GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

7

Pernahkah kalian memerhatikan sebuah kerekan atau katrol? Gambar di samping adalah alat pada abad ke-18 yang memperagakan daya angkat sebuah kerekan yang prinsip kerjanya menggunakan katrol. Pada alat di samping terdapat beberapa katrol yang masing-masing dihubungkan oleh tali. Perhatikan bahwa masing-masing tali menyinggung bagian dari katrol, yang bagian bawahnya dihubungkan dengan sebuah pemberat. Dapatkah kalian menentukan panjang tali yang menyinggung tiap katrol tersebut? Sumber: Jendela Iptek, 2001

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat; dapat mengenali garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; dapat melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.

Kata-Kata Kunci: sifat garis singgung lingkaran garis singgung persekutuan dalam garis singgung persekutuan luar lingkaran dalam segitiga lingkaran luar segitiga

Sebelum kalian mempelajari materi pada bab berikut, coba kalian ingat kembali materi mengenai segitiga, garis-garis pada segitiga, teorema Pythagoras, dan lingkaran. Materi tersebut akan memudahkan kalian dalam mempelajari materi pada bab ini. A.

k

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran k1

D F k2 k3 H

A

MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN

B

O

C E

G

Gambar 7.1

k B B'

O

A Gambar 7.2

Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar 7.1 di samping. Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka – pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB. – pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB. – pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung lingkaran di B). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran. Sekarang perhatikan Gambar 7.2. Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB′ yang lebih kecil dari busur AB maka kita peroleh ∆ OAB′ sama kaki. (Mengapa?)

1 ∠ OAB′ = ∠ OB′A = × (180° − ∠ AOB′ ). 2 Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi maka ∠ OAB′ = ∠OB′A akan makin besar dan ∠ AOB′ makin kecil. Pada suatu saat garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B′ berimpit dengan titik A dan saat itu berlaku

1 ∠ OAB′ = ∠OB′A = × (180° − ∠AOB′ ) 2 1 = × (180° × 0° ) 2 = 90° Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung k di titik A. 170

Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.3. Pada Gambar 7.3 di samping tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran. Karena garis k ⊥ OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut besarnya 90o. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90o.

k

O

A

Gambar 7.3

2. Melalui Suatu Titik pada Lingkaran Hanya Dapat Dibuat Satu Garis Singgung pada Lingkaran Tersebut Perhatikan Gambar 7.4. g

B

l2

D A1

A2

O

A

k2 k1

E

l1

C Gambar 7.4

Pada Gambar 7.4 di atas, garis k1 dan k2 adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran di titik B dan C. Apabila titik A digeser ke A1 maka garis k1 dan k2 akan bergeser sehingga menjadi garis l1 dan l2 yang menyinggung lingkaran di titik D dan E. Apabila titik A1 digeser ke A2 tepat pada keliling lingkaran maka garis l1 dan l2 bergeser dan saling berimpit menjadi garis g. Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran. Apakah garis g ⊥ OA2?

(Menumbuhkan kreativitas) Amati lingkungan di sekitarmu. Carilah benda-benda yang menggunakan prinsip garis singgung lingkaran. Ceritakan hasil temuanmu secara singkat di depan kelas.

Garis Singgung Lingkaran

171

B.

MELUKIS DAN MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Untuk melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran dan di luar lingkaran, perhatikan uraian berikut ini. 1. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran O

A

Gambar 7.5

Salinlah Gambar 7.5 di samping. Kemudian lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A pada lingkaran di samping. Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, langkahlangkahnya sebagai berikut. a. Lukis jari-jari OA dan perpanjangannya.

A

O Gambar 7.6

b. Lukis busur lingkaran berpusat di A sehingga memotong garis OA dan perpanjangannya di titik B dan C.

O B

C

A

Gambar 7.7

c. Lukis busur lingkaran berpusat di titik B dan C sehingga saling berpotongan di titik D dan E. Hubungkan titik D dan E. Garis DE adalah garis singgung lingkaran di titik A. D O B

A E

D C

O B

A E

C

Gambar 7.8

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.

172


2. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran Lukislah sebuah lingkaran dengan titik pusat di O dan titik A berada di luar lingkaran. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Langkah-langkah melukis garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran sebagai berikut. a. Lukislah lingkaran titik pusat di O dan titik A di luar lingkaran. b. Hubungkan titik O dan A. c. Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik O dan titik A sehingga saling berpotongan di titik B dan titik C. d. Hubungkan BC sehingga memotong garis OA di titik D. e. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Namailah dengan titik E dan F. f. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. B

A

O

O

A

O

A C

(a)

(b)

(c)

E

B D O

A C

(d)

O F

E

B D C

(e)

A

O F

B D C

A

(f)

Gambar 7.9

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. 3. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai teorema Pythagoras. Untuk menentukan panjang garis singgung lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema ini.


173

B

O Gambar 7.10

Perhatikan uraian berikut. Pada Gambar 7.10 di samping, lingkaran berpusat di titik O A dengan jari-jari OB dan OB ⊥ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku

OB2 + AB2 = OA 2 AB2 = OA 2 − OB2 AB = OA 2 − OB2 Panjang garis singgung lingkaran (AB) =

Penyelesaian: a. Sketsa B

5 cm

Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka a. gambarlah sketsanya; b. tentukan panjang garis singgung AB.

OA 2 − OB2 .

O

13 cm

A

b. AB = OA 2 − OB2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12

Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm. 4. Layang-Layang Garis Singgung Perhatikan Gambar 7.11. A

P

O

B Gambar 7.11

174


Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian ∠ OAP = ∠ OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur. Perhatikan ∆ OAB. Pada ∆ OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga ∆ OAB adalah segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan ∆ ABP. Pada ∆ ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ∆ ABP adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layanglayang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garis singgung. a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layanglayang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

A P

O B

Gambar 7.12

Perhatikan gambar di atas. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah

Penyelesaian: Perhatikan ∆ OAP. a. ∆ OAP siku-siku di titik A, sehingga

AP 2 = OP 2 − OA 2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144 AP = 144 = 12 cm


175

a. panjang AP; b. luas ∆ OAP; c. luas layang-layang OAPB; d. panjang tali busur AB.

1 b. Luas ∆ OAP = × OA × AP 2 1 = × 9 × 12 2 = 54 cm 2 c. Luas layang-layang OAPB = 2 × luas ∆ OAP = 2 × 54

= 108 cm2 1 d. Luas layang-layang OAPB = × OP × AB 2 1 108 = × 15 × AB 2 108 × 2 AB = 15 = 14, 4 cm

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. m l

1.

k

4. Berdasarkan keterangan pada gambar berikut, hitunglah panjang setiap garis singgung lingkarannya. a. 5 cm

Q

176


P

b. O

26 cm

10 cm

Dari garis-garis k, l, m, n, dan p pada gambar di atas, manakah yang merupakan garis singgung lingkaran? 2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dengan jari-jari 5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A(0, 5). 3. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P(3, 2) dan jari-jari 4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik Q(–1, 2).

7 cm

B

A Q

c. 12 c m

p

O

n

O

20 cm

P

a. panjang garis singgung AB; b. luas layang-layang OBAC; c. panjang tali busur BC.

B

5. O

A C

Pada gambar di atas, garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Jika OB = 10 cm dan OA = 26 cm maka tentukan

C.

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. (i) L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat). (ii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris. (iii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = 12 R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam. (iv) L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. (v) L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. (vi) L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar. (vii) L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah. L1 P

L2 Q

r < PQ < R

(iv)

L1 P

L2 Q

r < PQ < R + r

(v)

L1 P PQ = R + r

(vi)

L2 Q

R

(i) L1

L2 r P,Q PQ = 0

(ii)

L1

L2 PQ

PQ < r < R (iii)

L1 P

L2 Q

1 PQ = r = 2 R L1 P

L2 Q

PQ > R + r

(vii)

Gambar 7.13


177

(Menumbuhkan kreativitas) Ambillah dua buah koin yang berbeda ukuran. Peragakanlah kedudukan dua buah lingkaran seperti pada Gambar 7.10. Ceritakan secara singkat di depan kelas.

Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut. (i) Pada Gambar 7.14 kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan. (ii) Pada Gambar 7.15 kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. (iii) Pada Gambar 7.16 kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.

Gambar 7.14

Gambar 7.15

Gambar 7.16

(iv) Pada Gambar 7.17 kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. (v) Pada Gambar 7.19 kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

Gambar 7.17

D.

Gambar 7.18

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Pada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. Sekarang, kalian akan mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini. 178


1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran sebagai berikut. (a) Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Selanjutnya, hubungkan titik P dan Q. (b) Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S. (c) Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T. (d) Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT. (e) Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V. (f) Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C. (g) Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D. (h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2.

(a) S

Q

P R (b) S

P

T

Q

R (c)

S

S

rQ

P R

S

V

V C

P

P

Q

T

Q

T

P

T

A U

U R (e)

R (d)

R (f) S

S V

V

C

B

P

T

A

B

C Q

P

D

D

U

Gambar 7.19

Q

T

A

U R (g)

Q

R (h) Garis Singgung Lingkaran

179

2. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema Pythagoras. S A R

L1 P

L2 Q r

d p B Gambar 7.20

Pada Gambar 7.20 di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R; jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r; panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p. Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90o (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠ PSQ = ∠ PAB = 90o. Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∆ PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

QS2 = PQ2 − PS2 QS = PQ2 − PS2 QS = PQ2 − ( R + r )

2

Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

d=

180

p2 − ( R + r )


2

A 15 cm cm

M

5

cm

N

4

B

Gambar 7.21

Pada gambar di atas, panjang jari-jari MA = 5 cm, panjang jari-jari NB = 4 cm, dan panjang MN = 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Penyelesaian: Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB.

AB = MN 2 − ( MA + NB )

2

= 152 − (5 + 4 )

2

= 225 − 81 = 144 = 12 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.

3. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sebagai berikut. (a) Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q. (b) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S. (c) Hubungkan RS sehingga memotong PQ di titik T. (d) Lukis busur lingkaran dengan pusat di T dan berjari-jari PT. (e) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V. (f) Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C. (g) Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D. (h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2.

rQ

P R (a) S

Q

P


R (b)

181

S

R

S V

T

P

P

Q R

C

R

U

U S (e)

C

R

D

V Q

T

P U

S

A

Q

T

(d)

V P

P

R

(c)

C

Q

T

Q

T

B

S

A

(f)

V P U A

(g)

S

D Q

T R

B

(h)

Gambar 7.22

4. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Kalian telah mempelajari cara melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Sekarang, kalian akan menentukan panjang garis singgung persekutuan luar tersebut. Perhatikan Gambar 7.23. A R

S P L1

d

B r p

Q

L2

Gambar 7.23

Dari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R; jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r; panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p. Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90o (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠ PSQ = ∠ PAB = 90o. 182


∆ PQS siku-siku di S, sehingga berlaku QS2 =PQ2 − PS2 QS = PQ2 − PS2 QS = PQ2 − (R − r ) 2 Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

d=

p2 − ( R − r )

2

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran

1 cm, hitunglah panjang 2 jari-jari lingkaran yang lain. 3

Penyelesaian: Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm, maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka p = 13. Panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5. Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga

d=

p2 − (R − r )

2

12 = 132 − ( R − 3,5 )

2

122 = 132 − ( R − 3,5 )

2

144 = 169 − ( R − 3,5 )

2

( R − 3,5)

2

= 25

R − 3,5 = 25 R − 3,5 = 5 R = 5 + 3,5 = 8,5 cm


183

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. A

1.

Q

P

A

3.

B

P

O

D

C

Perhatikan gambar di atas. Berdasarkan gambar tersebut, benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut? a. AB sejajar PQ b. AP ⊥ PQ c. AB = CD d. AB = PQ e. AP ⊥ AB di titik A 2. Panjang jari-jari dua lingkaran masingmasing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah a. panjang garis singgung persekutuan dalam; b. panjang garis singgung persekutuan luarnya.

E.

B

C

D

Perhatikan gambar di atas. Panjang jari-jari lingkaran yang berpusat di O adalah 9 cm dan panjang jari-jari lingkaran yang berpusat di P adalah 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm, tentukan a. jarak kedua pusat lingkaran; b. luas segi empat yang diarsir. 4. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. 5. Panjang jari-jari dua buah lingkaran yang berpusat di O dan P masing-masing adalah 8 cm dan 4 cm. Jarak kedua titik pusatnya 20 cm. a. Lukislah garis singgung persekutuan dalamnya. b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam tersebut.

MENENTUKAN PANJANG SABUK LILITAN MINIMAL YANG MENGHUBUNGKAN DUA LINGKARAN

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong 184


dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kalian akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan.

Penyelesaian: H

G C

I

7

A Gambar 7.24

Gambar 7.24 di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.

(Menumbuhkan inovasi) Amatilah lingkungan di sekitarmu. Temukan pemanfaatan sabuk lilitan minimal pada benda-benda di sekitarmu. Lalu, hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang digunakan untuk mengikat benda-benda tersebut. Tulislah hasilnya dalam bentuk laporan dan serahkan kepada gurumu.

D

F

7

B E

Gambar 7.25

Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada Gambar 7.25, sehingga diperoleh panjang DE = FG = HI = AB = AC = BC = 2 × jari-jari = 14 cm. Segitiga ABC sama sisi, sehingga ∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60o; ∠ CBF = ∠ ABE = 90o (siku-siku); ∠ FBE = ∠ GCH = ∠ DAI = 360o – (60o + 90o + 90o) = 120o Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa panjang busur lingkaran = sudut pusat × keliling lingkaran , sehingga diperoleh 360° p = panjang GH p = panjang DI o panjang EF

120° 22 × 2× ×7 360° 7 1 = × 44 3 44 cm = 3 =

Panjang sabuk lilitan minimal p + panjang GH p + panjang = DE + FG + HI + panjang EF o DI Garis Singgung Lingkaran

185

(

p = (3 × panjang DE ) + 3 × panjang EF = 3 × 14 + 3 ×

)

44 3

= 42 + 44 = 86 cm

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 4.

1. Gambar di atas adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut? 2. Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

Gambar di atas adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut. 5.

3.

Gambar di atas adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di atas. Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipapipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.

(Menumbuhkan kreativitas) Gambarlah dua buah lingkaran berpusat di P dan Q, berjari-jari 8 cm dan 3 cm dengan jarak PQ = 13 cm. Lukislah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut, kemudian tentukan panjang garis singgung tersebut berdasarkan a. pengukuran, b. perhitungan. Berapa selisih hasil a dan b? Buatlah kesimpulannya.

186


F.

MELUKIS LINGKARAN DALAM LINGKARAN LUAR SEGITIGA

DAN

1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya. Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga. Coba kalian ingat kembali pengertian garis bagi suatu segitiga dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut. (a) Lukis ∆ ABC, kemudian lukis garis bagi ∠ ABC. C

A

Gambar 7.26

B

(b) Lukis pula garis bagi ∠ CAB sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik P. C C P •

P

B

A Gambar 7.27

(c) Lukis garis PQ ⊥ AB sehingga memotong garis AB di titik Q. Lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ∆ ABC.

Q

A

Gambar 7.28

2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga Selanjutnya, mari kita temukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Namun, terlebih dahulu akan kita ingat kembali rumus keliling dan luas segitiga. Perhatikan ∆ ABC pada Gambar 7.29. Panjang sisi di hadapan ∠ A dinyatakan dengan a. Panjang sisi di hadapan ∠ B dinyatakan dengan b. Panjang sisi di hadapan ∠ C dinyatakan dengan c. Keliling segitiga adalah jumlah seluruh panjang sisi segitiga.

B

C a

b c

A

B

Gambar 7.29


187

Jika keliling ∆ ABC dinyatakan dengan 2s maka

K =a+b+c 2s = a + b + c 1 s = (a + b + c) 2 Di kelas VII, kalian telah mempelajari rumus luas segitiga yang diketahui panjang alas dan tingginya, yaitu 1 L= × alas × tinggi 2 1 = × a × t 2 Kali ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang dinyatakan dengan keliling segitiga. Dalam hal ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang diketahui panjang ketiga 1 sisinya dengan memanfaatkan rumus s = keliling segitiga = 2 1 ( a + b + c). 2 C b

a

tC x

c–x D

A

B

c

Gambar 7.30

Sekarang, perhatikan ∆ ABC pada Gambar 7.30. Pada gambar tersebut, garis tinggi CD dinyatakan dengan tC dan panjang AD dinyatakan dengan x. Karena diketahui panjang AB = c, maka panjang DB = c – x. Perhatikan bahwa ∆ ADC siku-siku di titik D, sehingga diperoleh CD2 = AC2 – AD2 tC2 = b2 – x2 ......................................................... (i) Sekarang, perhatikan ∆ BDC pada Gambar 7.30.

∆ BDC siku-siku di titik D, sehingga diperoleh BC2 = CD2 + BD2 a2 = tC2 + (c – x)2 a2 = b2 – x2 + (c – x)2 → tC2 = b2 – x2 a2 = b2 – x2 + c2 – 2cx + x2 a2 = b2 + c2 – 2cx 2cx = b2 + c2 – a2 x =

b2 + c2 − a 2 ........................................................ (ii) 2c

b2 + c2 − a2 . Selanjutnya, dengan 2c memanfaatkan rumus tersebut, kita akan menentukan rumus garis tinggi tC.

Jadi, panjang AD = x =

188


Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh 2

tC = b 2 − x 2 2

 b2 + c 2 − a 2  = b2 −   2c   2 2 2  b + c − a  b2 + c 2 − a 2  2 2 = b + − b   → Ingat bahwa a − b = (a + b)(a − b) c c 2 2     2bc + b 2 + c 2 − a 2  2bc − (b 2 + c 2 − a 2 )  =   2c 2c    2 2 2 2 2 2  2bc + b + c − a  2bc − b − c + a )  =   2c 2c     (b + c) 2 − a 2  2 2 2 =  ( a − (b − 2bc + c ) ) c 2    (b + c) 2 − a 2  a 2 − (b − c) 2  =   2c 2c     ((b + c) + a )((b + c) − a )  ( a + (b − c) )( a − (b − c) )  =   2c 2c    (b + c + a )(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c) = 4c 2 (a + b + c)(a + b + c − 2a )(a + b + c − 2c)(a + b + c − 2b) = 4c 2 2s (2s − 2a )(2s − 2c)(2s − 2b ) = → Ingat bahwa 2s = a + b + c. 4c 2 2s × 2(s − a ) × 2( s − c) × 2( s − b ) = 4c 2 16 s( s − a)( s − c)( s − b) = 4c 2 4s (s − a )( s − b)(s − c ) 2 tC = c2 4s (s − a )( s − b)(s − c ) tC = c2 2 = s ( s − a )( s − b)( s − c ) c Berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus garis tinggi tC adalah tC =

2 s ( s − a)( s − b)( s − c). c


189

Dengan demikian, rumus luas ∆ ABC adalah 1 L = × alas × tinggi 2 1 = × AB × tC 2 1 2 = × c × s ( s − a )( s − b)( s − c) 2 c = s( s − a)( s − b)( s − c) Jadi, luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan rumus L = s( s − a)( s − b)( s − c) dengan L = luas segitiga

1 keliling segitiga; dan 2 a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga. s=

C E b A

D r O

F

a c

Gambar 7.31

Selanjutnya, rumus luas segitiga tersebut digunakan untuk menentukan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Pelajari uraian berikut. Perhatikan Gambar 7.31. Pada gambar tersebut lingkaran dengan pusat di titik O adalah lingkaran dalam dari ∆ ABC. Perhatikan bahwa ∆ ABC terbentuk dari ∆ AOC, ∆ AOB, dan ∆ BOC. Misalkan panjang sisi BC = a, AC = b, AB = c, jari-jari B lingkaran = OD = OE = OF = r, keliling ∆ ABC = AB + BC + AC = 2s, dan luas ∆ ABC = L. Dengan demikian,

luas ∆ ABC = luas ∆ AOC + luas ∆ AOB + luas ∆ BOC 1 1 1 L =  × AC × OE  +  × AB × OF  +  × BC × OD  2 2     2  1 1 1 =  × AC × r  +  × AB × r  +  × BC × r  2  2  2  1 = × r ( AC + AB + BC ) 2 1 = × r (b + c + a ) 2 1 = × r (a + b + c) 2 = rs 190


r=

L s

s ( s − a )( s − b )( s − c ) s Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jarijari lingkaran dalam segitiga adalah atau r =

r=

L atau r = s

s( s − a)( s − b)( s − c) s

dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga 1 s = keliling segitiga 2 L = luas segitiga a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga

Penyelesaian: AB = 3 cm, maka c = 3. AC = 4 cm, maka b = 4.

C

BC = AB2 + AC2 = 32 + 42 O

= 9 + 16 B

A Gambar 7.32

Pada gambar di atas, lingkaran yang berpusat di O merupakan lingkaran dalam ∆ ABC. Jika panjang AB = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∆ ABC siku-siku di A, tentukan panjang jarijari lingkaran dalam ∆ ABC.

= 25 = 5 Jadi, panjang BC = a = 5 cm. 1 (a + b + c ) 2 1 = (5 + 4 + 3 ) 2 1 = × 12 = 6 2 Karena ∆ ABC siku-siku di titik A, maka luas ∆ ABC adalah 1 luas segitiga = L = × AB × AC 2 1 = × 3 × 4 = 6 cm2 2 s=


191

Panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC adalah

L s 6 = = 1cm 6

r=

3. Melukis Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak di luar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. Coba kalian ingat kembali pengertian garis sumbu dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga sebagai berikut. (a) Lukis ∆ ABC, kemudian lukis garis sumbu sisi AB. C

A

B Gambar 7.33

(b) Lukis pula garis sumbu sisi BC, sehingga kedua garis sumbu saling berpotongan di titik P. C

P A

B Gambar 7.34

(c) Lukis lingkaran berpusat di P dengan jari-jari PB. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ∆ ABC. C

P A

B Gambar 7.35

192


4. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, C perhatikan Gambar 7.36. Pada gambar tersebut, lingkaran yang a berpusat di titik O adalah lingkaran luar ∆ ABC. b Misalkan O A OB = OC = OE = r; D c BC = a, AC = b, AB = c; luas ∆ ABC = L. E Tariklah garis tinggi CD dan diameter CE. Gambar 7.36 Amatilah ∆ ADC dan ∆ EBC. ∠ CAD = ∠ CEB (sudut keliling yang menghadap busur yang sama) dan ∠ ADC = ∠ EBC (siku-siku). Akibatnya ∠ ACD = ∠ ECB. Hal itu menunjukkan bahwa ∆ ADC sebangun dengan ∆ EBC, sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut. AC CD = EC CB AC × CB CD = ...................................................................(i) EC AC × CB EC = ...................................................................(ii) CD

Di lain pihak, kita memperoleh

1 luas ∆ ABC = × AB × CD 2 1 L = × AB × CD 2 2L = AB × CD 2L CD = ...............................................................(iii) AB Dengan menyubstitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii), kita peroleh AC × CB 2L AB AC × CB × AB 2r = .............(karena EC = d = 2r ) 2L b×a×c a×b×c atau r = r= 4L 4L

EC =


193

B

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jarijari lingkaran luar segitiga adalah

r=

abc abc atau r = 4L 4 s ( s − a)( s − b)( s − c)

dengan r = jari-jari lingkaran luar ∆ ABC a, b, dan c = panjang sisi ∆ ABC L = luas ∆ ABC s =

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Hitungah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut.

1 keliling segitiga 2

Penyelesaian: Misalkan a = 13, b = 14, dan c = 15. 1 s = (a + b + c ) 2 1 = (13 + 14 + 15 ) 2 1 = × 42 2 = 21 abc r= 4 s ( s − a )( s − b)( s − c)

= = = =

13 × 14 × 15 4 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) 13 × 14 × 15 4 21 × 8 × 7 × 6 13 × 14 × 15 4 7 × 3 × 2 × 22 × 7 × 2 × 3 13 × 14 × 15

4 7 2 × 32 × 22 × 22 13 × 14 × 15 = 4 × 7 × 3× 2 × 2 = 8,125 Jadi, panjang jari-jari lingkaran luar segitiga = 8,125 cm.

194


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. A

r

O

B

C

Perhatikan gambar di atas. Jika panjang AB = 8 cm, BC = 9 cm, dan AC = 145 cm, tentukan a. luas ∆ ABC; b. keliling ∆ ABC; c. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. C

2.

A

B

Pada gambar di atas, diketahui panjang AB = BC = AC = 9 cm. Tentukan

a. luas ∆ ABC; b. panjang jari-jari lingkaran luar ∆ ABC. 3. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 26 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. Tentukan a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. 4. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 26 cm, 28 cm, dan 38 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. 5. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.

1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jarijari di titik singgungnya. 2. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut. 3. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. 4. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang.


195

5. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. 6. Panjang garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran. A D

R P

p

r

Q

B C

AB = CD =

p2 − ( R + r )

2

7. Panjang garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran. A

D

R Q

P

AD = CB =

p2 − ( R − r )

B

C

8. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah r=

L atau r = s

s ( s − a )( s − b)( s − c ) s

dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga s =


L = luas segitiga a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga 9. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah

r=

abc abc atau r = 4L 4 s ( s − a)( s − b)( s − c)

dengan r = panjang jari-jari lingkaran luar segitiga a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga L = luas segitiga s =

196



2

Setelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalian mengenai Garis Singgung Lingkaran? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan kepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalian peroleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkan kepada gurumu.

Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Panjang garis singgung lingkaran berjari-jari 6 cm dari titik di luar lingkaran yang berjarak 10 cm dari pusat lingkaran adalah .... a. 6,5 cm c. 7,5 cm b. 7 cm d. 8 cm 2. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di O dibuat garis singgung PA. Jika panjang jari-jari 20 cm dan jarak AP = 21 cm maka panjang OP adalah .... a. 23 cm c. 28 cm b. 25 cm d. 29 cm 3. Dua lingkaran dengan pusat P dan Q, berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarak PQ = 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah .... a. 12 cm c. 16 cm b. 15 cm d. 24 cm 4.

C A

O

Pada gambar di atas AB dan AC adalah garis singgung lingkaran titik A di luar lingkaran. Jika panjang OC = x cm, AC = y cm, dan OA = z cm panjang BC = .... xy 2 xy cm cm a. c. 2 z 2z xy cm b. d. xy cm z Gambar di bawah ini untuk soal nomor 5–7. A

O

P

B

5. Diketahui PA dan PB adalah garis singgung lingkaran. Jika panjang OA = 6 cm, OP = 10 cm maka panjang PA = .... a. 11 cm c. 12 cm b. 8 cm d. 9 cm

B Garis Singgung Lingkaran

197

6. Luas layang-layang OAPB adalah .... c. 48 cm2 a. 46 cm2 2 b. 45 cm d. 50 cm2 7. Panjang tali busur AB adalah .... a. 6,9 cm c. 6,1 cm b. 9,5 cm d. 9,6 cm 8. 7 cm

a. 28 cm b. 44 cm

c. 62 cm d. 72 cm

9. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah .... a. 3 cm c. 5 cm b. 4 cm d. 6 cm 10. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 35 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah 21 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah .... a. 15,5 cm c. 17,5 cm b. 16,5 cm d. 18 cm

Perhatikan gambar di atas. Panjang tali yang digunakan untuk mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah .... B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm maka tentukan a. jarak kedua pusat lingkaran; b. panjang garis singgung persekutuan dalamnya. 2.

F A

B

C

E D

Pada gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di luar dengan pusat di titik B dan D. Jika AB = 5 cm dan DE = 3 cm, hitunglah panjang a. AE; c. EF. b. CF; 3. Diketahui lingkaran L1 berpusat di O(0, 0), dengan jari-jari r1 = 3 satuan dan L2 pusat di P(6, 6), berjari-jari r2 = 2 satuan. a. Gambarlah garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2. 198


b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut. 4. Diketahui empat tong minyak berbentuk tabung diikat menjadi satu untuk diisi kembali. Susunlah empat tong tersebut agar panjang tali yang digunakan untuk mengikatnya minimal, kemudian hitung pula panjangnya, jika diameter tong 14 cm. 5.

C

E A

O D

B

Pada gambar di atas ∆ ABC siku-siku di A. Panjang AB = 28 cm dan AC = 21 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari OD; b. panjang BD; c. panjang OB; d. luas ∆ COE.

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Recommend Documents