Galeri Soal
65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
April 2012 Email :
[email protected]
MatikZone’s Series
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya 1.
y
Dari gambar di samping, tentukan: a). lim− f ( x ) , lim+ f ( x) dan lim f ( x) jika ada.
f(x)
x →2
4 3
x →2
x→ 2
b). lim− f ( x) , lim+ f ( x ) , dan lim f ( x) jika ada. x →5
2
5
x →5
x→5
x
Jawab: Limit kanan dan limit kiri *) lim+ f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) x→a
mendekati L. *) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) x →a
mendekati L. Definisi limit lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim + f ( x) = lim − f ( x ) = L x →a
x →a
x →a
y f(x) L
a
x
kiri kanan
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa: a). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) = 3 x→ 2 x →2 − x →2 + b). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x) = 4 , limit kiri dan limit kanan tidak sama maka x →5 − x →5 + lim f ( x) Tidak Ada x→5
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2.
4 x − 1; jk x < 2 Jika diketahui f (x ) = 2 maka tentuka nilai dari lim− f ( x ) , lim+ f ( x) , x →2 x →2 x + 3; jk x ≥ 2 dan lim f ( x) x→ 2
Jawab: • lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 (limit kiri, dari kiri, digunakan x →2 − x→ 2 − fungsi pertama) • lim f ( x ) = lim x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7 (limit kanan, dari kanan, x →2 + x→ 2 + digunakan fungsi kedua) • lim f ( x ) = 7 (limit kiri = limit kanan) x→ 2
3.
Tentukan nilai limit dari: a). lim 788
c). lim (5 x − 6 )
b). lim 7 x
d). lim
x→ 9
x →3
x →−3
x →8
5x − 6 x+1
x−2 x→ 2 x + 2 8− x f). lim x →−4 x + 4
e). lim
Jawab: Untuk lim f ( x ) diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh x→a
ditinggalkan) Ø Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c x→a
Ø Jika f (a) =
c maka lim f ( x ) Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga x→a 0
(cek grafik) 0 maka lim f ( x) = 0 x →a c 0 Ø Jika f (a) = maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan. 0
Ø Jika f (a) =
Sehingga: a). lim 788 = 788 x →9
b). lim 7 x = 7.8 = 56 x →8
c). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9 x →3
5 x − 6 5( −3) − 6 − 15 − 6 − 21 21 = = = = x +1 − 3 +1 −2 −2 2 x−2 2−2 0 e). lim = = =0 x→ 2 x + 2 2+2 4 8 − x 8 − (− 4) 12 f). lim = = Tidak ada (berdasar grafik) x →−4 x + 4 −4+4 0
d). lim
x →−3
Limit
www.matikzone.wordpress.com
4.
Penyelesaian dengan faktorisasi x−2 2−2 0 = 2 = BTT, maka x − 5 x + 6 2 − 5 .2 + 6 0 x−2 x−2 1 1 1 lim 2 = lim = lim = = = −1 x→ 2 x − 5 x + 6 x→ 2 (x − 2)( x − 3) x →2 ( x − 3) 2 − 3 −1
a). lim
x→ 2
2
x 2 + 3x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0 = = = BTT, maka x →−1 x 2 − 5 x − 6 ( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0 2
b). lim
x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2 ) = lim ( x + 2) = − 1 + 2 = 1 = − 1 = lim x →−1 x 2 − 5 x − 6 x →−1 ( x + 1)( x − 6) x→ −1 (x − 6) − 1− 6 − 7 7 3 2 3 2 x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0 c). lim = = BTT, maka x→ 0 2x − 7x 2 2.0 − 7.0 2 0 3 2 2 x − 5x + 3x x x − 5x + 3 x 2 − 5x + 3 0 − 5.0 + 3 3 lim = lim = lim = = x→ 0 x →0 x→ 0 2x − 7x 2 x (2 − 7 x ) (2 − 7 x ) 2 − 7.0 2 3 2 2 2 2 x + x − 8x + 4 ( x − 2)(x + 3x − 2) = lim x + 3x − 2 = 2 + 3.2 − 2 = 8 d). lim 3 = lim 2 x→ 2 x − 2 x − x + 2 x→2 x→2 ( x − 2 )(x 2 − 1) x 2 −1 22 −1 3 4−x 4− x − (x − 4) lim 3 = lim = lim x→ 4 x − 64 x →4 ( x − 4 )(x 2 + 4 x + 16) x→ 4 (x − 4)(x 2 + 4 x + 16 ) e). 1 1 1 = lim − 2 =− 2 =− x →4 (x + 4 x + 16) 4 + 4.4 + 16 48 lim
(
lim
f).
x→
3 2
8x 3 − 27 = lim 2 3 4x − 9 x→ 2
)
(2x )3 − 33 (2 x )2 − 3 2
(
(2x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9 ) = lim 3 (2 x − 3)(2 x + 3) x→ 2
= lim x→
)
3 2
4x 2 + 6 x + 9 2x + 3
2
=
5.
3 3 4. + 6. + 9 2 2 = 3 2. + 3 2
27 = 6
9 1 =3 2 2
Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar) lim
a).
x→ 2
lim
x→ 2
3 − 4x + 1 3 − 8 +1 0 = = BTT, maka x−2 2−2 0
3 − 4x + 1 3 − 4x + 1 3 + 4x +1 9 − (4 x + 1) = lim ⋅ = lim x → 2 x → 2 x−2 x−2 (x − 2) 3 + 4 x + 1 3 + 4x +1 8 − 4x − 4(x − 2) = lim = lim x→ 2 x →2 (x − 2) 3 + 4 x + 1 (x − 2 ) 3 + 4 x + 1
(
(
= lim
x→ 2
Limit
9 + 9 +9 = 3+ 3
(3 +
−4 4x + 1
)
)
=
−4
3 + 4 .2 + 1
(
=
−4 4 2 =− =− 3+ 3 6 3
)
)
www.matikzone.wordpress.com
x + 2 − 2x −1 0 = BTT, maka 0 2x − 3 − x
lim b).
x →3
x + 2 − 2x − 1 x + 2 − 2x −1 x + 2 + 2x −1 = lim . x →3 2x − 3 − x 2x − 3 − x x + 2 + 2x −1 ( x + 2) − (2x −1) = lim x→3 2x − 3 − x x + 2 + 2x −1 − x +3 = lim x→3 2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
lim
x→3
= lim
x→3
= lim
x→3
= lim
(
)(
)
(
)(
)
Jika disubtitusi, masih didapat 0/0
( )(
(
− x +3 2x − 3 + x . 2x − 3 − x x + 2 + 2x −1 2x − 3 + x
(
2x − 3 + x x + 2 + 2x −1 ((2x − 3) − (x))
(− x + 3)(
)(
)
(
)
) ) Dikali sekawan penyebut
)
− (x − 3) 2x − 3 + x x + 2 + 2x −1 (x − 3)
) − ( 2x − 3 + x ) = lim ( x + 2 + 2x −1) − ( 2.3 − 3 + 3) − ( 3 + 3) 2 = = =− ( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5 + 5 2 x→3
Dikali sekawan pembilang
(
x→3
lim
c).
x →−3
9 − x2 4 − x2 + 7
= lim
x→−3
(9 − x )(4 + = lim
9 − x2
4+
x2 + 7
4 − x2 + 7 4 +
x2 + 7
x2 + 7
2
.
) = lim (4 +
3 3 =− 5 5
(
9 − x2 4 + x2 + 7 x→−3 16 − x 2 + 7
= lim
(
)
)
)
x2 + 7 = 4 + 9 + 7 = 4 + 4 = 8
9−x (gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan) x →−3
6.
x →−3
2
3 1 lim − = ..... x→1 1 − x 1− x3
(
a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
Jawab: 3 1+ x + x2 3 1 lim − = lim − 2 3 x→1 1 − x 1 − x x →1 (1 − x ) 1 + x + x 1− x3
(
)
(
)
(
)
1+ x + x2 − 3 = lim 2 x →1 (1 − x ) 1 + x + x ( x + 2)( x − 1) = lim 2 x→1 (1 − x )(1 + x + x )
(
)
)
x2 + x − 2 = lim 2 x→1 (1 − x ) 1 + x + x ( x + 2) = 1 + 2 = 3 = 1 = lim 2 x→1 1 + x + x 1 + 1 + 12 3
(
(
Limit
)
)
www.matikzone.wordpress.com
7.
lim
x→ 0
x2
= .....
1 − 3 1 + x2
Jawab:
( (
) )
(
)
2 2 3 x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2 1+ 1+ x2 + 3 1+ x2 x x lim = lim . = lim 2 2 3 2 3 2 x →0 x→0 x→0 1 − 1 + x 3 2 3 2 1− 1 + x 1 − 1 + x 1 + 1 + x + 1 + x 2 x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2 2 = lim − 3 2 3 2 = lim 1 + 1 + x + 1 + x 2 x→ 0 x →0 −x = −(1 + 1 + 1) = −3 2
(
2
)
(
8.
(
)
)
(
)
Jika lim ( x + 1) = lim ( 2 x − 3) , maka tentukan nilai dari lim ( x 2 − 16) x→ n
x→ n
x→n
Jawab: lim ( x + 1) = lim (2 x − 3) ⇒ n + 1 = 2n − 3 ⇒ n = 4 maka x→ n
x→ n
lim ( x 2 − 16) = lim ( x 2 − 16) = 4 2 − 16 = 16 − 16 = 0 x→ n
9.
x→ 4
2x2 + 5x + 2 3 = , maka nilai a adalah … x →−2 x 2 + ax − 10 7
Jika lim
Jawab: 2x 2 + 5x + 2 lim 2 , karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai x →−2 x + ax − 10 3 limitnya adalah , maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh 7 2 (− 2 ) − 2a − 10 = 0 ⇒ 4 − 10 = 2 a ⇒ 2a = −6
⇒
a = −3 2 x 2 + 5x + 2 ( x + 2 )(2 x + 1) = lim 2 x + 1 = lim x → − 2 x 2 − 3 x − 10 x → − 2 ( x + 2 )( x − 5 ) x → −2 x − 5 2(− 2 ) + 1 − 3 3 = = = − 2−5 −7 7 lim
10. Limit
lim
x→ 2
x+2 2+2 4 x+ 2 = = berarti lim tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini: x→ 2 x − 2 x−2 2−2 0 www.matikzone.wordpress.com
y
f(x)=(x+2)/(x-2)
8 6
Limit kiri ≠ Limit kanan
4 2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
-2 -4 -6
11.
x 2 + 2 x − 1 3 2 + 2.3 − 1 14 x 2 + 2x − 1 = = berarti lim tidak ada. Demikian juga x →3 x →3 x2 − 9 32 − 9 0 x2 − 9 2 x 2 + 2x −1 x 2 + 2 x − 1 (− 3) + 2(− 3) − 1 2 untuk lim , karena lim = = . Grafiknya x →−3 x →−3 x2 − 9 x2 − 9 0 (− 3)2 − 9 adalah: lim
7
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
6 5 4 3 2 1 x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
Limit kiri ≠ Limit kanan 12. Limit
f ( x ) adalah dengan SUBTITUSI, Untuk menentukan nilai lim x →∞ www.matikzone.wordpress.com
Ø Ø Ø
Ø
∞ maka lim f ( x) = ± ∞ x →∞ c c Jika f (x ) = maka lim f ( x) = 0 x →∞ ∞ ∞ Jika f (x ) = (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan ∞ penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Jika f (x ) = ±
Jika f (x ) = ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Soal-soal: lim 9 = 9 a. x →∞ b.
c.
d.
lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9 = ∞ x →∞
lim
7 x + 9 7.∞ + 9 = =∞ 8 8
lim
6 6 6 = 2 = =0 x +1 ∞ + 1 ∞
x →∞
x →∞
2
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi. Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)
2x ∞ a). lim 2 = BTT maka x →∞ 3x + x − 1 ∞
x 2 , maka pembilang dan 2 penyebut dibagi dengan x adalah
2x 2 lim 2 x 2x x2 x x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 1 1 x 1 3+ x − lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 2 + − x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x x2 x2 x2 0 0 = = =0 3+0−0 3 Lihat Teorema Limit
2x2 ∞ = BTT, maka 2 x →∞ 3x + x − 1 ∞
b). lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2x 2 lim 2 2x2 2 x2 x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 1 1 x 1 3+ x − lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 2 + − x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x x2 x2 x2 2 2 = = 3+0−0 3 2x3 + 5x ∞ = BTT maka 2 x →∞ 3x + x − 1 ∞
c). lim
2 x3 5x + 2 2x + 5 2 2x3 + 5 x x x x = ∞+0 = ∞ lim 2 = lim 2 = lim x →∞ 3 x + x − 1 x →∞ 3 x x →∞ x 1 3 + 1 − 1 2 3+ 0− 0 + 2− 2 x x 2 x x x 14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan variabel pangkat tertinggi.
( 4x − 5x + 1 − 4x + 7 x − 2 ) = ∞ − ∞ BTT, maka lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 ) ( 4 x − 5 x + 1 + 4x = lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )⋅ ( 4 x − 5 x + 1 + 4x
a). lim
2
2
Dikalikan sekawan
x →∞
2
2
2
2
x →∞
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
(4x
2
) (
− 5x + 1 − 4x2 + 7x − 2
2
2
2
2
)
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2 − 12x + 3 2
2
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2 −12 x + 3 x x = lim x →∞ 2 4 x 2 − 5 x 2 + 1 2 + 4 x 2 2 + 7x 2 − 2 2 x x x x x x − 12 + 3 x = lim x →∞ 4 − 5 + 1 2 + 4+ 7 − 2 2 x x x x − 12 + 0 = 4 −0 +0 + 4 +0 −0 12 12 =− = − = −3 4 2 4
Limit
2
2
) + 7x − 2 ) + 7x − 2
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
lim
x →∞
− 12 x
4x 2 + 4x 2
VPT pembilang adalah x, 2
dan VPT penyebut x (setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar menjadi
x2) Lihat catatan 2
www.matikzone.wordpress.com
b). lim
(
x + 6 − x + 3 = ∞ − ∞ , BTT maka:
lim
(
x + 6 − x + 3 = lim
x →∞
x →∞
)
)
x→∞
(
= lim x →∞
(
x+ 6 − x+3
( ) (
3 x + 6 + x+ 3
) x +3)
x+6 + x+3 x+6 +
)
3 = lim x →∞
(
x x +6 + x +3 x x x x
)
3 = lim x →∞
=
(
( 1+ 6 x+ 0
1+ 1
x 1+ 3
x
)
)
=0
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga: ax n + bx n−1 + ... Ø Jika f ( x ) = px m + qx n−1 + ...
maka lim f ( x ) = lim x →∞
x→ ∞
ax n px m
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Ø
Ø
Limit
Jika f ( x ) = ax 2 + bx + c −
Jika f ( x ) = ax + b −
∞, jk a > p b − q px 2 + qx + r maka lim f ( x) = , jk a = p x →∞ 2 a − ∞, jk a < p
∞ , jk a > p px + q maka lim f ( x) = 0, jk a = p x →∞ − ∞ , jk a < p www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal: 5x3 − x 5 a). lim = (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut) x →∞ x − 3 x 3 −3 b). lim
( 9x
c). lim
(
x →∞
x →∞
2
)
− 15 x + 2 − 9 x 2 − 7 x + 1 =
− 15 − (− 7) − 8 4 = = − ( nilai a = p ) 6 3 2 9
)
2 x − 4 − 2 x + 5 = 0 ( nilai a = p )
16. Teorema Limit Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku: a. lim c = c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x )
x→ a
b. lim x = a n
x→ a
n
x →a
x→ a
c. lim f ( x) = f ( a)
f ( x) f ( x ) lim h. lim = x→ a ; lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x) g ( x) x→ a lim x→a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a)
i. lim ( f ( x )) n = ( lim f ( x )) n
e. lim( f (x) + g( x)) = lim f ( x) + lim g( x)
j. lim
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→a
x→a
x→a
x→ a
f. lim( f ( x) − g( x)) = lim f ( x) − lim g( x) x→a
x→a
x→a
n
f ( x ) = n lim f ( x) ; lim f ( x ) ≥ 0 x→ a
x→ a
x→a
Soal-soal: a). a. lim 25 = 25
b. lim 36 = 36
x→ 6
c. lim 9 = 9
x→ 0
x →−2
b). lim x = 3 = 81 4
4
x →3
c). lim x 3 − 5 x + 7 = 2 3 − 5.2 + 7 = 5 x→ 2
e). lim 5 x = 5 lim x = 5.( −2) = −10 x →−2
x →−2
f). lim 5 x + 3 x 2 = lim 5 x + lim 3 x 2 = 5.4 + 3.4 2 = 20 + 48 = 68 x→ 4
x→4
x→ 4
g). lim 5 x − 3x = lim 5x − lim 3x 2 = 5.4 − 3.4 2 = 20 − 48 = −28 2
x→ 4
x →4
x →4
( )(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim (5 x − 1) = 8.4 = 32 (5x + 3x ) = lim (5x + 3x ) = 8 = 2 i). lim h). lim 5x + 3x
2
2
x→1
x →1
2
x→1
(5 x − 1)
x →1
2
x→1
(
lim (5 x − 1) x→1
)
4
j). lim (5 x + 2) = lim (5 x + 2) = (5.1 + 2 ) = 7 3 = 343 3
x→1
3
x →1
3
k). lim 3 5 x + 2 = 3 lim (5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 7 x→1
Limit
x→1
www.matikzone.wordpress.com
(
)
5x − 3x 2 lim 5x − lim 3x 2 5.(−5) − 3.(−5) 2 − 25 − 75 −100 5x − 3x 2 lim x →∞ x→∞ l). lim = = x→∞ = = = x→−5 2 x + 7 lim (2x + 7) lim 2x + lim 7 2.(−5) + 7 −10 + 7 3 x →∞
17.
x→∞
x→∞
Limit Fungsi Trigonometri Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:
sin x x = lim =1 x→ 0 x →0 sin x x tan x x b. lim = lim =1 x→ 0 x → 0 x tan x sin ax ax a c. lim = lim = x→ 0 x → 0 sin bx bx b
a. lim
tan ax ax = lim = x→ 0 x → 0 tan bx bx tan ax sin ax e. lim = lim = x→ 0 sin bx x → 0 tan bx
d. lim
a b a b
Soal-soal: x 0 0 a). lim = = =0 x→ 0 cos x cos 0 1 1 1 b). lim1 sin x + cos x = sin π + cos π = 1 + 0 = 1 2 2 x→ π 2
sin 2 x sin 2 x 2 sin 2 x = lim . = 2. lim = 2 .1 = 2 x → 0 2 x → 0 x x 2 2x 3 x + sin 4 x 0 d). lim = BTT, maka x→ 0 5 x − tan 2 x 0
c). lim
x→ 0
(jika x → 0 maka 2 x → 0 )
(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
sin 4 x sin 4x 3x + sin 4 x 3+ lim 3 + lim 3x + sin 4 x x x→0 x = lim x = x→0 x = 3+ 4 = 7 lim = lim x→0 5x − tan 2 x x →0 5x − tan 2 x x→0 5 − tan 2 x lim 5 − lim tan 2 x 5 − 2 3 x x→0 x→0 x x x 1 − cos 4 x 0 e). lim = BTT, maka x→ 0 x sin x 0 1− cos4x 1− cos4x 1 + cos4x 1 − cos2 4x sin 2 4x = lim . = lim = lim x →0 x sin x x →0 x sin x 1 + cos4x x→0 (x sin x)(1+ cos4x) x→0 ( x sin x)(1 + cos4x) sin 4x.sin 4x 1 4x.4x sin 4x sin 4x 4x 1 4x = lim . . = lim . . . . x→0 x sin x 1+ cos4x 4x.4x x→0 4x 4x sin x (1 + cos4 x) x 1 = 1.1.4. .4 = 8 2 cos x 0 = BTT, maka π f). limπ Diketahui rumus trigonometri: cos x = sin − x π 0 x→ 2 x − 2 2 lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
π π π π sin − x sin− x − − sin x − sin x − cosx 2 = lim 2 = − lim 2 = −1 = lim 2 = lim limπ π π π π x→π π π π π x→ x→ x→ x→ x− x− x− x− 2 x − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos x − cos a 0 = , BTT maka x−a 0 1 1 1 − 2 sin ( x + a )sin (x − a) sin (x − a) cos x − cos a 1 2 2 2 lim = lim = −2 lim sin (x + a ). lim x →a x→a x →a x →a x −a x −a 2 x−a 1 = −2 sin a. = − sin a 2
g). lim
x→ a
x 3 − (a + 1)x 2 + ax 0 = , BTT maka x 2 − 1 + tan ( x − 1) 0
(
h). lim
x→1
lim x→1
)
(
)
x3 − (a +1)x 2 + ax x x 2 − (a +1)x + a x(x −1)(x − a) = lim = lim 2 x −1 + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1) lim x(x − a) x(x − a) 1−a 1 x→1 = lim = = = (1 − a) x→1 tan(x −1) tan(x −1) 2 +1 3 (x + 1) + lim(x +1) + lim (x−1)→0 ( x −1) (x −1) x→1
(
)
tan x − tan y = 0 BTT maka i). lim x→ y 0 x x 1 − + 1 − tan x tan y y y tan x − tan y 1 = lim 1 tan x − tan y = lim lim tan( x − y ) x→y x→ y x 1 + tan x tan y x → y y x x x 1 − − 1 − + 1 − tan x tan y y y y y y y −y = lim tan (x − y ) = lim tan (x − y ) x→y ( y − x) x → y (x − y ) tan( x − y ) = − y lim ( x − y )→0 ( x − y ) = −y
Limit
www.matikzone.wordpress.com
18.
Apakah fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 ? Jawab: Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada Ciri: b. lim f ( x) ada
Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
x→ a
c.
lim f ( x) = f (a) x→ a
Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1) x→1
19.
x2 − 9 Apakah fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 , kontinu di x = 3 ? 3; x =3 Jawab: x2 − 9 Fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena 3; x =3 2 x −9 ( x − 3)( x + 3) a. lim = lim = lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x − 3 x→ 3 x→ 3 ( x − 3) b. f(3) = 3 maka lim f ( x ) ≠ f (3) x →3
20.
Tentukan nilai lim
h →0
f ( x + h) − f ( x ) untuk fung[si f ( x ) = 2 x 3 h
Jawab: 3 f ( x) = 2x 3 ⇒ f ( x + h) = 2(x + h) = 2( x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h 3 ) = 2 x 3 + 6 x 2 h + 6xh2 + 2h3 lim
h →0
21.
(
)
f (x + h) − f ( x) 2 x 3 + 6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3 − 2x 3 6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3 = lim = lim h →0 h →0 h h h 2 2 h 6 x + 6 xh + 2h = lim = lim 6 x 2 + 6xh + 2h 2 = 6x 2 + 0 + 0 = 6 x 2 h →0 h →0 h
(
Tentukan nilai lim
h →0
)
(
)
f ( x + h) − f ( x ) untuk fungsi f ( x ) = x 2 + 3 x h
Jawab: f (x ) = x 2 + 3 x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
[
][
]
[
] [
]
f (x + h) − f (x) ( x + h)2 + 3(x + h) − x 2 + 3x x 2 + 2xh+ h2 + 3x + 3h − x2 + 3x lim = lim = lim h→0 h →0 h→0 h h h 2 2xh+ h + 3h h(2x + h + 3) = lim = lim = lim (2x + h + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3 h→0 h →0 h→0 h h
22. Limit Barisan Bilangan x 1 1. lim 1 + = e x →∞ x
x
1 3. lim 1 − = e −1 x→ ∞ x
2. lim (1 + x ) x = e
4. lim (1 − x ) x = e −1
1
1
x →∞
x →∞
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
1 1 + + ... (bilangan Euler) 2! 3!
Soal-soal: x a. lim x →∞ x + 1
x +1
x + 1 −1 = lim x→ ∞ x+1
x +1
1 x+1 = lim − x→ ∞ x + 1 x +1
x +1
1 = lim 1 − x→ ∞ x + 1
x +1
= e −1
Atau x +1 x +1 x+1 x +1 1 1 x x + 1− 1 x +1 lim = lim = lim − = lim 1 − x →∞ x + 1 x→ ∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1 x +1 x + 1 −( x +1) 1 = lim 1 − x →∞ x + 1
b. lim (1 − 3x ) = lim (1 − 3x ) x →∞
1 x
2 c. lim 1 + x→ ∞ 3+ x
−
x →∞
−2 x
1 −3 . 3x 1
−1
− (x +1 ) 1 = lim 1 + x→ ∞ − ( x + 1)
1 = lim (1 − 3x ) − 3x x → ∞
2 = lim 1 + x →∞ 3+ x
3+ x ( −4 )+6 2
−3
−1
= e −1
1 = lim (1 + (− 3x )) −3 x x →∞
3+ x 2 2 = lim 1 + x →∞ 3+ x
−4
−3
= e−3
6 2 1 + 3 + x
−4
3+ x 6 2 2 2 6 −4 −4 = lim 1 + . lim 1 + = e .(1 + 0 ) = e x→ ∞ 3 + x x →∞ 3 + x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Catatan: a. a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) b. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 c. a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2
( (
d. (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Bentuk Sekawan: a. a − b sekawannya a + b b. a + b − c sekawannya a − b − c c. a b − c sekawannya a b + c d. a + b + c − d sekawannya a + b − c − d e. a + b − c sekawannya a + b + c
) )
e. (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
( a) = a ⋅ g. ( a + b ) = f.
2
2
a =a
dan lain sebagainya..
a +b⋅ a+b =a +b
Catatan 2: a a = b b dan lain- lain. a.
b.
a = x
a x
2
=
a x2
c.
ax + b = x2
ax + b x
4
=
ax + b = x4
ax b + x4 x4
Keterangan: Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. 2; jk x ≤ 0 1. Jika f (x ) = 2 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) jk ada. x→ 0 x ; jk x > 0 x →0 − x →0 + 3 x + 2; jk x < 1 2. Jika f (x ) = , tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) . x→1 x + 4; jk x ≥ 1 x →1− x →1+ 4 x + 1; jk x ≤ 1 3. Jika f (x ) = 2 , tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) . x→1 2 x + 3; jk x > 1 x →1− x →1+
− 1; jk x < −1 4. Jika f (x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ) . x →−1 x →−1 − x →−1 + 1; jk x > −1 2; jk x < −1 5. Ditentukan f (x ) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1 0; jk x ≥ 1 Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f (x )
x →−1
x→1
6. Tentukan nilai dari: a. lim x − 1 x →1+
b. lim x 2 x →−1 +
1 c. lim 2 x x →0 +
7. Tentukan nilai dari: a. lim 4 x x →4 −
b. lim x x →−2 −
3 c. lim 2x x →0 −
8. Diketahui fungsi f (x ) = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. lim f (x )
b. lim f (x )
x→1
c. lim f ( x )
x →3
9. Selidikilah, apakah lim
x →0
d. lim f (x )
x →16
x→ 0
1 ada? (cari limit kiri dan limit kanan). x
10. Tentukan lim f ( x ) dan lim f (x ) dari gambar berikut: x →−2
x→ 4
y
f (x )
3 2 1 -2
Limit
4
x
www.matikzone.wordpress.com
Carilah Nilai Limit Berikut:
x+5 x →−1 x − 2 x − 24
11. lim 1000 x →5
27. lim
12. lim 12345
2
x→1
13. lim 2 x + 5
28. lim
14. lim 3 x 2 + 5 x − 10
29. lim
x →−2
x→ 0
[
16. lim (4 x − 7 ).3 (3 − x ) x →−5
17. lim
x→ 4
]
x x+ 2
3x −1 x 18. lim x→ 4 x + 2 x − 3
3x 2 − 5 x + 10 x→ 0 x 3 + 6 x − 45
x−3 x
x →3
15. lim ( x − 4 )( x + 1) x →−3
6−x x+6
x →−3
2x − 3 2x + x 6 − 7x
30. lim x→ 2
9x 31. lim + 5 x + 14 x →−2 8 + 5 x
32. lim
( x − 3)( x − 5)
33. lim
( x − 3)( x − 5)
2x − 1
x →5
2x + 2 + 5x
x→ 7
19. lim 20. lim
x→ 2
6x + 9 7 x − 10
x→1
35. lim
(
36. lim
( 2x
x →−4
21. lim 4 x − 11 x→ 9
22. lim
x −7
23. lim
x −6 − x3
x→ 4
x →3
2
37. lim
x→ a
2
x→1
24. lim
x→ 2
x→ 4
8 − 2x + − 5x + 5 2
)
+ 3x − 2 − 2x 2 − 4x + 3
)
x+9 2x −1
7x x →m m
38. lim
x 2 + 3x + 6 x3 +1
39. lim
x→ n
1 25. lim x→ 2 x − 2
26. lim
x + 3 + 5x + 4 15 − 6 x − 2 x − 1
34. lim
x2 + x n
x+4 x − 2 x − 24 2
(
)
40. Jika lim (x + 1) = lim (2 x − 3) , maka tentukan nilai dari: lim x 2 − 16 x→ n
41. Jika lim
x→ 7
Limit
x →n
x→ n
x2 − 6x − 7 4x2 − 7x − 2 = a , berapakah nilai dari lim ? x→ a 3 − x 2 − 10 x + 21 4x + 1 www.matikzone.wordpress.com
2 x 2 + 5x + 2 3 42. Jika lim 2 = , maka a = … x →−2 x + ax − 10 7 43. Jika lim
x →3
3x 2 + ax − 1 11 = , maka a = … x 2 − ax − 30 13
x −1 x −1
49. lim
x −1 x→1 1 − x
50. lim
46. lim
x −1 x −1
51. lim
x→0
x+ x
47. lim
x −1 1− x
52. lim
x−4 x −2
48. lim
x2 + 5x − 6 x −1
44. lim
x→1
2x + 6 x →−3 x + x − 6
3x2 − 5x x→ 0 x
45. lim
x→1
x→1
x→1
2
x→ 4
x
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah: 1 1 a. lim 2 + x→ 0 x − x x
2 1 3 1 b. lim 2 − − c. lim 3 x→ 0 x − 1 x → 1 x −1 1 − x 1− x
2 3 d. lim 2 − 2 x→ 2 x − 4 x + 2x − 8 2x + 2 x →−1 x 2 − 3x − 4
61. lim
3x2 − 6x x→ 2 x−2
62. lim
54. lim
x→ 0
x n +3 + 6 x n+1 − x n x n+ 4 + 2 x n
2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3 x→1 x2 − 1
55. lim 56. lim
(x − 2) 2 − 1
57. lim1
2x −1 2 2x + 3x − 2
63. lim
x 3 + x 2 − 8x + 4 x3 − 2x2 − x + 2
64. lim
x3 + x2 − 6x x 3 − 2 x 2 + 6 x − 12
x 2 + 3x − 4 58. lim 2 x→1 x − 2 x + 1
65. lim
x3 − 8 x−2
x2 + 2x 59. lim 3 x→ 0 x + x 2 + 3x
66. lim
x3 − 1 1− x
67. lim
x−3 x 3 − 27
68. lim
4− x x 3 − 64
x →3
x→
2
60. lim
x→ 0
x−3
x 4 − 6x 2 x3 + 2x 2
(Ebtanas IPS 99)
x→ 2
x→ 2
x→ 2
x→1
x →3
x→ 4
Limit
www.matikzone.wordpress.com
69. lim
x −1 x −1
70. lim3
8 x 3 − 27 4x 2 − 9
x→1 3
x→
2
x2 + x 1 84. lim − x→ 0 x x x
x2 85. lim − x →−1 x +1
** 71. lim
x→ 4
72. lim
x→1
x →−3
x→ 0
4 − x2 + 7
2x2 − 5x 87. lim x→ 0 3 − 9 + x
x −1 x −x 4
73. Diketahui g ( x ) = 1+ 2 x , maka nilai lim
9 − x2
86. lim
x2 − 2x − 8 x−2
x + 1 1
g (1 + x ) − g (1 − x ) = ..... x
4 − x2 −9 x →5 5− x
88. lim
89. lim
x + 4 − 2x + 1 x−3
90. lim
x − 3x + 2 2x + 5 − x + 7
x + 4 − x −4 x− 5
91. lim
x − 2 − 10 − x 6x − 5x + 6
x −2 2x +1 + 2 − x
92. lim
x + 2 − 2x −1 2x − 3 − x
3 + x + 5x −1 3 + x − 5x −1
93. lim
3 − x − 3x −1 5x −1 − x + 3
94. lim
x −1 x→1 2 − 3 x + 1
74. lim
x →3
x →5
2
75. lim
x→ 2
76. lim
x→ 6
77. lim
x →3
78. lim
x→1
x→ 0
80. lim
x →3
81. lim
x →10
82. lim
x →3
83. lim
x→1
Limit
x→1
x →−2
x →−3
x + 2x + 3 − x − 2x + 3 2
79. lim
x→ 2
2
2x − x + 3 3x + 6 − x
x 2 − 5x + 6 3− x − x − 3
95. lim
1+ x − 1− x x
5x + 1 − 4 x2 − 9
96. lim
4x 1 + 2x − 1 − 2x
x −1 − 3 x − 10
97. lim
1− x 1 − x − x −1
x + 3 − 3− x
x − 2x + 3 x2 −9
x2 + 3 − x − 1 1− x2
x→ 0
x→ 0
x→1
98. lim
x→ 0
x2 1 − 3 1 + x2
x−3 x +2 x→1 2 x − 8 x + 6
99. lim
www.matikzone.wordpress.com
100.
lim
x x−p p x−
x→p
3
101.
103. 104.
lim
x→1
102.
p
x 2 − 2.3 x + 1 ( x − 1)2
xn − 1 lim x→1 x − 1
**
**
1 f ( x ) − . f ( 2)( x + 2) 4 Diketahui f (x ) = 3 x 2 − 2 x , tentukan lim x→ 2 x−2
Diketahui f (x ) =
3 ( f ( x ) − f (2) ) , tentukan lim 2 x → 2 x x−2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 6 − 8x x →∞ x + 5
105.
lim
2 x →∞ x
117.
lim
106.
lim
6 x →∞ 5 x 10
118.
lim
107.
lim
−9 2 x 25
119.
lim
108.
lim
7 x →∞ 2 x + 5x
120.
3x − 2 lim x →∞ 5 + x
109.
lim
121.
lim
110.
lim 4 x + 99
122.
lim
x →∞
x →∞
3
−3 x − 20 3
x →∞
10 + 3x x →∞ 9 x − 5 x →∞
10 + 3x 3 − 9x 3
7 − 5x 2 x →∞ 3x + 12 x 2 5 x 3 − 11x 2 x →∞ 3x + 12 x 3
111.
lim x 2 + 9 x − 15
123.
lim
112.
3x lim x →∞ 100
113.
7x + 4 lim x →∞ 55
124.
x 2 + 5x − 3 lim x →∞ (3 − x )( x − 1)
114.
lim
x 2 − 25 x →∞ 12
125.
lim
115.
x +5 lim x →∞ 2 x − 1
126.
lim
116.
lim
4x − 3 x →∞ 2 x + 5
127.
lim
Limit
x →∞
(5x − 1)(2 x + 3) x →∞ (3 + 12 x )( x − 1)
x →∞
x →∞
(x − 1)(x − 3) 2 x 2 + 3x − 15
(4 x − 1)3 2x3 − 1
4(2 x + 3) x →∞ 3 x 3 + 5 x
3
www.matikzone.wordpress.com
128.
lim
129.
lim
130.
lim
131.
132.
x →∞
4 x 4 + 8x 2x 2
4 x 2 + 3x − 1 x →∞ 3x 2 + 5x − 2 x + 3x3 x →∞ 3 x 3 − 2
lim
x →∞
lim
146.
x + 4 − 2x + 1 lim x →∞ x − 3
147.
lim
2
)
+2
2
148.
lim
lim
x (2 x + 1) 5x − 4x3
150.
lim
lim
x →∞
134. 135.
6x + 2x3 lim x →∞ ( x − 3)( x + 1)
3
137. 138.
(x lim x →∞
lim
x →∞
140.
lim
143. 144. Limit
−2 x +2 x( x − 1)( x + 1) 2
2
2x 3 + 7 x − 5 x →∞ x2 − x
lim
142.
)(
151.
lim
139.
141.
x →∞
149.
2( x − 1) lim x →∞ x 3 + 1
136.
x →∞
6x + x3 − 5x4 x →∞ x3 − 2x 4
lim
2
133.
x →∞
(2 x − 5)4
(3 x
x →∞
153. 154. 155. 156.
2x 2 + x 6 x + 3x
152.
)
3
2x + x4 2x − 3
9x 4 + x x →∞ x 2 − x 3
3x2 − 5 lim x →∞ 2 x 3 + x − 1
157. 158.
159. 160. 161.
3x 2 + 5x − 7 lim x →∞ 10 x 3 + 5 x
162.
x →∞
lim
x →∞
2
x 2 − 17
x →∞
x 2 − 17 x 6 + 5x 3 − 5 + 3x6 − 2
x−2 4x 2 − 2x − 6 − x 2 + 1 x 2 + 5x −1 3x4 − 9x + 1
( x + 6 − x +3) lim ( x + 3 − x + 2 ) lim ( 2 x − 1 − x + 4 ) lim ( 4 x + 2 − x − 3 ) lim ( x + 5 − x ) lim ( 3 x + 1 − 3 x − 1 ) lim ( x + 1 − 2 x − 3 ) lim (3 x + 6 − 2 1 − x ) lim ( ax + b − px + q ) x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
untuk: a = p, a > p dan a < p
3x + 5 2x + 4x + 5
lim
x 2 + 5x − 1 3x 2 − 9
145.
163.
( x + x + 1 − 2x + x ) lim ( 4 x + 6 x − 1 − 5 x − x + 9 ) lim ( x + 2 x − 1 − ( x − 2 )(2 x + 9 ) ) lim ( 4 x − 5 − x − 3x ) lim ( 2 x + x − 5 − x − 3 x + 12 ) lim
2
2
x →∞
2
2
x →∞
2
x →∞
2
2
x →∞
2
2
x →∞
x 6 + 5x3 − 5 www.matikzone.wordpress.com
164. 165.
( (3x + 1)(x − 5) − lim ( (3x − 5 )(x + 4 ) −
( 4x
179.
lim
(x
180.
1 + 4x 2 − 1 + 9x2 lim x →∞ x
2
181.
( x − 3)( x + 3) )
1+ x2 − 4 + x2 lim x →∞ x
182.
lim x x 2 + 2 − x
183.
4 3 lim 2 − + 2 x →∞ x x
184.
x + 3 2x + 5 lim − x →∞ 2 x − 1 x−7
185.
− 4x 2 3x lim 2 − x →∞ 2 x + 9 x − 5 x + 5
186.
lim
187.
lim
x →∞
x 2 + 7x +1
3x 2 − 7x +1
168. 169.
lim ( x + 3) −
170.
lim
167.
171. 172. 173. 174. 175. 176. 177.
)
lim x − 4 x 2 − 7 x − 1 x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
(
)
lim
x →∞
) ( lim ((x + 2 ) − 4 x − 7 x + 8 ) lim (x + 5 − x − x − 9 )
166.
)
178.
lim
( 3x + 3x − 5 − x + 4) lim ( x + 6 x + 5 − x − 4 ) lim ( x − 1 − 2 x − 3) lim ( 4 x + 3 x − 5 − (2 x − 3)) lim ( 9 x + x − 4 − (3 x + 5)) lim ( 2 x − 3 x + 5) lim ( x − 3x − 2 x + 8 ) 2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
+ 3 x 2 − 1 − 4 x 4 + 5x 2 + 1
− 4 − x3 + 8
((
3 x →∞
3
4
x 2 + x3 x x2
33 x 2 − x 2 x 6 + x2 x
))
)
**
**
x →∞
lim 3 x − x − 4 − 3 x + 2 x − 5 x →∞
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: x+5 x→ 0 cos x
188.
lim sin x + 5 cos x
192.
lim
189.
lim (sin 2 x. cot x )
193.
lim
194.
lim
195.
lim
π x→ 2
x→ 0
190.
sin x 5 cos x limπ + 3 sin x x→ 6 2
191.
lim
Limit
x→ 0
cos x 2x
x→ 0
tan 2 x sin 5 x
sin 3x x→ 0 5x x→ 0
x sin 5 x sin 2 3x www.matikzone.wordpress.com
1 x 2 lim x→ 0 sin 3x sin 2 x tan 2
196.
2
197. 198. 199. 200.
lim
x→ 0
2x sin 2 x
x→ 0
216. 217.
lim
x sin
cos 2 x lim π x → 1 − sin x
(x lim (x (x lim
215.
tan 2 x x sec 2 x
lim
4
cos 2 x π − 4x
4
sin 2 3x x→ 0 (3 x )2 x→ 0
limπ x→
214.
lim lim
213.
x x cos 2 2
x→1
x→1
x→ 0
) − 1) sin ( x − 1) − 1)sin 2( x − 1) 1
3
2
2
− 1 2 tan (x − 1) 1 2
− 2 sin 2 ( x − 1)
1 − cos x x sin x
201.
lim
2x x→ 0 cos x
218.
lim (sec x − tan x )
202.
lim
sin 2 2 x x→ 0 x2
219.
lim
203.
lim
cos x − cos 3 x x2
220.
lim
x→ 0
π x→ 2
x→ 0
sin x − tan x x3
(3 x + 3 y ) + tan (x + y ) 9x + 9 y
x →− y
204.
lim
sin 3 x + sin 4 x x→ 0 x
221.
lim (x cot 2 x )
205.
1 − cos 2 x lim x→ 0 x
222.
lim
206.
lim
1 + cos x x →π sin 2 x
223.
limπ
207.
lim
x→ 0
x→ 0
x −1 x→1 tan π x
x→
1 − cos 2 x 2x2
224.
limπ x→
( )
4
4
tan x − 1 cos 2 x cos 2 x x( tan x − 1)
2
208.
lim
x→ 0
sin 2 x x + sin 2 3 x 2
225.
lim
226.
lim
209.
sin 4 x tan 2 3x + 6 x 3 lim x→ 0 2 x 2 sin 3x cos 2 x
210.
lim
cos x − cos 3 x x→ 0 1 − cos x
227.
211.
lim
228.
212.
cos 5x − cos 9 x lim x→ 0 1 − cos x
Limit
cos x − cos a x→ a x−a
x→ 0
sin 2 x 3 − 2x + 9
sin 4 x x→ 0 1 − 1 − x
1 1 sin 1 − cos1 − x x lim x→1 x −1 sin ( x − 2 ) x→ 2 x−2
lim
www.matikzone.wordpress.com
sin ( x − π ) x →π x−π
229.
lim
230.
lim
231.
lim
232.
(3 x + 1) sin ( x − 1) x + 2x − 3
x→1
2
sin
(
x →3
x +1 − 2 x−3
233.
limπ x→
234.
4
x−
limπ
2 tan x sec x
x→
2
π 4
246.
tan 2 x − tan x lim x→ 0 sin 2 x − sin x
247.
1 − tan x limπ x→ π − x 4 4
248.
1 − cos 4 x limπ x → x sin x 2
π 4
249.
sin(cos x ) limπ cos x x→ 2
250.
lim
tan 2 x. tan 3x x→ 0 5x 2
lim
236.
lim
237.
lim
238.
x 2 + 3x lim x→ 0 sin x
x→ 0
1 + cos x 1 + sin x
1 − cos 2 x x→ 0 1 − cos x
x→ 0
240.
lim
241.
lim
1 − cos 2
251.
252.
lim1
x→ π 2
1 x 2
(
lim
)
254.
lim1 2
1 + cos 2 x cos x π
3( x − a ) x→ a sin ( x − a ) + 2 x − 2 a
255.
lim
256.
x 3 − ( a + 1) x 2 + ax lim 2 x→1 x − 1 + tan( x − 1)
x3 + 3x2 + 2x
257.
lim
sin 8 x + sin 2 x x→ 0 4 x cos 3 x
258.
lim
sin 2 x 3 − 2x + 9
259.
lim
x→ 0
(x
2
)
− 5 x + 6 sin ( x − 2)
242.
(x − x − 2) (x − 1)sin 6 x lim
243.
lim
244.
lim
x→ 2
2
2
2
Limit
sin x − cos x 1 − sin 2 x
sin x 2 − 1 x→1 x −1
253.
x→
sin 3x − sin 3 x. cos 2 x 4x 3
cos x − sin x 1 x− π 4
π 4π sin 3 x + + sin x − 3 3 limπ 2π x →− 2x + 3 3
2x 2
lim
1
x→ π 4
235.
239.
sin 5 x − sin 2 x lim x→ 0 sin 8 x − sin 3 x
)
1 − sin x lim π π x→ −x 2 2
sin x − sin
245.
x→ 0
x→ 0
(
)
1 + cos x x →π x −π
sin 2 x(1 + cos x ) x→ 0 tan x (1 + 3 sec x ) 3 sin 2 x − 2 sin 3 x x→ 0 x(1 − cos 3x ) www.matikzone.wordpress.com
260.
x3 lim x→ 0 sin 2 x − tan 2 x
264.
x −3 lim x →3 x − sin ( x − 3) − 3
261.
lim
tan x − sin x x→ 0 x3
265.
lim
266.
tan x − tan y lim ** x→y x x − 1 + − 1 tan x tan y y y
262.
1 − cos (x + 3) x →−3 x 2 + 6 x + 9
263.
1 − 1 − sin 2 ( x − a ) lim x→ a ( x − a ) tan 5( x − a )
lim
x→ 0
sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin 18 x 3 sin x − sin 3x
Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:
267.
f (x ) =
268.
f (x ) =
269.
f (x ) =
270. 271.
f (x ) = f (x ) =
x 2 −1 x2 + x x 2x − 3
274.
1; unt x < 0 f (x ) = 1 − x; unt x ≥ 0
275.
2 x; unt x < 0 f (x ) = − x; unt x ≥ 0
276.
x; unt x < 0 f (x ) = 1; unt x = 0 x 2 ; unt x > 0
277.
x2 − 1 f (x ) = x −1
278.
x2 − 1 ; unt x ≠ 1 f (x ) = x − 1 2; unt x = 1
x2 − 4 x 2 − 3x + 2
x2 + 2x + 3 x3 − 1 2x 2 − 5x − 3 x2 + x − 2
272.
f (x ) =
x2 + 1 x 2 + 3 x − 10
273.
f (x ) =
2x +1 x − x+1 2
Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
279.
f ( x ) = 5 , pada x = 1
280.
f (x ) = 5 x − 10 , pada x = – 3
281.
f (x ) =
8 , pada x = 3 x−3
282.
f (x ) =
1 , pd x = 3 dan x = –2 x − x−6
Limit
2
www.matikzone.wordpress.com
283.
f (x ) =
3x − 12 , pada x = 4 x − 7 x + 12
284.
f (x ) =
3x 2 + 3x − 6 , pada x = – 2 2 x 2 − 2 x − 12
2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: x +1
285.
x lim x →∞ x + 1
286.
2 lim 1 + x →∞ 3+ x
287.
x +5 lim x →∞ x + 3
288.
2x + 2 lim x →∞ 2 x + 6
2 x +3
291.
3x + 1 lim x →∞ 3x + 5
2 x+ 3
292.
2 − 5x lim x →∞ 1 − 5 x
7x + 2
293.
6x + 5 lim x →∞ 6 x − 1
294.
x + 3x + 2 lim 2 x →∞ x + 5x + 1
−2 x
x+6
x
289.
a lim 1 + x →∞ x
ax
290.
1 lim 1 + x →∞ x
2x
2
Hitunglah nilai dari lim
h →0
2 +1 x +1
f ( x + h) − f ( x ) dari fungsi-fungsi berikut: h
295.
f (x) = 9
296.
f (x) = 5x
302.
f (x ) = x 3
297.
f (x ) = 8 x − 10
303.
f (x ) = 2x 3
298.
f (x ) = x 2
304.
f (x ) = x
299.
f (x ) = 3x 2
305.
f (x ) = 2 x
300.
f (x ) = −2 x 2 + 1
306.
301.
f (x ) = 2 x + 3 x
f (x ) = 2 x + 1
Limit
x
2
www.matikzone.wordpress.com
Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
( ax
2
)
+ ax − (2 x − 1) =
9 , carilah nilai a yang memenuhi. 4
307.
Jika lim
308.
Diketahui lim f ( x ) = 6 . Nilai lim
309.
Diketahui lim f ( x ) = 16 dan lim g (x ) = −2 . Maka nilai lim
310.
Buktikan bahwa lim x sin
311.
a a2 Buktikan bahwa lim n 2 1 − cos = n →∞ n 2
312.
Diketahui lim
313.
Hitunglah a dan b jika diketahui lim
314.
Jika lim
315.
Hitunglah nilai a + b, jika lim
x →∞
x→ 2
x→ 2
x →10
f ( x )( x + 5 ) + f 2 ( x ) − 3 adalah ... x +1 x →10
x →10
x →∞
(
)
f (x ) + 3g ( x ) adalah ... 4
2 =2 x
p−5 = −2 . Maka nilai p adalah... x →−1 x + 4 x →3
x →∞
( ax
2
ax − b = −2 . x2 − 9
)
+ bx − 1 − 4 x 2 − 7 x + 2 = 4 , maka tentukan nilai a + b.
x→ 4
ax − 3 − bx + 5 1 = . x−4 3
Catatan: ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... Limit
www.matikzone.wordpress.com
