INTEGRAL Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
A. Integral Tak Tentu Hitung integral adalah kebalikan dari hitung differensial. Pada hitung differensial yang dicari adalah fungsi turunannya, sedangkan pada hitung integral yang dicari adalah fungsi yang menurunkannya atau fungsi asalnya atau fungsi anti derivatifnya. F (x) = f(x) f(x) dx = F(x) + c Dimana :
F(x) disebut fungsi integral dari f(x) F(x) disebut fungsi integran C disebut bilangan tetap integrasi / konstanta
Hasil pengintegralan adalah tidak tetap. Misalnya : F(x) = x2 + 1 F (x) = 2x G(x) = x2 – 5 G (x) = 2x H(x) = x2 + 100 H (x) = 2x Karena F(x) = G(x) = H(x) = 2x ; maka dikatakan bahwa integral 2x ke x adalah x 2 + 1 atau x2 – 5 atau x2 + 100 dan masih banyak yang lainnya. Karena hanya berbeda konstantanya saja maka dikatakan bahwa integral 2x ke x adalah x2 + c. Ditulis : 2x dx = x2 + c. Rumus – Rumus Integral 1 n 1 1. x n dx x c ; n -1 n 1 a n1 2. ax n dx a x n dx x c n 1 1 3. x 1 dx dx ln x c x 4. adx ax c 5. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx 6. kf ( x)dx k f ( x)dx 7. Integral substitusi 1 n 1 u c n 1 1 8. Jika u fungsi dalam x, maka: u 1 du du ln u c u
Jika u fungsi dalam x, maka: u n du
f ' ( x) dx dan f’(x). f(x) dx f ( x) Integral dengan substitusi merupakan cara penyelesaian integral dengan memasukkan variabel baru yang tujuannya untuk memudahkan menyelesaikan integral tersebut. Integral Dengan substitusi Bentuk
Integral Parsial Digunakan untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi. Rumus umum : u.dv = u.v - v.du
Modul Integral by Mujito
1
Contoh: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
1
x dx 6 x 5
6
c
2 72 2 x c x3 x c 7 7 1 1 1 5 4 x5 dx x dx 4 x c 4 x4 c 3 3 2 3 3x dx 3 x c x c 1 1 3 1 2 5 1 5 1 2 2 x xdx 2 x 2 dx 2 . 5 x 2 c 5 x 2 c 5 x x c 2 1 1 1 x dx 2 x 2 dx 2. 12 x 2 c 4 x c
x
x dx x 2 dx 5
2
7) 2dx 2 x c 1
1
2 dx 2 x c 9) 2dx 2 x c 1 10) ( x x )dx x 4 8)
1 x3 c 3 2 3 2 11) (2 x3 3x 2 2 x 5)dx x 4 x3 x 2 5 x c 4 3 2 4 12) (2 x 3) 2 dx (4 x 2 12 x 9)dx x3 6 x 2 9 x c 3 3
13)
2
4
( x 2 1)2 x4 2x2 1 1 1 1 dx dx ( x 2 2 x 2 )dx x3 2 x x 1 c x3 2 x c 2 2 x x 3 3 x
14) (2 x 5)15 dx … ?
Misal : u = 2x – 5 du = d(2x – 5) = 2 dx 1 1 16 1 15 1 16 15 (2 x 5) dx u . 2 du 2 .16 u c 32 (2 x 5) c
15) 6 x 2 (2 x 3 7) 8 dx … ?
Misal : u = 2x3 + 7 du = 6x2 dx 1 9 1 8 3 9 2 3 8 6x (2 x 7) dx u du 9 u c 9 (2 x 7) c
16)
3x 5dx … ?
Misal : u = 3x – 5 du = 3 dx 1 1 2 3 2 3x 5dx u . 3 du 3 . 3 u 2 c 9 (3x 5) 3x 5 c
17)
dx
2x 3 … ?
Misal : u = -2x + 3 du = -2 dx dx 1 1 1 1 2x 3 u . 2 du 2 ln u c 2 ln(2 x 3) c
Modul Integral by Mujito
2
B. Integral Tertentu b
f ( x)dx F ( x)]
b a
F (b) F (a)
a
Dengan : F(x) = fungsi hasil integral dari f(x) F(b) = Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) = Nilai fungsi F(x) untuk x = a a = fungsi bawah b = fungsi atas Sifat – Sifat Integral Tertentu b
1.
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
2.
b
c
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ; a < b < c a
3.
f ( x)dx = 0 a
b
b
a
a
4. kf ( x)dx = k f ( x)dx ; k = konstanta Contoh: 2
1)
3 x dx 1 1
2)
2
1 4 1 4 1 4 1 3 x .2 .1 4 3 4 1 4 4 4 4
2 x 3x dx x 2
2
1
x3 0 12 13 02 03 2 0 2
0
1 3 1 4 1 4 1 4 16 1 15 1 2 x dx 8 x 1 8 .2 8 .1 8 8 2
3)
2
Modul Integral by Mujito
3
LATIHAN 1 1. Tentukan integral tak tentu berikut ini ! a. (x2 – 1) dx
e.
b. (x – 3)2 dx
f.
c. (3x2 + 4x + 5) dx d. 2x (3x -
1 ) dx x
x (1 +
x ) dx
x4 1 dx x2 ( x 2 1) 2 g. dx x2
1
h. x 2 2 x
12
x3 x dx x 1 j. (x - )2 dx x i.
dx
2. Tentukan integral tertentu berikut ini ! 4
a.
7 x dx
1
d.
1
0
1 b. x 2 dx 2 1 2
1 2 0 3 x dx
2
1 dt t2
3x 4 4 x 3 2 dx 2 x2 3
3
c.
t
e.
1
f. 12 x( x 1)( x 1)dx 1
3. Selesaikan soal berikut dengan substitusi ! 2x 4 a. 2 c. (x + 1) ( x 2 2 x 3) 5 dx dx 3 ( x 4 x 5) b. x4 .(x5 + 3)6 dx
Modul Integral by Mujito
4
Kegiatan Belajar 2 : Integral Trigonometri
Rumus – Rumus Integral Trigonmetri 1. Sin x dx = - Cos x + c 2. Cos x dx = Sin x + c Jika u fungsi dalam x, maka : 3. Sin u du = -.Cos u + c
atau
4. Cos u du = Sin u + c
atau
1 .Cos u + c u 1 Cos u du = .Sin u + c u Sin u dx = -
Contoh: 1) Sin 5x dx = … ? Misal : u = 5x du = 5 dx 1 Sin 5x dx = Sin u . du 5 1 = (- Cos u) + c 5 1 = - cos 5x + c 5 3 2) Sin x . Cosx dx = … ? Misal : u = Sin x du = Cos x dx Sin3x . Cosx dx = u3 du 1 = u4 + c 4 1 = Sin4 x + c 4 3) Sin3 2x . Cos 2x dx = … ? Misal : u = Sin 2x du = 2 Cos 2x dx 1 Sin3 2x . Cos 2x dx = u3 . du 2 1 1 4 = . u +c 2 4 1 = Sin4 2x + c 8 2 4) Cos x dx = … ? Dengan mengingat : Cos 2x = 2 Cos2 x – 1 1 Cos 2 x Cos2 x = 2 1 1 = + Cos 2x 2 2 Sehingga:
Modul Integral by Mujito
1 1 dx + Cos 2x dx 2 2 Misal : u = 2x du = 2 dx 1 1 1 Cos2 x dx = dx + Cos u . du 2 2 2 Cos2 x dx =
1 x+ 2 1 = x+ 2
=
1 Sin u + C 4 1 Sin 2x + C 4
5)
(Cos x + Sin x) dx = … ?
0
(Cos x + Sin x) dx = Sin x – Cos x
0
0
= (Sin - Cos ) – (Sin 0 – Cos0) = [0 – (-1)] – [0 – 1] = 1 – (-1) =2
6)
2
(1 + Cos x) dx = x + Sin x
0
2
0
+ Sin ) – (0 – Sin 0) 2 2 = ( + 1) – 0 2 = +1 2 =(
5
LATIHAN 2 1. Tentukan :
a. (2 Sin x + Cos x) dx
b.
2
Sin2 x . Cos x dx
0
2. Selesaikan dengan substitusi : a. Cos3x .Sin x dx c. Cos(7x – 2) dx b. Sin3x .Cos x dx d. . Cos4x .Sin x dx 3. Selesaikan soal berikut dengan integral parsial ! a. 2x .Cos x dx b. . x2 .Sin 3x dx
Modul Integral by Mujito
6
Kegiatan Belajar 3 : Penggunaan Integral
A. Menentukan Luas Daerah (i)
Y (ii) y = f(x)
O
a
b
O
a
b
X
X
y = f(x) Y
Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) ; x = a ; x = b ; dan sumbu X dinyatakan oleh:
Untuk daerah di bawah sumbu X : b
L = - f ( x)dx
b
L=
f ( x)dx
a
a
(iii) Y
y = f(x)
y = g(x)
O
a
b
X
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dimana f(x) > g(x) dalam interval x = a dan x = b dapat dinyatakan oleh : b
L=
f ( x) g ( x)dx a
Modul Integral by Mujito
7
Contoh: 1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 , sumbu X, X = 1 dan X = 3 ! Jawab: 3
L =
Y y = x3
x dx 3
1
3
1 = x4 4 1 1 1 = .3 4 .14 4 4 81 1 80 20 satuan 4 4 4 O
1
3
X
2) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x dan sumbu x ! Jawab: y = x2 – 6x
Y
6
L = - ( x 2 6 x)dx 0
0
= - ( x 2 6 x)dx 6 0
O
6
X
=
1 3 x 3x 2 3 6
1 = 0 - .63 3.62 3 = 0 –(75 – 108) = -75 + 108 = 36 satuan luas
3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2 ! Jawab: Y
4
2
y=x –2
L =
[(6x – x2) – (x2 – 2x)]dx
0 4
=
(6x – x2 – x2 + 2x) dx
0
4
=
(8x – 2x2) dx
0
O
4
X y = 6x – x2
Titik potong kedua parabola 6x – x2 = x2 – 2x 2x2 = 8x 2 2x - 8x = 0 2x(x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4
Modul Integral by Mujito
4
= 4x 2
2 3 x 3 0
2 = 4.4 2 .4 3 0 3 128 = 64 0 3 2 = 64 - 42 3 1 = 21 satuan luas. 3
8
B. Menentukan Volum Benda Putar (i) Perputaran Terhadap Sumbu X Y
y = f(x)
O
aa
b
X
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi adalah: b
V=
y a
b
2
dx = [ f ( x)]2 dx a
(ii) Perputaran Terhadap Sumbu Y Y x = f(y) b b
a O
X
Jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu Y, maka volum benda putar yang terjadi adalah: V=
Modul Integral by Mujito
b
b
a
a
2 2 x dy = [ f ( y)] dy
9
(iii) Y
y = f(x) y = g(x)
a O
b b
X
a
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi adalah: b
V = {[ f ( x)]2 [ g ( x)]2 }dx a
(iv) Y x = g(y) x = f(y) b b
a
aaaa a O
X
Jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), x = g(y), y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu Y, maka volum benda putar yang terjadi adalah: b
V = {[ f ( y )]2 [ g ( y )]2 }dy a
Modul Integral by Mujito
10
Contoh: 1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, x = 0 dan x = 5 diputar mengelilingi sumbu X. Tentukan volum benda putar yang terjadi ! Jawab: Y
y=x
5
y
V=
2
dx
0 5
O
5
= ( x 2 ) 2 dx
X
0 5
=
x
4
dx
0 5
1 = . x5 5 0 1 1 = . .55 .0 5 5 5 = 625 satuan volum
2. Daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2, y = 0 dan y = 5 diputar dengan sumbu Y sebagai poros putar. Tentukan isi benda putar yang terjadi !
V=
Jawab :
5
x
2
dy
0
Y
=
5
ydy 0
x=
y
5
O
X
5
1 = . y2 2 0 1 1 = . .55 .0 5 2 2 25 = 2 1 = 12 satuan volum 2
3. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X ! Jawab: Y -1
O
2
X
y = x2 y=x+2 4 11 Modul Integral by Mujito
Titik potong kedua kurva: x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 11
x=2y=4
x = -1 atau x = 2 untuk x = -1 y = 1 2
V = [( x 2) 2 ( x 2 ) 2 ]dx 1 2
= [( x 2) 2 ( x 2 ) 2 ]dx 1
2
1 1 = . x3 2x 2 4x x5 3 5 1
1 1 1 1 = . .2 3 2.2 2 4.4 .2 5 (1) 3 2(1) 2 4(1) (1) 5 5 3 5 3 8 32 1 1 = . 8 8 2 4 5 3 5 3
32 1 1 8 = . 16 2 5 3 5 3 33 = . 21 5 3 = . 21 6 5 2 = 14 satuan volum 5
y dan x = y diputar
4. Hitunglahvolum yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva-kurva x = mengelilingi sumbu Y ! Jawab: Y x=
y x=y
1
X
1
O
Titik potong kedua kurva: y =y y = y2 y2 – y = 0 y(y-1) = 0 y = 0 atau y = 1 untuk y = 0 x = 0 y=1x=1 b
V = ( y y 2 )dy a 1
1 1 = . y2 y3 2 3 0 1 1 = . .12 .13 0 3 2 1 1 = 2 3 =
Modul Integral by Mujito
satuan volum. 6
12
LATIHAN 3 1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3, sumbu X, garis x = 0 dan garis x = 2 ! 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, y =
1 x, garis x = 3 dan garis x = 5 ! 4
3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 3x - 5, sumbu X, garis x = 1 dan garis x = 3 ! 4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan garis y = 2x ! 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 –x dan y = 3x – x2 ! 6. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 ! a) y = 2x, x = 1, x = 5, dan sumbu X b) y = x, x = 4, x = 5, dan sumbu X 7. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 ! a) y = x, y = 2, y = 6, dan sumbu Y b) y = x2 + 1, y = 1, y = 6, dan sumbu Y 8. Tentukan volum benda putar yang terjadi jika kurva berikut ini menjadi batas-batasnya dan diputar 360mengelilingi sumbu X ! a) y = 2x dan y = x2 b) y = x dan y = x2 – 2x
Modul Integral by Mujito
13
