HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
Definisi • Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika • Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection
Definisi • Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. • BEM adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
Notasi Himpunan • Himpunan dinyatakan dg huruf capital misal : A, B, G • Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,..
Penyajian Himpunan 1.
Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}.
Keanggotaan Himpuan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 1. Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1 A, {a, b, c} R, a R, sedangkan {a} R , {} K
Penyajian Himpunan Contoh 2. Misalkan: P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, dan P3 = {{{a, b}}}, maka :
a P1 a P2 P1 P2 P1 P3 P2 P3
Penyajian Himpunan 2. Simbol Simbol Baku Beberapa simbol baku pada himpunan N = himpunan bilangan alami (asli) = { 1, 2, 3,... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.
Penyajian Himpunan 3. Notasi Persyaratan A = {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} contoh : A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Penyajian Himpunan 4. Diagram Venn untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn: U
A 1 3
B 2 5
7 8 6
4
Himpunan Berhingga (Finite Set) • Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) • Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) • contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set, sedangkan Z adalah infinite set.
Kardinalitas Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. (menyatakan banyaknya anggota dari himpunan) Notasi: n(A) atau A contoh : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20}, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4
Himpunan Kosong (null set) • Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 • Contoh : A ={x|x < x} , maka n(A)= 0
• Notasi : {} atau Ø • {Ø} atau {{}} bukan himpunan kosong karena ia memiliki satu elemen yaitu Ø atau {}
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U
A
B
Himpunan Bagian (Subset) Catatan : A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan adalah improper subset dari A.
Himpunan Bagian (Subset) Contoh. (i) { a, b, c} {a, b, c, d, e} (ii) { a, b, c} {a, b, c }
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku ha sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari se himpunan (dalam hal ini A ( A)). (c) Jika A B dan B C, maka A C
Himpunan Bagian (Subset) Catatan : A B tidak sama dengan A B Pada : A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c} sedangkan : A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Ekivalen Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan anggota A.. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A
Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A
B
Contoh 11. Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh (i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A B = {c,e} (ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A B = . Artinya: A // B
Operasi Terhadap Himpunan 2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh: (i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A B = { a,b,c,d,e } (ii) A = A
Operasi Terhadap Himpunan 3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 7 }, jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7}
Operasi Terhadap Himpunan 4. Selisih (difference) Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B
Contoh. (i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A – B = { a,b,e} dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
Operasi Terhadap Himpunan 5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Operasi Terhadap Himpunan TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q (iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
Operasi Terhadap Himpunan 6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
Operasi Terhadap Himpunan Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B. 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh. Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi goreng, m = mie ayam} B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es jeruk} Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh Soal Operasi Terhadap Himpunan Dari 45 siswa, diketahui 27 siswa yang menyukai IPA dan 26 siswa menyukai IPS. Siswa yang tidak menyukai keduanya ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai IPA saja dan IPS saja! Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut: n(A ∩ B) = (n(A) + n(B)) - (n(U) – n(X)) n(A ∩ B) = (27 + 26) – (45 – 5) n(A ∩ B) = 13 Maka dapat disimpulkan bahwa: Siswa yang menyukai IPA saja = 27 - 13 = 14 siswa Siswa yang menyukai IPS saja = 26 - 13 = 13 siswa
Perampatan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita akan melakukan perampatan (generalization) operasi himpunan. n
A1 A2 ... An Ai i 1 n
A1 A2 ... An Ai i 1
n
A1 A2 ... An i1 Ai n
A1 A2 ... An Ai i 1
Contoh : A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn) n
n
i 1
i 1
A ( Bi ) ( A Bi )
Hukum yang Berlaku pada Operasi Himpunan
Matur Nuwun
