10.2.5
Derivace součinu a podílu
Předpoklady: 10204 Pedagogická poznámka: Následující odvození jsem převzal a amerického fyzikálního kursu Mechanical Universe. Možná není dostatečně „rigorózní“, ale mě osobně se strašně líbí spojitost mezi ořezáváním prkénka a chováním nekonečně malých veličin. Stejně tak vždy zdůrazňuji, jak je fantastické, že se vzorec pro násobení má v sobě schované správné postupy na derivování mocnin. Z minulé hodiny víme, že pro derivování součinu neplatí „přirozený vzorec“ ( uv )′ = u ′ ⋅ v′ . Jak nalézt správný vzorec?
∆y dy ∆y ( y′ = = lim ) ⇒ najdeme příklad veličiny, která je ∆ x → 0 ∆x dx ∆x rovna součinu dvou jiných veličina prozkoumáme její změnu.
Derivace je limitou z poměru
Obsah plochy: S = ab . Jak se změní obsah plochy v čase (při ořezávání nebo obrušování)?
a
b
b
a Z obrázku je vidět, že platí: ∆S = a ⋅ ∆b + b ⋅ ∆a − ∆a∆b (červený čtvereček je započítán dvakrát) ∆S a ⋅ ∆b b ⋅ ∆a ∆a∆b Změna probíhá v čase ⇒ vydělíme ∆t : = + − ∆t ∆t ∆t ∆t ∆ ( ab ) ∆b ∆a ∆a∆b Použijeme: S = ab : =a +b − ∆t ∆t ∆t ∆t Se zmenšující velikostí ∆a a ∆b se červený čtverečky vůči obdélníkům čím dál menší ∆ ( ab ) ∆b ∆a (zmenšují se obě jeho strany) ⇒ pro malé ∆t platí: =a +b ∆t ∆t ∆t d ( ab ) db da pro nekonečně malé dt : = a +b ⇒ ( ab )′ = ab′ + ba′ dt dt dt Věta o derivaci součinu: Nechť jsou dány funkce u, v. Jestliže funkce u, v mají v bodě x0 derivaci, má v bodě x0 derivaci i funkce u ⋅ v platí: ( u ⋅ v )′ ( x0 ) = u ′ ( x0 ) ⋅ v ( x0 ) + u ( x0 ) ⋅ v′ ( x0 )
1
Zkrácený zápis: ( u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′
Pedagogická poznámka: Ve svých třídách opravdu použití vzorců z této hodiny na tabuli neukazuji. Je to zbytečně víc než čtyři, pět lidí chybu neudělá. Př. 1:
(x
2
Urči derivaci ( x 2 sin x )′ .
sin x )′ = ( x 2 )′ sin x + x 2 ( sin x )′ = 2 x sin x + x 2 cos x
Je vidět, že derivováním se mohou funkce i komplikovat.
Př. 2:
Ověř platnost vzorce pro derivaci součinu derivováním funkce y = x 6 .
Derivace podle pravidla pro mocninou funkci: ( x 6 )′ = 6 x 5 . Funkci y = x 6 můžeme na součin rozdělit různými způsoby:
( x )′ = ( x ⋅ x )′ = ( x )′ x + x ( x )′ = 1⋅ x + x ⋅ 5 x = x + 5 x = 6 x ( x )′ = ( x ⋅ x )′ = ( x )′ x + x ( x )′ = 2 x ⋅ x + x ⋅ 4 x = 2 x + 4 x ( x )′ = ( x ⋅ x )′ = ( x )′ x + x ( x )′ = 3x ⋅ x + x ⋅ 3x = 3x + 3x 6
5
5
5
6
2
4
2
4
2
6
3
3
3
3
3
5
4
4
3
2
5
5
5
4
2
3
5
5
= 6 x5
3
3
2
5
5
= 6 x5
Zvolili jsme tři různé způsoby, přesto jsme pokaždé dostali správný výsledek.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad rozdělujeme a každé oddělení počítá jednu z variant. Př. 3:
Urči derivaci ( sin x ⋅ cos x )′ .
( sin x ⋅ cos x )′ = ( sin x )′ ⋅ cos x + sin x ⋅ ( cos x )′ = cos x ⋅ cos x + sin x ( − sin x ) = cos 2 x − sin 2 x Ještě horší vzorec musíme používat na derivování podílu:
Věta o derivaci podílu: Nechť jsou dány funkce u, v. Jestliže funkce u, v mají v bodě x0 derivaci a u v ( x0 ) ≠ 0 , má v bodě x0 derivaci i funkce platí: v u′ ( x0 ) ⋅ v ( x0 ) − u ( x0 ) ⋅ v′ ( x0 ) u ′ ( x0 ) = v 2 ( x0 ) v u ′ u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ Zkrácený zápis: = v2 v
2
Př. 4:
sin x ′ Urči derivaci 2 x
2 ′ ′ 2 2 sin x ′ ( sin x ) ⋅ x − sin x ⋅ ( x ) cos x ⋅ x − sin x ⋅ 2 x x ( x ⋅ cos x − 2sin x ) = = = = 2 4 4 2 2 x x x x ( )
=
x ⋅ cos x − 2 sin x x3
Př. 5:
Ověř platnost vzorce pro derivaci podílu derivováním funkce y = x3 .
Derivace podle pravidla pro mocninou funkci: ( x3 )′ = 3 x 2 . Funkci y = x3 můžeme na podíl rozdělit různými způsoby: 4 ′ 4 ′ x 4 ′ ( x ) ⋅ x − x ( x ) 4 x3 ⋅ x − x 4 ⋅1 4 x 4 − x 4 3 x 4 ′ = = = 2 = 3x 2 (x ) = x = 2 2 2 x x x x 5 ′ 2 5 2 ′ x5 ′ ( x ) ⋅ x − x ( x ) 5 x 4 ⋅ x 2 − x 5 ⋅ 2 x 5 x 6 − 2 x 6 3 x 6 3 ′ = = = 4 = 3x 2 ( x ) = x2 = 4 4 2 2 x x x (x ) 3
6 ′ 3 6 3 ′ x 6 ′ ( x ) ⋅ x − x ( x ) 6 x5 ⋅ x3 − x 6 ⋅ 3 x 2 6 x8 − 3 x8 3 x8 ′ = = = 6 = 3x 2 ( x ) = x3 = 6 6 3 2 x x x (x ) 3
Zvolili jsme tři různé způsoby, přesto jsme pokaždé dostali správný výsledek.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad rozdělujeme a každé oddělení počítá jednu z variant. Pomocí vzorce pro podíl můžeme odvodit i vzorce pro derivaci dalších goniometrických funkcí: Př. 6: Urči derivace funkcí: a) y = tg x b) y = cotg x sin x cos x sin x ′ ( sin x )′ ⋅ cos x − sin x ⋅ ( cos x )′ cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ ( − sin x ) = = ( tg x )′ = = cos 2 x cos 2 x cos x cos 2 x + sin 2 x 1 = = 2 cos x cos 2 x cos x b) y = cotg x = sin x a) y = tg x =
3
cos x ′ ( cos x )′ ⋅ sin x − cos x ⋅ ( sin x )′ ( − sin x ) ⋅ sin x − cos x ⋅ cos x = = = sin 2 x sin 2 x sin x
( cotg x )′ = =
− sin 2 x − cos 2 x 1 =− 2 2 sin x sin x
V obou případech musíme dát pozor na taková x z definičního oboru, pro která nejsou původní funkce definované ⇒ 1 1 • Pro funkci y = tg x , x ≠ π + kπ , k ∈ Z , platí y′ = . 2 cos 2 x 1 • Pro funkci y = cotg x , x ≠ kπ , k ∈ Z , platí y′ = − 2 . sin x Pomocí vzorce pro derivaci podílu můžeme odvodit i derivaci mocninných funkcí se záporným mocnitelem:
1 ′ Urči derivaci 2 x
Př. 7:
2 ′ ′ 2 2 2x 2 1 ′ (1) ⋅ x − 1 ⋅ ( x ) 0 ⋅ x − 1 ⋅ 2 x = = =− 4 =− 3 2 2 4 x x x x ( x2 )
Stejný výsledek bychom dostali i pomocí vzorce pro derivování mocninné funkce: 2 1 ′ −2 ′ −2 −1 = −2 x −3 = − 3 . 2 = ( x ) = −2 x x x ⇒ vzorec pro derivaci mocninné funkci platí nejen pro přirozený, ale i pro celý a dokonce i pro reálný exponent: • Pro funkci y = x n , x ∈ R − {0} , n ∈ Z − , platí y′ = n x n −1 •
Pro funkci y = x n , x ∈ R + , n ∈ R , platí y′ = n x n −1
Př. 8:
Urči derivace:
x 2 + x + x ′ ′ ′ ′ 1 ′ a) 3 b) x c) 3 x 4 d) x 2 x e) x x x Předpisy funkcí uprav v případě potřeby tak, aby si nemusel používat vzorec pro derivaci součinu nebo podílu.
( )
( )
(
3 1 ′ a) 3 = ( x −3 )′ = −3 x −3−1 = −3 x −4 = − 4 x x 1 ′ 1 1 1 ′ 2 1 2 −1 1 − 2 b) x =x = x = x = 2 2 x 2
( )
4
)
4 ′ 4 4 −1 4 1 4 = x3 = x3 = x3 = 3 x 3 3 3 1 ′ 5 ′ 5 3 ′ 2 2 2 5 2 −1 5 2 5 3 2 d) x x = x x = x = x = x = x 2 2 2 1 ′ 1 ′ 3 1 3 ′ x 2 + x + x ′ x 2 + x + x 2 x 2 + x + x 2 2− 23 1− − 2 2 2 = = = x + x + x = 1 3 x x 2 x2 e) x⋅ x c)
( ) 3
x4
(
′
)
1 − 1 ′ 1 1 −1 1 − 1 −1 1 −1 1 −3 1 1 1 = x 2 + x 2 + x −1 = x 2 − x 2 − 1 ⋅ x −1−1 = x 2 − x 2 − x −2 = − − 2 2 2 2 2 x 2 x3 x 2
Rada do budoucna: Vždy se snažíme o takové úpravy předpisu funkce, abychom při derivování nemuseli používat vzorec pro derivaci součinu nebo podílu. Př. 9:
( x )′ n
(BONUS) Dokaž platnost vzorce pro derivování mocninných funkcí se záporným mocnitelem. n < 0 položíme m = − n ⇒ m > 0
m ′ ′ m m m −1 m ⋅ x m −1 1 ′ (1) x − 1 ⋅ ( x ) 0 ⋅ x − 1 ⋅ m ⋅ x ′ −m ′ = = − 2 m = −mx m −1− 2 m = ( x ) = ( x ) = x m = 2m m 2 x x (x ) n
= − mx −1− m = nx −1+ n = nx n −1
Př. 10: Petáková: strana 155/cvičení 19 f3 , f 4 strana 155/cvičení 20 g 2 , g 4 strana 156/cvičení 21 h2 , h3 , h5
Shrnutí: Vzorce pro derivaci součinu a podílu jsou složité, proto se jim snažíme vyhnout.
5
