INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains

Disusun Oleh : Fauziah Dahlia Sari 06305141020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2011

HALAMAN PERNYATAAN

Yang bertandatangan dibawah ini Nama

: Fauziah Dahlia Sari

NIM

: 06305141020

Program Studi : Matematika Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Judul

: Integral Lebesgue pada Fungsi Terbatas.

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya, tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata cara penulisan karya ilmiah yang lazim. Apabila telah terbukti pernyataan ini tidak benar, sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan peraturan yang berlaku.

Yogyakarta, 9 Maret 2011 Yang menyatakan

Fauziah Dahlia Sari NIM. 06305141020

iv

Motto Sesungguhnya sesudah kesulitan akan datang kemudahan, maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh - sungguh (urusan) yang lain. ( Q. S. Al insyirah : 6-7). Barang siapa yang menenmpuh jalan di dunia ini untuk mencari ilmu didalamnya, maka Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga ( H. R Muslim). Allah

tidak

membebani

seseorang

kecuali

sesuai

dengan

kesanggupannya ( Q.S Al baqarah : 289 ).

Persembahan Karya tulis ini kupersembahkan untuk : 1. Ayah

dan

mendukung

ibu serta

tersayang

yang

selalu

memberikan

kasih

mendoakan,

sayangnya

setulus

hati kepadaku. 2. Kakakku

tercinta

yang

selalu

memberikan

motivasi,

mendoakan, memberikan arahan serta selalu membantuku. 3. Terima mbak

kasih kepada diah

yang

sahabat -

selalu

sahabatku eka,

mendoakan,

membantu

dewi, serta

memberikan motivasi kepadaku. 4. Terima

kasih

kepada

keluarga

besarku

yang

selalu

membantu dan mendoakan demi kebahagiaanku. 5. Terima

kasih

kepada

teman

-

temanku

puguh,

ulul,

ginanjar, tambah, neni, mita, mbak hasna, mbak lili, putra,

fajar,

supri,

hesti,

mia,

resa

yang

telah

membantuku, memberikan motivasi dan telah sabar dalam mendengarkan keluh kesahku.

v

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas nikmat, karunia, hidayah, dan petunjuk-Nya sehingga Tugas Akhir Skripsi dengan judul “ Integral Lebesgue pada Fungsi Terbatas” dapat diselesaikan dengan baik. Tugas Akhir Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika, Fakultas matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulisan Tugas Akhir Skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis ucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ariswan selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan izin dalam penulisan ini. 2. Bapak Dr. Hartono selaku Ketua Jurusan pendidikan matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. 3. Ibu Atimini Dhoruri M.S, selaku Ketua Program Studi Jurusan Pendidkan Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta dan selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, memberi nasihat dan arahan dengan sabar hingga terselesaikannya skripsi. 4. Bapak Muhammad Fauzan, M.Sc.ST selaku Pembimbing Akademik penulis.

vi

5. Seluruh

Dosen

Jurusan

Pendidikan

Matematika

Fakultas

MIPA

Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan ilmunya kepada penulis. 6. Seluruh pihak yang telah membantu penyelesaian Tugas Akhir Skripsi ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan Tugas Akhir Skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, namun demikian penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta,

Maret 2011

Penulis,

Fauziah Dahlia Sari NIM. 06305141020

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................... ....... ii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................. iv HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................. v KATA PENGANTAR ......................................................................................... vi DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii ABSTRAK ........................................................................................................... x BAB I

PENDAHULUAN A. Latar belakang masalah ................................................................... 1 B. Pembatasan masalah ........................................................................ 3 C. Rumusan Masalah ........................................................................... 4 D. Tujuan Penulisan ............................................................................ 4

BAB II KAJIAN TEORI A. Himpunan ....................................................................................... 5 B. Supremum dan Infimum ................................................................. 8 C. Himpunan terbuka dan himpunan tertutup...................................... 10 D. Barisan di ℜ dan kekonvergenannya ............................................. 12 E. Kekontinuan fungsi ......................................................................... 18 F. Ukuran luar ..................................................................................... 20 G. Himpunan terukur .......................................................................... 28

viii

H. Ukuran Lebesgue ........................................................................... 36 I. Fungsi terukur................................................................................. 41 J. Fungsi sederhana .......................................................................... 53 K. Integral Riemann ........................................................................... 53 BAB III PEMBAHASAN A. Integral Lebesgue pada fungsi Terbatas......................................... 58 B. Keterkaitan Integral Lebesgue dengan Integral Riemann .............. 69 C. Sifat-sifat Integral Lebesgue pada fungsi terbatas ......................... 73 D. Kekonvergenan Integral Lebesgue pada Fungsi terbatas................ 84 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan ..................................................................................... 89 B. Saran ............................................................................................... 91 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... xi

ix

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS Oleh : Fauziah Dahlia Sari NIM. 06305141020 ABSTRAK Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan integral Lebesgue pada fungsi terbatas, sifat-sifat serta kekonvergenannya. Misalkan f adalah fungsi n

sederhana dan terukur dengan representasi kanonik f = ∑ ai χ Ei , i =1

Ei ={x ∈ E : f(x) = ai} saling asing dan terukur. Bilangan ai (i =1, 2,...., n) berbeda dan ai ≠ 0 . Asumsikan bahwa E berukuran berhingga, maka integral Lebesgue dari f didefinisikan dengan f dapat ditulis

∫

n

f ( x)dx = ∑ ai m( Ei ) . Selanjutnya integral Lebesgue dari i =1

∫f.

Misalkan f dan g adalah fungsi terukur terbatas terdefinisi pada E, dengan E berukuran berhingga, maka sifat-sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terbatas sebagai berikut : 1. ∫ a f = a ∫ f , untuk ∀ a ∈ ℜ E

2.

E

∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g . E

E

E

∫ f = ∫g

3. Jika f = g hampir dimana-mana, maka

E

4. Jika f ≤ g hampir dimana-mana, maka

E

∫ f ≤ ∫ g , oleh karena itu | ∫ f |≤ ∫ | f | E

E

E

E

5. Jika α ≤ f ≤ β maka αm( E ) ≤ ∫ f ≤ β m( E ) . E

6. Jika E1 dan E2 adalah maka ∫ f = ∫ f + ∫ f . E1  E2

E1

subset

terukur

saling

asing

dari

E

E2

Misalkan {fn} adalah barisan fungsi terukur, terdefinisi pada himpunan E yang berukuran berhingga. Terdapat bilangan real M sedemikian sehingga | fn(x)| ≤ M, untuk semua x dan semua n. Jika barisan {fn} konvergen ke fungsi f maka ∫ f n (x) dx konvergen ke ∫ f (x)dx. Atau, dengan kata lain jika E

E

lim f n ( x) = f(x) untuk masing-masing x ∈ E, maka lim ∫ f n ( x) dx =

n →∞

n →∞

Kata kunci : Lebesgue integral of a bounded function.

x

E

∫ f (x) dx. E

BAB 1 PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Teori integral merupakan cabang dari ilmu matematika yang mendasar dan bersifat analisis. Teori integral mempunyai kaitan yang sangat erat dengan cabang analisis lainnya, seperti konsep limit, konsep derivatif, kekontinuan, konsep fungsi dan lain sebagainya. Pada tahun 1789 Augustin Chaucy memperkenalkan konsep integral yang disebut integral Cauchy. Selanjutnya pada tahun 1850 integral Chaucy diperbaiki oleh Bernhard Riemann, yang dikenal dengan integral Riemann. Teori pengintegrasian Riemann sangat bermanfaat dalam menyelesaikan beberapa masalah matematika. Tetapi teori tersebut mempunyai beberapa kelemahan. Kelemahan yang pertama, fungsi yang terintegral Riemann hanya terdefinisi pada interval tertutup. Sedangkan untuk fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka, interval setengah terbuka dan sebagainya, tidak dapat terintegral Riemann. Kelemahan yang kedua, integral Riemann sangat bergantung pada kekontinuan suatu fungsi. Sehingga fungsi yang tidak kontinu tidak terintegral Riemann.

Selanjutnya Henry Lebesgue, seorang matematikawan dari Perancis mengenalkan konsep integral Lebesgue yang didasarkan pada ukuran. Integral Lebesgue sudah tidak bergantung pada kekontinuan dan fungsi yang terintegral Lebesgue tidak hanya terdefinisi pada interval tertutup. Setiap fungsi yang

1

terintegral Lebesgue terdefinisi pada himpunan terukur. Sedangkan setiap himpunan terukur mempunyai ukuran luar Lebesgue. Diberikan koleksi countable J = {I/ I interval terbuka} dan himpunan E ⊂ ℜ . Subkeluarga C dari keluarga F adalah ∞

C = { J : J covers E } ={ J : E ⊂  I i } dengan C ≠ φ . i =1

Maka ukuran luar Lebesgue E didefinisikan dengan m*(E) = inf {l(J) : J cover E}

Selanjutnya ukuran lebesgue hanya akan ditulis ukuran luar. Sedangkan himpunan E ⊂ ℜ dikatakan terukur untuk setiap himpunan A ⊂ ℜ , jika berlaku m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec). Contoh dari himpunan terukur adalah himpunan interval (0,1). Sedangkan himpunan dari semua himpunan terukur dalam ℜ disebut koleksi M. Fungsi m : M → ℜ + = [0, ∞ ) disebut ukuran Lebesgue, jika untuk setiap E ∈ M, m(E) = m*(E). Ukuran Lebesgue m selanjutnya, disebut dengan ukuran saja.

Misalkan f adalah fungsi sederhana dan terukur dengan representasi n

kanonik f = ∑ ai χ Ei , Ei ={x ∈ E : f(x) = ai} saling asing dan terukur. Bilangan ai i =1

(i =1, 2,...., n) berbeda dan ai ≠ 0 . Asumsikan bahwa E berukuran berhingga, maka integral Lebesgue dari f didefinisikan dengan

2

∫

n

f ( x)dx = ∑ ai m( Ei ) . i =1

Selanjutnya integral Lebesgue dari

f dapat ditulis

∫f.

Fungsi dari integral

Lebesgue ada dua, yaitu fungsi terbatas dan fungsi tidak terbatas. Sedangkan dalam tugas akhir ini, Penulis hanya akan membahas integral Lebesgue pada fungsi terbatas, sifat-sifat serta kekonvergenanya.

B. Pembatasan Masalah

Sesuai dengan perkembangan jaman, integral telah berkembang dari integral yang sederhana, integral Riemann, integral Riemann-stieltjes, integral Lebesgue, integral Henstock hingga integral yang lebih rumit. Karena keterbatasan pengetahuan, penulis hanya akan membahas Integral Lebesgue pada fungsi terbatas, sifat-sifatnya dan kekonvergenan integral Lebesgue pada fungsi terbatas.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang dikemukan di atas, yang akan menjadi pokok permasalahan adalah : a. Bagaimana pengertian integral Lebesgue pada fungsi terbatas? b. Bagaimana sifat-sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terbatas? c. Bagaimana kekonvergenan integral Lebesgue pada fungsi terbatas?

3

D. Tujuan Penulisan

Tujuan Penulisan skripsi ini adalah a. Menjelaskan integral Lebesgue pada fungsi terbatas. b. Menjelaskan sifat-sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terbatas. c. Menjelaskan kekonvergenan integral Lebesgue pada fungsi terbatas.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan skripsi ini adalah a. Menambah pengetahuan penulis tentang integral Lebesgue. b. Dapat memberikan berbagai referensi bagi para pembaca yang ingin mengkaji lebih lanjut tentang integral.

4

BAB II KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar teori untuk pembahasan selanjutnya, yang meliputi himpunan, Supremum dan Infimum, Barisan di ℜ dan kekonvergenanya, kekontinuan fungsi, himpunan terukur, ukuran luar, ukuran Lebesgue, fungsi terukur, fungsi sederhana dan integral Riemann. A. Himpunan Dalam pembahasan ini akan diberikan beberapa definisi tentang himpunan, gabungan, irisan dan fungsi, yang didefinisikan sebagai berikut : Himpunan adalah sekumpulan elemen–elemen atau unsur yang memenuhi suatu aturan keanggotaan tertentu (Bartle, 2000 : 4). Jika x anggota himpunan K, maka dinotasikan x ∈ K. Contoh : K adalah himpunan semua huruf vokal, maka K = {a, i, u, e, o}. Sedangkan kumpulan dari himpunan disebut koleksi / keluarga himpunan. Himpunan M disebut himpunan bagian (subset) K, jika setiap anggota M menjadi anggota K. Himpunan bagian M dinotasikan dengan M ⊂ K. Contoh : M = {2, 3, 5} dan K = {1, 2, 3, 4, 5} maka M ⊂ K. Sedangkan relasi dari A ke B adalah perkawanan anggota-anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Contoh : S ={1, 2, 3} dan R adalah relasi > (lebih dari) antara anggota-anggota S atau relasi R dari himpunan S ke himpunan S sendiri, maka R ={(x,y)|x > y, dan x, y ∈ S}, sehingga R = {(3,2), (3,1), (2,1)}.

5

Definisi 2.1 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 4) a). Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B: ={x: x ∈ A atau x ∈ B}. Contoh : A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 5} maka A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5}. b) Irisan (intersection) dua himpunan A dan B adalah himpunan A ∩ B: = {x: x ∈ A dan x ∈ B}. Contoh : A ={1, 2, 4} dan B ={2, 4, 5} maka A ∩ B ={2, 4}. c) Komplemen himpunan B pada A adalah A\B atau A - B atau Bc A\B = {x : x ∈ A dan x ∉ B}. Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2} maka A \B = {3,4}.

Definisi 2.2 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 5) Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memenuhi syarat setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan pada himpunan B. Fungsi f dari A ke B dinotasikan dengan f : A → B. Contoh: relasi dari A ke B, dengan A ={1, 2} dan B = {2, 4, 5}. Karena setiap anggota

f A

B

1 2

2 4 5

himpunan A mempunyai tepat satu kawan pada himpunan B, maka relasi A ke B adalah suatu fungsi. Sedangkan untuk relasi dari C ke D, dengan C = {1, 2, 4}dan D = {1, 2, 3} bukan merupakan fungsi. Karena anggota dari C yaitu 1, tidak mempunyai kawan di D. Selain itu, anggota dari C, yaitu 2 dan 4 mempunyai kawan lebih dari satu di D.

6

f A 1 2 4

B 1 2 3

Definisi 2.3 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 8) Misalkan f : A → B adalah fungsi dari A ke B. a) Fungsi f dikatakan injektif ( satu-satu) jika untuk x1 ≠ x2 , maka f (x1) ≠ f (x2). Jika f fungsi injektif, selanjutnya dapat dikatakan bahwa f injektif. Contoh: fungsi f : A → B, dengan f(x) = x +5. A Untuk 1 ≠ 2 maka f (1) ≠ f (2). Untuk 1 ≠ 3 maka f (1) ≠ f (3). Untuk 2 ≠ 3 maka f (2) ≠ f (3).

f

B

1 2

6 7

3

8

Jadi fungsi f adalah fungsi injektif. b) Fungsi f dikatakan surjektif (pemetaan A onto B) jika f (A) = B dan range f (daerah hasil) sama dengan B. Jika f surjektif selanjutnya dapat dikatakan bahwa f surjektif. Contoh: fungsi f : A → B, dengan f(x) = x2 . A

f

B

Maka f (-1) =1, f (1) =1 dan f (2) = 4 . -1 1 2

B ={1,4} dan f (A) = B.

1 4

Jadi, f adalah fungsi surjektif. c) Jika f surjektif dan injektif maka f dikatakan bijektif.

A

f

B

Contoh : fungsi f : A → B, dengan f(x) = x2

1 2

1 4

Untuk 1 ≠ 2 maka f (1) ≠ f (2). Untuk 1 ≠ 3 maka

3

9

7

f (1) ≠ f (3). Untuk 2 ≠ 3 maka f (2) ≠ f (3). Maka f adalah fungsi injetif. f (1) = 1, f (2) = 4 dan f (3) = 9 . Sedangkan B = {1,4, 9} dan f (A) = B Maka f adalah fungsi surjektif. Karena f merupakan fungsi injektif dan surjektif, maka f adalah fungsi bijektif.

B. Supremum dan Infimum Berikut ini akan didefinisikan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum suatu himpunan. Definisi 2.4 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 35) Diberikan himpunan S ⊂ ℜ , S ≠ φ a) Bilangan real u disebut batas atas himpunan S jika x ≤ u untuk setiap x ∈ S. Jika S mempunyai batas atas maka A dikatakan terbatas ke atas. b) Bilangan real v disebut batas bawah himpunan S jika x ≥ v, untuk ∀ x ∈ S. Jika S mempunyai batas bawah maka A dikatakan terbatas ke bawah. c) S dikatakan terbatas jika S mempunyai batas atas dan batas bawah. Jika S tidak mempunyai batas atas dan batas bawah maka S tidak terbatas.

8

Contoh : Buktikan bahwa S : ={x ∈ ℜ : 1 ≤ x ≤ 9} terbatas. Akan dibuktikan bahwa S terbatas. Untuk setiap x ∈ S, terdapat batas atas u sedemikian sehingga x ≤ u. Karena 1 ≤ x ≤ 9 untuk setiap x ∈ ℜ , maka x ≤ 9 ≤ u, sehingga u ≥ 9 adalah batas atas dari S. Karena S mempunyai batas atas maka S terbatas atas. Untuk setiap x ∈ S, terdapat batas bawah v sedemikian sehingga x ≥ v. Karena 1 ≤ x ≤ 9 untuk setiap x ∈ ℜ , maka v ≤ 1 ≤ x, sehingga v ≤ 1 adalah batas bawah dari S. Karena S mempunyai batas bawah maka S terbatas bawah. S terbatas atas dan terbatas bawah maka S terbatas.

Definisi 2.5 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 35) Diberikan himpunan S ⊂ ℜ , S ≠ φ . a) Bilangan real M disebut batas atas terkecil (supremum) dari S, ditulis M = sup (S), jika (i)

x ≤ M, ∀ x ∈ S.

(ii)

M ≤ u, ∀ u batas atas S.

9

b) Bilangan real m disebut batas bawah terbesar (infimum) dari S, ditulis m = inf (S), jika (i)

x ≥ m, ∀ x ∈ S.

(ii)

m ≥ v, ∀ v batas bawah S.

Contoh : Diketahui A : ={x: 0 ≤ x ≤ 1}, tentukan sup(A) dan inf (A) . Penyelesaian: Karena x ≤ 1, ∀ x ∈ A dan 1 ≤ u, ∀ u batas atas A, maka sup (A) = 1 Karena x ≥ 0, ∀ x ∈ A dan 0 ≥ v, ∀ v batas bawah A, maka inf (A) = 0. Jadi, Sup (A) = 1 dan inf (A) = 0.

C. Himpunan Tertutup dan Himpunan Terbuka Berikut ini akan didefinisikan persekitaran, titik dalam, titik limit, himpunan terbuka, himpunan tertutup. Definisi 2.6 ( Bartle dan Sherbert: 2000 , 33) Misalkan c ∈ ℜ , dan ε >0, persekitaran titik c dengan jari-jari ε didefinisikan sebagai Nε (c) = {x ∈ ℜ : | x - c | < ε }.

10

Contoh : Nε (2) = {x ∈ ℜ : | x - 2 | < ε }. Jadi, persekitaran titik 2 dengan jarijari ε adalah 2 - ε < x < ε + 2. Titik c ∈ ℜ disebut titik dalam (Interior point) himpunan A ⊂ ℜ jika terdapat ε >0 sehingga Nε (c) ⊂ A. Sedangkan, titik d ∈ ℜ disebut titik limit himpunan A ⊂ ℜ jika untuk setiap ε >0 terdapat sedikitnya satu titik x ∈ A, dengan x ≠ d sedemikian sehingga | x - d | < ε . Contoh: Misalkan A = [-2,3]. Titik 1 adalah titik limit himpunan A ⊂ ℜ , karena untuk setiap ε >0 terdapat beberapa titik x ∈ A, dengan x ≠ 1 sedemikian sehingga | x - 1 | <ε . Himpunan A ⊂ ℜ disebut himpunan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam (interior point). Sedangkan himpunan A ⊂ ℜ disebut himpunan tertutup, jika Ac = ℜ - A terbuka. Keluarga himpunan C dikatakan cover dari himpunan A, jika A termuat dalam gabungan himpunan yang membentuk C. Contoh: 6

Diberikan keluarga himpunan C = {I1, I2, I3, I4, I5, I6}. Himpunan A ⊂  I i maka i =1

keluarga himpunan C merupakan cover dari himpunan A.

11

D. Barisan di ℜ dan kekonvergenannya. Dalam sub bab ini akan dibicarakan barisan di ℜ serta kekonvergenanya. Definisi 2.7 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 53) Barisan bilangan real adalah fungsi terdefinisi pada N dengan range (daerah hasil) di ℜ . Barisan ditulis {xn} dengan xn ∈ ℜ atau X dengan X∈ ℜ , ∀ n∈N. Contoh: X = {xn} = ( 2n: n∈N ).

Definisi 2.8( Bartle dan Sherbert, 2000 : 54) Barisan X = {xn} dikatakan konvergen ke x (atau x adalah titik limit dari xn ) jika

∀ ε >0 terdapat bilangan asli K( ε ) sedemikian sehingga untuk n ≥ K( ε ), berlaku | xn - x| < ε . Jika barisan mempunyai limit, maka barisan dikatakan konvergen. Jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan dikatakan divergen. Barisan {xn} konvergen ke x, dapat ditulis lim x n = x n →∞

Contoh :

⎛ 1 ⎞ Buktikan bahwa lim⎜ ⎟ = 0. n →∞ n + 1 ⎝ ⎠ Bukti : ⎛ 1 ⎞ Akan dibuktikan bahwa lim⎜ ⎟ = 0. n →∞ n + 1 ⎝ ⎠

12

Diberikan ε >0, maka

1

ε

>0, terdapat bilangan asli K = K( ε ) sedemikian sehingga

1 1 1 1 < ε . Jika n ≥ K, maka < ε . Sehingga < ≤ K K n +1 n

1 1 ⎛ 1 ⎞ < ε . Terbukti bahwa lim⎜ −0 = ⎟ = 0. n →∞ n + 1 n +1 n +1 ⎝ ⎠

Definisi 2.9 ( Herbert S dan Narayanaswami, 1998 : 162)

Misalkan{an}adalah barisan, untuk setiap n∈N. Himpunan bn = sup{ak : k ≥ n} dan himpunan cn = inf{ak : k ≥ n}. Maka limit superior dari {an} dinotasikan lim a n dan didefinisikan sebagai berikut n →∞

lim a n = inf {bn : n ∈ N }. Sedangkan limit inferior dari {an} dinotasikan lim a n n →∞

n →∞

dan didefinisikan sebagai berikut lim a n = sup{cn : n ∈ N }. n →∞

Barisan {xn} dikatakan konvergen ke x, jika dan hanya jika lim a n = lim a n = x. n →∞

Contoh :

⎛1 ⎞ Barisan {an}= ⎜ : n ∈ N ⎟ , buktikan bahwa {an}konvergen ke 0. ⎝n ⎠ Bukti :

13

n →∞

1 1 ⎧1 1 ⎫ 1 , ,......⎬ = , Misalkan himpunan bn = sup{ak : k ≥ n} = sup ⎨ , ⎭ k ⎩k k +1 k + 2 k + 3

Karena k ≥ n maka bn =

1 1 . Sehingga lim a n = inf {bn : n ∈ N }= inf { }= 0. n →∞ n n

1 1 ⎧1 1 ⎫ Misalkan himpunan cn = inf{ak : k ≥ n}= inf ⎨ , , , ,......⎬ = 0. ⎩k k +1 k + 2 k + 3 ⎭ Maka lim a n = sup{cn : n ∈ N }= sup {0} = 0. n →∞

Sehingga lim a n = lim a n = 0. Terbukti bahwa {an} konvergen ke 0. n →∞

n →∞

Definisi 2.10 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 60)

Barisan bilangan real X = {xn} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M>0 sedemikian sehingga |xn| ≤ M, ∀ n ∈ N.

Teorema 2.1 (Bartle dan Sherbert, 2000 : 60)

Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas. Bukti : Misalkan lim x n = x dan ε =1, maka terdapat bilangan asli K = K(1) sedemikian n →∞

sehingga | xn - x | < 1, untuk semua n ≥ K. Dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, diperoleh |xn| = |xn – x + x | ≤ | xn – x | + |x| < 1 + |x|

14

Jika M : = sup { |x1|, |x2| , ...., |xk -1 |, 1 + | x | }. Maka |xn| ≤ M, untuk semua n ∈ N. Terbukti bahwa barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.

Definisi 2.11 (Bartle dan sherbert, 2000 : 129)

Fungsi f : A → ℜ dikatakan terbatas pada A, jika terdapat konstanta M>0 sedemikian sehingga | f(x) | ≤ M, untuk semua x ∈ A. Contoh :

Fungsi

f : [1, 4] → ℜ dengan

f=

2 adalah fungsi terbatas, karena terdapat x

konstanta pada M >0 sedemikian sehingga | f(x) | ≤ M, untuk semua x ∈ [1, 4] .

Definisi 2.12 (Royden, 1963 )

Barisan fungsi { fn}, terdefinisi pada A dikatakan konvergen di setiap titik pada A ke fungsi f, jika untuk ∀ x ∈ A berlaku lim f n ( x) = f ( x) . n →∞

Contoh :

fn : [0,3] → ℜ . Buktikan bahwa barisan fungsi { fn}= titik pada [0,3] ke fungsi f(x) = 0. Bukti:

15

x konvergen di setiap n +1

Gambar dari barisan fungsi { fn}=

x adalah sebagai berikut n +1

y 3 2

f1

1 -1

0

1

f2

f3

2

3

-1 -2

Akan dibuktikan bahwa { fn(x)} konvergen di setiap titik pada [0,3] ke fungsi f(x) = 0.

x 1 = x . lim = x .0 = 0. n →∞ n + 1 n →∞ n + 1

lim f n ( x) = lim n →∞

Jadi { fn(x)} konvergen di setiap titik pada [0,3] ke fungsi f(x) = 0, ∀ x ∈ ℜ

Definisi 2.13 (Royden, 1963)

Barisan fungsi { fn }, terdefinisi pada A dikatakan konvergen seragam (uniformly convergent) pada A ke fungsi f, jika untuk ∀ ε >0 terdapat bilangan bulat N, sedemikian sehingga untuk ∀ x ∈ A dan ∀ n ≥ N , berlaku | fn(x) – f(x) | < ε .

16

Contoh : Diketahui f n : [0,1] → ℜ x 2n

fn(x) =

dengan n = 1, 2,... . Buktikan bahwa fn(x) konvergen seragam ke

fungsi f(x) = 0 pada [0,1]. Bukti

:

Akan di buktikan bahwa fn(x) konvergen seragam ke fungsi f (x) = 0 pada [0,1] .

lim f n ( x) = lim n →∞

n →∞

x = 0. 2n

Untuk ∀ ε >0 maka Jika n ≥ 1 maka

|

1

ε

> 0, terdapat bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 1< ε .

1 ≤ 1 < ε sehingga berlaku n

x x 1 –0|=| | < < 1 <ε . 2n 2n n

Terbukti bahwa fn(x) konvergen seragam ke fungsi f(x) = 0 pada [0,1].

17

E. Kekontinuan Fungsi

Pada bagian ini akan dibicarakan pengertian fungsi kontinu dan sifat-sifat fungsi kontinu. Definisi 2.14 (Purcell dan Varberg, 2001: 115)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada (a,b) yang mengandung c. Fungsi f kontinu di c jika lim f ( x) = f (c) . Jika f tidak kontinu di c, maka f dikatakan tidak x →c

kontinu.

Contoh :

Buktikan bahwa f(x) =

x2 −1 , x ≠ 1 kontinu di titik x = 3 x −1

Akan dibuktikan bahwa lim f ( x) = f (3) . x →3

1) lim x →3

( x − 1)( x + 1) x2 −1 = lim x+ 1 = lim x → 3 x →3 ( x − 1) x −1

2) f (3) =

= 3+1 = 4.

32 − 1 8 = 4. = 3 −1 2

Karena lim x →3

x2 −1 = f (3) maka f kontinu di titik x = 3. x −1

18

Teorema 2.2 (Purcell dan Varberg, 2001 : 116)

Andaikan fungsi f dan g terdefinisi pada selang terbuka yang mengandung c. Jika fungsi-fungsi f, g kontinu di c, maka fungsi–fungsi f + g , f . g, kf, f /g (dengan g(c) ≠ 0 ), f n dengan n bilangan bulat positif,

n

f (dengan f(c) > 0 jika

n genap) juga kontinu di c. Bukti : Fungsi f dan g terdefinisi pada selang terbuka yang mengandung c. Fungsi f dan g kontinu di c maka lim f ( x) = f(c) dan lim g ( x) = g(c), sehingga x →c

x →c

a) lim( f ( x) + g ( x)) = lim f ( x) + lim g ( x) = f(c) + g(c). x →c

x →c

x →c

b) lim( f ( x).g ( x)) = lim f ( x). lim g ( x) = f(c) . g(c). x →c

x →c

x →c

c) lim(kf ( x) ) = k lim f ( x) = k . f(c), dengan k adalah konstanta . n→c

x →c

f ( x ) f (c ) ⎛ f ( x) ⎞ lim ⎟⎟ = x→c d) lim⎜⎜ , dengan g(c) ≠ 0 . = x →c g ( x ) g ( x ) g (c ) ⎝ ⎠ lim x →c e) lim( f ( x)) n = (lim f ( x ))n = [ f (c)] n, dengan n bilangan bulat positif. x →c

x →c

f) lim n f ( x) = n lim f ( x) , dengan lim f ( x) >0 dan n bilangan bulat positif genap. x →c

x →c

x→c

19

F. Ukuran Luar Sebelum membahas ukuran luar, akan dibahas mengenai koleksi, aljabar himpunan, aljabar _ σ , dan panjang interval. Koleksi A adalah himpunan yang beranggotakan himpunan-himpunan, sehingga A = {A : A ⊆ X}, untuk X ≠ φ . Menurut Royden, Koleksi

A = {A : A ⊆ X} disebut aljabar himpunan atau aljabar Boolean jika 1. A ∪ B ∈ A, untuk ∀ A, B ∈ A 2. Ac ∈ A, untuk ∀ A ∈ A. 3. A ∩ B ∈ A, untuk A, B ∈ A. Sedangkan, koleksi A = {A : A ⊆ X} disebut aljabar_ σ jika ∞

1.

 A ∈ A, untuk ∀ Ai ∈ A i

i =1

2. Ac ∈ A, untuk ∀ A ∈ A.

Di bawah ini, akan dibahas mengenai panjang interval dan ukuran luar. Diberikan interval terbatas I ⊆ ℜ dengan titik-titik ujungnya a dan b sehingga a ≤ b. Panjang interval l, ditulis l (I). l(I) = b - a. Contoh : Diketahui interval I = (0,1), maka panjang interval l(I) = 1- 0 = 1.

Definisi 2.15 (Gupta, 1976 : 55)

20

Diberikan koleksi countable J = {I/ I interval terbuka} dan himpunan E ⊂ ℜ . Subkeluarga C dari keluarga F ∞

C = { J : J covers E } ={ J : E ⊂  I i } dengan C ≠ φ . i =1

Maka ukuran luar Lebesgue E didefinisikan dengan m*(E) = inf {l(J) : J cover E} Selanjutnya ukuran lebesgue hanya akan ditulis ukuran luar.

Contoh : Himpunan E = [1,5]. Maka terdapat subkeluarga ∞

C = { J : J covers E } = { J : E ⊂  I i }. i =1

1 1 Misalkan J1 = {I11, I12, I13, I14, .......} dengan I11 = ( 1 - , 5 + ), I1i = φ , ∀ i ≥ 2 1 1 ∞

sedemikian sehingga E ⊂  I 1i . Maka l(J1) = i =1

∞

∑ l(I i =1

J2 = {I21, I22, I23, I24, .......} dengan I21 = ( 1 -

1i

) = 6 + 0 + 0 + ...... = 6.

1 1 , 5 + ), 2 2

I2i = φ , ∀ i ≥ 2

∞

sedemikian sehingga E . Maka l(J2) =

∑ l(I

2i

) = 5 + 0 + 0 + ...... = 5.

i =1

J3 = {I31, I32, I33, I34, .......}dengan I31 = ( 1 ∞

sedemikian sehingga E ⊂  I 3i . Maka l(J3) = i =1

1 1 , 5 + ), I3i = φ , ∀ i ≥ 2 3 3

∞

∑ l(I i =1

3i

2 2 ) = 4 + 0 + 0 + ...... = 4 . 3 3

Dan seterusnya masih banyak lagi Jn , sehingga dapat dituliskan

21

untuk setiap n ∈ N,

Jn = {In1, In2, In3, In4, .......} dengan In1 = (1 -

1 1 , 5 + ), n n

∞

untuk setiap i = 1 dan Ini = φ , ∀ i ≥ 2, sedemikian sehingga E ⊂  I ni . i =1

∞

Maka l(Jn) =

∑ l(I i =1

ni

)= 4

2 2 + 0 + 0 + 0 + 0 +.....= 4 untuk setiap n ∈ N. n n

Sehingga ukuran luar dari E adalah m*(E) = inf {l(J) : J cover E}= inf {6, 5, 4

2 1 2 1 2 1 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , ...........}. 3 2 5 3 7 4

2 1 2 1 2 1 Karena barisan {6, 5, 4 ,4 , 4 , 4 , 4 , 4 , .........}semakin ke kanan 3 2 5 3 7 4 semakin kecil dan semakin mendekati 4, maka 2 1 2 1 2 1 m*(E) = inf {l(J) : J cover E}= inf {6, 5, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 ........} = 4. 3 2 5 3 7 4

Sifat-sifat yang berkaitan dengan ukuran luar dinyatakan sebagai berikut.

Teorema 2.3 (Gupta, 1976 : 56) Diberikan himpunan A, B ⊂ ℜ . a) m*(A) ≥ 0, untuk semua himpunan A. b) m*( φ ) = 0. c) Jika diberikan himpunan A dan B dengan A ⊂ B, maka m*(A) ≤ m*(B). d) m*(A) = 0, untuk setiap himpunan A singleton. e) Fungsi m* bersifat translasi invarian artinya m*(A + x) = m*(A) untuk setiap himpunan A dan x ∈ ℜ .

22

Bukti: Diberikan himpunan countable J = {I/ I interval terbuka yang saling asing} dan himpunan A ⊂ ℜ . Subfamily C dari keluarga F adalah ∞

C = { J : J covers A } ={ J : A ⊂  I i } dengan C ≠ φ . i =1

a) Setiap l(Ini) ≥ 0, sehingga l( Jn ) ≥ 0, untuk setiap n ∈ N dan i=1,2,3..., ∞

Sehingga m*(A) = Inf { l( J ) : J cover A }= inf{ ∑ l ( I ni ) } ≥ 0. i =1

b). Karena φ adalah interval yang tidak mempunyai anggota, maka untuk setiap l(Ini) = 0, maka l( Jn ) = 0, untuk setiap n ∈ N. ∞

Sehingga m*( φ ) = inf { l( J ) : J cover A }=inf { ∑ l ( I ni ) }= 0. i =1

Terbukti bahwa m*( φ ) = 0 c). Karena A ⊂ B maka m*(A) = inf { l( J ) : J cover A ⊂ B }. m*(B) = inf { l( J ) : J cover B }. Karena l( Jn ) ≥ 0, maka inf {l( J) : J cover A ⊂ B } ≤ inf inf {l( J ) : J cover B}. m*(A) ≤ m*(B) Terbukti A ⊂ B, maka m*(A) ≤ m*(B). d). Misalkan A = {x} himpunan singleton. untuk setiap n ∈ N, Jn =

∞

I i =1

Ii = ( x -

1 1 , x + ), untuk i =1 dan Ii = φ , n n

Sehingga l( Jn ) =

2 , untuk setiap n ∈ N. n

23

∀i ≥2 .

i

dengan

Maka m*(A) = inf {l( J ) : J cover A }= inf {2, 1,

2 , ......} = 0. 3

Terbukti bahwa m*(A) = 0, untuk setiap himpunan A singleton. e) Diberikan setiap interval I dengan titik ujungnya a dan b. Maka himpunan I + x mempunyai titik ujung a + x dan b + x . l(I + x) = b + x – ( a + x) = b - a = l(I).

Akan ditunjukkan bahwa m*(A + x ) ≤ m*(A). Diberikan

ε >0, terdapat koleksi terhitung{Ini}dari interval terbuka ∞

sedemikian sehingga A ⊂  I ni , untuk setiap n ∈ N dan berlaku i =1

l ( J n ) < m*(A) + ε . ∞

∞

i =1

i =1

A ⊂  I ni maka A + x ⊂  ( I i + x) , sehingga m*(A + x ) ≤

∞

∑ l(I i =1

ni

+ x) =

∞

∑ l(I

ni

) < m*(A) + ε , untuk setiap n ∈ N.

i =1

Karena ε >0 sebarang, diperoleh m*(A + x ) ≤ m*(A).

(1)

Akan ditunjukkan bahwa m*(A+x) ≥ m*(A). Sedangkan, A= (A+x) – x, maka A ⊂ (A + x). {Ini}adalah koleksi terhitung dari interval terbuka yang saling asing ∞

∞

i =1

i =1

sedemikian sehingga A + x ⊂  I ni maka A ⊂  I ni . A ⊂ (A+x) maka m*(A) ≤ m*(A+x).

(2)

Dari (1) dan (2) didapatkan m*(A) = m*(A+x). Terbukti bahwa m*(A + x) = m*(A), untuk setiap himpunan A dan x ∈ ℜ .

24

Teorema 2.4 ( Gupta, 1976 : 57)

Ukuran luar dari suatu interval adalah panjang dari interval tersebut. Bukti : Kasus 1: misalkan I adalah interval tertutup berhingga dengan I = [a,b] . Untuk ε >0 terdapat interval terbuka J = ( am*(I) ≤ l ((a-

ε

ε 2

,b+

ε 2

) yang memuat [a,b], maka

ε

, b + )) = b - a + ε . 2 2

untuk ε >0 terdapat m*(I) ≤ b - a = l (I).

(1)

Akan ditunjukkan m*(I) ≥ b-a. diberikan ∀ ε > 0 terdapat koleksi terhitung dari interval terbuka {Ini}dengan I⊂

∞

I

ni

sedemikian sehingga

i =1

∞

m*(I) > ∑ l ( I ni ) - ε . i =1

Sedangkan I ⊂

∞

 I ni maka l(I) < i =1

∞

∑ l(I

ni

) , untuk setiap n ∈ N

i =1

∞

b-a<

∑ l(I

ni

).

i =1

Sehingga m*(I) ≥

∞

∑ l(I

ni

) - ε > b - a- ε

i =1

m*(I) > b – a - ε . Ambil sebarang ε >0, maka m*(I) ≥ b - a. Dari (1) dan (2) didapatkan m*(I) = b - a.

25

(2)

Kasus 2 : I adalah setiap interval berhingga. diberikan ε >0, terdapat interval tertutup berhingga J ⊂ I sedemikian sehingga l(J) > I(I) - ε . Sehingga l(I) - ε < l(J) = m*(J) ≤ m*(I) ≤ l(I). l(I) - ε < m*(I) ≤ l(I) . Untuk setiap ε >0 maka m*(I) = l(I).

Kasus 3 : I adalah interval tak berhingga. Diberikan bilangan real K > 0, maka terdapat interval tertutup berhingga J ⊂ I sedemikian sehingga l (J) = K. m*(I) ≥ m*(J) = l(J) = K, maka m*(I) ≥ K, untuk setiap sebarang bilangan real K >0. Oleh karena itu m*(I) = ∞ = l(I). Jadi terbukti bahwa ukuran luar dari suatu interval adalah panjang dari interval interval tersebut. Contoh : Diberikan himpunan A = (1,3), maka m*(A) = 3-1 = 2.

Teorema 2.5 (Gupta, 1976 : 58)

Diberikan koleksi terhitung himpunan-himpunan {En}, maka ∞ ⎛∞ ⎞ m* ⎜⎜  E n ⎟⎟ ≤ ∑ m * ( E n ) . n =1 ⎝ n =1 ⎠

Bukti : Jika m*(En) = ∞ untuk beberapa n ∈ N maka pertidaksamaan trivial.

26

Asumsikan bahwa m*(En) < ∞ , untuk masing-masing n ∈ N. Diberikan ε >0, terdapat koleksi terhitung {In,i}i dari interval terbuka sedemikian sehingga ∞

En ⊂  I n ,i berlaku n =1 ∞

∑ l(I

n ,i

) < m * ( E n ) + 2 −n ε .

(1)

i =1

∞

Karena En ⊂  I n ,i maka n =1

∞

m*(  E n ) < n =1

∞

∞

E

∞

n

n =1

∞

⊂  I n ,i sehingga n =1 i =1

∞

∑∑ l ( I

).

n ,i

(2)

n =1 i =1

Dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh ∞

m*(  E n ) < n =1 ∞

m*(  E n ) < n =1 ∞

m*(  E n ) < n =1

∞

∑ (m * ( E

n

n =1

) + 2 − n ε ).

∞

∞

n =1

n =1

∑ m * ( E n ) + ∑ 2 −nε . ∞

∑ m * (E

n

) + ε.

n =1

∞ ⎛∞ ⎞ Ambil sebarang ε >0, maka m* ⎜⎜  E n ⎟⎟ ≤ ∑ m * ( E n ) . n =1 ⎝ n =1 ⎠

Corollary 2.1 (Gupta, 1976 : 65)

Jika E himpunan terhitung maka m*(E) = 0. Bukti : Karena E himpunan terhitung , berarti E = {a1, a2, …, an, …}. ∞

Diberikan ε >0, maka terdapat E ⊂  I i dengan l(Ii) = 2-i ε i =1

27

(i = 1, 2,…), sehingga diperoleh m*(E) ≤

∞

∞

∑ l(I ) = ∑ 2 i =1

∞

Karena

∑2

−i

−i

i

ε =ε

i =1

∞

∑2

−i

.

i =1

merupakan deret tidak berhingga yang konvergen, dengan rasio

i =1

r=

1 1 dan bilangan pertama, a = , maka 2 2

a Sn = = 1− r

1 2

1 = 2 = 1. 1 1 1− 2 2

Sehingga m*(E) ≤ ε

∞

∑2

−i

= ε.1= ε.

i =1

Karena m*(E) ≤ ε , ε >0, sedangkan m*(E) ≥ 0, maka m*(E) = 0.

G. Himpunan Terukur. Definisi 2.16 (Gupta, 1976 : 64)

Himpunan E ⊂ ℜ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap himpunan A ⊂ ℜ , berlaku m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec). Karena A = (A ∩ E) ∪ ( A ∩ Ec) dan m* bersifat countable subadditivity maka berlaku m*(A) ≤ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec). Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa himpunan E terukur hanya perlu dengan membuktikan bahwa m*(A) ≥ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec). Untuk selanjutnya himpunan E terukur Lebesgue hanya ditulis dengan E terukur.

28

Atau, himpunan E ⊂ ℜ dikatakan terukur Lebesgue didefinisikan jika untuk setiap ε > 0 terdapat himpunan terbuka O dengan E ⊂ O dan m*(O-E) ≤ 0.

Contoh : Buktikan himpunan E = [1,2] adalah himpunan terukur

Bukti : Himpunan [1,2] terukur jika untuk setiap himpunan A ⊂ ℜ , berlaku m*(A) = m*(A ∩ [1,2]) + m*(A ∩ [1,2]c). Karena A = ( A ∩ [1,2] ) ∪ ( A ∩ [1,2]c ) dan m* bersifat countable subadditivity maka berlaku m*(A) ≤ m*(A ∩ [1,2] ) + m*(A ∩ [1,2] c)

.......(1)

Akan dibuktikan bahwa m*(A) ≥ m*(A ∩ [1,2]) + m*(A ∩ [1,2]c). Ambil sebarang A sedemikian sehingga A ∩ [1,2] ⊆ A maka m*(A ∩ [1,2]) ≤ m*(A) A ∩ [1,2]c ⊆ φ maka m*(A ∩ [1,2]c) ≤ m*( φ ) Sehingga

m*(A) + m*( φ ) ≥ m*(A ∩ [1,2]) + m*(A ∩ [1,2]c). m*(A) + 0

≥ m*(A ∩ [1,2] ) + m*(A ∩ [1,2]c).

m*(A)

≥ m*(A ∩ [1,2] ) + m*(A ∩ [1,2]c)

........(2)

Ambil sebarang A sedemikian sehingga A ∩ [1,2] ⊆ φ maka m*(A ∩ [1,2]) ≤ m*( φ ) A ∩ [1,2]c ⊆ A maka m*(A ∩ [1,2]c) ≤ m*(A) Sehingga

m*( φ ) + m*( φ ) ≥ m*(A ∩ [1,2]) + m*(A ∩ [1,2]c). 0 m*(A)

+ m*(A) ≥ m*(A ∩ [1,2] ) + m*(A ∩ [1,2]c). ≥ m*(A ∩ [1,2] ) + m*(A ∩ [1,2]c)

Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan bahwa E terukur.

29

........(3)

Di bawah ini akan diberikan beberapa sifat himpunan terukur Teorema 2.6 (Gupta, 1976 : 65)

a) Jika E terukur maka Ec juga terukur. b) φ dan ℜ merupakan himpunan terukur. Bukti a) E terukur, maka ∀ A ⊂ ℜ berlaku m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec) = m*(A ∩ (Ec)c ) + m*(A ∩ Ec) = m*(A ∩ Ec) + m*(A ∩ (Ec)c ) Terbukti bahwa Ec terukur. b) Akan dibuktikan φ terukur Ambil sebarang A ⊂ ℜ . Karena (A ∩ φ ) ⊂ φ maka m* (A ∩ φ ) ≤ m*( φ ) = 0. Karena (A ∩ φ c) ⊂ A maka m* (A ∩ φ c) ≤ m*(A) . Sehingga diperoleh m*( φ ) ≥ m* (A ∩ φ ) + m*( A ∩ φ c) . Jadi φ terukur. Akan dibuktikan ℜ terukur.

φ terukur, maka untuk φ ⊂ ℜ berlaku m*(A) = m*(A ∩ φ ) + m*(A ∩ φ c). = m*(A ∩ ( φ c)c ) + m*(A ∩ φ c). = m*(A ∩ φ c) + m*(A ∩ ( φ c)c ). = m*(A ∩ ℜ ) + m*(A ∩ ℜ c). Terbukti bahwa ℜ terukur.

30

Teorema 2.7 (Gupta, 1976 : 65)

Jika m*(E) = 0, maka E terukur. Akibatnya setiap subset E terukur. Bukti : Ambil sebarang himpunan A ⊂ ℜ . Karena A ∩ E ⊂ E maka m*( A ∩ E) ≤ m*( E) = 0 dan (A ∩ Ec) ⊂ A maka m*( A ∩ Ec) ≤ m*( A). Sehingga berlaku m*(A) ≥ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec) = m*(E) + m*(A) = 0 + m*(A) = m*(A) Terbukti bahwa E terukur.

Akan dibuktikan subset E terukur. Ambil sebarang K ⊂ E Maka m*(K) ≤ m*(E). Akibatnya m*(K) ≤ 0, jadi m*(K) = 0 Menurut bukti sebelumnya, K terukur.

Teorema 2.8 ( Gupta 1976 : 66)

Jika E1 dan E2 himpunan terukur maka E1 ∪ E2 terukur. Bukti : Ambil sebarang himpunan A ⊂ ℜ Diketahui E1 himpunan terukur, maka untuk setiap A ⊂ ℜ berlaku m*(A) = m*(A ∩ E1) + m*(A ∩ E1c) E2 himpunan terukur, maka untuk setiap A ⊂ ℜ berlaku m*(A) = m*(A ∩ E2) + m*(A ∩ E2c).

31

Karena A = (A ∩ E2) ∪ ( A ∩ E2c) maka A ∩ E1c = (A ∩ E2 ∩ E1c) ∪ ( A ∩ E2c ∩ E1c) A ∩ E1c = ( [A ∩ E1c ] ∩ E2) ∪ ( [ A ∩ E1c] ∩ E2c) E2 himpunan terukur maka untuk setiap (A ∩ E1c ) ⊂ ℜ berlaku m*(A ∩ E1c ) = m*( [A ∩ E1c ] ∩ E2 ) + m*( [ A ∩ E1c] ∩ E2c ). Akan dibuktikan bahwa E1 ∪ E2 terukur E1 ∪ E2 terukur, jika untuk setiap A ⊂ ℜ berlaku m*(A) = m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ) Karena A= (A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) ∪ (A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ) bersifat countable subbadditivity maka berlaku m*(A) ≤ m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ] c ) Sehingga tinggal membuktikan m*(A) ≥ m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ).

Sedangkan A ∩ [ E1 ∪ E2 ] = (A ∩ E1) ∪ ( A ∩ E2) = (A ∩ E1) ∪ ( A ∩ E2) ∪ ( E1 ∩ E1c) = (A ∩ E1 ∪ E1) ∪ ( (A ∩ E2 ∩ E1c) Sesuai dengan teorema 2.5 maka m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) ≤ m*(A ∩ E1) + m*( A ∩ E2 ∪ E1c). Jika kedua ruas ditambahkan dengan m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ), maka m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ) ≤ m*(A ∩ E1) + m*( A ∩ E2 ∩ E1c) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ). = m*(A ∩ E1) + m*(( A ∩ E1c ) ∩ E2)+ m*(A ∩ [E1c ∩ E2c] ).

32

(1)

= m*(A ∩ E1) + m*( A ∩ E1c ) ∩ E2)+ m*(A ∩ E1c) ∩ E2c ). = m*(A ∩ E1) + m*( A ∩ E1c ) = m*(A) Sehingga m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ) ≤ m*(A)

(2)

Dari (1) dan (2) maka diperoleh m*(A) = m*(A ∩ [ E1 ∪ E2 ] ) + m*(A ∩ [E1 ∪ E2 ]c ) . Jadi E1 ∪ E2 terukur .

Teorema 2.9 (Gupta : 67)

Jika E1, E2, …., En ⊂ ℜ adalah himpunan-himpunan terukur Lebesgue yang saling asing, maka untuk setiap A ⊂ ℜ berlaku

⎛ ⎡ n ⎤⎞ m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ E i ⎥ ⎟⎟ = ⎣ i =1 ⎦ ⎠ ⎝

n

∑m *(A ∩ E ) i

i =1

Bukti : Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika sebagai berikut Untuk n =1, maka m*(A ∩ E1 ) = m*( A ∩ E1) Andaikan benar untuk n-1 maka berlaku ⎛ ⎡ n −1 ⎤ ⎞ m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ Ei ⎥ ⎟⎟ = ⎣ i =1 ⎦ ⎠ ⎝

n −1

∑m *(A ∩ E ) i

i =1

Selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n. Karena E1, E2, ...., En saling asing maka ⎛ ⎡ n −1 m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ Ei ⎣ i =1 ⎝

⎤⎞ ⎥ ⎟⎟ + m*(A ∩ En) = ( ⎦⎠

n −1

∑m *(A ∩ E ) ) + i

i =1

33

m*(A ∩ En)

⎛ ⎡n m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ Ei ⎣ i =1 ⎝

⎞ ⎛ ⎤ ⎡n ⎜ ⎟ + m* E A ∩ ∩ n ⎥ ⎢ Ei ⎜ ⎟ ⎦ ⎣ i =1 ⎠ ⎝

⎤ c ⎞ ⎥ ∩ E n ⎟⎟ = ⎦ ⎠

n

∑m *(A ∩ E ) i

i =1

⎛ ⎡ n ⎤⎞ n m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ E i ⎥ ⎟⎟ = ∑ m * ( A ∩ Ei ) ⎣ i =1 ⎦ ⎠ i =1 ⎝ ⎛ ⎡ n ⎤⎞ n Terbukti bahwa m* ⎜⎜ A ∩ ⎢ E i ⎥ ⎟⎟ = ∑ m * ( A ∩ Ei ) . ⎣ i =1 ⎦ ⎠ i =1 ⎝

Definisi 2.17 (Gupta : 1976, 60)

Himpunan dari gabungan himpunan tertutup terhitung (berhingga atau tidak berhingga) disebut dengan himpunan ℑσ

Definisi 2.18 (Gupta : 1976 , 61)

Himpunan dari irisan himpunan terbuka terhitung adalah himpunan Gδ . Komplemen dari himpunan Gδ adalah himpunan ℑσ dan berlaku sebaliknya.

Teorema 2.10(Gupta : 1976, 61)

Diberikan E himpunan terukur, maka a). ∀ ε >0, ∃ himpunan terbuka O, dengan E ⊂ O sedemikian sehingga m*(O) < m*(E) + ε . Oleh karena itu m*(E) = inf m*(O). b). ∃ himpunan Gδ , dengan E ⊂ G sedemikian sehingga m*(E) = m*(G) Bukti : a) Terdapat koleksi terhitung dari interval terbuka {In} sedemikian sehingga ∞

E ⊂  I n dan n =1

∞

∑ l(I

n

) < m * (E) + ε .

n =1

34

∞

Himpunan O =

I

n

. Maka O adalah himpunan terbuka dan

n =1

⎛∞ ⎞ m*(O) = m* ⎜⎜  I n ⎟⎟ ≤ ⎝ n =1 ⎠

∞

∑ m * (I

∞

n

)=

n =1

∑ l(I

n

) < m * (E) + ε .

n =1

Ambil sebarang ε >0 , maka m*(E) = inf m*(O). b) Ambil ε =

1 , n ∈ N . Dari (a) maka untuk setiap n ∈ N , ∃ himpunan terbuka n

On , dengan E ⊂ On sedemikian sehingga m*(On) < m*(E) +

1 . n

∞

Didefinisikan G =

O n =1

n

. Maka G adalah himpunan Gδ

Selanjutnya m*(E) ≤ m*(G) ≤ m*(On) < m(E) +

1 , n

dan E ⊂ G.

dengan n ∈ N .

Untuk n → ∞ , maka m*(G) = m*(E).

Corollary 2.2 ( Gupta : 1976, 74).

Masing-masing dari himpunan di ℜ , yaitu himpunan terbuka, himpunan tertutup , himpunan ℑσ dan himpunan Gδ adalah terukur. Bukti : 1. Akan dibuktikan setiap himpunan terbuka adalah himpunan terukur. Misalkan himpunan E adalah himpunan terbuka maka untuk setiap ε > 0 terdapat himpunan terbuka O dengan E ⊂ O dan m*(O-E) ≤ 0. Terbukti bahwa setiap himpunan terbuka adalah himpunan terukur. 2. Akan dibuktikan bahwa setiap himpunan terbuka adalah himpunan terukur.

35

Misalkan F adalah himpunan tertutup, maka untuk setiap ε > 0 terdapat

himpunan terbuka O dengan F ⊂ O dan m*(O-F) ≤ 0. Karena O - F adalah himpunan terbuka dan setiap himpunan terbuka adalah terukur maka

F

terukur. 3. Himpunan ℑσ adalah gabungan himpunan tertutup terhitung (berhingga atau tidak berhingga). Akan dibuktikan Himpunan ℑσ adalah himpunan terukur. ∞

Misalkan Fj adalah himpunan tertutup maka F =

F

j

. Karena Fj himpunan

j =1

tertutup maka Fj terukur. Sesuai dengan teorema 2.8 maka gabungan dari himpunan terukur adalah himpunan terukur, sehingga F terukur. 4. himpunan Gδ adalah irisan dari himpunan terbuka. Misalkan Ei adalah ∞

himpunan terbuka maka E =

E

i

. Sesuai dengan teorema 2.10 maka E

i =1

terukur. Sehingga himpunan Gδ terukur.

H. Ukuran Lebesgue

Sebelum membahas tentang ukuran Lebesgue, akan dibahas mengenai himpunan bilangan real yang diperluas dan ukuran terlebih dahulu. Himpunan bilangan real yang diperluas adalah gabungan himpunan semua

bilangan real dengan himpunan {- ∞, ∞ }. Himpunan bilangan real yang diperluas dinotasikan dengan ℜ * . Jadi, ℜ * = ℜ ∪ {- ∞, ∞ }. (Gupta, 1976 : 6). Sedangkan fungsi yang nilainya pada himpunan bilangan real yang diperluas disebut fungsi bernilai real yang diperluas. (Gupta, 1976 : 89)

36

Sedangkan fungsi m yang memetakan setiap himpunan E pada bilangan real yang diperluas non negatif disebut ukuran E. Ukuran E kemudian ditulis dengan m(E) yang memenuhi sifat-sifat di bawah ini : 1.

m(E) didefinisikan untuk semua himpunan E ∈ P ( ℜ ). P ( ℜ ) adalah koleksi dari semua subset ℜ .

2. m(I) = l(I), untuk suatu interval 3. Jika {Ei} adalah barisan dari himpunan yang saling asing maka

⎛∞ ⎞ ∞ m⎜⎜  Ei ⎟⎟ = ∑ m( Ei ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 Sifat tersebut dikenal dengan countable additivity. 4. m(E+y) = m(E), dengan y adalah bilagan tetap. bilangan tetap adalah bilangan yang menyebabkan m(E+y) = m(E).

Sifat ini dikenal dengan translasi invariance. Koleksi semua himpunan terukur dalam ℜ dinamakan M, maka M merupakan aljabar_ σ . Diketahui fungsi m : M → ℜ + = [0, ∞ ), Jika untuk setiap E ∈ M,

m(E) = m*(E) maka m disebut ukuran Lebesgue. (Gupta,1976: 65).

Teorema 2.11 (Gupta, 1976 : 70)

Jika {Ei} merupakan barisan himpunan terukur tidak berhingga, maka ∞

m(

E

∞

i

) ≤ ∑ m( E i ) . i =1

i =1

Lebih lanjut, jika {Ei} saling asing, maka ∞

m(

E i =1

∞

i

)=

∑ m( E ) i

i =1

37

Bukti: Ambil sebarang A = ℜ maka diperoleh m(

∞

∞

i =1

i =1

 E i ) ≤ ∑ m( E i )

(i)

Jika {Ei} barisan tidak berhingga dari himpunan terukur saling asing maka ∞

n

i =1

i =1

 Ei ⊇  Ei . Akibatnya ∞

n

i =1

i =1

m (  Ei ) ≥ m (  Ei ) =

n

∑ m( E ) . i

i =1

Jadi ∞

m (  Ei ) ≥ i =1

n

∑ m( E ) . i

i =1

Karena ruas kiri tidak bergantung pada n, misalkan n → ∞ maka ∞

m (  Ei ) ≥ i =1

∞

∑ m( E ) .

(ii)

i

i =1

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa ∞

m (  Ei ) = i =1

∞

∑ m( E ) . i

i =1

Teorema 2.12 ( Gupta, 1976 : 75)

Jika {Ei}barisan himpunan terukur monoton turun yaitu Ei+1 ⊆ Ei , i = 1, 2,... dan

⎛ n ⎞ terdapat i dengan m(Ei ) < ∞ maka m ⎜⎜  E i ⎟⎟ = lim m( E n ) . ⎝ i =1 ⎠ n→∞ Bukti :

38

Misalkan p adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga m(Ep) < ∞ . Maka m(Ei)< ∞ , untuk semua i ≥ p. Himpunan E =

∞

 E dan i

Fi = Ei – Ei+1, maka

i =1

∞

himpunan Fi saling asing dan Ep – E =

F . i

i =1

maka m(Ep-E) =

∞

∞

i= p

i= p

∑ m( Fi ) = ∑ m( Ei − Ei +1 ) .

(1)

Sedangkan m(Ep)

= m(E) + m(Ep - E) dan

m(Ei)

= m(Ei+1) + m(Ei –Ei+1), untuk semua i ≥ p.

Sehingga E ⊂ Ep dan E i+1 ⊂ Ei. Karena m(Ei) < ∞ , ∀i ≥ p maka m(Ep) - m(E) = m(Ep - E) dan m(Ei)- m(Ei+1) = m(Ei –Ei+1), ∀i ≥ p Dari (1) dan (2) diperoleh ∞

m(Ep-E) =

∑ m( E i= p

i

− Ei +1 ) .

∞

m(Ep) - m(E) =

∑ ( m( E ) − m( E i

i= p

i +1

))

n

= lim ∑ (m( Ei ) − m( Ei +1 )) n →∞

i= p

= lim (m( E p ) − m( En )) n →∞

= m(Ep)- lim (m( En ) n →∞

Karena m(Ep) < ∞ maka m(E) = lim (m( En ) . n →∞

39

(2)

Teorema 2.13 (Gupta, 1976 : 75)

Diberikan E himpunan terukur, maka untuk suatu translasi E + y juga terukur dan m(E + y) = m(E) Bukti Ambil sebarang himpunan A, karena E terukur maka m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Ec ). m* bersifat translasi invarian maka diperoleh m*(A + y) = m*([ A ∩ E] +y) + m*([ A ∩ Ec] +y) karena [A ∩ E] + y = (A + y) ∩ (E + y) dan [A ∩ Ec] + y = (A +y) ∩ (Ec + y). Maka m*(A + y) = m*([A + y] ∩ [E + y]) + m*([A +y] ∩ [Ec + y]). A adalah himpunan sebarang maka A dapat diganti dengan A - y sehingga diperoleh m*(A) = m* (A ∩ E + y) + m*( A ∩ Ec + y). Karena Ec + y = ( E +y)c , maka E + y terukur. Karena m* bersifat translasi invarian maka m( E +Y) = m(E).

Definisi 2.19 (Gupta, 1976 : 105)

Himpunan terukur E dikatakan berukuran nol jika m(E) = 0. Suatu sifat dikatakan berlaku hampir dimana-mana jika sifat tersebut berlaku pada E kecuali pada himpunan bagian E yang berukuran nol. Contoh : ⎧0 Fungsi f yang didefinisikan pada [1,3] dengan f (x) = ⎨ ⎩3

jika x irasional . jika x rasional

Buktikan bahwa f(x) = 0 berlaku hampir dimana-mana pada ℜ

40

Bukti : Fungsi f(x) = 3 untuk x ∈Q ∩ [1,3] Himpunan Q ∩ [1,3] ⊂ Q, sedangkan himpunan semua bilangan rasional Q adalah himpunan terhitung sehingga Q berukuran nol. Oleh karena itu {x∈Q ∩ [1,3] : f (x)=3} adalah himpunan terukur dan terhitung maka {x ∈ Q: f (x)=3} berukuran nol. Sedangkan f(x) =0 untuk x ∈Q c ∩ [1,3], Himpunan Q c ∩ [1,3] ⊂ [1,3], maka Himpunan Q c ∩ [1,3] berukuran 2. Jadi f(x) = 0 berlaku hampir dimana-mana kecuali pada himpunan bagian [1,3] yang berukuran nol, yaitu himpunan {x ∈ Q ∩ [1,3] : f (x)=3}.

I. Fungsi terukur Definisi 2.20 (Gupta, 1976 : 89).

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang diperluas. Fungsi f dikatakan terukur Lebesgue pada E, jika himpunan E( f > a) = {x ∈E : f (x) > a} terukur untuk setiap a∈ ℜ . Untuk selanjutnya fungsi f terukur Lebesgue hanya ditulis f terukur. Beberapa operasi dan sifat-sifat yang berlaku pada fungsi terukur akan diberikan sebagai berikut.

Teorema 2.14 ( Gupta, 1976 : 89)

Diberikan fungsi bernilai real yang diperluas f didefinisikan pada E, maka pernyataan – pernyataan dibawah ini ekuivalen :

41

a) untuk setiap a   , maka E( f >a) terukur. b) untuk setiap a   , maka E( f  a) terukur. c) untuk setiap a  , maka E( f
jika x  [3,1) jika x  [1,3]

adalah fungsi terukur. Penyelesaian : Untuk x [-3,-1) maka f(x) = 2 dan untuk x [-1,3] maka f(x) = x+2. Sehingga gambar dari f(x) di atas adalah

y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

x

Gambar 1 Fungsi f dikatakan terukur Lebesgue pada E, jika himpunan E( f > a) = {x  E : f (x) > a} terukur untuk setiap a   . Misalkan  adalah setiap bilangan real. Maka E( f >  ) adalah

42

[−3,3] ⎧ ⎪ [−3,−1) ∪ (−1,3] ⎪⎪ E( f > α ) = ⎨[−3,−1) ∪ (α − 2,3] ⎪ (0,3] ⎪ ⎪⎩ (α − 2,3]

α <1 α =1 jika 1 < α < 2 jika α =2 jika α >2 jika jika

Untuk setiap α <1 maka himpunan E( f > α ) = [-3,3] terukur. Untuk setiap α = 1 maka himpunan E( f > α ) = [-3,-1) ∪ (-1,3] terukur. Untuk setiap 1< α <2 maka himpunan E( f > α ) = [-3,-1) ∪ ( α -2,3] terukur. Untuk setiap α = 2 maka himpunan E( f > α ) = (0,3] terukur . Untuk setiap α > 2 maka himpunan E( f > α ) = ( α -2,3] terukur . Karena himpunan E( f > a) = {x ∈E : f (x) > a} terukur untuk setiap a∈ ℜ , maka f adalah fungsi terukur.

Teorema 2.15 (Gupta, 1976 : 91) a) Jika f fungsi terukur pada himpunan terukur E dan E1 ⊂ E maka f adalah fungsi terukur pada E1. b) Jika fungsi terukur f pada masing-masing himpunan koleksi terhitung ∞

{E1}dalam himpunan terukur yang saling asing maka f terukur pada

E i =1

c) Jika f dan g fungsi terukur pada domain E, maka himpunan A( f, g) ={x∈E : f(x) < g(x) } adalah terukur.

43

i

y f(x) g(x)

0

x

Himpunan A

Gambar 2. himpunan A( f, g) ={x ∈ E : f(x) < g(x)} adalah terukur.

Teorema 2.16 ( Gupta, 1976 : 95) Diberikan f dan g fungsi-fungsi terukur pada E dan konstanta c maka setiap fungsi di bawah ini terukur. i) f ± c ii) cf iii) f + g iv) f – g v) | f | vi) f 2 vii) f.g viii) f / g dengan g(x) ≠ 0, untuk setiap x∈E. Bukti Misalkan α sebarang bilangan real. i) Karena f terukur dan E( f ± c > α ) = E ( f > α ± c).

44

Maka fungsi f ± c terukur . ii) Untuk c = 0 maka E(cf > α ) = E(0.f > α ) = E( 0 > α ). Untuk c ≠ 0 maka ⎧ E ( f > α / c) E(cf > α ) = ⎨ ⎩ E ( f < α / c)

jika c > 0 jika c < 0

Jadi cf terukur. iii) Himpunan E ( f +g > α ) ={x ∈ E : f(x) > α - g(x) }. Karena g fungsi terukur, maka α - g terukur seperti pada (i) dan (ii). Oleh karena itu f + g terukur . iv) f - g = f + (-g), maka E ( f + (-g ) > α ) ={x∈E : f(x) > α + g(x) }. Karena g fungsi terukur, maka α + g terukur, sehingga f - g terukur. E ⎧ v) E( | f |> α ) = ⎨ ⎩ E ( f > α ) ∪ E ( f < −α )

jika α < 0 jika α ≥ 0

Karena himpunan E dan E ( f > α ) ∪ E( f < - α ) terukur maka | f| terukur. E ⎧ vi) E( f 2 > α )= ⎨ ⎩ E (| f | > a

)

jika α < 0 jika α ≥ 0

Karena E dan E( | f |> α ) terukur maka f 2 fungsi terukur. vii) ( f + g )2 = f 2 + 2 f g + g2 ( f – g )2 = f 2 - 2 f g + g2 – ( f + g )2 – ( f + g )2 = 4 f g 1 [( f +g)2 - ( f - g)2] = f g 4 Fungsi f dan g terukur maka (f ± g) terukur. Sehingga (f ± g)2 dan [( f + g)2 - (f - g) 2 ] terukur. Jadi f.g =

45

1 [(f + g)2 - (f - g) 2] terukur. 4

f 1 = f g g

viii)

Akan dibuktikan bahwa 1/g terukur pada E, dengan g ≠ 0

⎧ ⎪ E ( g > 0) 1 1 ⎪⎪ E( > α ) = ⎨ E ( g < ) ∩ E ( g < 0) α g ⎪ ⎪ E ( g > 0) ∪ E ( g < 0) ∩ E ( g < 1 ) ⎪⎩ α Karena 1/g fungsi terukur, menurut (vii) maka

jika α = 0 jika α > 0 jika α < 0 f 1 = f terukur. g g

Definisi 2.21 ( Gupta, 1976 : 98)

Diberikan f bernilai real, f + bagian positif dari f dan f - bagian negatif dari f. Keduanya didefinisikan sebagai fungsi non negatif dengan f + = max ( f, 0 ) f - = max ( - f, 0 ).

dan Sehingga f

= f + - f – dan

|f|= f++ f– Contoh : Fungsi f = sin x , maka ⎧sin x untuk 0 ≤ x < π f + = max ( f, 0 ) = ⎨ untuk π ≤ x < 2π ⎩ 0 untuk 0 ≤ x < π ⎧ 0 f - = max( - f, 0 ) = ⎨ ⎩− sin x untuk π ≤ x < 2π |f|=f++ f-

untuk 0 ≤ x < π ⎧ sin x = ⎨ ⎩− sin x untuk π ≤ x < 2π

46

Teorema 2.17 ( Gupta : 1976, 99)

Diberikan { fn } adalah barisan fungsi terukur dengan domain E, maka fungsi – fungsi max{f1, f2, …fn}, min{ f1, f2,…fn}, sup f n , inf f n , Lim sup f n , dan lim n

n

n

inf f n adalah terukur. n

Corollary 2.3 (Gupta : 1976, 100)

Jika {fn} barisan fungsi terukur yang konvergen ke f pada E, maka f adalah fungsi terukur . Bukti : Karena {fn} konvergen ke f maka lim f n = f. n →∞

Sehingga lim f n = lim f n = f . ⇒ lim inf f n = Lim sup f n = f. n

n

Karena lim inf f n dan lim sup f n terukur maka f terukur. n

n

Teorema 2.18 (Gupta, 1976 : 103)

Fungsi kontinu yang didefinisikan pada himpunan terukur adalah fungsi terukur. Bukti : A adalah fungsi yang didefinisikan pada E (terukur) dan kontinu pada E. Misalkan α adalah sebarang bilangan real dan himpunan A = {x ∈ E : f(x) ≤ α }. Misalkan x0 adalah titik limit dari A, maka untuk setiap ε >0 terdapat sedikitnya satu titik x dalam barisan {xn} di A dengan x ≠ x0 sedemikian sehingga | x -x0 |< ε .

47

Maka terdapat titik x0 dari barisan {xn} di A sedemikian sehingga lim x n = x0 . n →∞

Karena f (xn) ≤ α , ∀ n ∈ Ν . Maka lim f ( x n ) = f ( x0 ) ≤ α , n →∞

Karena himpunan A memuat semua titik limit dari A maka A tertutup. Karena A tertutup, maka A terukur sehingga fungsi f juga terukur.

Teorema 2.19 (Gupta : 1976, 104)

Jika f adalah fungsi terukur, maka | f |, | f |p (p > 0), ecf, f +, f

-

adalah fungsi

terukur. Bukti : 1. Untuk | f | telah terbukti pada teorema 2.16. E ⎧ 2. Himpunan E( | f |p > α ) = ⎨ p ⎩ E (| f |> α )

jika α < 0 jika α ≥ 0

Karena | f | terukur maka | f | p terukur. c. Untuk c = 0 maka himpunan E terukur.

⎧ E ( f < ln c α Himpunan E (e cf > α ) = ⎨ c ⎩ E ( f > ln α )

jika c < 0 jika c > 0

Jadi e cf terukur. d. Karena | f | = f + + f – dan f = f + - f – maka

| f |+f | f |−f = f – dan = f+ 2 2

Karena | f | dan f terukur maka

| f |−f terukur. Jadi f – terukur. 2

Karena | f | dan f terukur maka

| f |+f terukur. Jadi f + terukur. 2

48

Teorema 2.20 ( Gupta, 1976 :106)

Diketahui f dan g adalah fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan terukur E sehingga f = g hampir dimana-mana pada E. Jika g terukur maka f terukur. Bukti : Misalkan E1 = {x ∈E : f(x) = g(x)} dan E1 c = {x∈E : f(x) ≠ g(x)} maka E = E1 ∪ E1c dan m(E1c) = 0. Misalkan α adalah sebarang bilangan real dan A = {x ∈ E : f(x) > α } Karena A ∩ E1c ⊂ E1c, maka m*(A ∩ E1c) = 0 dan A ∩ E1 = {x∈E : f (x) > α } ∩ {x ∈E : f(x) = g(x)} = {x∈E : f (x) = g(x) > α }. Karena g(x) terukur maka A ∩ E1 terukur, sehingga m*( A) = m*(A ∩ E1) + m*(A ∩ E1c). Jadi f terukur.

Teorema 2.21 (Gupta, 1976 :107)

Jika fungsi f didefinisikan pada himpunan terukur E dan kontinu hampir dimanamana pada E, maka f terukur pada E.

Definisi 2.22 (Gupta, 1976 : 107)

Barisan fungsi {fn} terdefinisi pada E dikatakan konvergen hampir dimana-mana ke fungsi f jika lim f n ( x) = f ( x) , untuk setiap x∈E - E1 dengan E1 ⊂ E dan m(E1 = 0). n →∞

49

Teorema 2.22 (Gupta, 1976: 107)

Jika barisan fungsi terukur {fn} konvergen hampir dimana-mana ke fungsi f, maka f terukur. Bukti : Barisan {fn} konvergen hampir dimana-mana ke fungsi f pada E, maka

lim f n ( x) = f ( x) , Untuk setiap x ∈ E - E1 dengan E1 ⊂ E dan m(E1 = 0). n →∞

Sehingga lim f n ( x) = lim f n ( x) = f ( x) , ∀ x∈E - E1 dengan E1 ⊂ E dan m(E1 = 0). ⇒ lim inf f n ( x) = Lim sup f n ( x) = f(x). n

n

Karena lim inf f n dan Lim sup f n terukur maka f terukur. n

n

Definisi 2.23 (Gupta, 1976 : 118)

Barisan fungsi terukur {fn} dikatakan konvergen pada ukuran ke fungsi f pada E, m

ditulis f n → f , jika untuk setiap δ >0 dan ε > 0 terdapat bilangan bulat positif N sedemikian sehingga m({x ∈ E :| f n ( x) − f ( x) |≥ ε }) < δ , untuk setiap n > N.

Definisi 2.24 (Gupta, 1976: 118)

Barisan fungsi terukur {fn} dikatakan konvergen pada ukuran ke fungsi terukur f pada E, jika lim m({x ∈ E :| f n ( x) − f ( x) |≥ ε }) = 0 , untuk setiap ε > 0 . n →∞

50

Teorema 2.23 (Gupta, 1976 : 119)

Misalkan { fn} adalah barisan fungsi terukur yang konvergen ke fungsi f hampir dimana-mana pada E. Maka {fn} konvergen pada ukuran ke fungsi terukur f. Bukti : Untuk setiap bilangan asli n dan ε > 0 , himpunan Sn( ε ) = {x ∈ E :| f n ( x) − f ( x) |≥ ε } Misalkan δ >0 adalah bilangan sebarang, maka terdapat bilangan terukur A ⊂ E dengan m(A) < δ dan bilangan bulat positif N sedemikian sehingga | fn(x) – f(x) | < ε . Untuk semua x ∈ E-A dan n ≥ N, maka Sn( ε ) ⊂ A, untuk setiap n > N. m(Sn( ε )) ≤ m(A) < δ , untuk setiap n > N. Jadi {fn} konvergen pada ukuran ke f.

Definisi 2.25 (Gupta, 1976 : 94)

Fungsi f : [a,b] → ℜ disebut fungsi tangga jika terdapat partisi {a = x0 < x1 < …< xn = b} ⊆ [a, b] sehingga untuk setiap subinterval (xi-1, xi), fungsi f bernilai konstan f (x) = ci ,

∀ x∈(xi-1, xi), dengan i =1, 2,…, n.

Contoh : ⎧5 Fungsi f : [2,6] → ℜ dengan f (x) = ⎨ ⎩3

51

jika 2 ≤ x < 4 adalah fungsi tangga. jika 4 ≤ x ≤ 6

Definisi 2.26 (Gupta, 1976 : 100)

Misalkan E adalah himpunan terukur. ⎧1 x ∈ E Didefinisikan fungsi karakteristik XE pada E dengan rumus XE (x) = ⎨ . ⎩0 x ∉ E Integral fungsi karakteristik XE pada E didefinisikan sebagai ∫ X E dx = m(E) . E

Contoh : Tentukan

∫X

E

dx, jika himpunan E = {x : x ∈ Q ∩ (−1,2) }.

E

Penyelesaian: Himpunan E = {x : x ∈ Q ∩ (−1,2) }

Q ∩ (−1,2) ⊂ Q, sedangkan Q adalah himpunan terhitung, sehingga m(Q) =0. Oleh karena itu m(E) =0. Sehingga

∫X

E

dx = m(E) = 0

E

Teorema 2.24 (Gupta, 1976 :100)

Diberikan A,B ⊂ E , berlaku a) χ φ = 0 dan χ E = 1 .

b) Jika A ⊂ B maka χ A ≤ χ B . c) χ A∪ B = χ A + χ B − χ A∩ B . d) χ A∩ B = χ A .χ B . e) Jika {Ei} merupakan koleksi himpunan bagian E yang saling asing, maka

χ

∞

∞

 Ei i =1

= ∑ χ Ei i =1

52

J. Fungsi Sederhana Definisi 2.27 (Gupta, 1976 : 101)

Fungsi ρ : E → ℜ disebut dengan fungsi sederhana, jika terdapat himpunan n

terukur {E1, E2,…., En} yang saling asing, dengan

E

i

= E dan himpunan

i =1

bilangan real berhingga {a1, a2,…,an} sedemikian sehingga

ρ (x) = ai,

x ∈ Ei , 1 ≤ i ≤ n

Misalkan f adalah fungsi sederhana maka diperoleh

ρ (x) =

n

∑a χ i

i =1

Ei ( x )

Dengan χ Ei adalah fungsi karakteristik dari himpunan terukur Ei, dan himpunan Ei ={ x ∈ E : ρ (x) = ai }, i =1,2….,n merupakan partisi dari E. Fungsi sederhana

ini selalu terukur. Contoh: setiap fungsi karakteristik dari himpunan terukur adalah fungsi sederhana.

K. Integral Riemann Definisi 2.28 (Varberg dan Purcell : 340)

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika b

n

lim ∑ f ( xi )Δxi ada, maka

| p |→ 0

f

terintegral pada [a,b]. Lebih lanjut

i =1

a

disebut integral tentu ( integral Riemann) f dari a ke b. Sehingga b

∫ a

n

f ( x)dx = lim ∑ f ( xi )Δxi | p |→ 0

∫ f ( x)dx

i =1

53

Dengan xi adalah sebarang titik sampel untuk selang bagian ke–i. Sedangkan Δxi = xi − xi −1 dan |P| (disebut norma P) menyatakan panjang selang bagian yang

terpanjang dari partisi P pada [a,b]. Karena partisi dibuat sebanyak-banyaknya maka panjang selang bagian yang terpanjang mendekati nol atau ditulis |P| → 0

Contoh : 5

Hitung

∫ ( x − 1)dx

−1

Penyelesaian : Selang [-1,5] dibuat partisi menjadi n selang bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx =

5 − (−1) 6 = . Dalam tiap selang [xi-1, xi] menggunakan n n

xi = xi sebagai titik sampel. Maka x0 = -1 x1 = -1 + Δx = -1 +

6 n

: xi = -1 + i Δx = -1 + i. xn = -2 + i Δx = -2 + n.

6 n 6 = 4 n

Jadi f (xi) = xi -1 = -1 +

6i 6i -1 =-2 + n n

Sehingga

54

n

∑ i =1

n

f ( xi )Δxi = ∑ f ( xi )Δx = i =1

⎡

n

6i ⎤ 6

∑ ⎣⎢− 2 + n ⎥⎦ n i =1

=−

=−

=−

n

12 n

∑1

12 n

∑1

+

i =1 n

+

i =1

36 n2

=6+

i =1

36 ⎡ n(n + 1) ⎤ n 2 ⎣⎢ 2 ⎥⎦

12 36 .n + n 2

= -12 + 18 +

n

∑i

⎡ 1⎤ ⎢1 + n ⎥ ⎦ ⎣

18 n

18 n

Karena P adalah suatu partisi tetap, |P| → 0 setara dengan n → ∞ , maka 5

Jadi,

n ⎡ 18 ⎤ ( x − 1 ) dx = lim f ( xi )Δxi = lim ⎢6 + ⎥ = 6. ∑ ∫−1 | p|→ 0 n →∞ n⎦ ⎣ i =1

Misalkan ψ adalah fungsi tangga, terdefinisi pada interval tertutup [a,b] maka

ψ (x) = ci , xi < x < xi-1 ( i = 1, 2, …n), dengan {a = x0 < x1 < x2 … < xn = b}adalah partisi dari [a,b]. Didefinisikan integral Elementer dari ψ pada [a,b] sebagai berikut : b

n

a

i =1

∫ψ ( x)dx = ∑ ci ( xi − xi−1 ) Sehingga R

∫

b

a

b

f ( x)dx = inf ∫ψ ( x) dx , untuk semua fungsi tangga ψ ≥ f . a

55

R

∫

b

a

b

f ( x)dx = sup ∫ψ ( x) dx , untuk semua fungsi tangga ψ ≤ f. a

b

b

a

a

Jika R ∫ f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx , maka

f

terintegral Riemann pada [a,b], dan

b

dinotasikan dengan R ∫ f ( x )dx . (Gupta, 1976: 129). a

Contoh: 3

Misalkan fungsi f (x) = 4 terdefinisi pada [0,3] . Tentukan R ∫ f ( x)dx . 0

Penyelesaian: Untuk semua fungsi tangga ψ ≥ f, maka

R

∫

3

0

3

f ( x)dx = inf ∫ψ ( x) dx = inf 0

n

∑ c (x i

i

i =1

− xi −1 )

= 4.(3 - 0) = 4. = 12 Untuk semua fungsi tangga ψ ≤ f, maka

R

∫

3

0

3

n

0

i =1

f ( x)dx = sup ∫ψ ( x) dx = sup ∑ ci ( xi − xi −1 ) = 4. (3-0) = 4.3 = 12

56

3

3

0

0

Karena R ∫ f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx

maka f terintegral Riemann, sehingga

3

R ∫ f ( x )dx = 12. 0

57

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas tentang integral Lebesgue pada fungsi terbatas, keterkaitan integral Lebesgue dengan integral Riemann, sifat-sifat integral Lebesgue pada fungsi terbatas, dan kekonvergenan pada fungsi terbatas.

A Integral Lebesgue pada fungsi terbatas Misalkan f adalah fungsi sederhana dan terukur dengan representasi kanonik f =

n

∑a χ i

i =1

Ei

, Ei ={x ∈ E : f(x) = ai} saling asing dan terukur. Bilangan

ai (i =1, 2,...., n) berbeda dan ai ≠ 0 . Asumsikan bahwa E berukuran berhingga, maka integral Lebesgue dari f didefinisikan dengan

∫

n

f ( x)dx = ∑ ai m( Ei ) . i =1

Selanjutnya integral Lebesgue dari f dapat ditulis maka ∫ f = ∫ f χ E . (Gupta :1976, 130). E

58

∫ f . Jika E himpunan terukur,

Contoh : Fungsi f : [0,1]   yang didefinisikan dengan

 1   f (x) = 2   3  Hitunglah

 1 x  0,   3  1 2 x ,   3 3 2  x   ,1 3 

jika jika jika

3 2 1

 f ( x)dx

0

1/3

2/3

1

[ 0 ,1]

Penyelesaian :

 1 2  2   1 Interval [0,1] dibagi menjadi 0,    ,    ,1 .  3 3  3   3   1  1 1 m  0,     0  3   3  3  1 2  2 1 1 m   ,       3 3  3 3 3  2   2 1 m   ,1   1   3 3  3  

1

 f ( x)dx = (1 x 3 ) + ( 2 x

[ 0 ,1]

1 1 ) + ( 3 x ) = 2. 3 3

Lemma 3.1 ( Gupta : 1976, 130) n

Misalkan f   ai x Ei dengan setiap Ei adalah himpunan terukur berukuran i 1

berhingga dan saling asing, maka



n

f   a i m( E i ) . i 1

59

Bukti : Fungsi sederhana f terdefinisi pada

∞

 E . Misalkan cj anggota dari range f. Maka i

i =1

m

bentuk kanonik dari f adalah f = ∑ c j x AC j dengan c1 ≠ c2 ≠ ... ≠ cn dan himpunan j =1

A C j diberikan sebagai berikut :A C j = (x: f(x)= cj ) =

E

i

ai = c j

Sehingga

∫

m

f = ∑ c j m( A C j ) j =1 m

=

∑ c m(  E ) j

i

j =1

=

ai = c j

m

∑ c ∑ m( E ) j

j =1

=

i

ai = c j

m

∑ ∑ c m( E ) j

i

a i = c j j =1

=

n

∑ a m( E ) . i

i

i =1

Terbukti bahwa

∫

n

f = ∑ a i m( E i ) . i =1

Teorema 3.1 (Gupta : 1976, 131)

Misalkan f dan g adalah fungsi sederhana pada himpunan terukur E berukuran berhingga, maka : a. ∫ af + bg = a ∫ f + b ∫ g , untuk semua bilangan real a dan b .

60

b. Jika f ≥ g maka

∫ f ≥ ∫g

Bukti : a. Misalkan {Ai} dan {Bj} adalah himpunan dalam bentuk kanonik dari f dan g. n

n

j =1

j =1

Karena χ Ai = ∑ χ Ai ∩ B j dan χ B j = ∑ χ Ai ∩ B j maka m

n

i =1

j =1

af + bg = a ∑ α i x Ai + b∑ β j xB j m

m

n

n

= a ∑∑ α i χ Ai ∩ B j + b∑∑ β j χ Ai ∩ B j i =1 j =1

=

m

i =1 j =1

m

n

i =1 j =1

=

n

∑∑ aα i χ Ai ∩ B j + ∑∑ bβ j χ Ai ∩ B j m

i =1 j =1

n

∑∑ (aα

i

i =1 j =1

+ bβ j ) χ Ai ∩ B j

Karena koleksi dari himpunan Ai ∩ Ej ( i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .., n ) membentuk koleksi saling asing berhingga dari himpunan terukur, maka dengan lemma 3.1, didapatkan : m

n

∫ (af + bg ) = ∑∑ (aα

i

+ bβ j )m( Ai ∩ B j )

i =1 j =1

=

m

n

∑∑ (aα

i

+ bβ j )m( Ai ∩ B j )

i =1 j =1

=

m

m

n

∑∑ aα .m( A ∩ B i

i

i =1 j =1

j

n

) + ∑∑ bβ j .m( Ai ∩ B j ) i =1 j =1

m

n

n

m

i =1

j =1

j =1

i =1

= ∑ aα i m( Ai ∩ [ B j ]) + ∑ bβ j m([ Ai ] ∩ B j ) ,

61

n ⎧ ⎪⎪ Ai ∩ [ B j ] = Ai j =1 Karena ⎨ m ⎪[ Ai ] ∩ B j = B j ⎪⎩ i =1

Maka

, i = 1,2,....., m , j = 1,......., n

m

n

i =1

j =1

∫ (af + bg ) = a∑α i m( Ai ) + b∑ β j m( B j ) = a ∫ ρ + b ∫ψ

Jadi, terbukti ∫ af + bg = a ∫ f + b ∫ g b). Fungsi f ≥ g, ambil a =1 dan b = -1 pada (a) maka didapatkan

∫ f − ∫ g = ∫ ( f − g) Karena f ≥ g maka f - g ≥ 0 adalah fungsi sederhana, maka sesuai dengan definisi integal elementer diperoleh ∫ ( f − g ) ≥ 0 . Sehingga

∫ f − ∫ g = ∫ ( f − g) ≥ 0 ∫ f −∫g ≥0

∫ f ≥ ∫g. Terbukti, jika f ≥ g maka

∫ f ≥ ∫ g. .

Di bawah ini akan dibahas integral Lebesgue atas dan integral Lebesgue bawah dari fungsi terbatas yang terdefinisi pada himpunan terukur berukuran berhingga.

Misalkan f : E → ℜ adalah fungsi terbatas dan E himpunan terukur yang berukuran berhingga. Misalkan ψ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E dengan ψ ≥ f. Dan ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E dengan ρ ≤ f. Jika dua bilangan inf ∫ψ φ> f

E

dan sup ∫ ρ ada, maka inf ∫ψ ρ< f E

62

φ> f

E

disebut integral

Lebesgue atas dan sup ∫ ρ disebut integral Lebesgue bawah. Selanjutnya integral ρ< f E

−

Lebesgue atas ditulis dengan L ∫ f ( x)dx dan integral Lebesgue bawah ditulis E

dengan L

∫

f ( x)dx .

− E

Bukti : Karena f fungsi terbatas, maka terdapat bilangan real α dan β sedemikian sehingga ⎧ α = inf{ f ( x) : x ∈ E} ⎨ ⎩β = sup{ f ( x) : x ∈ E}

Konstanta α dan β dipandang sebagai fungsi konstan. Fungsi konstan tersebut adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E, sehingga berlaku α ≤ f ≤ β. Himpunan L( f )={ ρ: ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E dan ρ ≤ f }. Untuk setiap ρ ∈ L( f) terdapat ρ ≤ f ≤ β, sehingga

∫ ρ ≤ ∫ β = β m( E ) . E

E

⎧ ⎫ Himpunan ⎨∫ ρ : ρ ∈ L( f ) ⎬ ⊂ ℜ dan bukan himpunan kosong. Karena sedikitnya ⎭ ⎩E ⎧ ⎫ terdapat α sebagai anggota dari himpunan ⎨∫ ρ : ρ ∈ L( f ) ⎬ dan terdapat batas ⎭ ⎩E

atas

⎧ ⎫ βm(E) ∈ ℜ . Sehingga himpunan ⎨∫ ρ : ρ ∈ L( f ) ⎬ mempunyai supremum ⎭ ⎩E

yaitu sup ∫ ρ . Selanjutnya sup ∫ ρ ditulis dengan integral Lebesgue bawah ρ< f E

L

∫

ρ< f E

f ( x)dx .

− E

63

Himpunan U(f) = {ψ :ψ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E, dengan ψ ≥ f }. Untuk setiap ψ ∈ U ( f ) , terdapat α ≤ f ≤ β, α m(E) = ∫ α ≤ ∫ f ≤ ∫ψ . E

E

E

⎧ ⎫ Maka himpunan ⎨∫ψ :ψ ∈ U ( f ) ⎬ ⊂ ℜ dan bukan himpunan kosong. ⎭ ⎩E ⎧ ⎫ Karena sedikitnya terdapat β sebagai anggota dari ⎨∫ψ : ψ ∈ U ( f ) ⎬ dan terdapat ⎭ ⎩E ⎧ ⎫ batas bawah αm(E) ∈ ℜ , sehingga ⎨∫ψ :ψ ∈ U ( f ) ⎬ mempunyai infimum ⎭ ⎩E inf ∫ψ . Selanjutnya inf ∫ψ ditulis dengan integral Lebesgue atas ditulis dengan φ> f

φ> f

E

E

−

L ∫ f ( x)dx . E

Jadi, Setiap fungsi terbatas f terdefinisi pada himpunan terukur berukuran berhingga mempunyai integral Lebessgue atas dan integral Lebesgue bawah.

Teorema 3.2 ( Gupta : 1976, 133)

Misalkan f : E → ℜ adalah fungsi sederhana. Maka L∫

− E

−

f ( x)dx = ∫ f = L ∫ f ( x)dx E

E

64

Bukti : Fungsi f adalah fungsi sederhana. Fungsi f ∈ L(f)) ={ρ: ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E dan ρ ≤ f}. ρ ∈ L( f ) maka ρ ≤ f ≤ β sehingga ∫ ρ ≤ ∫ f ≤ ∫ β = β m( E ) . Oleh karena itu E

E

E

⎧ ⎫ himpunan ⎨∫ ρ : ρ ∈ L( f ) ⎬ mempunyai sup ∫ ρ sedemikian sehingga ρ< f E ⎭ ⎩E sup ∫ ρ = L ρ< f E

∫

− E

f ( x)dx ≥ ∫ f .

(1)

E

f ∈ U(f) ={ψ :ψ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E, dengan ψ ≥ f }.

ψ ∈ U ( f ) maka α ≤ f ≤ ψ sehingga α m( E ) = ∫ α ≤ ∫ f ≤ ∫ψ . E

E

E

⎧ ⎫ Maka ⎨∫ψ :ψ ∈ U ( f ) ⎬ mempunyai inf ∫ψ sedemikian sehingga ψ>f ⎭ E ⎩E −

inf ∫ψ = L ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f .

ψ>f

E

E

(2)

E

Dari (1) dan (2) diperoleh

∫

f ≤ L

Terbukti bahwa L ∫

− E

∫

− E

E

−

f ( x)dx ≤ L ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f . E

E

−

f ( x)dx = ∫ f = L ∫ f ( x)dx . Jadi, setiap fungsi sederhana E

E

mempunyai integral Lebesgue atas dan Integral Lebesgue bawah yang sama. Akibat dari teorema di atas adalah sebagai berikut.

65

Definisi 3.1 (Gupta : 1976, 133)

Misalkan f adalah fungsi terbatas terdefinisi pada himpunan E yang berukuran berhingga. Fungsi f dikatakan terintegral Lebesgue pada E, jika −

L ∫ f ( x)dx = L ∫ E

f ( x)dx

− E

Integral Lebesgue dari f pada E ditulis dengan L ∫ f ( x)dx atau E

∫f. E

Jadi, setiap fungsi terbatas, terdefinisi pada himpunan E berukuran berhingga jika mempunyai integral atas dan bawah yang sama, maka fungsi terintegral Lebesgue.

Contoh : 1

Fungsi f : [0,1] → ℜ dengan f(x) = 2x. Hitunglah ∫ 2xdx 0

Penyelesaian: Fungsi f ∈ U(f) ={ψ :ψ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E, dengan −

ψ ≥ f}. Fungsi ψ ∈ U ( f ) maka terdapat inf ∫ψ (x)dx = L ∫ f ( x)dx = 1. φ> f

E

E

Fungsi f ∈ L(f)) ={ρ: ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E dan ρ ≤ f}. Fungsi ρ ∈ L( f ) maka terdapat sup ∫ ρ ( x)dx = ∫ ρ< f E

−

Karena L ∫ f ( x)dx = L ∫ E

f ( x )dx = 1.

− E

1

f ( x )dx = 1, maka

− E

∫ 2xdx = 1 0

66

Selanjutnya akan dibuktikan setiap fungsi terukur terbatas yang didefinisikan pada himpunan berukuran berhingga akan terintegral Lebesgue. Teorema 3.3 (Gupta : 1976 : 134)

Misalkan f adalah fungsi terbatas yang terdefinisi pada himpunan terukur E yang berukuran berhingga. Fungsi

f

terintegral Lebesgue jika dan hanya jika

f

terukur. Bukti: ⇒ Misalkan f terintegral Lebesgue atas E maka

inf ∫ψ (x)dx = sup ∫ ρ ( x)dx = h φ> f

ρ< f E

E

Untuk setiap fungsi sederhana ψ , ρ dan sebarang bilangan real h. Diberikan bilangan bulat n, maka terdapat himpunan sederhana ρn dan ψ sedemikian sehingga ρn (x) ≤ f (x) ≤ ψ n(x) berlaku

∫ψ

n

( x)dx < h +

E

1 1 h 2n 2 n E

∫ ρ ( x)dx >

h-

∫ψ

n

1 1 < ∫ ρ n ( x)dx + 2n E 2n

∫ψ

n

n

E

Maka ( x)dx -

E

E

( x)dx - ∫ ρ n ( x)dx < E

1 1 + . 2n 2n

Sehingga ∫ψ n ( x)dx - ∫ ρ n ( x)dx < E

E

1 n

(1)

67

n

Misalkan fungsi ψ * = inf ψ

n

dan ρ*

= sup ρn . Karena untuk masing-masing n,

ρn, dan ψ n adalah fungsi terukur maka fungsi ρ*, ψ

*

terukur dan

ρ*(x) ≤ f(x) ≤ ψ *(x).

Himpunan

Δ

= {x: ρ*(x) <ψ *(x)}.

Δv

= {x: ρ*(x) <ψ *(x) -

( Δ v,n) = {x: ρn (x) <ψ n (x) -

1 }. v 1 }. v

Maka diperoleh: a. Δ =

∞

Δ . v

v =1

∀n ∈ Ν

b. Δ v ⊂ Δ v.n ,

c. m( Δ v , n ) < v . Jika m( Δ v.n ) ≥ v , maka n

∫ψ

Δ v ,n

n

( x)dx −

n

∫ ρ ( x)dx = ∫ {ψ n

Δ v ,n

n

( x) − ρ n ( x)}dx >

Δ v ,n

1 1 m(Δ v ,n ) ≥ n v

Kontradiksi dengan (1). Karena n adalah sebarang konstanta dan m( Δ v ) = 0 maka m( Δ ) = 0 dan ρ* ≥ ψ * . Tetapi ρ* ≤ ψ * , oleh karena itu ρ* = ψ * = f dan karena

masing-masing dari fungsi ρ* dan ψ * terukur, maka fungsi f terukur. ⇐ Disisi lain asumsikan bahwa f adalah fungsi terukur pada E. Fungsi f terbatas

oleh M, maka -M ≤ f(x) ≤ M ,

∀ x∈ E .

Interval [-M, M] dibagi menjadi 2n bagian yang sama sehingga diperoleh himpunan Ek = { x ∈ E :

M M k ≥ f ( x) > (k − 1) }, -n ≤ k ≤ n. n n

68

Maka{ Ek : -n ≤ k ≤ n.} adalah koleksi terhitung dari himpunan terukur yang saling n

asing sedemikian sehingga bahwa E =

E

k

. Oleh karena itu m(E) =

n

∑ m( E ) . k

k =−n

k =−n

Untuk setiap n, didefinisikan fungsi sederhana ψ n dan ρn

ψ n(x) =

ρn(x) =

M n

M n

n

∑ kχ

k =−n

Ek

( x) .

n

∑ (k − 1) χ

k =−n

Ek

( x) .

Sehingga berlaku ρn(x) ≤ f(x) ≤ ψ n(x). Maka M n ⎧ inf ∫ψ ( x)dx ≤ ∫ψ n( x)dx = ∑ km( Ek ) n k =− n E ⎪⎪ψ .> f E M n ⎨ ρ ( x ) dx ≥ ρ ( x ) dx = ∑ (k − 1)m( E k ) ∫E n ⎪sup ∫ n k =−n ⎪⎩ ρ < f E inf ∫ψ ( x)dx = sup ∫ ρ ( x)dx ≤

ψ>f

ρ< f E

E

m n M m( E k ) = m( E ) ∑ n k =−n n

Karena n sebarang diperoleh 0 ≤ inf ∫ψ ( x)dx − sup ∫ ρ ( x)dx ≤ 0 . ψ>f

E

ρ< f E

Oleh karena itu f terintegral Lebesgue pada E.

B. Keterkaitan antara Integral Lebesgue dengan Integral Riemann Teorema 3.4 (Gupta : 1976 : 136).

Misalkan f adalah fungsi terbatas yang didefinisikan pada [a,b]. Jika f terintegral b

b

a

a

Riemann pada [a,b], maka f terintegral Lebesgue dan R ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx .

69

Bukti : Karena f terintegral Riemann pada [a,b], maka b

b

b

a

ρ1 < f a

a

inf ∫ψ 1 ( x)dx = sup ∫ ρ1 ( x)dx = R ∫ f ( x)dx

ψ1 > f

ψ 1 dan ρ1 adalah fungsi tangga yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkan setiap fungsi tangga adalah fungsi sederhana. Maka sup ∫ ρ ( x)dx ≤ sup ∫ ρ ( x)dx . ρ1 < f E

ρ< f E

inf ∫ψ (x) dx ≥ inf ∫ψ (x) dx.

φ1 > f

E

φ> f

1

E

Dengan ψ dan ρ adalah fungsi sederhana yang didefinisikan pada [a,b], maka b

b

R ∫ f ( x)dx ≤ sup ∫ ρ ( x)dx ≤ inf ∫ψ (x) dx ≤ R ∫ f ( x)dx . φ> f

ρ< f E

a

E

a

b

⇒ sup ∫ ρ ( x)dx = inf ∫ψ (x) dx = R ∫ f ( x)dx . φ> f

ρ< f E

b

⇒

∫ a

E

a

b

f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx . a

b

Terbukti bahwa

∫ f ( x)dx a

b

= R ∫ f ( x)dx . a

Jadi, setiap fungsi terbatas yang terintegral Riemann pasti terintegral Lebesgue. Tetapi, fungsi yang terintegral Lebesgue belum tentu terintegral Riemann. Contoh : ⎧0 ⎪ Diberikan bahwa f(x) = ⎨2 ⎪3 ⎩

jika 0 ≤ x <1 jika {1 ≤ x < 2} ∪ {3 ≤ x < 4} jika {2 ≤ x < 3} ∪ {4 ≤ x ≤ 5}

70

Buktikan bahwa f(x) terintegral Riemann dan terintegral Lebesgue. Bukti : Akan dibuktikan bahwa f(x) terintegral Riemann. Selang [0,5] dipartisi menjadi n bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx =

1 . Dalam tiap selang [xi-1, xi] menggunakan xi = xi sebagai titik n

sampel. Maka x0 =0 x1 = 0 + Δx = 0 +

1 1 = n n 1 2 = n n

x2 = 0 + 2 Δx = 0 + 2. : xi = 0 + i Δx = 0 + i.

1 i = n n

:

xn = 0 + n. Δx = 0 + n. n

n

1 = 1. n

∑ f ( x )Δx = ∑ f (x )Δx i

i =1

i

i

i =1

=

n

1

∑ [0 + 2 + 3 + 2 + 3] n i =1

= 10.

= 10.

1 n

n

∑1 i =1

1 .n n

=10. Karena P adalah suatu partisi tetap, |P| → 0 setara dengan n → ∞ , maka

71

5

∫ 0

n

f ( x)dx = lim ∑ f ( xi )Δxi = lim 10 = 10. | p| →0

n →∞

i =1

Akan dibuktikan bahwa f(x) terintegral Lebesgue. 5

∫ f ( x)dx = f(x1).m([0,1))+ f(x2).m([1,2)) + f(x3).m([2,3)) + f(x4).m([3,4)) 0

+ f(x5).m([4,5]). = 0.1 + 2.1 + 3.1 + 2.1 + 3.1 = 10 . Terbukti bahwa f(x) terintegral Riemann dan terintegral Lebesgue.

Contoh : ⎧3 Diberikan f : [0,2] → ℜ dengan f(x) = ⎨ ⎩2

jika x ∈ rasional jika x ∈ irasional

Buktikan bahwa f(x) terintegral Lebesgue tetapi tidak terintegral Riemann. Penyelesaian : Misalkan, himpunan bilangan rasional =Q dan himpunan bilangan irasional = Q c. Fungsi f terukur dan terbatas pada [0,2], maka f terintegral Lebesgue, yaitu 2

∫ f ( x)dx =

f(x1).m( [0,2] ∩ Q )+ f(x2).m ( [0,2] ∩ Q c )

0

2

∫ f ( x)dx

= 3.0 + 2.( 2-0)

= 0 + 4 = 4.

0

Fungsi f tidak kontinu dan untuk setiap fungsi tangga ψ ≥ f ,

R

∫

− 2

0

2

f(x) dx = inf ∫ψ ( x )dx = 3(2 - 0) = 6. 0

72

Untuk setiap fungsi tangga ψ ≤ f. maka R ∫

2

0 −

2

2

0

0

2

f(x)dx = sup ∫ψ ( x )dx = 2(2 - 0) = 4 0

Karena R ∫ f ( x)dx ≠ R ∫ f ( x)dx maka f tidak terintegral Riemann.

C. Sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terukur terbatas Teorema 3.5 ( Gupta : 1976, 138) Misalkan f dan g adalah fungsi terukur terbatas, terdefinisi pada himpunan berukuran berhingga E , maka: a. ∫ af = a ∫ f , E

∀ a ∈ℜ

E

b. ∫ ( f + g ) = ∫ f + ∫ g . E

E

E

∫ f = ∫g

c. Jika f = g hampir dimana-mana, maka

E

d. Jika f ≤ g hampir dimana-mana, maka

E

∫ f ≤ ∫g, E

E

oleh karena itu | ∫ f |≤ ∫ | f | E

E

e. Jika α ≤ f ( x) ≤ β maka αm( E ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ β m( E ) E

f. Jika E1 dan E2 adalah subset terukur saling asing dari E maka:

∫

f =

E1  E 2

∫f +∫f

E1

E2

Bukti : a). Jika a = 0 maka ∫ af = a ∫ f . E

E

Asumsikan bahwa a ≠ 0. Jika ψ adalah fungsi sederhana maka a ψ juga fungsi sederhana, dan sebaliknya.

73

Untuk a > 0 maka ∫ af = inf E

aψ > af

Untuk a < 0 maka ∫ af = inf E

b). Jika ψ

1

dan ψ

aψ > af

∫ aψ = a ψinf ∫ψ =a ∫ f . >f

E

E

E

∫ aψ = a sup ∫ψ =a ∫ f ψ
E

(terbukti ).

E

adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ 1 ≥ f dan

2

ψ 2 ≥ g , maka ψ 1 + ψ 2 adalah fungsi sederhana dan f + g ≤ ψ 1 + ψ 2. Sehingga

∫ ( f + g ) ≤ ∫ (ψ E

+ ψ 2 ) = ∫ψ 1 + ∫ψ 2

1

E

E

E

= inf ∫ψ 1 + inf ∫ψ 2 ψ1 > f

=

ψ 2 >g

E

E

∫ f +∫g . E

(1)

E

Dengan cara yang sama jika ρ1, ρ2 adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ1 ≤ f dan ρ2 ≤ g maka ρ1+ ρ2 adalah fungsi sederhana dan ρ1 + ρ2 ≤

f +g , sehingga

∫ ( f + g ) ≥ ∫ (ρ

1

E

E

+ ρ 2 ) = ∫ ρ1 + ∫ ρ 2 E

E

= sup ∫ ρ1 + sup ∫ ρ 2 ρ1 < f E

=

ρ2
∫ f +∫g . E

(2)

E

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan ∫ ( f + g ) = ∫ f + ∫ g . E

74

E

E

c). Karena f = g hampir dimana-mana, maka ( f – g ) = 0. Akan ditunjukkan bahwa ∫ ( f − g ) = 0 . E

ψ adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ ≥ (f – g) dan f - g = 0. Karena f - g = 0 hampir dimana-mana maka ψ ≥ 0. Sesuai dengan teorema 3.5 (b), diperoleh

∫ψ ≥ 0 . E

∫ ( f − g) ≥ 0 .

(1)

E

Fungsi ρ adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ ≤ (f – g) dan (f – g) = 0 maka ρ ≤ 0. Karena ρ ≤ 0 maka

∫ ρ ≤ 0. E

∫ ( f − g) ≤ 0 .

(2)

E

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa ∫ ( f − g ) = 0 , sehingga E

∫ f = ∫g. E

E

d. Karena f ≤ g hampir dimana-mana maka g - f ≥ 0. Diberikan fungsi sederhana

ψ sedemikian sehingga ψ ≥ g – f maka ψ ≥ 0 .

∫ψ ≥ 0 . E

⇒ inf

Ψ≥ g − f

∫Ψ ≥ 0 E

⇒ ∫ (g − f ) ≥ 0 E

75

⇒

∫ f ≤ ∫g. E

E

Diberikan fungsi sederhana ρ sedemikian sehingga ρ ≥ f. Fungsi f bernilai real dengan f + = max ( f,0) dan f -- = max ( -f, 0) sehingga f = f + - f – dan | f | = f + + f – sehingga +

+

| ∫ f | = | ∫( f − f −) | = | ∫ f − ∫ f − | ≤ E

E

E

E

∫f

+

E

+∫ f− E

+

= ∫| f + f − | E

= ∫| f | E

Terbukti bahwa | ∫ f | ≤ E

∫| f | . E

e. Jika α ≤ f ( x) ≤ β maka

∫ α dx ≤ ∫ f ( x) dx ≤ ∫ β dx E

E

⇔ α ∫ 1dx ≤ E

E

∫ f ( x) dx ≤ β ∫1dx , karena ∫1dx = m( E ) maka E

E

E

⇔ αm( E ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ β m( E ) E

f. Karena E1 ∩ E2 ≠ φ maka χ E1 ∪ E 2 = χ E1 + χ E 2 , sehingga untuk ψ ≥ f dengan ψ adalah fungsi sederhana, sedemikian sehingga

∫

E1  E 2

inf

Ψ≥ f

∫

∫

E1 ∪ E 2

E1  E 2

Ψ ≤ ∫ψ + ∫ψ E1

E2

f ≤ ∫ψ + ∫ψ E1

E2

76

ψ = ∫ψ + ∫ψ E1

E2

∫

E1  E 2

f ≤ inf ∫ψ + inf ∫ψ

Jika ρ suatu

∫

E1  E 2

ψ≥f

ψ≥f

E1

fungsi

=∫f +

E2

E1

sederhana

∫f

(i)

E2

dengan

ρ ≥f

sedemikian

sehingga

ρ = ∫ ρ + ∫ ρ maka E1

E2

sup

∫

ρ ≤ f E ∪E 1 2

ρ ≥ ∫ρ + ∫ρ E1

E2

∫

f ≥ ∫ρ + ∫ρ

∫

f ≥ sup ∫ ρ + sup ∫ ρ

E1 ∪ E 2

E1 ∪ E 2

E1

E2

ρ≤ f E 1

=

ρ≤ f E 2

∫f+∫f

E1

(ii)

E2

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

∫

f =

E1  E 2

∫f+∫f

E1

E2

Contoh : ⎧3 Fungsi f(x) = ⎨ ⎩6

Hitunglah: a.

jika jika

x ∈ [− 1, 13 )

⎧2 dan g(x) = ⎨ x ∈ [ 13 ,1] ⎩1

jika jika

x ∈ [− 1, 13 ) x ∈ [ 13 ,1]

∫ 2 f ( x)dx

[ −1,1]

b.

∫ 3g ( x)dx

[ −1,1]

c.

∫ ( f ( x) + g ( x))dx .

[ −1,1]

d. Karena g(x) ≤ f(x), tunjukkan bahwa

∫

[ −1,1]

77

g ( x)dx ≤

∫ f ( x)dx

[ −1,1]

Penyelesaian: 4

∫ 2 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx = 2 [ 3. 3

a.

[ −1,1]

b.

+ 6.

2 ] = 2.( 4+4) = 2. 8 = 16. 3

+ 1.

2 8 2 10 ] = 3. ( + ) = 3. =10. 3 3 3 3

[ −1,1]

4

∫ 3g ( x)dx = 3 ∫ g ( x)dx = 3 [ 2. 3

[ −1,1]

[ −1,1]

4

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx = [ 3. 3

c.

[ 0 ,1]

[ 0 ,1]

[ 0 ,1]

=8+

=

d.

4

∫ g ( x)dx = [ 2. 3

+ 1.

[ −1,1]

4

∫ f ( x)dx = [ 3. 3

[ −1,1]

Terbukti

∫

2 4 2 + 6. ] + [ 2. + 1. ] 3 3 3

10 3

34 . 3

2 10 ] = 3 3

2 + 6. ] = 8 3

g ( x)dx ≤

[ −1,1]

∫ f ( x)dx

[ −1,1]

Contoh : ⎧5 Diketahui h(x) = ⎨ ⎩6

Tunjukkan bahwa

∫

jika x = 0 jika x ∈ (0,1] k ( x)dx =

[ 0 ,1]

dan

⎧3 k(x) = ⎨ ⎩6

∫ h( x)dx hampir dimana-mana.

[ 0 ,1]

Penyelesaian : a. Akan ditunjukkan bahwa

∫

jika x = 0 jika x ∈ (0,1]

[ 0 ,1]

h( x)dx =

∫ k ( x)dx .

[ 0 ,1]

78

∫ h( x)dx = (5.0 +6.1) = 0 + 6 = 6.

[ 0 ,1]

∫ k ( x)dx = (3.0 + 6.1] = 0 + 6 = 6.

[ 0 ,1]

Terbukti bahwa

∫

h( x)dx =

[ 0 ,1]

∫ k ( x)dx .

[ 0 ,1]

Corollary 3.1 ( Gupta : 1976, 140) Jika f(x) ≥ 0 pada E, maka

∫ f ( x)dx ≥ 0

dan jika f(x) ≤ 0 pada E maka

E

∫ f ( x)dx ≤ 0 . E

Bukti : a. Akan ditunjukkan jika f(x) ≥ 0 pada E, maka

∫ f ( x)dx ≥ 0 E

Misalkan ψ (x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ (x) ≥ f (x) ≥ 0

maka ψ (x) ≥ 0 . Sehingga

∫ψ ( x)dx ≥ 0 E

inf ∫ψ ( x)dx ≥ 0

ψ>f

E

∫ f ( x)dx ≥ 0 . E

Terbukti jika f(x) ≥ 0 pada E, maka

∫ f ( x)dx ≥ 0 . E

b. Akan ditunjukkan jika f(x) ≤ 0 pada E maka

∫ f ( x)dx ≤ 0 . E

79

ρ(x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ(x) ≤ f(x) dan f(x) ≤ 0 maka ρ(x) ≤ f (x) ≤ 0. Sehingga ρ(x) ≤ 0 dan

∫ ρ ( x)dx ≤ 0 E

sup ∫ ρ ( x)dx ≤ 0 ρ< f E

∫ f ( x)dx ≤ 0 . E

Terbukti jika f(x) ≤ 0 pada E maka

∫ f ( x)dx ≤ 0 . E

Corollary 3.2 ( Gupta : 1976, 140).

Jika m(E) = 0 maka

∫f

= 0.

E

Bukti: Jika ψ adalah fungsi sederhana yang terdefinisi pada E dan m(E) = 0 sedemikian sehingga f ≤ ψ = 0 maka

∫ψ = 0 E

inf ∫ψ = 0

ψ>f

∫f

E

= 0.

E

80

Corollary 3.3 (Gupta : 1976, 140)

Jika f (x) = k hampir dimana-mana pada E maka

∫f

= km( E ) .

E

Jika f = 0 hampir dimana-mana pada E maka

∫f

=0 .

∫f

= m( E ) .

E

Jika f =1 hampir dimana-mana pada E maka

E

Bukti : a. Jika ψ (x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ (x) ≥ f (x) dan f(x)=k maka ψ (x) ≥ k Sehingga

∫ψ ( x)dx ≥ km( E ) E

inf ∫ψ ( x)dx ≥ km( E )

ψ >f

E

∫ f ( x)dx ≥ km( E ) .

(1)

E

ρ(x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ(x) ≤ f(x) dan f(x)=k maka ρ ≤ k. Sehingga

∫ ρ ( x)dx ≤ km( E ) E

sup ∫ ρ ( x)dx ≤ km( E ) ρ< f E

∫ f ( x)dx ≤ km( E ) .

(2)

E

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan

∫ f ( x)dx = k m(E) . E

81

b. Jika ψ (x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ (x) ≥ f (x) dan f(x)=0 maka ψ (x) ≥ 0 Sehingga

∫ψ ( x)dx ≥ 0.m( E ) E

inf ∫ψ ( x)dx ≥ 0

ψ >f

E

∫ f ( x)dx ≥ 0 .

(i)

E

ρ(x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ(x) ≤ f(x) dan f(x)=0 maka ρ ≤ 0. Sehingga

∫ ρ ( x)dx ≤ 0.m( E ) E

sup ∫ ρ ( x)dx ≤ 0 ρ< f E

∫ f ( x)dx ≤ 0 .

(ii)

E

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa

∫ f ( x)dx = 0. E

c. Jika ψ (x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ψ (x) ≥ f (x) dan f(x)=1 maka ψ (x) ≥ 1. Sehingga

∫ψ ( x)dx ≥ 1.m( E ) E

inf ∫ψ ( x)dx ≥ m( E )

ψ >f

E

∫ f ( x)dx ≥ m( E ) .

(1)

E

82

ρ(x) adalah fungsi sederhana sedemikian sehingga ρ(x) ≤ f(x) dan f(x)=1 maka ρ ≤ 1. Sehingga

∫ ρ ( x)dx ≤ 1.m( E ) E

sup ∫ ρ ( x)dx ≤ m( E ) ρ< f E

∫ f ( x)dx ≤ m( E ) .

(2)

E

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan

∫ f ( x)dx = m(E). E

Teorema 3.6 ( Gupta : 1976, 141)

Jika

∫f

= 0 dan f(x) ≥ 0 pada E, maka f = 0 hampir dimana-mana.

E

Bukti : A ⊂ E adalah himpunan semua x ∈ E dengan f(x) > 0, maka A = {x ∈ E : f(x) >0} =

m

1

{x ∈ E : f ( x) > N } . n =1

Akan dibuktikan bahwa m ({x ∈ E : f(x) >

1 }) = 0 N

Misalkan terdapat N ∈ N, sehingga m({x ∈ E : f(x) > E1 = {x ∈ E : f(x) > E2 = {x ∈ E : f(x) ≤

1 }) = λ dengan λ ≠ 0 . N

1 } N 1 } N

Kemudian E1 dan E2 dua himpunan terukur saling asing sedemikian sehingga

83

E = E1 ∪ E2. Maka

∫f =∫f+ ∫f E

Tetapi

∫f

E1

E1

>

E2

λ 1 > 0. m(E1) = N N

Akibatnya jika m({x ∈ E : f(x) > kontradiksi, maka

1 }) = λ dengan λ ≠ 0 maka N

∫ f = 0. Sehingga terbukti jika ∫ f E

∫f>

0.

E

= 0 dan f(x) ≥ 0 pada E,

E

maka f = 0 hampir dimana-mana.

D. Kekonvergenan Integral Lebesgue pada Fungsi Terbatas. Teorema 3.7 ( Teorema kekonvergenan Terbatas) (Gupta : 1976, 142).

Misalkan ( fn} adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisi pada E. Himpunan E berukuran berhingga atau m(E)< ∞ .Terdapat bilangan real M sedemikian sehingga | fn(x)| ≤ M, untuk semua x dan semua n. Jika f(x) = lim f n ( x) , untuk masingn →∞

masing x ∈ E, maka

∫ f = lim ∫ E

n →∞

f n ( x)

E

Bukti : fungsi f adalah limit dari barisan { fn} terukur pada E, maka f terukur. Karena f terukur maka f terintegral Lebesgue. Diberikan ε >0, maka terdapat himpunan terukur A ⊂ E dengan m(A) < sehingga | fn(x) - f(x) | <

ε 2 m( E )

ε 4M

dan bilangan bulat N>0 sedemikian

pada E – A, untuk semua n ≥ N.

84

∀ n ∈ N dan x ∈ E.

| fn(x)| ≤ M,

Karena

⇔ | f (x)| ≤ M, x ∈ E. ⇔ | fn(x) - f(x) | ≤ | fn(x)| + | f (x)| ≤ 2M

x ∈ E dan x ∈ A.

⇔ | fn(x) - f(x) | ≤ 2M,

| ∫ fn − ∫ f |

Maka

E

E

= | ∫ ( fn − f ) | E

≤ ∫ ( fn − f ) E

∫| f

=

E−A

− f | + ∫| fn − f | A

ε

≤

<

n

2 m( E )

ε 2

m(E - A) + 2M. m(A)

+ 4M

=ε

ε 2M

∀n≥N

Sehingga lim ∫ f n ( x) = ∫ f . n→∞

E

E

Teorema 3.8 ( Gupta : 1976 , 143)

Diberikan { fn} adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisi pada E. Himpunan E berukuran berhingga atau m(E)< ∞ , dengan | fn(x)| ≤ M untuk semua n dan x pada E. Jika lim f n ( x) = f(x) hampir dimana-mana pada E, maka f terintegral dan n →∞

∫ f = lim ∫ E

n→∞

fn .

E

Bukti : Fungsi f adalah limit dari barisan { fn} hampir dimana-mana pada E.

85

| f(x)| ≤ M dan terukur pada E. Jika m(E) = 0 maka f(x) = lim f n ( x) . n →∞

Sehingga asumsikan bahwa m(E)>0 dan ε >0, maka untuk setiap bilangan asli i terdapat Ei = {x ∈ E : | fj(x) – f(x) | ≥

ε 2 m( E )

, untuk beberapa j ≥ i }

Maka {Ei} adalah barisan himpunan turun dengan m(E1) ≤ m(E) < ∞ . Sehingga ∞

lim m( Ei ) = m Ei = 0 . i →∞

i =1

Ambil sebarang bilangan N besar sedemikian sehingga m(EN) <

ε

Misalkan EN = A, maka | fn(x) - f(x) | <

2 m( E )

∀ n ∈ N dan x ∈ E.

Karena | fn(x)| ≤ M,

⇔ | f (x)| ≤ M,

x ∈ E.

⇔ | fn(x) - f(x) | ≤ | fn(x)| + | f (x)| ≤ 2M ⇔ | fn(x) - f(x) | ≤ 2M,

x ∈ E dan x ∈ A.

Maka | ∫ fn − ∫ f | E

E

= | ∫ ( fn − f ) | E

≤ ∫ ( fn − f ) E

=

∫| f

E−A

≤

<

n

− f | + ∫| fn − f |

ε 2 m( E )

ε 2

A

m(E - A) + 2M. m(A)

+ 4M

ε 2M

86

ε 4M

.

pada E - A untuk semua n ≥ N.

=ε

∀n≥N

Sehingga lim ∫ f n ( x) = ∫ f . n→∞

E

E

Contoh : Diberikan {ri} adalah enumerasi dari semua bilangan rasional pada [0,2]. Sn ={ri : i =1, 2,.., n}, n ∈ N. Fungsi fn :[0,2] → ℜ , untuk setiap n ∈ N, didefinisikan dengan ⎧2 , jika fn (x) = ⎨ ⎩0 , jika

x ∈ Sn x ∉ Sn

Barisan lim f n ( x) = f(x) hampir dimana-mana, maka hitunglah n →∞

∫ f ( x)dx

[ 0, 2 ]

Penyelesaian : Diberikan

f(x) : [0,2] → ℜ . Barisan lim f n ( x) = f(x) hampir dimana-mana, n →∞

⎧2 , jika x rasional . dengan f(x) = ⎨ ⎩0 , jika x irrasional Sehingga f(x) = 0 hampir dimana-mana, maka

∫ f ( x)dx = lim ∫

[ 0, 2 ]

n→∞

E

f n = lim ( 2.m (Sn) + 0. m( A-Sn) ) , n →∞

= lim ( 2.0 + 0.2 ) n →∞

= lim 0 n →∞

= 0.

87

Teorema 3.9 (Gupta : 1976, 143)

Misalkan {fn} adalah barisan dari fungsi yang terintegral Riemann terdefinisi pada [a,b] sedemikian sehingga | fn(x)| ≤ M, untuk semua n dan x∈[a,b]. Jika {fn} konvergen ke fungsi f (terintegral Riemann) yang didefinisikan pada [a,b] maka b

b

R ∫ f n ( x)dx = lim R ∫ f n ( x)dx . n →∞

a

a

Bukti : b

Karena fn terintegral Riemann maka R ∫ f n ( x)dx = L a

b

lim R ∫ f n ( x)dx = lim L

n →∞

n →∞

a

b

∫f

n

( x)dx sehingga

a

b

∫f

n

( x)dx

a

Karena f terintegral Riemann maka f juga terintegral Lebesgue yaitu b

R∫ f = a

b

∫f a

{ fn} adalah barisan fungsi terintegral Lebesgue dan { fn} konvergen ke suatu fungsi terintegral Lebesgue f maka menurut teorema 3.8 diperoleh b

b

∫ a

f = lim

n →∞

b

∫f

n

.

a

b

Jadi, R ∫ f ( x)dx = lim R ∫ f n ( x)dx . a

n →∞

a

88

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan Dari uraian yang dikemukan dalam bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Misalkan f adalah fungsi sederhana dan terukur dengan representasi n

kanonik f =

∑a χ i

i =1

Ei

, Ei ={x ∈ E : f(x) = ai} saling asing dan terukur.

Bilangan ai (i =1, 2,...., n) berbeda dan ai ≠ 0 . Asumsikan bahwa E berukuran berhingga, maka integral Lebesgue dari f didefinisikan dengan

∫

n

f ( x)dx = ∑ ai m( Ei ) . i =1

Selanjutnya integral Lebesgue dari f dapat ditulis

∫f.

2. Misalkan f adalah fungsi terbatas, terdefinisi pada himpunan E yang berukuran berhingga. Fungsi f dikatakan terintegral Lebesgue pada E, −

jika L ∫ f ( x)dx = L ∫ E

f ( x)dx .

− E

Integral Lebesgue dari f pada E ditulis dengan L ∫ f ( x)dx atau E

∫f. E

3. Sifat-sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terukur terbatas adalah sebagai berikut:

89

Misalkan f dan g adalah fungsi terukur terbatas, terdefinisi pada himpunan berukuran berhingga E , maka a. ∫ af = a ∫ f , E

∀ a ∈ℜ

E

b. ∫ ( f + g ) = ∫ f + ∫ g . E

E

E

∫ f = ∫g

c. Jika f = g hampir dimana-mana, maka

E

f ≤ g hampir dimana-mana, maka

d. Jika

E

∫ f ≤ ∫g, E

oleh karena itu

E

| ∫ f |≤ ∫ | f | E

E

e. Jika α ≤ f (x) ≤ β maka αm( E ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ β m( E ) E

f. Jika E1 dan E2 adalah subset terukur saling asing dari E maka:

∫

E1  E 2

f =

∫f +∫f.

E1

E2

3. Misalkan ( fn} adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisi pada E yang berukuran berhingga. Terdapat bilangan real M sedemikian sehingga | fn(x)| ≤ M, untuk semua x dan semua n. Jika barisan {fn} konvergen ke fungsi f maka

∫

f n (x ) dx konvergen ke

E

∫ f (x)dx. E

Atau, dengan kata lain jika lim f n ( x) = f(x) untuk masing-masing x ∈ E, n →∞

maka lim ∫ f n ( x) dx = n→∞

E

∫ f (x) dx. E

90

B. Saran

Penulisan skripsi ini hanya membahas mengenai integral Lebesgue pada fungsi terbatas beserta sifat-sifatnya. Karena keterbatasan pengetahuan penulis, pembaca yang berminat dapat melanjutkan penulisan tentang integral Lebesgue pada fungsi terukur nonnegatif maupun integral Lebesgue umum.

91

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G. & R. Serbert, Donald. (2000). Introduction to Real analysis. 3rd.ed. New York : John Willey and Sons, Inc. Gaskill, H. S. & Narayanaswami, P. P. (1998). Element of Real Analysis. United States of America: Prentice-Hall, Inc. Gupta. (1976). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi: Willey Eastern Limited. Royden, H. L. (1963). Real Analysis. New York: The Macmillan Company. Sukirman. (2006). Logika dan Himpunan. Yogyakarta: Hanggar Kreator. Purcel, E. J. & Dale Varberg. (2001). Kalkulus, alih bahasa I Nyoman Susila. Edisi ke-7. Batam : Interaksa.

.

xi