HIMPUNAN
DEFINISI z
Himpunan (set): )
z
Dengan kata lain : )
z
Kumpulan objek-objek yang berbeda. Kumpulan dari objek-objek merupakan suatu kesatuan.
Elemen dari himpunan : )
Obyek-obyek itu sendiri.
tertentu
yang
NOTASI z
z
Dengan menulis semua elemen-elemennya diantara tanda kurung kurawal Æ { } A={1,2,3,4} B={2,4,6,8,10} Dengan menyebutkan suatu sifat karakteristik tertentu dari unsur, apakah suatu objek anggota dari himpunan tersebut atau bukan. Æ { simbol sembarang unsur | sifat karakteristik unsur tersebut } M={x|x adlh mhs yg mengambil MK Matdis}
NOTASI z
z
z z z z z z
{x1, …, xn} : himpunan yang terdiri dari unsur x1, …, xn (himpunan terbatas dan tidak terlalu besar) {x|p(x)} : himpunan semua x dengan x adalah unsur yang mempunyai sifat p(x) (himpunan tak terbatas dan berukuran besar) x∈X : x adalah unsur dari X x∉X : x bukan unsur dari X X=Y : kesamaan himpunan (X dan Y mempunyai jmlh unsur yang sama) |X| : jumlah unsur dari X ∅ : himpunan kosong X⊆Y : X adalah himpunan bagian dari Y
SIMBOL-SIMBOL BAKU z z z z z z
P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,...} N = himpunan bilangan asli = {1,2,...} Z = himpunan bilangan bulat = {...,-2,-1,0,1,2,...} Q = himpunan bilangan rasional = {a/b | a,b ∈ Z, b≠0} R = himpunan bilangan real = {x | -∞ < x < ∞} C = himpunan bilangan kompleks = {a+bi | a,b ∈ R }
OPERASI-OPERASI DASAR z z z
z z
Gabungan (Union) Irisan (Intersection) Penjumlahan / Beda Setangkup / Selisih simetrik (symmetric difference) Selisih (difference) Complement
GABUNGAN (UNION) z z z
Misal : A gabungan B (semua unsur di A dan B) Notasi : A U B = {x | x∈A atau x∈B} Diagram Venn : S
A
B
S
B
A
A // B A∪B
A ∪ B (A dan B disjoint)
CONTOH GABUNGAN z
Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22}, maka
A U B = {2,5,7,8,22} z
AU∅=A
IRISAN (INTERSECTION) z z
Notasi : A ∩ B = {x | x∈A dan x∈B} Diagram Venn : S
A
B A∩B
A∩B
CONTOH IRISAN z z
z z
Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22}, maka A ∩ B = {5} Jika A = {(x, y)| x+y=7, x,y∈R} dan B = {(x, y)| x-y=3, x,y∈R}, maka A ∩ B = {(5,2)} yang merupakan titik potong garis x+y=7 dan x-y=3 A∩S=A Jika A = {3,5,9} dan B = {-7,6}, maka A ∩ B = ∅. Dengan demikian, A // B
PENJUMLAHAN (BEDA SETANGKUP) z
z
Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B - A) Diagram Venn : S
A
B
Diarsir A⊕B A⊕B
CONTOH BEDA SETANGKUP z
Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22}, maka A ⊕ B = {2,7,8,22}
z
Jika A = {3,5,9} dan B = {-7,6}, maka A ⊕ B = {-7,3,5,6,9}
SELISIH (DIFFERENCE) z
z
Notasi : A – B = {x | x∈A dan x∉B} = A ∩ B′ B – A = {x | x∈B dan x∉A} = B ∩ A′ Diagram Venn : S
A
S
B
A
B
Diarsir A-B
A-B
B-A
Diarsir B-A
CONTOH SELISIH
z
Jika A = {1,2,3,...,10} dan B = {2,4,6,8,10}, maka A – B = {1,3,5,7,9} dan B – A = ∅
z
{1,3,5} – {1,2,3} = {5} dan {1,2,3) – {1,3,5} = {2}
COMPLEMENT
A A’
A’={x | x∉A}
CONTOH COMPLEMENT Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} z
Jika A = {1,3,7,9}, maka A′ = {2,4,6,8}
z
Jika A = {x| x/2 ∈ P, x< 9}, maka A ′ = {1,3,5,7,9}
HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN 1. Hukum asosiatif (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 2. Hukum komutatif A∪B=B∪A A∩B=B∩A 3. Hukum distributif A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4. Hukum identitas A∪∅=A A∪S=A 5. Hukum komplemen A ∪ ⎯A = S A ∩ ⎯A = ∅
6. Hukum idempoten A∪A=A A∩A=A 7. Hukum de Morgan (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ 8. Hukum absorpsi A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A
CONTOH ALJABAR HIMPUNAN Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa : z
(A∩B) ∪ (A ∩ B′) = A
z
A ∪ (B - A) = A ∪ B
z
A ∪ (A ∪ B) ′ = A ∪ B ′
z
A∩(A′∪ B) = A∩B
KARDINALITAS z
z
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi : |A| atau n(A)
PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI z
z
z
Penggabungan dua buah himpunan atau lebih menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint), maka |A ∪ B| = |A| + |B| Misalkan A dan B adalah himpunan berhingga, maka |A ∪ B| berhingga dan |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI z
Untuk 3 himpunan A, B dan C
A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C z
A1 , A 2 , A 3 ,L , A r
Untuk r himpunan
A1 ∪A2 ∪L∪Ar = ∑Ai − i
∑ A ∩A + ∑A ∩A ∩A
1≤i<j≤r
r−1
i
j
1≤i<j
i
j
+ (−1) A1 ∩A2 ∩A3 ∩L∩Ar
k
+L+
CONTOH INKLUSI-EKSKLUSI Di dalam perpustakaan terdapat 12 buku, 6 buku di antaranya adalah novel, 7 buku adalah buku yang diterbitkan pada tahun 2012, dan 3 buku adalah novel yang diterbitkan pada tahun 2012. Berapa jumlah buku novel atau buku yang terbit tahun 2012 ? A = novel, |A| = 6 B = buku yang diterbitkan tahun 2012, |B| = 7 A ∩ B = novel yang diterbitkan tahun 2012,| A ∩ B | = 3 A ∪ B = novel atau buku yang diterbitkan tahun 2012. |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
=6+7–3 =10
LATIHAN SOAL 1. Anggap bahwa 100 dari 120 mahasiswa Sistem Informasi Universitas Airlangga mengikuti setidaknya satu dari kursus bahasa Perancis, Jerman, dan Rusia. Juga anggap : 65 belajar bahasa Perancis 20 belajar bahasa Perancis dan Jerman 45 belajar bahasa Jerman 25 belajar bahasa Perancis dan Rusia 42 belajar bahasa Rusia 15 belajar bahasa Jerman dan Rusia a. Tentukan jumlah mahasiswa yang belajar ketiga bahasa. b. Isilah jumlah mahasiswa yang tepat pada setiap daerah dalam diagram venn. Dalam hal ini, F, G, dan R menyatakan himpunan mahasiswa yang belajar bahasa Perancis, Jerman, dan Rusia. c. Tunjukkan jumlah mahasiswa (k) yang belajar : i. Hanya satu bahasa ii. Dua bahasa.
LATIHAN SOAL 2. Seratus mahasiswa ditanyakan apakah mereka sudah mengikuti salah satu mata kuliah sosiologi, antropologi, dan sejarah. Diperoleh hasil : 45 sudah ikut sosiologi 18 sudah ikut sosiologi dan antropologi 38 sudah ikut antropologi 9 sudah ikut sosiologi dan sejarah 21 sudah ikut sejarah 4 sudah ikut antropologi dan sejarah dan 23 orang belum mengikuti salah satu dari mata kuliah tersebut. a. Gambarkan sebuah diagram venn yang dapat menunjukkan hasil survey tersebut. b. Tentukan jumlah mahasiswa (k) yang sudah mengikuti : i. Satu dari mata kuliah tsb. ii. Dua mata kuliah.
LATIHAN SOAL 3. Buktikan identitas himpunan (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc) = A. 4. Buktikan hukum absorbsi A ∪ (A ∩ B) = A.
