Integral Fungsi Kompleks
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat : Menghitung integral lintasan kompleks. Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil Misalkan F (t ) adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis sebagai F (t ) u(t ) i v(t ) dengan u (t ) dan v(t ) adalah fungsi riil. Jika u (t ) dan v(t ) kontinu pada interval tertutup a t b , maka
b
a
F (t ) dt u(t ) dt i
Sifat-sifat
b
a
1. Re
a b 2. Im a
b
b
a
v(t ) dt .
b F (t ) dt Re F (t ) dt a b F (t ) dt Im F (t ) dt a
k F (t) dt k F (t) dt F (t ) dt F (t ) dt F (t ) dt F (t ) dt
3. 4.
b
b
a b
a a
a
5.
b
b
b
a
a
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil. Bukti sifat 3 :
b
a
k F (t ) dt k [ u(t ) i v(t )] dt b
a b
b
a
a
k u(t ) dt k i v(t ) dt (sifat integral fungsi riil :
b
a
k f ( x) dx k f ( x)dx b
a
k u(t ) dt k i v(t ) dt b
b
a
a
0
Integral Fungsi Kompleks
k
u(t) dt i v(t) dt b
b
a b
a
k
a
F (t ) dt (terbukti). □
Bukti sifat 4 :
b
a
F (t ) dt u(t ) dt i b
a
b
v(t ) dt
a
(sifat integral fungsi riil :
u(t ) dt i a
b
a
b a
b a
a
b
u(t ) dt i
v(t ) dt
a
b
v(t ) dt
u(t ) i v(t ) dt
b
a
f ( x) dx f ( x)dx ) a
b
F (t ) dt (terbukti). □ b
4.2 Lintasan Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel t dalam interval
tertutup a t b , maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik x g (t ) ,
y h(t ) , a t b . Oleh karena itu,
himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
x g (t ) , y h(t ), t dx dy g ' (t ) dan h' (t ) ada dan kontinu sedemikian sehingga dt dt dalam interval t .
Contoh 1
Kurva dengan bentuk parametrik
x 2 cos t , y 2 sin t , 0 t
3 merupakan kurva mulus. 2
□
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
x g (t ) , y h(t ), t maka
titik pada C yang berpadanan dengan t disebut titik awal C .
titik pada C yang berpadanan dengan t disebut titik akhir C .
Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,
1
Integral Fungsi Kompleks
C C1 C 2 C n dengan C1 , C 2 ,, C n merupakan kurva mulus. penting
dalam
integral
fungsi
kompleks
Pengertian lintasan ini sangat
karena
berperan
sebagai
selang
pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel. Catatan : 1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C . 2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C . 3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri. 4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
C2
C2
C1
C3
C1
C3 a. Lintasan tertutup
b. Lintasan terbuka
c. Lintasan sederhana
d. Lintasan berganda
Teorema 4.1 ( Kurva Jordan )
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu 1. kurva C . 2. bagian dalam C , ditulis Int (C ) , yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas. 3. bagian luar C , ditulis Ext (C) , yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas. Kurva C merupakan batas dari himpunan Int (C ) dan Ext (C) . □
4.3 Integral Garis Misalkan kurva mulus C disajikan dengan x g (t ) ,
y h(t ) , a t b .
g (t ) dan h(t ) kontinu di a t b . g ' (t ) dan h' (t ) kontinu di a t b . Kurva C mempunyai arah dari titik awal
A ( g (a), h(a)) ke titik akhir B ( g (b), h(b)) dan
P( x, y) suatu fungsi yang terdefinisi di C .
2
Integral Fungsi Kompleks
Teorema 4.2
1. Jika
C
P( x, y) kontinu
C
A
C
Teorema 4.3
C
P ( x, y ) dx
dan
P( x, y) dx
b a
P [ g (t ), h(t ) ] g ' (t ) dt
P( x, y) dy P [ g (t ), h(t ) ] h' (t ) dt a
P( x, y) dx P( x, y) dx A
B
3. Jika
b
C
2.
C , maka
P( x, y ) dy ada dan
B
di
P( x, y) dan Q( x, y) kontinu di C , maka
P( x, y ) dx Q( x, y ) dx C
C
P( x, y) dx Q( x, y) dx.
□
Jika P( x, y) dan Q( x, y) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C , maka
Q P P dx Q dy x y dx dy . C
□
R
Contoh 3 Tentukan integral garis fungsi M ( x, y) x y sepanjang lintasan C K dengan
C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2). Penyelesaian :
C: y 0 , 0 x2
(2,2)
K : x2 , 0 y2
K
Pada kurva C :
dx 0 . C (0,0)
CK
dy 0 dan pada kurva K :
(2,0)
M ( x, y) dx M ( x, y ) dx M ( x, y) dx C
K
( x y ) dx C
x dx 2
0
= 2.
CK
□
M ( x, y ) dy M ( x, y ) dy M ( x, y ) dy C
K
( x y ) dy K
(2 y) dx 2
0
= 6.
□
3
Integral Fungsi Kompleks
4.4 Integral Lintasan Kompleks Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik x g (t ) ,
g (t ) dan h(t ) kontinu di a t b .
a t b.
y h(t ) dengan
g ' (t ) dan h' (t ) kontinu di
a t b . Jika z x i y , maka titik-titik z terletak C . Arah pada kurva C ( g (a), h(a)) ke ( g (b), h(b)) atau dari z sampai z dengan ( g (a), h(a)) dan ( g (b), h(b)) .
Diberikan fungsi f ( z) u( x, y) i v( x, y) dengan u dan v fungsi dari t yang kontinu sepotong-potong pada a t b . Integral fungsi f (z) sepanjang lintasan C dengan arah dari z sampai z adalah
Definisi 4.2
Sifat-sifat
f ( z ) dz f g (t ) i h(t ) g ' (t ) i h' (t ) dt b
a
f ( z) dz f ( z) dz k f ( z) dz k f ( z) dz f ( z) g ( z) dz f ( z) dz
1. 2.
C
3.
C
C
C
C
g ( z ) dz
Contoh 4 Hitung
z e
z2
dz jika : garis lurus dari z 0 1 ke z1 2 i .
Penyelesaian :
z1 2 i
z0 1
(0,1) (2,1) Persamaan garis : y 1 dan mempunyai bentuk parametrik :
x g (t ) t y h(t ) 1
, t [ 0 , 2 ]
( 4.1 )
Dari (4.1) diperoleh :
z g (t ) i h(t ) t i dz g ' (t ) i h' (t )dt 1. dt
Karena f ( z ) z e z maka f g (t ) i h(t ) f (t i) (t i) e (t i ) . 2
2
Sehingga,
z e z dz (t i) e (t i ) 1 dt 2
2
2
0
(t i) e (t i ) dt (gunakan subtitusi : u (t i) ) 2
2
0
4
Integral Fungsi Kompleks
1 3 4 i e e 1 . 2
□
4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4 ( Teorema Cauchy)
Jika f (z) analitik dan f ' ( z ) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka
C
f ( z ) dz 0 . □
C
f (z) analitik dan f ' ( z) kontinu
Contoh 4 Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks. 1.
f ( z) z 2
2.
f ( z) 1
Teorema 4.5 ( Teorema CauchyGoursat)
C
C
Jika
z 2 dz 0 .
□
dz 0 .
□
f (z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C , maka
C
f ( z ) dz 0 . □
C
f (z) analitik
Contoh 5 Diketahui C : z 1 . Hitunglah
C
f ( z ) dz jika f ( z )
Penyelesaian :
1 . z 3
1 , f (z) tidak analitik di z 3 dan z 3 terletak di luar C . ( z 3) 2 Oleh karena itu, f (z) analitik di dalam dan pada lintasan C , sehingga 1 C ( z 3) dz 0 . □ f ' ( z)
Teorema 4.6 (Bentuk lain Teorema Cauchy Goursat )
Jika fungsi f (z) analitik di seluruh domain terhubung
Teorema 4.7 (Teorema Cauchy
Diberikan
sederhana D , maka untuk setiap lintasan tertutup C di dalam D , berlaku f ( z ) dz 0 . □ C
C , sedangkan suatu lintasan tertutup C1 , C2 ,, Cn adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak
5
Integral Fungsi Kompleks
Goursat yang diperluas)
di interior C sedemikian sehingga C1 , C 2 ,, C n tidak saling berpotongan. Jika fungsi f (z) analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C , kecuali titik-titik interior C1 , C 2 ,, C n , maka
C
f ( z ) dz
C1
f ( z ) dz
C2
f ( z ) dz
Cn
f ( z ) dz . □
C
C1
f (z) tidak analitik f (z) analitik
Contoh 6 Hitung
C
dz , jika C : z 2 2 . ( z 3)
Penyelesaian :
1 tidak analitik di z 3 yang berada di dalam interior C . z 3 Dibuat lintasan tertutup C1 di dalam C berpusat di z 3 yaitu 1 1 1 C1 : z 3 . Diperoleh z 3 e i t , 0 t 2 dan dz e i t dt . 2 2 2 f ( z)
Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C
dz dz C 1 ( z 3) ( z 3) it 2 1 i e dt 2 it 1 0 2 e i
2
0
dt
2 i .
□
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu Jika fungsi
F ( z)
z z0
f analitik di dalam domain terhubung sederhana D , maka
f ( ) d mempunyai turunan untuk setiap titik z di dalam D dengan
F ' ( z) f ( z) , asalkan lintasan pengintegralan dari z 0 ke z seluruhnya terletak di dalam D . Jadi F (z) juga analitik di dalam D .
Teorema 4.8
Jika dan di dalam D , maka
f ( z ) dz F ( ) F ( ) . □
6
Integral Fungsi Kompleks
D
f (z) analitik
Contoh 7 1 2i z dz z 2 2 2i . i 2 i (Karena f ( z) z merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z i ke z 2 i ). □
2i
4.7 Rumus Integral Cauchy Jika f (z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan
Teorema 4.9 (Rumus Integral Cauchy )
z 0 sebarang titik di dalam C , maka 1 f ( z) f ( z0 ) dz 2 i C z z 0 atau f ( z) C z z0 dz 2 i . f ( z0 ) . □ C
f (z) analitik
z0
Turunan Fungsi Analitik
1
f ' ( z0 )
2 i
f ' ' ( z0 )
2! 2 i C
C
f ( z) dz ( z z0 ) 2 f ( z) dz ( z z0 )3
f ( z) dz 2 i . f ' ( z 0 ) ( z z0 ) 2 2 i f ( z) dz . f ' ' ( z0 ) 3 2! ( z z0 )
C
C
f n ( z0 )
n! f ( z) dz 2 i C ( z z 0 ) n1
C
2 i n f ( z) dz . f ( z0 ) n 1 n! ( z z0 )
Contoh 8 1. Hitung
C
dz dengan C : z 2 2 . z 3
Penyelesaian : Diambil : f ( z) 1 ( f (z) analitik di dalam dan pada C )
z 0 3 di dalam C . 7
Integral Fungsi Kompleks
f ( z 0 ) f (3) 1 Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
dz 2 i . f ( z 0 ) 2 i .1 2 i . □ z 3
dz dengan C : z 3 2 . z ( z 2) 2
C
2. Hitung
3
C
Penyelesaian :
1 ( f (z) analitik di dalam dan pada C ) z3 z 0 2 di dalam C . 3 3 f ' ( z ) 4 f ' ( z 0 ) f ' (2) . 16 z
Diambil : f ( z )
Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
C
2 i 2 i dz 3 3 . f ( z0 ) .( ) i . □ 2 1! 1 16 8 z ( z 2) 3
4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema 4.10 (Teorema Morera)
Jika f (z) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk setiap lintasan tertutup C dalam D berlaku maka f (z) analitik di seluruh D .
Teorema 4.11 (Teorema Lionville)
C
f ( z ) dz 0 ,
□
f (z) analitik dan f (z ) terbatas di seluruh bidang kompleks, maka f (z) adalah suatu fungsi konstan. □ Jika
4.9 Teorema Modulus Maksimum Jika f (z) analitik dan M nilai maksimum dari f (z ) untuk z di dalam
daerah D z : z z 0 r , dan jika f ( z 0 ) M , maka f (z) konstan di seluruh daerah D . Akibatnya, jika f (z) analitik dan tidak konstan pada D , maka
f ( z0 ) M .
Prinsip Modulus Maksimum
Jika fungsi tak konstan f (z) analitik di z 0 , maka di setiap
Teorema 4.12 (Teorema Modulus Maksimum)
Jika
kitar dari z 0 , terdapat titik z dan
f ( z0 ) f ( z) .
f (z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , dan f (z) tidak konstan, maka f (z ) mencapai nilai maksimum di suatu titik pada C , yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior. □ 8
Integral Fungsi Kompleks
Teorema 4.13 (Ketaksamaan Cauchy)
Jika
f (z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : z z 0 r , dan f (z) terbatas pada C , n!M f ( z) M , z C maka f n ( z 0 ) n , n 0 ,1, 2 , □ r
.
Ringkasan Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi kompleks.
9
Integral Fungsi Kompleks
Soal-soal 1. Hitung
2. Hitung
C
z e z dz jika : kurva y x 2 dari z 0 0 ke z1 1 i . 2
f ( z ) dz jika f ( z ) z 3 dengan C : setengan lingkaran z 2 dari
z 2i ke z 2i . 3. Hitung integral fungsi f (z) sepanjang lintasan tertutup C berikut : a. f ( z )
z ez , C : z 1 (counterclockwise). (4 z i ) 2
b. f ( z )
e2z , C : ellips x 2 4 y 2 4 (counterclockwise). ( z 1) 2 ( z 2 4)
c. f ( z )
Ln ( z 3) cos z , C : segiempat dengan titik-titik sudut z 2 ( z 1) 2
dan z 2 i (counterclockwise). d. f ( z )
2z 3 3 , C : terdiri dari z 2 (counterclockwise) dan z ( z 1 i) 2
z 1 (clockwiswe). e. f ( z )
(1 z ) sin z , C : z i 2 (counterclockwise). (2 z 1) 2 2
ez f. f ( z ) , C : segiempat dengan titik-titik sudut z 3 3i z ( z 2i ) 2 (counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe). g. f ( z )
z 3 sin z , C : segitiga dengan titik-titik sudut z 2 , z 2 i ( z i) 3
(counterclockwise).
10
