DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

ALJABAR LINEAR

[DETERMINAN DAN INVERS]

DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN ₪ Definisi Setiap matriks kuadrat/persegi mempunyai suatu nilai khusus yang disebut determinan. determinan adalah jumlah hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks. Determinan dapat dipahami sebagai jumlah semua hasil kali entri-entri matriks yang tidak berada pada baris atau kolom yang sama. Determinan dinotasikan sebagai berikut: Jika A adalah matriks persegi ⋯ ⋯ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ Maka determinan A ditulis : det ( ) atau | | ⋯ ⋯ | |= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ₪ Determinan Matriks Berordo 1, 2, dan 3 Determinan matriks berordo 1 )=| |= ( Contoh : |13| = 13 |−3| = −3 |5| = 5 Determinan matriks berordo 2 =

Contoh : Misalkan matriks A adalah sebagai berikut 3 1 = 4 5 3 1 Maka | | = 4 5 = 3 ∙ 5 − 4 ∙ 1 = 15 − 4 = 11 Determinan matriks berordo 3 #$

%

%

%

% &'

%%

=(

=

=

%

%

%

%% + % − %% +

=

%

%(

%%

% %

% %

% %

−

+ − +

% %

%

%% %

− −

Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 1

ALJABAR LINEAR


( % % + Atau dapat juga ditulis sebagai berikut (

%

%

%

%(

%%

% % %

%% )

+ %

− − − + + + Cara mencari determinan pada matriks berordo 3 ini disebut juga dengan Metode Sarrus. Metode ini hanya bisa digunakan pada matriks berordo 3 saja. Contoh : Misalkan matriks A adalah 2 0 1 = $3 −2 5& 4 8 1 2 0 1 Maka | | = (3 −2 5( = 2 ∙ −2 ∙ 1 + 0 ∙ 5 ∙ 4 + 1 ∙ 3 ∙ 8 − 4 8 1 (4 ∙ −2 ∙ 1 + 8 ∙ 5 ∙ 2 + 1 ∙ 3 ∙ 0) = −4 + 0 + 24 − (−8 + 80 + 0) = 20 − 72 = −52 ₪ Sifat-sifat Determinan Teorema 1

Determinan matriks | | = | . |. Teorema 2

dan determinan matriks

.

adalah sama, yaitu

Misalkan adalah matriks kuadrat, a. Jika A merupakan matriks nol maka determinannya adalah nol, yaitu | |=0 b. Jika matriks A mempunyai dua baris/kolom yang sama atau identik (merupakan kelipatan), maka| | = 0. Contoh : 1 2 4 1 2 4 1 3 0 = $2 4 8& , 1 = $3 0 1& , 2 = $2 6 1& 3 1 5 1 2 4 3 9 8 Matriks A mempunyai baris yang identik yaitu baris kedua merupakan kelipatan dua dari matriks pertama. Matriks B mempunyai baris yang sama yaitu baris pertama dan baris ketiga. Matriks C mempunyai kolom yang identik yaitu kolom kedua kelipatan tiga dari kolom pertama. c. Jika A adalah matriks identitas (5) maka | | = |5| = 1. Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 2

ALJABAR LINEAR


d. Jika A adalah matriks diagonal maka | | adalah hasil dari perkalian entrientri diagonal utama matriks. Teorema 3

Misalkan A dan B adalah matriks kuadrat serta 6 adalah berupa skalar, maka 1. |6 | = 6 | |, 7 ∶ ukuran matriks. Contoh : 3 2 3 2 9 6 Misalkan, = = 9 ∙ 21 − 6 ∙ 6 = 153 maka 3 ∙ = 6 21 2 7 2 7 3 2 Sedangkan = 3 ∙ 7 − 2 ∙ 2 = 21 − 4 = 17 sehingga 2 7 153 = 9 ∙ 17 = 3 ∙ 17 ⇔ |3 | = 3 | | 2. | + 1| ≠ | | + |1| Contoh : 4 3 6 5 ,1 = Misalkan matriks = maka 2 5 3 9 10 8 4 3 6 5 | + 1| = + = 5 14 2 5 3 9 = 10 ∙ 14 − 8 ∙ 5 = 140 − 40 = 100 4 3 | |= = 4 ∙ 5 − 3 ∙ 2 = 14 2 5 |1| = 6 5 = 6 ∙ 9 − 5 ∙ 3 = 54 − 15 = 39 3 9 | | + |1| = 14 + 39 = 53 ∴ Diperoleh bahwa | + 1| ≠ | | + |1| | + 1| = | | + |1| jika pada dua matriks memiliki baris yang entrinya sama maka yang dijumlahkan hanya baris yang entrinya berbeda. Contoh : Misalkan baris pertama pada matriks A dan B entrinya sama, 4 3 4 3 maka ,1 = = 3 9 2 5 4 3 4 3 4 3 | + 1| = = + 5 14 3 9 2 5 = 4 ∙ 14 − 3 ∙ 5 = 56 − 15 = 41 4 3 | |= = 4 ∙ 5 − 3 ∙ 2 = 14 2 5 4 3 |1| = = 4 ∙ 9 − 3 ∙ 3 = 36 − 9 = 27 3 9 | | + |1| = 14 + 27 = 41 ∴ Diperoleh bahwa | + 1| = | | + |1| 3. | 1| = | | ∙ |1| Contoh : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 3

ALJABAR LINEAR


−3 2 2 1 ,1 = maka −4 6 4 −7 −6 + 4 4 + (−7) 2 1 −3 2 | 1| = =< < 12 + 24 −8 + (−42) −4 6 4 −7 −2 −3 = 100 − (−108) = 208 = 36 −50 2 1 | |= = 2 ∙ 6 − 1(−4) = 12 + 4 = 16 −4 6 −3 2 |1| = = 21 − 8 = 13 4 −7 | ||1| = 16 ∙ 13 = 108 = | 1| ₪ Mencari Determinan dengan Operasi Baris Cara mencari determinan dengan operasi baris elementer adalah sebagai berikut: 1. Lakukan operasi baris dengan memperhatikan tiga hal sebagai berikut: a. Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris matriks A maka det( ′) = −det( ) b. Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian matriks dengan suatu konstanta 6 maka det( ′) = 6det( ) c. Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan dari penjumlahan hasil kali dari baris satu ke baris yang lain pada matriks A maka det( ′) = det( ). 2. Operasi baris berhenti jika matriks yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas atau segitiga bawah. 0 0 % 0 &,1 = $ 0 =$ % &, 0 0 %% % % %% 0 ?,@ = 0 2=> Matriks A dan C adalah matriks segitiga atas dan matriks B dan D adalah matriks segitiga bawah. 3. Determinan diperoleh dengan mengalikan semua entri pada diagonal utama dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah. 0 0 % 0 (=( 0 ( ∙ ∙ %% %( = 0 0 %% % % %% 0 <= 0 = ∙ < Contoh : Misalkan matriks A adalah 2 0 1 = $3 −2 5& 4 8 1 Misalkan

=


Page 4

ALJABAR LINEAR


A 1 0 1 0 AB A 1 AC B D CB A D%C EC B 5( B (2) (3 −2 5( DFCA ECB (2) 0 −2 HB A G 1 4 8 1 0 8 −1 1 0 J I DKCB ECG (2)(−2) I J − 0 1 − I = (2)(−2)(1 ∙ 1 ∙ 13) = −52

2 0 Maka | | = (3 −2 4 8 1 0

(2)(−2) I0 1 F F 0 8 −1 0 0 13 Atau tanpa harus mencari 1 −utama untuk setiap barisnya, segitiga bawah dapat diperoleh dengan cara seperti berikut. 2 0 1 2 0 1 2 0 1 | | = (3 −2 5( D CA ECG (2) (3 −2 5 ( DCA ECB(2) (1 −2 4 ( CA CB 4 8 1 0 8 −1 0 8 −1 1 −2 4 1 −2 4 1 −2 4 D CA ECB (−) (2 0 (−) (0 4 −7( D CB ECG (−) (0 4 −7( 1( 0 8 −1 0 8 −1 0 0 13 = (−)(1 ∙ 4 ∙ 13) = −52 Jadi untuk memperoleh matriks segitiga, kita hanya perlu memperoleh entri nol yang berada di atas atau di bawah diagonal utama tanpa perlu mencari 1 −utama setiap barisnya. ₪ Mencari determinan dengan ekspansi kofaktor Salah satu metode lain untuk mencari determinan suatu matriks adalah dengan ekspansi kofaktor. Cara ini lebih terstruktur karena menerapkan suatu rumus baku, namun dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan jika matriks tersebut memiliki banyak entri nol pada suatu baris atau kolom. Metode ini lebih cocok digunakan untuk perhitungan manual, sedangkan operasi baris elementer lebih cocok untuk komputasi. Akan tetapi, untuk matriks berukuran sangat besar, operasi baris elementer jauh lebih efisien daripada metode ekspansi kofaktor, apalagi jika algoritma komputasinya telah disusun. Hal ini dikarenakan ekspansi kofaktor matriks berordo besar akan melibatkan lebih banyak operasi hitungan dibandingkan dengan metode eliminasi. Dalam ekspansi kofaktor, kita akan mengenal istilah minor dan kofaktor. Minor entri LM yang dinyatakan dengan NLM didefinisikan sebagai determinan submatriks dari matriks . Submatriks diperoleh dengan cara menghapus baris ke-O dan kolom ke-P dari matriks A. Artinya baris dan kolom di mana LM berada dihilangkan. Kofaktor yang dinyatakan dengan 2LM diperoleh dengan cara sebagai berikut. 2LM = (−1)LEM NLM Determinan matriks A berukuran 7 × 7 dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri suatu baris atau kolom dengan kofaktornya dan kemudian hasil kali tersebut dijumlahkan, yakni untuk setiap 1 ≤ O ≤ 7 dan 1 ≤ P ≤ 7 maka Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 5

ALJABAR LINEAR


ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j : det( ) = M 2 M + M 2 M + ⋯ + M 2 M dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i : det( ) = L 2L + L 2L + ⋯ + L 2L Cara mencari determinan dengan ekspansi kofaktor dapat ditulis sebagai berikut: 1. Memilih baris mana yang akan digunakan 2. Menghitung minor dari setiap entri pada baris yang dipilih. Minor entri dinyatakan dengan NLM 3. Menghitung kofaktor entri dari setiap entri pada baris yang dipilih dengan cara 2LM = (−1)LEM NLM 4. Jumlahkan semua hasil kali entri-entri suatu baris atau kolom dengan kofaktornya. Contoh : Misalkan 1 2 = $4 5 8 8

3 6& 9

‡ Ekspansi baris Pilih baris pertama dari matriks . 1 2 3 5 6 adalah N = (4 5 6( = = −3 Minor entri 8 9 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = (−1) E N = 1 ∙ (−3) = −3 1 2 3 4 6 Minor entri adalah N = (4 5 6( = = −12 8 9 8 8 9 adalah 2 = (−1) E N Kofaktor = (−1) ∙ (−12) = 12 1 2 3 4 5 Minor entri % adalah N % = (4 5 6( = = −8 8 8 8 8 9 Kofaktor % adalah 2 % = (−1) E% N % = 1 ∙ (−8) = −8 | |= 2 + 2 + %2 % = 1 ∙ (−3) + 2 ∙ (12) + 3 ∙ (−8) = (−3) + (24) + (−24) = −3 Ekspansi kofaktor yang dilakukan pada matriks ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama pada matriks . Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 6

ALJABAR LINEAR


‡ Ekspansi kolom Pilih kolom kedua dari matriks . 1 2 3 4 6 = −12 Minor entri adalah N = (4 5 6( = 8 9 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = (−1) E N = (−1) ∙ (−12) = 12 1 2 3 1 3 = −15 Minor entri adalah N = (4 5 6( = 8 9 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = (−1) E N = 1 ∙ (−15) = −15 1 2 3 1 3 = −6 Minor entri % adalah N% = (4 5 6( = 4 6 8 8 9 Kofaktor % adalah 2% = (−1)%E N% = (−1) ∙ (−6) = 6 | |= 2 + 2 + % 2% = 2 ∙ 12 + 5 ∙ (−15) + 8 ∙ 6 = 24 − 75 + 48 = −3 Ekspansi kofaktor yang dilakukan pada matriks ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua pada matriks . INVERS ₪ Definisi Jika A adalah matriks kuadrat dan jika B adalah suatu matriks yang memenuhi 1 = 1 = 5, maka A dikatakan mempunyai invers dan B merupakan invers dari matriks A. Matriks yang mempunyai invers dinamakan matriks tak singular. Matriks yang tidak mempunyai invers dinamakan matriks singular. ₪ Sifat-sifat matriks invers 1. Jika A dan B mempunyai invers serta keduanya berukuran sama, maka a. 1 mempunyai invers. b. ( 1)D = 1 D D 2. Jika A adalah matriks kuadrat yang mempunyai invers, maka a. D mempunyai invers dan ( D )D = b. mempunyai invers dan ( )D = ( D ) untuk 7 = 0,1,2,3, … c. Untuk setiap skalar 6 yang tidak sama dengan nol, maka 6 mempunyai invers dan (6 )D =

T

D

.

₪ Cara Mencari Invers dari Matriks Mencari invers suatu matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu 1. Menggunakan determinan Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 7

ALJABAR LINEAR


Suatu matriks dikatakan mempunyai invers jika matriks tersebut mempunyai determinan yang tidak sama dengan nol. Jika A adalah matriks yang mempunyai invers maka 1 D = P( ) ( ) Jika matriks kofaktor dari matriks A yang berordo 3 adalah 2 2% 2 2% 2 2 . 2 2 % & dan 2 = $2 2 2% & 2 = $2 2% 2% 2%% 2 % 2 % 2%% . maka 2 adalah P( ) untuk matriks berordo3. Jika matriks kofaktor dari matriks A yang berordo 2 adalah 2 2 2 2 2=> ? dan 2 . = > ? 2 2 2 2 maka 2 . adalah P( ) untuk matriks berordo 2. Contoh : 2 3 2 3 = 8 − 3 = 5. Artinya matriks ini maka | | = Misalkan = 1 4 1 4 mempunyai invers sehingga 2 = (−1) E N = 1 ∙ |4| = 1 ∙ 4 = 4 2 = (−1) E N = −1 ∙ |1| = −1 ∙ 1 = −1 2 = (−1) E N = −1 ∙ |3| = 1 ∙ 3 = −3 2 = (−1) E N = 1 ∙ |2| = 1 ∙ 2 = 2 4 −3 P( ) = −1 2 4 −3 1 1 4 −3 5V D =U 5 = P( ) = −1 2 ( ) 5 −1 2 5 5 2. Menggunakan Operasi Baris Elementer Invers matriks dapat dicari menggunakan operasi baris elementer terhadap matriks |5 W yang menghasilkan matriks 5 | D W . % 1 0 0 |5% W = $ % ( 0 1 0W& 0 0 1 % % %% 1 0W |5 W = 0 1 Contoh : 2 3 adalah matriks yang determinannya tidak nol, maka = 1 4 2 3 1 0W CA CB 1 4 0 1W D CA ECB 1 4 0 1 W DAXYB 2 3 1 0 0 −5 1 −2 1 4 0 1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 8

ALJABAR LINEAR


1 4 0 1W CA E(DFCB ) 1 0 \ [ ( Z $ ] 0 1 −\ \ 0 1 − \ F

Jadi

D

=

F \

−

\

−

\

% \

D

% \W

\

&

Contoh : (matriks ordo 3) Misalkan matriks koefisien

dari suatu sistem persamaan linear adalah 2 0 1 = $3 −2 5& 4 8 1 Dengan | | = −52. Berarti matriks mempunyai invers. ‡ Ekspansi kofaktor −2 5 2 = (−1) E N = 1 ∙ = 1 ∙ (−42) = −42 8 1 3 5 = −1 ∙ (−17) = 17 2 = (−1) E N = −1 ∙ 4 1 3 −2 = 1 ∙ 32 = 32 2 % = (−1) E% N % = 1 ∙ 4 8 0 1 = −1 ∙ (−8) = 8 2 = (−1) E N = −1 ∙ 8 1 2 1 = 1 ∙ −2 = −2 2 = (−1) E N = 1 ∙ 4 1 2 0 2 % = (−1) E% N % = −1 ∙ = −1 ∙ 16 = −16 4 8 0 1 2% = (−1)%E N% = 1 ∙ = 1∙2 =2 −2 5 2 1 = −1 ∙ 7 = −7 2% = (−1)%E N% = −1 ∙ 3 5 2 0 2%% = (−1)%E% N%% = 1 ∙ = 1 ∙ (−4) = −4 3 −2 −42 8 2 P( ) = $ 17 −2 −7& 32 −16 −4 1 D = P( ) ( ) 8 2 1 −42 = − $ 17 −2 −7& 52 32 −16 −4 21 2 1 ` − − c 13 26b _ 26 1 7 17 b = _− 52 b _ 52 26 4 1 b _ 8 − ^ 13 13 13 a Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 9

ALJABAR LINEAR


‡ Operasi Baris Elementer 1 0 0 2 0 1 2 0 1 DCA ECB W $3 −2 5 ( 0 1 0& D C EC $1 −2 4 ( A G 0 0 1 0 8 −1 4 8 1 −1 1 0 1 −2 4 1 −2 4 D CA ECB W $0 4 −7 $2 0 1 ( 1 0 0& 0 8 −1 −2 0 1 0 8 −1 −1 1 0 C 1 −2 4 1 −2 4 DJ B $0 4 −7 ( 3 −2 0W& F U0 1 I F −8 4 1 %CG 0 0 0 0 13 1

1 U0 0

−1 −2 4 J − \ 1 0 I DK 0 1

`1 0 _ _0 1 _0 0 ^

Jadi

d 0 J I 0 I −\ K 1 D

D

%

%

1

−

d F % %

d F %

0

`

1 J CB ECA _ W \ V _0 %

− dc J bW \ b b % a

0 1 _0 0 ^

4 0 II 1

1 0 0 C C −1 1 0W& A B −2 0 1 −1 1 0 D CB ECG ( 3 −2 0W& −2 0 1 −1 1 0 J % D 0 WV F1% + 1 F F

DK % F% − d J −\ DK %

F %

d F %

F %

% J dc J bW DFCG ECA \ b

b

%a

` d − % − dc J b _ J = _− \ d \ b _ K b F ^− % % % a

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN INVERS DAN DETERMINAN MATRIKS ₪ Menggunakan Invers Matriks Sistem persamaan linear e = 1 mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu e= D 1 jika matriks A mempunyai invers. Jadi, jika suatu sistem persamaan linear yang matriks koefisiennya mempunyai invers maka invers matriks tersebut dapat digunakan untuk mencari penyelesaian. Kategori penyelesaian yang diperoleh adalah tepat satu penyelesaian. Artinya matriks koefisien yang tidak mempunyai invers, sistem persamaan linearnya tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai banyak penyelesaian. Contoh : Tinjaulah sistem persamaan linear berikut ini, 2f + 3g = 6 f + 4g = 8 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut! Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 10

ALJABAR LINEAR


Jawab: 6 . 8

Matriks koefisiennya adalah 1= D

=

F \

−

\

−\ \

%

=

2 3 dan matriks konstanta adalah 1 4

(lihat contoh pada bagian invers) Maka penyelesaian dari sistem persamaan linearnya adalah e= D 1 4 3 − 5V 6 =U 5 1 2 8 − 5 5 24 24 + h− i 5 V =U5 6 16 − + 5 5 0 =U5V 10 5 0 = 2 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = 0, g = 2 Contoh : Tinjaulah sistem persamaan persamaan linear berikut ini. 2f + j=4 3f − 2g + 5j = 30 4f + 8g + j = 16 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut! Jawab : 2 0 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah = $3 −2 4 8 4 matriks konstanta 1 = $30&. Invers dari matriks A yang diperoleh 16 ` d − % − dc J b _ J D = _− \ (lihat contoh pada bagian invers) d \ b _ K b F ^− % % % a Mia Fitria, S.Si, M.Pd

1 5& dan 1

adalah

Page 11

ALJABAR LINEAR


Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah 21 2 1 ` − − c 13 26b _ 26 4 1 7 17 b $30& e = D 1 = _− 52 b 16 _ 52 26 4 1 b 8 _ − ^ 13 13 13 a 42 60 8 ` c − − _ 13 13 13 b 17 15 28 b =_− + + _ 13 13 13 b _ 32 120 16b ^− 13 + 13 + 13a −2 =$ 2 & 8 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = −2, g = 2, j = 8 ₪ Menggunakan Determinan Matriks Cara mencari penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan determinan dinamakan metode cramer. Adapun cara menggunakan metode cramer untuk memperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut: Menentukan matriks koefisien dan konstanta dari sistem persamaan linear. 1. Menentukan matriks bagian dengan pola sebagai berikut. … MD k ME … ` c … MD k ME … _ b M =_ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ bb _ ⋮ … ^ ME … a MD k =$

‡ Misalkan matriks koefisien ordo 3 k konstanta $k & maka matriks-matriks k% k k % k = $k =$ %& , k% k% % %% %

M

%

%

%&

%

%%

dan matriks

yang diperoleh adalah %

%&

%%

‡ Misalkan matriks koefisien ordo 2

dan =

%

=$

%

%

k k & k%

dan matriks

k konstanta > ? maka matriks-matriks M yang diperoleh adalah k k k => ? dan => ? k k Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 12

ALJABAR LINEAR


2. Menentukan determinan matriks koefisien . 3. Menentukan determinan matriks M . 4. Menghitung penyelesaian sistem persamaan linear dengan rumus sebagai berikut. l Ml fM = | | Contoh :

Tinjaulah sistem persamaan linear berikut ini, 2f + 3g = 6 f + 4g = 8 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut! Jawab : Matriks koefisiennya adalah 1=

6 . 8

=

2 3 1 4

dan matriks konstanta adalah

| |=5 6 3 = , | | = 24 − 24 = 0 8 4 2 6 = , | | = 16 − 6 = 10 1 8 | | 0 f= = =0 | | 5 | | 10 g= = =2 | | 5 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = 0, g = 2 Contoh : Tinjaulah sistem persamaan persamaan linear berikut ini. 2f + j=4 3f − 2g + 5j = 30 4f + 8g + j = 16 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut! Jawab : 2 0 1 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah = $3 −2 5& , 4 8 1 4 matriks konstanta 1 = $30&, dan diperoleh | | = −52. 16 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Page 13

ALJABAR LINEAR


4 0 1 2 4 1 2 0 4 = $30 −2 5& , = $3 30 5&, % = $3 −2 30& 16 8 1 4 16 1 4 8 16 | | = (−8) + 0 + 240 − (−32 + 160 + 0) = 232 − 128 = 104 | | = 60 + 80 + 48 − (120 + 160 + 12) = 188 − 292 = −104 | % | = −64 + 0 + 96 − (−32 + 480 + 0) = 32 − 448 = −416 | | 104 = = −2 f= | | −52 | | −104 g= = =2 | | −52 | % | −416 j= = =8 | | −52 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear adalah f = −2, g = 2, j = 8 LATIHAN 1. Perhatikan matriks-matriks berikut ini. 1 2 4 1 3 4 1 3 4 1 = $2 5 7& , 1 = $3 5 6& , 2 = $7 2 0& , @ = $3 2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 Hitungah determinan dari matriks 5 , 41, (2 + @) jika dilakukan pada baris kedua, dan 1! k m n & = 2, maka determinan 2. Jika determinan dari $ o ℎ O berikut ini adalah. o ℎ O a. $− − −n & k m +o k+ℎ m+O n b. o ℎ O −2 −2k −2m n & c. $ −o −ℎ −O 3. Misalkan 1 5 −2 = $−2 1 1& 3 −1 4 a. Carilah semua minor dari matriks . b. Carilah semua kofaktor dari matriks .

3 4 5 6& 1 3 penjumlahan dari matriks


Page 14

ALJABAR LINEAR


4. Carilah determinan dari matriks berikut ini dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom yang anda pilih. 3 0 a. 1 5 1 3 6 b. $ 3 0 −9& −2 −4 5 5. Misalkan matriks dan 1 adalah matriks yang berukuran 3 × 3, di mana | | = 3 dan |1| = 6. Tentukan: a. | 1| %

c. |2 1| d. | 1 D | 6. Untuk masing-masing matriks berikut, hitung | |, P( ), dan D . 1 2 a. 3 −1 3 1 b. 2 4 1 3 1 c. $ 2 1 1 & −2 2 −1 1 1 1 d. $0 1 1& 0 0 1 7. Carilah nilai 6 yang menyebabkan matriks-matriks berikut ini menjadi matriks singular. 6−3 1 a. = 2 6−2 1 2 4 b. 1 = $3 1 6& 6 3 2 8. Misalkan matriks dan 1 adalah matriks berordo 2 × 2 sebagai berikut. 4 1 5 0 ,1 = = 2 3 −1 2 Tentukan: a. D b. 1 D c. ( 1)D b.

q D

D

)D e. ( 9. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan menggunakan invers dan metode cramer. d.

linear

berikut


ini

Page 15

ALJABAR LINEAR

a.

b.


f − 3f − f% = −3 −2f + 7f + 2f% = 4 3f + 2f − 4f% = −5 −2f + 3f − f% = 1

f + 2f − f% = 4

−2f − f + f% = −3

10. Tentukan f , f dan f% dari sistem persamaan linear dengan menggunakan metode cramer. f − 3f + f% = 4 2f − f 4f

= −2

− 3f% = 0


Page 16

DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Recommend Documents