Garis Singgung Lingkaran

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 8

Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran.

Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini?

Sumber: www.google.co.id

Gambar Gambar 8.1 lingkaran menyinggung suatu daerah datar Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan

garis singgung lingkaran bergradien , persamaan garis singgung melalui titik , pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik , di luar lingkaran.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Masalah 8.1 Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini.

Gambar Gambar 8.2 lingkaran dengan pusat , jarijari-jari dan Menyinggung garis Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut?

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di , dan , bergradien .. Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di

(0,0) dan , bergradien lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.

Gambar Gambar 8.3 8.3 lingkaran dengan pusat , jarijari-jari dan sebuah garis di luarnya


2


Kegiatan 8.1. Gradien garis singgung diketahui dan dan lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya: 1.

potonglah antara lingkaran + = dan garis = + sebagai berikut.

2. 3.

4.

+ = dipotongkan = + Subsitusikan garis = + ke persamaan lingkaran + =

sehingga diperoleh: + + = + + 2 + = …(12) 1 + + 2 + − = 0 Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .

Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12) mempunyai nilai:

• Diskriminan % positif atau % > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong lingkaran + = pada dua titik.

• % < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = + tidak memotong lingkaran + = atau garis =

berada di luar lingkaran.

• % = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = 5.

+ menyinggung lingkaran + = pada suatu titik.

Agar garis = + menyinggung lingkaran + = , maka ambil % = 0, yaitu:

2 − 41 + − = 0 4 − 4 + 4 − 4 + 4 = 0 −4 + 4 + 4 = 0 −4 − − = 0 − 1 + = 0

= ±*1 + Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran + = dengan

gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu:

+ = , + *- + . /0 + = , − *- + .

…(13)

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di

tentukan persamaan garis singgung lingkaran − + − = dengan

gradien . Geser titik pusat lingkaran 10, 0 ke titik , .


3


Akibatnya persamaan garis singgung = + √1 + bergeser menjadi

− = − + √1 + atau = − + − √1 + ) Dan

persamaan

garis

− = − − √1 + Sehingga

= − √1 +

bergeser

atau = − + − √1 +

persamaan

− + − =

singgung

garis

singgung

.

pada

menjadi lingkaran

dengan gradien atau yang sejajar dengan garis

= + memiliki dua buah garis singgung yaitu:

+ − = , − + *- + . /0 + − = , − − *- + .

…(14)

B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ,- , +- Pada Lingkaran yang berpusat di , dan ,

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan , yang melalui titik , lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Kegiatan 8.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) 1. 2.

3.

Misalkan persamaan lingkaran + = dan titik 3 , dan 4 ,

yang terletak pada lingkaran. Sehingga persamaan garis BC adalah + − +, − ,+. − +…(15) , − ,- = 5657 + − +- = +. − +- ,. − ,,. − ,Karena titik 3 , dan 4 , berada pada lingkaran maka berlaku persamaan berikut

+ = dan + = Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan

atau

− + − = 0 → − = −

− = − − − + = − − + +. 9+,. 9,-

4.

, :,

= − +. :+.

-

…(16)

Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh: y − y =

<= 9<> ?= 9?>

x − x

A − A- = −

B. + B B − B - A. + A-

…(17)


4


5.

Apabila titik 4 , bergerak mendekati titik 3 , , sehingga titik

4 , dan 3 , berimpit, dan garis 34 akan menjadi garis singgung lingkaran di titik 3 , , akibatnya = dan = .

Sehingga persamaan (18) menjadi: x + x x − x y − y = − y + y 2x x − x y − y = − kalikan semuanya dengan 2y − = − + + = + + = Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik 3 , pada lingkaran + = adalah:

,,- + ++- = .

…(18)

Perhatikan perubahan persamaan lingkaran + = menjadi:

+ = kita menggunakan kaidah membagi adil.

Kaidah Membagi Adil: Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

yang melalui titik , . Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut: diubah menjadi

diubah menjadi − H diubah menjadi − H − H

− 3 diubah menjadi − 3 − 3

diubah menjadi +

diubah menjadi +

Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran

10, 0 ke , seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.


5


Gambar 8.4 8.4 Tranlasi (0,0) ke (a,b) Maka persamaan garis singgung + = atau − 0 − 0 + − 0 − 0 = berubah menjadi: − − + − − = Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran − + − = dengan titik singgung , adalah:

,- − , − + +- − + − = .

…(19)

Dengan menggunakan Kaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik , pada lingkaran adalah:

+ + H + 3 + 4 = 0

,- , + +- + +

.

I, + ,- +

.

J+ + +- + K =

…(20)

C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ,- , +- di Luar Lingkaran Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik ,

di luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda.

Kegiatan 8.3 8.3. .3. Menentukan Kuasa Titik L,- , +- Terhadap Lingkaran

,. + +. = . Jika titik , terletak di luar lingkaran yang berpusat di 10, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:


6


Gambar 8.5 8.5 Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung yang melalui titik M , tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah: 1. 2.

Titik M , berada di luar lingkaran + = .

Dari titik M dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu N dan O. Garis N menyinggung lingkaran di PQ , Q ; garis O menyinggung lingkaran di R , . Jadi, titik M merupakan titik potong garis singgung O

3.

dan N.

Tentukan persamaan garis singgung MR dengan menggunakan persamaan

garis singgung yang melalui titik yaitu + = . Titik M , pada

MR, sehingga diperoleh + = . Itu berarti 3 , pada garis

4.

5.

+ = ….(1)

Tentukan persamaan garis singgung MP dengan menggunakan persamaan

garis singgung diperoleh Q + Q = . Itu berarti 4Q , Q pada persamaan + = ….(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis RP (garis

penghubung antara titik R dan P) yaitu + = , yang juga di sebut

garis kutub atau garis polar dari titik H , terhadap lingkaran +

= adalah

,- , + +- + = .

…(21)

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1.

Persamaan garis kutub (polar) dari titik M , terhadap lingkaran − + − = adalah

,- − , − + +- − + − = .

…(22)


7


2.

Persamaan garis kutub (polar) dari titik M , terhadap lingkaran + + 2H + 23 + 4 = 0 adalah

,- , + +- + + I,- + I, + J+- + J+ + K =

…(23)

Kegiatan 8.4. 8.4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik L,- , +- di luar lingkaran baik yang berpusat di , maupun yang berpusat di L, diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. 2. 3.

Membuat garis kutub (polar) dari titik M terhadap lingkaran.

Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut.

D. Kuasa Lingkaran Masalah 8.2 8.2 Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula. Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya. Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:


8


Gambar 8.6 8.6 titik pada garis sisi lapangan E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran Definisi 2.1:

Misalkan persamaan lingkaran S, = + = dan titik T , . Kuasa titik T , terhadap lingkaran S adalah suatu konstanta dengan = S , = + − . Ada tiga jenis kemungkinan nilai , yaitu: • • •

> 0, berarti titik T , di luar lingkaran S ≡ + = = 0, berarti titik T , pada lingkaran S ≡ + =

< 0, berarti titik T , di dalam lingkaran S ≡ + = Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap

lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 8.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran 1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat M, jari-jari , satu titik diluar

lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.


9


Gambar 8.7 8.7 Titik di Luar Lingkaran 2.

Pada gambar di atas dapat dilihat melalui titik V dapat ditarik banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan

menyinggung lingkaran dititik R dan P.

Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa: |VH ||VH| = |V3 ||V3| = |V4 ||V4| = |VP| = |VR| = |VM| − . Maka hasil

kali ini disebut kuasa titik V terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik V terhadap lingkaran tersebut. Misalkan V , dan

persamaan lingkaran adalah + + H + 3 + 4 = 0 dengan pusat

M X− H, − 3Ydan kuadrat jari-jarinya adalah = Z H + Z 3 − 4.

Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah |V4 ||V4| = |VM| − |VM| + = |VM| − 1 1 = [ + H\ + [ + 3\ − 2 2 = + + H + 3 + 4 Jadi, kuasa titik V , pada lingkaran adalah + + H + 3 + 4 = 0

adalah + + H + 3 + 4. Kuasa suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran. Jika persamaan lingkaran dalam bentuk S ≡ − + − = ,

maka kuasa titik V , terhadap S adalah:

^ = ,- − . + +- − . − .

…(24)


10


F.

Garis Kuasa Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgunggaris singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut.

Gambarkan dua lingkaran S dan S yang masing-masing berpusat di 1

dan 1. Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik H dan 3.

Gambar 8.8. .8. perpotongan antara dua lingkaran 1 1 adalah sentral ke dua lingkaran. Garis 1 H (atau garis N) adalah garis

singgung lingkaran S dan garis 1 H (atau garis N ) adalah garis singgung

lingkaran S . Misalkan _ adalah sudut antara S dan S (yaitu sudut yang

dibentuk oleh perpotongan garis singgung 1 H dan 1 H).

G. Titik Kuasa Kuasa Misalkan T , T , TQ adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini. Dilambangkan dengan:

T − T = 0 T = T = TQ atau `T − TQ = 0 T − TQ = 0


11


Gambar 8.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.

Rangkuman 1.

Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan

gradien m dititik pusat O(0,0) adalah 2.

+ = , + √- + . dan + = , − √- + .

Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran + =

dengan gradien m dititik (a,b) adalah

+ − = , − + √- + . dan + − = , − − √- + .

3.

Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik , yang

berpusat di O(0,0) adalah 4.

5.

6.

,- , + +- + = . Persamaan garis singgung lingkaran − + − = di titik , yang berpusat di (a,b) adalah ,- − , − + +- − + − = . Persamaan garis singgung lingkaran + + H + 3 + 4 = 0 di titik , yang berpusat di (a,b) adalah ,- , + +- + + I, + ,- + J+ + +- + K = . . Lingkaran dengan pusat M membagi dua lingkaran M , maka ∆M M H sikusiku, sehingga |L- L. |. = - . − . . .


12

Garis Singgung Lingkaran

Recommend Documents