Geometri Dimensi Dua

Geometri Dimensi Dua Materi Pelatihan Guru SMK Model Seni/Pariwisata/Bisnis Manajemen Yogyakarta, 28 November – 23 Desember 2010

Oleh Dr. Ali Mahmudi

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2010

0

Geometri Dimensi Dua

A. Pendahuluan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) yang saat ini telah diimplementasikan di sekolah seseungguhnya ruhnya adalah kurikulum berbasis kompetensi. Kurikulum Berbasis Kompetensi dapat diartikan sebagai rancangan kurikulum yang dikembangkan berdasarkan seperangkat kompetensi khusus yang harus dipelajari dan atau ditampilkan siswa. Dalam hal ini, kompetensi diartikan sebagai pengetahuan, keterampilan, dan nilai-nilai dasar yang direfleksikan dalam kebiasaan berpikir dan bertindak. Dengan demikian, kompetensi yang harus dicapai siswa merupakan kemampuan yang komprehensif, yakni meliputi aspek kognitif, afektif, dan psikomotor. Seperangkat kompetensi tersebut pada akhirnya akan menggambarkan sebuah profil kompetensi yang utuh, terukur, dan teramati. Untuk mencapai kompetensi tersebut dipilih materi-materi matematika dengan memperhatikan struktur keilmuan, tingkat kedalaman materi, serta sifat esensial materi dan keterpakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Kemampuan matematika yang dipilih dirancang sesuai dengan kemampuan dan kebutuhan siswa agar dapat berkembang secara optimal, serta memperhatikan pula perkembangan pendidikan matematika di dunia sekarang ini. Secara umum, terdapat 4 aspek matematika yang dibelajarkan di sekolah, yakni: Bilangan, Geometri dan pengukuran, Peluang dan Statistika, dan Aljabar. Pembelajaran geometeri di sekolah secara umum dimaksudkan untuk mengembangkan kemampuan bernalar siswa yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Dengan menyadari bahwa kompetensi guru untuk melaksanakan kegiatan pembelajaran matematika dengan baik, terlebih dalam penguasaan materi ajar merupakan faktor dominan penentu keberhasilan implementasi suatu kurikulum, maka usaha untuk meningkatkan kemampuan guru perlu terus dilakukan. Pada makalah ini, disajikan beberapa materi geometri dimensi dua sebagai bahan diskusi untuk menyegarkan kembali dan meningkatkan kemampuan guru dalam menguasi materi ajar geometri di SMK. Materi-materi yang diuraikan dalam makalah ini adalah sudut, bangun datar (segitiga dan segiempat serta luasnya), dan transformasi geometri.

1

B. Sudut Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang bersekutu titik pangkalnya.



A O 

B Gambar 1. Sudut Suatu sudut yang dibentuk oleh sinar garis OA dan OB dinotasikan AOB atau BOA atau O. Sinar garis OA dan OB disebut kaki-kaki sudut dan titik O disebut titik sudut. Ukuran sudut dinyatakan dengan derajat atau radian. Perhatikan Gambar 1 berikut. Ukuran AOB adalah 1º apabila panjang busur AB sama dengan keliling lingkaran. Dengan kata lain, ukuran sudut satu putaran penuh adalah 360º. Ukuran AOB adalah 1 radian apabila panjang busur AB sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu r. B α r

O

A

Gambar 2. Satuan Sudut

Hubungan antara dua satuan sudut, yaitu derajat dan radian adalah sebagai berikut. Perhatikan kembali Gambar 2 di atas.

=

º

atau 1 rad

=

º

= 57,3º

Sebaliknya dapat ditentukan bahwa

1º =

radian 2

Suatu sudut disebut sudut nol apabila kaki-kaki sudut tersebut berimpit. Sedangkan suatu sudut disebut sudut lurus apabila kaki-kaki sudut tersebut berlawanan. Dua sudut berlainan dikatakan berdampingan apabila kedua sudut tersebut memiliki titik sudut yang sama dan salah satu kaki dari kedua sudut tersebut berimpit, sedangkan kaki-kaki yang lain terletak berlainan pihak terhadap garis yang memuat kaki yang berimpit. Daerah dalam AOB (bukan sudut nol) adalah irisan antara himpunan titik-titik yang sepihak dengan A terhadap sinar garis OB dan himpunan titik-titik yang sepihak dengan B terhadap sinar garis OA. Titik-titik yang tidak terletak pada daerah dalam maupun pada AOB dikatakan terletak pada daerah luar AOB. Ukuran sudut nol adalah 0º dan ukuran sudut lurus adalah 180 º. Sudut sikusiku adalah sudut dengan ukuran 90º. Sudut lancip adalah sudut dengan ukuran lebih dari 0º tetapi kurang dari 90º. Sudut tumpul adalah sudut dengan ukuran lebih dari 90º tetapi kurang dari 180º. Dalam praktik pembelajaran, dapat diperkenalkan istilah sudut berat ke dalam (sudut refleks), yaitu sudut dengan ukuran lebih dari 180º dan kurang dari 360º, sedangkan sudut dengan ukuran 0º sampai 180º disebut sudut berat ke luar. Dua sudut berlainan disebut berpelurus apabila jumlah ukuran dua sudut tersebut adalah 180º. Bila dua sudut berlainan berpelurus, maka sudut yang satu disebut pelurus (suplemen) sudut yang lain. Dua sudut berlainan disebut membentuk pasangan linear apabila keduanya berdampingan dan kaki-kaki yang tak berimpit merupakan sinar-sinar garis yang berlawanan. Akibatnya, jika dua sudut membentuk pasangan linear, maka keduanya berpelurus. Dua sudut berlainan disebut bersisian apabila dua sudut tersebut berdampingan dan berpelurus. Dua sudut berlainan yang masing-masing bukan merupakan sudut nol ataupun sudut lurus, disebut bertolak belakang apabila kakikaki kedua sudut tersebut membentuk dua pasang sinar garis yang berlawanan. Berikut adalah beberapa sudut. 1. Jika dua sudut berlainan yang masing-masing berpelurus dengan suatu sudut yang sama, maka keduanya kongruen.

3

2. Jika dua sudut merupakan pelurus dari dua sudut lain yang kongruen, maka kedua sudut yang disebut pertama kongruen. 3. Dua sudut berpenyiku apabila jumlah ukuran kedua sudut tersebut sama dengan ukuran sudut siku-siku. Bila dua sudut berlainan berpenyiku, maka sudut yang satu disebut penyiku (komplemen) sudut yang lain. 4. Jika dua sudut berlainan yang masing-masing berpenyiku dengan suatu sudut yang sama, maka kedua sudut tersebut kongruen. 5. Jika dua sudut merupakan penyiku dari dua sudut lain yang kongruen, maka kedua sudut yang disebut pertama kongruen. 6. Jika dua sudut berlainan kongruen dan berpelurus, maka kedua sudut tersebut masing-masing adalah sudut siku-siku. 7. Jika dua sudut berlainan bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut kongruen. C. Bangun Datar 1. Segitiga Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang dibentuk oleh tiga titik yang tidak segaris yang sepasang-sepasang dihubungkan. Ketiga ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segitiga. Sudut-sudut yang terbentuk oleh pasangan-pasangan sisisisi tersebut disebut sudut-sudut segitiga; dengan titik-titik sudut ketiga titik tersebut. Misalkan tiga titik yang dimaksud adalah titik-titik A, B, dan C. Segitiga yang terbentuk dinotasikan

ABC. Sisi-sisi

ABC adalah AB, BC, AC dan

sudut-sudutnya BAC, ABC, dan ACB, dengan titik-titik sudut A, B, dan C. A

B C

Gambar 3. Segitiga

4

Berdasarkan ukuran sisi-sisinya, segitiga dapat diklasifikan sebagai berikut. a. Segitiga sama kaki, yaitu segitiga yang dua sisinya kongruen. Pada segitiga samakaki, sudut yang diapit oleh dua sisi yang kongruen disebut sudut-puncak; titik sudutnya disebut titik-puncak, dan sisi yang menghadap sudut-puncak disebut sisi-alas (base). b. Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sepasang-sepasang kongruen. Segitiga yang sisi-sisinya tidak memenuhi dua klasifikasi di atas disebut segitiga sederhana atau segitiga sembarang. Berdasarkan ukuran sudut-sudutnya, segitiga dapat diklasifikasikan sebagai berikut. a. Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. b. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. Sisi yang menghadap sudut siku-siku disebut sisi miring (hypotenuse) dan sisi-sisi yang lain disebut sisi-sisi siku-siku. c. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. d. Segitiga siku-siku samakaki adalah segitiga siku-siku yang sisi-sisi siku-sikunya kongruen. e. Segitiga tumpul samakaki adalah segitiga tumpul yang sudut tumpulnya terapit oleh dua sisi yang kongruen. 2. Segiempat Segiempat (segiempat sederhana) adalah gabungan empat ruas garis yang tertentu oleh empat titik dengan setiap tiga titik tidak segaris, yang sepasangsepasang bertemu pada ujung-ujungnya, dan setiap ruas garis bertemu dengan dua ruas garis lain yang berbeda. Ruas-ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segiempat, sudut-sudut yang terbentuk disebut sudut-sudut dalam segiempat, dengan titiktitik sudut adalah keempat titik tersebut. Suatu segiempat (segiempat sederhana) disebut konveks apabila setiap sisi segiempat tersebut berlaku bahwa seluruh segiempat tersebut terletak pada salah 5

satu setengah bidang tertutup yang tertentu oleh garis yang memuat sisi tersebut. Dalam hal ini pembahasan segiempat dibatasi pada segiempat konveks dan selanjutnya disebut segiempat. Dari suatu segiempat, pasangan sisi berhadapan adalah pasangan sisi yang tidak berpotongan; pasangan sudut berhadapan adalah pasangan sudut yang tidak memiliki sisi sekutu; pasangan sisi berdekatan adalah pasangan sisi yang memiliki titik sudut sekutu; dan pasangan sudut berdekatan adalah pasangan sudut yang memiliki sisi sekutu. Diagonal suatu segiempat adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut dari pasangan sudut berhadapan. Berikut diuraikan beberapa jenis segiempat, yaitu trapesium, jajargenjang, persegipanjang, belah ketupat, persegi, dan layang-layang. a. Trapesium Trapesium (trapezoid) adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar. Sisi-sisi yang sejajar tersebut disebut alas (base) dan pasangan sisi yang tidak sejajar disebut kaki-kaki trapesium tersebut. Terdapat tiga jenis trapezium, yaitu sebagai berikut. 1) Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang memiliki sepasang sisi kongruen. Dapat pula didefinisikan, trapesium sama kaki adalah trapesium yang kaki-kakinya kongruen. Dapat ditunjukkan bahwa kedua diagonal trapesium sama kaki saling kongruen. 2) Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang salah satu sudutnya sikusiku. 3) Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang ukuran-ukuran sisinya berbeda. b. Jajargenjang Jajargenjang (parallelogram) adalah segiempat yang sepasang-sepasang sisi yang berhadapan sejajar. Terdapat beberapa sifat jajargenjang sebagai berikut. 1) Setiap diagonal jajargenjang membentuk dua segitiga yang kongruen. 2) Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu jajargenjang sepasang-sepasang kongruen.

6

3) Sudut-sudut yang berhadapan pada suatu jajargenjang sepasangsepasang kongruen. 4) Setiap pasang sudut berdekatan pada suatu jajargenjang berpelurus. 5) Setiap diagonal suatu jajargenjang saling membagi dua sama panjang. c. Persegipanjang Persegipanjang (rectangle) adalah jajargenjang yang salah satu sudutnya siku-siku. Implikasi dari definisi ini adalah setiap sudut persegipanjang adalah siku-siku. Dapat ditunjukkan bahwa kedua diagonal persegipanjang kongruen. d. Belah Ketupat Belah ketupat (rhombus) adalah jajargenjang yang sepasang sisi yang berdekatan kongruen. Berikut adalah beberapa sifat belah ketupat. 1) Keempat sisi suatu belah ketupat sepasang-sepasang kongruen. 2) Setiap diagonal suatu belah ketupat berimpit dengan garis bagi sudutnya. 3) Kedua diagonal suatu belah ketupat tegaklurus. e. Persegi Persegi adalah persegipanjang yang sepasang sisinya yang berdekatan kongruen. Dapat pula didefinisikan, persegi adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya siku-siku. f. Layang-Layang Layang-layang adalah segiempat yang salah satu diagonalnya berimpit dengan sumbu diagonal yang lain. Jika suatu layang-layang memiliki sepasang sudut yang berdekatan berpelurus, maka layang-layang tersebut adalah belahketupat. D. Keliling dan Luas Bangun Datar Keliling bangun datar adalah jumlah ukuran sisi-sisi bangun datar tersebut Sebelum menguraikan mengenai luas bangun-bangun datar, berikut disajikan aksioma-aksioma terkait. 1. Jika dua segitiga kongruen, maka dua segitiga tersebut memiliki luas daerah yang sama.

7

2. Misalkan daerah R adalah gabungan dua daerah R1 dan R2. Jika R1 dan R2 berpotongan paling tidak pada sebanyak finit ruas garis dan titik, maka luas daerah R adalah jumlah luas R1 dan R2. Untuk selanjutnya istilah luas bangun datar dimaksudkan sebagai luas daerah bangun datar. 1. Luas Persegipanjang Luas segiempat adalah banyaknya persegi satuan yang digunakan untuk ‘menutup’ daerah segiempat tersebut. Persegi satuan adalah persegi yang ukuran sisinya adalah satu (satu satuan panjang). Dari pengertian tersebut, dapat ditentukan bahwa luas persegipanjang adalah hasil kali ukuran-ukuran sepasang sisi yang berdekatan. Salah satu sisi dari sepasang sisi berdekatan persegipanjang tersebut biasanya disebut panjang (alas) dan sisi lainnya disebut lebar (tinggi). 2. Luas Segitiga Perhatikan bahwa daerah persegipanjang dapat dipartisi menjadi dua daerah segitiga siku-siku yang kongruen. Memperhatikan hal itu, dapat ditentukan bahwa luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali ukuran-ukuran sisi-sisi sikusikunya. Selanjutnya, berdasarkan hal tersebut dapat ditentukan bahwa luas segitiga secara umum adalah setengah hasil kali ukuran suatu sisi dan ukuran garis-tinggi yang terkait dengan sisi tersebut. Khusus pada perhitungan luas, sisi yang dimaksud dalam hal ini disebut alas dan ukuran garis-tinggi yang dimaksud disebut tinggi. Berikut disajikan sifat-sifat terkait luas segitiga. a. Jika dua segitiga memiliki tinggi yang sama, maka perbandingan luas kedua segitiga tersebut sama dengan perbandingan ukuran-ukuran alasnya. b. Jika dua segitiga memiliki tinggi-tinggi yang sama dan ukuran-ukuran alas yang terkait juga sama, maka luas kedua segitiga tesebut sama. 3. Luas Jajargenjang Daerah jajargenjang dapat dipartisi menjadi daerah persegi panjang dan segitiga. Memperhatikan hal itu, dapat ditentukan bahwa luas jajargenjang adalah hasil kali ukuran sebarang sisi dan tinggi yang terkait dengan sisi tersebut. Dalam 8

hal ini, tinggi jajargenjang adalah jarak sepasang sisi yang berhadapan. Perhatikan bahwa jajar genjang memiliki dua tinggi. 4. Luas Trapesium Sebagaimana jajargenjang, daerah trapesium juga dapat dipartisi menjadi daerah persegi panjang dan daerah segitiga. Memperhatikan hal tersebut dapat ditentukan bahwa luas trapesium adalah setengah hasil kali tinggi dan jumlah ukuran alas-alasnya. Tinggi trapesium adalah jarak antara garis-garis yang memuat alas-alasnya. 5. Luas Belah Ketupat dan Layang-Layang Luas belah ketupat dan layang-layang adalah setengah hasil kali diagonaldiagonalnya. E. Penutup Uraian pada makalah ini dimaksudkan sebagai bahan diskusi. Segala bukti dari teorema-teorema/dalil yang dibahas dalam makalah ini sengaja tidak disertakan secara lengkap dan detail dengan maksud untuk dijadikan bahan latihan peserta yang akan dibahas pada saat pelatihan dengan melibatkan aktivitas peserta pelatihan. Dengan cara demikian, diharapkan pelatihan lebih bermakna bagi peserta. F. Daftar Pustaka Barnet Rich dan Philip A. Schnidt. 1999. Geometry. USA: McGraw-Hill Companies. Kenneth J. Travers, LeRoy C. Dolton, dan Katherine P. Layton. 1987. Geometry. Illinois USA: Laidlaw Brothers Publisher. Mervin L. Keedy, Richard E Jameson, Stanley A. Smith, dan Eugine Mould. 1967. Exploring Geometry. Newyork: Holt, Renehart & Winston. Inc.

9