KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengan tepat satu dan hanya satu elemen di B Dalam definisi tersebut,  A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan 𝒟𝑓  B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f  DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan elemen di A, dinotasikan dengan ℛ𝑓

•

Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL, yaitu fungsi dengan domain dan kodomain subhimpunan bilangan real. Dengan demikian 𝐴 ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ

•

Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal, yaitu 𝒟𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di bidang koordinat Cartesius yang memenuhi 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di bidang koordinat yang TIDAK SALING MENGATAPI

•

1. 2.

3. 4. 5.

6.

Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x) Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x) Fungsi harga mutlak 𝑓 𝑥 = 𝑥 Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot fungsi f adalah garis di bidang koordinat yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x). Fungsi bilangan bulat terbesar 𝑦 = 𝑥 = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.



Operasi Aljabar Fungsi  𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 , 𝒟𝑓±𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔  𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝒟𝑓𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔 



𝑓 𝑔

𝑥 =

𝑓(𝑥) , 𝒟𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔

= 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Komposisi Fungsi:  𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟𝑓∘𝑔 =?  𝑓∘𝑔 𝑥 ≠ 𝑔∘𝑓 𝑥  Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan 𝑓 −1 𝑥 adalah

fungsi yang bersifat:(𝑓 ∘ 𝑓 −1 ) 𝑥 = 𝑓 −1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥  Grafik 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 simetris dengan grafik y = f(x) terhadap garis y = x. 

Operasi Grafis Fungsi: pergeseran dan pencerminan

Operasi grafis terhadap suatu fungsi Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan beberapa operasi secara grafis (geometris) NO.

FUNGSI BARU

OPERASI

1.

f(x) + k, k > 0

Geser ke atas k satuan.

2.

f(x+k), k > 0

Geser ke kiri k satuan.

3.

- f(x)

Cerminkan terhadap sumbu x.

4.

f(-x)

Cerminkan terhadap sumbu y.

5.

| f(x) |

Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

6.

f( | x | )

Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y, bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap sumbu y.

Contoh : Sketsa grafik fungsi y  x 2  6 x  8 dapat diperoleh dari grafik fungsi y  x 2 , sebab y  x 2  6 x  8  ( x  3) 2  1. Langkah  langkah : grafik y  x 2 digeser ke kiri 3 satuan, lalu digeser ke bawah 1 satuan. Selanjutny a bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminka n terhadap sumbu x.

y  ( x  3) 2

y  ( x  3) 2  1

y  x2

y  ( x  3)2  1

ALJABAR Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi indentitas melalui operasi-operasi aljabar +, −,∗, , 1. Fungsi Polinom 2. Fungsi Rasional 



TRANSENDEN 1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi Eksponensial 3. Fungsi Logaritma 4. Fungsi Hiperbolik



Limit fungsi di suatu titik  Limit-limit sepihak

 Eksistensi Limit



Limit yang nilainya tak berhingga



Limit di ketakhinggaan

LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a tidak harus termuat di 𝒟𝑓

lim f ( x)  L

Notasi

x a

dibaca “limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati a “ berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a. Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu f(a), tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a. 10

Situasi yang mungkin terjadi: y

y

f(x)

f(x) L

L

a

0

a

0

x

y

x

f(x)

L

f(a)

0

a

x

11

Contoh: f ( x) 

x2 2

x 4

, x2

0

f(x) 2

x 2 x 2

4

?

Karena x  2 maka x2 lim x 2 x 2  4 x2  lim x2 ( x  2)( x  2) 1 1  lim   f ( 2) x  2 ( x  2) 4

y

0,25

lim

x2

x

12

Jika didefinisikan

 x2 , x2  2 f ( x)   x  4 1 , x2 

y

x2

1 lim   f (2)  1 2 x 2 x  4 4

1

f(x)

0,25 0

2

x

13

Jika didefinisikan

 x2 , x2  2 f ( x)   x  4 1 , x2  4

y

x2

1 lim   f (2) 2 x 2 x  4 4 f(x)

0,25 0

2

x

14

LIMIT SEPIHAK Notasi

lim  f ( x)  L

x a

  lim f ( x )  L     xa 

Dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“

berarti bahwa Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a dan x < a (x > a).

lim f ( x)  L jika dan hanya jika lim f ( x)  lim f ( x)  L   x a x a

x a

15

Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar

f ( x)y  x

lim f ( x)  ? x2

f(x)

3 2 1

x -3

-2

-1

0 -1

1

2

3

-2

-3

1, 1  x  2 f (x)   2, 2  x  3

lim f ( x )  1, sedangkan lim f ( x )  2

x2

x2

lim f ( x) TIDAK ADA, sebab lim f ( x)  lim f ( x) x2

x2

x2

Contoh 2.

lim sin x 0

 x

?

1   n Bila x  , n bilangan bulat tak nol maka n x  sehingga sin  sin n  0

x

2   , n bilangan bulat maka   2n , Namun bila x  x 2 4n  1 sehingga

sin



x

 sin



2

 2 n  1 𝜋

Perhatikan bahwa bila 𝑛 → ∞ maka 𝑥 → 0, sehingga nilai 𝑠𝑖𝑛 𝑥 berubah-ubah semakin cepat di antara -1, 0, dan 1 bila 𝑥 → 0

y  f ( x)  sin



y f(x)

x

1

-1

1

0

x

-1

EKSISTENSI NILAI LIMIT Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh 1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau 2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat

LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA DEFINISI Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali pada x = a sendiri. Maka

lim f ( x)  

xa

  lim f ( x )      x a 

berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin, dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan 19 a. Contoh :

1 lim   x 1 x  1

y

1 f ( x)  x 1

1

0

1

2

x

Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak 20

Situasi yang mungkin terjadi: y

y

f(x)

0

f(x) a

0

x

a

0

a

x

x

f(x)

lim f ( x)  

lim f ( x)  

y

xa

xa

y f(x)

y f(x)

0

lim f ( x)  

xa

f(x)

a

x

lim f ( x)  

xa

0

a

a

x

lim f ( x)  

xa 

x

0

lim f ( x)  

xa

21

Jika sekurang-kurangnya satu di antara keenam situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x) maka garis x = a disebut asimtot tegak dari grafik y = f(x). Contoh :

1 lim   x 1 x  1 1 lim   x 1 x  1 1 1 1 lim  TIDAK ADA, sebab lim  lim x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 =

1 𝑥−1

.

LIMIT DI KETAKHINGGAAN Notasi

lim f ( x)

x

   lim f ( x)   x 

disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai f(x) manakala x membesar positif (negatif). Kemungkinan yang dapat terjadi:

   lim f ( x )   L x  tidak ada 

Contoh:

1. lim x 2  1   x  

2x  1 1 2. lim  lim 2   2 x x x x 3. lim cos x  tidak ada x

23

y

y

y

Situasi yang mungkin terjadi:

f(x)

f(x)

f(x)

x

0

x

0

lim f ( x)  

lim f ( x)  

lim f ( x)  

x

x

x

0

x

y

y f(x)

f(x)

L

0

x

0

x L

0

x

f(x)

lim f ( x)  L

x

lim f ( x)  L

lim f ( x)  tidak ada

x

x

24

Jika lim f ( x)  L atau lim f ( x)  L maka garis y = L disebut asimtot x

x

datar

dari grafik y = f(x). Contoh:

f ( x) 

x 1

x 2  5x  6 x 1 x 1 3 1. lim f ( x)  lim  lim    2 lim ( x  3)( x  2) x 2 x2 x  5 x  6 x2 ( x  3)( x  2) x 2

2. lim f ( x)  lim x 2

x 2

x 1 x 2  5x  6

x 1 3    lim ( x  3)( x  2) x2 ( x  3)( x  2)

 lim

x 2 Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.

  1  1 x2  1  1 2    x 2 x x 1 x x    lim   3. lim  lim    x x 2  5 x  6 x 2  x 1  5  6 2  x 1  5  6 2  x x x  x     0  0  0 1  0  0 Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).

25

Asimtot tegak

y

x 1 x 2  5x  6

Asimtot datar

26

Teorema-teorema tentang limit

1. Jika k suatu konstanta dan nilai lim f ( x) dan lim g ( x) ada, maka x a

a. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) x a

x a

xa

x a

b. lim  f ( x) g ( x)  lim f ( x). lim g ( x) xa

x a

x a

lim f ( x)

 f ( x )  x a c. lim  , asalkan lim g ( x)  0  lim g ( x) x a  g ( x )  x a x a

d. lim kf ( x)  k lim f ( x) x a

x a

2. Prinsip Apit : Jika f ( x)  g ( x)  h( x) untuk nilai x di sekitar a (kecuali mungkin di a) dan jika lim f(x)  lim h( x)  L, maka lim g ( x)  L x a

x a

x a

27

Trik menentukan limit di suatu titik

lim f ( x) xa

1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a) 2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa limit-limit sepihak.

Contoh

1.

lim x  4   4  4  0

x 4

 1  x 1 2  2    lim   2. lim   2 2 x 1 x  1 x  1  x 1 x  1     1  1 x 1   lim     lim  x1 ( x  1)( x  1)  x1 ( x  1)  2

28

3.

  lim  x 2 sin   ? x x0 Jawab: karena

 2  x  x sin  x . x 2

maka

Diketahui bahwa

maka

  1  sin  1 x 2

lim ( x 2 )  lim x 2  0

x 0

x 0

2

2

 

 lim  x  lim x sin  lim x 2 x x 0 x 0 x 0  2  0  lim x sin  0 x x 0  2  lim x sin  0 x x 0 29

lim f ( x)  ?

4. f(x) = [ x ] + [-x]

y

x2

3 2 1

-3

-2

-1

0

-1

1

2

x

3

-2 -3

1  ( 2)  1,  f ( x )  2  2  0, 2  (-3)  1, 

1 x  2 x2 2x3

lim f ( x)  lim f ( x)

x 2

x 2

 1  lim f ( x) x 2

30

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI lim sin x  0,

lim cos x  1,

lim tan x  0,

x0

x0

x0

lim sin x  1,

lim cos x  0,

lim tan x  tidak ada

x 2

x 2

x 2

y = tan x

31

sin x lim  1, x0 x

sin x lim  0, x x

sin x lim 0 x x

32

2.5 KEKONTINUAN Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a dikatakan kontinu di x = a jika

lim f ( x)  f (a)

xa Dengan perkataan lain: f(x) kontinu di x = a jika f(a) terdefinisi

Nilai limitnya di x = a ada

Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu

lim  f ( x)  lim  f ( x)  f (a)

xa

xa

Contoh

 x2 , x2  2 f ( x)   x  4 1 , x2  4

y

x2

1 lim   f (2) x 2 x 2  4 4 Jadi f(x) kontinu di x = 2.

f(x)

0,25 2

0

Akibat: jika f kontinu di x = a maka lim f ( x) ada xa

x

Teorema fungsi kontinu: 1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsifungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika g (a)  0) juga kontinu di x = a. 2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di daerah definisinya. 3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi ( f  g )( x) kontinu di x = a.

Contoh:

1, x  0  2 Jika f ( x)  ax  b, 0  x  3  x  2, x  3,  tentukan a dan b agar f ( x) kontinu di setiap bilangan riil.

Jawab: karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3

Agar f(x) kontinu di x = 0:

• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1 • Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0 sama dengan f(0), yaitu lim f ( x)  lim f ( x)  f (0), yaitu

x 0

x 0

1

 a.0 2  b

 1

b=1

36

Agar f(x) kontinu di x = 3:

• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5 • Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3 sama dengan f(3), yaitu

lim f ( x)  lim f ( x)  f (3), yaitu

x3

x3

a.32  b 

5

 5

4 a 9

 9a  b  5  9a  1  5  9a  4

Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9.

Teorema Nilai Antara (TNA): misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b). Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.

y f(x)

f(b) M f(a)

0

a

c

b

x