HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd
Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA
08411.081
ASIH DEWI LESTARI
08411.084
DEVI BUDHI HARMINI
08411.102
FITRIYANI
08411.137
SUPRIHATIN
08411.265
PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN Tahun 2010
SUB RUANG VEKTOR Sebuah ruang vektor mungkin saja dapat berada di dalam ruang vektor lainnya. Bidangbidang yang melewati titik asal adalah ruang vektor yang terletak di dalam ruang vektor R3. Definisi 4.3 Suatu sub himpunan W dan suatu ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang terdefinisi pada V. Suatu himpunan W yang terdiri dari satu atau lebih vektor dan suatu sub ruang V disebut tertutup terhadap penjumlahan jika syarat a. pada teorema 4 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian skalar jika syarat b. berlaku. Jadi teorema 4 menyatakan bahwa W adalah sub ruang dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar. Definisi 4.4 Suatu vektor W disebut suatu kombinasi linier dari vektor-vektor v1,v2,…..vn. Jika dapat dinyatakan dalam bentuk : w = k1v1+ k2v2 +…….+ krv r Dimana k1,k2,…..kr adalah skalar. Jika r = 1 maka persamaan definisi di atas akan tereduksi menjadi w = k1v1 yaitu, w adalah kombinasi linier dari suatu vektor tunggal v1 jika w merupakan kelipatan skalar dari v1 . Merentang Jika v1,v2,….vr adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V, maka umumnya beberapa vektor pada V mungkin merupakan kombinasi linier dari v1,v2,….vr dan vektor lainnya mungkin tidak. Definisi 4.5 Jika S = { v1,v2,….vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vector V, maka sub ruang W dari V yang terdiri dari semua kombinasi linier vektor-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang oleh v1 ,v2,…….vr dan vektor-vektor v1 ,v2,….vr merentang W. Untuk menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan S = { v1,v2,….vr } dapat dituliskan : W = rentang ( S ) atau W = rentang { v1,v2,….v r }
PERTANYAAN 1.Yetik : Apa bedanya ruang vektor dan sub ruang vektor ? Jawab : Ruang vektor terdiri dari vektor-vektor sedangkan su ruang vektor adalah bagian dari ruang vektor . 2. Joko : Tunjukkan vector-vektor solusi dari suatu system linier yang homogen membentuk ruang vektor yang disebut ruang solusi ( teorema 4.5)! Jawab : Akan dibuktikan dengan menggunakan 10 aksioma ruang vector. Ax = 0 Misalkan : x1 dan x2 penyelesaian Ax1 = 0 dan Ax2 = 0 Bukti : Aksioma 1 : Akan dibuktikan x1 + x2 ∈ himpunan penyelesaian yaitu : A ( x1 + x2 ) = 0 A ( x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 =0+0 = 0 ( Terbukti ) Aksioma 2 : Akan dibuktikan x1 + x2 = x2 + x1 ( Terbukti ) Aksioma 3 : Akan dibuktikan x1 + ( x2 + x3) = ( x1 + x2 ) + x3 x1 + ( x 2 + x3 ) = x1 + x2 + x3 = ( x1 + x2 ) + x3 ( Terbukti ) Aksioma 4 : Akan dibuktikan vector nol = ( 0,0 ) dan vector x 0 + x = ( 0,0 ) + ( x1 + x2 ) = ( 0 + x1 , 0 + x2 ) = ( x1 , x2 ) = x
x + 0 = ( x1 , x2 ) + ( 0,0 ) = ( x1 + 0 , x2 + 0 ) = ( x1 , x2 ) = x ( Terbukti ) Aksioma 5 : Akan dibuktikan : Ambil x ∈ V sebarang sehingga x = ( x1 + x2 )
terdapat
-x = ( -x1 , -x2 ) Sehingga x + ( -x ) = ( x1 , x2 ) + ( -x1 , -x2 ) = ( x1 – x1 , x2 – x2 ) = ( 0,0 ) =0 ( -x ) + x = ( -x1 , -x2 ) + ( x1 , x2 ) = ( -x1 + x1 , -x2 + x2 ) = ( 0,0 ) =0 Sehingga x + (-x ) = (-x) + x = 0 ( Terbukti ) Aksioma 6 : Akan dibuktikan, jika x ∈ Hp maka kx1 juga ∈ Hp dengan k sembarang scalar A (kx ) = k (Ax ) =k.0 = 0 (Terbukti ) Aksioma 8 : Akan dibuktikan , Bukti : ( k + l ) x = ( k + l ) ( x 1 , x2 ) = ( ( k + l ) x1 , ( k + l ) x2 ) = ( kx1 +lx1 , kx2 +lx2 ) = ( kx1 , kx2 ) + ( lx1 , lx2 ) = k ( x1, x2 ) + l (x1 , x2 ) = kx + lx ( Terbukti )
Aksioma 9 : Akan dibuktikan k ( lx ) = kl ( x ) Bukti : ( kl )x = ( kl ) ( x1,x2 ) = ( kl ) x1 , ( kl ) x2 ) k ( lx ) = k ( l ( x1 , x2 ) = k ( lx1 , lx2 ) = klx1 , klx2 ( Terbukti ) Aksioma 10 : Akan dibuktikan 1x = x Bukti : 1x = 1 ( x1 , x2 ) = ( x1 , x2 ) x = ( x1 , x2 ) 1 x = x ( Terbukti ) Jadi terbukti bahwa x1 + x2 dan k x adalah Vektor Solusi. 3. Yudhi : Bagaimana cara memeriksa soal 4d halaman 160 ? Jawab : Diketahui : u = ( 1, 2, -2 ) v = ( -1, 3, 1 ) w = ( 0, 0, 0 ) Ditanya : W merupakan kombinasi linier ? Jawab : w
= k 1 u + k2 v
(0,0, 0 ) = k1 ( 1, 2, -2 ) + k2 ( -1, 3, 1 ) = k1 – k2 , 2k1+ 3k2 , -2k1 + k2 Subsitusi: k1 – k2 = 0
k1 = k2 2k1 + 3k2 = 0 2k2 + 3k2 = 0 5k2 = 0 k2 = 0 , k 1 = k Sehingga W = k1 u + k2 v dengan k1 = k2 = 0 4. Hartik : Bagaimana mencari penyelesaian dari soal 8a halaman 161 ? Jawab : Diketahui: v1 = (2, -2, 2) v2 = (2, 0, 3) v3 = ( 1, 1, 1) Misal vector sembarang b = ( b1 , b2, b3 ) pada R3 b =k1v1 + k2v2 + k3v3 dari vector-vektor v1 , v2 , v3 Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponennya menghasilkan ( b1 , b2, b3, ) = k1 ( 2, -2, 2 ) + k2 ( 2, 0,3 ) + k3 ( 1, 1, 1 ) = (2k1, -2k1, 2k1 ) + ( 2k2, 0, 3k2 ) + ( k3,k3 ,k3 ) = ( 2k1 + 2k2 + k3 , -2k1 + 0 + k3 , 2k1 + 3k2 + k3 ) Menghasilkan suatu persamaan : 2k1 + 2k2 + k3 = b1 -2k1 + 0 + k3 = b2 2k1 + 3k2 + k3 = b3 Sistem ini konsisten untuk semua nilai b 1, b2, b3 jika dan hanya jika matriks koefisiennya memiliki determinan tak nol , maka 2 −2 2
2 0 3
1 1 1
Dengan menggunakan Sarrus menghasilkan determinan : = 2.0.1 + 2.1.2 + 1.(-2).3 – 2.0.1 – 3.1.2 – 1 .(-2).2 =0+4-6–0–6+4 = 8 – 12 =-4 Karena determinan tak nol maka soal diatas merentang di R 3.
