x 6= 0, funkce lg je diferencovatelná v R+ . Je-li tedy 0 < |x | < 1, jsou splněny všechny předpoklady V.5.4 a je proto (11)

f ′ (x) = − √ +

1

1− 

x2

·

1 1 − arccos x · 2 x x

 1 x x 1 1 √ √ √ √ . + 2 1 − 1 − x2 1 − x2 1 + 1 − x2 1 − x2

Při diferencování prvního zlomku v (10) jsme dali přednost větě V.5.2 před větou V.5.3 ; logaritmus zlomku na pravé straně jsme před diferencováním rozložili na rozdíl logaritmu čitatele a jmenovatele, což je možné, protože jak čitatel, tak i√jmenovatel
jsou kladné funkce. Protože výraz ve druhé řádce (11) je roven 1/ x 1 − x2 , dokázali jsme zatím, že (12)

f ′ (x) = −

1 arccos x , je-li 0 < |x | < 1. x2

Oboustranné derivace funkce f v bodech ±1 neexistují např. proto, že definiční obor funkce f neobsahuje žádné oboustranné okolí žádného z těchto bodů ; zbývá ′ ′ (+1). Jak jsme (−1) a f− však rozhodnout, zdali existují jednostranné derivace f+ 2 již řekli, větu 5.4 nelze aplikovat. ) Mohli bychom se sice pokusit postupovat podle definice, ale daleko jednodušší je aplikovat V.5.5 ; to je možné, protože 2)

Nejenp proto, že oboustranné derivace nejsou k dispozici, ale že jednostranné derivace funkcí

1 − x2 jsou v bodech ±1 nekonečné. Z nemožnosti aplikovat větu 5.4 samozřejmě arccos x a neplyne , že uvedené derivace neexistují.

52

1) funkce f je spojitá jak v h−1, 0), tak i v (0, 1i; 2) existují limity lim f ′ (x) = −π,

x→−1+

lim f ′ (x) = 0.

x→1−

′ ′ Z V.5.5 proto plyne, že f+ (−1) = −π, f− (1) = 0. 

Je-li funkce f dána nějakým „vzorcemÿ, budeme ji vyšetřovat v maximálních intervalech, v nichž má „vzorecÿ smysl. Sjednocení všech těchto intervalů budeme považovat za definiční obor funkce f ; označíme jej D(f ). V dalším budeme řešit úlohy, které krátce nazveme vyšetření spojitosti a derivace dané funkce. Úloha se standardně bude skládat z těchto částí: 1) Nalezení definičního oboru D(f ) funkce f . 2) Nalezení všech maximálních intervalů, v nichž je f spojitá. Nalezení všech bodů x ∈ D(f ), v nichž f není spojitá (oboustranně, zprava, zleva). Nalezení oboustranných resp. jednostranných limit funkce f v bodech x ∈ D(f ), v nichž f není spojitá a v nichž tyto limity existují. 3) Nalezení (oboustranné resp. jednostranné) derivace funkce f ve všech bodech, kde existuje. ′ ′ (x), f− (x)) funkce f plyne její Protože z existence konečné derivace f ′ (x) (f+ spojitost (zprava, zleva), není nutné o ní v takových bodech explicite mluvit; spojitost je však důležitá v bodech, v nichž konečná derivace neexistuje. Podobně není nutné mluvit o jednostranných derivacích v bodech, v nichž existuje derivace oboustranná. 

Budeme říkat, že funkce f je spojitá ve svém definičním oboru, je-li spojitá v každém maximálním intervalu, z nichž se skládá její definiční obor. Při vyšetřování spojitosti bychom se jen stěží obešli bez znalosti těchto tvrzení: Věta 5.6. 1. Jsou-li funkce f , g spojité (oboustranně, zprava, zleva) v bodě a, platí totéž o funkcích |f |, f ± g, f g, a také o funkci f /g, pokud je g(a) 6= 0. 2. Jsou-li funkce f , g spojité v intervalu I ⊂ R, platí totéž o funkcích |f |, f ± g, f g, a také o funkci f /g, pokud je g 6= 0 všude v I.

Věta 5.7. 1. Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g v bodě f (a), je superpozice g ◦ f spojitá v bodě a. 2. Je-li funkce f spojitá v intervalu I a funkce g v nějakém intervalu J obsahujícím f (I), je superpozice g ◦ f spojitá v I.

Poznámka 5.2. V některých případech lze při vyšetřování spojitosti a derivace využít specifických vlastností dané funkce, jako je sudost , lichost nebo periodicita. Přestože předpokládáme, že tyto tři pojmy jsou čtenáři dobře známy, připomeneme jejich přesné definice : Splňuje-li množina M ⊂ R podmínku x ∈ M ⇒ −x ∈ M , říkáme, že funkce f definovaná v M je sudá (resp. lichá), platí-li pro každé x ∈ M rovnost f (−x) = f (x) (resp. f (−x) = −f (x)). 53

Je-li p ∈ R+ a splňuje-li množina M ⊂ R podmínku x ∈ M ⇒ x±p ∈ M , říkáme, že funkce f definovaná v M je p - periodická (nebo že má periodu p), platí-li pro každé x ∈ M rovnost f (x ± p) = f (x). Při počítání derivací nám část práce mohou ušetřit tato tři tvrzení: Věta 5.8. Sudá nebo lichá funkce f : M → R je v bodě a ∈ M spojitá zprava (zleva), právě když je spojitá v bodě −a zleva (zprava). Důsledek. Sudá nebo lichá funkce f : M → R je spojitá v bodě a ∈ M , právě když je spojitá v bodě −a. ′ ′ Věta 5.9. Je-li f : M → R sudá (lichá) funkce a je-li a ∈ M , je f+ (a) = −f− (−a) ′ = f− (−a)), má-li jedna strana rovnosti smysl. Důsledek. Je-li sudá (lichá) funkce f : M → R diferencovatelná v M , je f ′ funkce lichá (sudá).

′ (a) (f+

Věta 5.10. Nechť p ∈ R+ a nechť f : M → R je p - periodická funkce ; pak platí tato dvě tvrzení: 1. Je-li f spojitá v bodě a ∈ M zleva (zprava, oboustranně), platí totéž v každém bodě a + np, kde n ∈ Z. ′ ′ ′ ′ (a) = f− (a + np), (a + np), f− 2. Pro každé a ∈ M a každé n ∈ Z je f+ (a) = f+ ′ ′ f (a) = f (a + np), má-li jedna strana příslušné rovnosti smysl. Příklad 5.5. Funkce (13)

f (x) :=

√ 3 sin x

je spojitá v celém R, ale V.5.4 lze aplikovat jen v bodech x 6≡ 0 mod π, protože (Id1/3 )′ (0) = +∞ a V.5.4 předpokládá diferencovatelnost. Protože cos x pro všechna x ∈ / {nπ ; n ∈ Z}, √ 3 3 sin2 x √ 3 protože lim x→nπ cos x = cos nπ = (−1)n a protože sin2 x konverguje k 0 pro x → nπ a je kladná všude kromě bodů nπ, je podle V.5.5 ( ) ( ) +∞ sudá ′ ′ (15) f (nπ) = lim f (x) = pro všechna n . x→nπ −∞ lichá (14)

f ′ (x) =

p Příklad 5.6. Jednostranné derivace π - periodické funkce f (x) := 3 | sin x | lze v bodě 0 počítat přímo z definice : √ 3 3  √ sin x sin x  ′ ′ f+ (0) = lim = −∞ ; = +∞ , f− (0) = lim − x→0+ x→0− x x

′ ′ (nπ) = −∞ pro každé n ∈ Z. (nπ) = +∞, f− podle V.5.10 je v důsledku toho f+

Příklad 5.7. Funkce

(16)

f (x) := lg |x | − 54

p

x2 − 1




je spojitá a sudá ve svém definičním oboru (−∞, −1i ∪ h1, +∞); snadno zjistíme, že je p
′ 1 v (1, +∞) lg (x − x2 − 1 ) = − √ x2 − 1 √ ′ a že f+ (1) = f ′ (1+) = −∞. Podle V.5.9 je její derivace lichá, tedy rovná 1/ x2 − 1 v (−∞, −1), a navíc je f ′ (−1−) = +∞. Příklad 5.8. Funkce

(17)

f (x) := x (| cos (lg x)| − | sin (lg x)|)

je spojitá ve svém definičním oboru R+ . Protože absolutní hodnota (identity) nemá derivaci v počátku, nelze V.5.4 aplikovat v žádném bodě x ∈ R+ , v němž je buď cos (lg x) = 0, nebo sin (lg x) = 0, tedy v žádném bodě an := exp (nπ/2), kde n ∈ Z. Není-li x ∈ R+ rovno žádnému z čísel an , je (18)

f ′ (x) = | cos(lg x)| − | sin(lg x)|  1 1 −x sgn (cos (lg x)) · sin(lg x) · + sgn(sin (lg x)) · cos (lg x) · x x = sgn(cos (lg x))(cos (lg x) − sin (lg x)) − sgn(sin (lg x)) (cos (lg x) + sin (lg x)).

Vzhledem k π - periodicitě funkcí | cos x |, | sin x | platí identity f (x e±π ) = | cos (lg (x e±π ))| − | sin (lg (x e±π ))|

(19)

= | cos (lg x ± π)| − | sin (lg x ± π)| = | cos(lg x)| − | sin(lg x)| = f (x) pro všechna x identity (20)

∈

R+ . Z rovnosti an±2 = an e±π (kde n

∈

Z) snadno plyne platnost

f ′ (an±2 −) = f ′ (an −) resp. f ′ (an±2 +) = f ′ (an +)

za předpokladu, že jedna její strana má smysl. Podle V.5.5 jsou tato čísla rovna ′ ′ f− (an ) resp. f+ (an ). Zřejmě proto stačí vypočítat limity f ′ (a0 −), f ′ (a0 +), f ′ (a1 −), ′ ′ (a0 ), (a0 ), f+ f ′ (a1 +), pokud ovšem existují; je-li tomu tak, jsou po řadě rovny f− ′ ′ ′ ′ ′ ′ f− (a1 ), f+ (a1 ) a obecněji také rovny f− (a2n ), f+ (a2n ), f− (a2n+1 ), f+ (a2n+1 ) pro každé n ∈ Z. Tím bude naše úloha úplně vyřešena. Protože je sgn (cos (lg x)) = 1, sgn (sin (lg x)) = −1 v (a−1 , a0 ), je v tomto intervalu f ′ (x) = 2 cos (lg x) (podle (14)), a v důsledku toho f ′ (a0 −) = 2 cos (lg 1) = 2. Podobně zjistíme, že f ′ (x) = −2 sin (lg x) v (a0 , a1 ), takže f ′ (a0 +) = 0, f ′ (a1 −) = −2, a že f ′ (x) = −2 cos (lg x) v (a1 , a2 ), takže f ′ (a1 +) = 0. Tím je dokázáno, že pro každé n ∈ Z platí rovnosti (21)

′ ′ ′ ′ f− (a2n ) = 2, f+ (a2n ) = 0, f− (a2n+1 ) = −2, f+ (a2n+1 ) = 0.

55

Pro výpočet derivací vyšších řádů součinu dvou funkcí lze velmi často užít toto tvrzení (připomínající binomickou větu): Věta 5.11. (Leibnizův vzorec.) Existují-li konečné n-té derivace f (n) , g (n) funkcí f , g v bodě a ∈ R, je v tomto bodě n   X n (k) (n−k) (n) (22) (f g) = f g . k k=0

Příklad 5.9. Je-li λ ∈ R, 0 6= µ ∈ R, n ∈ N, platí pro každé x ∈ R rovnosti (23)

xλ eµx


(n)

=

n   X n

k=0

= eµx = eµx

k

n  X

k=0 n X

k=0

xλ


(k)

eµx


(n−k)

n λ (λ − 1) · · · (λ − k + 1)xλ−k µn−k k

 n  λ  k! xλ−k µn−k . k k

Připomeňme k tomu, že tzv. binomické koeficienty jsou pro každé λ ∈ R definovány vzorcem      λ (λ − 1) · · · (λ − k + 1) pro k ∈ N  λ k! ; (24) :=   k  1 pro k = 0  všimněme si přitom, že pro každé celé číslo λ ≥ 0 a pro každé k > λ je binomický koeficient (24) rovný 0. Příklad 5.10. Pro každé x ∈ R je 3   9   X X 9 9 (x3 )(k) (sin x)(9−k) (x3 )(k) (sin x)(9−k) = (x3 sin x)(9) = k k k=0

k=0 3

2

= x cos x + 9 · 3x · sin x − 36 · 6x · cos x − 84 · 6 · sin x

= x (x2 − 216) cos x + 9(3x2 − 56) sin x .

Příklad 5.11. Indukcí se snadno dokáže, že pro každé n ∈ N je (25)

lg(n) x = (−1)n−1

(n − 1)! pro každé x ∈ R+ . xn

Z toho ihned plyne, že pro každé x ∈ R+ je např. 7
7

(7)  7  2 ′ ′′ x2 lg x = x (lg x)(7) + x2 (lg x)(6) + x2 (lg x)(5) 0 1 2 48 5! 4! 6! = 1 · x2 · (−1)6 7 + 7 · 2x · (−1)5 6 + 21 · 2 · (−1)4 5 = 5 . x x x x 56

Cvičení Za předpokladu, že a ∈ R+ , b derivaci těchto funkcí: 3 )

∈

R+ , −∞ < α < β < +∞, vyšetřete spojitost a p 5.02. lg (x − x2 − 1) q √ 5.04. x− x

p 5.01. lg (x + x2 + 1 ) q √ x+ x 5.03. √ √ 5.05. x + x + 3 x p 3 2 5.07. x + 2x − 3

5.06. x +

√ √ x− 3x

5.08. lg2 x + lg (lg x) 5.10. | sin3 x | p |x2 − x − 2| 5.12. r x+2 5.14. 3 x−3 r 3 3 1+x 5.16. 2 − x2 sin x + cos x 5.18. arccotg sin x − cos x

5.09. cotg (arcsin x) 5.11. arctg (tg2 x) r x − 1 5.13. x+2 1+x 1−x 1 5.17. arccos x

5.15. arctg

5.20. arcsin (lg3 x)

5.19. argcosh (lg x) 5.21. arccos(lg (2 − x))

5.22. | arcsin x |

5.23. arcsin |x2 − 1|  1  5.25. lg arccos √ x 1 5.27. arctg 2 |x − 2|

5.24. lg (arcsin (x2 − 1))  a x  b a  x  b 5.26. b x a

5.29. arcsin(sin x) p 5.31. 3 cos (x2 − 1)

5.28. lg (1 + | sin x |) p arctg (ex − 1) 5.30. p 5.32. 3 (lg |x | − 1)2

5.35. x1/x

5.36. x lg x

5.33. arccos((1 − cos x)2 )

5.34. xx

3 ) U několika příkladů může být výpočet jednostranných derivací v krajních bodech příslušných intervalů dost obtížný, smíme-li užít jen dosud vyslovené věty. Čtenář, kterému jde jen o zvládnutí základních postupů, může proto tuto část úkolu vynechat ; čtenář, kterému by vadilo, že příklad nedovede rozřešit v plném rozsahu, může zkusit vrátit se k řešení, až se seznámí s obsahem kapitoly 6, v níž jsou vyloženy méně elementární metody výpočtu limit.

57

x

5.37. (lg x)x

5.38. xx

5.39. (lg x) lg x

5.40. (arctg x) arccos x

5.41. (sin x) cos x  1 + x lg x 5.43. lg 1−x  x  e +1 5.45. argcosh x e −1 p 5.47. lg (lg (ex + 1 + e2x )) r 1−x arcsin x 5.49. p + lg 1+x 1 − x2 r e2x 5.51. arctg ex − lg e2x + 1 p x a2 − x2 − a arccos 5.53. a x 5.55. arcsin √ x2 + 1

5.42. (ex − 1) arcsin x r 1 − sin x 5.44. lg 1 + sin x q √ 2 − sin x − cos x 5.46.

lg x x2 − 1 − √ x2 − 1 p
5.50. lg 2x + 1 + 2 x2 + x 5.48. arctg

p

5.52. argsinh (| lg |x2 − 3||)

x+a x 5.54. lg p + arctg a x2 + a2 p 1 5.56. x2 − 1 − x2 arccos x

5.57. lg (1 + sin2 x) − 2 sin x arctg (sin x) 5.58. 2x arctg x − lg (x2 + 1) − arctg2 x 5.59. x arcsin2 x + 2

p

1 − x2 arcsin x − 2x

p
x lg x − lg x + 1 + x2 5.60. p 1 + x2 √ x+1 2x − 1 − lg √ 5.61. 3 arctg √ 2 3 x −x+1 r p x−α 5.62. (x − α)(β − x) + (β − α) arctg β−x V bodech x uvedených v závorkách vypočítejte n - té derivace těchto funkcí: 5.63. xn eαx , kde α ∈ R (x ∈ R)

5.64. ex sin x (x = 0)

1 (x ∈ (−∞, 21 )) 5.65. √ 1 − 2x 1+x (x = 0) 5.67. lg 1−x

5.66. sin x cos x (x ∈ R) 5.68.

58

1 x (x + 1)

(−1 6= x 6= 0)

5.69. Nechť (26)

f (x) :=

(

exp (−1/x2 ) 0

pro x 6= 0

pro x = 0

)

.

Dokažte indukcí, že existují polynomy an (x) tak, že rovnost f (n) (x) = an

(27)

1 x

 1 exp − 2 x

platí pro všechna n ∈ N a všechna√x 6= 0; pak dokažte, že f (n) (0) = 0 pro všechna n ∈ N. (Rada. Substitucí x = ±1/ t převeďte limitu pro x → 0± pravé strany (27) √ na lim t→+∞ an (± t ) exp (−t); podle (26) z kapitoly 4 je tato limita rovna nule. Dodefinujeme-li tedy funkci (27) v bodě 0 nulou, bude spojitá v celém R a stačí aplikovat V.5.5 .) 5.70. Zjistěte, pro která n ∈ N má funkce    xn sin 1 pro x 6= 0  (28) f (x) := x  0 pro x = 0 

v bodě 0 derivaci prvního resp. druhého řádu a pro která n ∈ N je první resp. druhá derivace v bodě 0 spojitá.

Řešení Funkce z příkladů 5.01 – 5.70 značíme v tomto seznamu řešení f . Všechny jsou spojité ve svém definičním oboru ; tuto informaci u jednotlivých příkladů již neuvádíme. 4 ) 1 5.01. D(f ) = R ; f ′ (x) = √ v R 2 x +1 1 ′ v (1, +∞); f+ (1) = −∞ x2 − 1 √ 2 x+1 ′ 5.03. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = √ p √ v R+ ; f+ (0) = +∞ 4 x x+ x √ 2 x−1 ′ 5.04. D(f ) = h1, +∞); f ′ (x) = √ p √ v (1, +∞); f+ (1) = +∞ 4 x x− x 5.02. D(f ) = h1, +∞); f ′ (x) = − √

1 1 ′ v R+ ; f+ (0) = +∞ 5.05. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = 1 + √ + √ 3 2 x 3 x2 4)

V kapitole 7 budeme vyšetřovat i funkce, které v některých bodech spojité nejsou.

59

1 1 ′ v R+ ; f+ (0) = −∞ 5.06. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = 1 + √ − √ 2 x 3 3 x2 5.07. D(f ) = R ; f ′ (x) =

2(x + 1) p , je-li − 3 6= x 6= 1; 3 3 (x2 + 2x − 3)2

f ′ (−3) = −∞, f ′ (1) = +∞ 5.08. D(f ) = (1, +∞); f ′ (x) =

2 lg2 x + 1 v D(f ) x lg x

5.09. D(f ) = h−1, 0) ∪ (0, 1i; f ′ (x) = −

x2

′ ′ f+ (−1) = f− (1) = −∞

1 √ , je-li 0 < |x | < 1; 1 − x2

5.10. D(f ) = R ; f ′ (x) = 3 sgn (sin x) sin2 x cos x v R .

P o z o r ! V.5.4 nelze aplikovat , je-li x ≡ 0 mod π , ale uvedený výsledek je podle V.5.5 správný i v těchto bodech.

5.11. D(f ) = R − { 12 (2n + 1)π ; n ∈ Z}; f ′ (x) =

sin 2x v D(f ) sin4 x + cos4 x

sgn(x2 − x − 2) (2x − 1), je-li − 1 6= x 6= 2; 5.12. D(f ) = R ; f ′ (x) = p 2 |x2 − x − 2| ′ ′ ′ ′ f− (−1) = f− (2) = −∞, f+ (−1) = f+ (2) = +∞

5.13. D(f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, +∞); f ′ (x) =

3 sgn ((x − 1)/(x + 2)) q , 2 (x − 1)(x + 2)3

′ ′ je-li − 2 6= x 6= 1; f− (1) = −∞ , f+ (1) = +∞

5 5.14. D(f ) = (−∞, 3) ∪ (3, +∞); f ′ (x) = − p , 3 3 (x + 2)2 (x − 3)4 je-li − 2 6= x 6= 3; f ′ (−2) = −∞

1 , je-li x 6= 1 1 + x2 √ √ √ √ 5.16. D(f ) = (−∞, − 2) ∪ (− 2, 2) ∪ ( 2, +∞); f ′ (x) =

5.15. D(f ) = (−∞, 1) ∪ (1, +∞); f ′ (x) =

=

√ x (2 + 6x − x3 ) p , je-li ± 2 6= x 6= −1; f ′ (−1) = +∞ 3 3 (1 + x3 )2 (2 − x2 )4

5.17. D(f ) = (−∞, −1i ∪ h1, +∞); f ′ (x) = ′ ′ f− (−1) = f+ (1) = +∞

60

1 √ , je-li |x | > 1; |x | x2 − 1

5.18. D(f ) = R − {(n + 14 )π ; n ∈ Z}; f ′ (x) ≡ 1 v D(f )

1 ′ 5.19. D(f ) = he, +∞); f ′ (x) = p 2 v (e, +∞); f+ (e) = +∞ x lg x − 1

3 lg2 x v (1/e, e); 5.20. D(f ) = h1/e, ei; f ′ (x) = p x 1 − lg6 x ′ ′ f+ (1/e) = f− (e) = +∞ 5.21. D(f ) = h2 − e, 2 − 1/ei; f ′ (x) =

1 q , (2 − x) 1 − lg2 (2 − x)

′ ′ je-li 2 − e < x < 2 − 1/e; f+ (2 − e) = f− (2 − 1/e) = +∞

sgn x 5.22. D(f ) = h−1, 1i; f ′ (x) = √ , je-li 0 < |x | < 1; 1 − x2 ′ ′ ′ f+ (−1) = −∞, f± (0) = ±1, f− (1) = +∞

√ √ √ 2 sgn (x (x2 − 1)) √ 5.23. D(f ) = h− 2, 2 i; f ′ (x) = , je-li |x | < 2 a 2 − x2 √ √ ′ ′ ′ ′ 0 6= x 6= ±1; f± (∓ 2) = ∓∞, f± (−1) = f± (1) = ±2, f± (0) = ∓ 2 √ √ 5.24. D(f ) = h− 2, −1) ∪ (1, 2 i; f ′ (x) =

2 sgn x √ , arcsin (x2 − 1) 2 − x2 √ √ √ √ ′ ′ je-li x ∈ (− 2, −1) ∪ (1, 2); f+ (− 2) = −∞, f− ( 2) = +∞

1 v D(f ) √ √ 2x arccos (1/ x) x − 1  a b − a 5.26. D(f ) = R+ ; f ′ (x) = f (x) · lg + v D(f ) b x √ 2x sgn (2 − x2 ) 5.27. D(f ) = R − {± 2}; f ′ (x) = 4 v D(f ) x − 4x2 + 5 5.25. D(f ) = (1, +∞); f ′ (x) =

5.28. D(f ) = R ; f ′ (x) =

sgn (sin x) cos x , je-li x 6≡ 0 mod π ; 1 + | sin x |

′ f± (nπ) = ±1 pro všechna n ∈ Z

5.29. D(f ) = R ; f ′ (x) = sgn (cos x), je-li x 6≡ 21 π mod π ;

′ 1 ′ 1 f± 2 (4n − 1)π = f∓ 2 (4n + 1)π = ±1 pro všechna n ∈ Z

ex 5.30. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = p , 2 arctg (ex − 1) (e2x − 2ex + 2) ′ je-li x ∈ R+ ; f+ (0) = +∞

61

5.31. D(f ) = R ; f ′ (x) = kde an :=

q

2 x sin (1 − x2 ) p , je-li x 6∈ {± an ; n ∈ N }, 3 3 cos2 (x2 − 1)

1 + 21 (2n − 1)π ; f ′ (± a2n−1 ) = ∓∞ , f ′ (± a2n ) = ±∞

5.32. D(f ) = R− ∪ R+ ; f ′ (x) = ′ ′ f± (−e) = f± (e) = ±∞

2 p , je-li 0 6= x 6= ±e; 3x 3 lg |x | − 1

2(cos x − 1) sin x , h 21 (4n − 1)π, 21 (4n + 1)πi; f ′ (x) = p 4 1 − (cos x − 1) ∈ n Z [ ′ 1 ( 2 (4n − 1)π) = +∞, ( 21 (4n − 1)π, 12 (4n + 1)π); f+ je-li x ∈

5.33. D(f ) =

[

n∈Z

′ 1 f− ( 2 (4n + 1)π) = −∞ ′ 5.34. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = xx (lg x + 1) v R+ ; f+ (0) = −∞

5.35. D(f ) = R+ ; f ′ (x) = x1/x−2 (1 − lg x) v D(f ) 5.36. D(f ) = R+ ; f ′ (x) = 2x lg x−1 lg x v D(f )


5.37. D(f ) = h1, +∞); f ′ (x) = (lg x)x−1 lg x lg (lg x) + 1 v (1, +∞); ′ f+ (1) = 1

 x 1 ′ 5.38. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = xx xx lg x (lg x + 1) + v R+ ; f+ (0) = 1 x lg (lg x) + 1 ′ ; f+ (1) = −∞ x  arccos x lg (arctg x)  √ 5.40. D(f ) = h0, 1i ; f ′ (x) = f (x) − , (1 + x2 ) arctg x 1 − x2

5.39. D(f ) = h1, +∞); f ′ (x) = (lg x)lg x ·

′ ′ je-li x ∈ (0, 1); f+ (0) = 0, f− (1) = +∞

5.41. D(f ) =

[

h2nπ, (2n + 1)π); f ′ (x) = f (x)

n∈Z

cos2 x − sin2 x lg (sin x) sin x

′ v D(f ) − {2nπ ; n ∈ Z}; f+ (2nπ) = 1  lg (ex − 1)  ex 5.42. D(f ) = h0, 1i ; f ′ (x) = f (x) √ + x arcsin x v (0, 1); e −1 1 − x2

′ ′ f+ (0) = −∞, f− (1) = +∞  1 + x lg x−1 2 lg x f (x)  1 + x  + lg lg 5.43. D(f ) = (0, 1) ; f ′ (x) = lg 1−x 1 − x2 x 1−x

v D(f )

62

5.44. D(f ) = R − { 12 (2n + 1)π ; n ∈ Z}; f ′ (x) = − 5.45. D(f ) = R+ ; f ′ (x) = −

1 v D(f ) cos x

1 v D(f ) 2 sinh ( 12 x)

sin x − cos x 5.46. D(f ) = R ; f ′ (x) = p√ , je-li x 6≡ 14 π mod 2π ; 2 2 − sin x − cos x √
. 4 ′ 2n + 41 ) = ±1/ 2 = 0.84 pro všechna n ∈ Z f± ex √ 5.47. D(f ) = R ; f ′ (x) = √ v R 1 + e2x · lg (ex + 1 + e2x )

5.48. D(f ) = (1, +∞); f ′ (x) = p

x lg x

(x2 − 1)3

v D(f )

x arcsin x v D(f ) 5.49. D(f ) = (−1, 1); f ′ (x) = p (1 − x2 )3

5.50. D(f ) = h0, +∞); f ′ (x) = √ 5.51. D(f ) = R ; f ′ (x) =

1

x2

+x

′ v R+ ; f+ (0) = +∞

ex − 1 v D(f ) e2x + 1

5.52. D(f ) = R − {±3}; f (x) =

2x sgn (lg |x2 − 3|)) , ·q −3 1 + lg2 |x2 − 3|

x2

√ je-li x ∈ D(f ) − {± 2, ±2};

√ √ √ ′ ′ ′ ′ ( 2) = ±2 2 f± (−2) = f± (2) = ±4, f± (− 2) = f± r a−x ′ 5.53. D(f ) = h−a, ai; f (x) = v (−a, a); a+x ′ ′ f+ (−a) = +∞, f− (a) = 0

5.54. D(f ) = (−a, +∞); f ′ (x) = 5.55. D(f ) = R ; f ′ (x) =

2a2 v D(f ) (a + x)(a2 + x2 )

1 v D(f ) x2 + 1

x − |x | 1 5.56. D(f ) = (−∞, −1i ∪ h1, +∞); f ′ (x) = √ − 2x arccos , 2 x x −1 ′ ′ je-li |x | > 1; f− (−1) = −∞ , f+ (1) = 0

5.57. D(f ) = R ; f ′ (x) = −2 arctg (sin x) cos x v R 5.58. D(f ) = R ; f ′ (x) =

2x2 arctg x v R x2 + 1 63

′ ′ 5.59. D(f ) = h−1, 1i; f ′ (x) = arcsin2 x v (−1, 1); f+ (−1) = f− (1) = 14 π 2

5.60. D(f ) = R+ ; f ′ (x) = p

lg x

(1 + x2 )3

5.61. D(f ) = (−1, +∞); f ′ (x) = ′

5.62. D(f ) = hα, β ); f (x) = 5.63. eαx

n   X n n!

k=0

5.64.

N X

k

(−1)

k=0

5.65. p

k!

k



r

v D(f )

3x v D(f ) +1

x3

β−x ′ v (α, β ); f+ (α) = +∞ x−α

αk xk

n  , kde N = 2k + 1

(1

2 (n − 1) 1 2n−1

pro každé liché n pro každé sudé n

)

(2n − 1)!!

(1 − 2x)2n+1

5.66. 2n−1 g(x), kde g(x) je rovno sin 2x, cos 2x, − sin 2x, − cos 2x podle toho, zdali je n, n − 1, n − 2, n − 3 dělitelné číslem 4

5.67. f (n) (0) = 5.68. (−1)n n!



2(n − 1)! pro každé liché n 0

pro každé sudé n



  1 1 − xn+1 (x + 1)n+1

5.70. n ≥ 2 ⇔ f ′ (0) existuje ; n ≥ 3 ⇔ f ′ je spojitá v bodě 0;

n ≥ 4 ⇔ f ′′ (0) existuje ; n ≥ 5 ⇔ f ′′ je spojitá v bodě 0

64

6. Limity funkcí – 2. část Limita podílu dvou funkcí je rovna podílu limit těchto funkcí jen tehdy, když má podíl limit smysl. V některých případech, kdy podíl limit smysl nemá, lze limitu podílu najít např. pomocí tohoto tvrzení: Věta 6.1. (l’Hospitalovo pravidlo.) Nechť a ∈ R∗ a nechť jsou splněny tyto podmínky : Funkce f , g jsou diferencovatelné v jistém P (a) a (1)

buď

lim f (x) = lim g(x) = 0, nebo lim |g(x)| = +∞ .

x→a

x→a

x→a

Pak je (2)

f (x) f ′ (x) = lim ′ , existuje-li limita vpravo. x→a g(x) x→a g (x) lim

Analogická tvrzení platí pro limitu zprava v bodech a < +∞ a zleva v bodech a > −∞.

Příklad 6.1. Ilustrujme užití l’Hospitalova pravidla několika typickými příklady :

(3′ )

(3′′ )

(4)

(5)

(6)

(7)

1 lg x = lim = 0; x→+∞ x x 1 lg x x = − lim x = 0; lim x lg x = lim = lim x→0+ x→0+ x→0+ 1 x→0+ 1 − 2 x x x 1 lim x e−x = lim x = lim x = 0 ; x→+∞ x→+∞ e x→+∞ e 1 − 2 arccotg x x +1 = 1; = lim lim x arccotg x = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 1 − 2 x x sin x lim = lim cos x = 1 ; x→0 x x→0 lim

x→+∞

lim ( 21 π − x) tg x = lim

x→π/2

x→π/2

1 2π

−x

cotg x

−1 = 1. x→π/2 1 − 2 sin x

= lim

Příklad 6.2. Větu 6.1 lze aplikovat na podíl f /g i několikrát: Splňují-li například nejen funkce f , g, ale i jejich derivace f ′ , g ′ , f ′′ , g ′′ předpoklady V.6.1, je f ′ (x) f ′′ (x) f ′′′ (x) f (x) = lim ′ = lim ′′ = lim ′′′ , existuje-li poslední limita. x→a g (x) x→a g (x) x→a g (x) x→a g(x) lim

65

Například tedy je (8)

lim

x→0

cos x − 1 − sin x − cos x 1 sin x − x = lim = lim = lim =− . x→0 x→0 x→0 x3 3x2 6x 6 6

Jak je patrné, při praktické aplikaci l’Hospitalova pravidla píšeme rovnosti v jistém smyslu „na dluhÿ. Zpočátku totiž nemusíme vědět, zdali platí první tři rovnosti v (8), protože na příslušné zlomky nelze aplikovat větu o limitě podílu. První čitatel f (x) := sin x − x i příslušný jmenovatel g(x) := x3 však má limitu 0 a totéž platí o f ′ (x), g ′ (x), f ′′ (x), g ′′ (x). Platnost prvních tří rovností v (8) však (za této situace) plyne z existence limity podílu f ′′′ (x)/g ′′′ (x) = − 16 cos x. 1 )

Příklad 6.3. Je-li α ≤ 0, je (podle věty o limitě podílu) lim x→+∞ xα /ex = 0, protože čitatel f (x) := xα má buď limitu 0, nebo 1, jmenovatel g(x) := ex limitu +∞. Je-li α ∈ R+ , diverguje čitatel i jmenovatel do +∞ ; je-li n nejmenší přirozené číslo větší nebo rovné α, lze n - krát aplikovat l’Hospitalovo pravidlo, protože funkce g(x) = g ′ (x) = . . . = g (n−1) (x) = ex má v +∞ limitu +∞. Dostaneme tak rovnosti

(9)

xα α xα−1 α (α − 1)xα−2 = lim = lim = ··· x x x→+∞ e x→+∞ x→+∞ e ex α (α − 1) · · · (α − n + 1)xα−n · · · = lim = 0; x→+∞ ex lim

poslední z nich plyne z věty o limitě podílu, protože xα−n má buď limitu 0, nebo 1. Poznámka 6.1. l’Hospitalovým pravidlem lze počítat nejen některé limity podílů, ale i např. rozdílů nebo součinů ; před aplikací pravidla je ovšem třeba rozdíl resp. součin upravit na vhodný podíl (sr. s (3′′ ), (4), (5), (7)). To je možné vždy, ale úprava není dána jednoznačně ; označíme-li F := 1/f , G := 1/g, je například (10′ ) (10′′ )

f (x) − g(x) =

1 G(x) − F (x) 1 − = , F (x) G(x) F (x)G(x) fg =

g f = . G F

Daný výraz se vždy snažíme upravit na zlomek, jehož čitatel i jmenovatel má co nejjednodušší derivaci. V příkladu (3′′ ) by např. nevedlo k cíli, kdybychom – na rozdíl od uvedené úpravy – ponechali x v čitateli a do jmenovatele dali 1/ lg x; podíl derivací by totiž v tom případě byl roven −x lg2 x, což je složitější než součin, z něhož jsme vyšli. Hlavním cílem v příkladech (3′′ ) a (5) bylo odstranit derivováním transcendentní funkci lg x resp. arccotg x, jejíž přítomnost způsobuje, že numerickou hodnotu příslušné limity nevidíme na první pohled.  V Př.6.1 jsme vypočítali limitu několika součinů ; uveďme ještě příklad na limitu rozdílu : 1 ) Kdyby v podobné situaci limita podílu třetích derivací neexistovala, nezbylo by než konstatovat, že l’Hospitalovo pravidlo nevede k cíli ; z toho by samozřejmě vůbec neplynulo, že výchozí limita neexistuje – sr. s Př. 6. 7 .

66

Příklad 6.4. Je     1 sin x − x cos x 1 cos x lim = lim (11) − cotg x = lim − x→0 x x→0 x→0 x sin x x sin x x sin x sin x = 0. = lim sin x + x cos x x→0 sin x + cos x x

= lim

x→0

Poznámka 6.2. Pomocí l’Hospitalova pravidla lze počítat i limity některých funkcí tvaru f (x) g(x) = exp (h(x)), kde h(x) := g(x) lg f (x). Najdeme-li limitu funkce h(x), stačí uvážit, že (podle V.4.1)   pro A = −∞    0 . (12) lim h(x) = A ⇒ lim f (x) g(x) = exp A pro A ∈ R x→a x→a    + ∞ pro A = +∞ 

Existují-li obě limity lim g(x), lim lg f (x), nemá jejich součin smysl, právě když je jedna z nich rovna 0 a druhá je nekonečná; to odpovídá těmto situacím: 1) lim g(x) = 0 a lim f (x) je rovna buď 0, nebo +∞ ; 2) lim g(x) = ±∞ a lim f (x) = 1. Doufáme, že ani čtenář, který má (např. v důsledku chybného výkladu ve škole) tendenci nahrazovat limitní přechod dosazením, nebude umocňovat čísla ±∞ na nultou a číslo 1 na ±∞ – „mocninyÿ (±∞)0 , 1±∞ by měly být každému podezřelé. Připomeňme, že tyto symboly nejsou definovány a nemělo by smysl definovat je, protože by se tím nic nezískalo. Skutečně velmi nebezpečná však může být pro nezkušeného studenta situace, kdy lim f (x) = lim g(x) = 0, protože výraz 0 0 je definován jako 1, zatímco lim f (x) g(x) může být nejen rovna kterémukoli nezápornému číslu, ale nemusí vůbec existovat ! Dokládá to nejen následující příklad, ale také Př.6.16 a cvičení 6.77 – 6.84. Příklad 6.5. Je-li α g(0+) = 0. Protože

∈

R, f (x) := x, g(x) := α/ lg x všude v (0, 1), je f (0+)= xα/ lg x = exp

 α lg x  lg x

≡ eα

všude v (0, 1), je i lim x→0+ f (x) g(x) = eα , což může být jakékoli číslo z R+ . Je-li f (x) := exp (−x2 ), g1 (x) := 1/x, g2 (x) := −1/x, mají tyto funkce v +∞ limitu 0 a lim f (x) g1 (x) = lim e−x = 0,

x→+∞

x→+∞

lim f (x) g2 (x) = lim e x = +∞ .

x→+∞

x→+∞

Je-li g3 (x) := (cos x)/x, je g3 (+∞−) = 0, funkce F (x) := f (x) g3 (x) = e−x cos x však v +∞ limitu nemá – např. proto, že pro n → ∞ je F (2nπ) = exp (−2nπ) → 0 a F ((2n + 1)π) = exp ((2n + 1)π) → +∞. 67

Poznámka 6.3. Je zajímavé (ale bohužel smutné), jak dlouho se na různých školách (včetně vysokých) a v nejrůznějších učebnicích a sbírkách vzorců udržuje historický termín neurčitý výraz. Uvádí se jich několik : 0 ∞ , , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 , 1∞ , ∞0 . 0 ∞ Komentujme podrobněji např. „neurčitý výraz 0/0ÿ, který zřejmě souvisí s limitou podílu f (x)/g(x) v případě, že limita čitatele i jmenovatele je rovna nule. Přístup k podobným otázkám se nejen v dobách, kdy žili slavní matematikové Guillaume Fran¸cois Antoine de l’Hospital, sir Isaac Newton a Gottfried Wilhelm von Leibniz, ale ještě mnohem později, zásadně lišil od nynějšího způsobu uvažování. Když se začaly počítat limity, počítaly se nutně i limity zlomků ; pokud limita A čitatele byla konečná a limita B jmenovatele konečná nenulová, byla (a je) limita podílu rovna A/B. V některých případech, kdy limita čitatele byla nenulová, limita jmenovatele nulová, se též našlo jakési „řešeníÿ – napíšeme A/0 a řekneme, že je to nekonečno; se znaménkem si nebudeme příliš lámat hlavu, stejně někdy vychází zprava jiné než zleva. 2 ) V případě, že i čitatel má limitu 0, budeme postupovat analogicky : napíšeme 0/0 jako „výsledekÿ a teprve pak začneme uvažovat, co tento záhadný symbol znamená. Z hlediska dnešní logiky je podobný postup naprosto nepřijatelný. Je zřejmé, že se jedná o snahu nahradit počítání limity dosazením, což – jak čtenář již dobře ví – není obecně možné. Tím, že napíšeme 0/0 a řekneme, že jde o neurčitý výraz, nejen že nic neřešíme, ale zatemňujeme podstatu problému : Je-li lim f (x) = lim g(x) = 0, nelze o lim (f (x)/g(x)) obecně nic říci, protože limita podílu může být (podle situace) rovna jakémukoli číslu z R∗ a nemusí dokonce ani existovat. Tuto „smutnou skutečnostÿ ilustrují triviální příklady – např. podíl sin (αx)/x má v bodě 0 limitu α, což může být jakékoli číslo z R. Podíl 0/0 nezavádíme (nedefinujeme) proto, že bychom tím zřejmě nic nezískali – ať se budeme jakkoli snažit, nikdy nebude platit obecná věta, že limita podílu je rovna podílu limit. V souvislosti s tím naopak říkáme, že podíl 0/0 nemá smysl. Tento „výrazÿ není tedy z logického hlediska neurčitý, ale nesmyslný. Podobně je tomu s ostatními „neurčitými výrazyÿ 3 ), které jsme uvedli, s výjimkou mocniny 0 0 , jejíž zařazení mezi tyto výrazy je skutečně již na pováženou, protože (jak jsme ukázali v Po.6.2 a v Př.6.5 ) může méně zkušeného studenta dovést ke zcela falešným závěrům. 2 ) I dnes najdeme v některých sbírkách vzorců z reálné analýzy rovnost lim x→π/2 tg x = ∞ ; některé počítačové programy v podobných případech dávají „výsledekÿ ve tvaru 1/0. 3 ) Po anglickém středověkém filozofu - scholastikovi Williamovi of Occam se Occamovou břitvou nazývá princip nezavádění hypotéz (obecněji : čehokoli, např. názvů, symbolů apod.), které (za dané situace) nejsou nutně potřebné. (V originále zněl princip takto : „Assumptions introduced to explain a thing must not be multiplied beyond necessity.ÿ) Dnešní věda se tímto principem dost důsledně řídí, i když jej, jak ukazuje užívání zbytečného a navíc zavádějícího názvu „neurčitý výrazÿ, někteří učitelé matematiky bohužel ignorují.

68

Příklad 6.6. Ptejme se, pro která n ∈ N existuje limita 2

lim (xn + cos x)1/x ;

(13)

x→0

základ má limitu 1, exponent limitu +∞. Podle l’Hospitalova pravidla je lim

x→0±

nxn−1 − sin x 1 lg (xn + cos x) = lim g (x), kde g (x) := , n n x→0± x2 xn + cos x 2x

a to za předpokladu, že příslušná limita funkce gn existuje. To však podstatně závisí na n, protože lim g1 (x) = ±∞ , lim g2 (x) =

x→0±

x→0

1 2

, lim gn (x) = − 21 pro všechna n > 2. x→0

Limita (13) pro n = 1 tedy neexistuje, protože příslušná limita zprava resp. zleva je rovna +∞ resp. 0. Je-li n > 1, limita (13) existuje ; je rovna e1/2 pro n = 2 a e−1/2 pro všechna n > 2. Poznamenejme ještě, že 2

(13∗ )

lim (cos x)1/x = e−1/2 ,

x→0

protože podle l’Hospitalova pravidla je lim

x→0

− sin x 1 1 lg (cos x) = lim =− . x→0 cos x 2x x2 2

I v (13∗ ) má základ limitu 1, exponent limitu +∞ ; přidáme-li však k základu „malouÿ funkci xn (mající v bodě 0 limitu 0), výsledná limita (13) může být úplně jiná, protože nezáleží jen na tom, jakou má základ limitu, ale také na tom, „jak rychleÿ se k této limitě blíží. Tento příklad má varovat před ukvapenými úsudky typu „protože se základ změnil jen nepatrně, limita celého výrazu se asi nezměníÿ. Poznámka 6.4. Bylo by omylem domnívat se, že l’Hospitalovo pravidlo je za všech okolností nejlepší metodou výpočtu limity podílu, nebo snad dokonce jedinou známou metodou. Za prvé se totiž může stát, že po derivování čitatele a jmenovatele dostaneme zlomek složitější, než byl zlomek původní. Za druhé je možné, že limita podílu f (x)/g(x) existuje, ale limita podílu f ′ (x)/g ′ (x) neexistuje (takže není splněn jeden z předpokladů l’Hospitalova pravidla). Za třetí je aplikace l’Hospitalova pravidla zbytečná tam, kde vystačíme se znalostí derivací. Limity lim x→±∞ x (31/x − 21/x ) lze najít např. takto: Napíšeme 1/x místo x, čímž uvedené limity převedeme na limity lim x→0± (3x − 2x )/x, což jsou – jak bychom měli na první pohled rozeznat – derivace funkce 3x − 2x v bodě 0 zprava a zleva. Protože je (ax )′ = ax lg a pro každé x ∈ R a každé a ∈ R+ , je tedy 3x − 2x 3 3x − 2x = lim = lg 3 − lg 2 = lg . x→0 x→0± x x 2

lim x (31/x − 21/x ) = lim

x→±∞

69

Za čtvrté : Při výpočtu limity některých zlomků bychom museli l’Hospitalovo pravidlo užít mnohokrát, čímž by se čitatel nebo jmenovatel mohl nadměrně zkomplikovat. Mnohdy vede pohodlnější a rychlejší cesta k výpočtu limity přes tzv. Taylorovy polynomy. První dvě situace budeme nyní ilustrovat jednoduchým příkladem; pak vysvětlíme, co jsou Taylorovy polynomy a jak lze pomocí nich některé limity najít rychleji a elegantněji než l’Hospitalovým pravidlem. Příklad 6.7. Funkce f (x) := x, g(x) := x + lg x · sin x mají v +∞ limitu +∞, přičemž (14)

lim

x→+∞

f (x) x = lim = lim g(x) x→+∞ x + lg x sin x x→+∞

1 = 1, lg x 1+ sin x x

protože (lg x)/x → 0 a sin x je omezená funkce. Podíl (14′ )

f ′ (x) = g ′ (x)

1 x = , sin x x + sin x + x lg x cos x + lg x cos x 1+ x

který je složitější než podíl původní, přitom pro x → +∞ limitu nemá – např. proto, že se jeho jmenovatel anuluje v nekonečně mnoha bodech an divergujících do +∞. 4 ) Z toho je patrné, že l’Hospitalovo pravidlo nelze v tomto případě užít, ačkoli limita (14) existuje.  Je-li funkce f definována v jistém okolí U (a) jistého bodu a ∈ R a existuje-li pro některé celé číslo n ≥ 0 konečná derivace f (n) (a), nazývá se funkce (15)

f Ta,n (x) :=

n X f (k) (a)

k=0

k!

(x − a)k , kde x ∈ R ,

n - tý Taylorův polynom funkce f o středu a; je-li ze souvislosti zřejmé, o kterou funkci f a o který bod a se jedná, můžeme jej stručněji značit např. Tn (x). Taylorovy polynomy užijeme k limitní aproximaci příslušných funkcí. Několik nových pojmů a označení nám dovolí jednoduše vysvětlit, co se tím míní, a umožní nám s Taylorovými polynomy efektivně pracovat. Je-li a ∈ R∗ a jsou-li f , g dvě funkce definované v jistém P (a), bude symbol (16)

f (x) = o (h(x)) pro x → a

znamenat, že (17)

lim

x→a

f (x) = 0; h(x)

4 ) Spojitá funkce ve jmenovateli posledního zlomku v (14′ ) má pro každé n ∈ N v bodě 2nπ hodnotu 2nπ(1 + lg (2nπ)) > 0, v bodě (2n + 1)π hodnotu (2n + 1)π(1 − lg ((2n + 1)π)) < 0 ; někde mezi body 2nπ, (2n + 1)π se proto anuluje.

70

jsou-li f , g, h tři funkce definované v jistém P (a), bude zápis (18)

f (x) = g(x) + o (h(x)) pro x → a

znamenat, že (19)

f (x) − g(x) = o (h(x)) pro x → a .

Analogicky se definují symboly, v nichž je buď „x → a+ÿ, nebo „x → a−ÿ místo „x → aÿ. Symbolické zápisy (16) resp. (18) čteme : „f (x) je malé ó h(x)ÿ resp. „f (x) je (rovno) g(x) plus malé ó h(x) pro x → aÿ.

Poznámka 6.5. Za situace (16) jsou prakticky důležité jen případy, kdy jsou obě limity lim x→a f (x), lim x→a h(x) rovny buď 0, nebo ±∞. První případ odpovídá názorné představě, že „pro x → a se f (x) blíží k nule podstatně rychleji než h(x)ÿ (graf f se „v blízkosti bodu aÿ přimyká k ose x podstatně lépe než graf h); ve druhém případě však naopak „f (x) diverguje pro x → a do ±∞ podstatně pomaleji než h(x)ÿ (bod (x, h(x)) je „pro x blízká k aÿ podstatně dále od osy x než bod (x, f (x)). Jistě nemusíme připomínat, že tyto limitní pojmy nemají nic společného s hodnotami funkcí f a h v bodě a samém. Při této terminologii jsou jistě srozumitelné např. tyto výroky : A. Je-li β > α > 0, roste xβ pro x → +∞ do +∞ podstatně rychleji než xα . (Je α x /xβ → 0.) B. e−x konverguje k 0 pro x → +∞ podstatně rychleji než kterákoli záporná mocnina xa . (Pro každé a ∈ R− je e−x /xa → 0 neboli xa ex → +∞.) C. lg x diverguje pro x → 0+ do −∞ podstatně pomaleji, než kterákoli záporná mocnina xa diverguje do +∞. (Je lg x/xa → 0 neboli xb lg x → 0 pro každé b ∈ R+ .)  Uveďme nyní některé základní vlastnosti symbolu „malé oÿ: 5 ) (20)

f (x) = o (h(x)), g(x) = o (h(x)) ⇒ f (x) ± g(x) = o (h(x));

(21)

f (x) = o (h(x)), g(x) = o (k(x)) ⇒ f (x)g(x) = o (h(x)k(x));

(22)

je-li 0 6= lim

x→a

h(x) 6= ±∞, je f (x) = o (h(x)) ⇔ f (x) = o (k(x)). k(x)

Dále : Pro každé α ∈ R+ je (23)

f (x) = o (h(x)) ⇒ f (xα ) = o (h(xα )) pro x → 0 + a pro x → +∞ ;

je-li α ∈ N, platí (23) pro x → 0 („oboustranněÿ). Příklad 6.8. Podle (4) a (3′ ) je x = o (ex ) a lg x = o (x) pro x → +∞ . 5)

V relacích (20) – (22) vynecháváme pro stručnost symbol x → a (x → a+, x → a−).

71

Obecněji, pro každá dvě čísla α ∈ R+ , β xβ = o (eαx )

(24)

lg β x = o (xα )

(25)

∈

R je

pro x → +∞ , pro x → +∞ ,

| lg x | β = o (x−α ) pro x → 0+ .

(26)

Platí též např. tyto relace : α < β ⇒ eαx = o (eβx ) pro x → +∞ ,

(27) (28)

α ∈ R+ , β

2

∈

R+ ⇒ eαx = o (eβx ) pro x → +∞ .

Věta 6.2 (o limitní aproximaci funkcí polynomy). Nechť a ∈ R, nechť n ≥ 0 je celé číslo a nechť funkce f má v bodě a spojitou n - tou derivaci. Pak je (29)

f f (x) = Ta,n (x) + o ((x − a)n ) pro x → a .

Obráceně : Jediný polynom p stupně nejvýše n, který splňuje podmínku f (x) = p(x) + o ((x − a)n ) pro x → a ,

(30)

je n - tý Taylorův polynom funkce f o středu a.



Abychom mohli pomocí Taylorových polynomů počítat běžné limity, je nutné spolehlivě znát několik základních aproximací: Pro každé celé číslo n ≥ 0 je (31) (32) (33) (34) (35) (36′ ) (36′′ )

n X xk + o (xn ) pro x → 0; e = k! x

cos x = sin x = cosh x = sinh x = lg (1 + x) =

k=0 n X

k=0 n X

k=0 n X

k=0 n X

k=0 n X

(−1)k

x2k + o (x2n+1 ) pro x → 0; (2k)!

(−1)k

x2k+1 + o (x2n+2 ) pro x → 0; (2k + 1)!

x2k + o (x2n+1 ) pro x → 0; (2k)! x2k+1 + o (x2n+2 ) pro x → 0; (2k + 1)! (−1)k−1

k=1 n X

lg (1 − x) = −

k=1

xk + o (xn ) pro x → 0; k

xk + o (xn ) pro x → 0; k 72

(37) (38) (39)

(1 + x)α = arcsin x = arctg x =

n   X α

k

k=0 n X

k=0 n X

xk + o (xn ) pro x → 0 a každé α ∈ R ;

(2k − 1)!! x2k+1 + o (x2n+2 ) pro x → 0; (2k)!! 2k + 1

(−1)k

k=0

x2k+1 + o (x2n+2 ) pro x → 0. 2k + 1

Poznámka 6.6. Jak snadno nahlédneme, je n - tý Taylorův polynom součtu resp. rozdílu dvou funkcí roven součtu resp. rozdílu jejich n - tých Taylorových polynomů. Taylorovy polynomy lze i („zkráceněÿ) násobit , a to takto: Jsou-li (40)

f Ta,n (x) =

n X

k=0

aj (x − a)j ,

g Ta,n (x) =

n X

k=0

bk (x − a)k

n - té Taylorovy polynomy funkcí f, g, je n - tý Taylorův polynom součinu f g roven součtu všech výrazů tvaru aj bk (x − a) j+k , kde j + k ≤ n, tj. roven (40′ )

fg Ta,n (x) =

m n X X

m=0 j=0

aj bm−j (x − a)m .

Jinými slovy : Podobně jako při tzv. zkráceném násobení čísel násobíme jen ty dvojice sčítanců, u nichž je výsledný mocnitel výrazu (x − a) nejvýše roven n. Všechny takové součiny sečteme a zpravidla i uspořádáme tak jako ve (40′ ). 2

Příklad 6.9. Abychom získali pátý Taylorův polynom funkce e−x arcsin x o středu 0, násobíme pátý Taylorův polynom prvního faktoru pátým Taylorovým polynomem druhého faktoru, ale ponecháme si jen mocniny xm s m ≤ 5:

2 3 5 x + o (x5 ) e−x arcsin x = 1 − x2 + 12 x4 + o (x5 ) x + 16 x3 + 40

49 5 3 = x + − 1 + 61 x3 + 40 − 16 + 12 x5 + o (x5 ) = x − 65 x3 + 120 x + o (x5 ).

(41)

Všechny ostatní součiny „přešlyÿ (podle (20) a (21)) do o(x5 ).



Taylorovy polynomy lze též dělit : Příklad 6.10. Pátý Taylorův polynom funkce tg x v bodě 0 lze získat (opět „zkrácenýmÿ) dělením pátého Taylorova polynomu funkce sin x pátým Taylorovým polynomem funkce cos x . Běžným algoritmem dostaneme tento výsledek : (42)

tg x = x − 61 x3 +

1 120


x5 + o (x5 ) : 1 − 12 x2 +

= x + 13 x3 +

2 15

73

x5 + o (x5 ).

1 24


x4 + o (x5 )

Poznámka 6.7. Dělení Taylorových polynomů vede občas k funkci, která sice není polynomem, ale kterou lze přesto užít k limitní aproximaci podílu. Tak např. dělením pátých Taylorových polynomů funkcí cos x a sin x dostaneme tento výsledek : (43)

cotg x = 1 − 12 x2 +

1 24


x4 + o (x5 ) : x − 61 x3 +

= x−1 − 13 x −

1 45

1 120


x5 + o (x5 )

1 3

pro x → 0.

x3 + o (x4 );

z něj např. plyne, že (43′ )

1 − cotg x = x

1 3

x+

1 45

x3 + o (x4 ),

1 − x cotg x → x2



Uveďme několik příkladů situací, kdy je užití Taylorových polynomů rychlejší a pohodlnější než aplikace l’Hospitalova pravidla. Příklad 6.11. Při výpočtu limity (44)

A := lim

x→0

najdeme nejdříve nejmenší n nenulový. Protože (45)

∈

sin x − arcsin x tg x − arctg x

N, pro něž je n - tý Taylorův polynom jmenovatele

tg x − arctg x = (x + 31 x3 + o (x3 )) − (x − 13 x3 + o (x3 )) =

2 3

x3 + o (x3 ),

je n = 3. Po tomto zjištění sestavíme třetí Taylorův polynom čitatele : (46) sin x − arcsin x = (x − 61 x3 + o(x3 )) − (x + 61 x3 + o(x3 )) = − 31 x3 + o (x3 ). Nakonec vydělíme rozdíl (46) rozdílem (45) a zkrátíme výrazem

1 3

x3 ; je tedy

− 31 x3 + o (x3 ) 1 −1 + o (1) =− . = lim x→0 2 x3 + o (x3 ) x→0 2 + o (1) 2 3

A = lim

Poznamenejme, že symbol o (1) znamená jakoukoli funkci konvergující k nule. Příklad 6.12. Při výpočtu limity (47)

√ √ 1 + x3 − 2 + x3 √ B := lim √ x→+∞ 3 + x3 − 4 + x3

nelze Taylorovy polynomy užít přímo, protože výrazy pod odmocninami mají limitu +∞. Po úpravě, po níž budou mít odmocňované výrazy tvar 1 + o(1), bude však možné užít vzorec (37).

74

Jmenovatel napíšeme proto ve tvaru p p p p √
3 + x3 − 4 + x3 = x3 1 + 3x−3 − 1 + 4x−3 √


= x3 1 + 23 x−3 + o (x−3 ) − 1 + 2x−3 + o (x−3 ) √
= x3 − 12 x−3 + o (x−3 ) ,

čitatel ve tvaru p p p p √
1 + x3 − 2 + x3 = x3 1 + x−3 − 1 + 2x−3 √


= x3 1 + 21 x−3 + o (x−3 ) − 1 + x−3 + o (x−3 ) √
= x3 − 12 x−3 + o (x−3 ) .

Z toho ihned plyne, že

√
x3 − 21 x−3 + o (x−3 ) 1 + o (1) B = lim √ = 1.
= lim 1 −3 3 −3 x→+∞ x→+∞ 1 + o (1) x − 2 x + o (x )

Příklad 6.13. Vypočtěme – pokud existuje – limitu pro x → 0 funkce (48)

cotg x  2 arccos x arccos x . = exp f (x), kde f (x) := cotg x · lg π π

2

Z identit

  2  2 π 2 π 2 arccos x = − arcsin x = − (x + o (x)) = 1 − x + o (x) π π 2 π 2 π podle (36′′ ) (a (22)) plyne, že 2  2 lg arccos x = − x + o(x) pro x → 0. π π

Vzhledem k (43) je proto 1  2  2 2 f (x) = + o (1) − x + o (x) = − + o (1) → − pro x → 0, x π π π takže 2 cotg x lim = lim exp f (x) = e−2/π . arccos x x→0 π x→0 Příklad 6.14. Je-li ϕ(t) → a pro t → α a ϕ(t) 6= a všude v jistém P (α), platí podle věty o limitě superpozice implikace f (x) = g(x) + o (h(x)) pro x → a ⇒ f (ϕ(t)) = g(ϕ(t)) + o (h(ϕ(t))) pro t → α . 75

Například při výpočtu čtvrtého Taylorova polynomu funkce exp (arcsin x) o středu 0 bude a = α = 0 a místo o(arcsin4 x) lze (podle (22)) psát o(x4 ); je tedy exp (arcsin x) = 1 arcsin2 x + 61 arcsin3 x + 24 arcsin4 x + o (arcsin4 x)

2
3 = 1 + x + 16 x3 + o (x4 ) + 21 x + 61 x3 + o (x4 ) + 16 x + 61 x3 + o (x4 )
4 1 x + 61 x3 + o (x4 ) + o (x4 ) + 24

1 4 = 1 + x + 61 x3 + 12 x2 + 31 x4 + 16 x3 + 24 x + o (x4 )

= 1 + arcsin x +

1 2

= 1 + x + 12 x2 + 31 x3 +

5 24

x4 + o (x4 ) pro x → 0;

zcela analogicky odvodíme identitu exp (sin x) = 1 + x + 12 x2 − 81 x4 + o (x4 ) pro x → 0. Tyto dvě identity nám dovolí rozhodnout, zdali existuje číslo n ∈ N tak, že limita (49)

lim

x→0

exp (arcsin x) − exp (sin x) xn

je konečná a nenulová . Protože se čitatel rovná (1 + x + 12 x2 + 31 x3 + =

4 5 4 24 x + o (x )) − (1 + x 3 1 3 3 x + o (x ) pro x →

+ 21 x2 − 81 x4 + o (x4 )) 0,

splňuje uvedenou podmínku číslo n = 3 a příslušná limita (49) je pak rovna 13 . Z dokázaného výsledku dále plyne, že limita (49) je rovna 0 pro každé celé číslo n < 3. Pro sudá čísla n > 3 limita (49) neexistuje, protože příslušná limita zprava je +∞ a zleva −∞ ; pro lichá n > 3 je limita (49) rovna +∞. 6 ) Příklad 6.15. Při zjišťování, zdali existuje limita

(50)

A := lim

x→0

cos2 (sin2 x) − cosh2 (arctg2 x) lg (1 + x2 + x4 ) − lg (1 + x2 − x4 )

a čemu se rovná, začneme opět jmenovatelem: Protože pro x → 0 je lg (1 + x2 + x4 ) = (x2 + x4 ) − 21 (x2 + x4 )2 + o((x2 + x4 )2 ) = x2 + 12 x4 + o(x4 ), lg (1 + x2 − x4 ) = (x2 − x4 ) − 21 (x2 − x4 )2 + o((x2 − x4 )2 ) = x2 − 32 x4 + o(x4 ),

je jmenovatel j(x) zlomku v (50) roven 2x4 + o(x4 ); budeme proto hledat čtvrtý Taylorův polynom čitatele. 6 ) Pro necelé exponenty n se situace dále komplikuje, protože mocnina xn nemusí být pro x < 0 definována.

76

Pro y → 0 je cos y = 1 − 12 y 2 + o(y 2 ), takže cos2 y = 1 − y 2 + o(y 2 ), cosh y = 1 + 21 y 2 + o(y 2 ), takže cosh2 y = 1 + y 2 + o(y 2 ), a za y máme dosadit sin2 x = (x − 61 x3 + o(x3 ))2 = x2 + o(x2 )

resp.

arctg2 x = (x − 31 x3 + o(x3 ))2 = x2 + o(x2 ); pro x → 0 je tedy čitatel c(x) zlomku v (50) roven

1 − (x2 + o(x2 ))2 + o(x4 ) − 1 + (x2 + o(x2 ))2 + o(x4 ) = −2x4 + o(x4 ). V důsledku toho je

c(x) −2x4 + o(x4 ) −2 + o(1) = = → −1 j(x) 2x4 + o(x4 ) 2 + o(1) pro x → 0, takže A = −1. Čtenář se může sám přesvědčit, že hledání této limity l’Hospitalovým pravidlem by bylo velice komplikované. Příklad 6.16. Při výpočtu některých limit je výhodné užít jak l’Hospitalovo pravidlo, tak i Taylorovy polynomy. Například limitu lim (cosh2 x2 − cos2 x2 )1/ lg | x |

(51)

x→0

můžeme počítat takto: Podle l’Hospitalova pravidla je (52) přičemž

2x2 (sinh 2x2 + sin 2x2 ) lg (cosh2 x2 − cos2 x2 ) = lim , x→0 x→0 lg |x | cosh2 x2 − cos2 x2 lim

cosh2 x2 − cos2 x2 = (1 + 21 x4 + o (x4 ))2 − (1 − 12 x4 + o (x4 ))2 = 2x4 + o (x4 ), 2x2 (sinh 2x2 − sin 2x2 ) = 2x2 ((2x2 + o (x2 )) + (2x2 + o (x2 ))) = 8x4 + o (x4 ). Limita na pravé straně (52) je tedy rovna 4 a totéž platí o limitě vlevo. Z toho plyne, že se limita (51) rovná e4 . l’Hospitalovo pravidlo nám v tomto příkladu pomohlo odstranit nepříjemný zlomek (na levé straně (52)), jehož čitatel i jmenovatel má limitu −∞, zatímco podíl derivací čitatele a jmenovatele je daleko jednodušší. Před dalším derivováním čitatele a jmenovatele jsme však dali přednost Taylorovým polynomům, protože tento postup je o něco přehlednější a vede k cíli rychleji. 77

Cvičení Za předpokladu, že a, b, c, α, β, γ, δ, ε jsou (konečná) reálná čísla, A, B, C kladná (konečná reálná) čísla a n ∈ N, vypočítejte – užitím l’Hospitalova pravidla nebo Taylorových polynomů nebo kombinací obou – tyto limity : 7 ) eax − ebx , kde a 6= b sin ax − sin bx

6.01. lim

x→0

6.02.

lg (x2 − x + 1) x→+∞ lg (x10 + x − 5) lim

cos x − exp (− 12 x2 ) x→0 x4 √ cosh x − cos x 6.04. lim x→0 x2 p p 3 1 + 3x − 4 1 + 4x 6.05. lim , kde |a| = 6 |b | x→0 cos ax − cos bx

6.03. lim

6.06. lim (1 − x) tg 12 πx x→1

6.07. lim

x→0

p

p 1 + tg x − 1 + sin x x3

tg x − x x→0 x − sin x

6.08. lim 6.09.

lim lg (x (π − 2 arctg x))

x→+∞

ex − esin x x→0 xn

6.10. lim

exp (x2 + x) − sin x + 3 cos x − 4 x→0 arctg3 x

6.11. lim

ex − sin x − 1 x→0 x2

6.12. lim

(exp x2 − 1)(sin x − x)2 x→0 (cos x − 1)2 sin4 x

6.13. lim 6.14. lim

x→0

lg (cos ax) , kde b 6= 0 lg (cos bx)

7 ) U každého příkladu doporučujeme zvážit, která metoda povede snadněji a rychleji k cíli ; před každým krokem je vhodné zamyslit se, zdali nelze aktuální situaci nějak zjednodušit.

78

2(sin x − tg x) + x3 x→0 (exp x − 1)(exp (−x2 ) − 1)2 √ 1 − cos x √ 6.16. lim x→0+ (1 − cos x)2  x − a 2 πx  , kde a 6= 0 6.17. lim sin2 tg x→a 2 2a 6.15. lim

6.18.

lim (x − 12 π) tg x

x→π/2

6.19. lim

x→0

1 − cos x2 lg (1 − x2 − x4 ) − lg (1 − x2 + x4 )

2 arcsin x − tg x − x 2 sin x − arctg x − x  x+1 x  6.21. lim x arctg − arctg x→+∞ x+2 x+2

6.20. lim

x→0

6.22.

lim p

x→0±

6.23. lim

x→0

arctg x

1 − exp (−x2 )

 (1 + x) lg (1 + x) x2

−

1 x

x (ex + 1) − 2(ex − 1) x→0 x3 p p 1 + x cos x − 1 − x cos x 6.25. lim x→0 lg (1 − x)

6.24. lim

cos (x ex ) − cos (x e−x ) x→0 x3

6.26. lim

exp (x2 + 5x4 ) − exp (x2 − 3x4 ) x→0 (cos x − 1)(cosh x − 1)

6.27. lim

cos(x − tg x) − 1 x→0 (exp (sin2 x) − 1) 3

6.28. lim

(cosh x2 − 1) lg (cos x) x→0 sin3 x tg3 x

6.29. lim

x cotg (sin x) − 1 x2 p p 1 + sin 2x − 3 1 + sin 3x 6.31. lim x→0 x (lg (1 + x) − lg (1 − x))

6.30. lim

x→0

79

lg (1 + x ex ) sin 2x2 x→0 lg (cosh2 x) p lg (2 sin x + 1 − 4 tg2 x) √ 6.33. lim x→0 lg (tg x + 1 − x2 ) 6.32. lim

arcsin2 x − x2 tg2 x x→0 (cosh x − exp 1 x2 )2 2 p p 1 + 2ex sin x − 3 1 + 3ex sin x 6.35. lim x→0 sinh (arcsin x2 ) p (1 + x − 4x2 + x3 )ex − 1 + 4x − x2 p 6.36. lim x→0 1 − 1 + x3 p p
6.37. lim x2 + αx + β − 3 x3 + γx2 + δx + ε 6.34. lim

x→+∞

6.38.

x arccos a−x √ , kde a > 1 x→0+ (1 − cos x) arccos (1 − x) lim

(cos x − 1)(arctg x − x) (arcsin x − x)(exp x2 − 1) p √ 3 5 1 + argsinh 5x − 1 + sinh 3x 6.40. lim , kde |a| = 6 |b | x→0 cos ax − cos bx

6.39. lim arccos x→0

6.41. 6.42.

lim x

x→+∞

lim xn

x→+∞

p

1 + x2 − 3

p

x2 + 2 +

p p
3 4 1 + x3 + 2 1 + x4 p

p
x2 + 4 − 2 x2 + 3

lg2 (1 + sin x) − lg2 (1 + arcsin x) x→0 xn

6.43. lim 6.44. lim

x→0

6.45. lim

x→0

6.46. lim

x→0

6.47. lim

x→0

6.48.

2 exp x − exp (sin x) − exp (arcsin x) xn  1 + x 1/x 1−x  sin x 1/x2 x

 2 arccos x 1/x

lim

x→π/4

π


tg 2x tg x 80

6.49. lim

x→0

6.50.

 arctg x 1/x2 x

lim (sin x) tg x

x→π/2


cotg x 6.51. lim tg ( 14 π − x) x→0

6.52. 6.53.

6.54.

lim

x→π/2+

lim

x→1−

(1 − cos x) tg

2

x

 4 arctg x 1/ arccos2 x π

lim (sinh x) arctg (1/x)

x→+∞

6.55. lim

 6(x − sin x) 1/x2

sin3 x
1/ arctg2 x 6.56. lim 1 + x2 x→0

x→0

6.57. lim

x→1

6.58.

lim

x→0+

6.59. lim

x→0

6.60.



1/ sin πx lg x + 1 2 lg x − lg x + 1  arccos x 1/x3



2

arctg (1/x)

1/ lg (1+x) ex + 1 2e2x − ex + 1

lim (tg x)1/(4x−π)

x→π/4

6.61. lim (2 − x) tg (πx/2) x→1

6.62. 6.63. 6.64. 6.65. 6.66.

1 x 1 + cos x→+∞ x x 2  1 x 1 lim sin + cos x→+∞ x x  A x + B x + C x 1/x lim x→0 3  (x2 +1)/ arcsin x sin x lim 2 exp 2 −1 x→0 x +1  1 + tg x 1/ sin3 x lim x→0 1 + sin x lim



sin

81

6.67. lim

x→0

 sin x x

1/x2 + lg (1 + x2 )


cotg πx 6.68. lim 1 + sin πx x→1

6.69.

lim

x→+∞

 x2 + 1 1/ arccotg2 x x2 + 4

x+2/x x −4 x→0 x+2  2(1 − cos √x) 1/ lg (1−x) lim x→0+ x  sin x − x cotg2 x lim 2 x→0 arctg x − x p  1 + 2x − 1 sin x/(exp x2 −1) lim x→0 arctg x  1 − cos x cotg x/ arctg x lim p 4 x→0 1 + 2x2 − 1 2  1 − cos x x /(x−arctg x) lim 1 + x→0 arcsin x  sin x 1/(arcsin x−sin x) lim x→0+ arcsin x 1 x lg2 x lim − cotg x x→0+ x 1/ lg x  1 1 − lim x→0+ arctg x arcsin x

 6.70. lim 5 exp 6.71. 6.72. 6.73. 6.74. 6.75. 6.76. 6.77. 6.78. 6.79.

lim (sin x)a/ lg x

x→0+

6.80. lim (1 − cos x)a/ lg | x | x→0

6.81. 6.82. 6.83. 6.84.

lim (arccotg x)1/ lg (lg x)

x→+∞

lim (arcsin x − sin x)1/ lg (arctg x)

x→0+

lim

x→+∞

 lg (lg x) 1/ lg (lg (lg x)) lg x

lim (arccotg ex−1 − arccotg ex+1 )1/x

x→±∞

82

2

6.85. lim e−1/x cotg2 x x→0

6.86. 6.87. 6.88. 6.89. 6.90.

lim exp (− lg2 x) cotg2 x

x→0+

lim xα ((1 + x)1/x − x1/x )

x→+∞

lim xα (lg2 (x + 1) − lg2 x)

x→+∞

lim xα lg

arctg (x + 1) arctg x

lim xα lg

lg(x + 1) lg x

x→+∞

x→+∞

Řešení Pro funkce závislé na n ∈ N nebo na α ∈ R (jako jsou např. funkce z příkladů 6.10 a 6.87 – 6.90) podává následující seznam řešení numerické hodnoty limit jen pro některá n resp. α, pro něž je limita konečná (což je např. v 6.10 hodnota 1/6 pro n = 3). Řešení pro ostatní n resp. α jsou z technických důvodů uvedena až na konci seznamu. 6.03. −

6.01. 1

6.02.

6.04.

6.05. 1/(b2 − a2 )

6.06. 2/π

6.08. 2

6.09. lg 2

6.11.

6.12.

6.07. 6.10. 6.13.

3 4 1 4 1 6 1 9

(n = 3)

4 3

6.14. a2 /b2 6.20. −

1 4

6.22. ± 1

6.23.

6.28. −

6.29. −

1 12

1 2

6.15. −

6.17. a2 /π 2

6.16. 1 6.19. −

1 5

1 4

6.18. − 1

6.21.

1 11

6.24.

1 2

1 2 1 6

6.25. − 1

6.26. − 2

6.27. − 32

6.31.

6.32. 0

6.33. 2

1 18

1 4

6.34. − ∞

6.35.

6.40. 2/(a2 − b2 )

6.41.

6.37.

1 2α

6.43. −

− 31 γ

2 3

(n = 4)

6.30. −

1 4

6.36.

1 2

6.38. 2 1 2

p

6.44. −

lg a

1 12

83

(n = 5)

1 6

44 3

6.39. 0 6.42. − 2

6.45. e

1 4

(n = 3)

6.46. e−1/6

6.47. e−2/π

6.48. e−1

6.49. e−1/3

6.50. 1

6.51. e−2

6.52. + ∞

6.53. e−1/π

6.54. e

6.55. e

6.56. e

6.57. e−2/π

6.58. e−1/π

6.59. e−1

6.60. e1/2

6.61. e2/π √ 3 6.64. ABC

6.62. e 6.65. e

6.63. + ∞

6.66. e1/2

6.67. e5/6

6.68. e−1

6.69. e−3

6.70. e5

6.71. e1/12

6.72. e11/20

6.73. e−1/2

6.74. e2/3

6.75. e−3/2

6.76. 0

6.77. 1

6.78. e

9/20

2

a

2a

6.79. e

6.80. e

6.81. 0

6.82. e3

6.83. 0

6.84. e∓1

6.85. 0

6.86. 0

6.87. 1 (α = 2)

6.88. 0 (α < 1)

6.89. 2/π (α = 2)

6.90. 0 (α ≤ 1)

Doplňky řešení 6.10. Limita je rovna 0 pro n = 1 a n = 2; je rovna +∞ pro lichá n > 3 a neexistuje pro sudá n > 3, protože pak se limita zprava (zleva) rovná +∞ (−∞). 6.42. Limita je rovna 0 pro n = 1 a n = 2; rovná se +∞ pro všechna n > 3. 6.43. Limita je je rovna 0 pro n = 1, 2, 3; rovná se −∞ pro sudá n > 4, neexistuje pro lichá n > 4. 6.44. Limita je rovna 0, je-li 1 ≤ n ≤ 4; rovná se −∞ pro sudá n > 5, neexistuje pro lichá n > 5. 6.87. Limita je rovna 0 pro α < 2 a +∞ pro α > 2. 6.88. Limita je rovna +∞ pro α ≥ 1.

6.89. Limita je rovna 0 pro α < 2 a +∞ pro α > 2. 6.90. Limita je rovna +∞ pro α > 1.

84

7. Průběh funkce Grafem reálné funkce f reálné proměnné rozumíme množinu (1)

gr f := {(x, f (x)) ∈ R2 ; x ∈ D(f )}.

Má-li funkce f v bodě a (z definičního oboru) konečnou nebo nekonečnou derivaci f ′ (a), říkáme, že graf funkce f má v bodě a tečnu. Tečna (grafu f v bodě a) je pak definována takto: Je-li f ′ (a) ∈ R, je to přímka o rovnici y = f (a) + f ′ (a)(x − a); je-li f ′ (a) = ±∞, je to přímka o rovnici x = a. 1 ) ′ ′ (a) (tj. existují-li obě jednostranné derivace, ale oboustranná (a) 6= f− Je-li f+ ne), říkáme, že graf funkce f má v bodě a hrot. Vyšetřením průběhu funkce budeme rozumět nalezení zejména těch jejích vlastností, které potřebujeme k nakreslení jejího grafu s požadovanou přesností. Budou nás proto zajímat především tyto informace 2 ): 1) Definiční obor D(f ) dané funkce f . Opakujme znovu, že pokud je f (x) dáno nějakým „vzorcemÿ, považujeme za definiční obor sjednocení všech maximálních intervalů, v jejichž každém bodě má „vzorecÿ smysl. 2) Sudost , lichost , periodicita funkce f . 3) Všechny body resp. intervaly, v nichž je f spojitá . V bodech, v nichž spojitá není, existence a hodnota příslušné limity (oboustranné, zprava, zleva). 4) Body resp. intervaly (obsažené v D(f )), v nichž má f oboustrannou derivaci, a výpočet této derivace. V bodech x ∈ D(f ), v nichž f ′ (x) neexistuje, existence a hodnota derivací jednostranných. V bodech x ∈ 6 D(f ), které mají prstencové okolí (oboustranné, jednostranné) obsažené v D(f ), je kromě znalosti limity f (x±) (resp. f (x+), f (x−)) důležitá i znalost limity f ′ (x±) (resp. f ′ (x+), f ′ (x−)), protože pak víme, ke které hodnotě se f (x) blíží a navíc ze kterého směru se k ní blíží. 5) Zásadní význam má nalezení maximálních intervalů, v nichž je f buď (ryze) monotónní, nebo konstantní . V jednodušších případech hledáme i maximální intervaly, v nichž je f (ryze) konvexní, konkávní nebo lineární. 6) Nalezení (absolutních) extrémů funkce f v D(f ) (nebo podrobněji v každém z maximálních intervalů, z nichž se D(f ) „skládáÿ); tím rozumíme nalezení jejího absolutního maxima a minima, pokud existují, a v případě, že tomu tak není, příslušného suprema a infima . 7) V některých případech lze vyšetření průběhu funkce ještě doplnit např. nalezením jejích asymptot a inflexních bodů.  1 ) V obou případech prochází tečna bodem (a, f (a)), nikoli bodem a, jak by bylo možné soudit z trochu neobratného termínu „tečna v bodě aÿ. Bodem a samozřejmě procházet nemůže (což uvedený název trochu omlouvá), protože tento bod neleží v rovině R2 := R × R obsahující gr f . 2 ) Pokud některý pojem uvedený v bodech 1) – 7) nebyl zatím definován, bude to na vhodném místě provedeno.

85

Definice funkce monotónní (neklesající, nerostoucí ) , ryze monotónní (rostoucí, klesající ) a konstantní jsme již zopakovali v kapitole 3. Nyní připomeňme tuto velmi dobře známou a důležitou větu : Věta 7.1. Předpokládejme, že funkce f : I → R je spojitá v intervalu I ⊂ R s krajními body a < b a že má všude v (a, b) derivaci. Pak  ′ f      f′   f′     f′    ′ f

   > 0 rostoucí              ≥ 0     neklesající   klesající <0 všude v (a, b) ⇒ f je v I.          nerostoucí   ≤ 0        konstantní   =0

Spolu s větou 7.1 se při vyšetřování průběhu funkce potřebují zejména tato další tvrzení: Věta 7.2. Je-li funkce f spojitá v intervalu I ⊂ R, jsou-li α 6= β dva body intervalu I a platí-li nerovnost f (α) ≤ C ≤ f (β), existuje v intervalu s krajními body α, β bod γ, v němž je f (γ) = C. 3 ) D ů s l e d e k : Je-li funkce f spojitá v intervalu I ⊂ R, je f (I) buď interval, nebo jednobodová množina. Věta 7.3. Je-li funkce f spojitá v kompaktním 4 ) intervalu I ⊂ R, nabývá v I jak svého maxima, tak i svého minima. Věta 7.4. Je-li funkce f spojitá v intervalu I ⊂ R s krajními body a < b a je-li f ′ (x) 6= 0 pro všechna x ∈ (a, b), je f ryze monotónní v I.

Poznamenejme, že body, v nichž je f ′ (x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f . Předcházející větu lze proto vyslovit i takto: Věta 7.4′ . Má-li funkce f spojitá v intervalu I ⊂ R s krajními body a < b všude v (a, b) derivaci, ale nemá tam žádné stacionární body, je v I ryze monotónní. Věta 7.5. Je-li funkce f : (a, b) → R monotónní, existují limity f (a+), f (b−). P o d r o b n ě j i : Je-li f neklesající v (a, b), je f (a+) = inf f ((a, b)), f (b−) = sup f ((a, b)); je-li f v (a, b) nerostoucí, je f (a+) = sup f ((a, b)), f (b−) = inf f ((a, b)). 3 ) Platnost právě vysloveného tvrzení se nazývá Darbouxova vlastnost funkce f . Často se uvádí i v této podobě : Nabývá-li funkce f v bodech α ∈ I a β ∈ I hodnot A a B, nabývá v bodech ležících mezi α, β i všech hodnot ležících mezi A a B. (Říkáme přitom, že číslo µ leží mezi čísly λ a ν , je-li buď λ ≤ µ ≤ ν, nebo λ ≥ µ ≥ ν.) 4 ) Kompaktním intervalem rozumíme interval, který je zároveň uzavřený a omezený .

86

Poznámka 7.1 (důležitá). Studenti se velmi často (od učitelů i z učebnic) dovídají, že k tomu, aby našli extrémy dané (spojité) funkce f v intervalu I, musí po vyřešení rovnice f ′ (x) = 0, tedy po nalezení všech stacionárních bodů funkce f u každého z nich rozhodnout, zdali v něm funkce f má své lokální maximum resp. minimum . Aby zjistili, ve kterých intervalech J ⊂ I je f ryze monotónní, musí údajně rozřešit nerovnice f ′ (x) > 0 a f ′ (x) < 0. Pravdivá je z toho však jen část o nalezení všech stacionárních bodů funkce f , přičemž je ovšem třeba najít i všechny body (definičního oboru), v nichž f derivaci nemá. Znalost tzv. lokálních extrémů však není k úspěšnému zjištění průběhu funkce potřebná a nerovnice f ′ (x) ≷ 0 není nutné řešit téměř nikdy. To, co jsme právě řekli, prokážeme vysvětlením jednoduchého algoritmu zjišťování průběhu funkce a řadou konkrétních příkladů, které jej budou ilustrovat. Algoritmus vyšetření průběhu funkce : Budeme předpokládat, že funkce f je spojitá v intervalu I s krajními body a < b a že množina N všech x ∈ (a, b), v nichž je buď f ′ (x) = 0, nebo v nichž f derivaci nemá, je konečná. 5 ) Pak je konečná i množina N ∪ {a, b}; uspořádáme-li body této množiny podle velikosti, dostaneme jisté dělení (2)

V : a = x0 < x1 < . . . < xp = b

intervalu I, kde p ∈ N ; případ p = 1 odpovídá situaci, kdy funkce f má nenulovou derivaci všude v (a, b). Z definice dělení V ihned plyne, že derivace f ′ existuje a je nenulová v každém bodě každého intervalu (xk−1 , xk ), 1 ≤ k ≤ p. Podle V.7.4 je f proto v každém intervalu Ik := hxk−1 , xk i ∩ I ryze monotónní a podle V.7.5 existují tedy limity y0 := f (a+), yp := f (b−). Pokud některý z bodů a, b leží v I, je příslušná limita rovna hodnotě v tomto bodě. Označíme-li ještě yk := f (xk ) pro každé k = 1, . . . , p − 1, platí zřejmě tyto implikace : (3)

Je-li



yk−1 < yk yk−1 > yk



, je f



rostoucí klesající



v Ik .

Intervaly ryzí monotonie funkce f jsme tedy našli bez řešení nerovnic f (x) ≷ 0. Maximální takové intervaly získáme případným spojováním sousedních intervalů : Je-li f rostoucí (klesající) v Ik i v Ik+1 , je rostoucí (klesající) v intervalu Ik ∪ Ik+1 . Vzhledem k ryzí monotonii funkce f v každém intervalu Ik je zřejmé, že funkce f nemá extrém v žádném bodě žádného otevřeného intervalu (xk−1 , xk ) dělení V; může tedy mít extrém jen v některém z bodů xk , tedy buď v některém krajním 5 ) I když mnoho funkcí tento předpoklad splňuje, existují i zcela jednoduché funkce, u nichž tomu tak není. (Příklad : Funkce konstantní nebo např. sinus a kosinus mají v R nekonečně mnoho stacionárních bodů.) Algoritmus lze snadno zobecnit na případ, kdy množina N je sice nekonečná, ale nemá v (a, b) žádný hromadný bod, tj. kdy každý bod x ∈ (a, b) má okolí P (x), jehož průnik s N je prázdný. (Příklad : Z nemá v R žádný hromadný bod.) Kromě toho lze někdy při vyšetřování průběhu funkcí (např. funkcí sinus a kosinus) využít jejich periodicity ; v intervalech, jejichž délka se rovná periodě dané funkce, je náš předpoklad mnohdy již splněn. Vyšetření průběhu funkcí, které předpoklad (ani s uvedenými výhradami) nesplňují, může být značně obtížné, ne-li nemožné.

87

bodě intervalu I (pokud do I patří), nebo v některém stacionárním bodě x ∈ (a, b), nebo v některém bodě x ∈ (a, b), v němž nemá derivaci. 6 ) Jistě je také zřejmé, že m := min{yk ; 0 ≤ k ≤ p } = inf f (I), M := max {yk ; 0 ≤ k ≤ p } = sup f (I). Dále : Je-li pro některé k = 0, . . . , p zároveň xk ∈ I a f (xk ) = m (resp. = M ), nabývá f v bodě xk svého minima (resp. maxima) ; pokud takové k neexistuje, minimum (maximum) neexistuje. Jak je patrné, lokální extrémy jsme nikde nepotřebovali ; k jejich nalezení se tradičně užívají derivace vyšších řádů, bez nichž se tedy zatím také obejdeme. Porovnejme ještě naše výsledky s výsledky tradiční metody. Výrok, že funkce f má v bodě xk ∈ (a, b) (ostré) lokální maximum, znamená, že existuje δ > 0 tak, že x ∈ P (xk , δ) ⇒ f (x) < f (kk ), takže f (xk ) je největší ze všech hodnot, kterých funkce f nabývá v příslušném U (xk , δ); velikost čísla δ zůstává ovšem neznámá. Zde jsme na rozdíl od toho dospěli k těmto závěrům: Je-li yk−1 < yk > yk+1 (takže funkce f v intervalu Ik roste, v intervalu Ik+1 klesá), je hodnota f (xk ) největší ze všech hodnot, kterých f nabývá v intervalu Ik ∪ Ik+1 . Čtenář jistě sám posoudí, která z těchto dvou informací je konkrétnější. Nelogické spojování lokálních extrémů se zjišťováním průběhu funkce je historicky přežité, zbytečné a matoucí; podle Occamovy břitvy mělo být již dávno opuštěno. Podstatné je nalezení všech stacionárních bodů a bodů, v nichž daná funkce nemá derivaci; tyto dvě kategorie bodů jsou důležité nejen z hlediska problematiky této kapitoly, ale i v mnohých aplikacích analýzy v jiných vědních disciplínách. Někdy se jim říká „výjimečné bodyÿ – proto jsme dělení (2) označili písmenem V (skriptové „Vÿ); jsou-li důležité hodnoty i v jiných bodech, často je k V přidáváme. Příklad 7.1. Funkce

(4)

f (x) := 5 sin x cos3 x

je spojitá v R a lichá; protože je π - periodická, stačí vyšetřit ji např. v intervalu I := h− 21 π, 21 πi. Její derivace (4′ )

f ′ (x) = 5 cos2 x (cos2 x − 3 sin2 x)

existuje všude v R a anuluje se v bodě x ∈ (− 12 π, 12 π), právě když je x = ± 61 π. 6 ) Pozoruhodně často slyšíme zdánlivě moudrý výrok typu : „Je-li f ′ (c) = 0, může mít f v bodě c extrém.ÿ Kritický čtenář, který váží význam každého slova, ihned vidí, že tento výrok je z logického hlediska zcela triviální a bezobsažný , protože slovo „můžeÿ, k němuž můžeme přidat „ale nemusíÿ, naznačuje, že cosi buď nastane, nebo nenastane. K tomu však, abychom mohli tvrdit, že jakýsi výrok W buď platí, nebo neplatí, nepotřebujeme žádné předpoklady , neboť jde o jeden ze základních zákonů běžné logiky. Stejnou (nulovou) „cenuÿ jako citovaný výrok má tedy např. výrok, že „funkce f může mít extrém v každém bodě svého definičního oboruÿ. Naproti tomu výrok, že „funkce diferencovatelná v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) může mít extrém jen v některém svém stacionárním boděÿ, má značnou informační hodnotu. Jak je patrné, jde „jen o maličkostÿ – jen o slůvko „ jenÿ.

88

V následující tabulce jsou přehledně uvedeny základní informace ; v první řádce jsou vypsány všechny výjimečné √body, .pod nimi jsou ve druhé řádce příslušné hodnoty funkce f , přičemž a := 15 3/16 = 1.6238. V:

f :

− 12 π 0

− 61 π

−a

1 6π

1 2π

a

0

Podle V.7.4 je f ryze monotónní v každém uzavřeném intervalu dělení V. Klesá v h− 12 π, − 16 πi a v h 16 π, 21 πi, protože f (− 12 π) = 0 > −a = f (− 16 π) a f ( 16 π) = a > 0 = f ( 12 π); roste v h 16 π, 61 πi, protože f (− 16 π) = −a < a = f ( 16 π). Vzhledem k tomu, že f je π - periodická funkce, klesá i v intervalu h 12 π, 65 πi. Z toho plyne, že jedním z maximálních intervalů obsažených v R, v nichž f klesá, je interval J0 := h 16 π, 65 πi, a Jk := h(k + 16 )π, (k + 65 )πi, kde k ∈ Z, jsou právě všechny maximální intervaly, v nichž f klesá. Analogicky : Kk := h(k − 16 )π, (k + 16 )πi, kde k ∈ Z, jsou právě všechny maximální intervaly, v nichž f roste. f nabývá svého maxima a právě ve všech bodech (k + 61 )π, svého minima −a právě ve všech bodech (k − 16 )π, kde k ∈ Z. 1.5

π/2 −π

−π/2

π

0

-1.5

Graf funkce f z příkladu 7.1 Příklad 7.2. Protože pro každé x ∈ R platí nerovnost |2x | ≤ x2 + 1, tedy i nerovnosti −1 ≤ 2x/(x2 + 1) ≤ 1, je funkce (5)

f (x) := arcsin

2x x2 + 1

definována v celém R; podle V.5.7 je tam f spojitá. Protože |2x | = x2 + 1, právě když x = ±1, lze větu o diferencování superpozice aplikovat jen v bodech x 6= ±1, v nichž pak je (5′ )

f ′ (x) = r

1 2(x2 + 1) − 2x · 2x 2 sgn (1 − x2 ) = .  2x 2 2 2 (x + 1) x2 + 1 1− x2 + 1 89

Podle věty V.5.5 je ′ ′ f− (−1) = f+ (1) = −1,

(6)

′ ′ f+ (−1) = f− (1) = 1,

což dokazuje, že gr f má v bodech ±1 hroty. K výjimečným bodům přidáme tentokrát nulu (a ponecháme označení V), protože rovnost f (0) = 0 je důležitá pro správné načrtnutí grafu funkce f . V :

− ∞+

f :

0

−1

−

1 2π

0

1

0

1 2π

+ ∞− 0

Jak je patrné, funkce f klesá v intervalech (−∞, −1i, h1, +∞), roste v intervalu h−1, 1i; nabývá svého maxima 12 π v bodě +1, minima − 21 π v bodě −1. Je-li x 6= ±1, je −1 < f (x) < 1. Dodejme ještě, že funkce f je lichá. π/2

-5

-3

-1 1

3

5

−π/2

Graf funkce f z příkladu 7.2 Příklad 7.3. Funkce (7)

f (x) := arccotg

x2

x −1

je definována všude v R − {±1}; je sudá a spojitá ve svém definičním oboru rovném sjednocení intervalů (−∞, −1), (−1, 1), (1, +∞). Užijeme-li identitu |x | ′ = sgn x platnou pro každé x 6= 0 a aplikujeme-li větu o diferencování superpozice, dostaneme po snadné úpravě tento výsledek : (7′ )

0 6= x 6= ±1 ⇒ f ′ (x) =

x4

x x2 + 1 · sgn 2 . − x2 + 1 x −1

Graf f má v bodě 0 hrot, protože podle V.5.5 je (81 )

′ f± (0) = lim f ′ (x) = ∓1. x→0±

Protože lim x→±1 |x/(x2 − 1)| = +∞ a arccotg (+∞−) = 0, existují limity f (−1±), f (1±) a rovnají se 0; kromě toho je f ′ (±1+) = 2, f ′ (±1−) = −2. Kdybychom tedy položili f (±1) := 0, dostali bychom funkci spojitou v celém R. Její 90

graf by měl v bodech ±1 hroty, protože by podle V.5.5 platily rovnosti ′ ′ f− (±1) = f ′ (±1−) = −2, f+ (±1) = f ′ (±+) = 2.

(82 )

My ovšem máme vyšetřit původní funkci f , která v bodech ±1 definována není (což na grafu vyznačujeme malým prázdným kolečkem). Původní funkce samozřejmě v těchto bodech ani není spojitá, ani v nich nemá jednostranné derivace ; rovnosti f ′ (±1−) = −2, f ′ (±1+) = 2 však naznačují, jaký je sklon grafu v blízkosti bodů ±1. Pro větší přehled vytvoříme ještě tuto tabulku : V : −∞+ −1− f :

1 2π

f′ :

0

0

−1

−1+

0−

0

0+

1−

1+

0

1 2π

1 2π

1 2π

0

0

1 2π

1

1

−

−1

1

0

−1

+∞−

Tabulka ukazuje, že f roste v intervalech (−1, 0i, (1, +∞), klesá v intervalech (−∞, −1), h0, 1). Má maximum rovné 12 π a nabývá je v bodě 0 (a nikde jinde); minimum však nemá, infimum je rovno 0.

π/2

-3

-2

0

-1

1

2

3

Graf funkce f z příkladu 7.3 Příklad 7.4. Funkce (9)

f (x) := arctg

| lg x | lg x − 1

je spojitá ve svém definičním oboru D(f ) = (0, e) ∪ (e, +∞); diferencovatelná je ve všech bodech x ∈ D(f ) až snad na bod x = 1, v němž nelze aplikovat větu o diferencování superpozice. Je-li 1 6= x ∈ D(f ), je (9′ )

f ′ (x) =

1 sgn (lg x) · x−1 · (lg x − 1) − | lg x | · x−1 · 2 (lg x − 1)2 lg x 1+ (lg x − 1)2 − sgn (lg x) = . x (2 lg2 x − 2 lg x + 1) 91

′ (1) = ∓1, takže graf f má v bodě 1 hrot. Tabulka hodnot Podle V.5.5 je f± a limit vypadá nyní takto:

V :

0+ − 14 π

f :

f′ :

+∞

1−

1

1+

0

0

0

1

−

−1

e− − 12 π

− e−1

e+ 1 2π −1

+ ∞− 1 4π

0

−e

Funkce f roste v intervalu (0, 1i, klesá v intervalech h1, e), (e, +∞). Ačkoli je omezená, nemá ani minimum, ani maximum; její infimum resp. supremum je rovno − 12 π resp. 12 π. π/2

e

1

0

2e

−π/2

Graf funkce f z příkladu 7.4 Příklad 7.5. Funkce (10)

f (x) :=

r 3

(x2 − 1)2 8x

je lichá a spojitá ve svém definičním oboru D(f ) = R− ∪ R+ , přičemž f (0+) = f (+∞−) = +∞ , f (0−) = f (−∞+) = −∞ . Z toho ihned plyne, že f nemá ani minimum, ani maximum, a že její infimum resp. supremum je rovno −∞ resp. +∞. Protože funkce Id1/3 je diferencovatelná všude v R kromě počátku, je (10′ )

(x2 − 1)2 x 3x2 + 1 = p 6 3 x4 (x2 − 1)

f ′ (x) =

1 · 6



−2/3

·

2(x2 − 1) · 2x2 − (x2 − 1)2 x2

pro všechna x ∈ R − {0, ±1}. 92

Protože je f ′ < 0 v (0, 1) a f ′ > 0 v (1, +∞), funkce f v (0, 1i klesá, v h1, +∞) roste ; funkce f |R+ má tedy v bodě 1 minimum. Protože f je lichá funkce, plyne z toho, že roste v (−∞, −1i, klesá v h−1, 0), takže funkce f |R− má v bodě −1 ′ ′ (1) = ±∞, má graf f v bodech ±1 („velmi (−1) = ∓∞, f± maximum. Protože je f± ostréÿ) hroty.  Další příklad bude poněkud obtížnější, ale vysvětlíme v něm užitečnou metodu, pomocí níž se někdy dá zjistit znaménko derivace. 2

1

-4

-2

2

0

4

-1

-2

Graf funkce f z příkladu 7.5 Příklad 7.6. Funkce f definovaná v intervalu h−1, 1i podmínkami (11)

f (x) :=

arcsin x − 1 pro všechna x 6= 0, x

f (0) := 0,

je zřejmě sudá a spojitá v intervalu h−1, 1i. Kromě toho platí: (121 ) (122 )

arcsin x − x o (x2 ) f (x) − f (0) = lim = lim = 0, 2 x→0 x→0 x2 x→0 x x

f ′ (0) = lim

0 < |x | < 1 ⇒ f ′ (x) =

g(x) x , kde g(x) := √ − arcsin x . x2 1 − x2

Snadno zjistíme, že v (−1, 1) je (13)

g ′ (x) = p

x2 (1 − x2 )3

;

derivace g ′ je tedy kladná všude v (−1, 1) kromě bodu 0, a v důsledku toho g roste jak v (−1, 0i, tak i v h0, 1). Protože g(0) = 0, plyne z toho, že je g < 0 v (−1, 0) a g > 0 v (0, 1). Vzhledem k (122 ) je tedy i f ′ < 0 v (−1, 0) a f ′ > 0 v (0, 1); protože f je spojitá v h−1, 1i, plyne z toho, že v h−1, 0i klesá, v h0, 1i 93

roste. Minima rovného 0 nabývá proto v bodě 0, maxima rovného 12 π − 1 v bodech ±1. Je-li 0 6= x 6= ±1, je 0 < f (x) < 1. Všimněme si, že jsme ke zjištění znaménka funkce f ′ , která byla (v (−1, 0) i v (0, 1)) rozdílem dvou funkcí téhož znaménka, užili jistou pomocnou funkci g. Rozklad v (122 ), pokud měl problém rozřešit, musel být ovšem „správněÿ zvolen : 1) Znaménko funkce g(x) muselo jednoduchým způsobem souviset se znaménkem funkce f ′ (x) – v našem případě bylo stejné. 2) Funkci g(x) bylo možné snadno diferencovat a hlavně se ve výsledku již nesměla objevit transcendentní funkce arcsin x, která byla od začátku příčinou všech komplikací. Využili jsme toho, že funkce arcsin x, jejíž hodnoty se jen obtížně srovnávají s hodnotami např. mocnin, má „jednoduchouÿ derivaci 7 ); proto jsme f ′ (x) rozložili tak, aby arcsin x byl v g(x) samostatným sčítancem. π/2−1

0

-1

1

Graf funkce f z příkladu 7.6 *** V jednoduchých případech můžeme soubor informací o funkci, jejíž průběh vyšetřujeme, dále rozšířit; zopakujme proto definice několika dobře známých pojmů. Funkce f definovaná v intervalu I ⊂ R se nazývá ryze konvexní (v I ), platí-li pro každé tři body x, y, z z I implikace (14)

x
f (y) − f (x) f (z) − f (y) < . y−x z−y

Změníme-li znaménko „<ÿ v závěru této implikace na „≤ÿ resp. „>ÿ resp. „≥ÿ, dostaneme definici funkce konvexní resp. ryze konkávní resp. konkávní (v I ). Poznámka 7.2. Snadno nahlédneme, že implikace (14) je ekvivalentní s implikací (14∗ )

x < y < z ⇒ f (y) < f (x) +

f (z) − f (x) (y − x). z−x

Ve (14) se porovnávají směrnice sečen grafu f procházejících body (x, f (x)) a (y, f (y)) resp. body (y, f (y)) a (z, f (z)), zatímco (14∗ ) znamená, že bod (y, f (y)) leží pod sečnou procházející body (x, f (x)) a (z, f (z)). 7 ) Všimněme si, že podobně je tomu i s derivacemi transcendentních funkcí arccos x, arctg x, arccotg x, lg (1 ± x), argsinh x, argcosh x, argtgh x, argcotgh x.

94

Věta 7.6. Nechť I ⊂ R je interval s krajními body a < b a nechť funkce f : I → R, spojitá v I, má derivaci všude v (a, b). Pak platí:

Je-li f ′

  rostoucí       neklesající   klesající         nerostoucí

v (a, b), je f

  ryze konvexní       konvexní   ryze konkávní         konkávní

v I.

Poznámka 7.3. Monotonie resp. ryzí monotonie funkce f ′ souvisí podle V.7.1 se znaménkem f ′′ ; platí proto např. toto tvrzení: (15)

Je-li f spojitá v I a je-li f ′′ > 0 všude v (a, b), je f ryze konvexní v I.

Z podmínky f ′′ > 0 všude v (a, b) totiž plyne, že f ′ je v (a, b) rostoucí, což (spolu se spojitostí f v I) má podle V.7.6 za následek, že funkce f je v I ryze konvexní. Z V.7.6 je však patrné, že není pravda (jak se někdy studenti na školách učí), že k tomu, abychom mohli vyšetřit konvexnost – konkávnost dané funkce, musíme najít druhou derivaci; je-li zřejmá monotonie funkce f ′ , není důvod hledat f ′′ . P ř í k l a d : Protože funkce lg′ x = 1/x v R+ zřejmě klesá, je zbytečné počítat druhou derivaci jen proto, abychom zjistili, že funkce lg je v R+ ryze konkávní. Podobně je zcela zbytečné počítat f ′′ (x), je-li např. f (x) := arctg x ; její derivace ′ f (x) = 1/(x2 + 1) totiž zřejmě klesá v h0, +∞) a roste v (−∞, 0i. Funkce arctg je tedy v intervalu (−∞, 0i ryze konvexní, v intervalu h0, +∞) ryze konkávní.  Říkáme, že a ∈ R je inflexní bod funkce f (nebo: grafu funkce f ), existuje-li derivace f ′ (a) a existuje-li takové δ ∈ R+ , že f je v jednom z intervalů (a − δ, ai, ha, a + δ) ryze konvexní, zatímco ve druhém z nich je ryze konkávní.

Poznámka 7.4. Známe-li tedy všechny maximální intervaly, v nichž je daná funkce f ryze konvexní resp. konkávní, známe automaticky i všechny její inflexní body: Postupujeme-li, jak se názorně říká, po ose x zleva doprava, pak tam, kde se mění ryzí konvexnost v ryzí konkávnost, nebo naopak, je inflexní bod. Obráceně však : Neznáme-li maximální intervaly konvexnosti – konkávnosti, nebude nám znalost inflexních bodů příliš platná; při kreslení grafu nám nepomůže, protože nebudeme vědět, v jak velkém intervalu začínajícím nebo končícím inflexním bodem je funkce konvexní resp. konkávní. Proto nelze nalezení inflexních bodů funkce považovat samo o sobě za přílišné obohacení našich poznatků o dané funkci; v žádném případě není prioritou vyšetřování průběhu funkce.  Říkáme, že přímka popsaná rovnicí y = Ax + B je asymptota grafu funkce f v +∞, je-li (16)

lim f ′ (x) = A a

x→+∞

lim (f (x) − Ax) = B ;

x→+∞

napíšeme-li všude −∞ místo +∞, dostaneme definici asymptoty v −∞. 95

Dodatek k příkladu 7.1. Jak snadno ověříme, je druhá derivace funkce (4) rovna (17)

f ′′ (x) = 10 sin x cos x (3 sin2 x − 5 cos2 x)

všude v R ; v h− 21 π, 21 πi se anuluje právě ve všech bodech dělení V1 : − 12 π < −A < 0 < A < 12 π , kde A := arctg

p

. 5/3 = 0.9117.

V prvním a ve třetím otevřeném intervalu tohoto dělení je f ′′ < 0, ve druhém a ve čtvrtém intervalu je naopak f ′′ > 0. V prvních dvou jmenovaných intervalech f ′ klesá, takže f je v příslušných uzavřených intervalech ryze konkávní; ve druhých dvou intervalech je f z podobných důvodů ryze konvexní. Analogicky je tomu v intervalech, které vzniknou z intervalů dělení V1 posunutím o celé násobky čísla π, periody funkce f . Inflexními body funkce f v R jsou právě všechny body, které vzniknou z bodů dělení V1 posunutím o kπ, kde k ∈ Z. Asymptoty graf funkce f nemá. 8 ) Dodatek k příkladu 7.2. Druhou derivaci funkce (5) by bylo zcela zbytečné počítat, protože monotonii její první derivace (5′ ) lze snadno zjistit bez ní: Protože funkce 1/(1 + x2 ) klesá v intervalu h0, +∞), platí totéž o f ′ (x) v intervalu (0, 1) (kde je sgn (1 − x2 ) > 0); v intervalu (1, +∞) funkce f ′ naopak roste. Protože f ′ je sudá funkce, klesá v intervalu (−∞, −1) a roste v intervalu (−1, 0). Funkce f je proto ryze konkávní v intervalech (−∞, −1i, h0, 1i a ryze konvexní v intervalech h−1, 0i, h1, +∞). Nula je jejím jediným inflexním bodem a rovnosti f (±∞∓) = f ′ (±∞∓) = 0 ukazují, že osa x je asymptotou grafu f v +∞ i v −∞.

Dodatek k příkladu 7.3. Funkce (7) má druhou derivaci všude v R − {−1, 0, 1} a pro všechna x z této množiny je (18)

f ′′ (x) = −

x 2x (x4 + 2x2 − 2) · sgn 2 . 4 2 2 (x − x + 1) x −1

Bikvadratická rovnice x4 + 2x2 − 2 = 0 má nás nezajímavé) imaginární p√dva (pro . kořeny a dva reálné kořeny ±B, kde B := 3 − 1 = 0.8556. V každém otevřeném intervalu dělení V2 : −∞ < −1 < −B < 0 < B < 1 < +∞ je sgn f ′′ konstantní. V prvním, třetím, čtvrtém a šestém z nich je f ′′ záporná, ve druhém a v pátém intervalu kladná. Funkce f je proto ryze konkávní v intervalech (−∞, −1), h−B, 0i, h0, Bi, (1, +∞) a ryze konvexní v intervalech (−1, −B i, hB, 1); ±B jsou její jediné inflexní body. 9 ) Protože je f (±∞∓) = 21 π a f ′ (±∞∓) = 0, je vodorovná přímka y = 21 π asymptotou grafu f v +∞ i v −∞. 8)

Obecněji platí : Graf žádné nekonstantní periodické funkce nemá asymptoty. Při pohledu na graf lze konvexitu v intervalech (−1, −B i a hB, 1) snadno přehlédnout a dojít k závěru, že f je ryze konkávní v celém intervalu (−1, 1). Podobné situace dokumentují, proč je tak nutné při výuce matematiky neustále zdůrazňovat rozdíl mezi obrázkem a důkazem. 9)

96

Příklad funkce | sin x |, která je ryze konkávní v h−π, 0i i v h0, πi, ale není konkávní v h−π, πi, ukazuje, že žádné obecné tvrzení typu „Je-li f konkávní v intervalech ha, bi a hb, ci, je konkávní i v intervalu ha, ciÿ neplatí. V našem případě však třetí a čtvrtý interval dělení V2 spojit lze – funkce f je ryze konkávní v celém intervalu h−B, Bi. Abychom pro každou trojici bodů x < y < z z intervalu h−B, Bi dokázali nerovnost f (z) − f (x) f (y) − f (x) > , y−x z−x

(19)

rozlišujme několik případů : Je-li z ≤ 0 nebo x ≥ 0, plyne (19) z ryzí konkávnosti funkce f v h−B, 0i resp. v h0, Bi. Je-li x < y ≤ 0 < z, platí z téhož důvodu nerovnost (f (y)−f (x))/(y−x) ≥ (f (0)−f (x))/(0−x); protože je navíc f (0) > f (z) a 0 < 0−x < z −x, je (f (0)−f (x))/(0−x) > (f (z)−f (x))/(z −x), takže nerovnost (19) opět platí. Podobně je tomu v případě, že x < 0 ≤ y < z. Dodatek k příkladu 7.4. Funkce (9) má druhou derivaci všude v R+ − {1, e}, přičemž pro všechna x z této množiny je (20)

f ′′ (x) =

2 lg2 x + 2 lg x − 1 · sgn (lg x). x2 (2 lg2 x − 2 lg x + 1)2

√ √ Protože rovnice 2y 2 +2y −1 = 0 má kořeny c := − 21 ( 3+1) a d := 21 ( 3−1), má . . rovnice f ′′ (x) = 0 kořeny C := exp c = 0.255 a D := exp d = 1.442. V intervalech ′′ (C, 1), (D, e), (e, +∞) je derivace f kladná, v intervalech (0, C ), (1, D) záporná. Z toho plyne, že f je ryze konvexní v intervalech hC, 1i, hD, e), (e, +∞), ryze konkávní v intervalech (0, C i, h1, Di; C a D jsou její (jediné) inflexní body. Protože je f (+∞−) = 41 π a f ′ (+∞−) = 0, je vodorovná přímka y = 14 π asymptotou grafu f v +∞. Dodatek k příkladu 7.5. Druhá derivace f ′′ (x) =

(21)

2(1 − 3x2 ) p 9 3 x7 (1 − x2 )4

funkce (10) existuje všude v R √ až na body ±1 a 0, je kladná v intervalech (−∞, −1), . (−1, −α), (0, α), kde α := 1/ 3 = 0.57735, záporná v intervalech (−α, 0), (α, 1), (1, +∞). V důsledku toho je funkce f ryze konvexní v intervalech (−∞, −1i, h−1, −αi, (0, αi, ryze konkávní v intervalech h−α, 0), hα, 1i, h1, +∞), není však konvexní v (−∞, −αi ani konkávní v hα, +∞); graf f má dva inflexní body ±α. Protože f ′ (±∞∓) = 12 a lim x→±∞ (f (x)− 12 x) = 0, je přímka y = 21 x asymptotou grafu f v +∞ i v −∞. Dodatek k příkladu 7.6. Druhá derivace funkce (11) je rovna

(22)

f ′′ (x) =

2 arcsin x 3x2 − 2 + , je-li 0 < |x | < 1. x3 x2 (1 − x2 )3/2 97

p Znaménko této derivace v P (0, 2/3 ) není na první pohled patrné, protože první sčítanec je tam záporný, druhý kladný ; další komplikací je, že oba sčítance mají v bodě 0 nekonečné limity. Budeme proto postupovat analogicky jako při zjišťování znaménka první derivace : Nechť (3x2 − 2)x h(x) := 2 arcsin x + p (1 − x2 )3

(23)

pro všechna x ∈ (−1, 1).

Tato pomocná funkce je spojitá v (−1, 1) = U (0, 1) a v P (0, 1) platí relace f ′′ (x) =

(24)

(2x2 + 1)x2 h(x) , h′ (x) = p > 0. 3 x (1 − x2 )5

Ze druhé z nich a ze spojitosti funkce h plyne, že h roste v (−1, 1); vzhledem k tomu, že h(0) = 0, je proto h < 0 v (−1, 0) a h > 0 v (0, 1). Odtud a z první identity v (24) vyplývá, že je f ′′ > 0 všude v P (0, 1). Funkce f ′ je zřejmě spojitá v každém bodě x ∈ P (0, 1); vzhledem k (121 ) a vzhledem k rovnostem 
x 1 1 − arcsin x = 2 (x + 21 x3 + o(x3 )) − (x + 61 x3 + o(x3 )) f ′ (x) = 2 √ 2 x x 1−x = 13 x + o(x) → 0 = f (0) pro x → 0 je však f ′ spojitá i v bodě 0. Ze spojitosti f ′ v (−1, 1), kterou jsme právě ověřili, a z nerovnosti f ′′ > 0 platné všude v P (0, 1) ihned vyplývá, že f ′ roste v celém intervalu (−1, 1). V důsledku toho je f ryze konvexní v intervalu h−1, 1i. Čtenář si jistě všiml, že pomocnou funkci jsme opět volili tak, aby její derivace neobsahovala výraz arcsin x ; tím se podstatná část nelehkého problému vyřešila.

Cvičení Vyšetřete průběh těchto funkcí, a to včetně konvexnosti a konkávnosti, je-li u čísla příkladu hvězdička: 7.01.∗ x3 + 3x2 − 9x − 10

7.02.∗ x4 − 4x3 1 − 2x 3x2 x2 + 1 7.06.∗ 2 x −1 x2 + 1 7.08.∗ 2 x + 2x + 3

7.03.∗ x4 − x2 − 2

7.04.∗

x2 − 1 x2 + 1
x 7.07. x2 7.05.∗

7.09.∗

1 1 x+ 2 x

7.10.∗ ex − lg x

7.11.∗ |x − 3| + |x + 1|

7.12.∗ |x + 4| − |x − 2| 98

7.13.∗ |x2 − x − 6| 7.15.∗

p

7.14.∗ |x2 + x − 2| − |x2 + 2x − 3| 7.16. |2x + 1| + |2 − x | − |3x + 5|

x2 + x − 6

7.17.∗ |x | − |x2 − 1|

7.18.∗ |x2 + 2x | + |x2 + 2x − 3| − 2

7.19.∗ |x2 − 1| − |x2 − 4|

7.20.

x−2 7.21.∗ √ x2 + 1 x3 7.23.∗ √ x4 + 1 p p 7.25.∗ 3 (x − 2)2 − 3 (x + 2)2

7.22.∗

ex − 1 ex + 1

p 3

x2 − x − 2

p

√ 3

2

7.34. (2x + 1)e−| x

−1 |

 x  7.36. 8 exp − x−2 ex + 1 7.38.∗ x e −1




7.39.∗ e−x − |e−x − 1|

7.40.∗ ex − |ex − e|

7.41.∗ 3(cosh x − | sinh x |)

7.42. sin x + cos2 x

7.43. sin3 x + cos3 x

7.44. sin3 x − | cos3 x |

7.45. 2| sin x | + | cos 2x |

7.46. sin 2x + 2| cos x |

7.47.∗ 3| sin3 x |

7.48. 2| sin x | cos3 x

7.49.∗ xx

7.50. x1/x

7.51.

1 3

x2 − x + 1

√ p 3 7.30. 3 ( x2 − 3 |x2 − 1|) r x2 − 4 2 5 7.32. x2 − 1

√ 3 7.29.∗ x2 − 4 x2 r 3 x (x + 6) 7.31. 3 x−2 √ 7.33.∗ 3 x e−x

7.37.∗

x2 + x + 1 −

√ x−1+ 3x+1 r 1 3 7.26. x− x √ p 3 4 7.28.∗ x − 3 (x − 2)4

7.24.∗

√ 3 7.27.∗ x − 2 x2

7.35. 7x e−| x−1 | − e−| x+1 |

p

(1 + x) x

7.52. (1 + x)1/x 99

7.53.∗ lg x lg (1 − x)

7.54.∗ lg | lg x |

7.55. xa lg x (a ∈ R+ )

7.56.∗

7.57. lg (1 + |x − x2 |)

7.58.

7.59.∗ lg

7.61.∗ arctg (lg x) 1 x2

7.65.∗ x arccotg x

7.66.∗ x arccotg

arccos (1 − lg2 x) r x 7.69.∗ 2 arccos x+1 1 − |x2 − 1| 7.71. 2 arcsin 1 + |x2 − 1|  1  7.73. cos lg 10 x +1 7.67.∗

7.68.∗ 5 arcsin √

1 2

1 x

x2

1 + 4x + 5

7.70. arccotg (cos x) − arctg (sin x) 2 lg x lg2 x + 1 1 7.74. arccos 3 lg x p 7.76.∗ x + 4 − x2 · arccos 21 x 7.72.∗ arcsin

7.75.∗ arcsin (x2 − |x2 − 1|) x −1 2 1 − x 7.79.∗ arccos 1 + x2 arccos x 7.81. √ 1 − x2 p 7.83.∗ arcsin 1 − sin4 x 7.77.∗ arccotg

lg (1 − |x − 1|)

lg3 x − 2 lg2 x + 1 3e2x + ex + 10 7.60. lg ex + 1 r x2 7.62.∗ arctg 1 − x2 p 7.64.∗ arcsin x + 1 − x2

e2x + ex + 1 ex + 1

7.63.∗ 2 arctg

1 2

7.78. 2 arctg

x2

7.80. arccos

x2

x −1

x3 −1 x6 + 1

7.82. arcsin(sin 2x) 7.84. arcsin(1 − sin4 x) p 3

7.85. arcsin (1 − sin4 x)2

7.86. arctg

7.87. sin (2 arccotg x)

7.88.∗ arccos (1 − x2 )

7.89.∗ arccos (1 − x4 )

7.90. arccos(1 − x2 )2

7.91.∗ arccos (1 − x)2

7.92.∗ arccos (1 − x)4 100

x2 − 1

7.93.∗ f (x) := arctg

x−1 pro x 6= 0, f (0) := 0 x

7.94.∗ f (x) := exp (−x−2 ) pro x 6= 0, f (0) := lim f (x) x→0

7.95. f (x) := (x − 6) exp (−x−2 ) pro x 6= 0, f (0) := lim f (x) x→0

7.96.∗ f (x) := x2 lg |x | pro x 6= 0, f (0) := lim f (x) x→0

7.97.∗ f (x) := x2 (lg x2 − 4) pro x 6= 0, f (0) := lim f (x) x→0

arctg x 7.98. f (x) := pro x 6= 0, f (0) := lim f (x) x→0 x sin x 7.99. f (x) := pro x 6= 0, f (0) = lim f (x) x→0 x  1 x pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, +∞) 7.100. f (x) := 1 + x

Řešení Řešení každého příkladu je ilustrováno grafem. 10 ) Má-li funkce omezený definiční obor a je-li v něm omezená, je graf nakreslen celý ; v ostatních případech je zakreslena jen „zajímavá částÿ grafu. Tam, kde to poměr vodorovného a svislého rozměru obrázku dovoluje, užíváme stejné měřítko na obou osách ; pak jsou správně zobrazeny např. i všechny úhly. U jednotlivých příkladů jsou uvedeny zpravidla tyto údaje : Definiční obor D(f ) příslušné funkce f s případným dodatkem, že funkce f je sudá , lichá nebo periodická ; „p - per.ÿ znamená, že p je nejmenší kladná perioda dané funkce. Informaci, že f je spojitá v D(f ), neuvádíme ; v opačném případě jsou však vyjmenovány všechny body nespojitosti funkce f . Podobně jako v rozřešených příkladech této kapitoly upozorňujeme na všechny „výjimečné bodyÿ. Za značkou K ′ jsou vypsány všechny kořeny funkce f ′ ; za nimi v závorkách většinou následují i příslušné hodnoty funkce. Nemá-li f ′ žádné kořeny, množinu K ′ neuvádíme. Limity se značí běžným způsobem, za jednostrannými limitami první derivace je upozornění „(hr.)ÿ, jde-li o hroty grafu f . Za značkou ր resp. ց následuje seznam maximálních intervalů, v nichž je f rostoucí resp. klesající. U příkladů označených hvězdičkou jsou za značkou K ′′ vypsány kořeny funkce f ′′ , pokud existují a jsou k vyšetření průběhu potřebné; za značkou ⌣ resp. ⌢ následují seznamy maximálních intervalů, v nichž je f ryze konvexní resp. ryze konkávní. Má-li gr f inflexní body, jsou uvedeny za značkou ∼. Má-li gr f asymptotu v −∞ resp. v +∞, napíšeme za symbol „as−∞ : ÿ resp. „as+∞ : ÿ příslušnou rovnici; rovnici společné asymptoty v −∞ a v +∞ píšeme za znakem „as±∞ : ÿ. V obrázcích vyznačujeme asymptoty tečkovanými linkami. 10 )

Z technických důvodů jsme všechny obrázky umístili na konec této kapitoly.

101

Řešení každého příkladu obsahuje i hodnoty infima a suprema dané funkce f v jejím definičním oboru D(f ). Je-li toto infimum rovno A, píšeme inf = A, nemáli f v D(f ) minimum ; má-li je, píšeme min = A. Podobně v případě suprema a maxima. V některých případech se od právě popsaného schématu poněkud odchýlíme. Některé informace, dobře patrné z grafu, nemusí být explicite uvedeny. V komentáři k příkladům mohou být naopak uvedeny i některé další důležité nebo zajímavé skutečnosti. Příklad. Řešení příkladu 7.5 bychom zapsali takto: ′ ′ (1) = (−1) = ±∞, f± 7.5. D(f ) = R− ∪ R+ ; lichá; f (0±) = f (±∞∓) = ±∞; f± p . ′′ ∓∞ (hr.); ր : (−∞, −1i, h1, +∞); ց : h−1, 0), (0, 1i; K : ±α, kde α = 1/3 = 0.577; ⌣ : (−∞, −1i, h−1, −αi, (0, αi; ⌢ : h−α, 0), hα, 1i, h1, +∞); ∼ : ±α; as±∞ : y = 21 x ; inf = −∞, sup = +∞.

*** 7.01.∗ D(f ) = R; K ′ : −3, 1 (f (−3) = 17, f (1) = −15); ր : (−∞, −3i, h1, +∞); ց : h−3, 1i; K ′′ : −1; ⌣ : h−1, +∞); ⌢ : (−∞, −1i; ∼ : −1; inf = −∞, sup = +∞.

7.02.∗ D(f ) = R; K ′ : 0, 3 (f (0) = 0, f (3) = −27); ր : h3, +∞); ց : (−∞, 3i; K : 0, 2; ⌣ : (−∞, 0i, h2, +∞); ⌢ : h0, 2i; ∼ : 0, 2; min = −27, sup = +∞. √ √ √ 7.03.∗ D(f ) = R; sudá; K ′ : x1 := −1/ 2, 0, x2 := 1/ 2 (f (±1/ 2 ) = − 49 , ′′ f (0) √ =. −2); ր : hx1 , 0i, hx2 , +∞); ց : (−∞, x1 i, h0, x2 i; K : ±x3 , kde x3 := 1/ 6 = 0.408; ⌣ : (−∞, −x3 i, hx3 , +∞); ⌢ : h−x3 , x3 i; ∼ : ±x3 ; min = − 49 , sup = +∞. ′′

7.04.∗ D(f ) = R− ∪ R+ ; f (0±) = +∞; K ′ : 1 (f (1) = − 31 ); ր : R− , h1, +∞); ց : (0, 1i; K ′′ : 32 ; ⌣ : R− , (0, 32 i; ⌢ : h 23 , +∞); ∼ : 23 ; as±∞ : y = 0; min = − 31 , sup = +∞. 7.05.∗ pD(f ) = R; sudá; K ′ : 0 (f (0) = −1); ր : h0, +∞); ց : (−∞, 0i; K ′′ : ±a, . kde a = 1/3 = 0.577; ⌣ : h−a, ai; ⌢ : (−∞, −ai, ha, +∞); ∼ : ±a; as±∞ : y = 1; min = −1, sup = 1.

7.06.∗ D(f ) = R − {±1}; sudá; K ′ : 0 (f (0) = −1); ր : (−∞, −1), (−1, 0i; ց : h0, 1), (1, +∞); ⌣ : (−∞, −1), (1, +∞); ⌢ : (−1, 1); as±∞ : y = 1; inf = −∞, sup = +∞. . . 7.07. D(f ) = R; K ′ : ±1/e = ±0.368 (f (−1/e) = e2/e = 2.087, f (1/e) = . e−2/e = 0.479); f ′ (0) = −∞; ր : (−∞, −1/ei, h1/e, +∞); ց : h−1/e, 1/ei; as−∞ : y = 0; inf = 0, sup = +∞. 11 ) 11 ) Poznamenejme, že f (x) nesmíme přepsat na tvar x2x , protože bychom z definičního oboru vyloučili R− ; je však f (x) = | x |2x . Transcendentní rovnice f ′′ (x) = f (x) ((lg x2 + 2)2 + 2/x) = 0 . má jediný kořen α = −0.80790675, který lze (přibližně) vypočítat vhodnou numerickou metodou; . f (α) = 1.4115; ⌣ : (−∞, αi, h0, +∞); ⌢ : hα, 0i; ∼ : α, 0.

102

√ √ . . 7.08.∗ D(f√ ) = R; K ′ : x1 = −( 2 + 1) = −2.41,√x2 = 2 − 1 = 0.41 (f (x1 ) = . . ր : (−∞, x1 i, max = 1 + 1/ 2 = 1.7071, f (x2 ) = min √ = 1 −. 1/ 2 = 0.2929); √ . hx2 , +∞); ց : hx1 , x2 i; K ′′ : x3 = −( 6 + 1) = −3.45, −1, x4 = 6 − 1 = 1.45; ⌣ : (−∞, x3 i, h−1, x4 i; ⌢ : hx3 , −1i, hx4 , +∞); ∼ : x3 , −1, x4 ; as±∞ : y = 1. 7.09.∗ D(f ) = R − {0}; lichá; K ′ : ±1 (f (±1) = ±1); ր : (−∞, −1i, h1, +∞); ց : h−1, 0), (0, 1i; ⌣ : R+ ; ⌢ : R− ; as±∞ : y = 21 x; inf = −∞, sup = +∞.

7.10.∗ D(f ) = R+ ; f (0+) = f (+∞−) = +∞; K ′ : 1/e (f (1/e) = 2 = min); f (0+) = −∞, f ′ (+∞−) = e; ր : h1/e, +∞); ց : (0, 1/ei; ⌣ : R+ ; sup = +∞. ′

7.11.∗ D(f ) = R; f (x) = −2(x − 1) pro x ≤ −1, f (x) = 4 v h−1, 3i, f (x) = 2(x − 1) pro x ≥ 3; hroty : −1, 3; min = 4, sup = +∞.

7.12.∗ D(f ) = R; f (x) = −6 pro x ≤ −4, f (x) = 2(x + 1) v h−4, 2i, f (x) = 6 pro x ≥ 2; hroty : −4, 2; min = −6, max = 6.

1 ′ ′ 7.13.∗ D(f ) = R; K ′ : 21 (f ( 12 ) = 25 4 ); f± (−2) = f± (3) = ±5 (hr.); ր : h−2, 2 i, 1 h3, +∞); ց : (−∞, −2i, h 2 , 3i; ⌣ : (−∞, −2i, h3, +∞); ⌢ : h−2, 3i; min = 0, sup = +∞.

7.14.∗ D(f ) = R; f (x) = 1 − x v (−∞, −3i ∪ h1, +∞), f (x) = 2x2 + 3x − 5 v h−3, −2i, f (x) = x − 1 v h−2, 1i; hroty : −3, −2, 1; ⌣ : h−3, −2i; as±∞ : y = 1 − x.

′ 7.15.∗ D(f ) = (−∞, −3i ∪ h2, +∞); ր : h2, +∞); ց : (−∞, −3i; f− (−3) = 1 ′ −∞, f+ (2) = +∞; ⌢ : (−∞, −3i, h2, +∞); as−∞ : y = −(x + 2 ), as+∞ : y = x + 21 ; min = 0, sup = +∞.

7.16. D(f ) = R; f (x) = 6 v (−∞, − 53 i, f (x) = −2(3x + 2) v h− 53 , − 12 i, f (x) = −2(x + 1) v h− 12 , 2i, f (x) = −6 v h2, +∞); hroty : − 35 , − 21 , 2.

7.17.∗ D(f ) = R; sudá; f (x) = 1 − x − x2 v (−∞, −1i, f (x) = x2 − x − ′ 1 v h−1, 0i, f (x) = x2 + x − 1 v h0, 1i, f (x) = 1 + x − x2 v h1, +∞); f− (−1) = 1, ′ ′ ′ ′ ′ f+ (−1) = −3, f− (0) = −1, f+ (0) = 1, f− (1) = 3, f+ (1) = −1 (hr.); ⌣ : h−1, 1i; ⌢ : (−∞, −1i, h1, +∞); inf = −∞, max = 1.

7.18.∗ D(f ) = R; f (x) = 2x2 + 4x − 5, je-li buď x ≤ −3, nebo x ≥ 1, f (x) = 1, je-li buď −3 ≤ x ≤ −2, nebo 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 1−4x−2x2 , je-li −2 ≤ x ≤ 0; ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ f+ (−3) = f− (−2) = f+ (0) = f− (1) = 0, f− (−3) = −8, f+ (−2) = 4, f− (0) = −4, ′ f+ (1) = 8 (hr.); ⌣ : (−∞, −3i, h1, +∞); ⌢ : h−2, 0i; min = 1, sup = +∞.

7.19.∗ D(f ) = R; sudá; f (x) = 3, je-li |x | ≥ 2, f (x) = 2x2 − 5, je-li 1 ≤ |x | ≤ ′ ′ ′ ′ ′ (−2) = −8, (2) = 0, f+ (1) = f+ (−1) = f− (−2) = f+ 2, f (x) = −3, je-li |x | ≤ 1; f− ′ ′ ′ f− (−1) = −4, f+ (1) = 4, f− (2) = 8 (hr.); ⌣ : h−2, −1i, h1, 2i; min = −3, max = 3.

7.20.∗ D(f ) = R; lichá; f (±∞∓) = ±1; ր : R; ⌣ : (−∞, 0i; ⌢ : h0, +∞); ∼ : 0; as±∞ : y = ±1; inf = −1, sup = 1. √ 7.21.∗ D(f ) = R; K ′ : − 21 (f (− 12 ) = − 5 ); ր : h− 12 , +∞); ց : (−∞, − 12 i; √ √ . . K ′′ : x1 = − 81 (3 + 41 ) = −1.175, x2 = 81 (−3 + 41 ) = 0.425; ⌣ : hx1 , x2 i; √ ⌢ : (−∞, x1 i, hx2 , +∞); ∼ : x1 , x2 ; as±∞ : y = ±1; min = − 5; sup = 1.

103

p . 7.22.∗ D(f ) = R; K ′ : 12 (f ( 12 ) = − 3 9/4 = −1.3104 = min); f ′ (−1) = −∞, f ′ (2) = +∞; ր : h 21 , +∞); ց : (−∞, 21 i; f ′′ < 0 v (−∞, −1) ∪ (2, +∞), f ′′ > 0 v (−1, 2); ⌣ : h−1, 2i; ⌢ : (−∞, −1i, h2, +∞); sup = +∞. 7.23.∗ D(f ) = R; lichá; K ′ : 0; ր : R; K ′′ : 0, ±1; ⌣ : (−∞, −1i, h0, 1i; ⌢ : h−1, 0i, h1, +∞); ∼ : −1, 0, 1; as±∞ : y = x; inf = −∞, sup = +∞. 7.24.∗ D(f ) = R; lichá; f ′ (−1) = f ′ (1) = +∞; ր : R; ⌣ : (−∞, −1i, h0, 1i; ⌢ : h−1, 0i, h1, +∞); ∼ : −1, 0, 1; inf = −∞, sup = +∞. ′ ′ 7.25.∗ D(f ) = R; lichá; f± (−2) = ∓∞, f± (2) = ±∞ (hr.) (f (−2) = −f (2) = √ . 3 2 2 = 2.52); ր : (−∞, −2i, h2, +∞); ց : h−2, 2i; ⌣ : (−∞, −2i, h−2, 0i; ⌢ : h0, 2i, h2, +∞); ∼ : 0; as±∞ : y = 0; min = f (2), max = f (−2).

7.26. D(f ) = R− ∪ R+ ; lichá; f (0±) = ∓∞; f ′ (±1) = +∞; ր : R− , R+ ; inf = −∞, sup = +∞. . ′ 7.27.∗ D(f ) = R; K ′ : α = 64/27 = 2.370 (f (α) = − 12 α), f± (0) = ∓∞ (hr.); ր : (−∞, 0i, hα, +∞); ց : h0, αi; ⌣ : (−∞, 0i, h0, +∞); inf = −∞, sup = +∞. 7.28.∗ D(f ) = R; ր : R; K ′′ : 1; f ′′ (0) = +∞, f ′′ (2) = −∞; ⌣ : (−∞, 1i; ⌢ : h1, +∞); ∼ : 1; inf = −∞, sup = +∞. p √ . . 3 = 7.29.∗ D(f ) = R; sudá; K ′ : ±β = ± 4 64/27 = ±1.24 (f (±β) = − 16 9 ′ −3.08 = min); f± (0) = ∓∞ (hr.); ր : h−β, 0i, hβ, +∞); ց : (−∞, −β i, h0, β i; ⌣ : (−∞, 0i, h0, +∞); sup = +∞. ′ ′ ′ 7.30. D(f ) = R; sudá; f± (−1) = f± (1) = ∓∞, f± (0) = ±∞ (hr., f (±1) = 3, f (0) = −3); ր : (−∞, −1i, h0, 1i; ց : h−1, 0i, h1, +∞); as±∞ : y = 0; min = −3, max = 3. √ . 7.31. D(f ) = R − {2}; f (2±) = ±∞; K ′ : −2, 6 (f (−2) = 3 3 2 = 3.78, f (6) = √ . 3 3 18 = 7.86); f ′ (−6) = +∞, f ′ (0) = −∞; ր : (−∞, −2i, h6, +∞); ց : h−2, 2), (2, 6i; inf = −∞, sup = +∞; max f ((−∞, 2)) = f (−2), min ((2, +∞)) = f (6). √ . 7.32. D(f ) = R − {±1}; sudá; f (−1±) = f (1±) = +∞; K ′ : 0 (f (0) = 5 16 = ′ ′ 1.74); f± (−2) = f± (2) = ±∞ (hr.); as±∞ : y = 1; min = f (±2) = 0, sup = +∞. √ . 7.33.∗ D(f ) = R; K ′ : 13 (f ( 13 ) = 1/ 3 3e = 0.4968); f ′ (0) = +∞; K ′′ : x1 := √ √ . . 1 3) = −0.24402, x2 := 13 (1 + 3) = 0.91068; ր : (−∞, 13 i; ց : h 31 , +∞); 3 (1 − ⌣ : hx1 , 0i, hx2 , +∞); ⌢ : (−∞, x1 i, h0, x2 i; ∼ : x1 , 0, x2 ; as+∞ : y = 0; inf = −∞, max = f ( 13 ). ′ ′ ′ ′ (1) = −4 (hr., (1) = 8, f+ (−1) = 4, f− (−1) = 0, f+ 7.34. D(f ) = R; f− f (−1) = −1, f (1) = 3); ր : h−1, 1i; ց : (−∞, −1i, h1, +∞); as±∞ : y = 0; min = −1, max = 3. ′ ′ ′ 7.35. D(f ) = R; sudá; K ′ : 0 (f (0) = 0); f− (−1) = f+ (1) = 0, f+ (−1) = −14, −2 . = 14 (hr., f (±1) = 7(1 − e ) = 6.05); ր : (−∞, −1i, h0, 1i; ց : h−1, 0i, h1, +∞); as±∞ : y = 0; min = 0, max = f (±1). ′ (1) f−

104

′ (0) = ∓4 (hr., f (0) = 8); 7.36. D(f ) = R − {2}; f (2±) = 0, f ′ (2±) = 0; f± . ր : (−∞, 0i, (2, +∞); ց : h0, 2); as±∞ : y = 8/e = 2.943; inf = 0, max = f (0).

7.37.∗ D(f ) = R ; lichá; ր : R ; K ′′ : 0; ⌣ : (−∞, 0i; ⌢ : h0, +∞); ∼ : 0; as−∞ : y = −1, as+∞ : y = 1; inf = −1, sup = 1.

7.38.∗ D(f ) = R− ∪ R+ ; lichá; f (0±) = ±∞; ց : R− , R+ ; ⌣ : R+ ; ⌢ : R− ; as−∞ : y = −1, as+∞ : y = 1; inf = −∞, sup = +∞.

7.39.∗ D(f ) = R ; f ≡ 1 v (−∞, 0i, f (x) = 2e−x − 1 v h0, +∞); ց : h0, +∞); ′ (0) = −2 (hr.); ⌣ : h0, +∞); as−∞ : y = 1, as+∞ : y = −1; inf = −1, = 0, f+ max = 1. ′ (0) f−

′ (1) = 2e, 7.40.∗ D(f ) = R ; f (x) = 2ex − e v (−∞, 1i, f ≡ e v h1, +∞); f− = 0 (hr.); ր : (−∞, 1i; ⌣ : (−∞, 1i; as−∞ : y = −e, as+∞ : y = e; inf = −e, max = e. ′ f+ (1)

′ 7.41.∗ D(f ) = R ; sudá; ր : (−∞, 0i; ց : h0, +∞); f± (0) = ∓3 (hr., f (0) = 3); ⌣ : (−∞, 0i, h0, +∞); as±∞ : y = 0; inf = 0, max = 3.

7.42. D(f ) = R ; 2π-per.; kořeny f ′ v h0, 2πi : 16 π, 21 π, 65 π, 32 π, příslušné hodnoty funkce f : 45 , 1, 54 , −1; f (0) = f (2π) = 1; ր : h0, 61 πi, h 12 π, 65 πi, h 32 π, 2πi (tedy : ր : h− 12 π, 16 πi); ց : h 61 π, 21 πi, h 56 π, 32 πi; min = −1, max = 45 .

7.43. D(f ) = R ; 2π-per.; kořeny f ′ v h0, 2πi : 0, 41 π, 21 π, π, 54 π, 23 π, 2π, příslušné √ √ hodnoty funkce f : 1, 12 2, 1, −1, − 12 2, −1, 1; ր : h 41 π, 12 πi, hπ, 54 πi, h 23 π, 2πi; ց : h0, 41 πi, h 12 π, πi, h 45 π, 32 πi; min = −1, max = 1. 7.44. D(f ) = R ; 2π-per.; kořeny f ′ v h0, 2πi : 0, 21 π, π, 54 π, 23 π, 47 π, 2π, příslušné √ √ hodnoty funkce f : −1, 1, −1, − 12 2, −1, − 12 2, −1; ր : h0, 12 πi, hπ, 45 πi, h 32 π, 47 πi; ց : h 12 π, πi, h 45 π, 23 πi, h 74 π, 2πi; min = −1, max = 1. (Poznámka. Větu o diferencování superpozice nelze užít v bodech x, v nichž je cos x = 0, podle V.5.5 však rovnost f ′ (x) = 3 sin x cos x (sin x + | cos x |) platí i v těchto bodech.) 7.45.

′ ′ (π) = ∓2, (0) = f± D(f ) = R ; π-per.; kořeny f ′ v h0, πi : 61 π, 21 π, 56 π; f± √ √ √ √ ′ 1 ′ 3 ′ 3 = 2 − 2, f+ ( 4 π) = 2 + 2, f− ( 4 π) = − 2 − 2, f+ ( 4 π) = − 2 + 2 (hr.); √ √ hodnoty funkce f v bodech 0, 16 π, 41 π, 12 π, 34 π, 56 π, π jsou 1, 23 , 2, 3, 2, 32 , 1; ր : h0, 61 πi, h 41 π, 21 πi, h 34 π, 65 πi; ց : h 61 π, 41 πi, h 21 π, 34 πi, h 65 π, πi; min = 1, max = 3.

′ 1 ( 4 π) f−

′ 1 ′ 1 7.46. D(f ) = R ; π-per.; (jediný) kořen f ′ v h0, πi : 16 π; f− ( 2 π) = −4, f+ ( 2 π) = 1 1 ′ ′ 0 (hr.); f (0) = f (π) = 2; hodnoty funkce f v bodech 0, 6 π, 2 π, π jsou 2, √ . 3 monotonie v h− 12 π, 21 πi : ր : h− 12 π, 61 πi; 2 3 = 2.598, 0, 2; maximální intervaly √ ց : h 16 π, 21 πi; min = 0, max = 23 3.

7.47.∗ D(f ) = R ; π-per.; kořeny f ′ v h0, πi : 0, 12 π, π, příslušné hodnoty funkce f : 0, 3, 0; ր : h0, 21 πi; ց : h 12 π, πi; ⌣ : h−b, bi, ⌢ : hb, π − bi, kde √ . b := arctg 2 = 0.9553; ∼ : ±b; min = 0, max = 3. (Poznámka. Větu o diferencování superpozice nelze užít v bodech x ≡ 0 mod π, podle V.5.5 však rovnosti f ′ (x) = 9 sin x | sin x | cos x, f ′′ (x) = 9| sin x |(2 cos2 x − sin2 x) platí i v nich.) 105

7.48. D(f ) = R ; 2π-per.; kořeny f ′ v h0, 2πi : 16 π, 12 π, 56 π, 76 π, 32 π, 11 6 π; ′ ′ (= f± (2π)) = ±2, f± (π) = ∓2 (hr.); hodnoty funkce f ve výjimečných bodech 0, 61 π, 12 π, 65 π, π, 67 π, 32 π, 11 6 π, 2π jsou 0, γ, 0, −γ, 0, −γ, 0, γ, 0, kde γ := √ . 1 5 1 5 7 11 3 3 = 0.6495; ր : h0, πi, h π, πi, h 67 π, 11 8 6 6 6 πi; ց : h 6 π, 6 πi, hπ, 6 πi, h 6 π, 2πi; min = −γ, max = γ. ′ f± (0)

7.49.∗ D(f ) = h0, +∞) (v R+ je f (x) = exp(x lg x), f (0) = 00 = 1 = f (0+)); . ′ K : 1/e (f (1/e) = (1/e)1/e = 0.692201); f+ (0) = f ′ (0+) = −∞; ր : h1/e, +∞); ց : h0, 1/ei; ⌣ : h0, +∞); min = f (1/e), sup = +∞. . 7.50. D(f ) = R+ ; K ′ : e (f (e) = e1/e = 1.44467); f (x) → 0, f ′ (x) → 0 pro x → 0+ ; ր : (0, ei; ց : he, +∞); as+∞ : y = 1; inf = 0, max = f (e). 12 ) ′

7.51. D(f ) = (−1, +∞) ; f (−1+) = f (+∞−) = +∞; f ′ (x) = 0 ⇔ x = 0, protože f ′ (x) = f (x)ϕ(x), kde ϕ(x) := x/(x + 1) + lg (1 + x) v D(f ) roste a splňuje podmínku ϕ(0) = 0; ր : h0, +∞); ց : (−1, 0i; min = 31 , sup = +∞.

7.52. D(f ) = (−1, 0) ∪ (0, +∞); f (0±) = e; je f ′ < 0 v D(f ), protože f ′ (x) = x f (x)ψ(x), kde ψ(x) := x/(1 + x) − lg (1 + x) v (−1, +∞), ψ ′ (x) = −x/(1 + x)2 , ψ(0) = 0, takže ψ < 0 v D(f ); ց : (−1, 0), R+ ; as+∞ : y = 1; sup f ((−1, 0)) = +∞, inf f ((−1, 0)) = sup f (R+ ) = e, inf f (R+ ) = 1. (Poznámka. Položíme-li f (0) := e, bude f spojitá, klesající a ryze konvexní v (−1, +∞), f ′ (0) = f ′ (0±) = −2/e.) −2

7.53.∗ D(f ) = (0, 1); graf f je symetrický vzhledem k přímce x = 12 , f (0+) = . f (1−) = 0; K ′ : 12 (f ( 12 ) = lg2 ( 12 ) = 0.480453); f ′ (0+) = +∞, f ′ (1−) = −∞; 1 1 ր : (0, 2 i; ց : h 2 , 1); ⌢ : (0, 1); inf = 0, max = f ( 21 ).

7.54.∗ D(f ) = (0, 1) ∪ (1, +∞); f (0+) = f (+∞−) = +∞, f (1±) = −∞, f (x) = 0 ⇔ (x = 1/e)∨(x = e); ր : (1, +∞); ց : (0, 1); ⌣ : (0, 1/ei; ⌢ : h1/e, 1), (1, +∞); ∼ : 1/e; inf = −∞, sup = +∞.

7.55. D(f ) = R+ ; f (0+) = 0, f (+∞−) = +∞; K ′ : xa := e−1/a (f (xa ) = −1/ae); ր : hxa , +∞); ց : (0, xa i; min = f (xa ), sup = +∞. (Na obrázku jsou části grafů funkcí odpovídajících hodnotám a = 12 k, kde 1 ≤ k ≤ 5.) 7.56.∗ D(f ) = (0, 2); graf f je symetrický vzhledem k přímce x = 1, f (0+) = ′ f (2−) = −∞; f± (1) = ∓ 21 (hr., f (1) = 0); ր : (0, 1i; ց : h1, 2); ⌢ : (0, 2); inf = −∞, max = 0. 13 ) 7.57. D(f ) = R ; graf f je symetrický vzhledem k přímce x = 12 ; K ′ : 12 . ′ ′ (f ( 12 ) = lg 54 = 0.223), f± (0) = f± (1) = ±1 (hr., f (0) = f (1) = 0); ր : h0, 12 i, 1 h1, +∞); ց : (−∞, 0i, h 2 , 1i; min = 0, sup = +∞.

7.58.√ D(f ) = R+ ; f (0+) = −∞ (= inf), f (+∞−) = +∞ (= sup), jediný kořen . f : exp 3 2 = 3.52514; K ′ : 1/e, 1 (f (1/e) = − 32 , f (1) = −2); ր : (0, 1/ei, h1, +∞); ց : h1/e, 1i. 12 ) Řešení bychom mohli doplnit ještě takto : Derivace f ′′ má v R právě dva kořeny α < β ; + numerickým řešením transcendentní rovnice lg2 x + 2 (x − 1) lg x = 3x − 1 lze získat jejich přibližné . . hodnoty : α = 0.5819327056, β = 4.3677709671. Je ⌣ : (0, αi, hβ, +∞), ⌢ : hα, β i; ∼ : α, β. 13 ) V Dodatku k Př. 7. 3 je vyloženo, jak lze někdy dokázat ryzí konkávnost (a podobně konvexnost), není-li možné užít přímo V. 7. 6 .

106

7.59.∗ D(f ) = R ; ր : R ; ⌣ : R ; as−∞ : y = 0, as+∞ : y = x; inf = 0, sup = +∞. . 7.60. D(f ) = R ; f (−∞+) = lg 10 = 2.30259, f (+∞−) = +∞; K ′ : 0 . (f (0) = lg 7 = 1.94591), f ′ (−∞+) = 0, f ′ (+∞−) = 1; ր : h0, +∞); ց : (−∞, 0i; . as−∞ : y = lg 10, as+∞ : y = x + lg 3 (lg 3 = 1.0986); min = f (0), sup = +∞. 7.61.∗ D(f ) = R+ ; f (0+) = − 21 π, f ′ (0+) = +∞, f (+∞−) = ⌢ : R+ ; as+∞ : y = 21 π ; inf = − 21 π, sup = 21 π.

1 2 π;

ր : R+ ;

′ (0) = ±1 (hr., 7.62.∗ D(f ) = (−1, 1); sudá; f (±1∓) = 12 π; f ′ (±1∓) = ±∞, f± 1 f (0) = 0); ր : h0, 1); ց : (−1, 0i; ⌣ : (−1, 1); min = 0, sup = 2 π. 13 )

7.63.∗ D(f ) = R− ∪ R+ ; sudá; f√ (0±) = π; f ′ (0±) = 0; ր : R− ; ց : R+ ; . 4 ⌣ : (−∞, −ai, ha, +∞), kde a := 1/ 3 = 0.759836; ⌢ : h−a, 0), (0, ai; ∼ : ±a; as±∞ : y = 0; inf = 0, sup = π. (Poznámka. Kdybychom definovali f (0) := 0, bylo by f ′ (0) = 0, f by v bodě 0 měla maximum a byla by ryze konkávní v h−a, ai.)

′ ′ (1) = 0; ր : h−1, 1i; ⌢ : h−1, 1i; (−1) = +∞, f− 7.64.∗ D(f ) = h−1, 1i; f+ 1 1 min = − 2 π, max = 2 π. (Poznámka. f (x) má jediný kořen, jehož přibližná hodnota je −0.67361203.)

7.65.∗ D(f ) = R ; f (−∞+) = −∞, f (+∞−) = 1; f ′ (+∞−) = 0, f ′′ < 0, takže f > 0 v R; ր : R; ⌢ : R; as−∞ : y = πx + 1, as+∞ : y = 1; inf = −∞, sup = 1. ′

7.66.∗ D(f ) = R− ∪ R+ ; f (0±) = 0, f ′ (0−) = π, f ′ (0+) = 0 (kdybychom tedy položili f (0) := 0, měl by graf v bodě 0 hrot); ր : R− , R+ ; ⌣ : R− , R+ ; as±∞ : y = 21 πx − 1; inf = −∞, sup = +∞. √ √ . . ′ 7.67.∗ D(f ) = ha, bi, kde a := exp(− 2 ) = 0.243, b = exp 2 = 4.113; f± (1) = √ ′ ′ ±1/ 2 (hr., f (1) = 0); f+ (a) = −∞, f− (b) = +∞; ր : h1, bi; ց : ha, 1i; ⌣ : ha, 1i, he, bi; ⌢ : h1, ei; ∼ : e; min = 0, max = f (a) = f (b) = 21 π.

′ (−2) = ∓5 7.68.∗ D(f ) = R ; graf je symetrický vzhledem k přímce x = −2; f± 5 (hr., f (−2) = 2 π); ր : (−∞, −2i; ց : h−2, +∞); ⌣ : (−∞, −2i, h−2, +∞); as±∞ : y = 0; inf = 0, max = 25 π.

7.69.∗ D(f ) = h0, +∞); f (0) = π, f (+∞−) = 0; f ′ (0+) = −∞, f ′ (+∞−) = 0; ց : h0, +∞); ⌣ : h0, +∞); as+∞ : y = 0; inf = 0, max = π.

7.70. D(f ) = R ; 2π - per.; kořeny f ′ v h0, 2πi : 14 π, 54 π (f ( 14 π) = 12 π − 2c √ . . . = 0.339837, f ( 45 π) = 12 π + 2c) = 2.801756, kde c := arctg ( 12 2) = 0.6154797); 1 5 3 1 k ∈ Z ⇒ ր : h 4 π + 2kπ, 4 π + 2kπi; ց : h− 4 π + 2kπ, 4 π + 2kπi; min = f ( 14 π), max = f ( 45 π).

′ ′ (1) = ∓∞ (hr., f (±1) = π); (−1) = f± 7.71. D(f ) = R ; sudá; K ′ : 0; f± ր : (−∞, −1i, h0, 1i; ց : h−1, 0i, h1, +∞); as±∞ : y = −π; inf = −π, max = π.

7.72.∗

D(f ) = R+ ; f (0+) = 0, f (+∞−) = 0; f ′ (0+) = −∞, f ′ (+∞−) = 0; ′ = ±e, f± (e) = ∓1/e (hr., f (1/e) = − 21 π = min, f (e) = 21 π = max); ր : h1/e, ei; ց : (0, 1/ei, he, +∞); ⌣ : (0, 1/ei, he, +∞); ⌢ : h1/e, ei; as+∞ : y = 0. p 7.73. D(f ) = R ; K ′ : x0 := 0, x±n := ± 10 exp (|n |π) − 1 pro každé n ∈ N . . . . . . . (x1 = 1.363, x2 = 1.874, x3 = 2.566, x4 = 3.514, x5 = 4.810, x6 = 6.586, x7 = . . . . . 9.107, x8 = 12.345, x9 = 16.902, x10 = 23.141, x20 = 535.492, x30 = 12391.6, ′ f± (1/e)

107

. . x40 = 286751, x50 = 6.6356 · 106 , . . . , xn → +∞ pro n → ∞, f (xn ) = (−1)n ); ր : hx2n−1 , x2n i; ց : hx2n , x2n+1 i; min = −1, max = 1. √ . . 7.74. D(f ) = (0, 1/ai∪ha, +∞), kde a := 3 e = 1.3956, 1/a = 0.7165; f (0+) = 1 1 ′ ′ 2 π, f (1/a) = π = max, f (a) = 0 = min, f (+∞−) = 2 π; f (0+) = f− (1/a) = 1 ′ f+ (a) = +∞; ր : (0, 1/ai, ha, +∞); as+∞ : y = 2 π.

7.75.∗ D(f ) = R ; sudá; |x | ≥ 1 ⇒ f (x) = 21 π = max; 0 < |x | < 1 ⇒ f ′ (x) = √ ′ ′ ′ ′ ′ (−1) = f+ (1) = 0, f+ (−1) = −∞, f− (1) = +∞, f± (0) = ±2 2 sgn x/ 1 − x2 ; f− 1 (hr.); ր : h0, 1i; ց : h−1, 0i; ⌣ : h−1, 1i; as±∞ : y = 2 π; min = f (0) = − 21 π. 13 )

′ ′ 7.76.∗ D(f ) = h−2, 2i; K ′ : 0 (f (0) = π = max), f+ (−2) = +∞, f− (2) = −1; ′′ 2 −3/2 ր√: h−2, 0i; ց : h0, 2i; ⌢ : h−2, 2i (Návod : f (x) = g(x)(4√− x ) , kde g(x) := x 4 − x2 − 4 arccos 12 x roste v h−2, 2i, protože g ′ (x) = 2 4 − x2 > 0 v (−2, 2); protože g(2) = 0, je g < 0 a f ′′ < 0 v (−2, 2).); min = f (−2) = −2.

7.77.∗ D(f ) = R − {±1}; f (±1−) = π, f (±1+) = 0, f (±∞∓) = 12 π; f ′ je sudá, f (−1±) = f ′ (1±) = 2; ր : (−∞, −1), (−1, 1), (1, √ +∞); ⌣ : .(−∞, −1), (−1, −ai, h0, ai; ⌢ : h−a, 0i, ha, 1), (1, +∞), kde a := ( 3 − 1)1/2 = 0.8556; ∼ : ±a, 0; as±∞ : y = 12 π; inf = 0, sup = π. 14 ) ′

′ 7.78. D(f ) = R−{±1}; sudá; f (−1±) = f (1±) = π, f (±∞∓) = 0; f± (0) = ±2 (hr.), f ′ (±1−) = 4, f ′ (±1+) = −4; ր : (−∞, −1), h0, 1); ց : (−1, 0i, (1, +∞); as±∞ : y = 0; min = 0, sup = π. ′ 7.79.∗ D(f ) = R ; sudá; f± (0) = ±2 (hr., f (0) = 0); ր : h0, +∞); ց : (−∞, 0i; ⌢ : (−∞, 0i, h0, +∞)); as±∞ : y = π; min = 0, sup = π. (f (x) = 2| arctg x |.)

7.80. D(f ) = R ; K ′ : −1, 0, 1 (f (−1) = 32 π − 1, f (0) = 21 π − 1, f (1) = 31 π − 1); ր : (−∞, −1i, h1, +∞); ց : h−1, 1i; as±∞ : y = 21 π −1; min = f (1), max = f (−1).

7.81. D(f ) = (−1, 1); f (−1+) = +∞, f (0) = 12 π, f (1−) = 1; |x | < 1 ⇒ √ f (x) = ϕ(x)(1 − x2 )−3/2 , kde ϕ(x) := x arccos x − 1 − x2 v h−1, 1i, ϕ′ (x) = arccos x > 0 v (−1, 1), ϕ(1) = 0, takže ϕ(x) < 0 a f ′ (x) < 0 v (−1, 1); např. substitucí x = cos y zjistíme, že f ′ (1−) = − 13 ; ց : (−1, 1); inf = 0, sup = +∞. ′

7.82. D(f ) = R ; π - per., lichá; lineární se směrnicí +2 resp. −2 v každém intervalu ha2k−1 , a2k i resp. ha2k , a2k+1 i, kde ak := 14 (2k + 1)π, k ∈ Z; všechny body ak jsou hroty grafu ; f (a2k−1 ) = − 21 π = min, f (a2k ) = 21 π = max .

7.83.∗ D(f ) = R ; π - per., sudá; K ′ : kπ, k ∈ Z; f (kπ) = 12 π = max; body √ ′ (bk ) = ± 2, f (bk ) = 0 = min; ր : hbk−1 , kπi; bk := 21 (2k + 1)π jsou hroty, f± ց : hkπ, bk i; ⌢ : hbk , bk+1 i. 14 ) Sr. s podobným Př. 7. 5 . Někteří studenti derivují bohužel formálně, tj. bez ověření příslušných předpokladů , a z toho, kde takto získaný výsledek má smysl, teprve dodatečně usuzují, kde platí. (Nejznámějším příkladem této zvrácené logiky je rovnost (lg (lg (sin x)))′ = cotg x/ lg (sin x), kterou lze získat i na počítači a jejíž pravá strana má smysl ve sjednocení intervalů (2kπ, (2k+1)π), k ∈ Z, levá strana nikde.) Podle této pseudometody by zde bylo f ′ (x) = (x2 + 1)/(x4 − x2 + 1) všude v R, tedy i v bodech ±1, kde f nejen není definována, ale kde ji ani nelze spojitě dodefinovat. √ Hloubavému čtenáři doporučujeme zamyslit se nad vztahem f (x) k funkci g(x) := arctg (2x + 3 ) √ 2 4 2 + arctg (2x − 3 ), jejíž derivace je rovna (x + 1)/(x − x + 1) opravdu v celém R.

108

7.84. D(f ) = R ; π - per., sudá; K ′ : ck := 12 kπ, k ∈ Z (f (c2k ) = 12 π = max, f (c2k+1 ) = 0 = min); na rozdíl od Př.7.83 nemá graf hroty, v bodech kπ však nelze užít větu o diferencování superpozice; ր : hc2k−1 , c2k i; ց : hc2k , c2k+1 i. (Je f (x) = 2(x − c2k+1 )2 + o ((x − c2k+1 )2 ) pro x → c2k+1 .)

7.85. Jako v Př.7.84 , ale graf f se nyní v bodech c2k+1 „více přimykáÿ k ose x. (Je f (x) = 4(x − c2k+1 )4 + o ((x − c2k+1 )4 ) pro x → c2k+1 .)

7.86. D(f ) = R ; sudá; f (±∞∓) = 12 π; K ′ : 0 (f (0) = − 41 π), f ′ (±1) = ±∞; ր : h0, +∞); ց : (−∞, 0i; as±∞ : y = 21 π ; min = − 41 π, sup = 21 π.

7.87. D(f ) = R ; lichá; f (±∞∓) = 0; K ′ : ±1 (f (±1) = ±1); ր : h−1, 1i; ց : (−∞, −1i, h1, +∞); as±∞ : y = 0; min = −1, max = 1. √ √ √ √ ′ ′ (0) = ± 2 (hr., f (0) = 0), f+ (− 2 ) = 7.88.∗ D(f ) = h− 2, 2 i; sudá; f± √ √ √ √ √ ′ ( 2) = +∞; ր : h0, 2 i; ց : h− 2, 0i; ⌣ : h− 2, 2 i; min = 0, −∞, f− √ max = f (± 2) = π. 13 ) √ . 7.89.∗ D(f ) = h−a, ai, kde a := 4 2 = 1.1892; sudá; K ′ : 0, větu o diferencování ′ superpozice nelze v bodě 0 užít, na rozdíl od Př.7.88 tam graf nemá hrot; f+ (−a) = ′ −∞, f− (a) = +∞; ր : h0, ai; ց : h−a, 0i; ⌣ : h−a, ai; min = 0, max = π. √ √ ′ 7.90. D(f ) = h− 2, 2 i; sudá; K ′ : ±1 (f (±1) = 12 π = max); f± (0) = ±2 √ √ √ ′ ′ (hr., f (0) = 0 = min); f+ (− 2) = +∞, f− ( 2) = −∞ (f (± 2 ) = 0 = min); √ √ ր : h− 2 , −1i, h0, 1i; ց : h−1, 0i, h1, 2 i.

7.91.∗ D(f ) = h0, 2i; graf f je symetrický vzhledem k přímce x = 1, f (0) = ′ ′ (0) = +∞, f− (2) = −∞; ր : h0, 1i; f (2) = 0 = min; K ′ : 1 (f (1) = 12 π = max); f+ 1 2 2 ց : h1, 2i; ⌢ : h0, 2i. (Je f (x) = 2 π − (x − 1) + o ((x − 1) ) pro x → 1.) 7.92.∗ Jako v Př.7.91 , graf f se však nyní „více přimykáÿ k tečně v bodě 1. (Je f (x) = 12 π − (x − 1)4 + o ((x − 1)4 ) pro x → 1.) 7.93.∗ D(f ) = R ; f není spojitá v bodě 0, f (0−) = 21 π, f (0+) = − 21 π, f ′ (0) = −∞, ale f ′ (0±) = 1; f (±∞∓) = 14 π; ր : R− , R+ ; ⌣ : R− , (0, 21 i; ⌢ : h 21 , +∞); ∼ : 12 ; as±∞ : y = 14 π; inf = − 21 π, sup = 21 π.

7.94.∗ D(f ) = R (f (0) = 0); sudá; = 1; K ′ : 0; ր : h0, +∞); p f (±∞∓) . ց : (−∞, 0i; ⌣ : h−α, αi, kde α := 2/3 = 0.8165; ⌢ : (−∞, −αi, hα, +∞); ∼ : ±α; as±∞ : y = 1; min = 0, sup = 1. (Poznámka. Je f (k) (0) = f (k) (0±) = 0 pro všechna k ≥ 0, takže se graf f přimyká k ose x lépe než graf kterékoli mocniny xk ; všechny Taylorovy polynomy funkce f o středu 0 jsou (identicky) nulové.) 7.95. D(f ) = R (f (0) = 0); f (k) (0) jako v Př.7.94 , nyní však K ′ : 0, 2 (f (2) = . −4e−1/4 = −3.1152); ր : (−∞, 0i, h2, +∞); ց : h0, 2i; as±∞ : y = x−6; inf = −∞, sup = +∞. 7.96.∗ D(f ) = R (f (0) = 0); sudá; f (±∞∓) = +∞; K ′ : 0, ±α, kde α := . . e = 0.6065 (f (±α) = −1/2e = −0.1839); ր : h−α, 0i, hα, +∞); ց : (−∞, −αi, . h0, αi; ⌣ : (−∞, −β i, hβ, +∞), kde β := e−3/2 = 0.2231; ⌢ : h−β, β i; ∼ : ±β; min = −1/2e, sup = +∞. −1/2

109

. 7.97.∗ D(f ) = R (f (0) = 0); sudá; f (±∞∓) = +∞ ; K ′ : 0, ±γ, kde√γ := e3/2 = . 4.4817; ր : h−γ, 0i, hγ, +∞); ց : (−∞, −γ i, h0, γ i; K ′′ : ±δ, kde δ := e = 1.6487; . ⌣ : (−∞, −δi, hδ, +∞); ⌢ : hδ, δi; ∼ : ±δ; min = f (±γ) = −e3 = −20.0855, sup = +∞. (Poznámka. f ′′ (0) = −∞.)

7.98. D(f ) = R (f (0) = 1); sudá; f (±∞∓) = 0; x 6= 0 ⇒ f ′ (x) = g(x)/x2 , kde g(x) := x/(x2 + 1) − arctg x = (x − x3 + o (x3 )) − (x − 31 x3 + o (x3 )) = − 23 x3 + o (x3 ) pro x → 0, takže f ′ (x) = − 32 x + o (x) a f ′ (0) = f ′ (0±) = 0; protože g(0) = 0 a g ′ (x) < 0 pro všechna x 6= 0, je g > 0 v R− , g < 0 v R+ , tedy i f ′ > 0 v R− , f ′ < 0 v R+ ; ր : (−∞, 0i; ց : h0, +∞); inf = 0, max = 1.

7.99. D(f ) = R (f (0) = 1); sudá; f (±∞∓) = 0; x 6= 0 ⇒ f ′ (x) = ϕ(x)/x2 → 0 pro x → 0, protože ϕ(x) := (x cos x − sin x) = o(x2 ); odtud: f ′ (0) = f ′ (0±) = 0; protože ϕ v (− 21 π, 12 π) klesá, nemá tam f ′ žádný další kořen. Kořenem f ′ není ani žádný lichý násobek čísla 21 π. Položíme-li Ik := ( 12 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)π) pro každé k ∈ N a ψ(x) := x − tg x pro každé x 6≡ 12 π mod π, je f ′ (x) = 0 ⇔ ψ(x) = 0. Protože ψ je spojitá a klesá v každém Ik , přičemž ψ( 12 (2k − 1)π+) = +∞, ψ( 12 (2k + 1)π−) = −∞, má ψ v každém Ik právě jeden kořen – označme jej xk ; totéž platí o f ′ . Protože ψ(kπ) = kπ > 0, je xk ∈ (kπ, 21 (2k + 1)π). Přibližné hodnoty čísel xk lze získat numerickým řešením (transcendentní) rovnice x = tg(x); dostaneme : . x1 = . x2 = . x3 = . x4 = . x5 = . x6 = . x7 = . x8 = . x9 = . x10 =

3 2 π − 0.21898 5 2 π − 0.12873 7 2 π − 0.09145 9 2 π − 0.07097 11 2 π − 0.05800 13 2 π − 0.04905 15 2 π − 0.04249 17 2 π − 0.03748 19 2 π − 0.03353 21 2 π − 0.03033

. = 4.49341 , . = 7.72525 , . = 10.90412 , . = 14.06619 , . = 17.22076 , . = 20.37130 , . = 23.51945 , . = 26.66605 , . = 29.81160 , . = 32.95639 ,

. f (x1 ) = −0.21723 . f (x2 ) = 0.12837 . f (x3 ) = −0.09133 . f (x4 ) = 0.07091 . f (x5 ) = −0.05797 . f (x6 ) = 0.04903 . f (x7 ) = −0.04248 . f (x8 ) = 0.03747 . f (x9 ) = −0.03353 . f (x10 ) = 0.03033

Protože f je sudá, jsou x−k := −xk právě všechny záporné kořeny f ′ . Položíme-li ještě x0 := 0, je ր : hx2k−1 , x2k i; ց : hx2k , x2k+1 i pro každé k ∈ Z; min = f (x±1 ), max = f (0) = 1. 7.100. D(f ) = (−∞, −1) ∪ R+ ; f (±∞∓) = e, f (−1−) = +∞, f (0+) = 1; je f ′ (x) = f (x)g(x), kde g(x) := lg (1 + 1/x) − 1/(x + 1) → 0 pro x → ±∞, g ′ > 0 v (−∞, −1), g ′ < 0 v R+ , takže g > 0 a f ′ > 0 všude v D(f ); ր : (−∞, −1), R+ ; as±∞ : y = e. (Poznámka. f ′ (0+) = +∞ a ovšem též f ′ (−1−) = +∞.)

110

7.01

7.02

15

40 20

-5

-3

-1

-20

-15

7.03

7.04

10

2

6

-1

5

-1

-3

-2

3

1

3

1

1

2

1

1

2

-2

-3

-1

3

2

0

7.06

7.05

10

1

5 -2

-3

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -10

7.07

7.08

4

1.7

2

1 0.3

-2

-1

0

1

2

-7

111

-5

-3

-1

1

3

5

7

7.09

7.10

2

6

1 -3

-2

4

-1 1

2

3

2

-1 -2

1

0

7.11

2

3

7.12

9

6 3

6 -6

-4

-2 2

0

3

4

-3 -1

-3

1

3

-6

5

7.14

7.13 6

6

4

3 0

2 -1

-3

-4 1

2

4

-2 -3

3

7.16 7.15

6

6 3 4 -3

2

-1

1 -3

-6

-3

0

3

6 -6

112

3

7.17

7.18

1

7 5

-2

-1

1

0

3

2

1 -1

-4

-2

2

0

7.19

7.20

3

1

1 -4

-2

-1

2

0

4

-3

-2

-1

0

-3

3

7.22

1 -2

2

-1

7.21

-4

1

2 2

0

4

1

-1 -4

-2

-2

2

0

7.23

4

7.24

2

3

1 -2

-1 0

1

-6

2

-4

-2

0

-1 -3

-2

113

2

4

6

7.25

7.26 3

2

1 -4

-2

2

0

4

-4

-2 -1

-2

2

4

4

-3

7.27 0

2

0

7.28 6

4

8

-4

-1

0

-2

2

4

6

-2 -4

-3

7.29

7.30

6

3

4 1 2 -4 -4

-2

2

-2

2

4

4 -3

-3

7.31

7.32

10

5

5 3 -10

-5

5

10

15

20 1

-5 -4

114

-2

0

2

4

7.34

7.33 1 -2

-1

3 1

0

2

2

1

-1 -3 -2

-2

-1 0

-3

7.35

-2

3

8 4

3

-4

2

7.36

6

-6

1

-1

2

0

4

-8

6

-4

0

7.37

7.38

1

4

4

8

2

4

2

4

2 -5

-3

-4

-1 1

3

-2

5 -2

-1

-4

7.39

7.40 e

1

-4

-2

2

-4

4

-1

-2 -e

115

7.41

7.42

3 1

0

1

π/2

π

3π/2

2π

-1 -4

-2

0

2

4

7.44

7.43 1

1

0

π/2

π

3π/2

2π

0

π/2

π

3π/2

2π

3π/2

2π

-1

-1

7.45

7.46

3 2

2

1

1

0

π/2

π

3π/2

2π

0

π/2

7.47

π

7.48 1

3 2

π 0

1 0

π/2

π

3π/2

2π

-1

116

π/2

3π/2 2π

7.49 3

7.50 1.44

2

1 2

0 1

0

4

6

2

7.51 7.52

3 5

2 3

1

1 2

0 -1

1

0

4

6

2

7.54 2

7.53 1

0.48

1 -1 0

0.5

-2

1

-3

117

3

5

7.55 7.56 1

0 a=1/2

0.5 1

0

1

2

a=5/2

-1

2

1.5

a=3/2 -2

a=1/2 -1

7.58 0 1/e

7.57

1

3

2

3.525

2

5

-1 1 -2 -2

-1

1

0

2

3 -3

7.60

7.59 3

3 2

lg 10

1 1 -2

-1

0

1

2

3

-3

118

-1

1

3

7.62

7.61 π/2

π/2

1

2

4

3

π/4

5

−π/2

-1

1

0

7.64

7.63

π/2

π

π/4 π/2

-1

1

0 −π/4

-4

-2

2

0

4

−π/2

7.65

7.66 1

1 -1

1

0

2

3

-1

1

0

-1 -1

-2

7.67

7.68

5π/2

π/2

3π/2

π/4 π/2 0

1

2

3

4

-8

119

-4

0

4

7.69

7.70

π

3 2

π/2

1

0

1

2

4

3

π

π/2

0

5

7.71

-1

-3

π/2

1

3

1/e 1 0

5

e

2e

−π/2

−π

7.74

7.73

π

1

-x 5

2π

7.72

π

-5

3π/2

π/2

x5

0 -1

1

0

7.75

2

4

3

5

7.76

π/2

π π/2

-2

-1

0

1

-2

2

-1

0 -1

−π/2

-2

120

1

2

7.77

7.78

π

π

π/2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

7.79

-1

1

0

2

3

2

3

7.80 2π/3−1

π

π/2−1

-3

-2

-1

1

0

2

3

-3

-2

7.81

π/3−1 -1 0

1

7.82 π/2

5 4

π

3 −π

2

0

1 -1

-0.5

0

0.5

−π/2

1

7.83

7.84

π/2

−π

−π/2

π/2

π/2

π

−π

121

−π/2

π/2

π

7.85

7.86

π/2

π/2

-2

-3 −π

−π/2

-1

0

π

-2 2

0

4

6

-1

0

-1.4

7.89

-1.18

0

1.4

7.90 π/2

π

1.18

0

-1.4

7.91

1.4

7.92

π/2

0

3

7.88

1

-4

2

π

π/2

7.87

-6

1

π/2

1

2

0

122

1

2

7.93

7.94

π/2

-3

-2

-1

1

1

0

2

3

−π/2

-6

-3

7.95 -3

0

0

3

6

7.96

3

3

6

2 -4

1

-8

-2

0

-1

7.97

1

2

5

10

7.98

30 1 15

-9

-4.48

4.48

9 -10

-15

-5

7.99

0

7.100 7

1

5 −8π −6π −4π −2π

e

2π 4π 6π 8π

1 - 0.22

-6

123

-4

-2

0

2

4

8. Slovní úlohy na extrémy V této kapitole naznačíme, jak řešit některé „praktickéÿ (většinou geometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve matematicky modelovat , tedy převést do „matematické řečiÿ. Teprve pak lze problém řešit buď metodami vyloženými v kapitole 7, nebo metodami zcela elementárními, které nejsou založeny na poznatcích diferenciálním počtu. Jako vždy bychom měli dát přednost jednoduššímu řešení. Připomeňme dvě jednoduchá, ale velmi užitečná tvrzení diferenciálního počtu : Věta 8.1. Nechť funkce f definovaná v intervalu I s krajními body a < b má v bodě c ∈ (a, b) extrém 1 ). Pak je buď f ′ (c) = 0, nebo tato derivace neexistuje. Věta 8.2. Nechť funkce f spojitá v intervalu (a, b) splňuje tyto podmínky : 1. f (a+) = f (b−); 2. existuje bod c ∈ (a, b) tak, že f ′ 6= 0 všude v (a, c) ∪ (c, b). 2 ) Pak nastane právě jedna z těchto situací: A. f (c) > f (a+), f roste v (a, ci, klesá v hc, b), a v bodě c má maximum; B. f (c) < f (a+), f klesá v (a, ci, roste v hc, b), a v bodě c má minimum. Příklad 8.1. Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c ∈ R+ obdélník s maximálním obsahem 3 ), najděte délky jeho stran. 4 ) Ř e š e n í : Jsou-li x, y délky stran obdélníka, je jeho obvod 2(x + y); protože toto číslo má být rovno 4c, musí být y = 2c − x. Máme tedy rozřešit problém, zdali má funkce f (x) := x (2c − x) maximum; z povahy problému ovšem plyne, že nejde o maximum v celém R, ale v intervalu I := (0, 2c) – jinde totiž není buď x, nebo y kladné číslo. V.7.3 nelze užít, protože I není kompaktní interval; hodí se však V.8.2 : Protože f (0+) = f (2c−) = 0, protože f ′ (x) = 2(c − x) 6= 0 pro všechna x ∈ I různá od c a protože f (c) = c2 > 0, je tato hodnota maximální hodnotou funkce f v I. Problém má tedy právě jedno řešení: Obdélník s daným obvodem 4c a s maximálním obsahem je čtverec o straně c. Dodejme, že obdélník s daným obvodem a minimálním obsahem zřejmě neexistuje. Příklad 8.2. Z 1 m3 betonu máme – pokud je to možné – odlít co nejvyšší těleso buď ve tvaru krychle, nebo koule, nebo koule postavené na krychli.

1)

tj. maximum nebo minimum Všimněme si, že se nepředpokládá konečnost žádného z čísel a, b, f (a+), f (b−). Je-li však a ∈ R (resp. b ∈ R) a je-li f spojitá v bodě a zprava (resp. v bodě b zleva), lze limitu f (a+) (resp. f (b−)) nahradit hodnotou f (a) (resp. f (b)). Existence derivace f ′ (c) se nepředpokládá. 3 ) Bylo by hrubou logickou chybou ignorovat v podobných případech problém existence. 4 ) Mezi obdélníky počítáme ovšem i čtverce, jinak by úloha neměla řešení. 2)

124

Ř e š e n í : Předpokládejme, že se těleso skládá z krychle o délce hrany x a z koule o poloměru r. Připustíme-li x = 0 a r = 0, budou zahrnuty i případy, že jedno z těchto těles chybí, a je zřejmé, že se pak máme zabývat čísly x ∈ h0, 1i. Krychle o hraně x má objem x3 , takže pro kouli zbývá objem 1 − x3 = 34 πr3 . Odtud plyne, že poloměr r a celková výška f (x) tělesa jsou dány rovnostmi r r p 3 3 3 6 3 3 r= 1 − x3 . (1 − x ) resp. f (x) = x + 2r = x + 4π π Derivace

′

f (x) = 1 +

r 3

−x2 6 p 3 π (1 − x3 )2

p p √ sepv (0, 1) anuluje, právě když 3 (1 − x3 )2 = x2 3 6/π, tj. právě když 3 1 − x3 = x 6 6/π. Jak snadno zjistíme, je číslo s √ π . x0 := 3 √ √ = 0.7488 6+ π jediným řešením této rovnice ; průměr příslušné koule je roven √ 6 . 2r0 := q √ = 1.0348, √ 3 π( 6 + π)

. což vede k úhrnné výšce x0 + 2r0 = 1.7836 m tělesa.

1.8

1.6

1.4

1.2 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Obrázek k příkladu 8.2 p . Protože je toto číslo větší než f (0) = 3 6/π = 1.24 a také než f (1) = 1, je řešením našeho problému : Na krychli o hraně x0 je třeba postavit kouli o poloměru r0 . Zároveň je patrné, že kdyby nám šlo o útvar s minimální výškou, odlili bychom krychli o výšce 1. 125

Příklad 8.3. Dokažme, že na každé přímce v trojrozměrném eukleidovském prostoru R3 leží právě jeden bod nejbližší počátku (0, 0, 0). Ř e š e n í : Předpokládejme, že přímka L je určena bodem (A, B, C) a (nenulovým) vektorem (u, v, w); to znamená, že přímku L tvoří právě všechny body tvaru X(t) = (A + tu, B + tv, C + tw), kde t ∈ R. Máme rozřešit problém existence právě jednoho t, pro něž je vzdálenost bodů X(t) a (0, 0, 0) minimální. Protože vzdálenosti jsou nezáporná čísla, je to totéž jako rozřešit analogický problém pro čtverec této vzdálenosti, tj. pro funkci f (t) := (A + tu)2 + (B + tv)2 + (C + tw)2 . Nabývá-li f v některém bodě t0

R svého minima, je podle V.8.1
f ′ (t0 ) = 2 u (A + t0 u) + v (B + t0 v) + w (C + t0 w) = 0. ∈

Tato podmínka je splněna, právě když je t0 = −

Au + Bv + Cw . u2 + v 2 + w 2

Aplikujme nyní V.8.2 : Obě limity f (±∞∓) jsou rovny +∞ a t 6= t0 ⇒ f ′ (t) 6= 0; v důsledku toho má funkce f v bodě t0 opravdu minimum. Mezi všemi body X(t) má tedy jedině bod X(t0 ) = (A, B, C) −

Au + Bv + Cw (u, v, w) u2 + v 2 + w 2

nejmenší vzdálenost od počátku ; snadno ověříme, že její čtverec je roven (A + t0 u)2 + (B + t0 v)2 + (C + t0 w)2 = (A2 + B 2 + C 2 ) −

(Au + Bv + Cw)2 . u2 + v 2 + w 2

Poznamenejme ještě, že skalární součin vektorů X(t0 ) a (u, v, w) je roven 0. Je-li (0, 0, 0) ∈ L, je celý náš problém triviální; je-li (0, 0, 0) 6∈ L, je přímka procházející počátkem a bodem X(t0 ) kolmá k L (což je dobře známo z elementární geometrie). Příklad 8.4. Rozsáhlý les je z jihu ohraničen přímou cestou vedoucí od západu k východu. Z výchozího místa na této cestě se máme dostat na místo, které je od nás vzdáleno 5 km východně a 2 km severně. Jistou dobu půjdeme po cestě rychlostí 5 km za hodinu, pak (šikmo) lesem rychlostí 3 km za hodinu. Jak dlouho máme jít po cestě, abychom se do cíle dostali co nejdříve ? Kolik při tom ujdeme kilometrů a jak dlouho nám cesta bude trvat? Ř e š e n í : K tomu, abychom po cestě ušli x (∈ h0, 5i) km, potřebujeme 51 x p √ hodin; další cesta lesem bude pak měřit y := 22 + (5 − x)2 = x2 − 10x + 29 km a ujdeme ji za 31 y hodin. Celkem tedy bude cesta trvat f (x) := 15 x +

1 3

p

126

x2 − 10x + 29

hodin. Jak snadno zjistíme, je jediným kořenem derivace f ′ (x) =

1 5

x−5 + 13 √ 2 x − 10x + 29

√ . 23 číslo 27 . Protože f ( 72 ) = 15 = 1.5333 . . . , zatímco f (0) = 13 29 = 1.795, f (5) = 53 = 1.666 . . . , je zřejmé, že f nabývá v bodě 27 svého minima. Hodnota tohoto minima 23 hodin, neboli 1 hodina a 32 minut. Po cestě půjdeme 3.5 km (a 42 minut), je 15 lesem 2.5 km (a 50 minut); celkem tedy ujdeme 6 km. Příklad 8.5. Dokažme, že mezi obdélníky, jejichž strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a které jsou vepsány do elipsy  x 2 a

+

 y 2 b

= 1,

kde a ∈ R+ , b ∈ R+ , existuje právě jeden s maximálním obsahem. b

-a

0

a

-b

Obrázek k příkladu 8.5 Ř e š e n í : Elipsa je geometrickým obrazem křivky 5 ) ϕ(t) := (a cos t, b sin t), kde t ∈ h−π, πi, a vrcholy vepsaného obdélníka jsou body ϕ(±α), ϕ(±(π − α)), kde α ∈ (0, 21 π) je úhel, který svírá průvodič pravého horního vrcholu s kladným směrem osy x. Obsah f (t) := 2a cos α · 2b sin α = 2ab sin 2α takového obdélníka je zřejmě (sr. s V.8.2 ) maximální při α = 41 π a rovná se 2ab. Obdobný obdélník s minimálním obsahem samozřejmě neexistuje. 5 ) Křivkou se zde rozumí (jakékoli) spojité zobrazení ω (jakéhokoli) kompaktního intervalu I ⊂ R do roviny R2 . Její geometrický obraz je množina ω(I).

127

Cvičení Řešte následující slovní úlohy ; u některých z nich vystačíte s elementárními metodami, nevyžadujícími znalost diferenciálního počtu. 8.01. Z obdélníkového plechu o velikosti 80 cm × 50 cm se má po odstřižení stejně velkých čtverců v rozích plechu vyrobit krabice bez víka. Jak velké čtverce je třeba odstřihnout, aby vzniklá krabice měla maximální objem, a jak velký bude tento objem?

50 cm

80 cm

Obrázek ke cvičení 8.01 8.02. Úkolem je vyrobit plechové konzervy ve tvaru válce s objemem V (∈ R+ ) tak, aby byly co nejlehčí. Najděte příslušný poměr výšky h válce a poloměru r jeho podstavy, a to nejdříve pro obecný objem V , pak pro V = 1000 cm3 . 8.03. Válcové nádoby s objemem 20 litrů se budou vyrábět z dvojího plechu : na obě podstavy válce se užije materiál dvakrát dražší než na jeho plášť. Jak se má zvolit poměr výšky h válce a poloměru r jeho podstav, aby cena celé nádoby byla co nejmenší? Stojí-li 1 m2 materiálu užitého na plášť 360 Kč, kolik bude stát materiál na celou nádobu ? C voda A

D

B

Obrázek ke cvičení 8.04 8.04. Přímý vodní kanál je 150 m široký. Místa A a B ležící na jednom z břehů mají vzdálenost 1 km, místo C je na druhém břehu přesně naproti místu B. Z A se má do C vést potrubí, jehož první (přímý) úsek povede z A do jistého místa D na spojnici AB a jehož druhý (také přímý) úsek spojí D s C. Položení 1 m potrubí na břehu stojí 800 Kč, přes kanál je cena dvojnásobná. Jak daleko má být D od A,

128

aby cena celého potrubí byla co nejmenší? Jaká bude jeho délka zaokrouhlená na decimetry a cena zaokrouhlená na celé koruny ? Jaký úhel budou svírat úsečky DB a DC ? 8.05. Hodláme koupit obdélníkovou parcelu o rozloze 200 m2 , jejíž jedna strana bude ohraničena již hotovou zdí, zatímco ze zbývajících tří stran bude nutné parcelu oplotit. Dokažte, že obdélník lze zvolit tak, aby plot měl minimální délku, a najděte délky příslušných stran.

plot

2

plot

200 m

plot

Obrázek ke cvičení 8.05 8.06. Dokažte, že do trojúhelníka, jehož nejdelší stranou je strana c, lze vepsat obdélník se základnou obsaženou v c a s maximálním obsahem; najděte vztah mezi obsahem trojúhelníka a vepsaného obdélníka.

vc

b

a

c

Obrázek ke cvičení 8.06 8.07. Existuje mezi trojúhelníky vepsanými do kruhu o daném poloměru r ∈ R+ , jejichž jednou stranou je průměr kruhu, trojúhelník s maximálním obsahem resp. obvodem? Pokud ano, jaký bude tento obsah resp. obvod ?

2r

Obrázek ke cvičení 8.07 129

8.08. Dokažte, že mezi všemi (pravoúhlými) trojúhelníky T s vrcholem v počátku, jejichž odvěsny jsou částí souřadnicových os a jejichž přepona je částí tečny oblouku paraboly y = x2 − 4x + 3, 0 ≤ x ≤ 1, existuje právě jeden trojúhelník s minimálním resp. maximálním obsahem. Zjistěte, ve kterých bodech se příslušné tečny dotýkají paraboly a najděte oba extrémní obsahy. 3

2

parabola

hyperbola

2 1 1

T

0

T

0.5

1

0

1

2

Obrázky ke cvičením 8.08 a 8.09 8.09. Mezi všemi (pravoúhlými) trojúhelníky T , které jsou ohraničeny osami souřadnicovými a tečnou oblouku hyperboly y = 2/x − 1, 1 ≤ x ≤ 2, najděte trojúhelníky s extrémními obsahy a příslušné obsahy vypočtěte. 8.10. Mezi obdélníky, jejichž dva vrcholy leží na ose x a další dva na parabole y = 8 − 2x2 , najděte obdélník s maximálním obsahem. Určete tento obsah. 8 B

(2,4)

A -2

0

2

Obrázky ke cvičením 8.10 a 8.11 8.11. Najděte kladná čísla a, b tak, aby body A := (a, 0), B := (0, b), C := (2, 4) ležely na jedné přímce a aby vzdálenost bodů A a B byla minimální. Vypočtěte tuto vzdálenost. 8.12. Obdélníková parcela o rozměrech 5a × b se má oplotit a pak ještě ploty kolmými na první stranu rozdělit na 5 (shodných) parcel o rozměrech a×b. Dokažte, že při dané celkové délce c plotů lze a a b zvolit tak, že rozloha P = 5ab parcely 130

y x Obrázek ke cvičení 8.12 je maximální. Čísla a, b a příslušné P najděte nejdříve pro obecné c ∈ R+ , pak pro c = 600 m. 8.13. Drát délky D se rozdělí na dvě části o délkách D1 , D2 ; první část se ohne tak, aby vytvořila kružnici, druhá tak, aby vytvořila obvod čtverce. Lze to provést tak, aby součet S obsahů vzniklého kruhu a čtverce byl minimální (maximální)? Pokud ano, jakému poměru D1 : D2 to bude odpovídat obecně a čemu se budou čísla D1 , D2 , S rovnat pro D = 2 m? 8.14. Je některý bod paraboly, která leží v souřadnicové rovině xy trojrozměrného prostoru R3 a je popsána rovnicemi y = x2 , z = 0, nejblíže bodu A = (1, 2, 2) ∈ R3 ? Pokud ano, jak velká je příslušná vzdálenost? 8.15. Body A, B se pohybují v rovině R2 tak, že v čase t ∈ R mají polohy a + tu, b + tv, kde a = (6, 4), u = (2, 4), b = (5, 2), v = (−2, 1). Dokažte, že existuje právě jedno t ∈ R, pro něž je vzdálenost bodů A, B minimální; najděte je a vypočtěte příslušnou vzdálenost. 8.16. Vyřešte obdobný problém v prostoru R3 za předpokladu, že a = (1, −1, −3), u = (−1, 1, 2), b = (−2, 3, 2), v = (2, −2, −1). 8.17. Dokažte, že pro každý bod (a, b), kde a2 > b, existují právě dvě tečny paraboly y = x2 , od nichž má tento bod minimální vzdálenost; najděte jejich rovnice a příslušnou vzdálenost, a to nejdříve obecně, pak pro (a, b) = (2, 3). 8.18. Existují na parabole y = x2 − 6x + 5 body s minimální vzdáleností od bodu B = (3, 4)? Pokud ano, které to jsou a v jaké vzdálenosti leží? A

C

B

U D

Obrázek ke cvičení 8.20 131

S

8.19. Body A, B se pohybují po elipsách tak, že jejich poloha v čase t ∈ R je (2 + 2 cos 8t, sin 8t) resp. (4 cos 2t, 2 sin 2t). Najděte všechna čísla t ∈ R, pro něž je vzdálenost bodů A, B minimální resp. maximální. 8.20. Na přímé silnici S odstartuje v čase t = 0 z místa A chodec B a cyklista C; oba se budou pohybovat od bodu A týmž směrem, a to rychlostmi 5 km a 15 km za hodinu. Na kolmici k přímce S vedené bodem A stojí ve vzdálenosti 300 m od bodu A pozorovatel D a měří zorný úhel U úsečky BC. Dokažte, že v jistém (jednoznačně určeném) okamžiku t0 > 0 bude úhel U maximální, a popište vlastnosti trojúhelníka BCD v tomto okamžiku.

Řešení 8.01. 10 cm. p √ . . 8.02. h : r = 2; při V = 1000 cm3 je r = 5 3 4/π = 5.42 cm, h = 20/ 3 2π = 10.84 cm. 8.03. h : r = 4 ; materiál na celou nádobu bude stát 185 Kč. √ . 8.04. Vzdálenost AD : (1000 − 50 3 ) m = 913.4 m; délka celého potrubí: 1000 + √ . 50 3 m = 1086.6 m; výlohy : 1 007 846Kč ; úhel: 60 stupňů. 8.05. 6 ) 20 m strana přiléhající ke zdi, 10 m strana k ní kolmá. 8.06. 6 ) Obsah obdélníka je roven polovině obsahu trojúhelníka. 8.07. √ V obou případech je řešením rovnoramenný trojúhelník ; má obsah r2 , obvod 2( 2 + 1)r. √ . 8.08. Jsou to tečny v bodech 1 a a := 31 (4 − 7 ) = 0.45142; příslušné obsahy √ . 4 jsou 1 a 27 (7 7 − 10) = 1.26226. 8.09. Obsah je klesající funkcí proměnné x ∈ h1, 2i, takže řešením jsou tečny v bodech 2 (minimum rovné 1) a 1 (maximum rovné 94 ). √ . √ . 8.10. Základna délky 4/ 3 = 2.3094, výška 16 3 , obsah 64/(3 3) = 12.3168. √ √ . . 8.11. a = 2(1 + 3 4 ) = 5.174802, b = 2(2 + 3 2 ) = 6.519842, vzdálenost q √ √ . 3 3 2 5 + 6 2 + 3 4 = 8.323876. 8.12. 6 ) V obecném případě je řešením dvojice čísel a = c/20, b = c/12, takže P = c2 /48. Hodnotě c = 600 m odpovídá a = 30 m, b = 50 m, P = 7500 m2 . 8.13. Minimum existuje a odpovídá poměru D1 /D2 = π/4; při D = 2 m bude . . proto D1 = 2π/(4 + π) m = 87.98 cm, D2 = 8/(4 + π) m = 112.02 cm a S = . 1/(4 + π) m2 = 1400.25 cm2 . Maximum neexistuje, musí-li se drát skutečně rozstřihnout; kdyby bylo dovoleno udělat z celého drátu buď kružnici, nebo čtverec (což by odpovídalo volbě D2 = 0 resp. D1 = 0 a o poměru bychom nemluvili), bylo by S maximální při D2 = 0. 6)

Problém lze řešit elementárně, bez užití diferenciálního počtu.

132

. Příslušný kruh by pak měl obsah D2 /4π obecně, tedy 1/π m2 = 3183 cm2 při D = 2. Při D1 = 0 by bylo S = D2 /16, tedy S = 2500 cm2 pro D = 2 m, což v žádném případě není extrémní hodnota. √
. 8.14. Nejbližší bod je x0 , x20 , 0 , kde x0 := 21 (1 + 3 ) = 1.366025 (takže x20 = √ . 1 + 21 3 = 1.866025)); příslušná vzdálenost je rovna (f (x0 ))1/2 , kde f (x) := (x − 1)2 + (x2 − 2)2 + 4 = x4 − 3x2 − 2x + 9, takže (f (x0 ))1/2 =

1 2

√
1/2 . 3(9 − 2 3) = 2.037627.

8.15. 6 ) t = − 52 , minimální vzdálenost je 1. √ 8.16. 6 ) t = 43 , minimální vzdálenost je 2 .

8.17. Přímky o rovnicích y = (a + c)(2x − a − c) a y = (a − c)(2x − a + c), kde c := (a2 − b)1/2 , jsou jediné dvě tečny, které procházejí bodem (a, b), a mají tedy od něj vzdálenost 0. Při (a, b) = (2, 3) jsou to přímky y = 6x − 9 a y = 2x − 1. 20

B 4

15 2 10 0

2

4

6

5 -2

A 2

4

-4

Obrázky k řešením cvičení 8.17 a 8.18 8.18. Na parabole leží právě dva body, které mají vzdálenost od √ minimální √ bodu . . B = (3, 4). Jejich první souřadnice jsou 12 (6 − 30 ) = 0.261387 a 12 (6 + 30 ) = √ . 5.738613, jejich druhé souřadnice se rovnají 72 . Hledaná vzdálenost je d := 12 31 = 7 2.783882. ) 8.19. 6 ) Při řešení tohoto příkladu není vhodné hledat stacionární body vzdálenosti d(t) bodů A, B, protože je jich i v intervalu h0, π) značné množství (10) a až na dva nemají s extrémy funkce d(t) nic společného. Trajektorie bodů A, B jsou elipsy mající jediný společný bod a := (4, 0); mezi všemi body druhé elipsy má zřejmě největší vzdálenost od bodu a bod b := (−4, 0). 7 ) Kružnice o středu (3, 4) a poloměru d je do paraboly vepsána ; její střed je průsečíkem normál paraboly v uvedených bodech.

133

Stačí tedy rozřešit rovnice (cos 8t = 1) ∧ (cos 2t = 1) resp. (cos 8t = 1) ∧ (cos 2t = −1). Řešení: Vzdálenost je minimální, rovná 0, právě když t ≡ 0 mod π, a maximální, rovná 8, právě když t ≡ 21 π mod π.

a

b

Obrázek k řešení cvičení 8.19 √ . 8.20. t0 = 3/50 = 0.034641 hodiny, tj. cca 2 minuty a 4.7 sekundy. BCD je rovnoramenný trojúhelník o základně CD délky 600 m a ramenech BC a BD délky √ 200 3 m; úhly u vrcholů B, C, D jsou po řadě rovny 23 π, 61 π, 16 π, takže U = 61 π.

134

9. Primitivní funkce Říkáme, že funkce F : (a, b) → R je primitivní funkcí funkce f : (a, b) → R, je-li F ′ = f všude v (a, b); množinu všech funkcí primitivních k f v (a, b) označíme P F (f ; a, b) 1 ). Přechod od f k F ∈ P F (f ; a, b) se nazývá integrace funkce f ; najdeme-li takovou funkci F resp. napíšeme-li f ve tvaru F ′ , říkáme, že jsme ji integrovali. Přechod k primitivní funkci je tedy operace obrácená k diferencování. Pozor však na terminologii: Platí-li rovnost f (x) = F ′ (x) např. pro všechna x ∈ R− ∪ R+ , je F primitivní funkcí funkce f v R− i v R+ , nikoli však v R− ∪ R+ , protože tato množina není interval. Primitivní funkci jsme definovali jen v (otevřených) intervalech zejména proto, aby platila tato velice důležitá věta: Věta 9.1. Je-li F ∈ P F (f ; a, b), je G tak, že G = F + c všude v (a, b).

∈

P F (f ; a, b), právě když existuje c

∈

R

Kdybychom interval nahradili množinou, která je sjednocením (konečného nebo nekonečného počtu) disjunktních otevřených intervalů, tvrzení by samozřejmě neplatilo, protože konstanta c by v každém z těchto intervalů mohla být jiná. Věta 9.2. (Existenční věta.) Každá spojitá funkce f : (a, b) → R má v (a, b) primitivní funkci. Má-li funkce f v (a, b) jednu primitivní funkci, má jich tam podle V.9.1 nekonečně mnoho, přičemž každé dvě z nich se liší jen o aditivní konstantu. K tomu, abychom získali úplný přehled o všech funkcích primitivních k f v (a, b), stačí tedy najít jednu z nich. Věta 9.3. (Integrace per partes.) Je-li F všude v (a, b) identita (1)

∈

P F (f ; a, b), G

∈

P F (g; a, b), platí

F g = (F G)′ − f G.

Přestože identita (1) je jen jinak napsaným vzorcem (F G)′ = F ′ G + F G′ pro diferencování součinu, je velmi užitečným nástrojem hledání primitivních funkcí. Věta 9.4. (1. substituční metoda – krátce 1SM.) Předpokládejme, že funkce ω : (a, b) → (A, B) je diferencovatelná všude v (a, b) a že funkce f : (a, b) → R má tvar f = (g ◦ ω)ω ′ , kde g : (A, B) → R. Pak platí: Je-li G funkce primitivní ke g v (A, B), je funkce G ◦ ω funkce primitivní k f v (a, b). Věta 9.5. (2. substituční metoda – krátce 2SM.) Nechť f : (a, b) → R a nechť ω : (α, β ) →na (a, b) splňuje všude v (α, β ) podmínku 0 6= ω ′ 6= ±∞. Pak platí: Je-li G funkce primitivní ke g := (f ◦ ω)ω ′ v (α, β ), je F := G ◦ ω−1 funkce primitivní k f v (a, b). 1)

Samozřejmě není vyloučen případ, že tato množina je prázdná.

135

Poznámka 9.1. Abychom při integraci dané funkce volili správně mezi oběma substitučními metodami, všimněme si několika charakteristických rozdílů mezi nimi. 1. Obě metody vyžadují diferencovatelnost substituující funkce ω. Ve 2SM se však předpokládá, že 0 6= ω ′ 6= ±∞ všude v (α, β ), z čehož podle V.7.4 plyne, že funkce ω je ryze monotónní ; nic takového se v 1SM nežádá . 2. Při aplikaci 2SM se žádá rovnost ω ((α, β )) = (a, b), zatímco v 1SM stačí platnost inkluze ω ((a, b)) ⊂ (A, B). 3. Při aplikaci 1SM musí mít integrovaná funkce f (x) tvar g(ω(x))ω ′ (x); často se stává, že f (x) v takovém tvaru sice napsána není, ale vhodná úprava ji na tento tvar převede. P ř í k l a d : Je 1 1 1 = 2 · 2 tg x − 2 tg x + 4 cos2 x sin x − 2 sin x cos x + 4 cos x 2

v každém otevřeném intervalu, který neobsahuje žádný lichý násobek čísla 12 π ; druhý zlomek vpravo je derivací funkce ω(x) := tg x, g(y) := 1/(y 2 − 2y + 4). Při aplikaci 2SM do f (x) dosadíme x = ω(t) a výsledek nezapomeneme vynásobit derivací ω ′ (t) substituující funkce ; substituci volíme tak, aby nová funkce g(t) := f (ω(t))ω ′ (t) byla (z hlediska integrace) jednodušší než původní funkce f (x). Podaří-li se nám nalézt funkci G(t) primitivní ke g(t), vrátíme se k původní proměnné x dosazením t = ω−1 (x); vzniklá funkce F (x) := G(ω−1 (x)) bude pak funkcí primitivní k f (x). Porovnejme ještě jednou jednotlivé kroky obou substitučních metod : 1SM :

2SM :

daná funkce

f (x) = g(ω(x)) ω ′ (x)

f (x)

substituce

ω(x) = y

x = ω(t), ω ′ (t) = . . .

pomocná integrace

g(y) = G′ (y)

g(t) := f (ω(t)) ω ′ (t) = G′ (t)

výsledek

f (x) = (G(ω(x)))′

f (x) = (G(ω−1 (x)))′

Jak je patrné, jsou předpoklady 1SM liberálnější; proto dáváme přednost 1SM před 2SM, kdykoli je to jen možné.  Podobně jako při diferencování je i při praktickém integrování nutná znalost některých základních identit; mnohé z nich jsou jen přepisem vzorců, s nimiž jsme se setkali v kapitole 5. V následujících identitách je α ∈ R, r ∈ R+ , k ∈ Z. (3′ )

xα =

 xα+1 ′

(3 ′′ )

1 = x

(lg |x |)′

α+1

  pro všechna celá α ≥ 0    R R− ∪ R+ pro všechna celá α < −1 ; v   R pro všechna α ∈ R − Z  +

v R+ ∪ R− ;

136

(4) (5) (6) (7)

1 + x2 1 √ r2 − x2 1 √ 2 x + r2 1 √ 2 x − r2 r2

x ′  1 x ′ = − arccotg v R; r r r r  x ′  x ′ = arcsin = − arccos v (−r, r); r r  p
′ x ′ = lg (x + x2 + r2 ) v R ; = argsinh r  p
′ x ′ = − argcosh = lg (x + x2 − r2 ) v (r, +∞); r =

1

arctg

(8)

sin x = (− cos x)′ , cos x = (sin x)′ v R ;

(9)

sinh x = (cosh x)′ , cosh x = (sinh x)′ v R ;

(10) (11)

1 = (tg x)′ v každém intervalu ( 21 (2k − 1)π, 21 (2k + 1)π); cos2 x 1 = (cotg x)′ v každém intervalu (kπ, (k + 1)π). sin2 x


′ Poznámka 9.2. Identita typu xα = xα+1 /(α + 1) platí pro některá racionální čísla α ve větší množině, než je uvedeno v (3′ ): Je-li 0 6= p ∈ Z, je-li q > 1 liché číslo a jsou-li čísla p, q nesoudělná, je totiž   q ′  R pro p > 0 √
1
1 ′  q √ q q p x := xp q = xp+q v . xp+q q = R− ∪ R+ pro p < 0 p+q p+q

Komplikace souvisí s tím, že na rozdíl od mnohých počítačových programů (které definují všechny necelé mocniny rovností xa := exp(a lg x) a nedávají tak úplné výsledky) jsou v analýze (stejně jako v aritmetice) definovány liché odmocniny záporných čísel. Příklad 9.1. Integrací per partes získáme identitu (12)


′ lg x = (x lg x)′ − 1 = x (lg x − 1) v R+ .

(Ve V.8.3 jsme položili F (x) := lg x, g(x) := 1, f (x) = 1/x, G(x) := x.) Příklad 9.2. Někdy je třeba integrovat per partes několikrát: Je-li a 6= 0, b ∈ R a položíme-li g(x) := eax , F (x) := sin bx, G(x) := eax /a, f (x) = b cos bx, dostaneme (podle V.8.3) identitu (13)

eax sin bx =

1

′ b eax sin bx − eax cos bx v R . a a

Položíme-li nyní g(x) := eax , F (x) := cos bx, G(x) := eax /a, f (x) = −b sin bx, dostaneme identitu ′ b 1 eax cos bx + eax sin bx v R . (14) eax cos bx = a a 137

Dosadíme-li (14) do (13) (nebo (13) do (14)), získáme po snadné úpravě identity ′  eax (a sin bx − b cos bx) v R , 2 2 a +b ′  eax v R, (a cos bx + b sin bx) eax cos bx = a2 + b2 eax sin bx =

(15′ ) (15′′ )

které platí dokonce za obecnějšího předpokladu a2 + b2 6= 0; platnost pro a = 0, b 6= 0 ověříme dosazením. Příklad 9.3. Je-li funkce f : (a, b) → R diferencovatelná a nenulová všude v (a, b), je (podle věty o diferencování superpozice) f′ = (lg ◦|f |)′ f

(16) všude v (a, b). Je tedy např.

a pro každé k

∈


′ cos x = lg (2 + sin x) v R 2 + sin x

Z platí rovnost


′ cos x = lg (1 + sin x) v (2kπ − 12 π, 2kπ + 32 π); 1 + sin x

absolutní hodnotu nebylo nutné psát, protože obě funkce ve jmenovateli jsou kladné. Poznámka 9.3. Všechny počítačové programy, které jsou autorovi známy, pracují s nepravdivým tvrzením, že funkcí primitivní k 1/x je lg x ; stejnou chybu najdeme i v mnohých tabulkách primitivních funkcí. To celkem výstižně charakterizuje ctitele bezduchého kalkulu : Ačkoli je dobře a dlouho známo, že správná primitivní funkce je lg |x |, vynechávají – asi „pro jednoduchostÿ – absolutní hodnotu. Pravděpodobně to souvisí i s tím, že se bezduchý kalkulus nezabývá obory platnosti. V R+ je samozřejmě vše v pořádku, ale v R− podle těchto mylných představ primitivní funkce k 1/x zřejmě neexistuje, ačkoli je tam funkce 1/x spojitá (sr. s V.9.2 ). Tato základní chyba má bohužel velmi nepříjemný důsledek : Je-li funkce f v intervalu (a, b) záporná, nedávají zmíněné programy žádnou primitivní funkci k f ′ /f (nejsouli tak „chytréÿ, že přejdou k (−f ′ )/(−f )). Neúplnou identitu 1/x = (lg x)′ snadno opravíme přidáním absolutní hodnoty a dodatkem „pro všechna x 6= 0ÿ; zamysleme se však nad „spolehlivostíÿ podobných výsledků ve složitějších situacích, v nichž nemusí být vůbec jasné, kam je třeba absolutní hodnotu dopsat. Příklad 9.4. Podle 1SM je (17)

1 1 1 1 = = · = (lg | tg 12 x |)′ sin x 2 sin 12 x cos 21 x 2 cos2 12 x tg 21 x

v každém intervalu (kπ, (k +1)π), kde k ∈ Z. Při označení z 1SM je zde f (y) := 1/y, ω(x) := tg ( 21 x), takže ω ′ (x) = 1/(2 cos2 12 x). 138

p Příkladp9.5. Funkce f (x) := 1/ ex − 1 má podle V.9.2 primitivní funkci v R+ . Položme ex − 1 = t, tj. substituujme x = ω(t) := lg (t2 +1). Všechny předpoklady 2SM jsou splněny, protože ω ′ (t) = 2t/(t2 +1) > 0 pro všechna t ∈ R+ a ω(R+ ) = R+ . Protože f (ω(t))ω ′ (t) = je F (x) := 2 arctg

1 2t 2 = 2 = (2 arctg t)′ v R+ , t t2 + 1 t +1

p ex − 1 funkcí primitivní k f (x) v R+ .

Příklad 9.6. Funkce (18)

f (x) :=

1 sin x + 2 cos2 x 2

má podle V.9.2 primitivní funkci v celém R, ale najít ji bude poněkud komplikovanější, protože standardní substituci tg x = y (sr. s příkladem 9.11) lze provést jen v intervalech, které neobsahují žádný bod tvaru 12 (2k + 1)π, kde k ∈ Z. Pracujme v intervalech Ik := ( 21 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)π), kde k ∈ Z, a upravme (18) na tvar (18∗ )

f (x) =

(tg x)′ 1 1 = 2 ; 2 2 cos x tg x + 2 tg x + 2

podle 1SM (s ω(x) = tg x) a podle (4) platí pro každé k

∈

Z rovnost

 1  1 y ′ tg x ′ 1 √ √ √ √ arctg arctg v R , takže f (x) = v Ik . = y2 + 2 2 2 2 2 Funkce Fk definovaná v intervalu Ik∗ := ( 21 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)πi podmínkami   1 tg x    pro všechna x ∈ Ik   √ arctg √  2 2 (19) Fk (x) := π    pro x = 21 (2k + 1)π   Fk ( 21 (2k + 1)π−) = √  2 2

je spojitá v Ik∗ , protože se její hodnota v koncovém bodě intervalu Ik rovná √ příslušné limitě zleva. Protože číslo ∆ := Fk ( 21 (2k+1)π−)−Fk ( 12 (2k−1)π+) = π/ 2 nezávisí na k, je funkce F definovaná podmínkami (20)

F (x) := Fk (x) + k∆ pro všechna x ∈ Ik∗ a všechna k

∈

Z

zřejmě spojitá v celém R ; je přitom funkcí primitivní k f v každém intervalu Ik . Podle V.5.5 a vzhledem ke spojitosti f v R je kromě toho F ′ ( 21 (2k + 1)π) =

lim

x→(2k+1)π/2

F ′ (x) =

lim

x→(2k+1)π/2

což dokazuje, že F je funkcí primitivní k f v celém R. 139

f (x) = f ( 12 (2k + 1)π),

Poznámka 9.4. Poslední tvrzení právě dokončeného příkladu, založené na V.5.5 , lze zobecnit takto: Věta 9.6. Nechť každý bod x množiny M ⊂ R má okolí P (x) disjunktní s M 2 ) a nechť funkce f , F spojité v R splňují podmínku F ′ (x) = f (x) pro každé x ∈ R−M . Pak je F ′ = f všude v R. Vyložme nyní několik metod integrace některých běžných typů funkcí. Příklad 9.7. Integrace racionální funkce. Racionální funkci f 6≡ 0 napišme ve tvaru f = g/h, kde g a h jsou nesoudělné polynomy 3 ). Předpokládejme, že všechny reálné kořeny polynomu h byly seřazeny do prosté posloupnosti a1 , . . . , am , kde m ≥ 0, a všechny imaginární kořeny do prosté posloupnosti α1 , α1 , . . . , αn , αn , kde n ≥ 0. 4 ) Je dobře známo, že polynomy x2 + bk x + ck := (x − αk )(x − αk ) jsou pak reálné a že identita (21)

h(x) = A

m Y

j=1

(x − aj )pj

n Y

(x2 + bk x + ck )qk ,

k=1

kde pj ∈ N a qk ∈ N jsou násobnosti kořenů aj a αk , platí při vhodné volbě (nenulové) konstanty A ∈ R všude v R − h−1 (0). Racionální funkci f (x) lze pak (v R−h−1 (0)) rozložit na tzv. jednoduché (neboli parciální) zlomky: (22)

f (x) = ϕ(x) +

pj m X X j=1 r=1

n

qk

X X Bks x + Cks Ajr + ; r (x − aj ) (x2 + bk x + ck )s s=1 k=1

ϕ je přitom polynom, Ajr , Bks , Cks jsou reálné konstanty. Je-li stupeň polynomu g menší než stupeň polynomu h, je ϕ ≡ 0; v opačném případě se ϕ(x) získá dělením polynomu g(x) polynomem h(x), prováděném tak dlouho, až stupeň zbytku dělení klesne pod stupeň polynomu h(x). Numerické hodnoty konstant Ajr , Bks , Cks získáme např. tak, že rozdíl f (x)−ϕ(x) vynásobíme výrazem g(x)/A a pak porovnáme koeficienty u stejných mocnin x na obou stranách vzniklé identity; lze však do ní také dosazovat vhodné hodnoty x a pak řešit vzniklý lineární systém rovnic. (Obě zmíněné metody se často kombinují. Výhodné je dosazovat reálné kořeny polynomu h, protože tím ihned získáme hodnoty některých konstant Ajr ; v některých případech se vyplatí dosadit i některý imaginární kořen – v tom případě pak porovnáme reálné a imaginární části obou stran vzniklé rovnosti.) Je jistě zřejmé, jak se najde funkce primitivní (v R) k polynomu : (23)

N X i=0

αi xi =

N X i=0

2)

αi

xi+1 ′ . i+1

Takové množiny se nazývají izolované v R ; jejich typickým představitelem je množina Z. tj. polynomy, které nemají žádný společný kořen 4 ) Rovnost m = 0 (resp. n = 0) odpovídá situaci, kdy h nemá žádný reálný (resp. imaginární) kořen. 3)

140

Stejně jednoduché je integrovat funkce tvaru 1/(Id −a)r , kde a V R − {a} platí identity (24′ ) (24′′ )

∈

R a r

∈

N:


′ 1 = lg |x − a| , x−a ′  1 1 1 = , je-li r > 1. (x − a)r 1 − r (x − a)r−1

Zbývá vysvětlit, jak se (v R) integrují zlomky tvaru (Bx + C)/(x2 + bx + c)s , kde polynom x2 + bx + c má dva různé imaginární kořeny : Nejdříve napíšeme identitu (25)

  2x + b 1 Bx + C 1 1 B bB = + C − . 2 2 2 s 2 s 2 (x + bx + c) (x + bx + c) (x + bx + c)s

Pak užijeme 1SM a substitucí y = ω(x) := x2 + bx + c převedeme problém integrace prvního zlomku vpravo na triviální problém integrace funkce y −s . Užijeme-li analogie identit (24′ ) a (24′′ ), vidíme, že všude v R je (25′ ) (25′′ )


′ 2x + b = lg (x2 + bx + c) , + bx + c ′  1 2x + b 1 = , je-li s > 1. (x2 + bx + c)s 1 − s (x2 + bx + c)s−1 x2

Integrace posledního zlomku v (25) je o něco komplikovanější: Protože oba kořeny polynomu x2 + bx + c jsou imaginární, je (26)

x2 + bx + c = (x − 12 b)2 + 41 (4c − b2 ),

přičemž D := b2 − 4c < 0. Substituce

2x − b y = ω(x) := √ 4c − b2

(26′ )

převede integraci zlomku 1/(x2 +bx+c)s na integraci zlomku 1/(y 2 +1)s násobeného jistou konstantou. Integrace per partes s F (y) := 1/(y 2 + 1)s , g(y) := 1, f (y) = −2sy/(y 2 + 1)s+1 , G(y) := y vede k rovnostem ′  y2 y 1 = + 2s (y 2 + 1)s (y 2 + 1)s (y 2 + 1)s+1 ′  2s 2s y − 2 , + 2 = 2 s s (y + 1) (y + 1) (y + 1)s+1 z nichž plyne redukční vzorec (27)

′ 2s − 1 1 y 1 1 = + , (y 2 + 1)s+1 2s (y 2 + 1)s 2s (y 2 + 1)s 141

platný všude v R a pro všechna s ∈ N. Protože je (281 )

y2

1 = (arctg y)′ v R , +1

je tím celý problém rozřešen. Pomocí (27) a (281 ) se snadno dokáže, že všude v R platí např. identity 1 y ′ 1 = , arctg y + (282 ) (y 2 + 1)2 2 y2 + 1 ′ 1 1 2y 3y (283 ) = + , 3 arctg y + (y 2 + 1)3 8 y 2 + 1 (y 2 + 1)2 ′ 1 8y 10y 15y 1 = + + . 15 arctg y + (284 ) (y 2 + 1)4 48 y 2 + 1 (y 2 + 1)2 (y 2 + 1)3 Příklad 9.7a. Integrujme funkci (29)

f (x) :=

3x −1

x3

v maximálních intervalech, kde je to možné, tedy v (−∞, 1) a v (1, +∞). Protože stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele, odpadá dělení – polynom ϕ(x) v obecném rozkladu (22) je nulový ; rozklad na jednoduché zlomky má proto tvar 3x A Bx + C = + 2 . −1 x−1 x +x+1

x3

Násobením jmenovatelem levé strany získáme identitu 3x = A (x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1), platnou (na rozdíl od předcházející identity) v celém R. Dosazením x = 1 dostaneme A = 1; porovnáme-li koeficienty u x2 a x0 , dostaneme rovnice 0 = A+B, 0 = A−C, z nichž je zřejmé, že B = −1, C = 1. Je tedy (30)

f (x) =

1 x−1 1 1 2x + 1 3 1 − = − + . x − 1 x2 + x + 1 x − 1 2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1

Poslední sčítanec se třeba ještě upravit; z identit x2 + x + 1 = x + ihned plyne, že

(31)

3 1 = 2 x2 + x + 1

√


1 2 2

+

3 4

=

3 4

i h 2x + 1 2 √ +1 3

2 √ √ 2x + 1 ′ 3 = v R 3 3 arctg √  2 2x + 1 3 √ +1 3 142

podle 1SM. Z toho a z (30) dále vyplývá, že (32)

f (x) =

′  √ x−1 + 3 arctg 2x√+ 1 v R − {1}. lg √ 3 x2 + x + 1

Příklad 9.7b. Funkce primitivní k funkci (33)

f (x) :=

4x8 − 20x2 (x + 1)3 (x2 + 1)

existují v intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞). Protože stupeň čitatele je o 3 větší než stupeň jmenovatele, provedeme 4 kroky dělení; čtenář se jistě sám přesvědčí, že tím dostaneme identitu (34)

f (x) = 4x3 − 12x2 + 20x − 28 +

4(10x4 + 16x3 + 11x2 + 16x + 7) . (x + 1)3 (x2 + 1)

Označme poslední zlomek g(x) a hledejme koeficienty A, . . . , E tak, aby bylo (35)

g(x) =

B C Dx + E A + + + 2 . x + 1 (x + 1)2 (x + 1)3 x +1

Vynásobíme-li tuto identitu jmenovatelem levé strany a dosadíme-li do vzniklých polynomů x = −1, zjistíme, že C = −8. Zbylá čísla A, B, D, E získáme porovnáním koeficientů např. u mocnin x0 , x1 , x3 a x4 : u x0 :

28 =

u x1 :

A+B+ C+ D

64 = 2A + B +

D + 3E

3

64 = 2A + B +

3D + E

4

40 =

u x : u x :

A+

D

Protože tato soustava má řešení A = 46, B = −4, D = E = −6, je (36)

g(x) =

46 4 8 2x 6 − − −3 2 − , x + 1 (x + 1)2 (x + 1)3 x + 1 x2 + 1

takže (37)

 4 f (x) = x4 − 4x3 + 10x2 − 28x + 46 lg |x + 1| + x+1 ′ 4 2 + − 3 lg (x + 1) − 6 arctg x pro všechna x 6= −1. (x + 1)2

Příklad 9.7c. Funkce primitivní k funkci (38)

f (x) :=

12(x2 − x − 2) (x2 − 1)2 (x2 − x + 1)2 143

existují v intervalech (−∞, −1), (−1, 1) a (1, +∞); napišme f (x) =

A B C D Ex + F Gx + H + + + + 2 + 2 2 2 x − 1 (x − 1) x + 1 (x + 1) x − x + 1 (x − x + 1)2

a hledejme numerické hodnoty konstant A, . . . , H. Násobíme-li identitu jmenovatelem levé strany a dosadíme-li do výsledku x = ±1, zjistíme, že B = −6, D = 0. Porovnejme dále koeficienty u šesti vybraných mocnin x : u x7 : 6

ux : u x5 : 4

ux : 1

0 =

A+ C+ E

6 = −A − 3C − E + F

0 =

4C − E − F + G

0 = 2A − 2C + 2E − F +

u x : − 12 = 0

A − 3C + E − F + G

u x : − 18 = −A + C +

F +

H H

Řešením jsou čísla A = 21, C = −1, E = −20, F = 4, G = −12, H = 0, 5 ) takže (39)

f (x) =

1 6 20x − 4 12x 21 − − − 2 − 2 2 x − 1 (x − 1) x + 1 x − x + 1 (x − x + 1)2

pro všechna x 6= ±1. Je zřejmé, že (40)

 ′ 21 6 1 6 − − = 21 lg |x − 1| + − lg |x + 1| 2 x − 1 (x − 1) x+1 x−1

v R − {±1}. Všude v R platí kromě toho tyto identity : (41) (42) (43)

(44) (45) (46)

20x − 4 2x − 1 6 = − 10 2 − 2 , −x+1 x −x+1 x −x+1  ′ 2x − 1 −10 2 = − 10 lg (x2 − x + 1) , x −x+1 √  12 6 2/ 3 2x − 1 ′ 12 √ √ − 2 arctg =−√  = − ,  x −x+1 3 2x√− 1 2 + 1 3 3 3 2x − 1 6 −12x = −6 2 − 2 , (x2 − x + 1)2 (x − x + 1)2 (x − x + 1)2 ′  2x − 1 6 −6 2 , = 2 2 (x − x + 1) x −x+1 √ 6 2/ 3 16 − 2 = − √  2 . 2x − 1 2 (x − x + 1)2 3 √ +1 3 −

x2

5 ) Předpokládáme, že se čtenář neomezuje na pouhé čtení těchto řádků, ale počítá sám, přičemž náš text mu slouží k ověření správnosti výsledků. Jen vlastní aktivitou se může něčemu naučit.

144

√ Substituce (2x − 1)/ 3 = y v posledním výrazu vede podle (282 ) k identitě ′ 16 1 8  y √ −√ = − + arctg y . 3 (y 2 + 1)2 3 y2 + 1 Užijeme-li znovu 1SM, dostaneme po troše počítání 5 ) tento výsledek : (47)

−

 2(1 − 2x) 2x − 1 ′ 8 6 √ √ arctg = . − (x2 − x + 1)2 x2 − x + 1 3 3

Podle (40), (42), (43), (45), (47) je tedy (48)

f (x) : =



6 2x − 1 2−x 20 +4 2 − √ arctg √ x−1 x −x+1 3 3

′ + 21 lg |x − 1| − lg |x + 1| − 10 lg (x2 − x + 1)

pro všechna x ∈ R − {±1}.

*** Spolehlivé zvládnutí principů integrace racionální funkce je důležité i proto, že na ni lze převést integraci dalších typů funkcí; ilustrují to příklady 9.8 – 9.12. Příklad 9.8. Integrace funkcí tvaru (49)

f (x) := R (ex ), kde R je racionální funkce .

Položíme-li ex = y a aplikujeme-li 1SM, vidíme, že když je G(y) primitivní funkcí funkce (50)

g(y) :=

1 R (y), y

je F (x) := G (ex ) primitivní funkcí funkce f (x). To, co jsme právě řekli, je samozřejmě jen nástin možného postupu ; v každém konkrétním příkladě je třeba ověřit všechny předpoklady substituční metody a stanovit, v jakém intervalu resp. v jakých intervalech budou naše výsledky platit. Příklad 9.8a. Funkci primitivní v R k funkci (51)

f (x) :=

ex +3

e2x

vidíme na první pohled, protože jmenovatel zlomku je roven (ex )2 + 3 a čitatel ex je derivací ex . Podle 1SM a podle (4) je tedy (52)

 1 ex ′ všude v R . f (x) = √ arctg √ 3 3 145

Příklad 9.8b. Funkce (53)

f (x) :=

(ex

ex + 1 − 1)(e2x − e2 )

má primitivní funkce v intervalech I1 := (−∞, 0), I2 := (0, 1) a I3 := (1, +∞). Abychom v každém z těchto intervalů našli jednu z nich, položíme ex = y, což náš problém převede podle 1SM na nalezení primitivní funkce k funkci (54)

g(y) :=

y+1 y (y − 1)(y 2 − e2 )

v intervalech (0, 1) = exp (I1 ), (1, e) = exp (I2 ) a (e, +∞) = exp (I3 ). Vynásobíme-li rozklad (55)

g(y) =

B C D A + + + y y−1 y−e y+e

jmenovatelem levé strany a dosadíme-li do výsledku postupně y = 0, y = 1, y = ±e, dostaneme tyto hodnoty konstant A, B, C, D : (56)

A=

1 2 e+1 e−1 , B= , C= 2 , D= 2 . 2 2 e 1−e 2e (e − 1) 2e (e + 1)

Integrací identity (55) získáme identitu (57)

g(y) = A lg |y | + B lg |y − 1| + C lg |y − e| + D lg |y + e|


′

platnou všude v R − {−e, 0, 1, e}; dosadíme-li do ní podle (56), lze výsledek upravit na tvar  ′ lg |y | e2 + 1 1  1 y − e  2 2 (58) g(y) = 2 lg |y − 1| − − 2 lg |y − e | − lg ; e2 e −1 2e2 e y+e podle 1SM je tedy ′  e2 + 1 1  1 ex − e  x x 2x 2 2 lg |e − 1| − − 2 lg |e − e | − lg x (59) f (x) = e2 e −1 2e2 e e +e všude v R − {0, 1}.

*** Příklad 9.9. Integrace funkcí tvaru (60)

f (x) :=

R (lg x) , kde R je racionální funkce , x

se substitucí y = lg x v 1SM převede na integraci racionální funkce R(y). 146

Příklad 9.9a. Funkce (61)

f (x) :=

5 lg x 3

x (lg x + lg2 x − 2)

má primitivní funkce v intervalech (0, e) a (e, +∞), protože logaritmus je spojitý v R+ a polynom y 3 + y 2 − 2 = (y − 1)(y 2 + 2y + 2) má právě jeden reálný kořen y = 1, kterému odpovídá x = e. Jak čtenář snadno ověří, je (62)

g(y) :=

2y + 2 1 1 3 5y = − + y3 + y2 − 2 y − 1 2 y 2 + 2y + 2 (y + 1)2 + 1

všude v R − {1}. V důsledku toho platí rovnost  ′ g(y) = lg |y − 1| − 12 lg (y 2 + 2y + 2) + 3 arctg (y + 1)

pro všechna y 6= 1 a rovnost  (63) f (x) = lg | lg x − 1| −

1 2

pro všechna x ∈ (0, e) ∪ (e, +∞).

′
lg lg2 x + 2 lg x + 2 + 3 arctg (lg x + 1) ***

Polynomem dvou proměnných u, v rozumíme součet konečného počtu výrazů tvaru aum v n , kde a ∈ R a kde m, n jsou nezáporná celá čísla. Podíl p/q dvou polynomů p, q 6≡ 0 proměnných u, v se nazývá racionální funkce proměnných u, v.

Příklad 9.10. Integrace funkcí tvaru   r ax + b , (64) f (x) := R x, s cx + d

kde R je racionální funkce dvou proměnných, s > 1 je celé číslo a a, b, c, d jsou reálná čísla, pro něž je ad − bc 6= 0, se dá převést na integraci racionální funkce tím, že zavedeme novou proměnnou r ax + b (65) t := s . cx + d Podrobněji řečeno: Rozřešíme právě napsanou rovnici vzhledem k x a aplikujeme 2SM se substituující funkcí (65∗ )

x = ω (t) :=

dts − b . a − cts

V konkrétních případech hledáme vždy maximální intervaly, v nichž má funkce (64) primitivní funkci, a samozřejmě ověřujeme všechny předpoklady substituční metody. 147

Příklad 9.10a. Integrujme funkci 1 f (x) := x

(66)

r

x−1 ; 2−x

snadno ověříme, že zlomek pod odmocninou je kladný, právě když je x ∈ (1, 2); primitivní funkci budeme proto hledat právě v tomto intervalu. Substituce r x−1 2t2 + 1 = t , tj. x = ω (t) := 2 , t ∈ R+ , (67) 2−x t +1 předpoklady 2SM splňuje, protože všude v R+ je ω ′ (t) =

(68)

2t >0 (t2 + 1)2

a ω (R+ ) = (1, 2). 2SM vede k identitám (69)

t2 + 1 2t 2t2 · t · = 2t2 + 1 (t2 + 1)2 (2t2 + 1)(t2 + 1) √
′ √ 2 2 − 2 = 2 arctg t − 2 arctg ( 2 t) = 2 t + 1 2t + 1

f (ω(t)) ω ′ (t) =

platným v R+ ; v intervalu (1, 2) platí proto rovnost r r ′  x−1 √ 2(x − 1) . − 2 arctg (70) f (x) = 2 arctg 2−x 2−x Příklad 9.10b. Funkce 1 f (x) := 2 x

(71)

r 3

x+1 x−1

je definována všude v R až na body 0, 1 a je ve svém definičním oboru spojitá; má tedy primitivní funkce v intervalech I1 := (−∞, 0), I2 := (0, 1), I3 := (1, +∞). Užijeme substituci r t3 + 1 3 x+1 (72) = t , tj. x = ω(t) := 3 . x−1 t −1 Protože je (73)

ω ′ (t) = −

6t2 < 0 pro všechna t ∈ R − {0, 1}, (t3 − 1)2

jsou předpoklady 2SM splněny v každém z intervalů J1 := (−∞, 0), J2 := (0, 1), J3 := (1, +∞). Protože je ω(−∞+) = 1, ω (0±) = −1, ω (1−) = −∞ , ω (1+) = +∞ , ω (+∞−) = 1, 148

zobrazuje funkce ω intervaly J1 , J2 , J3 po řadě na intervaly (−1, 1), (−∞, −1), (1, +∞), které bohužel nejsou totožné s intervaly Ik , v nichž máme hledat funkci primitivní k f . Abychom dospěli k poněkud lepší shodě, označme K1′ := (0, 1), K1′′ := (−1, 0), K2 := (−∞, −1), K3 := J3 = (1, +∞).

(74′ ) Pak je (74′′ )

ω (K1′ ) = (−∞, −1), ω (K1′′ ) = (−1, 0), ω (K2 ) = (0, 1), ω (K3 ) = I3

a podle 2SM budeme v intervalech (74′ ) hledat primitivní funkci funkce ′

(75 )

′

g(t) := f (ω(t)) ω (t) =



t3 − 1 t3 + 1

2

·t·

−6t2 6t3 = − , (t3 − 1)2 (t3 + 1)2

kterou ovšem nejdříve rozložíme na jednoduché zlomky : (75′′ )

g(t) = −

2 1 1 1 1 2t − 1 2 5 + + − 2 2 2 3 t + 1 3 (t + 1) 3 t −t+1 3 t −t+1 1 2t − 1 + 2 . − 2 2 (t − t + 1) (t − t + 1)2

√ Substitucí (2t − 1)/ 3 = z a užitím 1SM dojdeme k rovnosti

′  5 2t − 1 1 10 − 2 v R; = − √ arctg √ 3 t −t+1 3 3 3 touž substitucí a navíc integrací per partes získáme další rovnost 1 = 2 (t − t + 1)2



2t − 1 4 1 2t − 1 + √ arctg √ 2 3 t −t+1 3 3 3

′

v R.

Primitivní funkce k ostatním sčítancům v (75′′ ) jsou jistě patrné na první pohled. Malou úpravou výsledků dostaneme pak tuto funkci primitivní ke g(t): 2t − 1 1  1 2 2 t + 1 + lg (t2 − t + 1) − √ arctg √ . − lg |t + 1| − 2 3 t −t+1 t+1 3 3 3 Dosadíme-li za t podle (72) a upravíme-li opět výsledek, získáme identitu r   r 2 r  x+1 1 x+1 3 x+1 lg − 3 + 1 − 2 lg 3 + 1 (76) f (x) = 3 x−1 x−1 x−1 r   r ′ √ 1 x−1 3 x+1 3 x+1 √ 2 − 2 3 arctg −1 , −3 x x−1 x−1 3 149

zatím ovšem jen v intervalech (74′′ ). Funkce f (x) i funkce napsaná vpravo v závorkách [ ] je však spojitá v bodě −1; podle V.9.6 platí proto rovnost (76) v celém intervalu I1 = (−∞, 0). Protože v intervalech I2 , I3 žádné problémy nebyly, je tím integrace funkce (71) dokončena. *** Příklad 9.11. Integrace funkcí tvaru (77)

f (x) := R (sin x, cos x),

kde R je racionální funkce dvou proměnných. A. Předpokládejme nejdříve, že funkce f je spojitá v nějakém otevřeném intervalu I ⊂ (−π, π). Položíme-li tg 21 x = t pro všechna x ∈ (−π, π),

(78) bude (78′ )

sin x =

1 − t2 2t , cos x = ; 1 + t2 1 + t2

užijeme-li 2SM s funkcí (79)

ω(t) := 2 arctg t , t ∈ R,

inverzní k (78), jejíž derivace ω ′ (t) =

2 >0 1 + t2

je racionální, bude racionální i funkce g(t) := f (ω(t)) ω ′ (t) = R

 2t 2 1 − t2  · , . 1 + t2 1 + t2 1 + t2

Integraci funkce (77) lze tedy substitucí (79) převést na integraci racionální funkce. Je-li G(t) funkce primitivní ke g(t) v ω−1 (I), je F (x) := G(tg 12 x) funkce primitivní k f (x) v I. Připomeňme ještě identity, které se často užívají při úpravě výsledků :

(80)

tg 21 x =

   

sin x 1 + cos x

   1 − cos x sin x

  pro všechna x 6≡ π mod 2π  

.

  pro všechna x 6≡ 0 mod π 

Je-li I ⊂ (0, 2π), lze s výhodou užít substituci (81)

cotg 21 x = t , tj. x = ω1 (t) := 2 arccotg t , t ∈ R ; 150



v tom případě však je (81′ )

sin x =

2t , 1 + t2

cos x = −

1 − t2 , 1 + t2

ω1′ (t) = −

2 . 1 + t2

B. Máme-li funkci tvaru (77) integrovat v intervalu obsaženém v některém z intervalů Ik := ((2k − 1)π, (2k + 1)π) (resp. Jk := (2kπ, 2(k + 1)π)), kde k ∈ Z, můžeme užít opět substituci tg 21 x = t (resp. cotg 21 x = t); inverzní k ní bude nyní ovšem funkce (79′ )

ω (t) := 2 arctg t + 2kπ (resp. ω (t) := 2 arccotg t + 2kπ).

Můžeme však také uvážit, že f je 2π - periodická funkce, posunout interval I o vhodný sudý násobek čísla π tak, aby posunutý interval I ∗ ležel v I0 (resp. v J0 ), najít primitivní funkci v I ∗ a nakonec se (s využitím periodicity) vrátit zpět do I. C. Je-li funkce (77) spojitá v R a známe-li její primitivní funkci F0 v intervalu I0 = (−π, π), lze její primitivní funkci v R získat např. tímto postupem: Protože f je spojitá v kompaktním intervalu h−π, πi, je v něm omezená, takže je |f | ≤ M pro vhodnou konstantu M ∈ R+ . Pro každé dva body x′ , x′′ z I0 existuje podle věty o přírůstku funkce 6 ) bod ξ (ležící mezi body x′ , x′′ ) tak, že |F0 (x′′ ) − F0 (x′ )| = |F0′ (ξ)(x′′ − x′ )| = |f (ξ)(x′′ − x′ )| ≤ M |x′′ − x′ |; z toho ihned plyne platnost BC podmínky 7 ) nutné a postačující k tomu, aby existovaly konečné limity F0 (π−), F0 (−π+). Položíme-li F0 (π) := F0 (π−), bude funkce F0 spojitá v polouzavřeném intervalu I0∗ := (−π, πi a pro každé k ∈ Z bude funkce Fk definovaná podmínkou (82)

Fk (x) := F0 (x − 2kπ) pro všechna x ∈ Ik∗ := ((2k − 1)π, (2k + 1)πi

spojitá v Ik∗ a primitivní k f v Ik = ((2k − 1)π, (2k + 1)π). Číslo (83)

∆ := Fk ((2k + 1)π−) − Fk+1 ((2k + 1)π+) = F0 (π−) − F0 (−π+)

pak nezávisí na k a snadno nahlédneme, že funkce (84)

F := Fk + k∆ v Ik∗ pro každé k

∈

Z

je spojitá v celém R. Podle V.9.6 je funkcí primitivní k f také v celém R. D. Je-li f spojitá v nějakém (otevřeném) intervalu délky ≤ 2π, který není částí žádného z intervalů Ik resp. Jk , lze při hledání funkce primitivní k f v I postupovat podobně jako v C; vysvětlíme to na příkladě, z něhož bude patrná jak podstata problému, tak i jeho řešení: 6 ) Máme na mysli tzv. Lagrangeovu větu o přírůstku funkce : Je-li f spojitá v ha, bi a má-li derivaci všude v (a, b), existuje bod ξ ∈ (a, b) tak, že f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a). 7 ) BC podmínka zní v našem případě takto : Pro každé ε ∈ R existuje P + (−π) (resp. P − (π)) + tak, že pro každé dva body x′ , x′′ z tohoto okolí je | F (x′′ ) − F (x′ ) | < ε.

151

Je-li f spojitá např. v intervalu I := (− 12 π, 23 π), substituujeme tg 12 x = t v každém z intervalů (− 12 π, π), (π, 23 π). Nechť F1 resp. F2 je funkce primitivní k f v prvním resp. ve druhém z těchto intervalů. Nejdříve rozšíříme F1 spojitě na interval (− 21 π, πi tím, že položíme F1 (π) := F1 (π−). Pak najdeme číslo ∆ := F1 (π)−F2 (π+) a definujeme ′

(85 )

F :=

(

v (− 12 π, πi

F1

F2 + ∆ v (π, 23 π)

)

.

Z definice čísla ∆ plyne, že F (π+) = F2 (π+) + ∆ = F1 (π) = F (π), takže F je spojitá v celém intervalu I ; podle V.9.6 je tam funkcí primitivní k f . Postupovali jsme tak, aby vynikla podobnost s postupem vysvětleným v bodě C; nechceme-li však zavádět (v tomto případě dost zbytečné) číslo ∆, stačí definovat:   v (− 12 π, π)     F1 v bodě π . F := F1 (π−)     3 F2 − F2 (π+) + F1 (π−) v (π, 2 π)

(85′′ )

Poznamenejme 8 ), že existence konečných limit F1 (π−), F2 (π+) plyne z existence funkce G primitivní k f v celém I (sr. v V.9.2 ); funkce G je samozřejmě v I spojitá, a má tedy v bodě π (dokonce oboustrannou) limitu. Pak stačí uvážit, že funkce F1 resp. F2 se od G liší v (− 12 π, π) resp. v (π, 23 π) jen o aditivní konstantu. E. Má-li funkce f periodu π , převedeme její integraci na integraci racionální funkce substitucí tg x = t ; substituci lze ovšem užít jen v intervalech obsažených v některém z intervalů Kk := ( 12 (2k −1)π, 21 (2k +1)π), k ∈ Z. Ve 2SM pak položíme ω(t) := arctg t + kπ, t ∈ R, a užijeme vzorce (86) sin2 x =

1 1 t2 1 tg2 x , cos2 x = 2 , ω ′ (t) = 2 , = = 2 t2 + 1 t +1 t +1 tg2 x + 1 tg x + 1

z nichž první dva platí pro všechna x 6≡ 12 π mod π. V intervalech obsažených v některém z intervalů Lk := (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z, lze užít substituci cotg x = t. Tyto substituce mají (proti substitucím tg 21 x = t resp. cotg 12 x = t) tu výhodu, že jako výsledek vyjde jednodušší racionální funkce. Ukažme to na příkladě : Je-li (87)

f (x) :=

sin4 x , sin x + cos4 x 4

dostaneme po substituci tg 21 x = t resp. tg x = t funkci

t8 8)

−

4t6

16t4 2 t4 1 · 2 resp. 4 · 2 . 4 2 + 22t − 4t + 1 t + 1 t +1 t +1

Zejména pro čtenáře, kteří si všimli, že píšeme jisté limity bez odůvodnění, že existují.

152

Po dosazení tg 12 x = t vznikl z f (x) zlomek, jehož jmenovatel má stupeň dvakrát větší než jmenovatel zlomku vzniklého dosazením tg x = t ; je to způsobeno rozdíly mezi vzorci (78′ ) a (prvních dvou identit z) (85). 9 ) Je-li funkce f spojitá a π - periodická v celém R (jako v právě uvedeném příkladě), je třeba po nalezení primitivních funkcí v každém z intervalů Kk (resp. Lk ) zkonstruovat primitivní funkci v R např. způsobem vyloženým v části C. Je-li f spojitá v nějakém otevřeném intervalu I délky ≤ π, který není částí žádného Kk a žádného Lk , můžeme postupovat podobně jako v části D. F. Má-li funkce f tvar (88)

f (x) := R (sin x) cos x resp. f (x) := R (cos x) sin x ,

kde R je racionální funkce, užijeme 1SM, v níž položíme sin x = y resp. cos x = y ; dostaneme tím racionální funkci R(y) resp. −R(y). 10 ) Příklad 9.11a. Protože maximálními intervaly, v nichž je spojitá funkce

(89)

f (x) :=

1 + sin x , 1 + cos x

jsou intervaly Ik := ((2k − 1)π, (2k + 1)π), k ∈ Z, užijeme substituci tg 12 x = t, přesněji substituci (79′ ). Užitím vzorců (78′ ) a 2SM dospějeme k identitám g(t) := f (ω(t)) ω ′ (t) =


′ 2t t2 + 2t + 1 =1+ 2 = t + lg (t2 + 1) 2 t +1 t +1

platným v celém R. Dosazením t = tg 12 x pak získáme funkci (90)

F (x) := tg 21 x + lg (tg2 21 x + 1) = tg 12 x − lg (cos2 21 x)

primitivní k f (x) v každém Ik . Poznamenejme, že jsme se při substituci tg 21 x = t mohli omezit na interval I0 ; přesněji řečeno, mohli jsme aplikovat 2SM s funkcí (79), jejíž obor hodnot je I0 . (Tím bychom se vyhnuli trochu složitějším rovnostem (79′ ).) Došli bychom k závěru, že funkce (90) (s x ∈ I0 ) je funkcí primitivní k f (x) v I0 . Kdybychom pak definovali F (x) jako výraz za druhým rovnítkem v (90) všude, kde má tento výraz smysl (tedy ve sjednocení všech Ik ), bylo by vzhledem k jeho π - periodicitě a k π - periodicitě funkce f (x) zřejmé, že F (x) je funkcí primitivní k f (x) v každém intervalu Ik . (Pro každé x ∈ Ik je x − kπ ∈ I0 a vzhledem π - periodicitě je (F (x))′ = (F (x − kπ))′ = f (x − kπ) = f (x) podle věty o diferencování superpozice.) 9 ) Příklad jsme vybrali tak, aby bylo zřejmé, že první substituce může být v některých případech zcela nevhodná , protože její výsledek nemusíme umět (na rozdíl od výsledku druhé substituce) rozložit na jednoduché zlomky. 10 ) Připomeňme, že ve většině případů, kdy lze užít obě substituční metody, dáváme přednost první z nich. Kdybychom hledali funkci primitivní k funkci tvaru (88) v intervalu I, v němž není sin resp. cos ryze monotónní, nemohli bychom druhou metodu v celém I vůbec aplikovat.

153

Příklad 9.11b. Na rozdíl od příkladu 9.11a je funkce (91)

f (x) :=

1 + sin x 2 + cos x

spojitá v celém R. Aplikace 2SM s funkcí ω(t) = 2 arctg t vede k rovnostem 2 2t 2t (1 + t)2 2 = + − 2 2 2 2 3+t 1+t 3+t 1+t 3 + t2  2 2 ′ t 1+t = √ arctg √ + lg 3 + t2 3 3

h(t) := f (ω(t)) ω ′ (t) =

platným pro všechna t ∈ R ; funkce  tg 1 x  1 + tg2 12 x 2 + lg F0 (x) := √ arctg √2 3 + tg2 21 x 3 3

(92)

je proto funkcí primitivní k f (x) v I0 .

3∆

−3π

−2π

F-1

F

∆ −π

F=F0 0

π

2π

F1

3π

−∆ F −3∆

K příkladu 9.11b √ Položme F0 (π) := F0 (π−) = π/ 3; takto rozšířená funkce F0 je spojitá v intervalu I0∗ := (−π, πi. Pro každé k ∈ Z označme (93)

Ik := ((2k − 1)π, (2k + 1)π), Ik∗ := ((2k − 1)π, (2k + 1)πi

a v Ik∗ definujme funkci Fk podmínkou Fk (x) := F0 (x − 2kπ). (Protože funkce F0 je 2π pravé straně rovnosti (92) a Fk ((2k + 1)π) := √ - periodická, je Fk (x) v Ik rovno ∗ π/ 3 .) Funkce Fk je spojitá v Ik a zároveň je funkcí primitivní k f v Ik . Položíme-li √ (94) ∆ := Fk ((2k + 1)π) − Fk+1 ((2k + 1)π+) = F0 (π) − F0 (−π+) = 23 3π , 154

je funkce F : R → R definovaná podmínkou F := Fk + k∆ v Ik∗ pro každé k

(95)

∈

Z

funkcí primitivní k f v celém R. Příklad 9.11c. Funkce (96)

f (x) :=

sin2 x − cos2 x sin2 x + 4 cos2 x

je spojitá v R a funkci k ní primitivní (v R) lze najít pomocí 1SM : V intervalech Kk := ( 12 (2k − 1)π, 21 (2k + 1)π), k ∈ Z, vytkneme z čitatele i jmenovatele výraz cos2 x a f (x) upravíme na tvar (96′ )

f (x) =

tg2 x − 1 1 cos2 x · (tg2 x − 1) ; = · 2 2 2 cos x · (tg x + 4) (tg x + 1)(tg2 x + 4) cos2 x

pak v 1SM položíme tg x = y. Protože rovnosti g(y) :=

(y 2

5 ′ 1 1 y2 − 1 5 2 y 2 = − = arctg − arctg y 2 2 2 + 1)(y + 4) 3 y +4 3 y +1 6 2 3

platí všude v R, je funkce (97)

Fk (x) :=

5 6

arctg ( 12 tg x) − 32 x

funkcí primitivní k f (x) v Kk . 9π/12 F-1

−3π/2

7π/12

−π/2

F

F=F0

π/12

−π/12

π/2

3π/2

F

−7π/12 −9π/12

K příkladu 9.11c 155

F1

Funkci Fk rozšíříme spojitě na interval Kk∗ := ( 12 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)πi tím, 5 π − 13 (2k + 1)π ; protože že položíme Fk ( 12 (2k + 1)π) := Fk ( 12 (2k + 1)π−) := 12 1 5 1 Fk+1 ( 2 (2k + 1)π+) = − 12 π − 3 (2k + 1)π, je ∆ := Fk ( 12 (2k + 1)π) − Fk+1 ( 12 (2k + 1)π+) = 65 π a funkce F : R → R definovaná podmínkou F := Fk + k∆ v Kk∗ pro každé k

(98)

∈

Z

je funkcí primitivní k f v celém R. Příklad 9.11d. Funkce (99)

f (x) :=

sin x (2 cos x − 1)(2 sin2 x − 1)

má primitivní funkce v každém otevřeném intervalu neobsahujícím žádný bod x, √ v němž je buď cos x = 12 , nebo sin x = ± 21 2. Maximálními intervaly s touto vlastností jsou intervaly

(99′ )

Bk : = (2kπ − 41 π, 2kπ + 14 π),

Ek : = (2kπ + 34 π, 2kπ + 54 π),

Fk : = (2kπ + 45 π, 2kπ + 53 π),

Ck : = (2kπ + 14 π, 2kπ + 13 π),

(100)

kde k

Ak : = (2kπ − 31 π, 2kπ − 14 π),

∈

Dk : = (2kπ + 31 π, 2kπ + 34 π),

Z. V každém z nich napíšeme f (x) ve tvaru f (x) =

− sin x , (2 cos x − 1)(2 cos2 x − 1)

položíme cos x = y a aplikujeme 1SM. Zbývá najít primitivní funkci funkce (101)

g(y) :=

1 (2y − 1)(2y 2 − 1)

v intervalech, které neobsahují žádný z bodů identita (102) kde (103)

g(y) =

1 2,

√ ± 12 2. Čtenář snadno ověří, že

c b a +√ , +√ 2y − 1 2y − 1 2y + 1

√ √ a = −2, b = 21 ( 2 + 1), c = 21 ( 2 − 1) ,

je rozkladem g(y) na jednoduché zlomky. Funkce (104)

√ √ c b G(y) := − lg |2y − 1| + √ lg | 2y − 1| + √ lg | 2y + 1|, 2 2 156

kterou lze napsat také ve tvaru (104′ )

G(y) = − lg |2y − 1| +

1 2

lg |2y 2 − 1| +

1 4

√

√2y − 1 2 lg √ , 2y + 1

je proto funkcí primitivní ke g(y) (v intervalech, které neobsahují žádný z bodů 12 , √ ± 21 2) a funkce G(cos x), tj. funkce √2 cos x − 1 √ 2 1 1 (105) F (x) := − lg |2 cos x − 1| + 2 lg |2 cos x − 1| + 4 2 lg √ , 2 cos x + 1 funkcí primitivní k f (x) v každém z intervalů (100). *** Příklad 9.12. Integrace funkcí tvaru p
(106) f (x) := R x, ax2 + bx + c ,

kde R je racionální funkce dvou proměnných a a 6= 0, b, c jsou konstanty. Označíme

(107)

p(x) := ax2 + bx + c , P := {x ∈ R : p(x) > 0}, D := b2 − 4ac

a vyšetříme tyto dva případy : A. a ∈ R− a p má dva různé reálné kořeny x1 < x2 , takže P = (x1 , x2 ). B. a ∈ R+ a p má dva různé kořeny – buď reálné, nebo imaginární. 11 )

V případě A vysvětlíme dvě metody hledání funkce primitivní k funkci (106): A1. Je-li x ∈ P , je p(x) = −a(x − x1 )(x2 − x) a všechny tři faktory jsou kladné. Vytkneme-li před odmocninu z p(x) např. výraz (x2 − x), tj. napíšeme-li (108)

p

p(x) =

p

a(x − x1 )(x − x2 ) =

√

−a (x2 − x)

r

x − x1 , x2 − x

p změní se (106) na funkci tvaru R∗ (x, (x − x1 )/(x2 − x) , kde R∗ je zřejmě opět racionální funkce. Dále tedy můžeme postupovat jako v odstavci 9.10. 12 ) A2. Napišme p(x) ve tvaru  D   b 2  b 2 D ; − = −a − x− (109) p(x) = a x + 2 2a 4a 4a 2a 11 ) Jen tyto dva případy přinesou totiž něco nového : Je-li a = b = 0 a c ≥ 0, je f (x) racionální funkce ; je-li a = b = 0 a c < 0, nemá odmocnina v (106) smysl. Případ a = 0 6= b jsme již vyšetřili v odstavci 9.10. dvojnásobný kořen x0 a je-li a < 0, má odmocnina smysl jen v bodě x0 ; pMá-li p p √ je-li a > 0, je p(x) = a (x − x0 )2 = ± a (x − x0 ) a f (x) je racionální funkce. 12 ) Lze vytknout i výraz x − x ; ať již však vytýkáme cokoli, měli bychom pečlivě zkontrolovat 1 znaménko vytýkaného výrazu .

157

protože předpokládáme, že p(x) má dva různé reálné kořeny, je D > 0, takže lze provést substituci √ D b = y. (110) x+ 2a −2a

Tím p(x) přejde ve výraz d (1 − y 2 ), kde d := −D/4a. Další substitucí y = sin t nebo y = cos t pak dostaneme funkci tvaru (77) z odstavce 9.11.  Má-li polynom p za situace B imaginární kořeny, je P = R ; má-li reálné kořeny p p −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac < x2 := , (111) x1 := 2a 2a je P = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞). V obou případech je funkce (112)

ψ(x) :=

√

ax +

diferencovatelná všude v P . Její derivace ψ ′ (x) =

(113)

√

p

ax2 + bx + c

2ax + b a+ √ 2 ax2 + bx + c

tam nemá žádný kořen, protože z rovnosti ψ ′ (x) = 0 by plynula – jak čtenář snadno ověří – rovnost D = 0. Substituční rovnice ψ(x) = t, kterou je obvyklé psát spíše ve tvaru p √ (114) ax2 + bx + c = t − a x , má pro x ∈ P a t ∈ ψ(P ) právě jedno řešení

t2 − c x = ω(t) := √ . 2 at + b

(115)

Funkce ψ : P → R a ω : ψ(P ) →na P jsou navzájem inverzní, přičemž druhá z nich splňuje všechny předpoklady 2SM v každém otevřeném intervalu J ⊂ ψ(P ). Protože ω(t) je racionální funkce proměnné t, platí totéž o její derivaci √ √ 2 a t + bt + a c √ ; ω (t) = 2 (2 a t + b)2 ′

(116) totéž však platí i o výrazu (117)

p

ax2

√ t2 − c = + bx + c = t − a √ 2 at + b

√

√ a t2 + bt + a c √ . 2 at + b

Z toho plyne, že substituce (114), jedna z tzv. Eulerových substitucí, převádí (za situace B, tj. při a > 0) integraci funkce (106) na integraci racionální funkce. 158

Z početního hlediska je velmi výhodné, že při aplikaci Eulerovy substituce v konkrétních příkladech není nutné ověřovat předpoklady druhé substituční metody, protože jsme je ověřili obecně. Všimněme si ještě, že poslední zlomky ve (116) a (117) jsou velmi podobné ; je-li navíc a = 1, je v jejich čitatelích totéž co pod odmocninou na levé straně (114) – jen x je třeba nahradit t. Této podobnosti lze využít při kontrole správnosti výpočtů v konkrétních situacích. Bylo by zbytečné pamatovat si (115); daleko lépe se asi pamatuje Eulerova substituce (114). Z této substituční rovnice vypočteme x jako funkci t, tj. najdeme funkci ω. Z toho, co jsme dokázali, plyne, že při výpočtech nebudeme mít žádné potíže, jako je např. nula ve jmenovateli nebo nejednoznačnost výsledku. Příklad 9.12a. Hledejme funkci primitivní k funkci (118)

f (x) := x

p 6 + x − x2 .

Protože koeficient u x2 je záporný a protože polynom pod odmocninou má kořeny −2 a 3, je (−2, 3) (jediný) maximální interval, v němž primitivní funkce existuje. p Napišme f (x) ve tvaru x (3 − x) (x + 2)/(3 − x), položme r 3t2 − 2 x+2 (119) = t , tj. x = ω(t) := 2 , 3−x t +1 a vypočítejme ω ′ (t) =

(120)

(t2

10t , + 1)2

3−x=

t2

5 . +1

Protože (−2, 3) = ω(R+ ), budeme hledat funkci primitivní k funkci (121)

g(t) : = f (ω(t)) ω ′ (t) = =

5 10t 3t2 − 2 · 2 ·t· 2 2 t +1 t +1 (t + 1)2

150 400 250 − 2 + 2 (t2 + 1)2 (t + 1)3 (t + 1)4

v R+ . Násobíme-li identity (282 ), (283 ), (284 ) po řadě čísly 150, −400, 250 a sečteme-li výsledky, dostaneme (po evidentní úpravě) identitu (122)

g(t) =

 25 8

arctg t +

′ t t 25 t 575 125 − + 8 t2 + 1 12 (t2 + 1)2 3 (t2 + 1)3

platnou všude v R+ . Dosadíme-li podle první rovnosti ve (119) a druhé rovnosti ve (120), dostaneme (po úpravě) tento konečný výsledek : (123)

f (x) =



25 arctg 8

r

x + 2 8x2 − 2x − 51 p 6 + x − x2 − 3−x 8 159

′

v (−2, 3).

Příklad 9.12b. Vzhledem k tomu, že polynom −x2 + 5x − 4 má kořeny 1 a 4, budeme primitivní funkci funkce (124)

f (x) :=

p

−x2 + 5x − 4

hledat v intervalu I := (1, 4); abychom ilustrovali i druhý možný postup za situace A, užijeme tentokrát rozklad  2   2  5 9 2x − 5 9 1− ; (125) −x2 + 5x − 4 = − x − + = 2 4 4 3 při lineární substituci 1 3 (2x

(126)

− 5) = t neboli x = ω(t) := 12 (3t + 5)

odpovídá intervalu I proměnné x interval J := (−1, 1) proměnné t a ω ′ (t) = 32 . Podle 2SM sestrojíme funkci g(t) := f (ω(t)) ω ′ (t) =

(127)

9 4

p

1 − t2 , t ∈ J ,

a provedeme hned další substituci t = τ (s) := sin s, s ∈ K := (− 12 π, 21 π). Její derivace τ ′ (s) = cos s je v K kladná, přičemž τ (K) = J. Aplikujeme opět 2SM a píšeme (128)

h(s) : = g(τ (s)) τ ′ (s) =

9 4

cos 2 s =


′ = 98 (s + 21 sin 2s) =

pro všechna s ∈ K. Protože v K je cos s = (129)

g(t) =

takže (130)

f (x) =

9 8

1 2

9 8

(1 + cos 2s)
′ 9 8 (s + sin s cos s)

p 1 − sin2 s

13

), je

p
′ v (−1, 1), arcsin t + t 1 − t2

p
′ v (1, 4). arcsin 41 (2x − 5) + 41 (2x − 5) −x2 + 5x − 4

Příklad 9.12c. Protože je x2 + 4x + 5 > 0 pro všechna x ∈ R, má funkce (131)

f (x) := x

p x2 + 4x + 5

p √ Obecně je cos u = ± 1 − sin2 u (a podobně sin u = ± 1 − cos2 u ) ; před užitím kterékoli z těchto identit je třeba vždy pečlivě zvážit, které znaménko je v té které konkrétní situaci správné. Kdybychom se např. rozhodli pro substituci t = cos s v intervalu (−π, 0), museli bychom sin s √ nahrazovat výrazem − 1 − cos2 s. 13 )

160

primitivní funkce v celém R. Položíme-li (132a)

x = ω(t) :=

√

x2 + 4x + 5 = t − x, bude

t2 − 5 , 2(t + 2)

ω ′ (t) =

t2 + 4t + 5 , 2(t + 2)2

p t2 + 4t + 5 t2 − 5 = ; x2 + 4x + 5 = t − 2(t + 2) 2(t + 2)

(132b)

podle 2SM budeme proto v intervalu (−2, +∞) = ω−1 (R) 14 ) integrovat funkci (133)

g(t) : = f (ω(t)) ω ′ (t) =

t2 − 5 t2 + 4t + 5 t2 + 4t + 5 · · 2(t + 2) 2(t + 2) 2(t + 2)2

1 1 1 1 t2 − 3 − − − − . 2 3 8 t + 2 8(t + 2) 2(t + 2) 8(t + 2)4

=

Dostaneme tak identitu (134)

g(t) =



t3 3t 1 1 1 − − lg (t + 2) + + + 24 8 8(t + 2) 4(t + 2)2 24(t + 2)3

′

.

√ Dosazením t = x + x2 + 4x + 5 a algebraickou úpravou výsledku (při níž vynecháme nepodstatnou aditivní konstantu 5/12) získáme identitu (135)

f (x) =

platnou všude v R.

1 3

(x2 + x − 1)

p

x2 + 4x + 5 − lg (x + 2 +

p


′ x2 + 4x + 5 )

Poznámka 9.5. Protože funkce lze často integrovat několika různými způsoby, může se stát, že získané výsledky se na první pohled dosti podstatně liší; jeden z nich může např. obsahovat funkci arcsin nebo arccos, druhý funkci arctg. Snad je proto vhodné připomenout, že platí např. identity (136′ ) (136′′ )

x arctg x = arcsin √ pro všechna x ∈ R , 1 + x2 r 1−x arccos x = 2 arctg pro všechna x ∈ (−1, 1i. 1+x

I když však tyto identity při porovnávání výsledků užijeme, nemusíme dostat stejnou primitivní funkci; v každém intervalu by se však výsledky měly lišit nejvýše o aditivní konstantu. *** 14 ) Tento interval lze najít např. tak, že vypočítáme limity v ±∞ (ryze monotónní) funkce √ ψ(x) := x + x2 + 4x + 5, která je funkcí inverzní k funkci ω(t).

161

Příklad 9.13. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Tak zde budeme nazývat rovnice tvaru y′ + f y = g ,

(137) kde (138)

funkce f, g jsou spojité v jistém intervalu (a, b) ⊂ R .

Říkáme, že funkce y : (a, b) → R je řešení 15 ) této rovnice (v intervalu (a, b)), je-li všude v (a, b) diferencovatelná a splňuje-li identitu y ′ (x) + f (x)y(x) = g(x)

(137′ )

pro každé x ∈ (a, b). Obecným řešením rovnice (137) (v intervalu (a, b)) se nazývá množina všech jejích řešení (v (a, b)); rozřešit rovnici (137) znamená najít její obecné řešení. Integračním faktorem rovnice (137) nazýváme každou funkci tvaru ± exp ◦F , kde F ∈ P F (f ; a, b). Podle V.9.2 integrační faktory existují; snadno přitom nahlédneme (sr. s V.9.1 ), že platí: Je-li H integrační faktor rovnice (137), jsou integračními faktory této rovnice právě všechny funkce tvaru kH, kde 0 6= k ∈ R. Popišme nyní jednoduchý algoritmus řešení rovnice (137) (za předpokladu (138)):

1. Rovnici (137) vynásobíme (kterýmkoli) jejím integračním faktorem; protože tento faktor je všude nenulová funkce, je rovnost (137) ekvivalentní s rovností (y ′ + f y) · exp ◦F = g · exp ◦F

(139)

v tom smyslu, že identita (137′ ) platí všude v (a, b), právě když všude v (a, b) platí identita (y ′ (x) + f (x)y(x))eF (x) = g(x)eF (x) .

(139′ )

2. Levá strana rovnice (139′ ) je zřejmě derivací funkce y(x)eF (x) . Pravá strana této rovnice je funkce spojitá v (a, b), a má tam tedy primitivní funkce. Je-li G(x) kterákoli z nich, je (139′ ) ekvivalentní s rovnicí (139′′ )

y(x)eF (x)


′

= G′ (x).

3. Právě napsaná rovnost derivací, platná všude v (a, b), je ekvivalentní s existencí konstanty c ∈ R, pro niž je y(x)eF (x) = G(x) + c všude v (a, b), což je dále ekvivalentní s rovností (140) 15 )

y(x) = e−F (x) (G(x) + c) pro všechna x ∈ (a, b). Často se podrobněji říká „partikulární řešení ÿ.

162

Z postupu řešení je zřejmé, že (141)

funkce y : (a, b) → R je řešením rovnice (137), právě když existuje c ∈ R tak, že platí (140).

Zároveň je patrné, že (142)

pro každá dvě čísla x0 ∈ (a, b), y0 ∈ R existuje právě jedno řešení y : (a, b) → R rovnice (137) tak, že y(x0 ) = y0 ;

dosazením do (140) získáme ihned příslušnou konstantu c = y0 eF (x0 ) − G(x0 ).

Zadáme-li čísla x0 ∈ (a, b), y0 ∈ R, říkáme, že jsme zadali počáteční podmínky řešení rovnice (137); často se stručněji mluví o počáteční podmínce y(x0 ) = y0 . Jak je patrné, zadání počáteční podmínky vede k výběru právě jednoho řešení z nekonečné množiny všech řešení rovnice (137) neboli z jejího obecného řešení. Poznámka 9.6. Grafy řešení se nazývají integrální křivky. Tvrzení (142) názorně znamená, že každým bodem množiny (a, b) × R prochází právě jedna integrální křivka. Příklad 9.13a. Rozřešme diferenciální rovnici y ′ + xy = x .

(143)


′
Protože je x = 21 x2 pro všechna x ∈ R, je funkce exp 12 x2 integračním faktorem
′ 2 2 rovnice. Kromě toho je xex /2 = ex /2 pro všechna x ∈ R. Řešeními rovnice (143) jsou tedy právě všechny funkce y : R → R tvaru

(144)

2

y (x) = e−x

/2

2

· ex

/2


2 + c = 1 + c ex /2 , kde c ∈ R .

Řešení y, splňující např. počáteční podmínku y (0) = 0, získáme dosazením této rovnosti do (144); odpovídající konstantou je zřejmě c = −1. Příklad 9.13b. Rozřešme diferenciální rovnici

y ′ + y cotg x = cos x ;

(145)

maximálními intervaly, v nichž jsou spojité funkce cotg x a cos x jsou intervaly Ik := (kπ, (k + 1)π), kde k ∈ Z. Protože v každém Ik je (146)


′ cotg x = (lg | sin x |)′ , cos x | sin x | = cos x · (−1)k sin x = (−1)k 12 sin2 x ,

je funkce y : Ik → R řešením rovnice (145), právě když existuje konstanta ck tak, že rovnost (147)

y (x) =

(−1)k sin x

1 2

(−1)k sin2 x + ck ) = 163

1 2

sin x +

(−1)k ck sin x

platí pro všechna x ∈ Ik . Protože každé číslo ck lze napsat ve tvaru (−1)k dk , lze ekvivalentně říci, že funkce y : Ik → R je řešením rovnice (145), právě když existuje konstanta dk ∈ R tak, že (147′ )

y (x) =

1 2

sin x +

dk pro všechna x ∈ Ik . sin x

Řešení y (v Ik ), které splňuje počáteční podmínku y ( 12 (2k + 1)π) = 0, se získá dosazením do (147′ ); odpovídá mu konstanta d = − 21 . 

Algoritmus řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu pomocí integračního faktoru není v zásadě nijak složitý ; často však narazíme na neodstranitelnou překážku související s tím, že primitivní funkce některých jednoduchých spojitých funkcí nepatří mezi tzv. elementární funkce 16 ). Ilustrujme to příkladem: Příklad 9.13c. Rovnice y ′ − 2xy = 1,

(148)

na první pohled jednodušší než rovnice (143), má řešení opět v celém R. Protože jejím integračním faktorem je funkce exp(−x2 ), je rovnice ekvivalentní s rovnicí 2 2
′ (149) ye−x = e−x ,

jejíž pravá strana patří mezi nejznámější funkce, které nemají elementární primitivní funkci. Označíme-li však Erf(x) funkci primitivní k exp(−x2 ) splňující podmínku Erf(0) = 0, můžeme v algoritmu pokračovat: Všude v R je (150)

2

2

y(x)e−x = Erf(x) + c , tedy y(x) = (Erf(x) + c)ex ,

kde c je libovolná konstanta. Tím je popsáno obecné řešení rovnice (148). Pokud poněkud předběhneme a užijeme výsledků z kapitoly 10, můžeme funkci Erf(x) napsat ve tvaru Z x 2 e−x dx , x ∈ R ; (151) Erf(x) = 0

druhý ze vztahů (150) lze pak nahradit rovností Z x  2 2 e−x dx + c , x ∈ R , (150′ ) y(x) = ex 0

z níž je patrné na první pohled, kterou funkci jsme integrovali. 17 ) 16 ) Jsou to zhruba řečeno funkce, které nelze vytvořit z „běžných funkcíÿ (jako jsou obecné mocniny, exponenciály, logaritmy, goniometrické a cyklometrické funkce) konečným počtem algebraických operací a superpozic. 17 ) Funkce (151) („Error functionÿ) má principiální význam pro teorii pravděpodobnosti, ale √ také např. pro některé fyzikální obory ; až na multiplikativní konstantu 2/ π je to tzv. pravděpodobnostní integrál , jehož hodnoty jsou již desítky let podrobně tabelovány.

164

Cvičení V každém z příkladů 9.01– 9.148 je úkolem najít funkci primitivní k dané funkci, a to ve všech maximálních (otevřených) intervalech, v nichž existuje ; α a β jsou libovolná reálná čísla. 2

9.01. x3 sin x2

9.02. x5 e−x

9.03. x3 lg (1 + x2 )

9.04. xα lg x

9.05. x sin x

9.06. x cos x

9.07. x2 sin x

9.08. x2 cos x

9.09. x3 sin x

9.10. x3 cos x

9.11. sin2 x

9.12. cos2 x

9.13. sin3 x

9.14. cos3 x

9.15. x sinh x

9.16. x cosh x

9.17. x2 sinh x

9.18. x2 cosh x

9.19. arcsin x

9.20. arctg x

9.21. x2 arctg x

9.22. x2 arccotg x

9.23. x2 arcsin x

9.24. x2 arccos x

9.25.

x 4 x +1

cos x 1 + 3 sin2 x 1 9.31. 2 x lg x (lg x − 1) arcsin x 9.34. √ 1 − x2 x arctg x 9.37. √ 1 + x2 9.28.

x cos2 x 1 9.43. 3 x +1 32x5 9.46. (2x − 1)3 1 9.49. (x − 1)3 (x + 1) 9.40.

9.52. cos αx cos βx 9.55.

1 x4 + 1

9.26.

x3 x4 + 1

e3x + 1 ex + 1 sin 2x 9.32. 2 cos2 x − 3 x arcsin x 9.35. p (1 − x2 )3 arcsin x 9.38. p (1 − x2 )3 9.29.

9.41.

1 x4 − 1

3 + 1)(x2 + 4) x5 9.47. (x2 − 4)2 x4 9.50. (x2 − 1)(x − 2) p x2 + 1 9.53. 9.44.

9.56.

(x2

x2 x4 + 1 165

9.27. p

x (1 + x2 )3

1 √ x x2 + 1 1 9.33. 2x e −1 x arcsin x 9.36. √ 1 − x2 x 9.39. sin2 x

9.30.

9.42. 9.45. 9.48. 9.51. 9.54.

4x2 x4 − 1 3x − 1 2 x (x − 1)2 x6 (x2 + 2)2 √ x √ 1+ x+x p x2 − 1

√ √ 9.57. 3 x · arctg x

9.58.

sin x (cos x − 1)(2 cos x − 1)

9.59.

1 sin x (2 cos2 x − 1)

sinh x cosh x (sinh2 x − 3) 4 √ 9.62. √ 2 x + 1 − x2 − 1

6 lg x x (lg x − 1)(lg2 x − 4) x3 + 2x + 2 9.63. 3 x − 3x2 + 2x

9.64.

9.65.

9.60.

9.61.

x4 − 6x2 + 81 x (x2 − 9)2 7x2 − x + 5 9.67. 4 x + x2 + 1

2x2 + 6x + 5 x4 + 5x2 + 4 x4 9.66. 3 x − 2x2 − 5x + 6

9.68.

x4 + x3 − 4x2 + 20x + 16 (x + 2)3 (x − 2)2

9.69.

x5 + 3x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 2 x2 (x2 + 2x + 2)

9.70.

(x2

2

x6 + x4 + x2 + 1 + 1)2 (x2 − 2x + 2)(x − 1)2

e2x e4x + 1 e3x 9.73. 2x e −1 1 9.75. 2x e − ex + 1

e3x e2x + 1 ex 9.74. 2x e + ex + 1 ex 9.76. 4x e +1

9.77.

1 lg2 x x lg3 x + 8

9.78.

9.79.

lg x + 1 1 x lg2 x − lg x + 1

9.80.

9.71.

9.81. 9.83. 9.85. 9.87. 9.89.

9.72.

1 lg (2x) x lg2 x + 3 r 1 x−1 x 2−x r 1 2−x x x−3 r 1 x−3 x−3 6−x r x+2 x x+4

9.82. 9.84. 9.86. 9.88. 9.90. 166

lg2 x 1 x (lg x − 1)2 1 1 x lg4 x − 1

1 1 3 x lg x − 5 lg2 x + 6 lg x r x−1 2−x r 2−x 1 x2 x − 3 r x−3 (x − 3) 6−x r x+2 x2 x+4

√ 4x √ 9.91. √ x+ 4x+1 9.93. p 3

1 (x + 2)2 − 3

1 √ 9.92. √ x+ x+1+1 1 √ (x − 1)2 + 3 x − 1 √ 2 3x+3 9.96. p √ 3 (x + 3)2 − 2 3 x + 3 + 2

9.94. p 3

√ 3 x+2−4

r

x+2 x−1 √ 2 3x−1+1 √ 9.97. 2 3x−1−1

9.95.

9.99. 9.101. 9.103. 9.105.

3

9.98.

sin x sin x + 1

9.100.

1 (1 − cos x) sin x 1 2 sin x − 1 2

cos x sin x − cos x

cos x cos x + 1

sin x cos3 x − 1

9.102.

1 (1 + cos x) sin x

9.104.

sin x sin x − cos2 x

9.106.

2

1 sin x − cos x

9.107.

2 sin x sin2 x + 1

9.108.

sin x sin x + 2 cos2 x

9.109.

sin x cos x sin4 x + cos4 x

9.110.

1 sin x + 2

9.111.

1 cos x + 3

9.112.

9.113.

cos x (sin x − 1)(sin2 x + 1)

sin x sin4 x − 1

1 9.114. √ 3 − 4 sin x cos x

9.115.

1 cos2 x (4 sin2 x − 1)

9.116.

2

1 (2 sin2 x − 1)(2 cos2 x − 1)

9.117.

1 sin x + cos4 x

9.118.

1 3 cos x + 4 sin x + 5

9.119.

sin x + sin3 x cos x + cos3 x

9.120.

sin2 x sin2 x + sin x cos x + cos2 x

9.121.

1 2 sin x − cos x + 3

9.122.

1 cos2 x − 4 cos x sin x + 5 sin2 x

4

sin x + cos x sin x + cos x + 2 p x2 + 2x − 3 9.125.

1 sin x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x p 9.126. x x2 + 2x − 3

9.123.

9.124.

167

2

1p 2 x + 2x − 3 x p x2 − 5x + 4 9.129.

1 p 2 x + 2x − 3 x2 p 9.130. x x2 − 5x + 4

9.127.

9.128.

1p 2 x − 5x + 4 x p (x − 1)(5 − x) 9.133.

1 p 2 x − 5x + 4 x2 p 9.134. x2 + x + 1

9.137.

9.138.

9.131.

9.135.

9.139. 9.141. 9.143. 9.145. 9.147.

9.132.

1p 2 x +x+1 x p x x2 + x + 1 √ x2 − x + 1 + x √ x2 − x + 1 − x 1 √ x 8 + 2x − x2 1 √ (x − 1) x2 − 2 8x3 √ √ 2 x + 4 + x2 − 4 1 √ √ x2 + 1 − x2 − 1

9.136.

9.140. 9.142. 9.144. 9.146. 9.148.

1 p 2 x +x+1 x2 √ x2 − x + 1 − x √ x2 − x + 1 + x x √ 8 + 2x − x2 15 √ 2 x 15 − 2x − x2 2x √ 2 9 − x − (9 − x2 ) x+1 p 2 (x + x + 1)3 1 √ 4 − x2 + 4 − x2

V příkladech 9.149 – 9.170 je úkolem najít obecná řešení příslušných rovnic, a to v maximálních intervalech, v nichž existují. 9.149. y ′ − xy = x

9.150. y ′ − y = x3

9.151. y ′ − x2 y = x2

9.152. y ′ + y = ex

9.153. y ′ − y = ex sin x

9.154. y ′ + y = sin x

9.155. y ′ + 3x2 y = 3x5

9.156. y ′ + y = 5ex sin x

9.157. y ′ + sin x · y = sin x

9.159. y ′ +

1 y = 2 x2 x y 9.161. y ′ + =1 x lg x

y =x x 1 y = 9.160. y ′ + sin2 x sin2 x xy 9.162. y ′ + 2 =x x +1

9.163. y ′ + lg x · y = x−x

9.164. y ′ − tg x · y = x

9.158. y ′ +

168

x2 y = x2 x3 − 1 1 y =√ 9.167. y ′ + √ 2 1−x 1 − x2 y √ =x 9.169. y ′ + arcsin x · 1 − x2

y = 3x 1 + x2 y √ 9.168. y ′ + =1 arcsin x · 1 − x2 p y 9.170. y ′ − √ = 3 1 + x2 1 + x2

9.165. y ′ +

9.166. y ′ + √

Řešení Připomeňme, že lze napsat „F ′ (x) = f (x) pro všechna x ∈ M ÿ, protože derivování se provádí v množině M „bod po boduÿ, ale případě, že M je např. sjednocením dvou disjunktních intervalů (a, b), (c, d), je třeba říci, že „F je primitivní funkcí funkce f v (a, b) a v (c, d)ÿ, protože pojem primitivní funkce byl zaveden
′ jen v (otevřených) intervalech. (P ř í k l a d : Lze napsat „ x (lg |x | − 1) = lg |x | pro všechna x 6= 0 ÿ, ale je třeba říci, že „x (lg |x | − 1) je funkce primitivní k funkci lg |x | v intervalech R− a R+ ÿ.) V seznamu řešení příkladů 9.01– 9.148 dáme přednost prvnímu způsobu zápisu, protože je stručnější; každá z funkcí uvedených v následujícím seznamu má tedy v uvedeném oboru derivaci rovnou funkci zadané pod týmž číslem ve Cvičení. − x2 cos x2 ) v R
2 9.02. − 12 e−x 2 + 2x2 + x4 v R

9.01.

2 1 2 (sin x

(x4 − 1) lg (1 + x2 ) + 18 x2 (2 − x2 ) v R   α+1
   x (α + 1) lg x − 1 pro α 6= −1 2 (α + 1) v R+ 9.04.    1 lg2 x pro α = −1 9.03.

1 4

2

9.05. sin x − x cos x v R

9.06. cos x + x sin x v R 9.07. (2 − x2 ) cos x + 2x sin x v R 9.08. (x2 − 2) sin x + 2x cos x v R 9.09. (6 − x2 )x cos x + 3(x2 − 2) sin x v R 9.10. (x2 − 6)x sin x + 3(x2 − 2) cos x v R 9.11.

1 2 (x

− sin x cos x) v R

9.12.

1 2 (x

+ sin x cos x) v R

9.13. −

1 3

cos x (2 + sin2 x) (=

1 3

cos3 x − cos x) v R 169

9.14.

1 3

sin x (2 + cos2 x) (= sin x −

1 3

sin3 x) v R

9.15. x cosh x − sinh x v R 9.16. x sinh x − cosh x v R 9.17. (x2 + 2) cosh x − 2x sinh x v R 9.18. (x2 + 2) sinh x − 2x cosh x v R p 9.19. x arcsin x + 1 − x2 v (−1, 1) 9.20. x arctg x − 9.21.

3 1 6 (2x

1 2

lg (x2 + 1) v R

arctg x + lg (x2 + 1) − x2 ) v R

9.22.

3 1 6 (2x

arccotg x − lg (x2 + 1) + x2 ) v R p 9.23. 19 (3x3 arcsin x + (x2 + 2) 1 − x2 ) v (−1, 1) p 9.24. 91 (3x3 arccos x − (x2 + 2) 1 − x2 ) v (−1, 1) 9.25.

1 2

arctg x2 v R

9.26.

1 4

lg (x4 + 1) v R

1 vR 9.27. − √ 1 + x2 √ √ 9.28. 31 3 arctg ( 3 sin x) v R 9.29.

1 2x 2e

√

− ex + x v R

x2 + 1 − 1 pro x 6= 0 |x | 1 1 9.31. lg 1 − pro x ∈ R+ , 1 6= x 6= e + lg x lg x 9.30. lg

9.32. − 9.33.

1 2

1 2

lg (3 − 2 cos2 x) v R

lg |e2x − 1| − x pro x 6= 0

arcsin2 x v (−1, 1) r 1−x arcsin x v (−1, 1) + lg 9.35. √ 2 1+x 1−x p 9.36. x − 1 − x2 arcsin x v (−1, 1) p p 9.37. 1 + x2 arctg x − lg (x + 1 + x2 ) v R 9.34.

1 2

170

p x arcsin x √ + lg 1 − x2 v (−1, 1) 1 − x2 9.39. lg | sin x | − x cotg x pro x 6= kπ

9.38.

9.40. lg | cos x | + x tg x pro x 6= 12 (2k + 1)π x − 1 1 9.41. 41 lg − 2 arctg x pro x 6= ±1 x+1 x − 1 9.42. lg + 2 arctg x pro x 6= ±1 x+1 2x − 1 1 x+1 pro x 6= −1 9.43. 13 lg √ + √ arctg √ 3 3 x2 − x + 1 9.44. arctg x − 12 arctg 12 x v R x 1 2 9.45. lg , je-li 0 6= x 6= 1 + − x−1 x x−1 5 1 pro x 6= 12 − 9.46. 34 x3 + 3x2 + 6x + 5 lg |2x − 1| − 2(2x − 1) 4(2x − 1)2 8 9.47. 21 x2 + 4 lg |x2 − 4| − 2 pro x 6= ±2 x −4 √ x 2x vR 9.48. 31 x3 − 4x + 5 2 arctg √ − 2 2 x +2 1 x − 1 1 x − 2 9.49. pro x 6= ±1 lg + 8 x+1 4 (x − 1)2  1  x + 1 9.50. lg + 32 lg |x − 2| + 3x2 + 12x , je-li ± 1 6= x 6= 2 3 6 (x − 1) √ √ √ 2 2 x+1 v R+ 9.51. 2 x − lg (x + x + 1) − √ arctg √ 3 3    1 sin (α + β)x sin(α − β)x    2 2   pro α = 6 β +     2 α + β α − β       1 sin αx cos αx 9.52. 2 2 x+ pro α = β 6= 0     2 α         x pro α = β = 0 p p
9.53. 12 x x2 + 1 + lg (x + x2 + 1 ) v R p p
9.54. 21 x x2 − 1 − lg |x + x2 − 1 | , je-li |x | > 1 √  √ √ √ 2 x2 + 2x + 1  √ 2 arctg ( 2x + 1) + 2 arctg ( 2x − 1) + lg vR 9.55. 8 x2 − 2x + 1 √  √ √ √ x2 + 2x + 1  2 √ 9.56. 2 arctg ( 2x + 1) + 2 arctg ( 2x − 1) − lg vR 8 x2 − 2x + 1 √ √ 9.57. 2 x3 arctg x + lg (x + 1) − x v R+

171

2 cos x − 1 9.58. lg , je-li 0 6≡ x 6≡ ± 13 π mod 2π cos x − 1 √2 cos x + 1  (2k + 1)π 1  cos x − 1 √ lg 9.59. + 2 lg √ , je-li kπ 6= x 6= 2 cos x + 1 4 2 cos x − 1 2 √ | sinh x − 3| pro x 6= ± argsinh 3 9.60. 18 lg 2 cosh x lg2 x − 4 9.61. lg 2 pro x ∈ R+ − {e, e−1 , e2 , e−2 } lg x − 1 √ p p
x + x2 + 1 2 2 √ 9.62. x x + 1 + x − 1 + lg , je-li |x | > 1 |x + x2 − 1|

9.63. x + lg |x | − 5 lg |x − 1| + 7 lg |x − 2| pro x ∈ R − {0, 1, 2} 9.64. arctg x + 9.65. lg |x | − 9.66.

9.67. 9.68. 9.69. 9.70. 9.71.

1 2 2x

arctg 12 x + lg

1 2

x2

x2 + 1 vR x2 + 4

6 , je-li 0 6= x 6= ±3 −9

+ 2x +

16 15

lg |x + 2| −

1 6

lg |x − 1| +

81 10

lg |x − 3|

pro x ∈ R − {−2, 1, 3} 2x + 1 1  2x − 1  1 x2 − x + 1 √ 7 arctg √ + 2 lg 2 + 5 arctg √ vR x +x+1 3 3 3 1 1 pro x 6= ±2 + lg |x + 2| − x − 2 (x + 2)2 1 2 1 2 2 x + x − x − lg (x + 2x + 2) + 3 arctg (x + 1) pro x 6= 0 (x2 + 1)(x − 1)10 1 2 1 3 5 arctg (x − 1) − 5 arctg x + 10 lg (x2 − 2x + 2)6 − x − 1 pro x 6= 1 1 2

arctg e2x v R

9.72. ex − arctg ex v R ex − 1 9.73. ex + 12 lg x pro x 6= 0 e +1 2 2ex + 1 9.74. √ arctg √ vR 3 3 1 2ex − 1 1 − 2 lg (e2x − ex + 1) v R 9.75. x + √ arctg √ 3 3 √  √ √ x √ x 2 e2x + 2ex + 1  1 √ arctg ( 2e + 1) + arctg ( 2 e − 1) + 2 lg vR 9.76. 4 e2x − 2ex + 1 9.77.

1 3

lg | lg3 x + 8| v R+ − {e−2 }

172

9.78. lg x + 2 lg | lg x − 1| −

1 v R+ − {e} lg x − 1

√ 2 lg x − 1 1 √ 3 arctg + 2 lg (lg2 x − lg x + 1) v R+ 3 lg x − 1 1 9.80. 14 lg − 2 arctg (lg x) v R+ − {e, e−1 } lg x + 1

9.79.

lg 2 lg x 9.81. √ arctg √ + 3 3 9.82.

9.83. 9.84. 9.85. 9.86. 9.87. 9.88. 9.89.

9.90.

9.91. 9.92. 9.93.

1 2

lg (lg2 x + 3) v R+

lg | lg x | − 21 lg | lg x − 2| + 13 lg | lg x − 3| v R+ − {1, e2 , e3 } r r x−1 √ 2(x − 1) 2 arctg − 2 arctg v (1, 2) 2−x 2−x r x−1 p arctg − (x − 1)(2 − x) v (1, 2) 2−x s r 4 2−x 3(2 − x) 2 arctg − √ arctg v (2, 3) x−3 2(x − 3) 6 p r (x − 2)(3 − x) 3 x−2 1 √ arctg − v (2, 3) 2 3 − x 3x 3 6 r x−3 2x − 9 nebo 2 arctg v (3, 6) arcsin 3 6−x r r 27 x−3 1 x−3 arctg + (x − 6)(2x + 3) v (3, 6) 4 6−x 4 6−x r  r  r x+2 x+2 7 x+2 lg + 1 − lg − 1 + 12 (x + 4)(x − 5) 2 x+4 x+4 x+4 1 6

v (−∞, −4) ∪ (−2, +∞)  r  r x+2 x+2 25 lg − 1 − lg + 1 2 x+4 x+4 r x+2 v (−∞, −4) ∪ (−2, +∞) + 61 (x + 4)(2x2 − 9x + 49) x+4 √ √ √ √ √
4√ 2 4 x + 1 4 3 √ + 2 lg ( x + 4 x + 1) − x v R+ x − 3 arctg 3 3 p √ √ √ 1 x (x + 1) − lg ( x + x + 1 ) v R+ 2 x+2 x− √ √ √
3 1 x + 2 − 4| − 3 lg | 3 x + 2 + 1| + 15 3 x + 2 , 5 48 lg |

je-li − 3 6= x 6= 62 √ √
9.94. 3 3 x − 1 − lg | 3 x − 1 + 1| , je-li 0 6= x 6= 1 173

r

 rx + 2  x+2 1 3 9.95. (x − 1) lg |x − 1| + 3 lg − − 1 x−1 2 x−1  1  rx + 2  √ +1 pro x 6= 1 + 3 arctg √ 2 3 x−1 3 p p √ √
9.96. 6 lg 3 (x + 3)2 − 2 3 x + 3 + 2 + 3 3 (x + 3)2 + 12 3 x + 3 √
− 12 arctg 3 x + 3 − 1 p √ √
9.97. x + 32 3 (x − 1)2 + 3 x − 1 + 43 lg |2 3 x − 1 − 1| pro x 6= 3

9 8

sin x , je-li x 6≡ π mod 2π cos x + 1 cos x , je-li x 6≡ − 21 π mod 2π 9.99. x + sin x + 1 1 − cos3 x 2 cos x + 1 1 1 √ + 6 lg , je-li x 6= 2kπ 9.100. √ arctg (1 − cos x)3 3 3 1 1 − cos x 9.101. + 1 lg , je-li x 6≡ 0 mod π 2(cos x − 1) 4 1 + cos x 1 − cos x 1 + 1 lg pro x 6≡ 0 mod π 9.102. 2(cos x + 1) 4 1 + cos x cos x − sin x 9.103. 12 lg pro x 6= 14 (2k + 1)π cos x + sin x √ 2 cos x − 1 1 pro x 6= 1 (2k + 1)π 9.104. √ lg √ 4 2 2 2 cos x + 1
9.105. 21 lg | sin x − cos x | − x pro x 6= 41 (4k + 1)π √ 1 − cos x + (1 − 2) sin x 1 pro x 6≡ 1 π mod π √ 9.106. √ lg 4 2 1 − cos x + (1 + 2) sin x √ 1 2 − cos x 9.107. √ lg √ vR 2 2 + cos x 9.98. x −

9.108. − arctg (cos x) v R arctg (2 sin2 x − 1) v R     2 2 + sin x − 2 cos x    √ arctg + kπ v ((2k − 1)π, (2k + 1)π)  √ 3 3 sin x 9.110. π     pro x = (2k + 1)π   (2k + 1) √ 3     1 1 − cos x     √ √ arctg + kπ v ((2k − 1)π, (2k + 1)π)   2 2 sin x 9.111. π     pro x = (2k + 1)π  (2k + 1) √  2 2 9.109.

1 2

174

√ 1 2 + cos x 1 9.112. √ lg √ − pro x 6= 12 (2k + 1)π 2 cos x 4 2 2 − cos x 9.113. 9.114. 9.115. 9.116.

9.117.

9.118.

(1 − sin x)2 − 21 arctg (sin x) pro x 6= 12 (4k + 1)π 1 + sin2 x √ 3 cos x − sin x 1 , je-li kπ + 1 π 6= x 6= kπ + 1 π √ 2 lg 6 3 3 sin x − cos x  √  3 sin x − cos x 2 1 , je-li 1 π 6≡ x 6≡ ± 1 π mod π tg x + √ lg √ 2 6 3 3 3 sin x + cos x sin x cos x pro x 6= 41 (2k + 1)π 1 − 2 cos2 x   √ 1     √ 2kπ + arctg ( 2 tg x + 1)        2  √
1 1 + arctg ( 2 tg x − 1) v ( 2 (2k − 1)π, 2 (2k + 1)π)       π   1    (2k + 1) √  pro x = 2 (2k + 1)π 2   sin x  , je-li π 6≡ x 6≡ π + 2 arctg 12 mod 2π  cos x − 2 sin x − 1   0 pro x = (2k + 1)π 1 4

lg

lg (cos2 x + 1) − 2 lg | cos x | pro x 6= 21 (2k + 1)π   2 sin x + cos x  1      √ √ kπ + arctg       3 3 cos x   1 1 1 − 2 lg (1 + sin x cos x) v ( 2 (2k − 1)π, 2 (2k + 1)π) 9.120.       π       (2k + 1) √ pro x = 12 (2k + 1)π 2 3      arctg 1 + 2 sin x + kπ v ((2k − 1)π, (2k + 1)π) cos x + 1 9.121.  1 (2k + 1)π pro x = (2k + 1)π 2    arctg (5 tg x − 2) + kπ v ( 21 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)π) 9.122.  1 (2k + 1)π  pro 21 (2k + 1)π 2   1 √ √   x − 2 2 arctg tg 2√x + 1 − 2 2kπ v ((2k − 1)π, (2k + 1)π)  2 9.123. √     (2k + 1)(1 − 2)π pro x = (2k + 1)π      arctg cos x + sin x + kπ v ( 1 (2k − 1)π, 1 (2k + 1)π) 2 2 cos x 9.124.  1 pro 21 (2k + 1)π 2 (2k + 1)π 9.119.

3 2

175

9.125.

1 2 (x

+ 1)

p

x2 + 2x − 3 − lg x + 1 +

p

x2 + 2x − 3


2

v (−∞, −3) ∪ (1, +∞) p p
2 9.126. 61 (2x2 + x − 9) x2 + 2x − 3 + lg x + 1 + x2 + 2x − 3

v (−∞, −3) ∪ (1, +∞) p p 9.127. x2 + 2x − 3 − lg x + 1 − x2 + 2x − 3 √ √ x − x2 + 2x − 3 √ + 2 3 arctg v (−∞, −3) ∪ (1, +∞) 3 p p x2 + 2x − 3 2 x + x2 + 2x − 3 √ 9.128. √ arctg − x 3 3 p + lg x + 1 + x2 + 2x − 3 v (−∞, −3) ∪ (1, +∞) p p 9.129. 14 (2x − 5) x2 − 5x + 4 − 98 lg 2x − 5 + 2 x2 − 5x + 4 v (−∞, 1) ∪ (4, +∞)

9.130.

2 1 24 (8x

p − 10x − 43) x2 − 5x + 4 −

45 16

p lg 2x − 5 + 2 x2 − 5x + 4

v (−∞, 1) ∪ (4, +∞) √ p 5x − 8 + 4 x2 − 5x + 4 2 9.131. x − 5x + 4 + 2 lg x p − 52 lg 2x − 5 + 2 x2 − 5x + 4 v R− ∪ (0, 1) ∪ (4, +∞) √ √ 2 5x − 8 − 4 x2 − 5x + 4 − x − 5x + 4 9.132. − lg x x p + lg 2x − 5 + 2 x2 − 5x + 4 v R− ∪ (0, 1) ∪ (4, +∞) r p 5−x nebo 9.133. 21 (x − 3) (x − 1)(5 − x) − 4 arctg x−1 p 1 (x − 1)(5 − x) + 2 arcsin 21 (x − 3) v (1, 5) (x − 3) 2 5 4

9.134.

1 4 (2x

9.135.

p

p + 1) x2 + x + 1 +

3 8

lg 2

p


x2 + x + 1 + 2x + 1

p x2 + x + 1 + 21 lg 2 x2 + x + 1 + 2x + 1 √ 2 2 x + x + 1 − x − 2 v R− ∪ R+ + lg x 176

√ 2 √ 2 2 x + x + 1 − x − 2 − x +x+1 9.136. lg x x p
+ lg 2 x2 + x + 1 + 2x + 1 v R− ∪ R+ 1 2

9.137.

2 1 24 (8x

9.138.

15 4

9.139.

p + 2x + 5) x2 + x + 1 −

3 16

p lg (2 x2 + x + 1 + 2x + 1) v R

p p lg (2 x2 − x + 1 + 2x − 1) − 4 lg ( x2 − x + 1 + x)

p + 12 (2x + 3) x2 − x + 1 − x2 − x v R

1 4

p p lg (2 x2 − x + 1 + 2x − 1) − 4 lg x2 − x + 1 + x − 2

p − 21 (2x + 3) x2 − x + 1 − x2 − x v R − {1} r

x+2 p − 8 + 2x − x2 nebo 4−x p arcsin 31 (x − 1) − 8 + 2x − x2 v (−2, 4)

9.140. 2 arctg

√ √ 2 2 8 + 2x − x2 − x − 8 1 v (−2, 0) ∪ (0, 4) 9.141. √ lg x 2 2 √ √ √ 2 15 15 − 2x − x2 + x − 15 1 − 15 − 2x − x 9.142. √ lg x x 15 v (−5, 0) ∪ (0, 3)

9.143. 2 arctg x − 1 +

p

√
x2 − 2 , je-li |x | > 2

√ p 9.144. 2 lg 9 − x2 − 1 , je-li 2 2 6= |x | < 3

9.145.

1 15

p p
(3x2 − 8) (x2 + 4)3 − (3x2 + 8) (x2 − 4)3 , je-li |x | > 2

x−1 2 √ vR 2 3 x +x+1   √ 2 p p
x +1+x 1 lg √ 9.147. + x x2 + 1 + x2 − 1 , je-li |x | > 1 4 | x2 − 1 + x | √ √ √ 1 2 − x + (2 + 3 ) 2 + x 9.148. √ lg √ v (−2, 2). √ √ 3 2 − x + (2 − 3 ) 2 + x

9.146.

177

Následují obecná řešení diferenciálních rovnic 9.149 – 9.170; c znamená libovolnou reálnou konstantu. 9.149. c exp (− 12 x2 ) − 1 v R 9.150. c ex − (x3 + 3x2 + 6x + 6) v R 9.151. c exp ( 13 x3 ) − 1 v R 9.152.

1 x 2e

+ c e−x v R

9.153. ex (c − cos x) v R 9.154. c e−x + 12 (sin x − cos x) v R 9.155. x3 − 1 + c exp(−x3 ) v R 9.156. ex (2 sin x − cos x) + c e−x v R 9.157. 1 + c exp (cos x) v R c 9.158. + 1 x2 v R− a v R+ x 3 9.159. 1 + c e1/x v R− a v R+ 9.160. c exp (cotg x) + 1 v (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z c−x 9.161. + x v (0, 1) a v (1, +∞) lg x c vR 9.162. 31 (x2 + 1) + √ x2 + 1 9.163. (c ex − 1)x−x v R+ c 9.164. 1 + x tg x + v ( 12 (2k − 1)π, 12 (2k + 1)π), k cos x c v (−∞, 1) a v (1, +∞) 9.165. 41 (x3 − 1) + √ 3 3 x −1 p c √ + 1 + 2x2 − x 1 + x2 v R 9.166. x + 1 + x2

9.167. 1 + c exp (− arcsin x) v (−1, 1) √ c + 1 − x2 v (−1, 0) a v (0, 1) 9.168. x + arcsin x √  1  c + x 1 − x2 9.169. + 2x2 − 1 v (−1, 0) a v (0, 1) 4 arcsin x p 2 9.170. x + cx − 1 + (c + 2x) 1 + x2 v R

178

∈

Z

Dodatek ke kapitole 9 Hledání R funkce primitivní k funkci f je v literatuře nerozlučně spjato se symbolem f (x) dx, který se nazývá neurčitý integrál a v němž lze místo „integrační proměnnéÿ x napsat kterékoli jiné, nezadané písmeno. Rovnost Z

(i)

f (x) dx +

Z

g(x) dx =

Z

(f (x) + g(x)) dx

má naznačit, že sečtením funkcí F , G primitivních k f , g získáme funkci primitivní k součtu f + g. Integrace per partes má při tomto značení tvar (ii)

Z

přičemž F (x) := tvím vzorce

R

(iii)

F (x)g(x) dx = F (x)G(x) − f (x) dx, G(x) := Z

R

f (x) dx =

Z

f (x)G(x) dx ,

g(x) dx. Substituce se provádí prostřednicZ

f (ω(t)) ω ′ (t) dt .

Pokud zůstaneme na takovéto úrovni „vyprávěníÿ, Rneobjeví se žádný problém; hůře to ovšem dopadne, budeme-li chtít smysl symbolu f (x) dx vysvětlit a dodržet při zacházení s ním běžná matematická pravidla. Máme v zásadě dvě možnosti: snažit se smysl uvedeného symbolu přesně definovat, nebo – zejména pokud se nám to nepovede – přestat tento symbol užívat. Autor se nesetkal s žádnou korektní R definicí symbolu f (x) dx a navíc jej považuje za zbytečný ; důkaz, že primitivní funkce lze s úspěchem hledat bez tohoto symbolu, je podán v této kapitole. 18 ) R Ptejme se, co by mohl symbol v identitách (i) – (iii) znamenat. R 1) Nikdo se pravděpodobně symbolem f (x) dx nesnaží přiřadit funkci f (řekněme raději v nějakém otevřeném intervalu I, jinak bude zmatek ještě větší) nějakou její jednoznačně definovanou primitivní funkci. Žádný návod použitelný v početní praxi, který by zaručil platnost všech rovností typu (i), totiž zřejmě neexistuje. Pokud autor (např. při řešení diferenciální rovnice) potřebuje jednoznačně definoR Rx vané primitivní funkce, nenapíše f (x) dx, ale např. x0 f (t) dt, kde x0 ∈ I, a zápis Rx Rx Rx f + x0 g = x0 (f + g) je samozřejmě zcela korektní.  x0 R V literatuře se kromě neurčitého prohlášení, že „ f (x) dx je funkce primitivní k f (x)ÿ (bez jakéhokoli dalšího vysvětlení nebo kvantifikátoru), setkáme s dvěma „definicemiÿ tohoto symbolu. 18 ) Autorem korektního hledání primitivních funkcí je prof. Jan Mařík, který mnoho let pracoval na Karlově univerzitě ; tento vynikající matematik, který mnoho energie věnoval metodice matematiky a jemuž dával často za pravdu i prof. Jarník, autor základních učebnic reálné analýzy, byl znám mj. jako tvrdý kritik všech nekorektností, nesrozumitelností a zbytečností.

179

R 2) Definuje-li se f (x) dx jako libovolná funkce z PF(f ; a, b), identita (i) neplatí. Je-li totiž na levé straně rovnosti (i) součet libovolně, ale pevně vybraných funkcí F , G (primitivních k f , g), nemůže již být vpravo libovolně vybraná funkce; musí tam být součet F + G. Situaci přitom nelze zachránit tím, že místo (i) napíšeme Z Z Z ′ (i ) f (x) dx + g(x) dx = (f (x) + g(x)) dx + c , R kde Uznáme-li totiž např. správnost identit 2x dx =R x2 + c1 , R 3c je konstanta. 4 c1 , c2 jsou libovolné konstanty, bude rovnost 2x dx + R 4x3 dx = Rx + c2 , kde 4x dx = (2x + 4x3 ) dx = x2 + x4 + c platit jen v případě, že c = c1 + c2 , tedy s vhodně zvolenou, nikoli libovolnou konstantou. Nesrovnalosti se tedy jen přenesou z funkcí na konstanty. R 3) Při pokusu definovat f (x) dx jako množinu PF(f ; a, b), je třeba vysvětlit, že „+ÿ v součtu PF(f ; a, b) + PF(g; a, b) na levé straně (i) nemá (na rozdíl od součtu f + g vpravo) význam obvyklého sčítání. Smíříme-li se s tím a rozumíme-li znaménku + vlevo tak, že máme utvořit množinu všech součtů tvaru F (x) + G(x), kde F ∈ PF(f ; a, b), G ∈ PF(g; a, b), dostaneme tím skutečně množinu všech funkcí primitivních k f + g v (a, b). Napišme však identitu (ii) ve tvaru Z Z (ii ′′ ) F (x)g(x) dx + f (x)G(x) dx = F (x)G(x), který by měl být s (ii) ekvivalentní; pak máme vlevo množinu všech funkcí primitivních k F g + f G, vpravo jednu konkrétní funkci. Měli bychom se tedy nejen smířit s tím, že „+ÿ má při hledání primitivních funkcí dva různé významy, ale zakázat i převádění výrazů z jedné strany rovnice na druhou ? Nebo dovolíme, aby se nekonečná množina rovnala funkci?  R Přestože ohromující procento uživatelů symbolu je nakloněno tvrdit, že Z

f (x) dx −

Z

f (x) dx = 0,

což není pravda ani při definici z 2), ani z 3), nejvíce námitek lze mít proti identitě (iii). Ať již strany rovnosti (iii) znamenají funkci nebo množinu funkcí, rovnost nemůže nastat nikdy, protože vlevo se proměnná jmenuje x, vpravo t, a v naprosté většině případů mají primitivní funkce k f jiný definiční obor než funkce primitivní k (f ◦ ω)ω ′ . Rovnost (iii) je tedy v příkrém rozporu se všeobecně přijatou definicí rovnosti funkcí. Kdybychom se snažili vadu odstranit, museli bychom sáhnout k poměrně složitému komentáři: Není-li ω ryze monotónní funkce, je po integraci vlevo třeba za x dosadit ω(t); v tomto případě lze ovšem (iii) užít jen „zprava dolevaÿ, tj. místo funkce primitivní k funkci tvaru (f ◦ ω) ω ′ hledat funkci primitivní k f . Je-li funkce ω ryze monotónní, lze (iii) aplikovat jak „zprava dolevaÿ, tak i „zleva dopravaÿ; ve druhém případě je třeba po integraci vpravo za t dosadit ω−1 (x). V obou případech lze ovšem substituci provést jen za dalších předpokladů, které jsme vysvětlili v textu o 1SM a 2SM. Naučí-li se někdo jen heslu, že „za dx se dosadí 180

ω ′ (t) dtÿ, dojde asi brzy k nesmyslným výsledkům – autor se mnohokrát setkal např. se substitucí x = tg 21 t v intervalu (0, 2π).  R Uživatelé symbolu , včetně autorů různých tabulek „neurčitých integrálůÿ, píší i další nepřijatelné vzorce – např. (iv)

Z

dx = lg x + c resp. x

Z

dx = lg |x | + c . x

První z nich, který užívají všechny autorovi známé počítačové programy, ignoruje, že funkce 1/x má primitivní funkci i v R− , kde výraz lg x nemá smysl; to pak vede k neúplným výsledkům např. při hledání funkce primitivní k f ′ /f , kde f je někde kladná, někde záporná. Znamená-li levá strana druhé z identit (iv) např. nějakou funkci F splňující v R − {0} rovnost F ′ (x) = 1/x, liší se F (x) od lg |x | v R+ obecně o jinou konstantu než v R− a je velmi problematické obě tyto konstanty značit c. V případě „ ještě nespojitějšíchÿ funkcí je situace pochopitelně ještě horší; napíšeme-li např. rovnost ′

(iv )

Z

dx = lg tg 12 x + c , sin x

znamená c v každém intervalu ((k − 1)π, kπ), k ∈ Z, obecně jinou konstantu.  R Shrneme-li, vidíme, že obě uvedené, v literatuře převažující definice symbolu f (x) dx vedou ke značným nekorektnostem, k nutnosti každou z napsanýchRidentit buď komentovat, nebo tolerovat, že doslova vzato neplatí. Zavedení symbolu navíc zakrývá, že nejčastěji užívané identity (i) – (iii) nejsou ničím novým, protože se jedná jen o parafráze dobře známých vět o diferencování součtu, součinu a superpozice. R Symbol , který je nejen zdrojem všech nepříjemností a nejasností, ale svádí i k formálnímu přístupu na úkor porozumění, je tedy zřejmě zbytečný a podle Occamovy břitvy měl být dávno z matematiky odstraněn. Způsob hledání primitivních funkcí, vyložený v této kapitole, je naopak zcela exaktní a nevyžaduje žádné licence, konvence a komentáře. R Symbol ilustruje jednu z charakteristických vlastností kalkulu: Nevadí, že nevíme, co symbol znamená, a že např. znaky „+ÿ a „=ÿ užíváme jinak, než je obvyklé. Držme se třísetleté tradice a hlavně počítejme ; výsledek snad bude možné šikovnou slovní ekvilibristikou, měnící se případ od případu, nějak vysvětlit.

181

10. Newtonův integrál Definice. Nechť −∞ ≤ a < b ≤ +∞ a nechť I ⊂ R je interval s krajními body a, b. Říkáme, že F je zobecněnou primitivní funkcí funkce f v intervalu I, je-li funkce F spojitá v I a platí-li rovnost F ′ = f všude v I − K, kde K ⊂ I je nějaká konečná množina. Slova „zobecněná primitivní funkceÿ budeme často zkracovat na „z.p.f.ÿ, množinu všech z.p.f. funkce f v intervalu I budeme značit ZPF(f ; I ). Poznámka 10.1. Všimněme si, že funkce f může mít v intervalu I z.p.f., aniž je všude v I definována ; stačí, aby byla definována všude v I až na jistou konečnou množinu. Všimněme si dále, že na rozdíl od primitivní funkce mluvíme o z.p.f. v libovolných (nejen tedy v otevřených) intervalech. 1 )  Je zřejmé, že (1)

F

∈

ZPF(f ; I ), c ∈ R ⇒ F + c ∈ ZPF(f ; I ).

Důležité však je, že platí i obrácené tvrzení: Věta 10.1. Je-li F F + c.

∈

ZPF(f ; I ) a G

∈

ZPF(f ; I ), existuje c

∈

R tak, že G =

V důsledku toho platí: (2)

Má-li f v (a, b) primitivní funkci, je ZPF(f ; (a, b)) = PF(f ; a, b).

Věta 10.2. (Základní existenční věta.) Je-li funkce f spojitá a omezená v omezeném intervalu (a, b), je ZPF(f ; ha, bi) 6= ∅ a každá z.p.f. funkce f v ha, bi je primitivní funkcí funkce f v (a, b). Příklad 10.1. A. Protože funkce |x | je spojitá v R a protože rovnost |x |′ = sgn x platí pro všechna x 6= 0, je |x | z.p.f. funkce sgn x v R. B. Protože je lg |x | = x (lg |x | − 1)′ pro všechna x 6= 0 a lim x (lg |x | − 1) = 0, x→0

je funkce (3)

F (x) :=



x (lg |x | − 1) 0

pro x 6= 0 pro x = 0



z.p.f. funkce lg |x | v R. C. Funkce f (x) := sgn (cos x) nemá žádnou z.p.f. v R (obecněji: v žádném neomezeném intervalu), funkce F (x) := arcsin (sin x) je však její z.p.f. v každém omezeném intervalu. 2 ) 1 ) V obou případech je právě takto zavedená terminologie výhodná všude tam, kde s pojmem primitivní resp. zobecněné primitivní funkce pracujeme. 2 ) To je samozřejmě důsledek definice, v níž se připouští pouze konečný počet výjimečných bodů, v nichž rovnost F ′ = f neplatí. Definici z. p. f. by však bylo možné zobecnit tak, aby funkce F z příkladu 10.1C byla (podle obecnější definice) z. p. f. funkce f v celém R. Dáváme však přednost vyslovené definici, protože je jednoduchá a protože s ní v dalším vystačíme.

182

Označení. Je-li −∞ ≤ a < b ≤ +∞, je-li F spojitá v (a, b) a existují-li konečné limity F (a+), F (b−), budeme číslo (4)

b

b

[ F ] a (≡ [F (x)] a ) := F (b−) − F (a+)

nazývat zobecněný přírůstek funkce F na intervalu (a, b). Existují-li konečné limity F (a+), F (b−), budeme říkat, že zobecněný přírůstek má smysl; v opačném případě (tj. když některá z limit F (a+), F (b−) buď neexistuje, nebo není konečná) řekneme, že zobecněný přírůstek nemá smysl.  Všimněme si, že limitu F (a+) resp. F (b−) lze nahradit hodnotou F (a) resp. F (b), právě když je F spojitá v bodě a zprava resp. v bodě b zleva. Je-li F spojitá b v ha, bi, je zobecněný přírůstek [F ] a totožný s přírůstkem F (b) − F (a) funkce F na intervalu ha, bi.  Předpokládejme, že 1) −∞ ≤ a < b ≤ +∞ a že I je interval s krajními body a, b ; 2) ZPF(f ; (a, b)) 6= ∅, F ∈ ZPF(f ; (a, b)) ; b

3) zobecněný přírůstek [F ] a má smysl.

Protože každá z.p.f. k f v (a, b) se (podle V.10.1 ) od F liší jen aditivní konstantou, nezávisí zobecněný přírůstek na bližší volbě funkce F ∈ ZPF(f ; (a, b)) , a (za právě vyslovených předpokladů) má proto dobrý smysl tato definice : Newtonův integrál funkce f přes interval I s krajními body a < b definujeme rovností Z b b f := [F ] a , kde F ∈ ZPF(f ; (a, b)) , (5) a

má-li její pravá strana smysl. Symbolu vlevo se též říká (Newtonův) integrál funkce f od a do b, číslo a resp. b je tzv. dolní resp. horní mez integrálu (5). Funkce f se nazývá integrand nebo integrovaná funkce, interval I je integrační obor. Rb Rb Z praktických (i historických) důvodů se místo a f často píše např. a f (x) dx, Rb f (t) dt, . . . , přičemž x, t, . . . se pak nazývá integrační proměnná. a Příklad :

Z

2

xt dx resp.

Z

2

xt dt

1

1 t

znamená integrál obecné mocniny Id resp. obecné exponenciály expx . Symboly dx, dt, . . . (které čteme „dé iksÿ, „dé téÿ, . . . a které se do integrálu dostaly v souvislosti s historickými představami o tom, že integrál je jakýsi součet nekonečně mnoha nekonečně malých veličin) v současnosti jen vyznačují, „podle které proměnné se integrujeÿ; to je samozřejmě nutné vědět, integruje-li se funkce více než jedné proměnné. Úmluva. Protože se v dalším budeme zabývat jen Newtonovým integrálem, budeme mluvit krátce o integrálu.  183

Poznámka 10.2. Danou funkci f lze integrovat v daných mezích a, b podle celé řady více nebo méně obecných definic integrálu, z nichž každá má své výhody i nevýhody. Newtonův integrál se počítá (na rozdíl např. od dobře známého Riemannova integrálu nebo od daleko obecnějšího integrálu Lebesgueova) v zásadě podle definice, a to jak pro omezené, tak i pro neomezené intervaly a integrandy. Omezenost resp. neomezenost intervalu (a, b) resp. integrandu f může ovšem mít vliv na existenci integrálu. Do výkladu elementární analýzy se však tento integrál hodí i proto, že není nutný (pro studenty zpravidla velmi nudný) výklad tzv. zobecněného resp. nevlastního integrálu, bez něhož nelze v Riemannově teorii mluvit ani o integrálu přes neomezený interval, ani o integrálu z neomezené funkce. Všem, kteří se ve své práci bez integrálů neobejdou, autor vřele doporučuje seznámit se s Newtonovým a Lebesgueovým integrálem. Lebesgueův integrál má (nejen v R ≡ R1 , ale i v eukleidovských prostorech Rn libovolné dimenze n ∈ N) vynikající vlastnosti; jeho výpočet se přitom v mnohých případech převádí na výpočet integrálu Newtonova. Rb Poznámka 10.3. Je jistě zřejmé, že z existence integrálu a f plyne existence Rd integrálu c f pro každý interval (c, d) ⊂ (a, b). Věta 10.3. (Základní věta o existenci integrálu.) Je-li funkce f spojitá a omeRb zená v omezeném intervalu (a, b), integrál a f existuje. Příklad 10.2. A. Z rovnosti sin x = (− cos x)′ v R plyne, že např. Z

π

sin x dx = [− cos x ]π0 = 2,

0

Z

2π

π

sin x dx = [− cos x ]2π π = −2;

protože funkce cos x nemá ani v −∞, ani v +∞ limitu, nemá funkce sin x integrál přes žádný neomezený interval. B. Při označení z části B příkladu 10.1 je Z

1

−e

1

lg |x | dx = [F (x)] −e = 1 · (0 − 1) − (−e) · (1 − 1) = −1;

vůbec nevadí, že integrand není v bodě 0 definován a že není omezený.
′ C. Z identity x e−x = − (x + 1)e−x platné pro všechna x ∈ R plyne, že Z

0

+∞

  +∞ = 0 − (−1) = 1; x e−x dx = − (x + 1)e−x 0

jak je patrné, nekonečná horní mez výpočet integrálu vůbec nekomplikuje.
′ D. Protože cos x/(1 + sin x) = lg (1 + sin x) pro všechna x 6≡ − 21 π mod 2π, je např. Z

3π/4

−π/4

√
. √
√
cos x dx = lg 1 + 12 2 − lg 1 − 12 2 = 2 lg 1 + 2 = 1.763. 1 + sin x 184

Na rozdíl od toho 2π

Z

0

cos x dx neexistuje , 1 + sin x

protože integrand nemá v (0, 2π) žádnou z.p.f. Kdyby totiž taková funkce G existovala, lišila by se v intervalu (0, 23 π) od funkce F (x) := lg (1 + sin x) jen aditivní konstantou a z rovnosti lim x→3π/2 F (x) = −∞ by plynula rovnost lim x→3π/2− G(x) = −∞ ; to však by bylo ve sporu se spojitostí funkce G v (0, 2π). Tento příklad měl čtenáře varovat : Nestačí mechanicky počítat a pak zjistit, že nalezená funkce F (x) má v krajních bodech příslušného intervalu (a, b) konečné limity; je nutné zkontrolovat, zdali je F (x) v (a, b) spojitá. V případě, že tomu tak není, je třeba existenci z.p.f. v (a, b) i příslušného integrálu pečlivě zvážit. E. Je jistě zřejmé, že Z 1 dx 1 √ = [arcsin x ] −1 = π ; 1 − x2 −1 tentokrát jsme (bez potíží) integrovali funkci, která není v bodech ±1 definována a v intervalu (−1, 1) není omezená. F. Protože v R+ platí identity (6) je (7)

 1 1 ′ 1 1 = (lg x)′ , = pro všechna α 6= 1, α α−1 x x 1−αx Z

0

1

dx 1 = pro všechna α < 1, α x 1−α

zatímco pro žádné α ≥ 1 tento integrál neexistuje, a Z +∞ dx 1 (8) = pro všechna α > 1, α x α − 1 1 zatímco pro žádné α ≤ 1 tento integrál neexistuje. Integrál Z +∞ dx neexistuje pro žádné α ∈ R . (9) α x 0 G. Podle V.10.3 integrály Z

0

1

sin

1 dx , x

Z

0

1

cos

1 dx x

existují, což bohužel neznamená, že je dovedeme vypočítat. Problém je v nalezení primitivní funkce k integrandu.  Obsahem následujících pěti vět jsou základní vlastnosti Newtonova integrálu ; jejich znalost je nutná jak při počítání, tak při zjišťování existence integrálu. 185

Věta 10.4. (Linearita integrálu vzhledem k integrandu.) Je-li n f1 , . . . , fn funkce, c1 , . . . , cn (konečné reálné ) konstanty, je n bX

Z

(10)

n X

ck fk =

a k=1

ck

∈

N a jsou-li

b

Z

fk ,

a

k=1

existují-li integrály vpravo. Věta 10.5. (Monotonie integrálu.) Je-li f ≤ g, je Z

(11)

b

a

f≤

b

Z

g,

a

existují-li oba integrály. Věta 10.6. (Aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru.) Je-li n a je-li (12)

∈

N

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

libovolné dělení intervalu (a, b), je Z

(13)

n Z X

b

f=

a

k=1

xk

f,

xk−1

má-li jedna strana této rovnosti smysl. Věta 10.7. (Integrace per partes.) Je-li F je Z

(14)

a

b

b

∈

F g = [F G ] a −

ZPF(f ; (a, b)), G ∈ ZPF(g; (a, b)), Z

b

f G,

a

mají-li (aspoň) dva ze tří napsaných výrazů smysl. Věta 10.8. (Věta o substituci.) Předpokládejme, že spojitá ryze monotónní funkce ω : (α, β ) →na (a, b) má konečnou nenulovou derivaci všude v (α, β ) − K, kde K ⊂ (α, β ) je konečná množina. Pak je (15)

Z

b

f (x) dx =

a

Z

β

f (ω(t))|ω ′ (t)| dt ,

α

existuje-li jeden z napsaných integrálů. Poznámka 10.4. Je-li ω rostoucí, je ω ′ > 0 všude v (α, β ) − K, a = ω(α+), b = ω(β−), α = ω−1 (a+), β = ω−1 (b−) a pravou stranu (15) lze psát bez absolutní hodnoty : Z β Z b f (ω(t)) ω ′ (t) dt . f (x) dx = (15 r ) a

α

186

Je-li ω klesající, je ω ′ < 0 v (α, β ) − K, a = ω(β−), b = ω(α+), α = ω−1 (b−), β = ω−1 (a+) a (15) je ekvivalentní s rovností b

Z

(15 k )

f (x) dx = −

a

Z

β

f (ω(t)) ω ′ (t) dt . α

Poznamenejme při příležitosti, že je výhodné zobecnit pojem integrálu takto: Ra 1) Pro každé a ∈ R∗ a pro každou funkci f položíme a f = 0. Rb Ra 2) Je-li +∞ ≥ a > b ≥ −∞, klademe a f = − b f , existuje-li integrál vpravo podle dosavadní definice. Po tomto zobecnění lze (15) napsat v těchto dvou ekvivalentních tvarech : Z

ω−1 (b−)

f (x) dx =

β

f (x) dx =

Z

b

Z

(15∗ )

ω−1 (a+)

a

Z

(15∗∗ )

f (ω(t)) ω ′ (t) dt ,

ω(β−)

f (ω(t)) ω ′ (t) dt .

α

ω(α+)

Obě rovnosti platí jak pro rostoucí, tak i pro klesající funkce ω – samozřejmě za předpokladů věty 10.8 o funkci ω a za předpokladu, že jedna strana příslušné rovnosti má smysl. Poznámka 10.5. Jak věta o integraci per partes, tak i věta o substituci dovolují začít počítat integrál bez předběžného ověření, že existuje ; to je z početního hlediska velmi výhodné, a tedy i důležité. Má-li daný integrál tvar levé strany (14), můžeme integrovat per partes (třeba i několikrát za sebou) a teprve pak ověřit, že výsledek má smysl. (Sr. s Př.10.3 .) Rovnost (15) lze (za příslušných předpokladů o substituující funkci ω) aplikovat „zleva dopravaÿ i „zprava dolevaÿ. Postup v prvním případě, kdy výchozím integrálem je levá strana (15), připomíná 2SM ; ve druhém případě, kdy počítáme integrál, který má tvar pravé strany (15), se postup podobá 1SM. Předpoklady o ω ve větě 10.8 nejsou ovšem stejné jako v 1SM a 2SM. Důležité však je, že nemusíme zjišťovat existenci výchozího integrálu ; stačí, aby existoval integrál vzniklý substitucí. (Sr. s Př.10.4 .) Příklad 10.3. Označme (16)

In :=

Z

+∞

0

xn e−x dx pro každé celé číslo n ≥ 0.

Pro každé n ∈ N dostaneme integrací per partes (F (x) = xn , f (x) = nxn−1 , g(x) = e−x , G(x) = −e−x ) rovnosti In :=

Z

0

+∞ n −x

x e

dx =



 +∞ −xn e−x 0 187

Z +n

0

+∞

xn−1 e−x dx = nIn−1 ,

R +∞ +∞ existuje-li integrál In−1 . Protože však I0 = 0 e−x dx = [−e−x ] 0 = 1 existuje, platí totéž o I1 , I2 , . . . , In , . . . ; formální důkaz indukcí jistě není třeba provádět. Z rekurentního vzorce In = nIn−1 pak ihned plyne, že (16*)

In =

Z

+∞

xn e−x dx = n ! pro každé celé číslo n ≥ 0.

0

Příklad 10.4. Protože funkce ω(t) := et zobrazuje interval (1, +∞) na interval (e, +∞) a splňuje všechny předpoklady V.10.8 , je (17)

Z

+∞

e

dx = x lgα x

+∞

Z



dt = tα

1

1 (1 − α)tα−1

 +∞ 1

=

1 , je-li α > 1; α−1

pro žádné α ≤ 1 integrál neexistuje (sr. s Př.10.2 , část F). 

Ke zjednodušení výpočtu integrálu se často dají využít specifické vlastnosti integrandu : Věta 10.9. Pro každou funkci f : R → R platí tato dvě tvrzení: 1. Má-li f periodu p ∈ R+ a je-li −∞ < a < b < +∞, platí pro každé k ∈ Z rovnost Z

b

f=

Z

b+kp

f , existuje-li jeden z integrálů .

a+kp

a

2. Je-li funkce f sudá (resp. lichá) a je-li a ∈ R+ , je Z

a

−a

f =2

Z

a

f 0



resp.

Z

a

−a

Z  f = 0 , existuje-li integrál

a

f.

0

Příklad 10.5. V integrálu (18)

I :=

Z

5π

−5π

sin x dx 2 + sin x

(ze spojité funkce na kompaktním intervalu) nelze přímo substituovat tg 21 x = t, protože integrační obor je příliš dlouhý. Vzhledem k 2π - periodicitě integrandu je Rπ však I = 5 −π f ; užijeme-li 2SM s ω = 2 arctg : R →na (−π, π), dostaneme : Z +∞ Z +∞ Z π  t dt 2 2 sin x = = − dt 2 2 t2 + 1 t2 + t + 1 −∞ (t + t + 1)(t + 1) −∞ −π 2 + sin x   +∞  2t + 1 4 2  . 4π = −0.972. = 2 arctg t − √ arctg √ = 2π − √ = 2π 1 − √ 3 3 −∞ 3 3 √ . Je tedy I = 10π (1 − 2/ 3 ) = −4.86.

188

Poznámka 10.6. V knihách pojednávajících o elementech integrálního počtu se často určitým integrálem rozumí Riemannův integrál, neurčitým integrálem primitivní funkce. To není v souladu s terminologií teorie integrálu 3 ), podle níž může být integrál podle jakékoli definice jak určitý, tak i neurčitý. Zhruba řečeno: Určitý integrál je integrál, jehož meze jsou (pevně zvolená) čísla, kdežto neurčitý integrál získáme tím, že např. horní mez ponecháme proměnnou. R1 P ř í k l a d : Číslo −1 lg |x | dx (= −2) je určitý Newtonův integrál, funkce Rx lg |x | dx, kde x ∈ R, je Newtonův neurčitý integrál. Podle Př.10.1 B oba inte0 grály (jako Newtonovy) existují; příslušné Riemannovy integrály však neexistují, protože integrand není omezený v žádném P (0) (a není tedy splněna základní podmínka existence Riemannova integrálu). Druhý z napsaných integrálů je zobecněnou primitivní funkcí funkce lg |x | v R ; není to však její funkce primitivní.  Poslední tři věty této kapitoly se zabývají existencí Newtonova integrálu.

Věta 10.10. (Srovnávací kritérium – 1. verze.) Nechť −∞ < a < b ≤ +∞, nechť funkce f je spojitá v intervalu ha, b), nechť spolu s funkcí g : ha, b) → R Rb splňuje nerovnost |f | ≤ g všude v (a, b) a nechť existuje integrál a g. Pak existují i integrály Z

(19)

b

Z

f,

b

a

a

|f | .

Analogické tvrzení platí pro intervaly tvaru (a, bi, kde −∞ ≤ a < b < +∞.

Poznámka 10.7. V obecném případě neexistuje žádný logický vztah mezi existencí integrálů (19); ilustrují to tyto čtyři příklady : A. Oba integrály (19) existují, je-li −∞ < a < b < +∞ a je-li funkce f spojitá v ha, bi. (Sr. s V.10.3 .) B. Je-li f Dirichletova funkce, tj. je-li f (x) = 1 pro všechna x ∈ Q a f (x) = 0 pro všechna x ∈ R − Q, žádný z integrálů (19) neexistuje v žádných mezích a 6= b. 4 ) C. Je-li f (x) = 1 pro všechna x ∈ Q, f (x) = −1 pro všechna x ∈ R − Q a je-li −∞ < a < b < +∞, první integrál neexistuje, druhý existuje, protože |f (x)| ≡ 1. D. Jak ukážeme v Př.10.9 , Z

0

+∞

sin x dx existuje , x

Z

+∞

0

sin x dx neexistuje . x

Definice. Nechť existuje první z integrálů (19). Pak podle toho, zdali druhý z integrálů (19) existuje, nebo neexistuje, říkáme, že první integrál konverguje absolutně resp. neabsolutně.  3 ) Teorie integrálu je rozsáhlá disciplína, v níž se studují různé definice integrálu. Integrální počet je zaměřen spíše na početní techniku vybraného druhu integrálu. 4 ) Důkaz bychom založili na známé větě, podle níž má derivace spojité funkce tzv. Darbouxovu vlastnost ; protože Dirichletova funkce tuto vlastnost nemá, nemá primitivní funkci v žádném intervalu, a tedy nemá ani zobecněnou primitivní funkci. Totéž platí o funkci f z části C.

189

Jak je patrné, srovnávací kritérium je kritériem absolutní konvergence; neabsolutní konvergenci podle něj zjišťovat nelze.  Praktické aplikace srovnávacího kritéria lze značně usnadnit zavedením dvou nových symbolů : Definice a označení. Je-li c ∈ R∗ a jsou-li f , g dvě funkce, píšeme (20)

f (x) = O(g(x)) pro x → c

(a čteme: „f (x) je velké O g(x) pro x → cÿ), existuje-li K |f (x)| ≤ K |g(x)| platí všude v jistém P (c). Relace (20*)

∈

R+ tak, že nerovnost

f (x) = O(g(x)) pro x → c− , f (x) = O(g(x)) pro x → c+

se definují analogicky ; v první z nich nahradíme P (c) okolím P − (c), ve druhé okolím P + (c) (za předpokladu, že −∞ < c ≤ +∞ resp. −∞ ≤ c < +∞). Říkáme, že f (x) a g(x) jsou stejného řádu pro x → c a píšeme (21)

f (x) ≍ g(x) pro x → c ,

je-li f (x) = O(g(x)) a zároveň g(x) = O(f (x)) pro x → c. Analogicky jsou definovány relace „f (x) ≍ g(x) pro x → c−ÿ a „f (x) ≍ g(x) pro x → c+ÿ. Poznámka 10.8. Snadno nahlédneme, že

(22)

lim

x→c

f (x) g(x)

∈

R ⇒ f (x) = O(g(x)) pro x → c

a f (x) x→c g(x) lim

(23)

∈

R − {0} ⇒ f (x) ≍ g(x) pro x → c ;

analogické implikace platí samozřejmě i „zlevaÿ a „zpravaÿ. Příklad 10.6. Pro x → 0 platí např. tyto relace : (24) (25) (26)

sin x ≍ x , arcsin x ≍ x , tg x ≍ x , arctg x ≍ x ,

sinh x ≍ x , argsinh x ≍ x , lg (1 ± x) ≍ x , exp x − 1 ≍ x ,

Pro x → 0+ je

cos x − 1 ≍ x2 , cosh x − 1 ≍ x2 , sin x − x ≍ x3 . | lg x |α = O(x−β ) pro všechna α ∈ R , β

(27)

∈

R+ ,

pro x → +∞ je (28) (29)

lgα x = O(xβ ), xα = O(eβx ) pro všechna α ∈ R , β 1 arccotg x ≍ , x 190

∈

R+ ,

a pro x → 1 platí např. relace (30)

arccos x ≍

p √ 1 − x ≍ 1 − x2 .

Všechny tyto vztahy lze snadno dokázat pomocí Taylorových polynomů a l’Hospitalova pravidla; jejich znalost je nutná, chceme-li efektivně aplikovat tuto verzi srovnávacího kritéria: Věta 10.11. (Srovnávací kritérium – 2. verze.) Jsou-li funkce f, g spojité a nezáporné v intervalu ha, b), kde −∞ < a < b ≤ +∞ , platí tato dvě tvrzení: 1. Je-li f (x) = O(g(x)) pro x → b−, pak

(31)

z existence integrálu

Z

b

g plyne existence integrálu

Z

b

f.

a

a

2. Je-li f (x) ≍ g(x) pro x → b−, pak (32)

existence integrálu

Z

b

f je ekvivalentní s existencí integrálu

Z

b

g.

a

a

Analogická tvrzení platí pro intervaly tvaru (a, bi, kde −∞ ≤ a < b < +∞.



Tvrzení 2 věty 10.11 se často nazývá symetrická verze srovnávacího kritéria. Příklad 10.7. Pro každou trojici čísel α, β, γ (z R) je funkce (33)

f (x) :=

arctgα x arccotgβ x xγ

R +∞ spojitá a kladná v R+ ; ke zjištění, pro která α, β, γ existuje 0 f , užijeme kromě V.10.11 i výsledky z Př.10.2 a z Př.10.6 . Protože pro x → 0+ je arctg x ≍ x a arccotg x ≍ 1, je také arctgα x ≍ xα a arccotgβ x ≍ 1 (pro každou dvojici čísel α a β). Z toho plyne, že f (x) ≍ 1/xγ−α , takže Z 1 f dx existuje, právě když je γ − α > −1. (34′ ) 0

Pro x → +∞ je arctgα x ≍ 1 pro každé α a arccotgβ x ≍ 1/xβ pro každé β ; z toho plyne, že f (x) ≍ 1/xβ+γ , takže Z

(34′′ )

+∞

f dx existuje, právě když je β + γ > 1.

1

Z (34′ ) a (34′′ ) vyplývá, že (34)

Z

0

+∞

f dx existuje, právě když je γ > max (α − 1, 1 − β). 191

Příklad 10.8. Pro každou dvojici čísel α, β (z R) je funkce (35)

f (x) :=

1 xα

lgβ x

R +∞ spojitá a kladná v intervalu (1, +∞); vyšetříme, kdy existuje integrál 2 f . Pro α = 1 jsme velmi podobný problém (s jiným označením parametrů) vyřešili R +∞ Re již v Př.10.4 : e f existuje, právě když je β > 1. Protože existence integrálu 2 f R +∞ plyne ze spojitosti funkce f v intervalu h2, ei, je i existence integrálu 2 f (pro α = 1) ekvivalentní s nerovností β > 1. Je-li α > 1, je číslo γ := 21 (α − 1) kladné, a v důsledku toho je xγ lgβ x → +∞ pro x → +∞ a pro každé β ∈ R. Z toho plyne, že f (x) =

 1  1 pro x → +∞ , = O x1+γ · xγ lgβ x

x1+γ

a protože 1 + γ > 1, integrál

R +∞

f existuje podle 1. části věty 10.11.

2 1 (1 − α) 2

Je-li α < 1, je číslo δ := kladné, takže x−δ lgβ x → 0 pro x → +∞ a pro každé β ∈ R . Z toho plyne, že h(x) := 1/(x−δ lgβ x) → +∞, a existuje tedy K ∈ R+ tak, že nerovnost h(x) ≥ K platí pro všechna x ∈ h2, +∞). 5 ) V tomto intervalu pak platí i relace f (x) = protože je 1−δ < 1, integrál R +∞ i o integrálu 2 f (x) dx. Tím je dokázáno, že (36)

Z

2

+∞

xα

K 1 ≥ 1−δ ; x x1−δ · x−δ lgβ x

R +∞ 2

(K/x1−δ ) dx neexistuje ; podle V.10.10 platí totéž

dx existuje ⇔ (α > 1) ∨ ((α = 1) ∧ (β > 1)). lgβ x

Poznámka 10.9. Vyšetření existence integrálu v právě dořešeném příkladě dalo dost práce ; příčinou je skutečnost, že funkce lgβ x a xα nejsou téhož řádu pro žádnou dvojici čísel α, β. (Relace lgβ x ≍ xα pro x → +∞ nemůže platit, protože pro každé β ∈ R a každé α ∈ R+ je lgβ x = o (xα ) pro x → +∞. 6 ) V souvislosti s tím říkáme, že každá kladná mocnina x roste do nekonečna rychleji než kterákoli mocnina lg x. Této okolnosti bylo nutné obratně využít – pro α > 1 k důkazu existence, pro α < 1 k důkazu neexistence integrálu. Podobně bychom postupovali, kdyby se 5 ) Podrobněji : Z podmínky h(x) → +∞ pro x → +∞ plyne existence čísla c ∈ (2, +∞), pro něž x > c ⇒ h(x) > 1. Protože h je na intervalu h2, ci spojitá a kladná, má tam i kladné minimum; označíme-li je d, stačí položit K = min (d, 1). 6 ) Připomeňme, že to znamená, že podíl levé a pravé strany této „rovnostiÿ má pro x → +∞ nulovou limitu. (Sr. s (25) v kapitole 6.)

192

v integrálu vyskytl např. součin xα exp (βx), protože ani tentokrát nemají faktory stejný řád pro x → +∞. Čtenáři doporučujeme, aby si postupy užité v Př.10.8 dobře promyslil.  Dvě kritéria existence integrálu, která obsahuje následující věta, lze užít (na rozdíl od V.10.10 a V.10.11 ) i k vyšetření neabsolutní konvergence. Věta 10.12. (Abelovo a Dirichletovo kritérium.) Nechť −∞ < a < b ≤ +∞ a nechť funkce f : ha, b) → R je spojitá, funkce g : ha, b) → R spojitá a monotónní. Pak integrál Z b fg (37) a

existuje, platí-li jedna z těchto podmínek : Z b f existuje a funkce g je omezená v (a, b) (38) a

(Abelovo kritérium), (39)

funkce f má omezenou primitivní funkci v (a, b) a lim g(x) = 0 x→b

(Dirichletovo kritérium). Dále platí: Jsou-li funkce h1 , h2 spojité a kladné v ha, b), je-li jejich podíl h1 /h2 Rb monotónní v ha, b) a je-li h1 (x) ≍ h2 (x) pro x → b−, je existence integrálu a f h1 Rb ekvivalentní s existencí integrálu a f h2 (symetrické Abelovo kritérium). Analogická tvrzení platí pro intervaly (a, bi ⊂ R, kde −∞ ≤ a < b < +∞.

Příklad 10.9. Vyšetřme absolutní resp. neabsolutní konvergenci integrálu Z +∞ sin x dx , (40) xα 0 kde α ∈ R. Integrand f (x) := sin x/xα je spojitý v R+ a splňuje podmínky  1  pro x → +∞ . xα Rπ V intervalu (0, π) je f (x) > 0, a podle V.10.11 0 f tedy existuje, právě když je α < 2; konvergence je pak samozřejmě absolutní. Podle druhé z relací (41), podle R +∞ V.10.10 a podle F z Př.10.2 konverguje integrál π f absolutně, je-li α > 1. Zatím jsme tedy dokázali, že (41)

(421 )

f (x) ≍

1

xα−1

pro x → 0+ ,

f (x) = O

pro α ∈ (1, 2) konverguje integrál (40) absolutně.

Dirichletovo kritérium nám poskytne další informaci: Protože funkce − cos x (která je funkcí primitivní k funkci sin x) je v R+ omezená, protože funkce 1/xα 193

je tam spojitá a monotónní a konverguje k 0 pro x → +∞, je-li α ∈ R+ , integrál R +∞ f pro každé α ∈ R+ existuje. Z toho plyne, že integrál (40) existuje pro všechna π α ∈ (0, 2). Dokažme nyní sporem, že

(422 )

pro každé α ∈ (0, 1i konverguje integrál (40) neabsolutně .

Předpokládejme, že integrál tj. že existuje integrál (43)

R +∞

konverguje (pro některé α ∈ (0, 1i) absolutně,

π

I :=

Z

+∞

π

Rx

sin x α dx. x

Protože funkce G(x) := π |f | je primitivní funkcí funkce |f | v R+ , je existence integrálu (43) ekvivalentní s existencí konečné limity I := G(+∞−); pak je ovšem i lim n→∞ G(nπ) = I. Z toho plyne, že n−1 n−1 X X Z (k+1)π sin x (44) (G((k + 1)π) − G(kπ)) lim α dx = lim n→∞ n→∞ x kπ k=1

k=1

= lim G(nπ) = I (< +∞). n→∞

Zároveň však je Z

(k+1)π

kπ

pro každé k (45)

∈

Z (k+1)π sin x 2 1
α | sin x | dx ≥ α dx ≥ x (k + 1)π (k + 1)π kπ

N, takže

G(nπ) =

n−1 X Z (k+1)π k=1

kπ

n−1 sin x X 2 → +∞ pro n → ∞ , α dx ≥ x (k + 1)π k=1

což je ve sporu s (44). Tím je (422 ) dokázáno. Zbývá ověřit, že (423 )

pro žádné α ≤ 0 integrál (40) neexistuje .

Označíme-li F (x) nějakou primitivní funkci k funkci sin x/xα v R+ , plynula by R +∞ z existence integrálu π f existence konečné limity lim n→∞ F (nπ). Kdyby bylo R (n+1)π F (nπ) → A ∈ R, bylo by i F ((n + 1)π) → A, a tedy nπ f = F ((n + 1)π) − F (nπ) → 0. To však není pravda, protože (pro každé α ≤ 0 a pro každé n ∈ N) je (46)

Z

(n+1)π

nπ

Z (n+1)π Z (n+1)π | sin x | sin x = | sin x | dx = 2. dx dx ≥ xα xα nπ nπ

Obsah tvrzení (421 ), (422 ), (423 ) je úplným řešením našeho problému.  194

Symetrická verze Abelova kritéria se užívá ke zjednodušení integrandu ; k důkazu existence integrálu náležitě zjednodušené integrované funkce lze pak užít např. Dirichletovo kritérium. Běžné problémy, s nimiž se při tom setkáváme, a jejich řešení ilustruje tento (poněkud náročnější) příklad : Příklad 10.10. Vyšetřme existenci integrálu Z

(47)

+∞

0

π sinh x · sin πx · cos dx , arccotg x · xα · lg x · ex x

kde α ∈ R. Integrand f (x) je spojitý jak v intervalu (0, 1), tak i v intervalu (1, +∞); protože pro x → 1 je sinh x → sinh 1, arccotg x → 14 π, xα → 1, sin πx/ lg x → −π, ex → e, cos(π/x) → −1, existuje konečná limita . lim f (x) = 2(1 − e−2 ) = 1.72933

x→1

a stačí položit f (1) rovno této limitě, aby se f stala spojitou v celém R+ . Integrál R2 R 1/2 R +∞ f tedy jistě existuje a zbývá rozhodnout o existenci integrálů 0 f , 2 f , 1/2 což se redukuje na otázku, jak se f (x) chová pro x → 0+ a pro x → +∞. Pro x → 0+ platí tyto relace : (48)

sinh x ≍ x ,

1 1 ≍ 1, x ≍ 1, sin πx ≍ x . arccotg x e

Čtenář jistě sám dokáže, že každá z kladných funkcí 1 1 sin πx sinh x , , x, x arccotg x e x

(49)

je monotónní v intervalu (0, 1). První dvě rostou, a totéž platí tedy o jejich součinu; poslední dvě klesají, a totéž platí opět o jejich součinu. Aplikujeme-li dvakrát symeR 1/2 trickou verzi Abelova kritéria 7 ) vidíme, že existence integrálu 0 f je ekvivalentní s existencí integrálu (50)

Z

0

1/2

x π · x · cos dx = xα · lg x x

Z

1/2

0

x2−α π cos dx . lg x x

Tento integrál podle V.10.8 existuje, právě když existuje integrál, který z něj vznikne substitucí x = ω(t) := 1/t ; protože ω ′ (t) = −1/t2 , je to integrál (51)

Z

+∞

g , kde g(t) :=

2

cos πt . lg t

t4−α

7 ) Rostoucí funkci sinh x/(x arccotg x) nahradíme x, místo klesající funkce sin πx/(xex ) napíšeme ve druhém kroku 1 ; bylo by sice možné dokázat, že i součin všech čtyř funkcí (49) je monotónní (klesající) např. v intervalu (0, 1), ale zdůrazněme, že by to byla zcela zbytečná práce.

195

Funkce cos πt má (v celém R) omezenou primitivní funkci sin πt/π, funkce h(t) := t4−α lg t je spojitá a kladná v (1, +∞); je-li α ≤ 4, funkce h tam roste a její limita pro t → +∞ je rovna +∞. Funkce 1/h(t) tam tedy klesá a má pro t → +∞ limitu 0, takže integrál (51) podle Dirichletova kritéria existuje ; pro α ≤ 4 tedy existuje R 1/2 i 0 f.

Je-li α > 4, má kladná spojitá funkce k(t) := tα−4 / lg t limitu rovnou +∞ jak pro t → 1+, tak i pro t → +∞, a má proto v intervalu (0, 1) kladné minimum; označímeli je K(α) a uvážíme-li, že sgn(cos πx) je v každém intervalu tvaru (k − 12 , k + 12 ), kde k ∈ N, konstantní, vidíme, že relace (52)

Z

k+1/2 α−4

k−1/2

Z k+1/2 t 2K(α) cos πt dt ≥ K(α) >0 | cos πt | dt = lg t π k−1/2

platí pro všechna celá čísla k ≥ 2. Kdyby integrál (51) existoval, musel by mít první integrál v (52) pro k → ∞ nulovou limitu 8 ); integrál tedy neexistuje, a totéž platí R 1/2 i o 0 f. Zatím jsme dokázali, že

(531 )

integrál

Z

1/2

0

R +∞

zbývá vyšetřit integrál Pro x → +∞ je (54)

2

f existuje, právě když je α ≤ 4;

f.

1 sinh x π = 12 (1 − e−2x ) ≍ 1, ≍ x , cos ≍ 1; ex arccotg x x

v intervalu h2, +∞) funkce sinh x/ex a cos(π/x) rostou, funkce 1/(x arccotg x) tam R +∞ klesá. Postupnou aplikací symetrického Abelova kritéria zjistíme, že 2 f existuje, právě když existuje integrál (55)

Z

2

+∞

x sin πx dx = xα lg x

Z

2

+∞

sin πx dx . xα−1 lg x

Je-li α ≥ 1, spojitá kladná funkce x1−α lg x roste a má pro x → +∞ limitu +∞; její převrácená hodnota tedy klesá a má limitu 0. Protože funkce sin πx má v R omezenou primitivní funkci, integrál (55) podle Dirichletova kritéria existuje, R +∞ a totéž platí o 2 f .

Je-li α < 1, má (kladná spojitá) funkce x1−α / lg x pro x → 1+ i pro x → +∞ limitu rovnou +∞ ; má proto v (1, +∞) kladné minimum. Označíme-li je L(α), bude 8)

Sr. s podobnou situací v Př. 10. 9 .

196

Z

(56)

k+1

k

Z k+1 sin πx 2L(α) ≥ L(α) | sin πx | dx = dx >0 α−1 x lg x π k

pro každé k ∈ N, z čehož (jak jsme již několikrát viděli) plyne, že integrál (55) R +∞ neexistuje. Pro žádné α < 1 neexistuje proto ani 2 f ; tím je dokázáno, že (532 )

integrál

+∞

Z

2

f existuje, právě když je α ≥ 1.

Shrneme-li dokázané výsledky, vidíme, že integrál (47) existuje, právě když je 1 ≤ α ≤ 4. Dodejme, že při důkazu, že tento integrál konverguje absolutně, právě když je 2 < α < 3, se postupuje jako v Př.10.9 . Pro α ∈ (2, 3) se absolutní konvergence dokáže srovnávacím kritériem; důkaz, že integrál od 0 do +∞ z |f | pro α ∈ h1, 2i ∪ h3, 4i neexistuje, je také podobný příslušné části Př.10.9 . V obou případech je však třeba vědět, že limita (57)

lim

n→∞

n X

k=2

kµ

1 je konečná, právě když je µ > 1; lg k

bude to dokázáno v následující kapitole.

Cvičení Ve cvičeních 10.01–10.100 je úkolem vypočítat příslušný integrál, pokud existuje. 9 ) Z

+∞

10.01.

+∞

10.03.

Z

3

10.05.

Z

+∞

10.07.

Z

1

10.09.

Z

+∞

10.11.

Z

0

4

−3

9)

√

3

x dx (x − 1)(x − 2)(x − 3)

x dx (x2 + 1)(x2 + 4)

0

10.04.

Z

+∞

10.06.

Z

dx x3 + 1

1

10.08.

Z

dx −1

+∞

10.10.

Z

1

10.12.

Z

−∞

−1

x3 dx 4 x +1

0

x 1)2 (x2

+ 1)

dx

−1

Viz důležitou poznámku 10.5.

197

dx x3 + x

x dx x3 − 1

0

x dx 4 x +1

(x −

Z

+∞

10.02.

1

2

0

0

dx (x + 1)(x2 + 4)

x2

(x2

dx + 1)2

x dx x2 − x + 1

Z

+∞

10.13.

+∞

10.15.

Z

+∞

10.17.

Z

+∞

10.19.

Z

+∞

10.21.

Z

10.23.

Z

π

10.25.

Z

+∞

10.27.

Z

+∞

10.29.

Z

+∞

10.31.

Z Z

π

Z

π

Z

π/2

10.37.

1/π

10.39.

Z

10.41.

Z

+∞

10.43.

Z

dx 2 x +x+1

−∞

(x2

1 √

3

1

0

+∞

10.24.

Z

e−1/x dx x2

+∞

10.26.

Z

ex dx e2x + e−2x

+∞

10.28.

Z

9

10.30.

Z

π/4

10.32.

Z

Z

π/2

Z

+∞

Z

+∞

10.38.

π/4

10.40.

Z Z

1

10.42.

π/2

10.44.

Z

−∞

√

0

ex dx e2x − 3ex + 3

√

0

dx x (lg x + 2 lg x + 2)2 2

dx +1

e2x

dx √ x + 16 − x

tg x dx

0

sin3 x dx

10.34.

x3 sin x dx

−π/2

2

2

10.36.

sin x cos x dx

e−x cos2 x dx

π/2

0

e− sin x cos x dx

1/3π

0

+∞

1 1 sin2 dx x2 x 3x cos x3 −

0

 1 sin x3 dx 2 x

dx √ x e −1

p

cos x − cos3 x

x2 e−x dx

−1

−π

198

dx x (lg x + 1) 3

1

0

0

2

xe−x dx

0

0

10.35.

x dx − x + 2)2

−∞

ex dx 2x e + ex + 1

1

10.33.

dx − 2x + 2)2

sin x dx cos2 x + 1

−∞

0

10.22.

Z

(x2

−∞

dx 2 (x + 1) arctg x

−∞

+∞

10.20.

Z

x3 − x dx + x6 + 1

x12

−π

x2 dx (x2 + 1)3

1

π

10.18.

Z

x2 dx x4 + 1

0

x3 dx 2 (x + 1)(x4 + 1)

1

+∞

10.16.

Z

dx +1

x4

0

x dx x6 + 1

0

Z

+∞

10.14.

cos3 x √ dx 3 sin x

Z

1

10.45.

+∞

10.47.

Z Z

1

10.49.

15

10.51.

Z

0

10.53.

Z

r

10.55.

Z

+∞

10.57.

Z

1

10.59.

Z

Z

+∞

Z

1

Z

4

10.65.

5

10.67.

Z

1

10.69.

Z

x2 lg (1 + x2 ) dx

Z

e

10.46.

1

10.48.

Z Z

+∞

10.50.

e

10.52.

Z

0

10.54.

Z

1

10.56.

Z

1

0

1 − lg x dx x2

1

arccos2 x dx

−∞

−r

dx p 5

r

p

0

(16 −

ex

x)4

1/e

ex dx + e−x

r2 − x2 dx (r

∈

R+ )

x

x4

0

0

3

0 1

p

dx

1

10.58.

Z

1

10.64.

Z

Z

+∞

10.66.

+∞

10.68.

Z

2

10.70.

Z

1

10.72.

Z

3

10.74.

Z

3

10.76.

Z

0

1 − x2 dx

x5

0

x2 √ dx x2 + 9 √ x2 − 9 dx x

p

1

(4 − x2 )3

0

r

x+1 dx 10.71. x 0 Z 2r x+1 10.73. dx x+4 −1 Z +∞ r x−2 1 dx 10.75. 2 x x−4 4

0

1

1

199

1 − x2 dx

dx √ x x4 − 1 x4

1

dx p

x arccos x √ dx 1 − x2

arccos x √ dx 1 − x2 −1 √ Z 1 arcsin x p dx 10.60. x (1 − x) 0 Z 1 p x2 1 − x2 dx 10.62.

x2 arctg x dx

e

x2 arccos x dx

−1

ex + 1 dx (e2x + 1)2

 lg x 3

dx p x 1 − lg2 x

−1

0

Z

x e−x cos x dx

0

−16

10.63.

x arcsin x dx

0

0

10.61.

1 + lg x dx x

dx √ x2 − 1

dx p

(4 − x2 )3

r

x dx 1−x r x 1 dx x 3−x dx √ 2 x −x + 4x − 3

Z

+∞

10.77.

+∞

10.79.

Z

+∞

10.81.

Z

1

10.83.

Z

+∞

10.85.

Z

4π

10.87.

Z

π/2

10.89.

Z

5π

10.91.

Z

10π

10.93.

Z

π/2

10.95.

Z

3π/4

10.97.

Z

Z

2π/3

dx p √ x + 1 + (x + 1)3

−1

−1

0

0

dx sin x + 2

4π

10.92.

Z

dx cos x + 3

π/2

10.94.

Z

3π

10.96.

Z

sin x − cos x dx 3 sin2 x + 4 cos2 x

3π

10.98.

Z

dx 3 cos x + 2 sin x + 5

−π/2

0

sin 2x

π/3

2π

10.90.

Z

0

dx 1 + tg x p

π/4

10.88.

Z

4

1 + sin x

√

0

dx 4 cos x + sin4 x

0

10.99.

sin x dx x + 3 cos x + 4

dx sin x + 2 cos2 x

0

1

10.86.

Z

dx

0

dx √ sin x 1 + cos x

10.100.

Z

5 − 4x − x2 dx

x √ dx 6 − x − x2

−π/4

2

0

2

10.84.

Z

p

−2

dx cos x + 2 sin x + 3

0

1

10.82.

Z

√

−3

dx √ 2 x x + 4x + 3

cos2

dx x2 + 2x + 2

−5

x √ dx 5 − 4x − x2

5

1

10.80.

Z

−1

dx √ x x2 + 2x + 4

2

dx √ 2 x x + 5x + 1

1

dx √ (x + 1) x2 + 1

0

Z

+∞

10.78.

3π

0

dx 2 − x − x2 dx cos4 x

1 + sin x dx 1 + cos x

sin x dx sin x + cos x + 2

V příkladech 10.101 – 10.145 je {a, b, c} ⊂ R, {α, β, γ} ⊂ R+ ; úkolem je najít všechny hodnoty těchto parametrů, pro něž příslušný integrál konverguje 1) absolutně, 2) neabsolutně. Z

+∞

10.101.

+∞

10.103.

Z

+∞

10.105.

Z

0

1

arccotga x dx xb

sin2 x dx xa

+∞

10.104.

Z

cos2 x dx xa

+∞

10.106.

Z

0

dx p

Z

+∞

10.102.

(x4 − 1) arccotg x

0

sin xα dx

1

0

200

sin(lg x) dx

Z

+∞

+∞

10.109.

Z

+∞

10.111.

Z

+∞

10.113.

Z

+∞

10.115.

Z

+∞

10.117.

Z

π/2

10.119.

Z

+∞

10.121.

Z

+∞

10.123.

Z

1

10.125.

Z

1

10.127.

Z

+∞

10.129.

Z

+∞

10.131.

Z

1

10.133.

Z

+∞

10.135.

Z

+∞

10.137.

Z

10.107.

cos xα dx

Z

+∞

+∞

10.110.

Z

+∞

10.112.

Z

+∞

10.114.

Z

sin πx arctg xα dx | lg x |β

+∞

10.116.

Z

arctg x sin x dx xa

+∞

10.118.

Z

+∞

10.120.

Z

+∞

10.122.

Z

+∞

10.124.

Z

1

10.126.

Z

π/2

10.128.

Z

cotga x 2x lg dx b cos x π

+∞

10.130.

Z

cos πx dx lgα 2x

+∞

10.132.

Z

lg x sin x dx x arctg (1 − x)

+∞

10.134.

Z

sin (x + x2 ) dx xa

+∞

10.136.

Z

1 sin xα sin dx x arctg β x

1

10.138.

Z

10.108.

1 arctg x sin β dx x α

0

0

arccotg x cos x dx

0

0

arctg

1

x2

x lg x cos x dx +1

x lga x dx 2 x +1

−1

r 3

0

arccotgα x5 sin5 xβ dx

0

xa (1 − x)b sin

0

xa arccos

0

r 3

0

0

1 dx xα

1 1 sin dx x 1−x

lg (e2x + ex + 1) sin x dx xa

0

2

x sin x dx x+1

lg x x xα dx x − 1 lg (x + 1) arctgα x sin x dx lg β (1 + x)

0

1/2

0

0

0

201

1 xa sin 2 dx x −1

sin3 πx dx x lg2 x
cos 21 πx 1 sin dx x lg x x

0

0

exp (sin x) sin 2x dx xα

sin x sin 2x dx xα ex2

0

0

0

1 dx xα

xa e−(bx+cx ) dx

0

x2 arccotg x sin x dx x+1

arcsina (x (1 − x)) sin

xa sin

0

xa ( 21 π − x)b tgc x dx

0

1 dx xα

0

α

arcsin

xa cos

0

1 a sin x dx 1 − x lg | lg x |

0

0

sin ex dx

−∞

0

arccosα x sinβ πx dx xγ (1 − x)γ

Z

+∞

10.139.

+∞

10.140.

Z

+∞

10.141.

Z

+∞

10.142.

Z

1 x2 − 1 x lg arctg 3 dx xa x2 + 1 x −1

+∞

10.143.

Z

10.144.

Z

1

  1 1 1 √ arctg x + sin x − dx x x x

+∞

10.145.

Z

0

arctgα x arccotgβ x cos x dx xγ sin (arccotgα xβ ) dx

0

arccosa

0

1

0

arccosa

0

 2 arctg x 

p

π

sin

1 dx x3


1 dx 1 − x4 cos √ 1−x

arctg a xα arccotg β xγ arcsin (sin x) dx

0

Řešení . lg 2 = 0.2957 . 10.03. 2 lg 2 − 12 lg 3 = 0.837 10.01.

10.05. 10.07. 10.09. 10.11. 10.13. 10.15. 10.17. 10.19. 10.21. 10.23. 10.25. 10.27.

1 20 π

+

. lg 2 = 0.3466 √ . 10.04. 92 3π = 1.2092 √ . 10.06. 29 3π = 1.2092 10.02.

1 5

. − arctg 3 − 2 arctg 32 ) = 0.478 . 1 4 π = 0.7854 . 1 4 lg 2 = 0.1733 √
. 1 1 3 + 1 − 12 π = 0.4212 4 √ . 1 9 3π = 3.6276 √ . 1 9 3π = 0.6046 . 1 16 (π + lg 4) = 0.283 . 1 32 π = 0.098175 . 1 4 π = 0.7854 . lg 43 = 0.2877 . 1 2 π = 1.5708 √ . 2 9 3π = 1.2092 2 3 (π

202

1 2

10.08. neexistuje . 10.10. 41 π = 0.7854 √
. 10.12. 61 π 3 − lg 27 = 0.3576 √ . 10.14. 14 2π = 1.1107 √ . 10.16. 14 2π = 1.1107 10.18. 0 10.20.

2 49 π

10.22. −

. = 0.3393

1 2

10.24. 1 √

. 2π = 1.1107 √ . 10.28. lg (1 + 2 ) = 0.8814

10.26.

1 4

√

. 3π = 3.023 . 10.31. 18 π − 41 = 0.1427 10.29.

10.33.

5 9

10.30. 10.32. 10.34.

4 3

11 3

. lg 2 = 0.3466 . 3 2 2 π − 12 = 2.8044 2 −π/2 . = 0.08315 5e √ . 2 9 3π = 1.2092 √ . 4 1 2 ) = 0.2703 3 (2 − . e − 5e−1 = 0.8789 1 2

. = 0.3927 . 10.37. 1 − e−1 = 0.6321

10.36.

10.39. π

10.40.

10.41. 0

10.42.

10.43. π

10.44.

9 8

10.46.

3 2

10.47. 0

10.48.

1 8π

10.49. π − 2

10.50. 0

10.51. 5

10.52. π

√ . 10.53. lg (1 + 2) = 0.8814

10.54.

10.35.

10.45.

10.55. 10.57. 10.59. 10.61. 10.63. 10.65. 10.67. 10.69. 10.71. 10.73. 10.75.

1 8π

4 9

+

1 3

10.38.

. lg 2 − 16 π = 0.1519

2 1 2 πr

. − 1) + 81 π = 0.2393 . 1 6 (lg 2 − 1) + tf 112 = 0.2107 19 −2 . = 0.3214 8 e . 1 32 π = 0.09817 . 10 − 29 lg 3 = 5.0562 . 3 arctg 34 − 32 π + 4 = 1.2181 √ . 1 12 3 = 0.1443 √ √ . 2 + lg (1 + 2) = 2.2956 √ √ . 3( 2 − lg (1 + 2 ) = 1.5985 √
. √ 1 2 lg (3 + 2 2 ) = 0.4058 16 4 + 1 2 (lg 2

10.77. π √ √ . 10.79. 2 lg ( 2 + 1) = 1.24645 √ . 10.81. 12 lg (1 + 32 3 ) = 0.3838 √ . 10.83. 2( 2 − arccos 13 ) = 0.3665

1 3π

. = 0.3927

−

. = 0.825

10.56. − 2

10.66.

. = 4.935 . ( 12 π)2 = 2.4674 . 1 16 π = 0.19635 8 . 105 = 0.07619 . 1 4 π = 0.7854

10.68.

2 3

10.58. 10.60. 10.62. 10.64.

1 2 2π

10.70. neexistuje . 10.72. 12 π = 1.5708 √ . 10.74. 2 arccotg 12 2 = 1.9106 √ . 10.76. 13 3π = 1.8138 √ . 10.78. lg (1 + 72 7 ) = 0.563 √ . 10.80. lg (2 + 5 ) = 1.4436 . 10.82. 92 π = 14.1372 10.84. − 12 π

203

2 9

10.85.

1 3

√ √ . 3 lg (10 − 5 3) = 0.1689

10.86. π

10.87. 2π √ √ . 1 7 ) = 0.1784 10.89. 72 7 arctg ( 11 √ 10.91. 25 2 π √ . 10.93. 10 2π = 44.4288

10.88.

10.94. 2

10.95.

10.96.

8 3

√

. 3π = 3.6276 √ . 10.92. 2π = 4.4429

10.90.

2 3

√

. 3π = 0.6046 √ . 10.98. 49 3π = 2.4184

1 4π

√
. 10.97. lg 21 (1 + 5) = 0.4812 √ √ √
. 10.99. 2 1 − 13 3 − 12 lg (2 3 − 3) = 1.1405 √ √ . 10.100. 12 (3π + lg 3) − 2 (π + arctg 2 ) = −0.5322

1 9

V následujících výsledcích znamenají slova „neÿ (pro integrály bez parametru) a „nikdyÿ (pro integrály s parametrem nebo s parametry), že není splněna podmínka uvedená v nadpisu sloupce ; „anoÿ znamená, že splněna je. integrál

absolutní konvergence

neabsolutní konvergence

10.101.

1−a
nikdy

1
nikdy

10.103.

ano

ne

10.104.

ne

ne

10.105.

nikdy

α>1

10.106.

ne

ne

10.107.

nikdy

α>1

10.108.

ne

ano

10.109.

β>1

nikdy

10.110.

nikdy

10.111.

nikdy

− α − 1 < a < −1

10.112.

−1
10.102.

−1
− α − 1 < a ≤ −1

10.113.

α>1

10.114.

nikdy

10.115.

ne

ano

10.116.

1<α<3

10.117.

nikdy

0<α≤1

0<α≤1 0<β<2

nikdy

204

10.118.

a > 1 ∧ (c > 0 ∨ (c = 0 ∧ b > 0))

nikdy

10.120.

1<α<3

10.121.

ne

0<α≤1

10.122.

a>1

10.123.

α>

1 5

10.124.

ano

10.125.

a > −1

nikdy

nikdy

ano

a > −1 ∧ b > −1

buď − 2 < a ≤ −1 ∧ b > −1,

b−2
nikdy

10.119.

10.126. 10.127. 10.128.

−a−1
nikdy ano

−1
1 5

ne

∧ 5α + β > 1

nebo a > −1 ∧ −2 < b ≤ −1

10.129.

nikdy

1
10.130.

nikdy

0<α<2

10.131.

− 2 < a < − 21

−

1 2

≤a<

1 2

10.132.

ne

ano

10.133.

nikdy

10.134.

α > − 13

1<α<2

10.135.

nikdy

0<β <α+2

10.136.

nikdy

10.137.

1<α<2

α>β−2

10.138.

γ−β <1

10.139.

−1
0<α≤1 nikdy

1−β <γ <1+α

0<β+γ ≤1∧γ <1+α

10.141.

a>2

10.142.

−4
a > −3

10.140.

10.143.

αβ > 1

nikdy

nikdy

ne

10.144.

a>

10.145.

aα + 2 > 0 ∧ βγ > 1

ano

− 21

nikdy aα + 2 > 0 ∧ 0 < βγ ≤ 1

205

11. Číselné řady Písmenem C značíme množinu všech (konečných) komplexních čísel ; pro každé z ∈ C znamená Re z a Im z reálnou a imaginární část čísla z. Předpokládáme, že čtenář komplexní čísla zná a umí s nimi provádět běžné algebraické operace. Připomeňme jen, že algebraická pole (neboli tělesa ) R a C se podstatně liší tím, že na rozdíl od R není v C uspořádání ; proto nelze psát nerovnosti mezi nereálnými komplexními čísly a neplatí věty, které uspořádání předpokládají. Konvergence komplexní posloupnosti, tj. posloupnosti komplexních čísel, se definuje takto: Je-li N ∈ Z, je-li {ak }∞ k=N

(1N )

komplexní posloupnost a je-li a ∈ C, píšeme (2)

lim ak = a nebo ak → a

k→∞

pro k → ∞

nebo ještě stručněji ak → a a říkáme, že a je limita posloupnosti (1N ) nebo že čísla ak konvergují k a, platí-li pro každé ε ∈ R+ nerovnost |ak − a| < ε pro s.v. k ≥ N 1 ). Z nerovností max (| Re z |, | Im z |) ≤ |z | ≤ | Re z | + | Im z | platných pro každé z ∈ C snadno plyne, že (3)

ak → a ⇔ Re ak → Re a , Im ak → Im a .

Říkáme, že komplexní posloupnost (1N ) je omezená, existuje-li K ∈ R+ tak, že nerovnost |ak | ≤ K platí pro všechna k ≥ N . Podobně jako v R platí: Každá konvergentní (komplexní) posloupnost je omezená.

Protože jsme v C nezavedli pojem nekonečné limity, jsou „komplexní analogieÿ vět 3.1 – 3.3 o něco jednodušší: 1. ak → a ⇒ |ak | → |a|; ak → 0 ⇔ |ak | → 0. 2. ak → a, bk → b ⇒ ak ± bk → a ± b, ak bk → ab; je-li navíc b 6= 0, je i ak /bk → a/b. 3. Je-li posloupnost (1N ) omezená a je-li bk → 0, je i ak bk → 0.  Pro každou komplexní posloupnost (1N ) nazýváme číslo (4N )

sn :=

n X

ak ,

k=N 1)

Ekvivalentně řečeno : pro všechna k od určitého indexu počínaje.

206

kde n ≥ N − 1 je celé číslo, n - tý částečný součet řady (5N )

∞ X

ak ;

k=N

podle běžných úmluv z algebry je samozřejmě sN −1 = 0. Číslo s ∈ C ∪ {−∞, +∞} se nazývá součet řady (5N ), nastane-li jedna z těchto situací: A. Posloupnost (1N ) je komplexní, s ∈ C a (6)

lim sn = s ;

n→∞

B. posloupnost (1N ) je reálná , s ∈ R∗ a (6) platí podle definice z kapitoly 3. Je-li s ∈ C, říkáme, že řada (5N ) konverguje (nebo: je konvergentní); v ostatních případech se nazývá divergentní (a říkáme, že diverguje). Má-li řada (5N ) (konečný nebo nekonečný) součet s, píšeme (7N )

∞ X

ak = s ;

k=N

symbolu (5N ) tedy přiřazujeme číslo s . (Nemá-li řada (5N ) součet, zůstává (5N ) symbolem beze smyslu, i když mu – trochu paradoxně – stále říkáme řada.) Členy posloupnosti (1N ) se zároveň nazývají i členy řady (5N ); konkrétněji je ak její k - tý člen. Podle toho, zdali je posloupnost (1N ) reálná nebo komplexní, mluvíme o reálné nebo komplexní řadě. Úmluva. Pokud nebude výslovně řečeno něco jiného, bude slovo „posloupnostÿ resp. „řadaÿ znamenat „komplexní posloupnostÿ resp. „komplexní řaduÿ. Poznámka 11.1. Je zřejmé, že konvergence posloupnosti (a tedy ani řady) se nezmění, jestliže změníme, přidáme nebo ubereme konečný počet členů ; při vyšetřování konvergence řad se proto můžeme omezit na řady tvaru (5)

∞ X

ak ,

k=1

které souvisejí s posloupnostmi tvaru {ak }∞ k=1 . Každé tvrzení o speciálnějších řadách (5) má svou zřejmou analogii pro obecnější řady (5N ); v dalším se nejčastěji setkáme s řadami (5) a řadami (50 ), v nichž se sčítá od 0.  V mnohých situacích je patrné na první pohled, že daná řada diverguje, a to proto, že nesplňuje tuto nutnou podmínku konvergence : Věta 11.1. Konverguje-li řada (5), je ak → 0 pro k → ∞. Není-li tedy ak → 0, řada diverguje. Pozor však ! Jde jen o nutnou, ne však postačující podmínku konvergence ; existují totiž i divergentní řady, které podmínku ak → 0 splňují – viz Př.11.2 . 207

Věta 11.2. Je-li ak

∈

∞ X

(8)

C a bk

∈

C pro všechna k

(A ak + B bk ) = A

∞ X

∈

N a je-li A ∈ C, B

ak + B

C, je

bk ,

k=1

k=1

k=1

∞ X

∈

má-li pravá strana smysl. Věta 11.3. Označíme-li αk := Re ak , βk := Im ak , platí tato tvrzení: (9)

∞ X

ak konverguje, právě když konvergují řady

je-li podmínka splněna, je ∞ X

(10)

ak =

Dále : ∞ X

k=1

∞ X

αk + i

∞ X

∞ X

|αk |,

βk ;

k=1

βk .

k=1

k=1

k=1

(11)

αk ,

k=1

k=1

∞ X

∞ X

|ak | konverguje, právě když konvergují řady

k=1

∞ X

k=1

|βk | ,

načež konverguje i řada (5).  P∞ Konverguje-li řada k=1 |ak |, říkáme, že řada (5) konverguje absolutně ; je-li P∞ řada (5) konvergentní a řada k=1 |ak | divergentní, říkáme, že řada (5) konverguje neabsolutně.

Příklad 11.1. Je-li 0 6= c ∈ C a q ∞ X

(12)

k=0

∈

C, pak geometrická řada

c q k konverguje, právě když je |q | < 1,

přičemž její konvergence je pak absolutní a platí rovnost ∞ X

(13)

c qk =

k=0

c . 1−q

Je-li totiž |q | = 6 1 a n ∈ N, je (13 ′ )

n X

k=0

|cq k | = |c |

1 − |q | n+1 , 1 − |q |

n X

k=0

cq k = c

1 − q n+1 . 1−q

Je-li |q | < 1, je |q |n+1 → 0 a q n+1 → 0 pro n → ∞, takže obě posloupnosti (13′ ) mají konečné limity, platí rovnost (13) a řada vlevo konverguje absolutně. Je-li |q | ≥ 1, není c q k → 0 (protože limita výrazu |cq k | je rovna buď |c |, nebo +∞), takže řada z (12) podle V.11.1 diverguje. 208

Příklad 11.2. Tak zvaná harmonická řada ∞ X 1 k

(14)

k=1

diverguje do +∞, tj. má součet rovný +∞, ačkoli její k - tý člen konverguje k 0. Abychom to dokázali, uvažme, že členy harmonické řady jsou kladná čísla, takže posloupnost {s(n)} jejích částečných součtů je rostoucí; podle věty V.3.6 o limitě monotónní posloupnosti má tedy jistou (konečnou nebo nekonečnou) limitu s a stejnou limitu má i každá posloupnost z ní vybraná. Pro každé n ∈ N je s(2n ) − s(2n−1 ) =

1 1 1 1 1 + + · · · + n ≥ 2n−1 · n = , 2n−1 + 1 2n−1 + 2 2 2 2

takže s(2n ) =

(15)

n X

k=1


s(2k ) − s(2k−1 ) + s(1) ≥ 21 n + 1.

Z toho ihned plyne, že s = lim s(2n ) = +∞.

Definice. Bolzano – Cauchyho podmínkou (krátce : BC podmínkou) konvergence řady (5) se rozumí výrok : (16) Pro každé ε ∈ R+ existuje n0

∈

n+p X N tak, že n > n0 , p ∈ N ⇒ ak < ε . k=n+1

Věta 11.4. (BC kritérium konvergence řady.) Řada (5) konverguje, právě když splňuje BC podmínku (16).  Symboly velké O a ≍ se pro posloupnosti definují podobně jako pro funkce ; oboustranná resp. jednostranná okolí bodů a ∈ R∗ nahradí v příslušných výrocích slova „skoro všechnaÿ: Existuje-li K ∈ R+ tak, že je |ak | ≤ K |bk | pro s.v. k, píšeme (17)

ak = O(bk ) pro k → ∞ (nebo krátce ak = O(bk ))

a čteme „ak je velké O bk (pro k → ∞)ÿ. Je-li ak = O(bk ) a zároveň bk = O(ak ), píšeme (18)

ak ≍ bk pro k → ∞ (nebo krátce ak ≍ bk )

a říkáme, že (pro k → ∞) jsou ak , bk stejného řádu. Nejdůležitějšími kritérii platnosti vztahů (17) a (18) jsou implikace (19)

lim

k→∞

ak bk

∈

R ⇒ ak = O(bk ), 209

lim

k→∞

ak bk

∈

R − {0} ⇒ ak ≍ bk .

Věta 11.5. (Srovnávací kritérium.) 1. Je-li |ak | ≤ |bk | pro s.v. k, platí implikace ∞ X

(20)

k=1

|bk | konverguje

⇒

∞ X

k=1

|ak | konverguje .

2. Implikace (20) platí obecněji i v případě, že ak = O(bk ) pro k → ∞. 3. Z relace ak ≍ bk pro k → ∞ plyne, že (21)

řada

∞ X

k=1

|ak | konverguje, právě když konverguje řada

∞ X

k=1

|bk |. 

Část 3 právě uvedené věty je tzv. symetrická verze srovnávacího kritéria pro řady. Symetrická verze srovnávacího kritéria se často užívá ke zjednodušení členů dané řady, vyšetřujeme-li její absolutní konvergenci. Věta 11.6. (Integrální kritérium.) Nechť f : h1, +∞) → R je spojitá nezáporná monotónní funkce. Pak Z +∞ ∞ X f existuje . f (k) konverguje, právě když Newtonův integrál (22) 1

k=1

Věta 11.7. (d’Alembertovo kritérium.) 1. Existuje-li číslo q a k+1 (23) ≤ q pro s.v. k, ak

∈

h0, 1) tak, že je

řada (5) konverguje absolutně; je-li a k+1 (24) ≥ 1 pro s.v. k, ak řada (5) diverguje. 2. Dále platí: (25) (26)

a k+1 lim < 1 ⇒ řada (5) konverguje absolutně ; k→∞ ak a k+1 lim > 1 ⇒ řada (5) diverguje. k→∞ ak

Věta 11.8. (Cauchyho kritérium.) 1. Existuje-li číslo q p k (27) |ak | ≤ q pro s.v. k,

řada (5) konverguje absolutně ; je-li p k |ak | ≥ 1 pro s.v. k, (28) řada (5) diverguje.

210

∈

h0, 1) tak, že je

2. Dále platí: (29)

lim

k→∞

(30)

p k

|ak | < 1 ⇒ řada (5) konverguje absolutně ;

lim

k→∞

p k |ak | > 1 ⇒ řada (5) diverguje .



Kritéria uvedená ve větách V.11.5 – V.11.8 jsou kritéria absolutní konvergence; neabsolutní konvergenci podle nich zjišťovat nelze. Neabsolutní konvergenci lze však v řadě případů zjistit pomocí V.11.9 – V.11.12 , které následují. Poznamenejme, že Leibnizovo kritérium je sice speciálním případem Dirichletova kritéria, ale své zvláštní postavení i název si udrželo nejen proto, že je historicky starší, ale zejména pro jednoduché předpoklady, usnadňující jeho aplikaci. Abelovo kritérium, a to zejména jeho symetrická verze, slouží (podobně jako tomu bylo v případě integrálu) ke zjednodušení členů vyšetřované řady ; Dirichletovo kritérium se zpravidla aplikuje až na řadu dostatečně zjednodušenou. Definice. Říkáme, že (31)

±

∞ X

(−1)k ak

k=1

je alternující řada, je-li {ak }∞ k=1 monotónní posloupnost nezáporných (reálných) čísel. Věta 11.9. (Leibnizovo kritérium.) Alternující řada (31) konverguje, právě když je ak → 0 pro k → ∞. Věta 11.10. (Dirichletovo kritérium.) Je-li posloupnost částečných součtů komP∞ ∞ plexní řady k=1 ak omezená a má-li (reálná) monotónní posloupnost {bk }k=1 limitu rovnou 0, řada ∞ X ak bk (32) k=1

konverguje.

P∞ Věta 11.11. (Abelovo kritérium.) Konverguje-li komplexní řada k=1 ak a je-li {bk }∞ k=1 omezená (reálná) monotónní posloupnost, řada (32) konverguje. Věta 11.12. (Symetrické Abelovo kritérium.) Nechť {ak }∞ k=1 je komplexní posloupnost a nechť dvě posloupnosti kladných čísel bk , ck splňují tyto podmínky : n b o∞ k (33) bk ≍ ck pro k → ∞ , je monotónní posloupnost. ck k=1

Pak

(34)

řada

∞ X

ak bk konverguje, právě když konverguje řada

∞ X

k=1

k=1

211

ak ck .

Příklad 11.3. Funkce f (x) := 1/xα je pro každé α ∈ R spojitá, monotónní R +∞ a kladná v R+ , přičemž integrál 1 f existuje, právě když je α > 1. Z toho podle integrálního kritéria plyne, že ∞ X 1 konverguje, právě když je α > 1. kα

(35)

k=1

Zároveň je tím dokázáno, že alternující řada

∞ X (−1)k kα

(36)

k=1

konverguje absolutně, právě když je α > 1. Je-li 0 < α ≤ 1, konverguje její k - tý člen k 0, takže řada podle Leibnizova kritéria konverguje – tentokrát jen neabsolutně . Je-li α ≤ 0, nemá její k - tý člen limitu 0 a řada (36) podle V.11.1 diverguje. Poznamenejme, že právě dokázaná tvrzení hrají při vyšetřování konvergence řad principiální úlohu. Příklad 11.4. Vyšetříme konvergenci řady ∞ X

(37)

ak , kde ak :=

k=1

arctg k arccotg k sinh k ; k cosh k

protože je ak > 0 pro všechna k, půjde o konvergenci absolutní. Protože pro všechna k ∈ N platí nerovnosti (38)

0 < arctg k <

π sinh k , 0 < k arccotg k < 1, 0 < < 1, 2 cosh k

je (pro všechna k) (39)

0 < ak < bk :=

π 1 . 2 k2

P∞ Protože k=1 bk podle (35) konverguje, platí podle 1. části V.11.5 totéž o řadě P∞ k=1 ak . Aplikujeme-li místo 1. části V.11.5 její 2. část, vyhneme se zbytečným numerickým odhadům (38), (39) a výsledek získáme o něco snadněji: Protože je (40)

arctg k ≍ 1, arccotg k ≍

sinh k 1 , ≍ 1 pro k → ∞ , k cosh k

je ak ≍ 1/k 2 ; podle (35) řada (37) tedy konverguje.

Příklad 11.5. Hodnoty exponenciály se v ryze imaginárních číslech, tedy v číslech tvaru it, kde i je imaginární jednotka a t ∈ R, definují rovností (41)

eit := cos t + i sin t ,

z níž snadno plyne, že pro všechna t ∈ R, s ∈ R a n ∈ Z je 212

e−it = cos t − i sin t , ei(s+t) = eis · eit ,

(42)

cos t =

(43)

eit


n

= eint ,

eit + e−it eit − e−it , sin t = ; 2 2i

kromě toho ještě platí tato ekvivalence : eit = 1 ⇔ t ≡ 0 mod 2π .

(44)

Pro každé x 6≡ 0 mod 2π a každé n ∈ N je v důsledku toho n X

(45)

eikx =

k=0

ei(n+1)x/2 − e−i(n+1)x/2 e(n+1)x − 1 = einx/2 ix e −1 eix/2 − e−ix/2

= (cos 21 nx + i sin 21 nx)

sin 12 (n + 1)x sin 12 x

a přechodem k reálným a imaginárním částem dostaneme identity (46)

n X

cos kx =

k=0

n cos 21 nx sin 21 (n + 1)x X sin 12 nx sin 21 (n + 1)x sin kx = , . 1 sin 2 x sin 12 x k=1

Protože cos kx = 1 a sin kx = 0, je-li x ≡ 0 mod 2π, je zřejmé, že (47)

posloupnost

n nX

k=0

zatímco (48)

posloupnost

o∞ cos kx

n=1

n nX

k=1

je omezená, právě když je x 6≡ 0 mod 2π ,

o∞ sin kx

n=1

je omezená pro každé x ∈ R .

Z toho a z Dirichletova kritéria ihned plyne, že (49)

řada

∞ X cos kx konverguje, je-li α ∈ R+ a x 6≡ 0 mod 2π , kα

k=1

zatímco (50)

řada

∞ X sin kx konverguje, je-li α ∈ R+ a x ∈ R . kα

k=1

Je-li α > 1, konvergují obě řady absolutně podle srovnávacího kritéria. Je-li 0 < α ≤ 1, vyšetříme nejdříve některé speciální případy : Je-li x ≡ 0 mod 2π (resp. x ≡ π mod 2π), je k - tý člen řady ze (49) roven 1/k α (resp. (−1)k /k α ), takže řada diverguje (resp. konverguje neabsolutně). Pro x ≡ 0 mod π je řada z (50) nulová 2 ). 2 ) „Nulová řadaÿ není podle běžně užívané terminologie řada s nulovým součtem, ale řada, jejíž všechny členy jsou nulové ; taková řada samozřejmě konverguje absolutně.

213

Dokažme konečně, že pro každé α ∈ (0, 1i a (51)

pro každé x 6≡ 0 mod π konvergují řady (49) a (50) neabsolutně .

Protože u obou řad se postupuje podobně, provedeme důkaz jen pro řadu z (50). Protože již víme, že tato řada konverguje, zbývá dokázat, že příslušná řada absolutních hodnot diverguje ; k tomu stačí ověřit, že není splněna příslušná BC podmínka, tj. že existuje ε ∈ R+ tak, že pro každé n0 ∈ N existuje n > n0 a p ∈ N tak, že n+p X

k=n+1

Dokážeme dokonce více, a to že (52)

sin kx α ≥ ε. k

existuje ε ∈ R+ tak, že pro každé n ≥ 2 je

2n X | sin kx| ≥ ε. kα

k=n+1

Protože funkce | sin kx| má periodu π, stačí omezit se na čísla x ∈ (0, π); protože však x ∈ ( 12 π, π) ⇒ π − x ∈ (0, 21 π) a | sin k(π − x)| = | sin kx|, stačí vyšetřovat dokonce jen čísla x ∈ (0, 21 πi. Pro každé takové x obsahuje interval h(n + 1)x, 2nxi délky (n−1)x nejvýše (n−1)x/π +1 ≤ 12 (n+1) čísel tvaru jπ, kde j ∈ Z. Utvořímeli pro každé j ∈ Z otevřený interval Ij := (jπ − 21 x, jπ + 12 x) délky x a položíme-li δ := sin 21 x, je patrné, že každý interval Ij obsahuje nejvýše jeden celý násobek čísla x, že pro každé t ze sjednocení všech Ij je | sin t | < δ a že všude v doplňku tohoto sjednocení platí obrácená nerovnost | sin t | ≥ δ. Protože množina {kx; n < k ≤ 2n } obsahuje právě n čísel, existuje v ní aspoň n − 21 (n + 1) = 12 (n − 1) čísel, z nichž žádné neleží v žádném intervalu Ij , takže absolutní hodnota příslušného sinu je aspoň rovna číslu δ. Z toho dále plyne, že 2n X | sin kx| ≥ kα

1 2 (n

k=n+1

− 1)δ ≥ (2n)α

1 2 (n

− 1)δ  1 1  δ≥ ≥ − 2n 4 4n

1 8

δ,

protože n ≥ 2. Nahoře jsme odůvodnili, proč se při důkazu tvrzení (52) můžeme omezit na čísla x ∈ (0, 21 πi; je zřejmé, že v tom případě stačí položit ε = 18 sin 21 x. Příklad 11.6. Označíme-li (53) je

ak (z) :=

P∞

k=0

zk k!

pro každé z

∈

C pro každé celé číslo k ≥ 0,

ak (0) = a0 (0) = 1. Je-li z 6= 0, je a |z | k+1 (z) z k+1 k ! → 0 pro k → ∞ , = = k ak (z) (k + 1)! z k+1

takže podle d’Alembertova kritéria řada

P∞

214

k=0

ak (z) konverguje absolutně.

Tím je dokázáno, že ∞ X zk konverguje absolutně pro každé z řada k!

(54)

k=0

∈

C.

Příklad 11.7. Je-li α ∈ R, plyne z Cauchyho kritéria, že (55)

řada

∞ X

k α z k konverguje absolutně pro každé z

k=1

∈

C, pro něž je |z | < 1,

protože q √ k
α k α k k |z | = k |z | → |z | pro k → ∞

(sr. s Př.3.5 ). Podle téhož kritéria řada z (55) diverguje, je-li |z | > 1, a to opět pro každé α. Zbývá vyšetřit čísla z ∈ C, pro něž je |z | = 1. Pak je |k α z k | = k α a podle srovnávacího kritéria řada z (55) konverguje absolutně pro všechna α < −1. Je-li z = 1 a α ≥ −1, řada podle integrálního kritéria diverguje (do +∞). Je-li z 6= 1 a 0 > α ≥ −1, existuje t ∈ R tak, že z = eit , přičemž t 6≡ 0 mod 2π ; podle Př.11.5 řada z (55) konverguje neabsolutně. Je-li α ≥ 0, nekonverguje k - tý člen k nule, takže řada diverguje podle V.11.1 . Příklad 11.8. Prvním krokem vyšetření konvergence řady (56)

∞ X sinh k arccotgα k sin k ek k β

k=1

se dvěma parametry α ∈ R, β ∈ R bude zjednodušení členů řady pomocí symetrické verze Abelova kritéria: Především uvážíme, že je (57)

sinh k ≍ 1, k arccotg k ≍ 1 pro k → ∞ . ek

Protože funkce (sinh x)/ex = 21 (1 − e−2x ) v R+ roste, lze výraz sinh k/ek podle V.11.12 vynechat, aniž se na konvergenci řady (56) cokoli změní. Protože i funkce x arccotg x v R+ roste, je funkce (x arccotg x)α pro každé α ∈ R v R+ monotónní, takže výraz arccotgα k lze nahradit výrazem k −α , opět aniž se cokoli na konvergenci řady změní. Z toho je patrné, že řada (56) konverguje, právě když konverguje řada (58)

∞ X sin k . k α+β

k=1

Symetrické Abelovo kritérium dává však ještě tuto další informaci: Řada (56) konverguje absolutně, právě když konverguje absolutně řada (58). Absolutní konvergence řady (56) je totiž totéž co konvergence řady 215

∞ X sinh k arccotgα k | sin k | ek k β

(56′ )

k=1

a ta je podle tohoto kritéria ekvivalentní s konvergencí řady ∞ X | sin k | , k α+β

(58′ )

k=1

tj. s absolutní konvergencí řady (58). Tím je náš problém převeden na problém, který jsme vyřešili v Př.10.5 : Řada (58) konverguje absolutně, je-li α + β > 1, a neabsolutně, je-li 0 < α + β ≤ 1; je-li α + β ≤ 0, řada (58) diverguje. Totéž platí o řadě (56). P∞ Poznámka 11.2. Rovnost k=1 ak = s znamená, že posloupnost částečných součtů s(n) řady vlevo má limitu s. Nechť {kj }∞ j=0 je nějaká rostoucí posloupnost nezáporných celých čísel, přičemž k0 = 0. Nechť σm znamená m - tý částečný součet řady (ak0 +1 + · · · + ak1 ) + (ak1 +1 + · · · + ak2 ) + · · · + (akm−1 +1 + · · · + akm ) + · · · o členech uvedených v závorkách. Pak je σm = s(km ) pro všechna m a z toho (podle věty o limitě vybrané posloupnosti – sr. s (16) z kapitoly 3) plyne, že σm → s. Tím je (za shora uvedených předpokladů o posloupnosti {kj }∞ j=0 ) dokázáno toto tvrzení: (59)

∞ X

ak =

k=1

∞ X j=1

(akj−1 +1 + · · · + akj ), má-li levá strana rovnosti smysl.

Toto tvrzení lze považovat za asociativní zákon pro nekonečné řady. Všimněme si však, že (na rozdíl od konečných součtů) k tomu, aby platila rovnost v (59), nestačí, aby řada vpravo měla součet. Je-li totiž ak = (−1)k−1 a kj = 2j, je řada 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . divergentní, zatímco (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . je řada nulová.  Zabývejme se otázkou, zdali pro nekonečné řady platí nějaký komutativní zákon, tedy otázkou, zdali se součet řady nezmění, jestliže řadu nějak přerovnáme, tj. jestliže její členy sečteme „v jiném pořadíÿ. Nejdříve je ovšem třeba řádně definovat, co „sčítáním členů řady v jiném pořadíÿ neboli „přerovnáním řadyÿ rozumíme. Definice. Je-li ϕ : N →na N prosté zobrazení, říkáme, že řada (60)

∞ X

aϕ(k)

k=1

vznikla z řady

P∞

ak přerovnáním ϕ. P∞ P∞ Říkáme, že řada k=1 bk vznikla z řady k=1 ak přerovnáním, existuje-li prosté zobrazení ϕ : N →na N tak, že rovnost bk = aϕ(k) platí pro všechna k ∈ N. k=1

216

P∞ Věta 11.13. 1. Je-li k=1 ak absolutně konvergentní řada, platí totéž o každé P∞ řadě b , která z ní vznikla přerovnáním; kromě toho pak je k=1 k ∞ X

(61)

bk =

k=1

∞ X

ak .

k=1

2. Rovnost (61) platí i za předpokladu, že je ak ≥ 0 pro všechna k ∈ N (a že řada P∞ P∞ k=1 ak přerovnáním). k=1 bk vznikla z řady P∞ ∗ 3. Je-li k=1 ak reálná neabsolutně konvergentní řada a je-li s ∈ R jakékoli číslo, existuje přerovnání ϕ tak, že ∞ X

(62)

aϕ(k) = s . 

k=1

Součet řady se tedy při přerovnání nezmění, je-li řada buď absolutně konvergentní, nebo jsou-li všechny její členy nezáporné ; naopak, vhodnou změnou pořadí členů neabsolutně konvergentní reálné řady lze získat jakýkoli předem určený součet ! 3) Příklad 11.9. Lze dokázat, že součet s (alternující neabsolutně konvergentní) řady ∞ X (−1)k−1 1 1 1 = 1 − + − + ··· k 2 3 4

(63)

k=1

je roven lg 2, ale k tomu, abychom ilustrovali, že přerovnáním se součet neabsolutně konvergentní řady může změnit, stačí vzít v úvahu, že ∞   X 1 1 1 1 1 + + ··· = > 0. s= 1− − − 2 3 4 2k − 1 2k

(64)

k=1

Utvořme řadu ∞   X 1 1 1 1 1 1 1 1 (65) 1− − − − − − + + ··· = ; 2 4 3 6 8 2k − 1 2(2k − 1) 4k k=1

porovnáme-li pravé strany identit

1 1 1 1 1 1 1 − = , − − = , 2k − 1 2k (2k − 1) · 2k 2k − 1 2(2k − 1) 4k (2k − 1) · 4k

vidíme, že se součet řady (65) rovná 21 s. Nechť σn resp. τ n značí n - tý částečný součet řady (65) resp. řady (66)

1−

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + ··· + − − + ··· , 2 4 3 6 8 2k − 1 2(2k − 1) 4k

3 ) I u neabsolutně konvergentních komplexních řad lze přerovnáním měnit součet ; příslušná věta však nedává tak elegantní výsledek jako 3. část V. 11. 13 .

217

která vznikla přerovnáním řady (63). Protože je τ 3n = σn pro každé n ∈ N a protože τ 3n−1 − σn = 1/4n → 0, τ 3n−2 − σn = 1/4n + 1/(4n − 2) → 0 pro n → ∞, je lim τ 3n = lim τ 3n−1 = lim τ 3n−2 = lim σn = 21 s. Z toho plyne, že existuje lim τ n a rovná se 21 s. Řada (66) vzniklá přerovnáním řady (63) (s kladným součtem) má tedy poloviční součet.  V souvislosti s tím, že součet absolutně konvergentní řady nezávisí (podle 1. části V.11.13 ) na pořadí, v němž členy řady sčítáme, se zavádí pro sčítání užitečný symbol, v němž pořadí sčítání není určeno. Tento symbol se nazývá zobecněná řada a zahrnuje jak nekonečné absolutně konvergentní řady, tak i řady konečné. K jeho definici budeme potřebovat tento velmi důležitý pojem: Definice. Říkáme, že množina A je spočetná, existuje-li prosté zobrazení jedné z množin (67) na množinu A.

∅, {1, 2, . . . , N }, kde N

∈

N, N



Množina A je tedy spočetná, právě když nastane jedna z těchto tří situací: 1) A je prázdná množina. 2) A je konečná neprázdná množina; pak lze její prvky při vhodném N ∈ N seřadit do prosté (konečné) posloupnosti {αk }N k=1 . 3) A je nekonečná množina, přičemž její prvky lze seřadit do prosté (nekonečné) posloupnosti {αk }∞ k=1 .

Rozumíme-li prázdnou posloupností zobrazení prázdné množiny 4 ) a značíme-li ji {αk }0k=1 , vidíme, že množina A je spočetná, právě když lze její prvky seřadit do prosté posloupnosti tvaru {αk }N k=1 , kde N je buď nějaké nezáporné celé číslo, nebo ∞. Uveďme některé vlastnosti spočetných množin :

(68) Každá část spočetné množiny je spočetná. (69) Sjednocení spočetného systému spočetných množin je spočetná množina. (70) Kartézský součin konečného počtu spočetných množin je spočetná množina. (71) Množina Q je spočetná; totéž platí o jejích podmnožinách Z a N. (72) Množina R − Q všech iracionálních čísel je nespočetná; totéž platí o jejích nadmnožinách R a C a o všech intervalech I ⊂ R.  Předpokládejme, že A je spočetná množina a že každému prvku α ∈ A je přiřazeno nějaké komplexní číslo aα . Seřadíme-li všechny prvky množiny A do prosté (prázdné, konečné nebo nekonečné) posloupnosti (73)

{αk }N k=1

4 ) Populárně řečeno : Jde o posloupnost, která nemá žádný člen – podobně jako ∅ je množina, která nemá žádný prvek.

218

(kde N je tedy buď celé nezáporné číslo, nebo ∞), lze vytvořit (konečnou nebo nekonečnou) řadu N X

(74)

aαk ;

k=1

je-li tato řada nekonečná, nechť je absolutně konvergentní. Abychom zjednodušili vyjadřování, umluvme se, že každou konečnou řadu budeme považovat za absolutně konvergentní . Podstatné je, že za vyslovených předpokladů nezávisí součet řady (74) na tom, jak byly prvky množiny A seřazeny do prosté posloupnosti (73); pro konečné řady je to důsledek platnosti běžného komutativního zákona, pro nekonečné řady to plyne z 1. části věty 11.13, která kromě toho konstatuje, že ani absolutní konvergence řady (74) nezávisí na způsobu seřazení. To vše nás vede k zavedení symbolu sčítání, který neobsahuje informaci o pořadí, v němž se prvky dané (spočetné) množiny A ⊂ C mají sečíst; bude to symbol X (75) aα , α∈A

který se nazývá zobecněná řada. Jestliže posloupnost (73) vznikla seřazením prvků množiny A do prosté posloupnosti a jestliže příslušná řada (74) konverguje absolutně, budeme říkat, že zobecněná řada (75) konverguje, nebo také, že má smysl; její součet pak definujeme jako součet řady (74). Je-li tento součet roven a, píšeme X

(76)

aα = a .

α∈A

Jestliže naopak při nějakém seřazení prvků (nekonečné) množiny A do prosté posloupnosti (73) příslušná řada (74) nekonverguje absolutně, budeme říkat, že zobecněná řada (75) nekonverguje nebo že nemá smysl; takové řadě není pak přiřazen žádný součet . Věta 11.14. (Zobecněný asociativní zákon.) Předpokládejme, že B je spočetná množina a že Aβ , β ∈ B, jsou disjunktní spočetné množiny. Označíme-li [ (77) A := Aβ β ∈B

a je-li aα (78)

∈

C pro každé α ∈ A, je X X X aα , má-li levá strana této rovnosti smysl. aα = α∈A

β ∈ B α ∈ Aβ

Poznámka 11.3. Asociativní zákon souvisí s tzv. uzávorkováním – sr. s Po.11.2 ; u zobecněných řad jej interpretujeme tak, že místo abychom sečetli zobecněnou řadu na levé straně (78) přímo, rozložíme množinu A indexů na spočetně mnoho disjunktních spočetných množin Aβ , pro každé β sečteme všechna čísla aα , α ∈ Aβ , 219

a výsledky tohoto sčítání sečteme přes všechna β ; výsledek bude roven součtu řady vlevo, má-li tato řada smysl. K tomu, aby levá strana (78) měla smysl, však nestačí, aby měla smysl pravá strana ; to je zcela analogické tomu, co jsme již (v Po.11.2 ) viděli Pu „obyčejnýchÿ řad: Je-li aα := (−1)α−1 pro všechna α ∈ A := N, zobecněná řada α∈A aα nemá smysl. P Položíme-li však B = N a An := {2n − 1, 2n} pro každé n ∈ B, je α ∈ An aα = 0 pro všechna n ∈ B, takže součet na pravé straně (78) má smysl a je roven nule. P Věta 11.15. (Součin zobecněných řad.) Konvergují-li zobecněné řady α ∈ A aα P P a β ∈ B bβ , konverguje i řada (α,β) ∈ A×B aα bβ a platí rovnost (79)

X

aα

α∈A

 X

β ∈B

 bβ =

X

aα bβ .

(α,β) ∈ A×B

Definice. Konvergují-li obě zobecněné řady vlevo, nazýváme zobecněnou řadu na pravé straně (79) jejich součinem.  V teorii řad hraje důležitou úlohu 5 ) tento speciální součin („obyčejnýchÿ řad): ∞ Definice. Jsou-li {aj }∞ j=0 , {bk }k=0 dvě komplexní posloupnosti, nazýváme řadu ∞ X n X

(80)

n=0

aj bn−j

j=0



Cauchyho součinem řad ∞ X

(81)

aj ,

j=0

∞ X

bk . 

k=0

Definice neobsahuje žádné předpoklady, které by zaručily konvergenci řady (80); zavádí se jen jistý název. Konvergencí Cauchyho součinu se však zabývá tato věta: Věta 11.16. Z absolutní konvergence jedné z řad (81) a z konvergence druhé z nich plyne konvergence jejich Cauchyho součinu a rovnost (82)

∞ X j=0

aj

∞  X

k=0

∞ X n  X  bk = aj bn−j . n=0

j=0

Konvergují-li obě řady absolutně, platí totéž o jejich Cauchyho součinu. Příklad 11.10. Označme (83)

E(z) :=

∞ X zk pro každé z k!

k=0

∈

C;

připomeňme, že podle Př.11.6 řada vpravo konverguje v celém C, a to absolutně. 5)

Viz např. dodatek k této kapitole.

220

Podle V.11.16 platí tedy pro každá dvě čísla z ∈ C, w ∈ C rovnosti ∞ n ∞ ∞ X z j  X wk  X  X z j wn−j  = E(z)E(w) = j! k! j !(n − j)! n=0 j=0 j=0 k=0 ∞ n ∞     X 1 X n X (z + w)n = = E(z + w). z j wn−j = n ! j=0 j n! n=0 n=0

Poznamenejme, že funkce, kterou jsme zde označili E(z), je ve skutečnosti komplexní exponenciála, pro niž se užívá (podobně jako pro reálnou exponenciální funkci, která je její restrikcí) většinou označení exp z nebo ez . Identita (84)

E(z + w) = E(z)E(w) pro všechna z

C, w

∈

∈

C,

kterou jsme dokázali, je jednou z jejích nejdůležitějších vlastností; setkali jsme se s ní již u reálné exponenciály a u exponenciály s ryze imaginárním exponentem (viz Př.11.5 ). Další informace o komplexní exponenciále najde čtenář v dodatku k této kapitole.

Cvičení V příkladech 11.01–11.50 je n ∈ N, α ∈ R+ , β ∈ R+ , γ ∈ R+ , a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R, A ∈ h0, ∞), x ∈ R, z ∈ C. Úkolem je rozhodnout o absolutní konvergenci každé z následujících řad ; v případě, že členy řady obsahují parametr nebo parametry, je třeba nalézt všechny jejich hodnoty, při nichž je konvergence absolutní. ∞ X k! 11.01. kk

∞ X (k !)2 11.02. kk

11.03.

11.04.

11.05. 11.07. 11.09. 11.11. 11.13.

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=0 ∞ X

k=0 ∞ X

k=2 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

(k !)2 (2k)! 2k

z (2k)! (−1)k

11.06. 2k

z (2k)!

11.08.

1 a k lgb k

11.10.

k zk

11.12.

1 √ kkk

11.14.

k=1 ∞ X

Ak k ! kk

k=0 ∞ X

(−1)k

k=1 ∞ X

z 2k+1 (2k + 1)!

k=0 ∞ X

1 k lg k lgc (lg k)

k=1 ∞ X

ekx k

k=3 ∞ X

k=1

221

z 2k+1 (2k + 1)!

a

2

zk 2k

b

11.15. 11.17. 11.19. 11.21. 11.23. 11.25. 11.27. 11.29. 11.31. 11.33. 11.35. 11.37. 11.39. 11.41. 11.43. 11.45.

∞ X ekx k2

k=1 ∞ X

k=0 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=0 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=2 ∞ X

k=2 ∞ X

k=0 ∞ X

k=1

11.16.

z k!

11.18.

arctgk

2kx x2 + k 2

11.20.

k2 k

k x (k + 1)k2 k p

11.22.

k−1

11.24.

(k 2 − k + 1)k+1

xk 1 + x2k √ k

11.26. 1

11.28.

e2kx + ekx + 1

√

k+1−

p

√

p

11.30.


11.32.

p
3 k2 + 1 − k2 − 1

11.34.

k3 + 1 −

p 3

k−1




√ kn + 1 −

n+1

k3 − 1

√
kn − 1

n+1

11.36. 11.38.

sin k x sin2 √ k lg k

11.40.

1 k lg2 k

11.42.

kx e−kx cos kx

11.44.

sin



cos

x k

11.46.

k

∞ X

lg (k + 1)

k=1 ∞ X

arctg

k=1 ∞ X

exp (−k sin2k x)

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=0 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

2kx + k2

x2

k arcsink √ k 2+1

lg (1 + αk ) αk ekx +1

e2kx

1 + ka 1 + kb p p
k2 + 1 − k2 − 1 √ 3

k+1−

√
3 k−1

k=1 ∞ X

lga k arccotgc k kb

k=1 ∞ X

cos kx

k=2 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

222

1 p k

k2 √ zk k!



k 1/(k

2

+1)

 −1

lg (1 + Ak ) 

sin

x k k

arctgk x arccotgk x

11.47. 11.49.

∞ X

k=1 ∞ X

k=0

arcsink x arccosk x

11.48.

(−1)k x2k (2 − x2 )k

11.50.

∞ X

k=1 ∞ X

xk (1 − x)k

k=1

(sin3 x − cos3 x)k k2

Nechť je opět a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R, A ∈ h0, ∞), x ∈ R, z ∈ C. U každé z následujících řad rozhodněte, pro které hodnoty parametrů řada konverguje, a pak zjistěte, kdy je konvergence absolutní a kdy neabsolutní. (Při aplikaci Abelova a Dirichletova kritéria nezapomeňte ověřit monotonii příslušné posloupnosti!) 11.51.

∞ X

k=1 ∞ X

(−1)k

k 1 sin k+1 k

1 k cos k2 + 1 k k=1 √ ∞ k 9 X k k (−1) 11.55. lg (lg k) 11.53.

11.57. 11.59. 11.61. 11.63. 11.65. 11.67. 11.69. 11.71. 11.73.

k=2 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

(−1)k

(−1)k arctg k arccotg (−1)k (−1)k

11.56. √ k

k sin k k2 + 1 cos k lg k

11.62.

arccotga k sin k

11.64.

k sin k arccosa k+1 (−1)k

e eak



+1

(−1)k lg 1 +

11.58. 11.60.

2

ak

11.66.

arccotgb k 1

k

∞ X

k 1 cos k+1 k k=1 √ ∞ k X k k (−1) 11.54. lg k

11.52.

11.68. 11.70.

cos k

 (−1)k  (−1)k lg 1 − sin k k  −k −k k arccos 2 k+1 k +1

223

11.72. 11.74.

(−1)k

k=2 ∞ X

(−1)k

k=2 ∞ X

(−1)k

k sin2 k k2 + 1

(−1)k

(2k − 1)!! (2k)!!

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

 2k + 10 k 3k + 1

sin(k + k −2 ) lg (lg k)

arctga

1 cos k k

Ak sin k Ak + 1 xk cos k +1

x2k

1 (−1)k sin √ cos k k3 k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

(−1)k

lg (1 + k) lg (1 + k 3 )

(−1)k

lg (1 + ekx ) lg (1 + e3kx )

11.75.

∞ X arccotga k sin kx xb

k=1 ∞ X

11.76.

sinh kx + cosh kx e2kx k=1 √ ∞ X k cosh k ! (−1)k 11.79. k + 1 sinh k !

11.77.

(−1)k

11.78. 11.80.

11.81. 11.83. 11.85. 11.87. 11.89.

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

k

z √ k+ k arctga

11.82.

1 sin kx cos kx k

cos π

p

cos π

p

k2 + 1

11.84. 11.86.




r
k x2 2 k +1 x2 + 1

 √  k + 1 k − e cos kx k k

k=1 ∞ X

lg (1 + k a ) cos kx (−1)k

k=1 ∞ X

lg k cos k ka

(−1)k

sin3 k k

k=1 ∞ X

(−1)k

k=1

k=1 ∞ X

∞ X

11.88. 11.90.

∞  k X 1 X 1 cos kx k j=1 j

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1 ∞ X

k=1

sin π 

cotg



sin

Řešení cvičení

konverguje absolutně

diverguje

11.01.

ano

ne

11.02.

ne

ano

11.03.

ano

ne

11.04.

A ∈ h0, e)

A≥e

11.05.

z

∈

C

nikdy

11.06.

z

∈

C

nikdy

11.07.

z

∈

C

nikdy

11.08.

z

∈

C

nikdy

11.09.

(a > 1) ∨ ((a = 1) ∧ (b > 1))

jindy

∨ ((a = b = 1) ∧ (c > 1))

jindy

11.10.

(a > 1) ∨ ((a = 1) ∧ (b > 1))

224

xk sin k 1 + x2k k p

k2 + 1




 sin k 1 −k k ka

1 1  cos k − k k ka

11.11. 11.12.

|z | > 1

0 < |z | ≤ 1

|z | ≤ 1

jindy

11.13.

ne

ano

11.14.

x<0

11.15.

x≤0

x≥0

x>0

11.16.

ne

ano

11.17.

|z | < 1

|z | ≥ 1

11.18.

x=0

11.19.

x∈R

nikdy

11.20.

ano

ne

11.21.

|x | < e

|x | ≥ e

11.22.

x 6= 0

x 6≡ 0 mod π

x ≡ 0 mod π

11.23.

ano

ne

11.24.

α>1

11.25.

x 6= ±1

0<α≤1

11.26. 11.27. 11.28.

x = ±1

x 6= 0

x=0

nikdy

x∈R

((a ≤ 0) ∧ (b > 1))

∨ ((a > 0) ∧ (b > 0) ∧ (b − a > 1))

jindy

11.29.

ne

ano

11.30.

ne

ano

11.31.

ano

ne

11.32.

ne

ano

11.33.

ano

ne

11.34.

(b + c > 1) ∨ ((b + c = 1) ∧ (a < −1))

jindy

11.35.

n>1

n=1

11.36.

z

nikdy

11.37.

ne

ano

11.38.

nikdy

x∈R

11.39.

x∈R

nikdy

∈

C

225

11.40.

ano

ne

11.41.

ano

ne

11.42.

A ∈ h0, 1)

A≥1

11.44.

x∈R

nikdy

11.45.

nikdy

11.43.

x≥0

x<0

p

. π 2 + 16 ) = −0.528

11.46.

x > tg 41 (π −

11.47.

S < x ≤ 1, kde p . S := sin 14 (π − π 2 + 16 ) = −0.467 √ √ 1 5 ) < x < 21 (1 + 5 ) 2 (1 − p√ . 1 6= |x | < 2 + 1 = 1.5538

11.48. 11.49. 11.50.

x∈R

x∈R jindy

−1≤x≤S jindy jindy nikdy

*** cvičení

konvergence

divergence

11.51.

neabs.

ne

11.52.

ne

ano

11.53.

neabs.

ne

11.54.

neabs.

ne

11.55.

neabs.

ne

11.56.

abs.

ne

11.57.

neabs.

ne

11.58.

neabs.

ne

11.59.

neabs.

ne

11.60.

neabs.

ne

11.61.

neabs.

ne

11.62.

neabs.

ne

11.63.

abs., je-li a > 1, neabs., je-li 0 < a ≤ 1

je-li a ≤ 0

abs., je-li a > 2, neabs., je-li 0 < a ≤ 2

je-li a ≤ 0

11.64. 11.65.

abs., je-li a > 1, neabs., je-li 0 < a ≤ 1

226

je-li a ≤ 0

11.66. 11.67. 11.68.

abs., je-li 0 ≤ A < 1

je-li A ≥ 1

neabs., je-li (a ≥ 0) ∧ (0 < b ≤ 1)

jindy

abs., je-li (a < 0) ∨ (b > 1) abs., je-li x 6= ±1

je-li x = ±1

11.69.

neabs.

ne

11.70.

abs.

ne

11.71.

neabs.

ne

11.72.

ne

ano

11.73.

neabs.

ne

11.74.

nikdy

je-li x ∈ R

11.75.

abs., je-li (x ≡ 0 mod π) ∨ (a + b > 1)

11.76.

neabs., je-li (x 6≡ 0 mod π) ∧ (0 < a + b ≤ 1)

jindy

neabs., je-li (x 6≡ 0 mod 2π) ∧ (−1 ≤ a < 0)

jindy

abs., je-li a < −1

11.77.

abs., je-li x > 0

11.78.

abs., je-li a > 1, neabs., je-li 0 < a ≤ 1

11.79.

je-li x ≤ 0 je-li a ≤ 0

neabs.

ne

11.80.

neabs.

ne

11.81.

abs., je-li |z | < 1, neabs., je-li |z | = 1 6= z

jindy

11.82. 11.83. 11.84.

neabs., je-li x 6≡ 0 mod 2π abs., je-li (x ≡ 0 mod

1 2 π)

∨ (a > 1)

neabs., je-li (x 6≡ 0 mod 12 π) ∧ (0 < a ≤ 1) abs., je-li x 6= ±1, neabs., je-li x = ±1

jindy jindy nikdy

11.85.

ne

ano

11.86.

neabs.

ne

11.87.

ne

ano

11.88.

abs., je-li a > 0, neabs., je-li − 1 < a ≤ 0

je-li a ≤ −1

11.89. 11.90.

neabs., je-li x 6≡ 0 mod 2π

abs., je-li a > −2, neabs., je-li − 3 < a ≤ −2

227

jindy

je-li a ≤ −3

Dodatek ke kapitole 11 Říkáme, že komplexní funkce f komplexní proměnné 6 ) je spojitá v bodě a ∈ C, platí-li implikace zn → a ⇒ f (zn ) → f (a). Slovy spojitá funkce budeme v tomto dodatku rozumět funkci spojitou v každém bodě a ∈ C. Říkáme, že A ∈ C je limita funkce f v bodě a ∈ C, jestliže a 6= zn → a ⇒ f (zn ) → A; píšeme pak lim z→a f (z) = A nebo f (z) → A pro z → a . Existuje-li limita (85)

lim

h→0

f (a + h) − f (a) , h

nazýváme ji derivace funkce f v bodě a („podle komplexní proměnnéÿ). V tomto dodatku ji budeme značit f ′ (a); k záměně s analogickým symbolem pro „derivaci podle reálné proměnnéÿ nedojde, protože se zde tato derivace nikde neobjeví. Podobně jako je tomu v reálném oboru, platí tato dvě tvrzení: (86)

limz→a f (z) = f (a), právě když je funkce f spojitá v bodě a .

(87)

Z existence f ′ (a) plyne spojitost funkce f v bodě a .

Poznamenejme, že na rozdíl od R∗ leží v množině C leží pouze „konečná číslaÿ, takže i všechny limity v komplexním oboru jsou podle naší definice „konečnéÿ, a totéž tedy platí i o derivacích „podle komplexní proměnnéÿ.  P∞ k Zcela analogicky, jako jsme v Př.11.6 dokázali, že řada P k=0 z /k ! konverguje ∞ absolutně pro každé z ∈ C, se ověří, že totéž platí o řadách k=0 (−1)k z 2k /(2k)! P∞ a k=0 (−1)k z 2k+1 /(2k + 1)!. Proto lze v C definovat funkce E, C a S rovnostmi (88)

E(z) :=

∞ ∞ ∞ X X X z 2k z 2k+1 zk (−1)k (−1)k , C(z) := , S(z) := ; k! (2k)! (2k + 1)!

k=0

k=0

k=0

jsou to po řadě : komplexní exponenciála, komplexní kosinus a komplexní sinus. (Neužíváme zde pro ně běžné označení exp z, cos z a sin z, aby nemohlo dojít k záměně se stejnojmennými reálnými funkcemi reálné proměnné. 7 )) Připomeňme, že v Př.11.10 jsme dokázali identitu (84)

E(z)E(w) = E(z + w) pro všechna z

6)

∈

C, w

∈

C. 

tj. zobrazení z C do C Důkaz, že reálná exponenciála a reálný sinus a kosinus jsou restrikce funkcí (88) a že rovnost eit = E(it) platí pro všechna t ∈ R (sr. se (41)), najde čtenář ve druhém dílu této knihy. Lze však postupovat i jinak : V Jarníkově Diferenciálním počtu I se na začátku kapitoly 6 zavádějí (reálné) funkce sinus a kosinus spolu s číslem π „axiomatickyÿ, na základě čtyř jednoduchých podmínek. Všechny tyto podmínky čtenář najde i v tomto dodatku – viz zejména cvičení 11.93, 11.91, 11.96 a 11.94. 7)

228

Cvičení 11.91–11.100 mohou sloužit nejen k individuálnímu procvičení operací s řadami, ale např. i jako referáty, v nichž studenti po korektním zavedení exponenciály, kosinu a sinu sami postupně odvodí základní vlastnosti těchto funkcí. Kromě jiného se též dovědí, jak lze korektně definovat číslo π, a přesvědčí se, že všechny tyto informace lze snadno získat, přejdeme-li z reálného oboru do oboru komplexního.

Cvičení 11.91. Jistě je zřejmé, že funkce C je sudá, funkce S lichá a že (89)

E(0) = 1, C(0) = 1, S(0) = 0.

Odvoďte z (84), že (90)

z

11.92. Pro každé z

∈

∈

1 . E(z)

C dokažte tyto identity :

(91) (92)

C ⇒ E(z) 6= 0, E(−z) =

E(±iz) = C(z) ± iS(z),

C(z) =

E(iz) + E(−iz) E(iz) − E(−iz) , S(z) = , 2 2i C 2 (z) + S 2 (z) = 1.

(93)

Označte x := Re z, y := Im z a ukažte, že (pro všechna z (94)

∈

C ) je

E(z) = E(x + iy) = E(x) · (C(y) + iS(y)),

přičemž E(x), C(y) a S(y) jsou reálné funkce reálné proměnné. R a d a . (91) plyne přímo z definic funkcí E, C a S, (92) pak vznikne z rovnic (91) sečtením resp. odečtením. K důkazu (93) a (94) se užije (91), (92) a (84). 11.93. Pomocí (84), (92) a (93) dokažte, že identity (tzv. součtové vzorce) (95)

C(z + w) = C(z)C(w) − S(z)S(w), S(z + w) = S(z)C(w) + C(z)S(w)

platí pro všechna z

∈

C, w

∈

C.

11.94. Za předpokladu, že 0 < |h | < 1, dokažte nerovnosti (961 ) (962 )

C(h) − 1 ≤ A |h |, h

kde A :=

S(h) − 1 ≤ B |h |2 , kde B := h 229

∞ X

k=1 ∞ X

k=1

1 (2k)!

∈

R+ ,

1 (2k + 1)!

∈

R+ .

Všimněte si, že z nich ihned plyne, že (97)

C ′ (0) = lim

h→0

C(h) − 1 = 0, h

h→0

Užijte (95) a (97) k důkazu, že pro každé z přičemž (98)

S(h) = 1. h

S ′ (0) = lim

C ′ (z) = −S(z),

∈

C existují derivace C ′ (z), S ′ (z),

S ′ (z) = C(z).

Podle (87) z toho vyplývá, že funkce C, S jsou spojité. R a d a . Vyjděte z definic čísel C(h) a S(h) a uvažte, že C(z + h) − C(z) = C(z) (C(h) − 1) − S(z) S(h),

S(z + h) − S(z) = S(z) (C(h) − 1) + C(z) S(h).

11.95. Dokažte, že C(2) < 0, a odvoďte z toho, že funkce C má v intervalu (0, 2) (aspoň jeden) kořen; pak dokažte, že množina K := C−1 (0) ∩ R+ všech kladných kořenů funkce C má minimum. R a d a . Ověřte především platnost relací (99)

C(2) = 1 −

∞

∞

k=2

k=2

X 22k 22k 22 X (−1)k + ≤ −1 + 2! (2k)! (2k)!

∞ 16 X  4 k 50 ≤ −1 + ≤ −1 + < 0. 24 25 63 k=0

Pak uvažte, že reálná spojitá funkce C |h0, 2i, splňující podmínky C(0) = 1 > 0, C(2) < 0, se někde v intervalu (0, 2) anuluje (protože má Darbouxovu vlastnost). Protože její infimum A je limitou jisté posloupnosti bodů Ak ∈ K, plyne ze spojitosti funkce C, že A je minimem množiny K ; je přitom A > 0, protože C(0) = 1. 11.96. Definujte číslo π rovností (100)

π := 2 min {x ∈ R+ ; C(x) = 0},

tedy jako dvojnásobek nejmenšího kladného kořenu funkce C, a dokažte tato tvrzení: A. Restrikce S |h0, 21 πi je funkce rostoucí, restrikce C |h0, 21 πi funkce klesající v intervalu h0, 21 πi. Kromě toho je (101) z

S( 21 π) = 1, S(π) = 0, C(π) = −1, S(2π) = 0, C(2π) = 1.

B. Komplexní funkce C a S jsou 2π - periodické, což znamená, že pro všechna C platí identity

∈

(102)

C(z ± 2π) = C(z),

S(z ± 2π) = S(z).

230

C. Komplexní funkce E má (ryze imaginární) periodu 2πi, což znamená, že pro všechna z ∈ C platí identita (103)

E(z ± 2πi) = E(z).

R a d y : Ad A. Podle definice čísla π je S ′ (x) = C(x) > 0 v (0, 12 π), takže S roste v h0, 21 πi a S( 12 π) > 0. Podle (93) je S 2 ( 12 π) = C 2 ( 21 π) + S 2 ( 12 π) = 1 a vzhledem k rovnosti C ′ = −S funkce C v h0, 21 πi klesá. (101) se odvodí z (95). Ad B. Užijte (95) a (101).

Ad C. Stačí vyjít z (94) a z 2π - periodicity funkcí C a S. 11.97. Pomocí Cauchyho součinu dokažte, že pro všechna z |z | < 1, platí rovnost

∈

C, pro něž je

∞

X 1 jz j−1 . = 2 (1 − z) j=1

(104)

11.98. Položte ajk (z) := j z jk pro všechna j pro něž je |z | < 1, a dokažte, že zobecněná řada X

(105)

∈

N, k

∈

N a pro všechna z

∈

C,

ajk (z)

(j,k) ∈ N×N

konverguje. Pak pomocí V.11.14 dokažte identity ∞ ∞ ∞ X X X jz j zk d(n)z n , = = j k )2 1 − z (1 − z n=1 j=1

(106)

k=1

kde d(n) znamená součet všech kladných dělitelů čísla n. Ověřte, že patnáctý částečný součet poslední řady je roven 1 · z 1 + 3 · z 2 + 4 · z 3 + 7 · z 4 + 6 · z 5 + 12 · z 6 + 8 · z 7 + 15 · z 8

+ 13 · z 9 + 18 · z 10 + 12 · z 11 + 28 · z 12 + 14 · z 13 + 24 · z 14 + 24 · z 15 .

R a d a . Seřaďte všechna čísla ajk (z) do prosté P posloupnosti, utvořte příslušnou řadu a ukažte, že její částečné součty mají tvar (j,k) ∈ X ajk (z), kde X ⊂ N × N je jistá konečná množina. Zvolte n ∈ N tak, že (j, k) ∈ X ⇒ j ≤ n, k ≤ n, a ověřte, že pak platí odhady X

(j,k) ∈ X

|ajk (z)| ≤

n n X X

j=1 k=1

j |z | jk ≤

∞ ∞ ∞  X  X X j |z | j < +∞ . |z | jk ≤ j 1 − |z | j=1 j=1 k=1

Z toho plyne konvergence řady (105). 231

První resp. druhý součet v (106) se dostane tím, že se místo (v souladu s obecným asociativním zákonem) napíše ∞ X ∞ X j=1

k=1

∞ X ∞ X

 ajk (z) resp.

j=1

k=1

P

(j,k) ∈ N×N

ajk (z)

 ajk (z) ;

u druhého součtu se potřebuje i (104). Třetí součet ve (106) se získá tím, že se sečtou všechna čísla ajk (z), pro něž je j + k rovno danému číslu n ∈ N. 11.99. Za předpokladu, že z něné řady

∈

C, |z | < 1, dokažte nejdříve konvergenci zobecX

(107)

z jk ;

(j,k) ∈ N×N

pak ukažte, že její součet lze napsat v těchto dvou tvarech: (108)

∞ X ∞ X

k=1

(109)

∞  X

n=1

j=1

X

∞  X z jk =



z jk =

min (j,k)=n

k=1 ∞ X

zk , 1 − zk 2

zn

n=1

1 + zn . 1 − zn

Všimněte si, že n - tý člen řady na pravé straně (109) resp. (108) je stejného 2 řádu jako |z | n resp. jako |z | n ; řada na pravé straně (109) tedy konverguje daleko rychleji než řada na pravé straně (108). 8 ) 11.100. Pro všechna celá nezáporná čísla položte (110)

(−1) j aj := √ j+1

P∞ P∞ a ukažte, že Cauchyho součin (neabsolutně) konvergentních řad j=0 aj , k=0 ak (neboli „čtverecÿ řady o členech aj ) diverguje. Porovnáte-li tento výsledek s větou V.11.16 , vidíte, že absolutní konvergence (aspoň) jedné z řad, z nichž chceme utvořit Cauchyho součin, je podmínkou podstatnou. R a d a . Dokažte a pak užijte nerovnost p (j + 1)(n − j + 1) ≤

1 2

(n + 2)

platnou pro všechna n ∈ N a všechna j = 0, 1, . . . , n. 8 ) Podobná zjištění mají značný význam např. v situacích, kdy potřebujeme znát přibližnou hodnoty součtu nějaké řady – v našem případě řady (107). Záleží na naší šikovnosti, zdali z dané řady dovedeme utvořit jinou řadu s týmž součtem, ale o členech „velmi rychleÿ konvergujících k nule.

232

Literatura [1]

Agnew, R.P.: Differential Equations, McGraw-Hill Book Company, New York – Toronto – London, 1960

[2]

Apostol, T.M.: Calculus I, Xerox College Publishing Waltham, Massachussets – Toronto, 1967

[3]

Bluman, G.W.: Problem Book for First Year Calculus, Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo, 1984

[4]

Černý, I.: Diferenciální a integrální počet 1, TUL, Liberec, 1997

[5]

Černý, I.: Matematická analýza 2. část, skriptum, TUL, Liberec, 1997

[6]

Černý, I. – Rokyta, M.: Differential and Integral Calculus of One Real Variable, Karolinum, Praha, 1998

[7]

Čerych, J. – Aksamit, P. – John, O. – Stará, J.: Příklady z matematické analýzy V, skriptum, SPN, Praha, 1983

[8]

Demidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matematičeskomu analizu, Gostechizdat, Moskva – Leningrad, 1952

[9]

Jarník, V.: Diferenciální počet I, 7. vyd., Academia, Praha, 1984

[10] Jarník, V.: Integrální počet I, 5. vyd., Academia, Praha, 1974 [11] Jarník, V.: Diferenciální počet II, 3. vyd., Academia, Praha, 1976 [12] Netuka, I. – Veselý, J.: Příklady z matematické analýzy III, skriptum, Univerzita Karlova, Praha, 1980 [13] Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 1977 [14] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1976 [15] Siewierski, L. – Maciulewicz, J. – Smialkówna, H. – ´ Taladaj, H. – Waszkiewicz, J.: Cwiczenia z analizy matematicznej z zastosowaniami, Tom I, PWN, Warszawa, 1982 [16] Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, 1. díl, 2. díl, Matfyzpress, Praha, 1997

233

Rejstřík 1SM 2SM

135 135

funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce

Aditivita integrálu 186 algoritmus vyšetření průběhu funkce 87 aproximace Taylorovými polynomy 72 asymptota 95 Bod hromadný posloupnosti bod inflexní 95 bod stacionární funkce 86 břitva Occamova 68

33

Číslo Eulerovo 32 člen posloupnosti 24 člen řady 207

konvexní, konkávní 94 periodická 54 primitivní 135 primitivní zobecněná 182 racionální 41, 147 reálná 37 reálné proměnné 37 sinh a cosh 41 spojitá v bodě 39 spojitá v definičním oboru 53 spojitá v intervalu 40 stejného řádu 190 sudá, lichá 53

Graf funkce Hrot grafu

85 85

Dělení Taylorových polynomů 73 derivace 40 derivace a spojitost 40, 41 derivace komplexní funkce 228 derivace odmocniny 41 derivace řádu n 50

Indukce (úplná, matematická) 19 integrace 135, 183 integrace funkce R(ex ) 145 integrace funkce R(lg x)/x 146 integrace funkce R(sin x, cos x) 150

derivace součtu a rozdílu 50 determinant Vandermondův 22

integrace funkce R(x, s f (x) ), kde f (x) = (ax + b)/(cx + d)

diferencování součinu a podílu diferencování superpozice 50 diferencovatelnost 50 divergence posloupnosti 25 divergence řady 207

p

147

p

50

Existence integrálu 184 exponenciála komplexní 228 extrém a derivace 124 extrém funkce 85

integrace funkce R(x, f (x) ), kde f (x) = ax2 + bx + c 157 integrace per partes 135, 186 integrace racionální funkce 140 integrál neurčitý 179, 189 integrál Newtonův 183 integrál Newtonův – rozšíření definice integrál pravděpodobnostní 164 integrál určitý – neurčitý 189 integrand 183

Faktor integrační 162 faktoriál 22 funkce cyklometrické 42 funkce diferencovatelná 50 funkce Dirichletova 189 funkce elementární 164 funkce expa a lga 41 funkce hyperbolometrické 42 funkce integrovaná 183

Koeficient binomický 56 konvergence integrálu absolutní 189 konvergence integrálu neabsolutní 189 konvergence posloupnosti 25, 206 konvergence řady 207 konvergence řady absolutní 208 konvergence řady neabsolutní 208 konvergence zobecněné řady 219 kosinus hyperbolický 42

234

187

kosinus komplexní 228 kritérium Abelovo pro integrál 193 kritérium Abelovo pro řadu 211 kritérium BC pro řadu 209 kritérium Cauchyho 210 kritérium d’Alembertovo 210 kritérium Dirichletovo pro integrál 193 kritérium Dirichletovo pro řadu 211 kritérium integrální 210 kritérium Leibnizovo 211 kritérium srovnávací pro integrál 189, 191 kritérium srovnávací pro řadu 210 křivka integrální 163

polynom 41 polynom dvou proměnných 147 polynom Taylorův 70 polynom Taylorův součinu 73 polynom Taylorův součtu (rozdílu) 73 posloupnost 24 posloupnost divergentní 25 posloupnost Fibonacciho 23 posloupnost konstantní 31 posloupnost konvergentní 25 posloupnost (ryze) monotónní 31 posloupnost neklesající, nerostoucí 31 posloupnost omezená 25, 206 posloupnost omezená shora, zdola 25 posloupnost rostoucí, klesající 31 posloupnost stacionární 31 posloupnost vybraná 33 pravidlo l’Hospitalovo 65 princip indukce 19 pro skoro všechna 24 proměnná integrační 183 průběh funkce 85 přerovnání řady 216 přírůstek funkce zobecněný 183

Limes inferior, superior 33 limes superior topologický 33 limita absolutní hodnoty 26 limita funkce 37, 228 limita monotónní funkce 39 limita monotónní posloupnosti 31 limita posloupnosti 25, 206 limita součinu, podílu 26 limita součtu, rozdílu 26 limita superpozice 38, 40 limitní přechod v nerovnostech 26 linearita integrálu 186 Metody substituční 135, 186 mez integrálu 183 množina izolovaná v R 140 množina R∗ 24 množina spočetná 218 mocnina čísla z R∗ 25 model matematický 124 monotonie f ′ a konvexnost – konkávnost f monotonie integrálu 186

Rovnice diferenciální 1. řádu 162 rozdíl čísel z R∗ 24 rozklad racionální funkce 140

95

Nerovnost – řešení 13 nerovnost Bernoulliho 20 Obecné řešení diferenciální rovnice obor integrační 183 okolí bodu z R∗ 37

162

Řada alternující 211 řada číselná 206 řada divergentní 207 řada geometrická 207 řada harmonická 209 řada konvergentní 207 řada nulová 213 řada reálná, komplexní 207 řada vzniklá přerovnáním 216 řada zobecněná 219 řešení diferenciální rovnice 162 řez zlatý 23 Sinus hyperbolický 42 sinus komplexní 228 skoro všechna 24 součet částečný řady 206 součet čísel z R∗ 24 součet řady 206 součin Cauchyho řad 220 součin čísel z R∗ 24

Perioda funkce 54 podíl čísel z R∗ 25 podmínka BC pro řadu 209 podmínky počáteční 163 podstatně pomaleji 71 podstatně rychleji 71

235

součin zobecněných řad 220 spojitost a derivace 53 spojitost funkce v bodě 39 spojitost komplexní funkce 228 spojitost v definičním oboru 53 spojitost v intervalu 40 substituce 135, 186 substituce Eulerova 158 symbol ≍ 190, 209 symbol malé o 70, 209 symbol n !! 23 symbol o (1) 74 symbol velké O 190, 209 Tečna grafu

85

Věta binomická

19

věta Bolzano –Weierstrassova 33 věta o limitě monotónní funkce 39 věta o limitě monotónní posloupnosti 31 věta o limitě superpozice 38, 40 věta o substituci 186 věty o funkcích spojitých v intervalu 86 vlastnost Darbouxova 86 výpočet limity dosazením 39 výraz neurčitý 68 vzorec Leibnizův 56 vzorec Moivrův 21 Zákon asociativní pro řady 215 zákon asociativní pro zobecněné řady zákon komutativní pro řady 216 zlomek jednoduchý (parciální) 140 znaménko f ′ a monotonie f 86

236

219