Diktat Kuliah
Fisika Statistik
Oleh
Tasrief Surungan Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin
2011
ii
Kata Pengantar Fisika statistik yang juga disebut sebagai mekanika statistik adalah kajian teoretik untuk fenomena termodinamika. Dengan menggunakan hukum-hukum mekanika, persamaan-persamaan termodinamik yang dirumuskan melalui eksperimen dapat diperoleh. Naskah ini dimaksudkan sebagai referensi tambahan, bagi peserta mata kuliah fisika statistik di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin. Biasanya mata kuliah ini disajikan pada tingkat kedua, setelah mahasiswa belajar Termodinamika dan Fisika Matematika I. Topik-topik dalam buku ini diselaraskan untuk maksud pengajaran dengan 3 SKS. Naskah ini masih jauh dari sempurna sehingga memerlukan perbaikan secara berkesinambungan. Umpan balik berupa kritik atau saran dari para pembaca sangat diharapkan. Semoga naskah ini bermanfaat dan secara umum memberi sumbangsih bagi peningkatan kualitas pembelajaran di Jurusan Fisika Universitas Hasanuddin. Makassar, 8 Februari 2010
iii
Garis-Garis Besar Rencana Pembelajaran Nama Mata Kuliah: Fisika Statitistik Kode Mata Kuliah: 247H2103 Dosen: Dr. Tasrief Surungan, M.Sc. Dr. P. L. Gareso, M.Sc.
Pekan
Materi
1
Pendahuluan Fisika Statistik
2
Fungsi Distribusi Diskret
3
Fungsi Distribusi Kontinu
4
Teori Kinetik Gas (I)
5
Teori Kinetik Gas (II)
6
Fungsi Distribusi Kecepatan dan Laju
7
Statistik Maxwell-Boltzmann
8
Mid Test
9
Statistik Bose-Einstein (I)
10
Statistik Bose-Einstein (II) (Aplikasi)
11
Statistik Fermi-Dirac (I)
12
Statistik Fermi-Dirac (II) (Aplikasi)
13
Majelis Kanonik (Mikro)
14
Majelis Kanonik(Makro)
15
Model Ising dan Metoda Monte Carlo
16
Final Test
Deskripsi Singkat Fisika statistik adalah kajian teoretik mengenai sistem yang terdiri atas banyak partikel/molekul dengan menggunakan mekanika dan statitistik. Kompetensi utama yang diharapkan adalah mahasiswa dapat menggunakan konsep fisika statitik dalam menganalisis sifat-sifat bahan, baik gas maupun padat. Materi diawali dengan peninjauan ulang (review) mengenai termodinamika dan latar belakang fisika statistik, kemudian dilanjutkan dengan konsep statistik, teori kinetik gas, distribusi kecepatan dan laju, statistik Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein dan Fermi Dirac, Teori Majelis dan beberapa topik pilihan.
iv
Referensi 1. F. W. Sears, Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases andStatistical Mechanics, Addison Wesley, 1963. 2. T. Surungan, Diktak Kuliah: Fisika Statistik, Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Hasanuddin, 2009. 3. W. Greiner, L. Neise, H. St¨ocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer, Berlin, 1995. 4. L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, John Wiley & Sons, 1998. 5. K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1987.
Daftar Isi
Kata Pengantar
ii
GBRP
I
iii
Termodinamika
1
1 Konsep Dasar
3
1.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Sistem Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Peubah dan Fungsi Keadaan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Ruang Keadaan dan Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Proses-Proses Termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Hukum-Hukum Termodinamika 2.1
13
Hukum Ke-Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
13
vi
II
DAFTAR ISI 2.2
Hukum Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Hukum Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.1
Siklus Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3.2
Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
Hukum III Termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5
Potensial Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Mekanika Statistik
3 Konsep Dasar Fisika Statistik
23
25
3.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Keadaan Makro dan Mikro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Majelis (Ensemble) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3.1
Ruang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.4
Teorema Lioville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.5
Soal-Soal Bagian 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4 Konsep-Konsep Statistik
31
4.1
Kebolehjadian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2
Peubah Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.3
Fungsi-Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.3.1
Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.3.2
Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
DAFTAR ISI 4.3.3
vii Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4
Harga Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.5
Permutasi dan Kombinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5 Teori Kinetik Gas
43
5.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2
Asumsi-asumsi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3
Tumbukan dengan Dinding Permukaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.4
Persamaan Keadaan Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6 Distribusi Kecepatan Molekuler
49
6.1
Ruang Kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2
Penentuan Nilai Parameter Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3
Fungsi Distribusi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.4
Prinsip Ekipartisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.5
Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7 Statistik Maxwell Boltzmann
57
7.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.2
Ruang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.3
Keadaan Mikro dan Keadaan Makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.4
Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.5
Perhitungan Entropi Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.6
Paradoks Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
viii
DAFTAR ISI 7.7
Teori Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.8
Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8 Statistik Bose Einstein
65
8.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.2
Perumusan Statistik Bose Eistein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.3
Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.4
Statistik Gas Foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9 Statistik Fermi Dirac
71
9.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
9.2
Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
9.3
Fungsi Parstisi Raya untuk Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
9.4
Fungsi Persamaan Keadaan Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
9.5
Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
10 Majelis dalam Mekanika Statistik
77
10.1 Majelis Kanonik Mikro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
10.2 Majelis Kanonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
10.3 Majelis Kanonik Makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
10.4 Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
11 Perubahan Fase dan Fenomena Kritis 11.1 Pendahluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 83
DAFTAR ISI
ix
11.2 Energi Bebas dan Potensial Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
11.3 Perubahan Fase Orde Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
11.4 Perubahan Fase Orde Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
11.4.1 Kelas Universalitas dan Hubungan Penyekalaan . . . . . . . . . . . . . . . .
86
11.4.2 Penyekalaan Ukuran Berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
11.5 Perubahan Fase Kuantum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
11.6 Soal-Soal
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 Metode Monte Carlo
91
12.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
12.2 Ragam Algoritma MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
12.3 Algoritma Metropolis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
12.4 Teknik Pembobotan Ulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
12.5 Algoritma Wang-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
12.6 Metoda Histogram Lebar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
12.7 Metoda Hibrid (Kombinasi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13 Grup Renormalisasi
103
13.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13.2 Fixed Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 13.3 Kondensasi Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Appendix A: Integral Gaussian
106
x
DAFTAR ISI
Daftar Pustaka
109
Index
110
Bagian I
Termodinamika
1
Bab 1
Konsep Dasar 1.1
Pendahuluan
Termodinamika, sesuai namanya, adalah kajian tentang dinamika panas. Sebagai cabang fisika, termodinamika membahas hukum-hukum kausalitas dinamika panas yang meliputi semua proses perubahan dan perpindahan panas. Termodinamika bersifat fenomenologis dimana hukum-hukumnya dirumuskan langsung dari eksperimen. Hukum-hukum ini hanya dalam ranah besaran-besaran makroskopik. Contohnya, jika volume gas diperbesar, tekanannya akan mengecil. Mekanisme penyebab tekanan mengecil tidak dipersoalkan dari sudut pandang termodinamika. Hukum-hukum termodinamika bersifat empiris-fenomenologis. Termodinamika mempersoalkan bagaimana panas dapat diubah menjadi kerja atau sebaliknya. Salah satu aplikasinya dalam bidang keteknikan adalah kajian perpindahan panas (heat transfer) yang mengulas metoda atau cara perpindahan panas.
1.2
Sistem Termodinamik
Pembahasan termodinamik memerlukan konsep sistem, yaitu obyek yang secara konseptual memiliki batas geometri yang jelas. Disebut konseptual sebab batas sistem dapat dibuat sembarang, tergantung pada kebutuhan. Semua yang terlingkupi oleh batas disebut sistem sedangkan yang diluar disebut lingkungan. Air dalam gelas dapat dipandang sebagai sistem sedangkan gelas dan 3
4
BAB 1. KONSEP DASAR
udara sekelilingnya adalah lingkungan. Air dan gelas selanjutnya juga dapat dipandang sebagai sistem sedangkan udara dan benda lain di sekelilingnya adalah lingkungan. Pemisahan antara sistem dan lingkungan dimaksudkan agar pembahasan fenomena yang ada lebih fokus sehingga uraian tentang hubungan kausalitas lebih jelas. Sistem dapat berinteraksi dengan sistem lain atau lingkungan sehingga mengalami perubahan sifat. Berdasarkan jenis interaksinya dengan lingkungan, sistem dibedakan atas sistem terbuka (open), tertutup (closed) dan terisolasi (isolated). Sistem terbuka (open system) ditandai oleh adanya pertukaran baik energi maupun materi dengan lingkungan. Akibatnya, energi dan massa sistem tidak tetap. Jika terjadi kesetimbangan dengan lingkungan, maka rerata energi dan jumlah partikel sistem akan ditentukan oleh temperatur dan potensial kimianya. Sebab itu, temperatur dan potensial kimia dapat digunakan dalam karakterisasi keadaan makroskopik sistem. Sistem tertutup tidak mengalami pertukaran materi dengan lingkunan tetapi tetap dimungkinkan adanya pertukaran energi. Energi sistem tertutup tidak tetap. Apabila sistem mengalami kesetimbangan dengan lingkungan, maka energi sistem akan berada pada nilai rerata dan bergantung pada temperaturnya atau temperatur lingkungan. Sistem juga dapat diisolasi sehingga tida terjadi pertukaran baik energi maupun materi dengan lingkungan. Semua perubahan yang dialami oleh sistem terisolasi bergantung pada keadaan internalnya.
1.3
Peubah dan Fungsi Keadaan
Keadaan termodinamik (thermodynamic states) suatu sistem dinyatakan sebagai titik dalam ruang keadaan yang sumbu-sumbunya adalah peubah termodinamik, volume (V ), tekanan (P ) dan temperatur (T ). Peubah keadaan secara umum tidak saling bebas, dengan perkataan lain dapat bergantung satu sama lain. Kenyataan ini menyebabkan persamaan keadaan secara umum dapat dituliskan sebagai f (P, V, T ) = 0
(1.1)
yang merupakan sajian permukaan dalam ruang 3D yang sumbunya adalah P, V dan T . Setiap titik dalam ruang keadaan adalah titik setimbang dimana temperatur, densitas dan rerata kecepatan tidak berubah. Keadaan setimbang dapat didefinisikan sebagai keadaan dimana besaranbesaran termodinamik tidak mengalami perubahan terhadap waktu.
1.3. PEUBAH DAN FUNGSI KEADAAN
5
P
liquid
C
b a
solid Tr
vapor
T Gambar 1.1: Diagram fase sistem PVT (Air dalam fase padat, cair dan gas)
Untuk setiap titik keadaan dapat didefinisikan suatu fungsi termodinamik yang nilainya bergantung pada peubah termodinamik. Nilai peubah termodinamik diperoleh melalui pengukuran sedangkan fungsi termodinamik biasanya melalui perhitungan. Contoh fungsi termodinamik adalah energi dalam, entropi, energi bebas, entalpi dan panas jenis. Di antara fungi termodinamik, ada yang digolongkan sebagai fungsi keadaan (state function) yaitu fungsi yang nilainya tidak bergantung pada lintasan untuk mencapai titik keadaan bersangkutan. Salah satu contohnya adalah energi dalam (internal energy). Energi dalam dari suatu sistem adalah jumlah kandungan energi yang ada dalam sistem, terdiri atas energi potensial dan energi kinetik. Jika sistem dipanaskan, energi dalam sistem berubah sebab vibrasi molekul-molekul penyusunnya meningkat. Jadi energi dalam adalah fungsi dari temperatur. Tentu saja orang dapat membuat alat ukur yang memanipulasi respons luar sehingga seolah-olah dapat mengukur fungsi termodinamik secara langsung. Pada sisi lain, secara matematik suatu fungsi dapat di-invers-kan sehingga peubah bebasnya menjadi peubah bergantung. Ini menunjukkan bahwa penetapan peubah sepenuhnya bergantung pada pilihan. Contohnya, energi dalam sebagai fungsi termodinamik, pada kasus tertentu menjadi peubah termodinamik sebab merupakan fungsi keadaan. Besaran yang merupakan fungsi keadaan pada hakekatnya dapat dijadikan sebagai peubah termodinamik.
6
1.4
BAB 1. KONSEP DASAR
Ruang Keadaan dan Fase
Ruang keadaan dapat dipandang sebagai himpunan dari semua titik keadaan. Ruang keadaan dapat dibagi atas sejumlah himpunan bagian. Masing-masing himpunan bagian memiliki sifat homogen tertentu dan membentuk satu fase. Dua fase yang berbeda dapat dibatasi oleh pembatas fase. Ruang fase sistem PVT, fase cair, padat dan gas dibatasi oleh garis co-existence, sedangkan antara fase cair dan gas di atas temperatur kritis tidak ada pembatas. Sifat dan fase suatu sistem dapat dikarakterisasi dengan menggunakan fungsi termodinamik. Fase padat sebagai misal, dikarakterisasi melalui jarak antar molekul-molekulnya yang relatif statis.
1.5
Persamaan Keadaan
Persamaan keadaan adalah persamaan matematik yang melibatkan peubah atau fungsi termodinamik. Salah satu contoh yang lazim adalah persamaan gas ideal pV = nRT → T = T (P, V )
(1.2)
dimana n dan R masing-masing adalah jumlah mol zat dan tetapan umum gas per mol. Persamaan ini merupakan hasil percobaan oleh Charles dan Gay-Lussac sehingga disebut Hukum Charles-GayLussac. Tetapan umum gas dalam persamaan ini juga dapat dinyatakan dalam tetapan Boltzmann k yang juga disebut tetapan umum gas per molekul. Nilai keduanya dapat dihitung dari Hukum Boyle-Gay-Lussac bahwa volume 1 mol gas pada temperatur dan tekanan standar (T = 273K, P = 1Atm) adalah 22,4 liter, sehingga R=
PV (1Atm)(22, 4L) = = 8, 21 × 10−2 AtmL/molK nT (1mol)273K
Jika menggunakan Sistem Internasional (SI), maka satuan tekanan dan volume harus dinyatakan masing-masing dalam N/m2 dan m3 , sehingga R=
PV 1Atm(105 N m−2 /Atm)(22, 4L)(10−3 m3 /L) = = 8, 21N m/molK nT (1mol)273K
Untuk gas non-ideal, persaamaan keadaannya sudah tentu berbeda dengan Pers. 1.2. Contoh persamaan keadaan untuk gas non-ideal dinyatakan melalui expansi virial µ ¶ ³ n ´2 n nRT 1 + B2 (T ) + B3 (T ) + . . . P = V V V
(1.3)
dimana Bn merupakan tetapan virial ke-n. Untuk gas ideal, Bn = 0, sedangkan untuk gas kuantum ideal (gas Bose-Einstein dan gas Fermi-Dirac), nilai Bn 6= 0.
1.6. PROSES-PROSES TERMODINAMIKA
7
Untuk gas dimana molekul-molekulnya berinteraksi, persamaan keadaanya dapat dinyatakan oleh persamaan Van der Waals sbb P =
nRT V − nb
(1.4)
dimana b merupakan parameter yang bersesuaian dengan pengurangan volume gas akibat adanya interaksi antara molekul berupa gaya tolak menolak. Persamaan keadaan ini adalah koreksi terhadap persamaan keadaan gas ideal. Hal ini dapat dilihat dari penyebut Pers. (1.4) dimana akibat interaksi tarik menarik (attractive), volume sistem mengecil (b > 0) atau membesar jika interaksinya tolak menolak (repulsive).
1.6
Proses-Proses Termodinamika
Proses termodinamik adalah perubahaan yang terjadi akibat perubahan peubah termodinamik. Proses digambarkan sebagai kurva disertai tanda panah dalam ruang keadaan (Lihat Gb. 1.2). Panah menujukkan arah berlangsungnya proses. Proses expansi misalnya terjadi akibat membesarnya volume yang biasanya sebagai akibat pemanasan. Proses dapat berlangsung secara perlahan sedemikian sehingga titik-titik keadaan yang dilewati selama proses semuanya merupakan keadaan setimbang. Keadaan setimbang berati setiap bagian sistem tidak berubah terhadap waktu. Bentuk kurva sebagai representasi proses termodinamik harus sesuai dengan hukum-hukum termodinamika. Dalam suatu proses, beberapa peubah termodinamik (P, V dan T ) dapat berubah secara simultan atau salah satunya dibuat tetap. Misalnya, proses isobarik berlangsung pada tekanan tetap sedangkan proses isokhorik berlangsung pada volume tetap.
P P1
A
VA
B
V
V
Gambar 1.2: Proses dari A ke B berlangsung pada tekanan tetap.
8
BAB 1. KONSEP DASAR
Jika sistem dibiarkan tanpa pengaruh luar, maka sistem tidak akan mengalami perubahan keadaan, dengan kata lain tidak terjadi proses. Kenyataannya, sistem merespon pengaruh luar untuk menuju ke keadaan yang susuai dengan parameter-paremeter luar dan paramenetr-parameter intenalnya. Ketika sistem sedang dalam tahap berubah, berarti sistem tidak berada dalam keadaan setimbang. Artinya, kendati pengaruh luar sudah lenyap, sistem masih mungkin mengalami proses, yaitu proses menuju kesetimbangan. Suatu sistem disebut berada dalam keadaan setimbang jika semua parameter internalnya secara rata-rata tidak lagi berubah. Disebut rata-rata karena secara mikroskopik, sistem senantiasa mengalami fluktuasi. Jadi ada perubahan kecil setiap saat. Dalam hubungannya dengan keadaan setimbang, proses termodinamika dibedakan atas proses statik, quasi-statik dan proses dinamik. Sebagai analogi, keadaan statik dalam mekanika adalah keadaan dimana tidak terjadi gerak dengan kata lain benda diam. Contoh untuk proses statik adalah gas dalam wadah tanpa ada pengaruh luar. Sedangkan untuk proses quasi-statik, sistem mengalami proses sedemikian setiap keadaan merupakan keadaan setimbang. Gas dalam wadah yang dipanaskan dengan sangat perlahan akan menjadikan sistem mengalami perubahan keadaan dimana setiap titik keadaan merupakan titik setimbang. Sedangkan untuk proses dinamik, perubahan keadaan dari A ke B diantarai oleh keadaan yang tidak setimbang.
Proses Isokhorik Iso dari bahasa latin ratinya sama atau tetap sedangkan khorik berarti volume. Proses isockhorik adalah proses dengan volume tetap. Pada proses isokhorik, tidak ada kerja sebab kerja didefinisikan sebagai W = P dV dimana dV = 0.
Proses Isobarik Bar artinya tekanan, sebab itu alat pengukur tekanan disebut barometer. Proses Isobarik adalah proses perubahan gas yang terjadi pada tekanan tetap. Untuk gas ideal, pV = nRT , maka kerja yang dilakukan atau diterima selama proses isobarik adalah
W = P dV = nRdT
9
P
1.6. PROSES-PROSES TERMODINAMIKA
V
Gambar 1.3: Proses dari A ke B berlangsung pada suhu tetap.
Proses Isotermik Proses isotermik adalah perubahan keadaan yang terjadi pada temperatur tetap. Biasanya sistem dihubungkan dengan kolam bahang (heat bath) dan perubahan terjadi secara perlahan yang memungkinkan terjadinya kesetimbangan termal antara resevoir dan sistem. Sistem menerima kalor ∆Q 6= 0, sementara ∆T = 0. Persamaan keadaan gas ideal adalah P =
nRT c = V V
(1.5)
dimana c adalah tetapan. Gambar (1.3) menunjukkan kurva-kurva isotermis untuk berbagai nilai temperatur. Kurva pada bagian kiri temperaturnya lebih rendah dari kurva bagian kanan. Kerja yang dilakukan oleh sistem yang mengalami proses isotermik adalah Z V2 V2 P dV = nRT ln W = V1 V1
(1.6)
Proses Adiabatik Proses adiabatik terjadi pada keadaan tidak ada pertukaran kalor dengan lingkungan, sehingga dQ = 0. Berbeda dengan proses isotermik, pada proses adibataik ∆T 6== 0. Hukum I Termodinamika dituliskan sebagai dU
= dQ − W → dU = −W
dU
= −P dV
10
BAB 1. KONSEP DASAR
Dari persamaan gas ideal P V = nRT diperoleh d(P V ) = d(nRT ) → P dV + V dP = nRdT Hubungan antara perubahan energi dalam dU dengan kenaikan temperatur adalah dU = ncV dT
(1.7)
Dengan menggunakan hubungan dari Hk I, yaitu dU = −P dV dan mensubtitusi dT dari P dV + V dP = nRdT , diperoleh dU = ncV dT → −P dV −
R P dV cV
=
ncV [P dV + V dP ] nR
= P dV + V dP
(1.8) (1.9) (1.10)
Dari definisi cP = cV + R dan γ = cP /cV diperoleh dP dV +γ =0 P V terakhir menghasilkan
PV γ = C
(1.11)
dimana C adalah tetapan.
Contoh soal
Untuk proses adiabatik dari B ke C, buktikan bahwa TB = TC
µ
VC VB
¶γ−1
Jika proses terjadi dari keadaan B ke C, maka PB VB VBγ−1 = PC VC VCγ−1 = Persamaan keadaan gas ideal P V = nRT , diperoleh TB VBγ−1 = TC VC VCγ−1 =→
TB = TC
µ
VC VB
¶γ−1
1.7. SOAL-SOAL LATIHAN
1.7
11
Soal-soal latihan
1. Jelaskan perbedaan antara sistem dan lingkungan. 2. Uraikan persamaan dan perbedaan antara sistem terbuka, tertutup dan sistem terisolasi. 3. Jelaskan perbedaan antara proses quasi-statik dan proses dinamik. 4. Dengan menggunakan Hk. Avogadro bahwa jumlah molekul gas pada keadaan baku (standar) adalah 6, 02 × 102 3 molekul, hitunglah tetapan Boltzmann k dari hubungnan P V = N kT . Hitung pula tetapan umum gas R dari hubungan P V = nRT . Selanjutnya, uraikan makna fisis dari k dan R.
12
BAB 1. KONSEP DASAR
Bab 2
Hukum-Hukum Termodinamika Hukum-hukum termodinamika adalah ketetapan yang berlaku pada proses dan gejala termodinamik. Hukum-hukum ini bersifat fenomenologis (diturunkan langsung dari percobaan, bukan melalui penelusuran hukum-hukum dasar mekanika). Terdapat empat hukum termodinamika yaitu Hukum ke-nol, pertama, kedua, dan hukum ketiga.
2.1
Hukum Ke-Nol
Hukum ke-nol termodinamika adalah hukum kesetimbangan termal. Hukum ini mengungkapkan bahwa jika dua buah sistem setimbang termal dengan sistem ketiga maka keduanya juga setimbang termal satu dengan yang lain. Dari segi nama, hukum ke-nol termodinamik tidak lazim sebab pada umumnya penomoran dimulai dari pertama, kedua, dst. Hal ini berkaitan dengan kronologi bahwa hukum pertama, kedua dan ketiga telah dikenal lebih awal. Hukum kesetimbangan termal meskipun baru ditemukan kemudian, tetapi karena sifatnya lebih dasar, maka diberi nomor lebih awal dari hukum I, sehingga menjadi hukum ke-nol. Berdasarkan hukum ke-nol, jika tiga buah sistem A, B dan C, masing-masing dengan pasangan koordinat tekanan dan volume (PA , VA ), (PB , V B) dan (PC , VC ). setimbang termal maka akan ada fungsi bernilai tunggal T sedemikian T = TA (PA , VA ) = TB (PB , VB ) = Tc (PC , VC )
(2.1)
Artinya ada hubungan fungsional antara P, V dan T , dengan perkataan lain ketiganya tidak saling 13
14
BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA
Gambar 2.1: Permukaan keadaan termodinamika.
bebas sehingga dapat dituliskan sebagai T = T (P, V ) → f (P, V, T ) = 0
(2.2)
Implikasi matematiknya adalah bahwa ruang keadaan dari sistem termodinamik akan berupa permukaan (Lihat Gmb. 2.1.). Oleh karena ketiga peubah tersebut tidak saling bebas, maka kita dapat memilih tiga kemungkinan pasangan koordinat, yaitu (P, V ), (P, T ) dan T, V . Hal ini ekivalen dengan menyatakan bahwa ruang keadaan diproyeksi ke bidang keadaan. Misalkan dipilih pasangan (P, V ), maka ¶ ¶ µ µ ∂T ∂T dT = dP + dV ∂P V ∂V P
(2.3)
Dua pasangan yang lain menghasilkan dP dV
2.2
¶ ¶ µ ∂P ∂P dT + dV = ∂T V ∂V T µ ¶ ¶ µ ∂V ∂V = dP + dT ∂P T ∂T P µ
(2.4) (2.5)
Hukum Pertama
Hukum I termodinamika adalah pernyataan kuantatif hubungan antara kalor yang diserap oleh sistem, kerja yang dilakukan dan perubahan energi dalam. Menurut Hukum I: perubahan energi dalam sistem dU = dQ − dW
(2.6)
2.2. HUKUM PERTAMA
15
6 P
1
4
0.8
2 0
0.6 0.2
0.4
T
0.4 0.6 V
0.2 0.8 1
Gambar 2.2: Ruang keadaan dengan peubah termodinamik P dan V .
tidak bergantung pada lintasan terjadinya proses termodinamik, melainkan hanya ditentukan oleh keadaan awal dan keadaan akhir dari sistem. Selisih antara kalor yang diserap dan kerja yang dilakukan selalu sama dengan perubahan energi dalam. Dengan demikian terlihat bahwa tidak ada energi yang hilang. Itu sebabnya hukum ini ekivalen dengan hukum kekekalan energi. Meskipun kalor dan kerja bukan merupakan fungsi keadaan, selisih antara keduanya yaitu energi dalam merupakan fungsi keadaan. Jika peubah bebas untuk U dipilih P dan V , maka µ ¶ ¶ µ ∂U ∂U dU = dV + dP ∂V P ∂P V Selanjutnya dari Hk. I dQ = dU + dW = dU + pdV , diperoleh ¶ ¶ µ µ ∂U ∂U dV + dP + pdV dQ = ∂V P ∂P V ·µ ¶ ¶ ¸ µ ∂U ∂U dQ = + P dV + dP ∂V P ∂P V Jika peubah bebasnya adalah (T, P ), sajian Hk. I menjadi ·µ ¶ ¶ ¸ ·µ ¶ ¶ ¸ µ µ ∂U ∂U ∂U ∂V dQ = dT + dP +P +P ∂T P ∂T P ∂P T ∂P T Sedangkan jika peubah bebas adalah (T, V ) maka ¶ ¶ ·µ ¸ µ ∂U ∂U dT + + P dV dQ = ∂T V ∂V T
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
16
BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA
Dari persamaan-persamaan ini diperoleh CV CP
µ
¶ ∂U = ∂T V µ ¶ ∂H = ∂T P
(2.11) (2.12)
dimana CV dan CP masing-masing adalah panas jenis pada volume dan tekanan tetap, sedangkan H = U + P V adalah entalpi sistem.
2.3
Hukum Kedua
Hukum ini pada hakekatnya merupakan kriteria kelayakan berlangsungnya suatu proses termodinamik. Ia berkaitan dengan arah waktu yang selalu maju dan tidak pernah mundur. Sebagaimana dipahami, kita tidak pernah menyaksikan kalor diserap oleh benda panas dari benda dingin kendati hal ini tidak bertentangan dengan Hk. I. Alasannya, perpindahan kalor misalnya sejumlah 50 Kkal, akan diterima sejumlah itu juga, jadi tidak ada kelor yang hilang; dengan perkataan lain kalor kekal. Pertanyaannya, kenapa hal ini tidak berlangsung? Jawabnya karena bertentangan dengan Hk. II termodinamika. Jika kalor diserap oleh benda yang bertemperatur lebih tinggi maka itu artinya entropi mengecil, sementara suatu proses dapat berlangsung jika entropi membesar. Entropi merupakan besaran sentral dalam pembahasan Hukum II. Itu sebabnya Hk. II biasa disebut sebagai Hk. entropi. Pernyataan Hk. II dinyatakan dalam berbagai redaksi yang ekivalen, antara lain:
Kelvin: Tidak mungkin ada proses termodinamika dimana sistem hanya menyerap kalor dan mengubah seluruhnya menjadi kerja. Clausius: Tidak mungkin ada proses termodinamika dimana sistem hanya menyerap kalor dari resevoir bertemperatur rendah dan membuangnya pada resevoir bertemperatur tinggi.
Pernyataan Kelvin menegaskan bahwa tidak mungkin membuat mesin yang efisiensinya 100% sedangkan Clasius secara tidak langsung mensyaratkan adanya kerja ekternal untuk mengalirkan kalor dari resevoir bertemperatur rendah ke resevoir bertemperatur tinggi. Kedua pernyataan Hk. II di atas setara. Pembuktian kesetaraan dapat dilakukan dengan mengasumsikan bahwa kedua perntaan tersebut salah. Jika pernyataan Kelvin salah, maka kita dapat
2.3. HUKUM KEDUA
17
P
A B
D C
V1
V2
V
Gambar 2.3: Siklus Carnot, dua proses isotermal, dua proses adiabatik.
membuat mesin yang menyerap kalor dari resevoir bertemperatur T1 . Kalor tersebut kemudian diubah seluruhnya menjadi kerja dan memberikannya ke resevoir T2 , dimana T2 > T1 . Implikasi, kita telah membuat proses yang menyerap kalor dari resevoir T1 dan memberikannya ke resevoir T2 , padahal T2 > T 1. Artinya, kedua pernyataan tersebut salah.
2.3.1
Siklus Carnot
Siklus Carnot adalah proses termodinamik yang dialami oleh zat kerja (working substance) pada mesin Carnot. Siklus ini terdiri atas dua proses isotermal dan dua proses adiabatik. Proses isotermal pertama terjadi pada temperatur tinggi, Th , dimana zat mengalami ekspansi dan menyerap kalor Qh . Proses isotermal kedua terjadi pada temperatur rendah Tc , dimana zat mengalami kompresi dan melepas kalor Qc . Dua kurva isotermal ini dihubungkan oleh dua kurva adibatik dimana adiabatik pertama zat mengalami ekspansi, sedangkan adiabatik kedua zat mengalami kompresi. Diagram siklus Carnot terdapat dalam Gmb. 2.3. Pada siklus Carnot kalor diserap dan kemudian sebagian dikonversi menjadi kerja mekanik dan sebagiannya dilepaskan lagi sebagai kalor. Oleh karena perubahan energi dalam ∆U = 0 untuk proses tertutup (siklus), maka berdasarkan Hk. I, W = Qh − Qc Efisiensi mesin Carnot adalah η=
W Qc =1− Qa Qh
(2.13)
Kalor Qc dapat diperoleh dari Hk. I, yaitu dengan menghitung kerja oleh proses isotermal yaitu
18
BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA
sbb: WAB =
Z
VB
P dV =
Z
VB
VA
VA
nRTh VB dV = nRTh ln V VA
(2.14)
Untuk proses isotermal, ∆U = 0, sehingga Q = W . Perbandingan kalor yang dilepas dan kalor yang diserap adalah Tc ln(VC /VD ) Qc = Qh Th ln(VB /VA )
(2.15)
Efisiensi mesin adalah η=
W Qin − Qout Qout = atau η = 1 − Qin Qin Qin
Analisis proses adiabatik dimana berlaku P V γ = C menghasilkan VC VB = VA VD sehingga η =1−
Qc Tc =1− Qh Th
(2.16)
Soal Buktikan bahwa kurva proses isotermik dan adiabatik sebagaimana digambarkan dalam kurva untuk siklus Carnot, kurva adiabatik lebih curam dari pada isotermik.
Solusi Pada proses adiabatik, tidak ada pertukaran kalor antara sistem dan lingkungan dQ = 0, sehingga berdasarkan Hk. I dU = dQ − W → dU = −W → nCV dT = −P dV Sebab dU = nCV dT Selanjutnya, dari persamaan gas ideal d(P V ) = nRdT berarti P dV + V dP = nRdT Dengan mengiliminasi dT diperoleh P dV + V dP = −
R P dV CV
Dengan memasukkan R = CP − CV dan mengalikannya dengan 1/P V diperoleh dP dV dP dV dV + = −(γ − 1) → +γ =0 V P V P V Hasilnya adalah P V γ = Konstan
2.3. HUKUM KEDUA
19
Siklus Otto Kerja dari CD: WCD =
Z
D
Z
D
P dV =
1 (PD VD − PC VC ) 1−γ
P dV =
1 (PC VC − PD VD ) γ−1
C
Karena γ > 1, maka WCD =
C
2.3.2
Entropi
Konsep entropi (diperkenalkan oleh Clausius) muncul dalam termodinamika untuk membahas proses termodinamik dan keadaan kesetimbangan sistem. Entropi secara makroskopik didefinisikan sebagai dS =
dQ T
dimana dQ adalah pertukaran kalor antara sistem dan lingkungan dan T adalah temperatur mutlak. Perubahan entropi harus positif (dS > o) agar proses dapat berlangsung. Artinya, kalor harus diserap oleh sistem. Penyerapan kalor oleh sistem akan meningkatkan derajat ketidak teraturan sistem. Pendefinisian secara mikroskopik dikaitkan dengan keberadaan keadaan makro dan keadaan mikro. Suatu keadaan makro terdiri atas sejumlah keadaan mikro. Keadaan setimbang bersesuaian dengan keadaan makro yang memiliki jumlah keadaan mikro paling banyak. selanjutnya entropi didefinisikan sebagai S = k ln Ω
(2.17)
dimana Ω adalah bobot statistik dari keadaan makro yang bersesuaian dengan keadaan setimbang. Hk. II termodinamika memungkinkan kita mendefinisikan besaran termodinamik entropi S yang fungsi keadaan.
Teorema 2.1 (Teorema Clausius) Dalam suatu proses termodinamika tertutup, ketidaksamaan berikut selalu berlaku I
dQ ≤0 T
dimana integrasi dilakukan dalam proses tertutup. Tanda sama dengan berlaku untuk proses reversibel.
20
2.4
BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA
Hukum III Termodinamika
Hukum III Termodinamika diusulkan pertama kali oleh Nernst dalam Tahun 1906 M berdasarkan hasil eksperimen yang berimplikasi pada mekanika kuantum. Dapat dikatakan bahwa suatu sistem pada temperatur nol mutlak (0K) jatuh pada keadaan kuantum paling rendah dan menjadi sangat teratur sehingga entropinya minimum. Hukum III dapat dinyatakan dalam redaksi yang setara yaitu: tidak mungkin mencapai temperatur nol mutlak melalui sejumlah proses dapat balik (reversibel) . Pernyataan ini dapat dibuktikan lewat analisis entropi. Dalam Gambar 2.4 ditunjukkan dua kurva yang bersesuaian dengan keadaan X = 0 dan X = X1 untuk sembarang sistem. Sistem dapat didinginkan melalui sejumlah proses adiabatik dan isotermal antara kedua kurva keadaan tersebut. Dengan menggunakan dalil diferensial, dapat T
2
1
4 3 6
5 S
Gambar 2.4: Perubahan Temperatur terhadap S, Tidak Mungkin Mencapai OK.
dituliskan persamaan berikut µ
∂T ∂Y
¶
= SN
µ
∂T ∂S
¶
+ YN
µ
∂S ∂Y
¶
(2.18) TN
Syarat stabilitas termal memerlukan (∂S/∂T )Y ≥ 0. Pers. (2.18) mengungkapkan bahwa jika T berkurang akibat membesarnya Y secara isentropik, maka S harus mengecil akibat pengurangan Y secara isotermal seperti dalam Gmb. 2.4.
2.5
Potensial Termodinamik
Potensial termodinamik adalah fungsi termodinamik yang digunakan dalam membahas sifat dan stabilitas suatu sistem termodinamik.
2.5. POTENSIAL TERMODINAMIK
21
Potensial termodinamik yang umum digunakan adalah energi dalam (U ), energi bebas Helmholtz (H), energi bebas Gibbs (G), entalpi (H) dan potensial grand. Proses termodinamik melibatkan peubah dan fungsi termodinamik tertentu. Secara matematik, biasanya pasangan peubah dan fungsi tertentu lebih elegan dibandingkan jika menggunakan pasangan peubah termodinamik yang lain. Contohnya, peninjauan fisika biasanya menggunakan energi dalam U (V, T ) sebagai potensial termodinamik, sedangkan dalam kimia digunakan entalpi H(P, T ). Antara dua peubah ini dapat dilakukan transformasi, yaitu transformasi Legendre.
Contoh soal Jika Hukum termodinamika I digabungkan dengan hukum termodinamika II yaitu dq = T ds, maka tunjukkalah bahwa kita dapat memperoleh dua persamaan berikut µ ¶ µ ¶ ∂s 1 ∂u = ∂T v T ∂T v
22
BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA
Bagian II
Mekanika Statistik
23
Bab 3
Konsep Dasar Fisika Statistik 3.1
Pendahuluan
Sesuai namanya, fisika statistik adalah kajian fisika yang memanfaatkan pendekatan statistik untuk menganalisis sifat bahan. Fisika statistik merupakan kajian teoretik dari termodinamika. Jika termodinamika bersifat fenomenologis, maka fisika statistik justru berupaya membahas hubungan kausalitas suatu fenomena. Sebab itu, fisika statistik melibatkan tinjauan mikroskopik yang memperhitungkan kenyataan bahwa benda terdiri atas atom-atom dan molekul. Tinjauan mikroskopik melalui fisika statistik tidak berarti menghitung secara rinci prilaku setiap molekul atau partikel, sebab jika hal itu dilakukan selain tidak praktis juga akan sangat sulit. Jumlah molekul dalam satu mol zat ordenya sekitar 1023 , bilangan yang sangat besar. Peratarataan dengan menggunakan statistik merupakan perangkat utama dalam fisika statistik.
3.2
Keadaan Makro dan Mikro
Keadaan termodinamika digambarkan sebagai titik dalam ruang keadaan. Setiap titik dalam diagram fase sistem P V T bersesuan dengan sebuah keadaan, yaitu keadaan termodinamik. Keadaan termodinamik adalah keadaan makro (macrostate). Setiap keadaan makro bersesuaian dengan banyak sekali keadaan mikro, bahkan tak-hingga untuk sistem kontinu. Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat dari semua elemen mikroskopik. 25
Keadaan-keadaan
26
BAB 3. KONSEP DASAR FISIKA STATISTIK
mikroskopik suatu sistem dapat dinyatakan dalam ruang fase. Ruang fase dari suatu gas dalam wadah tertutup yang terdiri atas N molekul dapat digambarkan dalam ruang fase berdimensi 6N , yaitu {x1 · · · pzN }.
3.3
Majelis (Ensemble)
Majelis secara umum berarti kumpulan orang atau obyek. Makna kata majelis dapat dipahami dengan mudah sebab sering didengar, misalnya Majelis Permusyawatan Rakyat (MPR). Majelis dalam mekanika statistik adalah konstruksi mental dan dikaitkan dengan keadaan mikroskopik atau konfigurasi sesaat dari sistem. Anggota majelis dalam mekanika statistik bukan berupa benda, melainkan konfigurasi dari elemen mikroskopik. Sebagai contoh sederhana, jika kita memiliki dua anak panah dengan orientasi ke atas atau ke bawah maka ada empat kemungkinan konfigurasi yaitu: {(↓↓), (↓↑), (↑↓), (↑↑)}. Meskipun sistemnya hanya terdiri atas dua anak panah, jumlah anggota majelisnya ada empat. Suatu majelis dapat ditandai sebagai Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } = {ωi : i = 1, 2, . . . n}. Artinya, majelis tersebut terdiri atas Ω anggota. Masing-masing anggota majelis memiliki kebolehjadian untuk muncul. Tinjaulah gas dalam ruang. Pada saat t = 0, sistem berada pada konfigurasi tertentu dimana letak dan momentum molekul-molekul gas terdefinisi secara prinsip diketahui. Sesaat kemudian, konfigurasi berubah menjadi konfigurasi lain. Apabila digambarkan, maka akan terdapat takhingga konfigurasi dari letak molekul-molekul gas. Setiap konfigurasi ini merupakan aggota dari majelis, yakni majelis makrokanonik. Kita dapat membagi majelis tersebut menjadi majelis yang lebih kecil; misalkan dikatakan bahwa suatu majelis kecil, dalam hal ini majelis mikrokanonik, (micro-canonical ensemble) bersesuian dengan temperatur dan tekanan Ta dan Va . Maka, semua konfigurasi yang cocok dengan Ta dan Va menjadi anggota dari majelis bersangkutan. Sedangkan konfigurasi yang tidak sesuai dengan Ta dan Va merupakan anggota dari majelis yang lain. Konfigurasi adalah keadaan mikro sedangkan keadaan yang bersesuaian dengan pasangan peubah makroskopik (Va , Ta ) adalah keadaan makro. Keadaan makro beranggotakan banyak keadaan mikro. Untuk lebih mudahnya, kita misalkan terdapat 4 orang prajurit yang ditugaskan mengecek dua
3.3. MAJELIS (ENSEMBLE)
27
buah bilik. Kita dapat mengambil satu keadaan makro dengan kriteria 2 prajurit di bilik pertama sedangkan 2 lainnya di bilik lain. Untuk keadaan makro ini, terdapat beberapa keadaan mikro. Andaikan prajurit-prajurit tersebut diberi label a, b, c dan d, maka keadaan-keadaan mikro yang berseusaian adalah seperti terdapat dalam baris ketiga Tabel 3.1. Table 3.1: Keadaan Makro dan Keadaan Mikro
3.3.1
Keadaan Makro
Keadaan Mikro
(4,0)
(abcd,...)
(3,1)
(abc,d),(abd,c),(acd,b),(bcd,a)
(2,2)
(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)
(1,3)
(d,abc),(c,abd),(b,acd),(a,bcd)
(0,4)
(...,abcd)
Ruang Fase
Tinjaulah suatu gas dalam wadah. Jumlah molekul gas sangat banyak, ordenya pada kisaran bilangan Avogadro, 6, 02 × 1023 . Jika kita membagi wadah menjadi empat bilik, lalu kita andaikan suatu keadaan makro dimana masing-masing bilik terisi oleh 1/4 bagian gas, maka jumlah keadaan mikro yang bersesuaian dengan ini akan sangat banyak. Akan tetapi, jika molekul-molekul gas tersebut tidak terbedakan, maka semua keadaan mikro yang ada akan identik. Akibatnya, pemerian keadaan mikro menjadi hal yang trivial (tidak penting). Pemerian keadaan mikro untuk sistem gas adalah dengan menandai posisi dan kecepatan setiap molekul gas. Andaikan kita memotret gas tersebut pada suatu saat tertentu dan kita memperoleh data detail sbb {x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ; px1 , py1 , pz1 , . . . , pxN , pyN , pzN } dimana qn = (xn , yn , zn ) adalah posisi molekul ke-n dengan momentum pn = (pxn , pyn , pzn ). Hasil pemotretan ini dapat digambarkan sebagai sebuah titik dalam ruang koordinat 6 dimensi, yaitu 3 sumbu koordinat untuk posisi dan 3 sumbu lainnya untuk kecepatan. Setiap titik dalam koordinat tersebut dapat dinyatakan dalam pasangan koordinat (qn , vn ), n = 1, . . . 3N , yang masing=masing merupakan sebuah keadaan mikro. Kumpulan dari semua titik membetuk ruang fase yang menyatakan semua kemungkinan keadaan mikro. Evolusi temporal dari sistem akan bersesuaian dengan sebuah kurva (qv (t), pv (t)) dalam ruang-fase.
28
BAB 3. KONSEP DASAR FISIKA STATISTIK
Kurva ini diberi nama trayektori ruang-fase dan memenuhi persamaan Hamilton sbb q˙n =
∂H , ∂pn
p˙n = −
∂H ∂qn
(3.1)
dimana Hamiltonian H(qn , pn ) bersesuaian dengan energi total dari sistem. Untuk sistem tertutup, Hamiltonian tidak bergantung waktu, artinya energi tetap (kekal) sehingga H(qn , pn ) = E = konstan
(3.2)
Secara umum perubahan waktu besaran A(q, t) dapat dinyatakan sebagai ¶ 3N µ ∂A X ∂H ∂H dA = + dq˙n + dp˙n dt ∂t ∂qn ∂pn n=1
(3.3)
Dengan menggunakan Pers. (3.1) diperoleh, dA dt
3N
= =
∂A X + ∂t n=1
µ
∂H ∂H dq˙n + dp˙n ∂qn ∂pn
¶
∂A + {A, H} ∂t
dimana {A, H} dinamakan kurung Poisson.
Sebagai ilustrasi, jika diambil A = H, dengan
∂H/∂t = 0, maka {H, H} = 0, berarti dH/dt = 0 yang menunjukkan hukum kekalan momentum. Teoremanya, jika H, tidak bergantung secara eksplisit terhadap waktu maka energi tidak mengalami perubahan. dx dt 1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
x
-0.5
-1
Gambar 3.1: Penggambaran gerak osilator harmonik dalam ruang fasa
Konsep ruang fase banyak dijumpai dalam mekanika analitik, misalnya dalam menggambarkan gerak osilator harmonik. Solusi persamaan geraknya dinyatakan oleh x = A sin(wt + φ). Ruang fase gerak osilator harmonik ditunjukkan oleh Gambar 3.1 dimana x sebagai sumbu horizontal dan x˙ = dx/dt sebagai sumbu vertikal. Setiap titik pada kurva garis fase menyatakan secara lengkap keadaan sistem.
3.4. TEOREMA LIOVILLE
3.4
29
Teorema Lioville
Majelis titik konfigurasi membentuk ruang fase. Contohnya, untuk model spin Ising yang menempati kisi bujur sangkar dengan sisi L, berarti terdapat N = L2 spins, maka jumlah titik konfigurasi dalam raung fase adalah 2N . Teorema Lioville menyatakan bahwa volume dari ruang fase dalam aliran fase (dinamika) adalah tetap. Teorema ini lebih mudah dipahami untuk sistem diskret seperti model Ising sebab jumlah konfigurasinya berhingga. Berbeda dengan model Ising, molekul-molekul gas dalam suatu wadah memiliki jumlah konfigurasi yang tak berhingga sebab sistemnya bersifat kontinu, bukan diskret. Jika dilakukan pemotretan terhadap konfigurasi molekul-molekul gas, maka untuk setiap titik waktu t, potret yang dipeoleh selalu berbeda. Perubahan dari satu konfigurasi ke konfigurasi lainnya terus menerus membentuk suatu lintasan konfigurasi. Bentuk dari lintasan konfigurasi dalam ruang fase secara fisis diyakini dapat ditelusuri dari hukum-hukum mekanika Newton melalui formulasi Hamilton ssb q˙i =
∂H ∂pi
p˙i = −
∂H ∂qi
(3.4)
Persamaan ini memungkinkan perolehan posisi dan momentum setiap partikel gas. Karena sistemnya tertutup (volume berhingga), maka ruang fase {xi , pix } juga terbatas. Hamiltonian H sebagai tetapan gerak (untuk sistem non-dissipatif), menyebabkan E(xi ) = const, yang mendefinisikan supra-permukaan (hyper-surface) N − 1 dimensi. Lintasan dari dinamika titik ruang fase berada pada permukaan ini. Sebelum pembuktian teorema ini secara umum kita tinjau aliran fase dari sebuah pendulum. Undriven pendulum dinyatakan oleh Hamiltonian berikut H(t, θ, pθ ) =
p2θ + glm cos θ 22 lm
(3.5)
Penggambaran ruang fase dari pendulum ini kemudian menandai suatu trayektorinya akan menghasilkan bahwa pada selang waktu yang sama volume (luasan) dari ruag fase tetap (preserved). Penggambaran teorema Lioville dapat dilihat pada aliran fluida. Volume fluida (yang tidak termampatkan) selama mengalir tidak berubah (tetap), kendati bentuk geometrinya dapat berubah. Jadi, teorema Lioville berkaitan dengan suatu obyek yang bergerak, volumenya tetap selama geraknya. Teorema Lioville berkaitan denga obyek (dalam hal ini) ruang fase. Volume ruang fase konstan selama aliran dari ruang fase ini. Kendati secara prinsip lintasan dari titik ruang fase pada supra-permukaan ini bersifat determnisi-
30
BAB 3. KONSEP DASAR FISIKA STATISTIK
tik, namum bentuknya tidak teratur (zigzag) sehingga dapat ditafsirkan mengikuti hukum-hukum statistik. Tidak ada pengtahuan pasti kapan titik ruang fase berada pada suatu lokasi tertentu, tetapi kita dapat mengkuantsasi peluang keberadaannya pada suatu area, misalnya A. Suprapermukaan dalam kalkulus probabilty dinamakan ruang atribut (atribute space). Selanjutnya kita dapat menyatakan permukaan ini melalui koordinat-koordinat ortogonal (y1 , · · · , yN −1 ) dan mendefinisikan pada ruang atribut ini suatu fungsi distribusi ϕ(y1 , · · · , yN −1 ) yang integralnnya pada daerah ini menyatakan kebolehjadian berada pada daerah A, yaitu Z p(SA ) = Dyϕ(y1 , · · · , yN −1 ); Dy = Πdyi A
Teorema Lioville mengatakan bahwa volume (luas) dari A konstan1 . Pembuktian kualitatif teorema ini adalah sbb. Andaikan kita melakukan duplikasi dari semua titik yang terdapat pada domain A. Selanjutnya semua titik konfigurasi ini dibiarkan berevolusi sesuai dengan hukum Newton, (Pers. (3.4)), perubahan duplikasi pertama A → A′ , dan yang kedua A → A′′ , maka volume dari A, A′
dan A′′ adalah sama. Teorema Lioville ekivalen dengan keseimbangan rinci pada metoda Monte Carlo.
3.5
Soal-Soal Bagian 3
1. Jelaskan perbedaan dasar dari termodinamika dan fisika statistik. 2. Berikan tiga buah contoh kasus yang dapat menjelaskan dengan baik tentang konsep keadaan makro (macrostate) dan keadaan mikro. 3. Hitung jumlah keadaan mikroskopik dari 4 orang mahasiswa yang akan duduk pada 5 kursi yang disiapkan. 4. Apa yang dimaksud dengan majelis, berikan contohnya untuk kasus fisika statistik. 5. Jika dua buah atom menempati titik kisi segi empat L = 2 × 3, maka tuliskanlah keadaankeadaan mikroskopiknya. 6. Besaran A(p, q, t) bergantung secara ekplisit terhadap waktu. Telusuri perolehan kurung Poisson dengan menurunkan terhadap waktu dari besaran ini
1 Ref.
[5]
Bab 4
Konsep-Konsep Statistik 4.1
Kebolehjadian
Kebolehjadian (probability) merupakan konsep penting dalam statistik. Kebolehjadian adalah ukuran kuantitatif akan terealisasinya suatu harapan atau kemungkinan (possibility). Sebagai contoh, dalam suatu percobaan acak misalnya pelemparan dadu terdapat 6 kemungkinan. Kebolehjadian munculnya angka 4 (ditulis P (4)) adalah 1/6. Makna fisis dari P (4) = 1/6 adalah bahwa jika dadu dilemparkan N kali, maka angka 4 akan muncul kurang lebih sebanyak P (4).N = (N/6) kali. Untuk 600 kali lemparan, angka empat muncul sekitar 100 kali. Semua kemungkinan dari suatu percobaan acak membentuk himpunan yang disebut ruang cuplikan (sample space). Untuk contoh yang disebutkan di atas, ruang cupilkan memiliki 6 anggota yaitu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ruang cuplikan untuk dua kali lemparan adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), · · · , (2, 1), (2, 2), · · · , (6, 6)} yang terdiri atas 36 anggota. Ruang cuplikan yang terakhir ini sama dengan ruang cuplikan pelemparan secara bersamaan dua buah dadu. Elemen (1, 1) dari ruang cuplikan pertama adalah representasi dari dua kali lemparan, sedangkan (1, 1) untuk yang kedua adalah representasi dari sebuah lemparan. Hal ini berarti bahwa dua percobaan acak berbeda dapat meiliki ruang cuplik yang sama. Jika menggunakan bahasa teori relativitas (sistem koordinat ruang-waktu (4D)), (1, 1) untuk yang pertama adalah representasi dari dua buah peristiwa (event), sedangkan (1, 1) untuk yang kedua adalah sebuah peristiwa. Konsep peristiwa/kejadian dalam statistik, sebagaimana akan disinggung, berbeda dengan konsep peristiwa dalam Teori Relativitas. 31
32
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK Contoh Soal Buatlah ruang cuplikan untuk hasil pelemparan koin (uang logam) sebanyak 3 kali.
Solusi Uang logam dapat disimbolkan sebagai anak panah, ke atas atau ke bawah. Ruang cuplikannya adalah {(↓↓↓), (↓↓↑), (↓↑↓), . . . , (↑↑↑)}
Ruang cuplikan dapat dibagi atas sejumlah himpunan bagian, yang masing-masing merupakan kejadian atau peristiwa (event). Himpunan bagian S1 = {1} bersesuaian dengan peristiwa ”hasilnya satu”. Demikian pula, SA = {1, 3, 5} ⊂ S bersesuaian dengan peristiwa ”hasilnya merupakan bilangan ganjil”. Dalam bahasa TR, seperti disinggung sebelumnya, 1, 3 dan 5 masing-masing adalah sebuah peristiwa. Jadi, SA adalah peristiwa dengan tiga kemungkinan peristiwa ruang-waktu. Peristiwa yang bersesuaian dengan himpunan bagian dari ruang cuplikan dengan hanya satu titik cuplikan disebut peristiwa dasar (elementary event) atau simple event. Contoh peristiwa dasar adalah S1 = {1}, S2 = {2}, dll; sedangkan SA = {1, 3, 5} bukanlah peristiwa dasar. Sebuah peristiwa dasar, dalam kaitannya dengan mekanika statistik dapat dipandang sebagai sebuah keadaan mikro (microstate). Alasannya, sebuah keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat dari sebuah sistem. Peristiwa dasar S2 = {2} dapat dipandang sebagai sebuah keadaan sesaat. Keadaan-keadaan mikro dari SA adalah {1}, {3} dan {5}, yang masing-masing merupakan peristiwa dasar. Kebolehjadian dari suatu peristiwa A dapat dihitung dengan prosedur berikut (a) Susun ruang cuplikan, (b) Beri nilai kebolehjadian dari setiap elemen (untuk percobaan acak, setiap elemen bernilai sama). (b) Tandai elemen yang bersesuaian dengan peristiwa A, dan jumlahkan kobolehjadiannya.
Contoh soal Hitung kebolehjadian memperoleh dua angka lebih kecil dari 5 pada percobaan pelemparan dua buah dadu.
4.1. KEBOLEHJADIAN
33
Solusi Ruang cuplikan pelemparan dua buah dadu adalah (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
Jika kita tandai peristiwa tersebut sebagai P (x < 5, y < 5), maka P (x < 5, y < 5) =
20 = 2/3 36
Gambar 4.1: Peristiwa A dan B , (a)A ∪ B (b) A ∪ B (c) A dan B eksklusif. Konsep kebolehjadian yang berhubungan dengan ruang cuplikan (himpunan) memungkinkan kita menggunakan teori himpunan. Gabungan peristiwa A dan B dituliskan sebagai A ∪ B, dimana anggotanya adalah anggota dari A atau B atau kedaunya. Irisan antara peristiwa A dan B ditulis A ∩B adalah himpunan yang aggotanya merupakan anggota dari A dan B . Jika A ∩B = ∅ ( irisan antara A dan B merupakan himpunan kosong), maka A dan B disebut tidak saling terhubung (mutually exclusive). Hubungan kebolehjadian dari dua peristiwa berbeda dapat diperoleh melalui peninjauan ruang cuplikan.
34
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK
Teorema 4.1 Jika irisan antara A dan B tidak kosong, maka P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) sebaliknya jika keduanya (mutuallay exclusive) maka P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh soal Peristiwa A dan B dihubungkan dengan pelemparan dua buah koin dengan definisi: A: peristiwa dengan hasil lemparan kedua belakang, A = {M B, BB} B: peristiwa dengan hasil lemparan sedikitnya satu muka, B = M M, M B, BM selesaikanlah operasi himpunan berikut: (a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A − B (d) A′ (Complemen dari A).
Solusi A ∪ B → Union: Elemen dari A atau B atau keduanya = MM, MB, BM, BB B ∩ A = A ∩ B → Irisan (Intersection): Elemen A dan B = MB B − A → Selisih (Difference): Elemen B yang bukan A = MM, BM B ′ → komplemen B: bukan B = BB
Penggunaan kata kebolehjadian atau peluang juga sering dijumpai dalam peramalan, misalnya peramalan cuaca. Jika disebutkan bahwa besok pagi berpeluang hujan dengan kebolehjadian 70%, tidaklah berarti bahwa kita dapat membuat ruang cuplikan lalu dari peristiwa yang mungkin kemudian menghitung kebolehjadian. Dengan perkataan konsep kebolehjadian dalam kaitan dengan ramalan cuaca, dan semacamnya dinamakan Hessian. Disini, kebolehjadian tidak secara eksplisit berkaitan dengan ruang cuplikan, melainkan lebih pada kuantisasi dari harapan (expectation).
4.2. PEUBAH STOKASTIK
4.2
35
Peubah Stokastik
Konsep peubah stokastik atau acak (random) sangat penting dalam upaya mengaplikasikan teori statistik pada masalah nyata. Nilainya ditentukan oleh hasil percobaan acak, misalnya pelemparan dadu. Sebuah peubah stokastik X, pada suatu ruang cuplikan S, adalah sebuah fungsi yang memetakan elemen-elemen S ke himpunan bilangan Real {R}. Contohnya, pelemparan 3 buah koin secara bersamaan akan menghasilkan ruang cuplikan seperti dalam contoh 1, sedangkan peubah stokastiknya dapat berbeda-beda, bergantung pada definisi. Jika didefinsikan xi =
X
si
dimana si = 1 untuk ↑, maka ruang cuplikan dimaksud akan terpetakan menjadi ruang peubah stokastiks sbb −3, −1, −1, 1, −1, . . . 3 Peubah stokastik dibedakan atas peubah stokastik diskret dan kontinu. Peubah stokastik diskret terdiri atas nilai-nilai diskret sedangkan yang kontinu terdiri atas nilai-nilai kontinu. Contoh yang diberikan di atas adalah peubah stokastik diskret, jumlah anggotanya berhingga (finite). Hasil pengukuran berkali-kali dari suatu besaran kontinu merupakan contoh peubah stokastik kontinu. Jumlah anggotanya banyak sekali, tak-hingga (infinite). Andaikan batas bawah hasil pengukuran adalah a dan batas atasnya adalah b, maka peristiwa yang bersesuaian dengan ini berada pada selang kontinu yaitu X ǫ [a, b]. Kebolehjadian hasil pengukuran berada dalam range ini adalah PX (a ≤ X ≤ b) =
b
Z
pX (X)dX = 1
(4.1)
a
dimana pX (X) adalah fungsi distribusi kebolehjadian. Tafsiran fisis dari fungsi ini adalah bahwa kebolehjadian menemukan nilai pengukuran yang persis sama dengan nilai tertentu adalah lenyap. Ini analog dengan permasalahan kalkulus dasar yaitu luas daerah di bawah kurva. Segmen luasan dinyatakan oleh pX (X)dX yang menyatakan kebolehjadian memperoleh peubah stokastik X dalam interval X → X + dX. Fungsi distribusi FX (x) dituliskan sebagai F (a ≤ x ≤ b) =
Z
x
PX (x)dx
−∞
yang merupakan kebolehjadian memperoleh peubah stokastik X dalam interval {−∞ ≤ x}.
(4.2)
36
4.3
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK
Fungsi-Fungsi Distribusi
Andaikan X merupakan peubah stokastik diskret untuk ruang cuplikan S dengan n buah elemen. Untuk mudahnya, kita tinjau saja peubah stokastik dari pelemparan dua buah dadu dimana ruang cuplikannya adalah {(1, 1), (1, 2), (1, 3), · · · (2, 1)(2, 2)(2, 3), · · · , (3, 1)(3, 2)(3, 3), · · · (4, 1), (4, 2), · · · , (6, 6)}. Jika untuk setiap konfigurasi dari S diasosiasikan sebuah bilangan yang menyatakan kebolehjadiannya, maka ruang cuplikan dapat dipetakan menP jadi distribusi kebolehjadian yang memenuhi dua syarat: pi ≥ 0 dan pi = 1. Untuk contoh
kasus yang ditinjau, pemetaan ruang cuplikan ke distribusi kebolehjadian akan menjadi
{(1/36), (1/36), (1/36), · · · (1/36)(1/36)(1/36), · · · , (1/36)(1/36)(1/36), · · · (1/36), · · · , (1/36)}. Selanjutnya dapat didefinisikan fungsi rapat kebolehjadian PX (x) =
n X i=1
pi δ(x − xi )
(4.3)
Perhatikan bahwa pi adalah kebolehjadian konfigurasi ke-i. Ini adalah sajian rapat kebolehjadian untuk peubah diskret, sedangkan untuk peubah kontinu rapat kebolehjadian mengharuskan PX (x) =
Z
∞
p(x)dx = 1
−∞
Fungsi distribusi didefinisikan sebagai FX (x) =
Z
x
dx′ PX (x′ ) =
−∞
n X i=1
pi Θ(x − xi )
dimana Θ(x − xi ) adalah fungsi Heaviside dengan definisi sbb 0 x
a
(4.4)
(4.5)
Di sini terlihat bahwa fungsi rapat kebolehjaidian tiada lain adalah turunan dari fungsi distribusi yaitu PX (x) =
FX (x) dx
Contoh berikut menggambarkan perhitungan PX dan FX .
Tinjaulah dadu dengan peluang kemunculan hasil yang tidak seragam: p1 = 1/12, p2 = 3/12, p3 = 2/12, p4 = 1/8, p5 = 2/8, P i = pi = 1.
dan p6 = 1/8, dimana tetap terpenuhi
(4.6)
4.3. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI
37 F(x)
PHxL 0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
x
Gambar 4.2: (a) Fungsi rapat kebolehjadian, (b) fungsi distribusi.
4.3.1
Distribusi Binomial
Binomial dari kata bi + nomim (Perancis) berarti memiliki dua nama. Distribusi binomial adalah distribusi yang diperoleh dari N percobaan acak dimana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan. Pelemparan N kali koin dapat menghasilkan distribusi binomial. Jika N cukup besar, distribusi Binomial mendekati distribusi Gauss atau Poisson dan akan dibahas pada bagian selanjutnya. Andaikan kita melaksanakan percobaan acak N kali dimana masing-masing hanya memiliki dua kemungkinan. Andaikan kebolehjadian peristiwa pertama q dan peristiwa lainnya p, dengan p+q = 1. Andaikan pula peristiwa pertama terjadi m× dan yang kedua terjadi n×, dimana N = m + n, maka kebolehjadian dari ”peristiwa gabungan” adalah PN (m) = C(N, m)pm q n =
N! pm q N −m m!(N − m)!
(4.7)
dimana C(N, m) adalah kombinasi dari N dan m. Persamaan ini merupakan sajian disribusi binomial. Biasanya p merupakan kebolehjadian sukses. Pers. (4.7) memenuhi syarat normalisasi yaitu N X
PN (m) =
m=0
N X
N! pm q N −m = 1 m!(N − m)! m=0
Contoh Soal Dalam percobaan pelemparan dadu 4 kali, buat ruang cupliknya dan tentukan kebolehjadian hasilnya 3 kali muka.
(4.8)
38
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK Solusi ↓↓↓↓
↓↓↓↑
↓↓↑↓
↓↓↑↑
↓↑↓↓
↓↑↓↑
↓↑↑↓
· ↓↑↑↑
↑↓↓↓
↑↓↓↑
↑↓↑↓
· ↑↓↑↑
↑↑↓↓
· ↑↑↓↑
· ↑↑↑↓
↑↑↑↑
Jumlah peristiwa dengan 3 muka adalah 4 (diberi tanda dot) P (3 ↑) =
4 = 0, 25 16
Dengan menggunakan hubungan sebelumnya P (3 ↑) =
4! (1/2)3 (1/2) = (4)(1/16) = 0, 25 3!1!
Contoh Soal Kebolehjadian berhasil seorang pemanah mengenai sasarannya adalah 1/4. Hitunglah berapa kebolehjadiannya jika ia memanah 5× berhasil paling sedikit 3×.
Solusi Andaikan m jumlah sukses, berarti N = m + n = 5. p = 1/4 dan q = 3/4. Kebolehjadian berhasil 3× adalah P5 = (5, 3)(p)3 (q)2 =
5! (1/4)3 (3/4)2 = 3!2!
Selanjutnya kita andaikan YN = X1 + X2 + . . . + XN sebagai peubah stokastik yang merupakan penjumlahan dari N percobaan yang saling bebas. Rapat kebolehjadian untuk peubah stokastik YN dituliskan sebagai PYN (y) =
Z
ΠN n=1 dxn δ(y − x1 − . . . − xN )PX1 (x1 )PX2 (x2 ) . . . PXN (xN )
(4.9)
dengan fungsi karakteristik sbb fYN (k)
= =
Z
ΠN 1 dxn δ()PX1 (x1 )PX2 (x2 ) . . . PXN (xN )
ik N ΠN i=1 fXi (k) = (q + pe )
(4.10)
Persamaan ini dapat diekspansi dengan menggunakan teorema binomial sehingga diperoleh fYN (k) =
N X
m=0
C(N, m)pm q N −m eimk
(4.11)
4.3. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI
39
Rapat kebolehjadian PYn (x) untuk peubah stokastik YN adalah PYn (y)
=
1 2π
=
Z
N X
m=0
dkeiky fYN (k) =
N X
m=0
C(N, m)pm q N −m δ(y − m)
PN (m)δ(y − m)
(4.12) (4.13)
dimana PN (m) merupakan kebolehjadian sukses dan terjadi sebanyak m× untuk percobaan yang dilakukan N kali.
4.3.2
Distribusi Normal
Distribusi Normal, sering pula disebut distribusi Gauss, termasuk jenis distribusi yang paling banyak dijumpai dalam kehidupan dan fenomena alam. Sajian matematiknya adalah f (X) =
2 2 1 √ e−(X−µ) /2σ ) σ 2π
(4.14)
PHxL
x
Gambar 4.3: Profil distribusi Normal. Jika kita mengukur tinggi badan suatu komunitas maka kurva distribusinya akan memiliki puncak, yang menunjukkan bahwa sebagian besar anggota komunitas bersangkutan memiliki tinggi pada kisaran yang bersesuaian dengan absis dari puncak kurva distribusi. Absis pada tail kiri dan kanan masing-masing bersesuaian ukuran pendek dan tinggi. Profil distribusi Normal ditunjukkan dalam Gmb. 4.3 dimana beberapa karakteristiknya dapat dikenali
⋆ Simetrik ⋆ Bentuknya menyerupai lonceng ⋆ Jangkauannya [−∞, ∞] ⋆ Jumlah observasi tak hingga
40
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK ⋆ Bentuknya ditentukan oleh mean dan deviasi standar. ⋆ Nilai numerik dari mean, median dan mode-nya sama.
4.3.3
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson dapat diperoleh dari distribusi binomial pada limit N → ∞, sedemikian N p = a ≪ N , dimana (a merupakan tetapan). Andaikan p = (a/N ), maka ³ ´N a a fYN (k) = 1 − + eik N N
(4.15)
Jika diambil nilai N → ∞, diperoleh fY (k)
=
lim fYN (k) = lim
N →∞ ∞ X −a
= e
N →∞
am imk e m! m=0
³
1−
´N ¡ ¢ a ik (e − 1) = exp a(eik − 1) N
Dengan demikian rapat kebolehjadian dituliskan sebagai Z ∞ ∞ X 1 am −a PY (y) = dke−iky fy (k) = e δ(y − m) 2π ∞ m! m=0
(4.16) (4.17)
(4.18)
Dari sajian ini, diperoleh distribusi Poisson yaitu P (m) =
4.4
am −a e m!
(4.19)
Harga Ekspektasi
Harga ekpektasi atau harga harapan dari suatu fungsi distribusi dapat dipandang sebagai harga rerata. Artinya, seandainya kita melakukan percobaan acak dan mengukur nilai pada setiap peristiwa, lalu nilai ini dirata-ratakan, maka hasilnya merupakan harga ekspektasi. Andaikan suatu besaran A(q) hendak dicari harga expektasinya dalam fungsi distribusi yang dinyatakan sebagai P (q) dengan daerah definisi qǫ[a, b], maka Z b A(q)P (q)dq, hAi =
(4.20)
a
Contoh Soal Jika P (q) = 1/(b − a), maka buktikan bahwa hqi = (a + b)/2. Juga buktikan bahwa √ variansi (rerata simpangan baku adalah) ∆q = (< q 2 > − < q >2 ) = (b − a)/ 12.
4.5. PERMUTASI DAN KOMBINASI
41
Solusi Rerata < q > :
= =
b
1 qP (q)dq = b−a a a+b 2
Z
b
Z
qdq =
a
¯b 1 1 q 2 ¯a = (b2 − a2 ) 2(b − a) 2(b − a)
Simpangan baku ∆q(< q 2 > − < q >2 ) : < q2 > =
Z
b
q 2 P (q)dq =
a
< q2 > =
4.5
(a + b)2 4
1 b−a
Z
b
q 2 dq =
a
¯b 1 1 q 3 ¯a = (b3 − a3 ) 3(b − a) 3(b − a)
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi berkaitan dengan pengaturan N buah obyek berbeda dalam urutan yang teratur. Contohnya, jika ada 4 mahasiswa yang akan menghadap ke dosen untuk urusan kartu rencana studi, maka jumlah urutan yang mungkin adalah 4! sebab urutan pertama dapat ditempati oleh 4 orang mahsiswa. Ketika seorang mahasiswa telah menempati urutan pertama, urutan kedua hanya mungkin ditempati oleh 3 orang mahasiswa, demikian seterusnya, untuk urutan ketiga mungkin ditempati oleh 2 orang. Barangkali muncul pertanyaan, bukankah jumlah mahasiswa yang mungkin menempati setiap urutan adalah 4? Benar, memang demikian keadannya, tetapi kita harus memperhitungkan istilah perhitungan ganda (double counting). Table 4.1: Permutasi 4 buah Obyek Permutasi (abcd), (abdc),(acbd), (acdb), (adbc), (adcd) (bcda), (bcad),· · · ··· ,··· (dabc), (dacb),· · ·
···
··· ··· (dcba)
Jumlah kemungkinan → 4 × 6 = 24(4!)
Supaya jelas, permutasi dari 4 orang ini ditunjukkan dalam Tabel 4.1. Kombinasi adalah pemilihan N obyek berbeda tanpa memperhitungkan urutan. Jumlah kombinasi
42
BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK
dari N obyek diambil R kali setiap kali adalah C(N, R) =
N! (N − R)!R!
(4.21)
Jumlah permutasi dari N obyek dimana terdiri dari N1 jenis pertama, N2 jenis kedua, N3 jenis ketiga, dst adalah P (N, N1 , N2 , . . . ) =
N! N! = N1 !N2 !N3 ! . . . ΠNi !
(4.22)
Soal-soal Latihan 1. Seorang pekerja bebas mengenakan baju putih, biru atau hijau setiap hari dalam 5 hari kerja. Jika diasumsikah bahwa setiap harinya tersedia ketiga warna tersebut yang boleh dipilihnya secara acak, hitung peluang menemukan ia berpakaian warna putih di kantor dua kali sepekan. 2. Zarah seorang pegawai mempunyai jilbab berwarna biru (2 helai), putih (3 helai), dan hitam (3 helai). Setiap hari ia berganti jilbab. Jika dianggap bahwa ia ke kantor dalam 5 hari kerja. a. Hitung peluang menjumpai Zarah mengenakan jilbab biru di kantor paling sedikit dua kali sepekan! b. Berapa peluang Zarah mengenakan jilbab putih dalam seminggu? c. Hitung peluang menjumpai Zarah mengenakan jilbab hitam 2 kali, biru sekali, dan merah tiga kali dalam sepekan! 3. Fungsi distribusi normal dinyatakan oleh P (x) = Ae−(x
2
/2σ 2 )
Hitung (a) Harga expektasi < x > (b) Simpangan baku ∆x. 4. Spin Ising hanya memiliki dua orientas, yaitu atas (+1) dan bawah (-1). Jika hendak dikatakan bahwa spin Ising adalah spin dengan komponen tunggal (vektor 1D, bilangan real, bukan vektor 2D yang berarti dua komponen) yang nilainya kontinue s ǫ[−∞, ∞], maka supaya dipeoleh spin Ising yang sesunguhnya, rumuskanlah funsi ditribusi W (s). Jawab: W (si ) =
1 [δ(si − 1) + δ(si + 1)] 2
Bab 5
Teori Kinetik Gas 5.1
Pendahuluan
Pendekatan teori kinetik selangkah lebih maju daripada termodinamika. Hukum-hukum termodinamika diturunkan dari eksperimen sedangkan teori kinetik mengawalinya dari hukum-hukum mekanik. Teori kinetik dapat dipandang sebagai jalan tengah antara termodinamika dan mekanika statistik. Pada intinya teori kinetik gas adalah deskripsi gas dari sudut pandang tumbukan antar molekul. Dalam teori kinetik, sudah mulai diperkenalkan asumsi bahwa benda tidak lagi kontinu melainkan terdiri atas molekul-molekul. Dengan teori kinetik, sifat-sifat bahan sudah dapat diprediksi lalu dibuktikan melalui eksperimen. Unsur kemampuan meprediksi sudah tampak pada teori kinetik. Dengan teori ini besaran-besaran seperi energi dalam (internal energy) dan kapasitas panas dapat dihitung. Selain itu, juga akan diturunkan persamaan keadaan gas ideal dan Hukum Joule E = E(T ) yang menyatakan bahwa energi dalam dari gas hanya bergantung pada temperatur dan bukan pada volume dan tekanan. Juga akan didiskusikan pula ketebatasan teori ini apabila rapat jenis gas secara signifikan diperbesar. 43
44
BAB 5. TEORI KINETIK GAS
5.2
Asumsi-asumsi Dasar
Pada bagian ini akan dicoba ditelusuri perolehan persamaan keadaan gas ideal (P V = nRT ) melalui teori kinetik. Untuk ini diperlukan beberapa asumsi sbb
1. Gas terdiri atas molekul-molekul yang jumlahnya sangat banyak untuk suatu volume tertentu. Asumsi ini cocok dengan eksperimen yang menunjukkan bahwa volume 1 mol gas pada keadaan standar (0o C, 1Atm) terdiri atas N molekul, dimana N adalah bilangan Avogadro dan menempati Volume sebesar 22, 4L. Soal latihan Hitung berapa jumlah molekul H2 yang terdapat pada volume 1cm3 . (Kunci: 3 × 1016 molekul). 2. Jarak antar molekul jauh lebih besar dari pada ukuran molekul. Jika diasumsikan molekul berupa bulatan kecil, diameternya hanya berkisar (2 ∼ 3) × 10−10 m. Jarak antar molekul berkisar 10 kali dari diameternya. 3. Tidak ada gaya interaksi antar molekul kecuali saat mereka bertumbukan. Asumsi ini tentu tak berlaku untuk plasma, dimana molekul-molekulnya bermuatan listrik. 4. Tumbukan atar molekul bersifat lenting sempurna, dan dinding diasumsikan sangat rata sehingga tidak ada perubahan tangensial arah kecepatan setelah tumbukan. 5. Tidak ada gaya eksternal sehingga distribusi molekul merata dalam ruang. Jika N dan V masing-masing adalah jumlah molekul dan Volume ruang, maka rerata jumlah molekul n per satuan volume adalah n=
N V
Dengan asumsi bahwa molekul tersebar merata maka jumlah molekul dalam elemen volume dV adalah dN = ndV
(5.1)
Sistem yang sedang ditinjau bukanlah sistem kontinu, sebab itu jika volume dV sangat kecil ada kemungkinan tidak berisi molekul. 6. Semua arah kecepatan molekuler memiliki peluang sama besar. Artinya, vektor kecepatan dari semua molekul, apabila vektor ini digambarkan dengan titik tangkap pada titik pusat, maka vektor-vektor tersebut akan menembus permukaan bola secara homogen. Titik-titik
5.2. ASUMSI-ASUMSI DASAR
45
Gambar 5.1: Rapat jumlah molekul dengan kecepatan dalam arah θ → θ + ∆θ dan φ → φ + ∆φ. represenasi pada permukaan bola bersesuaian dengan molekul-molekul gas. Rerata jumlah titik representasi per satuan luas adalah N 4πr2 Sedangkan jumlah titik pada elemen luasan dA adalah dN =
N dA 4πr2
Elemen luas dA dalam sistem koordinat Bola adalah dA = r2 sin θdθdφ Jumlah titik representasi dalam elemen luasan ini, atau jumlah molekul yang memiliki kecepatan dalam arah antara θ → θ + dθ dan φ → φ + dφ adalah dNθφ =
N N × r2 sin θdθdφ = sin θdθdφ 4πr2 4π
(5.2)
Jika kedua ruas dibagi dengan Volume maka persamaan ini dapat ditulis sbb
dnθφ =
n sin θdθdφ 4π
(5.3)
yang menyatakan jumlah molekul per satuan volume yang memilki kecepatan dengan arah antara θ dan θ + dθ, dan φ dan φ + dφ. 7. Laju (magnitudo kecepatan) setiap molekul berbeda, dan diasumsikan berada pada range [0, ∞]. Elemen volume dapat dibuat pada ruang kecepatan dengan menggunakan koordinat bola dan menuliskan dNv sebagai jumlah molekul yang memiliki kecepatan antara v dan v + dv. Dalam keadaan setimbang (steady state), jumlah titik represenasi pada elemen volume ini tidak berubah. Hal ini perlu penjelasan, sebab kenyataannya molekul-molekul gas bergerak kontinu dan terjadi tumbukan antar molekul secara terus menerus. Berarti,
46
BAB 5. TEORI KINETIK GAS asumsi bahwa jumlah titik representasi dalam elemen volume konstan berarti bahwa ketika suatu molekul berkurang keceatannya, ada molekul lain yang menerima energi kinetiknya. Artinya, energi kinetik total dalam sistem tetap.
5.3
Tumbukan dengan Dinding Permukaan
Dinding wadah setiap saat ditumbuk oleh molekul-molekul gas. Kita harus dapat menghitung jumlah molekul yang menumbuk dinding. Jumlah molekul gas per satu unit volume yang kecepatannya antara v dan dv dinyatakan oleh unit volume yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu dnv = dNv /N . Molekul-molekul dalam elemen volume ini tidak seluruhnya menumbuk dinding sebab tentu saja ada yang gerakannya menjauhi dinding. Kecepatan molekul yang menumbuk dinding diandaikan memiliki arah antara θ dan θ + dθ dan φ dan φ + dφ serta lajunya antar v dan v + dv. Jumlahnya per satuan volume adalah dnθφv =
1 dnv sin θdθdφ 4π
(5.4)
Apabila dikalikan dengan elemen volume dV yang dinyatakan sebagai dV = dAvdt cos θ, maka jumlah molekul yang dimaksud adalah d3 nθφv dV = dAdt ×
vdnv sin θdθdφ 4π
(5.5)
Untuk memperoleh jumlah tumbukan per satuan waktu per satuan luas oleh molekul yang lajunya v, persamaan di atas diintegrasi untuk θ ǫ[0, π/2] dan untuk φ ǫ[0, 2π]. Hasilnya adalah 1 vdnv 4 Selanjutnya untuk memperoleh jumlah tumbukan yang dialami oleh dinding sajian terkahir ini diintegrasi, Z
1 1 vdnv = n¯ v 4 4
dimana v¯ adalah laju rerata molekul yang didefinsikan sebagai P P Ni v i ni vi v¯ = = N n Pada keadaan standar, jumlah molekul dalam 22, 4dm3 adalah NA (bilangan avogadoro), sehingga dalam 1m3 n=
NA NA × 103 = = 2, 69 × 1025 molekul/m3 3 22, 4dm 22, 4m3 )
5.4. PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL
47
Contoh Soal Jika laju rerata atom Oxigen pada keadaan standar adalah 450m/s, hitung jumlah tumbukan dengan dinding persatuan luas per sekon! Solusi Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh N=
5.4
1 2, 69 × 1025 × 450 = 3, 027 4
Persamaan Keadaan Gas Ideal
Besarnya gaya akibat tumbukan dapat dihitung, yaitu ¸ ·Z 1 2 dF = m v dnv dA 3
(5.6)
Dari sini dapat diperoleh tekanan, yaitu 1 dF = m p¯ = dA 3
·Z
2
v dnv
¸
(5.7)
Analogi dengan v¯ pada bagian sebelumnya, rerata laju kuadrat v¯2 adalah P 2 v 2 v¯ = N Untuk distribusi kontinu
Z v 2 dnv → v 2 dnv = n¯ v2 n Dengan demikian, Pers. (5.7) dapat dituliskan kembali sebagai v¯2 =
R
p=
1 nm¯ v2 3
(5.8)
(5.9)
sajian yang memperlihatkan bahwa tekanan gas berkaitan dengan energi kinetik gas. Karena n = N/V , sajian terakhir ini menjadi pV =
1 N m¯ v2 3
(5.10)
atau, 1 nRT. 3 Melalui subtitusi n = N/NA , persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai pV =
pV =
(5.11)
1 1 R N T = N kT 3 NA 3
(5.12)
dimana k adalah tetapan Boltzmann. Persamaan terakhir ini adalah persamaan keadaan gas ideal.
48
BAB 5. TEORI KINETIK GAS
Bab 6
Distribusi Kecepatan Molekuler 6.1
Ruang Kecepatan
Dalam bab ini akan dirumuskan distribusi kecepatan gas dengan menggunakan konsep fungsi distribusi yang diulas dalam Bab 4 dan konsep ruang fase yang diulas dalam Bab 3. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan semua molekul gas. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat maka vektor-vektor ini akan tampak sebagai kumpulan anak panah yang menembus permukaan khayal tertentu, misalnya permukaan bola dengan jejari kecil. Arah masing-masing anak panah ditentukan oleh komponen kecepatannya, yaitu vx , vy dan vz dimana vx adalah komponen kecepatan pada sumbu-x. Untuk setiap vektor kecepatan berlaku v=
q
vx2 + vy2 + vz2
(6.1)
Setiap vektor dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini akan membentuk sebuah ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space). Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu vx , vy dan vz . Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memiliki kecapatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul unik. 49
50
BAB 6. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKULER
d Nv
x
vx dvx
Gambar 6.1: Ruang Kecepatan
Elemen volume dvx dvy dvz pada ruang kecepatan menyatakan jumlah molekul yang memiliki kecepatan antara (vx , vy , vz ) dan (vx + dvx , vy + dvy , vz + dvz ). Secara konsep, elemen volume ini tidak dapat diambil sangat kecil (menuju nol) sebab harus memperhitungkan orde perbedaan kecepatan. Jika diambil terlalu kecil, jumlah titik dalam elemen tersebut menjadi tidak sesuai dengan kenyataan fisis. Dengan kata lain, sebenarnya kita menghendaki ditribusi kecepatan yang kontinu, akan tetapi jumlah titik representasi berhingga, yaitu dalam orde bilangan Avogadro. Banyak ruang kosong dalam ruang kecepatan sehingga akan mempengaruhi tingkat akurasi pendekatan yang digunakan. Jumlah molekul dengan komponen kecepatan arah-x antara vx dan vx + dvx dinyatakan oleh lempeng dNvx , sehingga fraksi molekul dengan kecepatan ini adalah dNvx N Fraksi ini akan bergantung pada dua faktor, yaitu ketebalan lempeng (dvx ) dan letak lempeng, dalam hal ini vx , dNvx = f (vx )dvx → dNvx = N f (vx )dvx N
(6.2)
Fraksi untuk komponen lain dapat diasumsikan memiliki bentuk serupa. Tentu saja, akibat gravitasi bentuk untuk komponen vy sedikit berbeda, tetapi dapat diabaikan, sehinga tetap dapat tuliskan, dNvy
= N f (vy )dvy
(6.3)
dNvz
= N f (vz )dvz
(6.4)
Sejumlah molekul dalam fraksi yang dinyatakan oleh Pers. (6.2) tetap memiliki komponen vy dan vz . Sebab itu, kita dapat menyatakan fraksi molekul yang kecepatannya berada antara vy dan
6.1. RUANG KECEPATAN
51
vy + dvy baik terhadap total molekul N maupun subtotal dNvx . Nilai kedua fraksi ini sama sebab fraksi dapat dipandang sebagai besaran homogen (Bandingkan dengan massa jenis, massa jenis bahan sama dengan massa jenis potongannya). Dengan demikian kita dapat menuliskan d 2 Nv x v y dNvy dNvy = → d 2 Nv x v y = dNvx dNvx N N Dengan mensubtitusikan dNvx dari Pers. (6.2) diperoleh d 2 Nv x v y =
dNvy N f (vx )dvx = dNvy f (vx )dvx = N f (vx )f (vy )dvx dvy N
(6.5)
Sajian ini menyatakan jumlah titik representasi pada balok yang merupakan interseksi antara lempengan dvx dan dvy . Melalui argumentasi yang analog, fraksi molekul yang memiliki kecepatan antara vz dan vz + dvz dalam d2 Nvx vy dapat dinyatakan sebagai d 3 Nv x v y v z dNvz = d 2 Nv x v y N Sehingga diperoleh d3 Nvx vy vz = N f (vx )f (vy )f (vz )dvx dvy dvz
(6.6)
yang menyatakan jumlah titik representasi kecepatan dalam elemen volume dvx dvy dvz . Dari sajian (6.6) diperoleh densitas titik representasi kecepatan ρ=
d 3 Nv x v y v z = N f (vx )f (vy )f (vz ) dvx dvy dvz
(6.7)
Sesuai asumsi sebelumnya, kecepatan bersifat isotropik sehingga nilai ρ(vx , vy , vz ) homogen secara radial. Ada perubahan nilai ρ dari titik v ke v + dv sebesar dρ yaitu dρ =
∂ρ ∂ρ ∂ρ dvx + dvy + dvz ∂vx ∂vy ∂vz
(6.8)
Oleh karena ρ terpisahkan atas f (vx ), f (vy ) dan f (vz ), maka persamaan ini dapat dituliskan sebagai ¶ ¸ · ¸ · ¸ µ· df (vy ) df (vz ) df (vx ) (6.9) f (vy )f (vz )dvx + f (vx ) f (vz )dvy + f (vx )f (vy ) dvz dρ = N dvx dvy dvz Kasus khusus bisa ditinjau, yaitu elemen volume yang berada pada jarak yang sama dari pusat, yaitu v, sehingga dρ = 0, akibatnya f ′ (vy ) f ′ (vz ) f ′ (vx ) dvx + dvy + dvz = 0 f (vx ) f (vy ) f (vz )
(6.10)
Sesuai syarat dρ = 0, dua element volume yang ditinjau berada pada lempeng permukaan konsentrik yang sama, sehingga v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = konstan
(6.11)
52
BAB 6. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKULER
yang berarti vx dvx + vy dvy + vz dvz = 0
(6.12)
Ada konflik antara Pers. (6.10) dan (6.12), yang pertama mengharuskan dvx , dvy dan dvz saling bebas, sedangkan yang kedua tidak. Konflik ini dapat dipecahkan dengan menggunakan tetapan pengali Lagrange, yanit mengalikan Pers. (6.12) dengan tetapan λ. Kedua persamaan dijumlahkan dan diperoleh µ
¶ µ ′ ¶ µ ′ ¶ f ′ (vx ) f (vy ) f (vz ) + λvx dvx + + λvy dvy + + λvz dvz = 0 f (vx ) f (vy ) f (vz )
(6.13)
Persamaan ini dapat dipisahkan menjadi tiga, f ′ (vx ) + λf (vx )vx = 0
(6.14)
f ′ (vy ) + λf (vy )vy = 0
(6.15)
f ′ (vz ) + λf (vz )vz = 0
(6.16)
Dengan integrasi, solusinya dapat dituliskan sebagai f (vx ) = αe−β
2 2 vx
(6.17)
dimana β 2 = λ/2 Selanjutnya, sesuai dengan Pers. (6.6), jumlah titik representasi dalam elemen volume dV adalah d3 N = N α3 e−β
2
2 (vx +vy2 +vz2 )
dvx dvy dvz
(6.18)
Rapat titik representasi dapat dituliskan sebagai
ρ=
2 2 d3 N = N α3 e−β v dvx dvy dvz
(6.19)
Sajian ini hanya bergantung pada laju v sebagai konsekuensi dari asumsi bahwa laju molekul gas isotropik. Fungsi ini dinamakan fungsi distribusi kecepatan Maxwell yang plotnya ditunjukkan dalam Gmb. 6.2; profilnya serupa dengan setengah dari distribusi Gaussian.
6.2
Penentuan Nilai Parameter Distribusi
Seperti halnya dalam penentuan konstanta penyelesaian persamaan diferensial, nilai parameter α dan β dari distribusi kecepatan Maxwell harus ditentukan secara explisit.
6.2. PENENTUAN NILAI PARAMETER DISTRIBUSI
53
Ρ
x
Gambar 6.2: Fungsi distribusi kecepatan Maxwell. Penentuan nilai ini adalah dengan memanfaatkan bentuk integral generik dari integral gaussian sbb
2 µ Z 2
Z
∞
−y 2
e
0 ∞
2
e−y dy 0
dy
¶2
=
Z
=
Z
∞
−∞ ∞
=
2
e−y dy Z
∞
e−(x
−∞ −∞ Z 2π Z ∞
2
+y 2 )
dx dy
2
e−r ) rdr dθ
0
0
= π
Perlu diingat bahwa Jumlah titik representasi pada lempeng konsentrik yang berjarak v dari pusat dan ketebalan dv adalah ¡ ¢ dNv = (ρ) 4πv 2 dv
dimana 4πv 2 dv adalah volume dari lempeng konsentrik (volume materialnya, bukan volume yang dilingkupi oleh material tersebut). Dengan memanfaatkan bentuk integral Gaussian dan integrasi parsial (Lihat Apendix A) diperoleh Z Z ∞³ ´¡ ¢ 2 2 N α3 e−β v 4πv 2 dv N = dNv = 0 Z ∞ 2 2 v 2 e−β v dv = 4N πα3 0 √ π = (6.20) 4β 2 sehingga α3 = π −3/2 β 3 Artinya, fungsi distribusi tersebut dapat dituliskan dengan satu parameter yaitu β,
54
BAB 6. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKULER
4N N = √ β 2 v 2 exp(−β 2 v 2 )dv π
(6.21)
Tetapan β dapat ditentukan melalui integrasi R vdNv v¯ = N Z 1 4β 2 ∞ 3 √ v exp(−β 2 v 2 )dv = = 2β 4 π 0
(6.22)
Berarti, v¯ =
2 √
(6.23)
β π
Dari sini laju kuadrat rerata vrms dapat diperoleh vrms
√
=
·
=
v¯2
·R
=
4β 2 √ π
Z
v 2 dNv N
∞
¸1/2
v 4 exp(−β 2 v 2 )dv
0
¸1/2
=
√ 3 π 8β 5
(6.24)
Dengan demikian vrms
1 = β
r
3 2
(6.25)
Dari hubungan 6.25 terdapat hubungan antara vrms dengan temperatur, yaitu melalui hubungan r 3kT m →β= vrms = m 2kT Dengan demikian fungsi distribusi tidak lagi dinyatakan dalam parameter β, tetapi dalam besaran fisis nyata yang dituliskan sebagai
6.3
dNv
=
dNvx vy vz
=
dNvx
=
¡ ¢ 4N ³ m ´3/2 2 √ v exp −mv 2 /2kT dv π 2kT ¡ ¢ 4N ³ m ´3/2 2 √ v exp −mv 2 /2kT dvx dvy dvz π 2kT ¡ ¢ 4N ³ m ´3/2 2 √ v exp −mv 2 /2kT dvx π 2kT
(6.26) (6.27) (6.28)
Fungsi Distribusi Energi
Berdasarkan prinsip ekipartisi energi, energi kinetik translasi suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan v adalah wx =
1 mv 2 ; 2 x
wy =
1 mv 2 ; 2 y
wz =
1 mv 2 2 z
Jumlahan energi kinetik w sama dengan 3kT , sebab masing-masing komponen mendapat porsi (1/2)kT . Jumlah molekul yang memiliki energi kinetik antara w dan w + dw dapat diperoleh dari
6.4. PRINSIP EKIPARTISI ENERGI
55
distribusi kecepatan melalui transformasi peubah w = 1/2mv 2 , dimana dw = mvdv → dv = √
dw 2mw
Dengan demikian fungsi distribusi energi kinetik dapat dituliskan sebagai ¡ ¢ 4N ³ m ´3/2 2w dNw = √ exp −mv 2 /2kT dv m π 2kT 2N −3/2 1/2 w exp (−w/2kT ) dw = √ (kT ) π
(6.29) (6.30)
Dari fungsi distribusi ini dapat ditunjukkan bahwa energi yang paling mungkin adalah E = kT /2, yang bersesuaian dengan absis dari puncak distribusi.
6.4
Prinsip Ekipartisi Energi
Secara experimen ditemukan bahwa tekanan parsial dari campuran gas memenuhi persamaan keadaan gas ideal yaitu p1 V = N1 kT,
p1 V = N2 kT
dimana p1 , p2 dst adalah tekanan parsial dari gas penyusun. Tekanan parsial ini bersesuaian keadaan dimana gas murni, misalnya gas pertama ke dalam tangki. Berikutnya, tangki dikosongkan lalu diisi dengan gas kedua. Kondisi dijaga sedemikian T dan V sama dengan yang pertama, penunjukan tekanan itu disebut tekanan parsial. Andaikan m1 , m2 masing-masing menyatakan massa dari jenis molekul yang dicampur, andaikan pula v¯12 , v¯22 merupakan kecepatan reratanya, maka dari hasil yang diperoleh sebelumnya kita peroleh p1 V =
1 N1 m1 v¯12 , 3
p2 V =
1 N2 m2 v¯22 , 3
;...
Dengan menyatamakan p1 V, p2 V maka diperoleh 3 1 m1 v¯12 = kT ; 2 2
1 3 m2 v¯22 = kT 2 2
yang mengungkapkan bahwa energi kinetik rerata dari campuran gas semua sama.
6.5
Soal Latihan
1. Fungsi distribusi Maxwell Boltzmann dari laju molekuler dapat dituliskan sebagai r 2 dNx 2kT 4N 2 = G(x ), vm = x = v/vm , F (x2 ) = √ x2 e−x dx m π Buat grafik dari fungsi distribusi ini dan hitunglah nilai y di beberapa titik.
56
BAB 6. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKULER
Bab 7
Statistik Maxwell Boltzmann 7.1
Pendahuluan
Alasan pengembangan mekanika statistik adalah untuk memberi landasan yang kokoh bagi fenomena termodinamik. Dua fisikawan mashur disebut sebagai pelopornya, yaitu Boltzmann di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Bab ini akan membahas konsep statistik Maxwell-Boltzman dan aplikasinya dalam penurunan persamaan gas ideal (P V = N kT ). Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk P V = nRT sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.
7.2
Ruang Fase
Ruang fase yang telah diulas dalam Bab 3 sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan molekul. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat, maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan radial khayal tertentu. Untuk setiap vektor kecepatan berlaku v=
q
vx2 + vy2 + vz2
(7.1)
dimana index x menandakan komponen dalam arah Sumbu-x. Setiap vektor yang bersesuaian 57
58
BAB 7. STATISTIK MAXWELL BOLTZMANN
dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini berada dalam ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space). Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu vx , vy dan vz . Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memiliki kecepatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul unik. Suatu elemen volume dV dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini
ρ=
Ni ; H
H = dxdydzdvx dvy dvz
(7.2)
Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan perlu dirumuskan bentuk eksplisitnya.
7.3
Keadaan Mikro dan Keadaan Makro
Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat yang memuat data lengkap posisi dan kecepatan (momentum) setiap molekul. Konfigurasi dapat dipandang sebagai hasil pemotretan pada satu titik waktu. Potret nyata dari suatu sistem hanya memuat informasi posisi masing-masing molekul dan tidak ada informasi tentang kecepatan. Kenyataan bahwa pemotretan benda bergerak akan menghasilkan gambar yang kualitasnya tidak sebaik dengan pemotretan benda diam. Sebab itu dikonsepkan bahwa potret untuk keperluan keadaan mikro memuat informasi bukan hanya posisi, tetapi juga kecepatan yang dinyatakan oleh warna. Pemotretan dapat dilakukan pada berbagai titik waktu, sedangkan hasil dari masing-masing pemotretan adalah satu keadaan mikro. Sejumlah keadaan mikro kemungkinan merepresentasikan keadaan makro yang sama. Jumlah keadaan mikro untuk berbagai keadaan makro dapat berbeda, sebagaimana dibahas dalam Bab 3. Misalnya seperti yang ditunjukkan dalam Gmb. 7.1.
7.4. BOBOT STATISTIK
59
abc
i
de e
f
jkl
m
gh
n
Gambar 7.1: Ilustrasi sebuah keadaan makro.
7.4
Bobot Statistik
Andaikan N buah molekul terbagi ke dalam n bilik dimana masing-masing bilik berisi N1 , N2 . . . Nn molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat dihitung sbb Ω=
N! N! = n N1 !N2 ! . . . Nn ! Πi=1 Ni !
(7.3)
dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan yang ordenya hingga 1023 akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu ln x! = x ln x − x
(7.4)
Elaborasi Rumus Stirling dalam Persamaan di atas sebenarnya merupakan pengintegralan sederhana sbb ln x + ln(x − 1) + ln(x − 2) + . . . + ln 1 Z x X ln x dx = ln x ≈
ln x! =
1
≈ x ln x − x
Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai S = k ln Ω
(7.5)
Dengan menggunakan rumus Stirling, diperoleh ln Ω = N ln N −
X
Ni ln Ni ;
X
Ni = N
(7.6)
Jumlah molekul yang berada pada bilik ke-i tentu saja berubah setiap saat. Akan tetapi pada saat entropi maksimum, maka perubahan bobot statistik maksimum Ωmax akibat perubahan dari Ni
60
BAB 7. STATISTIK MAXWELL BOLTZMANN
adalah nol. Jika bobot statistik Ω maximum, logaritmanya juga maximum, sehingga δ ln Ωmax = −
X
Ni δ ln Ni −
X
ln Ni δNi = 0
(7.7)
Suku pertama dari sini hasilnya lenyap sebab X Alasan kenapa
P
Ni δ ln Ni =
X
Ni
X δNi = δNi = 0 Ni
δNi = 0, terkait dengan kenyataan bahwa jumlah molekul tetap, pertambahan
jumlah dalam suatu bilik adalah akibat pengurangan pada bilik yang lain. Implikasinya, X
ln Ni δNi = 0
Perlu diperhatikan bahwa δNi tidak saling bebas karena δN =
X
δNi = 0
(7.8)
yang merupakan persamaan syarat pertama. Karena sistem yang ditinjau merupakan sistem terisolasi dimana energi dalamnya tetap, maka U=
X
wi Ni
(7.9)
Variasi dari persamaan ini menghasilkan persamaan syarat yang kedua (yang pertama adalah Pers. 7.8). δU =
X
wi δNi = 0
(7.10)
Dengan alasan yang sama saat mebahas distribusi kecepatan molekuler, kita menggunakan pengali Lagrange, dalam hal ini ln α dan β, sehingga diperoleh X
(ln Ni − ln α + βwi ) δNi = 0,
(7.11)
Karena telah dikalikan dengan pengali Lagnrange, δNi dalam persamaan di atas secara efektif sudah saling bebas sehingga untuk setiap nilai i berlaku ln Ni − ln α + βwi = 0 yang menghasilkan
Karena
P
Ni = α exp(−βwi )
(7.12)
X
(7.13)
Ni = N , berarti N
=
α exp(−βwi ) X = αZ → Z = exp(−βwi )
7.4. BOBOT STATISTIK
61
dimana Z disebut sebagai fungsi partisi. Persamaan untuk Ni dalam (7.12) dapat dituliskan sebagai Ni =
N exp(−βwi ) Z
(7.14)
Hubungan antar fungsi partisi dan entropi dapat ditelusuri dari bobot statistik sbb ln Ω
= N ln N − = N ln N −
X
Ni ln Ni
X
Ni (ln N − ln Z − βwi )
Apabila ke dalam persamaan terakhir ini dimasukkan
P
Ni = N dan U =
S = k ln Ω = N k ln Z + kβU
(7.15) P
wi Ni , diperoleh (7.16)
Di sini kita mulai dapat memperkenalkan konsep temperatur yang muncul murni dari peninjauan fisika statistik.
Contoh soal Telusuri perolehan hubungan berikut: µ
∂U ∂S
¶
=T
V
Solusi Dari Hk. I termodinamika, dU = dQ − P dV = T dS − P dV sehingga dengan menandai U(S,V) diperoleh ¶ ¶ µ µ ∂U ∂U dU = dS + dV ∂S V ∂V S Dengan demikian diperoleh µ
∂U ∂S
¶
= T; V
µ
∂S ∂U
¶
= V
1 T
Dari Pers. 7.16 dan melalui turunan parsial S terhadap energi dalam U ¶ µ ¶ µ ¶ ¶ µ µ 1 ∂Z ∂β ∂β ∂S = Nk + kβ + kU ∂U V Z ∂β V ∂U V ∂U V Dari hubungan antara U, Z dan Ni diperoleh µ ¶ X ∂Z UZ =− wi exp(−βwi ) = ∂β V N
(7.17)
62
BAB 7. STATISTIK MAXWELL BOLTZMANN
Ternyata dari hubungan terakhir ini dapat diperoleh µ ¶ ∂S = kβ → β = 1/kT ∂U V Dengan demikian berdasarkan distribusi Maxwell-Boltzaman, jumlah molekul pada tingkatan energi wi adalah Ni =
N exp(−wi /KT ) Z
(7.18)
dan fungsi partisi Z=
X
exp(−wi /KT )
(7.19)
Fungsi partisi Z dapat dianggap sebagai pembangkit sebab melalui Z semua fungsi termodinamik dapat diperoleh. Contohnya, U = N kT 2
d ln Z dT
(7.20)
Juga dari hubungan 7.16 diperoleh S = N kT ln Z +
U T
(7.21)
Juga dari F = U − T S diperoleh F = −nkT ln Z
(7.22)
dimana F adalah energi bebas Helmholtz. Dengan demikian tinjaun mekanika statistik memungkinkan perolehan hubungan-hubungan termodinamika yang diturunkan langsung dari experimen. Sebagai contoh, kita akan menggunakan statistik MB untuk menghitung entropi gas ideal.
7.5
Perhitungan Entropi Gas Ideal
Dalam bagian ini akan digunakan konsep statistik Maxwell-Boltzmann untuk perhitungan entropi gas ideal. Hamiltonian sistem dinyatakan oleh
H(q, p) =
N 3N X X p~2i p2i = 2m 2m i i
(7.23)
suku energi potensial tidak ada karena molekul-molekul gas ideal saling bebas. Perhatikan bahwa batas penjumlahan berubah dari N menjadi 3N , yaitu karena p~2 = p2x +p2y +p2z . Jumlah mikrostate sistem dinyatakan oleh integrasi
7.6. PARADOKS GIBBS
63
Ω(E, N ) =
Z
d3N d3N p
(7.24)
H(q,p)
Oleh karena Hamiltonian tidak bergantung pada posisi q, integrasi terhadap d3N q menghasilkan V N , sehingga Ω(E, N ) = V N
Z
d3N q d3N p
(7.25)
H(q,p)
Perhitungan sisa integral dilakukan dengan memperhitungkan keadaan bahwa semua titik dalam ruang fase memenuhi 3N X i
p2i ≤ 2mE
yang beberati bahwa daerah integrasi dapat dipandang sebagai bola berdimensi 3N berjejari √ 2mE. Volume bola tersebut adalah berupa integrasi VN (R) =
Z
P3N i
x2i ≤R2
dx1 · · · dxN = RN
Z
P3N i
yi2 ≤1
dy1 · · · dyN dx1 · · · dxN = RN
dimana telah dilakukan transformasi peubah yi = xi /R. Dengan demikian integrasi terakhir tidak lagi bergantung pada R melainkan hanya pada dimensi N , sehingga VN (R) =
Z
P3N i
x2i ≤R2
dx1 · · · dxN = R
N
Z
P3N i
yi2 ≤1
dy1 · · · dyN dx1 · · · dxN = RN
Perhatikanlah integral generik berikut Z
∞
2
ex dx =
√
π
−∞
sehingga Z
∞
−∞
dx1 · · ·
Z
∞
−∞
h 2 dxN −(ex1 +
···+ x2N
i ) = π N/2
yang berarti bahwa Pers. 7.25 bergantung hanya pada R = (x21 + · · · + x2N )1/2 . Akibatnya elemen volume Πdxi dapat dinyatakan oleh kulit bola, menggunakan Pers. (7.23)
·
3 S(E, V, N ) = N k + ln 2
7.6
½
¾¸ V 4π ( ) σ 3N
(7.26)
Paradoks Gibbs
Sajian entropi gas ideal seperti dalam 7.26 memiliki kontradiksi. Kontradiksi ini adalah ½ ¾¸ · V 4π 3 + ln ( ) S(E, V, N ) = N k 2 σ 3N
(7.27)
64
BAB 7. STATISTIK MAXWELL BOLTZMANN
Andaikan terdapat dua jenis gas yang terpisah seperti gambar. Kemudian pada saat t = 0, dinding pemisah diangkat, sehingga setelah selang waktu tertentu keadaan setimbang baru dicapai. Entropi sistem sebelum diding pemisah diangkat adalah (0)
(0)
(0)
(7.28)
(t)
(0)
(0)
(7.29)
Stot = SA (T, VA , NA ) + SB (T, VB , NB ) dan setelah diangkat Stot = SA (T, VA , NA ) + SB (T, VB , NB )
Berdasarkan Pers. (7.27) maka selisi antara entropi setelah dan sebelum dinding diangkat adalah ½ ¾ ½ ¾ VA + VB VA + VB ∆S = S (1) − S (0) = NA k ln + NB k ln (7.30) VA VB Hingga disini belum terlihat kontradiksi sebab percampuran gas merupakan proses ireversibel (takterbalikkan). Setelah beberapa waktu sejumlah molekul gas jenis A akan ke wilayah B, demikian sebaliknya. Kontradiksi muncul ketika molekul yang ditinjau sejenis dan tak terbedakan. Hal ini berarti kita tidak mampu menomori molekul-molekul gas. Jumlah keadaan mikro menjadi lebih sedikit dibandingkan dengan keadaan untuk sistem terbedakan. Keadaan mikro tidak berubah akibat pertukran molekul dari satu tempat ke tempat lain. Perhitungan perubahan entropi menurut Pers. (7.30) bersifat paradoksal sebab di satu pihak ∆S > 0 berarti bahwa pertukaran tempat molekul tidak mengubah Secara klasik
7.7
Teori Debye
Teori ini membahas panas jenis zat pada pada temperatur rendah. Cv ≈ T 3
7.8
Soal Latihan
1. Andaikan terdapat empat bilik dengan jumlah molekul masing-masing N1 = 20, N2 = 10, N3 = 30 dan N4 = 40. Jika w1 = 2, w2 = 4, w3 = 6 dan w4 = 8, carilah δN1 dan δN2 apabila energi dalam tetap dan jumlah molekul pada bilik ketiga dan keempat tetap. 2. Andaikan terdapat 30 molekul yang terdistribusi merata pada tiga bilik 1, 2 dan 3. Apabila tingkat energi w1 = 2 Joule, w2 = 4 Joule dan w3 = 6 Joule dan δN3 = −2, maka carilah δN1 dan δN2 sedemikian sehingga δN = 0 dan δU = 0.
Bab 8
Statistik Bose Einstein 8.1
Pendahuluan
Prediksi statistik Maxwell-Boltzmann (MB) tentang prilaku gas elektron tidak sesuai dengan hasil percobaan (ekperimen). Contohnya, prediksi mengenai energi termal konduktor lebih kecil daripada nilai nyata. Menurut percobaan, kapasitas panas dari logam adalah 3R, sedangkan prediksi MB adalah 3R/2. Kekeliruan prediksi statistik MB disebabkan oleh pendefinisian jumlah keadaan mikro (microstate). Kenyataan bahwa elektron adalah zarah yang tidak terbedakan harus diperhitungkan.
8.2
Perumusan Statistik Bose Eistein
Dalam rangka merumuskan statistik BE, kita kembali memerlukan konsep ruang fase, yaitu ruang dengan 6 sumbu (x, y, z, px , py , pz ). Di sini tidak digunakan kecepatan melainkan momentum yang pada intinya identik sebab p~ = m~v . Dengan demikian elemen volume dapat dituliskan sebagai H = dxdydzdpx dpy dpz
(8.1)
Dengan demikian, setiap molekul dapat direpresentasikan sebagai satu titik dalam ruang fase. Ingat, jika ruang fase dibuat dalam 6N dimensi, maka setiap titik akan bersesuaian dengan keadaan sistem pada satu saat tertentu. Oleh karena prinsip ketidak-pastian Heisenberg, suatu titik representasi sistem kuantum harus 65
66
BAB 8. STATISTIK BOSE EINSTEIN
dikoreksi. Representasi dengan titik berarti kita dapat menentukan posisi dan momentum pada saat yang bersamaan dan itu hanya berlaku untuk sistem klasik. Sistem kuantum mengharuskan partikel direpresentasikan oleh dot (compartment) yang dimensinya pada orde h3 , dimana h adalah tetapan Planck. . Elemen volume H memuat sejumlah dot sedemikian dapat didefinisikan jumlah dot dalam elemen volume H adalah n = H/h3 .
8.3
Bobot Statistik
Wj
Wi
Gambar 8.1: Keadaan Makro dan Mikro untuk statistik BE Perumusan distribusi BE dari bobot statistik harus memperhitungkan kenyataan bahwa partikel tidak lagi dapat dibedakan (indistinguishable). Pertukaran partikel antar bilik, karena partikelnya tak-terbedakan tidak menyebabkan perbedaan keadaan mikro. Sebab itu, cara perhitungan bobot statistik untuk BE berbeda dengan MB. Dalam diagram yang ditunjukkan oleh Gbr.
8.1 molekul atau partikel digambarkan sebagai
lingkaran kecil, bukan huruf. Pada bagian sebelah kiri mengingatkan kita pada statistik BM, dimana untuk N = 4 dengan N1 = 1 dan N2 = 3; maka akan ada 4 keadaan mikro. Akan tetapi karena partikelnya tidak terbedakan, jumlah keadaan mikro yang bersesuaian dengan keadaan makro ini hanya satu. Pada bagian kanan diperlihatkan bahwa partikel N1 = 3 membagi diri ke dalam sub-bilik sehingga menghasilkan jumlah sub-bobot statistik wi = 2 dan untuk wj = 4. Bobot statistik Ω untuk N = 4, N1 = 1, N2 = 3, dengan jumlah sub-bilik pada E1 dan E2 masingmasing 2 adalah Ω = 4 × 2 = 8. Di sini terlihat bahwa bobot statistik untuk sistem yang terdiri
8.3. BOBOT STATISTIK
67
atas n tingkatan energi adalah Ω = Πni=1 Ωi
(8.2)
Penamaan statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bahwa partikel yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik (spin) bulat. Partikel jenis ini tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi yang sama dengan yang lainnya. Boson dapat berupa partikel elementer, contohnya foton, gluon dan partikel hipotetik Higgs boson; dapat pula berupa komposit seperti meson dan atom-atom bahkan molekul; bergantung pada jumlahan spin-nya, apakah bulat atau pecahan. Seperi dalam gambar, masih dimungkinkan jumlah partikel berada pada sub bilik yang sama lebih dari dua. Partikel yang mengikuti prinsip larangan Pauli disebut fermion. Maksimum hanya boleh ada dua fermion berada pada bilik yang sama dan statistiknya disebut statitistik Fermi-Dirac. Spin dari fermion adalah bilangan rational, yaitu n+1/2 dimana n adalah bilangan bulat. Contohnya adalah elektron dan proton. Andaikan terdapat N partikel boson yang terbagi ke dalam n tingkatan energi. Pada masingmasing tinkatan energi Ei terdapan Ni partikel. Jika jumlah sub-bilik dalam masing-masing tingkatan energi adalah seragam, yaitu m maka bobot statistiknya adalah (n + Ni − 1)! (n − 1)!N1 !
(8.3)
ln(n + Ni − 1! − ln(n − 1)! − ln N1 !
(8.4)
Ω = Πni=1 Sama dengan prosedur sebelumnya, ln Ω =
n X i=1
Dengan menggunakan rumus Stirling diperoleh ln Ω =
n X i=1
(n + Ni ) ln(n + Ni ) − n ln n − Ni ln Ni
(8.5)
Untuk entropi maksimum, maka variasi δ ln Ω = 0, sehingga δ ln Ω =
¶ n µ X (n + N o ) i
i=1
Nio
δNi = 0
(8.6)
Jika jumlah partikel dan energi total tetap, maka diperoleh keadaan berikut δN =
X
δNi = 0,
δU =
X
wi δNi = 0
(8.7)
Dengan menggunakan pengali Lagrange − ln α dan β diperoleh δ ln Ω =
¶ n µ X (n + N o ) i
i=1
Nio
δNi = 0
(8.8)
68
BAB 8. STATISTIK BOSE EINSTEIN
Akhirnya diperoleh distribus BE, yaitu 1 Nio = n α exp(βwi ) − 1
(8.9)
Statistik BE dan MB memiliki pola yang sama, bedanya, ruas kiri adalah jumlah titik representasi dalam kompartmen serta pada ruas kanan penyebutnya dikurangkan 1. Seperti juga dalam statistik MB, pengali β = 1/kT , yang diperoleh dari hubungan dU = T dS = kd ln Ω.
8.4
Statistik Gas Foton
Gas foton dapat disiapkan secara experimental melalui silinder yang divakumkan dimana pistonnya berupa dinding yang dapat memantulkan secara sempurna cahaya dari dalam. Dalam silinder tersebut harus ada bahan kecil yang permukaanya hitam sempurna. Jika ini terpenuhi, maka dalam silinder tersebut dapat dianggap berisi gas foton. Jumlah foton tidak harus tetap karena akan diserap atau dipancarkan oleh bahan hitam sempurna yang ada. artinya, syarat δN = 0 tidak harus dipenuhi, tetapi syarat δU = 0 tetap terpenuhi. Bentuk distribusi foton gas diperikan oleh Nio 1 = n exp(wi /kT ) − 1
(8.10)
Energi dan momentum sebuah foton yang frekuensi ν masing-masing adalah w = hν
p=
hν w = c c
Selanjutnya karena n=
2 dxdydzdpx dpy dpz ; Nio = d6 N h3
distribusi foton gas dapat dituliskan dalam bentuk diferensial d6 N =
2 1 dΓ h3 exp(wi /kT ) − 1
(8.11)
dimana dΓ = dxdydzdpx dpy dpz . Jika ini diintegrasikan terhadap volume dV = dxdydz diperoleh d3 N =
1 2V dpx dpy dpz 3 h exp(wi /kT ) − 1
(8.12)
Sajian ini simetrik secara sferis. Melalui transformasi peubah w = pc maka akan terlihat bahwa sajian terdiri atas p saja sehinga jumlah titik representasi pada lempengan sferis tipis dalam ruang momentum yang jejarinya p dan tebalnya dp adalah dNp =
2V 4πp2 dp h3 exp(pc/kT ) − 1
(8.13)
8.4. STATISTIK GAS FOTON
69
Dalam peubah frekuensi ν sajian terakhir ini dapat ditulis sebagai dNν =
8πV ν2 dν c3 exp(hν/kT ) − 1
(8.14)
Jumlah foton per satuan volume dalam ruang Kartesian adalah dNν /V . Sajian jumlah energi per satuan volume (rapat energi) dalam range dν juga dapat diperoleh, yaitu dengan mengalikannya dengan hν,
hν ν2 8πh dNν = 3 dν V c exp(hν/kT ) − 1
(8.15)
Persamaan terakhir ini dikemukakan oleh Planck sebagai rumus untuk energi radian yang terlungkupi oleh dinding bertemperatur T . Rumusan Planck murni bersifat empiris dalam rangka menjelaskan hasil percobaan oleh Lummer dan Pringsheim. Karena Planck mencoba menurunkannya dari teori elektrodinamika klasik yang terbukti gagal, ia kemudian mengubah asumsinya dan melahirkan mekanika kuantum
70
BAB 8. STATISTIK BOSE EINSTEIN
Bab 9
Statistik Fermi Dirac 9.1
Pendahuluan
Telah disinggung sepintas dalam Bab 8 bahwa statistik Fermi-Dirac adalah statistik untuk partikel yang mengikuti prinsip larangan Pauli. Partikel jenis ini disebut fermion; Contohnya antara lain adalah elektron, proton dan neutron. Dalam kompartmen h3 tidak dibolehkan terdapat lebih dari dua fermion. Dalam bab ini akan diulas fungsi distribusi gas fermion yang merupakan salah satu sistem Fermi penting. Sistem gas fermion ideal mampu menjelaskan dengan baik prilaku elektron-elektron dalam zat padat (logam), dalam hal ini elektron konduksi. Analisis prilaku elektron konduksi pada logam menggunakan teori Fermi merupakan salah satu capaian penting fisika statistik. Selanjutnya akan diulas pula fungsi partisinya dan menurunkan beberapa fungsi termodinamik.
9.2
Bobot Statistik
Koordinat dari suatu bilik (compartment) dalam ruang fase dapat dianalogikan sebagai bilangan kuantum. Berdasarkan prinsip Larangan Pauli, tidak boleh ada dua partikel yang memiliki 4 bilangan kuantum yang sama. Larangan Pauli berimplikasi bahwa hanya ada dua partikel dalam satu bilik. Alasannya, bilangan kuantum spin untuk partikel Femion hanya ada dua kemungkinan, yaitu +1/2 atau −1/2. 71
72
BAB 9. STATISTIK FERMI DIRAC Wi
Wj
Gambar 9.1: Ilsutrasi Keadaan Mikro untuk Statistik FD Untuk keperluan perumusan bobot statistik, setiap bilik dibagi atas dua sub-bilik, dimana masingmasing sub-bilik hanya dapat diisi oleh satu fermion. Dengan demikian jumlah maximum titik representasi dalam satu sel adalah dua kali dari jumlah bilik. Tentu saja jika ada bilik yang kosong, jumlah sesungguhnya akan berbeda. Dalam setiap sel, jumlah sub-bilik adalah n=2
H h3
(9.1)
yang juga merupakan jumlah maximum titik representasi. Perkalian dengan 2 bersesuaian dengan keadaan bahwa dibolehkan ada 2 fermion dalam satu bilik. Sebagai contoh sederhana, akan ditinjau sistem yang terdiri hanya atas dua sel, yaitu i dan j, masing-masing terdiri atas empat sub-bilik Kita tinjau keadaan makro Ni = 3 dan Nj = 1. Seperti ditunjukkan dalam Gmb. 9.1. Akibat larangan Pauli yang membolehkan hanya satu partikel dalam setiap sub-bilik (dua partikel untuk satu bilik), maka hanya ada empat konfigurasi yang dimungkinkan bagi 3 partikel untuk empat sub-bilik. Untuk satu partikel dengan empat sub-bilik, jumlah konfigurasi yang mungkin juga empat. Di sini, bilik yang kosong dapat dipandag sebagai refleksi dari bilik yang berisi untuk dua kasus ini. Penurunan sajian bobot statistik untuk Ωi bagi statistik FD lebih sederhana dabandingkan statistik BE, sebab begitu diberikan n sub-bilik dari suatu sel maka kita tinggal mengelompokkan sub-bilik tersebut antara yang terisi dan yang kosong. Pada saat membahas ditribusi MB, kasusnya adalah ada N buah partikel yang akan mengisi sejumlah sel, masing-masing sel terisi oleh Ni , maka jumlah konfigurasi yang mungkin adalah Ω=
N! ΠNi !
Pada kasus statistik FD, untuk suatu jumlah bilik adalah n dan jumlah partikel yang akan mengisi adalah Ni , dimana n > Ni . Supaya analoginya sama dengan kasus MB, maka jumlah bilik dipetakan menjai N sedangkan kosong dan terisi menjadi kelompok. Berarti, bobot statistik untuk
9.2. BOBOT STATISTIK
73
suatu sel yang terdiri atas n bilik dan ada Ni partikel adalah Ωi =
n! (n − Ni )!Ni !
(9.2)
Bobot statistik total yang terdiri atas beberapa tingkatan energi, dimana untuk setiap tingkatan energi ada n bilik adalah Ω=
Y
Ωi =
Y
n! (n − Ni )!Ni !
(9.3)
Perlu diingat bahwa pemetaan yang disebutkan hanya berlaku untuk kedaan diaman setiap subbilik hanya mungkin dihuni oleh satu partikel (titik representasi). Lagaritma dari bobot statistik adalah ln Ω =
X i
[n ln n − Ni ln Ni − n ln(n − Ni ) + Ni ln(n − Ni )]
(9.4)
Karena entropi berbading lurus dengan logaritma dari bobot statistik, sedangkan keadaan setimbang bersesuaian dengan entropi maximum, maka δ(ln Ωo ) =
X i
ln
n − Nio δNi = 0 Nio
(9.5)
dimana Ωo adalah bobot statistik yang bersesuaian dengan entropi maximum. Seperti pada dua ditribusi sebelumnya, persamaan ini juga memerlukan syarat yaitu jumlah partikel tetap (sistem tertutup) dan energi dalam tetap, δN =
X
δNi = 0;
δU =
X
wi δNi = 0
Dengan mengalikan syarat ini masing-masing dengan − ln B dan −β dan menjumlahkannya dengan Pers. 9.5 diperoleh
¶ X µ n − No i − βw − ln B δNi = 0 ln i Nio i
(9.6)
Dengan demikian, setiap suku untuk δNi saling bebas, sehingga ln
n − Nio = βwi + ln B Nio
yang menghasilkan fungsi distribusi untuk satatistik FD. 1 Nio = n B exp βwi + 1
(9.7)
Jika melihat bentuknya, perbedaannya dengan distribusi MB dan BE adalah karena suku sebelah kiri dari distribusi FD adalah ratio antara jumlah partikel dengan jumlah sub-bilik untuk masingmasing tingkat energi. Jika Ni dipetakan menjadi Nio /n maka distribusi MB dan BE menjadi Nio n Nio n
= =
1 B exp(βw) 1 B exp(βw) − 1
(9.8) (9.9)
74
BAB 9. STATISTIK FERMI DIRAC
Nilai tetapan B dan β diperoleh dari Hk. I bahwa untuk volume konstan (tidak ada kerja) dU = T dS, sehingga 1 kT Besaran B ditentukan dengan menggunakan syarat bahwa jumlah partikel tidak berubah (tidak β=
ada proses kreasi dan anihilasi). Jumlah partikel dapat dihitung dengan mengubah asumsi dari sistem diskret menjadi sistem kontinu (sigma dapat diganti menjadi integrasi), n=
2H 2 = 3 dΓ 3 h h
dimana dΓ adalah elemen volume ruang fase. Jumlah titik representasi Nio selanjutnya dapat dituliskan sebagai d6 N =
1 2 dΓ h3 B exp(w/kT ) + 1
(9.10)
Apabila diintegrasikan terhadap volume ruang Kartesian, diperoleh d3 N =
1 2V d3 p h3 B exp(w/kT ) + 1
(9.11)
Sajian ini adalah distribusi dalam ruang momentum. Jika integrasi dilakukan dengan domain pǫ[0, ∞], hasilnya harus sama dengan jumlah partikel, yaitu N . Akan tetapi karena pengintegrasiannya cukup rumit, untuk sementara dilakukan pendekatan dengan menuliskan B = exp(−wb /kT ) Fungsi distribusi dalam ruang momentum dapat dituliskan sebagai d3 N d3 N
2V 1 d3 p 3 h exp [(w − wb )/kT ] + 1 = ρd3 p =
(9.12)
Jika pada T = 0K dilakukan penandaan wb = wm untuk w < wm , d3 N/d3 p = 1, sebaliknya jika w > wm , d3 N/d3 p = 1. wm bersesuaian dengan energi maximum yang dimiliki oleh elektron, lazim disebut sebagi permukaan Fermi, ditunjukkan dalam Gmb. 9.2. Pada temperatur T = 0K, rapat titik representasi dalam ruang momentum bernilai konstan, yaitu ρ = 2V /h3 , dan semua titik memeliki energi E < wm . Hubungan antara energi dan momentum, w=
p2 2m
memeberi hasil momentum maximum pada T = 0K, yaitu pm =
√ 2mwm
Artinya, pada temperatur T = 0K, ruang momentum tersisi penuh pada daerha p, pm , sedangkan di luar dari itu tidak ada titik representasi. Jumlah titik representasi adalah N , sehingga ρ × Vp =
4 2V × πp3m = N 3 h 3
9.3. FUNGSI PARSTISI RAYA UNTUK FERMI-DIRAC
75
dN p p p x y z dpxdpydp z
T = T1 T=0 T = T2 T = T3
Gambar 9.2: Distribusi Statistik FD untuk T = 0K dan T > 0. yang berarti bahwa pm =
9.3
µ
3N h3 8πV
¶3
wm =
h3 8m
µ
3N πV
¶2/3
(9.13)
Fungsi Parstisi Raya untuk Fermi-Dirac
Seperti ditunjukkan untuk BE dan MB, fungsi partisi raya untuk FD juga dapat dituliskan sbb ) )( ( X X (µ−ǫ2 )/kT n2 (µ−ǫ1 )/kT n1 ··· (9.14) [e ] [e ] Z= n1
n2
dimana n1 , n2 , · · · menyatakan jumlah partikel dalam keadaan 1, 2, · · · . Berbeda dengan sistem MB dan BE dimana tidak ada batasan mengenai jumlah partikel dalam satu keadaan, sistem FD membolehkan ni berharga 0 atau 1, sehingga n on o Z = 1 + [e(µ−ǫ1 )/kT ] 1 + [e(µ−ǫ2 )/kT ] · · ·
9.4
Fungsi Persamaan Keadaan Fermi-Dirac
9.5
Soal Latihan
(9.15)
1. Sistem terdiri atas 4 titik representasi dengan dua tingkat energi dan jumlah sub-bilik n = 6 Hitunglah bobot statistik dari masing-masing keadaan makro berikut a Ni = 4, Nj = 0. b Ni = 3, Nj = 1.
76
BAB 9. STATISTIK FERMI DIRAC c Ni = 2, Nj = 2. d Ni = 1, Nj = 3. 2. Dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua elektron bebas untuk setiap atom tungsten, tunjukkanlah bahwa pada T = 3000o K, perbedaan nilai wb dan wm terpaut hanya sekitar 10%.
Bab 10
Majelis dalam Mekanika Statistik 10.1
Majelis Kanonik Mikro
Majelis kanonik mikro (MKM) cocok untuk membahas sistem tertutup dengan peubah alamiah E, V dan N , masing-masing adalah energi, volume dan jumlah partikel. Oleh karena setiap sistem dapat dibuat tertutup (total), yaitu dengan memasukkan lingkungan, maka majelis kanonik mikro pada hakekatnya cocok untuk semua situasi. MKM dapat berupa sistem dengan subsistem (V, E, N ) dan kolam bahang (heat bath) yang menjaga temperatur agar tetap T . Sistem tersebut akan berada pada satu keadaan makro tertentu dengan sejumlah keadaan mikro. Jika sistem tertutup, maka semua keadaan mikro akan memiliki energi E yang kebolehjadiannya sama. Artinya, tidak ada keadaan mikro yang kebolehjadiannya lebih besar (more preferable microstate). Ini merupakan asumsi dasar dari fisika statistik. Untuk sistem yang tidak tertutup, kebolehjadian dari keadaan mikro yang energinya lebih besar akan berbeda dengan kebolehjadian dari keadaan mikro yang energinya lebih kecil. Perbedaan energi menyebabkan perbedaan kebolejadian dari keadaan mikro berlaku untuk sistem tertutup. Setiap titik pada permukaan energi adalah representasi dari konfigurasi. Kita dapat membagi permukaan energi atas sejumlah kompartemen atau elemen luasan. Sebagai tinjauan sederhana, misalkan ditinjau sistem diskret dengan N kofigurasi. Jika dimisalkan N = 5 dengan 4 elemen permukaan dimana n1 = 2, n2 = 2, n3 = 1 dan n4 = 0. 77
78
BAB 10. MAJELIS DALAM MEKANIKA STATISTIK
Kolam Bahang Er, T System Es, T
Gambar 10.1: Majelis kanonik dimana kolam bahang bukan merupakan bagian dari sistem.
Kolam Bahang Er, T System Es, T
Gambar 10.2: Majelis kanonik dimana kolam bahang bukan merupakan bagian dari sistem.
10.2
Majelis Kanonik
Kolam bahang (heat bath) sebagai bagian dari MKM seperti disebut dalam bagian sebelumnya tidak menarik diulas. Selain itu MKM secara matematik rumit sebab volume dari suatu sistem sulit ditentukan, terutama karena strukturnya tidak teratur. Jika kolam bahang dianggap bukan bagian dari sistem meskipun fungsinya menjaga agar temperatur sistem yang ditinjau tetap, maka majelisnya menjadi majelis kanonik. Gambar di bawah ini menujukkan MK. Meskipun energi dari majelis kanonik tidak tetap, temperaturnya dibuat tetap sebab dihubungkan dengan kolam bahang. Sistem ini ditandai oleh N, V dan T . Ada fluktuasi energi. Konfigurasi dari sistem tersebut berada pada permukaan energi seperti terdapat dalam Gmb. xxx Andaikan Es dan Ek masing-masing adalah energi sistem dan kolam bahang maka, E = Es + E k →
Es Ek =1− ≪1 E E
(10.1)
Karena sistem berada dalam kolam bahang, temperatur sistem tetap, meskipun Es dimungkinan berubah. Misalkan energi memiliki nilai beragam, katakanlah Ei , dimana i = 1, 2, · · · , n. Andaikan
10.2. MAJELIS KANONIK
79
pi adalah kebolehjadian sistem berada dalam keadaan mikro dengan energi Ei , maka pi ∝ Ωs (Es )
(10.2)
dimana Ωs adalah bobot statistik sistem untuk berada dalam keadaan energi Ei . Kebolehjadian ini setara dengan kebolehjadian kolam bahang berada pada keadaan mikro dengan energi E − Es . Hal ini berarti, pi ∝ Ωk (Ek ) = Ωk (E − Ei ) Jika kolam bahang cukup besar sedemikian Ei ≪ E maka Ωk dapat diekspansikan terhadap Ei . k ln Ωk (E − Ei ) ∼ k ln Ωk (E) −
∂ (k ln Ωk (E))Ei + · · · ∂E
(10.3)
Cukup dua suku ini yang diperhitungkan jika E ≈ Ek ≫ Ei . Oleh karena ∂SR 1 ∂ (k ln ΩR (E)) = = ∂E ∂E T
(10.4)
maka µ
Ei Ωk (E − Ei ) ≈ Ωk (E) exp − kT
¶
(10.5)
Hubungan ini mengungkapkan bahwa jumlah keadaan mikro berkurang secara eksponensial terhadap energi sistem. Oleh karena E tetap, maka kebolehjadian menjadi ¾ ½ Ei pi ∝ exp − kT
(10.6)
Hal ini berarti bahwa semua keadaan mikro dengan energi Ei memiliki kebolehjadian yang sama. Keadaan mikro dengan energi Ej dimana EJ > Ei memiliki kebolehjadian lebih kecil. Meskipun energi tidak tetap, sistem S dapat berada pada semua permukaan energi yang mungkin. Dengan menormalisasi pi diperoleh X
pi = 1,
Untuk sistem kontinu tanda
P
→
X
menjadi
e−Ei /kT e−Ei /kT = 1 → pi = P −E /kT e i
R
(10.7)
sehingga
ρc (qν , pν ) =
e−βH(qν ,pν ) R 1/(h3N )
(10.8)
Persamaan ini menghasilkan rapat ruang fase kanonik, yang ditandai oleh index c. Penurunan rapat ruang fase dapat diturunkan melalui teori majelis. Energi Ei dari masing-masing keadaan mikro tidak seragam. Oleh sebab itu, titik da;am ruang fase memiliki kebolehjadian untuk muncul.
80
BAB 10. MAJELIS DALAM MEKANIKA STATISTIK
Kebolehjadian distribusi {ni } dalam keadaan mikro adalah Ω{ni } = N !Πi
(ωi )ni ni !
(10.9)
Oleh karena entropi S = k ln Ω, maka perlu dihitung sbb ln Ω{ni }
= N ln N − N + X
= N ln N +
i
X i
ni ln ωi − ni ln ni + ni
ni ln ωi − ni ln ni (10.10)
Sajian merupakan ekstremum untuk distribusi {ni } yang paling mungkin, sehingga d ln Ω{ni } =
X i
(ln ωi − ln ni )dni = 0
(10.11)
dimana telah digunakan hubungan berikut X
dni = 0
(10.12)
yang berarti bahwa dni tidak saling bebas sebab pengurangan pada satu kompartmen akan menyebabkan pertambahan pada kompartmen lain. Kenyataan ini menjadikan koefisien dari dni tidak lenyap. Kenyataan bahwa X X d( Ei ni ) = Ei dni = 0
(10.13)
(ln ωi − ln ni + αEi + β) dni = 0
(10.14)
maka dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh X i
dimana masing-masing koefisien lenyap sebab melalui pengali Lagrange dni telah menjadi saling bebas. Dengan demikian dapat dituliskan ssb ln
ωi ni ni
= −αEi − β = ωi eαEi +β (10.15)
10.3
Majelis Kanonik Makro
Majelis kanonik makro dibedakan dari kanonik mikro dan kanonik adalah dari segi adanya pertukaran energi dan materi. Majelis kanonik mikro menjelaskan sistem tertutup dengan energi E, V dan N, sedangkan majelis kanonik menjelaskan sistem dalam heat bath, yaitu dengan pada T, V dan N .
10.4. SOAL LATIHAN
81
Dalam bagian ini akan dibahas sistem terbuka dimana terjadi pertukaran kalor dan partikel dengan lingkungan. Peubah bebas yang sesuai adalah T, V dan µ, dimana µ tertentu nilainya untuk resevoir partikel yang terhubung dengan sistem, analog dengan T untuk majelis kanonik mikro. Jika resevoir partikel cukup besar maka nilai µ sangat bergantung pada sifat resevoir. Pertukaran partikel yang terjadi secara kontinu antara sistem dan resevoir menjadikan jumlah partikel tidak tetap. Rerata jumlah partikel dapat dihitung, sebagaimana sebagaimana rerata energi untuk T tertentu pada kasus sebelumnya. Sistem dengan T, V dan µ tetap cukup menarik ditinjau. Tinjaulah fluida dalam keadaan setimbang dengan uapnya pada temperatur tertentu (sistem fluida dan uap yang berada dalam kolam bahang). Molekul-molekul secara kontinu berpindah dari keadaan cair ke uap dan sebaliknya. Sistem secara keseluruhan (fluida + gas + kolam bahang) dapat diperlakukan sebagai majelis kanonik mikro, sedangkan fluida+gas sebagi majelis kanonik. Jika hanya satu fase yang ditinjau misalnya gas, maka harus digunakan mejelis makro kanonik. Peninjauan mejelis kanonik makro memerlukan penentuan ρ, yaitu rapat ruang-fase dari sistem pada T, V dan µ. besaran ini selain menujukkan kebolehjadian berada dalam suatu ruang fase dengan N tertentu, juga menujukkan kebolehjadian bahwa sistem terdiri atas N partikel. Hal ini penting sebab pada kasus majelis kanonik makro, nilai N dimungkinkan sembarang. Penentuan distribusi kebolehjadian menggunakan tata cara yang mirip dengan majelis kanonik. Jika tidak terjadi pertukaran energi dengan??
10.4
Soal Latihan
1. Model Ising pada kisi bujur sangkar L = 2 × 2. Jika Hamiltonian dinyatakan sebagai H = P − si sj maka hitunglah energi untuk masing-masing konfigurasi.
2. Sama pada soal No. 1, tetapi L = 3 × 3, carilah rapat keadaannya dan tentukan keadaan mana yang paling mungkin.
82
BAB 10. MAJELIS DALAM MEKANIKA STATISTIK
Bab 11
Perubahan Fase dan Fenomena Kritis 11.1
Pendahluan
Studi perubahan fase merupakan tema sentral dalam fisika. Fase adalah himpunan titik keadaan yang memiliki sifat-sifat homogen dan dapat digambarkan dalam berbagai diagram misalnya P T , P V ataupun P V T , dimana P, V dan T adalah peubah termodinamik. Suatu fase sebagai kumpulan titik keadaan homogen memiliki sifat-sifat tertentu yang membedakannya dengan fase lainnya. Fase cair dari air berbeda dengan fase gas (uap) dan fase padat (es). Setiap fase bersesuaian dengan suatu fungsi termodinamik yang kontinu, dalam hal ini energi bebas. Energi bebas berangatung pada peubah termodinamik. Berbagai material menunjukkan sifat khusus dan bernilai ekonomi tinggi saat berada dalam fase tertentu yang dicontohkan oleh fase feromagnetik (FM) bahan magnet di bawah temperatur Curie. Dalam studi perubahan fase dikenal perubahan fase orde pertama, kedua dan orde tinggi[1,2]. Hal ini berkaitan dengan sifat analitik energi dalam (internal energy) dari sistem. Perubahan fase disebut orde pertama jika turunan pertama energi dalam terhadap peubah termodinamik bersifat diskontinu, dan orde kedua jika turunan kedua diskontinu. Perubahan fase orde pertama selalu disertai oleh kehadiran kalor laten dan ko-eksistensi antara dua fase selama peralihan, sedangkan pada perubahan fase orde kedua tidak terdapat kalor laten. Perubahan fase orde tinggi dicontohkan oleh perubahan fase Kosterlitz-Thouless (KT) dimana energi dalam tetap kontinu hingga turunan 83
84
BAB 11. PERUBAHAN FASE DAN FENOMENA KRITIS
ke-n (n ¿ 1 ). Perubahan fase KT dijumpai pada sistem dua dimensi dengan grup simetri U(1)[3]. Perubahan fase terjadi jika peubah termodinamik diubah hingga nilai tertentu. Secara matematik, perubahan fase ditandai oleh diskontinuitas dari turunan energi bebas terhadap peubah termodinamik yang bersesuaian. Jika energi bebas kontinu dalam domain peubah termodinamik yang sesuai, sistem berada dalam fase yang sama. Perubahan fase selalu disertai oleh perubahan sifat sistem secara makroskopik meskipun secara mikroskopik belum tentu dapat teramati secara jelas. Apabila ke dalam wadah tertentu, katakanlah tabung besi diisi setengah air dan setengahnya dibiarkan kosong, lalu dipanaskan, maka setelah temperatur tertentu, sejumlah air akan menguap. Uap air tersebut mengisi ruang kosong tadi. Jumlah uap air (gas) akan semakin banyak seiirng dengan peningkatan suhu. Dalam peristilahan yang lebih tepat, pertambahan gas adalah peningkatan massa jenisnya, sebab dalam hal ini, volume gas relatif sama dengan volume kosong sebelumnya, yaitu ketika semua molekul H2 O masih dalam wujud cair. Perubahan fase berikut perubahan sifat zat terjadi akibat perubahan peubah-peubah termodinamik. Perubahan fase dapat digolongkan atas tiga, yaitu orde pertama, orde kedua dan orde tinggi. Orde perubahan fase secara matematik berkaitan dengan kontinuitas dari orde turunan energi bebas. Perubahan fase akibat perubahan peubah termodinamik x disebut orde pertama jika turunan pertama energi bebas terhadap x bersifat tidak kontinu. Jika turunan pertama kontinu sedangkan turunan keduanya tidak kontinu, perubahan fase disebut orde kedua.
11.2
Energi Bebas dan Potensial Termodinamik
Energi bebas adalah energi minimum sistem yang berada dalam keadaan setimbang. Di sini akan diulas dua jenis energi bebas, yaitu energi bebas Helmhotz F , dan energi bebas Gibbs G. Peubah alamiah dari F adalah suhu dan parameter makroskopik yang menentukan tingkat energi dari sistem, misalnya volume. Karena itu energi bebas Helmholtz dapat dituliskan sebagai F (T, V ). Untuk sistem magnetik, energi bebas Helmholtz dituliskan sebagai F (T, B), karena medan magnet B adalah penentu tingkat energi sistem magnetik. Fungsi bebas Gibbs dapat diperoleh dari F melalui transformasi Legendre, sehingga kita peroleh G(T, p) = F + pV dan G(T, M ) = F + BM
(11.1)
11.3. PERUBAHAN FASE ORDE PERTAMA
85
yang masing-masing berlaku untuk fluida dan bahan magnet. F dan G keduanya merupakan peubah extensif, yaitu bergantung pada massa sistem. Biasanya lebih praktis mengulas besaran yang tak bergantung pada massa, karena itu didefinisikan energi bebas jenis f = F/m dan g = G/m. Besaran ini, f dan g merupakan potensial termodinamik, dalam pengertian bahwa besaran-besaran penting lainnya dapat diperoleh melalui turunan dari potensial tersebut. Beberapa contohnya adalah P S CV
¶ ∂F = ∂V T µ ¶ ∂F = − ∂T V µ ¶ ∂U = ∂T V µ
(11.2) (11.3) (11.4)
dimana F dan U masing-masing adalah energi bebas Helmholtz dan energi dalam (internal energy), sedangkan S dan CV adalah entropi dan kapasitas panas.
11.3
Perubahan Fase Orde Pertama
Perubahan fase orde pertama secara umum ditandai oleh keberadaan kalor laten. Kalor laten adalah kalor yang diserap atau dilepas selama perubahan. Laten artinya tetap, digunkan untuk menandai temperatur yang tetap selama proses perubahan. Selain kalor laten, perubahan fase orde pertama juga ditandai oleh kehadiraan fase secara berasamaan (co-existence). Fase asal (A) dan fase tujuan (B) selama perubahan fase hadir bersamaan. Saat bagian tertentu telah berada dalam fase B, bagian lain masih dalam fase A. Es yang sedang mencair merupakan contoh perubahan fase orde pertama, kalor laten 334kJ/kg dan Tc = 0◦ C, dan ada koeksitensi antara es dan air.
11.4
Perubahan Fase Orde Kedua
Pada perubahan fase orde kedua, tidak ada kalor laten, sebab itu pula tidak dijumpai co-existence fase. Perubahan fase jenis kedua sering pula disebut sebagai perubahan fase kontinu. Hal ini berhubungan dengan kenyataan bahwa sifat sistem berubah secara kontinu. Model-model dengan transisi fase orde pertama dan model dengan transisi fase orde kedua secara khusus dibedakan oleh sifat kontinuitas dari kuantitas yang relevan, misalnya bentangan korelasi (correlation length).
86
BAB 11. PERUBAHAN FASE DAN FENOMENA KRITIS
Perubahan fase dari gas ke cair atau sebaliknya di atas temperatur kritis terjadi secara kontinu. Kita dapat memperoleh fase cair dari fase gas tanpa melalui perubahan fase orde pertama. Selisi rapat massa yang merupakan order parameter (parameter keteraturan) antara kedua fase berubah secara kontinu. Parameter keteraturan merupakan konsep penting dalam membahas perubahan fase orde kedua. Nilai parameter keteraturan pada fase teratur berhingga, sedangkan dalam fase yang lain nilainya lenyap. Contoh yang analog dengan perubahan fase dari cair ke gas adalah perubahan fase dari paramagnet ke ferromagnet, dimana magnetisai merupakan parameter keteraturan. Pada temperatur tinggi (fase paramagnet) magnetisasi lenyap, sedangkan pada temperatur rendah (di bawah temperatur Curie), magnetizasi berhingga. Beberapa fungsi termodinamik di sekitar titik kritis bersifat homogen dan dipengaruhi oleh parameterparameter makroskopik seperti dimensi ruang dan simetri dari sistem. Fungsi termodinamik merupakan fungsi ekponensial dari parameter temperatur |Tc − T |. Panas jenis misalnya dinyatakan sbb
´ ³ Cv = L−2β/nu f (T − Tc )L1/ν
(11.5)
Andaikan secara umum kita memiliki fungsi f (ǫ), dimana ǫ = (1 − T /Tc ). Bentuk fungsi penyekalaan dari magnetisasi adalah
´ ³ hM 2 i = L−2β/nu f (T − Tc )L1/ν
11.4.1
(11.6)
Kelas Universalitas dan Hubungan Penyekalaan
Universalitas adalah fenomena dimana sistem berbeda memiliki nilai eksponen kritis yang sama. Eksponen kritis merupakan parameter yang menjadai karakteristik dari suatu fenomena kritis. Sistem dinamakan berada dalam kelas universalitas yang sama jika nilai eksponennya sama. Contohnya adalah sistem PVT dan sistem spin Ising. Eksponen-eksponen kritis (α, β · · · , η) bergantung satu sama lain melalui hubungan penyekalaan
11.4. PERUBAHAN FASE ORDE KEDUA
87
Table 11.1: Eksponen kritis beberapa sistem fisis. Model
α
β
γ
δ
ν
η
Ising 2D
0
1/8
7/4
15
1
1/4
Ising 3D
0.12
0.31
1,25
5
0,64
0,05
Heisenberg 3D
-0,14
0,3
1,4
0,7
0,04
3-p Potts
(HB) sbb γ = ν(2 − η)
(11.7)
: α + 2β + γ = 2
(11.8)
HB Widom
:
α + 2β + γ = 2
(11.9)
HB Josephson
:
dν = 2 − α
HB Fisher : HB Rushbrooke
(hyperscaling)
(11.10)
Hubungan-hubungan ini dapat diuji dengan menggunakan ekponen kritis model Ising 2D yang diperoleh secara eksak, yaitu α = 0, β = 1/8,γ = 7/4, η = 1/4, ν = 1.
11.4.2
Penyekalaan Ukuran Berhingga
Fungsi termodinamik secara umum merupakan besaran extensif yaitu besarnya bergantung pada ukuran sistem. Sifat ini memungkinkan penentuan temperatur dan eksponen kritis sistem melalui metoda penyekalaan ukuran berhingga (Finite Size Scaling). Andaikan suatu fungsi termodinamik f (L) bergantung pada ukuran sistem L sbb f (L) = Lg(L)
(11.11)
selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa untuk sistem yang mengalami perubahan fase orde kedua, fungsi termodinamik f (L) bersifat homogen tepat pada temperatur kritis; yang berarti bahwa f (L1 ) = f (L2 ), dimana L1 dan L2 adalah dua ukuran berbeda dari sistem. Dengan sifat ini, kita dapat menentukan temperatur kritis, yaitu melalui hubungan FSS (finite size scalin) sbb f (L) = Lg(L)
(11.12)
88
BAB 11. PERUBAHAN FASE DAN FENOMENA KRITIS
Andaikan suatu fungsi f (λx) bersifat homogen untuk semua nilai λ, maka f (λx) = g(λ)f (x)
(11.13)
Bentuk umum dari g(λ) secara umum dapat diperoleh. Pertama, kita tuliskan f (λµx) = g(λµ)f (x) = g(λ)g(µ)f (x) → g(λµ) = g(λ)g(µ)
(11.14)
Jika persamaanini diturunkan terhadap µ, diperoleh ∂ g(λµ) = λg ′ (λµ) = g(λ)g ′ (µ), ∂µ
(11.15)
dimana g ′ (µ) = dg(µ)/dµ. Selanjutnya, jika dibuat µ = 1 dan g ′ (1) = p, maka λg ′ (λ) = pg(λ)
(11.16)
Apabila diintegrasikan dari 1 ke λ diperoleh g(λ) = λp
(11.17)
f (λx) = λp f (x)
(11.18)
sehingga
Dengan bentuk ini, f (x) dinamakan fungsi homogen dengan derajat p. Suatu fungsi homogen memiliki bentuk khusus, yaitu jika diandaikan λ = 1/x, maka f (λx) = f (1)xp
(11.19)
yang menunjukkan bahwa ketergantungan fungsi f (x) terhdapat peubah bebasnya mengikuti hukum pangkat (power law ). Sifat ini sangat berguna dalam upaya mengextrak eksponen kritis suatu sistem, yaitu dengan memplot fungsi tersebut pada berbagai nilai argumennya. Bentuk f (x) dapat ditulis dalam bentuk f (λx, λq y) = λf (x, y)
(11.20)
yang dikarakterisasi oleh dua parameter p dan q. Dengan menuliskan λ = y −1/q , diperoleh µ ¶ x f (x, y) = y −1/q f , 1 (11.21) y p/q Untuk perbandingan korelasi, fungsi penyekalaannya adalah sbb Q = f ((T − Tc )Lν )
(11.22)
Soal Latihan Uraikan dengan jelas kenapa replot dari panas jenis QL vs (T − Tc )L1/ν menyebabkan kurva-kurva QL relatif berada pada kurva yang sama.
11.5. PERUBAHAN FASE KUANTUM
11.5
89
Perubahan Fase Kuantum
Perubahan fase yang di uraikan di atas, secara umum disebabkan oleh perubahan temperatur. Dalam termodinamika, tempertur dipandang sebagai medan, dalam hal ini medan temperatur. Terdapat jenis medan lain, misalnya medan listrik, medan magnet. Sebab itu, perubahan fase dapat saja terjadi bukan akibat perubahan temperatur. Perubahan fase pada temperatur T = 0 dimungkinkan terjadi dengan mengubah parameter pengendali, misalnya konsentrasi, dll. Perubahan fase yang terjadi sebagai akibat bukan perubahan temperatur dinamakan perubahan fase kuantum. Dengam mengubah parameter tertentu, fase sistem seolah berkompetisi. Untuk Nilai tertentu fase sistem memilih keadaan A misalnya, sedangkan nilai parameter tertentu, fase sistem menjadi B, atau bukan A. Pertanyaan yang menarik adalah, apa keistimewaan dari perubahan fase kuantum. Jawabnya dapat kita peroleh dengan menijau kasus superkonduktor. Banyak penelitian dicurahkan apakah material superkonduktor memiliki titik kritis kuantum. Jika terdapat TKK, maka bahan superadihantar temperatur tinggi dimungkiknan dipabrikasi.
11.6
Soal-Soal
1. Telah disebutkan bahwa untuk sistem yang mengalami transisi phase orde kedua (fenomena kritis), panas jenis dapat dituliskan dalam bentuk hukum pangkat (power law) sbb C ≈ |Tc − T |−α Buktikan bahwa nilai α harus lebih kecil dari 1 agar transisi tidak memiliki kalor laten.
90
BAB 11. PERUBAHAN FASE DAN FENOMENA KRITIS
Bab 12
Metode Monte Carlo 12.1
Pendahuluan
Metoda Monte Carlo (MC) adalah teknik perhitungan numerik yang memanfaatkan bilangan acak (random). Metoda ini sangat ampuh sebab dapat memecahkan masalah rumit yang tidak mungkin diselesaikan secara analitik. Salah satunya, dapat mengitutung integrasi multi-dimensi. Sebagai langkah awal, dalam bagian ini ditunjukkan perhitungan secara MC integral yang dapat diselesaikan secara eksak. Integrasi numerik tanpa MC dari suatu fungsi f (x), dimana xǫR dengan batas [a, b] adalah dengan melakukan diskritisasi, dimana bentangan [a, b] dibagi atas N segmen yang sama panjang ∆x. Ekivalensi (pendekatan) terhadap nilai eksak dengan nilai numerik dinyatakan sbb Z
b
f (x)dx =
a
N X
f (xi )∆x
(12.1)
i
dimana deretan titik sample (xi+1 = xi + ∆x) bersifat teratur. Dengan MC, titik-titik xi dibangkitkan secara acak melalui generator bilangan acak, Z
a
N
b
f (x)dx =
b−aX f (xi ) N i
(12.2)
Kedua sajian di atas pada dasarnya ekivalen jika jumlah titik sample cukup memadai sebab ∆x = (b − a)/N . Untuk melihat teknik perhitungan MC, kita akan menghitung integral berikut yang hasilnya dapat 91
92
BAB 12. METODE MONTE CARLO
diperoleh secara eksak, yaitu
√
π Z
∞
2
e−x dx
−∞
1
Plot Exp(-x2)
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -3
-2
-1
implicit real*8 (a-h,o-z) NMC=300000 iseed=86029 a=-200.d0 b=400.d0 c
delta=b-a C=0.d0 do i=1,NMC
c
x=2.*RAND0(iseed)-1 x=(b+1.0)*RAND0(iseed) y=x*x y=max(y,-60.) y=min(y,60.)
c
print *, x C=C+dexp(-y) if(mod(i,5000).eq.0) then
c
delta=b/i print *,i/5000, (2.*b*C)/float(i) endif enddo end
0
1
2
3
12.2. RAGAM ALGORITMA MC
93
Di sini, kita belum melakukan pembobotan terhadap titik sample atau dengan perkataan lain, bobot dari setiap titik sample masih seragam, yaitu 1/N . Dalam perhitungan MC untuk kasus yang rumit titik-titik sample harus dicuplik dengan baik sehingga tidak harus melibatkan banyak titik sample untuk memperoleh hasil yang relatif akurat. Teknik pencuplikan dalam metoda MC cukup esensial sebab selain menyangkutkan akurasi, juga untuk efisiensi perhitungan. Salah satu contohnya adalah menghitung nilai π melalui percobaan MC berikut: Perbandingan antara luas lingkaran dan bujursangkar adalah sbb L° π πr2 = 2 = L¤ 4r 4
(12.3)
Jika kita menembaki permukaan ini dengan jarum, kemungkinannya adalah, jarum mengenai area lingkaran atau tidak. Jika ada N kali penembakan, dan Ns kali jaru mengenai area lingkaran dan selebihnya tidak maka nilai π dapat diestimasi sbb: L° πr2 π Ns 4Ns = 2 = = →π= L¤ 4r 4 N N
(12.4)
Kode numeriknya adalah sbb:
implicit real*8 (a-h,o-z) NMC=200000 iseed=86029 C=0. do i=1,NMC x=RAND0(iseed) y=RAND0(iseed) c
print *, x if(x**2+y**2.lt.1.) C=C+1. if(mod(i,5000).eq.0) print *,i, 4.*C/i enddo end
12.2
Ragam Algoritma MC
Sebagaimana telah disebutkan, metoda Monte Carlo kini telah mapan sebagai metoda ampuh dalam penelitian masalah partikel banyak. Terdapat sejumlah algoritma yang telah dikembangkan, masing-masing memiliki kelebihan tertentu untuk suatu kasu yang ditinjau.
94
BAB 12. METODE MONTE CARLO
Meskipun algoritma Metropolis dipandang sebagai yang paling umum dan dapat digunakan untuk memecahakan banyak hal serta mudah diterapkan, algoritma kurang efisien untuk menangani masalah kontinu, termasuk untuk perhitungan yang membtuhkan temperatur kontinu. Algoritma ini mengharuskan kita mengulaginya setiap kali jika diperlukan penelaahan pada temperatur yang baru. Selain kekurangan ini, ia juga mengalami lambat pada temperatur rendah, termasuk sangat lambat untuk menangani sistem frustrasi (frsutrated problems). Masalah kelambatan dinamik sangat penting ditangani agar tinjauan dapat diperluas ke sistem kompleks. Ada dua kategori algoritma MC untuk mengatasi perlambatan dinamik. Pertama adalah update spin secara berkelompok (cluster spin update), dan kedua pencuplikan majelis diperluas. Algoritma Swendsen-Wang, Wolf dan kluster dengan kebolehjadian berubah termasuk dalam kategori pertama, sedangkan metoda multi-kanonik, histogram lebar dan Wang-Landau termasuk dalam kategori kedua. Selain itu, juga terdapat sejumlah algoritma hybrid yang meruapakan penggabungan dari dua algoritma atau lebih. Algoritma yang digabungkan dapat berasal dari kategori yang sama atau berbeda. Algoritma yang digunakan selalu diupaytakan yang paling cocok dengan kasus yang ditinjau.
12.3
Algoritma Metropolis
Andaikan ditinjau N titik kisi yang masing-masing diduduki oleh spin Ising, maka, terdapat 2N konfigurasi. Rerata termal besaran Q pada temperature T dinyatakan sbb N
hQiT =
2 X
Qi pi
(12.5)
i=1
dengan Qi adalah nilai besaran pada konfigurasu ke-i, pi adalah kebolehjadian Gibbs bagi sistem untuk berada dalam konfigurasi i-th yang dinyatakan sbb pi =
exp(−βEi ) Z
;
Z=
X
exp(−βEi )
(12.6)
i
dengan Ei dan β(= 1/kT ) masing-masing adalah energi konfigurasi ke-i dan temperatur invers, Z fungsi partisi. The calculation of expression (12.5) needs huge computer memory and enormous amount of time even for a moderate size of system. To avoid this we need to find a clever way of sampling the microstates so that we pick up only the microstates corresponding to the equilibrium state of the system at temperature T . One technique to fulfill this is by performing the so-called importance sampling procedure which was firstly introduced by Metropolis.
12.3. ALGORITMA METROPOLIS
95
Suppose we choose a configuration wi with the probability P (wi ), and take M samples into account, then the estimate of hQi is given by hQiM =
PM
−βEwi /P (wi ) i Qwi e PM −βEw i /P (wi ) i e
(12.7)
Since the natural choice for P (wi ) would be the Gibbs probability itself, the Boltzmann factors cancel each other and the estimate for hQiM will simply be the arithmetic mean hQiM =
M 1 X Qwi M i=1
(12.8)
A Markov process is a technique to randomly generate a new configuration from the one preceding it. This process is defined by specifying a transition probability W (i → j) from one microstate to another one. In order for the Markov process to have the desired property, i.e., P (wi ) converges to Gibbs distribution, it is sufficient to impose the detailed balance condition as the following pi W (i → j) = pj W (j → i)
(12.9)
We can write the ratio of transition probabilities which depends on the change in energy as follows W (i → j) pj = = e−β(Ej −Ei ) W (j → i) pi
(12.10)
Although W (i → j) in Eq. (12.10) is not uniquely specified, the choice that commonly used is the following e−β(Ej −Ei ) W (i → j) = 1
for Ej > Ei
(12.11)
otherwise,
which means that the transition to a higher energy is accepted with the probability exp(−β(Ej − Ei )) while that to a lower energy configuration is always accepted. A simple algorithm to apply this procedure is the Metropolis algorithm which implements single spin update for the transition Ei → Ej . To measure the simulational time, we define 1 Monte Carlo step (MCS) as visiting each lattice either in turn or randomly and perform the probability update. We apply Eq. (12.11) to decide whether to accept or to reject the update. In order to obtain a reliable calculation, the sampled points have to be independent and not highly correlated to each other. To achieve this we have to perform extra MCS’s between two successive sample points, particularly for the single update algorithm (Metropolis algorithm). Now since the quantity Xi from each sample can be considered as independent measurement we are allowed to apply standard statistical expression of calculating the error which takes the following
96
BAB 12. METODE MONTE CARLO
form ∆X =
s
M
P
P Xi2 − ( i Xi )2 M (M − 1)
i
(12.12)
As a canonical method, we need to repeat the entire procedure for the calculation at another temperature. The spin configuration needs to be equilibrated. Therefore, we have to perform initial MCS’s before starting the measurement. The sensible number of steps taken as initial MCS runs around 104 − 105 , depending on how fast the system reaches the equilibrium.
12.4
Teknik Pembobotan Ulang
Teknik ini merupakan cara sederhana guna meng-efisienkan algoritma Metropoli. Dengan teknik ini, perhitungan langsung terhadap besaran yang hendak diketahui tidak perlu dilakukan. Alasannya, nilai besaran pada temperatur tetangga dapat diperoleh. Andaikan perhitungan dilakukan pada temperatur T = 1/β, maka kebolehjadian distribusi kanonik dapat ditulis sebagai Pβ (E) =
1 g(E)e−βE Zβ
(12.13)
untuk setiap energi E yang mungkin, dengan g(E) adalah degenerasi keadaan energi E yang bersesuaian dengan rapat energi, sedangkan Z(β) adalah fungsi partisi. Rerata termal dari besaran hQi pada temperature T =1/β dihitung melalui hubungan berikut, hQiβ =
X E
hQ(E)i Pβ (E)
(12.14)
dengan hQ(E)i sebagai rerata kanonik mikro. yaitu nilai rerata Q yang diperoleh pada energi yang tetap (seragam) atau tertentu. Suppose we wanted to obtain the thermal average of quantity Q at different inverse temperature β ′ , then one needs to obtain the reweighted distribution Pβ ′ (E). This can be done quite straightforward by first taking the ratio of the two canonical distribution, so one has Pβ ′ (E) = CPβ e−(β
′
−β)E
(12.15)
where C is the normalization constant, which is trivially determined by enforcing the condition P E Pβ (E) = 1. Therefore, the explicit form of the reweighted canonical distribution at inverse
temperature β ′ can be written as
′
Pβ e−(β −β)E Pβ ′ (E) = P −(β ′ −β)E E Pβ e
(12.16)
12.5. ALGORITMA WANG-LANDAU by which the thermal average of Q at inverse temperature β ′ can be calculated through P ′ Q(E)e−(β −β)E hQiβ ′ = EP −(β ′ −β)E Ee
97
(12.17)
It is to be noticed that the energy E appears in the equation is the total energy of a corresponding
state and not energy per spin as commonly done in many Monte Carlo calculation.
12.5
Algoritma Wang-Landau
Algoritma Wang-Landau (WL) merupakan salah satu metoda dari kategori pertama sebagaimana dijelaskan dalam Bag. 12.2. Perjalanan acak (Random walk) dalam algoritma dengan kategori pertama ini menyisir seluruh ruang konfigurasi energi guna menghitung rapat keadaan energi (density of states (DOS)). Akan tetapi, karena ruang energi cukup lebar, perjalanan acak (PA) menghadapi dua masalah umum: (i) PA cenderung terhalang dan tidak mengunjugi keadaankeadaan energi yang sudah sering dikunjungi, (ii) diperlukan waktu cukup lama menyisir dari satu tepi ke tepi lain dari ruang energi. Masalah ini merupakan maslah umu dari PA. Metoda WL mengatasi dua masalah yang disebutkan sehingga mempercepat gerak PA. Dengan demikian rapat keadaan energi g(E) dapat dihitung secara efisien dan akurat. Hal ini dilakukan dengan memperkenalkan kebolehjadian transisi sbb · ¸ g(E) P (E → E ′ ) = min 1, g(E ′ )
(12.18)
dimana g(E) adalah rapat energi dari energi E. Oleh karena g(E) tidak diketahuai pada awal simulasi maka diberi nilai g(E) = 1 untuk semua energi. Rapat keadaan energi selanjutnya dihitung secara iteratif melalui PA. Nilainya diperoleh saat histogram dari energi h(E) mencapai syarat rata (flatness condition), yaitu i.e. saat semua turus dari keadaan energi E tidak kurang dari nilai rerata, misalnya 0.80. Rapat keadaan energi dan histogram di-update setiap kali E dikunjungi yang mengikuti aturan sbb ln g(Ei ) → ln g(Ei ) + fi
(12.19)
h(Ei ) → h(Ei ) + 1
(12.20)
dimana fi adalah parameter untuk modifikai nilai rapat keaadaan dan histogram. Parameter ini mendekati nol saat rapat keadaan mulai konvergen. Rerata termal besaran Q diperoleh melalui hubungan berikut, R dE g(E) Q(E) exp(−βE) R hQiβ = dE g(E) exp(−βE)
(12.21)
98
BAB 12. METODE MONTE CARLO
dimana β = 1/kT , k dan T masing-masing adalah temparatur invers, tetapan Boltzmann dan temperatur. Secara rinci, langakah-langkahnya adalah sbb
1. Set (a) initial spin configuration and initial iteration factor fi = 1; (b) assume that the initial values of the DOS and histogram as ln g(Ei ) = 1 and h(Ei ) = 0, ∀i . 2. Update the configuration based on the transition probability (12.18). 3. Update the DOS and the histogram as (12.19) and go to step 2 until the histogram reaches the flatness condition. 4. Refine the iteration factor fi = fi /2, rescale the DOS by using condition
P
Ei
g(Ei ) = 2N
(for the case of the Ising model); and reset the histogram h(Ei ) = 0 before going back to step 2. 5. Do steps 1 to 4 until the DOS achieves convergence, then perform measurement of physical quantity Qi with a definite number of MCS’s.
Dalam aplikasinya, pada saat kita mengunjungi suatu keadaan, kita dapat saja melakukan pengukuran (perhitungan) besaran fisis yang hendak diukur. Akan tetapi, jika DOS belum konvergen, maka ada kecenderungan keadaan yang memiliki nilai DOS lebih tinggi akan sering dikunjungi, sedangkan yang DOS-nya kecil akan jarang dikunjungi, bahkan mungkin tidak pernah. Itu sebabnya disarankan, pengukuran terhadap besaran fisis A, dilakukan setelah DOS mulai konvergen, yaitu setelah iterasi (jfnum ¿ 18). Dapat pula dilakukan dua tahap, yaitu setelah DOS benarbenar konvergen barulah pengukran dilakukan. Jadi, algoritma WL ada dua tahap, pertama untuk memperoleh DOS yang konvergen, kedua, mengukur besaran fisis, berdasarkan DOS yang sudah konvergen. Dengan begitu, masing-masing keadaan diukur secara beragam. Kelihatannya cara ini bagus, tetapi tetap menyisakan pertanyaan. Bukankan keadaan yang DOSnya besar justru memang harus diukur banyak kali dibanding dengan keadaan yang DOS-nya lebih kecil. Penerapan algoritma WL untuk sistem besar memerlukan pembagian ruang energi atas sejumlah jendela. Hasil dari masing-masing potongan jendela digabungkan pada langkah terakhir. Oleh karena energi harus bersesuaian dengan konfigurasi spin, maka jika dikehendaki dilakukan WL dalam range energi [Ea,Eb], maka perlu dilakukan langkah penyesuaian sedemikian sehingga kon-
12.6. METODA HISTOGRAM LEBAR
99
figurasi yang di-input ke dalam WL diketahui energinya. Di sini perlu melakukan equilibrasi metropolis, begitu energi E masuk dalam jangkauan [Ea,Eb], maka langkah WL segera dilakukan. Masalah kelambatan dinamis yang bersifat klasik kemungkinan masih hadir, khususnya buat sistem yang memiliki banyak minima lokal. Akibatnya, DOS sulit mengalami konvergensi. Untuk mengatasi hal ini, metoda WL dapat ditingkatkan unjuk-kerjanya dengan menggunakan metoda histogram lebar. broad histogram method (BHM) sebagaimana yang akan diulas dalam bagian berikut. By this combination, we perform the simulation in three major steps. The first step is performing WL algorithm until we reach a relatively convergent DOS. Then we calculate the potential move in order to refine the DOS obtained from the first stage. After refining the DOS we move to third stage where calculation of physical quantities of interest with the refined DOS is performed.
12.6
Metoda Histogram Lebar
Metoda histogram lebar merupakan penyempurnaan dari teknik pembobotan ulang. The broad histogram method (BHM) is the improvement of the reweighting technique which is not quite practical for a larger system size since the energy distribution presents a sharp peak and exponential decays on both sides. The evaluation of thermal average will be less reliable unless one is ready to perform a simulation on adequate number of points.
1
The BHM is proposed to overcome the sharp peak and exponential tail problems. In proposing the BHM, Oliveira et al. paid attention to the number of potential moves, or the number of the possible energy change, N (S, E → E ′ ), for a given state S. The total number of moves is X ∆E
N (S, E → E + ∆E) = N
(12.22)
for a single spin flip process of the Ising model simulation. The energy DOS is related to the number of potential moves as g(E) hN (S, E → E ′ )iE = g(E ′ ) hN (S ′ , E ′ → E)iE ′ ,
(12.23)
where h· · · iE denotes the microcanonical average with fixed E. This relation is shown to be valid on general grounds, and we call Eq. (12.23) the broad histogram relation. We measure the average of the potential move, hN (S, E → E ′ )iE , and use this information for getting a better estimate 1 This
Part is taken from my PhD Thesis, Tasrief Surungan (2004).
100
BAB 12. METODE MONTE CARLO
of the energy DOS. It was stressed that N (S, E → E ′ ) is a macroscopic quantity, which is the advantage of using the number of potential moves.
12.7
Metoda Hibrid (Kombinasi)
Guna optimasi lebih lanjut spin-spin diupdate secara berkelompok (cluster), termasuk juga dibuat multi random walkers.
2
1. Cluster spin updates: Sistem spin frustrasi memiliki landskep ruang energi yang rumit yang dapat menjebak random walker tunggal terjebak pada energi minimum tertentu. kecenderungan ini dapat dihindari dengan menerapkan update spin secara berkelompok ( cluster spin update). Cara ini memungkinkan random walker berpindah jauh dari satu titik energi ke titik energi lain. Gambar 12.1 menunjukkan perbadingan dinamika random walker untuk update spin tunggal dan yeng berkelompok. 2. Multiple random walkers (parallel computation): The problem of slow dynamics can be further cured by making use of parallel programming which enables us to use multiple random walkers. The number of random walkers corresponds to the number of processors used. In performing the sampling, each random walker independently moves in the phase space of energy and communicates its intermediate sampling results with other random walkers through the master node. By this procedure, we can faster achieve the flatness condition of the histogram which is a crucial step in the WL algorithm.
2 This
Part is taken from my PhD Thesis, Tasrief Surungan (2004).
12.7. METODA HIBRID (KOMBINASI)
E
101
W
Gambar 12.1: Illustration of two possible moves of a random walker in the energy space. A random walker with single spin update tends to be trapped at particular local minima, while the one with cluster update can jump far away. EW is the energy range of the chosen energy window.
EW
Gambar 12.2: Illustration of the dynamics of multiple random walkers in the complex landscape of energy space. EW is the energy range of the chosen energy window.
102
BAB 12. METODE MONTE CARLO
Bab 13
Grup Renormalisasi 13.1
Pendahuluan
Gagasan mengenai RG berhubungan dengan invariasi skala atau sifat kovarian dari berbagai besaran terhadap transformasi koordinat. Tranformasi seperti ini diperlukan dalam memudahkan pemecahan masalah-masalah fisika. Meskipun RG dijumpai dalam banyak cabang fisika, di sini akan diulas dalam kaitannya dengan gejala kritis. Kendati demikian harus ditekankan bahwa RG berlaku pula bagi semua temperatur pada keadaan teratur (di bawah temperatur kritis), jadi bukan hanya pada daerah kritis. Grup renormalisasi meliputi banyak konsep antara lain: titik-titik tetap stabil (stable fixed points), simetri dinamik kontinu, universalitas, interaksi tak relevan, dll. Titik stabil tetap berkaitan dengan kelas universalitas (universality class). Titik stabil ini memiliki parameter kritis. Sistem yang secara makroskopik berbeda dapat saja masuk dalam kelas universalitas yang sama jika memiliki parameter-parameter kritis yang sama. Contohnya, titik tetap Ising berhubungan perubahan fase sistem magnetik dan sistem PVT pada fluida. Sifat yang merupakan peralihan dari dua atau lebih titik stabil dinamakan sifat antara (cross-over behaviour). Artinya, sifat tersebut tidak dikendalikan oleh titik tetap tertentu, jadi tidak masuk dalam daerah titik stabil tertentu. Simetri kontinu dinamik merupakan konsep penting yang dibahas oleh RG. Konsep ini memper103
13.2. FIXED POINT
105
lakukan zat mampat sebagai kontinum dan bukan terdiri atas atom. Atom-atom secara kolektif berprilaku sebagai partikel tunggal (quasi-partikel). Dari sudut pandang lain, kontinum mengalami eksitasi yang dapat berupa antara lain fonon (bergantung pada medium). Dalam bahasa Salam dan Weinberg, jika terdapat simentri kontinu (Invariansi perpindahan), maka harus ada boson tak bermassa dan dat berinteraksi. Partikel medan seperti gelombang bunyi adalah boson dalam bahasa SW. Simetri kontinu memiliki implikasi, antara lain adalah universalitas, yaitu bahwa sistem berbeda, dapat memiliki eksponen kritis yang sama.
13.2
Fixed Point
13.3
Kondensasi Boson
Referensi 1. G.Benfatto and G. Gallavotti, Renormalization Group 2. Ulrich Kbler, Andreas Hoser, Renormalization Group Theory: Impact on Experimental Magnetism
106
BAB 13. GRUP RENORMALISASI
Appendix A: Integral Gaussian Integaral berikut akan dihitung untuk berbagai nilai n, Z ∞ 2 2 v n e−β v dv F (n) = 0
Untuk n = 0, integral ini menjadi F (0) =
Z
∞
e−β
2 2
v
dv
0
dengan menandai u = βv, integral ini merupakan bentuk generik integral Gaussian Z ∞ 2 1√ e−u du = π 2 0 Untuk n = 1, integral yang dihitung adalah F (1)
Z
=
∞
v e−β
2 2
v
dv
0
Z
∞
Z
∞
v 2 e−β
2 2
v
dv
Z
=
µ Z 2
−y 2
e
0 ∞
2
e−y dy 0
v 2 e−β
2 2
v
dv
0
0
2
∞
dy
¶2
=
Z
=
Z
∞
−∞ ∞
=
2
e−y dy Z
∞
e−(x
−∞ −∞ Z 2π Z ∞
2
2
+y 2 )
dx dy
e−r ) rdr dθ
0
= π
107
0
(1)
108
BAB 13. GRUP RENORMALISASI
Daftar Pustaka [1] W. Greiner, L. Neise, H. St¨ocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer, Berlin, 1995. [2] L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, John Wiley & Sons, 1998. [3] K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1987. [4] F. W. Sears, Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics, Addison Wesley, 1963. [5] R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Dover Pub., New York, 1979. [6] T. Surungan, Cooperative Phenomena of Two-Dimensional Complex Planar Spin Systems, PhD Thesis, Tokyo Metropolitan Uni. Japan, (2004) [7] R. J. Baxter,Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Dover Publication, 1982 [8] W. R. Gibbs, Computation in Modern Physics, World Scientific, 1999. [9] S. Eliezer, A. K. Ghatak and H. Hora, Fundamentals of Equations of State, World Scientific, 2002.
109
Index algoritma Metropolis, 94
fase, 6 fenomena kritis, 83
bilangan Avogadro, 50 bobot
fenomenologis, 13 Fermi-Dirac, 67 fungsi
statistik, 19, 59, 72
Heaviside, 36
Boltzmann, 57
partisi, 61
boson, 67 gas Clausius, 19
foton, 68
co-existence, 6
ideal, 47
dadu, 35 densitas, 58
gas ideal, 6 harga
distribusi
expektasi, 40
binomial, 37 energi, 55
rerata, 40 Hessian, 34
normal, 38 Poisson, 39
kalor laten, 85
double counting, 41
kapasitas elektrodinamika, 69 elemen volume, 50
panas, 65 kausalitas, 3 keadaan
energi
makro, 25
dalam, 84
setimbang, 4
entalpi, 16 entropi, 5, 19, 20, 59 maximum, 73 expectation, 34
termodinamika, 25 kebolehjadian, 31 kesetimbangan, 4 ketidak-pastian, 65 110
INDEX
111 fase, 26, 49, 71, 74
kombinasi, 37, 41
Kartesian, 68 larangan Pauli, 67
keadaan, 4
lingkungan, 3
kecepatan, 49 momentum, 68
majelis, 26 makrokanonik, 26 mekanika
setimbang, 45, 73 sistem, 3
kuantum, 20
klasik, 66
microstate, 32
terbuka, 4 terisolasi, 4
osilator, 28
tertutup, 4 panas
statistik
jenis, 16
Bose-Einstein, 65
parameter
Fermi-Dirac, 71
keteraturan, 85 pengukuran, 5
Maxwell-Boltzmann, 57 Stirling, 59
penyekalaan, 87 peristiwa, 32 permukaan Fermi, 74
tak-terbedakan, 66 temperatur, 61 kritis, 6
permutasi, 41 perubahan fase
teorema binomial, 38
orde pertama, 85 peubah
teori kinetik, 43
stokastik, 35 termodinamik, 4 Planck, 69
tetapan Planck, 66 transformasi Legendre, 21
proses reversibel, 19 termodinamik, 7 random, 35
tumbukan, 43 universalitas, 86 vektor
rapat
kecepatan, 49
energi, 68 reversibel, 20 ruang cuplikan, 31
zat kerja, 17
