Matriks & Operasi Matriks (2) Pertemuan 5 – Aljabar Linear & Matriks
1
Sifat-sifat Operasi Matriks • Perkalian antara dua matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB
tidak sama dengan BA (dengan asumsi bahwa operasi perkalian AB dan BA dapat dilakukan) Misal:
Terlihat bahwa AB ≠ BA
Dengan asumsi bahwa syarat ukuran matriks terpenuhi, maka berikut ini adalah sifat-sifat operasi matriks A, B,dan C. Dengan a dan b adalah sebarang konstanta: – A+B=B+A
(komutatif pd penjumlahan)
– A + (B + C) = (A + B) + C (asosiatif pd penjumlahan) – A(BC) = (AB)C – A(B+C) = AB + AC – (B+C)A = BA + CA – A(B – C) = AB – AC – (B – C)A = BA – CA
– a(B + C) = aB + aC – a(B – C) = aB – aC – (a + b)C = aC + bC – (a – b)C = aC – bC – a(bC) = (ab)C – a(BC) = (aB)C = B(aC)
(asosiatif pd perkalian)
Matriks Nol • Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Ukurannya bisa
sebarang. Misal:
Matriks nol mempunyai sifat identitas bagi penjumlahan yaitu: [A] + [0] = [0] + [A] = [A]
Sifat-sifat Matriks Nol • • • •
A+0=0+A=A A–A=0 0 – A = -A A0 = 0 dan 0A = 0
Buktikan sendiri ya….
Cancellation Tidak Berlaku
Dalam aritmatika biasa AB = AC dapat disederhanakan menjadi B = C Bagaimana dengan aritmatika pada matriks? Apakah berlaku juga? Perhatikan matriks A, B, dan C. Perhatikan juga hasil kali AD. Diperoleh AD = matriks nol. Dalam aritmatika biasa, AD = 0 berarti bahwa A atau D atau keduanya nol. Bagaimana dengan aritmatika pada matriks? Apakah berlaku juga? Perhatikan matriks A dan D.
Matriks Identitas (I) • Matriks identitas adalah matriks bujursangkar dengan semua elemennya
pada posisi diagonal utama sama dengan 1, dan nol untuk semua elemen matriks yang lain. • Notasinya:
In, artinya matriks identitas berorde atau berukuran n x n • Contoh:
Perkalian Dengan Matriks Identitas • Jika A adalah matriks m x n, maka A In = A
dan
Im A = A
Bandingkan dengan angka 1 pada perkalian bilangan real biasa (bukan matriks). • Contoh:
Matriks Invertible • Jika A adalah matriks bujursangkar dan B adalah juga matriks
bujursangkar dengan ukuran yang sama, sehingga diperoleh hubungan AB = BA = I, maka dikatakan A adalah invertible dan B disebut sebagai invers dari matriks A. Jika sebuah matriks tidak mempunyai invers, maka
matriks tsb disebut matriks singular. • Contoh: Matriks A berikut mempunyai invers yaitu matriks B. Buktikan ya….
Matriks Singular •
Contoh matriks singular
–
Misalkan invers matriks A adalah matriks B berikut:
–
Kalikan A dan B. Apakah mungkin dari hasil perkalian tsb diperoleh matriks identitas I?
–
Bagaimana jika matriks A adalah matriks lain dimana semua elemen dalam salah satu barisnya sama dengan nol?
Penjelasan: Dengan mengalikan B dan A diperoleh:
b11 b12 b13 1 BA b21 b22 b23 2 b31 b32 b 33 3 b11 2b12 3b13 b21 2b22 3b23 b31 2b32 3b33
4 0 5 0 6 0 4b11 5b12 6b13 4b21 5b22 6b23 4b31 5b32 6b33
0 0 0
Terlihat bahwa kolom ke-tiga dari matriks BA semua elemennya bernilai nol; sehingga tidak mungkin dari hasil perkalian A dan B diperoleh matriks identitas I, hal ini berarti bahwa tidak ada matriks B yang dapat membuat BA menjadi I3 A tidak mempunyai invers
Jika A adalah matriks lain dimana semua elemen dalam salah satu barisnya sama dengan nol, maka dengan cara yang analog:
1 2 3 b11 AB 4 5 6 b21 0 0 0 b31
b12 b22 b32
b11 2b21 3b31 4b11 5b21 6b31 0
b13 b23 b33 b12 2b22 3b32 4b12 5b22 6b32 0
b13 2b23 3b33 4b13 5b23 5b33 0
Terlihat bahwa baris ke-tiga dari matriks AB semua elemennya bernilai nol; hal ini berarti bahwa tidak ada matriks B yang dapat membuat AB menjadi matriks identitas I3 A tidak mempunyai invers
Invers Matriks 2x2 • Matriks A ukuran 2x2 berikut
adalah invertible jika ad – bc ≠ 0 dan inversnya dapat diperoleh dengan formula:
Sifat-sifat Matriks Identitas • A A-1 = A-1 A = I • (AB)-1 = B-1A-1 Contoh:
Sifat-sifat Perpangkatan Matriks • A0 = I
• An = AAA…A (kalikan A sebanyak n faktor); n > 0 • A-n = (A-1)n = A-1 A-1 …A-1 (kalikan A-1 sebanyak n faktor) • Ar As = Ar+s • (Ar)s = Ars • (A-1)-1 = A • (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0,1,2,… • (kA)-1 = (1/k) A-1 dengan k adalah skalar ≠ 0
Contoh 1 2 A 1 3
3 2 A 1 1 1
1 2 1 2 1 2 11 30 A 1 3 1 3 1 3 15 41 3
A
3
3 2 3 2 3 2 41 30 (A ) 1 1 1 1 1 1 15 11 1 3
Sifat-sifat Transpose • • • • • •
(AT )T= A (A+B)T = AT + BT (A B)T = AT BT (kA)T = kAT (AB)T = BT AT (AT ) 1 = (A1 )T
Contoh:
Polinomial Matriks • Jika A adalah matriks bujursangkar ukuran m x m dan jika
adalah sebarang polinomial, maka
dengan I adalah matriks identitas ukuran m x m Contoh: Jika matriks A adalah sbb maka temukan p(A)
dan
Your Homeworks 1. Jika
5 3 A 2 1
3 1 B 2 4
Maka: a) Buktikan bahwa (Ar)s = Ars dengan r = 3 dan s = 2 b) Buktikan bahwa (AB)T = BT AT
2. Jika
Maka buktikan bahwa (B + C) A = BA + CA
Referensi • Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984. • Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005. • AljabarLinier, Yuliant Sibaroni,2002
