INTEGRAL Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
a.
Integral tak tentu
b.
Integral tertentu
Contoh : Tentukan turunan berikut ini a.
y x 4x 2
b.
y 2x x
c. d.
3
3
2
1 y 2 x y x
Jawab:
4
a.
y x 4x 2
y 3x 4
b.
y 2x x
y 4x 1
c.
1 y 2 x
d.
y x
2 y - 3 x 1 1 y 2 x
3
2
1
2
1
1
F(x) 2
x 2 x 1 2 x 3 ----------
x 4 2 x C 2
F’(x) 2x 2x 2x 2x --2x Diferensial Integral
5
Kesimpulan / Konklusi : Integral tak tentu adalah Proses mencarifungsi semula F(X) jika turunannya F' (x) diketahui Rumusnya:
f(x) dx F(X) C 6
1. 2. 3.
7
F(x) Fungsi Integral Umum (bersifat) F' (x) f(x) f(x) Fungsi Integran c Constanta Pengintegralan
Contoh - contoh 1. 2. 3.
8
1 3 2 F(x) x F' (x) x f(x) 3 1 4 3 F(x) x C F' (x) x f(x) 4 1 n 1 n F(x) x C F' (x) x f(x) n 1
1. 2. 3. 4.
9
5 dx ...... C dx ... ... 3 ... dx ...... C .... 11 10 x dx ....... C ... 5 -6 x dx ......... C ... . - ..( 5 ) C 5... ... . - .. 5 C 5x
1. 2. 3. 4.
10
5 dx 5x C dx 1 1 3 3 dx 3 x C 1 11 10 x dx 11 x C 1 5 -6 x dx - 5 x C 1 1 - ( 5 ) C 5 x 1 - 5 C 5x
Tentukan F(x), jika F' (x) x dan F(2) 11 5
Jawab: F(x) x 5dx
11
1 6 F(x) x c 6 1 F(2) (2)6 c 11 6 4 11 10 c 6 2 1 c 6 3 1 1 F(x) x 6 6 3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 12
dx x c af(x)dx a f(x) dx, a adalah constanta a dx ax c 1 n 1 x dx n 1 x c, dengan n -1 a n 1 n ax dx n 1 x c,dengan n -1 a e x dx a ln x c,dengan ln x logx n
Tentukan Integral- integral tak tentu berikut ini : a).
5x dx
b).
1 x 3 dx
c).
d). 13
4
4
3
x dx 1
3
x
2
dx
a).
b).
14
5 41 5x dx 4 1 x c 5 x c 4
1 -3 dx x x3 dx 1 x-31 c - 3 1 1 2 - x c 2 1 1 - ( 2)c 2 x 1 - 2 c 2x
c).
4
3 4
x 3 dx x dx
15
1
x
3 1 4
c
3 1 4 7 1 4 x c 7 4 7 4 4 x c 7 4 4 3 x x c 7
d).
2 3
1 3
x
2
dx x dx 1 x 2 - 1 3 1 3
3x c 3 x c 3
16
2 1 3
c
1. 2. 3.
17
f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx f(x) g(x)dx f(x)dx - g(x)dx a f(x) dx a f(x) dx
Tentukan Integral tak tentu berikut ini 1.
(x x ) dx
2.
(x x x ) dx
3.
5x dx
18
3
6
2
5
2
1.
(x x ) dx x dx x dx 3
2
3
2
1 4 1 3 x c1 x c 2 4 3 1 4 1 3 x x c1 c 2 4 3 1 4 1 3 x x C 4 3 19
2.
6 5 2 6 5 2 (x x x ) dx x dx x dx x dx
1 7 1 6 1 3 x c1 - x c 2 x c3 7 6 3 1 7 1 6 1 3 x x x C 7 6 3
20
3.
5x dx 5 x dx 1 2 5( ) x c 2 5 2 x c 2
21
Tentukan Integraldibawah ini :
22
1.
(x x x ) dx
2.
(p p ) dp
3.
(x 5) dx
4.
2
3
3
4
2
5
7x dx
1.
(x x
2
x ) dx x dx x dx - x dx 3
2
3
1 2 1 3 1 4 x x x c 2 3 4
23
2.
(p p ) dp p dp p dp 3
4
3
4
1 4 1 5 p p c 4 5
24
3.
(x 5) dx (x 10 x 25)dx 2
2
x dx 10x dx 25dx 2
1 3 2 x 5x 25x c 3
25
4.
5
1 5
7x dx (7x) dx
26
7
x
1 1 5
1 1 5 6 7 5 x c 6 5 6 35 5 x c 6
c
1.
x
2.
x(x 1) dx
3.
(x 2) dx
57
27
x dx 2
3
2t t 1 dt t 1 2
4.
3
1.
3 7
57 3 5 x x dx (x . x ) dx
x dx 5 73
38 7
x dx 38 1 7
x c 38 1 7
28
x
45 7
45 7
c
7 67 3 x x c 45
2.
x(x 1)
2
dx (x 2x x) dx 3
2
1 4 2 3 1 2 x x x c 4 3 2
29
3.
(x 2) dx (x 6x 12x 8) dx 3
3
2
1 4 3 2 x 2x 6x 8x c 4
30
2t t 1 (2t 1)(t 1) t 1 dt (t 1) dt 2
4.
(2t 1) dt t tc 2
31
1. 2. 3. 4. 5. 6. 32
dx x c af(x)dx a f(x) dx, a adalah constanta a dx ax c 1 n 1 x dx n 1 x c, dengan n -1 a n 1 n ax dx n 1 x c, dengan n -1 a e x dx a ln x c, dengan ln x log x n
Tentukan Integral tak tentu berikut ini : 1.
2.
1 x( x ) dx x
3.
(1 x ) dx 3x
x (x x) dx 2
2
33
1.
x (x x) dx 2
x
1 2
(x x) dx 2
5 2
3 2
( x x ) dx
1 5 1 2
x 7 2
34
5 1 2
1 3 1 2 5 2
x
3 1 2
c
2 2 x x c 7 5 2 3 2 2 x x x x c 7 5
2.
1 2
1 2
1 x( x x ) dx x(x x ) dx 3 2
1 2
(x x ) dx
1 3 1 2
x 5 2
35
3 1 2
1 1 1 2 3 2
x
1 1 2
c
2 2 x x c 5 3 2 2 2 x x x x c 5 3
(1 x ) (1 2 x x) dx 1 3 x dx x3 2
3.
(1 2 x x) x (x 36
1 1 1 3
1 3
x
1 6
1 3
dx
2 3
2x x ) dx 1 1 3
2 1 1 6
x
1 1 6
1 2 1 3
x
2 1 3
c
2 3
7 6
5 3
3 12 3 x x x c 2 7 5
37
1. 2.
38
Tentukan F(x), jika F' (x) x 5dan F(2) 11 d2y Diberikan y f(x) dan 2 24 x. Bila x 0, y 0 dx dan x 1, dan y 3 carilah hubungan antara x dan y
F(x) x dx 5
39
1 6 F(x) x c 6 1 6 F(2) (2) c 11 6 4 11 10 c 6 2 1 c 6 3 1 6 1 F(x) x 6 3
d2y dy d2y 2 24 x 2 dx 24 x dx 12x c1 2 dx dx dx dy 2 y dx (12x c1 ) dx dx y 4x 3 c1 x c 2 x 0 dan y 0 0 0 0 c 2 c 2 0 x 1 dan y 3 3 4.13 c1.1 c 2 3 4 c1 0 c1 - 1 40
Jadi y 4x 3 - x
Sebuah kurva melalui titik (0,4) dan gradien garis dy 2 singgung kurva itu 3x , carilah persamaan dx kurva tersebut
41
dy dy 2 3x y dx dx dx y 3x dx 2
y x c, Kurva melalui (0,4) 3
40 c c4 3
Jadi persamaan kurva adalah y x 4 3
42
Sebuah partikel mulai bergerak dari keadaan diam (kecepatan awal 0) pada titik x 10 dan bergerak sepanjang sumbu xdengan fungsi percepatana(t) 12t Tentukan formula untuk fungsi posisi x(t)!
43
d2x a(t) 12t dengan v(0) 0 2 dt v(t) a(t)dt 12t dt 6t 2 c
1
Untuk v(0) 0, diperoleh nilai c1 , yaitu : 0 6.0 c1 c1 0 v(t) 6t 2
2
dx 2 3 v(t) x(t) v(t) dt 6t dt 2t c 2 dt Untuk x(0) 10, diperoleh nilai c 2 yaitu 10 2.03 c 2 c 2 10 44
Jadi formula fungsi posisi x(t) 2t 3 10
45
No. 1
F(x) Sin x
F’(x) Cos x
2
Cos x
-Sin2x
3
Tan x
Sec 2x
4
Cot x
-Cosec x
5
Sec x
Tan x sec x
6
Cosec x
-Cot x cosec x
1.
2. 3. 4.
5. 6. 46
cos x dx sin x dx sec x dx cosec x dx tan x.sec x dx cot x.cosec x dx 2
2
sin x c - cos x c
tan x c - cot x c sec x c
- cosec x c
No
47
F(x)
F’(x)
1
Sin(ax+b)
acos(ax+b)
2
Cos(ax+b)
-asin(ax+b)
3
tan(ax+b)
asec 2(ax+b)
4
Cot(ax+b)
2 -acosec (ax+b)
5
Sec(ax+b)
atan(ax+b).sec(ax+b)
6
Cosec(ax+b)
-acot(ax+b).cosec(ax+b)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 48
1 cos(ax b) dx a sin(ax b) c 1 sin(ax b) dx - a cos(ax b) c 1 2 sec (ax b) dx a tan(ax b) c 1 2 cosec (ax b) dx a cot(ax b) c 1 tan(ax b).sec(ax b) dx a sec(ax b) c 1 cot(ax b).cosec(ax b) dx acosec(ax b) c
1 1. Sin α Cos β Sin α β Sin α β 2 1 2. Cos α Sinβ Sin α β Sin α β 2 1 3. Cos α Cos β Sin α β Cosα β 2 1 4. Sin α Sin β - Cosα β Cosα β 2 49
Tentukan integral - integral tak tentu berikut : 1. 2. 3. 4. 5. 50
6.
2 (tan x 4)dx
(sin x - cos x) dx (tan x sec x) dx (sin 4x cos 4x) dx sin x dx cos 3x dx 2
2
2
2
1.
(tan x 4 ) dx diubah menjadi 2
(tan x 1 ) 3 dx (sec x 3)dx 2
sec x dx 3 dx 2
tan x 3x c
51
2
2.
(sin x cos x) dx diubah menjadi 2
(1- sin2x) dx dx - sin 2x dx
52
1 x - (- cos2x) c 2 1 x cos2x c 2
3.
(tan x sec x) dx disederhanakan menjadi : (2 sec x 2 tan x. sec x 1) dx 2 sec x dx 2 tan x.secx dx - dx 2
2
2
2 tan x 2 sec x - x c
53
4.
(sin 4x cos 4x)dx diubahke rumus1 sudut rangkap 1 (sin 4x cos 4x)dx 2 (sin 8 x) dx 1 sin 8x dx 2 1 1 (- cos 8x) c 2 8 1 - cos8x c 16
54
5.
55
sin
2
x dx diubah menjadi
1 1 1 2 (1- cos 2x) dx ( 2 2 cos 2 x)dx 1 1 dx - cos2x dx 2 2 1 1 1 x - ( sin2x) c 2 2 2 1 1 x - sin2x c 2 4
6.
cos
2
3x dx diubah menjadi
1 1 1 (1 cos 6x) dx dx (cos 6x) dx 2 2 2 1 1 1 x ( sin 6x) c 2 2 6 1 1 x sin 6x c 2 12 56
b
Simbol f(x) dx disebut Integral tentu fungsi f(x), a
dari x a sampai x b. 1. Fungsi f(x) disebut integran 2. a dan b masing - masing disebut batas bawah dan batas atas dari integrasi( Pengintegr alan). Jadi jika f(x) kontinu pada interval a x b 57
dan F(x) adalah suatu anti turunan dari f(x) maka integral tentu ditentukan oleh :
b
f(x) dx F(x) F(b) F(a) b a
a
RUMUS DASAR INTEGRAL TENTU
58
a
1.
f(x) dx 0 a
2. 3. 4. 5.
b
a
a
b
f(x) dx - f(x) dx b
b
a
a
c f(x) dx c f(x)dx, dengan c adalah konstanta real b
b
b
a
a
a
f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx b
c
b
a
a
c
f(x) dx f(x) dx f(x) dx, untuk a c b u
6. 59
d Bila F(u) f(x) dx, maka F(u) f(u) du a
Hitunglah nilai setiap integral tentu dibawah ini 3
a. b.
2x dx
c.
(2x
1
-1
4
0
(4x 3) dx 1
60
2
d.
(6x -1
3
1)dx
2
x - 2) dx
3
a.
1
2
1
(4x 3) dx 2x 4
b.
3
2x dx x
2 3 1
2
-1 8 2
4
3x 1
2(4) 3(4) - 2(1) 3(1) 2
32 12 - 2 3 44 - 5 39 61
2
2
c.
(2x -1
3
1)dx
1 2 1 2
2
x x 1 4
(2)
4
2
1 2
8 2 - 12 1 10 12 10 12
62
(1) 1 4
0
d.
(6x
2
-1
0
x - 2) dx 2x x 2 x 1 3
1 2
2
2(0)3 12 (0) 2 2(0) - 2(-1)3 12 (1) 2 2(1) 0 - - 2 12 2 1 2
63
Hitunglah
a.
Cos x dx
2
2
b. 64
Sin x dx 0
a.
Cos x dx sin x 2
2
65
sin π - sin 0 -1 -1
π 2
Sin x dx Cos x 0 2
b.
0
π 2
Cos
π 2
- - Cos 0
0 1 1 66
Tentukan nilai p yang memenuhisetiap persamaan berikut ini : p
a.
0
1 dx 4 x
p
b.
(x 2
67
3
16x) dx 36
p
a.
0
p
1 dx 4 x x 0
1 2
dx 4
4 2 p 2 0 4 2 x
p
0
2 p 4 p 2 p 2 4 2
68
p
(x
3
b.
2
16x) dx 36
- 36 8p .2 8.2 36
1 4
x 4 8x 2
1 4
p4
p 2
2
1 4
4
2
p 8p (4 32) 36 4
1 4
2
p 8p 64 0 4
1 4
2
p 4 32p 256 0 (p 16)(p 16) 0 2
69
p4
2
1. 2. 3.
70
f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx f(x) g(x)dx f(x)dx - g(x)dx a f(x) dx a f(x) dx
1. 2. 3. 4. 5. 6. 71
dx x c af(x)dx a f(x) dx, a adalah constanta a dx ax c 1 n 1 x dx n 1 x c, dengan n -1 a n 1 n ax dx n 1 x c, dengan n -1 a e x dx a ln x c, dengan ln x log x n
72
No. 1
F(x) Sin x
F’(x) Cos x
2
Cos x
-Sin2x
3
Tan x
Sec 2x
4
Cot x
-Cosec x
5
Sec x
Tan x sec x
6
Cosec x
-Cot x cosec x
1.
2. 3. 4.
5. 6. 73
cos x dx sin x dx sec x dx cosec x dx tan x.sec x dx cot x.cosec x dx 2
2
sin x c - cos x c
tan x c - cot x c sec x c - cosec x c
No
74
F(x)
F’(x)
1
Sin(ax+b)
acos(ax+b)
2
Cos(ax+b)
-asin(ax+b)
3
tan(ax+b)
asec 2(ax+b)
4
Cot(ax+b)
2 -acosec (ax+b)
5
Sec(ax+b)
atan(ax+b).sec(ax+b)
6
Cosec(ax+b)
-acot(ax+b).cosec(ax+b)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 75
1 cos(ax b) dx a sin(ax b) c 1 sin(ax b) dx - a cos(ax b) c 1 2 sec (ax b) dx a tan(ax b) c 1 2 cosec (ax b) dx a cot(ax b) c 1 tan(ax b).sec(ax b) dx a sec(ax b) c 1 cot(ax b).cosec(ax b) dx acosec(ax b) c
1 1. Sin α Cos β Sin α β Sin α β 2 1 2. Cos α Sinβ Sin α β Sin α β 2 1 3. Cos α Cos β Sin α β Cosα β 2 1 4. Sin α Sin β - Cos α β Cos α β 2 76
77
a.
Integral tak tentu
b.
Integral tertentu
c.
Integral Parsial
Contoh - contoh soal bentuk Integral dengan substitusi Aljabar dan Trigonomet ri A. Contoh bentuk soal substitusi Aljabar 1.
78
3 2
t ( t 5) dx 3
1 2
2.
2 3 x ( x 9) dx
3.
x
2x 1 dx
B. Contoh bentuk soal substitusiTrigonometri
79
1.
x Sin (3 x ) dx
2.
Cos x Sin x dx
3.
Cos 2x 4 Sin 2x dx
2
10
Carilah : 9(x 3x 5) (2 x 3) dx 2
8
Jawab: Misalkan u x 2 3x 5 du 2x 3 dx du (2x 3) dx Maka 9(x 2 3x 5)8 (2 x 3) dx menjadi
9u du 8
80
9
9u 9 c u c 9 2 9 (x 3x 5 ) c
81
Selesaikanlah
(2x 1) dx 7
Jawab:
82
du Misalkan u 2x 1 2 dx 1 dx du 2 7 7 1 (2x 1) dx Menjadi u . du 2
1 7 1 1 8 u du .( ). u c 2 2 8 1 8 u c 16 1 8 (2 x 1) c 16 83
Tentukanlah :
84
3x 7 dx
du Misalkan : u 3x 7 3 dx du dx 3 du maka 3x 7 dx u . 3 1 du u2. 3 1 12 u .du 85 3
3 2
1u 3 c 3 2
86
1 2 32 . .u c 3 3 2 (3x 7) 3x 7 c 9
Carilah
x(4x 5) dx 3
Jawab: 1 Misalkan u 4x - 5 x (u 5) 4 dx 1 du maka dx du 4 4 1 3 3 du x(4x 5) dx 4 (u 5).u . 4 1 4 3 (u 5u )du 87 16
1 5 5 4 u u c 80 64 1 5 5 4 (4x - 5) (4 x 5) c 80 64 88
Carilah : Jawab: Misalkan u x 2 1 du maka du 2x dx atau dx 2x 1 x du 1 2 . u u 2x 2 du 1 2 12 . u c 2 1 89
x2 1 c
x dx x 1 2
Carilah : (4 - 2Cos θ) 3 sin θ dθ Jawab: Misalkan u 4 - 2Cos θ maka
du 2 sin θ dθ du dθ 2 sin θ
3 (4 2Cos θ ) sin θ dθ
du 1 3 u sin θ. 2 sin θ 2 u du 1 1 4 1 4 . u c u c 2 4 8 1 (4 - 2Cos θ)4 c 8 3
90
2
Hitunglah : (4x - 5)3dx 1
Jawab: du Misalkan u 4x - 5, maka du 4 dx dan dx 4 Bila x 2 u 4.2 - 5 3 Bila x 1 u 4.1- 5 -1 2
3
du (4x - 5) dx u 4 1 -1 3
3
91
1 1 4 u 4 4 -1
3
1 43 u 1 16 1 4 4 3 (1) 16 1 80 (81 1) 5 16 16
92
3
dx Hitunglah : 2 (2x 3) -1 Jawab: dx - 2 d(2x 3) -1 (2x 3)2 -1 (2x 3) 2 3
3
3
1 1 2 1 2 . 2 1 (2 x 3) 1 3
93
1 1 1 1 1 1 8 4 . 2 (2 x 3) 1 2 9 1 2 9 9
n
m
Sin x.Cos x dx Sin x Cos x 1 2
94
2
Sinus dan Cosinus Pangkat genap seperti 2
4
6
2
4
6
Sin x, Sin x, Sin x, Cos x, Cos x, Cos x dan seterusnyadirubah menjadi 1 1. Sin x (1 Cos 2x) dan 2 1 2 2. Cos x (1 Cos 2x) 2 2
95
Sinus dan Cosinus Pangkat ganjil seperti 3
5
7
3
5
7
Sin x, Sin x, Sin x, Cos x, Cos x, Cos x dan seterusnyadirubah menjadi 1. Sin x Sin x . Sin x (1 Cos x) Sin x 3
2
2
2. Cos x Cos x.Cos x (1 Sin x).Cos x 3
96
2
2
Tentukanlah :
Sin
2
3
x Cos dx
2 3 2 2 Sin x Cos x dx Sin x ( Cos x.Cosx) dx
Sin 2 x (1 Sin 2 x)Cos x dx (Sin 2 x Sin 4 x) Cos x dx Sin x Cos x dx - Sin x Cos x dx 2
4
Sin x d(sin x) - Sin x d(sin x) dx 2
97
1 1 3 5 Sin x - Sin x c 3 5
4
Selesaikanlah :
Sin
3
5x dx Sin 5x.Sin x dx 2
(1- Cos 5x).Sin 5x dx 2
Sin 5x dx - Cos 5x.Sin5x dx 2
1 1 3 - Cos 5x Cos 5x c 5 15 98
Tentukanlah :
Cos x dx 4
4 2 2 Cos x dx (Cos x ) dx 2
99
1 (1 Cos2x) dx 2 1 (1 2Cos2x Cos 2 2x)dx 4 1 1 {(1 2Cos2x (1 Cos4x)}dx 4 2 1 1 1 {(1 2Cos2x Cos4x)}dx 4 2 2
1 3 1 ( 2Cos2x Cos4x)dx 4 2 2 1 3 1 1 1 dx 2Cos 2x dx Cos 4x dx 4 2 4 4 2 3 1 1 1 dx Cos2x d(2x) . Cos4x d(4x) 8 4 4 8 3 1 1 x Sin2x Sin4x c 8 4 32 100
101
Tentukanlah : 1. 2. 3. 4. 5.
102
tan x. sec x dx cot x.cosec x dx tan x dx cot 2 x dx cosec x dx 3
2
3
4
3
4
4
INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI u u du arc sin c,dengan a 0 dan - 1 1 2 2 a a a -u 1
1.
2.
u u a 2 u 2 du - arc cos a c,dengan a 0 dan -1 a 1
3.
1 1 u a 2 u 2 du a arc tan a c, dengan a 0
103
1
Fungsi Integral Dengan a > 0
a u 2
2
a u
2
u a
2
2
2
104
Substitusi Trigonometri
u a sin θ u a tan θ u a sec θ
Tentukan Integral tak tentu berikut ini : x dx arc sin c 2 4 16 - x 1 x dx - arc cos c 2 7 49 - x 1
a.
b.
c.
dx dx 1 x x 2 9dx 9 x 2 dx 3 arc tan 3 c
105
Hitunglah Integral berikut ini :
x
dx
; a 4 maka a 2, u x maka u x 2
2
2
4 x substitusikan u 2 sin θ dan du dx 2cosθ dθ dx 2cosθ dθ x 2 4 x 2 4 sin 2θ 4 4 sin 2θ 2cosθ dθ 4 sin 2θ 4(1 sin 2θ) 106
2
2
2 cos θ dθ dθ 2 4 sin θ.2 cos θ 4 sin 2 θ 1 1 2 cosec θ dθ - cot θ c 4 4
x x 2sinθ sin θ 2 x
2
2
- 4-x c 4x
4 x2
4 - x2 cot θ x
107
Digunakan untuk Mengintegr alkan hasil kali dua fungsi Penurunan Rumus Dasar Integral Parsial d(uv) u dv vdu ( Kedua ruas diintegralkan)
d(uv) u dv vdu uv u dv vdu u dv uv - v du 108
Hitunglah Integral Parsial berikut ini 1.
x sin x dx
2.
x sin x dx
3.
x 4x 1 dx
4.
x ln x dx
109
2
1. x sin x dx Selesaikan dengan cara Tabulasi sbb :
110
Turunkan
Integralkan
X 1 0
Sin x dx -Cos x + - Sin x -
Jadi x Sin x dx - x cos x sin x c
2.
2 x sin x dx
Turunkan
Integralkan
X2 2x 2 0
Sin x dx -Cos x + - Sin x Cos x +
Jadi x sin x dx x cos x 2x sin x 2 cos x c 2
111
2
Dengan Cara Tabulasi
x 4x 1 dx
3.
Turunkan
x 1 0
112
Integralkan
4x - 1 dx 1 2 . (4 x 1) 4 x 1 4 3 + 1 1 2 2 . . (4 x 1) 4 x 1 6 4 5 -
1 1 2 x 4x 1 dx x(4x 1) 4x 1 (4x 1) 4x 1 c 6 60
4.
x ln x dx 1 Misalkan u ln x du dx x
113
1 2 dv x dx v x dx x 2 1 2 1 2 1 x ln x dx 2 x lnx 2 x . x dx 1 2 1 x lnx x dx 2 2 1 2 1 2 x lnx x c 2 4
TERIMA KASIH
