DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

3/25/2011

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

Transpose Matriks (1) 

Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Ex: 3   2   2  1 5   A    1 0   At    3 0  3  5  3  

1

3/25/2011

SIFAT Transpose Matriks (2) 

Sifat: 1. 2. 3. 4.

(At)t = A (AB)t = At  Bt (AB)t = BtAt (kA)t = kAt

Invers Matriks (1) 



Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

2

3/25/2011


Ex: 3 5  B   1 2 

adalah invers dari

 2  5  A    1 3 

karena

 2  5  3 5   1 0        I AB     1 3  1 2   0 1 

dan

 3 5  2  5   1 0        I BA    1 2   1 3   0 1 


Cara mencari invers khusus matriks 2x2: a b  Jika diketahui matriks   A c

d 

maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus A 1

1  ad  bc

d   c

d   b    ad  bc c a      ad  bc

b ad  bc a ad  bc



     

3

3/25/2011


Ex: Carilah invers dari

 2  5  A   1 3 

Penyelesaian:

A 1 

3 5 1 3 5 3 5 1      2(3)  (5)(1)  1 2  1  1 2   1 2 

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)


Sifat: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka: 1. 2.

AB dapat dibalik(PUNYA INVERS) (AB)-1 = B-1 A-1

4

3/25/2011

Pangkat Matriks (1) 

Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai: A0 = I, An = A A … A (n≥0) n faktor



Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1 n faktor

Pangkat Matriks (2) 

Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka: 1. 2.



Ar As = Ar+s (Ar)s = Ars

Sifat: 1. 2. 3.

A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,… Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan 1 (kA ) 1  A 1 k

5

3/25/2011

Invers Matriks Diagonal 

d1 0   0 d2 D     0 0 

Jika diketahui matriks diagonal

maka inversnya adalah D 1

1   d1  0     0  

0 1 d2  0

... 0   ... 0  ...    ... d n 

 0    ... 0      1  ... d n  ...

Pangkat Matriks Diagonal 

Jika diketahui matriks diagonal d 1 0   0 d2 D     0 0 

maka pangkatnya adalah Dk

 d 1k   0     0 

0 k d2  0

... ...

0   0  ...    ... d n 

... 0 ... 0 ...  k ... d n

      

6

3/25/2011

Invers Matriks dengan OBE (1) 



Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan) A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 In dengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)


Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.



Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].



Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].

7

3/25/2011


Ex: Cari invers untuk Penyelesaian:

1 2 3    A  2 5 3 1 0 8   

 1 2 3 1 0 0  b  2b 1 2 3 1 0 0   b2 b 1    2 5 3 0 1 0  3 1 0 1  3  2 1 0  1 0 8 0 0 1  0  2 5  1 0 1    


Penyelesaian Cont.

1 2 3 1 0 0  1 2 3 1 0 0    b   3   0 1  3  2 1 0   0 1  3  2 1 0  0 0  1  5 2 1  0 0 1 5  2  1     b 3  2 b2

 1 2 0  14 6  1 0 0  40 16 9  3    b  2b   1 2   0 1 0 13  5  3    0 1 0 13  5  3  0 0 1 5 0 0 1 5  2  1   2  1    b1  3b3 b2  3b 3

8

3/25/2011


Penyelesaian Cont. (2) Jadi   40 16 A

1

   13  5 

9    5  3  2  1 

(Adakah cara lain???)

Dengan KONSEP DETERMINAN  

Apa itu determinan? Bagaimana menentukan determinan matriks ordo n?

9

3/25/2011

Determinan Matriks 2x2 (1) 



Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. Jika diketahui matriks berukuran 2x2, maka determinan matriks A a b  adalah: det (A) = |A| = ad-bc

A c

 d


Ex: Jika diketahui matriks

 2 3  P    4 5

maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2 (Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)

10

3/25/2011


Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.


Ex:

1 2 3 1 2    4 5 4 4 5   1(5)(1)  2(4)(3)  3(4)(2)  3(5)(3)  2(4)(1)  1(4)(2)  3 2 1 3 2  

11

3/25/2011

Determinan Matriks nxn (1) 

Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.



Det (A)=Sum(a(i,j)*c(i,j)),ekspansi baris ke-i/kolom ke-j




Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij =  Mij. Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.

12

3/25/2011


Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama


Ex:

13

3/25/2011

Selanjutnya bagaimana determinan bisa digunakan untuk menentukan invers matriks..?

Tentukan Adjoint Matriks (1) 3  1 2   0 1 4 2  2 1   



Jika diketahui matriks 3x3



Kofaktor dari matriks tersebut adalah: c11=9 c12=8 c13=-2 c21=-3 c22=-1c23=4 c31=-6 c32=-12 c33=3 Matriks kofaktor yang terbentuk



8  2  9   4   3 1   6  12 3   

14

3/25/2011

Adjoint Matriks (2) 

Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat: T

8  2  9  9 3 6      4    8  1  12   3 1   6  12 3   2 4 3    

Invers Matriks nxn (1) 

Rumus:



dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari

3 1 2   A  0 1 4  2  2 1   

15

3/25/2011

Invers Matriks nxn (2) Penyelesaian:  det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)1(0)(-1) =3-7-0-4+24+0 =16  9 3 6   Adjoint A =    8  2 



 1  12  4 3 

 9  3  6   9 / 16  3 / 16  3 / 8     1   8  1  12    1 / 2  1 / 16  3 / 4  16  3    1 / 8 1 / 4 3 / 16   2 4

Maka A-1 =

Soal 

Buktikan a1  b1t

a 2  b2t

a 3  b3t

a1 a 2 a 3

a1t  b1 a 2t  b2 a 3t  b3  (1  t 2 ) b1 b2 b3 c1 

c2

c3

c1 c 2 c 3

Buktikan 1 1 1 a b c  (b  a )(c  a )(c  b ) 2 a b2 c 2

16

3/25/2011

Tugas 





Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ ! Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemenelemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan. Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.

Kuis 

Cari a,b,c agar



Cari invers dari

8 5  2b simetris 3a  2     a  b  c  5 1  c  1   a 8 2c  4 0  

 cos     sin 

sin    cos  



Cari matriks diagonal A supaya



Cari nilai x supaya

x

1

3 1x

0  1 0   A  0  1 0   0 0  1   0 3 5

1

2 x 1 3

6 x 5

17

3/25/2011

18

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

Recommend Documents